https://math-wiki.com/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Edi.gotliebMath-Wiki - תרומות המשתמש [he]2026-05-23T23:26:10Zתרומות המשתמשMediaWiki 1.39.4https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=5300בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-23T13:40:58Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלות */</p>
<hr />
<div><math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - תרגיל 3<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 4<br />
<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
==שאלה 6==<br />
אם אני בונה כלל נסיגה אז מה צריך להיות המשתנה? K או N? <br />
==מהי הנוסחא למספר פתרונות המשוואה==<br />
אשמח אם מישהו יוכל לתת את הנוסחא למציאת מספר פתרוות של משוואה- כמו שלמדנו בכיתה ודוגמא קצרה שתסביר כי לא הבנתי איך הנוסחא<br />
עובדת. תודה :)<br />
<br />
<br />
==שאלה 4.ב.==<br />
אפשר רמז בנוגע למתחלק ב7?<br />
<br />
==שאלה 3.ב.==<br />
הטלנו n פעמים אז איך יצאו 3 ערכים?<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
דוגמא:ניקח n=10. הסדרות להלן מכילות בדיוק3 איברים שונים (כל אחד מהן)<br />
{1,2,2,6,1,2,6,6,2,1} או {3,4,3,3,5,5,5,5,3,4}<br />
<br />
==שאלה 2==<br />
זה בסדר להוכיח באינדוקציה?<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
מותר. אבל עדיף אם תתנסה בדרך אלגוברית ו/או קומבינאטורית.<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
אם שואלים אותי מה מספר האפשרויות למשהו ואני מחלק למקרים. בסוף אני צריך לכפול את כל האפשרויות מכל המקרים כדי לקבל את מס' האפשרויות למשה (הכללי)?<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
רק אם המקרים הללו זרים בזוגית. אחרת משפט הסכום לא תקף וצריך להשתמש בעקרון הכלה והדחה.<br />
<br />
==שאלה 4ד'==<br />
אפשר עזרה לגבי התשובה? האם התשובה צריכה להיות A איחוד B איחוד C (כאשר כל אחת מהקבוצות הן מספר שמתחלק ב3 4 ו5 בהתאמה בין 1 ל1000) או A איחוד B איחוד C פחות (A חיתוך B) פחות (A חיתוך C) פחות (A חיתוך B חיתוך C) פחות (A חיתוך B חיתוך C)?<br />
במילים אחרות, האם יכול לצאת מצב שיוצא 2 קבוצות מתוך האיחוד ביחד ואז זה לא טוב ואני צריך להוריד את האפשרויות האלה, או שבאיחוד כבר הורדנו אותן? תודה<br />
<br />
==מס' שאלות==<br />
2.) איך יתכן שזה ייתקיים עבור n=0?<br />
3.)מה הכוונה ב"מהן מספר האפשרויות"? אפשרויות למה?<br />
4.) מה זה ריבועים שלמים?<br />
:: 2- כי 0 עצרת זה 1, תחשב וזה יוצא נכון. 3- כמה אפשרויות לתוצאות יכולות לצאת. כמה תוצאות שונות יכולות לקרות. 4- ריבוע של מספר שלם, כלומר 1,4,9 וכו'<br />
<br />
==שאלה 3==<br />
לא כתבתם למה התכוונתם, האם הסדר משנה או לא? כלומר, האם כשמטילים את הקובייה פעמיים למשל, כשיוצא 5 ראשון ואחר כך 6, וכשיוצא 6 ראשון ואחר כך 5, האם התוצאות האלה שונות או לא? תודה.<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
ראה למטה.<br />
<br />
==שאלה 3, למה אתם מתכוונים?==<br />
מה זה אומר ב-ב', "שהתקבלו עבור בדיוק 3 ערכים שונים"? אני לא מבין את המשפט (מבחינה תחבירית) למה התכוונתם? וחוץ מזה, אפשר רמז לגבי הפתרון? תודה רבה.<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
מהו מספר אפשרויות לקבל ב-n הטלות בדיוק 3 ערכים שונים. למשל, רק מספרים {1,2,3} או {2,4,6}.<br />
<br />
'''המשך שאלה'''<br />
האם יש חשיבות לסדר? למשל עבור 4 הטלות והמספרים {1,2,3}, האם יש הבדל בין (1,2,3,1) ל- (1,1,2,3)? הניסוח של השאלה באמת ממש לא מובן...<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
מטילים אותה קוביה פעם אחר פעם. הגדרת השאלה מניחה את הסדר. אפשר לנסח את השאלה כך: מטילים n קוביות '''שונות'''...<br />
<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=5299בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-23T13:05:48Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלות */</p>
<hr />
<div><math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - תרגיל 3<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 4<br />
<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
==מהי הנוסחא למספר פתרונות המשוואה==<br />
אשמח אם מישהו יוכל לתת את הנוסחא למציאת מספר פתרוות של משוואה- כמו שלמדנו בכיתה ודוגמא קצרה שתסביר כי לא הבנתי איך הנוסחא<br />
עובדת. תודה :)<br />
<br />
<br />
==שאלה 4.ב.==<br />
אפשר רמז בנוגע למתחלק ב7?<br />
<br />
==שאלה 3.ב.==<br />
הטלנו n פעמים אז איך יצאו 3 ערכים?<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
דוגמא:ניקח n=10. הסדרות להלן מכילות בדיוק3 איברים שונים (כל אחד מהן)<br />
{1,2,2,6,1,2,6,6,2,1} או {3,4,3,3,5,5,5,5,3,4}<br />
<br />
==שאלה 2==<br />
זה בסדר להוכיח באינדוקציה?<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
מותר. אבל עדיף אם תתנסה בדרך אלגוברית ו/או קומבינאטורית.<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
אם שואלים אותי מה מספר האפשרויות למשהו ואני מחלק למקרים. בסוף אני צריך לכפול את כל האפשרויות מכל המקרים כדי לקבל את מס' האפשרויות למשה (הכללי)?<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
רק אם המקרים הללו זרים בזוגית. אחרת משפט הסכום לא תקף וצריך להשתמש בעקרון הכלה והדחה.<br />
<br />
==שאלה 4ד'==<br />
אפשר עזרה לגבי התשובה? האם התשובה צריכה להיות A איחוד B איחוד C (כאשר כל אחת מהקבוצות הן מספר שמתחלק ב3 4 ו5 בהתאמה בין 1 ל1000) או A איחוד B איחוד C פחות (A חיתוך B) פחות (A חיתוך C) פחות (A חיתוך B חיתוך C) פחות (A חיתוך B חיתוך C)?<br />
במילים אחרות, האם יכול לצאת מצב שיוצא 2 קבוצות מתוך האיחוד ביחד ואז זה לא טוב ואני צריך להוריד את האפשרויות האלה, או שבאיחוד כבר הורדנו אותן? תודה<br />
<br />
==מס' שאלות==<br />
2.) איך יתכן שזה ייתקיים עבור n=0?<br />
3.)מה הכוונה ב"מהן מספר האפשרויות"? אפשרויות למה?<br />
4.) מה זה ריבועים שלמים?<br />
:: 2- כי 0 עצרת זה 1, תחשב וזה יוצא נכון. 3- כמה אפשרויות לתוצאות יכולות לצאת. כמה תוצאות שונות יכולות לקרות. 4- ריבוע של מספר שלם, כלומר 1,4,9 וכו'<br />
<br />
==שאלה 3==<br />
לא כתבתם למה התכוונתם, האם הסדר משנה או לא? כלומר, האם כשמטילים את הקובייה פעמיים למשל, כשיוצא 5 ראשון ואחר כך 6, וכשיוצא 6 ראשון ואחר כך 5, האם התוצאות האלה שונות או לא? תודה.<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
ראה למטה.<br />
<br />
==שאלה 3, למה אתם מתכוונים?==<br />
מה זה אומר ב-ב', "שהתקבלו עבור בדיוק 3 ערכים שונים"? אני לא מבין את המשפט (מבחינה תחבירית) למה התכוונתם? וחוץ מזה, אפשר רמז לגבי הפתרון? תודה רבה.<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
מהו מספר אפשרויות לקבל ב-n הטלות בדיוק 3 ערכים שונים. למשל, רק מספרים {1,2,3} או {2,4,6}.<br />
<br />
'''המשך שאלה'''<br />
האם יש חשיבות לסדר? למשל עבור 4 הטלות והמספרים {1,2,3}, האם יש הבדל בין (1,2,3,1) ל- (1,1,2,3)? הניסוח של השאלה באמת ממש לא מובן...<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
מטילים אותה קוביה פעם אחר פעם. הגדרת השאלה מניחה את הסדר. אפשר לנסח את השאלה כך: מטילים n קוביות '''שונות'''...<br />
<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=5030לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-19T12:14:54Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלה על מימדים */</p>
<hr />
<div><math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - בוחן + תרגיל 3<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 3<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
==שאלה על מימדים==<br />
מה המימד של המרחב הוקטורי המכיל רק 0? האם סכום ישר אומר שהחיתוך נותן 0? כי אם כך אז המימד של {(a,b,0,0) סכום ישר (0a,0,d,c)} שווה לסכום המימדים שהוא 4, פחות מימד החיתוך שהוא 1, לא? אזי מימד הסכום שווה ל3 אבל הוא באמת שווה ל-4. מה הולך פה?<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
האם שורותיה של מטריצה בדורגת הם בהכרח בת"ל?<br />
<br />
===תשובה===<br />
שורותיה השונות מאפס של מטריצה מדורגת הן בהכרח בת"ל. אף שורה איננה צ"ל של קודמותיה, כי יש לה אפסים במקומות בהם יש לשורות הקודמות איברים פותחים.<br />
<br />
==שאלה==<br />
האם אני יכול להגיד את הדבר הבא?<br />
<math>span(A+B)=span(span(A\cup B))=span(A\cup B)=A\cup B=span(A)\cup span(B)</math><br />
תודה מראש...<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא. האיחוד של תתי מרחבים לרוב אינו תת מרחב. שאלה זו מופיעה בתרגיל 3, והפרכתה נמצאת בפתרונות.<br />
<br />
המעבר הראשון הלא חוקי (משמאל לימין) הוא שאפשר להוריד את הspan ולהשאיר שיוויון. מה פתאום הspan של קבוצה שווה לקבוצה? הרי הקבוצה יכולה להיות סופית, ואוסף כל הצירופים הלינאריים הוא אינו סופי (מעל שדה אינסופי כמובן)<br />
<br />
== שאלה ==<br />
1.אם (V1,v2...vn) וקטורים בת"ל וגם (u1,u2,...,un) וקטורים בת"ל ומתקיים ש:<br />
v1=a1u1+a2u2...anun,...,vn=b1u1+b2u2+...+bnun , אני יכולה להגיד ש {a1,...,an}..{b1,...,bn הם בת"ל?<br />
<br />
2. מטריצת מעבר היא חייבת להיות ריבועית?<br />
<br />
===תשובה===<br />
1. סקלרים לא יכולים לעולם להיות בת"ל. ההגדרה של בת"ל תקפה רק לגבי וקטורים.<br />
<br />
2. כן. כי הרי יש בה n עמודות (מספר האיברים בבסיס B) שכל אחת מהן באורך n (מספר האיברים בבסיס C). הרי מספר האיברים זהה בכל הבסיסים.<br />
<br />
:לגבי 1. אני לא מבינה! הרי כן אפשר להסתכל על כוקטורי עמודה {a1,..,an},{b1,...,bn ולשאול האם הם תלויים לינארית?<br />
<br />
::הסימון עם סוגריים מסולסלים מסמן קבוצה, ולא וקטור עמודה. את מתכוונת ל<math>(a_1,...,a_n),(b_1,...,b_n)</math>? (כלומר, 2 וקטורי קואורדינטות) אה.. אני בכלל מבין עכשיו את הטעות בסימון. מהם הסקלרים שבין a ל b?<br />
<br />
::אני מניח שהתכוונת ל<br />
::<math>v_i=a_{1i}u_1+...+a_{ni}u_n</math> ואז השאלה אם הקבוצה <math>\{(a_{1i},...,a_{ni})|1\leq i \leq n\}</math> היא בת"ל. אבל זה בדיוק השאלה בשיעורי הבית. צריך להוכיח את זה.<br />
<br />
::רמז: ההעתקה מv לקואורדינטות של v לפי בסיס מסוים, הינה העתקה לינארית.<br />
<br />
==שאלה 2 בדף המצורף==<br />
כל מספר מסוים של וקטורים מתוך מרחב מסוים שהם בת"ל הם בהכרח גם בסיס של אותו המרחב?<br />
<br />
===תשובה===<br />
בוודאי שלא. בסיס הוא '''פורש''' וגם '''בת"ל'''. אחד התנאים בלבד אינו מספיק. מספר הוקטורים היחיד שיכול להיות בבסיס הוא המימד של המרחב.<br />
<br />
לדוגמא:<br />
<math>\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3</math> בת"ל אבל לא בסיס.<br />
<br />
אבל (ואולי לזה התכוונת) אם ניקח קבוצה בת"ל עם מספר וקטורים כגודל המימד של המרחב היא אכן תהיה בסיס תודות למשפט השלישי חינם.<br />
<br />
==שאלה 6.4א==<br />
בשאלה מבקשים לוהכיח שאם חיתוך של שני ספאנים שונה מאפס, אבל כל ספאן יוצר צירוף לינארי מתאפס, אז הטענה בכלל לא יכולה להיות נכונה, האם זה בעיה בתרגיל?<br />
<br />
===תשובה===<br />
<math>\{0,1\}\neq \{0\}</math><br />
<br />
===שאלה על התשובה===<br />
את/ה יכול/ה לתת דוגמא ל2 קבוצות שמקיימות את התנאי הזה?<br />
<br />
<br />
====דוגמא====<br />
ניקח <math>B=\{(1,0,1),(1,0,-1)\},A=\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3</math><br />
<br />
<math>span(A)\cap span(B) = span\{(1,0,0)\}\neq \{0\}</math><br />
<br />
<br />
במילים: יש צירוף לינארי של A וצירוף לינארי של B ששניהם שווים זה לזה אבל שונים מאפס.<br />
<br />
== שאלה 3 ב בבוחן ==<br />
שלום, לא הבנתי למה הזווית של 1+i היא בדיוק פי חלקי ארבע? מה החישוב שעושים?<br />
<br />
===תשובה===<br />
במישור המרוכב זו הנקודה (1,1) שנמצאת בדיוק על הקו הישר x=y שנמצא בזוית 45 מעלות (כי הוא חוצה את הזוית הישרה בין הצירים). אם זה לא מספיק ברור, גם <math>tg(\theta)=\frac{b}{a}=\frac{1}{1}=1</math> ולכן <math>\theta = \frac{\pi}{4}</math><br />
<br />
== שאלה 1 ב' בבוחן ==<br />
בפתרונות כתוב שאם נדרג נמצא שורת סתירה עבור a=0ולכן אין פיתרון.<br />
דרגתי כמה וכמה פעמים ואני לא מוצאת שום שורת סתירה!<br />
אני כן מחלקת בa כחלק מהפעולות אלמנטריות אבל כשאני רוצה להוכיח שבאמת אין פיתרון עבור a=0 אני לא מצליחה!<br />
אתה יכול לפרט יותר?<br />
<br />
===תשובה===<br />
אסור לחלק בa כחלק מהפעולות האלמנטריות כאשר בודקים את המקרה a=0 זה מקור הטעות.<br />
<br />
תציבי במטריצה '''המקורית''' a=0 ותראי לאן את מגיעה.<br />
אוקי תודה!<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=5029לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-19T12:13:41Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלות */</p>
<hr />
<div><math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - בוחן + תרגיל 3<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 3<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
==שאלה על מימדים==<br />
מה המימד של המרחב הוקטורי המכיל רק 0? האם סכום ישר אומר שהחיתוך נותן 0? כי אם כך אז המימד של {(a,b,0,0) סכום ישר (0,0,c,d)} שווה לסכום המימדים שהוא 4, פחות מימד החיתוך שהוא 1, לא? אזי מימד הסכום שווה ל3 אבל הוא באמת שווה ל-4. מה הולך פה?<br />
==שאלה כללית==<br />
האם שורותיה של מטריצה בדורגת הם בהכרח בת"ל?<br />
<br />
===תשובה===<br />
שורותיה השונות מאפס של מטריצה מדורגת הן בהכרח בת"ל. אף שורה איננה צ"ל של קודמותיה, כי יש לה אפסים במקומות בהם יש לשורות הקודמות איברים פותחים.<br />
<br />
==שאלה==<br />
האם אני יכול להגיד את הדבר הבא?<br />
<math>span(A+B)=span(span(A\cup B))=span(A\cup B)=A\cup B=span(A)\cup span(B)</math><br />
תודה מראש...<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא. האיחוד של תתי מרחבים לרוב אינו תת מרחב. שאלה זו מופיעה בתרגיל 3, והפרכתה נמצאת בפתרונות.<br />
<br />
המעבר הראשון הלא חוקי (משמאל לימין) הוא שאפשר להוריד את הspan ולהשאיר שיוויון. מה פתאום הspan של קבוצה שווה לקבוצה? הרי הקבוצה יכולה להיות סופית, ואוסף כל הצירופים הלינאריים הוא אינו סופי (מעל שדה אינסופי כמובן)<br />
<br />
== שאלה ==<br />
1.אם (V1,v2...vn) וקטורים בת"ל וגם (u1,u2,...,un) וקטורים בת"ל ומתקיים ש:<br />
v1=a1u1+a2u2...anun,...,vn=b1u1+b2u2+...+bnun , אני יכולה להגיד ש {a1,...,an}..{b1,...,bn הם בת"ל?<br />
<br />
2. מטריצת מעבר היא חייבת להיות ריבועית?<br />
<br />
===תשובה===<br />
1. סקלרים לא יכולים לעולם להיות בת"ל. ההגדרה של בת"ל תקפה רק לגבי וקטורים.<br />
<br />
2. כן. כי הרי יש בה n עמודות (מספר האיברים בבסיס B) שכל אחת מהן באורך n (מספר האיברים בבסיס C). הרי מספר האיברים זהה בכל הבסיסים.<br />
<br />
:לגבי 1. אני לא מבינה! הרי כן אפשר להסתכל על כוקטורי עמודה {a1,..,an},{b1,...,bn ולשאול האם הם תלויים לינארית?<br />
<br />
::הסימון עם סוגריים מסולסלים מסמן קבוצה, ולא וקטור עמודה. את מתכוונת ל<math>(a_1,...,a_n),(b_1,...,b_n)</math>? (כלומר, 2 וקטורי קואורדינטות) אה.. אני בכלל מבין עכשיו את הטעות בסימון. מהם הסקלרים שבין a ל b?<br />
<br />
::אני מניח שהתכוונת ל<br />
::<math>v_i=a_{1i}u_1+...+a_{ni}u_n</math> ואז השאלה אם הקבוצה <math>\{(a_{1i},...,a_{ni})|1\leq i \leq n\}</math> היא בת"ל. אבל זה בדיוק השאלה בשיעורי הבית. צריך להוכיח את זה.<br />
<br />
::רמז: ההעתקה מv לקואורדינטות של v לפי בסיס מסוים, הינה העתקה לינארית.<br />
<br />
==שאלה 2 בדף המצורף==<br />
כל מספר מסוים של וקטורים מתוך מרחב מסוים שהם בת"ל הם בהכרח גם בסיס של אותו המרחב?<br />
<br />
===תשובה===<br />
בוודאי שלא. בסיס הוא '''פורש''' וגם '''בת"ל'''. אחד התנאים בלבד אינו מספיק. מספר הוקטורים היחיד שיכול להיות בבסיס הוא המימד של המרחב.<br />
<br />
לדוגמא:<br />
<math>\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3</math> בת"ל אבל לא בסיס.<br />
<br />
אבל (ואולי לזה התכוונת) אם ניקח קבוצה בת"ל עם מספר וקטורים כגודל המימד של המרחב היא אכן תהיה בסיס תודות למשפט השלישי חינם.<br />
<br />
==שאלה 6.4א==<br />
בשאלה מבקשים לוהכיח שאם חיתוך של שני ספאנים שונה מאפס, אבל כל ספאן יוצר צירוף לינארי מתאפס, אז הטענה בכלל לא יכולה להיות נכונה, האם זה בעיה בתרגיל?<br />
<br />
===תשובה===<br />
<math>\{0,1\}\neq \{0\}</math><br />
<br />
===שאלה על התשובה===<br />
את/ה יכול/ה לתת דוגמא ל2 קבוצות שמקיימות את התנאי הזה?<br />
<br />
<br />
====דוגמא====<br />
ניקח <math>B=\{(1,0,1),(1,0,-1)\},A=\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3</math><br />
<br />
<math>span(A)\cap span(B) = span\{(1,0,0)\}\neq \{0\}</math><br />
<br />
<br />
במילים: יש צירוף לינארי של A וצירוף לינארי של B ששניהם שווים זה לזה אבל שונים מאפס.<br />
<br />
== שאלה 3 ב בבוחן ==<br />
שלום, לא הבנתי למה הזווית של 1+i היא בדיוק פי חלקי ארבע? מה החישוב שעושים?<br />
<br />
===תשובה===<br />
במישור המרוכב זו הנקודה (1,1) שנמצאת בדיוק על הקו הישר x=y שנמצא בזוית 45 מעלות (כי הוא חוצה את הזוית הישרה בין הצירים). אם זה לא מספיק ברור, גם <math>tg(\theta)=\frac{b}{a}=\frac{1}{1}=1</math> ולכן <math>\theta = \frac{\pi}{4}</math><br />
<br />
== שאלה 1 ב' בבוחן ==<br />
בפתרונות כתוב שאם נדרג נמצא שורת סתירה עבור a=0ולכן אין פיתרון.<br />
דרגתי כמה וכמה פעמים ואני לא מוצאת שום שורת סתירה!<br />
אני כן מחלקת בa כחלק מהפעולות אלמנטריות אבל כשאני רוצה להוכיח שבאמת אין פיתרון עבור a=0 אני לא מצליחה!<br />
אתה יכול לפרט יותר?<br />
<br />
===תשובה===<br />
אסור לחלק בa כחלק מהפעולות האלמנטריות כאשר בודקים את המקרה a=0 זה מקור הטעות.<br />
<br />
תציבי במטריצה '''המקורית''' a=0 ותראי לאן את מגיעה.<br />
אוקי תודה!<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=5027לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-19T10:57:29Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלות */</p>
<hr />
<div><math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - בוחן + תרגיל 3<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 3<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
האם שורותיה של מטריצה בדורגת הם בהכרח בת"ל?<br />
<br />
==שאלה==<br />
האם אני יכול להגיד את הדבר הבא?<br />
<math>span(A+B)=span(span(A\cup B))=span(A\cup B)=A\cup B=span(A)\cup span(B)</math><br />
תודה מראש...<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא. האיחוד של תתי מרחבים לרוב אינו תת מרחב. שאלה זו מופיעה בתרגיל 3, והפרכתה נמצאת בפתרונות.<br />
<br />
המעבר הראשון הלא חוקי (משמאל לימין) הוא שאפשר להוריד את הspan ולהשאיר שיוויון. מה פתאום הspan של קבוצה שווה לקבוצה? הרי הקבוצה יכולה להיות סופית, ואוסף כל הצירופים הלינאריים הוא אינו סופי (מעל שדה אינסופי כמובן)<br />
<br />
== שאלה ==<br />
1.אם (V1,v2...vn) וקטורים בת"ל וגם (u1,u2,...,un) וקטורים בת"ל ומתקיים ש:<br />
v1=a1u1+a2u2...anun,...,vn=b1u1+b2u2+...+bnun , אני יכולה להגיד ש {a1,...,an}..{b1,...,bn הם בת"ל?<br />
<br />
2. מטריצת מעבר היא חייבת להיות ריבועית?<br />
<br />
===תשובה===<br />
1. סקלרים לא יכולים לעולם להיות בת"ל. ההגדרה של בת"ל תקפה רק לגבי וקטורים.<br />
<br />
2. כן. כי הרי יש בה n עמודות (מספר האיברים בבסיס B) שכל אחת מהן באורך n (מספר האיברים בבסיס C). הרי מספר האיברים זהה בכל הבסיסים.<br />
<br />
:לגבי 1. אני לא מבינה! הרי כן אפשר להסתכל על כוקטורי עמודה {a1,..,an},{b1,...,bn ולשאול האם הם תלויים לינארית?<br />
<br />
::הסימון עם סוגריים מסולסלים מסמן קבוצה, ולא וקטור עמודה. את מתכוונת ל<math>(a_1,...,a_n),(b_1,...,b_n)</math>? (כלומר, 2 וקטורי קואורדינטות) אה.. אני בכלל מבין עכשיו את הטעות בסימון. מהם הסקלרים שבין a ל b?<br />
<br />
::אני מניח שהתכוונת ל<br />
::<math>v_i=a_{1i}u_1+...+a_{ni}u_n</math> ואז השאלה אם הקבוצה <math>\{(a_{1i},...,a_{ni})|1\leq i \leq n\}</math> היא בת"ל. אבל זה בדיוק השאלה בשיעורי הבית. צריך להוכיח את זה.<br />
<br />
::רמז: ההעתקה מv לקואורדינטות של v לפי בסיס מסוים, הינה העתקה לינארית.<br />
<br />
==שאלה 2 בדף המצורף==<br />
כל מספר מסוים של וקטורים מתוך מרחב מסוים שהם בת"ל הם בהכרח גם בסיס של אותו המרחב?<br />
<br />
===תשובה===<br />
בוודאי שלא. בסיס הוא '''פורש''' וגם '''בת"ל'''. אחד התנאים בלבד אינו מספיק. מספר הוקטורים היחיד שיכול להיות בבסיס הוא המימד של המרחב.<br />
<br />
לדוגמא:<br />
<math>\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3</math> בת"ל אבל לא בסיס.<br />
<br />
אבל (ואולי לזה התכוונת) אם ניקח קבוצה בת"ל עם מספר וקטורים כגודל המימד של המרחב היא אכן תהיה בסיס תודות למשפט השלישי חינם.<br />
<br />
==שאלה 6.4א==<br />
בשאלה מבקשים לוהכיח שאם חיתוך של שני ספאנים שונה מאפס, אבל כל ספאן יוצר צירוף לינארי מתאפס, אז הטענה בכלל לא יכולה להיות נכונה, האם זה בעיה בתרגיל?<br />
<br />
===תשובה===<br />
<math>\{0,1\}\neq \{0\}</math><br />
<br />
===שאלה על התשובה===<br />
את/ה יכול/ה לתת דוגמא ל2 קבוצות שמקיימות את התנאי הזה?<br />
<br />
<br />
====דוגמא====<br />
ניקח <math>B=\{(1,0,1),(1,0,-1)\},A=\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3</math><br />
<br />
<math>span(A)\cap span(B) = span\{(1,0,0)\}\neq \{0\}</math><br />
<br />
<br />
במילים: יש צירוף לינארי של A וצירוף לינארי של B ששניהם שווים זה לזה אבל שונים מאפס.<br />
<br />
== שאלה 3 ב בבוחן ==<br />
שלום, לא הבנתי למה הזווית של 1+i היא בדיוק פי חלקי ארבע? מה החישוב שעושים?<br />
<br />
===תשובה===<br />
במישור המרוכב זו הנקודה (1,1) שנמצאת בדיוק על הקו הישר x=y שנמצא בזוית 45 מעלות (כי הוא חוצה את הזוית הישרה בין הצירים). אם זה לא מספיק ברור, גם <math>tg(\theta)=\frac{b}{a}=\frac{1}{1}=1</math> ולכן <math>\theta = \frac{\pi}{4}</math><br />
<br />
== שאלה 1 ב' בבוחן ==<br />
בפתרונות כתוב שאם נדרג נמצא שורת סתירה עבור a=0ולכן אין פיתרון.<br />
דרגתי כמה וכמה פעמים ואני לא מוצאת שום שורת סתירה!<br />
אני כן מחלקת בa כחלק מהפעולות אלמנטריות אבל כשאני רוצה להוכיח שבאמת אין פיתרון עבור a=0 אני לא מצליחה!<br />
אתה יכול לפרט יותר?<br />
<br />
===תשובה===<br />
אסור לחלק בa כחלק מהפעולות האלמנטריות כאשר בודקים את המקרה a=0 זה מקור הטעות.<br />
<br />
תציבי במטריצה '''המקורית''' a=0 ותראי לאן את מגיעה.<br />
אוקי תודה!<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4984בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-18T15:38:51Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלה שקשורה במעט ל-9 */</p>
<hr />
<div><math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - תרגיל 3<br />
<br />
=שאלות=<br />
==תרגיל 4==<br />
האם קצוות של קטע פתוח שייכים לטבעיים או לממשיים (בתרגיל זה)? '''- ממשיים'''<br />
<br />
ועוד דבר:<br />
הבנתי את הרמז, יצא לי שאם מסמנים b-a=t>=1\n (אורך קטע) ו-m מספר הקטעים שמוכלים בקטע סופי ושייכים לקבוצה אז ה-m המקסימלי הוא m=nt. אבל לא הבנתי איך זה עוזר לי, הרי זה לא אומר כלום! כי n יכול להיות שואף לאינסוף, אז m שואף לאינסוף, אז מה בעצם גיליתי? ולמה מתייחסים דווקא לאורך 1 חלקי n?<br />
<br />
תודה מראש!<br />
<br />
==קבוצה סופית או בת מניה==<br />
אם ידוע ש-|A| קטנה או שווה לאלף 0, די ברור שמכך נובע ש-A סופית או בת מניה. האם צריך להוכיח את זה?<br />
:אי אפשר להוכיח את זה, זה ההגדרה של בת מניה!<br />
::תודה! (אני שאלתי את השאלה) ראיתי אצלי במחברת שהמרצה הגדיר קבוצה בת מניה כקבוצה שקטנה או שווה לאלף 0, וזה מה שבילבל אותי (כי בתרגיל זה אמור לצאת ש-A סופית או בת מניה) אבל המתרגל הגדיר קבוצה בת מניה כקבוצה ששווה לאלף 0. אז חיפשתי קצת בויקיפדיה וכתוב ככה: "קבוצה בת מניה היא קבוצה שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים... לעתים כוללים בהגדרה זו גם את הקבוצות הסופיות". אז פשוט ההגדרה של המרצה כללה גם את הקבוצות הסופיות. לכן באמת לפי ההגדרה הזו של בת מניה אפשר להגיד ש-A סופית או בת מניה.<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
האם מותר לי לסמן אורך של קטע אינסופי (האם ניתן בכלל לומר שיש כזה דבר אורך של קטע אינסופי) באות כלשהיא (a for example)?<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
אפשר להגיד: יהי a קרן <math>(2,\infin)</math><br />
<br />
==משפט==<br />
בתרגול הזכירו שקיים משפט כלשהוא שבעזרתו ניתן לקבוע שהעוצמה של מכפלה קרטזית N*N שווה לעוצמה של N. מה המשפט?<br />
<br />
:פשוט |NxN|=א<math>_0</math>, זה ממש המשפט.<br />
<br />
==בעיה בפתרון של שאלה 9ב'==<br />
אני צריך למצוא פונקציה שהתחום שלה הוא הפונקציות מC לפונקציות מB ל A, והטווח שלה הוא הפונקציות ממכפלה קרטזית של B וC אל A.<br />
לשם כך אני צריך להגדיר פונקציה מC לפונקציות מB ל A, נקרא לg. כדי להגדיר את g אני צריך למצוא פונקציה, נקרא לה G, מB לA.<br />
כתבתי אותה כך: g(c) = Gc(b) עכשיו צריך להגדיר את Gc(b). הבעיה שלי היא פה- כל פונקציה Gc(b) שאני מגדיר, יוצא שאני לא רשאי להגדיר אותה כך, כי אז אני כאילו מגדיר לי מה יהיה A. (אם לא הבנתם את הניסוח), למשל, אם ניסיתי להגדיר את Gc כך: Gc(b)= (b,c)הבעיה אז היא שאני קובע שהקבוצה A תהיה מכפלה קרטזית של B וC. ונראה לי שכך קורה לכל Gc שאני מגדיר. אפשר עזרה בנוגע לאיך להתגבר על הבעיה הזאת? האם דרך החשיבה שלי נכונה או שאני צריך להיפטר לגמרי מהעניין של Gc? תודה.<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
יהיו <math>|A| = k,|B| = \lambda ,|C| = \eta</math>.<br />
לכן, בצד שמאל: <math>\{f:C \to \{g:B \to A\}\}</math>. בצד הימין: <math> \{ h:B \times C \to A\} </math>.<br />
צריך להוכיח שקיימת התאמה חח"ע ועל בין f ל- h, כך ש- <math>h(b,c)=f(c)(b)</math>.<br />
(גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה1==<br />
האם מדובר רק על קבוצות סופיות, (שהרי הפרש קבוצות לא מוגדר בקבוצות אינסופיות)?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא, לא נאמר באילו קבוצות מדובר לכן הטענה נכונה עבור גם קבוצות אינסופיות.<br />
והפרש קבוצות אינסופיות כן מוגדר, מה שלא מוגדר בקבוצות אינסופיות הוא הפרש עוצמות<br />
<br />
'''שאלה'''- אז איך ענו לי (שלוש שאלות למטה) שהפרש קבוצות אינסופיות לא מוגדר.<br />
<br />
לא יודע מי ענה לך, אבל זה לא נכון, הפרש הוא פעולה שניתן לעשות על כל הקבוצות, לדוגמה ההפרש של קבוצת המספרים הטבעיים והמספרים הזוגיים יוצא קבוצת המספרים האי-זוגיים, למה שזה לא יהיה מוגדר?<br />
:: אני חושבת ששם הוא פשוט התכוון שעוד לא למדנו את זה (למטה)..<br />
:::אני חושבת שאמרו שהפרש עוצמות אין סופיות אינו מוגדר<br />
<br />
==שאלה בפונקציות==<br />
<br />
בהוכחת התכונות של חזקות של עוצמות, המרצה כתב <math>h(f,g)-> f\cup g</math> איך מוגדר איחוד של פונקציות?<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
איחוד של התמונות של שתי הפונקציות.<br />
<br />
==שאלה 7==<br />
אפשר לקחת את <math>P(\N)</math> הפרש קבוצה ריקה ככה שזאת הקבוצה שמכילה את כל הקבוצות של הסדרות העולות?<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
כן. אך לצריך להוכיח שקבוצה זו באמת מכילה את כל הסדרות העולות.<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
אם a מוכל בb. <br />
אז a/b זה קבוצה ריקה?<br />
:כן. אבל שים לב שהפרש קבוצות לא מוגדר בקבוצות אינסופיות.<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
הפרש קבוצות מוגדר הן לקבוצות סופיות, הן לאינסופיות.<br />
כמו שכבר כתוב למטה, אין נוסחאות לעומצה של הפשר קבוצות.<br />
<br />
==שאלה על עוצמות==<br />
אם יש לי משוואה כזו: <br />
<math>\left | A \right |+1=\aleph</math><br />
זה גורר ש <math>\left | A \right |=\aleph</math> ?<br />
<br />
===תשובה===<br />
<br />
בוודאי שכן! שהרי ההגדרה של חיבור עוצמות <math>|A|+1</math> הוא לקחת קבוצה, <math>B</math>, הזרה ל-<math>A</math> בעלת עוצמה 1.<br />
ואז <math>|A|+1 \equiv |A \cup B|</math>, אם <math>|A| \ne \aleph</math> אזי שגם העוצמה של הקבוצה <math>|A \cup B| \ne \aleph</math>.<br />
כיוון ש-<math>B</math> סופית!<br />
<br />
== שאלה בקשר ל 5 א==<br />
האם צריך לפרט את האיחודים והחיתוכים של הקבוצות שבתוך העוצמות? אם כן מותר לי לומר ישירות ש B איחוד עם C משלים שווה ל C משלים או שצריך להסביר למה? אם צריך להסביר אשמח אם מישהו יוכל לעזור לי להסביר בצורה שתתקבל כחלק מהוכחה. תודה<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
כן, צריך לפרט. הטענה שלך אינה טריוויאלית וצריך להוכיח אותה. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
זה לא תמיד נכון, למשל לקבוצות סופיות, דוגמה:<br />
<math>|C|=|\mathbb{Z^-}|</math>,<math>|B|=|\mathbb{N}|</math><br />
מתקיים <math>|B|=|C|=\aleph_0</math> כמו כן מתקיים גם<math>B\cap C=\phi</math><br />
אבל במקרה הזה B איחוד C משלים לא חייב ליהיות שווה C משלים, כי זה איחוד לא זר. אבל אני לא בטוח בתשובה שלי... אז אל תסתמך...<br />
===התשובה שלך שגוייה===<br />
יש טעות בדבריך המשלים של C במקרה זה הוא כל השלמים האי שליליים (או אם אני לוקח את המשלים מתוך R אז כל המספרים שאינם שלמים ושליליים) קבוצה זו בהכרח מכילה את B ולכן האיחוד בניהן יהיה שווה לC משלים...<br />
הטענה הזו היא נכונה במאה אחוזים (א זה לא ברור אפשר לראות את זה לפי דאגרמות וון בשביל להבין את הנכונות) השאלה שלי אם אני צריך להסביר את השלב הזה... אשמח לתשובה של מתרגל<br />
<br />
==שאלה 6א'==<br />
האם אפשר להגיד שאם A מוכלת בB וA אינסופית אז יש פונקציה חח"ע מA לB?<br />
ואז בהכרח B אינסופית <br />
<כלומר B לא סופית>..<br />
הסעיף הזה די טריוויאלי, אז באיזו דרך מצפים שנוכיח אותו?<br />
:בערך כמו שאמרת, נראה לי.. (אני לא מתרגל).<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
אפשר להוכיח ע"י הוכחה בשלילה. כלומר, להניח בשלילה כי B סופית ולמצוא סתירה. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה 6ד'==<br />
אפשר להשתמש בסעיף ג' כדי להוכיח? ואם לא- מה אם B קבוצה ריקה-לא נקבל שיש רק פונקציה אחת בקבוצת הפונקציות?<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
כן. צריך להניח כי B קבוצה לא ריקה. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה על עוצמות==<br />
A|+|B|=|D|+|C| <br />
נתון העוצמה של B שווה לעוצמה של C. האם העוצמה של D שווה לעוצמה של A?<br />
לא בהכרח למשל א+1=א+2=א אבל 2לא שווה ל-1...<br />
<br />
==שאלה 3==<br />
אפשר להוכיח ע"י דוגמא? כי מבקשים להראות שקיימת, אז אם אני מראה שיש לפחות פונקציה אחת כזו זה מספיק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
אתה צריך להוכיח שלכל |A|=|B| יש פונקציה חח"ע שהיא לא על, כלומר אם אתה נותן דוגמה עבור |A|=|B| כלשהם זה לא מספיק(אלא אם כן אתה מתכוון לתת דוגמה עבור כל |A|=|B| שזה כידוע לך בלתי אפשרי...) כלומר אם ברצונך להוכיח את המשפט אתה חייב לעשות את זה באופן כללי, אבל '''להפריך''' אתה יכול בעזרת דוגמה...<br />
:: זאת את, ותודה רבה :)<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
מה העוצמה של חיבור של <math>\aleph_0</math> קבוצות כאשר כל קבוצה עוצמתה <math>\aleph</math>? (כולן זרות)<br />
זה כמו א כפול אלף אפס שווה לאלף<br />
<br />
==תכונות של חזקת עוצמות==<br />
אחד המתרגלים יכול להעלות הוכחה לכל התכונות של חזקת עוצמות?<br />
<br />
אומנם שי הוכיח את התכונות בהרצאה אך בצורה מאוד לא מפורטת...תודה!<br />
<br />
==שאלה 9ב' *עדיין צריך עזרה בבקשה*==<br />
האם מותר לי להגדיר פו' g מ-C ל-A בחזקת B (הפו' מB לA) ע"י כך ש(קראו לאט, הניסוח אולי מסובך) g(c) = Gc(b) a (הוספתי את הa כדי לתקן את הבעיות בעברית-אנגלית, הוא לא אמור להיות שם) כאשר Gc היא פו' מB לA ומוגדרת ע"י Gc(b) = b*c ? מותר לי להגדיר ככה את הפונקציות, או שאולי אסור להגדיר אותן ככה כי אז אני מניח שהקבוצה A היא קבוצת המכפלות של איברים מB ומC? תודה.<br />
<br />
==איפה נמצא תרגיל 10א?==<br />
:מה לא מספיק לך ב' ג' וד'?<br />
<br />
==שאלה 3==<br />
<br />
(האם מדובר בקבוצות אינסופיות), אם אני נותן דוג' נגדית של קבוצה סופית, האם זאת הפרכה או שצריך להראות גם בקבוצות אינסופיות<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
לא הוגדר בשום מקום את גודל הקבוצות, לכן אתה רשאי להניח כל סוגי הקבוצות בדוגמא נגדית. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
כמה פונקציות יש מקבוצה ריקה לקבוצה לא ריקה?<br />
:1 (זו [http://en.wikipedia.org/wiki/Empty_function הפונקציה הריקה]).<br />
<br />
==שאלה 6,7==<br />
בשאלה 6 א',ב' אפשר פשוט להגיד שהעוצמה של A קטנה או שווה לעוצמה של B ולכן בB צריכים ליהיות אינסוף איברים?מה זה סדרה עולה?<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
* שאלה 6: לא, צריך להראות זאת במפורש, כלומר להוכיח ש-B לא יכולה להיות קב' סופית.<br />
* שאלה 7: ראה תשובה למטה.<br />
(גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
== שאלה==<br />
האם <math><br />
|A \setminus B | = |A | - |A \cap B |<br />
</math> נכון בעבור עוצמות?<br />
<br />
מותר לי להשתמש בזה בלי לנמק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא. זה כלל לא נכון לגבי עוצמות.<br />
לא הגדרנו כלל את סימן המינוס בעוצמות (למעט עוצמות סופיות)<br />
קח לדוגמא את <math>A=\mathbb{Q}</math> ו<math>B=\mathbb{N}</math>, אז לכאורה לפי הטענה שלך,<br />
<math>|A \setminus B|=\aleph_0-\aleph_0=0</math>?[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:35, 16 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 5==<br />
מה ההגדרה של הפרש עוצמות?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא הגדרנו הפרש עוצמות. בשאלה 5 מופיעה העוצמה של הפרש קבוצות. הפרש קבוצות הגדרנו. ההפרש כשלעצמו הוא קבוצה שיש לה עוצמה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 11:13, 16 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
'''מה זה הפרש קבוצות-a\b ?'''<br />
:<math>A\setminus B=A-B=A\cap \overline B</math><br />
<br />
==שאלה 8==<br />
איך יודעים מה ההבדל בין גדולה "סתם" לגדולה "ממש"?<br />
<br />
'''תשובה:<br />
'''<br />
גדולה ממש זה גדולה ולא שווה. <math>|A|<|B|</math><br />
בתרגיל הנ"ל מבקשים קבוצה שעוצמת גדולה מעוצמת הרצף ובנוסף שלא תהיה שווה לה.<br />
<br />
==צריך להוכיח?==<br />
האם צריך להוכיח ש-<math>|A\setminus B|\le|A|</math> לכל שתי קבוצות A,B, או שזה נחשב טריוויאלי?<br />
<br />
===תשובה===<br />
זה נובע מכך ש<math>A \setminus B \subseteq A</math> ולכן זה די טריוויאלי. כעיקרון אפשר להעיר בקצרה ואין צורך ממש להוכיח את זה על מנת להשתמש בעובדה הזו אלא אם זה מה שאתם מתבקשים להוכיח. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 20:40, 15 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלות 4,6,7,8 ושאלה כללית על שאלות 1,3,5,9,10==<br />
* בשאלה 4: לא הבנתי את הרמז, מה זה <math>1/n</math>? ומהו הישר הממשי?<br />
* בשאלה 6-ד': מהי הקבוצה B? (אינסופית/סופית? האם היא יכולה להיות קבוצה ריקה?)<br />
* בשאלה 7: מהי קבוצת כל הסדרות העולות של המספרים הטבעיים?<br />
* בשאלה 8: מהי עוצמת הרצף?<br />
* שאלה כללית: העוצמות הכלליות שיש בשאלות שבתרגיל זה הן אינסופיות או סופיות (כמו העוצמות בשאלות 1,3,5,9,10)<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
* שאלה 4: הישר הממשי הוא דימוי הניתן לקבוצה <math>\R</math> שהיא קבוצת כל המספרים הממשיים. לדוגמא, ציר ה- x: <math>(-\infin,\infin)</math><br />
* שאלה 6: אם לא נתון אפיון של B, תבדוק את כל האפשרויות.<br />
* שאלה 7: סדרות של מספרים טבעיים בהן איבר ה-n-י גדול מהאיבר ה- n-1. למשל: {...,1,2,3,4,5} או {...,10,20,40,80}<br />
* שאלה 8: עוצמת הרצף היא העוצמה של המספרים הממשיים. עוצמת הרצף מסומנת באות <math>\aleph</math>.<br />
* שאלה כללית: אם לא נאמר אחרת, עוצמה יכולה להיות כלשהי.<br />
(גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==תרגיל 4 שאלה 4==<br />
מהו הישר הממשי? תודה, גל.<br />
==שאלה 5==<br />
בסעיף א', מתכוונים ל |a|-|b| = |a| - |c| במקום ל |a-b| = |a-c| לא? כי אין דבר כזה הפרש בין קבוצות (הפרש עם קו אנכי)..?<br />
:<math>A-B=A\setminus B</math> לכל שתי קבוצות A,B. אלה שני סימונים שונים להפרש קבוצות.<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
הכוונה ל- <math>|A\setminus B|=|A\setminus C|</math> (גרישה אושרוביץ')<br />
==חיתוך==<br />
אם ידוע לי ש-<math>A\setminus B=A\setminus C</math><br />
אני יכולה להסיק מזה שB=C?<br />
:לא: <math>A=\{1,2\}\and B=\{1\}\and C=\{0,1\}\implies A\setminus B=\{1,2\}\setminus\{1\}=\{2\}=\{1,2\}\setminus\{0,1\}=A\setminus C</math><br />
::התבלבלתי זה היה אמור להיות שB וC מוכלים בA.. ואז אני חושבת שזה נכון. אבל תודה :)<br />
:::אם <math>B,C\subseteq A</math> אז<br />
:::<math>\begin{align}&A\setminus B=A\setminus C\\\implies&A\cap B'=A\cap C'\\\implies&A'\cup(A\cap B')=A'\cup(A\cap C')\\\implies&(A'\cup A)\cap(A'\cup B')=(A'\cup A)\cap(A'\cup C')\\\implies&(A\cap B)'=(A\cap C)'\\\implies&A\cap B=A\cap C\\\implies&B=C\qquad\Big(\text{because }B,C\subseteq A\Big)\\\blacksquare\end{align}</math><br />
<br />
<br />
תודה! <br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4953בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-17T19:22:56Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלה שקשורה במעט ל-9 */</p>
<hr />
<div><math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - תרגיל 3<br />
<br />
=שאלות=<br />
==תרגיל 4==<br />
האם קצוות של קטע פתוח שייכים לטבעיים או לממשיים (בתרגיל זה)?<br />
<br />
ועוד דבר:<br />
הבנתי את הרמז, יצא לי שאם מסמנים b-a=t>=1\n (אורך קטע) ו-m מספר הקטעים שמוכלים בקטע סופי ושייכים לקבוצה אז ה-m המקסימלי הוא m=nt. אבל לא הבנתי איך זה עוזר לי, הרי זה לא אומר כלום! כי n יכול להיות שואף לאינסוף, אז m שואף לאינסוף, אז מה בעצם גיליתי? ולמה מתייחסים דווקא לאורך 1 חלקי n?<br />
<br />
תודה מראש!<br />
==שאלה שקשורה במעט ל-9==<br />
אם נתונה <math>t:B\rightarrow{A}</math> על, ו-<math>h:B\rightarrow{C}</math> פונקציה- האם זה בהכרח אומר שקיימת <math>g:A\rightarrow{C}</math> כך ש- <math>g\circ{t}=h</math>? אם כן, האם היא יחידה? (בכל עבור קבוצות אין סופיות) --[[משתמש:Edi.gotlieb|Edi.gotlieb]] 21:59, 17 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
עוד שאלה שגם קשורה-האם- אם <math>A\circ{C}=B\circ{C}</math> ו- <math>C</math> חח"ע, אזי: <math>A=B</math>? (אני כמעט בטוח שזה נכון אם <math>C</math> על אבל מה אם חח"ע?)<br />
<br />
==קבוצה סופית או בת מניה==<br />
אם ידוע ש-|A| קטנה או שווה לאלף 0, די ברור שמכך נובע ש-A סופית או בת מניה. האם צריך להוכיח את זה?<br />
:אי אפשר להוכיח את זה, זה ההגדרה של בת מניה!<br />
::תודה! (אני שאלתי את השאלה) ראיתי אצלי במחברת שהמרצה הגדיר קבוצה בת מניה כקבוצה שקטנה או שווה לאלף 0, וזה מה שבילבל אותי (כי בתרגיל זה אמור לצאת ש-A סופית או בת מניה) אבל המתרגל הגדיר קבוצה בת מניה כקבוצה ששווה לאלף 0. אז חיפשתי קצת בויקיפדיה וכתוב ככה: "קבוצה בת מניה היא קבוצה שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים... לעתים כוללים בהגדרה זו גם את הקבוצות הסופיות". אז פשוט ההגדרה של המרצה כללה גם את הקבוצות הסופיות. לכן באמת לפי ההגדרה הזו של בת מניה אפשר להגיד ש-A סופית או בת מניה.<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
האם מותר לי לסמן אורך של קטע אינסופי (האם ניתן בכלל לומר שיש כזה דבר אורך של קטע אינסופי) באות כלשהיא (a for example)?<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
אפשר להגיד: יהי a קרן <math>(2,\infin)</math><br />
<br />
==משפט==<br />
בתרגול הזכירו שקיים משפט כלשהוא שבעזרתו ניתן לקבוע שהעוצמה של מכפלה קרטזית N*N שווה לעוצמה של N. מה המשפט?<br />
<br />
:פשוט |NxN|=א<math>_0</math>, זה ממש המשפט.<br />
<br />
==בעיה בפתרון של שאלה 9ב'==<br />
אני צריך למצוא פונקציה שהתחום שלה הוא הפונקציות מC לפונקציות מB ל A, והטווח שלה הוא הפונקציות ממכפלה קרטזית של B וC אל A.<br />
לשם כך אני צריך להגדיר פונקציה מC לפונקציות מB ל A, נקרא לg. כדי להגדיר את g אני צריך למצוא פונקציה, נקרא לה G, מB לA.<br />
כתבתי אותה כך: g(c) = Gc(b) עכשיו צריך להגדיר את Gc(b). הבעיה שלי היא פה- כל פונקציה Gc(b) שאני מגדיר, יוצא שאני לא רשאי להגדיר אותה כך, כי אז אני כאילו מגדיר לי מה יהיה A. (אם לא הבנתם את הניסוח), למשל, אם ניסיתי להגדיר את Gc כך: Gc(b)= (b,c)הבעיה אז היא שאני קובע שהקבוצה A תהיה מכפלה קרטזית של B וC. ונראה לי שכך קורה לכל Gc שאני מגדיר. אפשר עזרה בנוגע לאיך להתגבר על הבעיה הזאת? האם דרך החשיבה שלי נכונה או שאני צריך להיפטר לגמרי מהעניין של Gc? תודה.<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
יהיו <math>|A| = k,|B| = \lambda ,|C| = \eta</math>.<br />
לכן, בצד שמאל: <math>\{f:C \to \{g:B \to A\}\}</math>. בצד הימין: <math> \{ h:B \times C \to A\} </math>.<br />
צריך להוכיח שקיימת התאמה חח"ע ועל בין f ל- h, כך ש- <math>h(b,c)=f(c)(b)</math>.<br />
(גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה1==<br />
האם מדובר רק על קבוצות סופיות, (שהרי הפרש קבוצות לא מוגדר בקבוצות אינסופיות)?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא, לא נאמר באילו קבוצות מדובר לכן הטענה נכונה עבור גם קבוצות אינסופיות.<br />
והפרש קבוצות אינסופיות כן מוגדר, מה שלא מוגדר בקבוצות אינסופיות הוא הפרש עוצמות<br />
<br />
'''שאלה'''- אז איך ענו לי (שלוש שאלות למטה) שהפרש קבוצות אינסופיות לא מוגדר.<br />
<br />
לא יודע מי ענה לך, אבל זה לא נכון, הפרש הוא פעולה שניתן לעשות על כל הקבוצות, לדוגמה ההפרש של קבוצת המספרים הטבעיים והמספרים הזוגיים יוצא קבוצת המספרים האי-זוגיים, למה שזה לא יהיה מוגדר?<br />
:: אני חושבת ששם הוא פשוט התכוון שעוד לא למדנו את זה (למטה)..<br />
:::אני חושבת שאמרו שהפרש עוצמות אין סופיות אינו מוגדר<br />
<br />
==שאלה בפונקציות==<br />
<br />
בהוכחת התכונות של חזקות של עוצמות, המרצה כתב <math>h(f,g)-> f\cup g</math> איך מוגדר איחוד של פונקציות?<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
איחוד של התמונות של שתי הפונקציות.<br />
<br />
==שאלה 7==<br />
אפשר לקחת את <math>P(\N)</math> הפרש קבוצה ריקה ככה שזאת הקבוצה שמכילה את כל הקבוצות של הסדרות העולות?<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
כן. אך לצריך להוכיח שקבוצה זו באמת מכילה את כל הסדרות העולות.<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
אם a מוכל בb. <br />
אז a/b זה קבוצה ריקה?<br />
:כן. אבל שים לב שהפרש קבוצות לא מוגדר בקבוצות אינסופיות.<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
הפרש קבוצות מוגדר הן לקבוצות סופיות, הן לאינסופיות.<br />
כמו שכבר כתוב למטה, אין נוסחאות לעומצה של הפשר קבוצות.<br />
<br />
==שאלה על עוצמות==<br />
אם יש לי משוואה כזו: <br />
<math>\left | A \right |+1=\aleph</math><br />
זה גורר ש <math>\left | A \right |=\aleph</math> ?<br />
<br />
== שאלה בקשר ל 5 א==<br />
האם צריך לפרט את האיחודים והחיתוכים של הקבוצות שבתוך העוצמות? אם כן מותר לי לומר ישירות ש B איחוד עם C משלים שווה ל C משלים או שצריך להסביר למה? אם צריך להסביר אשמח אם מישהו יוכל לעזור לי להסביר בצורה שתתקבל כחלק מהוכחה. תודה<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
כן, צריך לפרט. הטענה שלך אינה טריוויאלית וצריך להוכיח אותה. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
זה לא תמיד נכון, למשל לקבוצות סופיות, דוגמה:<br />
<math>|C|=|\mathbb{Z^-}|</math>,<math>|B|=|\mathbb{N}|</math><br />
מתקיים <math>|B|=|C|=\aleph_0</math> כמו כן מתקיים גם<math>B\cap C=\phi</math><br />
אבל במקרה הזה B איחוד C משלים לא חייב ליהיות שווה C משלים, כי זה איחוד לא זר. אבל אני לא בטוח בתשובה שלי... אז אל תסתמך...<br />
===התשובה שלך שגוייה===<br />
יש טעות בדבריך המשלים של C במקרה זה הוא כל השלמים האי שליליים (או אם אני לוקח את המשלים מתוך R אז כל המספרים שאינם שלמים ושליליים) קבוצה זו בהכרח מכילה את B ולכן האיחוד בניהן יהיה שווה לC משלים...<br />
הטענה הזו היא נכונה במאה אחוזים (א זה לא ברור אפשר לראות את זה לפי דאגרמות וון בשביל להבין את הנכונות) השאלה שלי אם אני צריך להסביר את השלב הזה... אשמח לתשובה של מתרגל<br />
<br />
==שאלה 6א'==<br />
האם אפשר להגיד שאם A מוכלת בB וA אינסופית אז יש פונקציה חח"ע מA לB?<br />
ואז בהכרח B אינסופית <br />
<כלומר B לא סופית>..<br />
הסעיף הזה די טריוויאלי, אז באיזו דרך מצפים שנוכיח אותו?<br />
:בערך כמו שאמרת, נראה לי.. (אני לא מתרגל).<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
אפשר להוכיח ע"י הוכחה בשלילה. כלומר, להניח בשלילה כי B סופית ולמצוא סתירה. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה 6ד'==<br />
אפשר להשתמש בסעיף ג' כדי להוכיח? ואם לא- מה אם B קבוצה ריקה-לא נקבל שיש רק פונקציה אחת בקבוצת הפונקציות?<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
כן. צריך להניח כי B קבוצה לא ריקה. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה על עוצמות==<br />
A|+|B|=|D|+|C| <br />
נתון העוצמה של B שווה לעוצמה של C. האם העוצמה של D שווה לעוצמה של A?<br />
לא בהכרח למשל א+1=א+2=א אבל 2לא שווה ל-1...<br />
<br />
==שאלה 3==<br />
אפשר להוכיח ע"י דוגמא? כי מבקשים להראות שקיימת, אז אם אני מראה שיש לפחות פונקציה אחת כזו זה מספיק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
אתה צריך להוכיח שלכל |A|=|B| יש פונקציה חח"ע שהיא לא על, כלומר אם אתה נותן דוגמה עבור |A|=|B| כלשהם זה לא מספיק(אלא אם כן אתה מתכוון לתת דוגמה עבור כל |A|=|B| שזה כידוע לך בלתי אפשרי...) כלומר אם ברצונך להוכיח את המשפט אתה חייב לעשות את זה באופן כללי, אבל '''להפריך''' אתה יכול בעזרת דוגמה...<br />
:: זאת את, ותודה רבה :)<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
מה העוצמה של חיבור של <math>\aleph_0</math> קבוצות כאשר כל קבוצה עוצמתה <math>\aleph</math>? (כולן זרות)<br />
זה כמו א כפול אלף אפס שווה לאלף<br />
<br />
==תכונות של חזקת עוצמות==<br />
אחד המתרגלים יכול להעלות הוכחה לכל התכונות של חזקת עוצמות?<br />
<br />
אומנם שי הוכיח את התכונות בהרצאה אך בצורה מאוד לא מפורטת...תודה!<br />
<br />
==שאלה 9ב' *עדיין צריך עזרה בבקשה*==<br />
האם מותר לי להגדיר פו' g מ-C ל-A בחזקת B (הפו' מB לA) ע"י כך ש(קראו לאט, הניסוח אולי מסובך) g(c) = Gc(b) a (הוספתי את הa כדי לתקן את הבעיות בעברית-אנגלית, הוא לא אמור להיות שם) כאשר Gc היא פו' מB לA ומוגדרת ע"י Gc(b) = b*c ? מותר לי להגדיר ככה את הפונקציות, או שאולי אסור להגדיר אותן ככה כי אז אני מניח שהקבוצה A היא קבוצת המכפלות של איברים מB ומC? תודה.<br />
<br />
==איפה נמצא תרגיל 10א?==<br />
:מה לא מספיק לך ב' ג' וד'?<br />
<br />
==שאלה 3==<br />
<br />
(האם מדובר בקבוצות אינסופיות), אם אני נותן דוג' נגדית של קבוצה סופית, האם זאת הפרכה או שצריך להראות גם בקבוצות אינסופיות<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
לא הוגדר בשום מקום את גודל הקבוצות, לכן אתה רשאי להניח כל סוגי הקבוצות בדוגמא נגדית. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
כמה פונקציות יש מקבוצה ריקה לקבוצה לא ריקה?<br />
:1 (זו [http://en.wikipedia.org/wiki/Empty_function הפונקציה הריקה]).<br />
<br />
==שאלה 6,7==<br />
בשאלה 6 א',ב' אפשר פשוט להגיד שהעוצמה של A קטנה או שווה לעוצמה של B ולכן בB צריכים ליהיות אינסוף איברים?מה זה סדרה עולה?<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
* שאלה 6: לא, צריך להראות זאת במפורש, כלומר להוכיח ש-B לא יכולה להיות קב' סופית.<br />
* שאלה 7: ראה תשובה למטה.<br />
(גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
== שאלה==<br />
האם <math><br />
|A \setminus B | = |A | - |A \cap B |<br />
</math> נכון בעבור עוצמות?<br />
<br />
מותר לי להשתמש בזה בלי לנמק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא. זה כלל לא נכון לגבי עוצמות.<br />
לא הגדרנו כלל את סימן המינוס בעוצמות (למעט עוצמות סופיות)<br />
קח לדוגמא את <math>A=\mathbb{Q}</math> ו<math>B=\mathbb{N}</math>, אז לכאורה לפי הטענה שלך,<br />
<math>|A \setminus B|=\aleph_0-\aleph_0=0</math>?[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:35, 16 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 5==<br />
מה ההגדרה של הפרש עוצמות?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא הגדרנו הפרש עוצמות. בשאלה 5 מופיעה העוצמה של הפרש קבוצות. הפרש קבוצות הגדרנו. ההפרש כשלעצמו הוא קבוצה שיש לה עוצמה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 11:13, 16 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
'''מה זה הפרש קבוצות-a\b ?'''<br />
:<math>A\setminus B=A-B=A\cap \overline B</math><br />
<br />
==שאלה 8==<br />
איך יודעים מה ההבדל בין גדולה "סתם" לגדולה "ממש"?<br />
<br />
'''תשובה:<br />
'''<br />
גדולה ממש זה גדולה ולא שווה. <math>|A|<|B|</math><br />
בתרגיל הנ"ל מבקשים קבוצה שעוצמת גדולה מעוצמת הרצף ובנוסף שלא תהיה שווה לה.<br />
<br />
==צריך להוכיח?==<br />
האם צריך להוכיח ש-<math>|A\setminus B|\le|A|</math> לכל שתי קבוצות A,B, או שזה נחשב טריוויאלי?<br />
<br />
===תשובה===<br />
זה נובע מכך ש<math>A \setminus B \subseteq A</math> ולכן זה די טריוויאלי. כעיקרון אפשר להעיר בקצרה ואין צורך ממש להוכיח את זה על מנת להשתמש בעובדה הזו אלא אם זה מה שאתם מתבקשים להוכיח. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 20:40, 15 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלות 4,6,7,8 ושאלה כללית על שאלות 1,3,5,9,10==<br />
* בשאלה 4: לא הבנתי את הרמז, מה זה <math>1/n</math>? ומהו הישר הממשי?<br />
* בשאלה 6-ד': מהי הקבוצה B? (אינסופית/סופית? האם היא יכולה להיות קבוצה ריקה?)<br />
* בשאלה 7: מהי קבוצת כל הסדרות העולות של המספרים הטבעיים?<br />
* בשאלה 8: מהי עוצמת הרצף?<br />
* שאלה כללית: העוצמות הכלליות שיש בשאלות שבתרגיל זה הן אינסופיות או סופיות (כמו העוצמות בשאלות 1,3,5,9,10)<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
* שאלה 4: הישר הממשי הוא דימוי הניתן לקבוצה <math>\R</math> שהיא קבוצת כל המספרים הממשיים. לדוגמא, ציר ה- x: <math>(-\infin,\infin)</math><br />
* שאלה 6: אם לא נתון אפיון של B, תבדוק את כל האפשרויות.<br />
* שאלה 7: סדרות של מספרים טבעיים בהן איבר ה-n-י גדול מהאיבר ה- n-1. למשל: {...,1,2,3,4,5} או {...,10,20,40,80}<br />
* שאלה 8: עוצמת הרצף היא העוצמה של המספרים הממשיים. עוצמת הרצף מסומנת באות <math>\aleph</math>.<br />
* שאלה כללית: אם לא נאמר אחרת, עוצמה יכולה להיות כלשהי.<br />
(גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==תרגיל 4 שאלה 4==<br />
מהו הישר הממשי? תודה, גל.<br />
==שאלה 5==<br />
בסעיף א', מתכוונים ל |a|-|b| = |a| - |c| במקום ל |a-b| = |a-c| לא? כי אין דבר כזה הפרש בין קבוצות (הפרש עם קו אנכי)..?<br />
:<math>A-B=A\setminus B</math> לכל שתי קבוצות A,B. אלה שני סימונים שונים להפרש קבוצות.<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
הכוונה ל- <math>|A\setminus B|=|A\setminus C|</math> (גרישה אושרוביץ')<br />
==חיתוך==<br />
אם ידוע לי ש-<math>A\setminus B=A\setminus C</math><br />
אני יכולה להסיק מזה שB=C?<br />
:לא: <math>A=\{1,2\}\and B=\{1\}\and C=\{0,1\}\implies A\setminus B=\{1,2\}\setminus\{1\}=\{2\}=\{1,2\}\setminus\{0,1\}=A\setminus C</math><br />
::התבלבלתי זה היה אמור להיות שB וC מוכלים בA.. ואז אני חושבת שזה נכון. אבל תודה :)<br />
:::אם <math>B,C\subseteq A</math> אז<br />
:::<math>\begin{align}&A\setminus B=A\setminus C\\\implies&A\cap B'=A\cap C'\\\implies&A'\cup(A\cap B')=A'\cup(A\cap C')\\\implies&(A'\cup A)\cap(A'\cup B')=(A'\cup A)\cap(A'\cup C')\\\implies&(A\cap B)'=(A\cap C)'\\\implies&A\cap B=A\cap C\\\implies&B=C\qquad\Big(\text{because }B,C\subseteq A\Big)\\\blacksquare\end{align}</math><br />
<br />
<br />
תודה! <br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4952בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-17T19:21:41Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלה שקשורה במעט ל-9 */</p>
<hr />
<div><math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - תרגיל 3<br />
<br />
=שאלות=<br />
==תרגיל 4==<br />
האם קצוות של קטע פתוח שייכים לטבעיים או לממשיים (בתרגיל זה)?<br />
<br />
ועוד דבר:<br />
הבנתי את הרמז, יצא לי שאם מסמנים b-a=t>=1\n (אורך קטע) ו-m מספר הקטעים שמוכלים בקטע סופי ושייכים לקבוצה אז ה-m המקסימלי הוא m=nt. אבל לא הבנתי איך זה עוזר לי, הרי זה לא אומר כלום! כי n יכול להיות שואף לאינסוף, אז m שואף לאינסוף, אז מה בעצם גיליתי? ולמה מתייחסים דווקא לאורך 1 חלקי n?<br />
<br />
תודה מראש!<br />
==שאלה שקשורה במעט ל-9==<br />
אם נתונה <math>t:B\rightarrow{A}</math> על, ו-<math>h:B\rightarrow{C}</math> פונקציה- האם זה בהכרח אומר שקיימת <math>g:A\rightarrow{C}</math> כך ש- <math>g\circ{t}=h</math>? אם כן, האם היא יחידה? (בכל עבור קבוצות אין סופיות) --[[משתמש:Edi.gotlieb|Edi.gotlieb]] 21:59, 17 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
עוד שאלה שגם קשורה-האם- אם <math>A\circ{C}=B\circ{C}</math> ו- <math>C</math> על, אזי: <math>A=B</math>?<br />
<br />
==קבוצה סופית או בת מניה==<br />
אם ידוע ש-|A| קטנה או שווה לאלף 0, די ברור שמכך נובע ש-A סופית או בת מניה. האם צריך להוכיח את זה?<br />
:אי אפשר להוכיח את זה, זה ההגדרה של בת מניה!<br />
::תודה! (אני שאלתי את השאלה) ראיתי אצלי במחברת שהמרצה הגדיר קבוצה בת מניה כקבוצה שקטנה או שווה לאלף 0, וזה מה שבילבל אותי (כי בתרגיל זה אמור לצאת ש-A סופית או בת מניה) אבל המתרגל הגדיר קבוצה בת מניה כקבוצה ששווה לאלף 0. אז חיפשתי קצת בויקיפדיה וכתוב ככה: "קבוצה בת מניה היא קבוצה שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים... לעתים כוללים בהגדרה זו גם את הקבוצות הסופיות". אז פשוט ההגדרה של המרצה כללה גם את הקבוצות הסופיות. לכן באמת לפי ההגדרה הזו של בת מניה אפשר להגיד ש-A סופית או בת מניה.<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
האם מותר לי לסמן אורך של קטע אינסופי (האם ניתן בכלל לומר שיש כזה דבר אורך של קטע אינסופי) באות כלשהיא (a for example)?<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
אפשר להגיד: יהי a קרן <math>(2,\infin)</math><br />
<br />
==משפט==<br />
בתרגול הזכירו שקיים משפט כלשהוא שבעזרתו ניתן לקבוע שהעוצמה של מכפלה קרטזית N*N שווה לעוצמה של N. מה המשפט?<br />
<br />
:פשוט |NxN|=א<math>_0</math>, זה ממש המשפט.<br />
<br />
==בעיה בפתרון של שאלה 9ב'==<br />
אני צריך למצוא פונקציה שהתחום שלה הוא הפונקציות מC לפונקציות מB ל A, והטווח שלה הוא הפונקציות ממכפלה קרטזית של B וC אל A.<br />
לשם כך אני צריך להגדיר פונקציה מC לפונקציות מB ל A, נקרא לg. כדי להגדיר את g אני צריך למצוא פונקציה, נקרא לה G, מB לA.<br />
כתבתי אותה כך: g(c) = Gc(b) עכשיו צריך להגדיר את Gc(b). הבעיה שלי היא פה- כל פונקציה Gc(b) שאני מגדיר, יוצא שאני לא רשאי להגדיר אותה כך, כי אז אני כאילו מגדיר לי מה יהיה A. (אם לא הבנתם את הניסוח), למשל, אם ניסיתי להגדיר את Gc כך: Gc(b)= (b,c)הבעיה אז היא שאני קובע שהקבוצה A תהיה מכפלה קרטזית של B וC. ונראה לי שכך קורה לכל Gc שאני מגדיר. אפשר עזרה בנוגע לאיך להתגבר על הבעיה הזאת? האם דרך החשיבה שלי נכונה או שאני צריך להיפטר לגמרי מהעניין של Gc? תודה.<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
יהיו <math>|A| = k,|B| = \lambda ,|C| = \eta</math>.<br />
לכן, בצד שמאל: <math>\{f:C \to \{g:B \to A\}\}</math>. בצד הימין: <math> \{ h:B \times C \to A\} </math>.<br />
צריך להוכיח שקיימת התאמה חח"ע ועל בין f ל- h, כך ש- <math>h(b,c)=f(c)(b)</math>.<br />
(גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה1==<br />
האם מדובר רק על קבוצות סופיות, (שהרי הפרש קבוצות לא מוגדר בקבוצות אינסופיות)?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא, לא נאמר באילו קבוצות מדובר לכן הטענה נכונה עבור גם קבוצות אינסופיות.<br />
והפרש קבוצות אינסופיות כן מוגדר, מה שלא מוגדר בקבוצות אינסופיות הוא הפרש עוצמות<br />
<br />
'''שאלה'''- אז איך ענו לי (שלוש שאלות למטה) שהפרש קבוצות אינסופיות לא מוגדר.<br />
<br />
לא יודע מי ענה לך, אבל זה לא נכון, הפרש הוא פעולה שניתן לעשות על כל הקבוצות, לדוגמה ההפרש של קבוצת המספרים הטבעיים והמספרים הזוגיים יוצא קבוצת המספרים האי-זוגיים, למה שזה לא יהיה מוגדר?<br />
:: אני חושבת ששם הוא פשוט התכוון שעוד לא למדנו את זה (למטה)..<br />
:::אני חושבת שאמרו שהפרש עוצמות אין סופיות אינו מוגדר<br />
<br />
==שאלה בפונקציות==<br />
<br />
בהוכחת התכונות של חזקות של עוצמות, המרצה כתב <math>h(f,g)-> f\cup g</math> איך מוגדר איחוד של פונקציות?<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
איחוד של התמונות של שתי הפונקציות.<br />
<br />
==שאלה 7==<br />
אפשר לקחת את <math>P(\N)</math> הפרש קבוצה ריקה ככה שזאת הקבוצה שמכילה את כל הקבוצות של הסדרות העולות?<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
כן. אך לצריך להוכיח שקבוצה זו באמת מכילה את כל הסדרות העולות.<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
אם a מוכל בb. <br />
אז a/b זה קבוצה ריקה?<br />
:כן. אבל שים לב שהפרש קבוצות לא מוגדר בקבוצות אינסופיות.<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
הפרש קבוצות מוגדר הן לקבוצות סופיות, הן לאינסופיות.<br />
כמו שכבר כתוב למטה, אין נוסחאות לעומצה של הפשר קבוצות.<br />
<br />
==שאלה על עוצמות==<br />
אם יש לי משוואה כזו: <br />
<math>\left | A \right |+1=\aleph</math><br />
זה גורר ש <math>\left | A \right |=\aleph</math> ?<br />
<br />
== שאלה בקשר ל 5 א==<br />
האם צריך לפרט את האיחודים והחיתוכים של הקבוצות שבתוך העוצמות? אם כן מותר לי לומר ישירות ש B איחוד עם C משלים שווה ל C משלים או שצריך להסביר למה? אם צריך להסביר אשמח אם מישהו יוכל לעזור לי להסביר בצורה שתתקבל כחלק מהוכחה. תודה<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
כן, צריך לפרט. הטענה שלך אינה טריוויאלית וצריך להוכיח אותה. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
זה לא תמיד נכון, למשל לקבוצות סופיות, דוגמה:<br />
<math>|C|=|\mathbb{Z^-}|</math>,<math>|B|=|\mathbb{N}|</math><br />
מתקיים <math>|B|=|C|=\aleph_0</math> כמו כן מתקיים גם<math>B\cap C=\phi</math><br />
אבל במקרה הזה B איחוד C משלים לא חייב ליהיות שווה C משלים, כי זה איחוד לא זר. אבל אני לא בטוח בתשובה שלי... אז אל תסתמך...<br />
===התשובה שלך שגוייה===<br />
יש טעות בדבריך המשלים של C במקרה זה הוא כל השלמים האי שליליים (או אם אני לוקח את המשלים מתוך R אז כל המספרים שאינם שלמים ושליליים) קבוצה זו בהכרח מכילה את B ולכן האיחוד בניהן יהיה שווה לC משלים...<br />
הטענה הזו היא נכונה במאה אחוזים (א זה לא ברור אפשר לראות את זה לפי דאגרמות וון בשביל להבין את הנכונות) השאלה שלי אם אני צריך להסביר את השלב הזה... אשמח לתשובה של מתרגל<br />
<br />
==שאלה 6א'==<br />
האם אפשר להגיד שאם A מוכלת בB וA אינסופית אז יש פונקציה חח"ע מA לB?<br />
ואז בהכרח B אינסופית <br />
<כלומר B לא סופית>..<br />
הסעיף הזה די טריוויאלי, אז באיזו דרך מצפים שנוכיח אותו?<br />
:בערך כמו שאמרת, נראה לי.. (אני לא מתרגל).<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
אפשר להוכיח ע"י הוכחה בשלילה. כלומר, להניח בשלילה כי B סופית ולמצוא סתירה. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה 6ד'==<br />
אפשר להשתמש בסעיף ג' כדי להוכיח? ואם לא- מה אם B קבוצה ריקה-לא נקבל שיש רק פונקציה אחת בקבוצת הפונקציות?<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
כן. צריך להניח כי B קבוצה לא ריקה. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה על עוצמות==<br />
A|+|B|=|D|+|C| <br />
נתון העוצמה של B שווה לעוצמה של C. האם העוצמה של D שווה לעוצמה של A?<br />
לא בהכרח למשל א+1=א+2=א אבל 2לא שווה ל-1...<br />
<br />
==שאלה 3==<br />
אפשר להוכיח ע"י דוגמא? כי מבקשים להראות שקיימת, אז אם אני מראה שיש לפחות פונקציה אחת כזו זה מספיק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
אתה צריך להוכיח שלכל |A|=|B| יש פונקציה חח"ע שהיא לא על, כלומר אם אתה נותן דוגמה עבור |A|=|B| כלשהם זה לא מספיק(אלא אם כן אתה מתכוון לתת דוגמה עבור כל |A|=|B| שזה כידוע לך בלתי אפשרי...) כלומר אם ברצונך להוכיח את המשפט אתה חייב לעשות את זה באופן כללי, אבל '''להפריך''' אתה יכול בעזרת דוגמה...<br />
:: זאת את, ותודה רבה :)<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
מה העוצמה של חיבור של <math>\aleph_0</math> קבוצות כאשר כל קבוצה עוצמתה <math>\aleph</math>? (כולן זרות)<br />
זה כמו א כפול אלף אפס שווה לאלף<br />
<br />
==תכונות של חזקת עוצמות==<br />
אחד המתרגלים יכול להעלות הוכחה לכל התכונות של חזקת עוצמות?<br />
<br />
אומנם שי הוכיח את התכונות בהרצאה אך בצורה מאוד לא מפורטת...תודה!<br />
<br />
==שאלה 9ב' *עדיין צריך עזרה בבקשה*==<br />
האם מותר לי להגדיר פו' g מ-C ל-A בחזקת B (הפו' מB לA) ע"י כך ש(קראו לאט, הניסוח אולי מסובך) g(c) = Gc(b) a (הוספתי את הa כדי לתקן את הבעיות בעברית-אנגלית, הוא לא אמור להיות שם) כאשר Gc היא פו' מB לA ומוגדרת ע"י Gc(b) = b*c ? מותר לי להגדיר ככה את הפונקציות, או שאולי אסור להגדיר אותן ככה כי אז אני מניח שהקבוצה A היא קבוצת המכפלות של איברים מB ומC? תודה.<br />
<br />
==איפה נמצא תרגיל 10א?==<br />
:מה לא מספיק לך ב' ג' וד'?<br />
<br />
==שאלה 3==<br />
<br />
(האם מדובר בקבוצות אינסופיות), אם אני נותן דוג' נגדית של קבוצה סופית, האם זאת הפרכה או שצריך להראות גם בקבוצות אינסופיות<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
לא הוגדר בשום מקום את גודל הקבוצות, לכן אתה רשאי להניח כל סוגי הקבוצות בדוגמא נגדית. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
כמה פונקציות יש מקבוצה ריקה לקבוצה לא ריקה?<br />
:1 (זו [http://en.wikipedia.org/wiki/Empty_function הפונקציה הריקה]).<br />
<br />
==שאלה 6,7==<br />
בשאלה 6 א',ב' אפשר פשוט להגיד שהעוצמה של A קטנה או שווה לעוצמה של B ולכן בB צריכים ליהיות אינסוף איברים?מה זה סדרה עולה?<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
* שאלה 6: לא, צריך להראות זאת במפורש, כלומר להוכיח ש-B לא יכולה להיות קב' סופית.<br />
* שאלה 7: ראה תשובה למטה.<br />
(גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
== שאלה==<br />
האם <math><br />
|A \setminus B | = |A | - |A \cap B |<br />
</math> נכון בעבור עוצמות?<br />
<br />
מותר לי להשתמש בזה בלי לנמק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא. זה כלל לא נכון לגבי עוצמות.<br />
לא הגדרנו כלל את סימן המינוס בעוצמות (למעט עוצמות סופיות)<br />
קח לדוגמא את <math>A=\mathbb{Q}</math> ו<math>B=\mathbb{N}</math>, אז לכאורה לפי הטענה שלך,<br />
<math>|A \setminus B|=\aleph_0-\aleph_0=0</math>?[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:35, 16 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 5==<br />
מה ההגדרה של הפרש עוצמות?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא הגדרנו הפרש עוצמות. בשאלה 5 מופיעה העוצמה של הפרש קבוצות. הפרש קבוצות הגדרנו. ההפרש כשלעצמו הוא קבוצה שיש לה עוצמה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 11:13, 16 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
'''מה זה הפרש קבוצות-a\b ?'''<br />
:<math>A\setminus B=A-B=A\cap \overline B</math><br />
<br />
==שאלה 8==<br />
איך יודעים מה ההבדל בין גדולה "סתם" לגדולה "ממש"?<br />
<br />
'''תשובה:<br />
'''<br />
גדולה ממש זה גדולה ולא שווה. <math>|A|<|B|</math><br />
בתרגיל הנ"ל מבקשים קבוצה שעוצמת גדולה מעוצמת הרצף ובנוסף שלא תהיה שווה לה.<br />
<br />
==צריך להוכיח?==<br />
האם צריך להוכיח ש-<math>|A\setminus B|\le|A|</math> לכל שתי קבוצות A,B, או שזה נחשב טריוויאלי?<br />
<br />
===תשובה===<br />
זה נובע מכך ש<math>A \setminus B \subseteq A</math> ולכן זה די טריוויאלי. כעיקרון אפשר להעיר בקצרה ואין צורך ממש להוכיח את זה על מנת להשתמש בעובדה הזו אלא אם זה מה שאתם מתבקשים להוכיח. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 20:40, 15 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלות 4,6,7,8 ושאלה כללית על שאלות 1,3,5,9,10==<br />
* בשאלה 4: לא הבנתי את הרמז, מה זה <math>1/n</math>? ומהו הישר הממשי?<br />
* בשאלה 6-ד': מהי הקבוצה B? (אינסופית/סופית? האם היא יכולה להיות קבוצה ריקה?)<br />
* בשאלה 7: מהי קבוצת כל הסדרות העולות של המספרים הטבעיים?<br />
* בשאלה 8: מהי עוצמת הרצף?<br />
* שאלה כללית: העוצמות הכלליות שיש בשאלות שבתרגיל זה הן אינסופיות או סופיות (כמו העוצמות בשאלות 1,3,5,9,10)<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
* שאלה 4: הישר הממשי הוא דימוי הניתן לקבוצה <math>\R</math> שהיא קבוצת כל המספרים הממשיים. לדוגמא, ציר ה- x: <math>(-\infin,\infin)</math><br />
* שאלה 6: אם לא נתון אפיון של B, תבדוק את כל האפשרויות.<br />
* שאלה 7: סדרות של מספרים טבעיים בהן איבר ה-n-י גדול מהאיבר ה- n-1. למשל: {...,1,2,3,4,5} או {...,10,20,40,80}<br />
* שאלה 8: עוצמת הרצף היא העוצמה של המספרים הממשיים. עוצמת הרצף מסומנת באות <math>\aleph</math>.<br />
* שאלה כללית: אם לא נאמר אחרת, עוצמה יכולה להיות כלשהי.<br />
(גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==תרגיל 4 שאלה 4==<br />
מהו הישר הממשי? תודה, גל.<br />
==שאלה 5==<br />
בסעיף א', מתכוונים ל |a|-|b| = |a| - |c| במקום ל |a-b| = |a-c| לא? כי אין דבר כזה הפרש בין קבוצות (הפרש עם קו אנכי)..?<br />
:<math>A-B=A\setminus B</math> לכל שתי קבוצות A,B. אלה שני סימונים שונים להפרש קבוצות.<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
הכוונה ל- <math>|A\setminus B|=|A\setminus C|</math> (גרישה אושרוביץ')<br />
==חיתוך==<br />
אם ידוע לי ש-<math>A\setminus B=A\setminus C</math><br />
אני יכולה להסיק מזה שB=C?<br />
:לא: <math>A=\{1,2\}\and B=\{1\}\and C=\{0,1\}\implies A\setminus B=\{1,2\}\setminus\{1\}=\{2\}=\{1,2\}\setminus\{0,1\}=A\setminus C</math><br />
::התבלבלתי זה היה אמור להיות שB וC מוכלים בA.. ואז אני חושבת שזה נכון. אבל תודה :)<br />
:::אם <math>B,C\subseteq A</math> אז<br />
:::<math>\begin{align}&A\setminus B=A\setminus C\\\implies&A\cap B'=A\cap C'\\\implies&A'\cup(A\cap B')=A'\cup(A\cap C')\\\implies&(A'\cup A)\cap(A'\cup B')=(A'\cup A)\cap(A'\cup C')\\\implies&(A\cap B)'=(A\cap C)'\\\implies&A\cap B=A\cap C\\\implies&B=C\qquad\Big(\text{because }B,C\subseteq A\Big)\\\blacksquare\end{align}</math><br />
<br />
<br />
