Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

שיחה:88-151 תשעג סמסטר ב

2013-05-16T13:26:42Z

Isis: /* תרגיל 6 שאלה 2 */

{{הוראות דף שיחה}}

== שמירת קובץ בmatlab ==

איך בדיוק שומרים קובץ? לאחר שהקלדתי את כל הפקודות שאני רוצה להדפיס ולהגיש כשאלה 1, איך בדיוק מדפיסים/שומרים את הקובץ הזה? כי כששמרתי קיבלתי רק את המשתנים וזה לא עזר לי כל כך.

האם צריך להגיש רק את הקובץ בצורה של script? שם רואים רק את שורת החישוב ללא שורת התשובה..

:(לא מרצה/מתרגל) לפני שאתה מתחיל לרשום את מה שאתה רוצה להדפיס תרשום את הפקודה diary('filename') כאשר filename הוא השם של הקובץ (חשוב שיהיו הגרשיים ') ותלחץ אנטר. זה שומר לך את כל מה שאתה כותב אחרי הפקודה הזאת בסקריפט כולל התשובות וכל מה שכתבת. כדי להפסיק לשמור אתה רושם diary(off) ולוחץ אנטר.

== מה צריך להגיש ? ==
בתרגיל 1 צריך להגיש רק את תרגיל 4 ? ומותר להגיש אותו כקובץ וורד ?
*כן. (ע"פ שימי ריאני) --[[משתמש:Caspim|Caspim]] 13:08, 7 במרץ 2013 (IST)

: אפשר להגיש בכל פורמט שאתה רוצה, אבל כל תוכנית או דוגמא יש להפעיל ב- matlab ולהדפיס את התוצאות. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 16:28, 8 במרץ 2013 (IST)

== תרגיל 1 שאלה 4 ==

כאשר רשום בשאלה "הסבירו בקצרה", למה הכוונה? האם להעתיק את מה שה-MATLAB רושם או לנסח במילים שלי? והדוגמה שצריך לתת, כיצד היא אמורה להיראות? האם זה פשוט סקריפט שבו אני משתמש בפעולה/פונקציה?

* במילים שלך, הדוגמא זה שימוש ב"מושג"

== האם יש אפשרות להתחבר לשרת Planet דרך מחשב mac? ==

האם יש אפשרות להתחבר לשרת Planet דרך מחשב mac? יש מדריך איך לעשות זאת?

(לא מתרגל/מרצה) אני לא רואה סיבה למה לא,פשוט תוריד את האפשרות של mac ל VNC, תמצא PuTTY לmac וזה אמור להיות זהה להמשך המדריך לזה

: בעיקרון זה צריך להיות אפילו יותר פשוט מה מחשב עם חלונות, תפנה לתמיכה טכנית - http://support.cs.biu.ac.il --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 16:31, 8 במרץ 2013 (IST)

== שעות קבלה ==

תוכלו לפרסם בבקשה שעות קבלה של המרצים והמתרגלים? תודה!

== וקטור בקלט של פונקציה ==

איך אפשר להפוך את הקלט של פונקציה שאני בונה לוקטור?

: עוברים מוקטור שורה לעמודה ע"י 'x

* כשאני רושם את הקלט בפונקציה, ולאחר מכן מנסה להפעיל אותה הוא מביא לי אזהרה ואומר ש-x הוא מסוג double. כלומר איך אני מגדיר אותו להיות וקטור?
: כל דבר במטלב הוא מטריצה (או וקטור, בפרט). ככל הנראה יש לך טעות בפונקציה. עדיף שתשלח אליי את הקוד, או תפרסם אותו כאן, אז אוכל לעזור. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 17:08, 10 במרץ 2013 (IST)

*ניסיתי לבנות את הפונקציה ודיי הסתבכתי. המטרה שלי היא שאם תירשם לדוגמא פקודה בצורה הבאה במטלב:

([Avg([80 78 69

הפונקציה תחזיר את הממוצע של שלושתם (ובמקרה הכללי עבור מספר לא ידוע של ציונים, שמכניס המשתמש).

: [http://u.math.biu.ac.il/~osharog/88151/Avg.m בקישור זה] נמצאת דוגמא לפונקציה כזאת. תשים לב שהפונקציה צריכה להיות בתיקייה שאתה עובד בה (Current Folder). אל תשכח לשנות את התיקייה מברירת מחדל של מטלב לתיקייה אמיתית. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 23:36, 10 במרץ 2013 (IST)

*תודה!

== תרגיל 2 שאלות 3,4 ==

-האם אפשר (או אפילו צריך) להדפיס את הscript עם כל הקוד בנפרד, ואת הפעלת הפונקציה על קלט לדוגמא?

: כן. אנחנו צריכים לראות את הקוד וגם התוצאות של הרצת קוד זה. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 18:53, 13 במרץ 2013 (IST)

-בשאלה 4,למה הכוונה במערכים מוכלים?

: לדוגמא, מערך [1, 2, 3] מוכל במערך [1, 2, 3, 4, 5]. כמו הכלה של קבוצות. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 18:53, 13 במרץ 2013 (IST)

- האם הכוונה למטריצה ש"נמצאת בתוך" מטריצה אחרת, כמו לדוגמא I2 נמצאת בתוך I4, או לפי האינדקסים של המטריצות (כלומר התייחסות למטריצה כוקטור שורה כמו שראינו בתרגול)?
:מטריצה בתוך מטריצה [[משתמש:Rianis|shimi]] 01:16, 18 במרץ 2013 (IST)

== שאלה לגבי תרגיל 2 שאלה 5 ==

לגבי האיבר המינימלי: כוונת השאלה הייתה לחשב את סכום שלושת האיברים הקטנים ביותר במטריצה M?
: הכוונה הייתה לקבל את המספר המינימלי בכל עמודה ולחשב את סכומם [[משתמש:Rianis|shimi]] 01:36, 18 במרץ 2013 (IST)

== תוכנה נתקעת ==

בכל פעם שאני מתחבר לשרתים של בר אילן התוכנה נתקעת ורק השעון שבפינה עובד.
איך אני יכול לסדר את זה?

== החזרת מספר פרמטרים מפוקנציה ==

אם מחזירים מהפונקציה מספר פרמטרים - כיצד לקבל את כולם?
השאלה היא לא לגבי מספרים , אלא לדוגמא אם מחזירים וקטור ומטריצה(כמו בשאלה 3)
הדרך שמצאתי היא :
...vector,matrix]=function]
ואז הוקטור בvector והמטריצה בmatrix
האם זו דרך נכונה? האם יש דרכים יותר טובות? לא ראינו דוגמאות לכך בהרצאה..
ושאלה נוספת לגבי התרגילים: בכל שבוע נצטרך להגיש רק שאלה אחת שהיא להגשה(למשל בתרגיל2 - שאלה 3)
וכל השאלות האחרות הן לתרגול עצמי?(כלומר-אין צורך להגיש והם רשות)

*(לא מתרגל) בעיקרון במטלב כל משתנה שלא תאמר/י לו מה להיות מפורשות יוגדר להיות מטריצה. כלומר אם הפלט מוגדר להיות x ובמהלך הפונקציה יש בו שימוש כסקלר, הוא יהיה סקלר. אם השימוש הוא כמטריצה, הוא יהיה מטריצה. הכל עניין של הפוקדות שנכללות בהמשך הפונ' בהן מוגדר x. השמות הם דבר שולי, גם אם תקרא לוקטורים matrix ולמטריצות vector, זה לא יהפוך אותם לסוג זה. מומלץ להביא שמות קשורים למציאות, כדי שלמי שקורא את הקוד יהיה קל להבין.

:עשית זאת נכון. אכן תרגיל אחד להגשה בכל פעם והשאר לתרגול עצמי (מומלץ מאוד לעשות) [[משתמש:Rianis|shimi]] 01:40, 18 במרץ 2013 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 4 ==

מה הפונקציה אמורה להחזיר ? ערך לוגי(0 -אם מוכלים , 1 - אם לא) או משהוא אחר?
והבדיקה צריכה להיות אם הראשון מוכל בשני והשני בראשון או רק צד אחד - ראשון בשני?

* (לא מתרגל) אני חושב שזה לא משנה כל כך, תוכל/י להחזיר 1 או אפס, ובאותה מידה תוכל/י להחזיר הודעה כתובה עם disp נניח. העיקר זה יהיה מובן, לכן אני ממליץ על הודעה במילים. אפשר גם להסביר בhelp שאם התנאי מתקיים הפו' מחזירה 1 ואחרת 0, גם זו אופציה, הרבה פו' במטלב פועלות על הקונספט הזה.

לפי הניסוח של השאלה - צריך לבדוק האם כל אחד הוא תת מערך של השני.

== תרגיל 2 שאלה 3 ==

האם ניתן להניח תקינות קלט? כלומר - שלמטריצת הקלט יהיו 4 עמודות לפחות?
ואם לא - מה צריך לעשות במקרה של קלט לא תקין?
:לצורך השאלה ניתן להניח תקינות קלט, אך תמיד נחמד להוסיף בדיקה לתקינות הקלט אשר תוציא הודעה מתאימה למשתמש במידה והקלט אינו תקין ואז תסיים את הפונקציה [[משתמש:Rianis|shimi]] 01:44, 18 במרץ 2013 (IST)

== שינוי הסיסמא ==

אפשר הסבר על איך לשנות את הסיסמא? לפי מה שהבנתי צריך להיכנס לאתר הזה
http://password.cs.biu.ac.il/

אבל אני לא מצליח להתחבר אליו..

*(לא מתרגל) אם הכוונה לשינוי סיסמא עבור השרת של בר אילן דרך putty, אפשר לפעול לפי המדריך המצורף בדף הקורס. נכנסים לputty ונכנסים עם שם המשתמש והסיסמא הראשונית, המערכת ישר מפנה לשינוי סיסמא ומשם כדאי להקפיד על הכללים הבאים: http://support.cs.biu.ac.il/content/%D7%9B%D7%99%D7%A6%D7%93-%D7%9E%D7%90%D7%A4%D7%A1%D7%99%D7%9D-%D7%A1%D7%99%D7%A1%D7%9E%D7%90

ה putty לא עובד לי.. יש עוד דרך?

*מהputty נכנסים לשרת, אני לא מכיר דרך אחרת. אין סיבה שהוא לא יעבוד, הוא גם לא קשור לבר אילן כל כך, זו תוכנה שמאפשרת כניסה לשרתים רבים. נסה למחוק ולהוריד שוב.

== בניית מטריצה ללא לולאות ==

איך ניתן לבנות את המטריצה המקיימת: <math>A(i,j)=i+j</math> מבלי להשתמש בלולאות?

*אתה יכול להשתמש בפונקציית הcumsum וones על מנת לבנות וקטורי עמודה ושורה של 1 2 3 ... n. אפשר לחבר ולשכפל את הווקטור הזה על מנת ליצור מטריצה שמקיימת את התנאים שציינת.
:קוד נחמד שכתבתי המבצע זאת:
[[קובץ:GetIplusJMatrix.png]]

:--[[משתמש:Avital|(לא מתרגל/מרצה) Avital]] 12:28, 20 במרץ 2013 (IST)

תודה!

== ציור גרף ==

המטלב שלי לא מצייר גרפים. בכל פעם שאני מנסה ליצור גרף הוא נותן לי רשימה של חמש שגיאות שונות שרובן בתוכנות של המטלב עצמו
וכן הוא כותב (גם אם אני עושה plot על משתנה אחד) שמספר הערכים ב- X וב Y שונה.
מה אני יכול לעשות?

== לימודים בפסח ==

יש לימודים בימי ראשון ושלישי הבאים? (31/3 וה 2/3)?

: חופשת פסח עד יום שלישי (02/03/2013) כולל. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 20:23, 28 במרץ 2013 (IST)

מתי חוזרים ללמוד?

: החל מיום רביעי... --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 23:22, 31 במרץ 2013 (IDT)

== שתי שאלות לגבי הבוחן ==

א.אילו פקודות צריך לדעת לבוחן (מלבד פקודות אלמנטריות כמו sin,cos,exp וכד')?
ב.ניתן יהיה להעלות קובץ עם דוגמאות לשאלות ברמה של הבוחן?

(לא מתרגל / מרצה) מתי יש בוחן? --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:42, 30 במרץ 2013 (IDT)

== לגבי תרגיל 3 שאלה 4 ==

צריך להדפיס את כל 92 הפתרונות?

*(לא מתרגל) רשום בשאלה: "כתבו תכנית המוצאת מצב לוח כלשהו הפותר את החידה".

== העלאת הרצאות של ד"ר מיכאלי על גרפים ורקורסיה ==

ניתן יהיה להעלות את המצגות של הרצאות 4 ו5 (על גרפים ורקרוסיה) של ד"ר מיכאלי לאתר שלו?

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

- האם אפשר להניח תקינות הקלט (לדוגמא לא לבדוק אם מכניסים לי שלוש פעמים את הנקודה 0,0 או כשלא יוצא מצולע מקורדינטות הקלט וכו').
: כן. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 19:11, 13 באפריל 2013 (IDT)
-איך בדיוק אפשר לחשב שטח של מצולע לא קמור? כלומר אם אני מבין נכון הפונ' צריכה גם לדעת לחשב שטח כמו של המצולע הזה [http://www.ics.uci.edu/~eppstein/161/theseus.gif]?
: אתה יכול להניח מקרים פשוטים יותר מהמקרה שבציור. יש להניח שצלעות לא נחתכים. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 19:11, 13 באפריל 2013 (IDT)

-אבל זה יותר בעייתי לחשב שטח של מצולע לא קמור מאשר קמור, איך אפשר לעשות זאת?
: זה יותר מסובך אבל לא בלתי אפשרי. תחשוב על הפתרון, תנסה לצייר כמה מצולעים ולחשוב על אלגוריתם שיאפשר חישוב. תוכל גם לחפש ולקרוא באינטרנט על גישות שונות לבעיה זו --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 23:32, 13 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 3 שטח מצולע מורכב ==

צריך לחשב גם שטח של מצולע מורכב, שצלעותיו יכולות לחתוך זאת את זאת או מספיק מצולע פשוט? --[[משתמש:Avital|(לא מתרגל/מרצה) Avital]] 18:03, 13 באפריל 2013 (IDT)
: יש להניח שצלעותיו לא נחתכים. מצולע לא חייב להיות קמור. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 19:12, 13 באפריל 2013 (IDT)

== וקטור קוארדינטות ==

שלום! מה הכוונה שהמצולע נתון על ידי שני וקטורי קוארדינטות? אפשר בבקשה לקבל דוג' לקלט? תודה!

*(לא מתרגל) לדוגמא הקלט: <math>x=[-1,1,0] y=[0,0,1]</math> הוא המשולש עם הקודקודים <math>(-1,0);(1,0);(0,1)</math>.
: תודה. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 18:44, 14 באפריל 2013 (IDT)

== קודקודים סמוכים ==

אפשר להניח שהקודקודים שמגיעים מהקלט מסודרים? כלומר שכל קודקוד סמוך לאלה שכתובים משני הצדדים שלו?
למשל אם אני מקבלת בקלט: x=(7,5,0,-3,6) ו y=(1,5,3,-4,-5) אז אני יכולה להניח שהקודקוד 5,5 סמוך ל 7,1 ול 0,3?
: אפשר להניח שהקודקודים מסודרים לפי כיוון השעון. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 18:44, 14 באפריל 2013 (IDT)

== מרחק נקודה מישר ==

האם יש פונקציה שאפשר להשתמש בה לחישוב של מרחק נקודה מישר? תודה!

*(לא מתרגל) אולי ואולי לא, אבל תמיד אפשר לבנות בנפרד לפי נוסחא.
: אם יש צורך בפונקציה כזו, אפשר לממש אותה. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 01:02, 17 באפריל 2013 (IDT)

אם אתה מנסה לחשב שטח של משולש לפי 3 קודקודים יש נוסחה פשוטה לכך, חפש בגוגל
: אפשר גם לפתח אותה בעצמכם, זה לא מסובך. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 18:51, 17 באפריל 2013 (IDT)

== שתי שאלות לגבי תרגיל 4 ==

לגבי שאלה 1:הבסיס אורתונורמלי ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית על R?
: כן. אפשר גם עבור מכפלה פנימית שרירותית. זה לא ישנה את התוכנה. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 01:05, 17 באפריל 2013 (IDT)
לגבי שאלה 3:צריך לנמק למה הפונקציה שבניתי עובדת גם עבור מרובעים קעורים וגם עבור קמורים או שמספיק להביא דוגמה לכל סוג מצולע?
: צריך גם לנמק וגם להביא דוגמאות. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 01:05, 17 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

האם אפשר להביא פתרון לא רקורסיבי?
: לא. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 01:05, 17 באפריל 2013 (IDT)

אוקיי. כמה תרגילים אפשר לא להגיש בלי שתהיה פגיעה בציון?
: למיטב ידיעתי 0, אבל תתעדכן עם המרצה. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 18:50, 17 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

כבר אמרתם שאפשר להניח שצלעות לא נחתכות, אבל האם אפשר גם להניח שבמהלך הרקורסיה הצלעות לא נחתכות?

לדוגמה בחישוב שטח של מצולע בצורת כוכב, בעיקרון אין צלעות נחתכות אבל אם ניקח 4 נקודות סמוכות אז בשטח שהן יצרו כן יהיו צלעות נחתכות.

*אמרו כבר שהצלעות מסודרות בכיוון השעון, כך שלא צריכה להיווצר בעיה כזו, ואם כן אז התוכנה לא אמורה לדעת לחשב שטח של מצולע כזה.

: אני לא יודע איך בדיוק עובדת תוכנה שלך, לכן קשה לי להבין דוגמא שנתת. אבל אם במהלך החישוב אתה מקבל צלעות נחתחות, אז ככל הנראה התוכנה לא עובדת נכון. אמרתי שהסידור לפי כיוון השעון רק כדי שתדעו איך לצייר את המצולע, אחרת יש הרבה אפשרויות חיבור. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 23:56, 17 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

ניתן להשתמש בלולאות ופונקציות אחרות שיצרתי בפעולה הרקורסיבית? --[[משתמש:Avital|(לא מתרגל/מרצה) Avital]] 16:31, 18 באפריל 2013 (IDT)
: כל מה שאתה רוצה. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 18:36, 18 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

אני מכיר נוסחה פשוטה לחישוב שטח של מצולע לפי הקודקודים, אני יכול פשוט להתשתמש בו? (כמובן אחשב את הנוסחה רקורסיבית, בלי לולאות)
: תצטרך להסביר את הנוסחא. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 21:43, 20 באפריל 2013 (IDT)

:: בלהסביר הכוונה להראות את הנוסחה או להוכיח אותה?
::: עדיף להוכיח. אבל גם הסבר מפורט יכול להתאים. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 00:48, 22 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

הכוונה בכך שנקודות מתווספות עם כיוון השעון היא שהן גם בהכרח מחוץ למצולע לפני שמוסיפים כל אחת?
: אני לא הבנתי את המשפט. נקודות לא מתווספות - הן נתונות. רק כל הנקודות מייצרות את המצולע. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 22:27, 22 באפריל 2013 (IDT)
(לא מתרגל) בקשר לשאלה שלך, לא.

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

אפשר להניח שבמהלך הרקורסיה עם הורדת נקודות גם המצולע החדש לא חותך את עצמו?
: אני לא יודע איך אתה מתכוון להוריד את הנקודות, איך אפשר להיות בטוח שמשהו חדש לא חותך את עצמו? אם אתה עושה פעולה שאתה לא בטוח בתוצאה, אז תבדוק מה עושים בכל אחת מאפשרויות. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 13:32, 23 באפריל 2013 (IDT)

== בוחן בשימושי מחשבים- תיכוניסטים ==

הבוחן שבוע הבא ביום שני. ערב לפני זה מדורות ל"ג בעומר ואין כל כך זמן ללמוד.
בנוסף- אחרי המדורות נהיה עייפים וזה לא יום מוצלח לעשות בו את הבוחן.
יהיה אפשר לדחות את הבוחן?

ועוד שאלה-
עד איפה החומר לבוחן? האם הוא עם חומר פתוח?

*(לא מתרגל) אלה פחות או יותר התשובות שהביא היום המרצה (ד"ר מיכאלי, לתיכוניסטים):

-הבוחן כבר נקבע מוקדם יותר ואי אפשר להחליף את המועד שלו.

- יהיו 2 שאלות, הזמן הוא בערך שעה.

- השאלות יהיו בנושא של תכנות.

- ללא חומר פתוח.

- הוא אמר שישתדלו לפרסם בוחן לדוגמא או משהו דומה.

-בשביל להתכונן מומלץ לענות על כל השאלות משיעורי הבית, לא רק מה שהיה צריך להגיש.

== שאלה לגבי הבוחן ==

בבוחן יהיה צריך לדעת לשחזר אלגוריתמים בלתי טריוויאלים (מיון בועות,bisection וכד') שהוראו בהרצאה?
: ייתכן שתצטרכו לכתוב משהו דומה. אין צורך לדעת אלגוריתמים בעל פה, אך יש להבין אותם. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 00:36, 28 באפריל 2013 (IDT)

== בוחן לדוגמא ==

אתם יכולים להוציא בוחן לדוגמה?

== בוחן ==

שלום! האם נצטרך לדעת ריבועים מינימליים לבוחן?
: לא. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 00:35, 28 באפריל 2013 (IDT)

== בוחן ==

מישהו יודע מתי מחר הבוחן של התיכוניסטים ובאיזה כיתות

בשעה 6 ב604

== שאלה לגבי הבוחן ==

בבוחן, באחת השאלות הייתה לי טעות קטנה שבגללה האלגוריתם לא עובד כראוי, ואני לא בטוח שהבודק יזהה שזו הטעות והוא עלול להוריד לי על כך יותר מידי נקודות. האם יש אפשרות להודיע לו מראש שזו הטעות?

== תרגיל 5 שאלה 4 ==

מה הכוונה תמונת הסתעפות לפונקציה?

== שאלה 5 תרגיל 2 ==

איך אנחנו אמורים להשתמש בפקודה pinv כדי למצוא מרחק ?
: לששל אפשר לכתוב את הביטוי <math>2x+\frac{7\alpha}{10}y+z=6+\alpha</math> בצורה
: <math>
\begin{pmatrix}
2 & \frac{7\alpha}{10} & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}
= 6+\alpha
</math>
: --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 22:55, 5 במאי 2013 (IDT)

ואז איך ממשיכים? לא הבנתי את הקשר.. <<<<<<<<<<<<<

: פעולה הבאה זה כבר פתרון סופי. תתייעץ עם סטודנטים אחרים. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 21:19, 6 במאי 2013 (IDT)

לא משנה הסתדרתי, תודה

== הבדל בין inv ל-pinv ==

מישהו יכול בבקשה להסביר מה ההבדל בין inv ל-pinv ?
לא הבנתי את ההסבר כל כך בתרגול

(לא מתרגל / מרצה) inv - הופך מטריצה ריבועית הפיכה. pinv - עובד גם על מטריצות שאינן הפיכות, מחזיר מטריצה <math>X</math> כך ש: (<math>A</math> היא הקלט):

: <math>AXA=A</math>
: <math>XAX=X</math>
: <math>AX,XA</math> הרמיטיות

(לפי ה-help) --[[משתמש:גיא|גיא (לא מתרגל / מרצה)]] 19:34, 4 במאי 2013 (IDT)

'''הוא מחזיר את המטריצה ההופכית אם קיימת ואחרת מחזיר את את המטריצה שהכי קרובה להופכית, לדוגמא רואים במה שהביאו למעלה AXA=A, אם X ההופכית האמיתית אזי זה ברור. זה גם מחזיר את המטריצה הכי קטנה שמקיימת את זה.
זה נוח לפתרון מערכת משוואות לינאריות כי Av=b ==> v=pinv(A)v, וכך גם אם אין תשובה יחידה נקבל את הפתרון הקטן ביותר.
'''

== שאלה כללית חשובה ==

אם כתבתי פונקציה מסויימת שקולטת x (מספר ממשי) ופולטת y (מספר ממשי), למשל:

function y=example (x)

A=[1 2 3;x 2x 3x;4 5 6];

y=rank(A);

end

(סתם פונקציה לדוגמא, אין משמעות לפלט..)

יש לי אפשרות לשרטט אותה במטלאב,y כפונקציה של x ? בלי להשתמש בוקטור שאני מפעיל את הפונקציה על כל איברים ואז עושה plot ?
משהו יותר כמו fplot לפונקציה קיים ?
: קיימת פונקציה כזו, שמה fplot. יתר הפירוט תוכל למצוא ב- help של מאטלב. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 21:26, 6 במאי 2013 (IDT)

== הדוגמה בשאלה 2 תרגיל 5 ==

כיוון שאם לוקחים אלפא במרחק של מאית, הפלט די ארוך יהיה מספיק להביא דוגמאות לפלט (ז"א להגיש את הפונקציה בצירוף גרף בצורה מלאה אבל להראות מה הפלט רק עבור <math>\alpha=-10,-5.56,0,2.33,10</math>?
: כן. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 21:27, 6 במאי 2013 (IDT)

== למתרגלים ==

תוכלו להעלות את התרגול האחרון שהיה?

== מועד הגשת תרגיל 6 ==

שלום,
לא כתוב מהו מועד ההגשה של התרגיל...

== תרגיל 6 שאלה 2 ==

מותר להשתמש ב-fminsearch?

שיחה:88-151 תשעג סמסטר ב

2013-05-16T13:24:21Z

Isis: /* תרגיל 6 שאלה 2 */ פסקה חדשה

שיחה:88-151 תשעג סמסטר ב

2013-03-20T12:12:52Z

Isis: /* ציור גרף */ פסקה חדשה

שיחה:88-151 תשעג סמסטר ב

2013-03-17T08:42:13Z

Isis: /* תוכנה נתקעת */ פסקה חדשה

שיחה:88-151 תשעג סמסטר ב

2013-03-06T13:03:40Z

Isis:

שיחה:88-151 תשעג סמסטר ב

2013-03-05T20:50:57Z

Isis: /* בעיה בתוכנה */ פסקה חדשה

שיחה:88-113 תשעג סמסטר א

2012-12-27T15:07:34Z

Isis: /* תיכוניסטים תרגיל 8 שאלה 4 */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגיל (תיכוניסטים) ==

מתי יעלו לנו את התרגיל בלינארית 2 ומתי יום ההגשה שלו?
:התרגיל עלה, הגשה לשבוע הבא. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 שאלה 1 (תיכוניסטים) ==

שכתוב למצוא מרחב עצמי הכוונה למצוא בסיס למרחב העצמי?
:בדיוק --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 2 לתיכוניסטים ==

הפרכה:
נקח את המטריצה מ1ג
ואת הווקטורים (1,1,0-) ו-(1,0,1-) שאינם תלויים לינארית
ונראה ששניהם ו"ע של המטריצה עם ע"ע 0.

:צודק, תקנתי את הטעות בשאלה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אוף ניסיתי יותר מדי זמן להוכיח את זה

== מרחב עצמי ==

מה הכוונה מרחב עצמי? הגדרנו רק ערך עצמי ווקטור עצמי...
:(לא מרצה/מתרגל) מרחב עצמי זה קבוצת כל הווקטורים העצמיים עם ווקטור האפס(שהרי ע"פי ההגדרה הוא לא ווקטור עצמי). ניתן להוכיח בקלות שקבוצה זו מקיימת סגירות לחיבור, וכפל בסקלר. היא מכילה את ווקטור האפס ולכן היא מרחב.
:אם תבין את הכתב שלי אז יש שם הגדרה של המרחב + הוכחה קצרה:
:[[קובץ:3.jpg|200px|thumb|left|עמוד שלישי של התרגול הראשון]]
:--[[משתמש:Avital|Avital]] 21:56, 25 באוקטובר 2012 (IST)

== לא הבנתי משהו בתרגול ==

רשמנו בתרגיל:
"כל המטריצות הדומות מייצגות את אותה העתקה לינארית בבסיסים שונים"

אפשר הסבר למשפט הזה?

*(לא מתרגל) אמרנו (אי שם בלינארית 1) שכל העתקה אפשר להציג בתור מטריצה ביחס לבסיסים מסוימים, וההפך - כל מטריצה מייצגת העתקה, ביחס לבסיסים מסוימים.
יש טענה כזו שאומרת שכל שתי מטריצות שמייצגות אותה העתקה ביחס לבסיסים שונים, הן דומות. כלומר, קיימת P הפיכה כך ש:
http://up357.siz.co.il/up1/3zjymrewzmyd.png

מצד שני, הטענה ההפוכה היא: אם ניקח שתי מטריצות דומות, אפשר למצוא העתקה לינארית, וכן ארבעה בסיסים כך שהמטריצות המייצגות ביחס לבסיסים יהיו שוות לאותן המטריצות הדומות.

ומה זה נותן לי, שהמטריצות הללו מייצגות את אותה הע"ל בבסיסים שונים?

:העובדה שמטריצות דומות מייצגות את אותה העתקה לינארית עוזרת באופן הבא- אם יש לך מטריצה כלשהי המייצגת העתקה, היית מעדיף למצוא מטריצה דומה לה (כלומר מייצגת את אותה ההעתקה) שהיא פשוטה יותר. למשל אם המטריצה הדומה היא אלכסונית, אז ההעתקה סה"כ כופלת כל איבר בבסיס מסויים בסקלר --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אז הרעיון במטריצות דומות זה בעצם להפוך את המטריצה למטריצה "יפה" יותר, שממנה יותר קל לראות מה ההעתקה עושה?

:אכן זה אחד הרעיונות המרכזיים של הקורס (לכסון, שילוש, ז'ורדן) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 שאלה 3 ==

האם אפשר להניח שלכל i, ה-x במקום i שונה מאפס? (זה נחוץ לחישוב הדטרמיננטה)

(לא מתרגל) אני אישית הפרדתי באופן זה או אחר. נסה/י לראות מה יקרה אם Xi שווה אפס, ותנסה/י "להיפטר" ממקרה זה בחישוב הדט' שאת/ה מנסה לחשב.

== תרגיל 2 ==

אפשר הסבר לשאלה 2? למה בדיוק הכוונה ב- T משקפת נקודות ביחס לישר y=kx?

נראה לי שזה אומר שכאילו שמים מראה על הישר y=kx וזה מעביר את כל הנקודות לצד השני שלו כשהן נשארות באותו מרחק ממנו ביחס לאותה נקודה שלו

אפשר למצוא את התוצאה עם אנך ואמצע קטע כמו בגיאומטריה אנליטית

מקווה שעזרתי בינתיים אבל עדיף לחכות לתשובה של מתרגל

:נכון, שיקוף זו פעולה של מראה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

* למה בדיוק הכוונה? איך אני רושם את T של וקטור (x,y) במפורש?

:זו בדיוק השאלה. כמו שענו לך למעלה, מכל נקודה אתה מעביר אנך לקו הישר ושולח אותה לנקודה על האנך מאותו המרחק בצד השני של הישר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אתה יכול להביא דוגמא מספרית?

*קצת קשה לראות כאן דוגמא מספרית, כי צריך לעשות הרבה עבודה כדי להגיע לזה, ואין לזה הרבה משמעות. פשוט לוקחים את הישר kx ונקודה כלשהי, מעבירים ממנה אנך לישר kx. לנקודה הזו יש מרחק מהישר. אז ניקח את הנקודה על הישר המאונך לkx, בצד השני של הישר, שהיא במרחק זהה. זה הכל.

== תרגיל 2 ==

בשאלה 2, מה זה L? --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:14, 31 באוקטובר 2012 (IST)
:זו טעות. הכוונה לT --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 4 ==

מה ההתקה בדיוק עושה למטריצה ? לא ברור... זה נראה כאילו היא לוקחת כל מטריצה 2 על 2 והופכת אותה למטריצה מסויימת שכתובה בתרגיל כאילו וקטור עצמי זה מטריצה בכלל ?

תודה

:כן, במקרה של ההעתקה מעל מרחב המטריצות, הוקטורים הם מטריצות. ולכן וקטור עצמי יהיה מטריצה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 3 ==

בסעיף א', מה זאת אומרת הערכים העצמיים של A שונים זה מזה, מן הסתם שהם שונים לא?
:הכוונה היא שיש n ערכים עצמיים שונים --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

כש n זה הגודל של המטריצה נכון?

:נכון --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 2 (תיכוניסטים) ==

האם מוצר להשתמש במה שלמדנו בתיכון בגאומטריה אנליטית (מרחק בין 2 נקודות, מרחק בין נקודה לישר, אם m שיפוע של ישר אז שיפוע הישר האנך לו הוא (1-)^m וכו) ?

אתה יכול להסביר לי מה מבקשים בכלל בתרגיל? מה זאת אומרת "משקפת"?

:מצורף '''[[מדיה:שיקוף ביחס לישר - הסבר.jpeg|איור]]''' המתאר למה הכוונה בשיקוף. האיור לקוח מתוך הקורס בגיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית, סמסטר א תשע"ב (ואויר על ידי המתרגלת, אנה זרך). מקווה שזה עוזר. [[משתמש:gordo6|גל]].

אז מה שהשיקוף עושה, זה להעביר מהנקודה אנך לישר, ואז ממשיכים את האנך הזה כאורכו, ואז הנקודה שהוא מגיעה אליה, זה השיקוף?

:בהחלט. זה העקרון על פיו מוצאים את הדמות במראה (באופטיקה, אם למדת בתיכון), ובעצם כאן y=kx הוא המראה שלך.

== שאלה כללית ==

אם יש לי ע"ע כלשהו, והמטריצה A-xI יוצאת הפיכה, אז אין וקטור עצמי עבור הערך העצמי הזה ? כי למרחב האפס של המטריצה יש רק פתרון טריוויאלי ?

:לא ייתכן שעבור ע"ע x המטריצה A-xI תהא הפיכה. הרי ע"ע מאפס את הפולינום האופייני - הוא הדטרמיננטה של מטריצה זו. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 5 ==

כתוב למצוא בסיס למרחב העצמי הנתון. איזה מרחב עצמי נתון ?
:אני מניח שהכוונה למרחב העצמי לע"ע 1... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 2 ==

מה זה אומר שצריך למצוא הצגה אלכסונית D? מה זאת אומרת?

נ.ב כשמבקשים להוכיח האם T לכסינה, זה בעצם להראות שהמטריצה המייצגת שלה לפי בסיסים כלשהם, לכסינה?

*בנוגע לנ.ב. - כן, זהו משפט שראינו בהרצאה. עכשיו בנוגע לשאלה הראשונה - לאחר שמצאת האם T לפי בסיס כלשהו לכסינה, אתה צריך למצוא את המטריצה האלכסונית שלה היא דומה.

אז כשרוצים למצוא את D, צריך למצוא את המטריצה או את ההעתקה עצמה?

* כשאומרים למצוא את D, הכוונה היא שתרשום את המטריצה האלכסונית הזו שאתה מחפש.

ואיך אמורים למצוא את הבסיס הזה?

*לפי תרגיל שראינו בהרצאה, T לפי הבסיס B היא אלכסונית <=> הבסיס B מורכב מ-n ו"ע בת"ל של T.

אוקי, ואם לדוגמא T לכסינה, זה אומר שלכל בסיס B, המטריצה המייצגת את T לפי B היא אלכסונית? או שרק קיים בסיס כזה?

:רק שקיים בסיס כזה, אחרת אין משמעות לפעולת הלכסון. פעולת הלכסון היא בדיוק מציאת הבסיס לפי המטריצה אלכסונית (כאשר מסתכלים גם על מטריצה רגילה כהעתקה לינארית) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

* חשוב גם לאמר שיש יותר מאופציה אחת, כי אם נשנה את הסדר של הוקטורים בבסיס שמצאנו, נקבל בסיס סדור אחר, שגם הוא יתאים. מה שיקרה זה שבסה"כ הע"ע יחליפו מקומות על האלכסון במטריצה המייצגת, ונקבל מטריצה קצת אחרת.

== תרגיל 2 שאלה 4 ==

איך אני מוצא את המטריצה המייצגת של ההעתקה T?
:כמו שלמדנו ב[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/9|לינארית 1]]. מצא בסיס למרחב (שים לב שזהו מרחב של מטריצות), תפעיל את ההעתקה על הבסיס, שים את הקואורדינטות של התוצאות בעמודות מטריצה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 3 שאלה 3 ==

איך אני מגלה לאן f שולחת?

(לא מתרגל / מרצה) התכוונת ל-f שכתוב ב-<math>T(f)</math>? אם כן, זהו פשוט פולינום כללי ממעלה עד מעלה שלישית --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:43, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 3 ==

יש הבדל בין f לבין <math>f(x)</math>?

(לא מתרגל / מרצה) לא --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:42, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

אם g, h פולינומים, יש דבר כזה <math>g/h</math>
(g חלקי h)?

*כן, זהו חילוק פולינומים. לדוגמא אם ניקח x^2-1 וכן x-1 החילוק שלהם יביא x+1.

== תרגיל 3 שאלה 1 סעיף ג' ==

אפשר ניסוח אחר של השאלה? כי הפתרונות שחשבתי עליהם ממש טריוויאלים ואני לא חושב שלזה התכוונו. --[[משתמש:Avital|Avital]] 18:12, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

מה למדנו על מספרים זרים בתרגול? :)

:אם f,g פולינומים זרים אז קיימים פולינומים a,b כך ש af+bg=1 --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 1 סעיף ב (תרגיל 3) ==

המטריצות בסעיף הזה גם מעל הממשיים?

== תרגיל 3,שאלה 4 ==

סעיף ב

אפשר להוכיח באינדוקציה בלי להשתמש בסעיף א?, כי ככה יצא לי האמת.

בקשר לסעיף ג, מז"א הצגה יחידה עד כדי סקלר?

תודה

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

מעל C, קיימים פולינומים אי - פריקים חוץ מהפולינומים ממעלה 1?

*(לא מתרגל) אמרנו בהרצאה שכל פולינום מתפרק לגורמים '''לינאריים''' מעל C, ולכן התשובה היא לא.

== אפשר אולי להעלות את התרגילי בית מוקדם יותר? ==

נגיד ביום של הגשת התרגיל הקודם או יום אחרי, זה מאוד יעזור.
מצטרף לשאלה.

גם אני מצטרף.... עברו כבר שלושה ימים ועדיין לא עלה התרגיל...

בכלל אם אפשר עדיף לעלות אותם יום-יומיים לפני- כמו בפיזיקה ואז יש יותר משבוע שלם -משהו כמו 9-10 ימים להכין את השיעורים-

ובעיניין התרגיל הנוכחי- תרגיל 4 עדיף לדחות אותו בשבוע לפחות - כי גם ככה אין לנו סיכוי לסיים אותו בזמן

ֿ
אני ממש בעד שהתרגיל יעלה מוקדם יותר באופן קבוע (אולי גם באינפי), זה יכול לחסוך לנו הרבה זמן

== איחור העלאת התרגיל ==

יתנו לנו הארכה על התרגיל הנוכחי ? כבר סוף שבוע והוא עוד לא עלה....

*כבר יום ראשון..(מישהו אחר)

== הבוחן ==

אם אפשר לתת פרטים על הבוחן וקישור לתרגילים, זה ממש יעזור! תודה

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

לא כל כך הבנתי את השאלה זה לא בעצם אומר שהמטריצה היא מטריצת האפס?

צודק, יש טעות בשאלה m(x)=x^2 ולא m(x)=x אני אעלה תיקון בהקדם.

==תרגיל 4 שאלה 3==

הכוונה שנישתמש באלגוריתם לשילוש שלמדנו בתירגול?

לא מרצה/מתרגל. סביר להניח שכן

== תרגיל 4 שאלה 5א ==

מהו תת מרחב g(T) אינווריאנטי?

מצטרף גם כן לשאלה....

*(לא מתרגל) ראינו כי אם g פולינום אז אפשר להציב עליו מטריצות וגם טרנספורמציות. כלומר אם נציב על g את T, נקבל טרנספורמציה g(T). ומכאן אפשר להבין את המונח בדיוק כמו בעבור העתקה רגילה T, רק שפה ההעתקה היא g(T), זה הכל.

מה זאת אומרת להציב טרנפורמציות ??? הכוונה להציב את המטריצה המייצגת שלהם ? וגם אז הכוונה שלכל <math>v</math> ב-<math>W</math> גם <math>g(T(v))</math> נמצא ב-<math>W</math> ?

*אם ניקח פולינום כלשהו, אפשר להציב עליו העתקות לינאריות, באופן הבא:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g(x)={%20a%20}_{%200%20}+{%20a%20}_{%201%20}x+...+{%20a%20}_{%20n%20}{%20x%20}^{%20n%20}\\%20=%3Eg(T)={%20a%20}_{%200%20}I+{%20a%20}_{%201%20}T+...+{%20a%20}_{%20n%20}{%20T%20}^{%20n%20}

כאשר I היא העתקה הזהות, ולדוגמא T בריבוע היא T הרכבה T.
בעצם קיבלנו כפל של העתקות בסקלר => העתקה, וכן חיבור העתקות => העתקה (כי מרחב ההעתקות הוא מרחב וקטורי וסגור לכפל בסקלר וחיבור), כלומר בסה"כ על <math>g(T)</math> היא העתקה.

ואז אפשר להבין את הגדרה בדיוק כמו עבור העתקה T:

W הוא ת"מ <math>g(T)</math> אינווריאנטי אם לכל v ב W מתקיים <math>(g(T))(v)\in W</math>

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

מעל איזה שדה נמצאת המטריצה הנתונה ? מרוכבים ? ממשיים ? ....

*(לא מתרגל) זה לא משנה כל כך לשאלה אני מאמין.

אני דווקא חושב שזה די חשוב...

*באיזשהו מקום אתה צודק, כי אם המרחב הוא Z2 השאלה הופכת לקלילה. אם הוא Z1, כלומר המרחב שמכיל את 0 בלבד, אז היא עוד יותר קלה. ובכל מקרה, יש פתרון שתקף לכל מרחב שתיקח.

*מתי תבינו שאם לא כתוב אז זה אומר שאנחנו מעל R?--[[משתמש:Caspim|Caspim]] 21:25, 22 בנובמבר 2012 (IST)

*(לא מתרגל) נבין מחר. בכל מקרה, יש פתרון שתקף גם מעל C, גם מעל Z2 וגם מעל R, אז לא חייבים להגביל בשדה (אולי דווקא בגלל זה לא רשמו אותו).

== תרגיל 4 שאלה 5 ב' ==

כשרושמים <math>f(T)[W]</math> מתכוונים לזה שמפעילים את כל הוקטורים ב W על ההעתקה?

*(לא מתרגל) הכוונה היא לתמונה של W לפי ההעתקה <math>f(T)</math>

== שאלה 5 ==

בקשר לסעיפים ב,ג
אפשר לקחת איבר כללי ב-W בסעיף ב ובסעיף ג איבר כללי ב-V
ולהראות את ההוכחה על התמונה שלו
או שבאמת צריך לקחת את כל האיברים בתמונה...
תודה

== תרגיל 4 שאלה 5 ==

זה בהנחה ש T הע"ל מ V לעצמו נכון..(?)

*(לא מתרגל) כן, אחרת כל התרגיל לא מוגדר בהכרח (זה כמו להניח שמטריצה A ריבועית).

