Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

שיחת משתמש:Nimrod

2010-08-28T16:12:03Z

Nimrod: /* char */

== בדידה: תרגיל 1, 4.ג' ==

צ"ל <math>A\cap \bigcup_{i=1}^n B_i = \bigcup_{i=1}^n (A\cap B_i)</math> ואח"כ אתה משתמש בזה פעמיים (כדי להראות ש: <math>\bigcup_{i=1}^n A_i \cap \bigcup_{j=1}^m B_j' = \bigcup_{i=1}^n(A_i \cap \bigcup_{j=1}^m B_j') = \bigcup_{i=1}^n \bigcup_{j=1}^m (A_i \cap B_j')</math>). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 19:01, 26 ביולי 2010 (IDT)

== לינארית: תרגיל 1, 2.8א ==

אתה רוצה להראות ש-<math>\frac{1}{a+b\sqrt{p}} \in \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math>. מתקיים: <math>\frac{1}{a+b\sqrt{p}} = \frac{a-b\sqrt{p}}{a^2-b^2 p}</math>. מכיוון ש-<math>a^2-b^2 p \in \mathbb{F}</math> הטענה נכונה. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 18:46, 27 ביולי 2010 (IDT)
:<math>\left(a^2-b^2 p\right)^{-1} \in \mathbb{F} \subset \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math> ולכן <math>\frac{a}{a^2-b^2 p} \in \mathbb{F} \and \frac{-b}{a^2-b^2 p} \in \mathbb{F}</math>. לפי הגדרת <math>\mathbb{F}[\sqrt{p}]</math> ולפי דיסטריביוטיביות (שאותה צ"ל, זה קל) נובע ש-<math> \frac{a-b\sqrt{p}}{a^2-b^2 p} \in \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math> ואז, לפי <math>x^2-y^2=(x+y)(x-y)</math> (צ"ל), <math>\frac{x}{x}=1</math> ואסוציאטיביות (צ"ל) מתקיים <math> \frac{a-b\sqrt{p}}{a^2-b^2 p} = \frac{1}{a+b\sqrt{p}} \in \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 19:44, 27 ביולי 2010 (IDT)
::בזכות תומר שמתי לב ש-p לא בהכרח שייך ל-F, חכו. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:07, 27 ביולי 2010 (IDT)
:::ברגע שמוכיחים סגירות נובע מכך: <math>a^2-b^2 p \in \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math>. ניסיתי להוכיח סגירות: <math>(a+b\sqrt{p})(c+d\sqrt{p})=^\text{(distributivity)}ac+bdp+ad\sqrt{p}+bc\sqrt{p}=^\text{(associativity)}(ac+bdp)+(ad+bc)\sqrt{p}</math>. בזכות הגדרת <math>\mathbb{F}[\sqrt{p}]</math>, נותר להוכיח ש-<math>ac+bdp \in \mathbb{F}</math>, אבל בגלל קיום איבר נגדי, איבר הופכי וסגירות החיבור והכפל ב-F, צריך להתקיים ש-p שייך ל-F. חכו רגע, או שטעיתי או שיש פה משהו מתוחכם שלא ראיתי. נ.ב. נמרוד, למה מחקת? -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:37, 27 ביולי 2010 (IDT)

::::בגלל שעדיף לא לציין מה שיש בו טעות אלה רק מה שנכון
:::::חשבתי שאולי תנסו למצוא טעות (ואולי נובע מכך שלכל תת-שדה של R כל הראשוניים שייכים לתת-שדה). בכל מקרה, רוב מה שכתבתי ישמש אותנו גם אם טעיתי. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:20, 27 ביולי 2010 (IDT)

::::נזכרתי ש-<math>+_\mathbb{F}</math> זהה ל-<math>+_\mathbb{R}</math>, ולכן קל להוכיח באינדוקציה ש-<math>p\in \mathbb{F}</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]],