תודה! <br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4949בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-17T19:00:30Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלה שקשורה במעט ל-9 */</p>
<hr />
<div><math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - תרגיל 3<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
==שאלה שקשורה במעט ל-9==<br />
אם נתונה <math>t:B\rightarrow{A}</math> על, ו-<math>h:B\rightarrow{C}</math> פונקציה- האם זה בהכרח אומר שקיימת <math>g:A\rightarrow{C}</math> כך ש- <math>g\circ{t}=h</math>? אם כן, האם היא יחידה? (בכל עבור קבוצות אין סופיות) --[[משתמש:Edi.gotlieb|Edi.gotlieb]] 21:59, 17 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==קבוצה סופית או בת מניה==<br />
אם ידוע ש-|A| קטנה או שווה לאלף 0, די ברור שמכך נובע ש-A סופית או בת מניה. האם צריך להוכיח את זה?<br />
:אי אפשר להוכיח את זה, זה ההגדרה של בת מניה!<br />
::תודה! (אני שאלתי את השאלה) ראיתי אצלי במחברת שהמרצה הגדיר קבוצה בת מניה כקבוצה שקטנה או שווה לאלף 0, וזה מה שבילבל אותי (כי בתרגיל זה אמור לצאת ש-A סופית או בת מניה) אבל המתרגל הגדיר קבוצה בת מניה כקבוצה ששווה לאלף 0. אז חיפשתי קצת בויקיפדיה וכתוב ככה: "קבוצה בת מניה היא קבוצה שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים... לעתים כוללים בהגדרה זו גם את הקבוצות הסופיות". אז פשוט ההגדרה של המרצה כללה גם את הקבוצות הסופיות. לכן באמת לפי ההגדרה הזו של בת מניה אפשר להגיד ש-A סופית או בת מניה.<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
האם מותר לי לסמן אורך של קטע אינסופי (האם ניתן בכלל לומר שיש כזה דבר אורך של קטע אינסופי) באות כלשהיא (a for example)?<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
אפשר להגיד: יהי a קרן <math>(2,\infin)</math><br />
<br />
==משפט==<br />
בתרגול הזכירו שקיים משפט כלשהוא שבעזרתו ניתן לקבוע שהעוצמה של מכפלה קרטזית N*N שווה לעוצמה של N. מה המשפט?<br />
<br />
:פשוט |NxN|=א<math>_0</math>, זה ממש המשפט.<br />
<br />
==בעיה בפתרון של שאלה 9ב'==<br />
אני צריך למצוא פונקציה שהתחום שלה הוא הפונקציות מC לפונקציות מB ל A, והטווח שלה הוא הפונקציות ממכפלה קרטזית של B וC אל A.<br />
לשם כך אני צריך להגדיר פונקציה מC לפונקציות מB ל A, נקרא לg. כדי להגדיר את g אני צריך למצוא פונקציה, נקרא לה G, מB לA.<br />
כתבתי אותה כך: g(c) = Gc(b) עכשיו צריך להגדיר את Gc(b). הבעיה שלי היא פה- כל פונקציה Gc(b) שאני מגדיר, יוצא שאני לא רשאי להגדיר אותה כך, כי אז אני כאילו מגדיר לי מה יהיה A. (אם לא הבנתם את הניסוח), למשל, אם ניסיתי להגדיר את Gc כך: Gc(b)= (b,c)הבעיה אז היא שאני קובע שהקבוצה A תהיה מכפלה קרטזית של B וC. ונראה לי שכך קורה לכל Gc שאני מגדיר. אפשר עזרה בנוגע לאיך להתגבר על הבעיה הזאת? האם דרך החשיבה שלי נכונה או שאני צריך להיפטר לגמרי מהעניין של Gc? תודה.<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
יהיו <math>|A| = k,|B| = \lambda ,|C| = \eta</math>.<br />
לכן, בצד שמאל: <math>\{f:C \to \{g:B \to A\}\}</math>. בצד הימין: <math> \{ h:B \times C \to A\} </math>.<br />
צריך להוכיח שקיימת התאמה חח"ע ועל בין f ל- h, כך ש- <math>h(b,c)=f(c)(b)</math>.<br />
(גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה1==<br />
האם מדובר רק על קבוצות סופיות, (שהרי הפרש קבוצות לא מוגדר בקבוצות אינסופיות)?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא, לא נאמר באילו קבוצות מדובר לכן הטענה נכונה עבור גם קבוצות אינסופיות.<br />
והפרש קבוצות אינסופיות כן מוגדר, מה שלא מוגדר בקבוצות אינסופיות הוא הפרש עוצמות<br />
<br />
'''שאלה'''- אז איך ענו לי (שלוש שאלות למטה) שהפרש קבוצות אינסופיות לא מוגדר.<br />
<br />
לא יודע מי ענה לך, אבל זה לא נכון, הפרש הוא פעולה שניתן לעשות על כל הקבוצות, לדוגמה ההפרש של קבוצת המספרים הטבעיים והמספרים הזוגיים יוצא קבוצת המספרים האי-זוגיים, למה שזה לא יהיה מוגדר?<br />
:: אני חושבת ששם הוא פשוט התכוון שעוד לא למדנו את זה (למטה)..<br />
<br />
==שאלה בפונקציות==<br />
<br />
בהוכחת התכונות של חזקות של עוצמות, המרצה כתב <math>h(f,g)-> f\cup g</math> איך מוגדר איחוד של פונקציות?<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
איחוד של התמונות של שתי הפונקציות.<br />
<br />
==שאלה 7==<br />
אפשר לקחת את <math>P(\N)</math> הפרש קבוצה ריקה ככה שזאת הקבוצה שמכילה את כל הקבוצות של הסדרות העולות?<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
כן. אך לצריך להוכיח שקבוצה זו באמת מכילה את כל הסדרות העולות.<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
אם a מוכל בb. <br />
אז a/b זה קבוצה ריקה?<br />
:כן. אבל שים לב שהפרש קבוצות לא מוגדר בקבוצות אינסופיות.<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
הפרש קבוצות מוגדר הן לקבוצות סופיות, הן לאינסופיות.<br />
כמו שכבר כתוב למטה, אין נוסחאות לעומצה של הפשר קבוצות.<br />
<br />
==שאלה על עוצמות==<br />
אם יש לי משוואה כזו: <br />
<math>\left | A \right |+1=\aleph</math><br />
זה גורר ש <math>\left | A \right |=\aleph</math> ?<br />
<br />
== שאלה בקשר ל 5 א==<br />
האם צריך לפרט את האיחודים והחיתוכים של הקבוצות שבתוך העוצמות? אם כן מותר לי לומר ישירות ש B איחוד עם C משלים שווה ל C משלים או שצריך להסביר למה? אם צריך להסביר אשמח אם מישהו יוכל לעזור לי להסביר בצורה שתתקבל כחלק מהוכחה. תודה<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
כן, צריך לפרט. הטענה שלך אינה טריוויאלית וצריך להוכיח אותה. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
זה לא תמיד נכון, למשל לקבוצות סופיות, דוגמה:<br />
<math>|C|=|\mathbb{Z^-}|</math>,<math>|B|=|\mathbb{N}|</math><br />
מתקיים <math>|B|=|C|=\aleph_0</math> כמו כן מתקיים גם<math>B\cap C=\phi</math><br />
אבל במקרה הזה B איחוד C משלים לא חייב ליהיות שווה C משלים, כי זה איחוד לא זר. אבל אני לא בטוח בתשובה שלי... אז אל תסתמך...<br />
===התשובה שלך שגוייה===<br />
יש טעות בדבריך המשלים של C במקרה זה הוא כל השלמים האי שליליים (או אם אני לוקח את המשלים מתוך R אז כל המספרים שאינם שלמים ושליליים) קבוצה זו בהכרח מכילה את B ולכן האיחוד בניהן יהיה שווה לC משלים...<br />
הטענה הזו היא נכונה במאה אחוזים (א זה לא ברור אפשר לראות את זה לפי דאגרמות וון בשביל להבין את הנכונות) השאלה שלי אם אני צריך להסביר את השלב הזה... אשמח לתשובה של מתרגל<br />
<br />
==שאלה 6א'==<br />
האם אפשר להגיד שאם A מוכלת בB וA אינסופית אז יש פונקציה חח"ע מA לB?<br />
ואז בהכרח B אינסופית <br />
<כלומר B לא סופית>..<br />
הסעיף הזה די טריוויאלי, אז באיזו דרך מצפים שנוכיח אותו?<br />
:בערך כמו שאמרת, נראה לי.. (אני לא מתרגל).<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
אפשר להוכיח ע"י הוכחה בשלילה. כלומר, להניח בשלילה כי B סופית ולמצוא סתירה. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה 6ד'==<br />
אפשר להשתמש בסעיף ג' כדי להוכיח? ואם לא- מה אם B קבוצה ריקה-לא נקבל שיש רק פונקציה אחת בקבוצת הפונקציות?<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
כן. צריך להניח כי B קבוצה לא ריקה. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה על עוצמות==<br />
A|+|B|=|D|+|C| <br />
נתון העוצמה של B שווה לעוצמה של C. האם העוצמה של D שווה לעוצמה של A?<br />
לא בהכרח למשל א+1=א+2=א אבל 2לא שווה ל-1...<br />
<br />
==שאלה 3==<br />
אפשר להוכיח ע"י דוגמא? כי מבקשים להראות שקיימת, אז אם אני מראה שיש לפחות פונקציה אחת כזו זה מספיק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
אתה צריך להוכיח שלכל |A|=|B| יש פונקציה חח"ע שהיא לא על, כלומר אם אתה נותן דוגמה עבור |A|=|B| כלשהם זה לא מספיק(אלא אם כן אתה מתכוון לתת דוגמה עבור כל |A|=|B| שזה כידוע לך בלתי אפשרי...) כלומר אם ברצונך להוכיח את המשפט אתה חייב לעשות את זה באופן כללי, אבל '''להפריך''' אתה יכול בעזרת דוגמה...<br />
:: זאת את, ותודה רבה :)<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
מה העוצמה של חיבור של <math>\aleph_0</math> קבוצות כאשר כל קבוצה עוצמתה <math>\aleph</math>? (כולן זרות)<br />
זה כמו א כפול אלף אפס שווה לאלף<br />
<br />
==תכונות של חזקת עוצמות==<br />
אחד המתרגלים יכול להעלות הוכחה לכל התכונות של חזקת עוצמות?<br />
<br />
אומנם שי הוכיח את התכונות בהרצאה אך בצורה מאוד לא מפורטת...תודה!<br />
<br />
==שאלה 9ב' *עדיין צריך עזרה בבקשה*==<br />
האם מותר לי להגדיר פו' g מ-C ל-A בחזקת B (הפו' מB לA) ע"י כך ש(קראו לאט, הניסוח אולי מסובך) g(c) = Gc(b) a (הוספתי את הa כדי לתקן את הבעיות בעברית-אנגלית, הוא לא אמור להיות שם) כאשר Gc היא פו' מB לA ומוגדרת ע"י Gc(b) = b*c ? מותר לי להגדיר ככה את הפונקציות, או שאולי אסור להגדיר אותן ככה כי אז אני מניח שהקבוצה A היא קבוצת המכפלות של איברים מB ומC? תודה.<br />
<br />
==איפה נמצא תרגיל 10א?==<br />
:מה לא מספיק לך ב' ג' וד'?<br />
<br />
==שאלה 3==<br />
<br />
(האם מדובר בקבוצות אינסופיות), אם אני נותן דוג' נגדית של קבוצה סופית, האם זאת הפרכה או שצריך להראות גם בקבוצות אינסופיות<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
לא הוגדר בשום מקום את גודל הקבוצות, לכן אתה רשאי להניח כל סוגי הקבוצות בדוגמא נגדית. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
כמה פונקציות יש מקבוצה ריקה לקבוצה לא ריקה?<br />
:1 (זו [http://en.wikipedia.org/wiki/Empty_function הפונקציה הריקה]).<br />
<br />
==שאלה 6,7==<br />
בשאלה 6 א',ב' אפשר פשוט להגיד שהעוצמה של A קטנה או שווה לעוצמה של B ולכן בB צריכים ליהיות אינסוף איברים?מה זה סדרה עולה?<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
* שאלה 6: לא, צריך להראות זאת במפורש, כלומר להוכיח ש-B לא יכולה להיות קב' סופית.<br />
* שאלה 7: ראה תשובה למטה.<br />
(גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
== שאלה==<br />
האם <math><br />
|A \setminus B | = |A | - |A \cap B |<br />
</math> נכון בעבור עוצמות?<br />
<br />
מותר לי להשתמש בזה בלי לנמק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא. זה כלל לא נכון לגבי עוצמות.<br />
לא הגדרנו כלל את סימן המינוס בעוצמות (למעט עוצמות סופיות)<br />
קח לדוגמא את <math>A=\mathbb{Q}</math> ו<math>B=\mathbb{N}</math>, אז לכאורה לפי הטענה שלך,<br />
<math>|A \setminus B|=\aleph_0-\aleph_0=0</math>?[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:35, 16 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 5==<br />
מה ההגדרה של הפרש עוצמות?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא הגדרנו הפרש עוצמות. בשאלה 5 מופיעה העוצמה של הפרש קבוצות. הפרש קבוצות הגדרנו. ההפרש כשלעצמו הוא קבוצה שיש לה עוצמה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 11:13, 16 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
'''מה זה הפרש קבוצות-a\b ?'''<br />
:<math>A\setminus B=A-B=A\cap \overline B</math><br />
<br />
==שאלה 8==<br />
איך יודעים מה ההבדל בין גדולה "סתם" לגדולה "ממש"?<br />
<br />
'''תשובה:<br />
'''<br />
גדולה ממש זה גדולה ולא שווה. <math>|A|<|B|</math><br />
בתרגיל הנ"ל מבקשים קבוצה שעוצמת גדולה מעוצמת הרצף ובנוסף שלא תהיה שווה לה.<br />
<br />
==צריך להוכיח?==<br />
האם צריך להוכיח ש-<math>|A\setminus B|\le|A|</math> לכל שתי קבוצות A,B, או שזה נחשב טריוויאלי?<br />
<br />
===תשובה===<br />
זה נובע מכך ש<math>A \setminus B \subseteq A</math> ולכן זה די טריוויאלי. כעיקרון אפשר להעיר בקצרה ואין צורך ממש להוכיח את זה על מנת להשתמש בעובדה הזו אלא אם זה מה שאתם מתבקשים להוכיח. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 20:40, 15 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלות 4,6,7,8 ושאלה כללית על שאלות 1,3,5,9,10==<br />
* בשאלה 4: לא הבנתי את הרמז, מה זה <math>1/n</math>? ומהו הישר הממשי?<br />
* בשאלה 6-ד': מהי הקבוצה B? (אינסופית/סופית? האם היא יכולה להיות קבוצה ריקה?)<br />
* בשאלה 7: מהי קבוצת כל הסדרות העולות של המספרים הטבעיים?<br />
* בשאלה 8: מהי עוצמת הרצף?<br />
* שאלה כללית: העוצמות הכלליות שיש בשאלות שבתרגיל זה הן אינסופיות או סופיות (כמו העוצמות בשאלות 1,3,5,9,10)<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
* שאלה 4: הישר הממשי הוא דימוי הניתן לקבוצה <math>\R</math> שהיא קבוצת כל המספרים הממשיים. לדוגמא, ציר ה- x: <math>(-\infin,\infin)</math><br />
* שאלה 6: אם לא נתון אפיון של B, תבדוק את כל האפשרויות.<br />
* שאלה 7: סדרות של מספרים טבעיים בהן איבר ה-n-י גדול מהאיבר ה- n-1. למשל: {...,1,2,3,4,5} או {...,10,20,40,80}<br />
* שאלה 8: עוצמת הרצף היא העוצמה של המספרים הממשיים. עוצמת הרצף מסומנת באות <math>\aleph</math>.<br />
* שאלה כללית: אם לא נאמר אחרת, עוצמה יכולה להיות כלשהי.<br />
(גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==תרגיל 4 שאלה 4==<br />
מהו הישר הממשי? תודה, גל.<br />
==שאלה 5==<br />
בסעיף א', מתכוונים ל |a|-|b| = |a| - |c| במקום ל |a-b| = |a-c| לא? כי אין דבר כזה הפרש בין קבוצות (הפרש עם קו אנכי)..?<br />
:<math>A-B=A\setminus B</math> לכל שתי קבוצות A,B. אלה שני סימונים שונים להפרש קבוצות.<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
הכוונה ל- <math>|A\setminus B|=|A\setminus C|</math> (גרישה אושרוביץ')<br />
==חיתוך==<br />
אם ידוע לי ש-<math>A\setminus B=A\setminus C</math><br />
אני יכולה להסיק מזה שB=C?<br />
:לא: <math>A=\{1,2\}\and B=\{1\}\and C=\{0,1\}\implies A\setminus B=\{1,2\}\setminus\{1\}=\{2\}=\{1,2\}\setminus\{0,1\}=A\setminus C</math><br />
::התבלבלתי זה היה אמור להיות שB וC מוכלים בA.. ואז אני חושבת שזה נכון. אבל תודה :)<br />
:::אם <math>B,C\subseteq A</math> אז<br />
:::<math>\begin{align}&A\setminus B=A\setminus C\\\implies&A\cap B'=A\cap C'\\\implies&A'\cup(A\cap B')=A'\cup(A\cap C')\\\implies&(A'\cup A)\cap(A'\cup B')=(A'\cup A)\cap(A'\cup C')\\\implies&(A\cap B)'=(A\cap C)'\\\implies&A\cap B=A\cap C\\\implies&B=C\qquad\Big(\text{because }B,C\subseteq A\Big)\\\blacksquare\end{align}</math><br />
<br />
<br />
תודה! <br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4948בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-17T18:59:17Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלות */</p>
<hr />
<div><math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - תרגיל 3<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
==שאלה שקשורה במעט ל-9==<br />
אם נתונה <math>t:B\rightarrow{A}</math> על, ו-<math>h:B\rightarrow{C}</math> פונקציה- האם זה בהכרח אומר שקיימת <math>g:A\rightarrow{C}</math> כך ש- <math>g\circ{t}=h</math>? אם כן, האם היא יחידה? --[[משתמש:Edi.gotlieb|Edi.gotlieb]] 21:59, 17 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==קבוצה סופית או בת מניה==<br />
אם ידוע ש-|A| קטנה או שווה לאלף 0, די ברור שמכך נובע ש-A סופית או בת מניה. האם צריך להוכיח את זה?<br />
:אי אפשר להוכיח את זה, זה ההגדרה של בת מניה!<br />
::תודה! (אני שאלתי את השאלה) ראיתי אצלי במחברת שהמרצה הגדיר קבוצה בת מניה כקבוצה שקטנה או שווה לאלף 0, וזה מה שבילבל אותי (כי בתרגיל זה אמור לצאת ש-A סופית או בת מניה) אבל המתרגל הגדיר קבוצה בת מניה כקבוצה ששווה לאלף 0. אז חיפשתי קצת בויקיפדיה וכתוב ככה: "קבוצה בת מניה היא קבוצה שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים... לעתים כוללים בהגדרה זו גם את הקבוצות הסופיות". אז פשוט ההגדרה של המרצה כללה גם את הקבוצות הסופיות. לכן באמת לפי ההגדרה הזו של בת מניה אפשר להגיד ש-A סופית או בת מניה.<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
האם מותר לי לסמן אורך של קטע אינסופי (האם ניתן בכלל לומר שיש כזה דבר אורך של קטע אינסופי) באות כלשהיא (a for example)?<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
אפשר להגיד: יהי a קרן <math>(2,\infin)</math><br />
<br />
==משפט==<br />
בתרגול הזכירו שקיים משפט כלשהוא שבעזרתו ניתן לקבוע שהעוצמה של מכפלה קרטזית N*N שווה לעוצמה של N. מה המשפט?<br />
<br />
:פשוט |NxN|=א<math>_0</math>, זה ממש המשפט.<br />
<br />
==בעיה בפתרון של שאלה 9ב'==<br />
אני צריך למצוא פונקציה שהתחום שלה הוא הפונקציות מC לפונקציות מB ל A, והטווח שלה הוא הפונקציות ממכפלה קרטזית של B וC אל A.<br />
לשם כך אני צריך להגדיר פונקציה מC לפונקציות מB ל A, נקרא לg. כדי להגדיר את g אני צריך למצוא פונקציה, נקרא לה G, מB לA.<br />
כתבתי אותה כך: g(c) = Gc(b) עכשיו צריך להגדיר את Gc(b). הבעיה שלי היא פה- כל פונקציה Gc(b) שאני מגדיר, יוצא שאני לא רשאי להגדיר אותה כך, כי אז אני כאילו מגדיר לי מה יהיה A. (אם לא הבנתם את הניסוח), למשל, אם ניסיתי להגדיר את Gc כך: Gc(b)= (b,c)הבעיה אז היא שאני קובע שהקבוצה A תהיה מכפלה קרטזית של B וC. ונראה לי שכך קורה לכל Gc שאני מגדיר. אפשר עזרה בנוגע לאיך להתגבר על הבעיה הזאת? האם דרך החשיבה שלי נכונה או שאני צריך להיפטר לגמרי מהעניין של Gc? תודה.<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
יהיו <math>|A| = k,|B| = \lambda ,|C| = \eta</math>.<br />
לכן, בצד שמאל: <math>\{f:C \to \{g:B \to A\}\}</math>. בצד הימין: <math> \{ h:B \times C \to A\} </math>.<br />
צריך להוכיח שקיימת התאמה חח"ע ועל בין f ל- h, כך ש- <math>h(b,c)=f(c)(b)</math>.<br />
(גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה1==<br />
האם מדובר רק על קבוצות סופיות, (שהרי הפרש קבוצות לא מוגדר בקבוצות אינסופיות)?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא, לא נאמר באילו קבוצות מדובר לכן הטענה נכונה עבור גם קבוצות אינסופיות.<br />
והפרש קבוצות אינסופיות כן מוגדר, מה שלא מוגדר בקבוצות אינסופיות הוא הפרש עוצמות<br />
<br />
'''שאלה'''- אז איך ענו לי (שלוש שאלות למטה) שהפרש קבוצות אינסופיות לא מוגדר.<br />
<br />
לא יודע מי ענה לך, אבל זה לא נכון, הפרש הוא פעולה שניתן לעשות על כל הקבוצות, לדוגמה ההפרש של קבוצת המספרים הטבעיים והמספרים הזוגיים יוצא קבוצת המספרים האי-זוגיים, למה שזה לא יהיה מוגדר?<br />
:: אני חושבת ששם הוא פשוט התכוון שעוד לא למדנו את זה (למטה)..<br />
<br />
==שאלה בפונקציות==<br />
<br />
בהוכחת התכונות של חזקות של עוצמות, המרצה כתב <math>h(f,g)-> f\cup g</math> איך מוגדר איחוד של פונקציות?<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
איחוד של התמונות של שתי הפונקציות.<br />
<br />
==שאלה 7==<br />
אפשר לקחת את <math>P(\N)</math> הפרש קבוצה ריקה ככה שזאת הקבוצה שמכילה את כל הקבוצות של הסדרות העולות?<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
כן. אך לצריך להוכיח שקבוצה זו באמת מכילה את כל הסדרות העולות.<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
אם a מוכל בb. <br />
אז a/b זה קבוצה ריקה?<br />
:כן. אבל שים לב שהפרש קבוצות לא מוגדר בקבוצות אינסופיות.<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
הפרש קבוצות מוגדר הן לקבוצות סופיות, הן לאינסופיות.<br />
כמו שכבר כתוב למטה, אין נוסחאות לעומצה של הפשר קבוצות.<br />
<br />
==שאלה על עוצמות==<br />
אם יש לי משוואה כזו: <br />
<math>\left | A \right |+1=\aleph</math><br />
זה גורר ש <math>\left | A \right |=\aleph</math> ?<br />
<br />
== שאלה בקשר ל 5 א==<br />
האם צריך לפרט את האיחודים והחיתוכים של הקבוצות שבתוך העוצמות? אם כן מותר לי לומר ישירות ש B איחוד עם C משלים שווה ל C משלים או שצריך להסביר למה? אם צריך להסביר אשמח אם מישהו יוכל לעזור לי להסביר בצורה שתתקבל כחלק מהוכחה. תודה<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
כן, צריך לפרט. הטענה שלך אינה טריוויאלית וצריך להוכיח אותה. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
זה לא תמיד נכון, למשל לקבוצות סופיות, דוגמה:<br />
<math>|C|=|\mathbb{Z^-}|</math>,<math>|B|=|\mathbb{N}|</math><br />
מתקיים <math>|B|=|C|=\aleph_0</math> כמו כן מתקיים גם<math>B\cap C=\phi</math><br />
אבל במקרה הזה B איחוד C משלים לא חייב ליהיות שווה C משלים, כי זה איחוד לא זר. אבל אני לא בטוח בתשובה שלי... אז אל תסתמך...<br />
===התשובה שלך שגוייה===<br />
יש טעות בדבריך המשלים של C במקרה זה הוא כל השלמים האי שליליים (או אם אני לוקח את המשלים מתוך R אז כל המספרים שאינם שלמים ושליליים) קבוצה זו בהכרח מכילה את B ולכן האיחוד בניהן יהיה שווה לC משלים...<br />
הטענה הזו היא נכונה במאה אחוזים (א זה לא ברור אפשר לראות את זה לפי דאגרמות וון בשביל להבין את הנכונות) השאלה שלי אם אני צריך להסביר את השלב הזה... אשמח לתשובה של מתרגל<br />
<br />
==שאלה 6א'==<br />
האם אפשר להגיד שאם A מוכלת בB וA אינסופית אז יש פונקציה חח"ע מA לB?<br />
ואז בהכרח B אינסופית <br />
<כלומר B לא סופית>..<br />
הסעיף הזה די טריוויאלי, אז באיזו דרך מצפים שנוכיח אותו?<br />
:בערך כמו שאמרת, נראה לי.. (אני לא מתרגל).<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
אפשר להוכיח ע"י הוכחה בשלילה. כלומר, להניח בשלילה כי B סופית ולמצוא סתירה. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה 6ד'==<br />
אפשר להשתמש בסעיף ג' כדי להוכיח? ואם לא- מה אם B קבוצה ריקה-לא נקבל שיש רק פונקציה אחת בקבוצת הפונקציות?<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
כן. צריך להניח כי B קבוצה לא ריקה. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה על עוצמות==<br />
A|+|B|=|D|+|C| <br />
נתון העוצמה של B שווה לעוצמה של C. האם העוצמה של D שווה לעוצמה של A?<br />
לא בהכרח למשל א+1=א+2=א אבל 2לא שווה ל-1...<br />
<br />
==שאלה 3==<br />
אפשר להוכיח ע"י דוגמא? כי מבקשים להראות שקיימת, אז אם אני מראה שיש לפחות פונקציה אחת כזו זה מספיק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
אתה צריך להוכיח שלכל |A|=|B| יש פונקציה חח"ע שהיא לא על, כלומר אם אתה נותן דוגמה עבור |A|=|B| כלשהם זה לא מספיק(אלא אם כן אתה מתכוון לתת דוגמה עבור כל |A|=|B| שזה כידוע לך בלתי אפשרי...) כלומר אם ברצונך להוכיח את המשפט אתה חייב לעשות את זה באופן כללי, אבל '''להפריך''' אתה יכול בעזרת דוגמה...<br />
:: זאת את, ותודה רבה :)<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
מה העוצמה של חיבור של <math>\aleph_0</math> קבוצות כאשר כל קבוצה עוצמתה <math>\aleph</math>? (כולן זרות)<br />
זה כמו א כפול אלף אפס שווה לאלף<br />
<br />
==תכונות של חזקת עוצמות==<br />
אחד המתרגלים יכול להעלות הוכחה לכל התכונות של חזקת עוצמות?<br />
<br />
אומנם שי הוכיח את התכונות בהרצאה אך בצורה מאוד לא מפורטת...תודה!<br />
<br />
==שאלה 9ב' *עדיין צריך עזרה בבקשה*==<br />
האם מותר לי להגדיר פו' g מ-C ל-A בחזקת B (הפו' מB לA) ע"י כך ש(קראו לאט, הניסוח אולי מסובך) g(c) = Gc(b) a (הוספתי את הa כדי לתקן את הבעיות בעברית-אנגלית, הוא לא אמור להיות שם) כאשר Gc היא פו' מB לA ומוגדרת ע"י Gc(b) = b*c ? מותר לי להגדיר ככה את הפונקציות, או שאולי אסור להגדיר אותן ככה כי אז אני מניח שהקבוצה A היא קבוצת המכפלות של איברים מB ומC? תודה.<br />
<br />
==איפה נמצא תרגיל 10א?==<br />
:מה לא מספיק לך ב' ג' וד'?<br />
<br />
==שאלה 3==<br />
<br />
(האם מדובר בקבוצות אינסופיות), אם אני נותן דוג' נגדית של קבוצה סופית, האם זאת הפרכה או שצריך להראות גם בקבוצות אינסופיות<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
לא הוגדר בשום מקום את גודל הקבוצות, לכן אתה רשאי להניח כל סוגי הקבוצות בדוגמא נגדית. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
כמה פונקציות יש מקבוצה ריקה לקבוצה לא ריקה?<br />
:1 (זו [http://en.wikipedia.org/wiki/Empty_function הפונקציה הריקה]).<br />
<br />
==שאלה 6,7==<br />
בשאלה 6 א',ב' אפשר פשוט להגיד שהעוצמה של A קטנה או שווה לעוצמה של B ולכן בB צריכים ליהיות אינסוף איברים?מה זה סדרה עולה?<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
* שאלה 6: לא, צריך להראות זאת במפורש, כלומר להוכיח ש-B לא יכולה להיות קב' סופית.<br />
* שאלה 7: ראה תשובה למטה.<br />
(גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
== שאלה==<br />
האם <math><br />
|A \setminus B | = |A | - |A \cap B |<br />
</math> נכון בעבור עוצמות?<br />
<br />
מותר לי להשתמש בזה בלי לנמק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא. זה כלל לא נכון לגבי עוצמות.<br />
לא הגדרנו כלל את סימן המינוס בעוצמות (למעט עוצמות סופיות)<br />
קח לדוגמא את <math>A=\mathbb{Q}</math> ו<math>B=\mathbb{N}</math>, אז לכאורה לפי הטענה שלך,<br />
<math>|A \setminus B|=\aleph_0-\aleph_0=0</math>?[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:35, 16 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 5==<br />
מה ההגדרה של הפרש עוצמות?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא הגדרנו הפרש עוצמות. בשאלה 5 מופיעה העוצמה של הפרש קבוצות. הפרש קבוצות הגדרנו. ההפרש כשלעצמו הוא קבוצה שיש לה עוצמה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 11:13, 16 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
'''מה זה הפרש קבוצות-a\b ?'''<br />
:<math>A\setminus B=A-B=A\cap \overline B</math><br />
<br />
==שאלה 8==<br />
איך יודעים מה ההבדל בין גדולה "סתם" לגדולה "ממש"?<br />
<br />
'''תשובה:<br />
'''<br />
גדולה ממש זה גדולה ולא שווה. <math>|A|<|B|</math><br />
בתרגיל הנ"ל מבקשים קבוצה שעוצמת גדולה מעוצמת הרצף ובנוסף שלא תהיה שווה לה.<br />
<br />
==צריך להוכיח?==<br />
האם צריך להוכיח ש-<math>|A\setminus B|\le|A|</math> לכל שתי קבוצות A,B, או שזה נחשב טריוויאלי?<br />
<br />
===תשובה===<br />
זה נובע מכך ש<math>A \setminus B \subseteq A</math> ולכן זה די טריוויאלי. כעיקרון אפשר להעיר בקצרה ואין צורך ממש להוכיח את זה על מנת להשתמש בעובדה הזו אלא אם זה מה שאתם מתבקשים להוכיח. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 20:40, 15 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלות 4,6,7,8 ושאלה כללית על שאלות 1,3,5,9,10==<br />
* בשאלה 4: לא הבנתי את הרמז, מה זה <math>1/n</math>? ומהו הישר הממשי?<br />
* בשאלה 6-ד': מהי הקבוצה B? (אינסופית/סופית? האם היא יכולה להיות קבוצה ריקה?)<br />
* בשאלה 7: מהי קבוצת כל הסדרות העולות של המספרים הטבעיים?<br />
* בשאלה 8: מהי עוצמת הרצף?<br />
* שאלה כללית: העוצמות הכלליות שיש בשאלות שבתרגיל זה הן אינסופיות או סופיות (כמו העוצמות בשאלות 1,3,5,9,10)<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
* שאלה 4: הישר הממשי הוא דימוי הניתן לקבוצה <math>\R</math> שהיא קבוצת כל המספרים הממשיים. לדוגמא, ציר ה- x: <math>(-\infin,\infin)</math><br />
* שאלה 6: אם לא נתון אפיון של B, תבדוק את כל האפשרויות.<br />
* שאלה 7: סדרות של מספרים טבעיים בהן איבר ה-n-י גדול מהאיבר ה- n-1. למשל: {...,1,2,3,4,5} או {...,10,20,40,80}<br />
* שאלה 8: עוצמת הרצף היא העוצמה של המספרים הממשיים. עוצמת הרצף מסומנת באות <math>\aleph</math>.<br />
* שאלה כללית: אם לא נאמר אחרת, עוצמה יכולה להיות כלשהי.<br />
(גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==תרגיל 4 שאלה 4==<br />
מהו הישר הממשי? תודה, גל.<br />
==שאלה 5==<br />
בסעיף א', מתכוונים ל |a|-|b| = |a| - |c| במקום ל |a-b| = |a-c| לא? כי אין דבר כזה הפרש בין קבוצות (הפרש עם קו אנכי)..?<br />
:<math>A-B=A\setminus B</math> לכל שתי קבוצות A,B. אלה שני סימונים שונים להפרש קבוצות.<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
הכוונה ל- <math>|A\setminus B|=|A\setminus C|</math> (גרישה אושרוביץ')<br />
==חיתוך==<br />
אם ידוע לי ש-<math>A\setminus B=A\setminus C</math><br />
אני יכולה להסיק מזה שB=C?<br />
:לא: <math>A=\{1,2\}\and B=\{1\}\and C=\{0,1\}\implies A\setminus B=\{1,2\}\setminus\{1\}=\{2\}=\{1,2\}\setminus\{0,1\}=A\setminus C</math><br />
::התבלבלתי זה היה אמור להיות שB וC מוכלים בA.. ואז אני חושבת שזה נכון. אבל תודה :)<br />
:::אם <math>B,C\subseteq A</math> אז<br />
:::<math>\begin{align}&A\setminus B=A\setminus C\\\implies&A\cap B'=A\cap C'\\\implies&A'\cup(A\cap B')=A'\cup(A\cap C')\\\implies&(A'\cup A)\cap(A'\cup B')=(A'\cup A)\cap(A'\cup C')\\\implies&(A\cap B)'=(A\cap C)'\\\implies&A\cap B=A\cap C\\\implies&B=C\qquad\Big(\text{because }B,C\subseteq A\Big)\\\blacksquare\end{align}</math><br />
<br />
<br />
תודה! <br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4867בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-16T15:13:20Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלות */</p>
<hr />
<div><math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
מה העוצמה של חיבור של <math>\aleph_0</math> קבוצות כאשר כל קבוצה עוצמתה <math>\aleph</math>? (כולן זרות)<br />
==תכונות של חזקת עוצמות==<br />
אחד המתרגלים יכול להעלות הוכחה לכל התכונות של חזקת עוצמות?<br />
<br />
אומנם שי הוכיח את התכונות בהרצאה אך בצורה מאוד לא מפורטת...תודה!<br />
<br />
==שאלה 9ב'==<br />
האם מותר לי להגדיר פו' g מ-C ל-A בחזקת B (הפו' מB לA) ע"י כך ש(קראו לאט, הניסוח אולי מסובך) g(c) = Gc(b) a (הוספתי את הa כדי לתקן את הבעיות בעברית-אנגלית, הוא לא אמור להיות שם) כאשר Gc היא פו' מB לA ומוגדרת ע"י Gc(b) = b*c ? מותר לי להגדיר ככה את הפונקציות, או שאולי אסור להגדיר אותן ככה כי אז אני מניח שהקבוצה A היא קבוצת המכפלות של איברים מB ומC? תודה.<br />
<br />
==איפה נמצא תרגיל 10א?==<br />
:מה לא מספיק לך ב' ג' וד'?<br />
<br />
==שאלה 3==<br />
<br />
(האם מדובר בקבוצות אינסופיות), אם אני נותן דוג' נגדית של קבוצה סופית, האם זאת הפרכה או שצריך להראות גם בקבוצות אינסופיות<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
לא הוגדר בשום מקום את גודל הקבוצות, לכן אתה רשאי להניח כל סוגי הקבוצות בדוגמא נגדית. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
כמה פונקציות יש מקבוצה ריקה לקבוצה לא ריקה?<br />
:1 (זו [http://en.wikipedia.org/wiki/Empty_function הפונקציה הריקה]).<br />
<br />
==שאלה 6,7==<br />
בשאלה 6 א',ב' אפשר פשוט להגיד שהעוצמה של A קטנה או שווה לעוצמה של B ולכן בB צריכים ליהיות אינסוף איברים?מה זה סדרה עולה?<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
* שאלה 6: לא, צריך להראות זאת במפורש, כלומר להוכיח ש-B לא יכולה להיות קב' סופית.<br />
* שאלה 7: ראה תשובה למטה.<br />
(גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
== שאלה==<br />
האם <math><br />
|A \setminus B | = |A | - |A \cap B |<br />
</math> נכון בעבור עוצמות?<br />
<br />
מותר לי להשתמש בזה בלי לנמק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא. זה כלל לא נכון לגבי עוצמות.<br />
לא הגדרנו כלל את סימן המינוס בעוצמות (למעט עוצמות סופיות)<br />
קח לדוגמא את <math>A=\mathbb{Q}</math> ו<math>B=\mathbb{N}</math>, אז לכאורה לפי הטענה שלך,<br />
<math>|A \setminus B|=\aleph_0-\aleph_0=0</math>?[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:35, 16 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 5==<br />
מה ההגדרה של הפרש עוצמות?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא הגדרנו הפרש עוצמות. בשאלה 5 מופיעה העוצמה של הפרש קבוצות. הפרש קבוצות הגדרנו. ההפרש כשלעצמו הוא קבוצה שיש לה עוצמה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 11:13, 16 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
'''מה זה הפרש קבוצות-a\b ?'''<br />
:<math>A\setminus B=A-B=A\cap \overline B</math><br />
<br />
==שאלה 8==<br />
איך יודעים מה ההבדל בין גדולה "סתם" לגדולה "ממש"?<br />
<br />
'''תשובה:<br />
'''<br />
גדולה ממש זה גדולה ולא שווה. <math>|A|<|B|</math><br />
בתרגיל הנ"ל מבקשים קבוצה שעוצמת גדולה מעוצמת הרצף ובנוסף שלא תהיה שווה לה.<br />
<br />
==צריך להוכיח?==<br />
האם צריך להוכיח ש-<math>|A\setminus B|\le|A|</math> לכל שתי קבוצות A,B, או שזה נחשב טריוויאלי?<br />
<br />
===תשובה===<br />
זה נובע מכך ש<math>A \setminus B \subseteq A</math> ולכן זה די טריוויאלי. כעיקרון אפשר להעיר בקצרה ואין צורך ממש להוכיח את זה על מנת להשתמש בעובדה הזו אלא אם זה מה שאתם מתבקשים להוכיח. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 20:40, 15 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלות 4,6,7,8 ושאלה כללית על שאלות 1,3,5,9,10==<br />
* בשאלה 4: לא הבנתי את הרמז, מה זה <math>1/n</math>? ומהו הישר הממשי?<br />
* בשאלה 6-ד': מהי הקבוצה B? (אינסופית/סופית? האם היא יכולה להיות קבוצה ריקה?)<br />
* בשאלה 7: מהי קבוצת כל הסדרות העולות של המספרים הטבעיים?<br />
* בשאלה 8: מהי עוצמת הרצף?<br />
* שאלה כללית: העוצמות הכלליות שיש בשאלות שבתרגיל זה הן אינסופיות או סופיות (כמו העוצמות בשאלות 1,3,5,9,10)<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
* שאלה 4: הישר הממשי הוא דימוי הניתן לקבוצה <math>\R</math> שהיא קבוצת כל המספרים הממשיים. לדוגמא, ציר ה- x: <math>(-\infin,\infin)</math><br />
* שאלה 6: אם לא נתון אפיון של B, תבדוק את כל האפשרויות.<br />
* שאלה 7: סדרות של מספרים טבעיים בהן איבר ה-n-י גדול מהאיבר ה- n-1. למשל: {...,1,2,3,4,5} או {...,10,20,40,80}<br />
* שאלה 8: עוצמת הרצף היא העוצמה של המספרים הממשיים. עוצמת הרצף מסומנת באות <math>\aleph</math>.<br />
* שאלה כללית: אם לא נאמר אחרת, עוצמה יכולה להיות כלשהי.<br />
(גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==תרגיל 4 שאלה 4==<br />
מהו הישר הממשי? תודה, גל.<br />
==שאלה 5==<br />
בסעיף א', מתכוונים ל |a|-|b| = |a| - |c| במקום ל |a-b| = |a-c| לא? כי אין דבר כזה הפרש בין קבוצות (הפרש עם קו אנכי)..?<br />
:<math>A-B=A\setminus B</math> לכל שתי קבוצות A,B. אלה שני סימונים שונים להפרש קבוצות.<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
הכוונה ל- <math>|A\setminus B|=|A\setminus C|</math> (גרישה אושרוביץ')<br />
==חיתוך==<br />
אם ידוע לי ש-<math>A\setminus B=A\setminus C</math><br />
אני יכולה להסיק מזה שB=C?<br />
:לא: <math>A=\{1,2\}\and B=\{1\}\and C=\{0,1\}\implies A\setminus B=\{1,2\}\setminus\{1\}=\{2\}=\{1,2\}\setminus\{0,1\}=A\setminus C</math><br />
::התבלבלתי זה היה אמור להיות שB וC מוכלים בA.. ואז אני חושבת שזה נכון. אבל תודה :)<br />
:::אם <math>B,C\subseteq A</math> אז<br />
:::<math>\begin{align}&A\setminus B=A\setminus C\\\implies&A\cap B'=A\cap C'\\\implies&A'\cup(A\cap B')=A'\cup(A\cap C')\\\implies&(A'\cup A)\cap(A'\cup B')=(A'\cup A)\cap(A'\cup C')\\\implies&(A\cap B)'=(A\cap C)'\\\implies&A\cap B=A\cap C\\\implies&B=C\qquad\Big(\text{because }B,C\subseteq A\Big)\\\blacksquare\end{align}</math><br />
<br />
==תרגיל 3, שאלה 3==<br />
<br />
כאשר מוכיחים הופכיות של פונקציה ע"י מציאת הפונקציה ההופכית, צריך להראות איך הגענו לפונקציה ההופכית, או שמספיק להראות רק שהיא אכן ההופכית? לדוגמה, נתונה <math>f(x)=x^2-1\and f:\mathbb C\to\mathbb C</math>. האם צריך להסביר למה <math>g(x)=\sqrt{x+1}\and g:\mathbb C\to\mathbb C</math> היא ההופכית לה מימין (ולמה g פונקציה ולא יחס שאינו פונקציה)? תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 19:59, 10 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
===תשובה===<br />
בגדול, התשובה היא לא. לא תמיד יש אלגוריתם מובנה למציאת פונקצייה הופכית ואם עליתם עליה באיזושהי דרך, זה לא מאוד חשוב שתציינו איך עליתם עליה. וכן, כמובן אחרי שנתת את הפונקציה, אתה צריך להראות שהיא אכן ההופכית מימין לפונקצייה שאתה רוצה להוכיח שהיא הפיכה מימין. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 13:44, 12 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==תרגיל 3. שאלה 2. סעיף א'==<br />
האם אנחנו קובעים את a וb. אם לא אז איך אנחנו יודעים שמס' האיברים בb גדול שווה למס' האיברים בa?<br />
<br />
==שאלה 1 סעיף ד'==<br />
<br />
הכוונה היא שהטווח וגם התחום של הפונקציה הוא רק האיברים {0,1,2,3,4}?<br />
או שאפשר לקחת (בטווח) גם את 6,7,8 וכן אלה כשהם במודולו 5?<br />
ואם מדובר רק ב{0,1,2,3,4} בטווח, איך אפשר לדעת מה הולך למה?<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
כן. הן טווח והן תחום הם <math>\mathbb{Z}_5</math>. לשאלתך, למשל <math>3^2=_5 4</math> (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==תשובה==<br />
לדעתי, כל מה שבשדה <math>\mathbb{Z}_5</math> אחרת זאת לא פונקציה(אין הגדרה ל-<math>[x^2]</math> כאשר x=4 למשל)<br />
<br />
==תרגיל 4 (מתרגיל 3)==<br />
<br />
סעיף ו' ו-ה' דומים לחלוטין מלבד העובדה שב-ה' כתוב <math>f</math> וב-ו' כתוב<math>f^{-1}</math><br />
לא נתון כלום על <math>f</math> האם זה אומר שמותר לומר שנסמן את <math>f^{-1}=f</math> ואז ההוכחה שקולה להוכחת סעיף ה'?<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
אני מציע לחשוב איזה תכונות מיוחדות יש ל-<math>f^{-1}</math> (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה==<br />
<br />
אתם יכולים להזכיר איך בודקים חד ערכיות ושלמות?<br />
<br />
תודה רבה!<br />
<br />
:[[#שאלה על הגדרת הפונקציה]]<br />
<br />
==שאלה 2==<br />
אם אני מגדירה את הפונקציה G ככה זה בסדר?<br />
<math>g(x)= (x/2,x+1/2)</math><br />
ככה שאני מקבלת זוג סדור <math>(a,b)</math><br />
כש<math>a=(x/2)</math><br />
ו<math>b=(x+1/2)</math><br />
אם לא- מישהו יכול לתת לי כיוון איך להגדיר את הפונקציה?<br />
(וזה מה שאני צריכה לעשות-להגדיר פונקציה G ולהראות שהיא חח"ע?)<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
את צריכה לוודא האם <math>x/2 \in A</math> וגם <math>x+1/2 \in B</math> (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==להוכיח שפונקציה היא על==<br />
<br />
ראיתי את השאלות שלמטה והתשובות עליהן, ובכל זאת לא הבנתי איך להוכיח.<br />
<br />
אם אי אפשר למצוא נוסחה למקור?<br />
<br />
ראיתי בתשובות לבוחן שכדי להוכיח ש-f היא על, מספיק להוכיח ש-f הפיכה מימין, כלומר קיימת g מ-U ל-U כך ש-f הרכבה g היא פונקציית הזהות על U.<br />
<br />
לא מצאתי במחברת שלי שום דבר על "הפיכה מימין" - אפשר בבקשה הסבר מה זה?<br />
<br />
ואם מדובר פה על איזה משפט מוגדר, אז נוסח המשפט יעזור לי מאוד. לא מצאתי כזה במחברת.<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם <math>g \circ f</math> חח"ע ועל אזי <math>f</math> חח"ע ו<math>g</math> על. בפרט, אם <math>g \circ f=id</math> אז היא חח"ע ועל.<br />
כלומר, אם <math>g</math> היא הפיכה מימין (כלומר קיימת <math>f</math> כך ש<math>g \circ f=id</math>) אז <math>g</math> על.<br />
אגב, הקושי למצוא נוסחא למציאת מקור עבור כל תמונה זהה לקושי במציאת פונקצייה מתאימה מימין. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:00, 8 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
:תודה על התשובה. מה זה id?<br />
<br />
הקושי העיקרי שלי בלהוכיח "על" הוא ההסברה. כמעט שום הסבר לא נראה לי מספק וסגור מכל הקצוות. כך שאם יש נוסחה שאומרת שברגע שמצאתי (עצם המציאה לא קשה בפונקציות שבתרגיל) f כך ש-g הרכבה f שווה משהו אז g על, זה פותר את הקושי.<br />
<br />
==שאלות 2 ו3-א'==<br />
בשאלה 2, האם אני צריך להוכיח ש <math>g:A \rightarrow AxB</math> היא פונקציה?<br />
בנוסף, אני גם לא כל כך הבנתי איך אפשר לעשות פונקציה בין יחסים (כמו <math>AxB \rightarrow BxB</math>) או בין קבוצה ליחס כמו בשאלה הנ"ל.<br />
<br />
בשאלה 3, כתוב לציין האם הפונקציה הפיכה או חח"ע או על, אבל האם היא יכולה להיות אף אחת מהן? או בכלל לא פונקציה, כמו ב3-א' ש <math>f(0)</math> שלא מוגדר?<br />
ובשאלה כתוב לציין, אז אני צריך גם להוכיח/לנמק למה אם היא כן? או לתת דוגמה נגדית אם היא לא?<br />
<br />
אם מישהו יוכל לענות כמה שיותר מהר, עוד לפני הבוחן, אני אודה לו מאוד.<br />
תודה רבה.<br />
<br />
'''תשובה מאוד חלקית'''<br />
<br />
אני לא מבין גדול בנושא הזה שרק אתמול קיבלנו את התרגול עליו, ואני מאוד מפחד להטעות אותך. מה שכן, בתחילת העמוד יש תשובה שתענה לך על השאלה בנוגע ל-<math>f(0)</math><br />
<br />
===תשובה (אולי פחות חלקית)===<br />
באשר לשאלה 2, לא נתונה לך פונקציה <math>g</math> שאתה פשוט צריך להוכיח שהיא פונקציה. אתה צריך לתת פונקציה ולהראות שהיא חח"ע. לרוב, כשמגדירים פונקציה, אז דואגים שהיא תהייה פונקציה, למשל נותנים לכל איבר במקור איבר אחד בטווח. ברגע שתגדיר את הפונקציה, אז יותר חשוב משתוכיח לנו שהיא פונקציה, חשוב שתוכיח שהיא חח"ע. יש?<br />
<br />
באשר לשאלה 3א, מעולם לא שמעתי שהערך המוחלט של אפס לא מוגדר. הערך המוחלט של אפס הוא אפס ותו לא. אין שם אף פונקציה שהיא איננה פונקציה. כעיקרון תיתכן פונקציה בשאלה הזו שניתן לכם והיא לא תהיה על, לא חח"ע וכיוצא בכך לא הפיכה, אך אינני מבטיח שזה המצב. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 01:52, 4 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
<br />
תודה.<br />
<br />
בקשר ל-0 התכוונתי שהפונקציה מוגדרת מהשלמים לטבעיים ו-0 לא שייך לטבעיים, או שאולי בשאלה הזו הכוונה היא שהוא כן שייך?<br />
<br />
ובקשר לפונקציה בין יחסים. גם המרצה וגם המתרגלת שלנו לא עברו איתנו על זה ואני לא מבין איך אפשר לפתור את שאלה 3. אז אפשר הסבר קצר?<br />
<br />
שמע,<br />
ישנן שתי אסכולות בנוגע למספרים טבעיים. אחת גורסת כי אפס הוא טבעי (ומתבססת על כך שבבנייה הגנרית של מספרים טבעיים משתמשים באפס) והשניה גורסת כי אפס לא טבעי (ומתבססת על כך שבמשך מאות שנים אנשים חכמים מאוד, כמו היוונים העתיקים, עשו חישובים מסובכים בלי להכיר בכלל את המספר אפס, שהגיע לאירופה עם הערבים בסוף האלף הראשון לספירה).<br />
אני לא יודע מי כתב את השאלה במקור, אך הוא כנראה כלל את אפס כמספר טבעי.<br />
<br />
בקשר לפונקציות "בין יחסים", אתה כנראה מדבר על הפונקציה <math>g: A \rightarrow A \times B</math>. אין משהו מיוחד ללמוד פה, זו סתם פונקציה שהמקור שלה זו הקבוצה <math>A</math> והטווח זו הקבוצה <math>A \times B</math>. אין חשיבות לעובדה ש <math>A \times B</math> זה גם יחס. תנסה כתרגיל לבחור <math>A</math> ו<math>B</math> ופונקציה <math>g</math> כנ"ל תחילה ואז תתקדם לנסות להוכיח את מה שאתה מתבקש.<br />
<br />
באשר לשאלה 3, ראשית כדאי שתוודא עם עצמך אם אתה יודע מה זו פונקצייה על ומה זו פונקצייה חח"ע.<br />
אם אתה רוצה לבדוק אם פונקצייה היא על אתה צריך לבדוק אם לכל איבר בטווח יש מקור. אם החלטת שהיא אכן על אז תראה כי אכן לכל איבר בטווח יש מקור. אם החלטת שהיא איננה על אז תראה שקיים איבר בטווח שאין לו מקור.<br />
אם אתה רוצה לוהכיח שפונקצייה היא חח"ע אתה צריך להראות שאם שני מקורות הולכים לאותה תמונה אז המקורות שווים. אם החלטת שהפונקצייה איננה חח"ע אתה צריך לתת דוגמא לשני מקורות שונים שהולכים לאותה תמונה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:01, 5 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
<br />
תודה רבה!<br />
<br />
==אותה שאלה==<br />
לא ענו לי קודם, כנראה כי לא ראו או משהו, וזה נרוא חשוב, אז אני שואל את זה שוב.<br />
<br />
נקח לדוגמא את שאלה 6 בתרגיל 2. נתון לי יחס G מסויים ומבקשים ממני להוכיח שהוא יחס שקילות על . השאלה שלי היא: האם צריך קודם להוכיח ש-G הוא יחס על על , בלי לענות עוד על השאלה אם הוא שקילות או לא. <br />
<br />
לפי דעית לא, כי זה נובע ישירות מדרך ההגדרה של G.<br />
<br />
===תשובה===<br />
נדמה לי שהבנתי את כוונתך. באשר שאלה האם צריך להראות ש<math>G</math> הוא יחס על <math>A \times B</math>, דהיינו להראות <math>G \subseteq (A \times B) \times (A \times B)</math>, התשובה היא לא, אין צורך. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 01:44, 4 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==הודעה לקראת הבוחן==<br />
(זה אומנם לא הדף הנכון לשים בו את ההודעה הזו, אך יש יותר סיכוי שיקראו אותה אם היא תופיע גם בדף הזה)<br />
<br />
1) הבוחן מחר (4/8/2010) יתקיים בשעה 12:30 לאחר תרגול של חצי שעה.<br />
<br />
2) הבוחן יכלול שלוש שאלות שעל כולן יש לענות (לא שתיים מתוך שלוש כפי שחשבתי תחילה שיהיה).<br />
<br />
3) אורך הבוחן יהיה שעה.<br />
<br />
4) לתלמידים שיש להם אישור מטעם האוניברסיטה על הארכת זמן תינתנה 15 דקות נוספות.<br />
<br />
5) תלמידים עם הארכות זמן ייבחנו בחדר 103 בשעה הנקובה למעלה, גם אם הם לומדים לפני כן בכיתה אחרת.<br />
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 20:42, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
==הוכחה שפונקציה היא על==<br />
איך מוכיחים שפונקציה היא על (כמו בשאלה 3א' בתרגיל 3)? חיפשתי דוגמאות להוכחות כאלה מההרצאות, אבל כשהמרצה הוכיח שפונקציה כלשהי היא על הוא תמיד (בדוגמאות שמצאתי) השתמש בכך שפונקציה אחרת (g) היא על וככה הוכיח שיש a ששייך לA כך ש f(a) = b. איך מוכיחים שפונקציה היא על כש"ברור" שהיא על, כמו בשאלה 3א'? תודה רבה מראש.<br />
<br />
:ראה תשובה לשאלה הקודמת[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:55, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
::תודה<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
מה הדרך הנכונה ביותר להוכיח שפונקציה מסוימת היא פונקציה על?<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם ברצונך להראות כי <math>f: A \rightarrow B</math> הינה פונקציית על,<br />
אתה צריך להראות כי לכל איבר <math>b \in B</math> יש מקור <math>a \in A</math>.<br />
לעיתים יש נוסחה לאיבר כללי ב<math>B</math> ואז ניתן לפתח נוסחה למקור של כל איבר כזה,<br />
למשל אם <math>f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}</math> כך ש<math>f(z)=z+1</math>,<br />
אזי לכל <math>b \in \mathbb{b}</math> יש מקור <math>b-1</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:54, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
תודה<br />
<br />
:האם צריך להוכיח משהו לגבי הנוסחה למקור? מה צריך להוכיח לגביה?<br />
<br />
==שתי שאלות==<br />
1. אם מבקשים ממני להוכיח ש-R הוא יחס שקילות ל-A, האם עלי להוכיח בראש ובראשונה ש-R יחס על A (בעיקר משאלות 9,6 מתרגיל 9), או שזה מובן מאליו?<br />
<br />
2. אם מבקשים ממני למצוא את F הרכבה G, וזה לא קיים, האם התשובה היא קבוצה ריקה או שזה פשוט לא מוגדר (זכור לי משהו כזה מהשיעורים)? והאם יש הבדל בתשובה בין יחסים לבין פונקציות?<br />
<br />
תודה רבה.<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
1. יחס שקילות הוא תמיד על <math>A</math>, דהיינו מ<math>A</math> ל<math>A</math> כלשהו. אני לא כל כך מבין למה את\ה מתכוון\ת ב"<math>R</math> יחס שקילות ל<math>A</math>.<br />
<br />
2. ייתכן כי הרכבת יחסים תיתן את היחס הריק. עבור פונקציות <math>g \circ f</math> הדבר איננו אפשרי, אלא אם התחום של <math>f</math> הוא ריק. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:59, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
'''בקשר ל-1:''' קח לדוגמא את שאלה 6 בתרגיל 2. נותון לי יחס G מסויים ומבקשים ממני להוכיח שהוא יחס שקילות על <math>AxB</math>. השאלה שלי היא: האם צריך קודם להוכיח ש-G הוא יחס על על <math>AxB</math>, בלי לענות עוד על השאלה אם הוא שקילות או לא.<br />
<br />
==שאלה על הגדרת הפונקציה==<br />
כדי להוכיח שf היא פו' יש להוכיח שמתקיימים בה 2 דברים, חד ערכיות, ו"שלמות", נכון? שלמות זה אומר שאם f היא מA לB אז לכל a ששייך לA יש b בB כך ש f(a)=b נכון? תודה.<br />
<br />
אני לא מתרגל אבל אני חושב שאם תכניס את המילים "אחד ויחיד" למשפט שאמרת אז תקבל שלמות וגם חד-ערכיות<br />
<br />
:כל הדרכים (שאין בהן טעות) מובילות לרומא. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:01, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה על פונקציה חח"ע==<br />
אם אני רוצה להוכיח שקיימת פונקציה חח"ע מA לB, מספיק להראות שמספר האיברים בA קטן או שווה למספר האיברים בB? [ואז ניתן ליצור פונקציה שתשלח כל איבר של A לאיבר אחר של B]<br />
או שעלי ממש להציג פונקציה שכזו?<br />
:אני חושב שבשאלה שצריך להראות שקיימת פו' חח"ע צריך להראות פונקציה כזאת.<br />
<br />
==לקבוצה של שני-הרכבת יחסים==<br />
הרכבת יחסית מוגדרת כפי שחלקכם אמרתם, הפוך ממה שאמרתי.<br />
ההגדרה: <math>R \subseteq A\times B \and S \subseteq B\times C</math> אזי<br />
<math>(a,c)\in S \circ R \iff \exist b \in B :(a,b) \in R \and (b,c) \in S</math><br />
<br />
(שני)<br />
<br />
== שאלה לגבי הבוחן==<br />
האם הבוחן יכלול גם פונקציות כמו <math>g:A->AxB</math> ? (איברים שהם זוג סדור)<br />
<br />
==שאלה 7==<br />
כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.<br />
<br />
---> אם היחסים שמצאת לא מסובכים מדי, אין צורך להוכיח שהם אכן יח"ש. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==A^2 יח"ש==<br />
צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
: אלא אם תתבקשו להוכיח שזה יח"ש, אתה יכול להתייחס לזה כעובדה. זה די טריוויאלי[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:06, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 3א בתרגיל 3==<br />
נאמר שf היא פונקציה מ-<math>\mathbb{Z}</math> ל-<math>\mathbb{N}</math>, אבל 0 אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math> (אבל איבר ב-<math>\mathbb{Z}</math>) ולכן ערכו המוחלט הוא אפס (ששוב, אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>). במקרה זה f אינו פונקציה ולכן בוודאי שלא מקיים אף אחד מהשלושה.<br />
לכן יש לי תחושה שקיימת טעות בסעיף זה, או שפשוט התכוונתם לגירסה הפחות רווחת לפיה גם אפס הוא איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים.<br />
:בתורת הקבוצות דווקא יותר נפוץ ש-0 הוא '''כן''' טבעי (כך מתקיים, למשל, שעוצמת כל קבוצה סופית היא מספר טבעי). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:55, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
::עם זאת בשאר ענפי המתמטיקה הנטייה היא לא לכלול את אפס, ובדר"כ כאשר המרצה (שי) מעוניין להבהיר שהוא מעוניין להתכוון גם לאפס אז הוא רושם <math>\mathbb{N}</math> חיתוך עם {0}. אני אסתמך על כך בתשובה, עם הערה לפיה f פונקציה אם"ם 0 מצוי בטבעיים.<br />
<br />
==שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.==<br />
האם הכוונה בz5 היא המודולו?<br />
:אכן.<br />
<br />
==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==<br />
האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?<br />
:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:<br />
**קבוצות<br />
**יחסים<br />
**פונקציות<br />
<br />
כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)<br />
<br />
-אבל לפי התרגול או ההרצאה?<br />
:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).<br />
<br />
---> הבוחן יכלול נושאים הבאים: קבוצות, יחסים ופונקציות. נושאים אלה הועברו הן בהרצאות הן בתרגולים. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4848בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-16T13:05:16Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלות */</p>
<hr />
<div><math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
כמה פונקציות יש מקבוצה ריקה לקבוצה לא ריקה?<br />
<br />
==שאלה 6,7==<br />
בשאלה 6 א',ב' אפשר פשוט להגיד שהעוצמה של A קטנה או שווה לעוצמה של B ולכן בB צריכים ליהיות אינסוף איברים?מה זה סדרה עולה?<br />
<br />
== שאלה==<br />
האם <math><br />
|A \setminus B | = |A | - |A \cap B |<br />
</math> נכון בעבור עוצמות?<br />
<br />
מותר לי להשתמש בזה בלי לנמק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא. זה כלל לא נכון לגבי עוצמות.<br />
לא הגדרנו כלל את סימן המינוס בעוצמות (למעט עוצמות סופיות)<br />
קח לדוגמא את <math>A=\mathbb{Q}</math> ו<math>B=\mathbb{N}</math>, אז לכאורה לפי הטענה שלך,<br />
<math>|A \setminus B|=\aleph_0-\aleph_0=0</math>?[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:35, 16 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 5==<br />
מה ההגדרה של הפרש עוצמות?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא הגדרנו הפרש עוצמות. בשאלה 5 מופיעה העוצמה של הפרש קבוצות. הפרש קבוצות הגדרנו. ההפרש כשלעצמו הוא קבוצה שיש לה עוצמה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 11:13, 16 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
'''מה זה הפרש קבוצות-a/b ?'''<br />
<br />
==שאלה 8==<br />
איך יודעים מה ההבדל בין גדולה "סתם" לגדולה "ממש"?<br />
<br />
'''תשובה:<br />
'''<br />
גדולה ממש זה גדולה ולא שווה. <math>|A|<|B|</math><br />
בתרגיל הנ"ל מבקשים קבוצה שעוצמת גדולה מעוצמת הרצף ובנוסף שלא תהיה שווה לה.<br />
<br />
==צריך להוכיח?==<br />
האם צריך להוכיח ש-<math>|A\setminus B|\le|A|</math> לכל שתי קבוצות A,B, או שזה נחשב טריוויאלי?<br />
<br />
===תשובה===<br />
זה נובע מכך ש<math>A \setminus B \subseteq A</math> ולכן זה די טריוויאלי. כעיקרון אפשר להעיר בקצרה ואין צורך ממש להוכיח את זה על מנת להשתמש בעובדה הזו אלא אם זה מה שאתם מתבקשים להוכיח. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 20:40, 15 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלות 4,6,7,8 ושאלה כללית על שאלות 1,3,5,9,10==<br />
* בשאלה 4: לא הבנתי את הרמז, מה זה <math>1/n</math>? ומהו הישר הממשי?<br />
* בשאלה 6-ד': מהי הקבוצה B? (אינסופית/סופית? האם היא יכולה להיות קבוצה ריקה?)<br />
* בשאלה 7: מהי קבוצת כל הסדרות העולות של המספרים הטבעיים?<br />
* בשאלה 8: מהי עוצמת הרצף?<br />
* שאלה כללית: העוצמות הכלליות שיש בשאלות שבתרגיל זה הן אינסופיות או סופיות (כמו העוצמות בשאלות 1,3,5,9,10)<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
* שאלה 4: הישר הממשי הוא דימוי הניתן לקבוצה <math>\R</math> שהיא קבוצת כל המספרים הממשיים. לדוגמא, ציר ה- x: <math>(-\infin,\infin)</math><br />
* שאלה 6: אם לא נתון אפיון של B, תבדוק את כל האפשרויות.<br />
* שאלה 7: סדרות של מספרים טבעיים בהן איבר ה-n-י גדול מהאיבר ה- n-1. למשל: {...,1,2,3,4,5} או {...,10,20,40,80}<br />
* שאלה 8: עוצמת הרצף היא העוצמה של המספרים הממשיים. עוצמת הרצף מסומנת באות <math>\aleph</math>.<br />
* שאלה כללית: אם לא נאמר אחרת, עוצמה יכולה להיות כלשהי.<br />
(גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==תרגיל 4 שאלה 4==<br />
מהו הישר הממשי? תודה, גל.<br />
==שאלה 5==<br />
בסעיף א', מתכוונים ל |a|-|b| = |a| - |c| במקום ל |a-b| = |a-c| לא? כי אין דבר כזה הפרש בין קבוצות (הפרש עם קו אנכי)..?<br />
:<math>A-B=A\setminus B</math> לכל שתי קבוצות A,B. אלה שני סימונים שונים להפרש קבוצות.<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
הכוונה ל- <math>|A\setminus B|=|A\setminus C|</math> (גרישה אושרוביץ')<br />
==חיתוך==<br />
אם ידוע לי ש-<math>A\setminus B=A\setminus C</math><br />
אני יכולה להסיק מזה שB=C?<br />
:לא: <math>A=\{1,2\}\and B=\{1\}\and C=\{0,1\}\implies A\setminus B=\{1,2\}\setminus\{1\}=\{2\}=\{1,2\}\setminus\{0,1\}=A\setminus C</math><br />
::התבלבלתי זה היה אמור להיות שB וC מוכלים בA.. ואז אני חושבת שזה נכון. אבל תודה :)<br />
:::אם <math>B,C\subseteq A</math> אז<br />
:::<math>\begin{align}&A\setminus B=A\setminus C\\\implies&A\cap B'=A\cap C'\\\implies&A'\cup(A\cap B')=A'\cup(A\cap C')\\\implies&(A'\cup A)\cap(A'\cup B')=(A'\cup A)\cap(A'\cup C')\\\implies&(A\cap B)'=(A\cap C)'\\\implies&A\cap B=A\cap C\\\implies&B=C\qquad\Big(\text{because }B,C\subseteq A\Big)\\\blacksquare\end{align}</math><br />
<br />
==תרגיל 3, שאלה 3==<br />
<br />
כאשר מוכיחים הופכיות של פונקציה ע"י מציאת הפונקציה ההופכית, צריך להראות איך הגענו לפונקציה ההופכית, או שמספיק להראות רק שהיא אכן ההופכית? לדוגמה, נתונה <math>f(x)=x^2-1\and f:\mathbb C\to\mathbb C</math>. האם צריך להסביר למה <math>g(x)=\sqrt{x+1}\and g:\mathbb C\to\mathbb C</math> היא ההופכית לה מימין (ולמה g פונקציה ולא יחס שאינו פונקציה)? תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 19:59, 10 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
===תשובה===<br />
בגדול, התשובה היא לא. לא תמיד יש אלגוריתם מובנה למציאת פונקצייה הופכית ואם עליתם עליה באיזושהי דרך, זה לא מאוד חשוב שתציינו איך עליתם עליה. וכן, כמובן אחרי שנתת את הפונקציה, אתה צריך להראות שהיא אכן ההופכית מימין לפונקצייה שאתה רוצה להוכיח שהיא הפיכה מימין. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 13:44, 12 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==תרגיל 3. שאלה 2. סעיף א'==<br />
האם אנחנו קובעים את a וb. אם לא אז איך אנחנו יודעים שמס' האיברים בb גדול שווה למס' האיברים בa?<br />
<br />
==שאלה 1 סעיף ד'==<br />
<br />
הכוונה היא שהטווח וגם התחום של הפונקציה הוא רק האיברים {0,1,2,3,4}?<br />
או שאפשר לקחת (בטווח) גם את 6,7,8 וכן אלה כשהם במודולו 5?<br />
ואם מדובר רק ב{0,1,2,3,4} בטווח, איך אפשר לדעת מה הולך למה?<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
כן. הן טווח והן תחום הם <math>\mathbb{Z}_5</math>. לשאלתך, למשל <math>3^2=_5 4</math> (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==תשובה==<br />
לדעתי, כל מה שבשדה <math>\mathbb{Z}_5</math> אחרת זאת לא פונקציה(אין הגדרה ל-<math>[x^2]</math> כאשר x=4 למשל)<br />
<br />
==תרגיל 4 (מתרגיל 3)==<br />
<br />
סעיף ו' ו-ה' דומים לחלוטין מלבד העובדה שב-ה' כתוב <math>f</math> וב-ו' כתוב<math>f^{-1}</math><br />
לא נתון כלום על <math>f</math> האם זה אומר שמותר לומר שנסמן את <math>f^{-1}=f</math> ואז ההוכחה שקולה להוכחת סעיף ה'?<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
אני מציע לחשוב איזה תכונות מיוחדות יש ל-<math>f^{-1}</math> (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה==<br />
<br />
אתם יכולים להזכיר איך בודקים חד ערכיות ושלמות?<br />
<br />
תודה רבה!<br />
<br />
:[[#שאלה על הגדרת הפונקציה]]<br />
<br />
==שאלה 2==<br />
אם אני מגדירה את הפונקציה G ככה זה בסדר?<br />
<math>g(x)= (x/2,x+1/2)</math><br />
ככה שאני מקבלת זוג סדור <math>(a,b)</math><br />
כש<math>a=(x/2)</math><br />
ו<math>b=(x+1/2)</math><br />
אם לא- מישהו יכול לתת לי כיוון איך להגדיר את הפונקציה?<br />
(וזה מה שאני צריכה לעשות-להגדיר פונקציה G ולהראות שהיא חח"ע?)<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
את צריכה לוודא האם <math>x/2 \in A</math> וגם <math>x+1/2 \in B</math> (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==להוכיח שפונקציה היא על==<br />
<br />
ראיתי את השאלות שלמטה והתשובות עליהן, ובכל זאת לא הבנתי איך להוכיח.<br />
<br />
אם אי אפשר למצוא נוסחה למקור?<br />
<br />
ראיתי בתשובות לבוחן שכדי להוכיח ש-f היא על, מספיק להוכיח ש-f הפיכה מימין, כלומר קיימת g מ-U ל-U כך ש-f הרכבה g היא פונקציית הזהות על U.<br />
<br />
לא מצאתי במחברת שלי שום דבר על "הפיכה מימין" - אפשר בבקשה הסבר מה זה?<br />
<br />
ואם מדובר פה על איזה משפט מוגדר, אז נוסח המשפט יעזור לי מאוד. לא מצאתי כזה במחברת.<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם <math>g \circ f</math> חח"ע ועל אזי <math>f</math> חח"ע ו<math>g</math> על. בפרט, אם <math>g \circ f=id</math> אז היא חח"ע ועל.<br />
כלומר, אם <math>g</math> היא הפיכה מימין (כלומר קיימת <math>f</math> כך ש<math>g \circ f=id</math>) אז <math>g</math> על.<br />
אגב, הקושי למצוא נוסחא למציאת מקור עבור כל תמונה זהה לקושי במציאת פונקצייה מתאימה מימין. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:00, 8 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
:תודה על התשובה. מה זה id?<br />
<br />
הקושי העיקרי שלי בלהוכיח "על" הוא ההסברה. כמעט שום הסבר לא נראה לי מספק וסגור מכל הקצוות. כך שאם יש נוסחה שאומרת שברגע שמצאתי (עצם המציאה לא קשה בפונקציות שבתרגיל) f כך ש-g הרכבה f שווה משהו אז g על, זה פותר את הקושי.<br />
<br />
==שאלות 2 ו3-א'==<br />
בשאלה 2, האם אני צריך להוכיח ש <math>g:A \rightarrow AxB</math> היא פונקציה?<br />
בנוסף, אני גם לא כל כך הבנתי איך אפשר לעשות פונקציה בין יחסים (כמו <math>AxB \rightarrow BxB</math>) או בין קבוצה ליחס כמו בשאלה הנ"ל.<br />
<br />
בשאלה 3, כתוב לציין האם הפונקציה הפיכה או חח"ע או על, אבל האם היא יכולה להיות אף אחת מהן? או בכלל לא פונקציה, כמו ב3-א' ש <math>f(0)</math> שלא מוגדר?<br />
ובשאלה כתוב לציין, אז אני צריך גם להוכיח/לנמק למה אם היא כן? או לתת דוגמה נגדית אם היא לא?<br />
<br />
אם מישהו יוכל לענות כמה שיותר מהר, עוד לפני הבוחן, אני אודה לו מאוד.<br />
תודה רבה.<br />
<br />
'''תשובה מאוד חלקית'''<br />
<br />
אני לא מבין גדול בנושא הזה שרק אתמול קיבלנו את התרגול עליו, ואני מאוד מפחד להטעות אותך. מה שכן, בתחילת העמוד יש תשובה שתענה לך על השאלה בנוגע ל-<math>f(0)</math><br />
<br />
===תשובה (אולי פחות חלקית)===<br />
באשר לשאלה 2, לא נתונה לך פונקציה <math>g</math> שאתה פשוט צריך להוכיח שהיא פונקציה. אתה צריך לתת פונקציה ולהראות שהיא חח"ע. לרוב, כשמגדירים פונקציה, אז דואגים שהיא תהייה פונקציה, למשל נותנים לכל איבר במקור איבר אחד בטווח. ברגע שתגדיר את הפונקציה, אז יותר חשוב משתוכיח לנו שהיא פונקציה, חשוב שתוכיח שהיא חח"ע. יש?<br />
<br />
באשר לשאלה 3א, מעולם לא שמעתי שהערך המוחלט של אפס לא מוגדר. הערך המוחלט של אפס הוא אפס ותו לא. אין שם אף פונקציה שהיא איננה פונקציה. כעיקרון תיתכן פונקציה בשאלה הזו שניתן לכם והיא לא תהיה על, לא חח"ע וכיוצא בכך לא הפיכה, אך אינני מבטיח שזה המצב. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 01:52, 4 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
<br />
תודה.<br />
<br />
בקשר ל-0 התכוונתי שהפונקציה מוגדרת מהשלמים לטבעיים ו-0 לא שייך לטבעיים, או שאולי בשאלה הזו הכוונה היא שהוא כן שייך?<br />
<br />
ובקשר לפונקציה בין יחסים. גם המרצה וגם המתרגלת שלנו לא עברו איתנו על זה ואני לא מבין איך אפשר לפתור את שאלה 3. אז אפשר הסבר קצר?<br />
<br />
שמע,<br />
ישנן שתי אסכולות בנוגע למספרים טבעיים. אחת גורסת כי אפס הוא טבעי (ומתבססת על כך שבבנייה הגנרית של מספרים טבעיים משתמשים באפס) והשניה גורסת כי אפס לא טבעי (ומתבססת על כך שבמשך מאות שנים אנשים חכמים מאוד, כמו היוונים העתיקים, עשו חישובים מסובכים בלי להכיר בכלל את המספר אפס, שהגיע לאירופה עם הערבים בסוף האלף הראשון לספירה).<br />
אני לא יודע מי כתב את השאלה במקור, אך הוא כנראה כלל את אפס כמספר טבעי.<br />
<br />
בקשר לפונקציות "בין יחסים", אתה כנראה מדבר על הפונקציה <math>g: A \rightarrow A \times B</math>. אין משהו מיוחד ללמוד פה, זו סתם פונקציה שהמקור שלה זו הקבוצה <math>A</math> והטווח זו הקבוצה <math>A \times B</math>. אין חשיבות לעובדה ש <math>A \times B</math> זה גם יחס. תנסה כתרגיל לבחור <math>A</math> ו<math>B</math> ופונקציה <math>g</math> כנ"ל תחילה ואז תתקדם לנסות להוכיח את מה שאתה מתבקש.<br />
<br />
באשר לשאלה 3, ראשית כדאי שתוודא עם עצמך אם אתה יודע מה זו פונקצייה על ומה זו פונקצייה חח"ע.<br />
אם אתה רוצה לבדוק אם פונקצייה היא על אתה צריך לבדוק אם לכל איבר בטווח יש מקור. אם החלטת שהיא אכן על אז תראה כי אכן לכל איבר בטווח יש מקור. אם החלטת שהיא איננה על אז תראה שקיים איבר בטווח שאין לו מקור.<br />
אם אתה רוצה לוהכיח שפונקצייה היא חח"ע אתה צריך להראות שאם שני מקורות הולכים לאותה תמונה אז המקורות שווים. אם החלטת שהפונקצייה איננה חח"ע אתה צריך לתת דוגמא לשני מקורות שונים שהולכים לאותה תמונה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:01, 5 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
<br />
תודה רבה!<br />
<br />
==אותה שאלה==<br />
לא ענו לי קודם, כנראה כי לא ראו או משהו, וזה נרוא חשוב, אז אני שואל את זה שוב.<br />
<br />
נקח לדוגמא את שאלה 6 בתרגיל 2. נתון לי יחס G מסויים ומבקשים ממני להוכיח שהוא יחס שקילות על . השאלה שלי היא: האם צריך קודם להוכיח ש-G הוא יחס על על , בלי לענות עוד על השאלה אם הוא שקילות או לא. <br />
<br />
לפי דעית לא, כי זה נובע ישירות מדרך ההגדרה של G.<br />
<br />
===תשובה===<br />
נדמה לי שהבנתי את כוונתך. באשר שאלה האם צריך להראות ש<math>G</math> הוא יחס על <math>A \times B</math>, דהיינו להראות <math>G \subseteq (A \times B) \times (A \times B)</math>, התשובה היא לא, אין צורך. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 01:44, 4 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==הודעה לקראת הבוחן==<br />
(זה אומנם לא הדף הנכון לשים בו את ההודעה הזו, אך יש יותר סיכוי שיקראו אותה אם היא תופיע גם בדף הזה)<br />
<br />
1) הבוחן מחר (4/8/2010) יתקיים בשעה 12:30 לאחר תרגול של חצי שעה.<br />
<br />
2) הבוחן יכלול שלוש שאלות שעל כולן יש לענות (לא שתיים מתוך שלוש כפי שחשבתי תחילה שיהיה).<br />
<br />
3) אורך הבוחן יהיה שעה.<br />
<br />
4) לתלמידים שיש להם אישור מטעם האוניברסיטה על הארכת זמן תינתנה 15 דקות נוספות.<br />
<br />
5) תלמידים עם הארכות זמן ייבחנו בחדר 103 בשעה הנקובה למעלה, גם אם הם לומדים לפני כן בכיתה אחרת.<br />
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 20:42, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
==הוכחה שפונקציה היא על==<br />
איך מוכיחים שפונקציה היא על (כמו בשאלה 3א' בתרגיל 3)? חיפשתי דוגמאות להוכחות כאלה מההרצאות, אבל כשהמרצה הוכיח שפונקציה כלשהי היא על הוא תמיד (בדוגמאות שמצאתי) השתמש בכך שפונקציה אחרת (g) היא על וככה הוכיח שיש a ששייך לA כך ש f(a) = b. איך מוכיחים שפונקציה היא על כש"ברור" שהיא על, כמו בשאלה 3א'? תודה רבה מראש.<br />
<br />
:ראה תשובה לשאלה הקודמת[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:55, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
::תודה<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
מה הדרך הנכונה ביותר להוכיח שפונקציה מסוימת היא פונקציה על?<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם ברצונך להראות כי <math>f: A \rightarrow B</math> הינה פונקציית על,<br />
אתה צריך להראות כי לכל איבר <math>b \in B</math> יש מקור <math>a \in A</math>.<br />
לעיתים יש נוסחה לאיבר כללי ב<math>B</math> ואז ניתן לפתח נוסחה למקור של כל איבר כזה,<br />
למשל אם <math>f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}</math> כך ש<math>f(z)=z+1</math>,<br />
אזי לכל <math>b \in \mathbb{b}</math> יש מקור <math>b-1</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:54, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
תודה<br />
<br />
:האם צריך להוכיח משהו לגבי הנוסחה למקור? מה צריך להוכיח לגביה?<br />
<br />
==שתי שאלות==<br />
1. אם מבקשים ממני להוכיח ש-R הוא יחס שקילות ל-A, האם עלי להוכיח בראש ובראשונה ש-R יחס על A (בעיקר משאלות 9,6 מתרגיל 9), או שזה מובן מאליו?<br />
<br />
2. אם מבקשים ממני למצוא את F הרכבה G, וזה לא קיים, האם התשובה היא קבוצה ריקה או שזה פשוט לא מוגדר (זכור לי משהו כזה מהשיעורים)? והאם יש הבדל בתשובה בין יחסים לבין פונקציות?<br />
<br />