== דחוף! שאלה בקשר לבוחן (תיכוניסטים) ==

יש מחר בוחן או לא? אם לא, למתי הוא נדחה?
אודה אם יענו לי בהקדם! תודה :)

(לא מתרגל / מרצה) הבוחן נדחה ל-11.12, ההשלמה בחנוכה --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:30, 26 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

מעל איזה שדה T? זה מאד חשוב לפתרון , שכן יכולים להיות פתרונות שונים אם זה מעל C או מעל R...

(לא מתרגל / מרצה) כתוב <math>T:\mathbb{C}^3\rightarrow\mathbb{C}^3</math>, לכן מעל <math>\mathbb{C}</math>. --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:51, 26 בנובמבר 2012 (IST)

== איך מוצאים תתי מרחבים אינווריאנטים? ==

יש אלגוריתם למציאת תתי מרחבים אינווריאנטים?

(לא מתרגל / מרצה) לדעתי לא, אחרת היה ארז היה מעלה אותו ל-math-wiki --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:34, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 2 א' ==

אפשר הסבר למה זה בעצם W1?

???

???

(לא מרצה / מתרגל) ארז אמר שהוא יבדוק מחר ויחזיר תשובה בנושא --[[משתמש:גיא|גיא]] 23:15, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 1 ==

מה זה תתי מרחבים אינווריאנטים תחת כפל ב-A ?

(לא מתרגל / מרצה) דיברנו בהרצאה ובתרגול על תתי מרחבים אינווריאנטיים תחת העתקה מסוימת. אך מלינארית 1 אנו יודעים כי כל העתקה שקולה לכפל במטריצה. הכוונה בתרגיל - במקום העתקה מכפילים את הוקטור במטריצה; <math>V</math> תת מרחב אינווריאנטי תחת כפל ב-<math>A</math> אם לכל <math>\vec{v}\in V</math> מתקיים <math>A\vec{v}\in V</math> --[[משתמש:גיא|גיא]] 12:59, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 1 ==

אני לא מבין את השאלה V ו W הם מרחבים של מטריצות או של וקטורים?
וגם הוקטורים העצמיים יוצאים מרוכבים אז יכול להיות שהם אמורים להיות ממשיים?

(לא מתרגל / מרצה) <math>V,W\subseteq \mathbb{R}^4</math>, לכן הם תתי מרחבים של וקטורי <math>\mathbb{R}^4</math>. נכון, הו"ע וגם הע"ע יוצאים מרוכבים, אך יש לחשוב כיצד לחזור לממשיים עם תתי מרחבים אינווריאנטיים כדרוש --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:33, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 ,שאלה 3 ==

האם אפשר ב-א ישר לתת את המרחבים האלה? והאם מותר להשתמש במרחבים טריוואלים

?

תודה

(לא מתרגל / מרצה) מה הכוונה בלתת ישר את המרחבים האלו ולהשתמש במרחבים טריוויאליים? <math>W</math> נתון לך מעצם השאלה, אתה צריך למצוא לו תת מרחב אחר <math>W'</math> שיקיים את התנאי. אסור להשתמש בדוגמאות ספציפיות - כי <math>W</math> אינו נתון --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:31, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 2 א ==

לא הבנתי מה זה wi זה יוצא ker של מטריצה לא ריבועית...

== תרגיל 5 שאלה 2 א - הסבר ==

העליתי קובץ מתוקן.

== החישובים יוצאים ממש ארוכים.. ==

רק לחשב את הפולינום האופייני של מטריצה 4x4 לקח לי בערך 2 עמודים, שלא לדבר על זה שעכשיו צריך למצוא וקטורים עצמיים בשביל שאלה 1..

איך זה אפשרי שבמבחן יהיה לי זמן לעשות את כל החישובים האלו?

== תחרות כמו בשנה שעברה ==

האם גם השנה, בדומה לשנה שעברה, תיערך תחרות בחנוכה בנושא פתרון תרגילים הקשורים לצורות ז'ורדן?

== ערכים עצמיים ==

האם זה אפשרי שיהיו לי 5 ע"ע שונים (ממשיים) למטריצה ממשית של 4 על 4?

*(לא מתרגל) לא, כי אז הפולינום האופייני הוא ממעלה 5 (לפחות), מה שלא ייתכן.

== מערכי תרגול מעודכנים (תיכוניסטים) ==

אפשר בבקשה להעלות מערכי תרגול בנושאים שלמדנו בהרצאות/תרגולים האחרונים, שעוד לא עלו?

== איך מוכיחים שלמטריצות דומות יש אותו פולינום מינימלי? ==

אני לא הבנתי את ההוכחה שנתנו לנו בתרגול על זה..

*(לא מתרגל)
יהי פולינום f, נסמנו
<math>f(x)=a0+a1x1+...+akx^k</math>

לפי הנתון, קיימת P הפיכה כך שמתקיים <math>P^{-1}AP=B</math>

לכן מתקיים:

<math>P^{-1}f(A)P=P^{-1}(a0I+...+akA^k)P=a0I+a1P^{-1}AP+...+akP^{-1}A^kP=a0I+...+B^k</math>

כאשר נזכור כי לכל i מתקיים <math>B^i=P^{-1}A^iP</math>.

ולכן בסה"כ מתקיים <math>P^{-1}f(A)P=f(B)</math>.

היות והמטריצה P הפיכה, אפשר לאמר כי <math>f(A)=0</math> אם ורק אם <math>f(B)=0</math>, ובמילים - כל פולינום שמאפס את A מאפס גם את B וההיפך.

כעת נביט בפולינום המינימלי של A, נסמנו mA. היות והוא מאפס, הוא יאפס גם את B לפי מה שהוכחנו לעיל, ולכן <math>mA(B)=0</math>. כעת, לפי טענה שהוכחנו, הפולינום המינימלי של B מחלק כל פולינום שמאפס את B, ולכן מתקיים <math>mB(x)|mA(x)</math>.

באופן דומה, היות והפולינום המינימלי של B מאפס את B, הוא גם יאפס את A, ולכן <math>mB(A)=0</math>, ומכאן <math>mA(x)|mB(x)</math>.

בסה"כ שניהם מחלקים זה את ראהו, ושניהם מתוקנים, ולכן שווים.

:הבנתי תודה רבה :)

== שאלה לגבי מבנה הבוחן ==

הבוחן ב11.12 יהיה מורכב מהוכחת משפט או מיישום קבוצת משפטים על מטריצה?

== הפולינום המינימלי של מטריצת אלכסונית בלוקים. ==

מישהו יכול להביא לי את ההוכחה שהפולינום המינימלי של מטריצה אלכסונית בלוקים הוא ה lcm של הפולינומים המינימלים של הבלוקים?

== פתרונות לתרגילים (תיכוניסטים) ==

בבקשה תעלו את הפתרונות של התרגילי בית שנוכל לחזור עליהם לפני הבוחן ולבדוק את הטעויות שלנו.
דגש על הפתרון של תרגיל 5.
אודה לכם אם תעשו זאת עוד לפני שבת! תודה רבה!

== לא מצליח לג'רדן מטריצה ==

איך אמורים לג'רדן את המטריצה:

<math>A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

היא ניליפוטנטית מסדר 2, לכן צריך למצוא את <math>N(A)\cap C(A)</math>, ויצא לי ש <math>Ae_2</math> בסיס ל <math>C(A)</math>, ולכן החלק הראשון של המטריצה המג'רדנת היא
<math>Ae_2, e_2</math>. איך אני אמור להמשיך מפה?

תודה.

*(לא מתרגל) ראינו שצריך למצוא בסיס בצורת מסלול ל<math>N(A)\cap C(A^{ k-1 })</math>. לאחר מכן, להשלים אותו לבסיס עבור <math>N(A)\cap C(A^{ k-2 })</math> וכו' וכו'.
אם הגענו למצב שבו צריך להשלים לבסיס עבור <math>N(A)\cap C(A^{ k-k })=N(A)</math>, פירושו שיהיו בהצגה האלכסונית בלוקי ג'ורדן מהצורה <math>{ J }_{ 1 }(0)</math>, כי הוקטורים עצמם נמצאים <math>N(A)</math>. ואכן, אם תמצא את מרחב האפס תקבל כי הוא מורכב מe1 וכן מהוקטור <math>(0,-1,1)^{ t }</math>. הוקטור e1 כבר מופיע בבסיס הכללי ולכן נשמיט אותו.

לסיכום, הבסיס מתחיל במה שאמרת ומסתיים בוקטור <math>(0,-1,1)^{ t }</math>, וההצגה היא
<math>\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math>

תודה רבה, ועוד שאלה יש דרך לדעת איך תראה כבר המטריצה המג'ורדנת, רק מהתבוננות בפולינום המינימלי והאופייני?

(לא מתרגל / מרצה) אי אפשר ממש לדעת איך בדיוק זה ייראה, אבל אפשר לקבל כיוון לפי החוקים הבאים:
1. הריבוי הגאומטרי של ערך עצמי (של מטריצה A) הוא מספר הבלוקים המתאימים לערך העצמי הזה בצורת ז'ורדן של A.
2. החזקה של הגורם בפולינום המינימלי של A היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים ל- בצורת ז'ורדן של המטריצה.
3. הריבוי האלגברי של בפולינום האופייני הוא סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- בצורת ז'ורדן.
מקווה שעזרתי --[[משתמש:גיא|גיא]] 12:28, 8 בדצמבר 2012 (IST)

מישהו יודע להסביר למה האלגוריתם לז'רדון נילפוטנטי נכון ?

*(לא מתרגל) זה נובע בעיקר מההוכחה של משפט ג'ורדן הנילפוטנטי בקובץ של ד"ר צבאן, וההסבר המלא מתחיל אחרי סעיף 5, עד לסוף של סעיף 5.6. [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/LAT73/JordanAll.pdf]

הרעיון הכללי והבסיסי הוא שאופרטור מוצג לפי בסיס כבלוק ג'ורדן <=> הבסיס הוא מסלול. לכן המטרה היא למצוא בסיס שמורכב ממסלולים. לרוב מסלול אחד לא עושה את העבודה, ויש צורך בכמה מסלולים שייצרו בלוקי ג'ורדן נפרדים. כדי למצוא את הבסיס שמורכב ממסלולים זרים, פועלים לפי האלגוריתם, ובהוכחת טענה 5.6 אפשר להבין למה זה באמת בסיס (בת"ל ופורש). לאחר שהבנו שזה אכן בסיס, ברור לפי הטענה לעיל (אופרטור מוצג לפי בסיס כבלוק ג'ורדן <=> הבסיס הוא מסלול) שנקבל בעצם הצגה בצורה של ג'ורדן - על האלכסון יש בלוקי ג'ורדן, כי כל פעם ההעתקה מוצגת לפי מסלול (לכן גם חשוב הסדר בתוך המסלולים בבסיס, אחרת לא היינו מקבלים צורת ג'ורדן).

== איך אפשר לדעת איך תראה המטריצה המז'ורדנת? ==

אחרי שחישבתי את הבסיס המז'רדן ושמתי אותו בעמודות מטריצה P, איך אני יכול לראות איך תראה המטריצה המז'ורדנת, מבלי למצוא את P^-1 ולהכפיל בינהם?

(לא מתרגל / מרצה) אם כבר מצאת את P, למה כבר לא להכפיל את הכל ולגמור את הסיפור? בכל מקרה, הנה כמה כללים:

1. הריבוי הגאומטרי של ערך עצמי (של מטריצה A) הוא מספר הבלוקים המתאימים לערך העצמי הזה בצורת ז'ורדן של A.

2. החזקה של הגורם בפולינום המינימלי של A היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים ל- בצורת ז'ורדן של המטריצה.

3. הריבוי האלגברי של בפולינום האופייני הוא סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- בצורת ז'ורדן.

בהצלחה בשלישי :) --[[משתמש:גיא|גיא]] 17:06, 9 בדצמבר 2012 (IST)

אבל אם יתנו לנו מטריצה 4x4 שזה יהיה סיפור להפוך אותה. אין אפשרות במהלך הז'ירדון כבר לראות איך המטריצה המז'ורדנת תיראה, מבלי ממש לבדוק (לבדוק את P^-1AP)?

(לא מתרגל / מרצה) אם יבקשו ממך לז'רדן את המטריצה אז תהיה חייב לבצע את כל התהליך, כולל ההפיכה --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:36, 9 בדצמבר 2012 (IST)

אה אוקי... טוב תודה :)

== שאלה לגבי שאלה5 תרגיל 6 ==

מה הכוונה בשאלה 5 כשכתוב "להוכיח את משפט ג'ורדן עבור מטריצות ממשפט ג'ורדן"? לכתוב הוכחה גם עבור מטריצה נילפוטנטית וגם למטריצה כללית (עם ע"ע שונים מ0) ?

*(לא מתרגל) מה שצריך לעשות זה להוכיח את המשפט:
לכל מטריצה ריבועית A כך שהפ"א שלה מל"ל, A דומה למטריצה בצורת ג'ורדן.
לפי התרגיל, צריך לעשות זאת בעזרת משפט ג'ורדן עבור אופרטורים. במילים אחרות - לצאת מנקודת הנחה שהמשפט נכון לאופרטורים, להוכיח בעזרת זה את המשפט עבור מטריצות.

מה זאת אומרת? אפשר פשוט לשים את הבסיס המז'רדן בתור עמודות מטריצה ולהגיד שזה המטריצה המז'רדנת? זה מה שהם רצו שנעשה?

*מי אמר? אם את/ה חושב/ת שזה נכון, מוזמנ/ת להוכיח.

נסתכל על A כשהעתקה לינארית, לפי ההנחה יש לה בסיס מז'רדן (נניח B), נשים את וקטורי B בעמודות מטריצה P, ולפי ההגדרה של דמיון מטריצות (שזה בעצם מעבר בין בסיסים) מקבלים ש A דומה למטריצה עם בלוקי ג'ורדן

*"כשהעתקה הלינארית..." - איזו העתקה לינארית?

"כהעתקה לינארית", בלי ש' טעות שלי P:

== תרגיל 7 שאלה 1 ==

בשאלה 1 נראה לי שמצאתי הפרכה: יהי <math><w,v>=0 \Leftarrow v=0</math> וזה מתקיים לדוגמא ל- <math>w=(1,1,1,1,1,...,1)\neq 0</math>

*(לא מתרגל) נתון כי הדבר נכון '''לכל''' v בV, לא רק לv יחיד שבחרת.

(לא מתרגל)צריך להוכיח בשאלה שלכל V מתקיים w,v>=0> גורר W=0
ולכן הפרכה של הטענה הזאת היא: שקיים V עבורו w,v>=0> לא גורר W=0.
ולכן הוא הפריך את הטענה הזאת - יש טעות בשאלה הגרירה נכונה רק לכיוון אחד... (וגם אם זה נכון אז כל וקטור מאונך רק ל0...)

*(לא מתרגל) לא נכון, זו לוגיקה בסיסית - ההפרכה היא: אם w שונה מאפס בכל מקרה לכל v בV מתקיים 0=<w,v>. ואת זה אי אפשר להפריך, מוזמנים לנסות.

הטענה שציינת, האומרת שכל וקטור מאונך רק לאפס - שגויה. מדובר פה בווקטור שמאונך '''לכל הווקטורים במרחב''', וכזה הוא רק וקטור האפס. לא תמצא עוד אחד כזה, ואם אני אגיד למה אז אני למעשה פותר את השאלה.

(לא מתרגל / מרצה) הכוונה היא שהתנאי הימני הוא לכל <math>v\in V</math>, מתקיים <math><w,v>=0</math> --[[משתמש:גיא|גיא]] 15:57, 21 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 7 שאלה 3 ==

בשאלה 3 לדעתי חסר נתונים לסעיף א' לפחות, כי בהוכחת האי-שליליות, <math><f,f><0</math> אם מקדמי הפולינום <math>f(x)</math> הם שליליים, או אם <math>a>b</math> וכן הלאה.. כלומר לדעתי צריך להוסיף שם כמה תנאים כדי שההוכחה תהיה נכונה..
לא

== תרגיל 7 שאלה 3 (תיכוניסטים) ==

באי שליליות, איך אני מוכיח שהאינטגרל המסוים הזה תמיד חיובי (או שווה לאפס...)?

מצטרף לשאלה.

כנ"ל P:

== תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם אני בוחר b=1 a=0
ו f=x^3-x אז המכפלה הפנימית של f עם עצמו היא0 והוא שונה מ-0

(לא מתרגל / מרצה) לא נכון, כי <math>\left \langle x^3-x,x^3-x \right \rangle = \int_0^1(x^3-x)^2 dx=\int_0^1 (x^6-2x^4+x^2)dx=\left [ \frac{1}{7}x^7-\frac{2}{5}x^5+\frac{1}{3}x^3 \right]_0^1=\frac{1}{7}-\frac{2}{5}+\frac{1}{3}=\frac{8}{105}\neq 0</math> --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:40, 21 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 7 שאלה 3 ==

מה ההגדרה המדויקת של צמוד של פולינום?

(לא מתרגל / מרצה) הצמוד של פולינום מתקבל מהצמדת כל המקדמים שלו (ללא שום קשר למשתנה). למשל, הצמוד של הפולינום <math>\ f(z) = z^2+(2+i)z + 3i</math> הוא <math>\ \bar{f}(z) = z^2 + (2-i)z - 3i</math>. --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:55, 21 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 7 שאלה 4 ==

יכול להיות שלא הבנתי את התרגיל נכון אבל נראה לי שמצאתי לו הפרכה..
מעל <math>\mathbb{R}</math>, הבסיס הוא <math>{(1,0),(0,1)}</math> ו-<math>c1=0 , c2=1</math> וקל לראות שמתקיים <math><(0,2),v1>=c1=0</math> וגם <math><(0,3),v1>=c1=0</math>

(לא מתרגל / מרצה) אבל עם הוקטור השני זה שונה מ-1 --[[משתמש:גיא|גיא]] 20:19, 21 בדצמבר 2012 (IST)

^^מה?

(לא מתרגל / מרצה) שים לב שאתה צריך לכל איבר בבסיס שהמכפלה הפנימית תהיה הסקלר שבחרת. עבור <math>v_2</math> לא שניהם יתנו את 1 (התוצאה תלויה במכפלה הפנימית) --[[משתמש:גיא|גיא]] 14:25, 22 בדצמבר 2012 (IST)

רגע כשהם אומרים למצוא w כזה,הם מתכוונים שקיים w יחיד שמקיים את זה, או שלכל i צריך למצוא wi כזה, ולהוכיח שעבור ה i הספציפי הזה, קיים רק wi יחיד כזה?

(לא מתרגל / מרצה) למצוא <math>w</math> כך שלכל <math>i</math> יתקיים <math>\langle w,v_i\rangle = c_i</math>, ולא עבור כל <math>i</math> בנפרד --[[משתמש:גיא|גיא]] 15:15, 22 בדצמבר 2012 (IST)

אהההה אוקי.

== תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם בוחרים <math>f(x)=1/x</math>, ובוחרים <math>a=1, b=2</math> מקבלים <math>F(x)=-(1/2)/x^2</math>, <math>F(a)=F(1)=-(1/2)/1^2=-(1/2), F(b)=F(2)=-(1/2)/2^2=-(1/8)</math>, <math>\Leftarrow </math> <math><f,f>=\int_{a}^{b}(f(x))^2dx=(F(b))^2-(F(a))^2=(-(1/8))^2-(-(1/2))^2<0</math>, וזו סתירה לאי-שליליות

(לא מתרגל / מרצה) לא נכון. אם ניקח <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> אזי <math>(f(x))^2=\frac{1}{x^2}</math>, ואז <math>\int (f(x))^2 dx=\int \frac{1}{x^2} dx=\int x^{-2} dx=\frac{1}{-2+1}\cdot x^{-2+1}=-\frac{1}{x}=F(x)</math>, ואז <math>\int^2_1 (f(x))^2 dx=F(2)-F(1)=-\frac{1}{2}-(-\frac{1}{1})=0.5>0</math> כדרוש. מעבר לכך - הוא לא פולינום --[[משתמש:גיא|גיא]] 15:14, 22 בדצמבר 2012 (IST)

== לימודים ביום ראשון ==

משהו יודע אם יש לימודים ביום ראשון הקרוב כי אמרו לנו שאין בגלל צום אבל מלי לא שלחה שום הודעה.
יכול להיות שאין הרצאות אבל יש תירגול ?

(לא מתרגל / מרצה) אין לימודים. קרא [http://www1.biu.ac.il/index.php?id=9563&pt=1&pid=839&level=4&cPath=9563 כאן] --[[משתמש:גיא|גיא]] 17:17, 22 בדצמבר 2012 (IST)

== מטריצת גראם ==

מטריצת גראם בהכרח הפיכה?

(לא מתרגל / מרצה) מטריצת גראם הפיכה אם ורק אם קבוצת הוקטורים שלפיה היא בנויה (לדוגמה בסיס של המרחב הוקטורי) הוא בת"ל. --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:41, 22 בדצמבר 2012 (IST)

אפשר להשתמש במשפט הזה בשעורי בית?

???

== בשאלה 6 תרגיל 7 תיכוניסטים ==

בסעיף ב' הם אומרים "אורתוגונליים זה לזה". תחת איזו מכפלה פנימית הם אמורים להיות אורתוגונליים? יש הרבה מכפלות פנימית..

(לא מתרגל / מרצה) אני חושב שזה לא משנה, כיוון שאם וקטורים אורתוגונליים המכפלה הפנימית שלהם תהיה 0 לכל מכפלה פנימית. אבל עדיף לחכות לתשובה של מתרגל או לנסות להוכיח את זה לבד --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:39, 22 בדצמבר 2012 (IST)

מה שאמרת לא נכון אורתוגונליות תלויה בהגדרת מכפלה פנימית.

(לא מתרגל / מרצה) צודק --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:51, 24 בדצמבר 2012 (IST)

אז רגע מספיק צריך להוכיח שזה נכון למכפלה הפנימית הסטנדרטית וזהו?

== תרגיל 7 בשאלה 5 ==

בשאלה הם רוצים שתחילה נוכיח שזה אכן מכפלה פנימית על R[X[, ואז למצוא את מטריצת גראם ביחס לבסיס הנתון?

(לא מתרגל / מרצה) כן. --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:38, 22 בדצמבר 2012 (IST)

אוקי תודה :)

== שאלה 5 ==

מישהו יכול להביא לי דוגמא למכפלה שבשאלה? אני פשוט לא הבנתי מה המכפלה עושה..

(לא מתרגל / מרצה) לדוגמה, <math>\langle x+1, -2x\rangle = \frac{1\cdot (-2)}{1+1+1}+\frac{1\cdot (-2)}{0+1+1}=-\frac{2}{3}-\frac{2}{2}=-1\frac{2}{3}</math>. --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:31, 23 בדצמבר 2012 (IST)

אז זה בעצם עבור i = 1 עושים את כל ה j-ים, ואז עבור i = 2 עושים עוד פעם את כל ה j-ים, וכך הלאה?

(לא מתרגל / מרצה) אם הבנתי אותך נכון אז כן --[[משתמש:גיא|גיא]] 20:51, 24 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 7 שאלה 4 תיכוניסטים ==

האם הכוונה שלכל i מתקיים <w,vi>=ci או שרק לi יחיד?

לכל i

== תרגיל 7 שאלה 3 ==

האם מותר להשתמש בכך שאינטגרל מסוים זה בעצם שטח למרות שלא הוכחנו את זה?
:לא --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== בתרגיל 8 ==

יש שאלה 5?
:כן, עכשיו חזרתי הבייתה והשלמתי את כתיבת התרגיל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תיכוניסטים תרגיל 8 שאלה 4 ==

אני חושב שיש טעות והכוונה לא לגדול אלא לקטן שווה.
אם ניקח את הנורמה הסטנדרטית מעל R^2 ואת W בתור ציר ה-x אז הוקטור v פחות
ההיטל שלו זה וקטור על ציר ה-y עד לגובה של v (שיעור ה-y שלו) וכל וקטור אחר שניקח ב-W
ייתן וקטור עם אותו y אבל יהיה גם ערך ל-x ולכן הוא יהיה ארוך יותר.
השיוויון הוא רק במצב שהוקטור w הוא ההיטל של v

שיחה:88-113 תשעג סמסטר א

2012-12-21T13:52:26Z

Isis: /* שאלות */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגיל (תיכוניסטים) ==

מתי יעלו לנו את התרגיל בלינארית 2 ומתי יום ההגשה שלו?
:התרגיל עלה, הגשה לשבוע הבא. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 שאלה 1 (תיכוניסטים) ==

שכתוב למצוא מרחב עצמי הכוונה למצוא בסיס למרחב העצמי?
:בדיוק --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 2 לתיכוניסטים ==

הפרכה:
נקח את המטריצה מ1ג
ואת הווקטורים (1,1,0-) ו-(1,0,1-) שאינם תלויים לינארית
ונראה ששניהם ו"ע של המטריצה עם ע"ע 0.

:צודק, תקנתי את הטעות בשאלה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אוף ניסיתי יותר מדי זמן להוכיח את זה

== מרחב עצמי ==

מה הכוונה מרחב עצמי? הגדרנו רק ערך עצמי ווקטור עצמי...
:(לא מרצה/מתרגל) מרחב עצמי זה קבוצת כל הווקטורים העצמיים עם ווקטור האפס(שהרי ע"פי ההגדרה הוא לא ווקטור עצמי). ניתן להוכיח בקלות שקבוצה זו מקיימת סגירות לחיבור, וכפל בסקלר. היא מכילה את ווקטור האפס ולכן היא מרחב.
:אם תבין את הכתב שלי אז יש שם הגדרה של המרחב + הוכחה קצרה:
:[[קובץ:3.jpg|200px|thumb|left|עמוד שלישי של התרגול הראשון]]
:--[[משתמש:Avital|Avital]] 21:56, 25 באוקטובר 2012 (IST)

== לא הבנתי משהו בתרגול ==

רשמנו בתרגיל:
"כל המטריצות הדומות מייצגות את אותה העתקה לינארית בבסיסים שונים"

אפשר הסבר למשפט הזה?

*(לא מתרגל) אמרנו (אי שם בלינארית 1) שכל העתקה אפשר להציג בתור מטריצה ביחס לבסיסים מסוימים, וההפך - כל מטריצה מייצגת העתקה, ביחס לבסיסים מסוימים.
יש טענה כזו שאומרת שכל שתי מטריצות שמייצגות אותה העתקה ביחס לבסיסים שונים, הן דומות. כלומר, קיימת P הפיכה כך ש:
http://up357.siz.co.il/up1/3zjymrewzmyd.png

מצד שני, הטענה ההפוכה היא: אם ניקח שתי מטריצות דומות, אפשר למצוא העתקה לינארית, וכן ארבעה בסיסים כך שהמטריצות המייצגות ביחס לבסיסים יהיו שוות לאותן המטריצות הדומות.

ומה זה נותן לי, שהמטריצות הללו מייצגות את אותה הע"ל בבסיסים שונים?

:העובדה שמטריצות דומות מייצגות את אותה העתקה לינארית עוזרת באופן הבא- אם יש לך מטריצה כלשהי המייצגת העתקה, היית מעדיף למצוא מטריצה דומה לה (כלומר מייצגת את אותה ההעתקה) שהיא פשוטה יותר. למשל אם המטריצה הדומה היא אלכסונית, אז ההעתקה סה"כ כופלת כל איבר בבסיס מסויים בסקלר --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אז הרעיון במטריצות דומות זה בעצם להפוך את המטריצה למטריצה "יפה" יותר, שממנה יותר קל לראות מה ההעתקה עושה?

:אכן זה אחד הרעיונות המרכזיים של הקורס (לכסון, שילוש, ז'ורדן) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 שאלה 3 ==

האם אפשר להניח שלכל i, ה-x במקום i שונה מאפס? (זה נחוץ לחישוב הדטרמיננטה)

(לא מתרגל) אני אישית הפרדתי באופן זה או אחר. נסה/י לראות מה יקרה אם Xi שווה אפס, ותנסה/י "להיפטר" ממקרה זה בחישוב הדט' שאת/ה מנסה לחשב.

== תרגיל 2 ==

אפשר הסבר לשאלה 2? למה בדיוק הכוונה ב- T משקפת נקודות ביחס לישר y=kx?

נראה לי שזה אומר שכאילו שמים מראה על הישר y=kx וזה מעביר את כל הנקודות לצד השני שלו כשהן נשארות באותו מרחק ממנו ביחס לאותה נקודה שלו

אפשר למצוא את התוצאה עם אנך ואמצע קטע כמו בגיאומטריה אנליטית

מקווה שעזרתי בינתיים אבל עדיף לחכות לתשובה של מתרגל

:נכון, שיקוף זו פעולה של מראה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

* למה בדיוק הכוונה? איך אני רושם את T של וקטור (x,y) במפורש?

:זו בדיוק השאלה. כמו שענו לך למעלה, מכל נקודה אתה מעביר אנך לקו הישר ושולח אותה לנקודה על האנך מאותו המרחק בצד השני של הישר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אתה יכול להביא דוגמא מספרית?

*קצת קשה לראות כאן דוגמא מספרית, כי צריך לעשות הרבה עבודה כדי להגיע לזה, ואין לזה הרבה משמעות. פשוט לוקחים את הישר kx ונקודה כלשהי, מעבירים ממנה אנך לישר kx. לנקודה הזו יש מרחק מהישר. אז ניקח את הנקודה על הישר המאונך לkx, בצד השני של הישר, שהיא במרחק זהה. זה הכל.

== תרגיל 2 ==

בשאלה 2, מה זה L? --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:14, 31 באוקטובר 2012 (IST)
:זו טעות. הכוונה לT --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 4 ==

מה ההתקה בדיוק עושה למטריצה ? לא ברור... זה נראה כאילו היא לוקחת כל מטריצה 2 על 2 והופכת אותה למטריצה מסויימת שכתובה בתרגיל כאילו וקטור עצמי זה מטריצה בכלל ?

תודה

:כן, במקרה של ההעתקה מעל מרחב המטריצות, הוקטורים הם מטריצות. ולכן וקטור עצמי יהיה מטריצה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 3 ==

בסעיף א', מה זאת אומרת הערכים העצמיים של A שונים זה מזה, מן הסתם שהם שונים לא?
:הכוונה היא שיש n ערכים עצמיים שונים --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

כש n זה הגודל של המטריצה נכון?

:נכון --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 2 (תיכוניסטים) ==

האם מוצר להשתמש במה שלמדנו בתיכון בגאומטריה אנליטית (מרחק בין 2 נקודות, מרחק בין נקודה לישר, אם m שיפוע של ישר אז שיפוע הישר האנך לו הוא (1-)^m וכו) ?

אתה יכול להסביר לי מה מבקשים בכלל בתרגיל? מה זאת אומרת "משקפת"?

:מצורף '''[[מדיה:שיקוף ביחס לישר - הסבר.jpeg|איור]]''' המתאר למה הכוונה בשיקוף. האיור לקוח מתוך הקורס בגיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית, סמסטר א תשע"ב (ואויר על ידי המתרגלת, אנה זרך). מקווה שזה עוזר. [[משתמש:gordo6|גל]].

אז מה שהשיקוף עושה, זה להעביר מהנקודה אנך לישר, ואז ממשיכים את האנך הזה כאורכו, ואז הנקודה שהוא מגיעה אליה, זה השיקוף?

:בהחלט. זה העקרון על פיו מוצאים את הדמות במראה (באופטיקה, אם למדת בתיכון), ובעצם כאן y=kx הוא המראה שלך.

== שאלה כללית ==

אם יש לי ע"ע כלשהו, והמטריצה A-xI יוצאת הפיכה, אז אין וקטור עצמי עבור הערך העצמי הזה ? כי למרחב האפס של המטריצה יש רק פתרון טריוויאלי ?

:לא ייתכן שעבור ע"ע x המטריצה A-xI תהא הפיכה. הרי ע"ע מאפס את הפולינום האופייני - הוא הדטרמיננטה של מטריצה זו. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 5 ==

כתוב למצוא בסיס למרחב העצמי הנתון. איזה מרחב עצמי נתון ?
:אני מניח שהכוונה למרחב העצמי לע"ע 1... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 2 ==

מה זה אומר שצריך למצוא הצגה אלכסונית D? מה זאת אומרת?

נ.ב כשמבקשים להוכיח האם T לכסינה, זה בעצם להראות שהמטריצה המייצגת שלה לפי בסיסים כלשהם, לכסינה?

*בנוגע לנ.ב. - כן, זהו משפט שראינו בהרצאה. עכשיו בנוגע לשאלה הראשונה - לאחר שמצאת האם T לפי בסיס כלשהו לכסינה, אתה צריך למצוא את המטריצה האלכסונית שלה היא דומה.

אז כשרוצים למצוא את D, צריך למצוא את המטריצה או את ההעתקה עצמה?

* כשאומרים למצוא את D, הכוונה היא שתרשום את המטריצה האלכסונית הזו שאתה מחפש.

ואיך אמורים למצוא את הבסיס הזה?

*לפי תרגיל שראינו בהרצאה, T לפי הבסיס B היא אלכסונית <=> הבסיס B מורכב מ-n ו"ע בת"ל של T.

אוקי, ואם לדוגמא T לכסינה, זה אומר שלכל בסיס B, המטריצה המייצגת את T לפי B היא אלכסונית? או שרק קיים בסיס כזה?

:רק שקיים בסיס כזה, אחרת אין משמעות לפעולת הלכסון. פעולת הלכסון היא בדיוק מציאת הבסיס לפי המטריצה אלכסונית (כאשר מסתכלים גם על מטריצה רגילה כהעתקה לינארית) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

* חשוב גם לאמר שיש יותר מאופציה אחת, כי אם נשנה את הסדר של הוקטורים בבסיס שמצאנו, נקבל בסיס סדור אחר, שגם הוא יתאים. מה שיקרה זה שבסה"כ הע"ע יחליפו מקומות על האלכסון במטריצה המייצגת, ונקבל מטריצה קצת אחרת.

== תרגיל 2 שאלה 4 ==

איך אני מוצא את המטריצה המייצגת של ההעתקה T?
:כמו שלמדנו ב[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/9|לינארית 1]]. מצא בסיס למרחב (שים לב שזהו מרחב של מטריצות), תפעיל את ההעתקה על הבסיס, שים את הקואורדינטות של התוצאות בעמודות מטריצה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 3 שאלה 3 ==

איך אני מגלה לאן f שולחת?

(לא מתרגל / מרצה) התכוונת ל-f שכתוב ב-<math>T(f)</math>? אם כן, זהו פשוט פולינום כללי ממעלה עד מעלה שלישית --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:43, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 3 ==

יש הבדל בין f לבין <math>f(x)</math>?

(לא מתרגל / מרצה) לא --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:42, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

אם g, h פולינומים, יש דבר כזה <math>g/h</math>
(g חלקי h)?

*כן, זהו חילוק פולינומים. לדוגמא אם ניקח x^2-1 וכן x-1 החילוק שלהם יביא x+1.

== תרגיל 3 שאלה 1 סעיף ג' ==

אפשר ניסוח אחר של השאלה? כי הפתרונות שחשבתי עליהם ממש טריוויאלים ואני לא חושב שלזה התכוונו. --[[משתמש:Avital|Avital]] 18:12, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

מה למדנו על מספרים זרים בתרגול? :)

:אם f,g פולינומים זרים אז קיימים פולינומים a,b כך ש af+bg=1 --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 1 סעיף ב (תרגיל 3) ==

המטריצות בסעיף הזה גם מעל הממשיים?

== תרגיל 3,שאלה 4 ==

סעיף ב

אפשר להוכיח באינדוקציה בלי להשתמש בסעיף א?, כי ככה יצא לי האמת.

בקשר לסעיף ג, מז"א הצגה יחידה עד כדי סקלר?

תודה

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

מעל C, קיימים פולינומים אי - פריקים חוץ מהפולינומים ממעלה 1?

*(לא מתרגל) אמרנו בהרצאה שכל פולינום מתפרק לגורמים '''לינאריים''' מעל C, ולכן התשובה היא לא.

== אפשר אולי להעלות את התרגילי בית מוקדם יותר? ==

נגיד ביום של הגשת התרגיל הקודם או יום אחרי, זה מאוד יעזור.
מצטרף לשאלה.

גם אני מצטרף.... עברו כבר שלושה ימים ועדיין לא עלה התרגיל...

בכלל אם אפשר עדיף לעלות אותם יום-יומיים לפני- כמו בפיזיקה ואז יש יותר משבוע שלם -משהו כמו 9-10 ימים להכין את השיעורים-

ובעיניין התרגיל הנוכחי- תרגיל 4 עדיף לדחות אותו בשבוע לפחות - כי גם ככה אין לנו סיכוי לסיים אותו בזמן

ֿ
אני ממש בעד שהתרגיל יעלה מוקדם יותר באופן קבוע (אולי גם באינפי), זה יכול לחסוך לנו הרבה זמן

== איחור העלאת התרגיל ==

יתנו לנו הארכה על התרגיל הנוכחי ? כבר סוף שבוע והוא עוד לא עלה....

*כבר יום ראשון..(מישהו אחר)

== הבוחן ==

אם אפשר לתת פרטים על הבוחן וקישור לתרגילים, זה ממש יעזור! תודה

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

לא כל כך הבנתי את השאלה זה לא בעצם אומר שהמטריצה היא מטריצת האפס?

צודק, יש טעות בשאלה m(x)=x^2 ולא m(x)=x אני אעלה תיקון בהקדם.

==תרגיל 4 שאלה 3==

הכוונה שנישתמש באלגוריתם לשילוש שלמדנו בתירגול?

לא מרצה/מתרגל. סביר להניח שכן

== תרגיל 4 שאלה 5א ==

מהו תת מרחב g(T) אינווריאנטי?

מצטרף גם כן לשאלה....

*(לא מתרגל) ראינו כי אם g פולינום אז אפשר להציב עליו מטריצות וגם טרנספורמציות. כלומר אם נציב על g את T, נקבל טרנספורמציה g(T). ומכאן אפשר להבין את המונח בדיוק כמו בעבור העתקה רגילה T, רק שפה ההעתקה היא g(T), זה הכל.

מה זאת אומרת להציב טרנפורמציות ??? הכוונה להציב את המטריצה המייצגת שלהם ? וגם אז הכוונה שלכל <math>v</math> ב-<math>W</math> גם <math>g(T(v))</math> נמצא ב-<math>W</math> ?

*אם ניקח פולינום כלשהו, אפשר להציב עליו העתקות לינאריות, באופן הבא:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g(x)={%20a%20}_{%200%20}+{%20a%20}_{%201%20}x+...+{%20a%20}_{%20n%20}{%20x%20}^{%20n%20}\\%20=%3Eg(T)={%20a%20}_{%200%20}I+{%20a%20}_{%201%20}T+...+{%20a%20}_{%20n%20}{%20T%20}^{%20n%20}

כאשר I היא העתקה הזהות, ולדוגמא T בריבוע היא T הרכבה T.
בעצם קיבלנו כפל של העתקות בסקלר => העתקה, וכן חיבור העתקות => העתקה (כי מרחב ההעתקות הוא מרחב וקטורי וסגור לכפל בסקלר וחיבור), כלומר בסה"כ על <math>g(T)</math> היא העתקה.

ואז אפשר להבין את הגדרה בדיוק כמו עבור העתקה T:

W הוא ת"מ <math>g(T)</math> אינווריאנטי אם לכל v ב W מתקיים <math>(g(T))(v)\in W</math>

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

מעל איזה שדה נמצאת המטריצה הנתונה ? מרוכבים ? ממשיים ? ....

*(לא מתרגל) זה לא משנה כל כך לשאלה אני מאמין.

אני דווקא חושב שזה די חשוב...

*באיזשהו מקום אתה צודק, כי אם המרחב הוא Z2 השאלה הופכת לקלילה. אם הוא Z1, כלומר המרחב שמכיל את 0 בלבד, אז היא עוד יותר קלה. ובכל מקרה, יש פתרון שתקף לכל מרחב שתיקח.

*מתי תבינו שאם לא כתוב אז זה אומר שאנחנו מעל R?--[[משתמש:Caspim|Caspim]] 21:25, 22 בנובמבר 2012 (IST)

*(לא מתרגל) נבין מחר. בכל מקרה, יש פתרון שתקף גם מעל C, גם מעל Z2 וגם מעל R, אז לא חייבים להגביל בשדה (אולי דווקא בגלל זה לא רשמו אותו).

== תרגיל 4 שאלה 5 ב' ==

כשרושמים <math>f(T)[W]</math> מתכוונים לזה שמפעילים את כל הוקטורים ב W על ההעתקה?

*(לא מתרגל) הכוונה היא לתמונה של W לפי ההעתקה <math>f(T)</math>

== שאלה 5 ==

בקשר לסעיפים ב,ג
אפשר לקחת איבר כללי ב-W בסעיף ב ובסעיף ג איבר כללי ב-V
ולהראות את ההוכחה על התמונה שלו
או שבאמת צריך לקחת את כל האיברים בתמונה...
תודה

== תרגיל 4 שאלה 5 ==

זה בהנחה ש T הע"ל מ V לעצמו נכון..(?)

*(לא מתרגל) כן, אחרת כל התרגיל לא מוגדר בהכרח (זה כמו להניח שמטריצה A ריבועית).

== דחוף! שאלה בקשר לבוחן (תיכוניסטים) ==

יש מחר בוחן או לא? אם לא, למתי הוא נדחה?
אודה אם יענו לי בהקדם! תודה :)

(לא מתרגל / מרצה) הבוחן נדחה ל-11.12, ההשלמה בחנוכה --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:30, 26 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

מעל איזה שדה T? זה מאד חשוב לפתרון , שכן יכולים להיות פתרונות שונים אם זה מעל C או מעל R...

(לא מתרגל / מרצה) כתוב <math>T:\mathbb{C}^3\rightarrow\mathbb{C}^3</math>, לכן מעל <math>\mathbb{C}</math>. --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:51, 26 בנובמבר 2012 (IST)

== איך מוצאים תתי מרחבים אינווריאנטים? ==

יש אלגוריתם למציאת תתי מרחבים אינווריאנטים?

(לא מתרגל / מרצה) לדעתי לא, אחרת היה ארז היה מעלה אותו ל-math-wiki --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:34, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 2 א' ==

אפשר הסבר למה זה בעצם W1?

???

???

(לא מרצה / מתרגל) ארז אמר שהוא יבדוק מחר ויחזיר תשובה בנושא --[[משתמש:גיא|גיא]] 23:15, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 1 ==

מה זה תתי מרחבים אינווריאנטים תחת כפל ב-A ?

(לא מתרגל / מרצה) דיברנו בהרצאה ובתרגול על תתי מרחבים אינווריאנטיים תחת העתקה מסוימת. אך מלינארית 1 אנו יודעים כי כל העתקה שקולה לכפל במטריצה. הכוונה בתרגיל - במקום העתקה מכפילים את הוקטור במטריצה; <math>V</math> תת מרחב אינווריאנטי תחת כפל ב-<math>A</math> אם לכל <math>\vec{v}\in V</math> מתקיים <math>A\vec{v}\in V</math> --[[משתמש:גיא|גיא]] 12:59, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 1 ==

אני לא מבין את השאלה V ו W הם מרחבים של מטריצות או של וקטורים?
וגם הוקטורים העצמיים יוצאים מרוכבים אז יכול להיות שהם אמורים להיות ממשיים?

