Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח

2021-01-15T08:18:20Z

Itay955: /* שאלה 5 */

[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
==שאלה 1==
א. הוכח כי כל סדרה מתכנסת חסומה.

ב. הוכח/הפרך: אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L</math> אזי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L</math> .

===פתרון===
א. כיון שהסדרה מתכנסת, קיים מקום בסדרה <math>n_1</math> כך שלכל <math>n>n_1</math> מתקיים <math>|a_n-L|<1</math> ולכן <math>L-1<a_n<L+1</math> . סה"כ:
:<math>\forall\ n:\min\{a_1,\ldots,a_{n_1},L-1\}<a_n<\max\{a_1,\ldots,a_{n_1},L+1\}</math>

ב. '''הפרכה''': ניקח סדרה אשר במקומות הזוגיים שלה שווה <math>n</math> , ובמקומות האי-זוגיים <math>n^2</math> :
:<math>a_n=1,1,2,4,3,9,4,16,\ldots</math>

קל לראות כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1</math> , אבל לא קיים הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}</math> .

'''הפרכה נוספת''': ניקח את הסדרה הבאה
:<math>a_n=1,3,1,3,1,3,\ldots</math>
מתקיים
:<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac13,3,\frac13,3,\frac13,3,\ldots</math>

ולכן לא מתכנס. אבל <math>\sqrt[n]3\to1</math> וכמובן גם <math>\sqrt[n]1\to1</math> ולכן סה"כ <math>\sqrt[n]{a_n}\to1</math> .

==שאלה 2==
נניח כי <math>f</math> פונקציה רציפה ב- <math>[0,\infty)</math> , גזירה ב- <math>(0,\infty)</math> . בנוסף נתון כי <math>f(0)=0</math> והנגזרת <math>f'</math> מונוטונית עולה ב- <math>(0,\infty)</math> .

א. הוכיחו כי <math>f'(x)\ge\frac{f(x)}{x}</math> ב- <math>(0,\infty)</math> .

ב. הוכיחו כי הפונקציה <math>g(x)=\frac{f(x)}{x}</math> מונוטונית עולה ב- <math>(0,\infty)</math> .

===פתרון===
א. יהי <math>x>0</math>. נפעיל את משפט לגראנז' על הפונקציה <math>f</math> בקטע <math>[0,x]</math> . לכן קיימת נקודה <math>0<c<x</math> כך ש:
:<math>f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}</math>
אבל מתוך מונוטוניות הנגזרת, אנו מקבלים:
:<math>f'(x)\ge f'(c)=\dfrac{f(x)}{x}</math>
כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

ב. נוכיח כי הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה מונוטונית עולה
:<math>g'(x)=\dfrac{x\cdot f'(x)-f(x)}{x^2}</math>

כיון שהמכנה חיובי תמיד, סימן הנגזרת נקבע על-ידי המונה. אבל לפי סעיף א':
:<math>x\cdot f'(x)-f(x)\ge x\cdot\dfrac{f(x)}{x}-f(x)=0</math>

==שאלה 3==
קבעו האם קיים הגבול ואם כן מצאו אותו:

א. <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1^n+2^n+\cdots+2012^n}</math>

ב. <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n</math> , כאשר <math>a_1=1\ ,\ a_{n+1}=\sin(a_n)</math>

ג. <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[\sin\big(\sqrt{x-a}\big)-\sin\big(\sqrt{x}\big)\Big]</math>

ד. <math>\lim\limits_{x\to1}\left[\dfrac1{x-1}-\dfrac1{\ln(x)}\right]</math>

===פתרון===
א. נפעיל את משפט הסנדוויץ':
:<math>2012=\sqrt[n]{2012^n}\le\sqrt[n]{1^n+2^n+\cdots+2012^n}\le\sqrt[n]{2012^n+2012^n+\cdots+2012^n}=\sqrt[n]{2012\cdot2012^n}\to2012</math>

ב. ידוע כי עבור ערכים חיוביים <math>\sin(x)<x</math> ולכן קל להוכיח באינדוקציה כי זו סדרה מונוטונית יורדת וחסומה מלרע על-ידי <math>0</math> , ולכן מתכנסת.