תודה רבה.<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
1. יחס שקילות הוא תמיד על <math>A</math>, דהיינו מ<math>A</math> ל<math>A</math> כלשהו. אני לא כל כך מבין למה את\ה מתכוון\ת ב"<math>R</math> יחס שקילות ל<math>A</math>.<br />
<br />
2. ייתכן כי הרכבת יחסים תיתן את היחס הריק. עבור פונקציות <math>g \circ f</math> הדבר איננו אפשרי, אלא אם התחום של <math>f</math> הוא ריק. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:59, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
'''בקשר ל-1:''' קח לדוגמא את שאלה 6 בתרגיל 2. נותון לי יחס G מסויים ומבקשים ממני להוכיח שהוא יחס שקילות על <math>AxB</math>. השאלה שלי היא: האם צריך קודם להוכיח ש-G הוא יחס על על <math>AxB</math>, בלי לענות עוד על השאלה אם הוא שקילות או לא.<br />
<br />
==שאלה על הגדרת הפונקציה==<br />
כדי להוכיח שf היא פו' יש להוכיח שמתקיימים בה 2 דברים, חד ערכיות, ו"שלמות", נכון? שלמות זה אומר שאם f היא מA לB אז לכל a ששייך לA יש b בB כך ש f(a)=b נכון? תודה.<br />
<br />
אני לא מתרגל אבל אני חושב שאם תכניס את המילים "אחד ויחיד" למשפט שאמרת אז תקבל שלמות וגם חד-ערכיות<br />
<br />
:כל הדרכים (שאין בהן טעות) מובילות לרומא. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:01, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה על פונקציה חח"ע==<br />
אם אני רוצה להוכיח שקיימת פונקציה חח"ע מA לB, מספיק להראות שמספר האיברים בA קטן או שווה למספר האיברים בB? [ואז ניתן ליצור פונקציה שתשלח כל איבר של A לאיבר אחר של B]<br />
או שעלי ממש להציג פונקציה שכזו?<br />
:אני חושב שבשאלה שצריך להראות שקיימת פו' חח"ע צריך להראות פונקציה כזאת.<br />
<br />
==לקבוצה של שני-הרכבת יחסים==<br />
הרכבת יחסית מוגדרת כפי שחלקכם אמרתם, הפוך ממה שאמרתי.<br />
ההגדרה: <math>R \subseteq A\times B \and S \subseteq B\times C</math> אזי<br />
<math>(a,c)\in S \circ R \iff \exist b \in B :(a,b) \in R \and (b,c) \in S</math><br />
<br />
(שני)<br />
<br />
== שאלה לגבי הבוחן==<br />
האם הבוחן יכלול גם פונקציות כמו <math>g:A->AxB</math> ? (איברים שהם זוג סדור)<br />
<br />
==שאלה 7==<br />
כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.<br />
<br />
---> אם היחסים שמצאת לא מסובכים מדי, אין צורך להוכיח שהם אכן יח"ש. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==A^2 יח"ש==<br />
צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
: אלא אם תתבקשו להוכיח שזה יח"ש, אתה יכול להתייחס לזה כעובדה. זה די טריוויאלי[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:06, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 3א בתרגיל 3==<br />
נאמר שf היא פונקציה מ-<math>\mathbb{Z}</math> ל-<math>\mathbb{N}</math>, אבל 0 אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math> (אבל איבר ב-<math>\mathbb{Z}</math>) ולכן ערכו המוחלט הוא אפס (ששוב, אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>). במקרה זה f אינו פונקציה ולכן בוודאי שלא מקיים אף אחד מהשלושה.<br />
לכן יש לי תחושה שקיימת טעות בסעיף זה, או שפשוט התכוונתם לגירסה הפחות רווחת לפיה גם אפס הוא איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים.<br />
:בתורת הקבוצות דווקא יותר נפוץ ש-0 הוא '''כן''' טבעי (כך מתקיים, למשל, שעוצמת כל קבוצה סופית היא מספר טבעי). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:55, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
::עם זאת בשאר ענפי המתמטיקה הנטייה היא לא לכלול את אפס, ובדר"כ כאשר המרצה (שי) מעוניין להבהיר שהוא מעוניין להתכוון גם לאפס אז הוא רושם <math>\mathbb{N}</math> חיתוך עם {0}. אני אסתמך על כך בתשובה, עם הערה לפיה f פונקציה אם"ם 0 מצוי בטבעיים.<br />
<br />
==שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.==<br />
האם הכוונה בz5 היא המודולו?<br />
:אכן.<br />
<br />
==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==<br />
האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?<br />
:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:<br />
**קבוצות<br />
**יחסים<br />
**פונקציות<br />
<br />
כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)<br />
<br />
-אבל לפי התרגול או ההרצאה?<br />
:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).<br />
<br />
---> הבוחן יכלול נושאים הבאים: קבוצות, יחסים ופונקציות. נושאים אלה הועברו הן בהרצאות הן בתרגולים. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4816בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-15T15:08:50Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלה 3 */</p>
<hr />
<div><math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
<br />
==שאלות 4,6,7,8 ושאלה כללית על שאלות 1,3,5,9,10==<br />
* בשאלה 4: לא הבנתי את הרמז, מה זה <math>1/n</math>? ומהו הישר הממשי?<br />
* בשאלה 6-ד': מהי הקבוצה B? (אינסופית/סופית? האם היא יכולה להיות קבוצה ריקה?)<br />
* בשאלה 7: מהי קבוצת כל הסדרות העולות של המספרים הטבעיים?<br />
* בשאלה 8: מהי עוצמת הרצף?<br />
* שאלה כללית: העוצמות הכלליות שיש בשאלות שבתרגיל זה הן אינסופיות או סופיות (כמו העוצמות בשאלות 1,3,5,9,10)<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
* שאלה 4: הישר הממשי הוא דימוי הניתן לקבוצה <math>\R</math> שהיא קבוצת כל המספרים הממשיים. לדוגמא, ציר ה- x: <math>(-\infin,\infin)</math><br />
* שאלה 6: אם לא נתון אפיון של B, תבדוק את כל האפשרויות.<br />
* שאלה 7: סדרות של מספרים טבעיים בהן איבר ה-n-י גדול מהאיבר ה- n-1. למשל: {...,1,2,3,4,5} או {...,10,20,40,80}<br />
* שאלה 8: עוצמת הרצף היא העוצמה של המספרים הממשיים. עוצמת הרצף מסומנת באות <math>\aleph</math>.<br />
* שאלה כללית: אם לא נאמר אחרת, עוצמה יכולה להיות כלשהי.<br />
(גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==תרגיל 4 שאלה 4==<br />
מהו הישר הממשי? תודה, גל.<br />
==שאלה 5==<br />
בסעיף א', מתכוונים ל |a|-|b| = |a| - |c| במקום ל |a-b| = |a-c| לא? כי אין דבר כזה הפרש בין קבוצות (הפרש עם קו אנכי)..?<br />
:<math>A-B=A\setminus B</math> לכל שתי קבוצות A,B. אלה שני סימונים שונים להפרש קבוצות.<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
הכוונה ל- <math>|A\setminus B|=|A\setminus C|</math> (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==חיתוך==<br />
אם ידוע לי ש-<math>A\setminus B=A\setminus C</math><br />
אני יכולה להסיק מזה שB=C?<br />
:לא: <math>A=\{1,2\}\and B=\{1\}\and C=\{0,1\}\implies A\setminus B=\{1,2\}\setminus\{1\}=\{2\}=\{1,2\}\setminus\{0,1\}=A\setminus C</math><br />
::התבלבלתי זה היה אמור להיות שB וC מוכלים בA.. ואז אני חושבת שזה נכון. אבל תודה :)<br />
:::אם <math>B,C\subseteq A</math> אז<br />
:::<math>\begin{align}&A\setminus B=A\setminus C\\\implies&A\cap B'=A\cap C'\\\implies&A'\cup(A\cap B')=A'\cup(A\cap C')\\\implies&(A'\cup A)\cap(A'\cup B')=(A'\cup A)\cap(A'\cup C')\\\implies&(A\cap B)'=(A\cap C)'\\\implies&A\cap B=A\cap C\\\implies&B=C\qquad\Big(\text{because }B,C\subseteq A\Big)\\\blacksquare\end{align}</math><br />
<br />
==תרגיל 3, שאלה 3==<br />
<br />
כאשר מוכיחים הופכיות של פונקציה ע"י מציאת הפונקציה ההופכית, צריך להראות איך הגענו לפונקציה ההופכית, או שמספיק להראות רק שהיא אכן ההופכית? לדוגמה, נתונה <math>f(x)=x^2-1\and f:\mathbb C\to\mathbb C</math>. האם צריך להסביר למה <math>g(x)=\sqrt{x+1}\and g:\mathbb C\to\mathbb C</math> היא ההופכית לה מימין (ולמה g פונקציה ולא יחס שאינו פונקציה)? תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 19:59, 10 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
===תשובה===<br />
בגדול, התשובה היא לא. לא תמיד יש אלגוריתם מובנה למציאת פונקצייה הופכית ואם עליתם עליה באיזושהי דרך, זה לא מאוד חשוב שתציינו איך עליתם עליה. וכן, כמובן אחרי שנתת את הפונקציה, אתה צריך להראות שהיא אכן ההופכית מימין לפונקצייה שאתה רוצה להוכיח שהיא הפיכה מימין. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 13:44, 12 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==תרגיל 3. שאלה 2. סעיף א'==<br />
האם אנחנו קובעים את a וb. אם לא אז איך אנחנו יודעים שמס' האיברים בb גדול שווה למס' האיברים בa?<br />
<br />
==שאלה 1 סעיף ד'==<br />
<br />
הכוונה היא שהטווח וגם התחום של הפונקציה הוא רק האיברים {0,1,2,3,4}?<br />
או שאפשר לקחת (בטווח) גם את 6,7,8 וכן אלה כשהם במודולו 5?<br />
ואם מדובר רק ב{0,1,2,3,4} בטווח, איך אפשר לדעת מה הולך למה?<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
כן. הן טווח והן תחום הם <math>\mathbb{Z}_5</math>. לשאלתך, למשל <math>3^2=_5 4</math> (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==תשובה==<br />
לדעתי, כל מה שבשדה <math>\mathbb{Z}_5</math> אחרת זאת לא פונקציה(אין הגדרה ל-<math>[x^2]</math> כאשר x=4 למשל)<br />
<br />
==תרגיל 4 (מתרגיל 3)==<br />
<br />
סעיף ו' ו-ה' דומים לחלוטין מלבד העובדה שב-ה' כתוב <math>f</math> וב-ו' כתוב<math>f^{-1}</math><br />
לא נתון כלום על <math>f</math> האם זה אומר שמותר לומר שנסמן את <math>f^{-1}=f</math> ואז ההוכחה שקולה להוכחת סעיף ה'?<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
אני מציע לחשוב איזה תכונות מיוחדות יש ל-<math>f^{-1}</math> (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה==<br />
<br />
אתם יכולים להזכיר איך בודקים חד ערכיות ושלמות?<br />
<br />
תודה רבה!<br />
<br />
:[[#שאלה על הגדרת הפונקציה]]<br />
<br />
==שאלה 2==<br />
אם אני מגדירה את הפונקציה G ככה זה בסדר?<br />
<math>g(x)= (x/2,x+1/2)</math><br />
ככה שאני מקבלת זוג סדור <math>(a,b)</math><br />
כש<math>a=(x/2)</math><br />
ו<math>b=(x+1/2)</math><br />
אם לא- מישהו יכול לתת לי כיוון איך להגדיר את הפונקציה?<br />
(וזה מה שאני צריכה לעשות-להגדיר פונקציה G ולהראות שהיא חח"ע?)<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
את צריכה לוודא האם <math>x/2 \in A</math> וגם <math>x+1/2 \in B</math> (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==להוכיח שפונקציה היא על==<br />
<br />
ראיתי את השאלות שלמטה והתשובות עליהן, ובכל זאת לא הבנתי איך להוכיח.<br />
<br />
אם אי אפשר למצוא נוסחה למקור?<br />
<br />
ראיתי בתשובות לבוחן שכדי להוכיח ש-f היא על, מספיק להוכיח ש-f הפיכה מימין, כלומר קיימת g מ-U ל-U כך ש-f הרכבה g היא פונקציית הזהות על U.<br />
<br />
לא מצאתי במחברת שלי שום דבר על "הפיכה מימין" - אפשר בבקשה הסבר מה זה?<br />
<br />
ואם מדובר פה על איזה משפט מוגדר, אז נוסח המשפט יעזור לי מאוד. לא מצאתי כזה במחברת.<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם <math>g \circ f</math> חח"ע ועל אזי <math>f</math> חח"ע ו<math>g</math> על. בפרט, אם <math>g \circ f=id</math> אז היא חח"ע ועל.<br />
כלומר, אם <math>g</math> היא הפיכה מימין (כלומר קיימת <math>f</math> כך ש<math>g \circ f=id</math>) אז <math>g</math> על.<br />
אגב, הקושי למצוא נוסחא למציאת מקור עבור כל תמונה זהה לקושי במציאת פונקצייה מתאימה מימין. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:00, 8 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
:תודה על התשובה. מה זה id?<br />
<br />
הקושי העיקרי שלי בלהוכיח "על" הוא ההסברה. כמעט שום הסבר לא נראה לי מספק וסגור מכל הקצוות. כך שאם יש נוסחה שאומרת שברגע שמצאתי (עצם המציאה לא קשה בפונקציות שבתרגיל) f כך ש-g הרכבה f שווה משהו אז g על, זה פותר את הקושי.<br />
<br />
==שאלות 2 ו3-א'==<br />
בשאלה 2, האם אני צריך להוכיח ש <math>g:A \rightarrow AxB</math> היא פונקציה?<br />
בנוסף, אני גם לא כל כך הבנתי איך אפשר לעשות פונקציה בין יחסים (כמו <math>AxB \rightarrow BxB</math>) או בין קבוצה ליחס כמו בשאלה הנ"ל.<br />
<br />
בשאלה 3, כתוב לציין האם הפונקציה הפיכה או חח"ע או על, אבל האם היא יכולה להיות אף אחת מהן? או בכלל לא פונקציה, כמו ב3-א' ש <math>f(0)</math> שלא מוגדר?<br />
ובשאלה כתוב לציין, אז אני צריך גם להוכיח/לנמק למה אם היא כן? או לתת דוגמה נגדית אם היא לא?<br />
<br />
אם מישהו יוכל לענות כמה שיותר מהר, עוד לפני הבוחן, אני אודה לו מאוד.<br />
תודה רבה.<br />
<br />
'''תשובה מאוד חלקית'''<br />
<br />
אני לא מבין גדול בנושא הזה שרק אתמול קיבלנו את התרגול עליו, ואני מאוד מפחד להטעות אותך. מה שכן, בתחילת העמוד יש תשובה שתענה לך על השאלה בנוגע ל-<math>f(0)</math><br />
<br />
===תשובה (אולי פחות חלקית)===<br />
באשר לשאלה 2, לא נתונה לך פונקציה <math>g</math> שאתה פשוט צריך להוכיח שהיא פונקציה. אתה צריך לתת פונקציה ולהראות שהיא חח"ע. לרוב, כשמגדירים פונקציה, אז דואגים שהיא תהייה פונקציה, למשל נותנים לכל איבר במקור איבר אחד בטווח. ברגע שתגדיר את הפונקציה, אז יותר חשוב משתוכיח לנו שהיא פונקציה, חשוב שתוכיח שהיא חח"ע. יש?<br />
<br />
באשר לשאלה 3א, מעולם לא שמעתי שהערך המוחלט של אפס לא מוגדר. הערך המוחלט של אפס הוא אפס ותו לא. אין שם אף פונקציה שהיא איננה פונקציה. כעיקרון תיתכן פונקציה בשאלה הזו שניתן לכם והיא לא תהיה על, לא חח"ע וכיוצא בכך לא הפיכה, אך אינני מבטיח שזה המצב. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 01:52, 4 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
<br />
תודה.<br />
<br />
בקשר ל-0 התכוונתי שהפונקציה מוגדרת מהשלמים לטבעיים ו-0 לא שייך לטבעיים, או שאולי בשאלה הזו הכוונה היא שהוא כן שייך?<br />
<br />
ובקשר לפונקציה בין יחסים. גם המרצה וגם המתרגלת שלנו לא עברו איתנו על זה ואני לא מבין איך אפשר לפתור את שאלה 3. אז אפשר הסבר קצר?<br />
<br />
שמע,<br />
ישנן שתי אסכולות בנוגע למספרים טבעיים. אחת גורסת כי אפס הוא טבעי (ומתבססת על כך שבבנייה הגנרית של מספרים טבעיים משתמשים באפס) והשניה גורסת כי אפס לא טבעי (ומתבססת על כך שבמשך מאות שנים אנשים חכמים מאוד, כמו היוונים העתיקים, עשו חישובים מסובכים בלי להכיר בכלל את המספר אפס, שהגיע לאירופה עם הערבים בסוף האלף הראשון לספירה).<br />
אני לא יודע מי כתב את השאלה במקור, אך הוא כנראה כלל את אפס כמספר טבעי.<br />
<br />
בקשר לפונקציות "בין יחסים", אתה כנראה מדבר על הפונקציה <math>g: A \rightarrow A \times B</math>. אין משהו מיוחד ללמוד פה, זו סתם פונקציה שהמקור שלה זו הקבוצה <math>A</math> והטווח זו הקבוצה <math>A \times B</math>. אין חשיבות לעובדה ש <math>A \times B</math> זה גם יחס. תנסה כתרגיל לבחור <math>A</math> ו<math>B</math> ופונקציה <math>g</math> כנ"ל תחילה ואז תתקדם לנסות להוכיח את מה שאתה מתבקש.<br />
<br />
באשר לשאלה 3, ראשית כדאי שתוודא עם עצמך אם אתה יודע מה זו פונקצייה על ומה זו פונקצייה חח"ע.<br />
אם אתה רוצה לבדוק אם פונקצייה היא על אתה צריך לבדוק אם לכל איבר בטווח יש מקור. אם החלטת שהיא אכן על אז תראה כי אכן לכל איבר בטווח יש מקור. אם החלטת שהיא איננה על אז תראה שקיים איבר בטווח שאין לו מקור.<br />
אם אתה רוצה לוהכיח שפונקצייה היא חח"ע אתה צריך להראות שאם שני מקורות הולכים לאותה תמונה אז המקורות שווים. אם החלטת שהפונקצייה איננה חח"ע אתה צריך לתת דוגמא לשני מקורות שונים שהולכים לאותה תמונה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:01, 5 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
<br />
תודה רבה!<br />
<br />
==אותה שאלה==<br />
לא ענו לי קודם, כנראה כי לא ראו או משהו, וזה נרוא חשוב, אז אני שואל את זה שוב.<br />
<br />
נקח לדוגמא את שאלה 6 בתרגיל 2. נתון לי יחס G מסויים ומבקשים ממני להוכיח שהוא יחס שקילות על . השאלה שלי היא: האם צריך קודם להוכיח ש-G הוא יחס על על , בלי לענות עוד על השאלה אם הוא שקילות או לא. <br />
<br />
לפי דעית לא, כי זה נובע ישירות מדרך ההגדרה של G.<br />
<br />
===תשובה===<br />
נדמה לי שהבנתי את כוונתך. באשר שאלה האם צריך להראות ש<math>G</math> הוא יחס על <math>A \times B</math>, דהיינו להראות <math>G \subseteq (A \times B) \times (A \times B)</math>, התשובה היא לא, אין צורך. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 01:44, 4 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==הודעה לקראת הבוחן==<br />
(זה אומנם לא הדף הנכון לשים בו את ההודעה הזו, אך יש יותר סיכוי שיקראו אותה אם היא תופיע גם בדף הזה)<br />
<br />
1) הבוחן מחר (4/8/2010) יתקיים בשעה 12:30 לאחר תרגול של חצי שעה.<br />
<br />
2) הבוחן יכלול שלוש שאלות שעל כולן יש לענות (לא שתיים מתוך שלוש כפי שחשבתי תחילה שיהיה).<br />
<br />
3) אורך הבוחן יהיה שעה.<br />
<br />
4) לתלמידים שיש להם אישור מטעם האוניברסיטה על הארכת זמן תינתנה 15 דקות נוספות.<br />
<br />
5) תלמידים עם הארכות זמן ייבחנו בחדר 103 בשעה הנקובה למעלה, גם אם הם לומדים לפני כן בכיתה אחרת.<br />
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 20:42, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
==הוכחה שפונקציה היא על==<br />
איך מוכיחים שפונקציה היא על (כמו בשאלה 3א' בתרגיל 3)? חיפשתי דוגמאות להוכחות כאלה מההרצאות, אבל כשהמרצה הוכיח שפונקציה כלשהי היא על הוא תמיד (בדוגמאות שמצאתי) השתמש בכך שפונקציה אחרת (g) היא על וככה הוכיח שיש a ששייך לA כך ש f(a) = b. איך מוכיחים שפונקציה היא על כש"ברור" שהיא על, כמו בשאלה 3א'? תודה רבה מראש.<br />
<br />
:ראה תשובה לשאלה הקודמת[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:55, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
::תודה<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
מה הדרך הנכונה ביותר להוכיח שפונקציה מסוימת היא פונקציה על?<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם ברצונך להראות כי <math>f: A \rightarrow B</math> הינה פונקציית על,<br />
אתה צריך להראות כי לכל איבר <math>b \in B</math> יש מקור <math>a \in A</math>.<br />
לעיתים יש נוסחה לאיבר כללי ב<math>B</math> ואז ניתן לפתח נוסחה למקור של כל איבר כזה,<br />
למשל אם <math>f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}</math> כך ש<math>f(z)=z+1</math>,<br />
אזי לכל <math>b \in \mathbb{b}</math> יש מקור <math>b-1</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:54, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
תודה<br />
<br />
:האם צריך להוכיח משהו לגבי הנוסחה למקור? מה צריך להוכיח לגביה?<br />
<br />
==שתי שאלות==<br />
1. אם מבקשים ממני להוכיח ש-R הוא יחס שקילות ל-A, האם עלי להוכיח בראש ובראשונה ש-R יחס על A (בעיקר משאלות 9,6 מתרגיל 9), או שזה מובן מאליו?<br />
<br />
2. אם מבקשים ממני למצוא את F הרכבה G, וזה לא קיים, האם התשובה היא קבוצה ריקה או שזה פשוט לא מוגדר (זכור לי משהו כזה מהשיעורים)? והאם יש הבדל בתשובה בין יחסים לבין פונקציות?<br />
<br />
תודה רבה.<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
1. יחס שקילות הוא תמיד על <math>A</math>, דהיינו מ<math>A</math> ל<math>A</math> כלשהו. אני לא כל כך מבין למה את\ה מתכוון\ת ב"<math>R</math> יחס שקילות ל<math>A</math>.<br />
<br />
2. ייתכן כי הרכבת יחסים תיתן את היחס הריק. עבור פונקציות <math>g \circ f</math> הדבר איננו אפשרי, אלא אם התחום של <math>f</math> הוא ריק. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:59, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
'''בקשר ל-1:''' קח לדוגמא את שאלה 6 בתרגיל 2. נותון לי יחס G מסויים ומבקשים ממני להוכיח שהוא יחס שקילות על <math>AxB</math>. השאלה שלי היא: האם צריך קודם להוכיח ש-G הוא יחס על על <math>AxB</math>, בלי לענות עוד על השאלה אם הוא שקילות או לא.<br />
<br />
==שאלה על הגדרת הפונקציה==<br />
כדי להוכיח שf היא פו' יש להוכיח שמתקיימים בה 2 דברים, חד ערכיות, ו"שלמות", נכון? שלמות זה אומר שאם f היא מA לB אז לכל a ששייך לA יש b בB כך ש f(a)=b נכון? תודה.<br />
<br />
אני לא מתרגל אבל אני חושב שאם תכניס את המילים "אחד ויחיד" למשפט שאמרת אז תקבל שלמות וגם חד-ערכיות<br />
<br />
:כל הדרכים (שאין בהן טעות) מובילות לרומא. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:01, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה על פונקציה חח"ע==<br />
אם אני רוצה להוכיח שקיימת פונקציה חח"ע מA לB, מספיק להראות שמספר האיברים בA קטן או שווה למספר האיברים בB? [ואז ניתן ליצור פונקציה שתשלח כל איבר של A לאיבר אחר של B]<br />
או שעלי ממש להציג פונקציה שכזו?<br />
:אני חושב שבשאלה שצריך להראות שקיימת פו' חח"ע צריך להראות פונקציה כזאת.<br />
<br />
==לקבוצה של שני-הרכבת יחסים==<br />
הרכבת יחסית מוגדרת כפי שחלקכם אמרתם, הפוך ממה שאמרתי.<br />
ההגדרה: <math>R \subseteq A\times B \and S \subseteq B\times C</math> אזי<br />
<math>(a,c)\in S \circ R \iff \exist b \in B :(a,b) \in R \and (b,c) \in S</math><br />
<br />
(שני)<br />
<br />
== שאלה לגבי הבוחן==<br />
האם הבוחן יכלול גם פונקציות כמו <math>g:A->AxB</math> ? (איברים שהם זוג סדור)<br />
<br />
==שאלה 7==<br />
כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.<br />
<br />
---> אם היחסים שמצאת לא מסובכים מדי, אין צורך להוכיח שהם אכן יח"ש. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==A^2 יח"ש==<br />
צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
: אלא אם תתבקשו להוכיח שזה יח"ש, אתה יכול להתייחס לזה כעובדה. זה די טריוויאלי[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:06, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 3א בתרגיל 3==<br />
נאמר שf היא פונקציה מ-<math>\mathbb{Z}</math> ל-<math>\mathbb{N}</math>, אבל 0 אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math> (אבל איבר ב-<math>\mathbb{Z}</math>) ולכן ערכו המוחלט הוא אפס (ששוב, אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>). במקרה זה f אינו פונקציה ולכן בוודאי שלא מקיים אף אחד מהשלושה.<br />
לכן יש לי תחושה שקיימת טעות בסעיף זה, או שפשוט התכוונתם לגירסה הפחות רווחת לפיה גם אפס הוא איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים.<br />
:בתורת הקבוצות דווקא יותר נפוץ ש-0 הוא '''כן''' טבעי (כך מתקיים, למשל, שעוצמת כל קבוצה סופית היא מספר טבעי). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:55, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
::עם זאת בשאר ענפי המתמטיקה הנטייה היא לא לכלול את אפס, ובדר"כ כאשר המרצה (שי) מעוניין להבהיר שהוא מעוניין להתכוון גם לאפס אז הוא רושם <math>\mathbb{N}</math> חיתוך עם {0}. אני אסתמך על כך בתשובה, עם הערה לפיה f פונקציה אם"ם 0 מצוי בטבעיים.<br />
<br />
==שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.==<br />
האם הכוונה בz5 היא המודולו?<br />
:אכן.<br />
<br />
==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==<br />
האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?<br />
:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:<br />
**קבוצות<br />
**יחסים<br />
**פונקציות<br />
<br />
כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)<br />
<br />
-אבל לפי התרגול או ההרצאה?<br />
:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).<br />
<br />
---> הבוחן יכלול נושאים הבאים: קבוצות, יחסים ופונקציות. נושאים אלה הועברו הן בהרצאות הן בתרגולים. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4815בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-15T15:01:09Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלה 3 */</p>
<hr />
<div><math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
<br />
==שאלה 3== <br />
אם <math>|a|=|b|</math> שז בפרט <math>a<=b</math> לכן ע"פ הגדרה קיימת פונקציה חח"ע ולא על מ-<math>a</math> ל-<math>b</math>?<br />
<br />
==שאלות 4,6,7,8 ושאלה כללית על שאלות 1,3,5,9,10==<br />
* בשאלה 4: לא הבנתי את הרמז, מה זה <math>1/n</math>? ומהו הישר הממשי?<br />
* בשאלה 6-ד': מהי הקבוצה B? (אינסופית/סופית? האם היא יכולה להיות קבוצה ריקה?)<br />
* בשאלה 7: מהי קבוצת כל הסדרות העולות של המספרים הטבעיים?<br />
* בשאלה 8: מהי עוצמת הרצף?<br />
* שאלה כללית: העוצמות הכלליות שיש בשאלות שבתרגיל זה הן אינסופיות או סופיות (כמו העוצמות בשאלות 1,3,5,9,10)<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
* שאלה 4: הישר הממשי הוא דימוי הניתן לקבוצה <math>\R</math> שהיא קבוצת כל המספרים הממשיים. לדוגמא, ציר ה- x: <math>(-\infin,\infin)</math><br />
* שאלה 6: אם לא נתון אפיון של B, תבדוק את כל האפשרויות.<br />
* שאלה 7: סדרות של מספרים טבעיים בהן איבר ה-n-י גדול מהאיבר ה- n-1. למשל: {...,1,2,3,4,5} או {...,10,20,40,80}<br />
* שאלה 8: עוצמת הרצף היא העוצמה של המספרים הממשיים. עוצמת הרצף מסומנת באות <math>\aleph</math>.<br />
* שאלה כללית: אם לא נאמר אחרת, עוצמה יכולה להיות כלשהי.<br />
(גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==תרגיל 4 שאלה 4==<br />
מהו הישר הממשי? תודה, גל.<br />
==שאלה 5==<br />
בסעיף א', מתכוונים ל |a|-|b| = |a| - |c| במקום ל |a-b| = |a-c| לא? כי אין דבר כזה הפרש בין קבוצות (הפרש עם קו אנכי)..?<br />
:<math>A-B=A\setminus B</math> לכל שתי קבוצות A,B. אלה שני סימונים שונים להפרש קבוצות.<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
הכוונה ל- <math>|A\setminus B|=|A\setminus C|</math> (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==חיתוך==<br />
אם ידוע לי ש-<math>A\setminus B=A\setminus C</math><br />
אני יכולה להסיק מזה שB=C?<br />
:לא: <math>A=\{1,2\}\and B=\{1\}\and C=\{0,1\}\implies A\setminus B=\{1,2\}\setminus\{1\}=\{2\}=\{1,2\}\setminus\{0,1\}=A\setminus C</math><br />
::התבלבלתי זה היה אמור להיות שB וC מוכלים בA.. ואז אני חושבת שזה נכון. אבל תודה :)<br />
:::אם <math>B,C\subseteq A</math> אז<br />
:::<math>\begin{align}&A\setminus B=A\setminus C\\\implies&A\cap B'=A\cap C'\\\implies&A'\cup(A\cap B')=A'\cup(A\cap C')\\\implies&(A'\cup A)\cap(A'\cup B')=(A'\cup A)\cap(A'\cup C')\\\implies&(A\cap B)'=(A\cap C)'\\\implies&A\cap B=A\cap C\\\implies&B=C\qquad\Big(\text{because }B,C\subseteq A\Big)\\\blacksquare\end{align}</math><br />
<br />
==תרגיל 3, שאלה 3==<br />
<br />
כאשר מוכיחים הופכיות של פונקציה ע"י מציאת הפונקציה ההופכית, צריך להראות איך הגענו לפונקציה ההופכית, או שמספיק להראות רק שהיא אכן ההופכית? לדוגמה, נתונה <math>f(x)=x^2-1\and f:\mathbb C\to\mathbb C</math>. האם צריך להסביר למה <math>g(x)=\sqrt{x+1}\and g:\mathbb C\to\mathbb C</math> היא ההופכית לה מימין (ולמה g פונקציה ולא יחס שאינו פונקציה)? תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 19:59, 10 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
===תשובה===<br />
בגדול, התשובה היא לא. לא תמיד יש אלגוריתם מובנה למציאת פונקצייה הופכית ואם עליתם עליה באיזושהי דרך, זה לא מאוד חשוב שתציינו איך עליתם עליה. וכן, כמובן אחרי שנתת את הפונקציה, אתה צריך להראות שהיא אכן ההופכית מימין לפונקצייה שאתה רוצה להוכיח שהיא הפיכה מימין. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 13:44, 12 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==תרגיל 3. שאלה 2. סעיף א'==<br />
האם אנחנו קובעים את a וb. אם לא אז איך אנחנו יודעים שמס' האיברים בb גדול שווה למס' האיברים בa?<br />
<br />
==שאלה 1 סעיף ד'==<br />
<br />
הכוונה היא שהטווח וגם התחום של הפונקציה הוא רק האיברים {0,1,2,3,4}?<br />
או שאפשר לקחת (בטווח) גם את 6,7,8 וכן אלה כשהם במודולו 5?<br />
ואם מדובר רק ב{0,1,2,3,4} בטווח, איך אפשר לדעת מה הולך למה?<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
כן. הן טווח והן תחום הם <math>\mathbb{Z}_5</math>. לשאלתך, למשל <math>3^2=_5 4</math> (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==תשובה==<br />
לדעתי, כל מה שבשדה <math>\mathbb{Z}_5</math> אחרת זאת לא פונקציה(אין הגדרה ל-<math>[x^2]</math> כאשר x=4 למשל)<br />
<br />
==תרגיל 4 (מתרגיל 3)==<br />
<br />
סעיף ו' ו-ה' דומים לחלוטין מלבד העובדה שב-ה' כתוב <math>f</math> וב-ו' כתוב<math>f^{-1}</math><br />
לא נתון כלום על <math>f</math> האם זה אומר שמותר לומר שנסמן את <math>f^{-1}=f</math> ואז ההוכחה שקולה להוכחת סעיף ה'?<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
אני מציע לחשוב איזה תכונות מיוחדות יש ל-<math>f^{-1}</math> (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה==<br />
<br />
אתם יכולים להזכיר איך בודקים חד ערכיות ושלמות?<br />
<br />
תודה רבה!<br />
<br />
:[[#שאלה על הגדרת הפונקציה]]<br />
<br />
==שאלה 2==<br />
אם אני מגדירה את הפונקציה G ככה זה בסדר?<br />
<math>g(x)= (x/2,x+1/2)</math><br />
ככה שאני מקבלת זוג סדור <math>(a,b)</math><br />
כש<math>a=(x/2)</math><br />
ו<math>b=(x+1/2)</math><br />
אם לא- מישהו יכול לתת לי כיוון איך להגדיר את הפונקציה?<br />
(וזה מה שאני צריכה לעשות-להגדיר פונקציה G ולהראות שהיא חח"ע?)<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
את צריכה לוודא האם <math>x/2 \in A</math> וגם <math>x+1/2 \in B</math> (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==להוכיח שפונקציה היא על==<br />
<br />
ראיתי את השאלות שלמטה והתשובות עליהן, ובכל זאת לא הבנתי איך להוכיח.<br />
<br />
אם אי אפשר למצוא נוסחה למקור?<br />
<br />
ראיתי בתשובות לבוחן שכדי להוכיח ש-f היא על, מספיק להוכיח ש-f הפיכה מימין, כלומר קיימת g מ-U ל-U כך ש-f הרכבה g היא פונקציית הזהות על U.<br />
<br />
לא מצאתי במחברת שלי שום דבר על "הפיכה מימין" - אפשר בבקשה הסבר מה זה?<br />
<br />
ואם מדובר פה על איזה משפט מוגדר, אז נוסח המשפט יעזור לי מאוד. לא מצאתי כזה במחברת.<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם <math>g \circ f</math> חח"ע ועל אזי <math>f</math> חח"ע ו<math>g</math> על. בפרט, אם <math>g \circ f=id</math> אז היא חח"ע ועל.<br />
כלומר, אם <math>g</math> היא הפיכה מימין (כלומר קיימת <math>f</math> כך ש<math>g \circ f=id</math>) אז <math>g</math> על.<br />
אגב, הקושי למצוא נוסחא למציאת מקור עבור כל תמונה זהה לקושי במציאת פונקצייה מתאימה מימין. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:00, 8 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
:תודה על התשובה. מה זה id?<br />
<br />
הקושי העיקרי שלי בלהוכיח "על" הוא ההסברה. כמעט שום הסבר לא נראה לי מספק וסגור מכל הקצוות. כך שאם יש נוסחה שאומרת שברגע שמצאתי (עצם המציאה לא קשה בפונקציות שבתרגיל) f כך ש-g הרכבה f שווה משהו אז g על, זה פותר את הקושי.<br />
<br />
==שאלות 2 ו3-א'==<br />
בשאלה 2, האם אני צריך להוכיח ש <math>g:A \rightarrow AxB</math> היא פונקציה?<br />
בנוסף, אני גם לא כל כך הבנתי איך אפשר לעשות פונקציה בין יחסים (כמו <math>AxB \rightarrow BxB</math>) או בין קבוצה ליחס כמו בשאלה הנ"ל.<br />
<br />
בשאלה 3, כתוב לציין האם הפונקציה הפיכה או חח"ע או על, אבל האם היא יכולה להיות אף אחת מהן? או בכלל לא פונקציה, כמו ב3-א' ש <math>f(0)</math> שלא מוגדר?<br />
ובשאלה כתוב לציין, אז אני צריך גם להוכיח/לנמק למה אם היא כן? או לתת דוגמה נגדית אם היא לא?<br />
<br />
אם מישהו יוכל לענות כמה שיותר מהר, עוד לפני הבוחן, אני אודה לו מאוד.<br />
תודה רבה.<br />
<br />
'''תשובה מאוד חלקית'''<br />
<br />
אני לא מבין גדול בנושא הזה שרק אתמול קיבלנו את התרגול עליו, ואני מאוד מפחד להטעות אותך. מה שכן, בתחילת העמוד יש תשובה שתענה לך על השאלה בנוגע ל-<math>f(0)</math><br />
<br />
===תשובה (אולי פחות חלקית)===<br />
באשר לשאלה 2, לא נתונה לך פונקציה <math>g</math> שאתה פשוט צריך להוכיח שהיא פונקציה. אתה צריך לתת פונקציה ולהראות שהיא חח"ע. לרוב, כשמגדירים פונקציה, אז דואגים שהיא תהייה פונקציה, למשל נותנים לכל איבר במקור איבר אחד בטווח. ברגע שתגדיר את הפונקציה, אז יותר חשוב משתוכיח לנו שהיא פונקציה, חשוב שתוכיח שהיא חח"ע. יש?<br />
<br />
באשר לשאלה 3א, מעולם לא שמעתי שהערך המוחלט של אפס לא מוגדר. הערך המוחלט של אפס הוא אפס ותו לא. אין שם אף פונקציה שהיא איננה פונקציה. כעיקרון תיתכן פונקציה בשאלה הזו שניתן לכם והיא לא תהיה על, לא חח"ע וכיוצא בכך לא הפיכה, אך אינני מבטיח שזה המצב. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 01:52, 4 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
<br />
תודה.<br />
<br />
בקשר ל-0 התכוונתי שהפונקציה מוגדרת מהשלמים לטבעיים ו-0 לא שייך לטבעיים, או שאולי בשאלה הזו הכוונה היא שהוא כן שייך?<br />
<br />
ובקשר לפונקציה בין יחסים. גם המרצה וגם המתרגלת שלנו לא עברו איתנו על זה ואני לא מבין איך אפשר לפתור את שאלה 3. אז אפשר הסבר קצר?<br />
<br />
שמע,<br />
ישנן שתי אסכולות בנוגע למספרים טבעיים. אחת גורסת כי אפס הוא טבעי (ומתבססת על כך שבבנייה הגנרית של מספרים טבעיים משתמשים באפס) והשניה גורסת כי אפס לא טבעי (ומתבססת על כך שבמשך מאות שנים אנשים חכמים מאוד, כמו היוונים העתיקים, עשו חישובים מסובכים בלי להכיר בכלל את המספר אפס, שהגיע לאירופה עם הערבים בסוף האלף הראשון לספירה).<br />
אני לא יודע מי כתב את השאלה במקור, אך הוא כנראה כלל את אפס כמספר טבעי.<br />
<br />
בקשר לפונקציות "בין יחסים", אתה כנראה מדבר על הפונקציה <math>g: A \rightarrow A \times B</math>. אין משהו מיוחד ללמוד פה, זו סתם פונקציה שהמקור שלה זו הקבוצה <math>A</math> והטווח זו הקבוצה <math>A \times B</math>. אין חשיבות לעובדה ש <math>A \times B</math> זה גם יחס. תנסה כתרגיל לבחור <math>A</math> ו<math>B</math> ופונקציה <math>g</math> כנ"ל תחילה ואז תתקדם לנסות להוכיח את מה שאתה מתבקש.<br />
<br />
באשר לשאלה 3, ראשית כדאי שתוודא עם עצמך אם אתה יודע מה זו פונקצייה על ומה זו פונקצייה חח"ע.<br />
אם אתה רוצה לבדוק אם פונקצייה היא על אתה צריך לבדוק אם לכל איבר בטווח יש מקור. אם החלטת שהיא אכן על אז תראה כי אכן לכל איבר בטווח יש מקור. אם החלטת שהיא איננה על אז תראה שקיים איבר בטווח שאין לו מקור.<br />
אם אתה רוצה לוהכיח שפונקצייה היא חח"ע אתה צריך להראות שאם שני מקורות הולכים לאותה תמונה אז המקורות שווים. אם החלטת שהפונקצייה איננה חח"ע אתה צריך לתת דוגמא לשני מקורות שונים שהולכים לאותה תמונה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:01, 5 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
<br />
תודה רבה!<br />
<br />
==אותה שאלה==<br />
לא ענו לי קודם, כנראה כי לא ראו או משהו, וזה נרוא חשוב, אז אני שואל את זה שוב.<br />
<br />
נקח לדוגמא את שאלה 6 בתרגיל 2. נתון לי יחס G מסויים ומבקשים ממני להוכיח שהוא יחס שקילות על . השאלה שלי היא: האם צריך קודם להוכיח ש-G הוא יחס על על , בלי לענות עוד על השאלה אם הוא שקילות או לא. <br />
<br />
לפי דעית לא, כי זה נובע ישירות מדרך ההגדרה של G.<br />
<br />
===תשובה===<br />
נדמה לי שהבנתי את כוונתך. באשר שאלה האם צריך להראות ש<math>G</math> הוא יחס על <math>A \times B</math>, דהיינו להראות <math>G \subseteq (A \times B) \times (A \times B)</math>, התשובה היא לא, אין צורך. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 01:44, 4 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==הודעה לקראת הבוחן==<br />
(זה אומנם לא הדף הנכון לשים בו את ההודעה הזו, אך יש יותר סיכוי שיקראו אותה אם היא תופיע גם בדף הזה)<br />
<br />
1) הבוחן מחר (4/8/2010) יתקיים בשעה 12:30 לאחר תרגול של חצי שעה.<br />
<br />
2) הבוחן יכלול שלוש שאלות שעל כולן יש לענות (לא שתיים מתוך שלוש כפי שחשבתי תחילה שיהיה).<br />
<br />
3) אורך הבוחן יהיה שעה.<br />
<br />
4) לתלמידים שיש להם אישור מטעם האוניברסיטה על הארכת זמן תינתנה 15 דקות נוספות.<br />
<br />
5) תלמידים עם הארכות זמן ייבחנו בחדר 103 בשעה הנקובה למעלה, גם אם הם לומדים לפני כן בכיתה אחרת.<br />
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 20:42, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
==הוכחה שפונקציה היא על==<br />
איך מוכיחים שפונקציה היא על (כמו בשאלה 3א' בתרגיל 3)? חיפשתי דוגמאות להוכחות כאלה מההרצאות, אבל כשהמרצה הוכיח שפונקציה כלשהי היא על הוא תמיד (בדוגמאות שמצאתי) השתמש בכך שפונקציה אחרת (g) היא על וככה הוכיח שיש a ששייך לA כך ש f(a) = b. איך מוכיחים שפונקציה היא על כש"ברור" שהיא על, כמו בשאלה 3א'? תודה רבה מראש.<br />
<br />
:ראה תשובה לשאלה הקודמת[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:55, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
::תודה<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
מה הדרך הנכונה ביותר להוכיח שפונקציה מסוימת היא פונקציה על?<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם ברצונך להראות כי <math>f: A \rightarrow B</math> הינה פונקציית על,<br />
אתה צריך להראות כי לכל איבר <math>b \in B</math> יש מקור <math>a \in A</math>.<br />
לעיתים יש נוסחה לאיבר כללי ב<math>B</math> ואז ניתן לפתח נוסחה למקור של כל איבר כזה,<br />
למשל אם <math>f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}</math> כך ש<math>f(z)=z+1</math>,<br />
אזי לכל <math>b \in \mathbb{b}</math> יש מקור <math>b-1</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:54, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
תודה<br />
<br />
:האם צריך להוכיח משהו לגבי הנוסחה למקור? מה צריך להוכיח לגביה?<br />
<br />
==שתי שאלות==<br />
1. אם מבקשים ממני להוכיח ש-R הוא יחס שקילות ל-A, האם עלי להוכיח בראש ובראשונה ש-R יחס על A (בעיקר משאלות 9,6 מתרגיל 9), או שזה מובן מאליו?<br />
<br />
2. אם מבקשים ממני למצוא את F הרכבה G, וזה לא קיים, האם התשובה היא קבוצה ריקה או שזה פשוט לא מוגדר (זכור לי משהו כזה מהשיעורים)? והאם יש הבדל בתשובה בין יחסים לבין פונקציות?<br />
<br />
תודה רבה.<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
1. יחס שקילות הוא תמיד על <math>A</math>, דהיינו מ<math>A</math> ל<math>A</math> כלשהו. אני לא כל כך מבין למה את\ה מתכוון\ת ב"<math>R</math> יחס שקילות ל<math>A</math>.<br />
<br />
2. ייתכן כי הרכבת יחסים תיתן את היחס הריק. עבור פונקציות <math>g \circ f</math> הדבר איננו אפשרי, אלא אם התחום של <math>f</math> הוא ריק. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:59, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
'''בקשר ל-1:''' קח לדוגמא את שאלה 6 בתרגיל 2. נותון לי יחס G מסויים ומבקשים ממני להוכיח שהוא יחס שקילות על <math>AxB</math>. השאלה שלי היא: האם צריך קודם להוכיח ש-G הוא יחס על על <math>AxB</math>, בלי לענות עוד על השאלה אם הוא שקילות או לא.<br />
<br />
==שאלה על הגדרת הפונקציה==<br />
כדי להוכיח שf היא פו' יש להוכיח שמתקיימים בה 2 דברים, חד ערכיות, ו"שלמות", נכון? שלמות זה אומר שאם f היא מA לB אז לכל a ששייך לA יש b בB כך ש f(a)=b נכון? תודה.<br />
<br />
אני לא מתרגל אבל אני חושב שאם תכניס את המילים "אחד ויחיד" למשפט שאמרת אז תקבל שלמות וגם חד-ערכיות<br />
<br />
:כל הדרכים (שאין בהן טעות) מובילות לרומא. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:01, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה על פונקציה חח"ע==<br />
אם אני רוצה להוכיח שקיימת פונקציה חח"ע מA לB, מספיק להראות שמספר האיברים בA קטן או שווה למספר האיברים בB? [ואז ניתן ליצור פונקציה שתשלח כל איבר של A לאיבר אחר של B]<br />
או שעלי ממש להציג פונקציה שכזו?<br />
:אני חושב שבשאלה שצריך להראות שקיימת פו' חח"ע צריך להראות פונקציה כזאת.<br />
<br />
==לקבוצה של שני-הרכבת יחסים==<br />
הרכבת יחסית מוגדרת כפי שחלקכם אמרתם, הפוך ממה שאמרתי.<br />
ההגדרה: <math>R \subseteq A\times B \and S \subseteq B\times C</math> אזי<br />
<math>(a,c)\in S \circ R \iff \exist b \in B :(a,b) \in R \and (b,c) \in S</math><br />
<br />
(שני)<br />
<br />
== שאלה לגבי הבוחן==<br />
האם הבוחן יכלול גם פונקציות כמו <math>g:A->AxB</math> ? (איברים שהם זוג סדור)<br />
<br />
==שאלה 7==<br />
כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.<br />
<br />
---> אם היחסים שמצאת לא מסובכים מדי, אין צורך להוכיח שהם אכן יח"ש. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==A^2 יח"ש==<br />
צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
: אלא אם תתבקשו להוכיח שזה יח"ש, אתה יכול להתייחס לזה כעובדה. זה די טריוויאלי[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:06, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 3א בתרגיל 3==<br />
נאמר שf היא פונקציה מ-<math>\mathbb{Z}</math> ל-<math>\mathbb{N}</math>, אבל 0 אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math> (אבל איבר ב-<math>\mathbb{Z}</math>) ולכן ערכו המוחלט הוא אפס (ששוב, אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>). במקרה זה f אינו פונקציה ולכן בוודאי שלא מקיים אף אחד מהשלושה.<br />
לכן יש לי תחושה שקיימת טעות בסעיף זה, או שפשוט התכוונתם לגירסה הפחות רווחת לפיה גם אפס הוא איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים.<br />
:בתורת הקבוצות דווקא יותר נפוץ ש-0 הוא '''כן''' טבעי (כך מתקיים, למשל, שעוצמת כל קבוצה סופית היא מספר טבעי). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:55, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
::עם זאת בשאר ענפי המתמטיקה הנטייה היא לא לכלול את אפס, ובדר"כ כאשר המרצה (שי) מעוניין להבהיר שהוא מעוניין להתכוון גם לאפס אז הוא רושם <math>\mathbb{N}</math> חיתוך עם {0}. אני אסתמך על כך בתשובה, עם הערה לפיה f פונקציה אם"ם 0 מצוי בטבעיים.<br />
<br />
==שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.==<br />
האם הכוונה בz5 היא המודולו?<br />
:אכן.<br />
<br />
==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==<br />
האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?<br />
:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:<br />
**קבוצות<br />
**יחסים<br />
**פונקציות<br />
<br />
כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)<br />
<br />
-אבל לפי התרגול או ההרצאה?<br />
:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).<br />
<br />
---> הבוחן יכלול נושאים הבאים: קבוצות, יחסים ופונקציות. נושאים אלה הועברו הן בהרצאות הן בתרגולים. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4814בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-15T15:00:47Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלות */</p>
<hr />
<div><math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
<br />
==שאלה 3== <br />
אם <math>|a|=|b|</math> שז בפרט <math>a<b</math> לכן ע"פ הגדרה קיימת פונקציה חח"ע ולא על מ-<math>a</math> ל-<math>b</math>?<br />
<br />
<br />
==שאלות 4,6,7,8 ושאלה כללית על שאלות 1,3,5,9,10==<br />
* בשאלה 4: לא הבנתי את הרמז, מה זה <math>1/n</math>? ומהו הישר הממשי?<br />
* בשאלה 6-ד': מהי הקבוצה B? (אינסופית/סופית? האם היא יכולה להיות קבוצה ריקה?)<br />
* בשאלה 7: מהי קבוצת כל הסדרות העולות של המספרים הטבעיים?<br />
* בשאלה 8: מהי עוצמת הרצף?<br />
* שאלה כללית: העוצמות הכלליות שיש בשאלות שבתרגיל זה הן אינסופיות או סופיות (כמו העוצמות בשאלות 1,3,5,9,10)<br />
<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
* שאלה 4: הישר הממשי הוא דימוי הניתן לקבוצה <math>\R</math> שהיא קבוצת כל המספרים הממשיים. לדוגמא, ציר ה- x: <math>(-\infin,\infin)</math><br />
* שאלה 6: אם לא נתון אפיון של B, תבדוק את כל האפשרויות.<br />
* שאלה 7: סדרות של מספרים טבעיים בהן איבר ה-n-י גדול מהאיבר ה- n-1. למשל: {...,1,2,3,4,5} או {...,10,20,40,80}<br />
* שאלה 8: עוצמת הרצף היא העוצמה של המספרים הממשיים. עוצמת הרצף מסומנת באות <math>\aleph</math>.<br />
* שאלה כללית: אם לא נאמר אחרת, עוצמה יכולה להיות כלשהי.<br />
(גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==תרגיל 4 שאלה 4==<br />
מהו הישר הממשי? תודה, גל.<br />
==שאלה 5==<br />
בסעיף א', מתכוונים ל |a|-|b| = |a| - |c| במקום ל |a-b| = |a-c| לא? כי אין דבר כזה הפרש בין קבוצות (הפרש עם קו אנכי)..?<br />
:<math>A-B=A\setminus B</math> לכל שתי קבוצות A,B. אלה שני סימונים שונים להפרש קבוצות.<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
הכוונה ל- <math>|A\setminus B|=|A\setminus C|</math> (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==חיתוך==<br />
אם ידוע לי ש-<math>A\setminus B=A\setminus C</math><br />
אני יכולה להסיק מזה שB=C?<br />
:לא: <math>A=\{1,2\}\and B=\{1\}\and C=\{0,1\}\implies A\setminus B=\{1,2\}\setminus\{1\}=\{2\}=\{1,2\}\setminus\{0,1\}=A\setminus C</math><br />
::התבלבלתי זה היה אמור להיות שB וC מוכלים בA.. ואז אני חושבת שזה נכון. אבל תודה :)<br />
:::אם <math>B,C\subseteq A</math> אז<br />
:::<math>\begin{align}&A\setminus B=A\setminus C\\\implies&A\cap B'=A\cap C'\\\implies&A'\cup(A\cap B')=A'\cup(A\cap C')\\\implies&(A'\cup A)\cap(A'\cup B')=(A'\cup A)\cap(A'\cup C')\\\implies&(A\cap B)'=(A\cap C)'\\\implies&A\cap B=A\cap C\\\implies&B=C\qquad\Big(\text{because }B,C\subseteq A\Big)\\\blacksquare\end{align}</math><br />
<br />
==תרגיל 3, שאלה 3==<br />
<br />
כאשר מוכיחים הופכיות של פונקציה ע"י מציאת הפונקציה ההופכית, צריך להראות איך הגענו לפונקציה ההופכית, או שמספיק להראות רק שהיא אכן ההופכית? לדוגמה, נתונה <math>f(x)=x^2-1\and f:\mathbb C\to\mathbb C</math>. האם צריך להסביר למה <math>g(x)=\sqrt{x+1}\and g:\mathbb C\to\mathbb C</math> היא ההופכית לה מימין (ולמה g פונקציה ולא יחס שאינו פונקציה)? תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 19:59, 10 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
===תשובה===<br />
בגדול, התשובה היא לא. לא תמיד יש אלגוריתם מובנה למציאת פונקצייה הופכית ואם עליתם עליה באיזושהי דרך, זה לא מאוד חשוב שתציינו איך עליתם עליה. וכן, כמובן אחרי שנתת את הפונקציה, אתה צריך להראות שהיא אכן ההופכית מימין לפונקצייה שאתה רוצה להוכיח שהיא הפיכה מימין. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 13:44, 12 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==תרגיל 3. שאלה 2. סעיף א'==<br />
האם אנחנו קובעים את a וb. אם לא אז איך אנחנו יודעים שמס' האיברים בb גדול שווה למס' האיברים בa?<br />
<br />
==שאלה 1 סעיף ד'==<br />
<br />
הכוונה היא שהטווח וגם התחום של הפונקציה הוא רק האיברים {0,1,2,3,4}?<br />
או שאפשר לקחת (בטווח) גם את 6,7,8 וכן אלה כשהם במודולו 5?<br />
ואם מדובר רק ב{0,1,2,3,4} בטווח, איך אפשר לדעת מה הולך למה?<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
כן. הן טווח והן תחום הם <math>\mathbb{Z}_5</math>. לשאלתך, למשל <math>3^2=_5 4</math> (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==תשובה==<br />
לדעתי, כל מה שבשדה <math>\mathbb{Z}_5</math> אחרת זאת לא פונקציה(אין הגדרה ל-<math>[x^2]</math> כאשר x=4 למשל)<br />
<br />
==תרגיל 4 (מתרגיל 3)==<br />
<br />
סעיף ו' ו-ה' דומים לחלוטין מלבד העובדה שב-ה' כתוב <math>f</math> וב-ו' כתוב<math>f^{-1}</math><br />
לא נתון כלום על <math>f</math> האם זה אומר שמותר לומר שנסמן את <math>f^{-1}=f</math> ואז ההוכחה שקולה להוכחת סעיף ה'?<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
אני מציע לחשוב איזה תכונות מיוחדות יש ל-<math>f^{-1}</math> (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==שאלה==<br />
<br />
אתם יכולים להזכיר איך בודקים חד ערכיות ושלמות?<br />
<br />
תודה רבה!<br />
<br />
:[[#שאלה על הגדרת הפונקציה]]<br />
<br />
==שאלה 2==<br />
אם אני מגדירה את הפונקציה G ככה זה בסדר?<br />
<math>g(x)= (x/2,x+1/2)</math><br />
ככה שאני מקבלת זוג סדור <math>(a,b)</math><br />
כש<math>a=(x/2)</math><br />
ו<math>b=(x+1/2)</math><br />
אם לא- מישהו יכול לתת לי כיוון איך להגדיר את הפונקציה?<br />
(וזה מה שאני צריכה לעשות-להגדיר פונקציה G ולהראות שהיא חח"ע?)<br />
<br />
'''תשובה'''<br />
<br />
את צריכה לוודא האם <math>x/2 \in A</math> וגם <math>x+1/2 \in B</math> (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==להוכיח שפונקציה היא על==<br />
<br />
ראיתי את השאלות שלמטה והתשובות עליהן, ובכל זאת לא הבנתי איך להוכיח.<br />
<br />
אם אי אפשר למצוא נוסחה למקור?<br />
<br />
ראיתי בתשובות לבוחן שכדי להוכיח ש-f היא על, מספיק להוכיח ש-f הפיכה מימין, כלומר קיימת g מ-U ל-U כך ש-f הרכבה g היא פונקציית הזהות על U.<br />
<br />
לא מצאתי במחברת שלי שום דבר על "הפיכה מימין" - אפשר בבקשה הסבר מה זה?<br />
<br />
ואם מדובר פה על איזה משפט מוגדר, אז נוסח המשפט יעזור לי מאוד. לא מצאתי כזה במחברת.<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם <math>g \circ f</math> חח"ע ועל אזי <math>f</math> חח"ע ו<math>g</math> על. בפרט, אם <math>g \circ f=id</math> אז היא חח"ע ועל.<br />
כלומר, אם <math>g</math> היא הפיכה מימין (כלומר קיימת <math>f</math> כך ש<math>g \circ f=id</math>) אז <math>g</math> על.<br />
אגב, הקושי למצוא נוסחא למציאת מקור עבור כל תמונה זהה לקושי במציאת פונקצייה מתאימה מימין. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:00, 8 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
:תודה על התשובה. מה זה id?<br />
<br />
הקושי העיקרי שלי בלהוכיח "על" הוא ההסברה. כמעט שום הסבר לא נראה לי מספק וסגור מכל הקצוות. כך שאם יש נוסחה שאומרת שברגע שמצאתי (עצם המציאה לא קשה בפונקציות שבתרגיל) f כך ש-g הרכבה f שווה משהו אז g על, זה פותר את הקושי.<br />
<br />
==שאלות 2 ו3-א'==<br />
בשאלה 2, האם אני צריך להוכיח ש <math>g:A \rightarrow AxB</math> היא פונקציה?<br />
בנוסף, אני גם לא כל כך הבנתי איך אפשר לעשות פונקציה בין יחסים (כמו <math>AxB \rightarrow BxB</math>) או בין קבוצה ליחס כמו בשאלה הנ"ל.<br />
<br />
בשאלה 3, כתוב לציין האם הפונקציה הפיכה או חח"ע או על, אבל האם היא יכולה להיות אף אחת מהן? או בכלל לא פונקציה, כמו ב3-א' ש <math>f(0)</math> שלא מוגדר?<br />
ובשאלה כתוב לציין, אז אני צריך גם להוכיח/לנמק למה אם היא כן? או לתת דוגמה נגדית אם היא לא?<br />
<br />
אם מישהו יוכל לענות כמה שיותר מהר, עוד לפני הבוחן, אני אודה לו מאוד.<br />
תודה רבה.<br />
<br />
'''תשובה מאוד חלקית'''<br />
<br />
אני לא מבין גדול בנושא הזה שרק אתמול קיבלנו את התרגול עליו, ואני מאוד מפחד להטעות אותך. מה שכן, בתחילת העמוד יש תשובה שתענה לך על השאלה בנוגע ל-<math>f(0)</math><br />
<br />
===תשובה (אולי פחות חלקית)===<br />
באשר לשאלה 2, לא נתונה לך פונקציה <math>g</math> שאתה פשוט צריך להוכיח שהיא פונקציה. אתה צריך לתת פונקציה ולהראות שהיא חח"ע. לרוב, כשמגדירים פונקציה, אז דואגים שהיא תהייה פונקציה, למשל נותנים לכל איבר במקור איבר אחד בטווח. ברגע שתגדיר את הפונקציה, אז יותר חשוב משתוכיח לנו שהיא פונקציה, חשוב שתוכיח שהיא חח"ע. יש?<br />
<br />
באשר לשאלה 3א, מעולם לא שמעתי שהערך המוחלט של אפס לא מוגדר. הערך המוחלט של אפס הוא אפס ותו לא. אין שם אף פונקציה שהיא איננה פונקציה. כעיקרון תיתכן פונקציה בשאלה הזו שניתן לכם והיא לא תהיה על, לא חח"ע וכיוצא בכך לא הפיכה, אך אינני מבטיח שזה המצב. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 01:52, 4 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
<br />
תודה.<br />
<br />
בקשר ל-0 התכוונתי שהפונקציה מוגדרת מהשלמים לטבעיים ו-0 לא שייך לטבעיים, או שאולי בשאלה הזו הכוונה היא שהוא כן שייך?<br />
<br />
ובקשר לפונקציה בין יחסים. גם המרצה וגם המתרגלת שלנו לא עברו איתנו על זה ואני לא מבין איך אפשר לפתור את שאלה 3. אז אפשר הסבר קצר?<br />
<br />
שמע,<br />
ישנן שתי אסכולות בנוגע למספרים טבעיים. אחת גורסת כי אפס הוא טבעי (ומתבססת על כך שבבנייה הגנרית של מספרים טבעיים משתמשים באפס) והשניה גורסת כי אפס לא טבעי (ומתבססת על כך שבמשך מאות שנים אנשים חכמים מאוד, כמו היוונים העתיקים, עשו חישובים מסובכים בלי להכיר בכלל את המספר אפס, שהגיע לאירופה עם הערבים בסוף האלף הראשון לספירה).<br />
אני לא יודע מי כתב את השאלה במקור, אך הוא כנראה כלל את אפס כמספר טבעי.<br />
<br />
בקשר לפונקציות "בין יחסים", אתה כנראה מדבר על הפונקציה <math>g: A \rightarrow A \times B</math>. אין משהו מיוחד ללמוד פה, זו סתם פונקציה שהמקור שלה זו הקבוצה <math>A</math> והטווח זו הקבוצה <math>A \times B</math>. אין חשיבות לעובדה ש <math>A \times B</math> זה גם יחס. תנסה כתרגיל לבחור <math>A</math> ו<math>B</math> ופונקציה <math>g</math> כנ"ל תחילה ואז תתקדם לנסות להוכיח את מה שאתה מתבקש.<br />
<br />
באשר לשאלה 3, ראשית כדאי שתוודא עם עצמך אם אתה יודע מה זו פונקצייה על ומה זו פונקצייה חח"ע.<br />
אם אתה רוצה לבדוק אם פונקצייה היא על אתה צריך לבדוק אם לכל איבר בטווח יש מקור. אם החלטת שהיא אכן על אז תראה כי אכן לכל איבר בטווח יש מקור. אם החלטת שהיא איננה על אז תראה שקיים איבר בטווח שאין לו מקור.<br />
אם אתה רוצה לוהכיח שפונקצייה היא חח"ע אתה צריך להראות שאם שני מקורות הולכים לאותה תמונה אז המקורות שווים. אם החלטת שהפונקצייה איננה חח"ע אתה צריך לתת דוגמא לשני מקורות שונים שהולכים לאותה תמונה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:01, 5 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
<br />
תודה רבה!<br />
<br />
==אותה שאלה==<br />
לא ענו לי קודם, כנראה כי לא ראו או משהו, וזה נרוא חשוב, אז אני שואל את זה שוב.<br />
<br />
נקח לדוגמא את שאלה 6 בתרגיל 2. נתון לי יחס G מסויים ומבקשים ממני להוכיח שהוא יחס שקילות על . השאלה שלי היא: האם צריך קודם להוכיח ש-G הוא יחס על על , בלי לענות עוד על השאלה אם הוא שקילות או לא. <br />
<br />
לפי דעית לא, כי זה נובע ישירות מדרך ההגדרה של G.<br />
<br />
===תשובה===<br />
נדמה לי שהבנתי את כוונתך. באשר שאלה האם צריך להראות ש<math>G</math> הוא יחס על <math>A \times B</math>, דהיינו להראות <math>G \subseteq (A \times B) \times (A \times B)</math>, התשובה היא לא, אין צורך. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 01:44, 4 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==הודעה לקראת הבוחן==<br />
(זה אומנם לא הדף הנכון לשים בו את ההודעה הזו, אך יש יותר סיכוי שיקראו אותה אם היא תופיע גם בדף הזה)<br />
<br />
1) הבוחן מחר (4/8/2010) יתקיים בשעה 12:30 לאחר תרגול של חצי שעה.<br />
<br />
2) הבוחן יכלול שלוש שאלות שעל כולן יש לענות (לא שתיים מתוך שלוש כפי שחשבתי תחילה שיהיה).<br />
<br />
3) אורך הבוחן יהיה שעה.<br />
<br />
4) לתלמידים שיש להם אישור מטעם האוניברסיטה על הארכת זמן תינתנה 15 דקות נוספות.<br />
<br />
5) תלמידים עם הארכות זמן ייבחנו בחדר 103 בשעה הנקובה למעלה, גם אם הם לומדים לפני כן בכיתה אחרת.<br />
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 20:42, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
==הוכחה שפונקציה היא על==<br />
איך מוכיחים שפונקציה היא על (כמו בשאלה 3א' בתרגיל 3)? חיפשתי דוגמאות להוכחות כאלה מההרצאות, אבל כשהמרצה הוכיח שפונקציה כלשהי היא על הוא תמיד (בדוגמאות שמצאתי) השתמש בכך שפונקציה אחרת (g) היא על וככה הוכיח שיש a ששייך לA כך ש f(a) = b. איך מוכיחים שפונקציה היא על כש"ברור" שהיא על, כמו בשאלה 3א'? תודה רבה מראש.<br />
<br />
:ראה תשובה לשאלה הקודמת[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:55, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
::תודה<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
מה הדרך הנכונה ביותר להוכיח שפונקציה מסוימת היא פונקציה על?<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם ברצונך להראות כי <math>f: A \rightarrow B</math> הינה פונקציית על,<br />
אתה צריך להראות כי לכל איבר <math>b \in B</math> יש מקור <math>a \in A</math>.<br />
לעיתים יש נוסחה לאיבר כללי ב<math>B</math> ואז ניתן לפתח נוסחה למקור של כל איבר כזה,<br />
למשל אם <math>f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}</math> כך ש<math>f(z)=z+1</math>,<br />
אזי לכל <math>b \in \mathbb{b}</math> יש מקור <math>b-1</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:54, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
תודה<br />
<br />
:האם צריך להוכיח משהו לגבי הנוסחה למקור? מה צריך להוכיח לגביה?<br />
<br />
==שתי שאלות==<br />
1. אם מבקשים ממני להוכיח ש-R הוא יחס שקילות ל-A, האם עלי להוכיח בראש ובראשונה ש-R יחס על A (בעיקר משאלות 9,6 מתרגיל 9), או שזה מובן מאליו?<br />
<br />
2. אם מבקשים ממני למצוא את F הרכבה G, וזה לא קיים, האם התשובה היא קבוצה ריקה או שזה פשוט לא מוגדר (זכור לי משהו כזה מהשיעורים)? והאם יש הבדל בתשובה בין יחסים לבין פונקציות?<br />
<br />
תודה רבה.<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
1. יחס שקילות הוא תמיד על <math>A</math>, דהיינו מ<math>A</math> ל<math>A</math> כלשהו. אני לא כל כך מבין למה את\ה מתכוון\ת ב"<math>R</math> יחס שקילות ל<math>A</math>.<br />
<br />
2. ייתכן כי הרכבת יחסים תיתן את היחס הריק. עבור פונקציות <math>g \circ f</math> הדבר איננו אפשרי, אלא אם התחום של <math>f</math> הוא ריק. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:59, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
'''בקשר ל-1:''' קח לדוגמא את שאלה 6 בתרגיל 2. נותון לי יחס G מסויים ומבקשים ממני להוכיח שהוא יחס שקילות על <math>AxB</math>. השאלה שלי היא: האם צריך קודם להוכיח ש-G הוא יחס על על <math>AxB</math>, בלי לענות עוד על השאלה אם הוא שקילות או לא.<br />
<br />
==שאלה על הגדרת הפונקציה==<br />
כדי להוכיח שf היא פו' יש להוכיח שמתקיימים בה 2 דברים, חד ערכיות, ו"שלמות", נכון? שלמות זה אומר שאם f היא מA לB אז לכל a ששייך לA יש b בB כך ש f(a)=b נכון? תודה.<br />
<br />
אני לא מתרגל אבל אני חושב שאם תכניס את המילים "אחד ויחיד" למשפט שאמרת אז תקבל שלמות וגם חד-ערכיות<br />
<br />
:כל הדרכים (שאין בהן טעות) מובילות לרומא. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:01, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה על פונקציה חח"ע==<br />
אם אני רוצה להוכיח שקיימת פונקציה חח"ע מA לB, מספיק להראות שמספר האיברים בA קטן או שווה למספר האיברים בB? [ואז ניתן ליצור פונקציה שתשלח כל איבר של A לאיבר אחר של B]<br />
או שעלי ממש להציג פונקציה שכזו?<br />
:אני חושב שבשאלה שצריך להראות שקיימת פו' חח"ע צריך להראות פונקציה כזאת.<br />
<br />
==לקבוצה של שני-הרכבת יחסים==<br />
הרכבת יחסית מוגדרת כפי שחלקכם אמרתם, הפוך ממה שאמרתי.<br />
ההגדרה: <math>R \subseteq A\times B \and S \subseteq B\times C</math> אזי<br />
<math>(a,c)\in S \circ R \iff \exist b \in B :(a,b) \in R \and (b,c) \in S</math><br />
<br />
(שני)<br />
<br />
== שאלה לגבי הבוחן==<br />
האם הבוחן יכלול גם פונקציות כמו <math>g:A->AxB</math> ? (איברים שהם זוג סדור)<br />
<br />
==שאלה 7==<br />
כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.<br />
<br />
---> אם היחסים שמצאת לא מסובכים מדי, אין צורך להוכיח שהם אכן יח"ש. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==A^2 יח"ש==<br />
צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
: אלא אם תתבקשו להוכיח שזה יח"ש, אתה יכול להתייחס לזה כעובדה. זה די טריוויאלי[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:06, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 3א בתרגיל 3==<br />
נאמר שf היא פונקציה מ-<math>\mathbb{Z}</math> ל-<math>\mathbb{N}</math>, אבל 0 אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math> (אבל איבר ב-<math>\mathbb{Z}</math>) ולכן ערכו המוחלט הוא אפס (ששוב, אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>). במקרה זה f אינו פונקציה ולכן בוודאי שלא מקיים אף אחד מהשלושה.<br />
לכן יש לי תחושה שקיימת טעות בסעיף זה, או שפשוט התכוונתם לגירסה הפחות רווחת לפיה גם אפס הוא איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים.<br />
:בתורת הקבוצות דווקא יותר נפוץ ש-0 הוא '''כן''' טבעי (כך מתקיים, למשל, שעוצמת כל קבוצה סופית היא מספר טבעי). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:55, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
::עם זאת בשאר ענפי המתמטיקה הנטייה היא לא לכלול את אפס, ובדר"כ כאשר המרצה (שי) מעוניין להבהיר שהוא מעוניין להתכוון גם לאפס אז הוא רושם <math>\mathbb{N}</math> חיתוך עם {0}. אני אסתמך על כך בתשובה, עם הערה לפיה f פונקציה אם"ם 0 מצוי בטבעיים.<br />
<br />
==שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.==<br />
האם הכוונה בz5 היא המודולו?<br />
:אכן.<br />
<br />
==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==<br />
האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?<br />
:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:<br />
**קבוצות<br />
**יחסים<br />
**פונקציות<br />
<br />
כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)<br />
<br />
-אבל לפי התרגול או ההרצאה?<br />
:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).<br />
<br />
---> הבוחן יכלול נושאים הבאים: קבוצות, יחסים ופונקציות. נושאים אלה הועברו הן בהרצאות הן בתרגולים. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4741לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-14T09:47:05Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלות */</p>
<hr />
<div><math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - בוחן + תרגיל 3<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
==שאלה כללית על מערכת משוואות==<br />
אם x מהווה פתרון למערכת אחת וגם לשניה (עם אותם נעלמים) אז הוא בהכרח מהווה פתרון למערכת המצורפת? כלומר למערכת אחת עם כל המשוואות?<br />
==שאלה על פולינומים בת"ל- שאלה 3 (b,c) בדף==<br />
כשהאיברים בקבוצה הם למשל זוגות או שלשות סדורות העניין מובן, אבל כשאיברים בקבצה הם פולינומים, למשל P1,P2,P3 בשאלה 3b, האם כדי שהם יהיו ת"ל אפשר לומר שבגלל שקיים x כך ש a*p1+b*p2+c*p3 = 0 אז p1,p2,p3 ת"ל? או שהאיקסים נשארים "סטטיים" ואני צריך למצוא a,b,c כך שהמקדמים של X בשלישית יהיו שווים 0, המקדמים של X בריבוע יהיו שווים 0 וככה גם לX ולמשתנים החופשיים? הבנתם את השאלה שלי? תודה רבה.<br />
<br />
==שאלה חשובה על 6.41==<br />
<math>A</math> מעל שדה סופי, אז קיים מספר סופי של מטריצות <math>A</math> (מסדר <math>n*n</math> קבוע).<br />
<br />
הייתם מצפים שמכך ינבע ש- <math>A^n</math> יתן מטריצה שונה לכל <math>n</math>, ואחת מהן תהיה <math>I</math> כי <math>I</math> נמצאת בכל שדה מטריצות.<br />
<br />
אבל אולי <math>A^1=A^2=A^3</math>...? <br />
<br />
ואם הוכחתי שלא קיים מצב כזה עבור <math>A \neq I</math>, אז אולי <math>A^2=A^4=A^6</math>... וגם <math>A=A^3=A^5</math>... ?<br />
ונניח שהוכחנו שזה לא אפשרי (עבור <math>A \neq I</math>). אז מי אמר שאין מטריצה <math>A</math> כך ש:<br />
<math>A=A^4=A^7</math>... וגם <math>A^2=A^5=A^8</math>... וגם <math>A^3=A^6=A^9</math>... ?<br />
<br />
ונניח שהוכחנו שגם זה לא מתקיים, אז יש עוד אינסוף אפשרויות (כי יש אינסוף מספרים ראשוניים, בדומה למה שקורה בשדה <math>Z_p</math>) שאולי הן מתקיימות, מה שמונע מ-<math>A^n</math> להיות שווה <math>I</math>, אפילו שיש מספר סופי של מטריצות <math>A</math> מעל שדה סופי.<br />
<br />
<br />
אז אני לא יודעת איך להוכיח את זה, ואני כבר המון זמן על התרגיל. עזרה בבקשה? :(<br />
<br />
===תשובה===<br />
הדרך להוכיח את זה היא לא לומר שהחזקה בהכרח תעבור על כל המטריצות - זה ממש לא נכון. לדוגמא I- החזקות שלה הן בלבד פלוס מינוס I.<br />
<br />
אם <math>A^5=A^8</math> וA הפיכה, מה ניתן להסיק?<br />
:באתי לשאול את אותה שאלה ועזרת לי מאוד, תודה.<br />
<br />
==לוגיקה==<br />
האם הביטוי: A הפיכה וגם <math>A \neq I</math> גורר <math>A^n \neq A</math>,<br />
<br />
שקול לביטוי: A הפיכה וגם <math>A^n=A</math> גורר <math>A=I</math>?<br />
<br />
שמתי אותו בטבלת אמת ונראה לי שזה נכון... הגיוני?<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
לוגית המשפטים האלה אכן שקולים. אבל שניהם משפטי שקר במטריצות באופן כללי.<br />
<br />
:עבור n טבעי גדול או שווה 2 הם משפטי אמת, לא? (הצלחתי להוכיח באינדוקציה)<br />
<br />
::לא,יש מטריצות המקיימות <math>A^2=I,A\neq I</math>. למשל המטריצה <math>-I</math>. ואז למה שווה <math>A^3</math>?<br />
<br />
==מטריצות בחזקה שלילית==<br />
ידוע ש- <math>A=P^{-1}BP</math>, וגם שהמטריצות A,B,P הפיכות. האם מכך נובע ש- <math>A^{-1}=(P^{-1}BP)^{-1}</math> ?<br />
<br />
===תשובה===<br />
אני מניח שמה שאתה באמת רוצה לשאול זה האם <math>(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}</math> ואם שלושת המטריצות הפיכות התשובה היא כן. אם זה בהקשר לתרגיל, זה מה שאתה צריך להוכיח פחות או יותר.<br />
<br />
לגבי השאלה שלך, אם נתון <math>A=D</math> אז ברור ש<math>A^{-1}=D^{-1}</math> אם A הפיכה, וזה בדיוק מה שרשמת בשאלה.<br />
<br />
<br />
:למה <math>(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}</math> ?? ותודה על התשובה.<br />
:לא משנה, הבנתי לבד.<br />
<br />
==שאלה 1ב==<br />
האם הכוונה היא להביע את הוקטור u באמצעות הסקלרים או להביע את הסקלרים באמצעות x,y,z,w? תודה מראש!<br />
<br />
===תשובה===<br />
להביע את הוקטור u כפתרון של מערכת משוואות. [[#שאלה מהדף]]<br />
<br />
==ציוני הבוחן בלינארית==<br />
עשיתי את הבוחן ותעודת הזהות שלי לא מופיעה ברשימה. מצד שני מופיעה תעודת זהות זהה לשלי חוץ ממספר אחד (האחרון). אל מי לפנות? (ת.ז. 205781990, מופיעה 205781997)<br />
<br />
===תשובה===<br />
כנראה שזו תעודת הזהות שלך, אני אתקן<br />
<br />
==שאלה 1ה מדף העבודה==<br />
שלום רב,<br />
בתסעיף ה עליי למצוא בסיס שיקיים את המתבקש בסעיף... האם מספיק שאני אמצא וקטור שמקיים את שתי המשוואות (כמובן שאני אראה שהוא אכן מקיים אותן ע"י הצבה) או שאתם רוצים שאני אפתור את כל המשוואות עם הסקלרים, אגיע לפתרון כללי ואציב ערכים לסקלרים כדי לקבל בסיס כלשהו?<br />
תודה רבה מראש...<br />
<br />
===תשובה===<br />
צריך לפתור את מערכת המשוואות, לא לדעת מראש מה הפתרון ולהציב. אחרת איך אתה יודע שהוא הפתרון היחיד ומהווה בסיס?<br />
<br />
==שאלה 6.37 ג-ד==<br />
אם לא הצלחתי להוכיח את ג' (כי אני כנראה קצת מטומטם) מותר לי בכל זאת לטעון אותו כדי לפתור את ד'?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן אתה יכול להשתמש בזה.<br />
<br />
==שאלה ראשונה מהדף==<br />
בסעיף a יצא לי משוואה אחת, והגעתי אליה על ידי הצבת פרמטרים כמקדמים לוקטוריםV1 V2 ן-V3. אז בסעיף ב' אני פשוט צריכה להחזיר את המקדמים שהצבתי בהתחלה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
*אני לא מבין איך הצבת פרמטרים כמקדמים לוקטורים יכול לקדם אותך. הרי הוקטורים בSpan הם לא הסקלרים שנכפלים בוקטורים v1,v2,v3. צריך להגיע למשוואות על x,y,z,w כך שוקטור שמקיים משוואות אלא יהיה בSpan.<br />