(לא מתרגל / מרצה) <math>V,W\subseteq \mathbb{R}^4</math>, לכן הם תתי מרחבים של וקטורי <math>\mathbb{R}^4</math>. נכון, הו"ע וגם הע"ע יוצאים מרוכבים, אך יש לחשוב כיצד לחזור לממשיים עם תתי מרחבים אינווריאנטיים כדרוש --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:33, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 ,שאלה 3 ==

האם אפשר ב-א ישר לתת את המרחבים האלה? והאם מותר להשתמש במרחבים טריוואלים

?

תודה

(לא מתרגל / מרצה) מה הכוונה בלתת ישר את המרחבים האלו ולהשתמש במרחבים טריוויאליים? <math>W</math> נתון לך מעצם השאלה, אתה צריך למצוא לו תת מרחב אחר <math>W'</math> שיקיים את התנאי. אסור להשתמש בדוגמאות ספציפיות - כי <math>W</math> אינו נתון --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:31, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 2 א ==

לא הבנתי מה זה wi זה יוצא ker של מטריצה לא ריבועית...

== תרגיל 5 שאלה 2 א - הסבר ==

העליתי קובץ מתוקן.

== החישובים יוצאים ממש ארוכים.. ==

רק לחשב את הפולינום האופייני של מטריצה 4x4 לקח לי בערך 2 עמודים, שלא לדבר על זה שעכשיו צריך למצוא וקטורים עצמיים בשביל שאלה 1..

איך זה אפשרי שבמבחן יהיה לי זמן לעשות את כל החישובים האלו?

== תחרות כמו בשנה שעברה ==

האם גם השנה, בדומה לשנה שעברה, תיערך תחרות בחנוכה בנושא פתרון תרגילים הקשורים לצורות ז'ורדן?

== ערכים עצמיים ==

האם זה אפשרי שיהיו לי 5 ע"ע שונים (ממשיים) למטריצה ממשית של 4 על 4?

*(לא מתרגל) לא, כי אז הפולינום האופייני הוא ממעלה 5 (לפחות), מה שלא ייתכן.

== מערכי תרגול מעודכנים (תיכוניסטים) ==

אפשר בבקשה להעלות מערכי תרגול בנושאים שלמדנו בהרצאות/תרגולים האחרונים, שעוד לא עלו?

== איך מוכיחים שלמטריצות דומות יש אותו פולינום מינימלי? ==

אני לא הבנתי את ההוכחה שנתנו לנו בתרגול על זה..

*(לא מתרגל)
יהי פולינום f, נסמנו
<math>f(x)=a0+a1x1+...+akx^k</math>

לפי הנתון, קיימת P הפיכה כך שמתקיים <math>P^{-1}AP=B</math>

לכן מתקיים:

<math>P^{-1}f(A)P=P^{-1}(a0I+...+akA^k)P=a0I+a1P^{-1}AP+...+akP^{-1}A^kP=a0I+...+B^k</math>

כאשר נזכור כי לכל i מתקיים <math>B^i=P^{-1}A^iP</math>.

ולכן בסה"כ מתקיים <math>P^{-1}f(A)P=f(B)</math>.

היות והמטריצה P הפיכה, אפשר לאמר כי <math>f(A)=0</math> אם ורק אם <math>f(B)=0</math>, ובמילים - כל פולינום שמאפס את A מאפס גם את B וההיפך.

כעת נביט בפולינום המינימלי של A, נסמנו mA. היות והוא מאפס, הוא יאפס גם את B לפי מה שהוכחנו לעיל, ולכן <math>mA(B)=0</math>. כעת, לפי טענה שהוכחנו, הפולינום המינימלי של B מחלק כל פולינום שמאפס את B, ולכן מתקיים <math>mB(x)|mA(x)</math>.

באופן דומה, היות והפולינום המינימלי של B מאפס את B, הוא גם יאפס את A, ולכן <math>mB(A)=0</math>, ומכאן <math>mA(x)|mB(x)</math>.

בסה"כ שניהם מחלקים זה את ראהו, ושניהם מתוקנים, ולכן שווים.

:הבנתי תודה רבה :)

== שאלה לגבי מבנה הבוחן ==

הבוחן ב11.12 יהיה מורכב מהוכחת משפט או מיישום קבוצת משפטים על מטריצה?

== הפולינום המינימלי של מטריצת אלכסונית בלוקים. ==

מישהו יכול להביא לי את ההוכחה שהפולינום המינימלי של מטריצה אלכסונית בלוקים הוא ה lcm של הפולינומים המינימלים של הבלוקים?

== פתרונות לתרגילים (תיכוניסטים) ==

בבקשה תעלו את הפתרונות של התרגילי בית שנוכל לחזור עליהם לפני הבוחן ולבדוק את הטעויות שלנו.
דגש על הפתרון של תרגיל 5.
אודה לכם אם תעשו זאת עוד לפני שבת! תודה רבה!

== לא מצליח לג'רדן מטריצה ==

איך אמורים לג'רדן את המטריצה:

<math>A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

היא ניליפוטנטית מסדר 2, לכן צריך למצוא את <math>N(A)\cap C(A)</math>, ויצא לי ש <math>Ae_2</math> בסיס ל <math>C(A)</math>, ולכן החלק הראשון של המטריצה המג'רדנת היא
<math>Ae_2, e_2</math>. איך אני אמור להמשיך מפה?

תודה.

*(לא מתרגל) ראינו שצריך למצוא בסיס בצורת מסלול ל<math>N(A)\cap C(A^{ k-1 })</math>. לאחר מכן, להשלים אותו לבסיס עבור <math>N(A)\cap C(A^{ k-2 })</math> וכו' וכו'.
אם הגענו למצב שבו צריך להשלים לבסיס עבור <math>N(A)\cap C(A^{ k-k })=N(A)</math>, פירושו שיהיו בהצגה האלכסונית בלוקי ג'ורדן מהצורה <math>{ J }_{ 1 }(0)</math>, כי הוקטורים עצמם נמצאים <math>N(A)</math>. ואכן, אם תמצא את מרחב האפס תקבל כי הוא מורכב מe1 וכן מהוקטור <math>(0,-1,1)^{ t }</math>. הוקטור e1 כבר מופיע בבסיס הכללי ולכן נשמיט אותו.

לסיכום, הבסיס מתחיל במה שאמרת ומסתיים בוקטור <math>(0,-1,1)^{ t }</math>, וההצגה היא
<math>\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math>

תודה רבה, ועוד שאלה יש דרך לדעת איך תראה כבר המטריצה המג'ורדנת, רק מהתבוננות בפולינום המינימלי והאופייני?

(לא מתרגל / מרצה) אי אפשר ממש לדעת איך בדיוק זה ייראה, אבל אפשר לקבל כיוון לפי החוקים הבאים:
1. הריבוי הגאומטרי של ערך עצמי (של מטריצה A) הוא מספר הבלוקים המתאימים לערך העצמי הזה בצורת ז'ורדן של A.
2. החזקה של הגורם בפולינום המינימלי של A היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים ל- בצורת ז'ורדן של המטריצה.
3. הריבוי האלגברי של בפולינום האופייני הוא סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- בצורת ז'ורדן.
מקווה שעזרתי --[[משתמש:גיא|גיא]] 12:28, 8 בדצמבר 2012 (IST)

מישהו יודע להסביר למה האלגוריתם לז'רדון נילפוטנטי נכון ?

*(לא מתרגל) זה נובע בעיקר מההוכחה של משפט ג'ורדן הנילפוטנטי בקובץ של ד"ר צבאן, וההסבר המלא מתחיל אחרי סעיף 5, עד לסוף של סעיף 5.6. [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/LAT73/JordanAll.pdf]

הרעיון הכללי והבסיסי הוא שאופרטור מוצג לפי בסיס כבלוק ג'ורדן <=> הבסיס הוא מסלול. לכן המטרה היא למצוא בסיס שמורכב ממסלולים. לרוב מסלול אחד לא עושה את העבודה, ויש צורך בכמה מסלולים שייצרו בלוקי ג'ורדן נפרדים. כדי למצוא את הבסיס שמורכב ממסלולים זרים, פועלים לפי האלגוריתם, ובהוכחת טענה 5.6 אפשר להבין למה זה באמת בסיס (בת"ל ופורש). לאחר שהבנו שזה אכן בסיס, ברור לפי הטענה לעיל (אופרטור מוצג לפי בסיס כבלוק ג'ורדן <=> הבסיס הוא מסלול) שנקבל בעצם הצגה בצורה של ג'ורדן - על האלכסון יש בלוקי ג'ורדן, כי כל פעם ההעתקה מוצגת לפי מסלול (לכן גם חשוב הסדר בתוך המסלולים בבסיס, אחרת לא היינו מקבלים צורת ג'ורדן).

== איך אפשר לדעת איך תראה המטריצה המז'ורדנת? ==

אחרי שחישבתי את הבסיס המז'רדן ושמתי אותו בעמודות מטריצה P, איך אני יכול לראות איך תראה המטריצה המז'ורדנת, מבלי למצוא את P^-1 ולהכפיל בינהם?

(לא מתרגל / מרצה) אם כבר מצאת את P, למה כבר לא להכפיל את הכל ולגמור את הסיפור? בכל מקרה, הנה כמה כללים:

1. הריבוי הגאומטרי של ערך עצמי (של מטריצה A) הוא מספר הבלוקים המתאימים לערך העצמי הזה בצורת ז'ורדן של A.

2. החזקה של הגורם בפולינום המינימלי של A היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים ל- בצורת ז'ורדן של המטריצה.

3. הריבוי האלגברי של בפולינום האופייני הוא סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- בצורת ז'ורדן.

בהצלחה בשלישי :) --[[משתמש:גיא|גיא]] 17:06, 9 בדצמבר 2012 (IST)

אבל אם יתנו לנו מטריצה 4x4 שזה יהיה סיפור להפוך אותה. אין אפשרות במהלך הז'ירדון כבר לראות איך המטריצה המז'ורדנת תיראה, מבלי ממש לבדוק (לבדוק את P^-1AP)?

(לא מתרגל / מרצה) אם יבקשו ממך לז'רדן את המטריצה אז תהיה חייב לבצע את כל התהליך, כולל ההפיכה --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:36, 9 בדצמבר 2012 (IST)

אה אוקי... טוב תודה :)

== שאלה לגבי שאלה5 תרגיל 6 ==

מה הכוונה בשאלה 5 כשכתוב "להוכיח את משפט ג'ורדן עבור מטריצות ממשפט ג'ורדן"? לכתוב הוכחה גם עבור מטריצה נילפוטנטית וגם למטריצה כללית (עם ע"ע שונים מ0) ?

*(לא מתרגל) מה שצריך לעשות זה להוכיח את המשפט:
לכל מטריצה ריבועית A כך שהפ"א שלה מל"ל, A דומה למטריצה בצורת ג'ורדן.
לפי התרגיל, צריך לעשות זאת בעזרת משפט ג'ורדן עבור אופרטורים. במילים אחרות - לצאת מנקודת הנחה שהמשפט נכון לאופרטורים, להוכיח בעזרת זה את המשפט עבור מטריצות.

מה זאת אומרת? אפשר פשוט לשים את הבסיס המז'רדן בתור עמודות מטריצה ולהגיד שזה המטריצה המז'רדנת? זה מה שהם רצו שנעשה?

*מי אמר? אם את/ה חושב/ת שזה נכון, מוזמנ/ת להוכיח.

נסתכל על A כשהעתקה לינארית, לפי ההנחה יש לה בסיס מז'רדן (נניח B), נשים את וקטורי B בעמודות מטריצה P, ולפי ההגדרה של דמיון מטריצות (שזה בעצם מעבר בין בסיסים) מקבלים ש A דומה למטריצה עם בלוקי ג'ורדן

*"כשהעתקה הלינארית..." - איזו העתקה לינארית?

"כהעתקה לינארית", בלי ש' טעות שלי P:

== תרגיל 7 שאלה 3 ==

אני חושב שיש טעות בשאלה, מפני שכאשר נתון a,b ממשיים כלשהם צריך לאמר שהם שונים, אחרת האינטגרל הוא תמיד 0, ויוצא שהמ"פ היא פונקציית האפס, שהיא לא מ"פ.

== תרגיל 7 שאלה 1 ==

בשאלה 1 נראה לי שמצאתי הפרכה: יהי <math><w,v>=0 \Leftarrow v=0</math> וזה מתקיים לדוגמא ל- <math>w=(1,1,1,1,1,...,1)\neq 0</math>

*(לא מתרגל) נתון כי הדבר נכון '''לכל''' v בV, לא רק לv יחיד שבחרת.

(לא מתרגל)צריך להוכיח בשאלה שלכל V מתקיים w,v>=0> גורר W=0
ולכן הפרכה של הטענה הזאת היא: שקיים V עבורו w,v>=0> לא גורר W=0.
ולכן הוא הפריך את הטענה הזאת - יש טעות בשאלה הגרירה נכונה רק לכיוון אחד... (וגם אם זה נכון אז כל וקטור מאונך רק ל0...)

*(לא מתרגל) לא נכון, זו לוגיקה בסיסית - ההפרכה היא: אם w שונה מאפס בכל מקרה לכל v בV מתקיים 0=<w,v>. ואת זה אי אפשר להפריך, מוזמנים לנסות.

הטענה שציינת, האומרת שכל וקטור מאונך רק לאפס - שגויה. מדובר פה בווקטור שמאונך '''לכל הווקטורים במרחב''', וכזה הוא רק וקטור האפס. לא תמצא עוד אחד כזה, ואם אני אגיד למה אז אני למעשה פותר את השאלה.

== תרגיל 7 שאלה 3 ==

בשאלה 3 לדעתי חסר נתונים לסעיף א' לפחות, כי בהוכחת האי-שליליות, <math><f,f><0</math> אם מקדמי הפולינום <math>f(x)</math> הם שליליים, או אם <math>a>b</math> וכן הלאה.. כלומר לדעתי צריך להוסיף שם כמה תנאים כדי שההוכחה תהיה נכונה..
לא

== תרגיל 7 שאלה 3 (תיכוניסטים) ==

באי שליליות, איך אני מוכיח שהאינטגרל המסויים הזה תמיד חיובי (או שווה לאפס...)?

== תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם אני בוחר b=1 a=0
ו f=x^3-x אז המכפלה הפנימית של f עם עצמו היא0 והוא שונה מ-0

שיחה:88-113 תשעג סמסטר א

2012-12-21T13:50:51Z

Isis: /* תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגיל (תיכוניסטים) ==

מתי יעלו לנו את התרגיל בלינארית 2 ומתי יום ההגשה שלו?
:התרגיל עלה, הגשה לשבוע הבא. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 שאלה 1 (תיכוניסטים) ==

שכתוב למצוא מרחב עצמי הכוונה למצוא בסיס למרחב העצמי?
:בדיוק --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 2 לתיכוניסטים ==

הפרכה:
נקח את המטריצה מ1ג
ואת הווקטורים (1,1,0-) ו-(1,0,1-) שאינם תלויים לינארית
ונראה ששניהם ו"ע של המטריצה עם ע"ע 0.

:צודק, תקנתי את הטעות בשאלה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אוף ניסיתי יותר מדי זמן להוכיח את זה

== מרחב עצמי ==

מה הכוונה מרחב עצמי? הגדרנו רק ערך עצמי ווקטור עצמי...
:(לא מרצה/מתרגל) מרחב עצמי זה קבוצת כל הווקטורים העצמיים עם ווקטור האפס(שהרי ע"פי ההגדרה הוא לא ווקטור עצמי). ניתן להוכיח בקלות שקבוצה זו מקיימת סגירות לחיבור, וכפל בסקלר. היא מכילה את ווקטור האפס ולכן היא מרחב.
:אם תבין את הכתב שלי אז יש שם הגדרה של המרחב + הוכחה קצרה:
:[[קובץ:3.jpg|200px|thumb|left|עמוד שלישי של התרגול הראשון]]
:--[[משתמש:Avital|Avital]] 21:56, 25 באוקטובר 2012 (IST)

== לא הבנתי משהו בתרגול ==

רשמנו בתרגיל:
"כל המטריצות הדומות מייצגות את אותה העתקה לינארית בבסיסים שונים"

אפשר הסבר למשפט הזה?

*(לא מתרגל) אמרנו (אי שם בלינארית 1) שכל העתקה אפשר להציג בתור מטריצה ביחס לבסיסים מסוימים, וההפך - כל מטריצה מייצגת העתקה, ביחס לבסיסים מסוימים.
יש טענה כזו שאומרת שכל שתי מטריצות שמייצגות אותה העתקה ביחס לבסיסים שונים, הן דומות. כלומר, קיימת P הפיכה כך ש:
http://up357.siz.co.il/up1/3zjymrewzmyd.png

מצד שני, הטענה ההפוכה היא: אם ניקח שתי מטריצות דומות, אפשר למצוא העתקה לינארית, וכן ארבעה בסיסים כך שהמטריצות המייצגות ביחס לבסיסים יהיו שוות לאותן המטריצות הדומות.

ומה זה נותן לי, שהמטריצות הללו מייצגות את אותה הע"ל בבסיסים שונים?

:העובדה שמטריצות דומות מייצגות את אותה העתקה לינארית עוזרת באופן הבא- אם יש לך מטריצה כלשהי המייצגת העתקה, היית מעדיף למצוא מטריצה דומה לה (כלומר מייצגת את אותה ההעתקה) שהיא פשוטה יותר. למשל אם המטריצה הדומה היא אלכסונית, אז ההעתקה סה"כ כופלת כל איבר בבסיס מסויים בסקלר --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אז הרעיון במטריצות דומות זה בעצם להפוך את המטריצה למטריצה "יפה" יותר, שממנה יותר קל לראות מה ההעתקה עושה?

:אכן זה אחד הרעיונות המרכזיים של הקורס (לכסון, שילוש, ז'ורדן) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 שאלה 3 ==

האם אפשר להניח שלכל i, ה-x במקום i שונה מאפס? (זה נחוץ לחישוב הדטרמיננטה)

(לא מתרגל) אני אישית הפרדתי באופן זה או אחר. נסה/י לראות מה יקרה אם Xi שווה אפס, ותנסה/י "להיפטר" ממקרה זה בחישוב הדט' שאת/ה מנסה לחשב.

== תרגיל 2 ==

אפשר הסבר לשאלה 2? למה בדיוק הכוונה ב- T משקפת נקודות ביחס לישר y=kx?

נראה לי שזה אומר שכאילו שמים מראה על הישר y=kx וזה מעביר את כל הנקודות לצד השני שלו כשהן נשארות באותו מרחק ממנו ביחס לאותה נקודה שלו

אפשר למצוא את התוצאה עם אנך ואמצע קטע כמו בגיאומטריה אנליטית

מקווה שעזרתי בינתיים אבל עדיף לחכות לתשובה של מתרגל

:נכון, שיקוף זו פעולה של מראה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

* למה בדיוק הכוונה? איך אני רושם את T של וקטור (x,y) במפורש?

:זו בדיוק השאלה. כמו שענו לך למעלה, מכל נקודה אתה מעביר אנך לקו הישר ושולח אותה לנקודה על האנך מאותו המרחק בצד השני של הישר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אתה יכול להביא דוגמא מספרית?

*קצת קשה לראות כאן דוגמא מספרית, כי צריך לעשות הרבה עבודה כדי להגיע לזה, ואין לזה הרבה משמעות. פשוט לוקחים את הישר kx ונקודה כלשהי, מעבירים ממנה אנך לישר kx. לנקודה הזו יש מרחק מהישר. אז ניקח את הנקודה על הישר המאונך לkx, בצד השני של הישר, שהיא במרחק זהה. זה הכל.

== תרגיל 2 ==

בשאלה 2, מה זה L? --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:14, 31 באוקטובר 2012 (IST)
:זו טעות. הכוונה לT --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 4 ==

מה ההתקה בדיוק עושה למטריצה ? לא ברור... זה נראה כאילו היא לוקחת כל מטריצה 2 על 2 והופכת אותה למטריצה מסויימת שכתובה בתרגיל כאילו וקטור עצמי זה מטריצה בכלל ?

תודה

:כן, במקרה של ההעתקה מעל מרחב המטריצות, הוקטורים הם מטריצות. ולכן וקטור עצמי יהיה מטריצה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 3 ==

בסעיף א', מה זאת אומרת הערכים העצמיים של A שונים זה מזה, מן הסתם שהם שונים לא?
:הכוונה היא שיש n ערכים עצמיים שונים --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

כש n זה הגודל של המטריצה נכון?

:נכון --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 2 (תיכוניסטים) ==

האם מוצר להשתמש במה שלמדנו בתיכון בגאומטריה אנליטית (מרחק בין 2 נקודות, מרחק בין נקודה לישר, אם m שיפוע של ישר אז שיפוע הישר האנך לו הוא (1-)^m וכו) ?

אתה יכול להסביר לי מה מבקשים בכלל בתרגיל? מה זאת אומרת "משקפת"?

:מצורף '''[[מדיה:שיקוף ביחס לישר - הסבר.jpeg|איור]]''' המתאר למה הכוונה בשיקוף. האיור לקוח מתוך הקורס בגיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית, סמסטר א תשע"ב (ואויר על ידי המתרגלת, אנה זרך). מקווה שזה עוזר. [[משתמש:gordo6|גל]].

אז מה שהשיקוף עושה, זה להעביר מהנקודה אנך לישר, ואז ממשיכים את האנך הזה כאורכו, ואז הנקודה שהוא מגיעה אליה, זה השיקוף?

:בהחלט. זה העקרון על פיו מוצאים את הדמות במראה (באופטיקה, אם למדת בתיכון), ובעצם כאן y=kx הוא המראה שלך.

== שאלה כללית ==

אם יש לי ע"ע כלשהו, והמטריצה A-xI יוצאת הפיכה, אז אין וקטור עצמי עבור הערך העצמי הזה ? כי למרחב האפס של המטריצה יש רק פתרון טריוויאלי ?

:לא ייתכן שעבור ע"ע x המטריצה A-xI תהא הפיכה. הרי ע"ע מאפס את הפולינום האופייני - הוא הדטרמיננטה של מטריצה זו. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 5 ==

כתוב למצוא בסיס למרחב העצמי הנתון. איזה מרחב עצמי נתון ?
:אני מניח שהכוונה למרחב העצמי לע"ע 1... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 2 ==

מה זה אומר שצריך למצוא הצגה אלכסונית D? מה זאת אומרת?

נ.ב כשמבקשים להוכיח האם T לכסינה, זה בעצם להראות שהמטריצה המייצגת שלה לפי בסיסים כלשהם, לכסינה?

*בנוגע לנ.ב. - כן, זהו משפט שראינו בהרצאה. עכשיו בנוגע לשאלה הראשונה - לאחר שמצאת האם T לפי בסיס כלשהו לכסינה, אתה צריך למצוא את המטריצה האלכסונית שלה היא דומה.

אז כשרוצים למצוא את D, צריך למצוא את המטריצה או את ההעתקה עצמה?

* כשאומרים למצוא את D, הכוונה היא שתרשום את המטריצה האלכסונית הזו שאתה מחפש.

ואיך אמורים למצוא את הבסיס הזה?

*לפי תרגיל שראינו בהרצאה, T לפי הבסיס B היא אלכסונית <=> הבסיס B מורכב מ-n ו"ע בת"ל של T.

אוקי, ואם לדוגמא T לכסינה, זה אומר שלכל בסיס B, המטריצה המייצגת את T לפי B היא אלכסונית? או שרק קיים בסיס כזה?

:רק שקיים בסיס כזה, אחרת אין משמעות לפעולת הלכסון. פעולת הלכסון היא בדיוק מציאת הבסיס לפי המטריצה אלכסונית (כאשר מסתכלים גם על מטריצה רגילה כהעתקה לינארית) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

* חשוב גם לאמר שיש יותר מאופציה אחת, כי אם נשנה את הסדר של הוקטורים בבסיס שמצאנו, נקבל בסיס סדור אחר, שגם הוא יתאים. מה שיקרה זה שבסה"כ הע"ע יחליפו מקומות על האלכסון במטריצה המייצגת, ונקבל מטריצה קצת אחרת.

== תרגיל 2 שאלה 4 ==

איך אני מוצא את המטריצה המייצגת של ההעתקה T?
:כמו שלמדנו ב[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/9|לינארית 1]]. מצא בסיס למרחב (שים לב שזהו מרחב של מטריצות), תפעיל את ההעתקה על הבסיס, שים את הקואורדינטות של התוצאות בעמודות מטריצה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 3 שאלה 3 ==

איך אני מגלה לאן f שולחת?

(לא מתרגל / מרצה) התכוונת ל-f שכתוב ב-<math>T(f)</math>? אם כן, זהו פשוט פולינום כללי ממעלה עד מעלה שלישית --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:43, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 3 ==

יש הבדל בין f לבין <math>f(x)</math>?

(לא מתרגל / מרצה) לא --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:42, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

אם g, h פולינומים, יש דבר כזה <math>g/h</math>
(g חלקי h)?

*כן, זהו חילוק פולינומים. לדוגמא אם ניקח x^2-1 וכן x-1 החילוק שלהם יביא x+1.

== תרגיל 3 שאלה 1 סעיף ג' ==

אפשר ניסוח אחר של השאלה? כי הפתרונות שחשבתי עליהם ממש טריוויאלים ואני לא חושב שלזה התכוונו. --[[משתמש:Avital|Avital]] 18:12, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

מה למדנו על מספרים זרים בתרגול? :)

:אם f,g פולינומים זרים אז קיימים פולינומים a,b כך ש af+bg=1 --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 1 סעיף ב (תרגיל 3) ==

המטריצות בסעיף הזה גם מעל הממשיים?

== תרגיל 3,שאלה 4 ==

סעיף ב

אפשר להוכיח באינדוקציה בלי להשתמש בסעיף א?, כי ככה יצא לי האמת.

בקשר לסעיף ג, מז"א הצגה יחידה עד כדי סקלר?

תודה

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

מעל C, קיימים פולינומים אי - פריקים חוץ מהפולינומים ממעלה 1?

*(לא מתרגל) אמרנו בהרצאה שכל פולינום מתפרק לגורמים '''לינאריים''' מעל C, ולכן התשובה היא לא.

== אפשר אולי להעלות את התרגילי בית מוקדם יותר? ==

נגיד ביום של הגשת התרגיל הקודם או יום אחרי, זה מאוד יעזור.
מצטרף לשאלה.

גם אני מצטרף.... עברו כבר שלושה ימים ועדיין לא עלה התרגיל...

בכלל אם אפשר עדיף לעלות אותם יום-יומיים לפני- כמו בפיזיקה ואז יש יותר משבוע שלם -משהו כמו 9-10 ימים להכין את השיעורים-

ובעיניין התרגיל הנוכחי- תרגיל 4 עדיף לדחות אותו בשבוע לפחות - כי גם ככה אין לנו סיכוי לסיים אותו בזמן

ֿ
אני ממש בעד שהתרגיל יעלה מוקדם יותר באופן קבוע (אולי גם באינפי), זה יכול לחסוך לנו הרבה זמן

== איחור העלאת התרגיל ==

יתנו לנו הארכה על התרגיל הנוכחי ? כבר סוף שבוע והוא עוד לא עלה....

*כבר יום ראשון..(מישהו אחר)

== הבוחן ==

אם אפשר לתת פרטים על הבוחן וקישור לתרגילים, זה ממש יעזור! תודה

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

לא כל כך הבנתי את השאלה זה לא בעצם אומר שהמטריצה היא מטריצת האפס?

צודק, יש טעות בשאלה m(x)=x^2 ולא m(x)=x אני אעלה תיקון בהקדם.

==תרגיל 4 שאלה 3==

הכוונה שנישתמש באלגוריתם לשילוש שלמדנו בתירגול?

לא מרצה/מתרגל. סביר להניח שכן

== תרגיל 4 שאלה 5א ==

מהו תת מרחב g(T) אינווריאנטי?

מצטרף גם כן לשאלה....

*(לא מתרגל) ראינו כי אם g פולינום אז אפשר להציב עליו מטריצות וגם טרנספורמציות. כלומר אם נציב על g את T, נקבל טרנספורמציה g(T). ומכאן אפשר להבין את המונח בדיוק כמו בעבור העתקה רגילה T, רק שפה ההעתקה היא g(T), זה הכל.

מה זאת אומרת להציב טרנפורמציות ??? הכוונה להציב את המטריצה המייצגת שלהם ? וגם אז הכוונה שלכל <math>v</math> ב-<math>W</math> גם <math>g(T(v))</math> נמצא ב-<math>W</math> ?

*אם ניקח פולינום כלשהו, אפשר להציב עליו העתקות לינאריות, באופן הבא:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g(x)={%20a%20}_{%200%20}+{%20a%20}_{%201%20}x+...+{%20a%20}_{%20n%20}{%20x%20}^{%20n%20}\\%20=%3Eg(T)={%20a%20}_{%200%20}I+{%20a%20}_{%201%20}T+...+{%20a%20}_{%20n%20}{%20T%20}^{%20n%20}

כאשר I היא העתקה הזהות, ולדוגמא T בריבוע היא T הרכבה T.
בעצם קיבלנו כפל של העתקות בסקלר => העתקה, וכן חיבור העתקות => העתקה (כי מרחב ההעתקות הוא מרחב וקטורי וסגור לכפל בסקלר וחיבור), כלומר בסה"כ על <math>g(T)</math> היא העתקה.

ואז אפשר להבין את הגדרה בדיוק כמו עבור העתקה T:

W הוא ת"מ <math>g(T)</math> אינווריאנטי אם לכל v ב W מתקיים <math>(g(T))(v)\in W</math>

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

מעל איזה שדה נמצאת המטריצה הנתונה ? מרוכבים ? ממשיים ? ....

*(לא מתרגל) זה לא משנה כל כך לשאלה אני מאמין.

אני דווקא חושב שזה די חשוב...

*באיזשהו מקום אתה צודק, כי אם המרחב הוא Z2 השאלה הופכת לקלילה. אם הוא Z1, כלומר המרחב שמכיל את 0 בלבד, אז היא עוד יותר קלה. ובכל מקרה, יש פתרון שתקף לכל מרחב שתיקח.

*מתי תבינו שאם לא כתוב אז זה אומר שאנחנו מעל R?--[[משתמש:Caspim|Caspim]] 21:25, 22 בנובמבר 2012 (IST)

*(לא מתרגל) נבין מחר. בכל מקרה, יש פתרון שתקף גם מעל C, גם מעל Z2 וגם מעל R, אז לא חייבים להגביל בשדה (אולי דווקא בגלל זה לא רשמו אותו).

== תרגיל 4 שאלה 5 ב' ==

כשרושמים <math>f(T)[W]</math> מתכוונים לזה שמפעילים את כל הוקטורים ב W על ההעתקה?

*(לא מתרגל) הכוונה היא לתמונה של W לפי ההעתקה <math>f(T)</math>

== שאלה 5 ==

בקשר לסעיפים ב,ג
אפשר לקחת איבר כללי ב-W בסעיף ב ובסעיף ג איבר כללי ב-V
ולהראות את ההוכחה על התמונה שלו
או שבאמת צריך לקחת את כל האיברים בתמונה...
תודה

== תרגיל 4 שאלה 5 ==

זה בהנחה ש T הע"ל מ V לעצמו נכון..(?)

*(לא מתרגל) כן, אחרת כל התרגיל לא מוגדר בהכרח (זה כמו להניח שמטריצה A ריבועית).

== דחוף! שאלה בקשר לבוחן (תיכוניסטים) ==

יש מחר בוחן או לא? אם לא, למתי הוא נדחה?
אודה אם יענו לי בהקדם! תודה :)

(לא מתרגל / מרצה) הבוחן נדחה ל-11.12, ההשלמה בחנוכה --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:30, 26 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

מעל איזה שדה T? זה מאד חשוב לפתרון , שכן יכולים להיות פתרונות שונים אם זה מעל C או מעל R...

(לא מתרגל / מרצה) כתוב <math>T:\mathbb{C}^3\rightarrow\mathbb{C}^3</math>, לכן מעל <math>\mathbb{C}</math>. --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:51, 26 בנובמבר 2012 (IST)

== איך מוצאים תתי מרחבים אינווריאנטים? ==

יש אלגוריתם למציאת תתי מרחבים אינווריאנטים?

(לא מתרגל / מרצה) לדעתי לא, אחרת היה ארז היה מעלה אותו ל-math-wiki --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:34, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 2 א' ==

אפשר הסבר למה זה בעצם W1?

???

???

(לא מרצה / מתרגל) ארז אמר שהוא יבדוק מחר ויחזיר תשובה בנושא --[[משתמש:גיא|גיא]] 23:15, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 1 ==

מה זה תתי מרחבים אינווריאנטים תחת כפל ב-A ?

(לא מתרגל / מרצה) דיברנו בהרצאה ובתרגול על תתי מרחבים אינווריאנטיים תחת העתקה מסוימת. אך מלינארית 1 אנו יודעים כי כל העתקה שקולה לכפל במטריצה. הכוונה בתרגיל - במקום העתקה מכפילים את הוקטור במטריצה; <math>V</math> תת מרחב אינווריאנטי תחת כפל ב-<math>A</math> אם לכל <math>\vec{v}\in V</math> מתקיים <math>A\vec{v}\in V</math> --[[משתמש:גיא|גיא]] 12:59, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 1 ==

אני לא מבין את השאלה V ו W הם מרחבים של מטריצות או של וקטורים?
וגם הוקטורים העצמיים יוצאים מרוכבים אז יכול להיות שהם אמורים להיות ממשיים?

(לא מתרגל / מרצה) <math>V,W\subseteq \mathbb{R}^4</math>, לכן הם תתי מרחבים של וקטורי <math>\mathbb{R}^4</math>. נכון, הו"ע וגם הע"ע יוצאים מרוכבים, אך יש לחשוב כיצד לחזור לממשיים עם תתי מרחבים אינווריאנטיים כדרוש --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:33, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 ,שאלה 3 ==

האם אפשר ב-א ישר לתת את המרחבים האלה? והאם מותר להשתמש במרחבים טריוואלים

?

תודה

(לא מתרגל / מרצה) מה הכוונה בלתת ישר את המרחבים האלו ולהשתמש במרחבים טריוויאליים? <math>W</math> נתון לך מעצם השאלה, אתה צריך למצוא לו תת מרחב אחר <math>W'</math> שיקיים את התנאי. אסור להשתמש בדוגמאות ספציפיות - כי <math>W</math> אינו נתון --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:31, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 2 א ==

לא הבנתי מה זה wi זה יוצא ker של מטריצה לא ריבועית...

== תרגיל 5 שאלה 2 א - הסבר ==

העליתי קובץ מתוקן.

== החישובים יוצאים ממש ארוכים.. ==

רק לחשב את הפולינום האופייני של מטריצה 4x4 לקח לי בערך 2 עמודים, שלא לדבר על זה שעכשיו צריך למצוא וקטורים עצמיים בשביל שאלה 1..

איך זה אפשרי שבמבחן יהיה לי זמן לעשות את כל החישובים האלו?

== תחרות כמו בשנה שעברה ==

האם גם השנה, בדומה לשנה שעברה, תיערך תחרות בחנוכה בנושא פתרון תרגילים הקשורים לצורות ז'ורדן?

== ערכים עצמיים ==

האם זה אפשרי שיהיו לי 5 ע"ע שונים (ממשיים) למטריצה ממשית של 4 על 4?

*(לא מתרגל) לא, כי אז הפולינום האופייני הוא ממעלה 5 (לפחות), מה שלא ייתכן.

== מערכי תרגול מעודכנים (תיכוניסטים) ==

אפשר בבקשה להעלות מערכי תרגול בנושאים שלמדנו בהרצאות/תרגולים האחרונים, שעוד לא עלו?

== איך מוכיחים שלמטריצות דומות יש אותו פולינום מינימלי? ==

אני לא הבנתי את ההוכחה שנתנו לנו בתרגול על זה..

*(לא מתרגל)
יהי פולינום f, נסמנו
<math>f(x)=a0+a1x1+...+akx^k</math>

לפי הנתון, קיימת P הפיכה כך שמתקיים <math>P^{-1}AP=B</math>

לכן מתקיים:

<math>P^{-1}f(A)P=P^{-1}(a0I+...+akA^k)P=a0I+a1P^{-1}AP+...+akP^{-1}A^kP=a0I+...+B^k</math>

כאשר נזכור כי לכל i מתקיים <math>B^i=P^{-1}A^iP</math>.

ולכן בסה"כ מתקיים <math>P^{-1}f(A)P=f(B)</math>.

היות והמטריצה P הפיכה, אפשר לאמר כי <math>f(A)=0</math> אם ורק אם <math>f(B)=0</math>, ובמילים - כל פולינום שמאפס את A מאפס גם את B וההיפך.

כעת נביט בפולינום המינימלי של A, נסמנו mA. היות והוא מאפס, הוא יאפס גם את B לפי מה שהוכחנו לעיל, ולכן <math>mA(B)=0</math>. כעת, לפי טענה שהוכחנו, הפולינום המינימלי של B מחלק כל פולינום שמאפס את B, ולכן מתקיים <math>mB(x)|mA(x)</math>.

באופן דומה, היות והפולינום המינימלי של B מאפס את B, הוא גם יאפס את A, ולכן <math>mB(A)=0</math>, ומכאן <math>mA(x)|mB(x)</math>.

בסה"כ שניהם מחלקים זה את ראהו, ושניהם מתוקנים, ולכן שווים.

:הבנתי תודה רבה :)

== שאלה לגבי מבנה הבוחן ==

הבוחן ב11.12 יהיה מורכב מהוכחת משפט או מיישום קבוצת משפטים על מטריצה?

== הפולינום המינימלי של מטריצת אלכסונית בלוקים. ==

מישהו יכול להביא לי את ההוכחה שהפולינום המינימלי של מטריצה אלכסונית בלוקים הוא ה lcm של הפולינומים המינימלים של הבלוקים?

== פתרונות לתרגילים (תיכוניסטים) ==

בבקשה תעלו את הפתרונות של התרגילי בית שנוכל לחזור עליהם לפני הבוחן ולבדוק את הטעויות שלנו.
דגש על הפתרון של תרגיל 5.
אודה לכם אם תעשו זאת עוד לפני שבת! תודה רבה!

== לא מצליח לג'רדן מטריצה ==

איך אמורים לג'רדן את המטריצה:

<math>A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

היא ניליפוטנטית מסדר 2, לכן צריך למצוא את <math>N(A)\cap C(A)</math>, ויצא לי ש <math>Ae_2</math> בסיס ל <math>C(A)</math>, ולכן החלק הראשון של המטריצה המג'רדנת היא
<math>Ae_2, e_2</math>. איך אני אמור להמשיך מפה?

תודה.

*(לא מתרגל) ראינו שצריך למצוא בסיס בצורת מסלול ל<math>N(A)\cap C(A^{ k-1 })</math>. לאחר מכן, להשלים אותו לבסיס עבור <math>N(A)\cap C(A^{ k-2 })</math> וכו' וכו'.
אם הגענו למצב שבו צריך להשלים לבסיס עבור <math>N(A)\cap C(A^{ k-k })=N(A)</math>, פירושו שיהיו בהצגה האלכסונית בלוקי ג'ורדן מהצורה <math>{ J }_{ 1 }(0)</math>, כי הוקטורים עצמם נמצאים <math>N(A)</math>. ואכן, אם תמצא את מרחב האפס תקבל כי הוא מורכב מe1 וכן מהוקטור <math>(0,-1,1)^{ t }</math>. הוקטור e1 כבר מופיע בבסיס הכללי ולכן נשמיט אותו.

לסיכום, הבסיס מתחיל במה שאמרת ומסתיים בוקטור <math>(0,-1,1)^{ t }</math>, וההצגה היא
<math>\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math>

תודה רבה, ועוד שאלה יש דרך לדעת איך תראה כבר המטריצה המג'ורדנת, רק מהתבוננות בפולינום המינימלי והאופייני?

(לא מתרגל / מרצה) אי אפשר ממש לדעת איך בדיוק זה ייראה, אבל אפשר לקבל כיוון לפי החוקים הבאים:
1. הריבוי הגאומטרי של ערך עצמי (של מטריצה A) הוא מספר הבלוקים המתאימים לערך העצמי הזה בצורת ז'ורדן של A.
2. החזקה של הגורם בפולינום המינימלי של A היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים ל- בצורת ז'ורדן של המטריצה.
3. הריבוי האלגברי של בפולינום האופייני הוא סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- בצורת ז'ורדן.
מקווה שעזרתי --[[משתמש:גיא|גיא]] 12:28, 8 בדצמבר 2012 (IST)

מישהו יודע להסביר למה האלגוריתם לז'רדון נילפוטנטי נכון ?

*(לא מתרגל) זה נובע בעיקר מההוכחה של משפט ג'ורדן הנילפוטנטי בקובץ של ד"ר צבאן, וההסבר המלא מתחיל אחרי סעיף 5, עד לסוף של סעיף 5.6. [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/LAT73/JordanAll.pdf]

הרעיון הכללי והבסיסי הוא שאופרטור מוצג לפי בסיס כבלוק ג'ורדן <=> הבסיס הוא מסלול. לכן המטרה היא למצוא בסיס שמורכב ממסלולים. לרוב מסלול אחד לא עושה את העבודה, ויש צורך בכמה מסלולים שייצרו בלוקי ג'ורדן נפרדים. כדי למצוא את הבסיס שמורכב ממסלולים זרים, פועלים לפי האלגוריתם, ובהוכחת טענה 5.6 אפשר להבין למה זה באמת בסיס (בת"ל ופורש). לאחר שהבנו שזה אכן בסיס, ברור לפי הטענה לעיל (אופרטור מוצג לפי בסיס כבלוק ג'ורדן <=> הבסיס הוא מסלול) שנקבל בעצם הצגה בצורה של ג'ורדן - על האלכסון יש בלוקי ג'ורדן, כי כל פעם ההעתקה מוצגת לפי מסלול (לכן גם חשוב הסדר בתוך המסלולים בבסיס, אחרת לא היינו מקבלים צורת ג'ורדן).

== איך אפשר לדעת איך תראה המטריצה המז'ורדנת? ==

אחרי שחישבתי את הבסיס המז'רדן ושמתי אותו בעמודות מטריצה P, איך אני יכול לראות איך תראה המטריצה המז'ורדנת, מבלי למצוא את P^-1 ולהכפיל בינהם?

(לא מתרגל / מרצה) אם כבר מצאת את P, למה כבר לא להכפיל את הכל ולגמור את הסיפור? בכל מקרה, הנה כמה כללים:

1. הריבוי הגאומטרי של ערך עצמי (של מטריצה A) הוא מספר הבלוקים המתאימים לערך העצמי הזה בצורת ז'ורדן של A.

2. החזקה של הגורם בפולינום המינימלי של A היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים ל- בצורת ז'ורדן של המטריצה.

3. הריבוי האלגברי של בפולינום האופייני הוא סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- בצורת ז'ורדן.

בהצלחה בשלישי :) --[[משתמש:גיא|גיא]] 17:06, 9 בדצמבר 2012 (IST)

אבל אם יתנו לנו מטריצה 4x4 שזה יהיה סיפור להפוך אותה. אין אפשרות במהלך הז'ירדון כבר לראות איך המטריצה המז'ורדנת תיראה, מבלי ממש לבדוק (לבדוק את P^-1AP)?

