Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

תרגול 10 תשעז

2018-02-08T09:29:09Z

Nati760: /* פתרון */

חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]].

==יחסי שקילות==
הגדרה: תהא <math>A</math> קבוצה ו-<math>R</math> יחס עליה. <math>R</math> יקרא '''יחס שקילות''' (יח"ש) אם הוא
#רפלקסיבי
#סימטרי
#טרנזיטיבי

'''סימון מקובל:'''
אם <math>R</math> יחס שקילות מסמנים גם <math>x \sim y</math> עבור <math>(x,y)\in R</math>.

וכן נסמן <math>(A,\sim)</math> את הקבוצה עם יחס השקילות.

====תרגיל====

על <math>\mathbb{R}</math> נגדיר ארבעה יחסים <math>Q,R,S,T</math> באופן הבא: לכל <math>x,y\in \mathbb{R}</math>:

<math>xQy\iff x-y=17</math>

<math>xRy\iff \exists a\in \mathbb{N}\cup \{0\}:x-y=a</math>

<math>xSy\iff \exists a\in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}:x-y=a</math>.

<math>xTy\iff \exists a\in \mathbb{Z}:x-y=a</math>.

בדקו עבור כל אחד מהם האם הוא יחס שקילות.

=====פתרון=====

<math>Q</math> לא כיון שלא רפלקסיבי, שהרי לכל <math>x\in \mathbb{R}</math> (ובפרט קיים לפחות אחד) <math>x-x=0\neq 17</math>.

<math>R</math> אמנם רפלקסיבי, אך לא סימטרי.

<math>S</math> לא טרנזיטיבי: <math>2S6\land 6S3</math> אבל לא נכון ש-<math>2S3</math>.

<math>T</math> כן יחס שקילות:

רפלקסיביות: יהי <math>x\in \mathbb{R}</math>, ניקח <math>a=0</math> ואז <math>x-x=0=a</math>.

סימטריות: <math>xTy\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z} :x-y=a \Rightarrow y-x=-a\in \mathbb{Z} \Rightarrow yTx</math>.

טרנזיטיביות: <math>xTy\land yTz\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z}: x-y=a \land \exists b\in \mathbb{Z}: y-z=b\\ \Rightarrow x-z=x-y+y-z=a+b\in \mathbb{Z}</math>.

===מחלקות שקילות וחלוקה===

הגדרה: תהא <math>A</math> קבוצה. '''חלוקה''' של <math>A</math> היא אוסף של תת קבוצות זרות של <math>A</math> המכסות את <math>A</math>. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>
כך שמתקיים:
* <math>\forall i\in I: A_i \neq \varnothing </math>.
* <math>\bigcup _{i\in I} A_i =A </math> כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה.
* הקבוצות <math>A_i</math> הן '''זרות בזוגות'''. כלומר החיתוך בין כל שתי תת קבוצות הוא ריק (<math>\forall i\ne j\in I : A_i\cap A_j = \varnothing</math>).

הגדרה:

יהא <math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math> אזי

# לכל <math>x\in A</math> מוגדרת '''מחלקת השקילות של <math>x</math>''' להיות <math>\bar{x}=[x]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\}</math>.
# ''' קבוצת המנה ''' מוגדרת <math>A/R := \{ [x]_R | x\in A\} </math>.

'''משפט''': יהא <math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math> אזי
# לכל <math>x,y\in A</math> מתקיים <math>[x]=[y]</math> או <math>[x]\cap [y] =\varnothing </math> (כלומר מחלקות השקילות זרות).
# <math>A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x]</math> (כלומר איחוד מחלקות השקילות הוא כל <math>A</math>).
הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של <math>A</math>.

מסקנה:
תהא <math>A</math> קבוצה אזי יש התאמה {<math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math>}
<math>\leftrightarrow</math> {חלוקות של <math>A</math>}.

חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת.

====תרגיל====
ראינו לעיל יחס <math>T\subseteq \mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> והראינו שהוא יחס שקילות. הוכיחו:

א. <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}\Rightarrow [x]_T\subseteq \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math>.

ב. אם <math>x,y\in [0,1)</math> שונים אז <math>[x]_T\neq [y]_T</math>.

ג. <math>\forall x\in \mathbb{R} \exists y\in [0,1): [x]_T=[y]_T</math>.

=====פתרון=====
א.נוכיח בשלילה: יהי <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math> ונניח בשלילה שקיים <math>q\in \mathbb{Q}\cap [x]_T</math>. נקבל שקיים <math>a\in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>x-q=a</math> ולכן <math>x=a+q\in \mathbb{Q}</math> בסתירה (סגירות הרציונאליים).