<math>L=\sin(L)</math> ולכן <math>L=0</math> .

אכן, אם היה פתרון אחר למשוואה <math>x-\sin(x)=0</math> הקטן מ- <math>1</math> , אזי הנגזרת הייתה צריכה להתאפס בין <math>0</math> ל- <math>1</math> (לפי רול) וקל לוודא כי זה לא קורה.

ג. כפי שראינו בכיתה, ניתן להוכיח בעזרת לגראנז' כי <math>\Big|\sin(x)-\sin(y)\Big|\le|x-y|</math> לכן,

:<math>\bigg|\sin\big(\sqrt{x-a}\big)-\sin\big(\sqrt{x}\big)\bigg|\le\Big|\sqrt{x-a}-\sqrt{x}\Big|=\left|\dfrac{-a}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x}}\right|\to 0</math>

ד.
:<math>\dfrac1{x-1}-\dfrac1{\ln(x)}=\dfrac{\ln(x)-x+1}{(x-1)\ln(x)}</math>
נגזור את המונה ואת המכנה לקבלת:
:<math>\dfrac{\frac1x-1}{\ln(x)+\frac{x-1}{x}}=\dfrac{1-x}{x\ln(x)+x-1}</math>
שוב נגזור את המונה ואת המכנה לקבלת:
:<math>-\dfrac1{\ln(x)+1+1}\to-\frac12</math>
ולכן לפי כלל לופיטל, זה גם הגבול המקורי.

==שאלה 4==
תהי <math>f(x)=x^2\sin\left(\frac1x\right)</math>

א. האם <math>f</math> רציפה במ"ש בתחום <math>(0,\infty)</math>?

ב. האם <math>f'</math> רציפה במ"ש בתחום <math>(0,\infty)</math>?

ג. הוכח/הפרך: אם <math>g</math> גזירה ורציפה במ"ש ב- <math>(0,\infty)</math> אזי נגזרתה <math>g'</math> חסומה ב- <math>(0,\infty)</math>

===פתרון===
א. 
נבחן את הנגזרת בקטע:

<math>f'(x)=2x\cdot\sin\left(\frac1x\right)-\cos\left(\frac1x\right)</math> . כיון שגבולה באינסוף סופי והיא רציפה בכל נקודה בקטע, היא חסומה בקטע <math>[1,\infty)</math>.

כמו כן קל לראות כי היא חסומה בקטע <math>(0,1)</math> (אף על פי שאין לה גבול בנקודה אפס).

בסה"כ הנגזרת חסומה ולכן לפי משפט הפונקציה <math>f</math> רציפה במ"ש בקטע.

ב. 
ניקח את שתי הסדרות <math>x_n=\dfrac1{2\pi n}</math>, ו- <math>y_n=\dfrac1{\frac{\pi}{2}+2\pi n}</math> . קל לוודא כי:

:<math>|x_n-y_n|\to0</math>

:<math>\Big|f'(x_n)-f'(y_n)\Big|\to1</math>

ולכן <math>f'</math> אינה רציפה במ"ש בקטע.

ג. 
;הפרכה
<math>f(x)=\sqrt{x}</math> רציפה במ"ש בקטע כיון שב-0 יש לה גבול סופי ובאינסופי נגזרתה חסומה. אולם הנגזרת שלה <math>f'(x)=\dfrac1{2\sqrt{x}}</math> אינה חסומה בסביבת <math>0</math>.

הפרכה נוספת:

<math>x\cdot\sin\left(\tfrac1x\right)</math> בעלת גבולות סופיים בשני קצוות הקטע, ולכן רציפה שם במ"ש. קל לוודא כי נגזרתה אינה חסומה בקטע.