(לא מתרגל / מרצה) אם יבקשו ממך לז'רדן את המטריצה אז תהיה חייב לבצע את כל התהליך, כולל ההפיכה --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:36, 9 בדצמבר 2012 (IST)

אה אוקי... טוב תודה :)

== שאלה לגבי שאלה5 תרגיל 6 ==

מה הכוונה בשאלה 5 כשכתוב "להוכיח את משפט ג'ורדן עבור מטריצות ממשפט ג'ורדן"? לכתוב הוכחה גם עבור מטריצה נילפוטנטית וגם למטריצה כללית (עם ע"ע שונים מ0) ?

*(לא מתרגל) מה שצריך לעשות זה להוכיח את המשפט:
לכל מטריצה ריבועית A כך שהפ"א שלה מל"ל, A דומה למטריצה בצורת ג'ורדן.
לפי התרגיל, צריך לעשות זאת בעזרת משפט ג'ורדן עבור אופרטורים. במילים אחרות - לצאת מנקודת הנחה שהמשפט נכון לאופרטורים, להוכיח בעזרת זה את המשפט עבור מטריצות.

מה זאת אומרת? אפשר פשוט לשים את הבסיס המז'רדן בתור עמודות מטריצה ולהגיד שזה המטריצה המז'רדנת? זה מה שהם רצו שנעשה?

*מי אמר? אם את/ה חושב/ת שזה נכון, מוזמנ/ת להוכיח.

נסתכל על A כשהעתקה לינארית, לפי ההנחה יש לה בסיס מז'רדן (נניח B), נשים את וקטורי B בעמודות מטריצה P, ולפי ההגדרה של דמיון מטריצות (שזה בעצם מעבר בין בסיסים) מקבלים ש A דומה למטריצה עם בלוקי ג'ורדן

*"כשהעתקה הלינארית..." - איזו העתקה לינארית?

"כהעתקה לינארית", בלי ש' טעות שלי P:

== תרגיל 7 שאלה 3 ==

אני חושב שיש טעות בשאלה, מפני שכאשר נתון a,b ממשיים כלשהם צריך לאמר שהם שונים, אחרת האינטגרל הוא תמיד 0, ויוצא שהמ"פ היא פונקציית האפס, שהיא לא מ"פ.

== תרגיל 7 שאלה 1 ==

בשאלה 1 נראה לי שמצאתי הפרכה: יהי <math><w,v>=0 \Leftarrow v=0</math> וזה מתקיים לדוגמא ל- <math>w=(1,1,1,1,1,...,1)\neq 0</math>

*(לא מתרגל) נתון כי הדבר נכון '''לכל''' v בV, לא רק לv יחיד שבחרת.

(לא מתרגל)צריך להוכיח בשאלה שלכל V מתקיים w,v>=0> גורר W=0
ולכן הפרכה של הטענה הזאת היא: שקיים V עבורו w,v>=0> לא גורר W=0.
ולכן הוא הפריך את הטענה הזאת - יש טעות בשאלה הגרירה נכונה רק לכיוון אחד... (וגם אם זה נכון אז כל וקטור מאונך רק ל0...)

*(לא מתרגל) לא נכון, זו לוגיקה בסיסית - ההפרכה היא: אם w שונה מאפס בכל מקרה לכל v בV מתקיים 0=<w,v>. ואת זה אי אפשר להפריך, מוזמנים לנסות.

הטענה שציינת, האומרת שכל וקטור מאונך רק לאפס - שגויה. מדובר פה בווקטור שמאונך '''לכל הווקטורים במרחב''', וכזה הוא רק וקטור האפס. לא תמצא עוד אחד כזה, ואם אני אגיד למה אז אני למעשה פותר את השאלה.

== תרגיל 7 שאלה 3 ==

בשאלה 3 לדעתי חסר נתונים לסעיף א' לפחות, כי בהוכחת האי-שליליות, <math><f,f><0</math> אם מקדמי הפולינום <math>f(x)</math> הם שליליים, או אם <math>a>b</math> וכן הלאה.. כלומר לדעתי צריך להוסיף שם כמה תנאים כדי שההוכחה תהיה נכונה..
לא

== תרגיל 7 שאלה 3 (תיכוניסטים) ==

באי שליליות, איך אני מוכיח שהאינטגרל המסויים הזה תמיד חיובי (או שווה לאפס...)?

== תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם אני בוחר b=1 a=0
וf=x^3-x אז המכפלה הפנימית של f עם עצמו היא0 והוא שונה מ-0

== תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם אני בוחר b=1 a=0
וf=x^3-x אז המכפלה הפנימית של f עם עצמו היא0 והוא שונה מ-0

== תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם אני בוחר b=1 a=0
וf=x^3-x אז המכפלה הפנימית של f עם עצמו היא0 והוא שונה מ-0

== תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם אני בוחר b=1 a=0
וf=x^3-x אז המכפלה הפנימית של f עם עצמו היא0 והוא שונה מ-0

== תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם אני בוחר b=1 a=0
וf=x^3-x אז המכפלה הפנימית של f עם עצמו היא0 והוא שונה מ-0

== תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם אני בוחר b=1 a=0
ו f=x^3-x אז המכפלה הפנימית של f עם עצמו היא0 והוא שונה מ-0

שיחה:88-113 תשעג סמסטר א

2012-12-21T13:50:35Z

Isis: /* תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגיל (תיכוניסטים) ==

מתי יעלו לנו את התרגיל בלינארית 2 ומתי יום ההגשה שלו?
:התרגיל עלה, הגשה לשבוע הבא. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 שאלה 1 (תיכוניסטים) ==

שכתוב למצוא מרחב עצמי הכוונה למצוא בסיס למרחב העצמי?
:בדיוק --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 2 לתיכוניסטים ==

הפרכה:
נקח את המטריצה מ1ג
ואת הווקטורים (1,1,0-) ו-(1,0,1-) שאינם תלויים לינארית
ונראה ששניהם ו"ע של המטריצה עם ע"ע 0.

:צודק, תקנתי את הטעות בשאלה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אוף ניסיתי יותר מדי זמן להוכיח את זה

== מרחב עצמי ==

מה הכוונה מרחב עצמי? הגדרנו רק ערך עצמי ווקטור עצמי...
:(לא מרצה/מתרגל) מרחב עצמי זה קבוצת כל הווקטורים העצמיים עם ווקטור האפס(שהרי ע"פי ההגדרה הוא לא ווקטור עצמי). ניתן להוכיח בקלות שקבוצה זו מקיימת סגירות לחיבור, וכפל בסקלר. היא מכילה את ווקטור האפס ולכן היא מרחב.
:אם תבין את הכתב שלי אז יש שם הגדרה של המרחב + הוכחה קצרה:
:[[קובץ:3.jpg|200px|thumb|left|עמוד שלישי של התרגול הראשון]]
:--[[משתמש:Avital|Avital]] 21:56, 25 באוקטובר 2012 (IST)

== לא הבנתי משהו בתרגול ==

רשמנו בתרגיל:
"כל המטריצות הדומות מייצגות את אותה העתקה לינארית בבסיסים שונים"

אפשר הסבר למשפט הזה?

*(לא מתרגל) אמרנו (אי שם בלינארית 1) שכל העתקה אפשר להציג בתור מטריצה ביחס לבסיסים מסוימים, וההפך - כל מטריצה מייצגת העתקה, ביחס לבסיסים מסוימים.
יש טענה כזו שאומרת שכל שתי מטריצות שמייצגות אותה העתקה ביחס לבסיסים שונים, הן דומות. כלומר, קיימת P הפיכה כך ש:
http://up357.siz.co.il/up1/3zjymrewzmyd.png

מצד שני, הטענה ההפוכה היא: אם ניקח שתי מטריצות דומות, אפשר למצוא העתקה לינארית, וכן ארבעה בסיסים כך שהמטריצות המייצגות ביחס לבסיסים יהיו שוות לאותן המטריצות הדומות.

ומה זה נותן לי, שהמטריצות הללו מייצגות את אותה הע"ל בבסיסים שונים?

:העובדה שמטריצות דומות מייצגות את אותה העתקה לינארית עוזרת באופן הבא- אם יש לך מטריצה כלשהי המייצגת העתקה, היית מעדיף למצוא מטריצה דומה לה (כלומר מייצגת את אותה ההעתקה) שהיא פשוטה יותר. למשל אם המטריצה הדומה היא אלכסונית, אז ההעתקה סה"כ כופלת כל איבר בבסיס מסויים בסקלר --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אז הרעיון במטריצות דומות זה בעצם להפוך את המטריצה למטריצה "יפה" יותר, שממנה יותר קל לראות מה ההעתקה עושה?

:אכן זה אחד הרעיונות המרכזיים של הקורס (לכסון, שילוש, ז'ורדן) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 שאלה 3 ==

האם אפשר להניח שלכל i, ה-x במקום i שונה מאפס? (זה נחוץ לחישוב הדטרמיננטה)

(לא מתרגל) אני אישית הפרדתי באופן זה או אחר. נסה/י לראות מה יקרה אם Xi שווה אפס, ותנסה/י "להיפטר" ממקרה זה בחישוב הדט' שאת/ה מנסה לחשב.

== תרגיל 2 ==

אפשר הסבר לשאלה 2? למה בדיוק הכוונה ב- T משקפת נקודות ביחס לישר y=kx?

נראה לי שזה אומר שכאילו שמים מראה על הישר y=kx וזה מעביר את כל הנקודות לצד השני שלו כשהן נשארות באותו מרחק ממנו ביחס לאותה נקודה שלו

אפשר למצוא את התוצאה עם אנך ואמצע קטע כמו בגיאומטריה אנליטית

מקווה שעזרתי בינתיים אבל עדיף לחכות לתשובה של מתרגל

:נכון, שיקוף זו פעולה של מראה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

* למה בדיוק הכוונה? איך אני רושם את T של וקטור (x,y) במפורש?

:זו בדיוק השאלה. כמו שענו לך למעלה, מכל נקודה אתה מעביר אנך לקו הישר ושולח אותה לנקודה על האנך מאותו המרחק בצד השני של הישר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אתה יכול להביא דוגמא מספרית?

*קצת קשה לראות כאן דוגמא מספרית, כי צריך לעשות הרבה עבודה כדי להגיע לזה, ואין לזה הרבה משמעות. פשוט לוקחים את הישר kx ונקודה כלשהי, מעבירים ממנה אנך לישר kx. לנקודה הזו יש מרחק מהישר. אז ניקח את הנקודה על הישר המאונך לkx, בצד השני של הישר, שהיא במרחק זהה. זה הכל.

== תרגיל 2 ==

בשאלה 2, מה זה L? --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:14, 31 באוקטובר 2012 (IST)
:זו טעות. הכוונה לT --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 4 ==

מה ההתקה בדיוק עושה למטריצה ? לא ברור... זה נראה כאילו היא לוקחת כל מטריצה 2 על 2 והופכת אותה למטריצה מסויימת שכתובה בתרגיל כאילו וקטור עצמי זה מטריצה בכלל ?

תודה

:כן, במקרה של ההעתקה מעל מרחב המטריצות, הוקטורים הם מטריצות. ולכן וקטור עצמי יהיה מטריצה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 3 ==

בסעיף א', מה זאת אומרת הערכים העצמיים של A שונים זה מזה, מן הסתם שהם שונים לא?
:הכוונה היא שיש n ערכים עצמיים שונים --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

כש n זה הגודל של המטריצה נכון?

:נכון --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 2 (תיכוניסטים) ==

האם מוצר להשתמש במה שלמדנו בתיכון בגאומטריה אנליטית (מרחק בין 2 נקודות, מרחק בין נקודה לישר, אם m שיפוע של ישר אז שיפוע הישר האנך לו הוא (1-)^m וכו) ?

אתה יכול להסביר לי מה מבקשים בכלל בתרגיל? מה זאת אומרת "משקפת"?

:מצורף '''[[מדיה:שיקוף ביחס לישר - הסבר.jpeg|איור]]''' המתאר למה הכוונה בשיקוף. האיור לקוח מתוך הקורס בגיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית, סמסטר א תשע"ב (ואויר על ידי המתרגלת, אנה זרך). מקווה שזה עוזר. [[משתמש:gordo6|גל]].

אז מה שהשיקוף עושה, זה להעביר מהנקודה אנך לישר, ואז ממשיכים את האנך הזה כאורכו, ואז הנקודה שהוא מגיעה אליה, זה השיקוף?

:בהחלט. זה העקרון על פיו מוצאים את הדמות במראה (באופטיקה, אם למדת בתיכון), ובעצם כאן y=kx הוא המראה שלך.

== שאלה כללית ==

אם יש לי ע"ע כלשהו, והמטריצה A-xI יוצאת הפיכה, אז אין וקטור עצמי עבור הערך העצמי הזה ? כי למרחב האפס של המטריצה יש רק פתרון טריוויאלי ?

:לא ייתכן שעבור ע"ע x המטריצה A-xI תהא הפיכה. הרי ע"ע מאפס את הפולינום האופייני - הוא הדטרמיננטה של מטריצה זו. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 5 ==

כתוב למצוא בסיס למרחב העצמי הנתון. איזה מרחב עצמי נתון ?
:אני מניח שהכוונה למרחב העצמי לע"ע 1... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 2 ==

מה זה אומר שצריך למצוא הצגה אלכסונית D? מה זאת אומרת?

נ.ב כשמבקשים להוכיח האם T לכסינה, זה בעצם להראות שהמטריצה המייצגת שלה לפי בסיסים כלשהם, לכסינה?

*בנוגע לנ.ב. - כן, זהו משפט שראינו בהרצאה. עכשיו בנוגע לשאלה הראשונה - לאחר שמצאת האם T לפי בסיס כלשהו לכסינה, אתה צריך למצוא את המטריצה האלכסונית שלה היא דומה.

אז כשרוצים למצוא את D, צריך למצוא את המטריצה או את ההעתקה עצמה?

* כשאומרים למצוא את D, הכוונה היא שתרשום את המטריצה האלכסונית הזו שאתה מחפש.

ואיך אמורים למצוא את הבסיס הזה?

*לפי תרגיל שראינו בהרצאה, T לפי הבסיס B היא אלכסונית <=> הבסיס B מורכב מ-n ו"ע בת"ל של T.

אוקי, ואם לדוגמא T לכסינה, זה אומר שלכל בסיס B, המטריצה המייצגת את T לפי B היא אלכסונית? או שרק קיים בסיס כזה?

:רק שקיים בסיס כזה, אחרת אין משמעות לפעולת הלכסון. פעולת הלכסון היא בדיוק מציאת הבסיס לפי המטריצה אלכסונית (כאשר מסתכלים גם על מטריצה רגילה כהעתקה לינארית) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

* חשוב גם לאמר שיש יותר מאופציה אחת, כי אם נשנה את הסדר של הוקטורים בבסיס שמצאנו, נקבל בסיס סדור אחר, שגם הוא יתאים. מה שיקרה זה שבסה"כ הע"ע יחליפו מקומות על האלכסון במטריצה המייצגת, ונקבל מטריצה קצת אחרת.

== תרגיל 2 שאלה 4 ==

איך אני מוצא את המטריצה המייצגת של ההעתקה T?
:כמו שלמדנו ב[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/9|לינארית 1]]. מצא בסיס למרחב (שים לב שזהו מרחב של מטריצות), תפעיל את ההעתקה על הבסיס, שים את הקואורדינטות של התוצאות בעמודות מטריצה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 3 שאלה 3 ==

איך אני מגלה לאן f שולחת?

(לא מתרגל / מרצה) התכוונת ל-f שכתוב ב-<math>T(f)</math>? אם כן, זהו פשוט פולינום כללי ממעלה עד מעלה שלישית --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:43, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 3 ==

יש הבדל בין f לבין <math>f(x)</math>?

(לא מתרגל / מרצה) לא --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:42, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

אם g, h פולינומים, יש דבר כזה <math>g/h</math>
(g חלקי h)?

*כן, זהו חילוק פולינומים. לדוגמא אם ניקח x^2-1 וכן x-1 החילוק שלהם יביא x+1.

== תרגיל 3 שאלה 1 סעיף ג' ==

אפשר ניסוח אחר של השאלה? כי הפתרונות שחשבתי עליהם ממש טריוויאלים ואני לא חושב שלזה התכוונו. --[[משתמש:Avital|Avital]] 18:12, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

מה למדנו על מספרים זרים בתרגול? :)

:אם f,g פולינומים זרים אז קיימים פולינומים a,b כך ש af+bg=1 --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 1 סעיף ב (תרגיל 3) ==

המטריצות בסעיף הזה גם מעל הממשיים?

== תרגיל 3,שאלה 4 ==

סעיף ב

אפשר להוכיח באינדוקציה בלי להשתמש בסעיף א?, כי ככה יצא לי האמת.

בקשר לסעיף ג, מז"א הצגה יחידה עד כדי סקלר?

תודה

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

מעל C, קיימים פולינומים אי - פריקים חוץ מהפולינומים ממעלה 1?

*(לא מתרגל) אמרנו בהרצאה שכל פולינום מתפרק לגורמים '''לינאריים''' מעל C, ולכן התשובה היא לא.

== אפשר אולי להעלות את התרגילי בית מוקדם יותר? ==

נגיד ביום של הגשת התרגיל הקודם או יום אחרי, זה מאוד יעזור.
מצטרף לשאלה.

גם אני מצטרף.... עברו כבר שלושה ימים ועדיין לא עלה התרגיל...

בכלל אם אפשר עדיף לעלות אותם יום-יומיים לפני- כמו בפיזיקה ואז יש יותר משבוע שלם -משהו כמו 9-10 ימים להכין את השיעורים-

ובעיניין התרגיל הנוכחי- תרגיל 4 עדיף לדחות אותו בשבוע לפחות - כי גם ככה אין לנו סיכוי לסיים אותו בזמן

ֿ
אני ממש בעד שהתרגיל יעלה מוקדם יותר באופן קבוע (אולי גם באינפי), זה יכול לחסוך לנו הרבה זמן

== איחור העלאת התרגיל ==

יתנו לנו הארכה על התרגיל הנוכחי ? כבר סוף שבוע והוא עוד לא עלה....

*כבר יום ראשון..(מישהו אחר)

== הבוחן ==

אם אפשר לתת פרטים על הבוחן וקישור לתרגילים, זה ממש יעזור! תודה

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

לא כל כך הבנתי את השאלה זה לא בעצם אומר שהמטריצה היא מטריצת האפס?

צודק, יש טעות בשאלה m(x)=x^2 ולא m(x)=x אני אעלה תיקון בהקדם.

==תרגיל 4 שאלה 3==

הכוונה שנישתמש באלגוריתם לשילוש שלמדנו בתירגול?

לא מרצה/מתרגל. סביר להניח שכן

== תרגיל 4 שאלה 5א ==

מהו תת מרחב g(T) אינווריאנטי?

מצטרף גם כן לשאלה....

*(לא מתרגל) ראינו כי אם g פולינום אז אפשר להציב עליו מטריצות וגם טרנספורמציות. כלומר אם נציב על g את T, נקבל טרנספורמציה g(T). ומכאן אפשר להבין את המונח בדיוק כמו בעבור העתקה רגילה T, רק שפה ההעתקה היא g(T), זה הכל.

מה זאת אומרת להציב טרנפורמציות ??? הכוונה להציב את המטריצה המייצגת שלהם ? וגם אז הכוונה שלכל <math>v</math> ב-<math>W</math> גם <math>g(T(v))</math> נמצא ב-<math>W</math> ?

*אם ניקח פולינום כלשהו, אפשר להציב עליו העתקות לינאריות, באופן הבא:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g(x)={%20a%20}_{%200%20}+{%20a%20}_{%201%20}x+...+{%20a%20}_{%20n%20}{%20x%20}^{%20n%20}\\%20=%3Eg(T)={%20a%20}_{%200%20}I+{%20a%20}_{%201%20}T+...+{%20a%20}_{%20n%20}{%20T%20}^{%20n%20}

כאשר I היא העתקה הזהות, ולדוגמא T בריבוע היא T הרכבה T.
בעצם קיבלנו כפל של העתקות בסקלר => העתקה, וכן חיבור העתקות => העתקה (כי מרחב ההעתקות הוא מרחב וקטורי וסגור לכפל בסקלר וחיבור), כלומר בסה"כ על <math>g(T)</math> היא העתקה.

ואז אפשר להבין את הגדרה בדיוק כמו עבור העתקה T:

W הוא ת"מ <math>g(T)</math> אינווריאנטי אם לכל v ב W מתקיים <math>(g(T))(v)\in W</math>

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

מעל איזה שדה נמצאת המטריצה הנתונה ? מרוכבים ? ממשיים ? ....

*(לא מתרגל) זה לא משנה כל כך לשאלה אני מאמין.

אני דווקא חושב שזה די חשוב...

*באיזשהו מקום אתה צודק, כי אם המרחב הוא Z2 השאלה הופכת לקלילה. אם הוא Z1, כלומר המרחב שמכיל את 0 בלבד, אז היא עוד יותר קלה. ובכל מקרה, יש פתרון שתקף לכל מרחב שתיקח.

*מתי תבינו שאם לא כתוב אז זה אומר שאנחנו מעל R?--[[משתמש:Caspim|Caspim]] 21:25, 22 בנובמבר 2012 (IST)

*(לא מתרגל) נבין מחר. בכל מקרה, יש פתרון שתקף גם מעל C, גם מעל Z2 וגם מעל R, אז לא חייבים להגביל בשדה (אולי דווקא בגלל זה לא רשמו אותו).

== תרגיל 4 שאלה 5 ב' ==

כשרושמים <math>f(T)[W]</math> מתכוונים לזה שמפעילים את כל הוקטורים ב W על ההעתקה?

*(לא מתרגל) הכוונה היא לתמונה של W לפי ההעתקה <math>f(T)</math>

== שאלה 5 ==

בקשר לסעיפים ב,ג
אפשר לקחת איבר כללי ב-W בסעיף ב ובסעיף ג איבר כללי ב-V
ולהראות את ההוכחה על התמונה שלו
או שבאמת צריך לקחת את כל האיברים בתמונה...
תודה

== תרגיל 4 שאלה 5 ==

זה בהנחה ש T הע"ל מ V לעצמו נכון..(?)

*(לא מתרגל) כן, אחרת כל התרגיל לא מוגדר בהכרח (זה כמו להניח שמטריצה A ריבועית).

== דחוף! שאלה בקשר לבוחן (תיכוניסטים) ==

יש מחר בוחן או לא? אם לא, למתי הוא נדחה?
אודה אם יענו לי בהקדם! תודה :)

(לא מתרגל / מרצה) הבוחן נדחה ל-11.12, ההשלמה בחנוכה --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:30, 26 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

מעל איזה שדה T? זה מאד חשוב לפתרון , שכן יכולים להיות פתרונות שונים אם זה מעל C או מעל R...

(לא מתרגל / מרצה) כתוב <math>T:\mathbb{C}^3\rightarrow\mathbb{C}^3</math>, לכן מעל <math>\mathbb{C}</math>. --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:51, 26 בנובמבר 2012 (IST)

== איך מוצאים תתי מרחבים אינווריאנטים? ==

יש אלגוריתם למציאת תתי מרחבים אינווריאנטים?

(לא מתרגל / מרצה) לדעתי לא, אחרת היה ארז היה מעלה אותו ל-math-wiki --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:34, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 2 א' ==

אפשר הסבר למה זה בעצם W1?

???

???

(לא מרצה / מתרגל) ארז אמר שהוא יבדוק מחר ויחזיר תשובה בנושא --[[משתמש:גיא|גיא]] 23:15, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 1 ==

מה זה תתי מרחבים אינווריאנטים תחת כפל ב-A ?

(לא מתרגל / מרצה) דיברנו בהרצאה ובתרגול על תתי מרחבים אינווריאנטיים תחת העתקה מסוימת. אך מלינארית 1 אנו יודעים כי כל העתקה שקולה לכפל במטריצה. הכוונה בתרגיל - במקום העתקה מכפילים את הוקטור במטריצה; <math>V</math> תת מרחב אינווריאנטי תחת כפל ב-<math>A</math> אם לכל <math>\vec{v}\in V</math> מתקיים <math>A\vec{v}\in V</math> --[[משתמש:גיא|גיא]] 12:59, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 1 ==

אני לא מבין את השאלה V ו W הם מרחבים של מטריצות או של וקטורים?
וגם הוקטורים העצמיים יוצאים מרוכבים אז יכול להיות שהם אמורים להיות ממשיים?

(לא מתרגל / מרצה) <math>V,W\subseteq \mathbb{R}^4</math>, לכן הם תתי מרחבים של וקטורי <math>\mathbb{R}^4</math>. נכון, הו"ע וגם הע"ע יוצאים מרוכבים, אך יש לחשוב כיצד לחזור לממשיים עם תתי מרחבים אינווריאנטיים כדרוש --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:33, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 ,שאלה 3 ==

האם אפשר ב-א ישר לתת את המרחבים האלה? והאם מותר להשתמש במרחבים טריוואלים

?

תודה

(לא מתרגל / מרצה) מה הכוונה בלתת ישר את המרחבים האלו ולהשתמש במרחבים טריוויאליים? <math>W</math> נתון לך מעצם השאלה, אתה צריך למצוא לו תת מרחב אחר <math>W'</math> שיקיים את התנאי. אסור להשתמש בדוגמאות ספציפיות - כי <math>W</math> אינו נתון --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:31, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 2 א ==

לא הבנתי מה זה wi זה יוצא ker של מטריצה לא ריבועית...

== תרגיל 5 שאלה 2 א - הסבר ==

העליתי קובץ מתוקן.

== החישובים יוצאים ממש ארוכים.. ==

רק לחשב את הפולינום האופייני של מטריצה 4x4 לקח לי בערך 2 עמודים, שלא לדבר על זה שעכשיו צריך למצוא וקטורים עצמיים בשביל שאלה 1..

איך זה אפשרי שבמבחן יהיה לי זמן לעשות את כל החישובים האלו?

== תחרות כמו בשנה שעברה ==

האם גם השנה, בדומה לשנה שעברה, תיערך תחרות בחנוכה בנושא פתרון תרגילים הקשורים לצורות ז'ורדן?

== ערכים עצמיים ==

האם זה אפשרי שיהיו לי 5 ע"ע שונים (ממשיים) למטריצה ממשית של 4 על 4?

*(לא מתרגל) לא, כי אז הפולינום האופייני הוא ממעלה 5 (לפחות), מה שלא ייתכן.

== מערכי תרגול מעודכנים (תיכוניסטים) ==

אפשר בבקשה להעלות מערכי תרגול בנושאים שלמדנו בהרצאות/תרגולים האחרונים, שעוד לא עלו?

== איך מוכיחים שלמטריצות דומות יש אותו פולינום מינימלי? ==

אני לא הבנתי את ההוכחה שנתנו לנו בתרגול על זה..

*(לא מתרגל)
יהי פולינום f, נסמנו
<math>f(x)=a0+a1x1+...+akx^k</math>

לפי הנתון, קיימת P הפיכה כך שמתקיים <math>P^{-1}AP=B</math>

לכן מתקיים:

<math>P^{-1}f(A)P=P^{-1}(a0I+...+akA^k)P=a0I+a1P^{-1}AP+...+akP^{-1}A^kP=a0I+...+B^k</math>

כאשר נזכור כי לכל i מתקיים <math>B^i=P^{-1}A^iP</math>.

ולכן בסה"כ מתקיים <math>P^{-1}f(A)P=f(B)</math>.

היות והמטריצה P הפיכה, אפשר לאמר כי <math>f(A)=0</math> אם ורק אם <math>f(B)=0</math>, ובמילים - כל פולינום שמאפס את A מאפס גם את B וההיפך.

כעת נביט בפולינום המינימלי של A, נסמנו mA. היות והוא מאפס, הוא יאפס גם את B לפי מה שהוכחנו לעיל, ולכן <math>mA(B)=0</math>. כעת, לפי טענה שהוכחנו, הפולינום המינימלי של B מחלק כל פולינום שמאפס את B, ולכן מתקיים <math>mB(x)|mA(x)</math>.

באופן דומה, היות והפולינום המינימלי של B מאפס את B, הוא גם יאפס את A, ולכן <math>mB(A)=0</math>, ומכאן <math>mA(x)|mB(x)</math>.

בסה"כ שניהם מחלקים זה את ראהו, ושניהם מתוקנים, ולכן שווים.

:הבנתי תודה רבה :)

== שאלה לגבי מבנה הבוחן ==

הבוחן ב11.12 יהיה מורכב מהוכחת משפט או מיישום קבוצת משפטים על מטריצה?

== הפולינום המינימלי של מטריצת אלכסונית בלוקים. ==

מישהו יכול להביא לי את ההוכחה שהפולינום המינימלי של מטריצה אלכסונית בלוקים הוא ה lcm של הפולינומים המינימלים של הבלוקים?

== פתרונות לתרגילים (תיכוניסטים) ==

בבקשה תעלו את הפתרונות של התרגילי בית שנוכל לחזור עליהם לפני הבוחן ולבדוק את הטעויות שלנו.
דגש על הפתרון של תרגיל 5.
אודה לכם אם תעשו זאת עוד לפני שבת! תודה רבה!

== לא מצליח לג'רדן מטריצה ==

איך אמורים לג'רדן את המטריצה:

<math>A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

היא ניליפוטנטית מסדר 2, לכן צריך למצוא את <math>N(A)\cap C(A)</math>, ויצא לי ש <math>Ae_2</math> בסיס ל <math>C(A)</math>, ולכן החלק הראשון של המטריצה המג'רדנת היא
<math>Ae_2, e_2</math>. איך אני אמור להמשיך מפה?

תודה.

*(לא מתרגל) ראינו שצריך למצוא בסיס בצורת מסלול ל<math>N(A)\cap C(A^{ k-1 })</math>. לאחר מכן, להשלים אותו לבסיס עבור <math>N(A)\cap C(A^{ k-2 })</math> וכו' וכו'.
אם הגענו למצב שבו צריך להשלים לבסיס עבור <math>N(A)\cap C(A^{ k-k })=N(A)</math>, פירושו שיהיו בהצגה האלכסונית בלוקי ג'ורדן מהצורה <math>{ J }_{ 1 }(0)</math>, כי הוקטורים עצמם נמצאים <math>N(A)</math>. ואכן, אם תמצא את מרחב האפס תקבל כי הוא מורכב מe1 וכן מהוקטור <math>(0,-1,1)^{ t }</math>. הוקטור e1 כבר מופיע בבסיס הכללי ולכן נשמיט אותו.

לסיכום, הבסיס מתחיל במה שאמרת ומסתיים בוקטור <math>(0,-1,1)^{ t }</math>, וההצגה היא
<math>\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math>

תודה רבה, ועוד שאלה יש דרך לדעת איך תראה כבר המטריצה המג'ורדנת, רק מהתבוננות בפולינום המינימלי והאופייני?

(לא מתרגל / מרצה) אי אפשר ממש לדעת איך בדיוק זה ייראה, אבל אפשר לקבל כיוון לפי החוקים הבאים:
1. הריבוי הגאומטרי של ערך עצמי (של מטריצה A) הוא מספר הבלוקים המתאימים לערך העצמי הזה בצורת ז'ורדן של A.
2. החזקה של הגורם בפולינום המינימלי של A היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים ל- בצורת ז'ורדן של המטריצה.
3. הריבוי האלגברי של בפולינום האופייני הוא סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- בצורת ז'ורדן.
מקווה שעזרתי --[[משתמש:גיא|גיא]] 12:28, 8 בדצמבר 2012 (IST)

מישהו יודע להסביר למה האלגוריתם לז'רדון נילפוטנטי נכון ?

*(לא מתרגל) זה נובע בעיקר מההוכחה של משפט ג'ורדן הנילפוטנטי בקובץ של ד"ר צבאן, וההסבר המלא מתחיל אחרי סעיף 5, עד לסוף של סעיף 5.6. [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/LAT73/JordanAll.pdf]

הרעיון הכללי והבסיסי הוא שאופרטור מוצג לפי בסיס כבלוק ג'ורדן <=> הבסיס הוא מסלול. לכן המטרה היא למצוא בסיס שמורכב ממסלולים. לרוב מסלול אחד לא עושה את העבודה, ויש צורך בכמה מסלולים שייצרו בלוקי ג'ורדן נפרדים. כדי למצוא את הבסיס שמורכב ממסלולים זרים, פועלים לפי האלגוריתם, ובהוכחת טענה 5.6 אפשר להבין למה זה באמת בסיס (בת"ל ופורש). לאחר שהבנו שזה אכן בסיס, ברור לפי הטענה לעיל (אופרטור מוצג לפי בסיס כבלוק ג'ורדן <=> הבסיס הוא מסלול) שנקבל בעצם הצגה בצורה של ג'ורדן - על האלכסון יש בלוקי ג'ורדן, כי כל פעם ההעתקה מוצגת לפי מסלול (לכן גם חשוב הסדר בתוך המסלולים בבסיס, אחרת לא היינו מקבלים צורת ג'ורדן).

== איך אפשר לדעת איך תראה המטריצה המז'ורדנת? ==

אחרי שחישבתי את הבסיס המז'רדן ושמתי אותו בעמודות מטריצה P, איך אני יכול לראות איך תראה המטריצה המז'ורדנת, מבלי למצוא את P^-1 ולהכפיל בינהם?

(לא מתרגל / מרצה) אם כבר מצאת את P, למה כבר לא להכפיל את הכל ולגמור את הסיפור? בכל מקרה, הנה כמה כללים:

1. הריבוי הגאומטרי של ערך עצמי (של מטריצה A) הוא מספר הבלוקים המתאימים לערך העצמי הזה בצורת ז'ורדן של A.

2. החזקה של הגורם בפולינום המינימלי של A היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים ל- בצורת ז'ורדן של המטריצה.

3. הריבוי האלגברי של בפולינום האופייני הוא סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- בצורת ז'ורדן.

בהצלחה בשלישי :) --[[משתמש:גיא|גיא]] 17:06, 9 בדצמבר 2012 (IST)

אבל אם יתנו לנו מטריצה 4x4 שזה יהיה סיפור להפוך אותה. אין אפשרות במהלך הז'ירדון כבר לראות איך המטריצה המז'ורדנת תיראה, מבלי ממש לבדוק (לבדוק את P^-1AP)?

(לא מתרגל / מרצה) אם יבקשו ממך לז'רדן את המטריצה אז תהיה חייב לבצע את כל התהליך, כולל ההפיכה --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:36, 9 בדצמבר 2012 (IST)

אה אוקי... טוב תודה :)

== שאלה לגבי שאלה5 תרגיל 6 ==

מה הכוונה בשאלה 5 כשכתוב "להוכיח את משפט ג'ורדן עבור מטריצות ממשפט ג'ורדן"? לכתוב הוכחה גם עבור מטריצה נילפוטנטית וגם למטריצה כללית (עם ע"ע שונים מ0) ?

*(לא מתרגל) מה שצריך לעשות זה להוכיח את המשפט:
לכל מטריצה ריבועית A כך שהפ"א שלה מל"ל, A דומה למטריצה בצורת ג'ורדן.
לפי התרגיל, צריך לעשות זאת בעזרת משפט ג'ורדן עבור אופרטורים. במילים אחרות - לצאת מנקודת הנחה שהמשפט נכון לאופרטורים, להוכיח בעזרת זה את המשפט עבור מטריצות.

מה זאת אומרת? אפשר פשוט לשים את הבסיס המז'רדן בתור עמודות מטריצה ולהגיד שזה המטריצה המז'רדנת? זה מה שהם רצו שנעשה?

*מי אמר? אם את/ה חושב/ת שזה נכון, מוזמנ/ת להוכיח.

נסתכל על A כשהעתקה לינארית, לפי ההנחה יש לה בסיס מז'רדן (נניח B), נשים את וקטורי B בעמודות מטריצה P, ולפי ההגדרה של דמיון מטריצות (שזה בעצם מעבר בין בסיסים) מקבלים ש A דומה למטריצה עם בלוקי ג'ורדן

*"כשהעתקה הלינארית..." - איזו העתקה לינארית?

"כהעתקה לינארית", בלי ש' טעות שלי P:

== תרגיל 7 שאלה 3 ==

אני חושב שיש טעות בשאלה, מפני שכאשר נתון a,b ממשיים כלשהם צריך לאמר שהם שונים, אחרת האינטגרל הוא תמיד 0, ויוצא שהמ"פ היא פונקציית האפס, שהיא לא מ"פ.

== תרגיל 7 שאלה 1 ==

בשאלה 1 נראה לי שמצאתי הפרכה: יהי <math><w,v>=0 \Leftarrow v=0</math> וזה מתקיים לדוגמא ל- <math>w=(1,1,1,1,1,...,1)\neq 0</math>

*(לא מתרגל) נתון כי הדבר נכון '''לכל''' v בV, לא רק לv יחיד שבחרת.

(לא מתרגל)צריך להוכיח בשאלה שלכל V מתקיים w,v>=0> גורר W=0
ולכן הפרכה של הטענה הזאת היא: שקיים V עבורו w,v>=0> לא גורר W=0.
ולכן הוא הפריך את הטענה הזאת - יש טעות בשאלה הגרירה נכונה רק לכיוון אחד... (וגם אם זה נכון אז כל וקטור מאונך רק ל0...)

*(לא מתרגל) לא נכון, זו לוגיקה בסיסית - ההפרכה היא: אם w שונה מאפס בכל מקרה לכל v בV מתקיים 0=<w,v>. ואת זה אי אפשר להפריך, מוזמנים לנסות.

הטענה שציינת, האומרת שכל וקטור מאונך רק לאפס - שגויה. מדובר פה בווקטור שמאונך '''לכל הווקטורים במרחב''', וכזה הוא רק וקטור האפס. לא תמצא עוד אחד כזה, ואם אני אגיד למה אז אני למעשה פותר את השאלה.

== תרגיל 7 שאלה 3 ==

בשאלה 3 לדעתי חסר נתונים לסעיף א' לפחות, כי בהוכחת האי-שליליות, <math><f,f><0</math> אם מקדמי הפולינום <math>f(x)</math> הם שליליים, או אם <math>a>b</math> וכן הלאה.. כלומר לדעתי צריך להוסיף שם כמה תנאים כדי שההוכחה תהיה נכונה..
לא

== תרגיל 7 שאלה 3 (תיכוניסטים) ==

באי שליליות, איך אני מוכיח שהאינטגרל המסויים הזה תמיד חיובי (או שווה לאפס...)?

== תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם אני בוחר b=1 a=0
וf=x^3-x אז המכפלה הפנימית של f עם עצמו היא0 והוא שונה מ-0

== תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם אני בוחר b=1 a=0
וf=x^3-x אז המכפלה הפנימית של f עם עצמו היא0 והוא שונה מ-0

== תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם אני בוחר b=1 a=0
וf=x^3-x אז המכפלה הפנימית של f עם עצמו היא0 והוא שונה מ-0

== תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם אני בוחר b=1 a=0
וf=x^3-x אז המכפלה הפנימית של f עם עצמו היא0 והוא שונה מ-0

== תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם אני בוחר b=1 a=0
וf=x^3-x אז המכפלה הפנימית של f עם עצמו היא0 והוא שונה מ-0

שיחה:88-113 תשעג סמסטר א

2012-12-21T13:50:33Z

Isis: /* תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגיל (תיכוניסטים) ==

מתי יעלו לנו את התרגיל בלינארית 2 ומתי יום ההגשה שלו?
:התרגיל עלה, הגשה לשבוע הבא. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 שאלה 1 (תיכוניסטים) ==

שכתוב למצוא מרחב עצמי הכוונה למצוא בסיס למרחב העצמי?
:בדיוק --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 2 לתיכוניסטים ==

הפרכה:
נקח את המטריצה מ1ג
ואת הווקטורים (1,1,0-) ו-(1,0,1-) שאינם תלויים לינארית
ונראה ששניהם ו"ע של המטריצה עם ע"ע 0.

:צודק, תקנתי את הטעות בשאלה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אוף ניסיתי יותר מדי זמן להוכיח את זה

== מרחב עצמי ==

מה הכוונה מרחב עצמי? הגדרנו רק ערך עצמי ווקטור עצמי...
:(לא מרצה/מתרגל) מרחב עצמי זה קבוצת כל הווקטורים העצמיים עם ווקטור האפס(שהרי ע"פי ההגדרה הוא לא ווקטור עצמי). ניתן להוכיח בקלות שקבוצה זו מקיימת סגירות לחיבור, וכפל בסקלר. היא מכילה את ווקטור האפס ולכן היא מרחב.
:אם תבין את הכתב שלי אז יש שם הגדרה של המרחב + הוכחה קצרה:
:[[קובץ:3.jpg|200px|thumb|left|עמוד שלישי של התרגול הראשון]]
:--[[משתמש:Avital|Avital]] 21:56, 25 באוקטובר 2012 (IST)

== לא הבנתי משהו בתרגול ==

רשמנו בתרגיל:
"כל המטריצות הדומות מייצגות את אותה העתקה לינארית בבסיסים שונים"

אפשר הסבר למשפט הזה?

*(לא מתרגל) אמרנו (אי שם בלינארית 1) שכל העתקה אפשר להציג בתור מטריצה ביחס לבסיסים מסוימים, וההפך - כל מטריצה מייצגת העתקה, ביחס לבסיסים מסוימים.
יש טענה כזו שאומרת שכל שתי מטריצות שמייצגות אותה העתקה ביחס לבסיסים שונים, הן דומות. כלומר, קיימת P הפיכה כך ש:
http://up357.siz.co.il/up1/3zjymrewzmyd.png

מצד שני, הטענה ההפוכה היא: אם ניקח שתי מטריצות דומות, אפשר למצוא העתקה לינארית, וכן ארבעה בסיסים כך שהמטריצות המייצגות ביחס לבסיסים יהיו שוות לאותן המטריצות הדומות.

ומה זה נותן לי, שהמטריצות הללו מייצגות את אותה הע"ל בבסיסים שונים?

:העובדה שמטריצות דומות מייצגות את אותה העתקה לינארית עוזרת באופן הבא- אם יש לך מטריצה כלשהי המייצגת העתקה, היית מעדיף למצוא מטריצה דומה לה (כלומר מייצגת את אותה ההעתקה) שהיא פשוטה יותר. למשל אם המטריצה הדומה היא אלכסונית, אז ההעתקה סה"כ כופלת כל איבר בבסיס מסויים בסקלר --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אז הרעיון במטריצות דומות זה בעצם להפוך את המטריצה למטריצה "יפה" יותר, שממנה יותר קל לראות מה ההעתקה עושה?

:אכן זה אחד הרעיונות המרכזיים של הקורס (לכסון, שילוש, ז'ורדן) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 שאלה 3 ==

האם אפשר להניח שלכל i, ה-x במקום i שונה מאפס? (זה נחוץ לחישוב הדטרמיננטה)

(לא מתרגל) אני אישית הפרדתי באופן זה או אחר. נסה/י לראות מה יקרה אם Xi שווה אפס, ותנסה/י "להיפטר" ממקרה זה בחישוב הדט' שאת/ה מנסה לחשב.

== תרגיל 2 ==

אפשר הסבר לשאלה 2? למה בדיוק הכוונה ב- T משקפת נקודות ביחס לישר y=kx?