ב. בהינתן כל <math>x>y</math> ולכן <math>x-y>0</math> ומאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל <math>x-y<1</math>, ולכן ההפרש בהכרח לא שלם, ולכן הם לא שקולים.

ג. כל מספר כשמחסרים ממנו את הערך השלם התחתון שלו מקבלים משהו בין 0 ל-1, והם שקולים כי ההפרש הוא הערך השלם התחתון, שהוא, מהגדרתו, מספר שלם.

====תרגיל====

על <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> נגדיר יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>:

<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>.

קל לראות שזהו יחס שקילות. מהי, מבחינה גיאומטרית מחלקת השקילות של <math>(0,1)</math>? ומהי, מבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה?

=====פתרון=====

מעגל עם רדיוס 1 מסביב לראשית. קבוצת המנה - אוסף המעגלים מסביב לראשית.

תרגול 10 תשעז

2018-02-08T09:21:58Z

Nati760: /* פתרון */

חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]].

==יחסי שקילות==
הגדרה: תהא <math>A</math> קבוצה ו-<math>R</math> יחס עליה. <math>R</math> יקרא '''יחס שקילות''' (יח"ש) אם הוא
#רפלקסיבי
#סימטרי
#טרנזיטיבי

'''סימון מקובל:'''
אם <math>R</math> יחס שקילות מסמנים גם <math>x \sim y</math> עבור <math>(x,y)\in R</math>.

וכן נסמן <math>(A,\sim)</math> את הקבוצה עם יחס השקילות.

====תרגיל====

על <math>\mathbb{R}</math> נגדיר ארבעה יחסים <math>Q,R,S,T</math> באופן הבא: לכל <math>x,y\in \mathbb{R}</math>:

<math>xQy\iff x-y=17</math>

<math>xRy\iff \exists a\in \mathbb{N}\cup \{0\}:x-y=a</math>

<math>xSy\iff \exists a\in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}:x-y=a</math>.

<math>xTy\iff \exists a\in \mathbb{Z}:x-y=a</math>.

בדקו עבור כל אחד מהם האם הוא יחס שקילות.

=====פתרון=====

<math>Q</math> לא כיון שלא רפלקסיבי, שהרי לכל <math>x\in \mathbb{R}</math> (ובפרט קיים לפחות אחד) <math>x-x=0\neq 17</math>.

<math>R</math> אמנם רפלקסיבי, אך לא סימטרי.

<math>S</math> לא טרנזיטיבי: <math>2S6\land 6S3</math> אבל לא נכון ש-<math>2S3</math>.

<math>T</math> כן יחס שקילות:

רפלקסיביות: יהי <math>x\in \mathbb{R}</math>, ניקח <math>a=0</math> ואז <math>x-x=0=a</math>.

סימטריות: <math>xTy\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z} :x-y=a \Rightarrow y-x=-a\in \mathbb{Z} \Rightarrow yTx</math>.

טרנזיטיביות: <math>xTy\land yTz\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z}: x-y=a \land \exists b\in \mathbb{Z}: y-z=b\\ \Rightarrow x-z=x-y+y-z=a+b\in \mathbb{Z}</math>.

===מחלקות שקילות וחלוקה===

הגדרה: תהא <math>A</math> קבוצה. '''חלוקה''' של <math>A</math> היא אוסף של תת קבוצות זרות של <math>A</math> המכסות את <math>A</math>. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>
כך שמתקיים:
* <math>\forall i\in I: A_i \neq \varnothing </math>.
* <math>\bigcup _{i\in I} A_i =A </math> כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה.
* הקבוצות <math>A_i</math> הן '''זרות בזוגות'''. כלומר החיתוך בין כל שתי תת קבוצות הוא ריק (<math>\forall i\ne j\in I : A_i\cap A_j = \varnothing</math>).

הגדרה:

יהא <math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math> אזי

# לכל <math>x\in A</math> מוגדרת '''מחלקת השקילות של <math>x</math>''' להיות <math>\bar{x}=[x]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\}</math>.
# ''' קבוצת המנה ''' מוגדרת <math>A/R := \{ [x]_R | x\in A\} </math>.

'''משפט''': יהא <math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math> אזי
# לכל <math>x,y\in A</math> מתקיים <math>[x]=[y]</math> או <math>[x]\cap [y] =\varnothing </math> (כלומר מחלקות השקילות זרות).
# <math>A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x]</math> (כלומר איחוד מחלקות השקילות הוא כל <math>A</math>).
הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של <math>A</math>.