==שאלה 5==
עבור כל אחד מהטורים הבאים קבעו: מתבדר/ מתכנס בהחלט/ מתכנס בתנאי:

א. <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\sin\Big(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\Big)</math>

ב. <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{n+1}{n^\sqrt{n}}</math>

ג. <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\cos^2\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}</math>

ד. <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n^n}{(n!)^2}</math>

===פתרון===
א.

<math>\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac1{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}</math>

לכן קל לוודא לפי מבחן ההשוואה הגבולי כי הטורים
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\sin\Big(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\Big)\ ,\ \sum_{n=1}^\infty\dfrac1{\sqrt{n}}</math>
חברים, ולכן הטור אינו מתכנס בהחלט.

כיון שסינוס רציפה, מונוטונית באזור <math>0</math>, ושואפת שמה ל- <math>0</math>, מקבלים כי הטור כולו מתכנס בתנאי לפי מבחן לייבניץ.

ב. 
ברור שהחל מ- <math>n=9</math> מתקיים <math>\sqrt{n}\ge3</math> ולכן
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{n+1}{n^\sqrt{n}}\le\sum_{n=1}^\infty\dfrac{n+1}{n^3}=\sum_{n=1}^\infty\left[\dfrac1{n^2}+\dfrac1{n^3}\right]</math>
ולכן הטור מתכנס בהחלט.

ג. 
בכל מקום זוגי <math>\cos^2\left(\frac{n\pi}{2}\right)=1</math> ובכל מקום אי-זוגי זה שווה 0 לכן הטור הוא בעצם הטור המתבדר
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{2n}</math> .

ד. 
נפעיל את מבחן המנה לקבלת:
:<math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(n+1)^{n+1}(n!)^2}{n^n\big((n+1)!\big)^2}=\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n\cdot\dfrac1{n+1}\to e\cdot0=0</math>
ולכן הטור מתכנס בהחלט.

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח

2021-01-15T08:17:00Z

Itay955: /* שאלה 5 */

[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
==שאלה 1==
א. הוכח כי כל סדרה מתכנסת חסומה.

ב. הוכח/הפרך: אם <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L</math> אזי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L</math> .

===פתרון===
א. כיון שהסדרה מתכנסת, קיים מקום בסדרה <math>n_1</math> כך שלכל <math>n>n_1</math> מתקיים <math>|a_n-L|<1</math> ולכן <math>L-1<a_n<L+1</math> . סה"כ:
:<math>\forall\ n:\min\{a_1,\ldots,a_{n_1},L-1\}<a_n<\max\{a_1,\ldots,a_{n_1},L+1\}</math>

ב. '''הפרכה''': ניקח סדרה אשר במקומות הזוגיים שלה שווה <math>n</math> , ובמקומות האי-זוגיים <math>n^2</math> :
:<math>a_n=1,1,2,4,3,9,4,16,\ldots</math>

קל לראות כי <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1</math> , אבל לא קיים הגבול <math>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}</math> .

'''הפרכה נוספת''': ניקח את הסדרה הבאה
:<math>a_n=1,3,1,3,1,3,\ldots</math>
מתקיים
:<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac13,3,\frac13,3,\frac13,3,\ldots</math>

ולכן לא מתכנס. אבל <math>\sqrt[n]3\to1</math> וכמובן גם <math>\sqrt[n]1\to1</math> ולכן סה"כ <math>\sqrt[n]{a_n}\to1</math> .

==שאלה 2==
נניח כי <math>f</math> פונקציה רציפה ב- <math>[0,\infty)</math> , גזירה ב- <math>(0,\infty)</math> . בנוסף נתון כי <math>f(0)=0</math> והנגזרת <math>f'</math> מונוטונית עולה ב- <math>(0,\infty)</math> .

א. הוכיחו כי <math>f'(x)\ge\frac{f(x)}{x}</math> ב- <math>(0,\infty)</math> .