נראה לי שזה אומר שכאילו שמים מראה על הישר y=kx וזה מעביר את כל הנקודות לצד השני שלו כשהן נשארות באותו מרחק ממנו ביחס לאותה נקודה שלו

אפשר למצוא את התוצאה עם אנך ואמצע קטע כמו בגיאומטריה אנליטית

מקווה שעזרתי בינתיים אבל עדיף לחכות לתשובה של מתרגל

:נכון, שיקוף זו פעולה של מראה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

* למה בדיוק הכוונה? איך אני רושם את T של וקטור (x,y) במפורש?

:זו בדיוק השאלה. כמו שענו לך למעלה, מכל נקודה אתה מעביר אנך לקו הישר ושולח אותה לנקודה על האנך מאותו המרחק בצד השני של הישר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אתה יכול להביא דוגמא מספרית?

*קצת קשה לראות כאן דוגמא מספרית, כי צריך לעשות הרבה עבודה כדי להגיע לזה, ואין לזה הרבה משמעות. פשוט לוקחים את הישר kx ונקודה כלשהי, מעבירים ממנה אנך לישר kx. לנקודה הזו יש מרחק מהישר. אז ניקח את הנקודה על הישר המאונך לkx, בצד השני של הישר, שהיא במרחק זהה. זה הכל.

== תרגיל 2 ==

בשאלה 2, מה זה L? --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:14, 31 באוקטובר 2012 (IST)
:זו טעות. הכוונה לT --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 4 ==

מה ההתקה בדיוק עושה למטריצה ? לא ברור... זה נראה כאילו היא לוקחת כל מטריצה 2 על 2 והופכת אותה למטריצה מסויימת שכתובה בתרגיל כאילו וקטור עצמי זה מטריצה בכלל ?

תודה

:כן, במקרה של ההעתקה מעל מרחב המטריצות, הוקטורים הם מטריצות. ולכן וקטור עצמי יהיה מטריצה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 3 ==

בסעיף א', מה זאת אומרת הערכים העצמיים של A שונים זה מזה, מן הסתם שהם שונים לא?
:הכוונה היא שיש n ערכים עצמיים שונים --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

כש n זה הגודל של המטריצה נכון?

:נכון --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 2 (תיכוניסטים) ==

האם מוצר להשתמש במה שלמדנו בתיכון בגאומטריה אנליטית (מרחק בין 2 נקודות, מרחק בין נקודה לישר, אם m שיפוע של ישר אז שיפוע הישר האנך לו הוא (1-)^m וכו) ?

אתה יכול להסביר לי מה מבקשים בכלל בתרגיל? מה זאת אומרת "משקפת"?

:מצורף '''[[מדיה:שיקוף ביחס לישר - הסבר.jpeg|איור]]''' המתאר למה הכוונה בשיקוף. האיור לקוח מתוך הקורס בגיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית, סמסטר א תשע"ב (ואויר על ידי המתרגלת, אנה זרך). מקווה שזה עוזר. [[משתמש:gordo6|גל]].

אז מה שהשיקוף עושה, זה להעביר מהנקודה אנך לישר, ואז ממשיכים את האנך הזה כאורכו, ואז הנקודה שהוא מגיעה אליה, זה השיקוף?

:בהחלט. זה העקרון על פיו מוצאים את הדמות במראה (באופטיקה, אם למדת בתיכון), ובעצם כאן y=kx הוא המראה שלך.

== שאלה כללית ==

אם יש לי ע"ע כלשהו, והמטריצה A-xI יוצאת הפיכה, אז אין וקטור עצמי עבור הערך העצמי הזה ? כי למרחב האפס של המטריצה יש רק פתרון טריוויאלי ?

:לא ייתכן שעבור ע"ע x המטריצה A-xI תהא הפיכה. הרי ע"ע מאפס את הפולינום האופייני - הוא הדטרמיננטה של מטריצה זו. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 5 ==

כתוב למצוא בסיס למרחב העצמי הנתון. איזה מרחב עצמי נתון ?
:אני מניח שהכוונה למרחב העצמי לע"ע 1... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 2 ==

מה זה אומר שצריך למצוא הצגה אלכסונית D? מה זאת אומרת?

נ.ב כשמבקשים להוכיח האם T לכסינה, זה בעצם להראות שהמטריצה המייצגת שלה לפי בסיסים כלשהם, לכסינה?

*בנוגע לנ.ב. - כן, זהו משפט שראינו בהרצאה. עכשיו בנוגע לשאלה הראשונה - לאחר שמצאת האם T לפי בסיס כלשהו לכסינה, אתה צריך למצוא את המטריצה האלכסונית שלה היא דומה.

אז כשרוצים למצוא את D, צריך למצוא את המטריצה או את ההעתקה עצמה?

* כשאומרים למצוא את D, הכוונה היא שתרשום את המטריצה האלכסונית הזו שאתה מחפש.

ואיך אמורים למצוא את הבסיס הזה?

*לפי תרגיל שראינו בהרצאה, T לפי הבסיס B היא אלכסונית <=> הבסיס B מורכב מ-n ו"ע בת"ל של T.

אוקי, ואם לדוגמא T לכסינה, זה אומר שלכל בסיס B, המטריצה המייצגת את T לפי B היא אלכסונית? או שרק קיים בסיס כזה?

:רק שקיים בסיס כזה, אחרת אין משמעות לפעולת הלכסון. פעולת הלכסון היא בדיוק מציאת הבסיס לפי המטריצה אלכסונית (כאשר מסתכלים גם על מטריצה רגילה כהעתקה לינארית) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

* חשוב גם לאמר שיש יותר מאופציה אחת, כי אם נשנה את הסדר של הוקטורים בבסיס שמצאנו, נקבל בסיס סדור אחר, שגם הוא יתאים. מה שיקרה זה שבסה"כ הע"ע יחליפו מקומות על האלכסון במטריצה המייצגת, ונקבל מטריצה קצת אחרת.

== תרגיל 2 שאלה 4 ==

איך אני מוצא את המטריצה המייצגת של ההעתקה T?
:כמו שלמדנו ב[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/9|לינארית 1]]. מצא בסיס למרחב (שים לב שזהו מרחב של מטריצות), תפעיל את ההעתקה על הבסיס, שים את הקואורדינטות של התוצאות בעמודות מטריצה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 3 שאלה 3 ==

איך אני מגלה לאן f שולחת?

(לא מתרגל / מרצה) התכוונת ל-f שכתוב ב-<math>T(f)</math>? אם כן, זהו פשוט פולינום כללי ממעלה עד מעלה שלישית --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:43, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 3 ==

יש הבדל בין f לבין <math>f(x)</math>?

(לא מתרגל / מרצה) לא --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:42, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

אם g, h פולינומים, יש דבר כזה <math>g/h</math>
(g חלקי h)?

*כן, זהו חילוק פולינומים. לדוגמא אם ניקח x^2-1 וכן x-1 החילוק שלהם יביא x+1.

== תרגיל 3 שאלה 1 סעיף ג' ==

אפשר ניסוח אחר של השאלה? כי הפתרונות שחשבתי עליהם ממש טריוויאלים ואני לא חושב שלזה התכוונו. --[[משתמש:Avital|Avital]] 18:12, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

מה למדנו על מספרים זרים בתרגול? :)

:אם f,g פולינומים זרים אז קיימים פולינומים a,b כך ש af+bg=1 --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 1 סעיף ב (תרגיל 3) ==

המטריצות בסעיף הזה גם מעל הממשיים?

== תרגיל 3,שאלה 4 ==

סעיף ב

אפשר להוכיח באינדוקציה בלי להשתמש בסעיף א?, כי ככה יצא לי האמת.

בקשר לסעיף ג, מז"א הצגה יחידה עד כדי סקלר?

תודה

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

מעל C, קיימים פולינומים אי - פריקים חוץ מהפולינומים ממעלה 1?

*(לא מתרגל) אמרנו בהרצאה שכל פולינום מתפרק לגורמים '''לינאריים''' מעל C, ולכן התשובה היא לא.

== אפשר אולי להעלות את התרגילי בית מוקדם יותר? ==

נגיד ביום של הגשת התרגיל הקודם או יום אחרי, זה מאוד יעזור.
מצטרף לשאלה.

גם אני מצטרף.... עברו כבר שלושה ימים ועדיין לא עלה התרגיל...

בכלל אם אפשר עדיף לעלות אותם יום-יומיים לפני- כמו בפיזיקה ואז יש יותר משבוע שלם -משהו כמו 9-10 ימים להכין את השיעורים-

ובעיניין התרגיל הנוכחי- תרגיל 4 עדיף לדחות אותו בשבוע לפחות - כי גם ככה אין לנו סיכוי לסיים אותו בזמן

ֿ
אני ממש בעד שהתרגיל יעלה מוקדם יותר באופן קבוע (אולי גם באינפי), זה יכול לחסוך לנו הרבה זמן

== איחור העלאת התרגיל ==

יתנו לנו הארכה על התרגיל הנוכחי ? כבר סוף שבוע והוא עוד לא עלה....

*כבר יום ראשון..(מישהו אחר)

== הבוחן ==

אם אפשר לתת פרטים על הבוחן וקישור לתרגילים, זה ממש יעזור! תודה

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

לא כל כך הבנתי את השאלה זה לא בעצם אומר שהמטריצה היא מטריצת האפס?

צודק, יש טעות בשאלה m(x)=x^2 ולא m(x)=x אני אעלה תיקון בהקדם.

==תרגיל 4 שאלה 3==

הכוונה שנישתמש באלגוריתם לשילוש שלמדנו בתירגול?

לא מרצה/מתרגל. סביר להניח שכן

== תרגיל 4 שאלה 5א ==

מהו תת מרחב g(T) אינווריאנטי?

מצטרף גם כן לשאלה....

*(לא מתרגל) ראינו כי אם g פולינום אז אפשר להציב עליו מטריצות וגם טרנספורמציות. כלומר אם נציב על g את T, נקבל טרנספורמציה g(T). ומכאן אפשר להבין את המונח בדיוק כמו בעבור העתקה רגילה T, רק שפה ההעתקה היא g(T), זה הכל.

מה זאת אומרת להציב טרנפורמציות ??? הכוונה להציב את המטריצה המייצגת שלהם ? וגם אז הכוונה שלכל <math>v</math> ב-<math>W</math> גם <math>g(T(v))</math> נמצא ב-<math>W</math> ?

*אם ניקח פולינום כלשהו, אפשר להציב עליו העתקות לינאריות, באופן הבא:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g(x)={%20a%20}_{%200%20}+{%20a%20}_{%201%20}x+...+{%20a%20}_{%20n%20}{%20x%20}^{%20n%20}\\%20=%3Eg(T)={%20a%20}_{%200%20}I+{%20a%20}_{%201%20}T+...+{%20a%20}_{%20n%20}{%20T%20}^{%20n%20}

כאשר I היא העתקה הזהות, ולדוגמא T בריבוע היא T הרכבה T.
בעצם קיבלנו כפל של העתקות בסקלר => העתקה, וכן חיבור העתקות => העתקה (כי מרחב ההעתקות הוא מרחב וקטורי וסגור לכפל בסקלר וחיבור), כלומר בסה"כ על <math>g(T)</math> היא העתקה.

ואז אפשר להבין את הגדרה בדיוק כמו עבור העתקה T:

W הוא ת"מ <math>g(T)</math> אינווריאנטי אם לכל v ב W מתקיים <math>(g(T))(v)\in W</math>

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

מעל איזה שדה נמצאת המטריצה הנתונה ? מרוכבים ? ממשיים ? ....

*(לא מתרגל) זה לא משנה כל כך לשאלה אני מאמין.

אני דווקא חושב שזה די חשוב...

*באיזשהו מקום אתה צודק, כי אם המרחב הוא Z2 השאלה הופכת לקלילה. אם הוא Z1, כלומר המרחב שמכיל את 0 בלבד, אז היא עוד יותר קלה. ובכל מקרה, יש פתרון שתקף לכל מרחב שתיקח.

*מתי תבינו שאם לא כתוב אז זה אומר שאנחנו מעל R?--[[משתמש:Caspim|Caspim]] 21:25, 22 בנובמבר 2012 (IST)

*(לא מתרגל) נבין מחר. בכל מקרה, יש פתרון שתקף גם מעל C, גם מעל Z2 וגם מעל R, אז לא חייבים להגביל בשדה (אולי דווקא בגלל זה לא רשמו אותו).

== תרגיל 4 שאלה 5 ב' ==

כשרושמים <math>f(T)[W]</math> מתכוונים לזה שמפעילים את כל הוקטורים ב W על ההעתקה?

*(לא מתרגל) הכוונה היא לתמונה של W לפי ההעתקה <math>f(T)</math>

== שאלה 5 ==

בקשר לסעיפים ב,ג
אפשר לקחת איבר כללי ב-W בסעיף ב ובסעיף ג איבר כללי ב-V
ולהראות את ההוכחה על התמונה שלו
או שבאמת צריך לקחת את כל האיברים בתמונה...
תודה

== תרגיל 4 שאלה 5 ==

זה בהנחה ש T הע"ל מ V לעצמו נכון..(?)

*(לא מתרגל) כן, אחרת כל התרגיל לא מוגדר בהכרח (זה כמו להניח שמטריצה A ריבועית).

== דחוף! שאלה בקשר לבוחן (תיכוניסטים) ==

יש מחר בוחן או לא? אם לא, למתי הוא נדחה?
אודה אם יענו לי בהקדם! תודה :)

(לא מתרגל / מרצה) הבוחן נדחה ל-11.12, ההשלמה בחנוכה --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:30, 26 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

מעל איזה שדה T? זה מאד חשוב לפתרון , שכן יכולים להיות פתרונות שונים אם זה מעל C או מעל R...

(לא מתרגל / מרצה) כתוב <math>T:\mathbb{C}^3\rightarrow\mathbb{C}^3</math>, לכן מעל <math>\mathbb{C}</math>. --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:51, 26 בנובמבר 2012 (IST)

== איך מוצאים תתי מרחבים אינווריאנטים? ==

יש אלגוריתם למציאת תתי מרחבים אינווריאנטים?

(לא מתרגל / מרצה) לדעתי לא, אחרת היה ארז היה מעלה אותו ל-math-wiki --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:34, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 2 א' ==

אפשר הסבר למה זה בעצם W1?

???

???

(לא מרצה / מתרגל) ארז אמר שהוא יבדוק מחר ויחזיר תשובה בנושא --[[משתמש:גיא|גיא]] 23:15, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 1 ==

מה זה תתי מרחבים אינווריאנטים תחת כפל ב-A ?

(לא מתרגל / מרצה) דיברנו בהרצאה ובתרגול על תתי מרחבים אינווריאנטיים תחת העתקה מסוימת. אך מלינארית 1 אנו יודעים כי כל העתקה שקולה לכפל במטריצה. הכוונה בתרגיל - במקום העתקה מכפילים את הוקטור במטריצה; <math>V</math> תת מרחב אינווריאנטי תחת כפל ב-<math>A</math> אם לכל <math>\vec{v}\in V</math> מתקיים <math>A\vec{v}\in V</math> --[[משתמש:גיא|גיא]] 12:59, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 1 ==

אני לא מבין את השאלה V ו W הם מרחבים של מטריצות או של וקטורים?
וגם הוקטורים העצמיים יוצאים מרוכבים אז יכול להיות שהם אמורים להיות ממשיים?

(לא מתרגל / מרצה) <math>V,W\subseteq \mathbb{R}^4</math>, לכן הם תתי מרחבים של וקטורי <math>\mathbb{R}^4</math>. נכון, הו"ע וגם הע"ע יוצאים מרוכבים, אך יש לחשוב כיצד לחזור לממשיים עם תתי מרחבים אינווריאנטיים כדרוש --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:33, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 ,שאלה 3 ==

האם אפשר ב-א ישר לתת את המרחבים האלה? והאם מותר להשתמש במרחבים טריוואלים

?

תודה

(לא מתרגל / מרצה) מה הכוונה בלתת ישר את המרחבים האלו ולהשתמש במרחבים טריוויאליים? <math>W</math> נתון לך מעצם השאלה, אתה צריך למצוא לו תת מרחב אחר <math>W'</math> שיקיים את התנאי. אסור להשתמש בדוגמאות ספציפיות - כי <math>W</math> אינו נתון --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:31, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 2 א ==

לא הבנתי מה זה wi זה יוצא ker של מטריצה לא ריבועית...

== תרגיל 5 שאלה 2 א - הסבר ==

העליתי קובץ מתוקן.

== החישובים יוצאים ממש ארוכים.. ==

רק לחשב את הפולינום האופייני של מטריצה 4x4 לקח לי בערך 2 עמודים, שלא לדבר על זה שעכשיו צריך למצוא וקטורים עצמיים בשביל שאלה 1..

איך זה אפשרי שבמבחן יהיה לי זמן לעשות את כל החישובים האלו?

== תחרות כמו בשנה שעברה ==

האם גם השנה, בדומה לשנה שעברה, תיערך תחרות בחנוכה בנושא פתרון תרגילים הקשורים לצורות ז'ורדן?

== ערכים עצמיים ==

האם זה אפשרי שיהיו לי 5 ע"ע שונים (ממשיים) למטריצה ממשית של 4 על 4?

*(לא מתרגל) לא, כי אז הפולינום האופייני הוא ממעלה 5 (לפחות), מה שלא ייתכן.

== מערכי תרגול מעודכנים (תיכוניסטים) ==

אפשר בבקשה להעלות מערכי תרגול בנושאים שלמדנו בהרצאות/תרגולים האחרונים, שעוד לא עלו?

== איך מוכיחים שלמטריצות דומות יש אותו פולינום מינימלי? ==

אני לא הבנתי את ההוכחה שנתנו לנו בתרגול על זה..

*(לא מתרגל)
יהי פולינום f, נסמנו
<math>f(x)=a0+a1x1+...+akx^k</math>

לפי הנתון, קיימת P הפיכה כך שמתקיים <math>P^{-1}AP=B</math>

לכן מתקיים:

<math>P^{-1}f(A)P=P^{-1}(a0I+...+akA^k)P=a0I+a1P^{-1}AP+...+akP^{-1}A^kP=a0I+...+B^k</math>

כאשר נזכור כי לכל i מתקיים <math>B^i=P^{-1}A^iP</math>.

ולכן בסה"כ מתקיים <math>P^{-1}f(A)P=f(B)</math>.

היות והמטריצה P הפיכה, אפשר לאמר כי <math>f(A)=0</math> אם ורק אם <math>f(B)=0</math>, ובמילים - כל פולינום שמאפס את A מאפס גם את B וההיפך.

כעת נביט בפולינום המינימלי של A, נסמנו mA. היות והוא מאפס, הוא יאפס גם את B לפי מה שהוכחנו לעיל, ולכן <math>mA(B)=0</math>. כעת, לפי טענה שהוכחנו, הפולינום המינימלי של B מחלק כל פולינום שמאפס את B, ולכן מתקיים <math>mB(x)|mA(x)</math>.

באופן דומה, היות והפולינום המינימלי של B מאפס את B, הוא גם יאפס את A, ולכן <math>mB(A)=0</math>, ומכאן <math>mA(x)|mB(x)</math>.

בסה"כ שניהם מחלקים זה את ראהו, ושניהם מתוקנים, ולכן שווים.

:הבנתי תודה רבה :)

== שאלה לגבי מבנה הבוחן ==

הבוחן ב11.12 יהיה מורכב מהוכחת משפט או מיישום קבוצת משפטים על מטריצה?

== הפולינום המינימלי של מטריצת אלכסונית בלוקים. ==

מישהו יכול להביא לי את ההוכחה שהפולינום המינימלי של מטריצה אלכסונית בלוקים הוא ה lcm של הפולינומים המינימלים של הבלוקים?

== פתרונות לתרגילים (תיכוניסטים) ==

בבקשה תעלו את הפתרונות של התרגילי בית שנוכל לחזור עליהם לפני הבוחן ולבדוק את הטעויות שלנו.
דגש על הפתרון של תרגיל 5.
אודה לכם אם תעשו זאת עוד לפני שבת! תודה רבה!

== לא מצליח לג'רדן מטריצה ==

איך אמורים לג'רדן את המטריצה:

<math>A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

היא ניליפוטנטית מסדר 2, לכן צריך למצוא את <math>N(A)\cap C(A)</math>, ויצא לי ש <math>Ae_2</math> בסיס ל <math>C(A)</math>, ולכן החלק הראשון של המטריצה המג'רדנת היא
<math>Ae_2, e_2</math>. איך אני אמור להמשיך מפה?

תודה.

*(לא מתרגל) ראינו שצריך למצוא בסיס בצורת מסלול ל<math>N(A)\cap C(A^{ k-1 })</math>. לאחר מכן, להשלים אותו לבסיס עבור <math>N(A)\cap C(A^{ k-2 })</math> וכו' וכו'.
אם הגענו למצב שבו צריך להשלים לבסיס עבור <math>N(A)\cap C(A^{ k-k })=N(A)</math>, פירושו שיהיו בהצגה האלכסונית בלוקי ג'ורדן מהצורה <math>{ J }_{ 1 }(0)</math>, כי הוקטורים עצמם נמצאים <math>N(A)</math>. ואכן, אם תמצא את מרחב האפס תקבל כי הוא מורכב מe1 וכן מהוקטור <math>(0,-1,1)^{ t }</math>. הוקטור e1 כבר מופיע בבסיס הכללי ולכן נשמיט אותו.

לסיכום, הבסיס מתחיל במה שאמרת ומסתיים בוקטור <math>(0,-1,1)^{ t }</math>, וההצגה היא
<math>\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math>

תודה רבה, ועוד שאלה יש דרך לדעת איך תראה כבר המטריצה המג'ורדנת, רק מהתבוננות בפולינום המינימלי והאופייני?

(לא מתרגל / מרצה) אי אפשר ממש לדעת איך בדיוק זה ייראה, אבל אפשר לקבל כיוון לפי החוקים הבאים:
1. הריבוי הגאומטרי של ערך עצמי (של מטריצה A) הוא מספר הבלוקים המתאימים לערך העצמי הזה בצורת ז'ורדן של A.
2. החזקה של הגורם בפולינום המינימלי של A היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים ל- בצורת ז'ורדן של המטריצה.
3. הריבוי האלגברי של בפולינום האופייני הוא סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- בצורת ז'ורדן.
מקווה שעזרתי --[[משתמש:גיא|גיא]] 12:28, 8 בדצמבר 2012 (IST)

מישהו יודע להסביר למה האלגוריתם לז'רדון נילפוטנטי נכון ?

*(לא מתרגל) זה נובע בעיקר מההוכחה של משפט ג'ורדן הנילפוטנטי בקובץ של ד"ר צבאן, וההסבר המלא מתחיל אחרי סעיף 5, עד לסוף של סעיף 5.6. [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/LAT73/JordanAll.pdf]

הרעיון הכללי והבסיסי הוא שאופרטור מוצג לפי בסיס כבלוק ג'ורדן <=> הבסיס הוא מסלול. לכן המטרה היא למצוא בסיס שמורכב ממסלולים. לרוב מסלול אחד לא עושה את העבודה, ויש צורך בכמה מסלולים שייצרו בלוקי ג'ורדן נפרדים. כדי למצוא את הבסיס שמורכב ממסלולים זרים, פועלים לפי האלגוריתם, ובהוכחת טענה 5.6 אפשר להבין למה זה באמת בסיס (בת"ל ופורש). לאחר שהבנו שזה אכן בסיס, ברור לפי הטענה לעיל (אופרטור מוצג לפי בסיס כבלוק ג'ורדן <=> הבסיס הוא מסלול) שנקבל בעצם הצגה בצורה של ג'ורדן - על האלכסון יש בלוקי ג'ורדן, כי כל פעם ההעתקה מוצגת לפי מסלול (לכן גם חשוב הסדר בתוך המסלולים בבסיס, אחרת לא היינו מקבלים צורת ג'ורדן).

== איך אפשר לדעת איך תראה המטריצה המז'ורדנת? ==

אחרי שחישבתי את הבסיס המז'רדן ושמתי אותו בעמודות מטריצה P, איך אני יכול לראות איך תראה המטריצה המז'ורדנת, מבלי למצוא את P^-1 ולהכפיל בינהם?

(לא מתרגל / מרצה) אם כבר מצאת את P, למה כבר לא להכפיל את הכל ולגמור את הסיפור? בכל מקרה, הנה כמה כללים:

1. הריבוי הגאומטרי של ערך עצמי (של מטריצה A) הוא מספר הבלוקים המתאימים לערך העצמי הזה בצורת ז'ורדן של A.

2. החזקה של הגורם בפולינום המינימלי של A היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים ל- בצורת ז'ורדן של המטריצה.

3. הריבוי האלגברי של בפולינום האופייני הוא סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- בצורת ז'ורדן.

בהצלחה בשלישי :) --[[משתמש:גיא|גיא]] 17:06, 9 בדצמבר 2012 (IST)

אבל אם יתנו לנו מטריצה 4x4 שזה יהיה סיפור להפוך אותה. אין אפשרות במהלך הז'ירדון כבר לראות איך המטריצה המז'ורדנת תיראה, מבלי ממש לבדוק (לבדוק את P^-1AP)?

(לא מתרגל / מרצה) אם יבקשו ממך לז'רדן את המטריצה אז תהיה חייב לבצע את כל התהליך, כולל ההפיכה --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:36, 9 בדצמבר 2012 (IST)

אה אוקי... טוב תודה :)

== שאלה לגבי שאלה5 תרגיל 6 ==

מה הכוונה בשאלה 5 כשכתוב "להוכיח את משפט ג'ורדן עבור מטריצות ממשפט ג'ורדן"? לכתוב הוכחה גם עבור מטריצה נילפוטנטית וגם למטריצה כללית (עם ע"ע שונים מ0) ?

*(לא מתרגל) מה שצריך לעשות זה להוכיח את המשפט:
לכל מטריצה ריבועית A כך שהפ"א שלה מל"ל, A דומה למטריצה בצורת ג'ורדן.
לפי התרגיל, צריך לעשות זאת בעזרת משפט ג'ורדן עבור אופרטורים. במילים אחרות - לצאת מנקודת הנחה שהמשפט נכון לאופרטורים, להוכיח בעזרת זה את המשפט עבור מטריצות.

מה זאת אומרת? אפשר פשוט לשים את הבסיס המז'רדן בתור עמודות מטריצה ולהגיד שזה המטריצה המז'רדנת? זה מה שהם רצו שנעשה?

*מי אמר? אם את/ה חושב/ת שזה נכון, מוזמנ/ת להוכיח.

נסתכל על A כשהעתקה לינארית, לפי ההנחה יש לה בסיס מז'רדן (נניח B), נשים את וקטורי B בעמודות מטריצה P, ולפי ההגדרה של דמיון מטריצות (שזה בעצם מעבר בין בסיסים) מקבלים ש A דומה למטריצה עם בלוקי ג'ורדן

*"כשהעתקה הלינארית..." - איזו העתקה לינארית?

"כהעתקה לינארית", בלי ש' טעות שלי P:

== תרגיל 7 שאלה 3 ==

אני חושב שיש טעות בשאלה, מפני שכאשר נתון a,b ממשיים כלשהם צריך לאמר שהם שונים, אחרת האינטגרל הוא תמיד 0, ויוצא שהמ"פ היא פונקציית האפס, שהיא לא מ"פ.

== תרגיל 7 שאלה 1 ==

בשאלה 1 נראה לי שמצאתי הפרכה: יהי <math><w,v>=0 \Leftarrow v=0</math> וזה מתקיים לדוגמא ל- <math>w=(1,1,1,1,1,...,1)\neq 0</math>

*(לא מתרגל) נתון כי הדבר נכון '''לכל''' v בV, לא רק לv יחיד שבחרת.

(לא מתרגל)צריך להוכיח בשאלה שלכל V מתקיים w,v>=0> גורר W=0
ולכן הפרכה של הטענה הזאת היא: שקיים V עבורו w,v>=0> לא גורר W=0.
ולכן הוא הפריך את הטענה הזאת - יש טעות בשאלה הגרירה נכונה רק לכיוון אחד... (וגם אם זה נכון אז כל וקטור מאונך רק ל0...)

*(לא מתרגל) לא נכון, זו לוגיקה בסיסית - ההפרכה היא: אם w שונה מאפס בכל מקרה לכל v בV מתקיים 0=<w,v>. ואת זה אי אפשר להפריך, מוזמנים לנסות.

הטענה שציינת, האומרת שכל וקטור מאונך רק לאפס - שגויה. מדובר פה בווקטור שמאונך '''לכל הווקטורים במרחב''', וכזה הוא רק וקטור האפס. לא תמצא עוד אחד כזה, ואם אני אגיד למה אז אני למעשה פותר את השאלה.

== תרגיל 7 שאלה 3 ==

בשאלה 3 לדעתי חסר נתונים לסעיף א' לפחות, כי בהוכחת האי-שליליות, <math><f,f><0</math> אם מקדמי הפולינום <math>f(x)</math> הם שליליים, או אם <math>a>b</math> וכן הלאה.. כלומר לדעתי צריך להוסיף שם כמה תנאים כדי שההוכחה תהיה נכונה..
לא

== תרגיל 7 שאלה 3 (תיכוניסטים) ==

באי שליליות, איך אני מוכיח שהאינטגרל המסויים הזה תמיד חיובי (או שווה לאפס...)?

== תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם אני בוחר b=1 a=0
וf=x^3-x אז המכפלה הפנימית של f עם עצמו היא0 והוא שונה מ-0

== תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם אני בוחר b=1 a=0
וf=x^3-x אז המכפלה הפנימית של f עם עצמו היא0 והוא שונה מ-0

== תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם אני בוחר b=1 a=0
וf=x^3-x אז המכפלה הפנימית של f עם עצמו היא0 והוא שונה מ-0

== תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם אני בוחר b=1 a=0
וf=x^3-x אז המכפלה הפנימית של f עם עצמו היא0 והוא שונה מ-0

שיחה:88-113 תשעג סמסטר א

2012-12-21T13:50:31Z

Isis: /* תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגיל (תיכוניסטים) ==

מתי יעלו לנו את התרגיל בלינארית 2 ומתי יום ההגשה שלו?
:התרגיל עלה, הגשה לשבוע הבא. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 שאלה 1 (תיכוניסטים) ==

שכתוב למצוא מרחב עצמי הכוונה למצוא בסיס למרחב העצמי?
:בדיוק --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 2 לתיכוניסטים ==

הפרכה:
נקח את המטריצה מ1ג
ואת הווקטורים (1,1,0-) ו-(1,0,1-) שאינם תלויים לינארית
ונראה ששניהם ו"ע של המטריצה עם ע"ע 0.

:צודק, תקנתי את הטעות בשאלה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אוף ניסיתי יותר מדי זמן להוכיח את זה

== מרחב עצמי ==

מה הכוונה מרחב עצמי? הגדרנו רק ערך עצמי ווקטור עצמי...
:(לא מרצה/מתרגל) מרחב עצמי זה קבוצת כל הווקטורים העצמיים עם ווקטור האפס(שהרי ע"פי ההגדרה הוא לא ווקטור עצמי). ניתן להוכיח בקלות שקבוצה זו מקיימת סגירות לחיבור, וכפל בסקלר. היא מכילה את ווקטור האפס ולכן היא מרחב.
:אם תבין את הכתב שלי אז יש שם הגדרה של המרחב + הוכחה קצרה:
:[[קובץ:3.jpg|200px|thumb|left|עמוד שלישי של התרגול הראשון]]
:--[[משתמש:Avital|Avital]] 21:56, 25 באוקטובר 2012 (IST)

== לא הבנתי משהו בתרגול ==

רשמנו בתרגיל:
"כל המטריצות הדומות מייצגות את אותה העתקה לינארית בבסיסים שונים"

אפשר הסבר למשפט הזה?

*(לא מתרגל) אמרנו (אי שם בלינארית 1) שכל העתקה אפשר להציג בתור מטריצה ביחס לבסיסים מסוימים, וההפך - כל מטריצה מייצגת העתקה, ביחס לבסיסים מסוימים.
יש טענה כזו שאומרת שכל שתי מטריצות שמייצגות אותה העתקה ביחס לבסיסים שונים, הן דומות. כלומר, קיימת P הפיכה כך ש:
http://up357.siz.co.il/up1/3zjymrewzmyd.png

מצד שני, הטענה ההפוכה היא: אם ניקח שתי מטריצות דומות, אפשר למצוא העתקה לינארית, וכן ארבעה בסיסים כך שהמטריצות המייצגות ביחס לבסיסים יהיו שוות לאותן המטריצות הדומות.

ומה זה נותן לי, שהמטריצות הללו מייצגות את אותה הע"ל בבסיסים שונים?

:העובדה שמטריצות דומות מייצגות את אותה העתקה לינארית עוזרת באופן הבא- אם יש לך מטריצה כלשהי המייצגת העתקה, היית מעדיף למצוא מטריצה דומה לה (כלומר מייצגת את אותה ההעתקה) שהיא פשוטה יותר. למשל אם המטריצה הדומה היא אלכסונית, אז ההעתקה סה"כ כופלת כל איבר בבסיס מסויים בסקלר --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אז הרעיון במטריצות דומות זה בעצם להפוך את המטריצה למטריצה "יפה" יותר, שממנה יותר קל לראות מה ההעתקה עושה?

:אכן זה אחד הרעיונות המרכזיים של הקורס (לכסון, שילוש, ז'ורדן) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 שאלה 3 ==

האם אפשר להניח שלכל i, ה-x במקום i שונה מאפס? (זה נחוץ לחישוב הדטרמיננטה)

(לא מתרגל) אני אישית הפרדתי באופן זה או אחר. נסה/י לראות מה יקרה אם Xi שווה אפס, ותנסה/י "להיפטר" ממקרה זה בחישוב הדט' שאת/ה מנסה לחשב.

== תרגיל 2 ==

אפשר הסבר לשאלה 2? למה בדיוק הכוונה ב- T משקפת נקודות ביחס לישר y=kx?

נראה לי שזה אומר שכאילו שמים מראה על הישר y=kx וזה מעביר את כל הנקודות לצד השני שלו כשהן נשארות באותו מרחק ממנו ביחס לאותה נקודה שלו

אפשר למצוא את התוצאה עם אנך ואמצע קטע כמו בגיאומטריה אנליטית

מקווה שעזרתי בינתיים אבל עדיף לחכות לתשובה של מתרגל

:נכון, שיקוף זו פעולה של מראה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

* למה בדיוק הכוונה? איך אני רושם את T של וקטור (x,y) במפורש?

:זו בדיוק השאלה. כמו שענו לך למעלה, מכל נקודה אתה מעביר אנך לקו הישר ושולח אותה לנקודה על האנך מאותו המרחק בצד השני של הישר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אתה יכול להביא דוגמא מספרית?

*קצת קשה לראות כאן דוגמא מספרית, כי צריך לעשות הרבה עבודה כדי להגיע לזה, ואין לזה הרבה משמעות. פשוט לוקחים את הישר kx ונקודה כלשהי, מעבירים ממנה אנך לישר kx. לנקודה הזו יש מרחק מהישר. אז ניקח את הנקודה על הישר המאונך לkx, בצד השני של הישר, שהיא במרחק זהה. זה הכל.

== תרגיל 2 ==

בשאלה 2, מה זה L? --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:14, 31 באוקטובר 2012 (IST)
:זו טעות. הכוונה לT --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 4 ==

מה ההתקה בדיוק עושה למטריצה ? לא ברור... זה נראה כאילו היא לוקחת כל מטריצה 2 על 2 והופכת אותה למטריצה מסויימת שכתובה בתרגיל כאילו וקטור עצמי זה מטריצה בכלל ?

תודה

:כן, במקרה של ההעתקה מעל מרחב המטריצות, הוקטורים הם מטריצות. ולכן וקטור עצמי יהיה מטריצה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 3 ==

בסעיף א', מה זאת אומרת הערכים העצמיים של A שונים זה מזה, מן הסתם שהם שונים לא?
:הכוונה היא שיש n ערכים עצמיים שונים --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

כש n זה הגודל של המטריצה נכון?

:נכון --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 2 (תיכוניסטים) ==

האם מוצר להשתמש במה שלמדנו בתיכון בגאומטריה אנליטית (מרחק בין 2 נקודות, מרחק בין נקודה לישר, אם m שיפוע של ישר אז שיפוע הישר האנך לו הוא (1-)^m וכו) ?

אתה יכול להסביר לי מה מבקשים בכלל בתרגיל? מה זאת אומרת "משקפת"?

:מצורף '''[[מדיה:שיקוף ביחס לישר - הסבר.jpeg|איור]]''' המתאר למה הכוונה בשיקוף. האיור לקוח מתוך הקורס בגיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית, סמסטר א תשע"ב (ואויר על ידי המתרגלת, אנה זרך). מקווה שזה עוזר. [[משתמש:gordo6|גל]].

אז מה שהשיקוף עושה, זה להעביר מהנקודה אנך לישר, ואז ממשיכים את האנך הזה כאורכו, ואז הנקודה שהוא מגיעה אליה, זה השיקוף?

:בהחלט. זה העקרון על פיו מוצאים את הדמות במראה (באופטיקה, אם למדת בתיכון), ובעצם כאן y=kx הוא המראה שלך.

== שאלה כללית ==

אם יש לי ע"ע כלשהו, והמטריצה A-xI יוצאת הפיכה, אז אין וקטור עצמי עבור הערך העצמי הזה ? כי למרחב האפס של המטריצה יש רק פתרון טריוויאלי ?

:לא ייתכן שעבור ע"ע x המטריצה A-xI תהא הפיכה. הרי ע"ע מאפס את הפולינום האופייני - הוא הדטרמיננטה של מטריצה זו. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 5 ==

כתוב למצוא בסיס למרחב העצמי הנתון. איזה מרחב עצמי נתון ?
:אני מניח שהכוונה למרחב העצמי לע"ע 1... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 2 ==

מה זה אומר שצריך למצוא הצגה אלכסונית D? מה זאת אומרת?

נ.ב כשמבקשים להוכיח האם T לכסינה, זה בעצם להראות שהמטריצה המייצגת שלה לפי בסיסים כלשהם, לכסינה?

*בנוגע לנ.ב. - כן, זהו משפט שראינו בהרצאה. עכשיו בנוגע לשאלה הראשונה - לאחר שמצאת האם T לפי בסיס כלשהו לכסינה, אתה צריך למצוא את המטריצה האלכסונית שלה היא דומה.

אז כשרוצים למצוא את D, צריך למצוא את המטריצה או את ההעתקה עצמה?

* כשאומרים למצוא את D, הכוונה היא שתרשום את המטריצה האלכסונית הזו שאתה מחפש.

ואיך אמורים למצוא את הבסיס הזה?

*לפי תרגיל שראינו בהרצאה, T לפי הבסיס B היא אלכסונית <=> הבסיס B מורכב מ-n ו"ע בת"ל של T.

אוקי, ואם לדוגמא T לכסינה, זה אומר שלכל בסיס B, המטריצה המייצגת את T לפי B היא אלכסונית? או שרק קיים בסיס כזה?

:רק שקיים בסיס כזה, אחרת אין משמעות לפעולת הלכסון. פעולת הלכסון היא בדיוק מציאת הבסיס לפי המטריצה אלכסונית (כאשר מסתכלים גם על מטריצה רגילה כהעתקה לינארית) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

* חשוב גם לאמר שיש יותר מאופציה אחת, כי אם נשנה את הסדר של הוקטורים בבסיס שמצאנו, נקבל בסיס סדור אחר, שגם הוא יתאים. מה שיקרה זה שבסה"כ הע"ע יחליפו מקומות על האלכסון במטריצה המייצגת, ונקבל מטריצה קצת אחרת.

== תרגיל 2 שאלה 4 ==

איך אני מוצא את המטריצה המייצגת של ההעתקה T?
:כמו שלמדנו ב[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/9|לינארית 1]]. מצא בסיס למרחב (שים לב שזהו מרחב של מטריצות), תפעיל את ההעתקה על הבסיס, שים את הקואורדינטות של התוצאות בעמודות מטריצה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 3 שאלה 3 ==

איך אני מגלה לאן f שולחת?

(לא מתרגל / מרצה) התכוונת ל-f שכתוב ב-<math>T(f)</math>? אם כן, זהו פשוט פולינום כללי ממעלה עד מעלה שלישית --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:43, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 3 ==

יש הבדל בין f לבין <math>f(x)</math>?

(לא מתרגל / מרצה) לא --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:42, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

אם g, h פולינומים, יש דבר כזה <math>g/h</math>
(g חלקי h)?

*כן, זהו חילוק פולינומים. לדוגמא אם ניקח x^2-1 וכן x-1 החילוק שלהם יביא x+1.

== תרגיל 3 שאלה 1 סעיף ג' ==

אפשר ניסוח אחר של השאלה? כי הפתרונות שחשבתי עליהם ממש טריוויאלים ואני לא חושב שלזה התכוונו. --[[משתמש:Avital|Avital]] 18:12, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

מה למדנו על מספרים זרים בתרגול? :)

:אם f,g פולינומים זרים אז קיימים פולינומים a,b כך ש af+bg=1 --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 1 סעיף ב (תרגיל 3) ==

המטריצות בסעיף הזה גם מעל הממשיים?

== תרגיל 3,שאלה 4 ==

סעיף ב

אפשר להוכיח באינדוקציה בלי להשתמש בסעיף א?, כי ככה יצא לי האמת.

בקשר לסעיף ג, מז"א הצגה יחידה עד כדי סקלר?

תודה

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

מעל C, קיימים פולינומים אי - פריקים חוץ מהפולינומים ממעלה 1?

*(לא מתרגל) אמרנו בהרצאה שכל פולינום מתפרק לגורמים '''לינאריים''' מעל C, ולכן התשובה היא לא.

== אפשר אולי להעלות את התרגילי בית מוקדם יותר? ==

נגיד ביום של הגשת התרגיל הקודם או יום אחרי, זה מאוד יעזור.
מצטרף לשאלה.

גם אני מצטרף.... עברו כבר שלושה ימים ועדיין לא עלה התרגיל...

בכלל אם אפשר עדיף לעלות אותם יום-יומיים לפני- כמו בפיזיקה ואז יש יותר משבוע שלם -משהו כמו 9-10 ימים להכין את השיעורים-

ובעיניין התרגיל הנוכחי- תרגיל 4 עדיף לדחות אותו בשבוע לפחות - כי גם ככה אין לנו סיכוי לסיים אותו בזמן

ֿ
אני ממש בעד שהתרגיל יעלה מוקדם יותר באופן קבוע (אולי גם באינפי), זה יכול לחסוך לנו הרבה זמן

== איחור העלאת התרגיל ==

יתנו לנו הארכה על התרגיל הנוכחי ? כבר סוף שבוע והוא עוד לא עלה....

*כבר יום ראשון..(מישהו אחר)

== הבוחן ==

אם אפשר לתת פרטים על הבוחן וקישור לתרגילים, זה ממש יעזור! תודה

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

לא כל כך הבנתי את השאלה זה לא בעצם אומר שהמטריצה היא מטריצת האפס?

צודק, יש טעות בשאלה m(x)=x^2 ולא m(x)=x אני אעלה תיקון בהקדם.