מסקנה:
תהא <math>A</math> קבוצה אזי יש התאמה {<math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math>}
<math>\leftrightarrow</math> {חלוקות של <math>A</math>}.

חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת.

====תרגיל====
ראינו לעיל יחס <math>T\subseteq \mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> והראינו שהוא יחס שקילות. הוכיחו:

א. <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}\Rightarrow [x]_T\subseteq \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math>.

ב. אם <math>x,y\in [0,1)</math> שונים אז <math>[x]_T\neq [y]_T</math>.

ג. <math>\forall x\in \mathbb{R} \exists y\in [0,1): [x]_T=[y]_T</math>.

=====פתרון=====
א.נוכיח בשלילה: יהי <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math> ונניח בשלילה שקיים <math>q\in \mathbb{Q}\cap [x]_T</math>. נקבל שקיים <math>a\in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>x-q=a</math> ולכן <math>x=a+q\in \mathbb{Q}</math> בסתירה (סגירות הרציונאליים).

ב. בה"כ <math>x>y</math> ולכן <math>x-y>0</math> ומאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל <math>x-y<1</math>, ולכן ההפרש בהכרח לא שלם, ולכן הם לא שקולים.

ג. כל מספר כשמחסרים ממנו את הערך השלם התחתון שלו מקבלים משהו בין 0 ל-1, והם שקולים כי ההפרש הוא הערך השלם התחתון, שהוא, מהגדרתו, מספר שלם.

====תרגיל====

על <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> נגדיר יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>:

<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>.

קל לראות שזהו יחס שקילות. מהי, מבחינה גיאומטרית מחלקת השקילות של <math>(0,1)</math>? ומהי, מבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה?

=====פתרון=====

מעגל עם רדיוס 1 מסביב לראשית. קבוצת המנה - אוסף המעגלים מסביב לראשית.

תרגול 10 תשעז

2018-02-08T09:21:29Z

Nati760: /* פתרון */

חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]].

==יחסי שקילות==
הגדרה: תהא <math>A</math> קבוצה ו-<math>R</math> יחס עליה. <math>R</math> יקרא '''יחס שקילות''' (יח"ש) אם הוא
#רפלקסיבי
#סימטרי
#טרנזיטיבי

'''סימון מקובל:'''
אם <math>R</math> יחס שקילות מסמנים גם <math>x \sim y</math> עבור <math>(x,y)\in R</math>.

וכן נסמן <math>(A,\sim)</math> את הקבוצה עם יחס השקילות.

====תרגיל====

על <math>\mathbb{R}</math> נגדיר ארבעה יחסים <math>Q,R,S,T</math> באופן הבא: לכל <math>x,y\in \mathbb{R}</math>:

<math>xQy\iff x-y=17</math>

<math>xRy\iff \exists a\in \mathbb{N}\cup \{0\}:x-y=a</math>

<math>xSy\iff \exists a\in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}:x-y=a</math>.

<math>xTy\iff \exists a\in \mathbb{Z}:x-y=a</math>.

בדקו עבור כל אחד מהם האם הוא יחס שקילות.

=====פתרון=====

<math>Q</math> לא כיון שלא רפלקסיבי, שהרי לכל <math>x\in \mathbb{R}</math> (ובפרט קיים לפחות אחד) <math>x-x=0\neq 17</math>.

<math>R</math> אמנם רפלקסיבי, אך לא סימטרי.

<math>S</math> לא טרנזיטיבי: <math>2S6\land 6S3</math> אבל לא נכון ש-<math>2S3</math>.

<math>T</math> כן יחס שקילות:

רפלקסיביות: יהי <math>x\in \mathbb{R}</math>, ניקח <math>a=0</math> ואז <math>x-x=0=a</math>.

סימטריות: <math>xTy\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z} :x-y=a \Rightarrow y-x=-a\in \mathbb{Z} \Rightarrow yTx</math>.

טרנזיטיביות: <math>xTy\land yTz\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z}: x-y=a \land \exists b\in \mathbb{Z}: y-z=b\\ \Rightarrow x-z=x-y+y-z=a+b\in \mathbb{Z}</math>.

===מחלקות שקילות וחלוקה===

הגדרה: תהא <math>A</math> קבוצה. '''חלוקה''' של <math>A</math> היא אוסף של תת קבוצות זרות של <math>A</math> המכסות את <math>A</math>. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>
כך שמתקיים:
* <math>\forall i\in I: A_i \neq \varnothing </math>.
* <math>\bigcup _{i\in I} A_i =A </math> כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה.
* הקבוצות <math>A_i</math> הן '''זרות בזוגות'''. כלומר החיתוך בין כל שתי תת קבוצות הוא ריק (<math>\forall i\ne j\in I : A_i\cap A_j = \varnothing</math>).