*בסעיף ב' צריך לפתור את מערכת המשוואות שמצאת בסעיף א'. כמו שפתרנו מערכות משוואות עד היום.<br />
<br />
<br />
<br />
אני גם הצבתי מקדמים ובסעיף ב' רשמתי את זה כוקטור.. האם מישהו יכול להסביר שוב מה צריך לעשות (זו שאלה שכולם שואלים..)?<br />
<br />
<br />
:למדנו בכיתה משפט שאומר שb שייך לSpan של עמודות A אם"ם יש פתרון למערכת המשוואות Ax=b.<br />
<br />
==6.30 ד'==<br />
לא הבנתי מהי בדיוק המטריצה הנלווית, איך היא נראית? אפשר אולי את ההגדרה המתמטית?<br />
<br />
וגם גיגלתי את המושג ובויקיפדיה יש מטריצה נלווית אחרת...<br />
[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%A6%D7%94_%D7%A0%D7%9C%D7%95%D7%95%D7%99%D7%AA מטריצה נלוית בויקי]<br />
<br />
===תשובה===<br />
זו מויקי היא סה"כ השחלוף של זו מהחוברת עם החלפת סימני המשתנים.<br />
<br />
אני אסביר איך היא נראית:<br />
*זו מטריצה ריבועית <math>n\times n</math><br />
*השורה התחתונה ברורה - קבועים <math>a_0,...,a_{n-1}</math><br />
*האלכסון הראשון מעל האלכסון הראשי הוא אחדות<br />
*כל השאר אפסים<br />
<br />
<br />
ובהגדרה מתמטית:<br />
<br />
<math>[A]_{n,i}:=a_{i-1}</math><br />
<br />
<math>\forall i<n:[A]_{i,i+1}:=1</math><br />
<br />
וכל השאר אפסים.<br />
<br />
:תודה רבה!<br />
<br />
==Span==<br />
השאלה שלי מאוד פשוטה- מה ההגדרה המתמטית המדוייקת (כלומר לא במילים, רק בכתיב מתמטי) של <math>Span(A)</math> עבור קבוצה <math>A</math> כלשהי?<br />
<br />
===תשובה===<br />
יהא V מ"ו מעל שדה F ותהי <math>S \subseteq V</math> קבוצה המוכלת בV<br />
<br />
שתי הגדרות שקולות: (יש יותר)<br />
<br />
*<math>Span(S)=\{u=\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i|\alpha_i \in F, v_i \in S,n \in \mathbb{N}\}</math><br />
*<math>Span(S)</math> הינו חיתוך כל תתי המרחבים של V המכילים את S.<br />
<br />
==6.30 ג'==<br />
איה הוא?<br />
<br />
===תשובה===<br />
רק תלמידים חכמים רואים אותו<br />
:התכוונת שרק תלמידי חכמים רואים אותו<br />
::לא, הוא התכוון שהמלך עירום<br />
<br />
== שאלה כללית על אינדוקציה==<br />
תמיד באינדוקציה אנחנו מוכיחים שהטענה נכונה לכל n טבעי או אם הגבלות מסויימות(גדול שווה וכו').<br />
השאלה שלי היא האם מותר להוכיח עבור n טבעי מסויים, כלומר שקיים n שעבורו הביטוי מתקיים. אם השאלה לא מובנת אז אני אחדד אותה-כשאנחנו מוכיחים טענה, אנחנו מוכיחים עבור n=1 ואז מניחים שהטענה נכונה עבור n=k ומכאן מוכיחים שהטענה נכונה עבור n=k+1 השאלה אם כשאני מניח ש-n=k אני אני יכול להניח שלא כל k פותר אלא k מסויים(ספציפי) כלומר קיים k כזה, ומכאן להוכיח שגם קיים n=k+1 שפותר. תודה מראש!אגב, השאלה היא על 6.40 כי אני לא רואה דרך אחרת\כיוון להוכיח אותה(סעיף ב') אם משהו יוכל לתת לי כיוון אחר אני אשמח<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
באופן כללי באינדוקציה אתה צריך להוכיח עבור המקרה הראשון n=1 ולהוכיח את הכלל "אם מתקיים עבור k אז מתקיים עבור k+1". לא מספיק להוכיח פחות מזה.<br />
<br />
לגבי סעיף ב' ב6.40, אין דרך להוכיח את זה באינדוקציה. אינדוקציה על מה?<br />
<br />
רמז: כמה מטריצות יש מעל שדה סופי?<br />
<br />
:לא הבנתי את הרמז, אינסוף? אגב, הכוונה הייתה ל6.41 כמובן<br />
<br />
::מטריצות מגודל קבוע כמובן, נגיד nxn.<br />
<br />
:::מה זה בכלל אומר שהמטריצה הפיכה מעל שדה סופי?<br />
::::בדיוק אותו דבר שזה אומר מעל שדה אינסופי. קיימת B כך שAB=BA=I. מכיוון שI מוגדרת רק על ידי אפסים ואחדות היא מוגדרת מעל כל שדה.<br />
::::איברי המטריצה הם מהשדה הסופי (אם לזה אתה מתכוון...)<br />
<br />
==שאלה מהדף==<br />
מה הכוונה בלפתור את מערכת המשוואות של סעיף א'?(1b)כלומר, מאיזה צורה צריך להיות הפתרון?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כמו שפתרתם משוואות עד היום. פתרון כללי עם פרמטרים חופשיים s,t וכו'. למשל <br />
<math>\{(s,t+s,4,s,t)|s,t \in \mathbb{R}\}</math> (כמובן שזה לא הפתרון פה...)<br />
<br />
==שאלה 4.3==<br />
בחוברת של התרגילים כתוב שההגדרה של <math>V+W</math> היא "התת מרחב הקטן ביותר שמכיל את <math>V</math> ואת <math>W</math>", ובהרצאה ההגדרה שאפי נתן הייתה ""תת מרחב המכיל את <math>W</math> ואת <math>V</math>". אני מניח שברור מה ההבדל, הרי אם ההגדרה של אפי נכונה הרבה יותר קל לתת דוגמה נגדית. אם ההגדרה של החוברת נכונה, אז אני לא מצליח למצוא שום דוגמה שבה <math>U+V=U\cup(V)</math> ואז אני לא מצליח להפריך את סעיף א'. או שיש דרך אחרת לעשות הכל ואני בכלל לא בכיוון? עזרה בבקשה...<br />
<br />
===תשובה=== <br />
אני לא מתרגל אבל ע"פ מה שאני הבנתי- <math>U+V</math> הכוונה לכל הוקטורים שניתנים להצגה כסכום של 2 וקטורים אחרים כאשר אחד מ-<math>U</math>ואחד מ-<math>V</math>.<br />
<br />
כלומר <math>U+V= \{ u+v | u \in{U} \and v \in{V} \}</math> --[[משתמש:Edi.gotlieb|Edi.gotlieb]] 15:41, 12 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
:נכון מאד זו הגדרה נכונה. היא '''שקולה''' להגדרה תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את שניהם (הוכיחו את זה, זה תרגיל קל). סתם מרחב שמכיל את שניהם אינה ההגדרה לW+U, אני גם מאמין שאפי לא הגדיר את זה כך. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:06, 12 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
===רמז לפתרון===<br />
בשאלות כאלה, לפעמים, נוח לחשוב על הגאומטריה. למשל, במרחב התלת מימדי יש שני סוגי תתי מרחבים: מישורים (מימד 2) וקוים ישרים (מימד 3). קל מאד לחשב חיתוכים וסכומים של מרחבים כאלה: חיתוך של קוים ישרים זרים הוא הראשית - כלומר אפס, חיבור של קוים ישרים זרים הוא המישור שהם יושבים בו, וכדומה.<br />
<br />
==שאלה 4.3==<br />
<br />
בסעיף ב' האם מספיק להראות אי הכלה חד-כיוונית כדי להוכיח אי-שיוויון תמיד?<br />
בקיצור מה צריך לעשות כדי להוכיח אי-שיוויון בין קבוצות?<br />
<br />
===תשובה===<br />
על מנת להראות שקבוצות לא שוות יש להראות שקיים איבר בקבוצה אחד שלא שייך לקבוצה השנייה.<br />
<br />
:יצאת מ-X מוכל באגף שמאל והגעתי לכך ש- X לא תמיד מוכל באגף ימין- כלומר יש מיקרים בהם זה כן ויש בהם שלא, זה מספיק?<br />
:מה מבקשים בעצם? להוכיח שהקבוצות לא תמיד שוות או שהם תמיד לא שוות?<br />
<br />
::הרישום אומר שהם תמיד שונות. יש להוכיח או להפריך את זה (דוגמא אחת שם הם שוות מהווה הפרכה)<br />
<br />
==שאלה 2.9==<br />
<br />
רוצים שנוכיח כי קבוצות מסוימות של מטריצות הם תת-מרחבים וקטורים של המרחב המטריצות הריבועיות. עכשיו לא ניתן להוכיח כי כל קבוצה של מטריצות מוכלת בקבוצה אחרת אלא אם נתון הסדר שלהן. נתון כי המרחב הוא מסדר <math>n \times{n}</math> אך לא נתון מה הסדר של קבוצת המטריצות האנטי סימטריות או האלה שהtrace שלהם מתאפס. האם אני צריך להניח שמדובר על הקבוצה מסדר <math>n \times{n}</math> ? <br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן הכוונה למטריצות מסדר nxn, כלומר לקבוצות המוכלות במרחב הנתון.<br />
<br />
== 6.30 ב' ==<br />
רציתי לשאול האם מותר לי כחלק מפעולת הדרוג לכפול בcos או בsin כסקלר, כלומר בפעולה האלמנטרית שאני מכפיל..?<br />
<br />
===תשובה===<br />
רק בנקודות בהן הם לא מתאפסים. אחר כך צריך לבדוק מה קורה בנקודות שהם מתאפסים בנפרד. כמו בדירוג עם פרמטר.<br />
<br />
== שאלה 1 מקובץ התרגילים==<br />
בשאלה 1 ד',כתוב מקיים את מערכת המשוואות שמכילה את המשוואות מסעיף א וגם ב. המשוואות מא' וב' הם אותו משוואות, האם הכוונה לסעיף א וסעיף ג?<br />
<br><br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, סעיפים א' וג'<br />
<br />
== 6.30 ==<br />
שלום, רציתי לשאול אם יש עוד דרכים למצוא מטריצה הפיכה חוץ מלדרג את המטריצה ולהפעיל את אותן פעולות אלמנריות על מטריצת היחידה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
במטריצות 2 על 2 למדתם על שיטה מקוצרת. מעבר לכך אני לא יכול לחשוב על שיטה פרקטית יותר (מאשר לפתור מערכת עם מליון משוואות ומליון נעלמים :) )<br />
<br />
במילים אחרות, אין "נוסחא" פשוטה להפוך מטריצה 3 על 3 (אתה מוזמן לנסות לחשב את הנוסחא הזו בעצמך), ואין דבר פשוט מלדרג מטריצה.<br />
<br />
== תרגיל 6.23 ==<br />
מותר לי להשתמש בנוסחה של סדרה הנדסית לשם ההוכחה,או שזה בעצם מה שאני אמור להוכיח?<br />
<br />
===תשובה===<br />
זה מה שצריך להוכיח.. הרי זו בדיוק הנוסחא.<br />
<br />
==עוד שאלה על 6.34==<br />
הצלחתי להבין שאם אכפול את המטריצה של המקדמים של מערכת המשוואות במטריצה ההופכית של A, אקבל את מט' הזהות. הבעיה היא 2 העמודות של האיקסים שנותרו- האם אני יכול "לפצל" את המטריצה ל3 העמודות הראשונוות ול2 הנותרות, לכפול רק את המטריצה הראשונה (שפיצלתי) במטריצה ההופכית של A, ואז להחזיר את המטריצות המפוצלות חזרה למטריצה אחת? אם כן, למה מותר לעשות את זה, ואיך עושים את זה? (איך קוראים לפעולה הזאת ומה הנימוק שאפשר לתת לה?) בנוסף, איך המטריצה של התשובות (123) מתנהגת? כלומר, כשאני מפצל את המטריצות, אני צריך לשים את המטריצה של התשובות מימין לכל אחת מהמטריצות שפיצלתי? אני לא מבין איך כל זה מתנהג. תודה!<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
אסור לפרק את המטריצה ולכפול רק חלק ממנה ואז להרכיב חזרה. אני רק לא מבין לא לא פשוט לכפול.<br />
<br />
והרי משפט: תהי P מטריצה הפיכה, ותהי Ax=b מערכת משוואות. אזי מרחב הפתרונות של מערכת המשוואות Ax=b זהה למרחב הפתרונות של המערכת PAx=Pb.<br />
<br />
הרי אתם משתמשים במשפט הזה '''כל פעם שאתם מבצעים דירוג''' (כי דירוג הוא כפל במטריצה אלמנטרית).<br />
<br />
הוכחה: אם x פתרון של Ax=b ברור שהוא פתרון של PAx=Pb (כי כפלנו שני צדיים שווים באותו דבר). בצורה דומה, ניתן לכפול את המערכת השנייה בהופכית של P לקבל <math>P^{-1}PAx=P^{-1}Pb</math> כלומר Ax=b ולכן כל פתרון של השנייה הוא גם פתרון של הראשונה, כי כפלו שני צדדים שווים באותה מטריצה (<math> P^{-1}</math>).<br />
<br />
==בקשה מארז שיינר- המתרגל של שיעור התגבור בלינארית (אם אפשר...)==<br />
ארז, בפעם הקודמת שיעור התגבור בלינארית הלך ללא הכנה, בלי שהכנת תרגילים שיהיה אפשר לעשות בו ובעצם בלי מה לעשות. אפשר לבקש שלשיעור התגבור הבא תכין כמה תרגילים מאתגרים שיכולים להופיע בבוחן/מבחן, במיוחד שאלות שמצריכות שימוש במכפלה במטריצות בסיסיות (כמו בשאלה שהייתה בשיעורי הבית), הוכחות עם מטריצות, וכו'? אני חושב שיהיה עדיף לעשות תרגילים נוספים, מאשר רק לחזור על הגדרות שאותן פשוט אפשר לקרוא מההרצאות. אם אפשר, ארצה לבקש אותו דבר גם מאדם בתגבור של בדידה. תודה רבה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
שיעור התגבור איננו שיעור חזרה לקראת בוחן/מבחן. מטרת השיעור היא לעזור לתלמידים שמתקשים להדביק את קצב הקורס. תרגילים מאתגרים - מהגדרתם - אינם מתאימים לשיעור תגבור.<br />
<br />
תרגילים על מטריצות בסיסיות יש מספיק בשיעור ובשיעורי הבית. אם הפתרונות לא מובנים (זה בהנחה שהם '''נקראו''') ניתן לעבור עליהם שוב ולהסביר.<br />
<br />
השיטה של פתרון תרגילים מסוגים שונים על מנת ללמוד לבוחן/מבחן עובדת בבגרות אך לא באוניברסיטה. בקורס אקדמי חייבים להבין את ההגדרות ואת המשפטים ואת הרעיונות המרכזיים בחומר. מטרת התגבור היא לעזור בביצוע משימה זו.<br />
<br />
ארז.<br />
<br />
== תרגיל 2.9 ==<br />
בשאלה מראים ש <math>V=F^{nxn}</math>. מה זה? הרי V זה מ"ו, לא מרחב של מטריצות... ומטריצות זה אוסף של וקטורים, לא וקטור- יש בהם מחלקי אפס אז הם בכלל לא יכולות להיות מ"ו.. בקיצור פשוט תסבירו מה הכוונה של מה שכתבתי קודם..<br />
<br />
===תשובה===<br />
*מרחב המטריצות הוא '''אכן''' מרחב וקטורי עם פעולות חיבור מטריצות וכפל בסקלר הידועות.<br />
*מחלקי אפס אין בשדה. במ"ו אין כפל בין וקטורים ולכן אין משמעות למחלקי אפס.<br />
*מטריצות זה לא אוסף של וקטורים. מטריצה זו טבלה של מספרים, והיא וקטור בעצמה (כאשר מסתכלים על המטריצות כמרחב וקטורי)<br />
<br />
== שאלה על משפט ==<br />
<br />
המשפט: V מ"ו מעל שדה F<br />
תהי K שמוכלת בV.<br />
אם K מוכלת בU שהוא תת מרחב של V אז SPK מוכל בU.<br />
<br />
ההוכחה שהמרצה כתב:<br />
ניקח u ששיך לSPK ונאמר שu שווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi.)כאשר v שייך לK.<br />
כיוון שv שייך לK ןK מוכל בU הרי v שייך לU, אבל U תת מרחב של V ןלכן סגור לצרופים לינאריים.<br />
לכן u ששווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi),שייך לU.<br />
<br />
אני לא ממש הבנתי את ההוכחה, אם U סגור לצרופים לינאריים איך זה הגיוני שu שייך U?<br />
<br />
===תשובה===<br />
מה הכוונה איך זה הגיוני? זה מה שסגירות אומרת.<br />
<br />
סגירות בU אומרת שלכל וקטורים<math>u_1,...,u_n \in U</math> ולכל סקלרים<math>a_1,...,a_n</math> מתקיים <math>a_1u_1+...+a_nu_n \in U</math>. (זה נובע מתכונות הסגירות לכפל בסקלר וחיבור של מרחב וקטורי - והרי U הוא מ"ו).<br />
<br />
==שאלה 6.37==<br />
בסע' ג' אסור לי להניח שאם A הפיכה אז היא בעצם מקיימת את מה שנדרש מ-P, נכון?<br />
:מה זאת אומרת מה שנדרש מP? כלומר <math>B=A^{-1}AA</math>? אין סיבה להניח דבר כזה... כי הרי זה שווה A<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4663לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-12T12:41:22Z<p>Edi.gotlieb: /* תשובה */</p>
<hr />
<div><math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - בוחן + תרגיל 3<br />
<br />
=שאלות=<br />
==שאלה מהדף==<br />
מה הכוונה בלפתור את מערכת המשוואות של סעיף א'?(1b)כלומר, מאיזה צורה צריך להיות הפתרון?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כמו שפתרתם משוואות עד היום. פתרון כללי עם פרמטרים חופשיים s,t וכו'. למשל <br />
<math>\{(s,t+s,4,s,t)|s,t \in \mathbb{R}\}</math> (כמובן שזה לא הפתרון פה...)<br />
<br />
==שאלה 4.3==<br />
בחוברת של התרגילים כתוב שההגדרה של <math>V+W</math> היא "התת מרחב הקטן ביותר שמכיל את <math>V</math> ואת <math>W</math>", ובהרצאה ההגדרה שאפי נתן הייתה ""תת מרחב המכיל את <math>W</math> ואת <math>V</math>". אני מניח שברור מה ההבדל, הרי אם ההגדרה של אפי נכונה הרבה יותר קל לתת דוגמה נגדית. אם ההגדרה של החוברת נכונה, אז אני לא מצליח למצוא שום דוגמה שבה <math>U+V=U\cup(V)</math> ואז אני לא מצליח להפריך את סעיף א'. או שיש דרך אחרת לעשות הכל ואני בכלל לא בכיוון? עזרה בבקשה...<br />
<br />
===תשובה=== <br />
אני לא מתרגל אבל ע"פ מה שאני הבנתי- <math>U+V</math> הכוונה לכל הוקטורים שניתנים להצגה כסכום של 2 וקטורים אחרים כאשר אחד מ-<math>U</math>ואחד מ-<math>V</math>.<br />
<br />
כלומר <math>U+V= \{ u+v | u \in{U} \and v \in{V} \}</math> --[[משתמש:Edi.gotlieb|Edi.gotlieb]] 15:41, 12 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
:נכון מאד זו הגדרה נכונה. היא '''שקולה''' להגדרה תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את שניהם (הוכיחו את זה, זה תרגיל קל). סתם מרחב שמכיל את שניהם אינה ההגדרה לW+U, אני גם מאמין שאפי לא הגדיר את זה כך. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:06, 12 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
===רמז לפתרון===<br />
בשאלות כאלה, לפעמים, נוח לחשוב על הגאומטריה. למשל, במרחב התלת מימדי יש שני סוגי תתי מרחבים: מישורים (מימד 2) וקוים ישרים (מימד 3). קל מאד לחשב חיתוכים וסכומים של מרחבים כאלה: חיתוך של קוים ישרים זרים הוא הראשית - כלומר אפס, חיבור של קוים ישרים זרים הוא המישור שהם יושבים בו, וכדומה.<br />
<br />
==שאלה 4.3==<br />
<br />
בסעיף ב' האם מספיק להראות אי הכלה חד-כיוונית כדי להוכיח אי-שיוויון תמיד?<br />
בקיצור מה צריך לעשות כדי להוכיח אי-שיוויון בין קבוצות?<br />
<br />
===תשובה===<br />
על מנת להראות שקבוצות לא שוות יש להראות שקיים איבר בקבוצה אחד שלא שייך לקבוצה השנייה.<br />
<br />
יצאת מ-X מוכל באגף שמאל והגעתי לכך ש- X לא תמיד מוכל באגף ימין- כלומר יש מיקרים בהם זה כן ויש בהם שלא, זה מספיק?<br />
מה מבקשים בעצם? להוכיח שהקבוצות לא תמיד שוות או שהם תמיד לא שוות?<br />
<br />
==שאלה 2.9==<br />
<br />
רוצים שנוכיח כי קבוצות מסוימות של מטריצות הם תת-מרחבים וקטורים של המרחב המטריצות הריבועיות. עכשיו לא ניתן להוכיח כי כל קבוצה של מטריצות מוכלת בקבוצה אחרת אלא אם נתון הסדר שלהן. נתון כי המרחב הוא מסדר <math>n \times{n}</math> אך לא נתון מה הסדר של קבוצת המטריצות האנטי סימטריות או האלה שהtrace שלהם מתאפס. האם אני צריך להניח שמדובר על הקבוצה מסדר <math>n \times{n}</math> ? <br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן הכוונה למטריצות מסדר nxn, כלומר לקבוצות המוכלות במרחב הנתון.<br />
<br />
== 6.30 ב' ==<br />
רציתי לשאול האם מותר לי כחלק מפעולת הדרוג לכפול בcos או בsin כסקלר, כלומר בפעולה האלמנטרית שאני מכפיל..?<br />
<br />
===תשובה===<br />
רק בנקודות בהן הם לא מתאפסים. אחר כך צריך לבדוק מה קורה בנקודות שהם מתאפסים בנפרד. כמו בדירוג עם פרמטר.<br />
<br />
== שאלה 1 מקובץ התרגילים==<br />
בשאלה 1 ד',כתוב מקיים את מערכת המשוואות שמכילה את המשוואות מסעיף א וגם ב. המשוואות מא' וב' הם אותו משוואות, האם הכוונה לסעיף א וסעיף ג?<br />
<br><br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, סעיפים א' וג'<br />
<br />
== 6.30 ==<br />
שלום, רציתי לשאול אם יש עוד דרכים למצוא מטריצה הפיכה חוץ מלדרג את המטריצה ולהפעיל את אותן פעולות אלמנריות על מטריצת היחידה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
במטריצות 2 על 2 למדתם על שיטה מקוצרת. מעבר לכך אני לא יכול לחשוב על שיטה פרקטית יותר (מאשר לפתור מערכת עם מליון משוואות ומליון נעלמים :) )<br />
<br />
במילים אחרות, אין "נוסחא" פשוטה להפוך מטריצה 3 על 3 (אתה מוזמן לנסות לחשב את הנוסחא הזו בעצמך), ואין דבר פשוט מלדרג מטריצה.<br />
<br />
== תרגיל 6.23 ==<br />
מותר לי להשתמש בנוסחה של סדרה הנדסית לשם ההוכחה,או שזה בעצם מה שאני אמור להוכיח?<br />
<br />
===תשובה===<br />
זה מה שצריך להוכיח.. הרי זו בדיוק הנוסחא.<br />
<br />
==עוד שאלה על 6.34==<br />
הצלחתי להבין שאם אכפול את המטריצה של המקדמים של מערכת המשוואות במטריצה ההופכית של A, אקבל את מט' הזהות. הבעיה היא 2 העמודות של האיקסים שנותרו- האם אני יכול "לפצל" את המטריצה ל3 העמודות הראשונוות ול2 הנותרות, לכפול רק את המטריצה הראשונה (שפיצלתי) במטריצה ההופכית של A, ואז להחזיר את המטריצות המפוצלות חזרה למטריצה אחת? אם כן, למה מותר לעשות את זה, ואיך עושים את זה? (איך קוראים לפעולה הזאת ומה הנימוק שאפשר לתת לה?) בנוסף, איך המטריצה של התשובות (123) מתנהגת? כלומר, כשאני מפצל את המטריצות, אני צריך לשים את המטריצה של התשובות מימין לכל אחת מהמטריצות שפיצלתי? אני לא מבין איך כל זה מתנהג. תודה!<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
אסור לפרק את המטריצה ולכפול רק חלק ממנה ואז להרכיב חזרה. אני רק לא מבין לא לא פשוט לכפול.<br />
<br />
והרי משפט: תהי P מטריצה הפיכה, ותהי Ax=b מערכת משוואות. אזי מרחב הפתרונות של מערכת המשוואות Ax=b זהה למרחב הפתרונות של המערכת PAx=Pb.<br />
<br />
הרי אתם משתמשים במשפט הזה '''כל פעם שאתם מבצעים דירוג''' (כי דירוג הוא כפל במטריצה אלמנטרית).<br />
<br />
הוכחה: אם x פתרון של Ax=b ברור שהוא פתרון של PAx=Pb (כי כפלנו שני צדיים שווים באותו דבר). בצורה דומה, ניתן לכפול את המערכת השנייה בהופכית של P לקבל <math>P^{-1}PAx=P^{-1}Pb</math> כלומר Ax=b ולכן כל פתרון של השנייה הוא גם פתרון של הראשונה, כי כפלו שני צדדים שווים באותה מטריצה (<math> P^{-1}</math>).<br />
<br />
==בקשה מארז שיינר- המתרגל של שיעור התגבור בלינארית (אם אפשר...)==<br />
ארז, בפעם הקודמת שיעור התגבור בלינארית הלך ללא הכנה, בלי שהכנת תרגילים שיהיה אפשר לעשות בו ובעצם בלי מה לעשות. אפשר לבקש שלשיעור התגבור הבא תכין כמה תרגילים מאתגרים שיכולים להופיע בבוחן/מבחן, במיוחד שאלות שמצריכות שימוש במכפלה במטריצות בסיסיות (כמו בשאלה שהייתה בשיעורי הבית), הוכחות עם מטריצות, וכו'? אני חושב שיהיה עדיף לעשות תרגילים נוספים, מאשר רק לחזור על הגדרות שאותן פשוט אפשר לקרוא מההרצאות. אם אפשר, ארצה לבקש אותו דבר גם מאדם בתגבור של בדידה. תודה רבה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
שיעור התגבור איננו שיעור חזרה לקראת בוחן/מבחן. מטרת השיעור היא לעזור לתלמידים שמתקשים להדביק את קצב הקורס. תרגילים מאתגרים - מהגדרתם - אינם מתאימים לשיעור תגבור.<br />
<br />
תרגילים על מטריצות בסיסיות יש מספיק בשיעור ובשיעורי הבית. אם הפתרונות לא מובנים (זה בהנחה שהם '''נקראו''') ניתן לעבור עליהם שוב ולהסביר.<br />
<br />
השיטה של פתרון תרגילים מסוגים שונים על מנת ללמוד לבוחן/מבחן עובדת בבגרות אך לא באוניברסיטה. בקורס אקדמי חייבים להבין את ההגדרות ואת המשפטים ואת הרעיונות המרכזיים בחומר. מטרת התגבור היא לעזור בביצוע משימה זו.<br />
<br />
ארז.<br />
<br />
== תרגיל 2.9 ==<br />
בשאלה מראים ש <math>V=F^{nxn}</math>. מה זה? הרי V זה מ"ו, לא מרחב של מטריצות... ומטריצות זה אוסף של וקטורים, לא וקטור- יש בהם מחלקי אפס אז הם בכלל לא יכולות להיות מ"ו.. בקיצור פשוט תסבירו מה הכוונה של מה שכתבתי קודם..<br />
<br />
===תשובה===<br />
*מרחב המטריצות הוא '''אכן''' מרחב וקטורי עם פעולות חיבור מטריצות וכפל בסקלר הידועות.<br />
*מחלקי אפס אין בשדה. במ"ו אין כפל בין וקטורים ולכן אין משמעות למחלקי אפס.<br />
*מטריצות זה לא אוסף של וקטורים. מטריצה זו טבלה של מספרים, והיא וקטור בעצמה (כאשר מסתכלים על המטריצות כמרחב וקטורי)<br />
<br />
== שאלה על משפט ==<br />
<br />
המשפט: V מ"ו מעל שדה F<br />
תהי K שמוכלת בV.<br />
אם K מוכלת בU שהוא תת מרחב של V אז SPK מוכל בU.<br />
<br />
ההוכחה שהמרצה כתב:<br />
ניקח u ששיך לSPK ונאמר שu שווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi.)כאשר v שייך לK.<br />
כיוון שv שייך לK ןK מוכל בU הרי v שייך לU, אבל U תת מרחב של V ןלכן סגור לצרופים לינאריים.<br />
לכן u ששווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi),שייך לU.<br />
<br />
אני לא ממש הבנתי את ההוכחה, אם U סגור לצרופים לינאריים איך זה הגיוני שu שייך U?<br />
<br />
===תשובה===<br />
מה הכוונה איך זה הגיוני? זה מה שסגירות אומרת.<br />
<br />
סגירות בU אומרת שלכל וקטורים<math>u_1,...,u_n \in U</math> ולכל סקלרים<math>a_1,...,a_n</math> מתקיים <math>a_1u_1+...+a_nu_n \in U</math>. (זה נובע מתכונות הסגירות לכפל בסקלר וחיבור של מרחב וקטורי - והרי U הוא מ"ו).<br />
<br />
==שאלה 6.37==<br />
בסע' ג' אסור לי להניח שאם A הפיכה אז היא בעצם מקיימת את מה שנדרש מ-P, נכון?<br />
:מה זאת אומרת מה שנדרש מP? כלומר <math>B=A^{-1}AA</math>? אין סיבה להניח דבר כזה... כי הרי זה שווה A<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4662לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-12T12:41:03Z<p>Edi.gotlieb: /* תשובה */</p>
<hr />
<div><math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - בוחן + תרגיל 3<br />
<br />
=שאלות=<br />
==שאלה מהדף==<br />
מה הכוונה בלפתור את מערכת המשוואות של סעיף א'?(1b)כלומר, מאיזה צורה צריך להיות הפתרון?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כמו שפתרתם משוואות עד היום. פתרון כללי עם פרמטרים חופשיים s,t וכו'. למשל <br />
<math>\{(s,t+s,4,s,t)|s,t \in \mathbb{R}\}</math> (כמובן שזה לא הפתרון פה...)<br />
<br />
==שאלה 4.3==<br />
בחוברת של התרגילים כתוב שההגדרה של <math>V+W</math> היא "התת מרחב הקטן ביותר שמכיל את <math>V</math> ואת <math>W</math>", ובהרצאה ההגדרה שאפי נתן הייתה ""תת מרחב המכיל את <math>W</math> ואת <math>V</math>". אני מניח שברור מה ההבדל, הרי אם ההגדרה של אפי נכונה הרבה יותר קל לתת דוגמה נגדית. אם ההגדרה של החוברת נכונה, אז אני לא מצליח למצוא שום דוגמה שבה <math>U+V=U\cup(V)</math> ואז אני לא מצליח להפריך את סעיף א'. או שיש דרך אחרת לעשות הכל ואני בכלל לא בכיוון? עזרה בבקשה...<br />
<br />
===תשובה=== <br />
אני לא מתרגל אבל ע"פ מה שאני הבנתי- <math>U+V</math> הכוונה לכל הוקטורים שניתנים להצגה כסכום של 2 וקטורים אחרים כאשר אחד מ-<math>U</math>ואחד מ-<math>V</math>.<br />
<br />
כלומר <math>U+V= \{ u+v | u \in{U} \and v \in{V} \}</math> <br />
----<br />
<br />
<br />
:נכון מאד זו הגדרה נכונה. היא '''שקולה''' להגדרה תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את שניהם (הוכיחו את זה, זה תרגיל קל). סתם מרחב שמכיל את שניהם אינה ההגדרה לW+U, אני גם מאמין שאפי לא הגדיר את זה כך. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:06, 12 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
===רמז לפתרון===<br />
בשאלות כאלה, לפעמים, נוח לחשוב על הגאומטריה. למשל, במרחב התלת מימדי יש שני סוגי תתי מרחבים: מישורים (מימד 2) וקוים ישרים (מימד 3). קל מאד לחשב חיתוכים וסכומים של מרחבים כאלה: חיתוך של קוים ישרים זרים הוא הראשית - כלומר אפס, חיבור של קוים ישרים זרים הוא המישור שהם יושבים בו, וכדומה.<br />
<br />
==שאלה 4.3==<br />
<br />
בסעיף ב' האם מספיק להראות אי הכלה חד-כיוונית כדי להוכיח אי-שיוויון תמיד?<br />
בקיצור מה צריך לעשות כדי להוכיח אי-שיוויון בין קבוצות?<br />
<br />
===תשובה===<br />
על מנת להראות שקבוצות לא שוות יש להראות שקיים איבר בקבוצה אחד שלא שייך לקבוצה השנייה.<br />
<br />
יצאת מ-X מוכל באגף שמאל והגעתי לכך ש- X לא תמיד מוכל באגף ימין- כלומר יש מיקרים בהם זה כן ויש בהם שלא, זה מספיק?<br />
מה מבקשים בעצם? להוכיח שהקבוצות לא תמיד שוות או שהם תמיד לא שוות?<br />
<br />
==שאלה 2.9==<br />
<br />
רוצים שנוכיח כי קבוצות מסוימות של מטריצות הם תת-מרחבים וקטורים של המרחב המטריצות הריבועיות. עכשיו לא ניתן להוכיח כי כל קבוצה של מטריצות מוכלת בקבוצה אחרת אלא אם נתון הסדר שלהן. נתון כי המרחב הוא מסדר <math>n \times{n}</math> אך לא נתון מה הסדר של קבוצת המטריצות האנטי סימטריות או האלה שהtrace שלהם מתאפס. האם אני צריך להניח שמדובר על הקבוצה מסדר <math>n \times{n}</math> ? <br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן הכוונה למטריצות מסדר nxn, כלומר לקבוצות המוכלות במרחב הנתון.<br />
<br />
== 6.30 ב' ==<br />
רציתי לשאול האם מותר לי כחלק מפעולת הדרוג לכפול בcos או בsin כסקלר, כלומר בפעולה האלמנטרית שאני מכפיל..?<br />
<br />
===תשובה===<br />
רק בנקודות בהן הם לא מתאפסים. אחר כך צריך לבדוק מה קורה בנקודות שהם מתאפסים בנפרד. כמו בדירוג עם פרמטר.<br />
<br />
== שאלה 1 מקובץ התרגילים==<br />
בשאלה 1 ד',כתוב מקיים את מערכת המשוואות שמכילה את המשוואות מסעיף א וגם ב. המשוואות מא' וב' הם אותו משוואות, האם הכוונה לסעיף א וסעיף ג?<br />
<br><br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, סעיפים א' וג'<br />
<br />
== 6.30 ==<br />
שלום, רציתי לשאול אם יש עוד דרכים למצוא מטריצה הפיכה חוץ מלדרג את המטריצה ולהפעיל את אותן פעולות אלמנריות על מטריצת היחידה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
במטריצות 2 על 2 למדתם על שיטה מקוצרת. מעבר לכך אני לא יכול לחשוב על שיטה פרקטית יותר (מאשר לפתור מערכת עם מליון משוואות ומליון נעלמים :) )<br />
<br />
במילים אחרות, אין "נוסחא" פשוטה להפוך מטריצה 3 על 3 (אתה מוזמן לנסות לחשב את הנוסחא הזו בעצמך), ואין דבר פשוט מלדרג מטריצה.<br />
<br />
== תרגיל 6.23 ==<br />
מותר לי להשתמש בנוסחה של סדרה הנדסית לשם ההוכחה,או שזה בעצם מה שאני אמור להוכיח?<br />
<br />
===תשובה===<br />
זה מה שצריך להוכיח.. הרי זו בדיוק הנוסחא.<br />
<br />
==עוד שאלה על 6.34==<br />
הצלחתי להבין שאם אכפול את המטריצה של המקדמים של מערכת המשוואות במטריצה ההופכית של A, אקבל את מט' הזהות. הבעיה היא 2 העמודות של האיקסים שנותרו- האם אני יכול "לפצל" את המטריצה ל3 העמודות הראשונוות ול2 הנותרות, לכפול רק את המטריצה הראשונה (שפיצלתי) במטריצה ההופכית של A, ואז להחזיר את המטריצות המפוצלות חזרה למטריצה אחת? אם כן, למה מותר לעשות את זה, ואיך עושים את זה? (איך קוראים לפעולה הזאת ומה הנימוק שאפשר לתת לה?) בנוסף, איך המטריצה של התשובות (123) מתנהגת? כלומר, כשאני מפצל את המטריצות, אני צריך לשים את המטריצה של התשובות מימין לכל אחת מהמטריצות שפיצלתי? אני לא מבין איך כל זה מתנהג. תודה!<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
אסור לפרק את המטריצה ולכפול רק חלק ממנה ואז להרכיב חזרה. אני רק לא מבין לא לא פשוט לכפול.<br />
<br />
והרי משפט: תהי P מטריצה הפיכה, ותהי Ax=b מערכת משוואות. אזי מרחב הפתרונות של מערכת המשוואות Ax=b זהה למרחב הפתרונות של המערכת PAx=Pb.<br />
<br />
הרי אתם משתמשים במשפט הזה '''כל פעם שאתם מבצעים דירוג''' (כי דירוג הוא כפל במטריצה אלמנטרית).<br />
<br />
הוכחה: אם x פתרון של Ax=b ברור שהוא פתרון של PAx=Pb (כי כפלנו שני צדיים שווים באותו דבר). בצורה דומה, ניתן לכפול את המערכת השנייה בהופכית של P לקבל <math>P^{-1}PAx=P^{-1}Pb</math> כלומר Ax=b ולכן כל פתרון של השנייה הוא גם פתרון של הראשונה, כי כפלו שני צדדים שווים באותה מטריצה (<math> P^{-1}</math>).<br />
<br />
==בקשה מארז שיינר- המתרגל של שיעור התגבור בלינארית (אם אפשר...)==<br />
ארז, בפעם הקודמת שיעור התגבור בלינארית הלך ללא הכנה, בלי שהכנת תרגילים שיהיה אפשר לעשות בו ובעצם בלי מה לעשות. אפשר לבקש שלשיעור התגבור הבא תכין כמה תרגילים מאתגרים שיכולים להופיע בבוחן/מבחן, במיוחד שאלות שמצריכות שימוש במכפלה במטריצות בסיסיות (כמו בשאלה שהייתה בשיעורי הבית), הוכחות עם מטריצות, וכו'? אני חושב שיהיה עדיף לעשות תרגילים נוספים, מאשר רק לחזור על הגדרות שאותן פשוט אפשר לקרוא מההרצאות. אם אפשר, ארצה לבקש אותו דבר גם מאדם בתגבור של בדידה. תודה רבה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
שיעור התגבור איננו שיעור חזרה לקראת בוחן/מבחן. מטרת השיעור היא לעזור לתלמידים שמתקשים להדביק את קצב הקורס. תרגילים מאתגרים - מהגדרתם - אינם מתאימים לשיעור תגבור.<br />
<br />
תרגילים על מטריצות בסיסיות יש מספיק בשיעור ובשיעורי הבית. אם הפתרונות לא מובנים (זה בהנחה שהם '''נקראו''') ניתן לעבור עליהם שוב ולהסביר.<br />
<br />
השיטה של פתרון תרגילים מסוגים שונים על מנת ללמוד לבוחן/מבחן עובדת בבגרות אך לא באוניברסיטה. בקורס אקדמי חייבים להבין את ההגדרות ואת המשפטים ואת הרעיונות המרכזיים בחומר. מטרת התגבור היא לעזור בביצוע משימה זו.<br />
<br />
ארז.<br />
<br />
== תרגיל 2.9 ==<br />
בשאלה מראים ש <math>V=F^{nxn}</math>. מה זה? הרי V זה מ"ו, לא מרחב של מטריצות... ומטריצות זה אוסף של וקטורים, לא וקטור- יש בהם מחלקי אפס אז הם בכלל לא יכולות להיות מ"ו.. בקיצור פשוט תסבירו מה הכוונה של מה שכתבתי קודם..<br />
<br />
===תשובה===<br />
*מרחב המטריצות הוא '''אכן''' מרחב וקטורי עם פעולות חיבור מטריצות וכפל בסקלר הידועות.<br />
*מחלקי אפס אין בשדה. במ"ו אין כפל בין וקטורים ולכן אין משמעות למחלקי אפס.<br />
*מטריצות זה לא אוסף של וקטורים. מטריצה זו טבלה של מספרים, והיא וקטור בעצמה (כאשר מסתכלים על המטריצות כמרחב וקטורי)<br />
<br />
== שאלה על משפט ==<br />
<br />
המשפט: V מ"ו מעל שדה F<br />
תהי K שמוכלת בV.<br />
אם K מוכלת בU שהוא תת מרחב של V אז SPK מוכל בU.<br />
<br />
ההוכחה שהמרצה כתב:<br />
ניקח u ששיך לSPK ונאמר שu שווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi.)כאשר v שייך לK.<br />
כיוון שv שייך לK ןK מוכל בU הרי v שייך לU, אבל U תת מרחב של V ןלכן סגור לצרופים לינאריים.<br />
לכן u ששווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi),שייך לU.<br />
<br />
אני לא ממש הבנתי את ההוכחה, אם U סגור לצרופים לינאריים איך זה הגיוני שu שייך U?<br />
<br />
===תשובה===<br />
מה הכוונה איך זה הגיוני? זה מה שסגירות אומרת.<br />
<br />
סגירות בU אומרת שלכל וקטורים<math>u_1,...,u_n \in U</math> ולכל סקלרים<math>a_1,...,a_n</math> מתקיים <math>a_1u_1+...+a_nu_n \in U</math>. (זה נובע מתכונות הסגירות לכפל בסקלר וחיבור של מרחב וקטורי - והרי U הוא מ"ו).<br />
<br />
==שאלה 6.37==<br />
בסע' ג' אסור לי להניח שאם A הפיכה אז היא בעצם מקיימת את מה שנדרש מ-P, נכון?<br />
:מה זאת אומרת מה שנדרש מP? כלומר <math>B=A^{-1}AA</math>? אין סיבה להניח דבר כזה... כי הרי זה שווה A<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4659לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-12T12:09:39Z<p>Edi.gotlieb: /* תשובה */</p>
<hr />
<div><math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - בוחן + תרגיל 3<br />
<br />
=שאלות=<br />
==שאלה מהדף==<br />
מה הכוונה בלפתור את מערכת המשוואות של סעיף א'?(1b)כלומר, מאיזה צורה צריך להיות הפתרון?<br />
==שאלה 4.3==<br />
בחוברת של התרגילים כתוב שההגדרה של <math>V+W</math> היא "התת מרחב הקטן ביותר שמכיל את <math>V</math> ואת <math>W</math>", ובהרצאה ההגדרה שאפי נתן הייתה ""תת מרחב המכיל את <math>W</math> ואת <math>V</math>". אני מניח שברור מה ההבדל, הרי אם ההגדרה של אפי נכונה הרבה יותר קל לתת דוגמה נגדית. אם ההגדרה של החוברת נכונה, אז אני לא מצליח למצוא שום דוגמה שבה <math>U+V=U\cup(V)</math> ואז אני לא מצליח להפריך את סעיף א'. או שיש דרך אחרת לעשות הכל ואני בכלל לא בכיוון? עזרה בבקשה...<br />
<br />
===תשובה=== <br />
אני לא מתרגל אבל ע"פ מה שאני הבנתי- <math>U+V</math> הכוונה לכל הוקטורים שניתנים להצגה כסכום של 2 וקטורים אחרים כאשר אחד מ-<math>U</math>ואחד מ-<math>V</math>.<br />
<br />
כלומר <math>U+V= \{ u+v | u \in{U} \and v \in{V} \}</math><br />
<br />
:נכון מאד זו הגדרה נכונה. היא '''שקולה''' להגדרה תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את שניהם (הוכיחו את זה, זה תרגיל קל). סתם מרחב שמכיל את שניהם אינה ההגדרה לW+U, אני גם מאמין שאפי לא הגדיר את זה כך. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:06, 12 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 4.3==<br />
<br />
בסעיף ב' האם מספיק להראות אי הכלה חד-כיוונית כדי להוכיח אי-שיוויון תמיד?<br />
בקיצור מה צריך לעשות כדי להוכיח אי-שיוויון בין קבוצות?<br />
<br />
===תשובה===<br />
על מנת להראות שקבוצות לא שוות יש להראות שקיים איבר בקבוצה אחד שלא שייך לקבוצה השנייה.<br />
<br />
יצאת מ-X מוכל באגף שמאל והגעתי לכך ש- X לא תמיד מוכל באגף ימין- כלומר יש מיקרים בהם זה כן ויש בהם שלא, זה מספיק?<br />
מה מבקשים בעצם? להוכיח שהקבוצות לא תמיד שוות או שהם תמיד לא שוות?<br />
<br />
==שאלה 2.9==<br />
<br />
רוצים שנוכיח כי קבוצות מסוימות של מטריצות הם תת-מרחבים וקטורים של המרחב המטריצות הריבועיות. עכשיו לא ניתן להוכיח כי כל קבוצה של מטריצות מוכלת בקבוצה אחרת אלא אם נתון הסדר שלהן. נתון כי המרחב הוא מסדר <math>n \times{n}</math> אך לא נתון מה הסדר של קבוצת המטריצות האנטי סימטריות או האלה שהtrace שלהם מתאפס. האם אני צריך להניח שמדובר על הקבוצה מסדר <math>n \times{n}</math> ? <br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן הכוונה למטריצות מסדר nxn, כלומר לקבוצות המוכלות במרחב הנתון.<br />
<br />
== 6.30 ב' ==<br />
רציתי לשאול האם מותר לי כחלק מפעולת הדרוג לכפול בcos או בsin כסקלר, כלומר בפעולה האלמנטרית שאני מכפיל..?<br />
<br />
===תשובה===<br />
רק בנקודות בהן הם לא מתאפסים. אחר כך צריך לבדוק מה קורה בנקודות שהם מתאפסים בנפרד. כמו בדירוג עם פרמטר.<br />
<br />
== שאלה 1 מקובץ התרגילים==<br />
בשאלה 1 ד',כתוב מקיים את מערכת המשוואות שמכילה את המשוואות מסעיף א וגם ב. המשוואות מא' וב' הם אותו משוואות, האם הכוונה לסעיף א וסעיף ג?<br />
<br><br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, סעיפים א' וג'<br />
<br />
== 6.30 ==<br />
שלום, רציתי לשאול אם יש עוד דרכים למצוא מטריצה הפיכה חוץ מלדרג את המטריצה ולהפעיל את אותן פעולות אלמנריות על מטריצת היחידה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
במטריצות 2 על 2 למדתם על שיטה מקוצרת. מעבר לכך אני לא יכול לחשוב על שיטה פרקטית יותר (מאשר לפתור מערכת עם מליון משוואות ומליון נעלמים :) )<br />
<br />
במילים אחרות, אין "נוסחא" פשוטה להפוך מטריצה 3 על 3 (אתה מוזמן לנסות לחשב את הנוסחא הזו בעצמך), ואין דבר פשוט מלדרג מטריצה.<br />
<br />
== תרגיל 6.23 ==<br />
מותר לי להשתמש בנוסחה של סדרה הנדסית לשם ההוכחה,או שזה בעצם מה שאני אמור להוכיח?<br />
<br />
===תשובה===<br />
זה מה שצריך להוכיח.. הרי זו בדיוק הנוסחא.<br />
<br />
==עוד שאלה על 6.34==<br />
הצלחתי להבין שאם אכפול את המטריצה של המקדמים של מערכת המשוואות במטריצה ההופכית של A, אקבל את מט' הזהות. הבעיה היא 2 העמודות של האיקסים שנותרו- האם אני יכול "לפצל" את המטריצה ל3 העמודות הראשונוות ול2 הנותרות, לכפול רק את המטריצה הראשונה (שפיצלתי) במטריצה ההופכית של A, ואז להחזיר את המטריצות המפוצלות חזרה למטריצה אחת? אם כן, למה מותר לעשות את זה, ואיך עושים את זה? (איך קוראים לפעולה הזאת ומה הנימוק שאפשר לתת לה?) בנוסף, איך המטריצה של התשובות (123) מתנהגת? כלומר, כשאני מפצל את המטריצות, אני צריך לשים את המטריצה של התשובות מימין לכל אחת מהמטריצות שפיצלתי? אני לא מבין איך כל זה מתנהג. תודה!<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
אסור לפרק את המטריצה ולכפול רק חלק ממנה ואז להרכיב חזרה. אני רק לא מבין לא לא פשוט לכפול.<br />
<br />
והרי משפט: תהי P מטריצה הפיכה, ותהי Ax=b מערכת משוואות. אזי מרחב הפתרונות של מערכת המשוואות Ax=b זהה למרחב הפתרונות של המערכת PAx=Pb.<br />
<br />
הרי אתם משתמשים במשפט הזה '''כל פעם שאתם מבצעים דירוג''' (כי דירוג הוא כפל במטריצה אלמנטרית).<br />
<br />
הוכחה: אם x פתרון של Ax=b ברור שהוא פתרון של PAx=Pb (כי כפלנו שני צדיים שווים באותו דבר). בצורה דומה, ניתן לכפול את המערכת השנייה בהופכית של P לקבל <math>P^{-1}PAx=P^{-1}Pb</math> כלומר Ax=b ולכן כל פתרון של השנייה הוא גם פתרון של הראשונה, כי כפלו שני צדדים שווים באותה מטריצה (<math> P^{-1}</math>).<br />
<br />
==בקשה מארז שיינר- המתרגל של שיעור התגבור בלינארית (אם אפשר...)==<br />
ארז, בפעם הקודמת שיעור התגבור בלינארית הלך ללא הכנה, בלי שהכנת תרגילים שיהיה אפשר לעשות בו ובעצם בלי מה לעשות. אפשר לבקש שלשיעור התגבור הבא תכין כמה תרגילים מאתגרים שיכולים להופיע בבוחן/מבחן, במיוחד שאלות שמצריכות שימוש במכפלה במטריצות בסיסיות (כמו בשאלה שהייתה בשיעורי הבית), הוכחות עם מטריצות, וכו'? אני חושב שיהיה עדיף לעשות תרגילים נוספים, מאשר רק לחזור על הגדרות שאותן פשוט אפשר לקרוא מההרצאות. אם אפשר, ארצה לבקש אותו דבר גם מאדם בתגבור של בדידה. תודה רבה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
שיעור התגבור איננו שיעור חזרה לקראת בוחן/מבחן. מטרת השיעור היא לעזור לתלמידים שמתקשים להדביק את קצב הקורס. תרגילים מאתגרים - מהגדרתם - אינם מתאימים לשיעור תגבור.<br />
<br />
תרגילים על מטריצות בסיסיות יש מספיק בשיעור ובשיעורי הבית. אם הפתרונות לא מובנים (זה בהנחה שהם '''נקראו''') ניתן לעבור עליהם שוב ולהסביר.<br />
<br />
השיטה של פתרון תרגילים מסוגים שונים על מנת ללמוד לבוחן/מבחן עובדת בבגרות אך לא באוניברסיטה. בקורס אקדמי חייבים להבין את ההגדרות ואת המשפטים ואת הרעיונות המרכזיים בחומר. מטרת התגבור היא לעזור בביצוע משימה זו.<br />
<br />
ארז.<br />
<br />
== תרגיל 2.9 ==<br />
בשאלה מראים ש <math>V=F^{nxn}</math>. מה זה? הרי V זה מ"ו, לא מרחב של מטריצות... ומטריצות זה אוסף של וקטורים, לא וקטור- יש בהם מחלקי אפס אז הם בכלל לא יכולות להיות מ"ו.. בקיצור פשוט תסבירו מה הכוונה של מה שכתבתי קודם..<br />
<br />
===תשובה===<br />
*מרחב המטריצות הוא '''אכן''' מרחב וקטורי עם פעולות חיבור מטריצות וכפל בסקלר הידועות.<br />
*מחלקי אפס אין בשדה. במ"ו אין כפל בין וקטורים ולכן אין משמעות למחלקי אפס.<br />
*מטריצות זה לא אוסף של וקטורים. מטריצה זו טבלה של מספרים, והיא וקטור בעצמה (כאשר מסתכלים על המטריצות כמרחב וקטורי)<br />
<br />
== שאלה על משפט ==<br />
<br />
המשפט: V מ"ו מעל שדה F<br />
תהי K שמוכלת בV.<br />
אם K מוכלת בU שהוא תת מרחב של V אז SPK מוכל בU.<br />
<br />
ההוכחה שהמרצה כתב:<br />
ניקח u ששיך לSPK ונאמר שu שווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi.)כאשר v שייך לK.<br />
כיוון שv שייך לK ןK מוכל בU הרי v שייך לU, אבל U תת מרחב של V ןלכן סגור לצרופים לינאריים.<br />
לכן u ששווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi),שייך לU.<br />
<br />
אני לא ממש הבנתי את ההוכחה, אם U סגור לצרופים לינאריים איך זה הגיוני שu שייך U?<br />
<br />
===תשובה===<br />
מה הכוונה איך זה הגיוני? זה מה שסגירות אומרת.<br />
<br />
סגירות בU אומרת שלכל וקטורים<math>u_1,...,u_n \in U</math> ולכל סקלרים<math>a_1,...,a_n</math> מתקיים <math>a_1u_1+...+a_nu_n \in U</math>. (זה נובע מתכונות הסגירות לכפל בסקלר וחיבור של מרחב וקטורי - והרי U הוא מ"ו).<br />
<br />
==שאלה 6.37==<br />
בסע' ג' אסור לי להניח שאם A הפיכה אז היא בעצם מקיימת את מה שנדרש מ-P, נכון?<br />
:מה זאת אומרת מה שנדרש מP? כלומר <math>B=A^{-1}AA</math>? אין סיבה להניח דבר כזה... כי הרי זה שווה A<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4658לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-12T12:08:43Z<p>Edi.gotlieb: /* תשובה */</p>
<hr />
<div><math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - בוחן + תרגיל 3<br />
<br />
=שאלות=<br />
==שאלה מהדף==<br />
מה הכוונה בלפתור את מערכת המשוואות של סעיף א'?(1b)כלומר, מאיזה צורה צריך להיות הפתרון?<br />
==שאלה 4.3==<br />
בחוברת של התרגילים כתוב שההגדרה של <math>V+W</math> היא "התת מרחב הקטן ביותר שמכיל את <math>V</math> ואת <math>W</math>", ובהרצאה ההגדרה שאפי נתן הייתה ""תת מרחב המכיל את <math>W</math> ואת <math>V</math>". אני מניח שברור מה ההבדל, הרי אם ההגדרה של אפי נכונה הרבה יותר קל לתת דוגמה נגדית. אם ההגדרה של החוברת נכונה, אז אני לא מצליח למצוא שום דוגמה שבה <math>U+V=U\cup(V)</math> ואז אני לא מצליח להפריך את סעיף א'. או שיש דרך אחרת לעשות הכל ואני בכלל לא בכיוון? עזרה בבקשה...<br />
<br />
===תשובה=== <br />
אני לא מתרגל אבל ע"פ מה שאני הבנתי- <math>U+V</math> הכוונה לכל הוקטורים שניתנים להצגה כסכום של 2 וקטורים אחרים כאשר אחד מ-<math>U</math>ואחד מ-<math>V</math>.<br />
<br />
כלומר <math>U+V= \{ u+v | u \in{U} \and v \in{V} \}</math><br />
<br />
:נכון מאד זו הגדרה נכונה. היא '''שקולה''' להגדרה תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את שניהם (הוכיחו את זה, זה תרגיל קל). סתם מרחב שמכיל את שניהם אינה ההגדרה לW+U, אני גם מאמין שאפי לא הגדיר את זה כך. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:06, 12 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 4.3==<br />
<br />
בסעיף ב' האם מספיק להראות אי הכלה חד-כיוונית כדי להוכיח אי-שיוויון תמיד?<br />
בקיצור מה צריך לעשות כדי להוכיח אי-שיוויון בין קבוצות?<br />
<br />
===תשובה===<br />
על מנת להראות שקבוצות לא שוות יש להראות שקיים איבר בקבוצה אחד שלא שייך לקבוצה השנייה.<br />
יצאת מ-X מוכל באגף שמאל והגעתי לכך ש- X לא תמיד מוכל באגף ימין- כלומר יש מיקרים בהם זה כן ויש בהם שלא, זה מספיק?<br />
<br />
==שאלה 2.9==<br />
<br />
רוצים שנוכיח כי קבוצות מסוימות של מטריצות הם תת-מרחבים וקטורים של המרחב המטריצות הריבועיות. עכשיו לא ניתן להוכיח כי כל קבוצה של מטריצות מוכלת בקבוצה אחרת אלא אם נתון הסדר שלהן. נתון כי המרחב הוא מסדר <math>n \times{n}</math> אך לא נתון מה הסדר של קבוצת המטריצות האנטי סימטריות או האלה שהtrace שלהם מתאפס. האם אני צריך להניח שמדובר על הקבוצה מסדר <math>n \times{n}</math> ? <br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן הכוונה למטריצות מסדר nxn, כלומר לקבוצות המוכלות במרחב הנתון.<br />
<br />
== 6.30 ב' ==<br />
רציתי לשאול האם מותר לי כחלק מפעולת הדרוג לכפול בcos או בsin כסקלר, כלומר בפעולה האלמנטרית שאני מכפיל..?<br />
<br />
===תשובה===<br />
רק בנקודות בהן הם לא מתאפסים. אחר כך צריך לבדוק מה קורה בנקודות שהם מתאפסים בנפרד. כמו בדירוג עם פרמטר.<br />
<br />
== שאלה 1 מקובץ התרגילים==<br />
בשאלה 1 ד',כתוב מקיים את מערכת המשוואות שמכילה את המשוואות מסעיף א וגם ב. המשוואות מא' וב' הם אותו משוואות, האם הכוונה לסעיף א וסעיף ג?<br />
<br><br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, סעיפים א' וג'<br />
<br />
== 6.30 ==<br />
שלום, רציתי לשאול אם יש עוד דרכים למצוא מטריצה הפיכה חוץ מלדרג את המטריצה ולהפעיל את אותן פעולות אלמנריות על מטריצת היחידה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
במטריצות 2 על 2 למדתם על שיטה מקוצרת. מעבר לכך אני לא יכול לחשוב על שיטה פרקטית יותר (מאשר לפתור מערכת עם מליון משוואות ומליון נעלמים :) )<br />
<br />
במילים אחרות, אין "נוסחא" פשוטה להפוך מטריצה 3 על 3 (אתה מוזמן לנסות לחשב את הנוסחא הזו בעצמך), ואין דבר פשוט מלדרג מטריצה.<br />
<br />
== תרגיל 6.23 ==<br />
מותר לי להשתמש בנוסחה של סדרה הנדסית לשם ההוכחה,או שזה בעצם מה שאני אמור להוכיח?<br />
<br />
===תשובה===<br />
זה מה שצריך להוכיח.. הרי זו בדיוק הנוסחא.<br />
<br />
==עוד שאלה על 6.34==<br />
הצלחתי להבין שאם אכפול את המטריצה של המקדמים של מערכת המשוואות במטריצה ההופכית של A, אקבל את מט' הזהות. הבעיה היא 2 העמודות של האיקסים שנותרו- האם אני יכול "לפצל" את המטריצה ל3 העמודות הראשונוות ול2 הנותרות, לכפול רק את המטריצה הראשונה (שפיצלתי) במטריצה ההופכית של A, ואז להחזיר את המטריצות המפוצלות חזרה למטריצה אחת? אם כן, למה מותר לעשות את זה, ואיך עושים את זה? (איך קוראים לפעולה הזאת ומה הנימוק שאפשר לתת לה?) בנוסף, איך המטריצה של התשובות (123) מתנהגת? כלומר, כשאני מפצל את המטריצות, אני צריך לשים את המטריצה של התשובות מימין לכל אחת מהמטריצות שפיצלתי? אני לא מבין איך כל זה מתנהג. תודה!<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
אסור לפרק את המטריצה ולכפול רק חלק ממנה ואז להרכיב חזרה. אני רק לא מבין לא לא פשוט לכפול.<br />
<br />
והרי משפט: תהי P מטריצה הפיכה, ותהי Ax=b מערכת משוואות. אזי מרחב הפתרונות של מערכת המשוואות Ax=b זהה למרחב הפתרונות של המערכת PAx=Pb.<br />
<br />
הרי אתם משתמשים במשפט הזה '''כל פעם שאתם מבצעים דירוג''' (כי דירוג הוא כפל במטריצה אלמנטרית).<br />
<br />
הוכחה: אם x פתרון של Ax=b ברור שהוא פתרון של PAx=Pb (כי כפלנו שני צדיים שווים באותו דבר). בצורה דומה, ניתן לכפול את המערכת השנייה בהופכית של P לקבל <math>P^{-1}PAx=P^{-1}Pb</math> כלומר Ax=b ולכן כל פתרון של השנייה הוא גם פתרון של הראשונה, כי כפלו שני צדדים שווים באותה מטריצה (<math> P^{-1}</math>).<br />
<br />
==בקשה מארז שיינר- המתרגל של שיעור התגבור בלינארית (אם אפשר...)==<br />
ארז, בפעם הקודמת שיעור התגבור בלינארית הלך ללא הכנה, בלי שהכנת תרגילים שיהיה אפשר לעשות בו ובעצם בלי מה לעשות. אפשר לבקש שלשיעור התגבור הבא תכין כמה תרגילים מאתגרים שיכולים להופיע בבוחן/מבחן, במיוחד שאלות שמצריכות שימוש במכפלה במטריצות בסיסיות (כמו בשאלה שהייתה בשיעורי הבית), הוכחות עם מטריצות, וכו'? אני חושב שיהיה עדיף לעשות תרגילים נוספים, מאשר רק לחזור על הגדרות שאותן פשוט אפשר לקרוא מההרצאות. אם אפשר, ארצה לבקש אותו דבר גם מאדם בתגבור של בדידה. תודה רבה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
שיעור התגבור איננו שיעור חזרה לקראת בוחן/מבחן. מטרת השיעור היא לעזור לתלמידים שמתקשים להדביק את קצב הקורס. תרגילים מאתגרים - מהגדרתם - אינם מתאימים לשיעור תגבור.<br />
<br />
תרגילים על מטריצות בסיסיות יש מספיק בשיעור ובשיעורי הבית. אם הפתרונות לא מובנים (זה בהנחה שהם '''נקראו''') ניתן לעבור עליהם שוב ולהסביר.<br />
<br />
השיטה של פתרון תרגילים מסוגים שונים על מנת ללמוד לבוחן/מבחן עובדת בבגרות אך לא באוניברסיטה. בקורס אקדמי חייבים להבין את ההגדרות ואת המשפטים ואת הרעיונות המרכזיים בחומר. מטרת התגבור היא לעזור בביצוע משימה זו.<br />
<br />
ארז.<br />
<br />
== תרגיל 2.9 ==<br />
בשאלה מראים ש <math>V=F^{nxn}</math>. מה זה? הרי V זה מ"ו, לא מרחב של מטריצות... ומטריצות זה אוסף של וקטורים, לא וקטור- יש בהם מחלקי אפס אז הם בכלל לא יכולות להיות מ"ו.. בקיצור פשוט תסבירו מה הכוונה של מה שכתבתי קודם..<br />
<br />
===תשובה===<br />
*מרחב המטריצות הוא '''אכן''' מרחב וקטורי עם פעולות חיבור מטריצות וכפל בסקלר הידועות.<br />
*מחלקי אפס אין בשדה. במ"ו אין כפל בין וקטורים ולכן אין משמעות למחלקי אפס.<br />
*מטריצות זה לא אוסף של וקטורים. מטריצה זו טבלה של מספרים, והיא וקטור בעצמה (כאשר מסתכלים על המטריצות כמרחב וקטורי)<br />
<br />
== שאלה על משפט ==<br />
<br />
המשפט: V מ"ו מעל שדה F<br />
תהי K שמוכלת בV.<br />
אם K מוכלת בU שהוא תת מרחב של V אז SPK מוכל בU.<br />
<br />
ההוכחה שהמרצה כתב:<br />
ניקח u ששיך לSPK ונאמר שu שווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi.)כאשר v שייך לK.<br />
כיוון שv שייך לK ןK מוכל בU הרי v שייך לU, אבל U תת מרחב של V ןלכן סגור לצרופים לינאריים.<br />
לכן u ששווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi),שייך לU.<br />
<br />
אני לא ממש הבנתי את ההוכחה, אם U סגור לצרופים לינאריים איך זה הגיוני שu שייך U?<br />
<br />
===תשובה===<br />
מה הכוונה איך זה הגיוני? זה מה שסגירות אומרת.<br />
<br />
סגירות בU אומרת שלכל וקטורים<math>u_1,...,u_n \in U</math> ולכל סקלרים<math>a_1,...,a_n</math> מתקיים <math>a_1u_1+...+a_nu_n \in U</math>. (זה נובע מתכונות הסגירות לכפל בסקלר וחיבור של מרחב וקטורי - והרי U הוא מ"ו).<br />
<br />
==שאלה 6.37==<br />
בסע' ג' אסור לי להניח שאם A הפיכה אז היא בעצם מקיימת את מה שנדרש מ-P, נכון?<br />
:מה זאת אומרת מה שנדרש מP? כלומר <math>B=A^{-1}AA</math>? אין סיבה להניח דבר כזה... כי הרי זה שווה A<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4652לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-12T11:55:25Z<p>Edi.gotlieb: /* תשובה */</p>
<hr />
<div><math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - בוחן + תרגיל 3<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
==שאלה 4.3==<br />
בחוברת של התרגילים כתוב שההגדרה של <math>V+W</math> היא "התת מרחב הקטן ביותר שמכיל את <math>V</math> ואת <math>W</math>", ובהרצאה ההגדרה שאפי נתן הייתה ""תת מרחב המכיל את <math>W</math> ואת <math>V</math>". אני מניח שברור מה ההבדל, הרי אם ההגדרה של אפי נכונה הרבה יותר קל לתת דוגמה נגדית. אם ההגדרה של החוברת נכונה, אז אני לא מצליח למצוא שום דוגמה שבה <math>U+V=U\cup(V)</math> ואז אני לא מצליח להפריך את סעיף א'. או שיש דרך אחרת לעשות הכל ואני בכלל לא בכיוון? עזרה בבקשה...<br />
<br />
===תשובה=== <br />
אני לא מתרגל אבל ע"פ מה שאני הבנתי- <math>U+V</math> הכוונה לכל הוקטורים שניתנים להצגה כסכום של 2 וקטורים אחרים כאשר אחד מ-<math>U</math>ואחד מ-<math>V</math>.<br />
כלומר <math>U+V= \{ u+v | u \in{U} \and v \in{V} \}</math><br />
<br />
==שאלה 4.3==<br />
<br />
בסעיף ב' האם מספיק להראות אי הכלה חד-כיוונית כדי להוכיח אי-שיוויון תמיד?<br />
בקיצור מה צריך לעשות כדי להוכיח אי-שיוויון בין קבוצות?<br />
<br />
==שאלה 2.9==<br />
<br />
רוצים שנוכיח כי קבוצות מסוימות של מטריצות הם תת-מרחבים וקטורים של המרחב המטריצות הריבועיות. עכשיו לא ניתן להוכיח כי כל קבוצה של מטריצות מוכלת בקבוצה אחרת אלא אם נתון הסדר שלהן. נתון כי המרחב הוא מסדר <math>n \times{n}</math> אך לא נתון מה הסדר של קבוצת המטריצות האנטי סימטריות או האלה שהtrace שלהם מתאפס. האם אני צריך להניח שמדובר על הקבוצה מסדר <math>n \times{n}</math> ? <br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן הכוונה למטריצות מסדר nxn, כלומר לקבוצות המוכלות במרחב הנתון.<br />
<br />
== 6.30 ב' ==<br />
רציתי לשאול האם מותר לי כחלק מפעולת הדרוג לכפול בcos או בsin כסקלר, כלומר בפעולה האלמנטרית שאני מכפיל..?<br />
<br />
===תשובה===<br />
רק בנקודות בהן הם לא מתאפסים. אחר כך צריך לבדוק מה קורה בנקודות שהם מתאפסים בנפרד. כמו בדירוג עם פרמטר.<br />
<br />
== שאלה 1 מקובץ התרגילים==<br />
בשאלה 1 ד',כתוב מקיים את מערכת המשוואות שמכילה את המשוואות מסעיף א וגם ב. המשוואות מא' וב' הם אותו משוואות, האם הכוונה לסעיף א וסעיף ג?<br />
<br><br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, סעיפים א' וג'<br />
<br />
== 6.30 ==<br />
שלום, רציתי לשאול אם יש עוד דרכים למצוא מטריצה הפיכה חוץ מלדרג את המטריצה ולהפעיל את אותן פעולות אלמנריות על מטריצת היחידה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
במטריצות 2 על 2 למדתם על שיטה מקוצרת. מעבר לכך אני לא יכול לחשוב על שיטה פרקטית יותר (מאשר לפתור מערכת עם מליון משוואות ומליון נעלמים :) )<br />
<br />
במילים אחרות, אין "נוסחא" פשוטה להפוך מטריצה 3 על 3 (אתה מוזמן לנסות לחשב את הנוסחא הזו בעצמך), ואין דבר פשוט מלדרג מטריצה.<br />
<br />
== תרגיל 6.23 ==<br />
מותר לי להשתמש בנוסחה של סדרה הנדסית לשם ההוכחה,או שזה בעצם מה שאני אמור להוכיח?<br />
<br />
===תשובה===<br />
זה מה שצריך להוכיח.. הרי זו בדיוק הנוסחא.<br />
<br />
==עוד שאלה על 6.34==<br />
הצלחתי להבין שאם אכפול את המטריצה של המקדמים של מערכת המשוואות במטריצה ההופכית של A, אקבל את מט' הזהות. הבעיה היא 2 העמודות של האיקסים שנותרו- האם אני יכול "לפצל" את המטריצה ל3 העמודות הראשונוות ול2 הנותרות, לכפול רק את המטריצה הראשונה (שפיצלתי) במטריצה ההופכית של A, ואז להחזיר את המטריצות המפוצלות חזרה למטריצה אחת? אם כן, למה מותר לעשות את זה, ואיך עושים את זה? (איך קוראים לפעולה הזאת ומה הנימוק שאפשר לתת לה?) בנוסף, איך המטריצה של התשובות (123) מתנהגת? כלומר, כשאני מפצל את המטריצות, אני צריך לשים את המטריצה של התשובות מימין לכל אחת מהמטריצות שפיצלתי? אני לא מבין איך כל זה מתנהג. תודה!<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
אסור לפרק את המטריצה ולכפול רק חלק ממנה ואז להרכיב חזרה. אני רק לא מבין לא לא פשוט לכפול.<br />
<br />
והרי משפט: תהי P מטריצה הפיכה, ותהי Ax=b מערכת משוואות. אזי מרחב הפתרונות של מערכת המשוואות Ax=b זהה למרחב הפתרונות של המערכת PAx=Pb.<br />
<br />
הרי אתם משתמשים במשפט הזה '''כל פעם שאתם מבצעים דירוג''' (כי דירוג הוא כפל במטריצה אלמנטרית).<br />
<br />
הוכחה: אם x פתרון של Ax=b ברור שהוא פתרון של PAx=Pb (כי כפלנו שני צדיים שווים באותו דבר). בצורה דומה, ניתן לכפול את המערכת השנייה בהופכית של P לקבל <math>P^{-1}PAx=P^{-1}Pb</math> כלומר Ax=b ולכן כל פתרון של השנייה הוא גם פתרון של הראשונה, כי כפלו שני צדדים שווים באותה מטריצה (<math> P^{-1}</math>).<br />
<br />
==בקשה מארז שיינר- המתרגל של שיעור התגבור בלינארית (אם אפשר...)==<br />
ארז, בפעם הקודמת שיעור התגבור בלינארית הלך ללא הכנה, בלי שהכנת תרגילים שיהיה אפשר לעשות בו ובעצם בלי מה לעשות. אפשר לבקש שלשיעור התגבור הבא תכין כמה תרגילים מאתגרים שיכולים להופיע בבוחן/מבחן, במיוחד שאלות שמצריכות שימוש במכפלה במטריצות בסיסיות (כמו בשאלה שהייתה בשיעורי הבית), הוכחות עם מטריצות, וכו'? אני חושב שיהיה עדיף לעשות תרגילים נוספים, מאשר רק לחזור על הגדרות שאותן פשוט אפשר לקרוא מההרצאות. אם אפשר, ארצה לבקש אותו דבר גם מאדם בתגבור של בדידה. תודה רבה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
שיעור התגבור איננו שיעור חזרה לקראת בוחן/מבחן. מטרת השיעור היא לעזור לתלמידים שמתקשים להדביק את קצב הקורס. תרגילים מאתגרים - מהגדרתם - אינם מתאימים לשיעור תגבור.<br />
<br />
תרגילים על מטריצות בסיסיות יש מספיק בשיעור ובשיעורי הבית. אם הפתרונות לא מובנים (זה בהנחה שהם '''נקראו''') ניתן לעבור עליהם שוב ולהסביר.<br />
<br />
השיטה של פתרון תרגילים מסוגים שונים על מנת ללמוד לבוחן/מבחן עובדת בבגרות אך לא באוניברסיטה. בקורס אקדמי חייבים להבין את ההגדרות ואת המשפטים ואת הרעיונות המרכזיים בחומר. מטרת התגבור היא לעזור בביצוע משימה זו.<br />
<br />
ארז.<br />
<br />
== תרגיל 2.9 ==<br />
בשאלה מראים ש <math>V=F^{nxn}</math>. מה זה? הרי V זה מ"ו, לא מרחב של מטריצות... ומטריצות זה אוסף של וקטורים, לא וקטור- יש בהם מחלקי אפס אז הם בכלל לא יכולות להיות מ"ו.. בקיצור פשוט תסבירו מה הכוונה של מה שכתבתי קודם..<br />
<br />
===תשובה===<br />
*מרחב המטריצות הוא '''אכן''' מרחב וקטורי עם פעולות חיבור מטריצות וכפל בסקלר הידועות.<br />
*מחלקי אפס אין בשדה. במ"ו אין כפל בין וקטורים ולכן אין משמעות למחלקי אפס.<br />
*מטריצות זה לא אוסף של וקטורים. מטריצה זו טבלה של מספרים, והיא וקטור בעצמה (כאשר מסתכלים על המטריצות כמרחב וקטורי)<br />
<br />
== שאלה על משפט ==<br />
<br />
המשפט: V מ"ו מעל שדה F<br />
תהי K שמוכלת בV.<br />
אם K מוכלת בU שהוא תת מרחב של V אז SPK מוכל בU.<br />
<br />
ההוכחה שהמרצה כתב:<br />
ניקח u ששיך לSPK ונאמר שu שווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi.)כאשר v שייך לK.<br />
כיוון שv שייך לK ןK מוכל בU הרי v שייך לU, אבל U תת מרחב של V ןלכן סגור לצרופים לינאריים.<br />
לכן u ששווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi),שייך לU.<br />
<br />
אני לא ממש הבנתי את ההוכחה, אם U סגור לצרופים לינאריים איך זה הגיוני שu שייך U?<br />
<br />
===תשובה===<br />
מה הכוונה איך זה הגיוני? זה מה שסגירות אומרת.<br />
<br />
סגירות בU אומרת שלכל וקטורים<math>u_1,...,u_n \in U</math> ולכל סקלרים<math>a_1,...,a_n</math> מתקיים <math>a_1u_1+...+a_nu_n \in U</math>. (זה נובע מתכונות הסגירות לכפל בסקלר וחיבור של מרחב וקטורי - והרי U הוא מ"ו).<br />
<br />
==שאלה 6.37==<br />
בסע' ג' אסור לי להניח שאם A הפיכה אז היא בעצם מקיימת את מה שנדרש מ-P, נכון?<br />
:מה זאת אומרת מה שנדרש מP? כלומר <math>B=A^{-1}AA</math>? אין סיבה להניח דבר כזה... כי הרי זה שווה A<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4648לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-12T11:34:28Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלה 4.3 */</p>
<hr />
<div><math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - בוחן + תרגיל 3<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
==שאלה 4.3==<br />
בחוברת של התרגילים כתוב שההגדרה של <math>V+W</math> היא "התת מרחב הקטן ביותר שמכיל את <math>V</math> ואת <math>W</math>", ובהרצאה ההגדרה שאפי נתן הייתה ""תת מרחב המכיל את <math>W</math> ואת <math>V</math>". אני מניח שברור מה ההבדל, הרי אם ההגדרה של אפי נכונה הרבה יותר קל לתת דוגמה נגדית. אם ההגדרה של החוברת נכונה, אז אני לא מצליח למצוא שום דוגמה שבה <math>U+V=U</math>U<math>V</math> ואז אני לא מצליח להפריך את סעיף א'. או שיש דרך אחרת לעשות הכל ואני בכלל לא בכיוון? עזרה בבקשה...<br />
<br />
==תשובה== <br />
אני לא מתרגל אבל ע"פ מה שאני הבנתי- <math>U+V</math> הכוונה לכל הוקטורים שניתנים להצגה כסכום של 2 וקטורים אחרים כאשר אחד מ-<math>U</math>ואחד מ-<math>V</math>.<br />
כלומר <math>U+V= \{ u+v | u \in{U} \and v \in{V} \}</math><br />
<br />
==שאלה 4.3==<br />
<br />
בסעיף ב' האם מספיק להראות אי הכלה חד-כיוונית כדי להוכיח אי-שיוויון תמיד?<br />
בקיצור מה צריך לעשות כדי להוכיח אי-שיוויון בין קבוצות?<br />
<br />
==שאלה 2.9==<br />
<br />
רוצים שנוכיח כי קבוצות מסוימות של מטריצות הם תת-מרחבים וקטורים של המרחב המטריצות הריבועיות. עכשיו לא ניתן להוכיח כי כל קבוצה של מטריצות מוכלת בקבוצה אחרת אלא אם נתון הסדר שלהן. נתון כי המרחב הוא מסדר <math>n \times{n}</math> אך לא נתון מה הסדר של קבוצת המטריצות האנטי סימטריות או האלה שהtrace שלהם מתאפס. האם אני צריך להניח שמדובר על הקבוצה מסדר <math>n \times{n}</math> ? <br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן הכוונה למטריצות מסדר nxn, כלומר לקבוצות המוכלות במרחב הנתון.<br />
<br />
== 6.30 ב' ==<br />
רציתי לשאול האם מותר לי כחלק מפעולת הדרוג לכפול בcos או בsin כסקלר, כלומר בפעולה האלמנטרית שאני מכפיל..?<br />
<br />
===תשובה===<br />
רק בנקודות בהן הם לא מתאפסים. אחר כך צריך לבדוק מה קורה בנקודות שהם מתאפסים בנפרד. כמו בדירוג עם פרמטר.<br />
<br />
== שאלה 1 מקובץ התרגילים==<br />
בשאלה 1 ד',כתוב מקיים את מערכת המשוואות שמכילה את המשוואות מסעיף א וגם ב. המשוואות מא' וב' הם אותו משוואות, האם הכוונה לסעיף א וסעיף ג?<br />
<br><br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, סעיפים א' וג'<br />
<br />
== 6.30 ==<br />
שלום, רציתי לשאול אם יש עוד דרכים למצוא מטריצה הפיכה חוץ מלדרג את המטריצה ולהפעיל את אותן פעולות אלמנריות על מטריצת היחידה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
במטריצות 2 על 2 למדתם על שיטה מקוצרת. מעבר לכך אני לא יכול לחשוב על שיטה פרקטית יותר (מאשר לפתור מערכת עם מליון משוואות ומליון נעלמים :) )<br />
<br />
במילים אחרות, אין "נוסחא" פשוטה להפוך מטריצה 3 על 3 (אתה מוזמן לנסות לחשב את הנוסחא הזו בעצמך), ואין דבר פשוט מלדרג מטריצה.<br />
<br />
== תרגיל 6.23 ==<br />
מותר לי להשתמש בנוסחה של סדרה הנדסית לשם ההוכחה,או שזה בעצם מה שאני אמור להוכיח?<br />
<br />
===תשובה===<br />
זה מה שצריך להוכיח.. הרי זו בדיוק הנוסחא.<br />
<br />
==עוד שאלה על 6.34==<br />
הצלחתי להבין שאם אכפול את המטריצה של המקדמים של מערכת המשוואות במטריצה ההופכית של A, אקבל את מט' הזהות. הבעיה היא 2 העמודות של האיקסים שנותרו- האם אני יכול "לפצל" את המטריצה ל3 העמודות הראשונוות ול2 הנותרות, לכפול רק את המטריצה הראשונה (שפיצלתי) במטריצה ההופכית של A, ואז להחזיר את המטריצות המפוצלות חזרה למטריצה אחת? אם כן, למה מותר לעשות את זה, ואיך עושים את זה? (איך קוראים לפעולה הזאת ומה הנימוק שאפשר לתת לה?) בנוסף, איך המטריצה של התשובות (123) מתנהגת? כלומר, כשאני מפצל את המטריצות, אני צריך לשים את המטריצה של התשובות מימין לכל אחת מהמטריצות שפיצלתי? אני לא מבין איך כל זה מתנהג. תודה!<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
אסור לפרק את המטריצה ולכפול רק חלק ממנה ואז להרכיב חזרה. אני רק לא מבין לא לא פשוט לכפול.<br />
<br />
והרי משפט: תהי P מטריצה הפיכה, ותהי Ax=b מערכת משוואות. אזי מרחב הפתרונות של מערכת המשוואות Ax=b זהה למרחב הפתרונות של המערכת PAx=Pb.<br />
<br />
הרי אתם משתמשים במשפט הזה '''כל פעם שאתם מבצעים דירוג''' (כי דירוג הוא כפל במטריצה אלמנטרית).<br />
<br />
הוכחה: אם x פתרון של Ax=b ברור שהוא פתרון של PAx=Pb (כי כפלנו שני צדיים שווים באותו דבר). בצורה דומה, ניתן לכפול את המערכת השנייה בהופכית של P לקבל <math>P^{-1}PAx=P^{-1}Pb</math> כלומר Ax=b ולכן כל פתרון של השנייה הוא גם פתרון של הראשונה, כי כפלו שני צדדים שווים באותה מטריצה (<math> P^{-1}</math>).<br />
<br />
==בקשה מארז שיינר- המתרגל של שיעור התגבור בלינארית (אם אפשר...)==<br />
ארז, בפעם הקודמת שיעור התגבור בלינארית הלך ללא הכנה, בלי שהכנת תרגילים שיהיה אפשר לעשות בו ובעצם בלי מה לעשות. אפשר לבקש שלשיעור התגבור הבא תכין כמה תרגילים מאתגרים שיכולים להופיע בבוחן/מבחן, במיוחד שאלות שמצריכות שימוש במכפלה במטריצות בסיסיות (כמו בשאלה שהייתה בשיעורי הבית), הוכחות עם מטריצות, וכו'? אני חושב שיהיה עדיף לעשות תרגילים נוספים, מאשר רק לחזור על הגדרות שאותן פשוט אפשר לקרוא מההרצאות. אם אפשר, ארצה לבקש אותו דבר גם מאדם בתגבור של בדידה. תודה רבה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
שיעור התגבור איננו שיעור חזרה לקראת בוחן/מבחן. מטרת השיעור היא לעזור לתלמידים שמתקשים להדביק את קצב הקורס. תרגילים מאתגרים - מהגדרתם - אינם מתאימים לשיעור תגבור.<br />
<br />
תרגילים על מטריצות בסיסיות יש מספיק בשיעור ובשיעורי הבית. אם הפתרונות לא מובנים (זה בהנחה שהם '''נקראו''') ניתן לעבור עליהם שוב ולהסביר.<br />
<br />
השיטה של פתרון תרגילים מסוגים שונים על מנת ללמוד לבוחן/מבחן עובדת בבגרות אך לא באוניברסיטה. בקורס אקדמי חייבים להבין את ההגדרות ואת המשפטים ואת הרעיונות המרכזיים בחומר. מטרת התגבור היא לעזור בביצוע משימה זו.<br />
<br />
ארז.<br />
<br />
== תרגיל 2.9 ==<br />
בשאלה מראים ש <math>V=F^{nxn}</math>. מה זה? הרי V זה מ"ו, לא מרחב של מטריצות... ומטריצות זה אוסף של וקטורים, לא וקטור- יש בהם מחלקי אפס אז הם בכלל לא יכולות להיות מ"ו.. בקיצור פשוט תסבירו מה הכוונה של מה שכתבתי קודם..<br />
<br />
===תשובה===<br />
*מרחב המטריצות הוא '''אכן''' מרחב וקטורי עם פעולות חיבור מטריצות וכפל בסקלר הידועות.<br />
*מחלקי אפס אין בשדה. במ"ו אין כפל בין וקטורים ולכן אין משמעות למחלקי אפס.<br />
*מטריצות זה לא אוסף של וקטורים. מטריצה זו טבלה של מספרים, והיא וקטור בעצמה (כאשר מסתכלים על המטריצות כמרחב וקטורי)<br />
<br />
== שאלה על משפט ==<br />
<br />
המשפט: V מ"ו מעל שדה F<br />
תהי K שמוכלת בV.<br />
אם K מוכלת בU שהוא תת מרחב של V אז SPK מוכל בU.<br />
<br />
ההוכחה שהמרצה כתב:<br />
ניקח u ששיך לSPK ונאמר שu שווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi.)כאשר v שייך לK.<br />
כיוון שv שייך לK ןK מוכל בU הרי v שייך לU, אבל U תת מרחב של V ןלכן סגור לצרופים לינאריים.<br />
לכן u ששווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi),שייך לU.<br />
<br />
אני לא ממש הבנתי את ההוכחה, אם U סגור לצרופים לינאריים איך זה הגיוני שu שייך U?<br />
<br />
===תשובה===<br />
מה הכוונה איך זה הגיוני? זה מה שסגירות אומרת.<br />
<br />
סגירות בU אומרת שלכל וקטורים<math>u_1,...,u_n \in U</math> ולכל סקלרים<math>a_1,...,a_n</math> מתקיים <math>a_1u_1+...+a_nu_n \in U</math>. (זה נובע מתכונות הסגירות לכפל בסקלר וחיבור של מרחב וקטורי - והרי U הוא מ"ו).<br />
<br />
==שאלה 6.37==<br />
בסע' ג' אסור לי להניח שאם A הפיכה אז היא בעצם מקיימת את מה שנדרש מ-P, נכון?<br />
:מה זאת אומרת מה שנדרש מP? כלומר <math>B=A^{-1}AA</math>? אין סיבה להניח דבר כזה... כי הרי זה שווה A<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4645לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-12T11:08:48Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלה 4.3 */</p>
<hr />
<div><math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - בוחן + תרגיל 3<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
==שאלה 4.3==<br />
<br />
בסעיף ב' האם מספיק להראות אי הכלה חד-כיוונית כדי להוכיח אי-שיוויון תמיד?<br />
בקיצור מה צריך לעשות כדי להוכיח אי-שיוויון בין קבוצות?<br />
<br />
==שאלה 2.9==<br />
<br />
רוצים שנוכיח כי קבוצות מסוימות של מטריצות הם תת-מרחבים וקטורים של המרחב המטריצות הריבועיות. עכשיו לא ניתן להוכיח כי כל קבוצה של מטריצות מוכלת בקבוצה אחרת אלא אם נתון הסדר שלהן. נתון כי המרחב הוא מסדר <math>n \times{n}</math> אך לא נתון מה הסדר של קבוצת המטריצות האנטי סימטריות או האלה שהtrace שלהם מתאפס. האם אני צריך להניח שמדובר על הקבוצה מסדר <math>n \times{n}</math> ? <br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן הכוונה למטריצות מסדר nxn, כלומר לקבוצות המוכלות במרחב הנתון.<br />
<br />
== 6.30 ב' ==<br />
רציתי לשאול האם מותר לי כחלק מפעולת הדרוג לכפול בcos או בsin כסקלר, כלומר בפעולה האלמנטרית שאני מכפיל..?<br />
<br />
===תשובה===<br />
רק בנקודות בהן הם לא מתאפסים. אחר כך צריך לבדוק מה קורה בנקודות שהם מתאפסים בנפרד. כמו בדירוג עם פרמטר.<br />
<br />
== שאלה 1 מקובץ התרגילים==<br />
בשאלה 1 ד',כתוב מקיים את מערכת המשוואות שמכילה את המשוואות מסעיף א וגם ב. המשוואות מא' וב' הם אותו משוואות, האם הכוונה לסעיף א וסעיף ג?<br />
<br><br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, סעיפים א' וג'<br />
<br />
== 6.30 ==<br />