==תרגיל 4 שאלה 3==

הכוונה שנישתמש באלגוריתם לשילוש שלמדנו בתירגול?

לא מרצה/מתרגל. סביר להניח שכן

== תרגיל 4 שאלה 5א ==

מהו תת מרחב g(T) אינווריאנטי?

מצטרף גם כן לשאלה....

*(לא מתרגל) ראינו כי אם g פולינום אז אפשר להציב עליו מטריצות וגם טרנספורמציות. כלומר אם נציב על g את T, נקבל טרנספורמציה g(T). ומכאן אפשר להבין את המונח בדיוק כמו בעבור העתקה רגילה T, רק שפה ההעתקה היא g(T), זה הכל.

מה זאת אומרת להציב טרנפורמציות ??? הכוונה להציב את המטריצה המייצגת שלהם ? וגם אז הכוונה שלכל <math>v</math> ב-<math>W</math> גם <math>g(T(v))</math> נמצא ב-<math>W</math> ?

*אם ניקח פולינום כלשהו, אפשר להציב עליו העתקות לינאריות, באופן הבא:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g(x)={%20a%20}_{%200%20}+{%20a%20}_{%201%20}x+...+{%20a%20}_{%20n%20}{%20x%20}^{%20n%20}\\%20=%3Eg(T)={%20a%20}_{%200%20}I+{%20a%20}_{%201%20}T+...+{%20a%20}_{%20n%20}{%20T%20}^{%20n%20}

כאשר I היא העתקה הזהות, ולדוגמא T בריבוע היא T הרכבה T.
בעצם קיבלנו כפל של העתקות בסקלר => העתקה, וכן חיבור העתקות => העתקה (כי מרחב ההעתקות הוא מרחב וקטורי וסגור לכפל בסקלר וחיבור), כלומר בסה"כ על <math>g(T)</math> היא העתקה.

ואז אפשר להבין את הגדרה בדיוק כמו עבור העתקה T:

W הוא ת"מ <math>g(T)</math> אינווריאנטי אם לכל v ב W מתקיים <math>(g(T))(v)\in W</math>

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

מעל איזה שדה נמצאת המטריצה הנתונה ? מרוכבים ? ממשיים ? ....

*(לא מתרגל) זה לא משנה כל כך לשאלה אני מאמין.

אני דווקא חושב שזה די חשוב...

*באיזשהו מקום אתה צודק, כי אם המרחב הוא Z2 השאלה הופכת לקלילה. אם הוא Z1, כלומר המרחב שמכיל את 0 בלבד, אז היא עוד יותר קלה. ובכל מקרה, יש פתרון שתקף לכל מרחב שתיקח.

*מתי תבינו שאם לא כתוב אז זה אומר שאנחנו מעל R?--[[משתמש:Caspim|Caspim]] 21:25, 22 בנובמבר 2012 (IST)

*(לא מתרגל) נבין מחר. בכל מקרה, יש פתרון שתקף גם מעל C, גם מעל Z2 וגם מעל R, אז לא חייבים להגביל בשדה (אולי דווקא בגלל זה לא רשמו אותו).

== תרגיל 4 שאלה 5 ב' ==

כשרושמים <math>f(T)[W]</math> מתכוונים לזה שמפעילים את כל הוקטורים ב W על ההעתקה?

*(לא מתרגל) הכוונה היא לתמונה של W לפי ההעתקה <math>f(T)</math>

== שאלה 5 ==

בקשר לסעיפים ב,ג
אפשר לקחת איבר כללי ב-W בסעיף ב ובסעיף ג איבר כללי ב-V
ולהראות את ההוכחה על התמונה שלו
או שבאמת צריך לקחת את כל האיברים בתמונה...
תודה

== תרגיל 4 שאלה 5 ==

זה בהנחה ש T הע"ל מ V לעצמו נכון..(?)

*(לא מתרגל) כן, אחרת כל התרגיל לא מוגדר בהכרח (זה כמו להניח שמטריצה A ריבועית).

== דחוף! שאלה בקשר לבוחן (תיכוניסטים) ==

יש מחר בוחן או לא? אם לא, למתי הוא נדחה?
אודה אם יענו לי בהקדם! תודה :)

(לא מתרגל / מרצה) הבוחן נדחה ל-11.12, ההשלמה בחנוכה --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:30, 26 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

מעל איזה שדה T? זה מאד חשוב לפתרון , שכן יכולים להיות פתרונות שונים אם זה מעל C או מעל R...

(לא מתרגל / מרצה) כתוב <math>T:\mathbb{C}^3\rightarrow\mathbb{C}^3</math>, לכן מעל <math>\mathbb{C}</math>. --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:51, 26 בנובמבר 2012 (IST)

== איך מוצאים תתי מרחבים אינווריאנטים? ==

יש אלגוריתם למציאת תתי מרחבים אינווריאנטים?

(לא מתרגל / מרצה) לדעתי לא, אחרת היה ארז היה מעלה אותו ל-math-wiki --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:34, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 2 א' ==

אפשר הסבר למה זה בעצם W1?

???

???

(לא מרצה / מתרגל) ארז אמר שהוא יבדוק מחר ויחזיר תשובה בנושא --[[משתמש:גיא|גיא]] 23:15, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 1 ==

מה זה תתי מרחבים אינווריאנטים תחת כפל ב-A ?

(לא מתרגל / מרצה) דיברנו בהרצאה ובתרגול על תתי מרחבים אינווריאנטיים תחת העתקה מסוימת. אך מלינארית 1 אנו יודעים כי כל העתקה שקולה לכפל במטריצה. הכוונה בתרגיל - במקום העתקה מכפילים את הוקטור במטריצה; <math>V</math> תת מרחב אינווריאנטי תחת כפל ב-<math>A</math> אם לכל <math>\vec{v}\in V</math> מתקיים <math>A\vec{v}\in V</math> --[[משתמש:גיא|גיא]] 12:59, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 1 ==

אני לא מבין את השאלה V ו W הם מרחבים של מטריצות או של וקטורים?
וגם הוקטורים העצמיים יוצאים מרוכבים אז יכול להיות שהם אמורים להיות ממשיים?

(לא מתרגל / מרצה) <math>V,W\subseteq \mathbb{R}^4</math>, לכן הם תתי מרחבים של וקטורי <math>\mathbb{R}^4</math>. נכון, הו"ע וגם הע"ע יוצאים מרוכבים, אך יש לחשוב כיצד לחזור לממשיים עם תתי מרחבים אינווריאנטיים כדרוש --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:33, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 ,שאלה 3 ==

האם אפשר ב-א ישר לתת את המרחבים האלה? והאם מותר להשתמש במרחבים טריוואלים

?

תודה

(לא מתרגל / מרצה) מה הכוונה בלתת ישר את המרחבים האלו ולהשתמש במרחבים טריוויאליים? <math>W</math> נתון לך מעצם השאלה, אתה צריך למצוא לו תת מרחב אחר <math>W'</math> שיקיים את התנאי. אסור להשתמש בדוגמאות ספציפיות - כי <math>W</math> אינו נתון --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:31, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 2 א ==

לא הבנתי מה זה wi זה יוצא ker של מטריצה לא ריבועית...

== תרגיל 5 שאלה 2 א - הסבר ==

העליתי קובץ מתוקן.

== החישובים יוצאים ממש ארוכים.. ==

רק לחשב את הפולינום האופייני של מטריצה 4x4 לקח לי בערך 2 עמודים, שלא לדבר על זה שעכשיו צריך למצוא וקטורים עצמיים בשביל שאלה 1..

איך זה אפשרי שבמבחן יהיה לי זמן לעשות את כל החישובים האלו?

== תחרות כמו בשנה שעברה ==

האם גם השנה, בדומה לשנה שעברה, תיערך תחרות בחנוכה בנושא פתרון תרגילים הקשורים לצורות ז'ורדן?

== ערכים עצמיים ==

האם זה אפשרי שיהיו לי 5 ע"ע שונים (ממשיים) למטריצה ממשית של 4 על 4?

*(לא מתרגל) לא, כי אז הפולינום האופייני הוא ממעלה 5 (לפחות), מה שלא ייתכן.

== מערכי תרגול מעודכנים (תיכוניסטים) ==

אפשר בבקשה להעלות מערכי תרגול בנושאים שלמדנו בהרצאות/תרגולים האחרונים, שעוד לא עלו?

== איך מוכיחים שלמטריצות דומות יש אותו פולינום מינימלי? ==

אני לא הבנתי את ההוכחה שנתנו לנו בתרגול על זה..

*(לא מתרגל)
יהי פולינום f, נסמנו
<math>f(x)=a0+a1x1+...+akx^k</math>

לפי הנתון, קיימת P הפיכה כך שמתקיים <math>P^{-1}AP=B</math>

לכן מתקיים:

<math>P^{-1}f(A)P=P^{-1}(a0I+...+akA^k)P=a0I+a1P^{-1}AP+...+akP^{-1}A^kP=a0I+...+B^k</math>

כאשר נזכור כי לכל i מתקיים <math>B^i=P^{-1}A^iP</math>.

ולכן בסה"כ מתקיים <math>P^{-1}f(A)P=f(B)</math>.

היות והמטריצה P הפיכה, אפשר לאמר כי <math>f(A)=0</math> אם ורק אם <math>f(B)=0</math>, ובמילים - כל פולינום שמאפס את A מאפס גם את B וההיפך.

כעת נביט בפולינום המינימלי של A, נסמנו mA. היות והוא מאפס, הוא יאפס גם את B לפי מה שהוכחנו לעיל, ולכן <math>mA(B)=0</math>. כעת, לפי טענה שהוכחנו, הפולינום המינימלי של B מחלק כל פולינום שמאפס את B, ולכן מתקיים <math>mB(x)|mA(x)</math>.

באופן דומה, היות והפולינום המינימלי של B מאפס את B, הוא גם יאפס את A, ולכן <math>mB(A)=0</math>, ומכאן <math>mA(x)|mB(x)</math>.

בסה"כ שניהם מחלקים זה את ראהו, ושניהם מתוקנים, ולכן שווים.

:הבנתי תודה רבה :)

== שאלה לגבי מבנה הבוחן ==

הבוחן ב11.12 יהיה מורכב מהוכחת משפט או מיישום קבוצת משפטים על מטריצה?

== הפולינום המינימלי של מטריצת אלכסונית בלוקים. ==

מישהו יכול להביא לי את ההוכחה שהפולינום המינימלי של מטריצה אלכסונית בלוקים הוא ה lcm של הפולינומים המינימלים של הבלוקים?

== פתרונות לתרגילים (תיכוניסטים) ==

בבקשה תעלו את הפתרונות של התרגילי בית שנוכל לחזור עליהם לפני הבוחן ולבדוק את הטעויות שלנו.
דגש על הפתרון של תרגיל 5.
אודה לכם אם תעשו זאת עוד לפני שבת! תודה רבה!

== לא מצליח לג'רדן מטריצה ==

איך אמורים לג'רדן את המטריצה:

<math>A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

היא ניליפוטנטית מסדר 2, לכן צריך למצוא את <math>N(A)\cap C(A)</math>, ויצא לי ש <math>Ae_2</math> בסיס ל <math>C(A)</math>, ולכן החלק הראשון של המטריצה המג'רדנת היא
<math>Ae_2, e_2</math>. איך אני אמור להמשיך מפה?

תודה.

*(לא מתרגל) ראינו שצריך למצוא בסיס בצורת מסלול ל<math>N(A)\cap C(A^{ k-1 })</math>. לאחר מכן, להשלים אותו לבסיס עבור <math>N(A)\cap C(A^{ k-2 })</math> וכו' וכו'.
אם הגענו למצב שבו צריך להשלים לבסיס עבור <math>N(A)\cap C(A^{ k-k })=N(A)</math>, פירושו שיהיו בהצגה האלכסונית בלוקי ג'ורדן מהצורה <math>{ J }_{ 1 }(0)</math>, כי הוקטורים עצמם נמצאים <math>N(A)</math>. ואכן, אם תמצא את מרחב האפס תקבל כי הוא מורכב מe1 וכן מהוקטור <math>(0,-1,1)^{ t }</math>. הוקטור e1 כבר מופיע בבסיס הכללי ולכן נשמיט אותו.

לסיכום, הבסיס מתחיל במה שאמרת ומסתיים בוקטור <math>(0,-1,1)^{ t }</math>, וההצגה היא
<math>\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math>

תודה רבה, ועוד שאלה יש דרך לדעת איך תראה כבר המטריצה המג'ורדנת, רק מהתבוננות בפולינום המינימלי והאופייני?

(לא מתרגל / מרצה) אי אפשר ממש לדעת איך בדיוק זה ייראה, אבל אפשר לקבל כיוון לפי החוקים הבאים:
1. הריבוי הגאומטרי של ערך עצמי (של מטריצה A) הוא מספר הבלוקים המתאימים לערך העצמי הזה בצורת ז'ורדן של A.
2. החזקה של הגורם בפולינום המינימלי של A היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים ל- בצורת ז'ורדן של המטריצה.
3. הריבוי האלגברי של בפולינום האופייני הוא סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- בצורת ז'ורדן.
מקווה שעזרתי --[[משתמש:גיא|גיא]] 12:28, 8 בדצמבר 2012 (IST)

מישהו יודע להסביר למה האלגוריתם לז'רדון נילפוטנטי נכון ?

*(לא מתרגל) זה נובע בעיקר מההוכחה של משפט ג'ורדן הנילפוטנטי בקובץ של ד"ר צבאן, וההסבר המלא מתחיל אחרי סעיף 5, עד לסוף של סעיף 5.6. [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/LAT73/JordanAll.pdf]

הרעיון הכללי והבסיסי הוא שאופרטור מוצג לפי בסיס כבלוק ג'ורדן <=> הבסיס הוא מסלול. לכן המטרה היא למצוא בסיס שמורכב ממסלולים. לרוב מסלול אחד לא עושה את העבודה, ויש צורך בכמה מסלולים שייצרו בלוקי ג'ורדן נפרדים. כדי למצוא את הבסיס שמורכב ממסלולים זרים, פועלים לפי האלגוריתם, ובהוכחת טענה 5.6 אפשר להבין למה זה באמת בסיס (בת"ל ופורש). לאחר שהבנו שזה אכן בסיס, ברור לפי הטענה לעיל (אופרטור מוצג לפי בסיס כבלוק ג'ורדן <=> הבסיס הוא מסלול) שנקבל בעצם הצגה בצורה של ג'ורדן - על האלכסון יש בלוקי ג'ורדן, כי כל פעם ההעתקה מוצגת לפי מסלול (לכן גם חשוב הסדר בתוך המסלולים בבסיס, אחרת לא היינו מקבלים צורת ג'ורדן).

== איך אפשר לדעת איך תראה המטריצה המז'ורדנת? ==

אחרי שחישבתי את הבסיס המז'רדן ושמתי אותו בעמודות מטריצה P, איך אני יכול לראות איך תראה המטריצה המז'ורדנת, מבלי למצוא את P^-1 ולהכפיל בינהם?

(לא מתרגל / מרצה) אם כבר מצאת את P, למה כבר לא להכפיל את הכל ולגמור את הסיפור? בכל מקרה, הנה כמה כללים:

1. הריבוי הגאומטרי של ערך עצמי (של מטריצה A) הוא מספר הבלוקים המתאימים לערך העצמי הזה בצורת ז'ורדן של A.

2. החזקה של הגורם בפולינום המינימלי של A היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים ל- בצורת ז'ורדן של המטריצה.

3. הריבוי האלגברי של בפולינום האופייני הוא סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- בצורת ז'ורדן.

בהצלחה בשלישי :) --[[משתמש:גיא|גיא]] 17:06, 9 בדצמבר 2012 (IST)

אבל אם יתנו לנו מטריצה 4x4 שזה יהיה סיפור להפוך אותה. אין אפשרות במהלך הז'ירדון כבר לראות איך המטריצה המז'ורדנת תיראה, מבלי ממש לבדוק (לבדוק את P^-1AP)?

(לא מתרגל / מרצה) אם יבקשו ממך לז'רדן את המטריצה אז תהיה חייב לבצע את כל התהליך, כולל ההפיכה --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:36, 9 בדצמבר 2012 (IST)

אה אוקי... טוב תודה :)

== שאלה לגבי שאלה5 תרגיל 6 ==

מה הכוונה בשאלה 5 כשכתוב "להוכיח את משפט ג'ורדן עבור מטריצות ממשפט ג'ורדן"? לכתוב הוכחה גם עבור מטריצה נילפוטנטית וגם למטריצה כללית (עם ע"ע שונים מ0) ?

*(לא מתרגל) מה שצריך לעשות זה להוכיח את המשפט:
לכל מטריצה ריבועית A כך שהפ"א שלה מל"ל, A דומה למטריצה בצורת ג'ורדן.
לפי התרגיל, צריך לעשות זאת בעזרת משפט ג'ורדן עבור אופרטורים. במילים אחרות - לצאת מנקודת הנחה שהמשפט נכון לאופרטורים, להוכיח בעזרת זה את המשפט עבור מטריצות.

מה זאת אומרת? אפשר פשוט לשים את הבסיס המז'רדן בתור עמודות מטריצה ולהגיד שזה המטריצה המז'רדנת? זה מה שהם רצו שנעשה?

*מי אמר? אם את/ה חושב/ת שזה נכון, מוזמנ/ת להוכיח.

נסתכל על A כשהעתקה לינארית, לפי ההנחה יש לה בסיס מז'רדן (נניח B), נשים את וקטורי B בעמודות מטריצה P, ולפי ההגדרה של דמיון מטריצות (שזה בעצם מעבר בין בסיסים) מקבלים ש A דומה למטריצה עם בלוקי ג'ורדן

*"כשהעתקה הלינארית..." - איזו העתקה לינארית?

"כהעתקה לינארית", בלי ש' טעות שלי P:

== תרגיל 7 שאלה 3 ==

אני חושב שיש טעות בשאלה, מפני שכאשר נתון a,b ממשיים כלשהם צריך לאמר שהם שונים, אחרת האינטגרל הוא תמיד 0, ויוצא שהמ"פ היא פונקציית האפס, שהיא לא מ"פ.

== תרגיל 7 שאלה 1 ==

בשאלה 1 נראה לי שמצאתי הפרכה: יהי <math><w,v>=0 \Leftarrow v=0</math> וזה מתקיים לדוגמא ל- <math>w=(1,1,1,1,1,...,1)\neq 0</math>

*(לא מתרגל) נתון כי הדבר נכון '''לכל''' v בV, לא רק לv יחיד שבחרת.

(לא מתרגל)צריך להוכיח בשאלה שלכל V מתקיים w,v>=0> גורר W=0
ולכן הפרכה של הטענה הזאת היא: שקיים V עבורו w,v>=0> לא גורר W=0.
ולכן הוא הפריך את הטענה הזאת - יש טעות בשאלה הגרירה נכונה רק לכיוון אחד... (וגם אם זה נכון אז כל וקטור מאונך רק ל0...)

*(לא מתרגל) לא נכון, זו לוגיקה בסיסית - ההפרכה היא: אם w שונה מאפס בכל מקרה לכל v בV מתקיים 0=<w,v>. ואת זה אי אפשר להפריך, מוזמנים לנסות.

הטענה שציינת, האומרת שכל וקטור מאונך רק לאפס - שגויה. מדובר פה בווקטור שמאונך '''לכל הווקטורים במרחב''', וכזה הוא רק וקטור האפס. לא תמצא עוד אחד כזה, ואם אני אגיד למה אז אני למעשה פותר את השאלה.

== תרגיל 7 שאלה 3 ==

בשאלה 3 לדעתי חסר נתונים לסעיף א' לפחות, כי בהוכחת האי-שליליות, <math><f,f><0</math> אם מקדמי הפולינום <math>f(x)</math> הם שליליים, או אם <math>a>b</math> וכן הלאה.. כלומר לדעתי צריך להוסיף שם כמה תנאים כדי שההוכחה תהיה נכונה..
לא

== תרגיל 7 שאלה 3 (תיכוניסטים) ==

באי שליליות, איך אני מוכיח שהאינטגרל המסויים הזה תמיד חיובי (או שווה לאפס...)?

== תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם אני בוחר b=1 a=0
וf=x^3-x אז המכפלה הפנימית של f עם עצמו היא0 והוא שונה מ-0

== תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם אני בוחר b=1 a=0
וf=x^3-x אז המכפלה הפנימית של f עם עצמו היא0 והוא שונה מ-0

== תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם אני בוחר b=1 a=0
וf=x^3-x אז המכפלה הפנימית של f עם עצמו היא0 והוא שונה מ-0

שיחה:88-113 תשעג סמסטר א

2012-12-21T13:50:30Z

Isis: /* תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגיל (תיכוניסטים) ==

מתי יעלו לנו את התרגיל בלינארית 2 ומתי יום ההגשה שלו?
:התרגיל עלה, הגשה לשבוע הבא. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 שאלה 1 (תיכוניסטים) ==

שכתוב למצוא מרחב עצמי הכוונה למצוא בסיס למרחב העצמי?
:בדיוק --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 2 לתיכוניסטים ==

הפרכה:
נקח את המטריצה מ1ג
ואת הווקטורים (1,1,0-) ו-(1,0,1-) שאינם תלויים לינארית
ונראה ששניהם ו"ע של המטריצה עם ע"ע 0.

:צודק, תקנתי את הטעות בשאלה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אוף ניסיתי יותר מדי זמן להוכיח את זה

== מרחב עצמי ==

מה הכוונה מרחב עצמי? הגדרנו רק ערך עצמי ווקטור עצמי...
:(לא מרצה/מתרגל) מרחב עצמי זה קבוצת כל הווקטורים העצמיים עם ווקטור האפס(שהרי ע"פי ההגדרה הוא לא ווקטור עצמי). ניתן להוכיח בקלות שקבוצה זו מקיימת סגירות לחיבור, וכפל בסקלר. היא מכילה את ווקטור האפס ולכן היא מרחב.
:אם תבין את הכתב שלי אז יש שם הגדרה של המרחב + הוכחה קצרה:
:[[קובץ:3.jpg|200px|thumb|left|עמוד שלישי של התרגול הראשון]]
:--[[משתמש:Avital|Avital]] 21:56, 25 באוקטובר 2012 (IST)

== לא הבנתי משהו בתרגול ==

רשמנו בתרגיל:
"כל המטריצות הדומות מייצגות את אותה העתקה לינארית בבסיסים שונים"

אפשר הסבר למשפט הזה?

*(לא מתרגל) אמרנו (אי שם בלינארית 1) שכל העתקה אפשר להציג בתור מטריצה ביחס לבסיסים מסוימים, וההפך - כל מטריצה מייצגת העתקה, ביחס לבסיסים מסוימים.
יש טענה כזו שאומרת שכל שתי מטריצות שמייצגות אותה העתקה ביחס לבסיסים שונים, הן דומות. כלומר, קיימת P הפיכה כך ש:
http://up357.siz.co.il/up1/3zjymrewzmyd.png

מצד שני, הטענה ההפוכה היא: אם ניקח שתי מטריצות דומות, אפשר למצוא העתקה לינארית, וכן ארבעה בסיסים כך שהמטריצות המייצגות ביחס לבסיסים יהיו שוות לאותן המטריצות הדומות.

ומה זה נותן לי, שהמטריצות הללו מייצגות את אותה הע"ל בבסיסים שונים?

:העובדה שמטריצות דומות מייצגות את אותה העתקה לינארית עוזרת באופן הבא- אם יש לך מטריצה כלשהי המייצגת העתקה, היית מעדיף למצוא מטריצה דומה לה (כלומר מייצגת את אותה ההעתקה) שהיא פשוטה יותר. למשל אם המטריצה הדומה היא אלכסונית, אז ההעתקה סה"כ כופלת כל איבר בבסיס מסויים בסקלר --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אז הרעיון במטריצות דומות זה בעצם להפוך את המטריצה למטריצה "יפה" יותר, שממנה יותר קל לראות מה ההעתקה עושה?

:אכן זה אחד הרעיונות המרכזיים של הקורס (לכסון, שילוש, ז'ורדן) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 שאלה 3 ==

האם אפשר להניח שלכל i, ה-x במקום i שונה מאפס? (זה נחוץ לחישוב הדטרמיננטה)

(לא מתרגל) אני אישית הפרדתי באופן זה או אחר. נסה/י לראות מה יקרה אם Xi שווה אפס, ותנסה/י "להיפטר" ממקרה זה בחישוב הדט' שאת/ה מנסה לחשב.

== תרגיל 2 ==

אפשר הסבר לשאלה 2? למה בדיוק הכוונה ב- T משקפת נקודות ביחס לישר y=kx?

נראה לי שזה אומר שכאילו שמים מראה על הישר y=kx וזה מעביר את כל הנקודות לצד השני שלו כשהן נשארות באותו מרחק ממנו ביחס לאותה נקודה שלו

אפשר למצוא את התוצאה עם אנך ואמצע קטע כמו בגיאומטריה אנליטית

מקווה שעזרתי בינתיים אבל עדיף לחכות לתשובה של מתרגל

:נכון, שיקוף זו פעולה של מראה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

* למה בדיוק הכוונה? איך אני רושם את T של וקטור (x,y) במפורש?

:זו בדיוק השאלה. כמו שענו לך למעלה, מכל נקודה אתה מעביר אנך לקו הישר ושולח אותה לנקודה על האנך מאותו המרחק בצד השני של הישר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אתה יכול להביא דוגמא מספרית?

*קצת קשה לראות כאן דוגמא מספרית, כי צריך לעשות הרבה עבודה כדי להגיע לזה, ואין לזה הרבה משמעות. פשוט לוקחים את הישר kx ונקודה כלשהי, מעבירים ממנה אנך לישר kx. לנקודה הזו יש מרחק מהישר. אז ניקח את הנקודה על הישר המאונך לkx, בצד השני של הישר, שהיא במרחק זהה. זה הכל.

== תרגיל 2 ==

בשאלה 2, מה זה L? --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:14, 31 באוקטובר 2012 (IST)
:זו טעות. הכוונה לT --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 4 ==

מה ההתקה בדיוק עושה למטריצה ? לא ברור... זה נראה כאילו היא לוקחת כל מטריצה 2 על 2 והופכת אותה למטריצה מסויימת שכתובה בתרגיל כאילו וקטור עצמי זה מטריצה בכלל ?

תודה

:כן, במקרה של ההעתקה מעל מרחב המטריצות, הוקטורים הם מטריצות. ולכן וקטור עצמי יהיה מטריצה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 3 ==

בסעיף א', מה זאת אומרת הערכים העצמיים של A שונים זה מזה, מן הסתם שהם שונים לא?
:הכוונה היא שיש n ערכים עצמיים שונים --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

כש n זה הגודל של המטריצה נכון?

:נכון --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 2 (תיכוניסטים) ==

האם מוצר להשתמש במה שלמדנו בתיכון בגאומטריה אנליטית (מרחק בין 2 נקודות, מרחק בין נקודה לישר, אם m שיפוע של ישר אז שיפוע הישר האנך לו הוא (1-)^m וכו) ?

אתה יכול להסביר לי מה מבקשים בכלל בתרגיל? מה זאת אומרת "משקפת"?

:מצורף '''[[מדיה:שיקוף ביחס לישר - הסבר.jpeg|איור]]''' המתאר למה הכוונה בשיקוף. האיור לקוח מתוך הקורס בגיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית, סמסטר א תשע"ב (ואויר על ידי המתרגלת, אנה זרך). מקווה שזה עוזר. [[משתמש:gordo6|גל]].

אז מה שהשיקוף עושה, זה להעביר מהנקודה אנך לישר, ואז ממשיכים את האנך הזה כאורכו, ואז הנקודה שהוא מגיעה אליה, זה השיקוף?

:בהחלט. זה העקרון על פיו מוצאים את הדמות במראה (באופטיקה, אם למדת בתיכון), ובעצם כאן y=kx הוא המראה שלך.

== שאלה כללית ==

אם יש לי ע"ע כלשהו, והמטריצה A-xI יוצאת הפיכה, אז אין וקטור עצמי עבור הערך העצמי הזה ? כי למרחב האפס של המטריצה יש רק פתרון טריוויאלי ?

:לא ייתכן שעבור ע"ע x המטריצה A-xI תהא הפיכה. הרי ע"ע מאפס את הפולינום האופייני - הוא הדטרמיננטה של מטריצה זו. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 5 ==

כתוב למצוא בסיס למרחב העצמי הנתון. איזה מרחב עצמי נתון ?
:אני מניח שהכוונה למרחב העצמי לע"ע 1... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 2 ==

מה זה אומר שצריך למצוא הצגה אלכסונית D? מה זאת אומרת?

נ.ב כשמבקשים להוכיח האם T לכסינה, זה בעצם להראות שהמטריצה המייצגת שלה לפי בסיסים כלשהם, לכסינה?

*בנוגע לנ.ב. - כן, זהו משפט שראינו בהרצאה. עכשיו בנוגע לשאלה הראשונה - לאחר שמצאת האם T לפי בסיס כלשהו לכסינה, אתה צריך למצוא את המטריצה האלכסונית שלה היא דומה.

אז כשרוצים למצוא את D, צריך למצוא את המטריצה או את ההעתקה עצמה?

* כשאומרים למצוא את D, הכוונה היא שתרשום את המטריצה האלכסונית הזו שאתה מחפש.

ואיך אמורים למצוא את הבסיס הזה?

*לפי תרגיל שראינו בהרצאה, T לפי הבסיס B היא אלכסונית <=> הבסיס B מורכב מ-n ו"ע בת"ל של T.

אוקי, ואם לדוגמא T לכסינה, זה אומר שלכל בסיס B, המטריצה המייצגת את T לפי B היא אלכסונית? או שרק קיים בסיס כזה?

:רק שקיים בסיס כזה, אחרת אין משמעות לפעולת הלכסון. פעולת הלכסון היא בדיוק מציאת הבסיס לפי המטריצה אלכסונית (כאשר מסתכלים גם על מטריצה רגילה כהעתקה לינארית) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

* חשוב גם לאמר שיש יותר מאופציה אחת, כי אם נשנה את הסדר של הוקטורים בבסיס שמצאנו, נקבל בסיס סדור אחר, שגם הוא יתאים. מה שיקרה זה שבסה"כ הע"ע יחליפו מקומות על האלכסון במטריצה המייצגת, ונקבל מטריצה קצת אחרת.

== תרגיל 2 שאלה 4 ==

איך אני מוצא את המטריצה המייצגת של ההעתקה T?
:כמו שלמדנו ב[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/9|לינארית 1]]. מצא בסיס למרחב (שים לב שזהו מרחב של מטריצות), תפעיל את ההעתקה על הבסיס, שים את הקואורדינטות של התוצאות בעמודות מטריצה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 3 שאלה 3 ==

איך אני מגלה לאן f שולחת?

(לא מתרגל / מרצה) התכוונת ל-f שכתוב ב-<math>T(f)</math>? אם כן, זהו פשוט פולינום כללי ממעלה עד מעלה שלישית --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:43, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 3 ==

יש הבדל בין f לבין <math>f(x)</math>?

(לא מתרגל / מרצה) לא --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:42, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

אם g, h פולינומים, יש דבר כזה <math>g/h</math>
(g חלקי h)?

*כן, זהו חילוק פולינומים. לדוגמא אם ניקח x^2-1 וכן x-1 החילוק שלהם יביא x+1.

== תרגיל 3 שאלה 1 סעיף ג' ==

אפשר ניסוח אחר של השאלה? כי הפתרונות שחשבתי עליהם ממש טריוויאלים ואני לא חושב שלזה התכוונו. --[[משתמש:Avital|Avital]] 18:12, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

מה למדנו על מספרים זרים בתרגול? :)

:אם f,g פולינומים זרים אז קיימים פולינומים a,b כך ש af+bg=1 --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 1 סעיף ב (תרגיל 3) ==

המטריצות בסעיף הזה גם מעל הממשיים?

== תרגיל 3,שאלה 4 ==

סעיף ב

אפשר להוכיח באינדוקציה בלי להשתמש בסעיף א?, כי ככה יצא לי האמת.

בקשר לסעיף ג, מז"א הצגה יחידה עד כדי סקלר?

תודה

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

מעל C, קיימים פולינומים אי - פריקים חוץ מהפולינומים ממעלה 1?

*(לא מתרגל) אמרנו בהרצאה שכל פולינום מתפרק לגורמים '''לינאריים''' מעל C, ולכן התשובה היא לא.

== אפשר אולי להעלות את התרגילי בית מוקדם יותר? ==

נגיד ביום של הגשת התרגיל הקודם או יום אחרי, זה מאוד יעזור.
מצטרף לשאלה.

גם אני מצטרף.... עברו כבר שלושה ימים ועדיין לא עלה התרגיל...

בכלל אם אפשר עדיף לעלות אותם יום-יומיים לפני- כמו בפיזיקה ואז יש יותר משבוע שלם -משהו כמו 9-10 ימים להכין את השיעורים-

ובעיניין התרגיל הנוכחי- תרגיל 4 עדיף לדחות אותו בשבוע לפחות - כי גם ככה אין לנו סיכוי לסיים אותו בזמן

ֿ
אני ממש בעד שהתרגיל יעלה מוקדם יותר באופן קבוע (אולי גם באינפי), זה יכול לחסוך לנו הרבה זמן

== איחור העלאת התרגיל ==

יתנו לנו הארכה על התרגיל הנוכחי ? כבר סוף שבוע והוא עוד לא עלה....

*כבר יום ראשון..(מישהו אחר)

== הבוחן ==

אם אפשר לתת פרטים על הבוחן וקישור לתרגילים, זה ממש יעזור! תודה

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

לא כל כך הבנתי את השאלה זה לא בעצם אומר שהמטריצה היא מטריצת האפס?

צודק, יש טעות בשאלה m(x)=x^2 ולא m(x)=x אני אעלה תיקון בהקדם.

==תרגיל 4 שאלה 3==

הכוונה שנישתמש באלגוריתם לשילוש שלמדנו בתירגול?

לא מרצה/מתרגל. סביר להניח שכן

== תרגיל 4 שאלה 5א ==

מהו תת מרחב g(T) אינווריאנטי?

מצטרף גם כן לשאלה....

*(לא מתרגל) ראינו כי אם g פולינום אז אפשר להציב עליו מטריצות וגם טרנספורמציות. כלומר אם נציב על g את T, נקבל טרנספורמציה g(T). ומכאן אפשר להבין את המונח בדיוק כמו בעבור העתקה רגילה T, רק שפה ההעתקה היא g(T), זה הכל.

מה זאת אומרת להציב טרנפורמציות ??? הכוונה להציב את המטריצה המייצגת שלהם ? וגם אז הכוונה שלכל <math>v</math> ב-<math>W</math> גם <math>g(T(v))</math> נמצא ב-<math>W</math> ?

*אם ניקח פולינום כלשהו, אפשר להציב עליו העתקות לינאריות, באופן הבא:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g(x)={%20a%20}_{%200%20}+{%20a%20}_{%201%20}x+...+{%20a%20}_{%20n%20}{%20x%20}^{%20n%20}\\%20=%3Eg(T)={%20a%20}_{%200%20}I+{%20a%20}_{%201%20}T+...+{%20a%20}_{%20n%20}{%20T%20}^{%20n%20}

כאשר I היא העתקה הזהות, ולדוגמא T בריבוע היא T הרכבה T.
בעצם קיבלנו כפל של העתקות בסקלר => העתקה, וכן חיבור העתקות => העתקה (כי מרחב ההעתקות הוא מרחב וקטורי וסגור לכפל בסקלר וחיבור), כלומר בסה"כ על <math>g(T)</math> היא העתקה.

ואז אפשר להבין את הגדרה בדיוק כמו עבור העתקה T:

W הוא ת"מ <math>g(T)</math> אינווריאנטי אם לכל v ב W מתקיים <math>(g(T))(v)\in W</math>

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

מעל איזה שדה נמצאת המטריצה הנתונה ? מרוכבים ? ממשיים ? ....

*(לא מתרגל) זה לא משנה כל כך לשאלה אני מאמין.

אני דווקא חושב שזה די חשוב...

*באיזשהו מקום אתה צודק, כי אם המרחב הוא Z2 השאלה הופכת לקלילה. אם הוא Z1, כלומר המרחב שמכיל את 0 בלבד, אז היא עוד יותר קלה. ובכל מקרה, יש פתרון שתקף לכל מרחב שתיקח.

*מתי תבינו שאם לא כתוב אז זה אומר שאנחנו מעל R?--[[משתמש:Caspim|Caspim]] 21:25, 22 בנובמבר 2012 (IST)

*(לא מתרגל) נבין מחר. בכל מקרה, יש פתרון שתקף גם מעל C, גם מעל Z2 וגם מעל R, אז לא חייבים להגביל בשדה (אולי דווקא בגלל זה לא רשמו אותו).

== תרגיל 4 שאלה 5 ב' ==

כשרושמים <math>f(T)[W]</math> מתכוונים לזה שמפעילים את כל הוקטורים ב W על ההעתקה?

*(לא מתרגל) הכוונה היא לתמונה של W לפי ההעתקה <math>f(T)</math>

== שאלה 5 ==

בקשר לסעיפים ב,ג
אפשר לקחת איבר כללי ב-W בסעיף ב ובסעיף ג איבר כללי ב-V
ולהראות את ההוכחה על התמונה שלו
או שבאמת צריך לקחת את כל האיברים בתמונה...
תודה

== תרגיל 4 שאלה 5 ==

זה בהנחה ש T הע"ל מ V לעצמו נכון..(?)

*(לא מתרגל) כן, אחרת כל התרגיל לא מוגדר בהכרח (זה כמו להניח שמטריצה A ריבועית).

== דחוף! שאלה בקשר לבוחן (תיכוניסטים) ==

יש מחר בוחן או לא? אם לא, למתי הוא נדחה?
אודה אם יענו לי בהקדם! תודה :)

(לא מתרגל / מרצה) הבוחן נדחה ל-11.12, ההשלמה בחנוכה --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:30, 26 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

מעל איזה שדה T? זה מאד חשוב לפתרון , שכן יכולים להיות פתרונות שונים אם זה מעל C או מעל R...

(לא מתרגל / מרצה) כתוב <math>T:\mathbb{C}^3\rightarrow\mathbb{C}^3</math>, לכן מעל <math>\mathbb{C}</math>. --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:51, 26 בנובמבר 2012 (IST)

== איך מוצאים תתי מרחבים אינווריאנטים? ==

יש אלגוריתם למציאת תתי מרחבים אינווריאנטים?

(לא מתרגל / מרצה) לדעתי לא, אחרת היה ארז היה מעלה אותו ל-math-wiki --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:34, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 2 א' ==

אפשר הסבר למה זה בעצם W1?

???

???

(לא מרצה / מתרגל) ארז אמר שהוא יבדוק מחר ויחזיר תשובה בנושא --[[משתמש:גיא|גיא]] 23:15, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 1 ==

מה זה תתי מרחבים אינווריאנטים תחת כפל ב-A ?

(לא מתרגל / מרצה) דיברנו בהרצאה ובתרגול על תתי מרחבים אינווריאנטיים תחת העתקה מסוימת. אך מלינארית 1 אנו יודעים כי כל העתקה שקולה לכפל במטריצה. הכוונה בתרגיל - במקום העתקה מכפילים את הוקטור במטריצה; <math>V</math> תת מרחב אינווריאנטי תחת כפל ב-<math>A</math> אם לכל <math>\vec{v}\in V</math> מתקיים <math>A\vec{v}\in V</math> --[[משתמש:גיא|גיא]] 12:59, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 1 ==

אני לא מבין את השאלה V ו W הם מרחבים של מטריצות או של וקטורים?
וגם הוקטורים העצמיים יוצאים מרוכבים אז יכול להיות שהם אמורים להיות ממשיים?

(לא מתרגל / מרצה) <math>V,W\subseteq \mathbb{R}^4</math>, לכן הם תתי מרחבים של וקטורי <math>\mathbb{R}^4</math>. נכון, הו"ע וגם הע"ע יוצאים מרוכבים, אך יש לחשוב כיצד לחזור לממשיים עם תתי מרחבים אינווריאנטיים כדרוש --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:33, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 ,שאלה 3 ==

האם אפשר ב-א ישר לתת את המרחבים האלה? והאם מותר להשתמש במרחבים טריוואלים

?

תודה

(לא מתרגל / מרצה) מה הכוונה בלתת ישר את המרחבים האלו ולהשתמש במרחבים טריוויאליים? <math>W</math> נתון לך מעצם השאלה, אתה צריך למצוא לו תת מרחב אחר <math>W'</math> שיקיים את התנאי. אסור להשתמש בדוגמאות ספציפיות - כי <math>W</math> אינו נתון --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:31, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 2 א ==

לא הבנתי מה זה wi זה יוצא ker של מטריצה לא ריבועית...

== תרגיל 5 שאלה 2 א - הסבר ==

העליתי קובץ מתוקן.

== החישובים יוצאים ממש ארוכים.. ==

רק לחשב את הפולינום האופייני של מטריצה 4x4 לקח לי בערך 2 עמודים, שלא לדבר על זה שעכשיו צריך למצוא וקטורים עצמיים בשביל שאלה 1..

איך זה אפשרי שבמבחן יהיה לי זמן לעשות את כל החישובים האלו?

== תחרות כמו בשנה שעברה ==

האם גם השנה, בדומה לשנה שעברה, תיערך תחרות בחנוכה בנושא פתרון תרגילים הקשורים לצורות ז'ורדן?

== ערכים עצמיים ==

האם זה אפשרי שיהיו לי 5 ע"ע שונים (ממשיים) למטריצה ממשית של 4 על 4?

*(לא מתרגל) לא, כי אז הפולינום האופייני הוא ממעלה 5 (לפחות), מה שלא ייתכן.

== מערכי תרגול מעודכנים (תיכוניסטים) ==

אפשר בבקשה להעלות מערכי תרגול בנושאים שלמדנו בהרצאות/תרגולים האחרונים, שעוד לא עלו?

== איך מוכיחים שלמטריצות דומות יש אותו פולינום מינימלי? ==

אני לא הבנתי את ההוכחה שנתנו לנו בתרגול על זה..

*(לא מתרגל)
יהי פולינום f, נסמנו
<math>f(x)=a0+a1x1+...+akx^k</math>

לפי הנתון, קיימת P הפיכה כך שמתקיים <math>P^{-1}AP=B</math>

לכן מתקיים:

<math>P^{-1}f(A)P=P^{-1}(a0I+...+akA^k)P=a0I+a1P^{-1}AP+...+akP^{-1}A^kP=a0I+...+B^k</math>

כאשר נזכור כי לכל i מתקיים <math>B^i=P^{-1}A^iP</math>.

ולכן בסה"כ מתקיים <math>P^{-1}f(A)P=f(B)</math>.

היות והמטריצה P הפיכה, אפשר לאמר כי <math>f(A)=0</math> אם ורק אם <math>f(B)=0</math>, ובמילים - כל פולינום שמאפס את A מאפס גם את B וההיפך.

כעת נביט בפולינום המינימלי של A, נסמנו mA. היות והוא מאפס, הוא יאפס גם את B לפי מה שהוכחנו לעיל, ולכן <math>mA(B)=0</math>. כעת, לפי טענה שהוכחנו, הפולינום המינימלי של B מחלק כל פולינום שמאפס את B, ולכן מתקיים <math>mB(x)|mA(x)</math>.