ב. הוכיחו כי הפונקציה <math>g(x)=\frac{f(x)}{x}</math> מונוטונית עולה ב- <math>(0,\infty)</math> .

===פתרון===
א. יהי <math>x>0</math>. נפעיל את משפט לגראנז' על הפונקציה <math>f</math> בקטע <math>[0,x]</math> . לכן קיימת נקודה <math>0<c<x</math> כך ש:
:<math>f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}</math>
אבל מתוך מונוטוניות הנגזרת, אנו מקבלים:
:<math>f'(x)\ge f'(c)=\dfrac{f(x)}{x}</math>
כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

ב. נוכיח כי הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה מונוטונית עולה
:<math>g'(x)=\dfrac{x\cdot f'(x)-f(x)}{x^2}</math>

כיון שהמכנה חיובי תמיד, סימן הנגזרת נקבע על-ידי המונה. אבל לפי סעיף א':
:<math>x\cdot f'(x)-f(x)\ge x\cdot\dfrac{f(x)}{x}-f(x)=0</math>

==שאלה 3==
קבעו האם קיים הגבול ואם כן מצאו אותו:

א. <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1^n+2^n+\cdots+2012^n}</math>

ב. <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n</math> , כאשר <math>a_1=1\ ,\ a_{n+1}=\sin(a_n)</math>

ג. <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[\sin\big(\sqrt{x-a}\big)-\sin\big(\sqrt{x}\big)\Big]</math>

ד. <math>\lim\limits_{x\to1}\left[\dfrac1{x-1}-\dfrac1{\ln(x)}\right]</math>

===פתרון===
א. נפעיל את משפט הסנדוויץ':
:<math>2012=\sqrt[n]{2012^n}\le\sqrt[n]{1^n+2^n+\cdots+2012^n}\le\sqrt[n]{2012^n+2012^n+\cdots+2012^n}=\sqrt[n]{2012\cdot2012^n}\to2012</math>

ב. ידוע כי עבור ערכים חיוביים <math>\sin(x)<x</math> ולכן קל להוכיח באינדוקציה כי זו סדרה מונוטונית יורדת וחסומה מלרע על-ידי <math>0</math> , ולכן מתכנסת.

<math>L=\sin(L)</math> ולכן <math>L=0</math> .

אכן, אם היה פתרון אחר למשוואה <math>x-\sin(x)=0</math> הקטן מ- <math>1</math> , אזי הנגזרת הייתה צריכה להתאפס בין <math>0</math> ל- <math>1</math> (לפי רול) וקל לוודא כי זה לא קורה.

ג. כפי שראינו בכיתה, ניתן להוכיח בעזרת לגראנז' כי <math>\Big|\sin(x)-\sin(y)\Big|\le|x-y|</math> לכן,

:<math>\bigg|\sin\big(\sqrt{x-a}\big)-\sin\big(\sqrt{x}\big)\bigg|\le\Big|\sqrt{x-a}-\sqrt{x}\Big|=\left|\dfrac{-a}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x}}\right|\to 0</math>

ד.
:<math>\dfrac1{x-1}-\dfrac1{\ln(x)}=\dfrac{\ln(x)-x+1}{(x-1)\ln(x)}</math>
נגזור את המונה ואת המכנה לקבלת:
:<math>\dfrac{\frac1x-1}{\ln(x)+\frac{x-1}{x}}=\dfrac{1-x}{x\ln(x)+x-1}</math>
שוב נגזור את המונה ואת המכנה לקבלת:
:<math>-\dfrac1{\ln(x)+1+1}\to-\frac12</math>
ולכן לפי כלל לופיטל, זה גם הגבול המקורי.

==שאלה 4==
תהי <math>f(x)=x^2\sin\left(\frac1x\right)</math>

א. האם <math>f</math> רציפה במ"ש בתחום <math>(0,\infty)</math>?