שלום, רציתי לשאול אם יש עוד דרכים למצוא מטריצה הפיכה חוץ מלדרג את המטריצה ולהפעיל את אותן פעולות אלמנריות על מטריצת היחידה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
במטריצות 2 על 2 למדתם על שיטה מקוצרת. מעבר לכך אני לא יכול לחשוב על שיטה פרקטית יותר (מאשר לפתור מערכת עם מליון משוואות ומליון נעלמים :) )<br />
<br />
במילים אחרות, אין "נוסחא" פשוטה להפוך מטריצה 3 על 3 (אתה מוזמן לנסות לחשב את הנוסחא הזו בעצמך), ואין דבר פשוט מלדרג מטריצה.<br />
<br />
== תרגיל 6.23 ==<br />
מותר לי להשתמש בנוסחה של סדרה הנדסית לשם ההוכחה,או שזה בעצם מה שאני אמור להוכיח?<br />
<br />
===תשובה===<br />
זה מה שצריך להוכיח.. הרי זו בדיוק הנוסחא.<br />
<br />
==עוד שאלה על 6.34==<br />
הצלחתי להבין שאם אכפול את המטריצה של המקדמים של מערכת המשוואות במטריצה ההופכית של A, אקבל את מט' הזהות. הבעיה היא 2 העמודות של האיקסים שנותרו- האם אני יכול "לפצל" את המטריצה ל3 העמודות הראשונוות ול2 הנותרות, לכפול רק את המטריצה הראשונה (שפיצלתי) במטריצה ההופכית של A, ואז להחזיר את המטריצות המפוצלות חזרה למטריצה אחת? אם כן, למה מותר לעשות את זה, ואיך עושים את זה? (איך קוראים לפעולה הזאת ומה הנימוק שאפשר לתת לה?) בנוסף, איך המטריצה של התשובות (123) מתנהגת? כלומר, כשאני מפצל את המטריצות, אני צריך לשים את המטריצה של התשובות מימין לכל אחת מהמטריצות שפיצלתי? אני לא מבין איך כל זה מתנהג. תודה!<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
אסור לפרק את המטריצה ולכפול רק חלק ממנה ואז להרכיב חזרה. אני רק לא מבין לא לא פשוט לכפול.<br />
<br />
והרי משפט: תהי P מטריצה הפיכה, ותהי Ax=b מערכת משוואות. אזי מרחב הפתרונות של מערכת המשוואות Ax=b זהה למרחב הפתרונות של המערכת PAx=Pb.<br />
<br />
הרי אתם משתמשים במשפט הזה '''כל פעם שאתם מבצעים דירוג''' (כי דירוג הוא כפל במטריצה אלמנטרית).<br />
<br />
הוכחה: אם x פתרון של Ax=b ברור שהוא פתרון של PAx=Pb (כי כפלנו שני צדיים שווים באותו דבר). בצורה דומה, ניתן לכפול את המערכת השנייה בהופכית של P לקבל <math>P^{-1}PAx=P^{-1}Pb</math> כלומר Ax=b ולכן כל פתרון של השנייה הוא גם פתרון של הראשונה, כי כפלו שני צדדים שווים באותה מטריצה (<math> P^{-1}</math>).<br />
<br />
==בקשה מארז שיינר- המתרגל של שיעור התגבור בלינארית (אם אפשר...)==<br />
ארז, בפעם הקודמת שיעור התגבור בלינארית הלך ללא הכנה, בלי שהכנת תרגילים שיהיה אפשר לעשות בו ובעצם בלי מה לעשות. אפשר לבקש שלשיעור התגבור הבא תכין כמה תרגילים מאתגרים שיכולים להופיע בבוחן/מבחן, במיוחד שאלות שמצריכות שימוש במכפלה במטריצות בסיסיות (כמו בשאלה שהייתה בשיעורי הבית), הוכחות עם מטריצות, וכו'? אני חושב שיהיה עדיף לעשות תרגילים נוספים, מאשר רק לחזור על הגדרות שאותן פשוט אפשר לקרוא מההרצאות. אם אפשר, ארצה לבקש אותו דבר גם מאדם בתגבור של בדידה. תודה רבה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
שיעור התגבור איננו שיעור חזרה לקראת בוחן/מבחן. מטרת השיעור היא לעזור לתלמידים שמתקשים להדביק את קצב הקורס. תרגילים מאתגרים - מהגדרתם - אינם מתאימים לשיעור תגבור.<br />
<br />
תרגילים על מטריצות בסיסיות יש מספיק בשיעור ובשיעורי הבית. אם הפתרונות לא מובנים (זה בהנחה שהם '''נקראו''') ניתן לעבור עליהם שוב ולהסביר.<br />
<br />
השיטה של פתרון תרגילים מסוגים שונים על מנת ללמוד לבוחן/מבחן עובדת בבגרות אך לא באוניברסיטה. בקורס אקדמי חייבים להבין את ההגדרות ואת המשפטים ואת הרעיונות המרכזיים בחומר. מטרת התגבור היא לעזור בביצוע משימה זו.<br />
<br />
ארז.<br />
<br />
== תרגיל 2.9 ==<br />
בשאלה מראים ש <math>V=F^{nxn}</math>. מה זה? הרי V זה מ"ו, לא מרחב של מטריצות... ומטריצות זה אוסף של וקטורים, לא וקטור- יש בהם מחלקי אפס אז הם בכלל לא יכולות להיות מ"ו.. בקיצור פשוט תסבירו מה הכוונה של מה שכתבתי קודם..<br />
<br />
===תשובה===<br />
*מרחב המטריצות הוא '''אכן''' מרחב וקטורי עם פעולות חיבור מטריצות וכפל בסקלר הידועות.<br />
*מחלקי אפס אין בשדה. במ"ו אין כפל בין וקטורים ולכן אין משמעות למחלקי אפס.<br />
*מטריצות זה לא אוסף של וקטורים. מטריצה זו טבלה של מספרים, והיא וקטור בעצמה (כאשר מסתכלים על המטריצות כמרחב וקטורי)<br />
<br />
== שאלה על משפט ==<br />
<br />
המשפט: V מ"ו מעל שדה F<br />
תהי K שמוכלת בV.<br />
אם K מוכלת בU שהוא תת מרחב של V אז SPK מוכל בU.<br />
<br />
ההוכחה שהמרצה כתב:<br />
ניקח u ששיך לSPK ונאמר שu שווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi.)כאשר v שייך לK.<br />
כיוון שv שייך לK ןK מוכל בU הרי v שייך לU, אבל U תת מרחב של V ןלכן סגור לצרופים לינאריים.<br />
לכן u ששווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi),שייך לU.<br />
<br />
אני לא ממש הבנתי את ההוכחה, אם U סגור לצרופים לינאריים איך זה הגיוני שu שייך U?<br />
<br />
===תשובה===<br />
מה הכוונה איך זה הגיוני? זה מה שסגירות אומרת.<br />
<br />
סגירות בU אומרת שלכל וקטורים<math>u_1,...,u_n \in U</math> ולכל סקלרים<math>a_1,...,a_n</math> מתקיים <math>a_1u_1+...+a_nu_n \in U</math>. (זה נובע מתכונות הסגירות לכפל בסקלר וחיבור של מרחב וקטורי - והרי U הוא מ"ו).<br />
<br />
==שאלה 6.37==<br />
בסע' ג' אסור לי להניח שאם A הפיכה אז היא בעצם מקיימת את מה שנדרש מ-P, נכון?<br />
:מה זאת אומרת מה שנדרש מP? כלומר <math>B=A^{-1}AA</math>? אין סיבה להניח דבר כזה... כי הרי זה שווה A<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4644לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-12T11:05:31Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלות */</p>
<hr />
<div><math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - בוחן + תרגיל 3<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
==שאלה 4.3==<br />
<br />
בסעיף ב' האם מספיק להראות אי הכלה חד-כיוונית כדי להוכיח אי-שיוויון תמיד?<br />
<br />
==שאלה 2.9==<br />
<br />
רוצים שנוכיח כי קבוצות מסוימות של מטריצות הם תת-מרחבים וקטורים של המרחב המטריצות הריבועיות. עכשיו לא ניתן להוכיח כי כל קבוצה של מטריצות מוכלת בקבוצה אחרת אלא אם נתון הסדר שלהן. נתון כי המרחב הוא מסדר <math>n \times{n}</math> אך לא נתון מה הסדר של קבוצת המטריצות האנטי סימטריות או האלה שהtrace שלהם מתאפס. האם אני צריך להניח שמדובר על הקבוצה מסדר <math>n \times{n}</math> ? <br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן הכוונה למטריצות מסדר nxn, כלומר לקבוצות המוכלות במרחב הנתון.<br />
<br />
== 6.30 ב' ==<br />
רציתי לשאול האם מותר לי כחלק מפעולת הדרוג לכפול בcos או בsin כסקלר, כלומר בפעולה האלמנטרית שאני מכפיל..?<br />
<br />
===תשובה===<br />
רק בנקודות בהן הם לא מתאפסים. אחר כך צריך לבדוק מה קורה בנקודות שהם מתאפסים בנפרד. כמו בדירוג עם פרמטר.<br />
<br />
== שאלה 1 מקובץ התרגילים==<br />
בשאלה 1 ד',כתוב מקיים את מערכת המשוואות שמכילה את המשוואות מסעיף א וגם ב. המשוואות מא' וב' הם אותו משוואות, האם הכוונה לסעיף א וסעיף ג?<br />
<br><br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, סעיפים א' וג'<br />
<br />
== 6.30 ==<br />
שלום, רציתי לשאול אם יש עוד דרכים למצוא מטריצה הפיכה חוץ מלדרג את המטריצה ולהפעיל את אותן פעולות אלמנריות על מטריצת היחידה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
במטריצות 2 על 2 למדתם על שיטה מקוצרת. מעבר לכך אני לא יכול לחשוב על שיטה פרקטית יותר (מאשר לפתור מערכת עם מליון משוואות ומליון נעלמים :) )<br />
<br />
במילים אחרות, אין "נוסחא" פשוטה להפוך מטריצה 3 על 3 (אתה מוזמן לנסות לחשב את הנוסחא הזו בעצמך), ואין דבר פשוט מלדרג מטריצה.<br />
<br />
== תרגיל 6.23 ==<br />
מותר לי להשתמש בנוסחה של סדרה הנדסית לשם ההוכחה,או שזה בעצם מה שאני אמור להוכיח?<br />
<br />
===תשובה===<br />
זה מה שצריך להוכיח.. הרי זו בדיוק הנוסחא.<br />
<br />
==עוד שאלה על 6.34==<br />
הצלחתי להבין שאם אכפול את המטריצה של המקדמים של מערכת המשוואות במטריצה ההופכית של A, אקבל את מט' הזהות. הבעיה היא 2 העמודות של האיקסים שנותרו- האם אני יכול "לפצל" את המטריצה ל3 העמודות הראשונוות ול2 הנותרות, לכפול רק את המטריצה הראשונה (שפיצלתי) במטריצה ההופכית של A, ואז להחזיר את המטריצות המפוצלות חזרה למטריצה אחת? אם כן, למה מותר לעשות את זה, ואיך עושים את זה? (איך קוראים לפעולה הזאת ומה הנימוק שאפשר לתת לה?) בנוסף, איך המטריצה של התשובות (123) מתנהגת? כלומר, כשאני מפצל את המטריצות, אני צריך לשים את המטריצה של התשובות מימין לכל אחת מהמטריצות שפיצלתי? אני לא מבין איך כל זה מתנהג. תודה!<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
אסור לפרק את המטריצה ולכפול רק חלק ממנה ואז להרכיב חזרה. אני רק לא מבין לא לא פשוט לכפול.<br />
<br />
והרי משפט: תהי P מטריצה הפיכה, ותהי Ax=b מערכת משוואות. אזי מרחב הפתרונות של מערכת המשוואות Ax=b זהה למרחב הפתרונות של המערכת PAx=Pb.<br />
<br />
הרי אתם משתמשים במשפט הזה '''כל פעם שאתם מבצעים דירוג''' (כי דירוג הוא כפל במטריצה אלמנטרית).<br />
<br />
הוכחה: אם x פתרון של Ax=b ברור שהוא פתרון של PAx=Pb (כי כפלנו שני צדיים שווים באותו דבר). בצורה דומה, ניתן לכפול את המערכת השנייה בהופכית של P לקבל <math>P^{-1}PAx=P^{-1}Pb</math> כלומר Ax=b ולכן כל פתרון של השנייה הוא גם פתרון של הראשונה, כי כפלו שני צדדים שווים באותה מטריצה (<math> P^{-1}</math>).<br />
<br />
==בקשה מארז שיינר- המתרגל של שיעור התגבור בלינארית (אם אפשר...)==<br />
ארז, בפעם הקודמת שיעור התגבור בלינארית הלך ללא הכנה, בלי שהכנת תרגילים שיהיה אפשר לעשות בו ובעצם בלי מה לעשות. אפשר לבקש שלשיעור התגבור הבא תכין כמה תרגילים מאתגרים שיכולים להופיע בבוחן/מבחן, במיוחד שאלות שמצריכות שימוש במכפלה במטריצות בסיסיות (כמו בשאלה שהייתה בשיעורי הבית), הוכחות עם מטריצות, וכו'? אני חושב שיהיה עדיף לעשות תרגילים נוספים, מאשר רק לחזור על הגדרות שאותן פשוט אפשר לקרוא מההרצאות. אם אפשר, ארצה לבקש אותו דבר גם מאדם בתגבור של בדידה. תודה רבה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
שיעור התגבור איננו שיעור חזרה לקראת בוחן/מבחן. מטרת השיעור היא לעזור לתלמידים שמתקשים להדביק את קצב הקורס. תרגילים מאתגרים - מהגדרתם - אינם מתאימים לשיעור תגבור.<br />
<br />
תרגילים על מטריצות בסיסיות יש מספיק בשיעור ובשיעורי הבית. אם הפתרונות לא מובנים (זה בהנחה שהם '''נקראו''') ניתן לעבור עליהם שוב ולהסביר.<br />
<br />
השיטה של פתרון תרגילים מסוגים שונים על מנת ללמוד לבוחן/מבחן עובדת בבגרות אך לא באוניברסיטה. בקורס אקדמי חייבים להבין את ההגדרות ואת המשפטים ואת הרעיונות המרכזיים בחומר. מטרת התגבור היא לעזור בביצוע משימה זו.<br />
<br />
ארז.<br />
<br />
== תרגיל 2.9 ==<br />
בשאלה מראים ש <math>V=F^{nxn}</math>. מה זה? הרי V זה מ"ו, לא מרחב של מטריצות... ומטריצות זה אוסף של וקטורים, לא וקטור- יש בהם מחלקי אפס אז הם בכלל לא יכולות להיות מ"ו.. בקיצור פשוט תסבירו מה הכוונה של מה שכתבתי קודם..<br />
<br />
===תשובה===<br />
*מרחב המטריצות הוא '''אכן''' מרחב וקטורי עם פעולות חיבור מטריצות וכפל בסקלר הידועות.<br />
*מחלקי אפס אין בשדה. במ"ו אין כפל בין וקטורים ולכן אין משמעות למחלקי אפס.<br />
*מטריצות זה לא אוסף של וקטורים. מטריצה זו טבלה של מספרים, והיא וקטור בעצמה (כאשר מסתכלים על המטריצות כמרחב וקטורי)<br />
<br />
== שאלה על משפט ==<br />
<br />
המשפט: V מ"ו מעל שדה F<br />
תהי K שמוכלת בV.<br />
אם K מוכלת בU שהוא תת מרחב של V אז SPK מוכל בU.<br />
<br />
ההוכחה שהמרצה כתב:<br />
ניקח u ששיך לSPK ונאמר שu שווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi.)כאשר v שייך לK.<br />
כיוון שv שייך לK ןK מוכל בU הרי v שייך לU, אבל U תת מרחב של V ןלכן סגור לצרופים לינאריים.<br />
לכן u ששווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi),שייך לU.<br />
<br />
אני לא ממש הבנתי את ההוכחה, אם U סגור לצרופים לינאריים איך זה הגיוני שu שייך U?<br />
<br />
===תשובה===<br />
מה הכוונה איך זה הגיוני? זה מה שסגירות אומרת.<br />
<br />
סגירות בU אומרת שלכל וקטורים<math>u_1,...,u_n \in U</math> ולכל סקלרים<math>a_1,...,a_n</math> מתקיים <math>a_1u_1+...+a_nu_n \in U</math>. (זה נובע מתכונות הסגירות לכפל בסקלר וחיבור של מרחב וקטורי - והרי U הוא מ"ו).<br />
<br />
==שאלה 6.37==<br />
בסע' ג' אסור לי להניח שאם A הפיכה אז היא בעצם מקיימת את מה שנדרש מ-P, נכון?<br />
:מה זאת אומרת מה שנדרש מP? כלומר <math>B=A^{-1}AA</math>? אין סיבה להניח דבר כזה... כי הרי זה שווה A<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4640לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-12T10:39:43Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלות */</p>
<hr />
<div><math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - בוחן + תרגיל 3<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
==שאלה 2.9==<br />
<br />
רוצים שנוכיח כי קבוצות מסוימות של מטריצות הם תת-מרחבים וקטורים של המרחב המטריצות הריבועיות. עכשיו לא ניתן להוכיח כי כל קבוצה של מטריצות מוכלת בקבוצה אחרת אלא אם נתון הסדר שלהן. נתון כי המרחב הוא מסדר <math>n \times{n}</math> אך לא נתון מה הסדר של קבוצת המטריצות האנטי סימטריות או האלה שהtrace שלהם מתאפס. האם אני צריך להניח שמדובר על הקבוצה מסדר <math>n \times{n}</math> ? <br />
תודה<br />
<br />
== 6.30 ב' ==<br />
רציתי לשאול האם מותר לי כחלק מפעולת הדרוג לכפול בcos או בsin כסקלר, כלומר בפעולה האלמנטרית שאני מכפיל..?<br />
<br />
===תשובה===<br />
רק בנקודות בהן הם לא מתאפסים. אחר כך צריך לבדוק מה קורה בנקודות שהם מתאפסים בנפרד. כמו בדירוג עם פרמטר.<br />
<br />
== שאלה 1 מקובץ התרגילים==<br />
בשאלה 1 ד',כתוב מקיים את מערכת המשוואות שמכילה את המשוואות מסעיף א וגם ב. המשוואות מא' וב' הם אותו משוואות, האם הכוונה לסעיף א וסעיף ג?<br />
<br><br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, סעיפים א' וג'<br />
<br />
== 6.30 ==<br />
שלום, רציתי לשאול אם יש עוד דרכים למצוא מטריצה הפיכה חוץ מלדרג את המטריצה ולהפעיל את אותן פעולות אלמנריות על מטריצת היחידה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
במטריצות 2 על 2 למדתם על שיטה מקוצרת. מעבר לכך אני לא יכול לחשוב על שיטה פרקטית יותר (מאשר לפתור מערכת עם מליון משוואות ומליון נעלמים :) )<br />
<br />
במילים אחרות, אין "נוסחא" פשוטה להפוך מטריצה 3 על 3 (אתה מוזמן לנסות לחשב את הנוסחא הזו בעצמך), ואין דבר פשוט מלדרג מטריצה.<br />
<br />
== תרגיל 6.23 ==<br />
מותר לי להשתמש בנוסחה של סדרה הנדסית לשם ההוכחה,או שזה בעצם מה שאני אמור להוכיח?<br />
<br />
===תשובה===<br />
זה מה שצריך להוכיח.. הרי זו בדיוק הנוסחא.<br />
<br />
==עוד שאלה על 6.34==<br />
הצלחתי להבין שאם אכפול את המטריצה של המקדמים של מערכת המשוואות במטריצה ההופכית של A, אקבל את מט' הזהות. הבעיה היא 2 העמודות של האיקסים שנותרו- האם אני יכול "לפצל" את המטריצה ל3 העמודות הראשונוות ול2 הנותרות, לכפול רק את המטריצה הראשונה (שפיצלתי) במטריצה ההופכית של A, ואז להחזיר את המטריצות המפוצלות חזרה למטריצה אחת? אם כן, למה מותר לעשות את זה, ואיך עושים את זה? (איך קוראים לפעולה הזאת ומה הנימוק שאפשר לתת לה?) בנוסף, איך המטריצה של התשובות (123) מתנהגת? כלומר, כשאני מפצל את המטריצות, אני צריך לשים את המטריצה של התשובות מימין לכל אחת מהמטריצות שפיצלתי? אני לא מבין איך כל זה מתנהג. תודה!<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
אסור לפרק את המטריצה ולכפול רק חלק ממנה ואז להרכיב חזרה. אני רק לא מבין לא לא פשוט לכפול.<br />
<br />
והרי משפט: תהי P מטריצה הפיכה, ותהי Ax=b מערכת משוואות. אזי מרחב הפתרונות של מערכת המשוואות Ax=b זהה למרחב הפתרונות של המערכת PAx=Pb.<br />
<br />
הרי אתם משתמשים במשפט הזה '''כל פעם שאתם מבצעים דירוג''' (כי דירוג הוא כפל במטריצה אלמנטרית).<br />
<br />
הוכחה: אם x פתרון של Ax=b ברור שהוא פתרון של PAx=Pb (כי כפלנו שני צדיים שווים באותו דבר). בצורה דומה, ניתן לכפול את המערכת השנייה בהופכית של P לקבל <math>P^{-1}PAx=P^{-1}Pb</math> כלומר Ax=b ולכן כל פתרון של השנייה הוא גם פתרון של הראשונה, כי כפלו שני צדדים שווים באותה מטריצה (<math> P^{-1}</math>).<br />
<br />
==בקשה מארז שיינר- המתרגל של שיעור התגבור בלינארית (אם אפשר...)==<br />
ארז, בפעם הקודמת שיעור התגבור בלינארית הלך ללא הכנה, בלי שהכנת תרגילים שיהיה אפשר לעשות בו ובעצם בלי מה לעשות. אפשר לבקש שלשיעור התגבור הבא תכין כמה תרגילים מאתגרים שיכולים להופיע בבוחן/מבחן, במיוחד שאלות שמצריכות שימוש במכפלה במטריצות בסיסיות (כמו בשאלה שהייתה בשיעורי הבית), הוכחות עם מטריצות, וכו'? אני חושב שיהיה עדיף לעשות תרגילים נוספים, מאשר רק לחזור על הגדרות שאותן פשוט אפשר לקרוא מההרצאות. אם אפשר, ארצה לבקש אותו דבר גם מאדם בתגבור של בדידה. תודה רבה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
שיעור התגבור איננו שיעור חזרה לקראת בוחן/מבחן. מטרת השיעור היא לעזור לתלמידים שמתקשים להדביק את קצב הקורס. תרגילים מאתגרים - מהגדרתם - אינם מתאימים לשיעור תגבור.<br />
<br />
תרגילים על מטריצות בסיסיות יש מספיק בשיעור ובשיעורי הבית. אם הפתרונות לא מובנים (זה בהנחה שהם '''נקראו''') ניתן לעבור עליהם שוב ולהסביר.<br />
<br />
השיטה של פתרון תרגילים מסוגים שונים על מנת ללמוד לבוחן/מבחן עובדת בבגרות אך לא באוניברסיטה. בקורס אקדמי חייבים להבין את ההגדרות ואת המשפטים ואת הרעיונות המרכזיים בחומר. מטרת התגבור היא לעזור בביצוע משימה זו.<br />
<br />
ארז.<br />
<br />
== תרגיל 2.9 ==<br />
בשאלה מראים ש <math>V=F^{nxn}</math>. מה זה? הרי V זה מ"ו, לא מרחב של מטריצות... ומטריצות זה אוסף של וקטורים, לא וקטור- יש בהם מחלקי אפס אז הם בכלל לא יכולות להיות מ"ו.. בקיצור פשוט תסבירו מה הכוונה של מה שכתבתי קודם..<br />
<br />
===תשובה===<br />
*מרחב המטריצות הוא '''אכן''' מרחב וקטורי עם פעולות חיבור מטריצות וכפל בסקלר הידועות.<br />
*מחלקי אפס אין בשדה. במ"ו אין כפל בין וקטורים ולכן אין משמעות למחלקי אפס.<br />
*מטריצות זה לא אוסף של וקטורים. מטריצה זו טבלה של מספרים, והיא וקטור בעצמה (כאשר מסתכלים על המטריצות כמרחב וקטורי)<br />
<br />
== שאלה על משפט ==<br />
<br />
המשפט: V מ"ו מעל שדה F<br />
תהי K שמוכלת בV.<br />
אם K מוכלת בU שהוא תת מרחב של V אז SPK מוכל בU.<br />
<br />
ההוכחה שהמרצה כתב:<br />
ניקח u ששיך לSPK ונאמר שu שווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi.)כאשר v שייך לK.<br />
כיוון שv שייך לK ןK מוכל בU הרי v שייך לU, אבל U תת מרחב של V ןלכן סגור לצרופים לינאריים.<br />
לכן u ששווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi),שייך לU.<br />
<br />
אני לא ממש הבנתי את ההוכחה, אם U סגור לצרופים לינאריים איך זה הגיוני שu שייך U?<br />
<br />
===תשובה===<br />
מה הכוונה איך זה הגיוני? זה מה שסגירות אומרת.<br />
<br />
סגירות בU אומרת שלכל וקטורים<math>u_1,...,u_n \in U</math> ולכל סקלרים<math>a_1,...,a_n</math> מתקיים <math>a_1u_1+...+a_nu_n \in U</math>. (זה נובע מתכונות הסגירות לכפל בסקלר וחיבור של מרחב וקטורי - והרי U הוא מ"ו).<br />
<br />
==שאלה 6.37==<br />
בסע' ג' אסור לי להניח שאם A הפיכה אז היא בעצם מקיימת את מה שנדרש מ-P, נכון?<br />
:מה זאת אומרת מה שנדרש מP? כלומר <math>B=A^{-1}AA</math>? אין סיבה להניח דבר כזה... כי הרי זה שווה A<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4489בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-09T13:54:47Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלות */</p>
<hr />
<div><math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
<br />
==תרגיל 4 (מתרגיל 3)==<br />
<br />
סעיף ו' ו-ה' דומים לחלוטין מלבד העובדה שב-ה' כתוב <math>f</math> וב-ו' כתוב<math>f^{-1}</math><br />
לא נתון כלום על <math>f</math> האם זה אומר שמותר לומר שנסמן את <math>f^{-1}=f</math> ואז ההוכחה שקולה להוכחת סעיף ה'?<br />
<br />
==שאלה==<br />
<br />
אתם יכולים להזכיר איך בודקים חד ערכיות ושלמות?<br />
<br />
תודה רבה!<br />
<br />
:[[#שאלה על הגדרת הפונקציה]]<br />
<br />
==שאלה 2==<br />
אם אני מגדירה את הפונקציה G ככה זה בסדר?<br />
<math>g(x)= (x/2,x+1/2)</math><br />
ככה שאני מקבלת זוג סדור <math>(a,b)</math><br />
כש<math>a=(x/2)</math><br />
ו<math>b=(x+1/2)</math><br />
אם לא- מישהו יכול לתת לי כיוון איך להגדיר את הפונקציה?<br />
(וזה מה שאני צריכה לעשות-להגדיר פונקציה G ולהראות שהיא חח"ע?)<br />
<br />
==להוכיח שפונקציה היא על==<br />
<br />
ראיתי את השאלות שלמטה והתשובות עליהן, ובכל זאת לא הבנתי איך להוכיח.<br />
<br />
אם אי אפשר למצוא נוסחה למקור?<br />
<br />
ראיתי בתשובות לבוחן שכדי להוכיח ש-f היא על, מספיק להוכיח ש-f הפיכה מימין, כלומר קיימת g מ-U ל-U כך ש-f הרכבה g היא פונקציית הזהות על U.<br />
<br />
לא מצאתי במחברת שלי שום דבר על "הפיכה מימין" - אפשר בבקשה הסבר מה זה?<br />
<br />
ואם מדובר פה על איזה משפט מוגדר, אז נוסח המשפט יעזור לי מאוד. לא מצאתי כזה במחברת.<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם <math>g \circ f</math> חח"ע ועל אזי <math>f</math> חח"ע ו<math>g</math> על. בפרט, אם <math>g \circ f=id</math> אז היא חח"ע ועל.<br />
כלומר, אם <math>g</math> היא הפיכה מימין (כלומר קיימת <math>f</math> כך ש<math>g \circ f=id</math>) אז <math>g</math> על.<br />
אגב, הקושי למצוא נוסחא למציאת מקור עבור כל תמונה זהה לקושי במציאת פונקצייה מתאימה מימין. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:00, 8 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלות 2 ו3-א'==<br />
בשאלה 2, האם אני צריך להוכיח ש <math>g:A \rightarrow AxB</math> היא פונקציה?<br />
בנוסף, אני גם לא כל כך הבנתי איך אפשר לעשות פונקציה בין יחסים (כמו <math>AxB \rightarrow BxB</math>) או בין קבוצה ליחס כמו בשאלה הנ"ל.<br />
<br />
בשאלה 3, כתוב לציין האם הפונקציה הפיכה או חח"ע או על, אבל האם היא יכולה להיות אף אחת מהן? או בכלל לא פונקציה, כמו ב3-א' ש <math>f(0)</math> שלא מוגדר?<br />
ובשאלה כתוב לציין, אז אני צריך גם להוכיח/לנמק למה אם היא כן? או לתת דוגמה נגדית אם היא לא?<br />
<br />
אם מישהו יוכל לענות כמה שיותר מהר, עוד לפני הבוחן, אני אודה לו מאוד.<br />
תודה רבה.<br />
<br />
'''תשובה מאוד חלקית'''<br />
<br />
אני לא מבין גדול בנושא הזה שרק אתמול קיבלנו את התרגול עליו, ואני מאוד מפחד להטעות אותך. מה שכן, בתחילת העמוד יש תשובה שתענה לך על השאלה בנוגע ל-<math>f(0)</math><br />
<br />
===תשובה (אולי פחות חלקית)===<br />
באשר לשאלה 2, לא נתונה לך פונקציה <math>g</math> שאתה פשוט צריך להוכיח שהיא פונקציה. אתה צריך לתת פונקציה ולהראות שהיא חח"ע. לרוב, כשמגדירים פונקציה, אז דואגים שהיא תהייה פונקציה, למשל נותנים לכל איבר במקור איבר אחד בטווח. ברגע שתגדיר את הפונקציה, אז יותר חשוב משתוכיח לנו שהיא פונקציה, חשוב שתוכיח שהיא חח"ע. יש?<br />
<br />
באשר לשאלה 3א, מעולם לא שמעתי שהערך המוחלט של אפס לא מוגדר. הערך המוחלט של אפס הוא אפס ותו לא. אין שם אף פונקציה שהיא איננה פונקציה. כעיקרון תיתכן פונקציה בשאלה הזו שניתן לכם והיא לא תהיה על, לא חח"ע וכיוצא בכך לא הפיכה, אך אינני מבטיח שזה המצב. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 01:52, 4 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
<br />
תודה.<br />
<br />
בקשר ל-0 התכוונתי שהפונקציה מוגדרת מהשלמים לטבעיים ו-0 לא שייך לטבעיים, או שאולי בשאלה הזו הכוונה היא שהוא כן שייך?<br />
<br />
ובקשר לפונקציה בין יחסים. גם המרצה וגם המתרגלת שלנו לא עברו איתנו על זה ואני לא מבין איך אפשר לפתור את שאלה 3. אז אפשר הסבר קצר?<br />
<br />
שמע,<br />
ישנן שתי אסכולות בנוגע למספרים טבעיים. אחת גורסת כי אפס הוא טבעי (ומתבססת על כך שבבנייה הגנרית של מספרים טבעיים משתמשים באפס) והשניה גורסת כי אפס לא טבעי (ומתבססת על כך שבמשך מאות שנים אנשים חכמים מאוד, כמו היוונים העתיקים, עשו חישובים מסובכים בלי להכיר בכלל את המספר אפס, שהגיע לאירופה עם הערבים בסוף האלף הראשון לספירה).<br />
אני לא יודע מי כתב את השאלה במקור, אך הוא כנראה כלל את אפס כמספר טבעי.<br />
<br />
בקשר לפונקציות "בין יחסים", אתה כנראה מדבר על הפונקציה <math>g: A \rightarrow A \times B</math>. אין משהו מיוחד ללמוד פה, זו סתם פונקציה שהמקור שלה זו הקבוצה <math>A</math> והטווח זו הקבוצה <math>A \times B</math>. אין חשיבות לעובדה ש <math>A \times B</math> זה גם יחס. תנסה כתרגיל לבחור <math>A</math> ו<math>B</math> ופונקציה <math>g</math> כנ"ל תחילה ואז תתקדם לנסות להוכיח את מה שאתה מתבקש.<br />
<br />
באשר לשאלה 3, ראשית כדאי שתוודא עם עצמך אם אתה יודע מה זו פונקצייה על ומה זו פונקצייה חח"ע.<br />
אם אתה רוצה לבדוק אם פונקצייה היא על אתה צריך לבדוק אם לכל איבר בטווח יש מקור. אם החלטת שהיא אכן על אז תראה כי אכן לכל איבר בטווח יש מקור. אם החלטת שהיא איננה על אז תראה שקיים איבר בטווח שאין לו מקור.<br />
אם אתה רוצה לוהכיח שפונקצייה היא חח"ע אתה צריך להראות שאם שני מקורות הולכים לאותה תמונה אז המקורות שווים. אם החלטת שהפונקצייה איננה חח"ע אתה צריך לתת דוגמא לשני מקורות שונים שהולכים לאותה תמונה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:01, 5 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
<br />
תודה רבה!<br />
<br />
==אותה שאלה==<br />
לא ענו לי קודם, כנראה כי לא ראו או משהו, וזה נרוא חשוב, אז אני שואל את זה שוב.<br />
<br />
נקח לדוגמא את שאלה 6 בתרגיל 2. נתון לי יחס G מסויים ומבקשים ממני להוכיח שהוא יחס שקילות על . השאלה שלי היא: האם צריך קודם להוכיח ש-G הוא יחס על על , בלי לענות עוד על השאלה אם הוא שקילות או לא. <br />
<br />
לפי דעית לא, כי זה נובע ישירות מדרך ההגדרה של G.<br />
<br />
===תשובה===<br />
נדמה לי שהבנתי את כוונתך. באשר שאלה האם צריך להראות ש<math>G</math> הוא יחס על <math>A \times B</math>, דהיינו להראות <math>G \subseteq (A \times B) \times (A \times B)</math>, התשובה היא לא, אין צורך. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 01:44, 4 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==הודעה לקראת הבוחן==<br />
(זה אומנם לא הדף הנכון לשים בו את ההודעה הזו, אך יש יותר סיכוי שיקראו אותה אם היא תופיע גם בדף הזה)<br />
<br />
1) הבוחן מחר (4/8/2010) יתקיים בשעה 12:30 לאחר תרגול של חצי שעה.<br />
<br />
2) הבוחן יכלול שלוש שאלות שעל כולן יש לענות (לא שתיים מתוך שלוש כפי שחשבתי תחילה שיהיה).<br />
<br />
3) אורך הבוחן יהיה שעה.<br />
<br />
4) לתלמידים שיש להם אישור מטעם האוניברסיטה על הארכת זמן תינתנה 15 דקות נוספות.<br />
<br />
5) תלמידים עם הארכות זמן ייבחנו בחדר 103 בשעה הנקובה למעלה, גם אם הם לומדים לפני כן בכיתה אחרת.<br />
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 20:42, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
==הוכחה שפונקציה היא על==<br />
איך מוכיחים שפונקציה היא על (כמו בשאלה 3א' בתרגיל 3)? חיפשתי דוגמאות להוכחות כאלה מההרצאות, אבל כשהמרצה הוכיח שפונקציה כלשהי היא על הוא תמיד (בדוגמאות שמצאתי) השתמש בכך שפונקציה אחרת (g) היא על וככה הוכיח שיש a ששייך לA כך ש f(a) = b. איך מוכיחים שפונקציה היא על כש"ברור" שהיא על, כמו בשאלה 3א'? תודה רבה מראש.<br />
<br />
:ראה תשובה לשאלה הקודמת[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:55, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
::תודה<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
מה הדרך הנכונה ביותר להוכיח שפונקציה מסוימת היא פונקציה על?<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם ברצונך להראות כי <math>f: A \rightarrow B</math> הינה פונקציית על,<br />
אתה צריך להראות כי לכל איבר <math>b \in B</math> יש מקור <math>a \in A</math>.<br />
לעיתים יש נוסחה לאיבר כללי ב<math>B</math> ואז ניתן לפתח נוסחה למקור של כל איבר כזה,<br />
למשל אם <math>f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}</math> כך ש<math>f(z)=z+1</math>,<br />
אזי לכל <math>b \in \mathbb{b}</math> יש מקור <math>b-1</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:54, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
תודה<br />
<br />
:האם צריך להוכיח משהו לגבי הנוסחה למקור? מה צריך להוכיח לגביה?<br />
<br />
==שתי שאלות==<br />
1. אם מבקשים ממני להוכיח ש-R הוא יחס שקילות ל-A, האם עלי להוכיח בראש ובראשונה ש-R יחס על A (בעיקר משאלות 9,6 מתרגיל 9), או שזה מובן מאליו?<br />
<br />
2. אם מבקשים ממני למצוא את F הרכבה G, וזה לא קיים, האם התשובה היא קבוצה ריקה או שזה פשוט לא מוגדר (זכור לי משהו כזה מהשיעורים)? והאם יש הבדל בתשובה בין יחסים לבין פונקציות?<br />
<br />
תודה רבה.<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
1. יחס שקילות הוא תמיד על <math>A</math>, דהיינו מ<math>A</math> ל<math>A</math> כלשהו. אני לא כל כך מבין למה את\ה מתכוון\ת ב"<math>R</math> יחס שקילות ל<math>A</math>.<br />
<br />
2. ייתכן כי הרכבת יחסים תיתן את היחס הריק. עבור פונקציות <math>g \circ f</math> הדבר איננו אפשרי, אלא אם התחום של <math>f</math> הוא ריק. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:59, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
'''בקשר ל-1:''' קח לדוגמא את שאלה 6 בתרגיל 2. נותון לי יחס G מסויים ומבקשים ממני להוכיח שהוא יחס שקילות על <math>AxB</math>. השאלה שלי היא: האם צריך קודם להוכיח ש-G הוא יחס על על <math>AxB</math>, בלי לענות עוד על השאלה אם הוא שקילות או לא.<br />
<br />
==שאלה על הגדרת הפונקציה==<br />
כדי להוכיח שf היא פו' יש להוכיח שמתקיימים בה 2 דברים, חד ערכיות, ו"שלמות", נכון? שלמות זה אומר שאם f היא מA לB אז לכל a ששייך לA יש b בB כך ש f(a)=b נכון? תודה.<br />
<br />
אני לא מתרגל אבל אני חושב שאם תכניס את המילים "אחד ויחיד" למשפט שאמרת אז תקבל שלמות וגם חד-ערכיות<br />
<br />
:כל הדרכים (שאין בהן טעות) מובילות לרומא. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:01, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה על פונקציה חח"ע==<br />
אם אני רוצה להוכיח שקיימת פונקציה חח"ע מA לB, מספיק להראות שמספר האיברים בA קטן או שווה למספר האיברים בB? [ואז ניתן ליצור פונקציה שתשלח כל איבר של A לאיבר אחר של B]<br />
או שעלי ממש להציג פונקציה שכזו?<br />
:אני חושב שבשאלה שצריך להראות שקיימת פו' חח"ע צריך להראות פונקציה כזאת.<br />
<br />
==לקבוצה של שני-הרכבת יחסים==<br />
הרכבת יחסית מוגדרת כפי שחלקכם אמרתם, הפוך ממה שאמרתי.<br />
ההגדרה: <math>R \subseteq A\times B \and S \subseteq B\times C</math> אזי<br />
<math>(a,c)\in S \circ R \iff \exist b \in B :(a,b) \in R \and (b,c) \in S</math><br />
<br />
(שני)<br />
<br />
== שאלה לגבי הבוחן==<br />
האם הבוחן יכלול גם פונקציות כמו <math>g:A->AxB</math> ? (איברים שהם זוג סדור)<br />
<br />
==שאלה 7==<br />
כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.<br />
<br />
---> אם היחסים שמצאת לא מסובכים מדי, אין צורך להוכיח שהם אכן יח"ש. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==A^2 יח"ש==<br />
צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
: אלא אם תתבקשו להוכיח שזה יח"ש, אתה יכול להתייחס לזה כעובדה. זה די טריוויאלי[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:06, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 3א בתרגיל 3==<br />
נאמר שf היא פונקציה מ-<math>\mathbb{Z}</math> ל-<math>\mathbb{N}</math>, אבל 0 אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math> (אבל איבר ב-<math>\mathbb{Z}</math>) ולכן ערכו המוחלט הוא אפס (ששוב, אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>). במקרה זה f אינו פונקציה ולכן בוודאי שלא מקיים אף אחד מהשלושה.<br />
לכן יש לי תחושה שקיימת טעות בסעיף זה, או שפשוט התכוונתם לגירסה הפחות רווחת לפיה גם אפס הוא איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים.<br />
:בתורת הקבוצות דווקא יותר נפוץ ש-0 הוא '''כן''' טבעי (כך מתקיים, למשל, שעוצמת כל קבוצה היא מספר טבעי). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:55, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
::עם זאת בשאר ענפי המתמטיקה הנטייה היא לא לכלול את אפס, ובדר"כ כאשר המרצה (שי) מעוניין להבהיר שהוא מעוניין להתכוון גם לאפס אז הוא רושם <math>\mathbb{N}</math> חיתוך עם {0}. אני אסתמך על כך בתשובה, עם הערה לפיה f פונקציה אם"ם 0 מצוי בטבעיים.<br />
<br />
==שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.==<br />
האם הכוונה בz5 היא המודולו?<br />
:אכן.<br />
<br />
==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==<br />
האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?<br />
:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:<br />
**קבוצות<br />
**יחסים<br />
**פונקציות<br />
<br />
כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)<br />
<br />
-אבל לפי התרגול או ההרצאה?<br />
:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).<br />
<br />
---> הבוחן יכלול נושאים הבאים: קבוצות, יחסים ופונקציות. נושאים אלה הועברו הן בהרצאות הן בתרגולים. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4415לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-07T11:41:30Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלה 6.20 */</p>
<hr />
<div><math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
=שאלות=<br />
==שאלה 6.20==<br />
<br />
לא ממש הבנתי את השאלה- מבקשים בסעיף א' להראות שהמט' A מאפסת את הפולינום- כלומר אני מניח שצריך להציב במקום A את המטריצה.<br />
אבל אז יוצא חיבור של מטריצה עם מספר- <math>A^2</math> זוהי מטריצה ו-<math>tr(A)x </math> זוהי מטריצה- אז מתקבל חיבור של מטריצה עם מספר?<br />
<br />
===תשובה===<br />
1. עניתי בדיוק על זה בשיעור והדגשתי שאת הקבוע כופלים במטריצה היחידה<br />
<br />
2. כבר שאלו את זה בדף הזה [[#שאלה 6.20 - פולינום| למטה]]<br />
<br />
<br />
מצטער ותודה בכל זאת.<br />
<br />
==שאלה 5.12 ב'==<br />
לא הבנתי מה בדיוק יש פה להוכיח, הרי זה נובע ישירות ממה שהוכחנו בסעיף א', ללא כל שלב ביניים, מלבד הסימון שהם מציעים לסמן. אז מה פה דורש הוכחה?<br />
<br />
:תודה על התשובה המהירה. אבל אחרי ההצבה של <math>C=A^k</math> כבר אין חזקה... זה יוצא שצ"ל ש: <math>B^m*C=C*B^m</math> וזה ממש תואם לנוסחה שהוכחתי בסעיף א'. אז זה כאילו שאין לשתי המטריצות חזקה, ומה צריך להוכיח בעצם?<br />
::יפה אתה רק צריך להסביר את מה שרשמת וזו ההוכחה. לא צריך לעבוד קשה מידי.<br />
<br />
===תשובה===<br />
אתה צריך להסביר כיצד זה נובע. ישירות זה לא נובע, כי פה לשתי המטריצות יש חזקה בניגוד לסעיף הראשון שם יש חזקה רק למטריצה אחת.<br />
<br />
==שאלה 5.16==<br />
האם יש צורך לנמק מדוע <math>R(A_1)_i = e_{i+1} \ \ \ , \ \ \ C(A_k)_j = e_{j-k}</math><br />
<br />
===תשובה===<br />
לא, אפשר פשוט לציין את זה. רק תיקון על הסימון:<br />
<math>C_j(A_k),R_i(A_1)</math><br />
<br />
תודה..<br />
<br />
==תרגיל 1 בקובץ המרוכבים==<br />
שלום רב,<br />
פתרתי את תרגיל 1 בקבוץ המרוכבים ונראה לי שיש טעות בפתרון שלכם.<br />
נתון המרוכב <math>w=i-\sqrt{3}</math>, מכאן שעפ"י סימון במרוכבים <math>z=a+bi</math> אז אמור להתקיים <math>a=-\sqrt{3}</math> וגם <math>b=1</math>. לכן מתקיים: <math>tg(\alpha) =\frac{-1}{3^\frac{1}{2}}</math> ומשום שהמספר המרוכב ברביע השני אז <math>\alpha=\frac{5\pi}{6}</math> ולא <math>\frac{4\pi}{3}</math> כלומר <math>w=2cis(\frac{5\pi}{6})</math> (ד"א: זווית של <math>\frac{4\pi}{3}</math> מייצגת רביע שלישי ולא רביע שני כפי שכתבתם). כמו כן יש לי מחשבון שמחשב מרוכבים, וגם לפיו מתקיים ש-<math>w=2cis(\frac{5\pi}{6})</math> (כלומר שאכן יש לכם טעות בתשובות), כמובן שהדבר בהנחה שהקלדתי נכון לתוכו. האם באמת יש טעות בתשובות או שלא? ואם הטעות היא שלי - מה עשיתי לא בסדר?<br />
<br />
כמובן שבמקרה שבו הטעות היא שלכם, אזי גם צריך לערוך את התשובה לשאלה 2 שמתבססת על התשובה של שאלה 1...<br />
<br />
תודה מראש, גל.<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, בלבלתי שם בין הa והb. אני אפרסם תיקון, תודה. (הרי קוסינוס הזוית שווה ל<math>\frac{a}{r}</math> ולא הסינוס)<br />
<br />
==התרגיל במרוכבים==<br />
בשביל מה הוא שם? סתם תרגול?<br />
:כן, אחרת לא היו מעלים לזה פתרונות...<br />
<br />
== 6.20 ==<br />
מה צריך להוכיח בב'? שהמטריצה ב-6.19 הפיכה אם רק אם <math>\Delta</math> שונה מ-0? האם צריך להוכיח גם מהי <math>A^{-1}</math>?<br />
האם מותר לי להשתמש ב <math>A^{-1}</math> הנתון כדי להוכיח או שצריך להראות אותו בנפרד?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן צריך להוכיח שהיא הפיכה אם"ם <math>\Delta\neq 0</math>, ולהראות שההופכית היא זו. אסור להניח שזה ההופכי וככה להוכיח (הרי עשינו את זה בתרגיל הקודם) צריך להראות כיצד בעזרת סעיף א' ניתן למצוא את ההופכית (שכמובן תהיה אותה הופכית כמו בתרגיל הקודם - הופכית יש רק אחת).<br />
<br />
==שאלה 6.20==<br />
בסעיף ג' צריך להוכיח ביטוי מסויים, ונותנים רמז כלשהו לגבי ההוכחה,<br />
הם אומרים שיש מטריצה A עם עקבה 0. מה זה עקבה 0?<br />
<br />
===תשובה===<br />
עקבה זה trace בעברית. כלומר <math>tr(A)=0</math><br />
<br />
==שאלה ==<br />
כדי להוכיח ששתי מטריצות הן מטריצות מתחלפות(AB=BA) מספיק להוכיח ששניהן מטריצות מסדר <math> \ n \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> או שצריך להוכיח עוד משהו?(ואם כן מה?)<br />
:כן, שהמכפלה שלהן שווה, כי מה שרשמת אומר שניתן למצוא את המכפלה AB ואת המכפלה BA אבל זה לא אומר שהן שוות בהכרח... <br />
אבל על איזו שאלה מדובר, בחלק מהשאלות יש נתונים שכאשר את המשתמש בהם אז אתה לא צריך להוכיח בדרך המכוערת ש-AB=BA אלא אתה אפילו לא צריך לפתוח את מכפלת המטריצות בעזרת הנותנים הללו.<br />
<br />
נגיד בשאלה 5.8 שנתון שAB סימטרית איך זה עוזר לי חוץ מזה שזה אומר ששניהן מסדר <math> \ n \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> ?<br />
<br />
===תשובה===<br />
בוודאי לא מספיק להראות ששתיהן ריבועיות מאותו גודל. הרי ידוע שתכונת החילופיות '''אינה''' מתקיימת באופן כללי במטריצות, ראינו דוגמאות סותרות במקרה 2x2 בשיעור.<br />
<br />
בתרגיל הספציפי, הנתון הוא על סימטריות. מהי ההגדרה של סימטריות? צריך להשתמש בדברים שקשורים לסימטריות על מנת לפתור את התרגיל.<br />
<br />
הנתון לגבי הגודל הוא על מנת שהכל יהיה מוגדר כמו שצריך.<br />
<br />
==שאלה 6.19==<br />
אני בעצם צריך להראות ש-A היא מחלקת אפס בכדי שהטענה בשאלה תתקיים (וכמובן להראות מדוע מחלק אפס אינו הפיך). האם מותר לי להביא מטריצה כלשהי ולהראות ש-A מחלקת אפס שלה (כמובן מטריצה שאכן מקיימת את הטענה) או שעלי למצוא את המטריצה ש-A היא מחלקת האפס שלה (כלומר לעשות מערכת משוואות עם 4 משתנים)?<br />
תודה מראש.<br />
<br />
נ.ב. מטריצת אפס חייבת להיות ריבועית, נכון?<br />
<br />
===תשובה===<br />
*<s>לדעתי אתה חייב להראות ספציפית למטריצה הזאת כלומר להראות שכאשר <math>\Delta=0</math> אז A*A=0 ואז מכיוון ש-<math>A\neq 0</math> אז A מחלקת 0. כמובן שכשאתה כופל את המטריצות אתה משתמש בתכונה ש<math>\Delta=0</math></s> יש מטריצות מחלקות אפס שבריבוע אינן שוות לאפס. לדוגמא קח a=1 וכל השאר אפס.<br />
*לגבי השאלה השנייה אני לא בטוח אבל מטריצת אפס לא חייבת ליהיות ריבועית-כל מטריצה שכל איבריה הם 0.<br />
<br />
<br />
:מה הכוונה ב-המטריצה שA מחלקת אפס שלה עם הא הידיעה? מספיק להביא מטריצה כלשהי שA היא מחלקת אפס שלה. הוכחתי למטה למה זה אומר שהמטריצה אינה הפיכה.<br />
<br />
:מטריצת אפס היא כל מטריצת אפסים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:12, 6 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 6.20 - פולינום==<br />
"מאפסת את הפולינום" משמע ש-X של הפונקציה צריך להיות המטריצה A?<br />
<br />
האם "התרגיל הקודם| משמעו סע' א' או ב' או שניהם?<br />
<br />
===תשובה===<br />
למדנו איך להציב מטריצה בפולינום. יהי פולינום <math>f=a_nx^n+...+a_1x+a_0</math> ותהיי מטריצה ריבועית A. אזי <math>f(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I</math> היא מטריצה ריבועית באותו גודל כמו A.<br />
<br />
==שאלה 5.12==<br />
מה הכוונה ב-Ak?<br />
(ואיך כותבים את הסימנים של math-type באקספלורר?)<br />
תודה<br />
עם החלק הראשון של השאלה הסתדרתי (לא זכור לי שזה נלמד בכיתה, בכל אופן).<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
<math>A^k=A\cdot A \cdots A</math>, ראינו את זה בכיתה בשיעור הראשון שלמדנו שדות, זה ההגדרה של חזקה טבעית.<br />
<br />
על מנת לדעת איך לכתוב מתמטיקה תסתכל בדף העזרה של האתר, ותעשה [עריכה] על תשובות ושאלות עם מתמטיקה ותבין.<br />
<br />
==שאלה==<br />
אם אני יודע ש-<math>AB=(BA)^{t}</math>(כמובן ש-A,B מטריצות) אז אני יכול להגיד ש-AB הפיכה? אני צריך להוכיח את זה? עוד שאלה לגבי זה, אם <math>A=B</math> אז אני יכול להגיד ש<math>A^{t}=b^{t}</math><br />
<br />
===תשובה===<br />
ממש ממש לא. דוגמא נגדית: <math>(BA)^t=AB=0</math> לא הפיכה כלל. אין קשר בין '''הפיכות''' לבין '''שחלוף'''.<br />
<br />
אם <math>A=B</math> אזי כמובן ש<math>A^t=B^t</math>. באופן כללי אם שני דברים הם שווים, גם פעולות עליהם נותנות תוצאה שווה (מתוך תכונת הח"ע של פונקציות).<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
<br />
אם הבוחן יהיה ברבע ל12 ואז הבוחן שעה ועוד רבע שעה תוספת זמן אז ייגמר ב1...<br />
<br />
יש שיעור רגיל או שמשתחררים??<br />
<br />
===תשובה===<br />
יש תרגול אחרי כן ב13:00 כרגיל. הבוחן יהיה 45 דקות ועוד רבע שעה תוספת זמן.<br />
<br />
==שאלה 5.3ב'== <br />
לדעת יש טעות בשאלה, תקנו אותי אם אני טועה. הטענה שצריך להוכיח היא שכל מטריצה סקלרית היא מטריצה אלכסונית, אבל לא כל מטריצה אלכסונית היא מטריצה סקלרית למשל עבור <math>\boldsymbol{\alpha}=0</math>(אני רק לא בטוח שאם <math>\boldsymbol{\alpha}</math> הוא סקלר אז הוא יכול ליהיות שווה 0, על זה מתבססת הטענה שלי פה). אם כן אז המטריצה <math> A = <br />
\begin{bmatrix} <br />
0 & 0 & 0 \\ <br />
0 & 0 & 0 \\ <br />
0 & 0 & 0 \\ <br />
<br />
\end{bmatrix} <br />
</math> היא סקלרית אבל לא אלכסונית<br />
<br />
===תשובה===<br />
*סקלר הוא איבר כלשהו מהשדה. אפס איבר בשדה ולכן הינו סקלר<br />
*מה לא אלכסוני במטריצה הזו? האם יש לה איברים שאינם אפסים ואינם על האלכסון?<br />
<br />
אה, נכון טעות שלי, תודה!<br />
<br />
==שאלה==<br />
האם מותר לי להגיד שאם <math>-A=A</math> אז <math>2A=0</math> ואז <math>A=0</math> ?<br />
:כן...<br />
===תשובה===<br />
מעל הממשיים מותר לאמר את זה. מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> אסור למשל.<br />
:למשל ב-שאלה 4.6א' מותר להגיד את זה? והאם אני חייב להוכיח?<br />
::הבנתי שאתה מתכוון לשאלה הזו מן הסתם :) כן צריך להוכיח למה זה נכון.<br />
:::האם אני יכול להגיד פשוט שהאיבר <math>a_{ij}=-a_{ij}</math> ואז <math>a_{ij}=0</math> כלומר כל איבר במטריצה שווה ל-0 ואז <math>A=0</math><br />
::::כן אבל אתה גם צריך להסביר את זה - למה התכונה הזו נכונה בשדה הממשיים.<br />
:::::כי אם מכפלת שני מספרים ממשיים שווה 0 אז אחד מהם שווה 0(כי אין מחלקי 0 בשדה) ואז בגלל ש-<math>2\neq 0</math> אז <math>a_{ij}=0</math>? האם זה הסבר מספק או שצריך להראות את זה בסיגמה?<br />
::::::אולי אפשר פשוט לכתוב ש-A=-A גורר 2A=0, ובגלל שבשדה הממשיים אין מחלקי אפס אז 2=0 או A=0, אבל 2 שונה מ-0 ולכן A=0?<br />
:::::::נכון, אבל תשים לב מתי אתה מסתכל על מטריצות ומתי על איברים מהשדה.<br />
<br />
==שאלה על מט' מחלקת אפס==<br />
למה אם מטריצה מחלקת אפס אז היא לא הפיכה? (לפי הרמז בשאלה 6.19). תודה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
נוכיח באופן כללי מדוע איברים מחלקים אפס אינם הפיכים: יהיו <math>a,b\neq 0</math> שני איברים שונים מאפס, כך ש<br />
<br />
<math>ab=0</math>. <br />
<br />
נניח בשלילה שa הפיך. לכן נכפול בהופכי של a ונקבל <br />
<br />
<math>a^{-1}ab=a^{-1}\cdot 0</math><br />
<br />
ולכן <math>b=0</math> בסתירה להנחה.<br />
:תודה.<br />
<br />
==תרגיל 3.2 (התר' הראשון)==<br />
פתרתי את התרגיל בעזרת מערכת של 12 משוואות עם 12 נעלמים. יש דרך יותר קלה לפתור את זה? (אם כן, חבל שלא שאלתי את זה קודם..)<br />
<br />
===תשובה===<br />
למה שאני אגיד לך עכשיו שתחשוב על מטריצות אלמנטריות או כפל עמודה עמודה? זה לא סתם יבאס אותך?<br />
:כדאי שתגיד לי כדי שאני אדע לעתיד..<br />
::צודק :) אז אמרתי.<br />
:::מה זה כפל עמודה עמודה? תודה.<br />
::::צורה לכפול שתי מטריצות. בגדול אלו שתי הנוסחאות <math>C_i(AB)=AC_i(B)</math> (העמודה הi של AB שווה למטריצה A כפול העמודה הi של B). הנוסחא השנייה היא <math>Ax=\sum_i x_iC_i(A)</math> כאשר x וקטור עמודה עם קואורדינטות x_i (הכפל של מטריצה בעמודה הוא הסכום של עמודות המטריצה כפול הקבועים מאותה העמודה).<br />
:::::ואיך זה עוזר לפתור בקלות? (גם אני פתרתי עם 12 משוואות ב-12 נעלמים...)<br />
::::::תחשוב... ואם לא תצליח לבד תראה כאשר נפרסם את הפתרונות.<br />
:::::::אני אנסה לחשוב על זה שוב, אבל בינתיים אני עדיין לא יודע לפתור את התרגיל הזה בצורה אחרת למרות הרמזים. אפשר רמז קצת עבה יותר? תודה.<br />
::::::::תראה את הקשר בין עמודות המטריצה המקורית לעמודות המטריצה שאתה רוצה לקבל.<br />
:::::::::תודה, הצלחתי.<br />
<br />
==שאלה==<br />
<br />
לגבי שאלה 5.3לא הבנתי איך אני אמורה לפתור אותו לפי סעיף ההאחרון ומעלה או שכל סעיף בנפרד ? 5.16 איך בכלל נראת המטריצה ? מטריצת יחידה או מטריצה שהיא כמו מטריצה יחידה ויש שורת אפסים? איך אני צריכה לגשת לזה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
5.3 כל סעיף בנפרד<br />
<br />
5.16 אני אנסה להבהיר על ידי דוגמא. נניח n=5 אזי:<br />
<br />
<br />
<math> A_1 =<br />
\begin{bmatrix}<br />
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
<br />
\end{bmatrix}<br />
</math>, <math> A_2 =<br />
\begin{bmatrix}<br />
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
<br />
\end{bmatrix}<br />
</math>, <math>A_3=<br />
\begin{bmatrix}<br />
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
<br />
\end{bmatrix}<br />
</math>, <math>A_4=<br />
\begin{bmatrix}<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
<br />
\end{bmatrix}<br />
</math>, <br />
<br />
<math>A_5=0</math><br />
<br />
וכדומה.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4411לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-07T11:18:56Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלות */</p>
<hr />
<div><math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
=שאלות=<br />
==שאלה 6.20==<br />
<br />
לא ממש הבנתי את השאלה- מבקשים בסעיף א' להראות שהמט' A מאפסת את הפולינום- כלומר אני מניח שצריך להציב במקום A את המטריצה.<br />
אבל אז יוצא חיבור של מטריצה עם מספר- <math>A^2</math> זוהי מטריצה ו-<math>tr(A)x </math> זוהי מטריצה- אז מתקבל חיבור של מטריצה עם מספר?<br />
<br />
==שאלה 5.12 ב'==<br />
לא הבנתי מה בדיוק יש פה להוכיח, הרי זה נובע ישירות ממה שהוכחנו בסעיף א', ללא כל שלב ביניים, מלבד הסימון שהם מציעים לסמן. אז מה פה דורש הוכחה?<br />
<br />
:תודה על התשובה המהירה. אבל אחרי ההצבה של <math>C=A^k</math> כבר אין חזקה... זה יוצא שצ"ל ש: <math>B^m*C=C*B^m</math> וזה ממש תואם לנוסחה שהוכחתי בסעיף א'. אז זה כאילו שאין לשתי המטריצות חזקה, ומה צריך להוכיח בעצם?<br />
::יפה אתה רק צריך להסביר את מה שרשמת וזו ההוכחה. לא צריך לעבוד קשה מידי.<br />
<br />
===תשובה===<br />
אתה צריך להסביר כיצד זה נובע. ישירות זה לא נובע, כי פה לשתי המטריצות יש חזקה בניגוד לסעיף הראשון שם יש חזקה רק למטריצה אחת.<br />
<br />
==שאלה 5.16==<br />
האם יש צורך לנמק מדוע <math>R(A_1)_i = e_{i+1} \ \ \ , \ \ \ C(A_k)_j = e_{j-k}</math><br />
<br />
===תשובה===<br />
לא, אפשר פשוט לציין את זה. רק תיקון על הסימון:<br />
<math>C_j(A_k),R_i(A_1)</math><br />
<br />
תודה..<br />
<br />
==תרגיל 1 בקובץ המרוכבים==<br />
שלום רב,<br />
פתרתי את תרגיל 1 בקבוץ המרוכבים ונראה לי שיש טעות בפתרון שלכם.<br />
נתון המרוכב <math>w=i-\sqrt{3}</math>, מכאן שעפ"י סימון במרוכבים <math>z=a+bi</math> אז אמור להתקיים <math>a=-\sqrt{3}</math> וגם <math>b=1</math>. לכן מתקיים: <math>tg(\alpha) =\frac{-1}{3^\frac{1}{2}}</math> ומשום שהמספר המרוכב ברביע השני אז <math>\alpha=\frac{5\pi}{6}</math> ולא <math>\frac{4\pi}{3}</math> כלומר <math>w=2cis(\frac{5\pi}{6})</math> (ד"א: זווית של <math>\frac{4\pi}{3}</math> מייצגת רביע שלישי ולא רביע שני כפי שכתבתם). כמו כן יש לי מחשבון שמחשב מרוכבים, וגם לפיו מתקיים ש-<math>w=2cis(\frac{5\pi}{6})</math> (כלומר שאכן יש לכם טעות בתשובות), כמובן שהדבר בהנחה שהקלדתי נכון לתוכו. האם באמת יש טעות בתשובות או שלא? ואם הטעות היא שלי - מה עשיתי לא בסדר?<br />
<br />
כמובן שבמקרה שבו הטעות היא שלכם, אזי גם צריך לערוך את התשובה לשאלה 2 שמתבססת על התשובה של שאלה 1...<br />
<br />
תודה מראש, גל.<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, בלבלתי שם בין הa והb. אני אפרסם תיקון, תודה. (הרי קוסינוס הזוית שווה ל<math>\frac{a}{r}</math> ולא הסינוס)<br />
<br />
==התרגיל במרוכבים==<br />
בשביל מה הוא שם? סתם תרגול?<br />
:כן, אחרת לא היו מעלים לזה פתרונות...<br />
<br />
== 6.20 ==<br />
מה צריך להוכיח בב'? שהמטריצה ב-6.19 הפיכה אם רק אם <math>\Delta</math> שונה מ-0? האם צריך להוכיח גם מהי <math>A^{-1}</math>?<br />
האם מותר לי להשתמש ב <math>A^{-1}</math> הנתון כדי להוכיח או שצריך להראות אותו בנפרד?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן צריך להוכיח שהיא הפיכה אם"ם <math>\Delta\neq 0</math>, ולהראות שההופכית היא זו. אסור להניח שזה ההופכי וככה להוכיח (הרי עשינו את זה בתרגיל הקודם) צריך להראות כיצד בעזרת סעיף א' ניתן למצוא את ההופכית (שכמובן תהיה אותה הופכית כמו בתרגיל הקודם - הופכית יש רק אחת).<br />
<br />
==שאלה 6.20==<br />
בסעיף ג' צריך להוכיח ביטוי מסויים, ונותנים רמז כלשהו לגבי ההוכחה,<br />
הם אומרים שיש מטריצה A עם עקבה 0. מה זה עקבה 0?<br />
<br />
===תשובה===<br />
עקבה זה trace בעברית. כלומר <math>tr(A)=0</math><br />
<br />
==שאלה ==<br />
כדי להוכיח ששתי מטריצות הן מטריצות מתחלפות(AB=BA) מספיק להוכיח ששניהן מטריצות מסדר <math> \ n \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> או שצריך להוכיח עוד משהו?(ואם כן מה?)<br />
:כן, שהמכפלה שלהן שווה, כי מה שרשמת אומר שניתן למצוא את המכפלה AB ואת המכפלה BA אבל זה לא אומר שהן שוות בהכרח... <br />
אבל על איזו שאלה מדובר, בחלק מהשאלות יש נתונים שכאשר את המשתמש בהם אז אתה לא צריך להוכיח בדרך המכוערת ש-AB=BA אלא אתה אפילו לא צריך לפתוח את מכפלת המטריצות בעזרת הנותנים הללו.<br />
<br />
נגיד בשאלה 5.8 שנתון שAB סימטרית איך זה עוזר לי חוץ מזה שזה אומר ששניהן מסדר <math> \ n \times n</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> ?<br />
<br />
===תשובה===<br />
בוודאי לא מספיק להראות ששתיהן ריבועיות מאותו גודל. הרי ידוע שתכונת החילופיות '''אינה''' מתקיימת באופן כללי במטריצות, ראינו דוגמאות סותרות במקרה 2x2 בשיעור.<br />
<br />
בתרגיל הספציפי, הנתון הוא על סימטריות. מהי ההגדרה של סימטריות? צריך להשתמש בדברים שקשורים לסימטריות על מנת לפתור את התרגיל.<br />
<br />
הנתון לגבי הגודל הוא על מנת שהכל יהיה מוגדר כמו שצריך.<br />
<br />
==שאלה 6.19==<br />
אני בעצם צריך להראות ש-A היא מחלקת אפס בכדי שהטענה בשאלה תתקיים (וכמובן להראות מדוע מחלק אפס אינו הפיך). האם מותר לי להביא מטריצה כלשהי ולהראות ש-A מחלקת אפס שלה (כמובן מטריצה שאכן מקיימת את הטענה) או שעלי למצוא את המטריצה ש-A היא מחלקת האפס שלה (כלומר לעשות מערכת משוואות עם 4 משתנים)?<br />
תודה מראש.<br />
<br />
נ.ב. מטריצת אפס חייבת להיות ריבועית, נכון?<br />
<br />
===תשובה===<br />
*<s>לדעתי אתה חייב להראות ספציפית למטריצה הזאת כלומר להראות שכאשר <math>\Delta=0</math> אז A*A=0 ואז מכיוון ש-<math>A\neq 0</math> אז A מחלקת 0. כמובן שכשאתה כופל את המטריצות אתה משתמש בתכונה ש<math>\Delta=0</math></s> יש מטריצות מחלקות אפס שבריבוע אינן שוות לאפס. לדוגמא קח a=1 וכל השאר אפס.<br />
*לגבי השאלה השנייה אני לא בטוח אבל מטריצת אפס לא חייבת ליהיות ריבועית-כל מטריצה שכל איבריה הם 0.<br />
<br />
<br />
:מה הכוונה ב-המטריצה שA מחלקת אפס שלה עם הא הידיעה? מספיק להביא מטריצה כלשהי שA היא מחלקת אפס שלה. הוכחתי למטה למה זה אומר שהמטריצה אינה הפיכה.<br />
<br />
:מטריצת אפס היא כל מטריצת אפסים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:12, 6 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 6.20==<br />
"מאפסת את הפולינום" משמע ש-X של הפונקציה צריך להיות המטריצה A?<br />
<br />
האם "התרגיל הקודם| משמעו סע' א' או ב' או שניהם?<br />
<br />
===תשובה===<br />
למדנו איך להציב מטריצה בפולינום. יהי פולינום <math>f=a_nx^n+...+a_1x+a_0</math> ותהיי מטריצה ריבועית A. אזי <math>f(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I</math> היא מטריצה ריבועית באותו גודל כמו A.<br />
<br />
==שאלה 5.12==<br />
מה הכוונה ב-Ak?<br />
(ואיך כותבים את הסימנים של math-type באקספלורר?)<br />
תודה<br />
עם החלק הראשון של השאלה הסתדרתי (לא זכור לי שזה נלמד בכיתה, בכל אופן).<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
<math>A^k=A\cdot A \cdots A</math>, ראינו את זה בכיתה בשיעור הראשון שלמדנו שדות, זה ההגדרה של חזקה טבעית.<br />
<br />
על מנת לדעת איך לכתוב מתמטיקה תסתכל בדף העזרה של האתר, ותעשה [עריכה] על תשובות ושאלות עם מתמטיקה ותבין.<br />
<br />
==שאלה==<br />
אם אני יודע ש-<math>AB=(BA)^{t}</math>(כמובן ש-A,B מטריצות) אז אני יכול להגיד ש-AB הפיכה? אני צריך להוכיח את זה? עוד שאלה לגבי זה, אם <math>A=B</math> אז אני יכול להגיד ש<math>A^{t}=b^{t}</math><br />
<br />
===תשובה===<br />
ממש ממש לא. דוגמא נגדית: <math>(BA)^t=AB=0</math> לא הפיכה כלל. אין קשר בין '''הפיכות''' לבין '''שחלוף'''.<br />
<br />
אם <math>A=B</math> אזי כמובן ש<math>A^t=B^t</math>. באופן כללי אם שני דברים הם שווים, גם פעולות עליהם נותנות תוצאה שווה (מתוך תכונת הח"ע של פונקציות).<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
<br />
אם הבוחן יהיה ברבע ל12 ואז הבוחן שעה ועוד רבע שעה תוספת זמן אז ייגמר ב1...<br />
<br />
יש שיעור רגיל או שמשתחררים??<br />
<br />
===תשובה===<br />
יש תרגול אחרי כן ב13:00 כרגיל. הבוחן יהיה 45 דקות ועוד רבע שעה תוספת זמן.<br />
<br />
==שאלה 5.3ב'== <br />
לדעת יש טעות בשאלה, תקנו אותי אם אני טועה. הטענה שצריך להוכיח היא שכל מטריצה סקלרית היא מטריצה אלכסונית, אבל לא כל מטריצה אלכסונית היא מטריצה סקלרית למשל עבור <math>\boldsymbol{\alpha}=0</math>(אני רק לא בטוח שאם <math>\boldsymbol{\alpha}</math> הוא סקלר אז הוא יכול ליהיות שווה 0, על זה מתבססת הטענה שלי פה). אם כן אז המטריצה <math> A = <br />
\begin{bmatrix} <br />
0 & 0 & 0 \\ <br />
0 & 0 & 0 \\ <br />
0 & 0 & 0 \\ <br />
<br />
\end{bmatrix} <br />
</math> היא סקלרית אבל לא אלכסונית<br />
<br />
===תשובה===<br />
*סקלר הוא איבר כלשהו מהשדה. אפס איבר בשדה ולכן הינו סקלר<br />
*מה לא אלכסוני במטריצה הזו? האם יש לה איברים שאינם אפסים ואינם על האלכסון?<br />
<br />
אה, נכון טעות שלי, תודה!<br />
<br />
==שאלה==<br />
האם מותר לי להגיד שאם <math>-A=A</math> אז <math>2A=0</math> ואז <math>A=0</math> ?<br />
:כן...<br />
===תשובה===<br />
מעל הממשיים מותר לאמר את זה. מעל <math>\mathbb{Z}_2</math> אסור למשל.<br />
:למשל ב-שאלה 4.6א' מותר להגיד את זה? והאם אני חייב להוכיח?<br />
::הבנתי שאתה מתכוון לשאלה הזו מן הסתם :) כן צריך להוכיח למה זה נכון.<br />
:::האם אני יכול להגיד פשוט שהאיבר <math>a_{ij}=-a_{ij}</math> ואז <math>a_{ij}=0</math> כלומר כל איבר במטריצה שווה ל-0 ואז <math>A=0</math><br />
::::כן אבל אתה גם צריך להסביר את זה - למה התכונה הזו נכונה בשדה הממשיים.<br />
:::::כי אם מכפלת שני מספרים ממשיים שווה 0 אז אחד מהם שווה 0(כי אין מחלקי 0 בשדה) ואז בגלל ש-<math>2\neq 0</math> אז <math>a_{ij}=0</math>? האם זה הסבר מספק או שצריך להראות את זה בסיגמה?<br />
::::::אולי אפשר פשוט לכתוב ש-A=-A גורר 2A=0, ובגלל שבשדה הממשיים אין מחלקי אפס אז 2=0 או A=0, אבל 2 שונה מ-0 ולכן A=0?<br />
:::::::נכון, אבל תשים לב מתי אתה מסתכל על מטריצות ומתי על איברים מהשדה.<br />
<br />
==שאלה על מט' מחלקת אפס==<br />
למה אם מטריצה מחלקת אפס אז היא לא הפיכה? (לפי הרמז בשאלה 6.19). תודה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
נוכיח באופן כללי מדוע איברים מחלקים אפס אינם הפיכים: יהיו <math>a,b\neq 0</math> שני איברים שונים מאפס, כך ש<br />
<br />
<math>ab=0</math>. <br />
<br />
נניח בשלילה שa הפיך. לכן נכפול בהופכי של a ונקבל <br />
<br />
<math>a^{-1}ab=a^{-1}\cdot 0</math><br />
<br />
ולכן <math>b=0</math> בסתירה להנחה.<br />
:תודה.<br />
<br />
==תרגיל 3.2 (התר' הראשון)==<br />
פתרתי את התרגיל בעזרת מערכת של 12 משוואות עם 12 נעלמים. יש דרך יותר קלה לפתור את זה? (אם כן, חבל שלא שאלתי את זה קודם..)<br />
<br />
===תשובה===<br />
למה שאני אגיד לך עכשיו שתחשוב על מטריצות אלמנטריות או כפל עמודה עמודה? זה לא סתם יבאס אותך?<br />
:כדאי שתגיד לי כדי שאני אדע לעתיד..<br />
::צודק :) אז אמרתי.<br />
:::מה זה כפל עמודה עמודה? תודה.<br />
::::צורה לכפול שתי מטריצות. בגדול אלו שתי הנוסחאות <math>C_i(AB)=AC_i(B)</math> (העמודה הi של AB שווה למטריצה A כפול העמודה הi של B). הנוסחא השנייה היא <math>Ax=\sum_i x_iC_i(A)</math> כאשר x וקטור עמודה עם קואורדינטות x_i (הכפל של מטריצה בעמודה הוא הסכום של עמודות המטריצה כפול הקבועים מאותה העמודה).<br />
:::::ואיך זה עוזר לפתור בקלות? (גם אני פתרתי עם 12 משוואות ב-12 נעלמים...)<br />
::::::תחשוב... ואם לא תצליח לבד תראה כאשר נפרסם את הפתרונות.<br />
:::::::אני אנסה לחשוב על זה שוב, אבל בינתיים אני עדיין לא יודע לפתור את התרגיל הזה בצורה אחרת למרות הרמזים. אפשר רמז קצת עבה יותר? תודה.<br />
::::::::תראה את הקשר בין עמודות המטריצה המקורית לעמודות המטריצה שאתה רוצה לקבל.<br />
:::::::::תודה, הצלחתי.<br />
<br />
==שאלה==<br />
<br />
לגבי שאלה 5.3לא הבנתי איך אני אמורה לפתור אותו לפי סעיף ההאחרון ומעלה או שכל סעיף בנפרד ? 5.16 איך בכלל נראת המטריצה ? מטריצת יחידה או מטריצה שהיא כמו מטריצה יחידה ויש שורת אפסים? איך אני צריכה לגשת לזה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
5.3 כל סעיף בנפרד<br />
<br />
5.16 אני אנסה להבהיר על ידי דוגמא. נניח n=5 אזי:<br />
<br />
<br />
<math> A_1 =<br />
\begin{bmatrix}<br />
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
<br />
\end{bmatrix}<br />
</math>, <math> A_2 =<br />
\begin{bmatrix}<br />
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
<br />
\end{bmatrix}<br />
</math>, <math>A_3=<br />
\begin{bmatrix}<br />
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
<br />
\end{bmatrix}<br />
</math>, <math>A_4=<br />
\begin{bmatrix}<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\<br />
<br />
\end{bmatrix}<br />
</math>, <br />
<br />
<math>A_5=0</math><br />
<br />
וכדומה.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4273בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-03T16:53:44Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלה כללית */</p>
<hr />
<div><math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
=שאלות=<br />
==הוכחה שפונקציה היא על==<br />
איך מוכיחים שפונקציה היא על (כמו בשאלה 3א' בתרגיל 3)? חיפשתי דוגמאות להוכחות כאלה מההרצאות, אבל כשהמרצה הוכיח שפונקציה כלשהי היא על הוא תמיד (בדוגמאות שמצאתי) השתמש בכך שפונקציה אחרת (g) היא על וככה הוכיח שיש a ששייך לA כך ש f(a) = b. איך מוכיחים שפונקציה היא על כש"ברור" שהיא על, כמו בשאלה 3א'? תודה רבה מראש.<br />
<br />
:ראה תשובה לשאלה הקודמת[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:55, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
::תודה<br />
<br />
==שאלה כללית==<br />
מה הדרך הנכונה ביותר להוכיח שפונקציה מסוימת היא פונקציה על?<br />
<br />
===תשובה===<br />
אם ברצונך להראות כי <math>f: A \rightarrow B</math> הינה פונקציית על,<br />
אתה צריך להראות כי לכל איבר <math>b \in B</math> יש מקור <math>a \in A</math>.<br />
לעיתים יש נוסחה לאיבר כללי ב<math>B</math> ואז ניתן לפתח נוסחה למקור של כל איבר כזה,<br />
למשל אם <math>f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}</math> כך ש<math>f(z)=z+1</math>,<br />
אזי לכל <math>b \in \mathbb{b}</math> יש מקור <math>b-1</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:54, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
תודה<br />
<br />
==שתי שאלות==<br />
1. אם מבקשים ממני להוכיח ש-R הוא יחס שקילות ל-A, האם עלי להוכיח בראש ובראשונה ש-R יחס על A (בעיקר משאלות 9,6 מתרגיל 9), או שזה מובן מאליו?<br />
<br />
2. אם מבקשים ממני למצוא את F הרכבה G, וזה לא קיים, האם התשובה היא קבוצה ריקה או שזה פשוט לא מוגדר (זכור לי משהו כזה מהשיעורים)? והאם יש הבדל בתשובה בין יחסים לבין פונקציות?<br />
<br />
תודה רבה.<br />
<br />
<br />
===תשובה===<br />
1. יחס שקילות הוא תמיד על <math>A</math>, דהיינו מ<math>A</math> ל<math>A</math> כלשהו. אני לא כל כך מבין למה את\ה מתכוון\ת ב"<math>R</math> יחס שקילות ל<math>A</math>.<br />
<br />
2. ייתכן כי הרכבת יחסים תיתן את היחס הריק. עבור פונקציות <math>g \circ f</math> הדבר איננו אפשרי, אלא אם התחום של <math>f</math> הוא ריק. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:59, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
'''בקשר ל-1:''' קח לדוגמא את שאלה 6 בתרגיל 2. נותון לי יחס G מסויים ומבקשים ממני להוכיח שהוא יחס שקילות על <math>AxB</math>. השאלה שלי היא: האם צריך קודם להוכיח ש-G הוא יחס על על <math>AxB</math>, בלי לענות עוד על השאלה אם הוא שקילות או לא.<br />
<br />
==שאלה על הגדרת הפונקציה==<br />
כדי להוכיח שf היא פו' יש להוכיח שמתקיימים בה 2 דברים, חד ערכיות, ו"שלמות", נכון? שלמות זה אומר שאם f היא מA לB אז לכל a ששייך לA יש b בB כך ש f(a)=b נכון? תודה.<br />
<br />
אני לא מתרגל אבל אני חושב שאם תכניס את המילים "אחד ויחיד" למשפט שאמרת אז תקבל שלמות וגם חד-ערכיות<br />
<br />
:כל הדרכים (שאין בהן טעות) מובילות לרומא. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:01, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה על פונקציה חח"ע==<br />
אם אני רוצה להוכיח שקיימת פונקציה חח"ע מA לB, מספיק להראות שמספר האיברים בA קטן או שווה למספר האיברים בB? [ואז ניתן ליצור פונקציה שתשלח כל איבר של A לאיבר אחר של B]<br />
או שעלי ממש להציג פונקציה שכזו?<br />
:אני חושב שבשאלה שצריך להראות שקיימת פו' חח"ע צריך להראות פונקציה כזאת.<br />
<br />
==לקבוצה של שני-הרכבת יחסים==<br />
הרכבת יחסית מוגדרת כפי שחלקכם אמרתם, הפוך ממה שאמרתי.<br />
ההגדרה: <math>R \subseteq A\times B \and S \subseteq B\times C</math> אזי<br />
<math>(a,c)\in S \circ R \iff \exist b \in B :(a,b) \in R \and (b,c) \in S</math><br />
<br />
(שני)<br />
<br />
== שאלה לגבי הבוחן==<br />
האם הבוחן יכלול גם פונקציות כמו <math>g:A->AxB</math> ? (איברים שהם זוג סדור)<br />
<br />
==שאלה 7==<br />
כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.<br />
<br />
---> אם היחסים שמצאת לא מסובכים מדי, אין צורך להוכיח שהם אכן יח"ש. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==A^2 יח"ש==<br />
צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
: אלא אם תתבקשו להוכיח שזה יח"ש, אתה יכול להתייחס לזה כעובדה. זה די טריוויאלי[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:06, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 3א בתרגיל 3==<br />
נאמר שf היא פונקציה מ-<math>\mathbb{Z}</math> ל-<math>\mathbb{N}</math>, אבל 0 אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math> (אבל איבר ב-<math>\mathbb{Z}</math>) ולכן ערכו המוחלט הוא אפס (ששוב, אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>). במקרה זה f אינו פונקציה ולכן בוודאי שלא מקיים אף אחד מהשלושה.<br />
לכן יש לי תחושה שקיימת טעות בסעיף זה, או שפשוט התכוונתם לגירסה הפחות רווחת לפיה גם אפס הוא איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים.<br />
:בתורת הקבוצות דווקא יותר נפוץ ש-0 הוא '''כן''' טבעי (כך מתקיים, למשל, שעוצמת כל קבוצה היא מספר טבעי). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:55, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
::עם זאת בשאר ענפי המתמטיקה הנטייה היא לא לכלול את אפס, ובדר"כ כאשר המרצה (שי) מעוניין להבהיר שהוא מעוניין להתכוון גם לאפס אז הוא רושם <math>\mathbb{N}</math> חיתוך עם {0}. אני אסתמך על כך בתשובה, עם הערה לפיה f פונקציה אם"ם 0 מצוי בטבעיים.<br />
<br />
==שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.==<br />
האם הכוונה בz5 היא המודולו?<br />
:אכן.<br />
<br />
==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==<br />
האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?<br />
:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:<br />
**קבוצות<br />
**יחסים<br />
**פונקציות<br />
<br />
כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)<br />
<br />
-אבל לפי התרגול או ההרצאה?<br />
:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).<br />
<br />
---> הבוחן יכלול נושאים הבאים: קבוצות, יחסים ופונקציות. נושאים אלה הועברו הן בהרצאות הן בתרגולים. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4260בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-03T15:41:19Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלה על הגדרת הפונקציה */</p>
<hr />
<div><math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
=שאלות=<br />
==שאלה כללית==<br />
מה הדרך הנכונה ביותר להוכיח שפונקציה מסוימת היא פונקציה על?<br />
<br />
==שתי שאלות==<br />
1. אם מבקשים ממני להוכיח ש-R הוא יחס שקילות ל-A, האם עלי להוכיח בראש ובראשונה ש-R יחס על A (בעיקר משאלות 9,6 מתרגיל 9), או שזה מובן מאליו?<br />
<br />
2. אם מבקשים ממני למצוא את F הרכבה G, וזה לא קיים, האם התשובה היא קבוצה ריקה או שזה פשוט לא מוגדר (זכור לי משהו כזה מהשיעורים)? והאם יש הבדל בתשובה בין יחסים לבין פונקציות?<br />
<br />
תודה רבה.<br />
<br />
==שאלה על הגדרת הפונקציה==<br />
כדי להוכיח שf היא פו' יש להוכיח שמתקיימים בה 2 דברים, חד ערכיות, ו"שלמות", נכון? שלמות זה אומר שאם f היא מA לB אז לכל a ששייך לA יש b בB כך ש f(a)=b נכון? תודה.<br />
<br />