באופן דומה, היות והפולינום המינימלי של B מאפס את B, הוא גם יאפס את A, ולכן <math>mB(A)=0</math>, ומכאן <math>mA(x)|mB(x)</math>.

בסה"כ שניהם מחלקים זה את ראהו, ושניהם מתוקנים, ולכן שווים.

:הבנתי תודה רבה :)

== שאלה לגבי מבנה הבוחן ==

הבוחן ב11.12 יהיה מורכב מהוכחת משפט או מיישום קבוצת משפטים על מטריצה?

== הפולינום המינימלי של מטריצת אלכסונית בלוקים. ==

מישהו יכול להביא לי את ההוכחה שהפולינום המינימלי של מטריצה אלכסונית בלוקים הוא ה lcm של הפולינומים המינימלים של הבלוקים?

== פתרונות לתרגילים (תיכוניסטים) ==

בבקשה תעלו את הפתרונות של התרגילי בית שנוכל לחזור עליהם לפני הבוחן ולבדוק את הטעויות שלנו.
דגש על הפתרון של תרגיל 5.
אודה לכם אם תעשו זאת עוד לפני שבת! תודה רבה!

== לא מצליח לג'רדן מטריצה ==

איך אמורים לג'רדן את המטריצה:

<math>A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

היא ניליפוטנטית מסדר 2, לכן צריך למצוא את <math>N(A)\cap C(A)</math>, ויצא לי ש <math>Ae_2</math> בסיס ל <math>C(A)</math>, ולכן החלק הראשון של המטריצה המג'רדנת היא
<math>Ae_2, e_2</math>. איך אני אמור להמשיך מפה?

תודה.

*(לא מתרגל) ראינו שצריך למצוא בסיס בצורת מסלול ל<math>N(A)\cap C(A^{ k-1 })</math>. לאחר מכן, להשלים אותו לבסיס עבור <math>N(A)\cap C(A^{ k-2 })</math> וכו' וכו'.
אם הגענו למצב שבו צריך להשלים לבסיס עבור <math>N(A)\cap C(A^{ k-k })=N(A)</math>, פירושו שיהיו בהצגה האלכסונית בלוקי ג'ורדן מהצורה <math>{ J }_{ 1 }(0)</math>, כי הוקטורים עצמם נמצאים <math>N(A)</math>. ואכן, אם תמצא את מרחב האפס תקבל כי הוא מורכב מe1 וכן מהוקטור <math>(0,-1,1)^{ t }</math>. הוקטור e1 כבר מופיע בבסיס הכללי ולכן נשמיט אותו.

לסיכום, הבסיס מתחיל במה שאמרת ומסתיים בוקטור <math>(0,-1,1)^{ t }</math>, וההצגה היא
<math>\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math>

תודה רבה, ועוד שאלה יש דרך לדעת איך תראה כבר המטריצה המג'ורדנת, רק מהתבוננות בפולינום המינימלי והאופייני?

(לא מתרגל / מרצה) אי אפשר ממש לדעת איך בדיוק זה ייראה, אבל אפשר לקבל כיוון לפי החוקים הבאים:
1. הריבוי הגאומטרי של ערך עצמי (של מטריצה A) הוא מספר הבלוקים המתאימים לערך העצמי הזה בצורת ז'ורדן של A.
2. החזקה של הגורם בפולינום המינימלי של A היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים ל- בצורת ז'ורדן של המטריצה.
3. הריבוי האלגברי של בפולינום האופייני הוא סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- בצורת ז'ורדן.
מקווה שעזרתי --[[משתמש:גיא|גיא]] 12:28, 8 בדצמבר 2012 (IST)

מישהו יודע להסביר למה האלגוריתם לז'רדון נילפוטנטי נכון ?

*(לא מתרגל) זה נובע בעיקר מההוכחה של משפט ג'ורדן הנילפוטנטי בקובץ של ד"ר צבאן, וההסבר המלא מתחיל אחרי סעיף 5, עד לסוף של סעיף 5.6. [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/LAT73/JordanAll.pdf]

הרעיון הכללי והבסיסי הוא שאופרטור מוצג לפי בסיס כבלוק ג'ורדן <=> הבסיס הוא מסלול. לכן המטרה היא למצוא בסיס שמורכב ממסלולים. לרוב מסלול אחד לא עושה את העבודה, ויש צורך בכמה מסלולים שייצרו בלוקי ג'ורדן נפרדים. כדי למצוא את הבסיס שמורכב ממסלולים זרים, פועלים לפי האלגוריתם, ובהוכחת טענה 5.6 אפשר להבין למה זה באמת בסיס (בת"ל ופורש). לאחר שהבנו שזה אכן בסיס, ברור לפי הטענה לעיל (אופרטור מוצג לפי בסיס כבלוק ג'ורדן <=> הבסיס הוא מסלול) שנקבל בעצם הצגה בצורה של ג'ורדן - על האלכסון יש בלוקי ג'ורדן, כי כל פעם ההעתקה מוצגת לפי מסלול (לכן גם חשוב הסדר בתוך המסלולים בבסיס, אחרת לא היינו מקבלים צורת ג'ורדן).

== איך אפשר לדעת איך תראה המטריצה המז'ורדנת? ==

אחרי שחישבתי את הבסיס המז'רדן ושמתי אותו בעמודות מטריצה P, איך אני יכול לראות איך תראה המטריצה המז'ורדנת, מבלי למצוא את P^-1 ולהכפיל בינהם?

(לא מתרגל / מרצה) אם כבר מצאת את P, למה כבר לא להכפיל את הכל ולגמור את הסיפור? בכל מקרה, הנה כמה כללים:

1. הריבוי הגאומטרי של ערך עצמי (של מטריצה A) הוא מספר הבלוקים המתאימים לערך העצמי הזה בצורת ז'ורדן של A.

2. החזקה של הגורם בפולינום המינימלי של A היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים ל- בצורת ז'ורדן של המטריצה.

3. הריבוי האלגברי של בפולינום האופייני הוא סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- בצורת ז'ורדן.

בהצלחה בשלישי :) --[[משתמש:גיא|גיא]] 17:06, 9 בדצמבר 2012 (IST)

אבל אם יתנו לנו מטריצה 4x4 שזה יהיה סיפור להפוך אותה. אין אפשרות במהלך הז'ירדון כבר לראות איך המטריצה המז'ורדנת תיראה, מבלי ממש לבדוק (לבדוק את P^-1AP)?

(לא מתרגל / מרצה) אם יבקשו ממך לז'רדן את המטריצה אז תהיה חייב לבצע את כל התהליך, כולל ההפיכה --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:36, 9 בדצמבר 2012 (IST)

אה אוקי... טוב תודה :)

== שאלה לגבי שאלה5 תרגיל 6 ==

מה הכוונה בשאלה 5 כשכתוב "להוכיח את משפט ג'ורדן עבור מטריצות ממשפט ג'ורדן"? לכתוב הוכחה גם עבור מטריצה נילפוטנטית וגם למטריצה כללית (עם ע"ע שונים מ0) ?

*(לא מתרגל) מה שצריך לעשות זה להוכיח את המשפט:
לכל מטריצה ריבועית A כך שהפ"א שלה מל"ל, A דומה למטריצה בצורת ג'ורדן.
לפי התרגיל, צריך לעשות זאת בעזרת משפט ג'ורדן עבור אופרטורים. במילים אחרות - לצאת מנקודת הנחה שהמשפט נכון לאופרטורים, להוכיח בעזרת זה את המשפט עבור מטריצות.

מה זאת אומרת? אפשר פשוט לשים את הבסיס המז'רדן בתור עמודות מטריצה ולהגיד שזה המטריצה המז'רדנת? זה מה שהם רצו שנעשה?

*מי אמר? אם את/ה חושב/ת שזה נכון, מוזמנ/ת להוכיח.

נסתכל על A כשהעתקה לינארית, לפי ההנחה יש לה בסיס מז'רדן (נניח B), נשים את וקטורי B בעמודות מטריצה P, ולפי ההגדרה של דמיון מטריצות (שזה בעצם מעבר בין בסיסים) מקבלים ש A דומה למטריצה עם בלוקי ג'ורדן

*"כשהעתקה הלינארית..." - איזו העתקה לינארית?

"כהעתקה לינארית", בלי ש' טעות שלי P:

== תרגיל 7 שאלה 3 ==

אני חושב שיש טעות בשאלה, מפני שכאשר נתון a,b ממשיים כלשהם צריך לאמר שהם שונים, אחרת האינטגרל הוא תמיד 0, ויוצא שהמ"פ היא פונקציית האפס, שהיא לא מ"פ.

== תרגיל 7 שאלה 1 ==

בשאלה 1 נראה לי שמצאתי הפרכה: יהי <math><w,v>=0 \Leftarrow v=0</math> וזה מתקיים לדוגמא ל- <math>w=(1,1,1,1,1,...,1)\neq 0</math>

*(לא מתרגל) נתון כי הדבר נכון '''לכל''' v בV, לא רק לv יחיד שבחרת.

(לא מתרגל)צריך להוכיח בשאלה שלכל V מתקיים w,v>=0> גורר W=0
ולכן הפרכה של הטענה הזאת היא: שקיים V עבורו w,v>=0> לא גורר W=0.
ולכן הוא הפריך את הטענה הזאת - יש טעות בשאלה הגרירה נכונה רק לכיוון אחד... (וגם אם זה נכון אז כל וקטור מאונך רק ל0...)

*(לא מתרגל) לא נכון, זו לוגיקה בסיסית - ההפרכה היא: אם w שונה מאפס בכל מקרה לכל v בV מתקיים 0=<w,v>. ואת זה אי אפשר להפריך, מוזמנים לנסות.

הטענה שציינת, האומרת שכל וקטור מאונך רק לאפס - שגויה. מדובר פה בווקטור שמאונך '''לכל הווקטורים במרחב''', וכזה הוא רק וקטור האפס. לא תמצא עוד אחד כזה, ואם אני אגיד למה אז אני למעשה פותר את השאלה.

== תרגיל 7 שאלה 3 ==

בשאלה 3 לדעתי חסר נתונים לסעיף א' לפחות, כי בהוכחת האי-שליליות, <math><f,f><0</math> אם מקדמי הפולינום <math>f(x)</math> הם שליליים, או אם <math>a>b</math> וכן הלאה.. כלומר לדעתי צריך להוסיף שם כמה תנאים כדי שההוכחה תהיה נכונה..
לא

== תרגיל 7 שאלה 3 (תיכוניסטים) ==

באי שליליות, איך אני מוכיח שהאינטגרל המסויים הזה תמיד חיובי (או שווה לאפס...)?

== תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם אני בוחר b=1 a=0
וf=x^3-x אז המכפלה הפנימית של f עם עצמו היא0 והוא שונה מ-0

== תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם אני בוחר b=1 a=0
וf=x^3-x אז המכפלה הפנימית של f עם עצמו היא0 והוא שונה מ-0

שיחה:88-113 תשעג סמסטר א

2012-12-21T13:50:24Z

Isis: /* תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגיל (תיכוניסטים) ==

מתי יעלו לנו את התרגיל בלינארית 2 ומתי יום ההגשה שלו?
:התרגיל עלה, הגשה לשבוע הבא. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 שאלה 1 (תיכוניסטים) ==

שכתוב למצוא מרחב עצמי הכוונה למצוא בסיס למרחב העצמי?
:בדיוק --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 2 לתיכוניסטים ==

הפרכה:
נקח את המטריצה מ1ג
ואת הווקטורים (1,1,0-) ו-(1,0,1-) שאינם תלויים לינארית
ונראה ששניהם ו"ע של המטריצה עם ע"ע 0.

:צודק, תקנתי את הטעות בשאלה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אוף ניסיתי יותר מדי זמן להוכיח את זה

== מרחב עצמי ==

מה הכוונה מרחב עצמי? הגדרנו רק ערך עצמי ווקטור עצמי...
:(לא מרצה/מתרגל) מרחב עצמי זה קבוצת כל הווקטורים העצמיים עם ווקטור האפס(שהרי ע"פי ההגדרה הוא לא ווקטור עצמי). ניתן להוכיח בקלות שקבוצה זו מקיימת סגירות לחיבור, וכפל בסקלר. היא מכילה את ווקטור האפס ולכן היא מרחב.
:אם תבין את הכתב שלי אז יש שם הגדרה של המרחב + הוכחה קצרה:
:[[קובץ:3.jpg|200px|thumb|left|עמוד שלישי של התרגול הראשון]]
:--[[משתמש:Avital|Avital]] 21:56, 25 באוקטובר 2012 (IST)

== לא הבנתי משהו בתרגול ==

רשמנו בתרגיל:
"כל המטריצות הדומות מייצגות את אותה העתקה לינארית בבסיסים שונים"

אפשר הסבר למשפט הזה?

*(לא מתרגל) אמרנו (אי שם בלינארית 1) שכל העתקה אפשר להציג בתור מטריצה ביחס לבסיסים מסוימים, וההפך - כל מטריצה מייצגת העתקה, ביחס לבסיסים מסוימים.
יש טענה כזו שאומרת שכל שתי מטריצות שמייצגות אותה העתקה ביחס לבסיסים שונים, הן דומות. כלומר, קיימת P הפיכה כך ש:
http://up357.siz.co.il/up1/3zjymrewzmyd.png

מצד שני, הטענה ההפוכה היא: אם ניקח שתי מטריצות דומות, אפשר למצוא העתקה לינארית, וכן ארבעה בסיסים כך שהמטריצות המייצגות ביחס לבסיסים יהיו שוות לאותן המטריצות הדומות.

ומה זה נותן לי, שהמטריצות הללו מייצגות את אותה הע"ל בבסיסים שונים?

:העובדה שמטריצות דומות מייצגות את אותה העתקה לינארית עוזרת באופן הבא- אם יש לך מטריצה כלשהי המייצגת העתקה, היית מעדיף למצוא מטריצה דומה לה (כלומר מייצגת את אותה ההעתקה) שהיא פשוטה יותר. למשל אם המטריצה הדומה היא אלכסונית, אז ההעתקה סה"כ כופלת כל איבר בבסיס מסויים בסקלר --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אז הרעיון במטריצות דומות זה בעצם להפוך את המטריצה למטריצה "יפה" יותר, שממנה יותר קל לראות מה ההעתקה עושה?

:אכן זה אחד הרעיונות המרכזיים של הקורס (לכסון, שילוש, ז'ורדן) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 שאלה 3 ==

האם אפשר להניח שלכל i, ה-x במקום i שונה מאפס? (זה נחוץ לחישוב הדטרמיננטה)

(לא מתרגל) אני אישית הפרדתי באופן זה או אחר. נסה/י לראות מה יקרה אם Xi שווה אפס, ותנסה/י "להיפטר" ממקרה זה בחישוב הדט' שאת/ה מנסה לחשב.

== תרגיל 2 ==

אפשר הסבר לשאלה 2? למה בדיוק הכוונה ב- T משקפת נקודות ביחס לישר y=kx?

נראה לי שזה אומר שכאילו שמים מראה על הישר y=kx וזה מעביר את כל הנקודות לצד השני שלו כשהן נשארות באותו מרחק ממנו ביחס לאותה נקודה שלו

אפשר למצוא את התוצאה עם אנך ואמצע קטע כמו בגיאומטריה אנליטית

מקווה שעזרתי בינתיים אבל עדיף לחכות לתשובה של מתרגל

:נכון, שיקוף זו פעולה של מראה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

* למה בדיוק הכוונה? איך אני רושם את T של וקטור (x,y) במפורש?

:זו בדיוק השאלה. כמו שענו לך למעלה, מכל נקודה אתה מעביר אנך לקו הישר ושולח אותה לנקודה על האנך מאותו המרחק בצד השני של הישר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אתה יכול להביא דוגמא מספרית?

*קצת קשה לראות כאן דוגמא מספרית, כי צריך לעשות הרבה עבודה כדי להגיע לזה, ואין לזה הרבה משמעות. פשוט לוקחים את הישר kx ונקודה כלשהי, מעבירים ממנה אנך לישר kx. לנקודה הזו יש מרחק מהישר. אז ניקח את הנקודה על הישר המאונך לkx, בצד השני של הישר, שהיא במרחק זהה. זה הכל.

== תרגיל 2 ==

בשאלה 2, מה זה L? --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:14, 31 באוקטובר 2012 (IST)
:זו טעות. הכוונה לT --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 4 ==

מה ההתקה בדיוק עושה למטריצה ? לא ברור... זה נראה כאילו היא לוקחת כל מטריצה 2 על 2 והופכת אותה למטריצה מסויימת שכתובה בתרגיל כאילו וקטור עצמי זה מטריצה בכלל ?

תודה

:כן, במקרה של ההעתקה מעל מרחב המטריצות, הוקטורים הם מטריצות. ולכן וקטור עצמי יהיה מטריצה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 3 ==

בסעיף א', מה זאת אומרת הערכים העצמיים של A שונים זה מזה, מן הסתם שהם שונים לא?
:הכוונה היא שיש n ערכים עצמיים שונים --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

כש n זה הגודל של המטריצה נכון?

:נכון --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 2 (תיכוניסטים) ==

האם מוצר להשתמש במה שלמדנו בתיכון בגאומטריה אנליטית (מרחק בין 2 נקודות, מרחק בין נקודה לישר, אם m שיפוע של ישר אז שיפוע הישר האנך לו הוא (1-)^m וכו) ?

אתה יכול להסביר לי מה מבקשים בכלל בתרגיל? מה זאת אומרת "משקפת"?

:מצורף '''[[מדיה:שיקוף ביחס לישר - הסבר.jpeg|איור]]''' המתאר למה הכוונה בשיקוף. האיור לקוח מתוך הקורס בגיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית, סמסטר א תשע"ב (ואויר על ידי המתרגלת, אנה זרך). מקווה שזה עוזר. [[משתמש:gordo6|גל]].

אז מה שהשיקוף עושה, זה להעביר מהנקודה אנך לישר, ואז ממשיכים את האנך הזה כאורכו, ואז הנקודה שהוא מגיעה אליה, זה השיקוף?

:בהחלט. זה העקרון על פיו מוצאים את הדמות במראה (באופטיקה, אם למדת בתיכון), ובעצם כאן y=kx הוא המראה שלך.

== שאלה כללית ==

אם יש לי ע"ע כלשהו, והמטריצה A-xI יוצאת הפיכה, אז אין וקטור עצמי עבור הערך העצמי הזה ? כי למרחב האפס של המטריצה יש רק פתרון טריוויאלי ?

:לא ייתכן שעבור ע"ע x המטריצה A-xI תהא הפיכה. הרי ע"ע מאפס את הפולינום האופייני - הוא הדטרמיננטה של מטריצה זו. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 5 ==

כתוב למצוא בסיס למרחב העצמי הנתון. איזה מרחב עצמי נתון ?
:אני מניח שהכוונה למרחב העצמי לע"ע 1... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 2 ==

מה זה אומר שצריך למצוא הצגה אלכסונית D? מה זאת אומרת?

נ.ב כשמבקשים להוכיח האם T לכסינה, זה בעצם להראות שהמטריצה המייצגת שלה לפי בסיסים כלשהם, לכסינה?

*בנוגע לנ.ב. - כן, זהו משפט שראינו בהרצאה. עכשיו בנוגע לשאלה הראשונה - לאחר שמצאת האם T לפי בסיס כלשהו לכסינה, אתה צריך למצוא את המטריצה האלכסונית שלה היא דומה.

אז כשרוצים למצוא את D, צריך למצוא את המטריצה או את ההעתקה עצמה?

* כשאומרים למצוא את D, הכוונה היא שתרשום את המטריצה האלכסונית הזו שאתה מחפש.

ואיך אמורים למצוא את הבסיס הזה?

*לפי תרגיל שראינו בהרצאה, T לפי הבסיס B היא אלכסונית <=> הבסיס B מורכב מ-n ו"ע בת"ל של T.

אוקי, ואם לדוגמא T לכסינה, זה אומר שלכל בסיס B, המטריצה המייצגת את T לפי B היא אלכסונית? או שרק קיים בסיס כזה?

:רק שקיים בסיס כזה, אחרת אין משמעות לפעולת הלכסון. פעולת הלכסון היא בדיוק מציאת הבסיס לפי המטריצה אלכסונית (כאשר מסתכלים גם על מטריצה רגילה כהעתקה לינארית) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

* חשוב גם לאמר שיש יותר מאופציה אחת, כי אם נשנה את הסדר של הוקטורים בבסיס שמצאנו, נקבל בסיס סדור אחר, שגם הוא יתאים. מה שיקרה זה שבסה"כ הע"ע יחליפו מקומות על האלכסון במטריצה המייצגת, ונקבל מטריצה קצת אחרת.

== תרגיל 2 שאלה 4 ==

איך אני מוצא את המטריצה המייצגת של ההעתקה T?
:כמו שלמדנו ב[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/9|לינארית 1]]. מצא בסיס למרחב (שים לב שזהו מרחב של מטריצות), תפעיל את ההעתקה על הבסיס, שים את הקואורדינטות של התוצאות בעמודות מטריצה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 3 שאלה 3 ==

איך אני מגלה לאן f שולחת?

(לא מתרגל / מרצה) התכוונת ל-f שכתוב ב-<math>T(f)</math>? אם כן, זהו פשוט פולינום כללי ממעלה עד מעלה שלישית --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:43, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 3 ==

יש הבדל בין f לבין <math>f(x)</math>?

(לא מתרגל / מרצה) לא --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:42, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

אם g, h פולינומים, יש דבר כזה <math>g/h</math>
(g חלקי h)?

*כן, זהו חילוק פולינומים. לדוגמא אם ניקח x^2-1 וכן x-1 החילוק שלהם יביא x+1.

== תרגיל 3 שאלה 1 סעיף ג' ==

אפשר ניסוח אחר של השאלה? כי הפתרונות שחשבתי עליהם ממש טריוויאלים ואני לא חושב שלזה התכוונו. --[[משתמש:Avital|Avital]] 18:12, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

מה למדנו על מספרים זרים בתרגול? :)

:אם f,g פולינומים זרים אז קיימים פולינומים a,b כך ש af+bg=1 --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 1 סעיף ב (תרגיל 3) ==

המטריצות בסעיף הזה גם מעל הממשיים?

== תרגיל 3,שאלה 4 ==

סעיף ב

אפשר להוכיח באינדוקציה בלי להשתמש בסעיף א?, כי ככה יצא לי האמת.

בקשר לסעיף ג, מז"א הצגה יחידה עד כדי סקלר?

תודה

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

מעל C, קיימים פולינומים אי - פריקים חוץ מהפולינומים ממעלה 1?

*(לא מתרגל) אמרנו בהרצאה שכל פולינום מתפרק לגורמים '''לינאריים''' מעל C, ולכן התשובה היא לא.

== אפשר אולי להעלות את התרגילי בית מוקדם יותר? ==

נגיד ביום של הגשת התרגיל הקודם או יום אחרי, זה מאוד יעזור.
מצטרף לשאלה.

גם אני מצטרף.... עברו כבר שלושה ימים ועדיין לא עלה התרגיל...

בכלל אם אפשר עדיף לעלות אותם יום-יומיים לפני- כמו בפיזיקה ואז יש יותר משבוע שלם -משהו כמו 9-10 ימים להכין את השיעורים-

ובעיניין התרגיל הנוכחי- תרגיל 4 עדיף לדחות אותו בשבוע לפחות - כי גם ככה אין לנו סיכוי לסיים אותו בזמן

ֿ
אני ממש בעד שהתרגיל יעלה מוקדם יותר באופן קבוע (אולי גם באינפי), זה יכול לחסוך לנו הרבה זמן

== איחור העלאת התרגיל ==

יתנו לנו הארכה על התרגיל הנוכחי ? כבר סוף שבוע והוא עוד לא עלה....

*כבר יום ראשון..(מישהו אחר)

== הבוחן ==

אם אפשר לתת פרטים על הבוחן וקישור לתרגילים, זה ממש יעזור! תודה

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

לא כל כך הבנתי את השאלה זה לא בעצם אומר שהמטריצה היא מטריצת האפס?

צודק, יש טעות בשאלה m(x)=x^2 ולא m(x)=x אני אעלה תיקון בהקדם.

==תרגיל 4 שאלה 3==

הכוונה שנישתמש באלגוריתם לשילוש שלמדנו בתירגול?

לא מרצה/מתרגל. סביר להניח שכן

== תרגיל 4 שאלה 5א ==

מהו תת מרחב g(T) אינווריאנטי?

מצטרף גם כן לשאלה....

*(לא מתרגל) ראינו כי אם g פולינום אז אפשר להציב עליו מטריצות וגם טרנספורמציות. כלומר אם נציב על g את T, נקבל טרנספורמציה g(T). ומכאן אפשר להבין את המונח בדיוק כמו בעבור העתקה רגילה T, רק שפה ההעתקה היא g(T), זה הכל.

מה זאת אומרת להציב טרנפורמציות ??? הכוונה להציב את המטריצה המייצגת שלהם ? וגם אז הכוונה שלכל <math>v</math> ב-<math>W</math> גם <math>g(T(v))</math> נמצא ב-<math>W</math> ?

*אם ניקח פולינום כלשהו, אפשר להציב עליו העתקות לינאריות, באופן הבא:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g(x)={%20a%20}_{%200%20}+{%20a%20}_{%201%20}x+...+{%20a%20}_{%20n%20}{%20x%20}^{%20n%20}\\%20=%3Eg(T)={%20a%20}_{%200%20}I+{%20a%20}_{%201%20}T+...+{%20a%20}_{%20n%20}{%20T%20}^{%20n%20}

כאשר I היא העתקה הזהות, ולדוגמא T בריבוע היא T הרכבה T.
בעצם קיבלנו כפל של העתקות בסקלר => העתקה, וכן חיבור העתקות => העתקה (כי מרחב ההעתקות הוא מרחב וקטורי וסגור לכפל בסקלר וחיבור), כלומר בסה"כ על <math>g(T)</math> היא העתקה.

ואז אפשר להבין את הגדרה בדיוק כמו עבור העתקה T:

W הוא ת"מ <math>g(T)</math> אינווריאנטי אם לכל v ב W מתקיים <math>(g(T))(v)\in W</math>

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

מעל איזה שדה נמצאת המטריצה הנתונה ? מרוכבים ? ממשיים ? ....

*(לא מתרגל) זה לא משנה כל כך לשאלה אני מאמין.

אני דווקא חושב שזה די חשוב...

*באיזשהו מקום אתה צודק, כי אם המרחב הוא Z2 השאלה הופכת לקלילה. אם הוא Z1, כלומר המרחב שמכיל את 0 בלבד, אז היא עוד יותר קלה. ובכל מקרה, יש פתרון שתקף לכל מרחב שתיקח.

*מתי תבינו שאם לא כתוב אז זה אומר שאנחנו מעל R?--[[משתמש:Caspim|Caspim]] 21:25, 22 בנובמבר 2012 (IST)

*(לא מתרגל) נבין מחר. בכל מקרה, יש פתרון שתקף גם מעל C, גם מעל Z2 וגם מעל R, אז לא חייבים להגביל בשדה (אולי דווקא בגלל זה לא רשמו אותו).

== תרגיל 4 שאלה 5 ב' ==

כשרושמים <math>f(T)[W]</math> מתכוונים לזה שמפעילים את כל הוקטורים ב W על ההעתקה?

*(לא מתרגל) הכוונה היא לתמונה של W לפי ההעתקה <math>f(T)</math>

== שאלה 5 ==

בקשר לסעיפים ב,ג
אפשר לקחת איבר כללי ב-W בסעיף ב ובסעיף ג איבר כללי ב-V
ולהראות את ההוכחה על התמונה שלו
או שבאמת צריך לקחת את כל האיברים בתמונה...
תודה

== תרגיל 4 שאלה 5 ==

זה בהנחה ש T הע"ל מ V לעצמו נכון..(?)

*(לא מתרגל) כן, אחרת כל התרגיל לא מוגדר בהכרח (זה כמו להניח שמטריצה A ריבועית).

== דחוף! שאלה בקשר לבוחן (תיכוניסטים) ==

יש מחר בוחן או לא? אם לא, למתי הוא נדחה?
אודה אם יענו לי בהקדם! תודה :)

(לא מתרגל / מרצה) הבוחן נדחה ל-11.12, ההשלמה בחנוכה --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:30, 26 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

מעל איזה שדה T? זה מאד חשוב לפתרון , שכן יכולים להיות פתרונות שונים אם זה מעל C או מעל R...

(לא מתרגל / מרצה) כתוב <math>T:\mathbb{C}^3\rightarrow\mathbb{C}^3</math>, לכן מעל <math>\mathbb{C}</math>. --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:51, 26 בנובמבר 2012 (IST)

== איך מוצאים תתי מרחבים אינווריאנטים? ==

יש אלגוריתם למציאת תתי מרחבים אינווריאנטים?

(לא מתרגל / מרצה) לדעתי לא, אחרת היה ארז היה מעלה אותו ל-math-wiki --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:34, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 2 א' ==

אפשר הסבר למה זה בעצם W1?

???

???

(לא מרצה / מתרגל) ארז אמר שהוא יבדוק מחר ויחזיר תשובה בנושא --[[משתמש:גיא|גיא]] 23:15, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 1 ==

מה זה תתי מרחבים אינווריאנטים תחת כפל ב-A ?

(לא מתרגל / מרצה) דיברנו בהרצאה ובתרגול על תתי מרחבים אינווריאנטיים תחת העתקה מסוימת. אך מלינארית 1 אנו יודעים כי כל העתקה שקולה לכפל במטריצה. הכוונה בתרגיל - במקום העתקה מכפילים את הוקטור במטריצה; <math>V</math> תת מרחב אינווריאנטי תחת כפל ב-<math>A</math> אם לכל <math>\vec{v}\in V</math> מתקיים <math>A\vec{v}\in V</math> --[[משתמש:גיא|גיא]] 12:59, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 1 ==

אני לא מבין את השאלה V ו W הם מרחבים של מטריצות או של וקטורים?
וגם הוקטורים העצמיים יוצאים מרוכבים אז יכול להיות שהם אמורים להיות ממשיים?

(לא מתרגל / מרצה) <math>V,W\subseteq \mathbb{R}^4</math>, לכן הם תתי מרחבים של וקטורי <math>\mathbb{R}^4</math>. נכון, הו"ע וגם הע"ע יוצאים מרוכבים, אך יש לחשוב כיצד לחזור לממשיים עם תתי מרחבים אינווריאנטיים כדרוש --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:33, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 ,שאלה 3 ==

האם אפשר ב-א ישר לתת את המרחבים האלה? והאם מותר להשתמש במרחבים טריוואלים

?

תודה

(לא מתרגל / מרצה) מה הכוונה בלתת ישר את המרחבים האלו ולהשתמש במרחבים טריוויאליים? <math>W</math> נתון לך מעצם השאלה, אתה צריך למצוא לו תת מרחב אחר <math>W'</math> שיקיים את התנאי. אסור להשתמש בדוגמאות ספציפיות - כי <math>W</math> אינו נתון --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:31, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 2 א ==

לא הבנתי מה זה wi זה יוצא ker של מטריצה לא ריבועית...

== תרגיל 5 שאלה 2 א - הסבר ==

העליתי קובץ מתוקן.

== החישובים יוצאים ממש ארוכים.. ==

רק לחשב את הפולינום האופייני של מטריצה 4x4 לקח לי בערך 2 עמודים, שלא לדבר על זה שעכשיו צריך למצוא וקטורים עצמיים בשביל שאלה 1..

איך זה אפשרי שבמבחן יהיה לי זמן לעשות את כל החישובים האלו?

== תחרות כמו בשנה שעברה ==

האם גם השנה, בדומה לשנה שעברה, תיערך תחרות בחנוכה בנושא פתרון תרגילים הקשורים לצורות ז'ורדן?

== ערכים עצמיים ==

האם זה אפשרי שיהיו לי 5 ע"ע שונים (ממשיים) למטריצה ממשית של 4 על 4?

*(לא מתרגל) לא, כי אז הפולינום האופייני הוא ממעלה 5 (לפחות), מה שלא ייתכן.

== מערכי תרגול מעודכנים (תיכוניסטים) ==

אפשר בבקשה להעלות מערכי תרגול בנושאים שלמדנו בהרצאות/תרגולים האחרונים, שעוד לא עלו?

== איך מוכיחים שלמטריצות דומות יש אותו פולינום מינימלי? ==

אני לא הבנתי את ההוכחה שנתנו לנו בתרגול על זה..

*(לא מתרגל)
יהי פולינום f, נסמנו
<math>f(x)=a0+a1x1+...+akx^k</math>

לפי הנתון, קיימת P הפיכה כך שמתקיים <math>P^{-1}AP=B</math>

לכן מתקיים:

<math>P^{-1}f(A)P=P^{-1}(a0I+...+akA^k)P=a0I+a1P^{-1}AP+...+akP^{-1}A^kP=a0I+...+B^k</math>

כאשר נזכור כי לכל i מתקיים <math>B^i=P^{-1}A^iP</math>.

ולכן בסה"כ מתקיים <math>P^{-1}f(A)P=f(B)</math>.

היות והמטריצה P הפיכה, אפשר לאמר כי <math>f(A)=0</math> אם ורק אם <math>f(B)=0</math>, ובמילים - כל פולינום שמאפס את A מאפס גם את B וההיפך.

כעת נביט בפולינום המינימלי של A, נסמנו mA. היות והוא מאפס, הוא יאפס גם את B לפי מה שהוכחנו לעיל, ולכן <math>mA(B)=0</math>. כעת, לפי טענה שהוכחנו, הפולינום המינימלי של B מחלק כל פולינום שמאפס את B, ולכן מתקיים <math>mB(x)|mA(x)</math>.

באופן דומה, היות והפולינום המינימלי של B מאפס את B, הוא גם יאפס את A, ולכן <math>mB(A)=0</math>, ומכאן <math>mA(x)|mB(x)</math>.

בסה"כ שניהם מחלקים זה את ראהו, ושניהם מתוקנים, ולכן שווים.

:הבנתי תודה רבה :)

== שאלה לגבי מבנה הבוחן ==

הבוחן ב11.12 יהיה מורכב מהוכחת משפט או מיישום קבוצת משפטים על מטריצה?

== הפולינום המינימלי של מטריצת אלכסונית בלוקים. ==

מישהו יכול להביא לי את ההוכחה שהפולינום המינימלי של מטריצה אלכסונית בלוקים הוא ה lcm של הפולינומים המינימלים של הבלוקים?

== פתרונות לתרגילים (תיכוניסטים) ==

בבקשה תעלו את הפתרונות של התרגילי בית שנוכל לחזור עליהם לפני הבוחן ולבדוק את הטעויות שלנו.
דגש על הפתרון של תרגיל 5.
אודה לכם אם תעשו זאת עוד לפני שבת! תודה רבה!

== לא מצליח לג'רדן מטריצה ==

איך אמורים לג'רדן את המטריצה:

<math>A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

היא ניליפוטנטית מסדר 2, לכן צריך למצוא את <math>N(A)\cap C(A)</math>, ויצא לי ש <math>Ae_2</math> בסיס ל <math>C(A)</math>, ולכן החלק הראשון של המטריצה המג'רדנת היא
<math>Ae_2, e_2</math>. איך אני אמור להמשיך מפה?

תודה.

*(לא מתרגל) ראינו שצריך למצוא בסיס בצורת מסלול ל<math>N(A)\cap C(A^{ k-1 })</math>. לאחר מכן, להשלים אותו לבסיס עבור <math>N(A)\cap C(A^{ k-2 })</math> וכו' וכו'.
אם הגענו למצב שבו צריך להשלים לבסיס עבור <math>N(A)\cap C(A^{ k-k })=N(A)</math>, פירושו שיהיו בהצגה האלכסונית בלוקי ג'ורדן מהצורה <math>{ J }_{ 1 }(0)</math>, כי הוקטורים עצמם נמצאים <math>N(A)</math>. ואכן, אם תמצא את מרחב האפס תקבל כי הוא מורכב מe1 וכן מהוקטור <math>(0,-1,1)^{ t }</math>. הוקטור e1 כבר מופיע בבסיס הכללי ולכן נשמיט אותו.

לסיכום, הבסיס מתחיל במה שאמרת ומסתיים בוקטור <math>(0,-1,1)^{ t }</math>, וההצגה היא
<math>\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math>

תודה רבה, ועוד שאלה יש דרך לדעת איך תראה כבר המטריצה המג'ורדנת, רק מהתבוננות בפולינום המינימלי והאופייני?

(לא מתרגל / מרצה) אי אפשר ממש לדעת איך בדיוק זה ייראה, אבל אפשר לקבל כיוון לפי החוקים הבאים:
1. הריבוי הגאומטרי של ערך עצמי (של מטריצה A) הוא מספר הבלוקים המתאימים לערך העצמי הזה בצורת ז'ורדן של A.
2. החזקה של הגורם בפולינום המינימלי של A היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים ל- בצורת ז'ורדן של המטריצה.
3. הריבוי האלגברי של בפולינום האופייני הוא סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- בצורת ז'ורדן.
מקווה שעזרתי --[[משתמש:גיא|גיא]] 12:28, 8 בדצמבר 2012 (IST)

מישהו יודע להסביר למה האלגוריתם לז'רדון נילפוטנטי נכון ?

*(לא מתרגל) זה נובע בעיקר מההוכחה של משפט ג'ורדן הנילפוטנטי בקובץ של ד"ר צבאן, וההסבר המלא מתחיל אחרי סעיף 5, עד לסוף של סעיף 5.6. [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/LAT73/JordanAll.pdf]

הרעיון הכללי והבסיסי הוא שאופרטור מוצג לפי בסיס כבלוק ג'ורדן <=> הבסיס הוא מסלול. לכן המטרה היא למצוא בסיס שמורכב ממסלולים. לרוב מסלול אחד לא עושה את העבודה, ויש צורך בכמה מסלולים שייצרו בלוקי ג'ורדן נפרדים. כדי למצוא את הבסיס שמורכב ממסלולים זרים, פועלים לפי האלגוריתם, ובהוכחת טענה 5.6 אפשר להבין למה זה באמת בסיס (בת"ל ופורש). לאחר שהבנו שזה אכן בסיס, ברור לפי הטענה לעיל (אופרטור מוצג לפי בסיס כבלוק ג'ורדן <=> הבסיס הוא מסלול) שנקבל בעצם הצגה בצורה של ג'ורדן - על האלכסון יש בלוקי ג'ורדן, כי כל פעם ההעתקה מוצגת לפי מסלול (לכן גם חשוב הסדר בתוך המסלולים בבסיס, אחרת לא היינו מקבלים צורת ג'ורדן).

== איך אפשר לדעת איך תראה המטריצה המז'ורדנת? ==

אחרי שחישבתי את הבסיס המז'רדן ושמתי אותו בעמודות מטריצה P, איך אני יכול לראות איך תראה המטריצה המז'ורדנת, מבלי למצוא את P^-1 ולהכפיל בינהם?

(לא מתרגל / מרצה) אם כבר מצאת את P, למה כבר לא להכפיל את הכל ולגמור את הסיפור? בכל מקרה, הנה כמה כללים:

1. הריבוי הגאומטרי של ערך עצמי (של מטריצה A) הוא מספר הבלוקים המתאימים לערך העצמי הזה בצורת ז'ורדן של A.

2. החזקה של הגורם בפולינום המינימלי של A היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים ל- בצורת ז'ורדן של המטריצה.

3. הריבוי האלגברי של בפולינום האופייני הוא סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- בצורת ז'ורדן.

בהצלחה בשלישי :) --[[משתמש:גיא|גיא]] 17:06, 9 בדצמבר 2012 (IST)

אבל אם יתנו לנו מטריצה 4x4 שזה יהיה סיפור להפוך אותה. אין אפשרות במהלך הז'ירדון כבר לראות איך המטריצה המז'ורדנת תיראה, מבלי ממש לבדוק (לבדוק את P^-1AP)?

(לא מתרגל / מרצה) אם יבקשו ממך לז'רדן את המטריצה אז תהיה חייב לבצע את כל התהליך, כולל ההפיכה --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:36, 9 בדצמבר 2012 (IST)

אה אוקי... טוב תודה :)

== שאלה לגבי שאלה5 תרגיל 6 ==

מה הכוונה בשאלה 5 כשכתוב "להוכיח את משפט ג'ורדן עבור מטריצות ממשפט ג'ורדן"? לכתוב הוכחה גם עבור מטריצה נילפוטנטית וגם למטריצה כללית (עם ע"ע שונים מ0) ?

*(לא מתרגל) מה שצריך לעשות זה להוכיח את המשפט:
לכל מטריצה ריבועית A כך שהפ"א שלה מל"ל, A דומה למטריצה בצורת ג'ורדן.
לפי התרגיל, צריך לעשות זאת בעזרת משפט ג'ורדן עבור אופרטורים. במילים אחרות - לצאת מנקודת הנחה שהמשפט נכון לאופרטורים, להוכיח בעזרת זה את המשפט עבור מטריצות.

מה זאת אומרת? אפשר פשוט לשים את הבסיס המז'רדן בתור עמודות מטריצה ולהגיד שזה המטריצה המז'רדנת? זה מה שהם רצו שנעשה?

*מי אמר? אם את/ה חושב/ת שזה נכון, מוזמנ/ת להוכיח.

נסתכל על A כשהעתקה לינארית, לפי ההנחה יש לה בסיס מז'רדן (נניח B), נשים את וקטורי B בעמודות מטריצה P, ולפי ההגדרה של דמיון מטריצות (שזה בעצם מעבר בין בסיסים) מקבלים ש A דומה למטריצה עם בלוקי ג'ורדן

*"כשהעתקה הלינארית..." - איזו העתקה לינארית?

"כהעתקה לינארית", בלי ש' טעות שלי P:

== תרגיל 7 שאלה 3 ==

אני חושב שיש טעות בשאלה, מפני שכאשר נתון a,b ממשיים כלשהם צריך לאמר שהם שונים, אחרת האינטגרל הוא תמיד 0, ויוצא שהמ"פ היא פונקציית האפס, שהיא לא מ"פ.

== תרגיל 7 שאלה 1 ==

בשאלה 1 נראה לי שמצאתי הפרכה: יהי <math><w,v>=0 \Leftarrow v=0</math> וזה מתקיים לדוגמא ל- <math>w=(1,1,1,1,1,...,1)\neq 0</math>

*(לא מתרגל) נתון כי הדבר נכון '''לכל''' v בV, לא רק לv יחיד שבחרת.

(לא מתרגל)צריך להוכיח בשאלה שלכל V מתקיים w,v>=0> גורר W=0
ולכן הפרכה של הטענה הזאת היא: שקיים V עבורו w,v>=0> לא גורר W=0.
ולכן הוא הפריך את הטענה הזאת - יש טעות בשאלה הגרירה נכונה רק לכיוון אחד... (וגם אם זה נכון אז כל וקטור מאונך רק ל0...)

*(לא מתרגל) לא נכון, זו לוגיקה בסיסית - ההפרכה היא: אם w שונה מאפס בכל מקרה לכל v בV מתקיים 0=<w,v>. ואת זה אי אפשר להפריך, מוזמנים לנסות.