הגדרה:

יהא <math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math> אזי

# לכל <math>x\in A</math> מוגדרת '''מחלקת השקילות של <math>x</math>''' להיות <math>\bar{x}=[x]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\}</math>.
# ''' קבוצת המנה ''' מוגדרת <math>A/R := \{ [x]_R | x\in A\} </math>.

'''משפט''': יהא <math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math> אזי
# לכל <math>x,y\in A</math> מתקיים <math>[x]=[y]</math> או <math>[x]\cap [y] =\varnothing </math> (כלומר מחלקות השקילות זרות).
# <math>A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x]</math> (כלומר איחוד מחלקות השקילות הוא כל <math>A</math>).
הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של <math>A</math>.

מסקנה:
תהא <math>A</math> קבוצה אזי יש התאמה {<math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math>}
<math>\leftrightarrow</math> {חלוקות של <math>A</math>}.

חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת.

====תרגיל====
ראינו לעיל יחס <math>T\subseteq \mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> והראינו שהוא יחס שקילות. הוכיחו:

א. <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}\Rightarrow [x]_T\subseteq \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math>.

ב. אם <math>x,y\in [0,1)</math> שונים אז <math>[x]_T\neq [y]_T</math>.

ג. <math>\forall x\in \mathbb{R} \exists y\in [0,1): [x]_T=[y]_T</math>.

=====פתרון=====
א.נוכיח בשלילה: יהי <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math> ונניח בשלילה שקיים <math>q\in \mathbb{Q}\cap [x]_T</math>. נקבל שקיים <math>a\in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>x-q=a</math> ולכן <math>x=a+q\in \mathbb{Q}</math> בסתירה (סגירות הרציונאליים).

ב. בה"כ <math>x>y</math> ולכן <math>x-y>0</math> ומאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל <math>x-y<1</math>, ולכן ההפרש בהכרח לא שלם, ולכן הם לא שקולים.

ג. כל מספר כשמחסרים ממנו את הערך השלם התחתון שלו מקבלים משהו בין 0 ל-1, והם שקולים כי ההפרש הוא הערך השלם התחתון, שהוא, מהגדרתו, מספר שלם.

====תרגיל====

על <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> נגדיר יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>:

<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>.

קל לראות שזהו יחס שקילות. מהי, מבחינה גיאומטרית מחלקת השקילות של <math>(0,1)</math>? ומהי, מבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה?

=====פתרון=====

מעגל עם רדיוס <math>1<math> מסביב לראשית. קבוצת המנה - אוסף המעגלים מסביב לראשית.

תרגול 10 תשעז

2018-02-08T09:20:52Z

Nati760: /* פתרון */

חזרה ל[[83-116, בדידה 1 להנדסה, מערכי תרגול|דף מערכי התרגול]].

==יחסי שקילות==
הגדרה: תהא <math>A</math> קבוצה ו-<math>R</math> יחס עליה. <math>R</math> יקרא '''יחס שקילות''' (יח"ש) אם הוא
#רפלקסיבי
#סימטרי
#טרנזיטיבי

'''סימון מקובל:'''
אם <math>R</math> יחס שקילות מסמנים גם <math>x \sim y</math> עבור <math>(x,y)\in R</math>.

וכן נסמן <math>(A,\sim)</math> את הקבוצה עם יחס השקילות.

====תרגיל====

על <math>\mathbb{R}</math> נגדיר ארבעה יחסים <math>Q,R,S,T</math> באופן הבא: לכל <math>x,y\in \mathbb{R}</math>:

<math>xQy\iff x-y=17</math>

<math>xRy\iff \exists a\in \mathbb{N}\cup \{0\}:x-y=a</math>

<math>xSy\iff \exists a\in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}:x-y=a</math>.

<math>xTy\iff \exists a\in \mathbb{Z}:x-y=a</math>.

בדקו עבור כל אחד מהם האם הוא יחס שקילות.

=====פתרון=====

<math>Q</math> לא כיון שלא רפלקסיבי, שהרי לכל <math>x\in \mathbb{R}</math> (ובפרט קיים לפחות אחד) <math>x-x=0\neq 17</math>.

<math>R</math> אמנם רפלקסיבי, אך לא סימטרי.

<math>S</math> לא טרנזיטיבי: <math>2S6\land 6S3</math> אבל לא נכון ש-<math>2S3</math>.

<math>T</math> כן יחס שקילות:

רפלקסיביות: יהי <math>x\in \mathbb{R}</math>, ניקח <math>a=0</math> ואז <math>x-x=0=a</math>.