אני לא מתרגל אבל אני חושב שאם תכניס את המילים "אחד ויחיד" למשפט שאמרת אז תקבל שלמות וגם חד-ערכיות<br />
<br />
==שאלה על פונקציה חח"ע==<br />
אם אני רוצה להוכיח שקיימת פונקציה חח"ע מA לB, מספיק להראות שמספר האיברים בA קטן או שווה למספר האיברים בB? [ואז ניתן ליצור פונקציה שתשלח כל איבר של A לאיבר אחר של B]<br />
או שעלי ממש להציג פונקציה שכזו?<br />
<br />
==לקבוצה של שני-הרכבת יחסים==<br />
הרכבת יחסית מוגדרת כפי שחלקכם אמרתם, הפוך ממה שאמרתי.<br />
ההגדרה: <math>R \subseteq A\times B \and S \subseteq B\times C</math> אזי<br />
<math>(a,c)\in S \circ R \iff \exist b \in B :(a,b) \in R \and (b,c) \in S</math><br />
<br />
(שני)<br />
<br />
== שאלה לגבי הבוחן==<br />
האם הבוחן יכלול גם פונקציות כמו <math>g:A->AxB</math> ? (איברים שהם זוג סדור)<br />
<br />
==שאלה 7==<br />
כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.<br />
<br />
---> אם היחסים שמצאת לא מסובכים מדי, אין צורך להוכיח שהם אכן יח"ש. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==A^2 יח"ש==<br />
צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
: אלא אם תתבקשו להוכיח שזה יח"ש, אתה יכול להתייחס לזה כעובדה. זה די טריוויאלי[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:06, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 3א בתרגיל 3==<br />
נאמר שf היא פונקציה מ-<math>\mathbb{Z}</math> ל-<math>\mathbb{N}</math>, אבל 0 אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math> (אבל איבר ב-<math>\mathbb{Z}</math>) ולכן ערכו המוחלט הוא אפס (ששוב, אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>). במקרה זה f אינו פונקציה ולכן בוודאי שלא מקיים אף אחד מהשלושה.<br />
לכן יש לי תחושה שקיימת טעות בסעיף זה, או שפשוט התכוונתם לגירסה הפחות רווחת לפיה גם אפס הוא איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים.<br />
:בתורת הקבוצות דווקא יותר נפוץ ש-0 הוא '''כן''' טבעי (כך מתקיים, למשל, שעוצמת כל קבוצה היא מספר טבעי). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:55, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
::עם זאת בשאר ענפי המתמטיקה הנטייה היא לא לכלול את אפס, ובדר"כ כאשר המרצה (שי) מעוניין להבהיר שהוא מעוניין להתכוון גם לאפס אז הוא רושם <math>\mathbb{N}</math> חיתוך עם {0}. אני אסתמך על כך בתשובה, עם הערה לפיה f פונקציה אם"ם 0 מצוי בטבעיים.<br />
<br />
==שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.==<br />
האם הכוונה בz5 היא המודולו?<br />
:אכן.<br />
<br />
==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==<br />
האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?<br />
:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:<br />
**קבוצות<br />
**יחסים<br />
**פונקציות<br />
<br />
כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)<br />
<br />
-אבל לפי התרגול או ההרצאה?<br />
:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).<br />
<br />
---> הבוחן יכלול נושאים הבאים: קבוצות, יחסים ופונקציות. נושאים אלה הועברו הן בהרצאות הן בתרגולים. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4259בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-03T15:40:35Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלה על הגדרת הפונקציה */</p>
<hr />
<div><math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
=שאלות=<br />
==שאלה כללית==<br />
מה הדרך הנכונה ביותר להוכיח שפונקציה מסוימת היא פונקציה על?<br />
<br />
==שתי שאלות==<br />
1. אם מבקשים ממני להוכיח ש-R הוא יחס שקילות ל-A, האם עלי להוכיח בראש ובראשונה ש-R יחס על A (בעיקר משאלות 9,6 מתרגיל 9), או שזה מובן מאליו?<br />
<br />
2. אם מבקשים ממני למצוא את F הרכבה G, וזה לא קיים, האם התשובה היא קבוצה ריקה או שזה פשוט לא מוגדר (זכור לי משהו כזה מהשיעורים)? והאם יש הבדל בתשובה בין יחסים לבין פונקציות?<br />
<br />
תודה רבה.<br />
<br />
==שאלה על הגדרת הפונקציה==<br />
כדי להוכיח שf היא פו' יש להוכיח שמתקיימים בה 2 דברים, חד ערכיות, ו"שלמות", נכון? שלמות זה אומר שאם f היא מA לB אז לכל a ששייך לA יש b בB כך ש f(a)=b נכון? תודה.<br />
אני לא מתרגל אבל אני חושב שאם תכניס את המילים "אחד ויחיד" למשפט שאמרת אז תקבל שלמות וגם חד-ערכיות<br />
<br />
==שאלה על פונקציה חח"ע==<br />
אם אני רוצה להוכיח שקיימת פונקציה חח"ע מA לB, מספיק להראות שמספר האיברים בA קטן או שווה למספר האיברים בB? [ואז ניתן ליצור פונקציה שתשלח כל איבר של A לאיבר אחר של B]<br />
או שעלי ממש להציג פונקציה שכזו?<br />
<br />
==לקבוצה של שני-הרכבת יחסים==<br />
הרכבת יחסית מוגדרת כפי שחלקכם אמרתם, הפוך ממה שאמרתי.<br />
ההגדרה: <math>R \subseteq A\times B \and S \subseteq B\times C</math> אזי<br />
<math>(a,c)\in S \circ R \iff \exist b \in B :(a,b) \in R \and (b,c) \in S</math><br />
<br />
(שני)<br />
<br />
== שאלה לגבי הבוחן==<br />
האם הבוחן יכלול גם פונקציות כמו <math>g:A->AxB</math> ? (איברים שהם זוג סדור)<br />
<br />
==שאלה 7==<br />
כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.<br />
<br />
---> אם היחסים שמצאת לא מסובכים מדי, אין צורך להוכיח שהם אכן יח"ש. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==A^2 יח"ש==<br />
צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
: אלא אם תתבקשו להוכיח שזה יח"ש, אתה יכול להתייחס לזה כעובדה. זה די טריוויאלי[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:06, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 3א בתרגיל 3==<br />
נאמר שf היא פונקציה מ-<math>\mathbb{Z}</math> ל-<math>\mathbb{N}</math>, אבל 0 אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math> (אבל איבר ב-<math>\mathbb{Z}</math>) ולכן ערכו המוחלט הוא אפס (ששוב, אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>). במקרה זה f אינו פונקציה ולכן בוודאי שלא מקיים אף אחד מהשלושה.<br />
לכן יש לי תחושה שקיימת טעות בסעיף זה, או שפשוט התכוונתם לגירסה הפחות רווחת לפיה גם אפס הוא איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים.<br />
:בתורת הקבוצות דווקא יותר נפוץ ש-0 הוא '''כן''' טבעי (כך מתקיים, למשל, שעוצמת כל קבוצה היא מספר טבעי). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:55, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
::עם זאת בשאר ענפי המתמטיקה הנטייה היא לא לכלול את אפס, ובדר"כ כאשר המרצה (שי) מעוניין להבהיר שהוא מעוניין להתכוון גם לאפס אז הוא רושם <math>\mathbb{N}</math> חיתוך עם {0}. אני אסתמך על כך בתשובה, עם הערה לפיה f פונקציה אם"ם 0 מצוי בטבעיים.<br />
<br />
==שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.==<br />
האם הכוונה בz5 היא המודולו?<br />
:אכן.<br />
<br />
==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==<br />
האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?<br />
:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:<br />
**קבוצות<br />
**יחסים<br />
**פונקציות<br />
<br />
כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)<br />
<br />
-אבל לפי התרגול או ההרצאה?<br />
:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).<br />
<br />
---> הבוחן יכלול נושאים הבאים: קבוצות, יחסים ופונקציות. נושאים אלה הועברו הן בהרצאות הן בתרגולים. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4258בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-03T15:40:01Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלה על הגדרת הפונקציה */</p>
<hr />
<div><math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
=שאלות=<br />
==שאלה כללית==<br />
מה הדרך הנכונה ביותר להוכיח שפונקציה מסוימת היא פונקציה על?<br />
<br />
==שתי שאלות==<br />
1. אם מבקשים ממני להוכיח ש-R הוא יחס שקילות ל-A, האם עלי להוכיח בראש ובראשונה ש-R יחס על A (בעיקר משאלות 9,6 מתרגיל 9), או שזה מובן מאליו?<br />
<br />
2. אם מבקשים ממני למצוא את F הרכבה G, וזה לא קיים, האם התשובה היא קבוצה ריקה או שזה פשוט לא מוגדר (זכור לי משהו כזה מהשיעורים)? והאם יש הבדל בתשובה בין יחסים לבין פונקציות?<br />
<br />
תודה רבה.<br />
<br />
==שאלה על הגדרת הפונקציה==<br />
כדי להוכיח שf היא פו' יש להוכיח שמתקיימים בה 2 דברים, חד ערכיות, ו"שלמות", נכון? שלמות זה אומר שאם f היא מA לB אז לכל a ששייך לA יש b בB כך ש f(a)=b נכון? תודה.<br />
אני לא מתרגל אבל אני חושב שאם תכניס את המילים "אחד ויחיד" למשפט שאמרת אז תקבל שלמות וגם חד-ערכיות --[[משתמש:Edi.gotlieb|Edi.gotlieb]] 18:40, 3 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה על פונקציה חח"ע==<br />
אם אני רוצה להוכיח שקיימת פונקציה חח"ע מA לB, מספיק להראות שמספר האיברים בA קטן או שווה למספר האיברים בB? [ואז ניתן ליצור פונקציה שתשלח כל איבר של A לאיבר אחר של B]<br />
או שעלי ממש להציג פונקציה שכזו?<br />
<br />
==לקבוצה של שני-הרכבת יחסים==<br />
הרכבת יחסית מוגדרת כפי שחלקכם אמרתם, הפוך ממה שאמרתי.<br />
ההגדרה: <math>R \subseteq A\times B \and S \subseteq B\times C</math> אזי<br />
<math>(a,c)\in S \circ R \iff \exist b \in B :(a,b) \in R \and (b,c) \in S</math><br />
<br />
(שני)<br />
<br />
== שאלה לגבי הבוחן==<br />
האם הבוחן יכלול גם פונקציות כמו <math>g:A->AxB</math> ? (איברים שהם זוג סדור)<br />
<br />
==שאלה 7==<br />
כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.<br />
<br />
---> אם היחסים שמצאת לא מסובכים מדי, אין צורך להוכיח שהם אכן יח"ש. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==A^2 יח"ש==<br />
צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
: אלא אם תתבקשו להוכיח שזה יח"ש, אתה יכול להתייחס לזה כעובדה. זה די טריוויאלי[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:06, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 3א בתרגיל 3==<br />
נאמר שf היא פונקציה מ-<math>\mathbb{Z}</math> ל-<math>\mathbb{N}</math>, אבל 0 אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math> (אבל איבר ב-<math>\mathbb{Z}</math>) ולכן ערכו המוחלט הוא אפס (ששוב, אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>). במקרה זה f אינו פונקציה ולכן בוודאי שלא מקיים אף אחד מהשלושה.<br />
לכן יש לי תחושה שקיימת טעות בסעיף זה, או שפשוט התכוונתם לגירסה הפחות רווחת לפיה גם אפס הוא איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים.<br />
:בתורת הקבוצות דווקא יותר נפוץ ש-0 הוא '''כן''' טבעי (כך מתקיים, למשל, שעוצמת כל קבוצה היא מספר טבעי). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:55, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
::עם זאת בשאר ענפי המתמטיקה הנטייה היא לא לכלול את אפס, ובדר"כ כאשר המרצה (שי) מעוניין להבהיר שהוא מעוניין להתכוון גם לאפס אז הוא רושם <math>\mathbb{N}</math> חיתוך עם {0}. אני אסתמך על כך בתשובה, עם הערה לפיה f פונקציה אם"ם 0 מצוי בטבעיים.<br />
<br />
==שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.==<br />
האם הכוונה בz5 היא המודולו?<br />
:אכן.<br />
<br />
==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==<br />
האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?<br />
:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:<br />
**קבוצות<br />
**יחסים<br />
**פונקציות<br />
<br />
כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)<br />
<br />
-אבל לפי התרגול או ההרצאה?<br />
:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).<br />
<br />
---> הבוחן יכלול נושאים הבאים: קבוצות, יחסים ופונקציות. נושאים אלה הועברו הן בהרצאות הן בתרגולים. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4257בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-08-03T15:34:46Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלות */</p>
<hr />
<div><math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math><br />
<br />
{{הוראות}}<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2<br />
<br />
=שאלות=<br />
==שאלה כללית==<br />
מה הדרך הנכונה ביותר להוכיח שפונקציה מסוימת היא פונקציה על?<br />
<br />
==שתי שאלות==<br />
1. אם מבקשים ממני להוכיח ש-R הוא יחס שקילות ל-A, האם עלי להוכיח בראש ובראשונה ש-R יחס על A (בעיקר משאלות 9,6 מתרגיל 9), או שזה מובן מאליו?<br />
<br />
2. אם מבקשים ממני למצוא את F הרכבה G, וזה לא קיים, האם התשובה היא קבוצה ריקה או שזה פשוט לא מוגדר (זכור לי משהו כזה מהשיעורים)? והאם יש הבדל בתשובה בין יחסים לבין פונקציות?<br />
<br />
תודה רבה.<br />
<br />
==שאלה על הגדרת הפונקציה==<br />
כדי להוכיח שf היא פו' יש להוכיח שמתקיימים בה 2 דברים, חד ערכיות, ו"שלמות", נכון? שלמות זה אומר שאם f היא מA לB אז לכל a ששייך לA יש b בB כך ש f(a)=b נכון? תודה.<br />
<br />
==שאלה על פונקציה חח"ע==<br />
אם אני רוצה להוכיח שקיימת פונקציה חח"ע מA לB, מספיק להראות שמספר האיברים בA קטן או שווה למספר האיברים בB? [ואז ניתן ליצור פונקציה שתשלח כל איבר של A לאיבר אחר של B]<br />
או שעלי ממש להציג פונקציה שכזו?<br />
<br />
==לקבוצה של שני-הרכבת יחסים==<br />
הרכבת יחסית מוגדרת כפי שחלקכם אמרתם, הפוך ממה שאמרתי.<br />
ההגדרה: <math>R \subseteq A\times B \and S \subseteq B\times C</math> אזי<br />
<math>(a,c)\in S \circ R \iff \exist b \in B :(a,b) \in R \and (b,c) \in S</math><br />
<br />
(שני)<br />
<br />
== שאלה לגבי הבוחן==<br />
האם הבוחן יכלול גם פונקציות כמו <math>g:A->AxB</math> ? (איברים שהם זוג סדור)<br />
<br />
==שאלה 7==<br />
כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.<br />
<br />
---> אם היחסים שמצאת לא מסובכים מדי, אין צורך להוכיח שהם אכן יח"ש. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
==A^2 יח"ש==<br />
צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
: אלא אם תתבקשו להוכיח שזה יח"ש, אתה יכול להתייחס לזה כעובדה. זה די טריוויאלי[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:06, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 3א בתרגיל 3==<br />
נאמר שf היא פונקציה מ-<math>\mathbb{Z}</math> ל-<math>\mathbb{N}</math>, אבל 0 אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math> (אבל איבר ב-<math>\mathbb{Z}</math>) ולכן ערכו המוחלט הוא אפס (ששוב, אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>). במקרה זה f אינו פונקציה ולכן בוודאי שלא מקיים אף אחד מהשלושה.<br />
לכן יש לי תחושה שקיימת טעות בסעיף זה, או שפשוט התכוונתם לגירסה הפחות רווחת לפיה גם אפס הוא איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים.<br />
:בתורת הקבוצות דווקא יותר נפוץ ש-0 הוא '''כן''' טבעי (כך מתקיים, למשל, שעוצמת כל קבוצה היא מספר טבעי). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:55, 2 באוגוסט 2010 (IDT)<br />
::עם זאת בשאר ענפי המתמטיקה הנטייה היא לא לכלול את אפס, ובדר"כ כאשר המרצה (שי) מעוניין להבהיר שהוא מעוניין להתכוון גם לאפס אז הוא רושם <math>\mathbb{N}</math> חיתוך עם {0}. אני אסתמך על כך בתשובה, עם הערה לפיה f פונקציה אם"ם 0 מצוי בטבעיים.<br />
<br />
==שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.==<br />
האם הכוונה בz5 היא המודולו?<br />
:אכן.<br />
<br />
==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==<br />
האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?<br />
:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:<br />
**קבוצות<br />
**יחסים<br />
**פונקציות<br />
<br />
כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)<br />
<br />
-אבל לפי התרגול או ההרצאה?<br />
:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).<br />
<br />
---> הבוחן יכלול נושאים הבאים: קבוצות, יחסים ופונקציות. נושאים אלה הועברו הן בהרצאות הן בתרגולים. (גרישה אושרוביץ')<br />
<br />
<br />
<br />
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4032לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-07-30T15:03:27Z<p>Edi.gotlieb: /* תשובה */</p>
<hr />
<div><math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math><br />
= הוראות =<br />
כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על ''' [עריכה]''' (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:<br />
<br />
'''<nowiki>== כותרת לשאלה ==</nowiki>'''<br />
<br />
לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על '''שמירה''' למטה מימין<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע"א - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - יהיה בהמשך<br />
<br />
=שאלות=<br />
==2.8 א'==<br />
הצלחתי להוכיח הכל עד עכשיו מבלי להשתמש בנתון שp ראשוני. נעצרתי בסיף האחרון בו מתבקשים להוכיח שלכל a,b בתת-שדה מתקיים: a כפול הנגדי ל-b שייך לתת-שדה:<br />
אם p שייך לשדה F אז אין בעיה כי יש סגירות בשדה F.<br />
אבל אם P לא שייך לשדה F אז אני לא יודע מה תיתן המכפלה של איבר a (ששיך-F) ב-P לכן אני לא יכול לדעת האם המכפלה הזאת תיהיה ב-F או לא.<br />
איפה נכנס הנתון ש-p ראשוני? אשמח להכוונה לגבי הסעיף האחרון <br />
--[[משתמש:Edi.gotlieb|Edi.gotlieb]] 16:12, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
לא ממש הבנתי את ההנחיות והרמזים: אז אני ינסה להסביר את עצמי. צ"ל לכל a,b השייכים לתת-שדה: a כפול הנגדי לb שייך לתת-שדה.<br />
סימנתי (b שונה מ-0 לכן קיים נגדי) <br />
<br />
<math>a=x+y\sqrt{p}</math> ו- <math> b^{-1}=z+w\sqrt{p}</math><br />
ולכן<br />
<br />
<math>ab^{-1}=(xz+ywp)+(zy+xw)\sqrt{p}</math><br />
<br />
<math>x,y,z,w \in F</math> ולכן (ע"פ סגירות F) <math>xw+zy \in F</math><br />
נשאר להוכיח ש- <math>xz+ywp \in F</math><br />
<br />
אם <math>p \in F</math> אז ע"פ סגירות ב-F.<br />
אבל אם <math>p \notin F</math> אז לא בטוח ש- <math>xz+ymp \in F</math> ואז מה?<br />
--[[משתמש:Edi.gotlieb|Edi.gotlieb]] 17:40, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
===תשובה===<br />
כל הנושא של סגירות לכפל הוא ב<math>K=F[\sqrt{p}]</math> לא ב<math>F</math>, פרט למקרה הפרטי של <math>\sqrt{p} \in F</math> שבו מקבלים <math>K=F</math>.<br />
כלומר, אתה צריך להראות שהמכפלה היא בתוך <math>K</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:26, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
:לדעתי הנתון שp ראשוני הוא לצורך הסעיפים הבאים. בכל אופן אין צורך בו בהוכחה.<br />
<br />
:אני אתן רמז(באנלי ככל שרמז יכול להיות בנאלי): 1+1=2.<br />
<br />
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:27, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
::הבנתי אותך מראש, לא היה צורך לפרט. אתה שואל האם <math>p \in F</math>. עכשיו תחשוב שוב על הרמז. זכור כי F הינו שדה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:43, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
:::הדבר היחיד שידוע לי על p זה שהוא ראשוני.נתון ש F מוכל ב- R. אז איך זה אומר ש- <math>p \in F</math> ???<br />
:::חוץ מזה- 1+1=2?<br />
<br />
::::2 ראשוני, נכון? כבר זה קשור.<br />
<br />
אתה אמרת אבל שהראשוניות לא קשורה לסעיף הזה, לא? מלבד זאת- אני פשוט לא מבין איך זה עוזר לי ש 2 ראשוני- p ראשוני כלשהו- איך מקישים מכאן ש<br />
<math>p \in F</math> כאשר- לא מוגדר לי כלום על <math>F</math> מלבד שהוא מוכל ב <math>R</math><br />
<br />
==3.1 ב'-עריכה חדשה==<br />
אם אני מוכיחה שCXC איננו שדה אז הוכחתי את השאלה נכון?<br />
אז איך אפשר להוכיח את זה?<br />
או שצריך להתייחס לFXF ?<br />
<br />
עריכה:<br />
אוקיי ואם אני מוכיחה את זה לFXF, וכתוב "בהגדרות כמו בC", האם זה אומר לי שהכפל מוגדר כמו בC, וכן ש(1,0) הוא איבר היחידה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לצערי לא. <math>\mathbb{C} \times \mathbb{C}</math> זו רק דוגמא. אתה צריך להוכיח עבור המקרה הכללי עם הנתון המופיע בשאלה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:17, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
:זה אומר שהכפל מוגדר לגבי הזוגות כמו שהוא מוגדר מעל השאלה <math>(a,b)\cdot (c,d) = (ac-bd,ad+bc)</math><br />
<br />
==שאלה==<br />
אם אני מניח ש-<math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> הוא שדה, האם אני יכול להגיד ש<math>(1,0)</math> הוא איבר יחידה בשדה <math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math><br />
<br />
===בירור השאלה===<br />
אינני מבין את השאלה. למה הכוונה ב"אני מניח ש<math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> הוא שדה"?<br />
אין פה עניין של הנחה. כדי שמשהו יהיה שדה צריך שתהיה פעולת כפל מוגדרת ולהראות שכל איבר הוא הפיך לפי הפעולה הזו (מלבד איבר האפס).<br />
אם אתה מגדיר כפל ב<math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> ככפל איבר-איבר, כלומר<math>(a,b) \cdot (c,d)=(a \cdot c, b \cdot d)</math> אז <math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> איננו שדה, ובפרט הוא מכיל מחלקי אפס כגון <math>(1,0)</math>, והאיבר הזה איננו נייטרלי לכפל ולכן איננו איבר היחידה.<br />
אנא נסח מחדש את השאלה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 15:42, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 1.8==<br />
<br />
איך אפשר לבדוק את המקרים??<br />
רק על ידי פתרון מטריצה או שיש דרך נוספת??<br />
בתודה מראש<br />
<br />
===תשובה===<br />
כפי שלמדנו בכיתה. יש לדרג את המטריצה בשיטת גאוס, כאשר צריך לשים לב לדקויות הבאות:<br />
*אם כופלים שורה בa אזי יש לבדוק את המקרה a=0 בנפרד<br />
*אם מחלקים בפונקציה של a יש לבדוק את המקרים בהם הפונקציה מתאפסת בנפרד (למשל אם מחלקים בa-1 יש לבדוק את המקרה a=1 בנפרד)<br />
*אם האיבר הפותח לאחר דירוג יוצא a כמובן שיש לבדוק את המקרה בו a=0 ואז זה לא איבר פותח באמת (כי איבר פותח הוא שונה מאפס)<br />
<br />
== שאלה 2.8 א' ==<br />
<br />
האם f√p הינה קבוצה של כל שורשי המס' הראשוניים או רק של אחד מהם. האם יכול להיות בה גם שורש של שתיים וגם שורש של שלוש?<br />
<br />
===תשובה===<br />
מדובר על ראשוני מסויים קבוע p<br />
<br />
==שאלה==<br />
אני יודעת שצריך להוכיח שלא קיימים m,n ב-Z כך ש-m*n=1. אבל איך אפשר??<br />
<br />
(זאת גם שאלה)אפשר להוכיח ע"י דוגמא נגדית? נגיד להציב a=3 ולהראות ש 3\1 לא בשדה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן אפשר, אבל צריך להסביר מדוע לא יכול להיות הופכי חוץ מ1/3 (מישהו שאלה משהו שיעזור כבר בדף הזה).<br />
<br />
== שאלה 3.11 א' ==<br />
אם אני יודע ש-<math>z^n=1</math> אני יכול להגיד שגם <math>z^{n-1}\cdot z=1</math> וגם <math>z^{n-2}\cdot z=1</math> וכך הלאה? תודה מראש!<br />
:הראשון נכון, השני לא (למשל, <math>i^4=1</math> אבל <math>i^2\cdot i = -i \not = 1</math>). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]],<br />
<br />
===תשובה===<br />
אור צודק. <math>z^n=z^{n-1}\cdot z</math> אבל למה שיתקיים <math>z^{n-1}=z^n</math>?<br />
<br />
== תת שדה==<br />
<br />
האם תת שדה הוא שדה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, לפי ההגדרה, תקראו בחוברת של ד"ר צבאן<br />
<br />
== שאלה 3.5 סעיף ז ==<br />
האם מותר להשתמש בהוכחה גאומטרית כדי להוכיח את אי-שוויון המשולש? או חייבים הוכחה אלגברית?<br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
חייבים הוכחה אלגברית.<br />
<br />
== 1.6 ב' מטריצות==<br />
מה הכוונה שמותר להשתמש בצמצום אבל אסור להשתמש בחילוק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
צמצום כלומר לחסר (ליתר דיוק לכפול בשלילי ולחבר). חילוק הוא כפל בהופכי - למשל חצי. זה נכון כי השלמים הנגדיים קיימים (כלומר בחיבור) אבל שלמים הופכיים לא קיימים (בכפל)<br />
<br />
== 1.3 ב'==<br />
<br />
האם מספיק להשתמש בשאלה זו בתכונת החילוף או שגם צריך להוכיח אותה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
נתון שF שדה, מתוך הגדרה תכונת החילופיות מתקיימת. איך ניתן להוכיח את תכונת החילופיות על קבוצה כללית F שאת לא יודעת עליה כלום?<br />
<br />
<br />
<br />
==2.3 ב==<br />
ברור ש-Z הוא לא שדה כי אין בו הופכי. אבל איך אני מוכיחה את זה מתמטית?<br />
תודה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
מוכיחה שאין בו הופכי. מה התכונה שהופכי צריך לקיים?<br />
<br />
==שאלה נוספת==<br />
נזכרתי בתרגיל בו הוכחנו ש-ZxZ לא שדה, כי אם היה ל-(2,3) הופכי אז היו שני הופכיים בתוך C שהוכחנו שהוא שדה. האם אני באמת צריכה להוכיח ש-R שדה ולהראות ש-Z אינו שדה בצורה דומה?<br />
<br />
שוב תודה מראש, ותודה על התשובה המהירה קודם.<br />
<br />
===תשובה===<br />
זו מחשבה יפה, את יכולה להניח שR שדה, אין צורך להוכיח את זה.<br />
<br />
==בקשה מהמתרגלים!==<br />
לא כולנו מתיישבים להכין את שיעורי הבית בשלושה ימים שלפני מועד ההגשה, ואם לא היו אומרים לי לא הייתי יודע שנוסף תרגיל. <br />
<br />
בבקשה ודאו שהעלתם את כל התרגילים שאתם רוצים שנגיש יחד, ואם הוספתם מאוחר יותר אנא הודיעו על כך. (לפחות תרשמו בדף הזה הודעה על כך).<br />
<br />
תודה מראש<br />
<br />
===תשובה===<br />
שיהיה לכם ברור: '''ההודעות באתר מחייבות'''. זו חובתכם להתעדכן בו, ההודעה נכתבה בעמוד הראשי. הדף הזה הוא לשאלות ותשובות, לא להודעות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:32, 29 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==משוואות ליניאריות==<br />
האם מערכת משוואות לינאריות חייבות להיות מעל שדה כדי להתקיים?<br />
<br />
נגיד יש מערכת משוואות מעל Z היא אמורה לא להתקיים כי Z לא שדה.. מה לא ככה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
משוואה היא שיוון בין שני דברים. לדוגמא, בקבוצה {1,2} ניתן להציג את המשוואה x=2 בעלת פתרון יחיד. כאשר יש חיבור מוגדר בקבוצה אפשר להציג את המשוואה x+y=2 בעלת הפתרון היחיד x=y=1 (שים לב שתחת הגדרה רגילה של חיבור אין פה אפילו סגירות).<br />
<br />
על מערכת משוואות שמוגדרת מעל שדה ניתן לבצע פעולות שורה אלמנטריות מבלי לשנות את הפתרון. אבל מערכת משוואות באופן כללי יכולה להיות מוגדרת גם על הרבה פחות משדה.<br />
<br />
:אז מערכת מעל Z אי אפשר לפתור בשיטת גאוס?<br />
<br />
::אם אתה מדבר על תרגיל 1.6 יש לכך התייחסות מפורשת. בתכלס מותר לבצע את פעולות גאוס אבל רק עם קבועים שלמים. אסור למשל לחלק ב2 (שזה למעשה לכפול בקבוע חצי שאינו שלם).<br />
<br />
==3.11==<br />
בחלק א' מספיק לכתוב (Z) בשלישית=1?<br />
<br />
===תשובה===<br />
באיזה אופן זה מספיק? למה <math>z^3=1</math>? איך זה מראה שקיים z שכל החזקות שלו יחד עם אחד מהוות את כל קבוצת השורשים?<br />
<br />
==3.1==<br />
האם כדי להוכיח ש-C שדה מותר להשתמש בכך ש-R שדה?<br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן. מותר להשתמש בכל המידע שיש לכם על שדה הממשיים.<br />
<br />
==קריטריון מקוצר לתת-שדה==<br />
<br />
לפי הקריטריון צריך להוכיח שהקבוצה הנתונה היא תת-קבוצה של R וכל שני איברים המוכלים בה מהצורה <math>a+b\sqrt p</math> מקיימים <math>((a+b\sqrt p)(c+d\sqrt p)^{-1})\in \mathbb{F} [\sqrt p]</math> ועוד תנאי שאותו קל להוכיח, השאלה איך אפשר בכלל להוכיח שכפל בהופכי של מס' מסויים (המכפלה היא לא בין מספר והופכו אלא הופכי של מס' אחר) תקיים סגירות?<br />
תודה מראש.<br />
<br />
===תשובה===<br />
אתה צריך קודם כל להבין מהו ההופכי ואז להראות שכאשר כופלים מקבלים מספר מאותה צורה.<br />
<br />
==שאלה 3.1ב'==<br />
<br />
נתון לי ש-<math>a^2+1=0-->a=\sqrt (-1)</math> אז בגלל שנתון ששדה FxF עם אותן הגדרות כמו ב-C אז הוא מורכב מזוגות סדורים (a,b) כאשר הם שייכים ל-R. נתון לי ש-<math>a\in \mathbb{F}--->(a,a)\in \mathbb{F} \times \mathbb{F}</math> ולכן לא הגיוני ש-a יהיה שווה לאיבר שאינו ממשי, כי אז תהיה סתירה ו-FxF לא יהיה שדה. האם ההסבר מספיק ונכון?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא, מהסיבות הבאות:<br />
<br />
*מה הקשר לממשיים ומרוכבים בכלל? מדובר על שדה כלשהו F<br />
*מה ההגדרה של שורש מינוס אחד ואיך היא משפיעה על התשובה?<br />
<br />
דוגמא לשדה כזה: <math>\mathbb{Z}_2</math> עם a=1. אין מרוכבים ואין ממשיים כלל.<br />
<br />
==תרגיל 2.8א'==<br />
בקושי דיברנו על תתי-שדות בכיתה, ואני לא מבין מה אנחנו צריכים לעשות ב-2.8א'.. זאת בעצם קבוצה שמכילה את שדה F ואת האיבר <math>\sqrt p</math> אז אני צריך להוכיח שהיא שדה? עם כל התכונות? או שאני יכול להסתמך על כך שאם <math>a,b\in \mathbb{F} </math> וגם <math> \mathbb{F} \subseteq \mathbb{R} </math> אזי <math> a,b \in \mathbb{R} \wedge \sqrt p \in \mathbb{R}</math><br />
ואז לכל איבר בקבוצה <math>\mathbb{F}[\sqrt p]</math> מתקיימות התכונות (כי הן מתקיימות גם ב-R).. ו-F בכל מקרה מקיים את התכונות כי F תת-שדה של R..? לא הבנתי כל כך ואשמח להכוונה..<br />
<br />
===תשובה===<br />
מה שתארת לא מספיק. העובדה שכל האיברים נמצאים בשדה רק אומר שזה '''תת-קבוצה''' ולא אומרת בהכרח שזה '''תת שדה'''. למשל השלמים הם תת קבוצה של הממשיים אך אינם תת שדה (כי למשל אין להם הופכי).<br />
<br />
אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר לבדיקת תת שדה שמצויין למעלה באותו עמוד.<br />
<br />
--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:05, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה נוספת==<br />
<br />
לגבי הרמז: איך שורש P יכול לא להיות שייך ל-F? הרי תמיד אפשר להציב ב-a את האיבר הנייטרלי לחיבור וב-b את האיבר הנייטרלי לכפל ואז יוצא ששורש P תמיד ב-F.<br />
תודה מראש!<br />
<br />
==שאלה 1.7==<br />
המרצה הזכיר שכל <math>P^n, P (prime), n\in \mathbb{N}</math> כאשר n פריק ו-P ראשוני (Prime) הוא שדה.. ועבור <math>7^2</math> יש 49 איברים, אם המערכת תניב אינסוף פתרונות, בהנחה שאף פיתרון לא חוזר על עצמו, יהיו 49 פתרונות שונים, נכון? <br />
או שאוכל להשתמש ב-<math>\mathbb{Z}_7</math> שיש לו 7 פתרונות שונים עבור מקרה של אינסוף פתרונות, ולהגיע איכשהו ל-49 פתרונות.. המרצה אמר לי שעדיף להשתמש בזה בדרך מסויימת.. מתרגל יכול לתת כיוון?<br />
תודה מראש, [[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 15:43, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
:לא הבנתי מהו השדה בדוגמא הראשונה ומה אלו הסימונים האלה. יש שדות בגדלים האלה, אני לא בטוח שלמדתם אותם. הכיוון השני אכן עדיף.<br />
<br />
::לא למדנו את השדות האלו, אך גם לא למדנו איך להגיע מ-<math>\mathbb{Z}_7</math> לשדה עם 49 איברים.. אחד המתרגלים יכול לתת כיוון/רמז?<br />
:::אתה מדבר עם אחד המתרגלים :) בכל אופן, אתה לא צריך להגיע לשדה עם 49 איברים בשביל למצוא מערכת משוואות עם 49 פתרונות, יש דרכים אחרות. כמו שאמרתי תנסה לעשות לבד כמה דוגמאות עם מספרים קטנים יותר. תיצור מערכות משוואות ותספור את הפתרונות. אם לא תצליח, אז תשאל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:36, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
::::בעצם לכל מערכת משוואות שאפתור, יתקבל פתרון יחיד/אף פתרון/אינסוף פתרונות. אם אפתור מערכת מעל R, אני יכול לקבל פיתרון יחיד עבור x,y,z או אף פיתרון, או אינסוף פיתרונות, כי אינסוף מספרים שייכים ל-R שיקיימו מצב כמו x=x.. לכן, אם אפתור מעל <math>\mathbb{Z}_7</math> ואקבל מצב של אינסוף פיתרונות, כמו למקרה x=x בעצם, זה לא באמת אינסוף, אלה למערכת כזו יש 7 פתרונות, כמספר האיברים במודולו 7. לכן חשבתי אם אקבל מקרה של אינסוף פיתרונות מעל שדה ובו 49 איברים, יהיו לי 49 פתרונות שונים.. גם בהרצאה וגם בתרגול לא דיברנו על הקשר בין מס' המשוואות והנעלמים למס' הפתרונות, ואין לי מושג איזה פעולות עליי לבצע על <math>\mathbb{Z}_7</math> לדוגמא, כדי לקבל מצב כזה..<br />
:::::האם פתרת מערכות משוואות לדוגמא וספרת את מספר הפתרונות? מעל נגיד Z_2<br />
<br />
::::::אני יכול לקבל פיתרון יחיד, אף פיתרון או 2 פתרונות עבור מצב של אינסוף פתרונות..<br />
<br />
:::::::זה לא נכון. תנסה מספר מערכות עם מספר שונה של משוואות ומספר שונה של נעלמים ותספור את הפתרונות.<br />
<br />
תודה רבה, כבר הסתדרתי, זה כל כך פשוט איך לא חשבתי על זה קודם![[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 23:38, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
===רמז===<br />
מועצת השבט התכנסה והחליטה לתת לכם מעין רמז מנחה: כמה אפשרויות יש לבחירת זוג סדור מתוך קבוצה בת 5 איברים? [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:48, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 1.7 במשוואות ליניאריות==<br />
אם אני רוצה למצוא מערכת בעלת 49 פתרונות בדיוק מספיק לומר כך:<br />
<math><br />
\begin{cases} a_{1,1}x_1+\cdots +a_{1,49}x_{49}=b_1 \\ \vdots \\ a_{49,1}x_1+\cdots +a_{49,49}x_{49}=b_{49} \end{cases}<br />
</math><br />
מעל <math>\mathbb{R}</math> ?<br />
<br />
:למערכת זו יש 49 נעלמים לא 49 פתרונות. יכול להיות שיש לה פתרון יחיד, אינסוף פתרון או אין פתרונות כלל. זו אינה תשובה נכונה, תחשוב שוב.<br />
::{{התנגשות}}למה אתה מתכוון "מספיק לומר"? שזה תקני מבחינת הבוחנים (שלא יורידו לך על ניסוח לא נכון, ואז אני מניח שכן)? שזה באמת יתן לך מערכת בעלת 49 פתרונות (ואז לא, אלא אם ידוע גם שבכל משוואה קיים לפחות מקדם לא חופשי אחד השונה מ-0 ואין שתי משוואות שקבוצת הפתרונות שלהן זהה)? -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 22:54, 25 ביולי 2010 (IDT)<br />
:::למערכת משוואות ליניאריות מעל <math>\mathbb{R}</math> לעולם אין 49 פתרונות! ייתכנו אינסוף פתרונות, פיתרון אחד או אף לא פיתרון אחד. כנ"ל לגבי שדה המרוכבים. אתה צריך לפנות למערכות מעל שדות אחרים שנלמדו בקורס. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:29, 25 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
::::אתם מתכוונים שאני צריך לקחת שדה, שיש בו 49 איברים, כמו <math>Z_{49}</math> ואז ליצור מצב של אינסוף פתרונות, מה שמוביל אותי ל-49?''' '''ודרך אגב, אם המודולו הוא חזקה של מס' ראשוני, הוא גם שדה?<br />
<br />
:::::בכל מקרה לא צריך לכתוב פה תשובות, רק שאלות :) אבל זו גם לא תשובה מדויקת. למדנו ש<math>\mathbb{Z}_p</math> שדה אם"ם p ראשוני. 49 אינו ראשוני.<br />
<br />
::::::נכון אבל המרצה הזכיר משהו לגבי חזקות של מספרים ראשוניים..<br />
::::::: אז תחשוב כיצד ניתן לפתור את התרגיל בהתחשב בידע הזה, או שתפתח את המחברת ותחפש מה המרצה הזכיר. זה לא מאד מסובך, אני ממליץ לנסות לחשב כמה דוגמאות<br />
===רמז===<br />
קח למשל את השדה Z 2 ??<br />
<br />
:אני לא מבין איך רושמים רמז עם סימני שאלה. זו שאלה למתרגלים, שאלה רטורית, תהייה כללית? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:29, 29 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 1.3 ב ==<br />
לא הבנתי מה צריך להוכיח שם הרי מה שהם נתנו שם זה בדיוק תכונת הצימצום אז איך אמורים להראות שזה נובע מתכונת הצימצום..?<br />
<br />
===תשובה===<br />
שים לב להבדל בין הנוסח של סעיף אחד לסעיף א'. "מצא את ההבדלים"<br />
:או בתשובה קצת יותר ברורה, אתה הופך את הביטוי בסעיף ב לביטוי שבסעיף א (באופן פשוט שהייתי רושם אותו כאן אבל נראה לי שהמתרגלים יכעסו אם אעשה זאת) ואז משתמש בתכונת הצמצום.<br />
<br />
==שאלה חשובה וקצרה על 3.1 (לא אותו אחד שכתב את השאלות האחרות)==<br />
איך אפשר להוכיח שהקבוצה עם התכונה הנתונה <math>a^2 +1 =0</math> היא לא שדה, אם בכלל לא הגדרנו מה זה "בריבוע"? אמורים להוכיח שקבוצה כלשהי היא לא שדה אם אחת מהתכונות של השדה (מוגדרות וכו') לא מתקיימת שם. אבל בתכונות האלה של השדה אין אזכור בכלל לאיבר בריבוע, אז איך אפשר להוכיח שהקבוצה היא לא שדה? תודה.<br />
<br />
:בעצם <math>a^2=a\cdot a</math> ז"א, זה נובע מכפל, לכן זה לא משנה איך תכתוב את זה.. דרך טובה לפתור את השאלה הזאת, היא להניח ש-<math>F\times F</math> שדה, ואז להראות שכאשר אנו משתמשים באחת התכונות שלו, זה מוביל לסתירה..<br />
<br />
::הכותב שמעליי צודק. לפי הגדרה <math>a^2=a\cdot a</math> כפי שהגדרנו בתרגיל כשפתרנו את השאלה עם סכום של סדרה הנדסית <math>S=1+q+q^2+...+q^n</math>.<br />
<br />
==עוד שאלה על תרגיל 3.1,סעיף ב==<br />
את רוב הדברים קל להוכיח, ההוכחה זהה בעצם להוכחה בסעיף הקודם, חוץ מהאיברים ההופכים לכפל: צריך להוכיח ש <math>a/(a^2+b^2)</math> ו<math>b-/(a^2+b^2)</math> שונים מ- i, כי הם צריכים להיות איברים של F ובגלל הסגירות של שדה המרוכבים, אני לא רואה סיבה שהם יהיה שונים מ- i. בנוסף ניסיתי ולא הצלחתי להתקרב להוכחה בנושא. יש אולי שגיאה בצורת החשיבה שלי?<br />
<br />
===תשובה===<br />
דבר ראשון אני לא מבין את הקישור לשדה המרוכבים ול-i, מדובר על שדה F כללי. הכפל והחיבור מוגדרים בצורה דומה לשדה המרוכבים (הנוסחאות רשומות מעל השאלה).<br />
<br />
יש להוכיח שאם התכונה הספציפית בF מתקיימת אזי FxF עם הכפל והחיבור שמוגדרים למעלה אינו שדה.<br />
<br />
==תרגיל 3.1,סעיף ב==<br />
בסעיף ב צריך להוכיח שFxF הוא שדה אם הוא מקיים את התנאי, או רק להוכיח שהוא לא שדה אם התנאי לא מתקיים?<br />
<br />
:תניח בשלילה ש-FxF שדה, ותשתמש בתכונה שלו <math>a^2+1=0</math> ואז כשתגיע לסתירה, בעצם ההנחה לא נכונה ו-FxF לא שדה..<br />
<br />
===תשובה===<br />
צריך רק להוכיח שהוא אינו שדה אם קיים a שכזה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:57, 24 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==הגשת תרגיל 1==<br />
שלום רב,<br />
<br />
למתי צריך להגיש את תרגיל 1?<br />
<br />
תודה רבה מראש.<br />
<br />
:עוד לא התחלנו ללמוד, וכבר אתה רוצה להגיש תרגיל? :) נודיע לכם מחר בשיעור. (אגב, אם אתה רוצה לרדת שורה, תשאיר שורת רווח - ראה דף עזרה).<br />
<br />
::1/8. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 16:01, 22 ביולי 2010 (IDT)</div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4031לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-07-30T15:01:02Z<p>Edi.gotlieb: /* תשובה */</p>
<hr />
<div><math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math><br />
= הוראות =<br />
כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על ''' [עריכה]''' (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:<br />
<br />
'''<nowiki>== כותרת לשאלה ==</nowiki>'''<br />
<br />
לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על '''שמירה''' למטה מימין<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע"א - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - יהיה בהמשך<br />
<br />
=שאלות=<br />
==2.8 א'==<br />
הצלחתי להוכיח הכל עד עכשיו מבלי להשתמש בנתון שp ראשוני. נעצרתי בסיף האחרון בו מתבקשים להוכיח שלכל a,b בתת-שדה מתקיים: a כפול הנגדי ל-b שייך לתת-שדה:<br />
אם p שייך לשדה F אז אין בעיה כי יש סגירות בשדה F.<br />
אבל אם P לא שייך לשדה F אז אני לא יודע מה תיתן המכפלה של איבר a (ששיך-F) ב-P לכן אני לא יכול לדעת האם המכפלה הזאת תיהיה ב-F או לא.<br />
איפה נכנס הנתון ש-p ראשוני? אשמח להכוונה לגבי הסעיף האחרון <br />
--[[משתמש:Edi.gotlieb|Edi.gotlieb]] 16:12, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
לא ממש הבנתי את ההנחיות והרמזים: אז אני ינסה להסביר את עצמי. צ"ל לכל a,b השייכים לתת-שדה: a כפול הנגדי לb שייך לתת-שדה.<br />
סימנתי (b שונה מ-0 לכן קיים נגדי) <br />
<br />
<math>a=x+y\sqrt{p}</math> ו- <math> b^{-1}=z+w\sqrt{p}</math><br />
ולכן<br />
<br />
<math>ab^{-1}=(xz+ywp)+(zy+xw)\sqrt{p}</math><br />
<br />
<math>x,y,z,w \in F</math> ולכן (ע"פ סגירות F) <math>xw+zy \in F</math><br />
נשאר להוכיח ש- <math>xz+ywp \in F</math><br />
<br />
אם <math>p \in F</math> אז ע"פ סגירות ב-F.<br />
אבל אם <math>p \notin F</math> אז לא בטוח ש- <math>xz+ymp \in F</math> ואז מה?<br />
--[[משתמש:Edi.gotlieb|Edi.gotlieb]] 17:40, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
===תשובה===<br />
כל הנושא של סגירות לכפל הוא ב<math>K=F[\sqrt{p}]</math> לא ב<math>F</math>, פרט למקרה הפרטי של <math>\sqrt{p} \in F</math> שבו מקבלים <math>K=F</math>.<br />
כלומר, אתה צריך להראות שהמכפלה היא בתוך <math>K</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:26, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
:לדעתי הנתון שp ראשוני הוא לצורך הסעיפים הבאים. בכל אופן אין צורך בו בהוכחה.<br />
<br />
:אני אתן רמז(באנלי ככל שרמז יכול להיות בנאלי): 1+1=2.<br />
<br />
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:27, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
::הבנתי אותך מראש, לא היה צורך לפרט. אתה שואל האם <math>p \in F</math>. עכשיו תחשוב שוב על הרמז. זכור כי F הינו שדה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:43, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
:::הדבר היחיד שידוע לי על p זה שהוא ראשוני.נתון ש F מוכל ב- R. אז איך זה אומר ש- <math>p \in F</math> ???<br />
:::חוץ מזה- 1+1=2?<br />
<br />
::::2 ראשוני, נכון? כבר זה קשור.<br />
<br />
אתה אמרת אבל שהראשוניות לא קשורה לסעיף הזה, לא? מלבד זאת- אני פשוט לא מבין איך זה עוזר לי ש 2 ראשוני- p ראשוני כלשהו- איך מקישים מכאן ש<br />
<math>p \in F</math> כאשר- לא מוגדר לי כלום כל <math>F</math> מלבד שהוא מוכל ב <math>R</math><br />
<br />
==3.1 ב'-עריכה חדשה==<br />
אם אני מוכיחה שCXC איננו שדה אז הוכחתי את השאלה נכון?<br />
אז איך אפשר להוכיח את זה?<br />
או שצריך להתייחס לFXF ?<br />
<br />
עריכה:<br />
אוקיי ואם אני מוכיחה את זה לFXF, וכתוב "בהגדרות כמו בC", האם זה אומר לי שהכפל מוגדר כמו בC, וכן ש(1,0) הוא איבר היחידה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לצערי לא. <math>\mathbb{C} \times \mathbb{C}</math> זו רק דוגמא. אתה צריך להוכיח עבור המקרה הכללי עם הנתון המופיע בשאלה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:17, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
:זה אומר שהכפל מוגדר לגבי הזוגות כמו שהוא מוגדר מעל השאלה <math>(a,b)\cdot (c,d) = (ac-bd,ad+bc)</math><br />
<br />
==שאלה==<br />
אם אני מניח ש-<math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> הוא שדה, האם אני יכול להגיד ש<math>(1,0)</math> הוא איבר יחידה בשדה <math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math><br />
<br />
===בירור השאלה===<br />
אינני מבין את השאלה. למה הכוונה ב"אני מניח ש<math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> הוא שדה"?<br />
אין פה עניין של הנחה. כדי שמשהו יהיה שדה צריך שתהיה פעולת כפל מוגדרת ולהראות שכל איבר הוא הפיך לפי הפעולה הזו (מלבד איבר האפס).<br />
אם אתה מגדיר כפל ב<math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> ככפל איבר-איבר, כלומר<math>(a,b) \cdot (c,d)=(a \cdot c, b \cdot d)</math> אז <math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> איננו שדה, ובפרט הוא מכיל מחלקי אפס כגון <math>(1,0)</math>, והאיבר הזה איננו נייטרלי לכפל ולכן איננו איבר היחידה.<br />
אנא נסח מחדש את השאלה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 15:42, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 1.8==<br />
<br />
איך אפשר לבדוק את המקרים??<br />
רק על ידי פתרון מטריצה או שיש דרך נוספת??<br />
בתודה מראש<br />
<br />
===תשובה===<br />
כפי שלמדנו בכיתה. יש לדרג את המטריצה בשיטת גאוס, כאשר צריך לשים לב לדקויות הבאות:<br />
*אם כופלים שורה בa אזי יש לבדוק את המקרה a=0 בנפרד<br />
*אם מחלקים בפונקציה של a יש לבדוק את המקרים בהם הפונקציה מתאפסת בנפרד (למשל אם מחלקים בa-1 יש לבדוק את המקרה a=1 בנפרד)<br />
*אם האיבר הפותח לאחר דירוג יוצא a כמובן שיש לבדוק את המקרה בו a=0 ואז זה לא איבר פותח באמת (כי איבר פותח הוא שונה מאפס)<br />
<br />
== שאלה 2.8 א' ==<br />
<br />
האם f√p הינה קבוצה של כל שורשי המס' הראשוניים או רק של אחד מהם. האם יכול להיות בה גם שורש של שתיים וגם שורש של שלוש?<br />
<br />
===תשובה===<br />
מדובר על ראשוני מסויים קבוע p<br />
<br />
==שאלה==<br />
אני יודעת שצריך להוכיח שלא קיימים m,n ב-Z כך ש-m*n=1. אבל איך אפשר??<br />
<br />
(זאת גם שאלה)אפשר להוכיח ע"י דוגמא נגדית? נגיד להציב a=3 ולהראות ש 3\1 לא בשדה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן אפשר, אבל צריך להסביר מדוע לא יכול להיות הופכי חוץ מ1/3 (מישהו שאלה משהו שיעזור כבר בדף הזה).<br />
<br />
== שאלה 3.11 א' ==<br />
אם אני יודע ש-<math>z^n=1</math> אני יכול להגיד שגם <math>z^{n-1}\cdot z=1</math> וגם <math>z^{n-2}\cdot z=1</math> וכך הלאה? תודה מראש!<br />
:הראשון נכון, השני לא (למשל, <math>i^4=1</math> אבל <math>i^2\cdot i = -i \not = 1</math>). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]],<br />
<br />
===תשובה===<br />
אור צודק. <math>z^n=z^{n-1}\cdot z</math> אבל למה שיתקיים <math>z^{n-1}=z^n</math>?<br />
<br />
== תת שדה==<br />
<br />
האם תת שדה הוא שדה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, לפי ההגדרה, תקראו בחוברת של ד"ר צבאן<br />
<br />
== שאלה 3.5 סעיף ז ==<br />
האם מותר להשתמש בהוכחה גאומטרית כדי להוכיח את אי-שוויון המשולש? או חייבים הוכחה אלגברית?<br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
חייבים הוכחה אלגברית.<br />
<br />
== 1.6 ב' מטריצות==<br />
מה הכוונה שמותר להשתמש בצמצום אבל אסור להשתמש בחילוק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
צמצום כלומר לחסר (ליתר דיוק לכפול בשלילי ולחבר). חילוק הוא כפל בהופכי - למשל חצי. זה נכון כי השלמים הנגדיים קיימים (כלומר בחיבור) אבל שלמים הופכיים לא קיימים (בכפל)<br />
<br />
== 1.3 ב'==<br />
<br />
האם מספיק להשתמש בשאלה זו בתכונת החילוף או שגם צריך להוכיח אותה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
נתון שF שדה, מתוך הגדרה תכונת החילופיות מתקיימת. איך ניתן להוכיח את תכונת החילופיות על קבוצה כללית F שאת לא יודעת עליה כלום?<br />
<br />
<br />
<br />
==2.3 ב==<br />
ברור ש-Z הוא לא שדה כי אין בו הופכי. אבל איך אני מוכיחה את זה מתמטית?<br />
תודה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
מוכיחה שאין בו הופכי. מה התכונה שהופכי צריך לקיים?<br />
<br />
==שאלה נוספת==<br />
נזכרתי בתרגיל בו הוכחנו ש-ZxZ לא שדה, כי אם היה ל-(2,3) הופכי אז היו שני הופכיים בתוך C שהוכחנו שהוא שדה. האם אני באמת צריכה להוכיח ש-R שדה ולהראות ש-Z אינו שדה בצורה דומה?<br />
<br />
שוב תודה מראש, ותודה על התשובה המהירה קודם.<br />
<br />
===תשובה===<br />
זו מחשבה יפה, את יכולה להניח שR שדה, אין צורך להוכיח את זה.<br />
<br />
==בקשה מהמתרגלים!==<br />
לא כולנו מתיישבים להכין את שיעורי הבית בשלושה ימים שלפני מועד ההגשה, ואם לא היו אומרים לי לא הייתי יודע שנוסף תרגיל. <br />
<br />
בבקשה ודאו שהעלתם את כל התרגילים שאתם רוצים שנגיש יחד, ואם הוספתם מאוחר יותר אנא הודיעו על כך. (לפחות תרשמו בדף הזה הודעה על כך).<br />
<br />
תודה מראש<br />
<br />
===תשובה===<br />
שיהיה לכם ברור: '''ההודעות באתר מחייבות'''. זו חובתכם להתעדכן בו, ההודעה נכתבה בעמוד הראשי. הדף הזה הוא לשאלות ותשובות, לא להודעות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:32, 29 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==משוואות ליניאריות==<br />
האם מערכת משוואות לינאריות חייבות להיות מעל שדה כדי להתקיים?<br />
<br />
נגיד יש מערכת משוואות מעל Z היא אמורה לא להתקיים כי Z לא שדה.. מה לא ככה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
משוואה היא שיוון בין שני דברים. לדוגמא, בקבוצה {1,2} ניתן להציג את המשוואה x=2 בעלת פתרון יחיד. כאשר יש חיבור מוגדר בקבוצה אפשר להציג את המשוואה x+y=2 בעלת הפתרון היחיד x=y=1 (שים לב שתחת הגדרה רגילה של חיבור אין פה אפילו סגירות).<br />
<br />
על מערכת משוואות שמוגדרת מעל שדה ניתן לבצע פעולות שורה אלמנטריות מבלי לשנות את הפתרון. אבל מערכת משוואות באופן כללי יכולה להיות מוגדרת גם על הרבה פחות משדה.<br />
<br />
:אז מערכת מעל Z אי אפשר לפתור בשיטת גאוס?<br />
<br />
::אם אתה מדבר על תרגיל 1.6 יש לכך התייחסות מפורשת. בתכלס מותר לבצע את פעולות גאוס אבל רק עם קבועים שלמים. אסור למשל לחלק ב2 (שזה למעשה לכפול בקבוע חצי שאינו שלם).<br />
<br />
==3.11==<br />
בחלק א' מספיק לכתוב (Z) בשלישית=1?<br />
<br />
===תשובה===<br />
באיזה אופן זה מספיק? למה <math>z^3=1</math>? איך זה מראה שקיים z שכל החזקות שלו יחד עם אחד מהוות את כל קבוצת השורשים?<br />
<br />
==3.1==<br />
האם כדי להוכיח ש-C שדה מותר להשתמש בכך ש-R שדה?<br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן. מותר להשתמש בכל המידע שיש לכם על שדה הממשיים.<br />
<br />
==קריטריון מקוצר לתת-שדה==<br />
<br />
לפי הקריטריון צריך להוכיח שהקבוצה הנתונה היא תת-קבוצה של R וכל שני איברים המוכלים בה מהצורה <math>a+b\sqrt p</math> מקיימים <math>((a+b\sqrt p)(c+d\sqrt p)^{-1})\in \mathbb{F} [\sqrt p]</math> ועוד תנאי שאותו קל להוכיח, השאלה איך אפשר בכלל להוכיח שכפל בהופכי של מס' מסויים (המכפלה היא לא בין מספר והופכו אלא הופכי של מס' אחר) תקיים סגירות?<br />
תודה מראש.<br />
<br />
===תשובה===<br />
אתה צריך קודם כל להבין מהו ההופכי ואז להראות שכאשר כופלים מקבלים מספר מאותה צורה.<br />
<br />
==שאלה 3.1ב'==<br />
<br />
נתון לי ש-<math>a^2+1=0-->a=\sqrt (-1)</math> אז בגלל שנתון ששדה FxF עם אותן הגדרות כמו ב-C אז הוא מורכב מזוגות סדורים (a,b) כאשר הם שייכים ל-R. נתון לי ש-<math>a\in \mathbb{F}--->(a,a)\in \mathbb{F} \times \mathbb{F}</math> ולכן לא הגיוני ש-a יהיה שווה לאיבר שאינו ממשי, כי אז תהיה סתירה ו-FxF לא יהיה שדה. האם ההסבר מספיק ונכון?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא, מהסיבות הבאות:<br />
<br />
*מה הקשר לממשיים ומרוכבים בכלל? מדובר על שדה כלשהו F<br />
*מה ההגדרה של שורש מינוס אחד ואיך היא משפיעה על התשובה?<br />
<br />
דוגמא לשדה כזה: <math>\mathbb{Z}_2</math> עם a=1. אין מרוכבים ואין ממשיים כלל.<br />
<br />
==תרגיל 2.8א'==<br />
בקושי דיברנו על תתי-שדות בכיתה, ואני לא מבין מה אנחנו צריכים לעשות ב-2.8א'.. זאת בעצם קבוצה שמכילה את שדה F ואת האיבר <math>\sqrt p</math> אז אני צריך להוכיח שהיא שדה? עם כל התכונות? או שאני יכול להסתמך על כך שאם <math>a,b\in \mathbb{F} </math> וגם <math> \mathbb{F} \subseteq \mathbb{R} </math> אזי <math> a,b \in \mathbb{R} \wedge \sqrt p \in \mathbb{R}</math><br />
ואז לכל איבר בקבוצה <math>\mathbb{F}[\sqrt p]</math> מתקיימות התכונות (כי הן מתקיימות גם ב-R).. ו-F בכל מקרה מקיים את התכונות כי F תת-שדה של R..? לא הבנתי כל כך ואשמח להכוונה..<br />
<br />
===תשובה===<br />
מה שתארת לא מספיק. העובדה שכל האיברים נמצאים בשדה רק אומר שזה '''תת-קבוצה''' ולא אומרת בהכרח שזה '''תת שדה'''. למשל השלמים הם תת קבוצה של הממשיים אך אינם תת שדה (כי למשל אין להם הופכי).<br />
<br />
אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר לבדיקת תת שדה שמצויין למעלה באותו עמוד.<br />
<br />
--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:05, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה נוספת==<br />
<br />
לגבי הרמז: איך שורש P יכול לא להיות שייך ל-F? הרי תמיד אפשר להציב ב-a את האיבר הנייטרלי לחיבור וב-b את האיבר הנייטרלי לכפל ואז יוצא ששורש P תמיד ב-F.<br />
תודה מראש!<br />
<br />
==שאלה 1.7==<br />
המרצה הזכיר שכל <math>P^n, P (prime), n\in \mathbb{N}</math> כאשר n פריק ו-P ראשוני (Prime) הוא שדה.. ועבור <math>7^2</math> יש 49 איברים, אם המערכת תניב אינסוף פתרונות, בהנחה שאף פיתרון לא חוזר על עצמו, יהיו 49 פתרונות שונים, נכון? <br />
או שאוכל להשתמש ב-<math>\mathbb{Z}_7</math> שיש לו 7 פתרונות שונים עבור מקרה של אינסוף פתרונות, ולהגיע איכשהו ל-49 פתרונות.. המרצה אמר לי שעדיף להשתמש בזה בדרך מסויימת.. מתרגל יכול לתת כיוון?<br />
תודה מראש, [[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 15:43, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
:לא הבנתי מהו השדה בדוגמא הראשונה ומה אלו הסימונים האלה. יש שדות בגדלים האלה, אני לא בטוח שלמדתם אותם. הכיוון השני אכן עדיף.<br />
<br />
::לא למדנו את השדות האלו, אך גם לא למדנו איך להגיע מ-<math>\mathbb{Z}_7</math> לשדה עם 49 איברים.. אחד המתרגלים יכול לתת כיוון/רמז?<br />
:::אתה מדבר עם אחד המתרגלים :) בכל אופן, אתה לא צריך להגיע לשדה עם 49 איברים בשביל למצוא מערכת משוואות עם 49 פתרונות, יש דרכים אחרות. כמו שאמרתי תנסה לעשות לבד כמה דוגמאות עם מספרים קטנים יותר. תיצור מערכות משוואות ותספור את הפתרונות. אם לא תצליח, אז תשאל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:36, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
::::בעצם לכל מערכת משוואות שאפתור, יתקבל פתרון יחיד/אף פתרון/אינסוף פתרונות. אם אפתור מערכת מעל R, אני יכול לקבל פיתרון יחיד עבור x,y,z או אף פיתרון, או אינסוף פיתרונות, כי אינסוף מספרים שייכים ל-R שיקיימו מצב כמו x=x.. לכן, אם אפתור מעל <math>\mathbb{Z}_7</math> ואקבל מצב של אינסוף פיתרונות, כמו למקרה x=x בעצם, זה לא באמת אינסוף, אלה למערכת כזו יש 7 פתרונות, כמספר האיברים במודולו 7. לכן חשבתי אם אקבל מקרה של אינסוף פיתרונות מעל שדה ובו 49 איברים, יהיו לי 49 פתרונות שונים.. גם בהרצאה וגם בתרגול לא דיברנו על הקשר בין מס' המשוואות והנעלמים למס' הפתרונות, ואין לי מושג איזה פעולות עליי לבצע על <math>\mathbb{Z}_7</math> לדוגמא, כדי לקבל מצב כזה..<br />
:::::האם פתרת מערכות משוואות לדוגמא וספרת את מספר הפתרונות? מעל נגיד Z_2<br />
<br />
::::::אני יכול לקבל פיתרון יחיד, אף פיתרון או 2 פתרונות עבור מצב של אינסוף פתרונות..<br />
<br />
:::::::זה לא נכון. תנסה מספר מערכות עם מספר שונה של משוואות ומספר שונה של נעלמים ותספור את הפתרונות.<br />
<br />
תודה רבה, כבר הסתדרתי, זה כל כך פשוט איך לא חשבתי על זה קודם![[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 23:38, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
===רמז===<br />
מועצת השבט התכנסה והחליטה לתת לכם מעין רמז מנחה: כמה אפשרויות יש לבחירת זוג סדור מתוך קבוצה בת 5 איברים? [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:48, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 1.7 במשוואות ליניאריות==<br />
אם אני רוצה למצוא מערכת בעלת 49 פתרונות בדיוק מספיק לומר כך:<br />
<math><br />
\begin{cases} a_{1,1}x_1+\cdots +a_{1,49}x_{49}=b_1 \\ \vdots \\ a_{49,1}x_1+\cdots +a_{49,49}x_{49}=b_{49} \end{cases}<br />
</math><br />
מעל <math>\mathbb{R}</math> ?<br />
<br />
:למערכת זו יש 49 נעלמים לא 49 פתרונות. יכול להיות שיש לה פתרון יחיד, אינסוף פתרון או אין פתרונות כלל. זו אינה תשובה נכונה, תחשוב שוב.<br />
::{{התנגשות}}למה אתה מתכוון "מספיק לומר"? שזה תקני מבחינת הבוחנים (שלא יורידו לך על ניסוח לא נכון, ואז אני מניח שכן)? שזה באמת יתן לך מערכת בעלת 49 פתרונות (ואז לא, אלא אם ידוע גם שבכל משוואה קיים לפחות מקדם לא חופשי אחד השונה מ-0 ואין שתי משוואות שקבוצת הפתרונות שלהן זהה)? -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 22:54, 25 ביולי 2010 (IDT)<br />
:::למערכת משוואות ליניאריות מעל <math>\mathbb{R}</math> לעולם אין 49 פתרונות! ייתכנו אינסוף פתרונות, פיתרון אחד או אף לא פיתרון אחד. כנ"ל לגבי שדה המרוכבים. אתה צריך לפנות למערכות מעל שדות אחרים שנלמדו בקורס. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:29, 25 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
::::אתם מתכוונים שאני צריך לקחת שדה, שיש בו 49 איברים, כמו <math>Z_{49}</math> ואז ליצור מצב של אינסוף פתרונות, מה שמוביל אותי ל-49?''' '''ודרך אגב, אם המודולו הוא חזקה של מס' ראשוני, הוא גם שדה?<br />
<br />
:::::בכל מקרה לא צריך לכתוב פה תשובות, רק שאלות :) אבל זו גם לא תשובה מדויקת. למדנו ש<math>\mathbb{Z}_p</math> שדה אם"ם p ראשוני. 49 אינו ראשוני.<br />
<br />
::::::נכון אבל המרצה הזכיר משהו לגבי חזקות של מספרים ראשוניים..<br />
::::::: אז תחשוב כיצד ניתן לפתור את התרגיל בהתחשב בידע הזה, או שתפתח את המחברת ותחפש מה המרצה הזכיר. זה לא מאד מסובך, אני ממליץ לנסות לחשב כמה דוגמאות<br />
===רמז===<br />
קח למשל את השדה Z 2 ??<br />
<br />
:אני לא מבין איך רושמים רמז עם סימני שאלה. זו שאלה למתרגלים, שאלה רטורית, תהייה כללית? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:29, 29 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 1.3 ב ==<br />
לא הבנתי מה צריך להוכיח שם הרי מה שהם נתנו שם זה בדיוק תכונת הצימצום אז איך אמורים להראות שזה נובע מתכונת הצימצום..?<br />
<br />
===תשובה===<br />
שים לב להבדל בין הנוסח של סעיף אחד לסעיף א'. "מצא את ההבדלים"<br />
:או בתשובה קצת יותר ברורה, אתה הופך את הביטוי בסעיף ב לביטוי שבסעיף א (באופן פשוט שהייתי רושם אותו כאן אבל נראה לי שהמתרגלים יכעסו אם אעשה זאת) ואז משתמש בתכונת הצמצום.<br />
<br />
==שאלה חשובה וקצרה על 3.1 (לא אותו אחד שכתב את השאלות האחרות)==<br />
איך אפשר להוכיח שהקבוצה עם התכונה הנתונה <math>a^2 +1 =0</math> היא לא שדה, אם בכלל לא הגדרנו מה זה "בריבוע"? אמורים להוכיח שקבוצה כלשהי היא לא שדה אם אחת מהתכונות של השדה (מוגדרות וכו') לא מתקיימת שם. אבל בתכונות האלה של השדה אין אזכור בכלל לאיבר בריבוע, אז איך אפשר להוכיח שהקבוצה היא לא שדה? תודה.<br />
<br />
:בעצם <math>a^2=a\cdot a</math> ז"א, זה נובע מכפל, לכן זה לא משנה איך תכתוב את זה.. דרך טובה לפתור את השאלה הזאת, היא להניח ש-<math>F\times F</math> שדה, ואז להראות שכאשר אנו משתמשים באחת התכונות שלו, זה מוביל לסתירה..<br />
<br />
::הכותב שמעליי צודק. לפי הגדרה <math>a^2=a\cdot a</math> כפי שהגדרנו בתרגיל כשפתרנו את השאלה עם סכום של סדרה הנדסית <math>S=1+q+q^2+...+q^n</math>.<br />
<br />
==עוד שאלה על תרגיל 3.1,סעיף ב==<br />
את רוב הדברים קל להוכיח, ההוכחה זהה בעצם להוכחה בסעיף הקודם, חוץ מהאיברים ההופכים לכפל: צריך להוכיח ש <math>a/(a^2+b^2)</math> ו<math>b-/(a^2+b^2)</math> שונים מ- i, כי הם צריכים להיות איברים של F ובגלל הסגירות של שדה המרוכבים, אני לא רואה סיבה שהם יהיה שונים מ- i. בנוסף ניסיתי ולא הצלחתי להתקרב להוכחה בנושא. יש אולי שגיאה בצורת החשיבה שלי?<br />
<br />
===תשובה===<br />
דבר ראשון אני לא מבין את הקישור לשדה המרוכבים ול-i, מדובר על שדה F כללי. הכפל והחיבור מוגדרים בצורה דומה לשדה המרוכבים (הנוסחאות רשומות מעל השאלה).<br />
<br />
יש להוכיח שאם התכונה הספציפית בF מתקיימת אזי FxF עם הכפל והחיבור שמוגדרים למעלה אינו שדה.<br />
<br />
==תרגיל 3.1,סעיף ב==<br />
בסעיף ב צריך להוכיח שFxF הוא שדה אם הוא מקיים את התנאי, או רק להוכיח שהוא לא שדה אם התנאי לא מתקיים?<br />
<br />
:תניח בשלילה ש-FxF שדה, ותשתמש בתכונה שלו <math>a^2+1=0</math> ואז כשתגיע לסתירה, בעצם ההנחה לא נכונה ו-FxF לא שדה..<br />
<br />
===תשובה===<br />
צריך רק להוכיח שהוא אינו שדה אם קיים a שכזה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:57, 24 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==הגשת תרגיל 1==<br />
שלום רב,<br />
<br />
למתי צריך להגיש את תרגיל 1?<br />
<br />
תודה רבה מראש.<br />
<br />
:עוד לא התחלנו ללמוד, וכבר אתה רוצה להגיש תרגיל? :) נודיע לכם מחר בשיעור. (אגב, אם אתה רוצה לרדת שורה, תשאיר שורת רווח - ראה דף עזרה).<br />
<br />
::1/8. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 16:01, 22 ביולי 2010 (IDT)</div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4028לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-07-30T14:50:33Z<p>Edi.gotlieb: /* תשובה */</p>
<hr />
<div><math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math><br />
= הוראות =<br />
כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על ''' [עריכה]''' (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:<br />
<br />
'''<nowiki>== כותרת לשאלה ==</nowiki>'''<br />
<br />
לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על '''שמירה''' למטה מימין<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע"א - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - יהיה בהמשך<br />
<br />
=שאלות=<br />
==2.8 א'==<br />
הצלחתי להוכיח הכל עד עכשיו מבלי להשתמש בנתון שp ראשוני. נעצרתי בסיף האחרון בו מתבקשים להוכיח שלכל a,b בתת-שדה מתקיים: a כפול הנגדי ל-b שייך לתת-שדה:<br />
אם p שייך לשדה F אז אין בעיה כי יש סגירות בשדה F.<br />
אבל אם P לא שייך לשדה F אז אני לא יודע מה תיתן המכפלה של איבר a (ששיך-F) ב-P לכן אני לא יכול לדעת האם המכפלה הזאת תיהיה ב-F או לא.<br />
איפה נכנס הנתון ש-p ראשוני? אשמח להכוונה לגבי הסעיף האחרון <br />
--[[משתמש:Edi.gotlieb|Edi.gotlieb]] 16:12, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
לא ממש הבנתי את ההנחיות והרמזים: אז אני ינסה להסביר את עצמי. צ"ל לכל a,b השייכים לתת-שדה: a כפול הנגדי לb שייך לתת-שדה.<br />
סימנתי (b שונה מ-0 לכן קיים נגדי) <br />
<br />
<math>a=x+y\sqrt{p}</math> ו- <math> b^{-1}=z+w\sqrt{p}</math><br />
ולכן<br />
<br />
<math>ab^{-1}=(xz+ywp)+(zy+xw)\sqrt{p}</math><br />
<br />
<math>x,y,z,w \in F</math> ולכן (ע"פ סגירות F) <math>xw+zy \in F</math><br />
נשאר להוכיח ש- <math>xz+ywp \in F</math><br />
<br />
אם <math>p \in F</math> אז ע"פ סגירות ב-F.<br />
אבל אם <math>p \notin F</math> אז לא בטוח ש- <math>xz+ymp \in F</math> ואז מה?<br />
--[[משתמש:Edi.gotlieb|Edi.gotlieb]] 17:40, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
===תשובה===<br />
כל הנושא של סגירות לכפל הוא ב<math>K=F[\sqrt{p}]</math> לא ב<math>F</math>, פרט למקרה הפרטי של <math>\sqrt{p} \in F</math> שבו מקבלים <math>K=F</math>.<br />
כלומר, אתה צריך להראות שהמכפלה היא בתוך <math>K</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:26, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
:לדעתי הנתון שp ראשוני הוא לצורך הסעיפים הבאים. בכל אופן אין צורך בו בהוכחה.<br />
<br />
:אני אתן רמז(באנלי ככל שרמז יכול להיות בנאלי): 1+1=2.<br />
<br />
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:27, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
::הבנתי אותך מראש, לא היה צורך לפרט. אתה שואל האם <math>p \in F</math>. עכשיו תחשוב שוב על הרמז. זכור כי F הינו שדה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:43, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
הדבר היחיד שידוע לי על p זה שהוא ראשוני.נתון ש F מוכל ב- R. אז איך זה אומר ש- <math>p \in F</math> ???<br />
חוץ מזה- 1+1=2?<br />
<br />
==3.1 ב'-עריכה חדשה==<br />
אם אני מוכיחה שCXC איננו שדה אז הוכחתי את השאלה נכון?<br />
אז איך אפשר להוכיח את זה?<br />
או שצריך להתייחס לFXF ?<br />
<br />
עריכה:<br />
אוקיי ואם אני מוכיחה את זה לFXF, וכתוב "בהגדרות כמו בC", האם זה אומר לי שהכפל מוגדר כמו בC, וכן ש(1,0) הוא איבר היחידה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לצערי לא. <math>\mathbb{C} \times \mathbb{C}</math> זו רק דוגמא. אתה צריך להוכיח עבור המקרה הכללי עם הנתון המופיע בשאלה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:17, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
:זה אומר שהכפל מוגדר לגבי הזוגות כמו שהוא מוגדר מעל השאלה <math>(a,b)\cdot (c,d) = (ac-bd,ad+bc)</math><br />
<br />
==שאלה==<br />
אם אני מניח ש-<math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> הוא שדה, האם אני יכול להגיד ש<math>(1,0)</math> הוא איבר יחידה בשדה <math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math><br />
<br />
===בירור השאלה===<br />
אינני מבין את השאלה. למה הכוונה ב"אני מניח ש<math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> הוא שדה"?<br />
אין פה עניין של הנחה. כדי שמשהו יהיה שדה צריך שתהיה פעולת כפל מוגדרת ולהראות שכל איבר הוא הפיך לפי הפעולה הזו (מלבד איבר האפס).<br />
אם אתה מגדיר כפל ב<math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> ככפל איבר-איבר, כלומר<math>(a,b) \cdot (c,d)=(a \cdot c, b \cdot d)</math> אז <math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> איננו שדה, ובפרט הוא מכיל מחלקי אפס כגון <math>(1,0)</math>, והאיבר הזה איננו נייטרלי לכפל ולכן איננו איבר היחידה.<br />
אנא נסח מחדש את השאלה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 15:42, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 1.8==<br />
<br />
איך אפשר לבדוק את המקרים??<br />
רק על ידי פתרון מטריצה או שיש דרך נוספת??<br />
בתודה מראש<br />
<br />
===תשובה===<br />
כפי שלמדנו בכיתה. יש לדרג את המטריצה בשיטת גאוס, כאשר צריך לשים לב לדקויות הבאות:<br />
*אם כופלים שורה בa אזי יש לבדוק את המקרה a=0 בנפרד<br />
*אם מחלקים בפונקציה של a יש לבדוק את המקרים בהם הפונקציה מתאפסת בנפרד (למשל אם מחלקים בa-1 יש לבדוק את המקרה a=1 בנפרד)<br />
*אם האיבר הפותח לאחר דירוג יוצא a כמובן שיש לבדוק את המקרה בו a=0 ואז זה לא איבר פותח באמת (כי איבר פותח הוא שונה מאפס)<br />
<br />
== שאלה 2.8 א' ==<br />
<br />
האם f√p הינה קבוצה של כל שורשי המס' הראשוניים או רק של אחד מהם. האם יכול להיות בה גם שורש של שתיים וגם שורש של שלוש?<br />
<br />
===תשובה===<br />
מדובר על ראשוני מסויים קבוע p<br />
<br />
==שאלה==<br />
אני יודעת שצריך להוכיח שלא קיימים m,n ב-Z כך ש-m*n=1. אבל איך אפשר??<br />
<br />
(זאת גם שאלה)אפשר להוכיח ע"י דוגמא נגדית? נגיד להציב a=3 ולהראות ש 3\1 לא בשדה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן אפשר, אבל צריך להסביר מדוע לא יכול להיות הופכי חוץ מ1/3 (מישהו שאלה משהו שיעזור כבר בדף הזה).<br />
<br />
== שאלה 3.11 א' ==<br />
אם אני יודע ש-<math>z^n=1</math> אני יכול להגיד שגם <math>z^{n-1}\cdot z=1</math> וגם <math>z^{n-2}\cdot z=1</math> וכך הלאה? תודה מראש!<br />
:הראשון נכון, השני לא (למשל, <math>i^4=1</math> אבל <math>i^2\cdot i = -i \not = 1</math>). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]],<br />
<br />
===תשובה===<br />
אור צודק. <math>z^n=z^{n-1}\cdot z</math> אבל למה שיתקיים <math>z^{n-1}=z^n</math>?<br />
<br />
== תת שדה==<br />
<br />
האם תת שדה הוא שדה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, לפי ההגדרה, תקראו בחוברת של ד"ר צבאן<br />
<br />
== שאלה 3.5 סעיף ז ==<br />
האם מותר להשתמש בהוכחה גאומטרית כדי להוכיח את אי-שוויון המשולש? או חייבים הוכחה אלגברית?<br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
חייבים הוכחה אלגברית.<br />
<br />
== 1.6 ב' מטריצות==<br />
מה הכוונה שמותר להשתמש בצמצום אבל אסור להשתמש בחילוק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
צמצום כלומר לחסר (ליתר דיוק לכפול בשלילי ולחבר). חילוק הוא כפל בהופכי - למשל חצי. זה נכון כי השלמים הנגדיים קיימים (כלומר בחיבור) אבל שלמים הופכיים לא קיימים (בכפל)<br />
<br />