הטענה שציינת, האומרת שכל וקטור מאונך רק לאפס - שגויה. מדובר פה בווקטור שמאונך '''לכל הווקטורים במרחב''', וכזה הוא רק וקטור האפס. לא תמצא עוד אחד כזה, ואם אני אגיד למה אז אני למעשה פותר את השאלה.

== תרגיל 7 שאלה 3 ==

בשאלה 3 לדעתי חסר נתונים לסעיף א' לפחות, כי בהוכחת האי-שליליות, <math><f,f><0</math> אם מקדמי הפולינום <math>f(x)</math> הם שליליים, או אם <math>a>b</math> וכן הלאה.. כלומר לדעתי צריך להוסיף שם כמה תנאים כדי שההוכחה תהיה נכונה..
לא

== תרגיל 7 שאלה 3 (תיכוניסטים) ==

באי שליליות, איך אני מוכיח שהאינטגרל המסויים הזה תמיד חיובי (או שווה לאפס...)?

== תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם אני בוחר b=1 a=0
וf=x^3-x אז המכפלה הפנימית של f עם עצמו היא0 והוא שונה מ-0

שיחה:88-113 תשעג סמסטר א

2012-10-31T18:40:50Z

Isis: /* תרגיל 2 */

שיחה:88-113 תשעג סמסטר א

2012-10-31T18:40:08Z

Isis: /* תרגיל 2 */

שיחה:88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב

2012-08-14T20:01:16Z

Isis: /* תרגיל 5 שאלה 11ג */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תשובה במשוואה מרוכבת ==

<nowiki>טקסט לא מעוצב</nowiki>
האם פתרון של משוואה מרוכבת יכול לצאת עם שורש i ?

תשובה: הפתרון (או פתרונות) למשוואה מרוכבת צריך להיות מוצג בצורה <math>a+bi</math> כאשר <math>a,b\in \mathbb{R}</math>.

בלי שורש <math>i</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:02, 16 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 7 בתרגיל 1, טקסט לא מובן ==

האם הנקודה האחרונה היא (t,4)?
אם כן, האם צריך לבטא בעזרת הפרמטר t ?

תשובה: אכן, הנקודה האחרונה היא <math>(t,4)</math>.
יש לבטא את התשובה באמצעות <math>t</math> ולשים לב לאפשרויות השונות שיכולות להיות. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:53, 16 ביולי 2012 (IDT)

== מערכת משוואות ==

האם אני חייב לפתור את המערכת משוואות בעזרת מטריצה או שאני יכול לפתור אותן בדרך הישנה כמו שמלמדים בתיכון (בדרך של הצבה). (שאלות 7-9)

תשובה: המטרה היא לתרגל דירוג מטריצות, אז כן, צריך להשתמש במטריצות. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:33, 17 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 1 שאלה 9 ==

אין שום הבדל בין שאלה 8 ל9 מבחינת דרך הפיתרון (רק השדה שונה) . צריך לפתור את שאלה 9 בדרך שונה משאלה 8? או לפתור אותה בדיוק כמו שאלה 8?

תשובה:
אני לא יכול להגיד באיזה דרך צריך לפתור.

צריך לפתור את שאלה 9 ולהגיע לתשובה נכונה.

אם נראה לך שאותה דרך של שאלה 8 עובדת בשאלה 9, אז תשתמש באותה דרך.

אם נראה לך שאותה דרך של שאלה 8 לא עובדת, אז תשתמש בדרך אחרת.

--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:31, 19 ביולי 2012 (IDT)

== כמה שאלות לגבי התרגילים ==

1. האם אני צריך להראות את צורת הפתרון הסופי כאשר יש אינסוף פתרונות?
2. האם אני יכול להניח ב8 ש <math>b</math> שונה מאפס?
3. איך אני אמור לפתור את 9 אם אני לא יודע אם a גדול או קטן מ7 (מבחינת מודול)

כמה תשובות:

1) כן.

2) לא. אבל אתה יכול להפריד למקרים.

3) זה לא ממש אמור לשנות לך. <math>a</math> הוא איבר של <math>\mathbb{Z}_7</math>. בכל מקרה במודולו <math>7</math> הוא שווה לאחד מ
<math>\{0,1,\ldots,6\}</math>
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:25, 19 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל בית 1 - שאלה 9 ==

האם אפשר להבין מכך שהמשתנים נמצאים במשוואות הנתונות שהם בין 0 ל-6 (כלומר a, a+3, a^2, b נמצאים בתחום הזה)?

תשובה: כל מספר שלם (כולל <math>a^2,a+3 </math> וכו') שווה במודולו 7 למספר בין 0 ל 6.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:27, 19 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה כללית ==

רק לוודאות: כשכתוב לפתור את מערכת המשוואות עם הפרמטר הכוונה למצוא פיתרון יחיד? או שהכוונה מתי אינסוף פתרונות וכו'...

תשובה: לפתור את המערכת אומר:

1) למצוא עבור איזה ערכים של הפרמטר/ים יש פתרון יחיד - ולמצוא את הפתרון.

2) למצוא עבור איזה ערכים של הפרמטר/ים אין פתרון.

3) למצוא עבור איזה ערכים של הפרמטר/ים יש אינסוף פתרונות - ולמצוא את הפתרון הכללי.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:27, 20 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 5 ==

איך אמורים לפתור את התרגיל הזה? צריך גם לחשוב על מספרים שיהיו בשדה וגם על החיבור והכפל שלהם..

:תשובה: כן. צריך לקחת ארבעה מספרים או סימנים כלשהם (<math>\{0,1,2,3\}</math> או <math>\{a,b,c,d\}</math> - זה לא באמת משנה) ולהגדיר על ארבעת האיברים האלה כפל וחיבור כך שכל האקסיומות של שדה מתקיימות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:29, 20 ביולי 2012 (IDT)

אבל לא משנה איך מסדרים את האיברים, יצא לנו או שדה על mod 4 - סתירה (4 לא ראשוני), או (שני איברים ניטרלים לכפל או לחיבור).

:שדה עם 4 איברים לא אומר שכל האיברים שונים. שני איברים נייטרלים לחיבור אומר שהקבוצה היא לא שדה רק אם שניהם שונים, אותו דבר לגבי כפל. [[משתמש:אלמוג אלפסה|אלמוג אלפסה]] 09:53, 21 ביולי 2012 (IDT)

::לא ייתכנו שני איברים נייטרלים לפעולה אחת. קל להוכיח שאיבר נייטרלי לפעולה הוא יחיד (מה יהיה סכום איברים נייטרלים שונים לחיבור?). אבל הפעולות לא חייבות להיות כמו Z ארבע, יש הרבה מאד דרכים להגדיר את הפעולות בין האיברים. אחת הדרכים תתן שדה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אבל לא יכולים להיות איברים כפולים בשדה, כי שדה זה קבוצה, ובקבוצה מורידים איברים כפולים

== רק להיות בטוח ==

כשאומרים פתירת מערכת מעל שדה כלשהו(נגיד Z 7), מתכוונים שרק הנעלמים שייכים לאותו השדה או שגם הפרמטרים?
:הכל שייך לשדה. כלומר, אם מבקשים ממך לפתור את 31x=3 מעל Z7, קודם הייתי מוצא מה הערך של 31 ב-z7 ואז ממשיך...
::אבל אם נגיד אתה מחלק 3 ב 37, אז יוצא לך מספר לא שלם, אז איך אתה יכול לפתור אותו מעל Z7?
:::אתה יכול לפרק 37=a*7+b כאשר a מקסימלי. במקרה כזה, ב-z7, שלושים ושבע יהיה שקול ל-b.
::::לא ממש הבנתי.. נגיד 4X = 25 מעל Z11, למה יהיה שווה X?
:::::לכל מספר בשדה יש הופכי, אתה כופל בהופכי בשני הצדדים. בדוגמא שהבאת, ההופכי של 4 הוא 3 (שכן 12=1 מודולו 11). לכן איקס שווה ל75=9 מודולו 11. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה לגבי דירוג משוואות ב12 ==

חובה לדרג את המשוואות או שאפשר פשוט להביא את המקרים של a בשדה?
:לדרג, זה מה שלומדים בתרגיל הזה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל2- שאלה 2 סעיפים ב' ו-ג' ==

ב':אני חושב שאמור להיות שהעמודה ה-J שווה לעמודה ה-I של A כי ה-1 הוא האיבר ה-I בעמודה J
ואותו הדבר לגבי סעיף ג':שורה i שווה לשורהJ של A

תשובה: אתה צודק, יתוקן בקרוב.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:09, 22 ביולי 2012 (IDT)

עלתה גרסא מתוקנת. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:29, 22 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 7 ==

מה הכוונה במטריצות סגורות לכפל? לא זכור לי שעברנו על זה בתרגיל/הרצאה.

תשובה: להגיד שקבוצה <math>X</math> של מטריצות סגורה לכפל זה אומר ש:

אם <math>A,B\in X</math> אז <math>AB\in X</math>

(מכפלה של מטריצות מהקבוצה נמצאת בקבוצה).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:54, 22 ביולי 2012 (IDT)

כלומר השאלה היא בעצם אם אכפול שתי מטריצות סקלריות, האם אקבל מטריצה סקלרית?
האם צריך להוכיח/להפריך את התשובה, כי השאלה שואלת רק אילו סגורות ואילו לא.
:כמובן שיש להוכיח/להפריך --[[משתמש:שירה ג|שירה ג]]

== שאלה 2 חלק שני ==

בשאלה 2 אני צריך להניח שמיספר השורות ב A שווה למיספר העמודות ב E? או שזה ברור?

תשובה: כן. <math>A,E_{i,j}\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> .--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:34, 24 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 3 בשעורי בית 2 ==

בשאלה 3 סעיף ג', שואלים עברו אילו ערכי a , b המטריצה הפיכה, ומה ההפיכה עבור ערכים אלו.

עכשיו אני הצחלתי להגיע לאילו ערכי a ,b '''אין''' הפיכה.. אז מה להגיד שעבור כל ערך שהוא לא מה שמצאתי יש הפיכה??

כי ביקשו עבור ערכי a,b ספציפיים..

תשובה: אין בעיה להגיד שעבור כל <math>a,b</math> פרט למקרים מסוימים המטריצה הפיכה.

אבל בשביל המקרים שהיא הפיכה צריך למצוא את ההופכית.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:43, 24 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 6 ש"ב 2 ==

בסעיפים א' ו ב' של התרגיל היה צריך להוכיח האם משהו עם הקבוצה שווה להופכי שלה.
עכשיו בסעיף האחרון שאלו האם A בהכרח הופכית, וגיליתי שלא בהכרח...

אז זה אומר שסעיפים א' ו ב' לא נכונים?

תשובה: אם ל<math>A</math> אין בהכרח הופכי אז באמת א' וב' הם מיידית לא נכונים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:46, 24 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 4 סעיף ג ==

האים מטריצה ריבועית עם 4 איברים שכולם 1 נחשבת למטריצת האפס?

תשובה: מטריצת האפס היא המטריצה שכל הערכים בה הם <math>0</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:48, 24 ביולי 2012 (IDT)

== הגדרות לשאלה 7 ==

היות וכמה אנשים שאלו אותי היום. אני כותב כאן את ההגדרות הרלוונטיות לשאלה 7.

מטריצה <math>A</math> נקראת

1)משולשית עליונה אם <math>A_{i,j}=0</math> עבור <math>j<i</math>.

2)משולשית תחתונה אם <math>A_{i,j}=0</math> עבור <math>i<j</math>.

3) משולשית אם היא משולשית עליונה או תחתונה.

4) אלכסונית אם <math>A_{i,j}=0</math> עבור <math>i\neq j</math>.

5) סקלרית אם <math>A=c\cdot I</math> כאשר <math>c\in \mathbb{F}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:55, 24 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 2 שאלה 5 ==

מה זה אומר אחד חלקי טראס איי?
1/tr(A)?

תשובה: אם <math>A\in \mathbb{F}^{n\times n}</math> אז <math>tr(A)\in \mathbb{F}</math>.

לכן, אם <math>tr(A)\neq 0</math> קיים לו הופכי. ההופכי הוא <math>\frac{1}{tr(A)}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:27, 25 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 6 ==

האם העובדה שנתון A^2=-I פירוש הדבר שקיימת אחת כזאת (מגודל nXn)?

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:24, 25 ביולי 2012 (IDT)

מה בדיוק הכוונה בסעיף ג'? איך אני יכול להוכיח שA כזאת היא בהכרח הפיכה?

תשובה: אם תצליח למצוא הופכי זה אומר שהיא בהכרח הפיכה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:24, 25 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 3 בתרגיל 2 ==

בסעיף ג', אני יודע שהמטריצה לא הפיכה ל a=0 וגם b=0 , אבל אני לא יודע אם זה המקרה היחיד.
אפשר כיוון ?

רמז: במקום לנסות לחפש מתי המטריצה לא הפיכה, תנסה למצוא את ההופכית שלה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:33, 25 ביולי 2012 (IDT)

תודה

== שאלה 4 תרגיל 2 ==

בסעיף א' האם הככונה למצוא 3 מטריצות ספיציפיות המקיימות את הדרישות או למצוא מטריצה A המקיימת את הדרישות לכל B ו C

תשובה: למצוא שלוש מטריצות ספציפיות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:26, 25 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 7 מטריצות הפיכות ==

מותר בכפל מטריצות להפוך AxB)x(BxA) ל Ax(BxB)xA?

תשובה: כן.

<math>(A\cdot(B\cdot B))\cdot A = A\cdot((B\cdot B)\cdot A) = (A\cdot B)\cdot(B \cdot A)</math>.

זה נובע מחוק הקיבוץ (אסוציאטיביות) של כפל מטריצות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:30, 25 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 2 שאלה 2 סעיף ד׳ ==

באגף ימין, איך אפשר לכפול איבר במטריצה?

תשובה: <math>a_{j,k}\in \mathbb{F}</math>. זה כפל של סקלר במטריצה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:35, 25 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 5 ==

עפ"י חוק בפילוג בשדה F , אז (סיגמה של אברי מטריצה משדה F כפול סקלר s מ F) שווה (לסיגמה של s כפול אותם אברים ) ?

תשובה: כן. אם <math>s,a_0,\ldots,a_n\in \mathbb{F}</math> אז

<math>s \displaystyle\sum\limits_{i=0}^n a_i = \displaystyle\sum\limits_{i=0}^n (sa_i)</math>

אפשר להוכיח את זה באמצעות פילוג ואינדוקציה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:07, 26 ביולי 2012 (IDT)

אבל אני לא צריך להוכיח נכון ?

תשובה: לא צריך.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:38, 27 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 5 א ==

לא הבנתי איך להוכיח את זה כי זה ברור

== תרגיל 2 - חיבור מטריצות -מופיע במספר שאלות ==

איך אני מחבר מטריצות?
נגיד נתון לי A ו B מעל שדה F 3*3
אז החיבור שלהם A+B - למה הוא שווה?
ואיך מבצעים את זה?

לדוגמא זה מופיע בשאלה 5 ב' ושאלה 4 סעף ג'

תשובה: אם <math>A,B\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> אז

<math>[A+B]_{i,j}=A_{i,j}+B_{i,j}</math>.

זה פשוט חיבור איבר איבר. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:56, 28 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 7 ==

כשאני מוכיח שיש סגירות במטריצות סקלריות אני יכול להשתמש בלי להוכיח את חוק החילוף לכפל של סקלרים(aA=Aa כאשר a סקלר בשדה F וA מטריצה במרחב <math>F^{n*n}</math>?
--[[משתמש:Avital|Avital]] 22:58, 27 ביולי 2012 (IDT)

תשובה: אפשר להסתמך על החוק הזה בלי להוכיח אותו.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:00, 28 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 2 שאלה 4 סעיף ג' ==

כתוב שצריך לתת דוגמא למטריצות A ו- B הפיכות כך ש- A+B!=0 (לא שווה )

מה הכוונה בהפיכות ?- שהן אחת הופכית של השנייה ? או שני מטריצות הופכיות שלא קשורות אחת לשנייה ?

ומה הכוונה ב- A+B ? איך מחברים מטריצות ?

תשובה: כל אחת מהן הפיכה ואין להן בהכרח קשר אחת עם השניה.

לגבי חיבור מטריצות: אם <math>A,B\in \mathbb{F}^{m\times n}</math> אז

<math>[A+B]_{i,j}=A_{i,j}+B_{i,j}</math>.

זה פשוט חיבור איבר איבר.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:07, 28 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 2 שאלה 7 ==

מה הכוונה -אילו מקבוצות המטריצות הריבועיות סגורות לכפל?

מה הכוונה '''סגורות לכפל''' ?

תשובה: להגיד שקבוצה <math>X</math> של מטריצות סגורה לכפל זה אומר ש:

אם <math>A,B\in X</math> אז <math>AB\in X</math>

(מכפלה של מטריצות מהקבוצה נמצאת בקבוצה).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:54, 22 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 1 תרגיל 3 ==

האם אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר שראינו בהרצאה? (כלומר עם שלושת התנאים: W ת"מ אם"ם W לא ריקה וגם W סגורה לכפל בסקלר וחיבור).

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:03, 29 ביולי 2012 (IDT)

== שאלה 6 א' בתרגיל 2 ==

בשאלה זו ניתן להגיד כי A כפול A במינוס 1 =I, כלומר A הפיכה, מכיוון שמזכירים את A במינוס אחד ?
אם לא מה אומר A במינוס אחד ?

תשובה: אתה לא יכול להניח ש <math>A</math> הפיכה רק בגלל שכתוב בסעיף א' (וב') <math>A^{-1}</math>.

אתה כן יכול לומר שאם <math>A</math> לא בהכרח הפיכה אז ברור ש א' וב' לא נכונים כי עבור <math>A</math> לא הפיכה, <math>A^{-1}</math> לא קיים בכלל.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:06, 30 ביולי 2012 (IDT)

== דחוףף ==

יש לי הארכת זמן ולא קיבלתי מייל לאן אני צריך ללכת כדי להראות שיש לי הארכת זמן ,מישהו יכול להגיד לי לאן ללכת ועם מה? למי להתקשר?

== שדה אינסופי ==

האם אפשר להניח בלי הוכחה שchar(F)=0 => השדה F אינסופי?

תשובה: כן. (למרות שאני מקווה שאתם יודעים איך להוכיח את זה). --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 23:09, 30 ביולי 2012 (IDT)

נתבונן בקבוצה 1,1+1,1+1+1,1+1+1+1....

(1 הוא 1 של השדה)

בגלל סגירות לחיבור, כל האיברים נמצאים בשדה. המאפיין הוא אפס, לכן לא משנה כמה פעמים נחבר נקבל איברים שונים. מכאן כבר שיש אינסוף איברים בשדה F, והוא אינסופי.

== תרגיל 3 -טעות בשאלה 4 ג' ==

בשאלה 4 ג'.
צריך להניח בנוסף ש <math>A \neq \emptyset</math>.

גרסא מתוקנת תעלה בהמשך היום.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:07, 31 ביולי 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 2 ==

שלום,
בתרגיל 3 שאלה 2 מה סדר הפעולות באגפים הימניים? משמאל לימין או שהחיבור בסוף?
תודה מראש :)

תשובה: החיבור בסוף.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:42, 1 באוגוסט 2012 (IDT)

== בוחן 7.8 ==

מה מבנה הבוחן בשלישי? כמה שאלות וכמה נקודות לשאלה???

== תרגיל 3 שאלה 2 ==

כל הסעיפים מכילים את אותם ביטוים משני הצדדים. צריך להוכיח עבור שני סעיפים ולהפריך עבור השנים האחרים ?

תשובה: אני לא רוצה להגיד כמה סעיפים נכונים וכמה לא.

זה נכון שבגלל שכל הסעיפים קשורים, זה יכול להקל עליכם קצת.

למשל, אם הצלחת להוכיח את א' זה מייד אומר שב' לא נכון.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:29, 1 באוגוסט 2012 (IDT)

== כיתות לימוד מחר ==

שלום, באילו כיתות אנו לומדים מחר?

תשובה:
שימו לב לשינוי הכתות באופן חד פעמי ליום חמישי 2/8/12

ההרצאות במקום הרגיל ב 604 61/62

התרגיל של אפי יתקיים בכיתה 403/2 בשעה 13

שירה 404/102

ארז 404/114

איתמר 404/115
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:24, 1 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה 3 ==

עוד לא הבנתי מה ההבדל בין (sp(A+B לבין (B או sp(A ובין spA + spB לבין spA איחוד spB
מישהו יכול להסביר לי עם דוגמה??

תשובה:

<math>A \cup B</math> זאת קבוצה שמכילה את כל איברי <math>A</math> ו <math>B</math> (האיחוד שלהם).
<math>A+B</math> זאת קבוצה של כל האיברים שהם חיבור של משהו מ <math>A</math> ומשהו מ <math>B</math>.

דוגמא:

אם <math>A = \{(1,2), (3,4)\}</math> ו <math>B= \{(5,6)\}</math>

אז

<math>A \cup B = \{(1,2) , (3,4) , (5,6)\}</math>

אבל

<math>A+B = \{(6,8), (8,10)\}</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:35, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

רגע ומה ההבדל בין spA + spB לבין spA איחוד spB??

לא הגדרנו את החיבור רק עבור מרחבים ווקטוריים? [[משתמש:Avichai|Avichai]] 17:47, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

:אתה יכול להכליל את זה, כך ש-A+B היא קבוצה של איברים ששווים לסכום של איבר כלשהו מ-A עם איבר כלשהו מ-B. הגדרה זו תופסת גם עבור קבוצות כלשהן שאינן מרחבים וקטוריים, כל עוד מוגדרת פעולת חיבור מתאימה.

== תרגיל 3 שאלה 3 סעיף ב ==

האם SPAN של (1,0)איחוד (0,1) יוצר את המישור (Rבריבוע) או שווה לצירים בילבד

תשובה: <math> span(\{(1,0),(0,1)\})</math> יוצר את המישור.

כל וקטור במישור <math>(a,b)</math> הוא צירוף לינארי <math>(a,b) = a(1,0) + b(0,1)</math> ולכן

<math>(a,b) \in span(\{(1,0),(0,1)\})</math>.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:47, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

אמרתי לך!!!! אייי ! חח אל תשכח את הדוריטוס ;)

== שאלה ==

אם למטריצה יש שורת אפסים זה אומר שאין לה בסיס??

תשובה: אתה צריך להסביר את השאלה יותר טוב.

בסיס יש למרחב וקטורי (לכל מרחב וקטורי).

מטריצה (אחת) היא לא מרחב וקטורי (אלא אם כן היא מטריצת האפס).

מה המרחב הוקטורי שאתה מדבר עליו?--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:38, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

בשאלה 7 ב למע' המשוואות מתקבלת שורת אפסים (אחרי שהפכתי אותה למטריצה) אז השאלה היא האם יש לה בסיס

תשובה: למרחב הפתרונות של כל מערכת משוואות הומוגנית יש בסיס. (כמו לכל מרחב וקטורי).

לכן, גם לפתרונות של המערכת בשאלה יש בסיס. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 13:45, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 2 ==

האם בשביל להוכיח ששני תתי מרחבים הם שונים מספיק לתת דוגמה שהם שונים או שצריך להוכיח שלא משנה מה תציב הם יהיו שונים

תשובה:
הטיעון
<math>U \cap (V+W) = U \cap V + U \cap W</math> נכון אם לכל הצבה שהיא של מרחבים <math>U,V,W</math> יהיה שוויון.

הטיעון <math>U \cap (V+W) \neq U \cap V + U \cap W</math> נכון אם לכל הצבה שהיא של מרחבים <math>U,V,W</math> לא יהיה שוויון.

אני מקווה שזה עונה על השאלה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 10:43, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

זה עונה על השאלה תודה

== שאלה כללית ==

האם הספאן של (1,0) פלוס (של מ"ו) הספאן של (0,1) שווה לספאן של (1,0) (0,1)? האם זה אומר שחיבור הספאנים הנ"ל פורש את R^2?

הוא כבר ענה על זה, תראה 3 שאלות למעלה

== שאלה 1 ==

אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר?

כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:12, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

אז מה הקטע של התרגיל? פשוט אומרים לפי הקריטריון המקוצר...?

תשובה: אולי אנחנו מדברים על דברים שונים.

כשאני אומר שאפשר להשתמש בקריטריון המקוצר אני מתכוון שאפשר להשתשמש במשפט שראיתם בהרצאה שאומר:

<math>W</math> תת מרחב וקטורי אם ורק אם מתקיימים שלושת התנאים הבאים.

1) <math>W \neq \emptyset</math>.

2) <math>u,v \in W \Rightarrow u+v \in W</math>.

3)<math>u \in W, \quad \alpha \in \mathbb{F} \Rightarrow \alpha u \in W</math>.

בהינתן המשפט הזה, צריך לעשות עוד קצת עבודה כדי להוכיח את מה שכתוב בתרגיל.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:36, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

:בכיתה לימדת אותנו שבמקום 2 ו 3 צריך שיתקיים <math>u,v \in W \Rightarrow u+ \alpha v \in W</math>.

::זה שקול, פשוט בתנאי הנ"ל תקח פעם אחת alpha=0 ופעם אחרת u=0 ותקבל את הנדרש.

אז זה כל מה שצריך לרשום?

בגדול, כן. רק שימו לב שבפתרון שלכם (במיוחד בהוכחה שהנתונים בשאלה 1 <math>\Leftarrow</math> מרחב וקטורי) אתם משתמשים רק בנתונים שיש לכם. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:15, 4 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 6 ==

אם אני רוצה להפריך טענות, אני צריך להביא בתור דוגמא U ו V מסויימים ו B1 ו B2 מסויימים ולהראות שזה לא מתקיים?

כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:13, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

== חומר לבוחן ==

עד איפה החומר לבוחן ביום שלישי? עד איזה חומר ללמוד? ועד איזה שיעור זה ? תודה!

תשובה: עד החומר שלמדתם ביום חמישי 26/7 (כולל) שזה אומר:

שדות, מערכות משוואות לינאריות, מטריצות, כפל מטריצות והפיכות מטריצות.

מרחבים וקטוריים, כולל בסיס ומימד כולל משפט השלישי חינם (נדמה לי שלא כולל משפט המימדים).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:40, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה כללית ==

אם לדוגמא אני במ"ו מעל שדה Z5 לדוגמא, אז האם גם המספרים בוקטורים הם מתוך השדה?
לדוגמא בשדה הנ״ל יכול להיות לי הוקטור (7,3,9)?

תשובה: אם אתה מסתכל על המרחב <math>(\mathbb{Z}_5)^n</math> אז כן, המספרים בוקטורים הם מתוך השדה.

למשל: במרחב <math>(\mathbb{Z}_5)^3</math>

מתקיים ש <math>(7,3,9) = (2,3,4)</math> כי הכל במודולו <math>5</math>.

אבל <math>(\mathbb{Z}_5)^n</math> הוא לא המרחב היחיד מעל <math>\mathbb{Z}_5</math>, יש עוד ( נגיד מטריצות עם ערכים מ <math>\mathbb{Z}_5</math>.)--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:45, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

אני מתכוון לכך שיהיה V מ"ו מעל שדה Z5. אז זה אומר שגם המספרים בוקטורים חייבים להיות מעל Z5?
:ודאי. למשל אם (7,3,9) וקטור כנ"ל, אתה מתייחס ל-7,3,9 כאיברים של Z5.

מה זאת אומרת להתייחס לוקטור 7,3,9 כאיברים של Z5? ב Z5 אין 7 ו 9.

ב <math>\mathbb{Z}_5</math> מתקיים <math>7=2</math> ו <math>9=4</math> (כי את כל המספרים מחשבים במודולו <math>5</math>).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:20, 4 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה ==

'''מה ההבדל בין spA + spB לבין spA איחוד spB???'''
:בחיבור אתה מקבל קבוצה בה כל האיברים הם תוצאה של חיבור של איבר מהקבוצה הראשונה עם איבר מהקבוצה השנייה, בעוד שבאיחוד אתה תקבל קבוצה של איברים שנמצאים לפחות באחת הקבוצות. זה לא אותו דבר, ולמעשה במקרה שלנו האיחוד שכתבת מוכל בתוך החיבור (וזאת משום שכל אחד מהנפרשים מכיל את ווקטור האפס, ובפרט וקטור האפס עם כל וקטור אחר יהיה שווה לאותו וקטור אחר). אם אתה רוצה לראות שלעתים הם גם שונים, תקח <math>A=(1,0); B=(0,1)</math> מעל הממשיים ותפתח

== תרגיל 3 ==

לאיתמר,
עכשיו גיליתי שהיום שכחתי להגיש את תרגיל 3. יש משהו שאפשר לעשות? יעזור אם אסרוק את כל הדפים ואשלח לך במייל?

בתודה מראש, אביחי מרמור: avichai@elmar.co.il. [[משתמש:Avichai|Avichai]] 23:16, 5 באוגוסט 2012 (IDT)

== בבוחן יהיו שאלות כמו שאלות 1,2 בתרגיל 4 ==

???

תשובה: הנושאים שמכוסים על ידי תרגילים 1,2 נמצאים בחומר לבוחן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:07, 6 באוגוסט 2012 (IDT)

1. אבל למדנו את זה אחרי היום שבו אמרו שעד אז זה החומר למבחן..

2. יש עוד שאלות בתרגילים שזה לבוחן?

תשובה:

1) דברים יסודיים לגבי מרחבים וקטוריים (כולל בסיס ומימד) נמצאים בחומר לבוחן.

תרגילים 1-2 עוסקים בטכניקות עבודה עם מ"ו, בלי משפט המימדים, בלי מטריצות מעבר בין בסיסים,בלי דרגה של מטריצה, לכן זה בחומר.

2) לא (אני מצטער שהתשובה הזאת מגיעה אחרי שכבר עשיתם את הבוחן).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:38, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

== פתירת מערכת משוואות מעל Zp ==

<nowiki>טקסט לא מעוצב</nowiki>
אם אני פותר מערכת מעל Zp.
האם אני יכול להמיר למטריצה ולדרג כאילו אני בR ורק בסוף לעשות modp על התוצאה?

תשובה: כן.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 09:29, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 ==

אין שאלה 4 בתרגיל 4 - שכחתם להוסיף או שיש רק 8 תרגילים?

== תרגיל 4 שאלה 7 ==

צריך להוכיח שקיים וקטור. האם אפשר להניח בשלילה שלכל וקטור הטענה לא נכונה, ואז לתת דוגמה נגדית ספציפית כדי לקבל סתירה או שצריך בכלליות? תודה מראש

תשובה: אפשר להניח בשלילה שהטענה לא נכונה, ואז לכל וקטור <math>v \in \mathbb{R}^n</math> מתקיים <math>A^{k-1}v = 0</math>.

אם כשאתה כותב "דוגמא נגדית ספציפית" אתה מתכוון, לבחור <math>A</math> ו <math>v</math> מסוימים, אז לא ייתן סתירה.

כי בשאלה ישנו כבר <math>A</math> נתון בשאלה (שאנחנו אמנם לא יודעים מהו) ודווקא בשבילו צריך להראות שלא ייתכן

<math>A^{k-1}v=0 \quad \forall v \in \mathbb{R}^n</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 18:15, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 - שאלה 6 לא מובנת ==

לא הבנתי בשאלה 6 למה הכוונה "קטן גדול או קטן מ...", תוכלו להסביר מה צריך למצוא?

תשובה: אתה צודק, צריך להיות כתוב: קטן, גדול, או שווה ל...

כלומר צריך למצוא איזה מהבאים מתקיים

* <math>dim(U_1 \cap U_2) = dim(U_1 \cap U_3)</math>

* <math>dim(U_1 \cap U_2) < dim(U_1 \cap U_3)</math>

* <math>dim(U_1 \cap U_2) > dim(U_1 \cap U_3)</math>--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:18, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 5 ==

האם בשאלה5 U וW תתי מרחב או שהם רק קבוצות המוכלות בV?

(תלמיד) - לדעתי ניתן להסיק שהם ת"מ כי בנתון יש dim U וגם dim W, לכן הם מ"ו ובפרט ת"מ של V --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:12, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: נכון. הם תתי מרחבים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:20, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה 1 סעיף ב' בלינארית ==

אני עשיתי מערכת עם שתי משוואות, ע"י הצבה של איקסים לפי הנתונים, והגעתי למשוואות של המקדמים לפי הבסיס.
דירגתי מצאתי פתרון כללי והוצאתי את הפרמטרים וקיבלתי בסיס למשהו, אין לי מושג למה ואיך אני מגיע ממנו לבסיס של W ?

למה דילגתם עליי? מה זה כי אני שחור?
סתם הצלחתי תודה בכל מקרה

תשובה: דילגתי כי לשאלה שלך היה קצת יותר קשה לכתוב תשובה.

בדיוק עמדתי להעלות את התשובה הזאת (בכל מקרה אני שמח שהצלחת):

* הגעת למערכת משוואות על מקדמי הפולינומים - כל פולינום שמקדמיו פותרים את המשוואה נמצא ב <math>W</math>.

* דירגת ומצאת פתרון כללי - כל פולינום שמקדמיו הם מהפתרון הכללי נמצא ב <math>W</math>.

* הוצאת את הפרמטרים וקיבלת בסיס - קיבלת בסיס עבור וקטור המקדמים של פולינומים שנמצאים ב <math>W</math>.

מכאן אני מקווה שברור מה הבסיס של <math>W</math> צריך להיות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:41, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

תודה :)

== שאלה 2 ==

מערכת משוואות ליניאריות זה שיש מיקדמי אלפה אחד אלפה שתיים אלפה שלוש או שצריך לצמצם אותם ולהגיע למשוואה שיש בה רק X,Y,Z,W?

תשובה: צריך להגיע לתשובה שיש בה רק <math>x,y,z,w</math>.

כלומר התשובה לסעיפים א' ו ג' צריכה להיות מערכת משוואות ב <math>x,y,z,w</math> בלבד.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:25, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה כללית ==

האם ה dim של 0 (שהוא תת מרחב) שווה ל 1 או 0?

תשובה: <math>dim\{0\}=0</math> כי הבסיס של <math>\{0\}</math> הוא <math>\emptyset</math> ויש בו 0 איברים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:27, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

למה ה dim של 0 זה אפס? הרי בבסיס של 0 יש איבר, והוא אפס (הוא פורש אותו)?

תשובה: <math> \{0\}</math> הוא לא בסיס כי הוא תלוי לינארית.

הבסיס של <math>\{0\}</math> הוא <math>\emptyset</math> (קבוצה ריקה) ובה יש <math>0</math> איברים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:16, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה 7 תרגיל 4 ==

נתון ש A^k-1 שונה מאפס.. נכפיל ב A משני הצדדים נקבל A^k שונה מאפס.. בסתירה לנתון שהוא שווה לאפס.

אם A שווה לאפס, אז זה סתירה לנתון ש A^k-1 שונה מאפס (כי 0 בחזקת הכל זה אפס)

???

תשובה: <math>A^{k-1}\neq 0</math> לא גורר ש <math>A^k \neq 0</math>.

באופן כללי <math>B \neq C</math> לא גורר ש <math>AB \neq AC</math>.

וזה מפני ש <math>AB = AC</math> לא גורר ש <math>B=C</math>. (הייתה כזאת שאלה בתרגיל 2)--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:35, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 6 ==

בשאלה זו, מספיק לתת דוגמה של תתי מרחבים שעונים על כל הדרישות בשאלה ואז ע"פ הנתונים שנתתי, אפשר למצוא האם (dim(u1 ^ u2 גדול, קטן או שווה ל - (dim(u1^u3 ? כי הרי התשובה הנכונה נכונה לכל דוגמה שאתן אז אפשר לתת דוגמה אחת כדי לראות מה נכון? זה פתרון אפשרי לשאלה?

תשובה: צריך להוכיח שאחד המקרים מתקיים ואי אפשר להסתפק בדוגמא.

זה נכון שהתשובה הנכונה נכונה לכל דוגמא, אבל אתה לא יכול להניח את זה כשאתה פותר (זה כמו להתבסס בדרך על מה שרוצים להוכיח).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:47, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 4 ;) ==

לא הצלחתי את תרגיל 4 שאלה 4.. אפשר רמז לפיתרון?! ;)
S.D

תשובה: נניח ש <math>V</math> ממימד גדול מ <math>5</math> אז ברור ש <math>[I]_C^B \in \mathbb{F}^{k\times k}</math> כש <math>k \geq5</math>.

עכשיו תנסה להציב <math>\mathbb{F} = \mathbb{Z}_7</math> ו <math>\mathbb{F} = \mathbb{Z}_5</math> ותראה מה קורה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 00:21, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

אבל רגע אין שאלה 4 בתרגיל 4.

זה שאין שאלה לא אומר שאין רמזים.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:48, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== חיתוך מרחבים ==

על מנת למצוא בסיס של חיתוך מרחבים אני שם את הבסיסים של שניהם במטריצה אחת ומדרג עד לקבלת בתל ?
כי כשאני עושה ככה אני מקבל מימד יותר גדול מהמרחבים המקורים והחיץתוך אמור להיות מוכל בהם..

תשובה: זאת לא השיטה. ככה מוצאים בסיס של סכום.

כדי למצוא בסיס של חיתוך שני מרחבים, אם המרחבים נתונים ע"י וקטורים פורשים אתה צריך להשוות את ה span שלהם ולפתור את המשוואה שנוצרת.

עשו כזאת דוגמא בתרגול.

כלומר, כותבים צירוף לינארי כללי של מרחב אחד, משווים אותו לצירוף לינארי כללי של מרחב שני ופותרים את מקדמי הצירוף.

אני מקווה שזה ברור.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:32, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

ז"א שאם הבסיס שלי הוא x,y ו הבסיס השני הוא w,t
אז אני צריך לעשות ax+by=dw+et
אבל את מי אני צריך לבודד ואת מי למצוא בעזרת מי?

תשובה: לפי הסימונים שלך אתה מקבל מערכת משוואות (הומוגנית) עם נעלמים a,b,d,e.
אתה צריך לפתור את המערכת הזאת (למעשה מספיק למצוא רק למה שווים a,b או d,e).

ואז להציב את התשובה (הפתרון הכללי) בתוך הצירוף הלינארי - ואז תקבל את האיבר הכללי של החיתוך.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:47, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

תודה

== שאלה 2 סעיף ב ==

אני מקבל רק משוואה 1 שהיא רק עם X,Y,Z,W אז אני צריך בסעיף ב לישתמש רק בה? או שבסעיף ב להישתמש גם במשוואות שיש בהם את הסקלרים?

תשובה: המרחב הוא בדיוק אותם <math>(x,y,z,w)</math> שפותרים את המשוואה שמצאת בסיף א'. אז אתה משתמש בתוצאה של סעיף א'.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:41, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה ==

נניח u,w מוכלים ב v אז סכום ישר שלהם הוא בהכרח תת מרחב ?

*(לא מתרגל/מרצה) הוכחנו בהרצאה כי סכום של תתי מרחבים (באופן כללי) הוא ת"מ. אם הסכום הישר מוגדר (כלומר החיתוך הוא וקטור האפס) אז הוא גם כן תת מרחב (מדובר במקרה פרטי).

תשובה: נכון, סכום ישר הוא תמיד תת מרחב והוא שווה לסכום הרגיל. (רק שלא כל סכום רגיל הוא גם סכום ישר).
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:43, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== שאלה כללית לגבי שוויון תתי מרחבים ==

אם שני תתי מרחבים שווים, מה זה אומר על המימדים שלהם ועל הבסיסים שלהם?
ז״א אם U=W (תתי מרחבים) האם זה גורר בהכרח dimU=dimW ושהבסיסים שווים?

תשובה: שוויון של תתי מרחבים הוא שוויון קבוצות.

זאת אותה קבוצה אז בוודאי שיש להם אותו מימד. וכל בסיס של <math>U</math> הוא גם בסיס של <math>W</math> ולהפך.

(שים לב שיש יותר מבסיס אחד לכל מרחב,לכן אם <math>B</math> בסיס של <math>U</math> ו <math>C</math> בסיס של <math>W</math>, אז
<math>U=W</math> לא אומר ש <math>B=C</math>).--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:47, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 7 סעיף ב' ==

האם אני יכול להכפיל צירוף לינארי בסעיף ב' בA בחזקת K-1 (שהרי לא שווה ל0) ואז בצורה כזאת להראות שזה לא יכול להתקיים שהאיברים תלויים
לינארית (הנחתי בשלילה שהם ת"ל ובצורה כזאת אני רוצה להגיע לסתירה) אני יכול לעשות פעולה כזאת?

תשובה: האיברים <math>\{v,Av,\ldots,A^{k-1}v\}</math> הם וקטורים בגודל <math>n \times 1</math>.

צירוף לינארי שלהם הוא וקטור בגודל <math>n \times 1</math>.

לכן מותר להכפיל אותו משמאל במטריצה שיש לה <math>n</math> עמודות

או מימין במטריצה שיש לה שורה אחת.

אני מקווה שזה עונה על השאלה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:35, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

== ליניארית, תרגיל 4 שאלה מס' 2 ==

לא ממש הבנתי איזה צורת תשובה אני אמור לכתוב בסעיפים א'-ג'..
איזו מערכת משוואת אני אמור למצוא? מהצורה: X שווה לביטוי עם אלפא 1 וכו', או אלפא 1 שווה לביטוי עם X, Y...?
ובסעיף ב', איזה מערכת משוואת לפתור אם התנאי שיצא לי בא' הוא משוואה אחת?

תשובה: בסעיפים א' ,ג' אתה אמור לקבל כתשובה מערכת משוואות עם נעלמים <math>x,y,z,w</math>

נגיד משהו מהצורה

<math>x+y+z+w=0</math>

<math>x+2y+3z+4w=0</math>.

לגבי סעיף ב', מערכת משוואות עם משוואה אחת אי אפשר לפתור?--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 22:52, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

אמרתיי לך !

== תרגיל 4 שאלה 7 ==

בשאלה 7 k חייב להיות קטן או שווה ל-n?

תשובה: אם השאלה היא האם אפשר להניח ש <math>k \leq n</math>, אז התשובה היא לא. זה לא נתון בשאלה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 21:06, 11 באוגוסט 2012 (IDT)

== תרגיל 5 שאלה 2 ==

1. מה הכוונה "מטריצה סטנדרטית של T"? האם הכוונה למטריצה המייצגת של T לפי הבסיס הסטנדרטי?

2. בשאלה 3, A היא מטריצה מייצגת של T?

תשובה: 1) כן.

2) כן. --[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:46, 14 באוגוסט 2012 (IDT)

מה זה המטריצה המייצגת של T בבסיס הסטנדרטי??

== תרגיל 5 שאלה 11ג ==

אני חושב שיש טעות בשאלה כי אם V=R^2 ו- (y,x)=T(x,y
אז T^2 עדיין שווה ל-I אבל וקטורים כמו (1,2) לא שייכים ל-U+W
ולכן הטענה לא נכונה

שיחה:88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב

2012-07-23T03:56:01Z

Isis: /* תרגיל2- שאלה 2 סעיפים ב' ו-ג' */

שיחה:88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב

2012-07-22T19:55:28Z

Isis: /* תרגיל2- שאלה 2 סעיפים ב' ו-ג' */

שיחה:88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב

2012-07-22T15:27:59Z

Isis: /* תרגיל2- שאלה 2 סעיפים ב' ו-ג' */ פסקה חדשה