סימטריות: <math>xTy\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z} :x-y=a \Rightarrow y-x=-a\in \mathbb{Z} \Rightarrow yTx</math>.

טרנזיטיביות: <math>xTy\land yTz\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z}: x-y=a \land \exists b\in \mathbb{Z}: y-z=b\\ \Rightarrow x-z=x-y+y-z=a+b\in \mathbb{Z}</math>.

===מחלקות שקילות וחלוקה===

הגדרה: תהא <math>A</math> קבוצה. '''חלוקה''' של <math>A</math> היא אוסף של תת קבוצות זרות של <math>A</math> המכסות את <math>A</math>. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>
כך שמתקיים:
* <math>\forall i\in I: A_i \neq \varnothing </math>.
* <math>\bigcup _{i\in I} A_i =A </math> כלומר האיחוד של כל תתי הקבוצות שווה לקבוצה כולה.
* הקבוצות <math>A_i</math> הן '''זרות בזוגות'''. כלומר החיתוך בין כל שתי תת קבוצות הוא ריק (<math>\forall i\ne j\in I : A_i\cap A_j = \varnothing</math>).

הגדרה:

יהא <math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math> אזי

# לכל <math>x\in A</math> מוגדרת '''מחלקת השקילות של <math>x</math>''' להיות <math>\bar{x}=[x]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\}</math>.
# ''' קבוצת המנה ''' מוגדרת <math>A/R := \{ [x]_R | x\in A\} </math>.

'''משפט''': יהא <math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math> אזי
# לכל <math>x,y\in A</math> מתקיים <math>[x]=[y]</math> או <math>[x]\cap [y] =\varnothing </math> (כלומר מחלקות השקילות זרות).
# <math>A=\bigcup_{[x]\in A/R}[x]</math> (כלומר איחוד מחלקות השקילות הוא כל <math>A</math>).
הערה: זה בדיוק אומר שמיחס שקילות ניתן להגיע לחלוקה של <math>A</math>.

מסקנה:
תהא <math>A</math> קבוצה אזי יש התאמה {<math>R</math> יחס שקילות על <math>A</math>}
<math>\leftrightarrow</math> {חלוקות של <math>A</math>}.

חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת.

====תרגיל====
ראינו לעיל יחס <math>T\subseteq \mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> והראינו שהוא יחס שקילות. הוכיחו:

א. <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}\Rightarrow [x]_T\subseteq \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math>.

ב. אם <math>x,y\in [0,1)</math> שונים אז <math>[x]_T\neq [y]_T</math>.

ג. <math>\forall x\in \mathbb{R} \exists y\in [0,1): [x]_T=[y]_T</math>.

=====פתרון=====
א.נוכיח בשלילה: יהי <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math> ונניח בשלילה שקיים <math>q\in \mathbb{Q}\cap [x]_T</math>. נקבל שקיים <math>a\in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>x-q=a</math> ולכן <math>x=a+q\in \mathbb{Q}</math> בסתירה (סגירות הרציונאליים).

ב. בה"כ <math>x>y</math> ולכן <math>x-y>0</math> ומאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל <math>x-y<1</math>, ולכן ההפרש בהכרח לא שלם, ולכן הם לא שקולים.

ג. כל מספר כשמחסרים ממנו את הערך השלם התחתון שלו מקבלים משהו בין 0 ל-1, והם שקולים כי ההפרש הוא הערך השלם התחתון, שהוא, מהגדרתו, מספר שלם.

====תרגיל====

על <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> נגדיר יחס <math>\sim</math> לפי זה שלכל <math>(x_1,y_1),(x_2,y_2)</math>:

<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2</math>.

קל לראות שזהו יחס שקילות. מהי, מבחינה גיאומטרית מחלקת השקילות של <math>(0,1)</math>? ומהי, מבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה?

=====פתרון=====

מעגל עם רדיוס <math>1</math> מסביב לראשית. קבוצת המנה - אוסף המעגלים מסביב לראשית.

משתמש:Nati760

2017-12-06T18:03:31Z

Nati760:

'''
נתנאל לאלזר
0509348052
natilalazar@gmail.com

'''

משתמש:Nati760

2017-12-06T18:02:52Z

Nati760:

== נתנאל לאלזר
0509348052
natilalazar@gmail.com
==

משתמש:Nati760

2017-12-06T18:02:30Z

Nati760: יצירת דף עם התוכן "נתנאל לאלזר 0509348052 natilalazar@gmail.com"

נתנאל לאלזר
0509348052
natilalazar@gmail.com