== 1.3 ב'==<br />
<br />
האם מספיק להשתמש בשאלה זו בתכונת החילוף או שגם צריך להוכיח אותה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
נתון שF שדה, מתוך הגדרה תכונת החילופיות מתקיימת. איך ניתן להוכיח את תכונת החילופיות על קבוצה כללית F שאת לא יודעת עליה כלום?<br />
<br />
<br />
<br />
==2.3 ב==<br />
ברור ש-Z הוא לא שדה כי אין בו הופכי. אבל איך אני מוכיחה את זה מתמטית?<br />
תודה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
מוכיחה שאין בו הופכי. מה התכונה שהופכי צריך לקיים?<br />
<br />
==שאלה נוספת==<br />
נזכרתי בתרגיל בו הוכחנו ש-ZxZ לא שדה, כי אם היה ל-(2,3) הופכי אז היו שני הופכיים בתוך C שהוכחנו שהוא שדה. האם אני באמת צריכה להוכיח ש-R שדה ולהראות ש-Z אינו שדה בצורה דומה?<br />
<br />
שוב תודה מראש, ותודה על התשובה המהירה קודם.<br />
<br />
===תשובה===<br />
זו מחשבה יפה, את יכולה להניח שR שדה, אין צורך להוכיח את זה.<br />
<br />
==בקשה מהמתרגלים!==<br />
לא כולנו מתיישבים להכין את שיעורי הבית בשלושה ימים שלפני מועד ההגשה, ואם לא היו אומרים לי לא הייתי יודע שנוסף תרגיל. <br />
<br />
בבקשה ודאו שהעלתם את כל התרגילים שאתם רוצים שנגיש יחד, ואם הוספתם מאוחר יותר אנא הודיעו על כך. (לפחות תרשמו בדף הזה הודעה על כך).<br />
<br />
תודה מראש<br />
<br />
===תשובה===<br />
שיהיה לכם ברור: '''ההודעות באתר מחייבות'''. זו חובתכם להתעדכן בו, ההודעה נכתבה בעמוד הראשי. הדף הזה הוא לשאלות ותשובות, לא להודעות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:32, 29 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==משוואות ליניאריות==<br />
האם מערכת משוואות לינאריות חייבות להיות מעל שדה כדי להתקיים?<br />
<br />
נגיד יש מערכת משוואות מעל Z היא אמורה לא להתקיים כי Z לא שדה.. מה לא ככה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
משוואה היא שיוון בין שני דברים. לדוגמא, בקבוצה {1,2} ניתן להציג את המשוואה x=2 בעלת פתרון יחיד. כאשר יש חיבור מוגדר בקבוצה אפשר להציג את המשוואה x+y=2 בעלת הפתרון היחיד x=y=1 (שים לב שתחת הגדרה רגילה של חיבור אין פה אפילו סגירות).<br />
<br />
על מערכת משוואות שמוגדרת מעל שדה ניתן לבצע פעולות שורה אלמנטריות מבלי לשנות את הפתרון. אבל מערכת משוואות באופן כללי יכולה להיות מוגדרת גם על הרבה פחות משדה.<br />
<br />
:אז מערכת מעל Z אי אפשר לפתור בשיטת גאוס?<br />
<br />
::אם אתה מדבר על תרגיל 1.6 יש לכך התייחסות מפורשת. בתכלס מותר לבצע את פעולות גאוס אבל רק עם קבועים שלמים. אסור למשל לחלק ב2 (שזה למעשה לכפול בקבוע חצי שאינו שלם).<br />
<br />
==3.11==<br />
בחלק א' מספיק לכתוב (Z) בשלישית=1?<br />
<br />
===תשובה===<br />
באיזה אופן זה מספיק? למה <math>z^3=1</math>? איך זה מראה שקיים z שכל החזקות שלו יחד עם אחד מהוות את כל קבוצת השורשים?<br />
<br />
==3.1==<br />
האם כדי להוכיח ש-C שדה מותר להשתמש בכך ש-R שדה?<br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן. מותר להשתמש בכל המידע שיש לכם על שדה הממשיים.<br />
<br />
==קריטריון מקוצר לתת-שדה==<br />
<br />
לפי הקריטריון צריך להוכיח שהקבוצה הנתונה היא תת-קבוצה של R וכל שני איברים המוכלים בה מהצורה <math>a+b\sqrt p</math> מקיימים <math>((a+b\sqrt p)(c+d\sqrt p)^{-1})\in \mathbb{F} [\sqrt p]</math> ועוד תנאי שאותו קל להוכיח, השאלה איך אפשר בכלל להוכיח שכפל בהופכי של מס' מסויים (המכפלה היא לא בין מספר והופכו אלא הופכי של מס' אחר) תקיים סגירות?<br />
תודה מראש.<br />
<br />
===תשובה===<br />
אתה צריך קודם כל להבין מהו ההופכי ואז להראות שכאשר כופלים מקבלים מספר מאותה צורה.<br />
<br />
==שאלה 3.1ב'==<br />
<br />
נתון לי ש-<math>a^2+1=0-->a=\sqrt (-1)</math> אז בגלל שנתון ששדה FxF עם אותן הגדרות כמו ב-C אז הוא מורכב מזוגות סדורים (a,b) כאשר הם שייכים ל-R. נתון לי ש-<math>a\in \mathbb{F}--->(a,a)\in \mathbb{F} \times \mathbb{F}</math> ולכן לא הגיוני ש-a יהיה שווה לאיבר שאינו ממשי, כי אז תהיה סתירה ו-FxF לא יהיה שדה. האם ההסבר מספיק ונכון?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא, מהסיבות הבאות:<br />
<br />
*מה הקשר לממשיים ומרוכבים בכלל? מדובר על שדה כלשהו F<br />
*מה ההגדרה של שורש מינוס אחד ואיך היא משפיעה על התשובה?<br />
<br />
דוגמא לשדה כזה: <math>\mathbb{Z}_2</math> עם a=1. אין מרוכבים ואין ממשיים כלל.<br />
<br />
==תרגיל 2.8א'==<br />
בקושי דיברנו על תתי-שדות בכיתה, ואני לא מבין מה אנחנו צריכים לעשות ב-2.8א'.. זאת בעצם קבוצה שמכילה את שדה F ואת האיבר <math>\sqrt p</math> אז אני צריך להוכיח שהיא שדה? עם כל התכונות? או שאני יכול להסתמך על כך שאם <math>a,b\in \mathbb{F} </math> וגם <math> \mathbb{F} \subseteq \mathbb{R} </math> אזי <math> a,b \in \mathbb{R} \wedge \sqrt p \in \mathbb{R}</math><br />
ואז לכל איבר בקבוצה <math>\mathbb{F}[\sqrt p]</math> מתקיימות התכונות (כי הן מתקיימות גם ב-R).. ו-F בכל מקרה מקיים את התכונות כי F תת-שדה של R..? לא הבנתי כל כך ואשמח להכוונה..<br />
<br />
===תשובה===<br />
מה שתארת לא מספיק. העובדה שכל האיברים נמצאים בשדה רק אומר שזה '''תת-קבוצה''' ולא אומרת בהכרח שזה '''תת שדה'''. למשל השלמים הם תת קבוצה של הממשיים אך אינם תת שדה (כי למשל אין להם הופכי).<br />
<br />
אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר לבדיקת תת שדה שמצויין למעלה באותו עמוד.<br />
<br />
--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:05, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה נוספת==<br />
<br />
לגבי הרמז: איך שורש P יכול לא להיות שייך ל-F? הרי תמיד אפשר להציב ב-a את האיבר הנייטרלי לחיבור וב-b את האיבר הנייטרלי לכפל ואז יוצא ששורש P תמיד ב-F.<br />
תודה מראש!<br />
<br />
==שאלה 1.7==<br />
המרצה הזכיר שכל <math>P^n, P (prime), n\in \mathbb{N}</math> כאשר n פריק ו-P ראשוני (Prime) הוא שדה.. ועבור <math>7^2</math> יש 49 איברים, אם המערכת תניב אינסוף פתרונות, בהנחה שאף פיתרון לא חוזר על עצמו, יהיו 49 פתרונות שונים, נכון? <br />
או שאוכל להשתמש ב-<math>\mathbb{Z}_7</math> שיש לו 7 פתרונות שונים עבור מקרה של אינסוף פתרונות, ולהגיע איכשהו ל-49 פתרונות.. המרצה אמר לי שעדיף להשתמש בזה בדרך מסויימת.. מתרגל יכול לתת כיוון?<br />
תודה מראש, [[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 15:43, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
:לא הבנתי מהו השדה בדוגמא הראשונה ומה אלו הסימונים האלה. יש שדות בגדלים האלה, אני לא בטוח שלמדתם אותם. הכיוון השני אכן עדיף.<br />
<br />
::לא למדנו את השדות האלו, אך גם לא למדנו איך להגיע מ-<math>\mathbb{Z}_7</math> לשדה עם 49 איברים.. אחד המתרגלים יכול לתת כיוון/רמז?<br />
:::אתה מדבר עם אחד המתרגלים :) בכל אופן, אתה לא צריך להגיע לשדה עם 49 איברים בשביל למצוא מערכת משוואות עם 49 פתרונות, יש דרכים אחרות. כמו שאמרתי תנסה לעשות לבד כמה דוגמאות עם מספרים קטנים יותר. תיצור מערכות משוואות ותספור את הפתרונות. אם לא תצליח, אז תשאל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:36, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
::::בעצם לכל מערכת משוואות שאפתור, יתקבל פתרון יחיד/אף פתרון/אינסוף פתרונות. אם אפתור מערכת מעל R, אני יכול לקבל פיתרון יחיד עבור x,y,z או אף פיתרון, או אינסוף פיתרונות, כי אינסוף מספרים שייכים ל-R שיקיימו מצב כמו x=x.. לכן, אם אפתור מעל <math>\mathbb{Z}_7</math> ואקבל מצב של אינסוף פיתרונות, כמו למקרה x=x בעצם, זה לא באמת אינסוף, אלה למערכת כזו יש 7 פתרונות, כמספר האיברים במודולו 7. לכן חשבתי אם אקבל מקרה של אינסוף פיתרונות מעל שדה ובו 49 איברים, יהיו לי 49 פתרונות שונים.. גם בהרצאה וגם בתרגול לא דיברנו על הקשר בין מס' המשוואות והנעלמים למס' הפתרונות, ואין לי מושג איזה פעולות עליי לבצע על <math>\mathbb{Z}_7</math> לדוגמא, כדי לקבל מצב כזה..<br />
:::::האם פתרת מערכות משוואות לדוגמא וספרת את מספר הפתרונות? מעל נגיד Z_2<br />
<br />
::::::אני יכול לקבל פיתרון יחיד, אף פיתרון או 2 פתרונות עבור מצב של אינסוף פתרונות..<br />
<br />
:::::::זה לא נכון. תנסה מספר מערכות עם מספר שונה של משוואות ומספר שונה של נעלמים ותספור את הפתרונות.<br />
<br />
תודה רבה, כבר הסתדרתי, זה כל כך פשוט איך לא חשבתי על זה קודם![[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 23:38, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
===רמז===<br />
מועצת השבט התכנסה והחליטה לתת לכם מעין רמז מנחה: כמה אפשרויות יש לבחירת זוג סדור מתוך קבוצה בת 5 איברים? [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:48, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 1.7 במשוואות ליניאריות==<br />
אם אני רוצה למצוא מערכת בעלת 49 פתרונות בדיוק מספיק לומר כך:<br />
<math><br />
\begin{cases} a_{1,1}x_1+\cdots +a_{1,49}x_{49}=b_1 \\ \vdots \\ a_{49,1}x_1+\cdots +a_{49,49}x_{49}=b_{49} \end{cases}<br />
</math><br />
מעל <math>\mathbb{R}</math> ?<br />
<br />
:למערכת זו יש 49 נעלמים לא 49 פתרונות. יכול להיות שיש לה פתרון יחיד, אינסוף פתרון או אין פתרונות כלל. זו אינה תשובה נכונה, תחשוב שוב.<br />
::{{התנגשות}}למה אתה מתכוון "מספיק לומר"? שזה תקני מבחינת הבוחנים (שלא יורידו לך על ניסוח לא נכון, ואז אני מניח שכן)? שזה באמת יתן לך מערכת בעלת 49 פתרונות (ואז לא, אלא אם ידוע גם שבכל משוואה קיים לפחות מקדם לא חופשי אחד השונה מ-0 ואין שתי משוואות שקבוצת הפתרונות שלהן זהה)? -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 22:54, 25 ביולי 2010 (IDT)<br />
:::למערכת משוואות ליניאריות מעל <math>\mathbb{R}</math> לעולם אין 49 פתרונות! ייתכנו אינסוף פתרונות, פיתרון אחד או אף לא פיתרון אחד. כנ"ל לגבי שדה המרוכבים. אתה צריך לפנות למערכות מעל שדות אחרים שנלמדו בקורס. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:29, 25 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
::::אתם מתכוונים שאני צריך לקחת שדה, שיש בו 49 איברים, כמו <math>Z_{49}</math> ואז ליצור מצב של אינסוף פתרונות, מה שמוביל אותי ל-49?''' '''ודרך אגב, אם המודולו הוא חזקה של מס' ראשוני, הוא גם שדה?<br />
<br />
:::::בכל מקרה לא צריך לכתוב פה תשובות, רק שאלות :) אבל זו גם לא תשובה מדויקת. למדנו ש<math>\mathbb{Z}_p</math> שדה אם"ם p ראשוני. 49 אינו ראשוני.<br />
<br />
::::::נכון אבל המרצה הזכיר משהו לגבי חזקות של מספרים ראשוניים..<br />
::::::: אז תחשוב כיצד ניתן לפתור את התרגיל בהתחשב בידע הזה, או שתפתח את המחברת ותחפש מה המרצה הזכיר. זה לא מאד מסובך, אני ממליץ לנסות לחשב כמה דוגמאות<br />
===רמז===<br />
קח למשל את השדה Z 2 ??<br />
<br />
:אני לא מבין איך רושמים רמז עם סימני שאלה. זו שאלה למתרגלים, שאלה רטורית, תהייה כללית? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:29, 29 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 1.3 ב ==<br />
לא הבנתי מה צריך להוכיח שם הרי מה שהם נתנו שם זה בדיוק תכונת הצימצום אז איך אמורים להראות שזה נובע מתכונת הצימצום..?<br />
<br />
===תשובה===<br />
שים לב להבדל בין הנוסח של סעיף אחד לסעיף א'. "מצא את ההבדלים"<br />
:או בתשובה קצת יותר ברורה, אתה הופך את הביטוי בסעיף ב לביטוי שבסעיף א (באופן פשוט שהייתי רושם אותו כאן אבל נראה לי שהמתרגלים יכעסו אם אעשה זאת) ואז משתמש בתכונת הצמצום.<br />
<br />
==שאלה חשובה וקצרה על 3.1 (לא אותו אחד שכתב את השאלות האחרות)==<br />
איך אפשר להוכיח שהקבוצה עם התכונה הנתונה <math>a^2 +1 =0</math> היא לא שדה, אם בכלל לא הגדרנו מה זה "בריבוע"? אמורים להוכיח שקבוצה כלשהי היא לא שדה אם אחת מהתכונות של השדה (מוגדרות וכו') לא מתקיימת שם. אבל בתכונות האלה של השדה אין אזכור בכלל לאיבר בריבוע, אז איך אפשר להוכיח שהקבוצה היא לא שדה? תודה.<br />
<br />
:בעצם <math>a^2=a\cdot a</math> ז"א, זה נובע מכפל, לכן זה לא משנה איך תכתוב את זה.. דרך טובה לפתור את השאלה הזאת, היא להניח ש-<math>F\times F</math> שדה, ואז להראות שכאשר אנו משתמשים באחת התכונות שלו, זה מוביל לסתירה..<br />
<br />
::הכותב שמעליי צודק. לפי הגדרה <math>a^2=a\cdot a</math> כפי שהגדרנו בתרגיל כשפתרנו את השאלה עם סכום של סדרה הנדסית <math>S=1+q+q^2+...+q^n</math>.<br />
<br />
==עוד שאלה על תרגיל 3.1,סעיף ב==<br />
את רוב הדברים קל להוכיח, ההוכחה זהה בעצם להוכחה בסעיף הקודם, חוץ מהאיברים ההופכים לכפל: צריך להוכיח ש <math>a/(a^2+b^2)</math> ו<math>b-/(a^2+b^2)</math> שונים מ- i, כי הם צריכים להיות איברים של F ובגלל הסגירות של שדה המרוכבים, אני לא רואה סיבה שהם יהיה שונים מ- i. בנוסף ניסיתי ולא הצלחתי להתקרב להוכחה בנושא. יש אולי שגיאה בצורת החשיבה שלי?<br />
<br />
===תשובה===<br />
דבר ראשון אני לא מבין את הקישור לשדה המרוכבים ול-i, מדובר על שדה F כללי. הכפל והחיבור מוגדרים בצורה דומה לשדה המרוכבים (הנוסחאות רשומות מעל השאלה).<br />
<br />
יש להוכיח שאם התכונה הספציפית בF מתקיימת אזי FxF עם הכפל והחיבור שמוגדרים למעלה אינו שדה.<br />
<br />
==תרגיל 3.1,סעיף ב==<br />
בסעיף ב צריך להוכיח שFxF הוא שדה אם הוא מקיים את התנאי, או רק להוכיח שהוא לא שדה אם התנאי לא מתקיים?<br />
<br />
:תניח בשלילה ש-FxF שדה, ותשתמש בתכונה שלו <math>a^2+1=0</math> ואז כשתגיע לסתירה, בעצם ההנחה לא נכונה ו-FxF לא שדה..<br />
<br />
===תשובה===<br />
צריך רק להוכיח שהוא אינו שדה אם קיים a שכזה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:57, 24 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==הגשת תרגיל 1==<br />
שלום רב,<br />
<br />
למתי צריך להגיש את תרגיל 1?<br />
<br />
תודה רבה מראש.<br />
<br />
:עוד לא התחלנו ללמוד, וכבר אתה רוצה להגיש תרגיל? :) נודיע לכם מחר בשיעור. (אגב, אם אתה רוצה לרדת שורה, תשאיר שורת רווח - ראה דף עזרה).<br />
<br />
::1/8. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 16:01, 22 ביולי 2010 (IDT)</div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4027לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-07-30T14:48:43Z<p>Edi.gotlieb: /* תשובה */</p>
<hr />
<div><math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math><br />
= הוראות =<br />
כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על ''' [עריכה]''' (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:<br />
<br />
'''<nowiki>== כותרת לשאלה ==</nowiki>'''<br />
<br />
לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על '''שמירה''' למטה מימין<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע"א - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - יהיה בהמשך<br />
<br />
=שאלות=<br />
==2.8 א'==<br />
הצלחתי להוכיח הכל עד עכשיו מבלי להשתמש בנתון שp ראשוני. נעצרתי בסיף האחרון בו מתבקשים להוכיח שלכל a,b בתת-שדה מתקיים: a כפול הנגדי ל-b שייך לתת-שדה:<br />
אם p שייך לשדה F אז אין בעיה כי יש סגירות בשדה F.<br />
אבל אם P לא שייך לשדה F אז אני לא יודע מה תיתן המכפלה של איבר a (ששיך-F) ב-P לכן אני לא יכול לדעת האם המכפלה הזאת תיהיה ב-F או לא.<br />
איפה נכנס הנתון ש-p ראשוני? אשמח להכוונה לגבי הסעיף האחרון <br />
--[[משתמש:Edi.gotlieb|Edi.gotlieb]] 16:12, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
לא ממש הבנתי את ההנחיות והרמזים: אז אני ינסה להסביר את עצמי. צ"ל לכל a,b השייכים לתת-שדה: a כפול הנגדי לb שייך לתת-שדה.<br />
סימנתי (b שונה מ-0 לכן קיים נגדי) <br />
<br />
<math>a=x+y\sqrt{p}</math> ו- <math> b^{-1}=z+w\sqrt{p}</math><br />
ולכן<br />
<br />
<math>ab^{-1}=(xz+ywp)+(zy+xw)\sqrt{p}</math><br />
<br />
<math>x,y,z,w \in F</math> ולכן (ע"פ סגירות F) <math>xw+zy \in F</math><br />
נשאר להוכיח ש- <math>xz+ywp \in F</math><br />
<br />
אם <math>p \in F</math> אז ע"פ סגירות ב-F.<br />
אבל אם <math>p \notin F</math> אז לא בטוח ש- <math>xz+ymp \in F</math> ואז מה?<br />
--[[משתמש:Edi.gotlieb|Edi.gotlieb]] 17:40, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
===תשובה===<br />
כל הנושא של סגירות לכפל הוא ב<math>K=F[\sqrt{p}]</math> לא ב<math>F</math>, פרט למקרה הפרטי של <math>\sqrt{p} \in F</math> שבו מקבלים <math>K=F</math>.<br />
כלומר, אתה צריך להראות שהמכפלה היא בתוך <math>K</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:26, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
:לדעתי הנתון שp ראשוני הוא לצורך הסעיפים הבאים. בכל אופן אין צורך בו בהוכחה.<br />
<br />
:אני אתן רמז(באנלי ככל שרמז יכול להיות בנאלי): 1+1=2.<br />
<br />
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:27, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
::הבנתי אותך מראש, לא היה צורך לפרט. אתה שואל האם <math>p \in F</math>. עכשיו תחשוב שוב על הרמז. זכור כי F הינו שדה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:43, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
הדבר היחיד שידוע לי על p זה שהוא ראשוני.נתון ש <math>R \contains F</math> אז איך זה אומר ש- <math>p \in F</math> ???<br />
חוץ מזה- 1+1=2?<br />
<br />
==3.1 ב'-עריכה חדשה==<br />
אם אני מוכיחה שCXC איננו שדה אז הוכחתי את השאלה נכון?<br />
אז איך אפשר להוכיח את זה?<br />
או שצריך להתייחס לFXF ?<br />
<br />
עריכה:<br />
אוקיי ואם אני מוכיחה את זה לFXF, וכתוב "בהגדרות כמו בC", האם זה אומר לי שהכפל מוגדר כמו בC, וכן ש(1,0) הוא איבר היחידה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לצערי לא. <math>\mathbb{C} \times \mathbb{C}</math> זו רק דוגמא. אתה צריך להוכיח עבור המקרה הכללי עם הנתון המופיע בשאלה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:17, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
:זה אומר שהכפל מוגדר לגבי הזוגות כמו שהוא מוגדר מעל השאלה <math>(a,b)\cdot (c,d) = (ac-bd,ad+bc)</math><br />
<br />
==שאלה==<br />
אם אני מניח ש-<math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> הוא שדה, האם אני יכול להגיד ש<math>(1,0)</math> הוא איבר יחידה בשדה <math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math><br />
<br />
===בירור השאלה===<br />
אינני מבין את השאלה. למה הכוונה ב"אני מניח ש<math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> הוא שדה"?<br />
אין פה עניין של הנחה. כדי שמשהו יהיה שדה צריך שתהיה פעולת כפל מוגדרת ולהראות שכל איבר הוא הפיך לפי הפעולה הזו (מלבד איבר האפס).<br />
אם אתה מגדיר כפל ב<math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> ככפל איבר-איבר, כלומר<math>(a,b) \cdot (c,d)=(a \cdot c, b \cdot d)</math> אז <math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> איננו שדה, ובפרט הוא מכיל מחלקי אפס כגון <math>(1,0)</math>, והאיבר הזה איננו נייטרלי לכפל ולכן איננו איבר היחידה.<br />
אנא נסח מחדש את השאלה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 15:42, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 1.8==<br />
<br />
איך אפשר לבדוק את המקרים??<br />
רק על ידי פתרון מטריצה או שיש דרך נוספת??<br />
בתודה מראש<br />
<br />
===תשובה===<br />
כפי שלמדנו בכיתה. יש לדרג את המטריצה בשיטת גאוס, כאשר צריך לשים לב לדקויות הבאות:<br />
*אם כופלים שורה בa אזי יש לבדוק את המקרה a=0 בנפרד<br />
*אם מחלקים בפונקציה של a יש לבדוק את המקרים בהם הפונקציה מתאפסת בנפרד (למשל אם מחלקים בa-1 יש לבדוק את המקרה a=1 בנפרד)<br />
*אם האיבר הפותח לאחר דירוג יוצא a כמובן שיש לבדוק את המקרה בו a=0 ואז זה לא איבר פותח באמת (כי איבר פותח הוא שונה מאפס)<br />
<br />
== שאלה 2.8 א' ==<br />
<br />
האם f√p הינה קבוצה של כל שורשי המס' הראשוניים או רק של אחד מהם. האם יכול להיות בה גם שורש של שתיים וגם שורש של שלוש?<br />
<br />
===תשובה===<br />
מדובר על ראשוני מסויים קבוע p<br />
<br />
==שאלה==<br />
אני יודעת שצריך להוכיח שלא קיימים m,n ב-Z כך ש-m*n=1. אבל איך אפשר??<br />
<br />
(זאת גם שאלה)אפשר להוכיח ע"י דוגמא נגדית? נגיד להציב a=3 ולהראות ש 3\1 לא בשדה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן אפשר, אבל צריך להסביר מדוע לא יכול להיות הופכי חוץ מ1/3 (מישהו שאלה משהו שיעזור כבר בדף הזה).<br />
<br />
== שאלה 3.11 א' ==<br />
אם אני יודע ש-<math>z^n=1</math> אני יכול להגיד שגם <math>z^{n-1}\cdot z=1</math> וגם <math>z^{n-2}\cdot z=1</math> וכך הלאה? תודה מראש!<br />
:הראשון נכון, השני לא (למשל, <math>i^4=1</math> אבל <math>i^2\cdot i = -i \not = 1</math>). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]],<br />
<br />
===תשובה===<br />
אור צודק. <math>z^n=z^{n-1}\cdot z</math> אבל למה שיתקיים <math>z^{n-1}=z^n</math>?<br />
<br />
== תת שדה==<br />
<br />
האם תת שדה הוא שדה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, לפי ההגדרה, תקראו בחוברת של ד"ר צבאן<br />
<br />
== שאלה 3.5 סעיף ז ==<br />
האם מותר להשתמש בהוכחה גאומטרית כדי להוכיח את אי-שוויון המשולש? או חייבים הוכחה אלגברית?<br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
חייבים הוכחה אלגברית.<br />
<br />
== 1.6 ב' מטריצות==<br />
מה הכוונה שמותר להשתמש בצמצום אבל אסור להשתמש בחילוק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
צמצום כלומר לחסר (ליתר דיוק לכפול בשלילי ולחבר). חילוק הוא כפל בהופכי - למשל חצי. זה נכון כי השלמים הנגדיים קיימים (כלומר בחיבור) אבל שלמים הופכיים לא קיימים (בכפל)<br />
<br />
== 1.3 ב'==<br />
<br />
האם מספיק להשתמש בשאלה זו בתכונת החילוף או שגם צריך להוכיח אותה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
נתון שF שדה, מתוך הגדרה תכונת החילופיות מתקיימת. איך ניתן להוכיח את תכונת החילופיות על קבוצה כללית F שאת לא יודעת עליה כלום?<br />
<br />
<br />
<br />
==2.3 ב==<br />
ברור ש-Z הוא לא שדה כי אין בו הופכי. אבל איך אני מוכיחה את זה מתמטית?<br />
תודה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
מוכיחה שאין בו הופכי. מה התכונה שהופכי צריך לקיים?<br />
<br />
==שאלה נוספת==<br />
נזכרתי בתרגיל בו הוכחנו ש-ZxZ לא שדה, כי אם היה ל-(2,3) הופכי אז היו שני הופכיים בתוך C שהוכחנו שהוא שדה. האם אני באמת צריכה להוכיח ש-R שדה ולהראות ש-Z אינו שדה בצורה דומה?<br />
<br />
שוב תודה מראש, ותודה על התשובה המהירה קודם.<br />
<br />
===תשובה===<br />
זו מחשבה יפה, את יכולה להניח שR שדה, אין צורך להוכיח את זה.<br />
<br />
==בקשה מהמתרגלים!==<br />
לא כולנו מתיישבים להכין את שיעורי הבית בשלושה ימים שלפני מועד ההגשה, ואם לא היו אומרים לי לא הייתי יודע שנוסף תרגיל. <br />
<br />
בבקשה ודאו שהעלתם את כל התרגילים שאתם רוצים שנגיש יחד, ואם הוספתם מאוחר יותר אנא הודיעו על כך. (לפחות תרשמו בדף הזה הודעה על כך).<br />
<br />
תודה מראש<br />
<br />
===תשובה===<br />
שיהיה לכם ברור: '''ההודעות באתר מחייבות'''. זו חובתכם להתעדכן בו, ההודעה נכתבה בעמוד הראשי. הדף הזה הוא לשאלות ותשובות, לא להודעות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:32, 29 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==משוואות ליניאריות==<br />
האם מערכת משוואות לינאריות חייבות להיות מעל שדה כדי להתקיים?<br />
<br />
נגיד יש מערכת משוואות מעל Z היא אמורה לא להתקיים כי Z לא שדה.. מה לא ככה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
משוואה היא שיוון בין שני דברים. לדוגמא, בקבוצה {1,2} ניתן להציג את המשוואה x=2 בעלת פתרון יחיד. כאשר יש חיבור מוגדר בקבוצה אפשר להציג את המשוואה x+y=2 בעלת הפתרון היחיד x=y=1 (שים לב שתחת הגדרה רגילה של חיבור אין פה אפילו סגירות).<br />
<br />
על מערכת משוואות שמוגדרת מעל שדה ניתן לבצע פעולות שורה אלמנטריות מבלי לשנות את הפתרון. אבל מערכת משוואות באופן כללי יכולה להיות מוגדרת גם על הרבה פחות משדה.<br />
<br />
:אז מערכת מעל Z אי אפשר לפתור בשיטת גאוס?<br />
<br />
::אם אתה מדבר על תרגיל 1.6 יש לכך התייחסות מפורשת. בתכלס מותר לבצע את פעולות גאוס אבל רק עם קבועים שלמים. אסור למשל לחלק ב2 (שזה למעשה לכפול בקבוע חצי שאינו שלם).<br />
<br />
==3.11==<br />
בחלק א' מספיק לכתוב (Z) בשלישית=1?<br />
<br />
===תשובה===<br />
באיזה אופן זה מספיק? למה <math>z^3=1</math>? איך זה מראה שקיים z שכל החזקות שלו יחד עם אחד מהוות את כל קבוצת השורשים?<br />
<br />
==3.1==<br />
האם כדי להוכיח ש-C שדה מותר להשתמש בכך ש-R שדה?<br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן. מותר להשתמש בכל המידע שיש לכם על שדה הממשיים.<br />
<br />
==קריטריון מקוצר לתת-שדה==<br />
<br />
לפי הקריטריון צריך להוכיח שהקבוצה הנתונה היא תת-קבוצה של R וכל שני איברים המוכלים בה מהצורה <math>a+b\sqrt p</math> מקיימים <math>((a+b\sqrt p)(c+d\sqrt p)^{-1})\in \mathbb{F} [\sqrt p]</math> ועוד תנאי שאותו קל להוכיח, השאלה איך אפשר בכלל להוכיח שכפל בהופכי של מס' מסויים (המכפלה היא לא בין מספר והופכו אלא הופכי של מס' אחר) תקיים סגירות?<br />
תודה מראש.<br />
<br />
===תשובה===<br />
אתה צריך קודם כל להבין מהו ההופכי ואז להראות שכאשר כופלים מקבלים מספר מאותה צורה.<br />
<br />
==שאלה 3.1ב'==<br />
<br />
נתון לי ש-<math>a^2+1=0-->a=\sqrt (-1)</math> אז בגלל שנתון ששדה FxF עם אותן הגדרות כמו ב-C אז הוא מורכב מזוגות סדורים (a,b) כאשר הם שייכים ל-R. נתון לי ש-<math>a\in \mathbb{F}--->(a,a)\in \mathbb{F} \times \mathbb{F}</math> ולכן לא הגיוני ש-a יהיה שווה לאיבר שאינו ממשי, כי אז תהיה סתירה ו-FxF לא יהיה שדה. האם ההסבר מספיק ונכון?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא, מהסיבות הבאות:<br />
<br />
*מה הקשר לממשיים ומרוכבים בכלל? מדובר על שדה כלשהו F<br />
*מה ההגדרה של שורש מינוס אחד ואיך היא משפיעה על התשובה?<br />
<br />
דוגמא לשדה כזה: <math>\mathbb{Z}_2</math> עם a=1. אין מרוכבים ואין ממשיים כלל.<br />
<br />
==תרגיל 2.8א'==<br />
בקושי דיברנו על תתי-שדות בכיתה, ואני לא מבין מה אנחנו צריכים לעשות ב-2.8א'.. זאת בעצם קבוצה שמכילה את שדה F ואת האיבר <math>\sqrt p</math> אז אני צריך להוכיח שהיא שדה? עם כל התכונות? או שאני יכול להסתמך על כך שאם <math>a,b\in \mathbb{F} </math> וגם <math> \mathbb{F} \subseteq \mathbb{R} </math> אזי <math> a,b \in \mathbb{R} \wedge \sqrt p \in \mathbb{R}</math><br />
ואז לכל איבר בקבוצה <math>\mathbb{F}[\sqrt p]</math> מתקיימות התכונות (כי הן מתקיימות גם ב-R).. ו-F בכל מקרה מקיים את התכונות כי F תת-שדה של R..? לא הבנתי כל כך ואשמח להכוונה..<br />
<br />
===תשובה===<br />
מה שתארת לא מספיק. העובדה שכל האיברים נמצאים בשדה רק אומר שזה '''תת-קבוצה''' ולא אומרת בהכרח שזה '''תת שדה'''. למשל השלמים הם תת קבוצה של הממשיים אך אינם תת שדה (כי למשל אין להם הופכי).<br />
<br />
אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר לבדיקת תת שדה שמצויין למעלה באותו עמוד.<br />
<br />
--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:05, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה נוספת==<br />
<br />
לגבי הרמז: איך שורש P יכול לא להיות שייך ל-F? הרי תמיד אפשר להציב ב-a את האיבר הנייטרלי לחיבור וב-b את האיבר הנייטרלי לכפל ואז יוצא ששורש P תמיד ב-F.<br />
תודה מראש!<br />
<br />
==שאלה 1.7==<br />
המרצה הזכיר שכל <math>P^n, P (prime), n\in \mathbb{N}</math> כאשר n פריק ו-P ראשוני (Prime) הוא שדה.. ועבור <math>7^2</math> יש 49 איברים, אם המערכת תניב אינסוף פתרונות, בהנחה שאף פיתרון לא חוזר על עצמו, יהיו 49 פתרונות שונים, נכון? <br />
או שאוכל להשתמש ב-<math>\mathbb{Z}_7</math> שיש לו 7 פתרונות שונים עבור מקרה של אינסוף פתרונות, ולהגיע איכשהו ל-49 פתרונות.. המרצה אמר לי שעדיף להשתמש בזה בדרך מסויימת.. מתרגל יכול לתת כיוון?<br />
תודה מראש, [[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 15:43, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
:לא הבנתי מהו השדה בדוגמא הראשונה ומה אלו הסימונים האלה. יש שדות בגדלים האלה, אני לא בטוח שלמדתם אותם. הכיוון השני אכן עדיף.<br />
<br />
::לא למדנו את השדות האלו, אך גם לא למדנו איך להגיע מ-<math>\mathbb{Z}_7</math> לשדה עם 49 איברים.. אחד המתרגלים יכול לתת כיוון/רמז?<br />
:::אתה מדבר עם אחד המתרגלים :) בכל אופן, אתה לא צריך להגיע לשדה עם 49 איברים בשביל למצוא מערכת משוואות עם 49 פתרונות, יש דרכים אחרות. כמו שאמרתי תנסה לעשות לבד כמה דוגמאות עם מספרים קטנים יותר. תיצור מערכות משוואות ותספור את הפתרונות. אם לא תצליח, אז תשאל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:36, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
::::בעצם לכל מערכת משוואות שאפתור, יתקבל פתרון יחיד/אף פתרון/אינסוף פתרונות. אם אפתור מערכת מעל R, אני יכול לקבל פיתרון יחיד עבור x,y,z או אף פיתרון, או אינסוף פיתרונות, כי אינסוף מספרים שייכים ל-R שיקיימו מצב כמו x=x.. לכן, אם אפתור מעל <math>\mathbb{Z}_7</math> ואקבל מצב של אינסוף פיתרונות, כמו למקרה x=x בעצם, זה לא באמת אינסוף, אלה למערכת כזו יש 7 פתרונות, כמספר האיברים במודולו 7. לכן חשבתי אם אקבל מקרה של אינסוף פיתרונות מעל שדה ובו 49 איברים, יהיו לי 49 פתרונות שונים.. גם בהרצאה וגם בתרגול לא דיברנו על הקשר בין מס' המשוואות והנעלמים למס' הפתרונות, ואין לי מושג איזה פעולות עליי לבצע על <math>\mathbb{Z}_7</math> לדוגמא, כדי לקבל מצב כזה..<br />
:::::האם פתרת מערכות משוואות לדוגמא וספרת את מספר הפתרונות? מעל נגיד Z_2<br />
<br />
::::::אני יכול לקבל פיתרון יחיד, אף פיתרון או 2 פתרונות עבור מצב של אינסוף פתרונות..<br />
<br />
:::::::זה לא נכון. תנסה מספר מערכות עם מספר שונה של משוואות ומספר שונה של נעלמים ותספור את הפתרונות.<br />
<br />
תודה רבה, כבר הסתדרתי, זה כל כך פשוט איך לא חשבתי על זה קודם![[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 23:38, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
===רמז===<br />
מועצת השבט התכנסה והחליטה לתת לכם מעין רמז מנחה: כמה אפשרויות יש לבחירת זוג סדור מתוך קבוצה בת 5 איברים? [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:48, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 1.7 במשוואות ליניאריות==<br />
אם אני רוצה למצוא מערכת בעלת 49 פתרונות בדיוק מספיק לומר כך:<br />
<math><br />
\begin{cases} a_{1,1}x_1+\cdots +a_{1,49}x_{49}=b_1 \\ \vdots \\ a_{49,1}x_1+\cdots +a_{49,49}x_{49}=b_{49} \end{cases}<br />
</math><br />
מעל <math>\mathbb{R}</math> ?<br />
<br />
:למערכת זו יש 49 נעלמים לא 49 פתרונות. יכול להיות שיש לה פתרון יחיד, אינסוף פתרון או אין פתרונות כלל. זו אינה תשובה נכונה, תחשוב שוב.<br />
::{{התנגשות}}למה אתה מתכוון "מספיק לומר"? שזה תקני מבחינת הבוחנים (שלא יורידו לך על ניסוח לא נכון, ואז אני מניח שכן)? שזה באמת יתן לך מערכת בעלת 49 פתרונות (ואז לא, אלא אם ידוע גם שבכל משוואה קיים לפחות מקדם לא חופשי אחד השונה מ-0 ואין שתי משוואות שקבוצת הפתרונות שלהן זהה)? -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 22:54, 25 ביולי 2010 (IDT)<br />
:::למערכת משוואות ליניאריות מעל <math>\mathbb{R}</math> לעולם אין 49 פתרונות! ייתכנו אינסוף פתרונות, פיתרון אחד או אף לא פיתרון אחד. כנ"ל לגבי שדה המרוכבים. אתה צריך לפנות למערכות מעל שדות אחרים שנלמדו בקורס. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:29, 25 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
::::אתם מתכוונים שאני צריך לקחת שדה, שיש בו 49 איברים, כמו <math>Z_{49}</math> ואז ליצור מצב של אינסוף פתרונות, מה שמוביל אותי ל-49?''' '''ודרך אגב, אם המודולו הוא חזקה של מס' ראשוני, הוא גם שדה?<br />
<br />
:::::בכל מקרה לא צריך לכתוב פה תשובות, רק שאלות :) אבל זו גם לא תשובה מדויקת. למדנו ש<math>\mathbb{Z}_p</math> שדה אם"ם p ראשוני. 49 אינו ראשוני.<br />
<br />
::::::נכון אבל המרצה הזכיר משהו לגבי חזקות של מספרים ראשוניים..<br />
::::::: אז תחשוב כיצד ניתן לפתור את התרגיל בהתחשב בידע הזה, או שתפתח את המחברת ותחפש מה המרצה הזכיר. זה לא מאד מסובך, אני ממליץ לנסות לחשב כמה דוגמאות<br />
===רמז===<br />
קח למשל את השדה Z 2 ??<br />
<br />
:אני לא מבין איך רושמים רמז עם סימני שאלה. זו שאלה למתרגלים, שאלה רטורית, תהייה כללית? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:29, 29 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 1.3 ב ==<br />
לא הבנתי מה צריך להוכיח שם הרי מה שהם נתנו שם זה בדיוק תכונת הצימצום אז איך אמורים להראות שזה נובע מתכונת הצימצום..?<br />
<br />
===תשובה===<br />
שים לב להבדל בין הנוסח של סעיף אחד לסעיף א'. "מצא את ההבדלים"<br />
:או בתשובה קצת יותר ברורה, אתה הופך את הביטוי בסעיף ב לביטוי שבסעיף א (באופן פשוט שהייתי רושם אותו כאן אבל נראה לי שהמתרגלים יכעסו אם אעשה זאת) ואז משתמש בתכונת הצמצום.<br />
<br />
==שאלה חשובה וקצרה על 3.1 (לא אותו אחד שכתב את השאלות האחרות)==<br />
איך אפשר להוכיח שהקבוצה עם התכונה הנתונה <math>a^2 +1 =0</math> היא לא שדה, אם בכלל לא הגדרנו מה זה "בריבוע"? אמורים להוכיח שקבוצה כלשהי היא לא שדה אם אחת מהתכונות של השדה (מוגדרות וכו') לא מתקיימת שם. אבל בתכונות האלה של השדה אין אזכור בכלל לאיבר בריבוע, אז איך אפשר להוכיח שהקבוצה היא לא שדה? תודה.<br />
<br />
:בעצם <math>a^2=a\cdot a</math> ז"א, זה נובע מכפל, לכן זה לא משנה איך תכתוב את זה.. דרך טובה לפתור את השאלה הזאת, היא להניח ש-<math>F\times F</math> שדה, ואז להראות שכאשר אנו משתמשים באחת התכונות שלו, זה מוביל לסתירה..<br />
<br />
::הכותב שמעליי צודק. לפי הגדרה <math>a^2=a\cdot a</math> כפי שהגדרנו בתרגיל כשפתרנו את השאלה עם סכום של סדרה הנדסית <math>S=1+q+q^2+...+q^n</math>.<br />
<br />
==עוד שאלה על תרגיל 3.1,סעיף ב==<br />
את רוב הדברים קל להוכיח, ההוכחה זהה בעצם להוכחה בסעיף הקודם, חוץ מהאיברים ההופכים לכפל: צריך להוכיח ש <math>a/(a^2+b^2)</math> ו<math>b-/(a^2+b^2)</math> שונים מ- i, כי הם צריכים להיות איברים של F ובגלל הסגירות של שדה המרוכבים, אני לא רואה סיבה שהם יהיה שונים מ- i. בנוסף ניסיתי ולא הצלחתי להתקרב להוכחה בנושא. יש אולי שגיאה בצורת החשיבה שלי?<br />
<br />
===תשובה===<br />
דבר ראשון אני לא מבין את הקישור לשדה המרוכבים ול-i, מדובר על שדה F כללי. הכפל והחיבור מוגדרים בצורה דומה לשדה המרוכבים (הנוסחאות רשומות מעל השאלה).<br />
<br />
יש להוכיח שאם התכונה הספציפית בF מתקיימת אזי FxF עם הכפל והחיבור שמוגדרים למעלה אינו שדה.<br />
<br />
==תרגיל 3.1,סעיף ב==<br />
בסעיף ב צריך להוכיח שFxF הוא שדה אם הוא מקיים את התנאי, או רק להוכיח שהוא לא שדה אם התנאי לא מתקיים?<br />
<br />
:תניח בשלילה ש-FxF שדה, ותשתמש בתכונה שלו <math>a^2+1=0</math> ואז כשתגיע לסתירה, בעצם ההנחה לא נכונה ו-FxF לא שדה..<br />
<br />
===תשובה===<br />
צריך רק להוכיח שהוא אינו שדה אם קיים a שכזה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:57, 24 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==הגשת תרגיל 1==<br />
שלום רב,<br />
<br />
למתי צריך להגיש את תרגיל 1?<br />
<br />
תודה רבה מראש.<br />
<br />
:עוד לא התחלנו ללמוד, וכבר אתה רוצה להגיש תרגיל? :) נודיע לכם מחר בשיעור. (אגב, אם אתה רוצה לרדת שורה, תשאיר שורת רווח - ראה דף עזרה).<br />
<br />
::1/8. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 16:01, 22 ביולי 2010 (IDT)</div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4026לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-07-30T14:48:13Z<p>Edi.gotlieb: /* תשובה */</p>
<hr />
<div><math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math><br />
= הוראות =<br />
כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על ''' [עריכה]''' (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:<br />
<br />
'''<nowiki>== כותרת לשאלה ==</nowiki>'''<br />
<br />
לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על '''שמירה''' למטה מימין<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע"א - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - יהיה בהמשך<br />
<br />
=שאלות=<br />
==2.8 א'==<br />
הצלחתי להוכיח הכל עד עכשיו מבלי להשתמש בנתון שp ראשוני. נעצרתי בסיף האחרון בו מתבקשים להוכיח שלכל a,b בתת-שדה מתקיים: a כפול הנגדי ל-b שייך לתת-שדה:<br />
אם p שייך לשדה F אז אין בעיה כי יש סגירות בשדה F.<br />
אבל אם P לא שייך לשדה F אז אני לא יודע מה תיתן המכפלה של איבר a (ששיך-F) ב-P לכן אני לא יכול לדעת האם המכפלה הזאת תיהיה ב-F או לא.<br />
איפה נכנס הנתון ש-p ראשוני? אשמח להכוונה לגבי הסעיף האחרון <br />
--[[משתמש:Edi.gotlieb|Edi.gotlieb]] 16:12, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
לא ממש הבנתי את ההנחיות והרמזים: אז אני ינסה להסביר את עצמי. צ"ל לכל a,b השייכים לתת-שדה: a כפול הנגדי לb שייך לתת-שדה.<br />
סימנתי (b שונה מ-0 לכן קיים נגדי) <br />
<br />
<math>a=x+y\sqrt{p}</math> ו- <math> b^{-1}=z+w\sqrt{p}</math><br />
ולכן<br />
<br />
<math>ab^{-1}=(xz+ywp)+(zy+xw)\sqrt{p}</math><br />
<br />
<math>x,y,z,w \in F</math> ולכן (ע"פ סגירות F) <math>xw+zy \in F</math><br />
נשאר להוכיח ש- <math>xz+ywp \in F</math><br />
<br />
אם <math>p \in F</math> אז ע"פ סגירות ב-F.<br />
אבל אם <math>p \notin F</math> אז לא בטוח ש- <math>xz+ymp \in F</math> ואז מה?<br />
--[[משתמש:Edi.gotlieb|Edi.gotlieb]] 17:40, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
===תשובה===<br />
כל הנושא של סגירות לכפל הוא ב<math>K=F[\sqrt{p}]</math> לא ב<math>F</math>, פרט למקרה הפרטי של <math>\sqrt{p} \in F</math> שבו מקבלים <math>K=F</math>.<br />
כלומר, אתה צריך להראות שהמכפלה היא בתוך <math>K</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:26, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
:לדעתי הנתון שp ראשוני הוא לצורך הסעיפים הבאים. בכל אופן אין צורך בו בהוכחה.<br />
<br />
:אני אתן רמז(באנלי ככל שרמז יכול להיות בנאלי): 1+1=2.<br />
<br />
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:27, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
::הבנתי אותך מראש, לא היה צורך לפרט. אתה שואל האם <math>p \in F</math>. עכשיו תחשוב שוב על הרמז. זכור כי F הינו שדה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:43, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
הדבר היחיד שידוע לי על p זה שהוא ראשוני.נתון ש <math>F \in R</math> אז איך זה אומר ש- <math>p \in F</math> ???<br />
חוץ מזה- 1+1=2?<br />
<br />
==3.1 ב'-עריכה חדשה==<br />
אם אני מוכיחה שCXC איננו שדה אז הוכחתי את השאלה נכון?<br />
אז איך אפשר להוכיח את זה?<br />
או שצריך להתייחס לFXF ?<br />
<br />
עריכה:<br />
אוקיי ואם אני מוכיחה את זה לFXF, וכתוב "בהגדרות כמו בC", האם זה אומר לי שהכפל מוגדר כמו בC, וכן ש(1,0) הוא איבר היחידה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לצערי לא. <math>\mathbb{C} \times \mathbb{C}</math> זו רק דוגמא. אתה צריך להוכיח עבור המקרה הכללי עם הנתון המופיע בשאלה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:17, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
:זה אומר שהכפל מוגדר לגבי הזוגות כמו שהוא מוגדר מעל השאלה <math>(a,b)\cdot (c,d) = (ac-bd,ad+bc)</math><br />
<br />
==שאלה==<br />
אם אני מניח ש-<math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> הוא שדה, האם אני יכול להגיד ש<math>(1,0)</math> הוא איבר יחידה בשדה <math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math><br />
<br />
===בירור השאלה===<br />
אינני מבין את השאלה. למה הכוונה ב"אני מניח ש<math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> הוא שדה"?<br />
אין פה עניין של הנחה. כדי שמשהו יהיה שדה צריך שתהיה פעולת כפל מוגדרת ולהראות שכל איבר הוא הפיך לפי הפעולה הזו (מלבד איבר האפס).<br />
אם אתה מגדיר כפל ב<math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> ככפל איבר-איבר, כלומר<math>(a,b) \cdot (c,d)=(a \cdot c, b \cdot d)</math> אז <math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> איננו שדה, ובפרט הוא מכיל מחלקי אפס כגון <math>(1,0)</math>, והאיבר הזה איננו נייטרלי לכפל ולכן איננו איבר היחידה.<br />
אנא נסח מחדש את השאלה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 15:42, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 1.8==<br />
<br />
איך אפשר לבדוק את המקרים??<br />
רק על ידי פתרון מטריצה או שיש דרך נוספת??<br />
בתודה מראש<br />
<br />
===תשובה===<br />
כפי שלמדנו בכיתה. יש לדרג את המטריצה בשיטת גאוס, כאשר צריך לשים לב לדקויות הבאות:<br />
*אם כופלים שורה בa אזי יש לבדוק את המקרה a=0 בנפרד<br />
*אם מחלקים בפונקציה של a יש לבדוק את המקרים בהם הפונקציה מתאפסת בנפרד (למשל אם מחלקים בa-1 יש לבדוק את המקרה a=1 בנפרד)<br />
*אם האיבר הפותח לאחר דירוג יוצא a כמובן שיש לבדוק את המקרה בו a=0 ואז זה לא איבר פותח באמת (כי איבר פותח הוא שונה מאפס)<br />
<br />
== שאלה 2.8 א' ==<br />
<br />
האם f√p הינה קבוצה של כל שורשי המס' הראשוניים או רק של אחד מהם. האם יכול להיות בה גם שורש של שתיים וגם שורש של שלוש?<br />
<br />
===תשובה===<br />
מדובר על ראשוני מסויים קבוע p<br />
<br />
==שאלה==<br />
אני יודעת שצריך להוכיח שלא קיימים m,n ב-Z כך ש-m*n=1. אבל איך אפשר??<br />
<br />
(זאת גם שאלה)אפשר להוכיח ע"י דוגמא נגדית? נגיד להציב a=3 ולהראות ש 3\1 לא בשדה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן אפשר, אבל צריך להסביר מדוע לא יכול להיות הופכי חוץ מ1/3 (מישהו שאלה משהו שיעזור כבר בדף הזה).<br />
<br />
== שאלה 3.11 א' ==<br />
אם אני יודע ש-<math>z^n=1</math> אני יכול להגיד שגם <math>z^{n-1}\cdot z=1</math> וגם <math>z^{n-2}\cdot z=1</math> וכך הלאה? תודה מראש!<br />
:הראשון נכון, השני לא (למשל, <math>i^4=1</math> אבל <math>i^2\cdot i = -i \not = 1</math>). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]],<br />
<br />
===תשובה===<br />
אור צודק. <math>z^n=z^{n-1}\cdot z</math> אבל למה שיתקיים <math>z^{n-1}=z^n</math>?<br />
<br />
== תת שדה==<br />
<br />
האם תת שדה הוא שדה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, לפי ההגדרה, תקראו בחוברת של ד"ר צבאן<br />
<br />
== שאלה 3.5 סעיף ז ==<br />
האם מותר להשתמש בהוכחה גאומטרית כדי להוכיח את אי-שוויון המשולש? או חייבים הוכחה אלגברית?<br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
חייבים הוכחה אלגברית.<br />
<br />
== 1.6 ב' מטריצות==<br />
מה הכוונה שמותר להשתמש בצמצום אבל אסור להשתמש בחילוק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
צמצום כלומר לחסר (ליתר דיוק לכפול בשלילי ולחבר). חילוק הוא כפל בהופכי - למשל חצי. זה נכון כי השלמים הנגדיים קיימים (כלומר בחיבור) אבל שלמים הופכיים לא קיימים (בכפל)<br />
<br />
== 1.3 ב'==<br />
<br />
האם מספיק להשתמש בשאלה זו בתכונת החילוף או שגם צריך להוכיח אותה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
נתון שF שדה, מתוך הגדרה תכונת החילופיות מתקיימת. איך ניתן להוכיח את תכונת החילופיות על קבוצה כללית F שאת לא יודעת עליה כלום?<br />
<br />
<br />
<br />
==2.3 ב==<br />
ברור ש-Z הוא לא שדה כי אין בו הופכי. אבל איך אני מוכיחה את זה מתמטית?<br />
תודה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
מוכיחה שאין בו הופכי. מה התכונה שהופכי צריך לקיים?<br />
<br />
==שאלה נוספת==<br />
נזכרתי בתרגיל בו הוכחנו ש-ZxZ לא שדה, כי אם היה ל-(2,3) הופכי אז היו שני הופכיים בתוך C שהוכחנו שהוא שדה. האם אני באמת צריכה להוכיח ש-R שדה ולהראות ש-Z אינו שדה בצורה דומה?<br />
<br />
שוב תודה מראש, ותודה על התשובה המהירה קודם.<br />
<br />
===תשובה===<br />
זו מחשבה יפה, את יכולה להניח שR שדה, אין צורך להוכיח את זה.<br />
<br />
==בקשה מהמתרגלים!==<br />
לא כולנו מתיישבים להכין את שיעורי הבית בשלושה ימים שלפני מועד ההגשה, ואם לא היו אומרים לי לא הייתי יודע שנוסף תרגיל. <br />
<br />
בבקשה ודאו שהעלתם את כל התרגילים שאתם רוצים שנגיש יחד, ואם הוספתם מאוחר יותר אנא הודיעו על כך. (לפחות תרשמו בדף הזה הודעה על כך).<br />
<br />
תודה מראש<br />
<br />
===תשובה===<br />
שיהיה לכם ברור: '''ההודעות באתר מחייבות'''. זו חובתכם להתעדכן בו, ההודעה נכתבה בעמוד הראשי. הדף הזה הוא לשאלות ותשובות, לא להודעות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:32, 29 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==משוואות ליניאריות==<br />
האם מערכת משוואות לינאריות חייבות להיות מעל שדה כדי להתקיים?<br />
<br />
נגיד יש מערכת משוואות מעל Z היא אמורה לא להתקיים כי Z לא שדה.. מה לא ככה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
משוואה היא שיוון בין שני דברים. לדוגמא, בקבוצה {1,2} ניתן להציג את המשוואה x=2 בעלת פתרון יחיד. כאשר יש חיבור מוגדר בקבוצה אפשר להציג את המשוואה x+y=2 בעלת הפתרון היחיד x=y=1 (שים לב שתחת הגדרה רגילה של חיבור אין פה אפילו סגירות).<br />
<br />
על מערכת משוואות שמוגדרת מעל שדה ניתן לבצע פעולות שורה אלמנטריות מבלי לשנות את הפתרון. אבל מערכת משוואות באופן כללי יכולה להיות מוגדרת גם על הרבה פחות משדה.<br />
<br />
:אז מערכת מעל Z אי אפשר לפתור בשיטת גאוס?<br />
<br />
::אם אתה מדבר על תרגיל 1.6 יש לכך התייחסות מפורשת. בתכלס מותר לבצע את פעולות גאוס אבל רק עם קבועים שלמים. אסור למשל לחלק ב2 (שזה למעשה לכפול בקבוע חצי שאינו שלם).<br />
<br />
==3.11==<br />
בחלק א' מספיק לכתוב (Z) בשלישית=1?<br />
<br />
===תשובה===<br />
באיזה אופן זה מספיק? למה <math>z^3=1</math>? איך זה מראה שקיים z שכל החזקות שלו יחד עם אחד מהוות את כל קבוצת השורשים?<br />
<br />
==3.1==<br />
האם כדי להוכיח ש-C שדה מותר להשתמש בכך ש-R שדה?<br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן. מותר להשתמש בכל המידע שיש לכם על שדה הממשיים.<br />
<br />
==קריטריון מקוצר לתת-שדה==<br />
<br />
לפי הקריטריון צריך להוכיח שהקבוצה הנתונה היא תת-קבוצה של R וכל שני איברים המוכלים בה מהצורה <math>a+b\sqrt p</math> מקיימים <math>((a+b\sqrt p)(c+d\sqrt p)^{-1})\in \mathbb{F} [\sqrt p]</math> ועוד תנאי שאותו קל להוכיח, השאלה איך אפשר בכלל להוכיח שכפל בהופכי של מס' מסויים (המכפלה היא לא בין מספר והופכו אלא הופכי של מס' אחר) תקיים סגירות?<br />
תודה מראש.<br />
<br />
===תשובה===<br />
אתה צריך קודם כל להבין מהו ההופכי ואז להראות שכאשר כופלים מקבלים מספר מאותה צורה.<br />
<br />
==שאלה 3.1ב'==<br />
<br />
נתון לי ש-<math>a^2+1=0-->a=\sqrt (-1)</math> אז בגלל שנתון ששדה FxF עם אותן הגדרות כמו ב-C אז הוא מורכב מזוגות סדורים (a,b) כאשר הם שייכים ל-R. נתון לי ש-<math>a\in \mathbb{F}--->(a,a)\in \mathbb{F} \times \mathbb{F}</math> ולכן לא הגיוני ש-a יהיה שווה לאיבר שאינו ממשי, כי אז תהיה סתירה ו-FxF לא יהיה שדה. האם ההסבר מספיק ונכון?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא, מהסיבות הבאות:<br />
<br />
*מה הקשר לממשיים ומרוכבים בכלל? מדובר על שדה כלשהו F<br />
*מה ההגדרה של שורש מינוס אחד ואיך היא משפיעה על התשובה?<br />
<br />
דוגמא לשדה כזה: <math>\mathbb{Z}_2</math> עם a=1. אין מרוכבים ואין ממשיים כלל.<br />
<br />
==תרגיל 2.8א'==<br />
בקושי דיברנו על תתי-שדות בכיתה, ואני לא מבין מה אנחנו צריכים לעשות ב-2.8א'.. זאת בעצם קבוצה שמכילה את שדה F ואת האיבר <math>\sqrt p</math> אז אני צריך להוכיח שהיא שדה? עם כל התכונות? או שאני יכול להסתמך על כך שאם <math>a,b\in \mathbb{F} </math> וגם <math> \mathbb{F} \subseteq \mathbb{R} </math> אזי <math> a,b \in \mathbb{R} \wedge \sqrt p \in \mathbb{R}</math><br />
ואז לכל איבר בקבוצה <math>\mathbb{F}[\sqrt p]</math> מתקיימות התכונות (כי הן מתקיימות גם ב-R).. ו-F בכל מקרה מקיים את התכונות כי F תת-שדה של R..? לא הבנתי כל כך ואשמח להכוונה..<br />
<br />
===תשובה===<br />
מה שתארת לא מספיק. העובדה שכל האיברים נמצאים בשדה רק אומר שזה '''תת-קבוצה''' ולא אומרת בהכרח שזה '''תת שדה'''. למשל השלמים הם תת קבוצה של הממשיים אך אינם תת שדה (כי למשל אין להם הופכי).<br />
<br />
אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר לבדיקת תת שדה שמצויין למעלה באותו עמוד.<br />
<br />
--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:05, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה נוספת==<br />
<br />
לגבי הרמז: איך שורש P יכול לא להיות שייך ל-F? הרי תמיד אפשר להציב ב-a את האיבר הנייטרלי לחיבור וב-b את האיבר הנייטרלי לכפל ואז יוצא ששורש P תמיד ב-F.<br />
תודה מראש!<br />
<br />
==שאלה 1.7==<br />
המרצה הזכיר שכל <math>P^n, P (prime), n\in \mathbb{N}</math> כאשר n פריק ו-P ראשוני (Prime) הוא שדה.. ועבור <math>7^2</math> יש 49 איברים, אם המערכת תניב אינסוף פתרונות, בהנחה שאף פיתרון לא חוזר על עצמו, יהיו 49 פתרונות שונים, נכון? <br />
או שאוכל להשתמש ב-<math>\mathbb{Z}_7</math> שיש לו 7 פתרונות שונים עבור מקרה של אינסוף פתרונות, ולהגיע איכשהו ל-49 פתרונות.. המרצה אמר לי שעדיף להשתמש בזה בדרך מסויימת.. מתרגל יכול לתת כיוון?<br />
תודה מראש, [[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 15:43, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
:לא הבנתי מהו השדה בדוגמא הראשונה ומה אלו הסימונים האלה. יש שדות בגדלים האלה, אני לא בטוח שלמדתם אותם. הכיוון השני אכן עדיף.<br />
<br />
::לא למדנו את השדות האלו, אך גם לא למדנו איך להגיע מ-<math>\mathbb{Z}_7</math> לשדה עם 49 איברים.. אחד המתרגלים יכול לתת כיוון/רמז?<br />
:::אתה מדבר עם אחד המתרגלים :) בכל אופן, אתה לא צריך להגיע לשדה עם 49 איברים בשביל למצוא מערכת משוואות עם 49 פתרונות, יש דרכים אחרות. כמו שאמרתי תנסה לעשות לבד כמה דוגמאות עם מספרים קטנים יותר. תיצור מערכות משוואות ותספור את הפתרונות. אם לא תצליח, אז תשאל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:36, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
::::בעצם לכל מערכת משוואות שאפתור, יתקבל פתרון יחיד/אף פתרון/אינסוף פתרונות. אם אפתור מערכת מעל R, אני יכול לקבל פיתרון יחיד עבור x,y,z או אף פיתרון, או אינסוף פיתרונות, כי אינסוף מספרים שייכים ל-R שיקיימו מצב כמו x=x.. לכן, אם אפתור מעל <math>\mathbb{Z}_7</math> ואקבל מצב של אינסוף פיתרונות, כמו למקרה x=x בעצם, זה לא באמת אינסוף, אלה למערכת כזו יש 7 פתרונות, כמספר האיברים במודולו 7. לכן חשבתי אם אקבל מקרה של אינסוף פיתרונות מעל שדה ובו 49 איברים, יהיו לי 49 פתרונות שונים.. גם בהרצאה וגם בתרגול לא דיברנו על הקשר בין מס' המשוואות והנעלמים למס' הפתרונות, ואין לי מושג איזה פעולות עליי לבצע על <math>\mathbb{Z}_7</math> לדוגמא, כדי לקבל מצב כזה..<br />
:::::האם פתרת מערכות משוואות לדוגמא וספרת את מספר הפתרונות? מעל נגיד Z_2<br />
<br />
::::::אני יכול לקבל פיתרון יחיד, אף פיתרון או 2 פתרונות עבור מצב של אינסוף פתרונות..<br />
<br />
:::::::זה לא נכון. תנסה מספר מערכות עם מספר שונה של משוואות ומספר שונה של נעלמים ותספור את הפתרונות.<br />
<br />
תודה רבה, כבר הסתדרתי, זה כל כך פשוט איך לא חשבתי על זה קודם![[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 23:38, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
===רמז===<br />
מועצת השבט התכנסה והחליטה לתת לכם מעין רמז מנחה: כמה אפשרויות יש לבחירת זוג סדור מתוך קבוצה בת 5 איברים? [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:48, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 1.7 במשוואות ליניאריות==<br />
אם אני רוצה למצוא מערכת בעלת 49 פתרונות בדיוק מספיק לומר כך:<br />
<math><br />
\begin{cases} a_{1,1}x_1+\cdots +a_{1,49}x_{49}=b_1 \\ \vdots \\ a_{49,1}x_1+\cdots +a_{49,49}x_{49}=b_{49} \end{cases}<br />
</math><br />
מעל <math>\mathbb{R}</math> ?<br />
<br />
:למערכת זו יש 49 נעלמים לא 49 פתרונות. יכול להיות שיש לה פתרון יחיד, אינסוף פתרון או אין פתרונות כלל. זו אינה תשובה נכונה, תחשוב שוב.<br />
::{{התנגשות}}למה אתה מתכוון "מספיק לומר"? שזה תקני מבחינת הבוחנים (שלא יורידו לך על ניסוח לא נכון, ואז אני מניח שכן)? שזה באמת יתן לך מערכת בעלת 49 פתרונות (ואז לא, אלא אם ידוע גם שבכל משוואה קיים לפחות מקדם לא חופשי אחד השונה מ-0 ואין שתי משוואות שקבוצת הפתרונות שלהן זהה)? -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 22:54, 25 ביולי 2010 (IDT)<br />
:::למערכת משוואות ליניאריות מעל <math>\mathbb{R}</math> לעולם אין 49 פתרונות! ייתכנו אינסוף פתרונות, פיתרון אחד או אף לא פיתרון אחד. כנ"ל לגבי שדה המרוכבים. אתה צריך לפנות למערכות מעל שדות אחרים שנלמדו בקורס. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:29, 25 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
::::אתם מתכוונים שאני צריך לקחת שדה, שיש בו 49 איברים, כמו <math>Z_{49}</math> ואז ליצור מצב של אינסוף פתרונות, מה שמוביל אותי ל-49?''' '''ודרך אגב, אם המודולו הוא חזקה של מס' ראשוני, הוא גם שדה?<br />
<br />
:::::בכל מקרה לא צריך לכתוב פה תשובות, רק שאלות :) אבל זו גם לא תשובה מדויקת. למדנו ש<math>\mathbb{Z}_p</math> שדה אם"ם p ראשוני. 49 אינו ראשוני.<br />
<br />
::::::נכון אבל המרצה הזכיר משהו לגבי חזקות של מספרים ראשוניים..<br />
::::::: אז תחשוב כיצד ניתן לפתור את התרגיל בהתחשב בידע הזה, או שתפתח את המחברת ותחפש מה המרצה הזכיר. זה לא מאד מסובך, אני ממליץ לנסות לחשב כמה דוגמאות<br />
===רמז===<br />
קח למשל את השדה Z 2 ??<br />
<br />
:אני לא מבין איך רושמים רמז עם סימני שאלה. זו שאלה למתרגלים, שאלה רטורית, תהייה כללית? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:29, 29 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 1.3 ב ==<br />
לא הבנתי מה צריך להוכיח שם הרי מה שהם נתנו שם זה בדיוק תכונת הצימצום אז איך אמורים להראות שזה נובע מתכונת הצימצום..?<br />
<br />
===תשובה===<br />
שים לב להבדל בין הנוסח של סעיף אחד לסעיף א'. "מצא את ההבדלים"<br />
:או בתשובה קצת יותר ברורה, אתה הופך את הביטוי בסעיף ב לביטוי שבסעיף א (באופן פשוט שהייתי רושם אותו כאן אבל נראה לי שהמתרגלים יכעסו אם אעשה זאת) ואז משתמש בתכונת הצמצום.<br />
<br />
==שאלה חשובה וקצרה על 3.1 (לא אותו אחד שכתב את השאלות האחרות)==<br />
איך אפשר להוכיח שהקבוצה עם התכונה הנתונה <math>a^2 +1 =0</math> היא לא שדה, אם בכלל לא הגדרנו מה זה "בריבוע"? אמורים להוכיח שקבוצה כלשהי היא לא שדה אם אחת מהתכונות של השדה (מוגדרות וכו') לא מתקיימת שם. אבל בתכונות האלה של השדה אין אזכור בכלל לאיבר בריבוע, אז איך אפשר להוכיח שהקבוצה היא לא שדה? תודה.<br />
<br />
:בעצם <math>a^2=a\cdot a</math> ז"א, זה נובע מכפל, לכן זה לא משנה איך תכתוב את זה.. דרך טובה לפתור את השאלה הזאת, היא להניח ש-<math>F\times F</math> שדה, ואז להראות שכאשר אנו משתמשים באחת התכונות שלו, זה מוביל לסתירה..<br />
<br />
::הכותב שמעליי צודק. לפי הגדרה <math>a^2=a\cdot a</math> כפי שהגדרנו בתרגיל כשפתרנו את השאלה עם סכום של סדרה הנדסית <math>S=1+q+q^2+...+q^n</math>.<br />
<br />
==עוד שאלה על תרגיל 3.1,סעיף ב==<br />
את רוב הדברים קל להוכיח, ההוכחה זהה בעצם להוכחה בסעיף הקודם, חוץ מהאיברים ההופכים לכפל: צריך להוכיח ש <math>a/(a^2+b^2)</math> ו<math>b-/(a^2+b^2)</math> שונים מ- i, כי הם צריכים להיות איברים של F ובגלל הסגירות של שדה המרוכבים, אני לא רואה סיבה שהם יהיה שונים מ- i. בנוסף ניסיתי ולא הצלחתי להתקרב להוכחה בנושא. יש אולי שגיאה בצורת החשיבה שלי?<br />
<br />
===תשובה===<br />
דבר ראשון אני לא מבין את הקישור לשדה המרוכבים ול-i, מדובר על שדה F כללי. הכפל והחיבור מוגדרים בצורה דומה לשדה המרוכבים (הנוסחאות רשומות מעל השאלה).<br />
<br />
יש להוכיח שאם התכונה הספציפית בF מתקיימת אזי FxF עם הכפל והחיבור שמוגדרים למעלה אינו שדה.<br />
<br />
==תרגיל 3.1,סעיף ב==<br />
בסעיף ב צריך להוכיח שFxF הוא שדה אם הוא מקיים את התנאי, או רק להוכיח שהוא לא שדה אם התנאי לא מתקיים?<br />
<br />
:תניח בשלילה ש-FxF שדה, ותשתמש בתכונה שלו <math>a^2+1=0</math> ואז כשתגיע לסתירה, בעצם ההנחה לא נכונה ו-FxF לא שדה..<br />
<br />
===תשובה===<br />
צריך רק להוכיח שהוא אינו שדה אם קיים a שכזה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:57, 24 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==הגשת תרגיל 1==<br />
שלום רב,<br />
<br />
למתי צריך להגיש את תרגיל 1?<br />
<br />
תודה רבה מראש.<br />
<br />
:עוד לא התחלנו ללמוד, וכבר אתה רוצה להגיש תרגיל? :) נודיע לכם מחר בשיעור. (אגב, אם אתה רוצה לרדת שורה, תשאיר שורת רווח - ראה דף עזרה).<br />
<br />
::1/8. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 16:01, 22 ביולי 2010 (IDT)</div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4025לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-07-30T14:44:40Z<p>Edi.gotlieb: /* 2.8 א' */</p>
<hr />
<div><math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math><br />
= הוראות =<br />
כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על ''' [עריכה]''' (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:<br />
<br />
'''<nowiki>== כותרת לשאלה ==</nowiki>'''<br />
<br />
לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על '''שמירה''' למטה מימין<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע"א - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - יהיה בהמשך<br />
<br />
=שאלות=<br />
==2.8 א'==<br />
הצלחתי להוכיח הכל עד עכשיו מבלי להשתמש בנתון שp ראשוני. נעצרתי בסיף האחרון בו מתבקשים להוכיח שלכל a,b בתת-שדה מתקיים: a כפול הנגדי ל-b שייך לתת-שדה:<br />
אם p שייך לשדה F אז אין בעיה כי יש סגירות בשדה F.<br />
אבל אם P לא שייך לשדה F אז אני לא יודע מה תיתן המכפלה של איבר a (ששיך-F) ב-P לכן אני לא יכול לדעת האם המכפלה הזאת תיהיה ב-F או לא.<br />
איפה נכנס הנתון ש-p ראשוני? אשמח להכוונה לגבי הסעיף האחרון <br />
--[[משתמש:Edi.gotlieb|Edi.gotlieb]] 16:12, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
לא ממש הבנתי את ההנחיות והרמזים: אז אני ינסה להסביר את עצמי. צ"ל לכל a,b השייכים לתת-שדה: a כפול הנגדי לb שייך לתת-שדה.<br />
סימנתי (b שונה מ-0 לכן קיים נגדי) <br />
<br />
<math>a=x+y\sqrt{p}</math> ו- <math> b^{-1}=z+w\sqrt{p}</math><br />
ולכן<br />
<br />
<math>ab^{-1}=(xz+ywp)+(zy+xw)\sqrt{p}</math><br />
<br />
<math>x,y,z,w \in F</math> ולכן (ע"פ סגירות F) <math>xw+zy \in F</math><br />
נשאר להוכיח ש- <math>xz+ywp \in F</math><br />
<br />
אם <math>p \in F</math> אז ע"פ סגירות ב-F.<br />
אבל אם <math>p \notin F</math> אז לא בטוח ש- <math>xz+ymp \in F</math> ואז מה?<br />
--[[משתמש:Edi.gotlieb|Edi.gotlieb]] 17:40, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
===תשובה===<br />
כל הנושא של סגירות לכפל הוא ב<math>K=F[\sqrt{p}]</math> לא ב<math>F</math>, פרט למקרה הפרטי של <math>\sqrt{p} \in F</math> שבו מקבלים <math>K=F</math>.<br />
כלומר, אתה צריך להראות שהמכפלה היא בתוך <math>K</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:26, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
:לדעתי הנתון שp ראשוני הוא לצורך הסעיפים הבאים. בכל אופן אין צורך בו בהוכחה.<br />
<br />
:אני אתן רמז(באנלי ככל שרמז יכול להיות בנאלי): 1+1=2.<br />
<br />
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:27, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
::הבנתי אותך מראש, לא היה צורך לפרט. אתה שואל האם <math>p \in F</math>. עכשיו תחשוב שוב על הרמז. זכור כי F הינו שדה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:43, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==3.1 ב'-עריכה חדשה==<br />
אם אני מוכיחה שCXC איננו שדה אז הוכחתי את השאלה נכון?<br />
אז איך אפשר להוכיח את זה?<br />
או שצריך להתייחס לFXF ?<br />
<br />
עריכה:<br />
אוקיי ואם אני מוכיחה את זה לFXF, וכתוב "בהגדרות כמו בC", האם זה אומר לי שהכפל מוגדר כמו בC, וכן ש(1,0) הוא איבר היחידה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לצערי לא. <math>\mathbb{C} \times \mathbb{C}</math> זו רק דוגמא. אתה צריך להוכיח עבור המקרה הכללי עם הנתון המופיע בשאלה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:17, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
:זה אומר שהכפל מוגדר לגבי הזוגות כמו שהוא מוגדר מעל השאלה <math>(a,b)\cdot (c,d) = (ac-bd,ad+bc)</math><br />
<br />
==שאלה==<br />
אם אני מניח ש-<math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> הוא שדה, האם אני יכול להגיד ש<math>(1,0)</math> הוא איבר יחידה בשדה <math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math><br />
<br />
===בירור השאלה===<br />
אינני מבין את השאלה. למה הכוונה ב"אני מניח ש<math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> הוא שדה"?<br />
אין פה עניין של הנחה. כדי שמשהו יהיה שדה צריך שתהיה פעולת כפל מוגדרת ולהראות שכל איבר הוא הפיך לפי הפעולה הזו (מלבד איבר האפס).<br />
אם אתה מגדיר כפל ב<math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> ככפל איבר-איבר, כלומר<math>(a,b) \cdot (c,d)=(a \cdot c, b \cdot d)</math> אז <math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> איננו שדה, ובפרט הוא מכיל מחלקי אפס כגון <math>(1,0)</math>, והאיבר הזה איננו נייטרלי לכפל ולכן איננו איבר היחידה.<br />
אנא נסח מחדש את השאלה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 15:42, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 1.8==<br />
<br />
איך אפשר לבדוק את המקרים??<br />
רק על ידי פתרון מטריצה או שיש דרך נוספת??<br />
בתודה מראש<br />
<br />
===תשובה===<br />
כפי שלמדנו בכיתה. יש לדרג את המטריצה בשיטת גאוס, כאשר צריך לשים לב לדקויות הבאות:<br />
*אם כופלים שורה בa אזי יש לבדוק את המקרה a=0 בנפרד<br />
*אם מחלקים בפונקציה של a יש לבדוק את המקרים בהם הפונקציה מתאפסת בנפרד (למשל אם מחלקים בa-1 יש לבדוק את המקרה a=1 בנפרד)<br />
*אם האיבר הפותח לאחר דירוג יוצא a כמובן שיש לבדוק את המקרה בו a=0 ואז זה לא איבר פותח באמת (כי איבר פותח הוא שונה מאפס)<br />
<br />
== שאלה 2.8 א' ==<br />
<br />
האם f√p הינה קבוצה של כל שורשי המס' הראשוניים או רק של אחד מהם. האם יכול להיות בה גם שורש של שתיים וגם שורש של שלוש?<br />
<br />
===תשובה===<br />
מדובר על ראשוני מסויים קבוע p<br />
<br />
==שאלה==<br />
אני יודעת שצריך להוכיח שלא קיימים m,n ב-Z כך ש-m*n=1. אבל איך אפשר??<br />
<br />
(זאת גם שאלה)אפשר להוכיח ע"י דוגמא נגדית? נגיד להציב a=3 ולהראות ש 3\1 לא בשדה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן אפשר, אבל צריך להסביר מדוע לא יכול להיות הופכי חוץ מ1/3 (מישהו שאלה משהו שיעזור כבר בדף הזה).<br />
<br />
== שאלה 3.11 א' ==<br />
אם אני יודע ש-<math>z^n=1</math> אני יכול להגיד שגם <math>z^{n-1}\cdot z=1</math> וגם <math>z^{n-2}\cdot z=1</math> וכך הלאה? תודה מראש!<br />
:הראשון נכון, השני לא (למשל, <math>i^4=1</math> אבל <math>i^2\cdot i = -i \not = 1</math>). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]],<br />
<br />
===תשובה===<br />
אור צודק. <math>z^n=z^{n-1}\cdot z</math> אבל למה שיתקיים <math>z^{n-1}=z^n</math>?<br />
<br />
== תת שדה==<br />
<br />
האם תת שדה הוא שדה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, לפי ההגדרה, תקראו בחוברת של ד"ר צבאן<br />
<br />
== שאלה 3.5 סעיף ז ==<br />
האם מותר להשתמש בהוכחה גאומטרית כדי להוכיח את אי-שוויון המשולש? או חייבים הוכחה אלגברית?<br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
חייבים הוכחה אלגברית.<br />
<br />
== 1.6 ב' מטריצות==<br />
מה הכוונה שמותר להשתמש בצמצום אבל אסור להשתמש בחילוק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
צמצום כלומר לחסר (ליתר דיוק לכפול בשלילי ולחבר). חילוק הוא כפל בהופכי - למשל חצי. זה נכון כי השלמים הנגדיים קיימים (כלומר בחיבור) אבל שלמים הופכיים לא קיימים (בכפל)<br />
<br />
== 1.3 ב'==<br />
<br />
האם מספיק להשתמש בשאלה זו בתכונת החילוף או שגם צריך להוכיח אותה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
נתון שF שדה, מתוך הגדרה תכונת החילופיות מתקיימת. איך ניתן להוכיח את תכונת החילופיות על קבוצה כללית F שאת לא יודעת עליה כלום?<br />
<br />
<br />
<br />
==2.3 ב==<br />
ברור ש-Z הוא לא שדה כי אין בו הופכי. אבל איך אני מוכיחה את זה מתמטית?<br />
תודה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
מוכיחה שאין בו הופכי. מה התכונה שהופכי צריך לקיים?<br />
<br />
==שאלה נוספת==<br />
נזכרתי בתרגיל בו הוכחנו ש-ZxZ לא שדה, כי אם היה ל-(2,3) הופכי אז היו שני הופכיים בתוך C שהוכחנו שהוא שדה. האם אני באמת צריכה להוכיח ש-R שדה ולהראות ש-Z אינו שדה בצורה דומה?<br />
<br />
שוב תודה מראש, ותודה על התשובה המהירה קודם.<br />
<br />
===תשובה===<br />
זו מחשבה יפה, את יכולה להניח שR שדה, אין צורך להוכיח את זה.<br />
<br />
==בקשה מהמתרגלים!==<br />
לא כולנו מתיישבים להכין את שיעורי הבית בשלושה ימים שלפני מועד ההגשה, ואם לא היו אומרים לי לא הייתי יודע שנוסף תרגיל. <br />
<br />
בבקשה ודאו שהעלתם את כל התרגילים שאתם רוצים שנגיש יחד, ואם הוספתם מאוחר יותר אנא הודיעו על כך. (לפחות תרשמו בדף הזה הודעה על כך).<br />
<br />
תודה מראש<br />
<br />
===תשובה===<br />
שיהיה לכם ברור: '''ההודעות באתר מחייבות'''. זו חובתכם להתעדכן בו, ההודעה נכתבה בעמוד הראשי. הדף הזה הוא לשאלות ותשובות, לא להודעות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:32, 29 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==משוואות ליניאריות==<br />
האם מערכת משוואות לינאריות חייבות להיות מעל שדה כדי להתקיים?<br />
<br />
נגיד יש מערכת משוואות מעל Z היא אמורה לא להתקיים כי Z לא שדה.. מה לא ככה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
משוואה היא שיוון בין שני דברים. לדוגמא, בקבוצה {1,2} ניתן להציג את המשוואה x=2 בעלת פתרון יחיד. כאשר יש חיבור מוגדר בקבוצה אפשר להציג את המשוואה x+y=2 בעלת הפתרון היחיד x=y=1 (שים לב שתחת הגדרה רגילה של חיבור אין פה אפילו סגירות).<br />
<br />
על מערכת משוואות שמוגדרת מעל שדה ניתן לבצע פעולות שורה אלמנטריות מבלי לשנות את הפתרון. אבל מערכת משוואות באופן כללי יכולה להיות מוגדרת גם על הרבה פחות משדה.<br />
<br />
:אז מערכת מעל Z אי אפשר לפתור בשיטת גאוס?<br />
<br />
::אם אתה מדבר על תרגיל 1.6 יש לכך התייחסות מפורשת. בתכלס מותר לבצע את פעולות גאוס אבל רק עם קבועים שלמים. אסור למשל לחלק ב2 (שזה למעשה לכפול בקבוע חצי שאינו שלם).<br />
<br />
==3.11==<br />
בחלק א' מספיק לכתוב (Z) בשלישית=1?<br />
<br />
===תשובה===<br />
באיזה אופן זה מספיק? למה <math>z^3=1</math>? איך זה מראה שקיים z שכל החזקות שלו יחד עם אחד מהוות את כל קבוצת השורשים?<br />
<br />
==3.1==<br />
האם כדי להוכיח ש-C שדה מותר להשתמש בכך ש-R שדה?<br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן. מותר להשתמש בכל המידע שיש לכם על שדה הממשיים.<br />