ב. האם <math>f'</math> רציפה במ"ש בתחום <math>(0,\infty)</math>?

ג. הוכח/הפרך: אם <math>g</math> גזירה ורציפה במ"ש ב- <math>(0,\infty)</math> אזי נגזרתה <math>g'</math> חסומה ב- <math>(0,\infty)</math>

===פתרון===
א. 
נבחן את הנגזרת בקטע:

<math>f'(x)=2x\cdot\sin\left(\frac1x\right)-\cos\left(\frac1x\right)</math> . כיון שגבולה באינסוף סופי והיא רציפה בכל נקודה בקטע, היא חסומה בקטע <math>[1,\infty)</math>.

כמו כן קל לראות כי היא חסומה בקטע <math>(0,1)</math> (אף על פי שאין לה גבול בנקודה אפס).

בסה"כ הנגזרת חסומה ולכן לפי משפט הפונקציה <math>f</math> רציפה במ"ש בקטע.

ב. 
ניקח את שתי הסדרות <math>x_n=\dfrac1{2\pi n}</math>, ו- <math>y_n=\dfrac1{\frac{\pi}{2}+2\pi n}</math> . קל לוודא כי:

:<math>|x_n-y_n|\to0</math>

:<math>\Big|f'(x_n)-f'(y_n)\Big|\to1</math>

ולכן <math>f'</math> אינה רציפה במ"ש בקטע.

ג. 
;הפרכה
<math>f(x)=\sqrt{x}</math> רציפה במ"ש בקטע כיון שב-0 יש לה גבול סופי ובאינסופי נגזרתה חסומה. אולם הנגזרת שלה <math>f'(x)=\dfrac1{2\sqrt{x}}</math> אינה חסומה בסביבת <math>0</math>.

הפרכה נוספת:

<math>x\cdot\sin\left(\tfrac1x\right)</math> בעלת גבולות סופיים בשני קצוות הקטע, ולכן רציפה שם במ"ש. קל לוודא כי נגזרתה אינה חסומה בקטע.

==שאלה 5==
עבור כל אחד מהטורים הבאים קבעו: מתבדר/ מתכנס בהחלט/ מתכנס בתנאי:

א. <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\sin\Big(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\Big)</math>

ב. <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{n+1}{n^\sqrt{n}}</math>

ג. <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\cos^2\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}</math>

ד. <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n^n}{(n!)^2}</math>

===פתרון===/
א.

<math>\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac1{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}</math>

לכן קל לוודא לפי מבחן ההשוואה הגבולי כי הטורים
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\sin\Big(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\Big)\ ,\ \sum_{n=1}^\infty\dfrac1{\sqrt{n}}</math>
חברים, ולכן הטור אינו מתכנס בהחלט.

כיון שסינוס רציפה, מונוטונית באזור <math>0</math>, ושואפת שמה ל- <math>0</math>, מקבלים כי הטור כולו מתכנס בתנאי לפי מבחן לייבניץ.

ב. 
ברור שהחל מ- <math>n=9</math> מתקיים <math>\sqrt{n}\ge3</math> ולכן
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{n+1}{n^\sqrt{n}}\le\sum_{n=1}^\infty\dfrac{n+1}{n^3}=\sum_{n=1}^\infty\left[\dfrac1{n^2}+\dfrac1{n^3}\right]</math>
ולכן הטור מתכנס בהחלט.

ג. 
בכל מקום זוגי <math>\cos^2\left(\frac{n\pi}{2}\right)=1</math> ובכל מקום אי-זוגי זה שווה 0 לכן הטור הוא בעצם הטור המתבדר
:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{2n}</math> .

ד. 
נפעיל את מבחן המנה לקבלת:
:<math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(n+1)^{n+1}(n!)^2}{n^n\big((n+1)!\big)^2}=\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n\cdot\dfrac1{n+1}\to e\cdot0=0</math>
ולכן הטור מתכנס בהחלט.