== לינארית: תרגיל 2, 5.16; 6.19; 6.20; ==

אני לא בטוח מה זאת אומרת "הרעיונות הכללים", אבל תבדוק אם כבר ענו על מה שאתה צריך [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה_4|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה על מט' מחלקת אפס|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה 6.20 - פולינום|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה 6.19|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה 6.20_2|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#6.20|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה 5.16|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה 6.20|כאן]] ו[[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה 6.19 סעיף ב'|כאן]]. אם יש משהו שאתה עדיין לא מבין, תשאל. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 16:56, 7 באוגוסט 2010 (IDT)
:בקשר ל-5.16, מגדירים את <math>A_k\in\mathbb F^{n\times n}</math> כך ש: <math>\forall k\in\mathbb N\setminus \{0\}: \left(A_k\right)_{i,j}=\delta_{i+k,j}</math> (כאשר <math>\delta_{i,j} = \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{if } i=j \\ 0 & \mbox{if } i \ne j \end{matrix}\right.</math> היא הדלתא של קרונקר), ומחשבים לפי <math>\left(A_m\cdot A_1\right)_{i,j}=\sum_{k=1}^n{\left(A_m\right)_{i,k}\cdot \left(A_1\right)_{k,j}}</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 19:43, 7 באוגוסט 2010 (IDT)
::עדין יש משהו שחסר לי בשביל להוכיח. בנוסף תרגיל 6.20 אני לא יודע מה לעשות שם...
:::המשך 5.16: <math>\begin{align}\left(A_m\cdot A_1\right)_{i,j} & =\sum_{k=1}^n{\left(A_m\right)_{i,k}\cdot \left(A_1\right)_{k,j}}\\ & =\sum_{k=1}^n{\delta_{i+m,k}\cdot \delta_{k+1,j}}\end{align}</math>. אנו מחפשים מתי <math>\delta_{i+m,k}\cdot \delta_{k+1,j}\not =0</math>: <math>\delta_{i+m,k}=\delta_{k+1,j}=1\implies i+m=k\and k+1=j\implies k=i+m=j-1</math> יאדה, יאדה, יאדה, לכן <math>\left(A_m\cdot A_1\right)_{i,j}=\delta_{i+m,j-1}</math>. נותר להוכיח ש-<math>\left(A_{m+1}\right)_{i,j}=\delta_{i+m,j-1}</math> (זה קל), מש"ל. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:50, 7 באוגוסט 2010 (IDT)
לצערי לא הצלחתי להבין את 6.20 אשמח אם תוכל להסביר לי (ואשמח אם תוכל להסביר לי שנית מחר את 5.16 בשביל שאהיה בטוח שהבנתי נכון את הפתרון)

== הצמוד של שורש של פולינום ==

כל המקדמים ממשיים, לכן:
<div align="left">
<math>\begin{align}p(z)&=\sum_{k=0}^n{a_k z^k}\\&=0\\&=\bar0\\&=\overline{\sum_{k=0}^n{a_k z^k}}\\&=\sum_{k=0}^n\overline{a_k z^k}\\&=\sum_{k=0}^n{a_k \bar z^k}\\&=p(\bar z)\end{align}</math>
</div>

== לינארית: תרגיל 3, דף נלווה, שאלה 2d ==

אכן <math>\operatorname{span}(\emptyset)=\{0\}</math> ([http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_H%C3%BClle ויקיפדיה הגרמנית], כאשר <math>\langle A\rangle=\operatorname{span}(A)</math>)
:אז איך אני מוכיח את הסעיף הזה?
::זה מאוד פשוט: אתה מגדיר צ"ל של איברי A (ולכן הצ"ל שייך ל-<math>\operatorname{span}(A)</math>). <math>A\subseteq B</math> ולכן זהו גם צ"ל של איברי B, ולכן זה שייך ל-<math>\operatorname{span}(B)</math>. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]],

== לינארית: תרגיל 5, שאלה 2.11 ==
נגדיר <math>A=(a_1,a_2,\dots,a_m)\ \and\ B=(b_1,b_2,\dots,b_m)\ \implies\ A+B=(a_1+b_1,\dots,a_m+b_m)</math>.
{|
{{equation|l=<math>\operatorname{colspace}(A+B)</math>|r=<math>\operatorname{span}\{a_1+b_1,\dots,a_m+b_m\}</math>}}
{{equation|o=<math>\le</math>|r=<math>\operatorname{span}\{a_1,\dots,a_m,b_1,\dots,b_m\}</math>|c=<math>\operatorname{span}\{a_1+b_1,\dots,a_m+b_m\}</math> הם צ"ל של <math>\operatorname{span}\{a_1,\dots,a_m,b_1,\dots,b_m\}</math>, לכן:}}
{{equation|ll=<math>\implies</math>|l=<math>\operatorname{rank}(A+B)</math>|o=<math>\le</math>|r=<math>\dim(\operatorname{span}\{a_1,\dots,a_m,b_1,\dots,b_m\})</math>}}
{{equation|o=<math>\le</math>|r=<math>\dim(\operatorname{span}\{a_1,\dots,a_m\})+\dim(\operatorname{span}\{b_1,\dots,b_m\})</math>|c=<math>\{a_1,\dots,a_m,b_1,\dots,b_m\}</math> תלויים לינארית ב-<math>\{a_1,\dots,a_m\}</math> ו-<math>\{b_1,\dots,b_m\}</math>}}
{{equation|r=<math>\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)</math>}}
|}
<math>\blacksquare</math>

== char ==
[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%90%D7%A4%D7%99%D7%99%D7%9F_%D7%A9%D7%9C_%D7%A9%D7%93%D7%94 מאפיין של שדה בויקיפדיה]. זה הופך את [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a65.pdf שאלה 11 בחלק ב'] למאוד קלה.
:זה עדיין לא ברור

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-21T19:34:54Z

Nimrod: /* שאלה בקשר לתשובה */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - בוחן + תרגיל 3

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 3

=שאלות=

==8.4==
אתם יכולים להגיד אם 8.4 באמת קל או שיש שם קאץ' (כי זה נראה קל מדי...)