<br />
==קריטריון מקוצר לתת-שדה==<br />
<br />
לפי הקריטריון צריך להוכיח שהקבוצה הנתונה היא תת-קבוצה של R וכל שני איברים המוכלים בה מהצורה <math>a+b\sqrt p</math> מקיימים <math>((a+b\sqrt p)(c+d\sqrt p)^{-1})\in \mathbb{F} [\sqrt p]</math> ועוד תנאי שאותו קל להוכיח, השאלה איך אפשר בכלל להוכיח שכפל בהופכי של מס' מסויים (המכפלה היא לא בין מספר והופכו אלא הופכי של מס' אחר) תקיים סגירות?<br />
תודה מראש.<br />
<br />
===תשובה===<br />
אתה צריך קודם כל להבין מהו ההופכי ואז להראות שכאשר כופלים מקבלים מספר מאותה צורה.<br />
<br />
==שאלה 3.1ב'==<br />
<br />
נתון לי ש-<math>a^2+1=0-->a=\sqrt (-1)</math> אז בגלל שנתון ששדה FxF עם אותן הגדרות כמו ב-C אז הוא מורכב מזוגות סדורים (a,b) כאשר הם שייכים ל-R. נתון לי ש-<math>a\in \mathbb{F}--->(a,a)\in \mathbb{F} \times \mathbb{F}</math> ולכן לא הגיוני ש-a יהיה שווה לאיבר שאינו ממשי, כי אז תהיה סתירה ו-FxF לא יהיה שדה. האם ההסבר מספיק ונכון?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא, מהסיבות הבאות:<br />
<br />
*מה הקשר לממשיים ומרוכבים בכלל? מדובר על שדה כלשהו F<br />
*מה ההגדרה של שורש מינוס אחד ואיך היא משפיעה על התשובה?<br />
<br />
דוגמא לשדה כזה: <math>\mathbb{Z}_2</math> עם a=1. אין מרוכבים ואין ממשיים כלל.<br />
<br />
==תרגיל 2.8א'==<br />
בקושי דיברנו על תתי-שדות בכיתה, ואני לא מבין מה אנחנו צריכים לעשות ב-2.8א'.. זאת בעצם קבוצה שמכילה את שדה F ואת האיבר <math>\sqrt p</math> אז אני צריך להוכיח שהיא שדה? עם כל התכונות? או שאני יכול להסתמך על כך שאם <math>a,b\in \mathbb{F} </math> וגם <math> \mathbb{F} \subseteq \mathbb{R} </math> אזי <math> a,b \in \mathbb{R} \wedge \sqrt p \in \mathbb{R}</math><br />
ואז לכל איבר בקבוצה <math>\mathbb{F}[\sqrt p]</math> מתקיימות התכונות (כי הן מתקיימות גם ב-R).. ו-F בכל מקרה מקיים את התכונות כי F תת-שדה של R..? לא הבנתי כל כך ואשמח להכוונה..<br />
<br />
===תשובה===<br />
מה שתארת לא מספיק. העובדה שכל האיברים נמצאים בשדה רק אומר שזה '''תת-קבוצה''' ולא אומרת בהכרח שזה '''תת שדה'''. למשל השלמים הם תת קבוצה של הממשיים אך אינם תת שדה (כי למשל אין להם הופכי).<br />
<br />
אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר לבדיקת תת שדה שמצויין למעלה באותו עמוד.<br />
<br />
--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:05, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה נוספת==<br />
<br />
לגבי הרמז: איך שורש P יכול לא להיות שייך ל-F? הרי תמיד אפשר להציב ב-a את האיבר הנייטרלי לחיבור וב-b את האיבר הנייטרלי לכפל ואז יוצא ששורש P תמיד ב-F.<br />
תודה מראש!<br />
<br />
==שאלה 1.7==<br />
המרצה הזכיר שכל <math>P^n, P (prime), n\in \mathbb{N}</math> כאשר n פריק ו-P ראשוני (Prime) הוא שדה.. ועבור <math>7^2</math> יש 49 איברים, אם המערכת תניב אינסוף פתרונות, בהנחה שאף פיתרון לא חוזר על עצמו, יהיו 49 פתרונות שונים, נכון? <br />
או שאוכל להשתמש ב-<math>\mathbb{Z}_7</math> שיש לו 7 פתרונות שונים עבור מקרה של אינסוף פתרונות, ולהגיע איכשהו ל-49 פתרונות.. המרצה אמר לי שעדיף להשתמש בזה בדרך מסויימת.. מתרגל יכול לתת כיוון?<br />
תודה מראש, [[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 15:43, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
:לא הבנתי מהו השדה בדוגמא הראשונה ומה אלו הסימונים האלה. יש שדות בגדלים האלה, אני לא בטוח שלמדתם אותם. הכיוון השני אכן עדיף.<br />
<br />
::לא למדנו את השדות האלו, אך גם לא למדנו איך להגיע מ-<math>\mathbb{Z}_7</math> לשדה עם 49 איברים.. אחד המתרגלים יכול לתת כיוון/רמז?<br />
:::אתה מדבר עם אחד המתרגלים :) בכל אופן, אתה לא צריך להגיע לשדה עם 49 איברים בשביל למצוא מערכת משוואות עם 49 פתרונות, יש דרכים אחרות. כמו שאמרתי תנסה לעשות לבד כמה דוגמאות עם מספרים קטנים יותר. תיצור מערכות משוואות ותספור את הפתרונות. אם לא תצליח, אז תשאל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:36, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
::::בעצם לכל מערכת משוואות שאפתור, יתקבל פתרון יחיד/אף פתרון/אינסוף פתרונות. אם אפתור מערכת מעל R, אני יכול לקבל פיתרון יחיד עבור x,y,z או אף פיתרון, או אינסוף פיתרונות, כי אינסוף מספרים שייכים ל-R שיקיימו מצב כמו x=x.. לכן, אם אפתור מעל <math>\mathbb{Z}_7</math> ואקבל מצב של אינסוף פיתרונות, כמו למקרה x=x בעצם, זה לא באמת אינסוף, אלה למערכת כזו יש 7 פתרונות, כמספר האיברים במודולו 7. לכן חשבתי אם אקבל מקרה של אינסוף פיתרונות מעל שדה ובו 49 איברים, יהיו לי 49 פתרונות שונים.. גם בהרצאה וגם בתרגול לא דיברנו על הקשר בין מס' המשוואות והנעלמים למס' הפתרונות, ואין לי מושג איזה פעולות עליי לבצע על <math>\mathbb{Z}_7</math> לדוגמא, כדי לקבל מצב כזה..<br />
:::::האם פתרת מערכות משוואות לדוגמא וספרת את מספר הפתרונות? מעל נגיד Z_2<br />
<br />
::::::אני יכול לקבל פיתרון יחיד, אף פיתרון או 2 פתרונות עבור מצב של אינסוף פתרונות..<br />
<br />
:::::::זה לא נכון. תנסה מספר מערכות עם מספר שונה של משוואות ומספר שונה של נעלמים ותספור את הפתרונות.<br />
<br />
תודה רבה, כבר הסתדרתי, זה כל כך פשוט איך לא חשבתי על זה קודם![[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 23:38, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
===רמז===<br />
מועצת השבט התכנסה והחליטה לתת לכם מעין רמז מנחה: כמה אפשרויות יש לבחירת זוג סדור מתוך קבוצה בת 5 איברים? [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:48, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 1.7 במשוואות ליניאריות==<br />
אם אני רוצה למצוא מערכת בעלת 49 פתרונות בדיוק מספיק לומר כך:<br />
<math><br />
\begin{cases} a_{1,1}x_1+\cdots +a_{1,49}x_{49}=b_1 \\ \vdots \\ a_{49,1}x_1+\cdots +a_{49,49}x_{49}=b_{49} \end{cases}<br />
</math><br />
מעל <math>\mathbb{R}</math> ?<br />
<br />
:למערכת זו יש 49 נעלמים לא 49 פתרונות. יכול להיות שיש לה פתרון יחיד, אינסוף פתרון או אין פתרונות כלל. זו אינה תשובה נכונה, תחשוב שוב.<br />
::{{התנגשות}}למה אתה מתכוון "מספיק לומר"? שזה תקני מבחינת הבוחנים (שלא יורידו לך על ניסוח לא נכון, ואז אני מניח שכן)? שזה באמת יתן לך מערכת בעלת 49 פתרונות (ואז לא, אלא אם ידוע גם שבכל משוואה קיים לפחות מקדם לא חופשי אחד השונה מ-0 ואין שתי משוואות שקבוצת הפתרונות שלהן זהה)? -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 22:54, 25 ביולי 2010 (IDT)<br />
:::למערכת משוואות ליניאריות מעל <math>\mathbb{R}</math> לעולם אין 49 פתרונות! ייתכנו אינסוף פתרונות, פיתרון אחד או אף לא פיתרון אחד. כנ"ל לגבי שדה המרוכבים. אתה צריך לפנות למערכות מעל שדות אחרים שנלמדו בקורס. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:29, 25 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
::::אתם מתכוונים שאני צריך לקחת שדה, שיש בו 49 איברים, כמו <math>Z_{49}</math> ואז ליצור מצב של אינסוף פתרונות, מה שמוביל אותי ל-49?''' '''ודרך אגב, אם המודולו הוא חזקה של מס' ראשוני, הוא גם שדה?<br />
<br />
:::::בכל מקרה לא צריך לכתוב פה תשובות, רק שאלות :) אבל זו גם לא תשובה מדויקת. למדנו ש<math>\mathbb{Z}_p</math> שדה אם"ם p ראשוני. 49 אינו ראשוני.<br />
<br />
::::::נכון אבל המרצה הזכיר משהו לגבי חזקות של מספרים ראשוניים..<br />
::::::: אז תחשוב כיצד ניתן לפתור את התרגיל בהתחשב בידע הזה, או שתפתח את המחברת ותחפש מה המרצה הזכיר. זה לא מאד מסובך, אני ממליץ לנסות לחשב כמה דוגמאות<br />
===רמז===<br />
קח למשל את השדה Z 2 ??<br />
<br />
:אני לא מבין איך רושמים רמז עם סימני שאלה. זו שאלה למתרגלים, שאלה רטורית, תהייה כללית? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:29, 29 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 1.3 ב ==<br />
לא הבנתי מה צריך להוכיח שם הרי מה שהם נתנו שם זה בדיוק תכונת הצימצום אז איך אמורים להראות שזה נובע מתכונת הצימצום..?<br />
<br />
===תשובה===<br />
שים לב להבדל בין הנוסח של סעיף אחד לסעיף א'. "מצא את ההבדלים"<br />
:או בתשובה קצת יותר ברורה, אתה הופך את הביטוי בסעיף ב לביטוי שבסעיף א (באופן פשוט שהייתי רושם אותו כאן אבל נראה לי שהמתרגלים יכעסו אם אעשה זאת) ואז משתמש בתכונת הצמצום.<br />
<br />
==שאלה חשובה וקצרה על 3.1 (לא אותו אחד שכתב את השאלות האחרות)==<br />
איך אפשר להוכיח שהקבוצה עם התכונה הנתונה <math>a^2 +1 =0</math> היא לא שדה, אם בכלל לא הגדרנו מה זה "בריבוע"? אמורים להוכיח שקבוצה כלשהי היא לא שדה אם אחת מהתכונות של השדה (מוגדרות וכו') לא מתקיימת שם. אבל בתכונות האלה של השדה אין אזכור בכלל לאיבר בריבוע, אז איך אפשר להוכיח שהקבוצה היא לא שדה? תודה.<br />
<br />
:בעצם <math>a^2=a\cdot a</math> ז"א, זה נובע מכפל, לכן זה לא משנה איך תכתוב את זה.. דרך טובה לפתור את השאלה הזאת, היא להניח ש-<math>F\times F</math> שדה, ואז להראות שכאשר אנו משתמשים באחת התכונות שלו, זה מוביל לסתירה..<br />
<br />
::הכותב שמעליי צודק. לפי הגדרה <math>a^2=a\cdot a</math> כפי שהגדרנו בתרגיל כשפתרנו את השאלה עם סכום של סדרה הנדסית <math>S=1+q+q^2+...+q^n</math>.<br />
<br />
==עוד שאלה על תרגיל 3.1,סעיף ב==<br />
את רוב הדברים קל להוכיח, ההוכחה זהה בעצם להוכחה בסעיף הקודם, חוץ מהאיברים ההופכים לכפל: צריך להוכיח ש <math>a/(a^2+b^2)</math> ו<math>b-/(a^2+b^2)</math> שונים מ- i, כי הם צריכים להיות איברים של F ובגלל הסגירות של שדה המרוכבים, אני לא רואה סיבה שהם יהיה שונים מ- i. בנוסף ניסיתי ולא הצלחתי להתקרב להוכחה בנושא. יש אולי שגיאה בצורת החשיבה שלי?<br />
<br />
===תשובה===<br />
דבר ראשון אני לא מבין את הקישור לשדה המרוכבים ול-i, מדובר על שדה F כללי. הכפל והחיבור מוגדרים בצורה דומה לשדה המרוכבים (הנוסחאות רשומות מעל השאלה).<br />
<br />
יש להוכיח שאם התכונה הספציפית בF מתקיימת אזי FxF עם הכפל והחיבור שמוגדרים למעלה אינו שדה.<br />
<br />
==תרגיל 3.1,סעיף ב==<br />
בסעיף ב צריך להוכיח שFxF הוא שדה אם הוא מקיים את התנאי, או רק להוכיח שהוא לא שדה אם התנאי לא מתקיים?<br />
<br />
:תניח בשלילה ש-FxF שדה, ותשתמש בתכונה שלו <math>a^2+1=0</math> ואז כשתגיע לסתירה, בעצם ההנחה לא נכונה ו-FxF לא שדה..<br />
<br />
===תשובה===<br />
צריך רק להוכיח שהוא אינו שדה אם קיים a שכזה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:57, 24 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==הגשת תרגיל 1==<br />
שלום רב,<br />
<br />
למתי צריך להגיש את תרגיל 1?<br />
<br />
תודה רבה מראש.<br />
<br />
:עוד לא התחלנו ללמוד, וכבר אתה רוצה להגיש תרגיל? :) נודיע לכם מחר בשיעור. (אגב, אם אתה רוצה לרדת שורה, תשאיר שורת רווח - ראה דף עזרה).<br />
<br />
::1/8. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 16:01, 22 ביולי 2010 (IDT)</div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4022לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-07-30T14:40:23Z<p>Edi.gotlieb: /* 2.8 א' */</p>
<hr />
<div><math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math><br />
= הוראות =<br />
כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על ''' [עריכה]''' (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:<br />
<br />
'''<nowiki>== כותרת לשאלה ==</nowiki>'''<br />
<br />
לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על '''שמירה''' למטה מימין<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע"א - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - יהיה בהמשך<br />
<br />
=שאלות=<br />
==2.8 א'==<br />
הצלחתי להוכיח הכל עד עכשיו מבלי להשתמש בנתון שp ראשוני. נעצרתי בסיף האחרון בו מתבקשים להוכיח שלכל a,b בתת-שדה מתקיים: a כפול הנגדי ל-b שייך לתת-שדה:<br />
אם p שייך לשדה F אז אין בעיה כי יש סגירות בשדה F.<br />
אבל אם P לא שייך לשדה F אז אני לא יודע מה תיתן המכפלה של איבר a (ששיך-F) ב-P לכן אני לא יכול לדעת האם המכפלה הזאת תיהיה ב-F או לא.<br />
איפה נכנס הנתון ש-p ראשוני? אשמח להכוונה לגבי הסעיף האחרון <br />
--[[משתמש:Edi.gotlieb|Edi.gotlieb]] 16:12, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
לא ממש הבנתי את ההנחיות והרמזים: אז אני ינסה להסביר את עצמי. צ"ל לכל a,b השייכים לתת-שדה: a כפול הנגדי לb שייך לתת-שדה.<br />
סימנתי (b שונה מ-0 לכן קיים נגדי) <br />
<br />
<math>a=x+y\sqrt{p}</math> ו- <math> b^{-1}=z+w\sqrt{p}</math><br />
ולכן<br />
<br />
<math>ab^{-1}=(xz+ymp)+(zy+xw)\sqrt{p}</math><br />
<br />
<math>x,y,z,w \in F</math> ולכן (ע"פ סגירות F) <math>xw+zy \in F</math><br />
נשאר להוכיח ש- <math>xz+ywp \in F</math><br />
<br />
אם <math>p \in F</math> אז ע"פ סגירות ב-F.<br />
אבל אם <math>p \notin F</math> אז לא בטוח ש- <math>xz+ymp \in F</math> ואז מה?<br />
--[[משתמש:Edi.gotlieb|Edi.gotlieb]] 17:40, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
===תשובה===<br />
כל הנושא של סגירות לכפל הוא ב<math>K=F[\sqrt{p}]</math> לא ב<math>F</math>, פרט למקרה הפרטי של <math>\sqrt{p} \in F</math> שבו מקבלים <math>K=F</math>.<br />
כלומר, אתה צריך להראות שהמכפלה היא בתוך <math>K</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:26, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
:לדעתי הנתון שp ראשוני הוא לצורך הסעיפים הבאים. בכל אופן אין צורך בו בהוכחה.<br />
<br />
:אני אתן רמז(באנלי ככל שרמז יכול להיות בנאלי): 1+1=2.<br />
<br />
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:27, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==3.1 ב'-עריכה חדשה==<br />
אם אני מוכיחה שCXC איננו שדה אז הוכחתי את השאלה נכון?<br />
אז איך אפשר להוכיח את זה?<br />
או שצריך להתייחס לFXF ?<br />
<br />
עריכה:<br />
אוקיי ואם אני מוכיחה את זה לFXF, וכתוב "בהגדרות כמו בC", האם זה אומר לי שהכפל מוגדר כמו בC, וכן ש(1,0) הוא איבר היחידה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לצערי לא. <math>\mathbb{C} \times \mathbb{C}</math> זו רק דוגמא. אתה צריך להוכיח עבור המקרה הכללי עם הנתון המופיע בשאלה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:17, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
:זה אומר שהכפל מוגדר לגבי הזוגות כמו שהוא מוגדר מעל השאלה <math>(a,b)\cdot (c,d) = (ac-bd,ad+bc)</math><br />
<br />
==שאלה==<br />
אם אני מניח ש-<math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> הוא שדה, האם אני יכול להגיד ש<math>(1,0)</math> הוא איבר יחידה בשדה <math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math><br />
<br />
===בירור השאלה===<br />
אינני מבין את השאלה. למה הכוונה ב"אני מניח ש<math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> הוא שדה"?<br />
אין פה עניין של הנחה. כדי שמשהו יהיה שדה צריך שתהיה פעולת כפל מוגדרת ולהראות שכל איבר הוא הפיך לפי הפעולה הזו (מלבד איבר האפס).<br />
אם אתה מגדיר כפל ב<math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> ככפל איבר-איבר, כלומר<math>(a,b) \cdot (c,d)=(a \cdot c, b \cdot d)</math> אז <math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> איננו שדה, ובפרט הוא מכיל מחלקי אפס כגון <math>(1,0)</math>, והאיבר הזה איננו נייטרלי לכפל ולכן איננו איבר היחידה.<br />
אנא נסח מחדש את השאלה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 15:42, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 1.8==<br />
<br />
איך אפשר לבדוק את המקרים??<br />
רק על ידי פתרון מטריצה או שיש דרך נוספת??<br />
בתודה מראש<br />
<br />
===תשובה===<br />
כפי שלמדנו בכיתה. יש לדרג את המטריצה בשיטת גאוס, כאשר צריך לשים לב לדקויות הבאות:<br />
*אם כופלים שורה בa אזי יש לבדוק את המקרה a=0 בנפרד<br />
*אם מחלקים בפונקציה של a יש לבדוק את המקרים בהם הפונקציה מתאפסת בנפרד (למשל אם מחלקים בa-1 יש לבדוק את המקרה a=1 בנפרד)<br />
*אם האיבר הפותח לאחר דירוג יוצא a כמובן שיש לבדוק את המקרה בו a=0 ואז זה לא איבר פותח באמת (כי איבר פותח הוא שונה מאפס)<br />
<br />
== שאלה 2.8 א' ==<br />
<br />
האם f√p הינה קבוצה של כל שורשי המס' הראשוניים או רק של אחד מהם. האם יכול להיות בה גם שורש של שתיים וגם שורש של שלוש?<br />
<br />
===תשובה===<br />
מדובר על ראשוני מסויים קבוע p<br />
<br />
==שאלה==<br />
אני יודעת שצריך להוכיח שלא קיימים m,n ב-Z כך ש-m*n=1. אבל איך אפשר??<br />
<br />
(זאת גם שאלה)אפשר להוכיח ע"י דוגמא נגדית? נגיד להציב a=3 ולהראות ש 3\1 לא בשדה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן אפשר, אבל צריך להסביר מדוע לא יכול להיות הופכי חוץ מ1/3 (מישהו שאלה משהו שיעזור כבר בדף הזה).<br />
<br />
== שאלה 3.11 א' ==<br />
אם אני יודע ש-<math>z^n=1</math> אני יכול להגיד שגם <math>z^{n-1}\cdot z=1</math> וגם <math>z^{n-2}\cdot z=1</math> וכך הלאה? תודה מראש!<br />
:הראשון נכון, השני לא (למשל, <math>i^4=1</math> אבל <math>i^2\cdot i = -i \not = 1</math>). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]],<br />
<br />
===תשובה===<br />
אור צודק. <math>z^n=z^{n-1}\cdot z</math> אבל למה שיתקיים <math>z^{n-1}=z^n</math>?<br />
<br />
== תת שדה==<br />
<br />
האם תת שדה הוא שדה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, לפי ההגדרה, תקראו בחוברת של ד"ר צבאן<br />
<br />
== שאלה 3.5 סעיף ז ==<br />
האם מותר להשתמש בהוכחה גאומטרית כדי להוכיח את אי-שוויון המשולש? או חייבים הוכחה אלגברית?<br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
חייבים הוכחה אלגברית.<br />
<br />
== 1.6 ב' מטריצות==<br />
מה הכוונה שמותר להשתמש בצמצום אבל אסור להשתמש בחילוק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
צמצום כלומר לחסר (ליתר דיוק לכפול בשלילי ולחבר). חילוק הוא כפל בהופכי - למשל חצי. זה נכון כי השלמים הנגדיים קיימים (כלומר בחיבור) אבל שלמים הופכיים לא קיימים (בכפל)<br />
<br />
== 1.3 ב'==<br />
<br />
האם מספיק להשתמש בשאלה זו בתכונת החילוף או שגם צריך להוכיח אותה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
נתון שF שדה, מתוך הגדרה תכונת החילופיות מתקיימת. איך ניתן להוכיח את תכונת החילופיות על קבוצה כללית F שאת לא יודעת עליה כלום?<br />
<br />
<br />
<br />
==2.3 ב==<br />
ברור ש-Z הוא לא שדה כי אין בו הופכי. אבל איך אני מוכיחה את זה מתמטית?<br />
תודה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
מוכיחה שאין בו הופכי. מה התכונה שהופכי צריך לקיים?<br />
<br />
==שאלה נוספת==<br />
נזכרתי בתרגיל בו הוכחנו ש-ZxZ לא שדה, כי אם היה ל-(2,3) הופכי אז היו שני הופכיים בתוך C שהוכחנו שהוא שדה. האם אני באמת צריכה להוכיח ש-R שדה ולהראות ש-Z אינו שדה בצורה דומה?<br />
<br />
שוב תודה מראש, ותודה על התשובה המהירה קודם.<br />
<br />
===תשובה===<br />
זו מחשבה יפה, את יכולה להניח שR שדה, אין צורך להוכיח את זה.<br />
<br />
==בקשה מהמתרגלים!==<br />
לא כולנו מתיישבים להכין את שיעורי הבית בשלושה ימים שלפני מועד ההגשה, ואם לא היו אומרים לי לא הייתי יודע שנוסף תרגיל. <br />
<br />
בבקשה ודאו שהעלתם את כל התרגילים שאתם רוצים שנגיש יחד, ואם הוספתם מאוחר יותר אנא הודיעו על כך. (לפחות תרשמו בדף הזה הודעה על כך).<br />
<br />
תודה מראש<br />
<br />
===תשובה===<br />
שיהיה לכם ברור: '''ההודעות באתר מחייבות'''. זו חובתכם להתעדכן בו, ההודעה נכתבה בעמוד הראשי. הדף הזה הוא לשאלות ותשובות, לא להודעות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:32, 29 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==משוואות ליניאריות==<br />
האם מערכת משוואות לינאריות חייבות להיות מעל שדה כדי להתקיים?<br />
<br />
נגיד יש מערכת משוואות מעל Z היא אמורה לא להתקיים כי Z לא שדה.. מה לא ככה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
משוואה היא שיוון בין שני דברים. לדוגמא, בקבוצה {1,2} ניתן להציג את המשוואה x=2 בעלת פתרון יחיד. כאשר יש חיבור מוגדר בקבוצה אפשר להציג את המשוואה x+y=2 בעלת הפתרון היחיד x=y=1 (שים לב שתחת הגדרה רגילה של חיבור אין פה אפילו סגירות).<br />
<br />
על מערכת משוואות שמוגדרת מעל שדה ניתן לבצע פעולות שורה אלמנטריות מבלי לשנות את הפתרון. אבל מערכת משוואות באופן כללי יכולה להיות מוגדרת גם על הרבה פחות משדה.<br />
<br />
:אז מערכת מעל Z אי אפשר לפתור בשיטת גאוס?<br />
<br />
::אם אתה מדבר על תרגיל 1.6 יש לכך התייחסות מפורשת. בתכלס מותר לבצע את פעולות גאוס אבל רק עם קבועים שלמים. אסור למשל לחלק ב2 (שזה למעשה לכפול בקבוע חצי שאינו שלם).<br />
<br />
==3.11==<br />
בחלק א' מספיק לכתוב (Z) בשלישית=1?<br />
<br />
===תשובה===<br />
באיזה אופן זה מספיק? למה <math>z^3=1</math>? איך זה מראה שקיים z שכל החזקות שלו יחד עם אחד מהוות את כל קבוצת השורשים?<br />
<br />
==3.1==<br />
האם כדי להוכיח ש-C שדה מותר להשתמש בכך ש-R שדה?<br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן. מותר להשתמש בכל המידע שיש לכם על שדה הממשיים.<br />
<br />
==קריטריון מקוצר לתת-שדה==<br />
<br />
לפי הקריטריון צריך להוכיח שהקבוצה הנתונה היא תת-קבוצה של R וכל שני איברים המוכלים בה מהצורה <math>a+b\sqrt p</math> מקיימים <math>((a+b\sqrt p)(c+d\sqrt p)^{-1})\in \mathbb{F} [\sqrt p]</math> ועוד תנאי שאותו קל להוכיח, השאלה איך אפשר בכלל להוכיח שכפל בהופכי של מס' מסויים (המכפלה היא לא בין מספר והופכו אלא הופכי של מס' אחר) תקיים סגירות?<br />
תודה מראש.<br />
<br />
===תשובה===<br />
אתה צריך קודם כל להבין מהו ההופכי ואז להראות שכאשר כופלים מקבלים מספר מאותה צורה.<br />
<br />
==שאלה 3.1ב'==<br />
<br />
נתון לי ש-<math>a^2+1=0-->a=\sqrt (-1)</math> אז בגלל שנתון ששדה FxF עם אותן הגדרות כמו ב-C אז הוא מורכב מזוגות סדורים (a,b) כאשר הם שייכים ל-R. נתון לי ש-<math>a\in \mathbb{F}--->(a,a)\in \mathbb{F} \times \mathbb{F}</math> ולכן לא הגיוני ש-a יהיה שווה לאיבר שאינו ממשי, כי אז תהיה סתירה ו-FxF לא יהיה שדה. האם ההסבר מספיק ונכון?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא, מהסיבות הבאות:<br />
<br />
*מה הקשר לממשיים ומרוכבים בכלל? מדובר על שדה כלשהו F<br />
*מה ההגדרה של שורש מינוס אחד ואיך היא משפיעה על התשובה?<br />
<br />
דוגמא לשדה כזה: <math>\mathbb{Z}_2</math> עם a=1. אין מרוכבים ואין ממשיים כלל.<br />
<br />
==תרגיל 2.8א'==<br />
בקושי דיברנו על תתי-שדות בכיתה, ואני לא מבין מה אנחנו צריכים לעשות ב-2.8א'.. זאת בעצם קבוצה שמכילה את שדה F ואת האיבר <math>\sqrt p</math> אז אני צריך להוכיח שהיא שדה? עם כל התכונות? או שאני יכול להסתמך על כך שאם <math>a,b\in \mathbb{F} </math> וגם <math> \mathbb{F} \subseteq \mathbb{R} </math> אזי <math> a,b \in \mathbb{R} \wedge \sqrt p \in \mathbb{R}</math><br />
ואז לכל איבר בקבוצה <math>\mathbb{F}[\sqrt p]</math> מתקיימות התכונות (כי הן מתקיימות גם ב-R).. ו-F בכל מקרה מקיים את התכונות כי F תת-שדה של R..? לא הבנתי כל כך ואשמח להכוונה..<br />
<br />
===תשובה===<br />
מה שתארת לא מספיק. העובדה שכל האיברים נמצאים בשדה רק אומר שזה '''תת-קבוצה''' ולא אומרת בהכרח שזה '''תת שדה'''. למשל השלמים הם תת קבוצה של הממשיים אך אינם תת שדה (כי למשל אין להם הופכי).<br />
<br />
אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר לבדיקת תת שדה שמצויין למעלה באותו עמוד.<br />
<br />
--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:05, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה נוספת==<br />
<br />
לגבי הרמז: איך שורש P יכול לא להיות שייך ל-F? הרי תמיד אפשר להציב ב-a את האיבר הנייטרלי לחיבור וב-b את האיבר הנייטרלי לכפל ואז יוצא ששורש P תמיד ב-F.<br />
תודה מראש!<br />
<br />
==שאלה 1.7==<br />
המרצה הזכיר שכל <math>P^n, P (prime), n\in \mathbb{N}</math> כאשר n פריק ו-P ראשוני (Prime) הוא שדה.. ועבור <math>7^2</math> יש 49 איברים, אם המערכת תניב אינסוף פתרונות, בהנחה שאף פיתרון לא חוזר על עצמו, יהיו 49 פתרונות שונים, נכון? <br />
או שאוכל להשתמש ב-<math>\mathbb{Z}_7</math> שיש לו 7 פתרונות שונים עבור מקרה של אינסוף פתרונות, ולהגיע איכשהו ל-49 פתרונות.. המרצה אמר לי שעדיף להשתמש בזה בדרך מסויימת.. מתרגל יכול לתת כיוון?<br />
תודה מראש, [[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 15:43, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
:לא הבנתי מהו השדה בדוגמא הראשונה ומה אלו הסימונים האלה. יש שדות בגדלים האלה, אני לא בטוח שלמדתם אותם. הכיוון השני אכן עדיף.<br />
<br />
::לא למדנו את השדות האלו, אך גם לא למדנו איך להגיע מ-<math>\mathbb{Z}_7</math> לשדה עם 49 איברים.. אחד המתרגלים יכול לתת כיוון/רמז?<br />
:::אתה מדבר עם אחד המתרגלים :) בכל אופן, אתה לא צריך להגיע לשדה עם 49 איברים בשביל למצוא מערכת משוואות עם 49 פתרונות, יש דרכים אחרות. כמו שאמרתי תנסה לעשות לבד כמה דוגמאות עם מספרים קטנים יותר. תיצור מערכות משוואות ותספור את הפתרונות. אם לא תצליח, אז תשאל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:36, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
::::בעצם לכל מערכת משוואות שאפתור, יתקבל פתרון יחיד/אף פתרון/אינסוף פתרונות. אם אפתור מערכת מעל R, אני יכול לקבל פיתרון יחיד עבור x,y,z או אף פיתרון, או אינסוף פיתרונות, כי אינסוף מספרים שייכים ל-R שיקיימו מצב כמו x=x.. לכן, אם אפתור מעל <math>\mathbb{Z}_7</math> ואקבל מצב של אינסוף פיתרונות, כמו למקרה x=x בעצם, זה לא באמת אינסוף, אלה למערכת כזו יש 7 פתרונות, כמספר האיברים במודולו 7. לכן חשבתי אם אקבל מקרה של אינסוף פיתרונות מעל שדה ובו 49 איברים, יהיו לי 49 פתרונות שונים.. גם בהרצאה וגם בתרגול לא דיברנו על הקשר בין מס' המשוואות והנעלמים למס' הפתרונות, ואין לי מושג איזה פעולות עליי לבצע על <math>\mathbb{Z}_7</math> לדוגמא, כדי לקבל מצב כזה..<br />
:::::האם פתרת מערכות משוואות לדוגמא וספרת את מספר הפתרונות? מעל נגיד Z_2<br />
<br />
::::::אני יכול לקבל פיתרון יחיד, אף פיתרון או 2 פתרונות עבור מצב של אינסוף פתרונות..<br />
<br />
:::::::זה לא נכון. תנסה מספר מערכות עם מספר שונה של משוואות ומספר שונה של נעלמים ותספור את הפתרונות.<br />
<br />
תודה רבה, כבר הסתדרתי, זה כל כך פשוט איך לא חשבתי על זה קודם![[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 23:38, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
===רמז===<br />
מועצת השבט התכנסה והחליטה לתת לכם מעין רמז מנחה: כמה אפשרויות יש לבחירת זוג סדור מתוך קבוצה בת 5 איברים? [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:48, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 1.7 במשוואות ליניאריות==<br />
אם אני רוצה למצוא מערכת בעלת 49 פתרונות בדיוק מספיק לומר כך:<br />
<math><br />
\begin{cases} a_{1,1}x_1+\cdots +a_{1,49}x_{49}=b_1 \\ \vdots \\ a_{49,1}x_1+\cdots +a_{49,49}x_{49}=b_{49} \end{cases}<br />
</math><br />
מעל <math>\mathbb{R}</math> ?<br />
<br />
:למערכת זו יש 49 נעלמים לא 49 פתרונות. יכול להיות שיש לה פתרון יחיד, אינסוף פתרון או אין פתרונות כלל. זו אינה תשובה נכונה, תחשוב שוב.<br />
::{{התנגשות}}למה אתה מתכוון "מספיק לומר"? שזה תקני מבחינת הבוחנים (שלא יורידו לך על ניסוח לא נכון, ואז אני מניח שכן)? שזה באמת יתן לך מערכת בעלת 49 פתרונות (ואז לא, אלא אם ידוע גם שבכל משוואה קיים לפחות מקדם לא חופשי אחד השונה מ-0 ואין שתי משוואות שקבוצת הפתרונות שלהן זהה)? -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 22:54, 25 ביולי 2010 (IDT)<br />
:::למערכת משוואות ליניאריות מעל <math>\mathbb{R}</math> לעולם אין 49 פתרונות! ייתכנו אינסוף פתרונות, פיתרון אחד או אף לא פיתרון אחד. כנ"ל לגבי שדה המרוכבים. אתה צריך לפנות למערכות מעל שדות אחרים שנלמדו בקורס. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:29, 25 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
::::אתם מתכוונים שאני צריך לקחת שדה, שיש בו 49 איברים, כמו <math>Z_{49}</math> ואז ליצור מצב של אינסוף פתרונות, מה שמוביל אותי ל-49?''' '''ודרך אגב, אם המודולו הוא חזקה של מס' ראשוני, הוא גם שדה?<br />
<br />
:::::בכל מקרה לא צריך לכתוב פה תשובות, רק שאלות :) אבל זו גם לא תשובה מדויקת. למדנו ש<math>\mathbb{Z}_p</math> שדה אם"ם p ראשוני. 49 אינו ראשוני.<br />
<br />
::::::נכון אבל המרצה הזכיר משהו לגבי חזקות של מספרים ראשוניים..<br />
::::::: אז תחשוב כיצד ניתן לפתור את התרגיל בהתחשב בידע הזה, או שתפתח את המחברת ותחפש מה המרצה הזכיר. זה לא מאד מסובך, אני ממליץ לנסות לחשב כמה דוגמאות<br />
===רמז===<br />
קח למשל את השדה Z 2 ??<br />
<br />
:אני לא מבין איך רושמים רמז עם סימני שאלה. זו שאלה למתרגלים, שאלה רטורית, תהייה כללית? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:29, 29 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 1.3 ב ==<br />
לא הבנתי מה צריך להוכיח שם הרי מה שהם נתנו שם זה בדיוק תכונת הצימצום אז איך אמורים להראות שזה נובע מתכונת הצימצום..?<br />
<br />
===תשובה===<br />
שים לב להבדל בין הנוסח של סעיף אחד לסעיף א'. "מצא את ההבדלים"<br />
:או בתשובה קצת יותר ברורה, אתה הופך את הביטוי בסעיף ב לביטוי שבסעיף א (באופן פשוט שהייתי רושם אותו כאן אבל נראה לי שהמתרגלים יכעסו אם אעשה זאת) ואז משתמש בתכונת הצמצום.<br />
<br />
==שאלה חשובה וקצרה על 3.1 (לא אותו אחד שכתב את השאלות האחרות)==<br />
איך אפשר להוכיח שהקבוצה עם התכונה הנתונה <math>a^2 +1 =0</math> היא לא שדה, אם בכלל לא הגדרנו מה זה "בריבוע"? אמורים להוכיח שקבוצה כלשהי היא לא שדה אם אחת מהתכונות של השדה (מוגדרות וכו') לא מתקיימת שם. אבל בתכונות האלה של השדה אין אזכור בכלל לאיבר בריבוע, אז איך אפשר להוכיח שהקבוצה היא לא שדה? תודה.<br />
<br />
:בעצם <math>a^2=a\cdot a</math> ז"א, זה נובע מכפל, לכן זה לא משנה איך תכתוב את זה.. דרך טובה לפתור את השאלה הזאת, היא להניח ש-<math>F\times F</math> שדה, ואז להראות שכאשר אנו משתמשים באחת התכונות שלו, זה מוביל לסתירה..<br />
<br />
::הכותב שמעליי צודק. לפי הגדרה <math>a^2=a\cdot a</math> כפי שהגדרנו בתרגיל כשפתרנו את השאלה עם סכום של סדרה הנדסית <math>S=1+q+q^2+...+q^n</math>.<br />
<br />
==עוד שאלה על תרגיל 3.1,סעיף ב==<br />
את רוב הדברים קל להוכיח, ההוכחה זהה בעצם להוכחה בסעיף הקודם, חוץ מהאיברים ההופכים לכפל: צריך להוכיח ש <math>a/(a^2+b^2)</math> ו<math>b-/(a^2+b^2)</math> שונים מ- i, כי הם צריכים להיות איברים של F ובגלל הסגירות של שדה המרוכבים, אני לא רואה סיבה שהם יהיה שונים מ- i. בנוסף ניסיתי ולא הצלחתי להתקרב להוכחה בנושא. יש אולי שגיאה בצורת החשיבה שלי?<br />
<br />
===תשובה===<br />
דבר ראשון אני לא מבין את הקישור לשדה המרוכבים ול-i, מדובר על שדה F כללי. הכפל והחיבור מוגדרים בצורה דומה לשדה המרוכבים (הנוסחאות רשומות מעל השאלה).<br />
<br />
יש להוכיח שאם התכונה הספציפית בF מתקיימת אזי FxF עם הכפל והחיבור שמוגדרים למעלה אינו שדה.<br />
<br />
==תרגיל 3.1,סעיף ב==<br />
בסעיף ב צריך להוכיח שFxF הוא שדה אם הוא מקיים את התנאי, או רק להוכיח שהוא לא שדה אם התנאי לא מתקיים?<br />
<br />
:תניח בשלילה ש-FxF שדה, ותשתמש בתכונה שלו <math>a^2+1=0</math> ואז כשתגיע לסתירה, בעצם ההנחה לא נכונה ו-FxF לא שדה..<br />
<br />
===תשובה===<br />
צריך רק להוכיח שהוא אינו שדה אם קיים a שכזה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:57, 24 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==הגשת תרגיל 1==<br />
שלום רב,<br />
<br />
למתי צריך להגיש את תרגיל 1?<br />
<br />
תודה רבה מראש.<br />
<br />
:עוד לא התחלנו ללמוד, וכבר אתה רוצה להגיש תרגיל? :) נודיע לכם מחר בשיעור. (אגב, אם אתה רוצה לרדת שורה, תשאיר שורת רווח - ראה דף עזרה).<br />
<br />
::1/8. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 16:01, 22 ביולי 2010 (IDT)</div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=4004לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-07-30T13:12:57Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלות */</p>
<hr />
<div><math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math><br />
= הוראות =<br />
כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על ''' [עריכה]''' (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:<br />
<br />
'''<nowiki>== כותרת לשאלה ==</nowiki>'''<br />
<br />
לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על '''שמירה''' למטה מימין<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע"א - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - יהיה בהמשך<br />
<br />
=שאלות=<br />
==2.8 א'==<br />
הצלחתי להוכיח הכל עד עכשיו מבלי להשתמש בנתון שp ראשוני. נעצרתי בסיף האחרון בו מתבקשים להוכיח שלכל a,b בתת-שדה מתקיים: a כפול הנגדי ל-b שייך לתת-שדה:<br />
אם p שייך לשדה F אז אין בעיה כי יש סגירות בשדה F.<br />
אבל אם P לא שייך לשדה F אז אני לא יודע מה תיתן המכפלה של איבר a (ששיך-F) ב-P לכן אני לא יכול לדעת האם המכפלה הזאת תיהיה ב-F או לא.<br />
איפה נכנס הנתון ש-p ראשוני? אשמח להכוונה לגבי הסעיף האחרון <br />
--[[משתמש:Edi.gotlieb|Edi.gotlieb]] 16:12, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
<br />
==3.1 ב'==<br />
אם אני מוכיחה שCXC איננו שדה אז הוכחתי את השאלה נכון?<br />
אז איך אפשר להוכיח את זה?<br />
או שצריך להתייחס לFXF ?<br />
<br />
==שאלה==<br />
אם אני מניח ש-<math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> הוא שדה, האם אני יכול להגיד ש<math>(1,0)</math> הוא איבר יחידה בשדה <math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math><br />
<br />
===בירור השאלה===<br />
אינני מבין את השאלה. למה הכוונה ב"אני מניח ש<math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> הוא שדה"?<br />
אין פה עניין של הנחה. כדי שמשהו יהיה שדה צריך שתהיה פעולת כפל מוגדרת ולהראות שכל איבר הוא הפיך לפי הפעולה הזו (מלבד איבר האפס).<br />
אם אתה מגדיר כפל ב<math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> ככפל איבר-איבר, כלומר<math>(a,b) \cdot (c,d)=(a \cdot c, b \cdot d)</math> אז <math>\mathbb{C}</math>x<math>\mathbb{C}</math> איננו שדה, ובפרט הוא מכיל מחלקי אפס כגון <math>(1,0)</math>, והאיבר הזה איננו נייטרלי לכפל ולכן איננו איבר היחידה.<br />
אנא נסח מחדש את השאלה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 15:42, 30 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 1.8==<br />
<br />
איך אפשר לבדוק את המקרים??<br />
רק על ידי פתרון מטריצה או שיש דרך נוספת??<br />
בתודה מראש<br />
<br />
===תשובה===<br />
כפי שלמדנו בכיתה. יש לדרג את המטריצה בשיטת גאוס, כאשר צריך לשים לב לדקויות הבאות:<br />
*אם כופלים שורה בa אזי יש לבדוק את המקרה a=0 בנפרד<br />
*אם מחלקים בפונקציה של a יש לבדוק את המקרים בהם הפונקציה מתאפסת בנפרד (למשל אם מחלקים בa-1 יש לבדוק את המקרה a=1 בנפרד)<br />
*אם האיבר הפותח לאחר דירוג יוצא a כמובן שיש לבדוק את המקרה בו a=0 ואז זה לא איבר פותח באמת (כי איבר פותח הוא שונה מאפס)<br />
<br />
== שאלה 2.8 א' ==<br />
<br />
האם f√p הינה קבוצה של כל שורשי המס' הראשוניים או רק של אחד מהם. האם יכול להיות בה גם שורש של שתיים וגם שורש של שלוש?<br />
<br />
===תשובה===<br />
מדובר על ראשוני מסויים קבוע p<br />
<br />
==שאלה==<br />
אני יודעת שצריך להוכיח שלא קיימים m,n ב-Z כך ש-m*n=1. אבל איך אפשר??<br />
<br />
(זאת גם שאלה)אפשר להוכיח ע"י דוגמא נגדית? נגיד להציב a=3 ולהראות ש 3\1 לא בשדה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן אפשר, אבל צריך להסביר מדוע לא יכול להיות הופכי חוץ מ1/3 (מישהו שאלה משהו שיעזור כבר בדף הזה).<br />
<br />
== שאלה 3.11 א' ==<br />
אם אני יודע ש-<math>z^n=1</math> אני יכול להגיד שגם <math>z^{n-1}\cdot z=1</math> וגם <math>z^{n-2}\cdot z=1</math> וכך הלאה? תודה מראש!<br />
:הראשון נכון, השני לא (למשל, <math>i^4=1</math> אבל <math>i^2\cdot i = -i \not = 1</math>). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]],<br />
<br />
===תשובה===<br />
אור צודק. <math>z^n=z^{n-1}\cdot z</math> אבל למה שיתקיים <math>z^{n-1}=z^n</math>?<br />
<br />
== תת שדה==<br />
<br />
האם תת שדה הוא שדה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן, לפי ההגדרה, תקראו בחוברת של ד"ר צבאן<br />
<br />
== שאלה 3.5 סעיף ז ==<br />
האם מותר להשתמש בהוכחה גאומטרית כדי להוכיח את אי-שוויון המשולש? או חייבים הוכחה אלגברית?<br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
חייבים הוכחה אלגברית.<br />
<br />
== 1.6 ב' מטריצות==<br />
מה הכוונה שמותר להשתמש בצמצום אבל אסור להשתמש בחילוק?<br />
<br />
===תשובה===<br />
צמצום כלומר לחסר (ליתר דיוק לכפול בשלילי ולחבר). חילוק הוא כפל בהופכי - למשל חצי. זה נכון כי השלמים הנגדיים קיימים (כלומר בחיבור) אבל שלמים הופכיים לא קיימים (בכפל)<br />
<br />
== 1.3 ב'==<br />
<br />
האם מספיק להשתמש בשאלה זו בתכונת החילוף או שגם צריך להוכיח אותה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
נתון שF שדה, מתוך הגדרה תכונת החילופיות מתקיימת. איך ניתן להוכיח את תכונת החילופיות על קבוצה כללית F שאת לא יודעת עליה כלום?<br />
<br />
<br />
<br />
==2.3 ב==<br />
ברור ש-Z הוא לא שדה כי אין בו הופכי. אבל איך אני מוכיחה את זה מתמטית?<br />
תודה!<br />
<br />
===תשובה===<br />
מוכיחה שאין בו הופכי. מה התכונה שהופכי צריך לקיים?<br />
<br />
==שאלה נוספת==<br />
נזכרתי בתרגיל בו הוכחנו ש-ZxZ לא שדה, כי אם היה ל-(2,3) הופכי אז היו שני הופכיים בתוך C שהוכחנו שהוא שדה. האם אני באמת צריכה להוכיח ש-R שדה ולהראות ש-Z אינו שדה בצורה דומה?<br />
<br />
שוב תודה מראש, ותודה על התשובה המהירה קודם.<br />
<br />
===תשובה===<br />
זו מחשבה יפה, את יכולה להניח שR שדה, אין צורך להוכיח את זה.<br />
<br />
==בקשה מהמתרגלים!==<br />
לא כולנו מתיישבים להכין את שיעורי הבית בשלושה ימים שלפני מועד ההגשה, ואם לא היו אומרים לי לא הייתי יודע שנוסף תרגיל. <br />
<br />
בבקשה ודאו שהעלתם את כל התרגילים שאתם רוצים שנגיש יחד, ואם הוספתם מאוחר יותר אנא הודיעו על כך. (לפחות תרשמו בדף הזה הודעה על כך).<br />
<br />
תודה מראש<br />
<br />
===תשובה===<br />
שיהיה לכם ברור: '''ההודעות באתר מחייבות'''. זו חובתכם להתעדכן בו, ההודעה נכתבה בעמוד הראשי. הדף הזה הוא לשאלות ותשובות, לא להודעות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:32, 29 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==משוואות ליניאריות==<br />
האם מערכת משוואות לינאריות חייבות להיות מעל שדה כדי להתקיים?<br />
<br />
נגיד יש מערכת משוואות מעל Z היא אמורה לא להתקיים כי Z לא שדה.. מה לא ככה?<br />
<br />
===תשובה===<br />
משוואה היא שיוון בין שני דברים. לדוגמא, בקבוצה {1,2} ניתן להציג את המשוואה x=2 בעלת פתרון יחיד. כאשר יש חיבור מוגדר בקבוצה אפשר להציג את המשוואה x+y=2 בעלת הפתרון היחיד x=y=1 (שים לב שתחת הגדרה רגילה של חיבור אין פה אפילו סגירות).<br />
<br />
על מערכת משוואות שמוגדרת מעל שדה ניתן לבצע פעולות שורה אלמנטריות מבלי לשנות את הפתרון. אבל מערכת משוואות באופן כללי יכולה להיות מוגדרת גם על הרבה פחות משדה.<br />
<br />
:אז מערכת מעל Z אי אפשר לפתור בשיטת גאוס?<br />
<br />
::אם אתה מדבר על תרגיל 1.6 יש לכך התייחסות מפורשת. בתכלס מותר לבצע את פעולות גאוס אבל רק עם קבועים שלמים. אסור למשל לחלק ב2 (שזה למעשה לכפול בקבוע חצי שאינו שלם).<br />
<br />
==3.11==<br />
בחלק א' מספיק לכתוב (Z) בשלישית=1?<br />
<br />
===תשובה===<br />
באיזה אופן זה מספיק? למה <math>z^3=1</math>? איך זה מראה שקיים z שכל החזקות שלו יחד עם אחד מהוות את כל קבוצת השורשים?<br />
<br />
==3.1==<br />
האם כדי להוכיח ש-C שדה מותר להשתמש בכך ש-R שדה?<br />
תודה<br />
<br />
===תשובה===<br />
כן. מותר להשתמש בכל המידע שיש לכם על שדה הממשיים.<br />
<br />
==קריטריון מקוצר לתת-שדה==<br />
<br />
לפי הקריטריון צריך להוכיח שהקבוצה הנתונה היא תת-קבוצה של R וכל שני איברים המוכלים בה מהצורה <math>a+b\sqrt p</math> מקיימים <math>((a+b\sqrt p)(c+d\sqrt p)^{-1})\in \mathbb{F} [\sqrt p]</math> ועוד תנאי שאותו קל להוכיח, השאלה איך אפשר בכלל להוכיח שכפל בהופכי של מס' מסויים (המכפלה היא לא בין מספר והופכו אלא הופכי של מס' אחר) תקיים סגירות?<br />
תודה מראש.<br />
<br />
===תשובה===<br />
אתה צריך קודם כל להבין מהו ההופכי ואז להראות שכאשר כופלים מקבלים מספר מאותה צורה.<br />
<br />
==שאלה 3.1ב'==<br />
<br />
נתון לי ש-<math>a^2+1=0-->a=\sqrt (-1)</math> אז בגלל שנתון ששדה FxF עם אותן הגדרות כמו ב-C אז הוא מורכב מזוגות סדורים (a,b) כאשר הם שייכים ל-R. נתון לי ש-<math>a\in \mathbb{F}--->(a,a)\in \mathbb{F} \times \mathbb{F}</math> ולכן לא הגיוני ש-a יהיה שווה לאיבר שאינו ממשי, כי אז תהיה סתירה ו-FxF לא יהיה שדה. האם ההסבר מספיק ונכון?<br />
<br />
===תשובה===<br />
לא, מהסיבות הבאות:<br />
<br />
*מה הקשר לממשיים ומרוכבים בכלל? מדובר על שדה כלשהו F<br />
*מה ההגדרה של שורש מינוס אחד ואיך היא משפיעה על התשובה?<br />
<br />
דוגמא לשדה כזה: <math>\mathbb{Z}_2</math> עם a=1. אין מרוכבים ואין ממשיים כלל.<br />
<br />
==תרגיל 2.8א'==<br />
בקושי דיברנו על תתי-שדות בכיתה, ואני לא מבין מה אנחנו צריכים לעשות ב-2.8א'.. זאת בעצם קבוצה שמכילה את שדה F ואת האיבר <math>\sqrt p</math> אז אני צריך להוכיח שהיא שדה? עם כל התכונות? או שאני יכול להסתמך על כך שאם <math>a,b\in \mathbb{F} </math> וגם <math> \mathbb{F} \subseteq \mathbb{R} </math> אזי <math> a,b \in \mathbb{R} \wedge \sqrt p \in \mathbb{R}</math><br />
ואז לכל איבר בקבוצה <math>\mathbb{F}[\sqrt p]</math> מתקיימות התכונות (כי הן מתקיימות גם ב-R).. ו-F בכל מקרה מקיים את התכונות כי F תת-שדה של R..? לא הבנתי כל כך ואשמח להכוונה..<br />
<br />
===תשובה===<br />
מה שתארת לא מספיק. העובדה שכל האיברים נמצאים בשדה רק אומר שזה '''תת-קבוצה''' ולא אומרת בהכרח שזה '''תת שדה'''. למשל השלמים הם תת קבוצה של הממשיים אך אינם תת שדה (כי למשל אין להם הופכי).<br />
<br />
אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר לבדיקת תת שדה שמצויין למעלה באותו עמוד.<br />
<br />
--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:05, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה נוספת==<br />
<br />
לגבי הרמז: איך שורש P יכול לא להיות שייך ל-F? הרי תמיד אפשר להציב ב-a את האיבר הנייטרלי לחיבור וב-b את האיבר הנייטרלי לכפל ואז יוצא ששורש P תמיד ב-F.<br />
תודה מראש!<br />
<br />
==שאלה 1.7==<br />
המרצה הזכיר שכל <math>P^n, P (prime), n\in \mathbb{N}</math> כאשר n פריק ו-P ראשוני (Prime) הוא שדה.. ועבור <math>7^2</math> יש 49 איברים, אם המערכת תניב אינסוף פתרונות, בהנחה שאף פיתרון לא חוזר על עצמו, יהיו 49 פתרונות שונים, נכון? <br />
או שאוכל להשתמש ב-<math>\mathbb{Z}_7</math> שיש לו 7 פתרונות שונים עבור מקרה של אינסוף פתרונות, ולהגיע איכשהו ל-49 פתרונות.. המרצה אמר לי שעדיף להשתמש בזה בדרך מסויימת.. מתרגל יכול לתת כיוון?<br />
תודה מראש, [[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 15:43, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
:לא הבנתי מהו השדה בדוגמא הראשונה ומה אלו הסימונים האלה. יש שדות בגדלים האלה, אני לא בטוח שלמדתם אותם. הכיוון השני אכן עדיף.<br />
<br />
::לא למדנו את השדות האלו, אך גם לא למדנו איך להגיע מ-<math>\mathbb{Z}_7</math> לשדה עם 49 איברים.. אחד המתרגלים יכול לתת כיוון/רמז?<br />
:::אתה מדבר עם אחד המתרגלים :) בכל אופן, אתה לא צריך להגיע לשדה עם 49 איברים בשביל למצוא מערכת משוואות עם 49 פתרונות, יש דרכים אחרות. כמו שאמרתי תנסה לעשות לבד כמה דוגמאות עם מספרים קטנים יותר. תיצור מערכות משוואות ותספור את הפתרונות. אם לא תצליח, אז תשאל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:36, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
::::בעצם לכל מערכת משוואות שאפתור, יתקבל פתרון יחיד/אף פתרון/אינסוף פתרונות. אם אפתור מערכת מעל R, אני יכול לקבל פיתרון יחיד עבור x,y,z או אף פיתרון, או אינסוף פיתרונות, כי אינסוף מספרים שייכים ל-R שיקיימו מצב כמו x=x.. לכן, אם אפתור מעל <math>\mathbb{Z}_7</math> ואקבל מצב של אינסוף פיתרונות, כמו למקרה x=x בעצם, זה לא באמת אינסוף, אלה למערכת כזו יש 7 פתרונות, כמספר האיברים במודולו 7. לכן חשבתי אם אקבל מקרה של אינסוף פיתרונות מעל שדה ובו 49 איברים, יהיו לי 49 פתרונות שונים.. גם בהרצאה וגם בתרגול לא דיברנו על הקשר בין מס' המשוואות והנעלמים למס' הפתרונות, ואין לי מושג איזה פעולות עליי לבצע על <math>\mathbb{Z}_7</math> לדוגמא, כדי לקבל מצב כזה..<br />
:::::האם פתרת מערכות משוואות לדוגמא וספרת את מספר הפתרונות? מעל נגיד Z_2<br />
<br />
::::::אני יכול לקבל פיתרון יחיד, אף פיתרון או 2 פתרונות עבור מצב של אינסוף פתרונות..<br />
<br />
:::::::זה לא נכון. תנסה מספר מערכות עם מספר שונה של משוואות ומספר שונה של נעלמים ותספור את הפתרונות.<br />
<br />
תודה רבה, כבר הסתדרתי, זה כל כך פשוט איך לא חשבתי על זה קודם![[משתמש:תומר זוארץ|תומר זוארץ]] 23:38, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
===רמז===<br />
מועצת השבט התכנסה והחליטה לתת לכם מעין רמז מנחה: כמה אפשרויות יש לבחירת זוג סדור מתוך קבוצה בת 5 איברים? [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:48, 26 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 1.7 במשוואות ליניאריות==<br />
אם אני רוצה למצוא מערכת בעלת 49 פתרונות בדיוק מספיק לומר כך:<br />
<math><br />
\begin{cases} a_{1,1}x_1+\cdots +a_{1,49}x_{49}=b_1 \\ \vdots \\ a_{49,1}x_1+\cdots +a_{49,49}x_{49}=b_{49} \end{cases}<br />
</math><br />
מעל <math>\mathbb{R}</math> ?<br />
<br />
:למערכת זו יש 49 נעלמים לא 49 פתרונות. יכול להיות שיש לה פתרון יחיד, אינסוף פתרון או אין פתרונות כלל. זו אינה תשובה נכונה, תחשוב שוב.<br />
::{{התנגשות}}למה אתה מתכוון "מספיק לומר"? שזה תקני מבחינת הבוחנים (שלא יורידו לך על ניסוח לא נכון, ואז אני מניח שכן)? שזה באמת יתן לך מערכת בעלת 49 פתרונות (ואז לא, אלא אם ידוע גם שבכל משוואה קיים לפחות מקדם לא חופשי אחד השונה מ-0 ואין שתי משוואות שקבוצת הפתרונות שלהן זהה)? -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 22:54, 25 ביולי 2010 (IDT)<br />
:::למערכת משוואות ליניאריות מעל <math>\mathbb{R}</math> לעולם אין 49 פתרונות! ייתכנו אינסוף פתרונות, פיתרון אחד או אף לא פיתרון אחד. כנ"ל לגבי שדה המרוכבים. אתה צריך לפנות למערכות מעל שדות אחרים שנלמדו בקורס. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:29, 25 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
::::אתם מתכוונים שאני צריך לקחת שדה, שיש בו 49 איברים, כמו <math>Z_{49}</math> ואז ליצור מצב של אינסוף פתרונות, מה שמוביל אותי ל-49?''' '''ודרך אגב, אם המודולו הוא חזקה של מס' ראשוני, הוא גם שדה?<br />
<br />
:::::בכל מקרה לא צריך לכתוב פה תשובות, רק שאלות :) אבל זו גם לא תשובה מדויקת. למדנו ש<math>\mathbb{Z}_p</math> שדה אם"ם p ראשוני. 49 אינו ראשוני.<br />
<br />
::::::נכון אבל המרצה הזכיר משהו לגבי חזקות של מספרים ראשוניים..<br />
::::::: אז תחשוב כיצד ניתן לפתור את התרגיל בהתחשב בידע הזה, או שתפתח את המחברת ותחפש מה המרצה הזכיר. זה לא מאד מסובך, אני ממליץ לנסות לחשב כמה דוגמאות<br />
===רמז===<br />
קח למשל את השדה Z 2 ??<br />
<br />
:אני לא מבין איך רושמים רמז עם סימני שאלה. זו שאלה למתרגלים, שאלה רטורית, תהייה כללית? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:29, 29 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==שאלה 1.3 ב ==<br />
לא הבנתי מה צריך להוכיח שם הרי מה שהם נתנו שם זה בדיוק תכונת הצימצום אז איך אמורים להראות שזה נובע מתכונת הצימצום..?<br />
<br />
===תשובה===<br />
שים לב להבדל בין הנוסח של סעיף אחד לסעיף א'. "מצא את ההבדלים"<br />
:או בתשובה קצת יותר ברורה, אתה הופך את הביטוי בסעיף ב לביטוי שבסעיף א (באופן פשוט שהייתי רושם אותו כאן אבל נראה לי שהמתרגלים יכעסו אם אעשה זאת) ואז משתמש בתכונת הצמצום.<br />
<br />
==שאלה חשובה וקצרה על 3.1 (לא אותו אחד שכתב את השאלות האחרות)==<br />
איך אפשר להוכיח שהקבוצה עם התכונה הנתונה <math>a^2 +1 =0</math> היא לא שדה, אם בכלל לא הגדרנו מה זה "בריבוע"? אמורים להוכיח שקבוצה כלשהי היא לא שדה אם אחת מהתכונות של השדה (מוגדרות וכו') לא מתקיימת שם. אבל בתכונות האלה של השדה אין אזכור בכלל לאיבר בריבוע, אז איך אפשר להוכיח שהקבוצה היא לא שדה? תודה.<br />
<br />
:בעצם <math>a^2=a\cdot a</math> ז"א, זה נובע מכפל, לכן זה לא משנה איך תכתוב את זה.. דרך טובה לפתור את השאלה הזאת, היא להניח ש-<math>F\times F</math> שדה, ואז להראות שכאשר אנו משתמשים באחת התכונות שלו, זה מוביל לסתירה..<br />
<br />
::הכותב שמעליי צודק. לפי הגדרה <math>a^2=a\cdot a</math> כפי שהגדרנו בתרגיל כשפתרנו את השאלה עם סכום של סדרה הנדסית <math>S=1+q+q^2+...+q^n</math>.<br />
<br />
==עוד שאלה על תרגיל 3.1,סעיף ב==<br />
את רוב הדברים קל להוכיח, ההוכחה זהה בעצם להוכחה בסעיף הקודם, חוץ מהאיברים ההופכים לכפל: צריך להוכיח ש <math>a/(a^2+b^2)</math> ו<math>b-/(a^2+b^2)</math> שונים מ- i, כי הם צריכים להיות איברים של F ובגלל הסגירות של שדה המרוכבים, אני לא רואה סיבה שהם יהיה שונים מ- i. בנוסף ניסיתי ולא הצלחתי להתקרב להוכחה בנושא. יש אולי שגיאה בצורת החשיבה שלי?<br />
<br />
===תשובה===<br />
דבר ראשון אני לא מבין את הקישור לשדה המרוכבים ול-i, מדובר על שדה F כללי. הכפל והחיבור מוגדרים בצורה דומה לשדה המרוכבים (הנוסחאות רשומות מעל השאלה).<br />
<br />
יש להוכיח שאם התכונה הספציפית בF מתקיימת אזי FxF עם הכפל והחיבור שמוגדרים למעלה אינו שדה.<br />
<br />
==תרגיל 3.1,סעיף ב==<br />
בסעיף ב צריך להוכיח שFxF הוא שדה אם הוא מקיים את התנאי, או רק להוכיח שהוא לא שדה אם התנאי לא מתקיים?<br />
<br />
:תניח בשלילה ש-FxF שדה, ותשתמש בתכונה שלו <math>a^2+1=0</math> ואז כשתגיע לסתירה, בעצם ההנחה לא נכונה ו-FxF לא שדה..<br />
<br />
===תשובה===<br />
צריך רק להוכיח שהוא אינו שדה אם קיים a שכזה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:57, 24 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
==הגשת תרגיל 1==<br />
שלום רב,<br />
<br />
למתי צריך להגיש את תרגיל 1?<br />
<br />
תודה רבה מראש.<br />
<br />
:עוד לא התחלנו ללמוד, וכבר אתה רוצה להגיש תרגיל? :) נודיע לכם מחר בשיעור. (אגב, אם אתה רוצה לרדת שורה, תשאיר שורת רווח - ראה דף עזרה).<br />
<br />
::1/8. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 16:01, 22 ביולי 2010 (IDT)</div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=3987בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-07-29T23:06:42Z<p>Edi.gotlieb: /* תשובה */</p>
<hr />
<div><math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math><br />
= הוראות =<br />
כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על ''' [עריכה]''' (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:<br />
<br />
'''<nowiki>== כותרת לשאלה ==</nowiki>'''<br />
<br />
לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על '''שמירה''' למטה מימין<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
==תרגיל 6==<br />
בתרגיל מבקשים להוכיח יחס שקילות של AxB. <br />
ע"פ ההגדרה שרשומה לי במחברת:<br />
R יחס על A נקרא ריפלקסיבי אם לכל a ששיך ל-A<br />
(a,a שייך ל R.<br />
<br />
ההגדרה לא מציינת כיצד יחס שמעל 2 קבוצות שונות יכול לקיים ריפלקסיביות.<br />
אז איך אפשר להוכיח שAxB שקילות?<br />
<br />
<br />
אדי<br />
<br />
===תשובה===<br />
שים לב כי <math>A\times B</math> הינה קבוצה. והאיברים בG הם מהצורה <br />
<math>((a,b),(c,d))\in (A\times B) \times (A \times B)</math><br />
<br />
איך רפלקסיביות צריכה להראות במקרה הזה לדעתך?<br />
<br />
הבנתי:<br />
לכל <math>(a,b)\in (A\times B)</math><br />
<br />
<br />
<math> ((a,b),(a,b))\in G </math><br />
<br />
תודה.<br />
<br />
==הערה==<br />
נא לא למחוק שאלות ותשובות. התשובות יכולות לסייע לאחרים.<br />
<br />
==תרגילים 3 ו4==<br />
בשאלה 3 א' ו-ב' צ"ל שאם האיחוד של כל הAi-ים שווה לA אז R רפלקסיבי (וב-ב' ההפך)? אבל העובדה שהאיחוד של כל הAi-ים שווה לA כבר נתונה בתחילת השאלה!<br />
<br />
בשאלה 4, למשל בסעיף א', צריך להוכיח שאם R מוכל ב-V (שנתון שR שווה לV, מה ההגיון?) וS מוכל ב-W (שגם הם שווים) אז S הרכבה R מוכל ב W הרכבה V (שידוע לנו בכל מקרה שהם שווים?!).<br />
<br />
===תשובה===<br />
<br />
*לא נתון בשאלה 3 שהאיחוד של תתי הקבוצות שווה לA, רק נתון שהן תתי קבוצות (יכולים להיות כולם שווים לקבוצה הריקה למשל)<br />
*איפה נתון שR שווה לV או S שווה לW? אני לא רואה את הנתון הזה. 'מוכל שווה' זה לא אותו דבר כמו 'שווה'.<br />
<br />
:נתון שR שווה לV, כי כתוב בתחילת השאלה ששניהם שווים ל AxB, וככה גם עם S וW.<br />
<br />
::אני מסתכל על התרגיל ורואה את הסימן <math>R\subseteq A\times B</math> '''ולא''' רואה את הסימן <math>R= A\times B</math><br />
<br />
===הערה===<br />
אני בכל זאת חושב שיש טעות בשאלה 3 ג. מבקשים להוכיח ריפלקסיביות כתוצאה של זרות אבל ריפלקסיביות נובע מהאיחוד וטרנסטיביות היא שנובעת מחיתוך ריק של כל הקבוצות. [אדי גוטליב]<br />
<br />
:אדי, שים לב לשאלה '''הוכח/הפרך'''. כלומר, אתה צריך להוכיח אם זה נכון '''או''' להפריך במקרה ולדעתך זה לא נכון.<br />
<br />
:מכיוון שמשפט יכול להיות בלבד נכון או לא נכון, אי אפשר לעשות טעות בשאלת הוכח/הפרך :)<br />
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:38, 29 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
הבנתי :) = לא קראתי נכון את ההוראות.<br />
<br />
==תרגיל 2==<br />
בתרגיל שתיים יש שאלות עם הרכבה של שתי קבוצות ואנחנו למדנו רק על הרכבה של פונקציות...מה לעשות?<br />
<br />
===תשובה===<br />
<br />
שאלה טובה.<br />
זו לא "הרכבה של קבוצות". זו הרכבה של יחסים. בהגדרה, יחס בין <math>A</math> ל<math>B</math> הוא תת-קבוצה של <math>A \times B</math>.<br />
<br />
פונקציה היא בפרט יחס חד-ערכי.<br />
<br />
הרכבת יחסים, בדומה להרכבת פונקציות, מוגדרת כדלקמן:<br />
<br />
אם <math>R \subseteq A \times B</math> וגם <math>S \subseteq B \times C</math> אז <math>S \circ R \subseteq A \times C</math><br />
<br />
כך ש<math>(a,b) \in R \wedge (b,c) \in S \Leftrightarrow (a,c) \in S \circ R</math>.<br />
<br />
עמכם הסליחה על שההגדרה הזו לא הופיעה בקובץ.<br />
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:33, 28 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
==תרגיל 2==<br />
שהעלתם את התרגיל השני, אבל לא כתבתם תאריך הגשה. מתי צריך להגיש אותו?<br />
תודה, שלומי<br />
<br />
<br />
<br />
<!-------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו]-------------------------></div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=3968בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-07-29T14:46:25Z<p>Edi.gotlieb: /* תרגיל 6 */</p>
<hr />
<div><math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math><br />
= הוראות =<br />
כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על ''' [עריכה]''' (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:<br />
<br />
'''<nowiki>== כותרת לשאלה ==</nowiki>'''<br />
<br />
לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על '''שמירה''' למטה מימין<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
==הערה==<br />
נא לא למחוק שאלות ותשובות. התשובות יכולות לסייע לאחרים.<br />
<br />
==תרגילים 3 ו4==<br />
בשאלה 3 א' ו-ב' צ"ל שאם האיחוד של כל הAi-ים שווה לA אז R רפלקסיבי (וב-ב' ההפך)? אבל העובדה שהאיחוד של כל הAi-ים שווה לA כבר נתונה בתחילת השאלה!<br />
<br />
בשאלה 4, למשל בסעיף א', צריך להוכיח שאם R מוכל ב-V (שנתון שR שווה לV, מה ההגיון?) וS מוכל ב-W (שגם הם שווים) אז S הרכבה R מוכל ב W הרכבה V (שידוע לנו בכל מקרה שהם שווים?!).<br />
<br />
===תשובה===<br />
אני לא מתרגל של בדידה לכן אני לא אשיב על המתמטיקה. אני כן אומר שהשפה הזו בלתי מקובלת לחלוטין. זה לא שוק, זו אוניברסיטה וההתבטאויות שלכם צריכות להיות בהתאם. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:05, 29 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
אני רואה שאני כן יכול להשיב על המתמטיקה:<br />
*לא נתון בשאלה 3 שהאיחוד של תתי הקבוצות שווה לA, רק נתון שהן תתי קבוצות (יכולים להיות כולם שווים לקבוצה הריקה למשל)<br />
*איפה נתון שR שווה לV או S שווה לW? אני לא רואה את הנתון הזה. 'מוכל שווה' זה לא אותו דבר כמו 'שווה'.<br />
<br />
:נתון שR שווה לV, כי כתוב בתחילת השאלה ששניהם שווים ל AxB, וככה גם עם S וW.<br />
<br />
::אני מסתכל על התרגיל ורואה את הסימן <math>R\subseteq A\times B</math> '''ולא''' רואה את הסימן <math>R= A\times B</math><br />
<br />
===הערה===<br />
אני בכל זאת חושב שיש טעות בשאלה 3 ג. מבקשים להוכיח ריפלקסיביות כתוצאה של זרות אבל ריפלקסיביות נובע מהאיחוד וטרנסטיביות היא שנובעת מחיתוך ריק של כל הקבוצות. [אדי גוטליב]<br />
<br />
:אדי, שים לב לשאלה '''הוכח/הפרך'''. כלומר, אתה צריך להוכיח אם זה נכון '''או''' להפריך במקרה ולדעתך זה לא נכון.<br />
<br />
:מכיוון שמשפט יכול להיות בלבד נכון או לא נכון, אי אפשר לעשות טעות בשאלת הוכח/הפרך :)<br />
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:38, 29 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
הבנתי :) = לא קראתי נכון את ההוראות.<br />
<br />
==תרגיל 2==<br />
בתרגיל שתיים יש שאלות עם הרכבה של שתי קבוצות ואנחנו למדנו רק על הרכבה של פונקציות...מה לעשות?<br />
<br />
===תשובה===<br />
<br />
שאלה טובה.<br />
זו לא "הרכבה של קבוצות". זו הרכבה של יחסים. בהגדרה, יחס בין <math>A</math> ל<math>B</math> הוא תת-קבוצה של <math>A \times B</math>.<br />
<br />
פונקציה היא בפרט יחס חד-ערכי.<br />
<br />
הרכבת יחסים, בדומה להרכבת פונקציות, מוגדרת כדלקמן:<br />
<br />
אם <math>R \subseteq A \times B</math> וגם <math>S \subseteq B \times C</math> אז <math>S \circ R \subseteq A \times C</math><br />
<br />
כך ש<math>(a,b) \in R \wedge (b,c) \in S \Leftrightarrow (a,c) \in S \circ R</math>.<br />
<br />
עמכם הסליחה על שההגדרה הזו לא הופיעה בקובץ.<br />
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:33, 28 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
==תרגיל 2==<br />
שהעלתם את התרגיל השני, אבל לא כתבתם תאריך הגשה. מתי צריך להגיש אותו?<br />
תודה, שלומי<br />
<br />
<br />
==תרגיל 6==<br />
בתרגיל מבקשים להוכיח יחס שקילות של AxB. <br />
ע"פ ההגדרה שרשומה לי במחברת:<br />
R יחס על A נקרא ריפלקסיבי אם לכל a ששיך ל-A<br />
(a,a שייך ל R.<br />
<br />
ההגדרה לא מציינת כיצד יחס שמעל 2 קבוצות שונות יכול לקיים ריפלקסיביות.<br />
אז איך אפשר להוכיח שAxB שקילות?<br />
<br />
<br />
אדי</div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=3967בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-07-29T14:46:08Z<p>Edi.gotlieb: /* שאלות */</p>
<hr />
<div><math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math><br />
= הוראות =<br />
כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על ''' [עריכה]''' (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:<br />
<br />
'''<nowiki>== כותרת לשאלה ==</nowiki>'''<br />
<br />
לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על '''שמירה''' למטה מימין<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
==הערה==<br />
נא לא למחוק שאלות ותשובות. התשובות יכולות לסייע לאחרים.<br />
<br />
==תרגילים 3 ו4==<br />
בשאלה 3 א' ו-ב' צ"ל שאם האיחוד של כל הAi-ים שווה לA אז R רפלקסיבי (וב-ב' ההפך)? אבל העובדה שהאיחוד של כל הAi-ים שווה לA כבר נתונה בתחילת השאלה!<br />
<br />
בשאלה 4, למשל בסעיף א', צריך להוכיח שאם R מוכל ב-V (שנתון שR שווה לV, מה ההגיון?) וS מוכל ב-W (שגם הם שווים) אז S הרכבה R מוכל ב W הרכבה V (שידוע לנו בכל מקרה שהם שווים?!).<br />
<br />
===תשובה===<br />
אני לא מתרגל של בדידה לכן אני לא אשיב על המתמטיקה. אני כן אומר שהשפה הזו בלתי מקובלת לחלוטין. זה לא שוק, זו אוניברסיטה וההתבטאויות שלכם צריכות להיות בהתאם. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:05, 29 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
אני רואה שאני כן יכול להשיב על המתמטיקה:<br />
*לא נתון בשאלה 3 שהאיחוד של תתי הקבוצות שווה לA, רק נתון שהן תתי קבוצות (יכולים להיות כולם שווים לקבוצה הריקה למשל)<br />
*איפה נתון שR שווה לV או S שווה לW? אני לא רואה את הנתון הזה. 'מוכל שווה' זה לא אותו דבר כמו 'שווה'.<br />
<br />
:נתון שR שווה לV, כי כתוב בתחילת השאלה ששניהם שווים ל AxB, וככה גם עם S וW.<br />
<br />
::אני מסתכל על התרגיל ורואה את הסימן <math>R\subseteq A\times B</math> '''ולא''' רואה את הסימן <math>R= A\times B</math><br />
<br />
===הערה===<br />
אני בכל זאת חושב שיש טעות בשאלה 3 ג. מבקשים להוכיח ריפלקסיביות כתוצאה של זרות אבל ריפלקסיביות נובע מהאיחוד וטרנסטיביות היא שנובעת מחיתוך ריק של כל הקבוצות. [אדי גוטליב]<br />
<br />
:אדי, שים לב לשאלה '''הוכח/הפרך'''. כלומר, אתה צריך להוכיח אם זה נכון '''או''' להפריך במקרה ולדעתך זה לא נכון.<br />
<br />
:מכיוון שמשפט יכול להיות בלבד נכון או לא נכון, אי אפשר לעשות טעות בשאלת הוכח/הפרך :)<br />
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:38, 29 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
הבנתי :) = לא קראתי נכון את ההוראות.<br />
<br />
==תרגיל 2==<br />
בתרגיל שתיים יש שאלות עם הרכבה של שתי קבוצות ואנחנו למדנו רק על הרכבה של פונקציות...מה לעשות?<br />
<br />
===תשובה===<br />
<br />
שאלה טובה.<br />
זו לא "הרכבה של קבוצות". זו הרכבה של יחסים. בהגדרה, יחס בין <math>A</math> ל<math>B</math> הוא תת-קבוצה של <math>A \times B</math>.<br />
<br />
פונקציה היא בפרט יחס חד-ערכי.<br />
<br />
הרכבת יחסים, בדומה להרכבת פונקציות, מוגדרת כדלקמן:<br />
<br />
אם <math>R \subseteq A \times B</math> וגם <math>S \subseteq B \times C</math> אז <math>S \circ R \subseteq A \times C</math><br />
<br />
כך ש<math>(a,b) \in R \wedge (b,c) \in S \Leftrightarrow (a,c) \in S \circ R</math>.<br />
<br />
עמכם הסליחה על שההגדרה הזו לא הופיעה בקובץ.<br />
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:33, 28 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
==תרגיל 2==<br />
שהעלתם את התרגיל השני, אבל לא כתבתם תאריך הגשה. מתי צריך להגיש אותו?<br />
תודה, שלומי<br />
<br />
<br />
==תרגיל 6==<br />
בתרגיל מבקשים להוכיח יחס שקילות של AxB. <br />
ע"פ ההגדרה שרשומה לי במחברת:<br />
R יחס על A נקרא ריפלקסיבי אם לכל a ששיך ל-A<br />
(a,a שייך ל R.<br />
<br />
ההגדרה לא מציינת כיצד יחס שמעל 2 קבוצות שונות יכול לקיים ריפלקסיביות.<br />
אז איך אפשר להוכיח שAxB שקילות?<br />
help.<br />
אדי</div>Edi.gotliebhttps://math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA&diff=3966בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות2010-07-29T14:30:30Z<p>Edi.gotlieb: /* הערה */</p>
<hr />
<div><math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math><br />
= הוראות =<br />
כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על ''' [עריכה]''' (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:<br />
<br />
'''<nowiki>== כותרת לשאלה ==</nowiki>'''<br />
<br />
לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על '''שמירה''' למטה מימין<br />
<br />
=ארכיון=<br />
<br />
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1<br />
<br />
=שאלות=<br />
<br />
==הערה==<br />
נא לא למחוק שאלות ותשובות. התשובות יכולות לסייע לאחרים.<br />
<br />
==תרגילים 3 ו4==<br />
בשאלה 3 א' ו-ב' צ"ל שאם האיחוד של כל הAi-ים שווה לA אז R רפלקסיבי (וב-ב' ההפך)? אבל העובדה שהאיחוד של כל הAi-ים שווה לA כבר נתונה בתחילת השאלה!<br />
<br />
בשאלה 4, למשל בסעיף א', צריך להוכיח שאם R מוכל ב-V (שנתון שR שווה לV, מה ההגיון?) וS מוכל ב-W (שגם הם שווים) אז S הרכבה R מוכל ב W הרכבה V (שידוע לנו בכל מקרה שהם שווים?!).<br />
<br />
===תשובה===<br />
אני לא מתרגל של בדידה לכן אני לא אשיב על המתמטיקה. אני כן אומר שהשפה הזו בלתי מקובלת לחלוטין. זה לא שוק, זו אוניברסיטה וההתבטאויות שלכם צריכות להיות בהתאם. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:05, 29 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
אני רואה שאני כן יכול להשיב על המתמטיקה:<br />
*לא נתון בשאלה 3 שהאיחוד של תתי הקבוצות שווה לA, רק נתון שהן תתי קבוצות (יכולים להיות כולם שווים לקבוצה הריקה למשל)<br />
*איפה נתון שR שווה לV או S שווה לW? אני לא רואה את הנתון הזה. 'מוכל שווה' זה לא אותו דבר כמו 'שווה'.<br />
<br />
:נתון שR שווה לV, כי כתוב בתחילת השאלה ששניהם שווים ל AxB, וככה גם עם S וW.<br />
<br />
::אני מסתכל על התרגיל ורואה את הסימן <math>R\subseteq A\times B</math> '''ולא''' רואה את הסימן <math>R= A\times B</math><br />
<br />
===הערה===<br />
אני בכל זאת חושב שיש טעות בשאלה 3 ג. מבקשים להוכיח ריפלקסיביות כתוצאה של זרות אבל ריפלקסיביות נובע מהאיחוד וטרנסטיביות היא שנובעת מחיתוך ריק של כל הקבוצות. [אדי גוטליב]<br />
<br />
:אדי, שים לב לשאלה '''הוכח/הפרך'''. כלומר, אתה צריך להוכיח אם זה נכון '''או''' להפריך במקרה ולדעתך זה לא נכון.<br />
<br />
:מכיוון שמשפט יכול להיות בלבד נכון או לא נכון, אי אפשר לעשות טעות בשאלת הוכח/הפרך :)<br />
:--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:38, 29 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
הבנתי :) = לא קראתי נכון את ההוראות.<br />
<br />
==תרגיל 2==<br />
בתרגיל שתיים יש שאלות עם הרכבה של שתי קבוצות ואנחנו למדנו רק על הרכבה של פונקציות...מה לעשות?<br />
<br />
===תשובה===<br />
<br />
שאלה טובה.<br />
זו לא "הרכבה של קבוצות". זו הרכבה של יחסים. בהגדרה, יחס בין <math>A</math> ל<math>B</math> הוא תת-קבוצה של <math>A \times B</math>.<br />
<br />
פונקציה היא בפרט יחס חד-ערכי.<br />
<br />
הרכבת יחסים, בדומה להרכבת פונקציות, מוגדרת כדלקמן:<br />
<br />
אם <math>R \subseteq A \times B</math> וגם <math>S \subseteq B \times C</math> אז <math>S \circ R \subseteq A \times C</math><br />
<br />
כך ש<math>(a,b) \in R \wedge (b,c) \in S \Leftrightarrow (a,c) \in S \circ R</math>.<br />
<br />
עמכם הסליחה על שההגדרה הזו לא הופיעה בקובץ.<br />
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:33, 28 ביולי 2010 (IDT)<br />
<br />
<br />
==תרגיל 2==<br />
שהעלתם את התרגיל השני, אבל לא כתבתם תאריך הגשה. מתי צריך להגיש אותו?<br />
תודה, שלומי</div>Edi.gotlieb