:אין קאץ'

==קיים וקטור v+==
זה בסדר אם אני אומר שאם <math>P\begin{pmatrix}v&Av&\cdots&A^{k-1}v\end{pmatrix}=v</math> לכל וקטור <math>A^{k-1}v\not=\vec0</math> (בשאלה 7.19) עבור מטריצה P כלשהי אז <math>(v^+P)\begin{pmatrix}v&Av&\cdots&A^{k-1}v\end{pmatrix}=v^+v=I</math> כאשר <math>v^+</math> מקיים <math>v^+v=I</math>? במילים אחרות, האם צריך להוכיח שלכל וקטור המקיים <math>A^{k-1}v\not=\vec0</math> קיים <math>v^+</math> כנ"ל?

===תשובה===
1. אני לא מבין איך מטריצה כפול מטריצה נותן וקטור (במשוואה הראשונה)

2. אסור להשתמש בחומר שלא למדנו ולא שייך לקורס הזה (אלא כמובן אם אתה מגדיר את כל ההגדרות ומוכיח את כל ההוכחות הדרושות לצורך האמירה.

==7.32==
אם המטריצות הן מעל c אז איך בכלל ניתן לייצג אותן מעל r?

[[#7.20]]

==שאלה==
האם ניתן להגיד ש <math>dim(A)>=dim(span(A))</math> תמיד? וצריך להסביר את זה בצורה כלשהי?
ועוד משהו- אם נתון לי ש A מוכלת בspan(B)- אפשר להגיד ש<math>dim(A)<=dim(span(B))</math>?
:A אינו בהכרח מ"ו ולכן זה לא נכון. אתה יכול להגיד ש-<math>\forall A:|A|\ge\dim(\operatorname{span}(A))</math>. לשאלה השנייה אין שום טעם - העוצמה של A יכולה להיות גדולה, קטנה או שווה למימד. למשל <math>A_1=\{(1,0)\},A_2=\{(1,0),(0,1)\},A_3=\{(1,0),(0,1),(1,1)\}</math> מקיימות <math>1=|A_1|<\dim(\mathbb R^2),2=|A_2|=\dim(\mathbb R^2),3=|A_3|>\dim(\mathbb R^2)</math>

הערה נוספת: אכן אין משמעות לdimA אם A הוא לא מרחב. אם A הוא כן מרחב, אז A=spanA

אז מה זה אומר אם A מוכלת בspan(B)? אפשר דוגמא למתי שזה מתקיים?

:זה לא אומר כלום סתם ככה, כמו שענו לפני. דוגמא
<math>A=\{(1,0),(2,0),(3,0)\}\subseteq span\{(1,0)\}=spanB</math>

==כמה שאלות קטנות==
* '''הגדרה מתמטית של מרחב שורות:''' בהגדרה המתמטית כופלים את השיחלוף של המטריצה ב-v שהוא וקטור (שייך ל-<math>F^m</math>). אז וקטור יש, ואיפה הסקלר? ולמה המטריצה?
* האם יש משפט שאומר שאחרי דירוג קנוני של המטריצה (או שמספיק דירוג רגיל?), כל וקטורי השורות (מלבד וקטור 0) שמתקבלים הם בת"ל? (כמובן שזה די טריוויאלי אבל האם מספיק טריוויאלי בשביל להשתמש בזה בתרגיל בלי הסבר?)
* האם יש משפט שאומר ש-<math>dim(R^n)=n</math>?

תודה מראש!

===תשובה===
[[#בהמשך לשאלה: "דרך הפתרון ל7.9"]]

ובהקשר לשאלה השלישית, אתה יודע בעצמך מהו הבסיס ונובע מזה שהמימד הוא n (כי יש בבסיס n איברים)

====תשובה לתשובה====
תודה רבה על התשובה, אבל היא לא כל כך עזרה...

אני שאלתי את השאלות שם, וכאן כתבתי את מה שנשאר מחוסר ההבנה ההתחלתי שלי.

אם אפשר להסביר לי שוב (אבל לענות על השאלה של - למה כופלים במטריצה המשוחלפת ולא בסקלר) זה יעזור מאוד!

על השאלה השנייה לא ראיתי שיש שם תשובה.

בנוגע לשאלה השלישית - ניתן להסתמך על ידע אישי כשעונים על שאלה, ולא על משפטים?

=====תשובה=====
העברת את השאלות, בלי התייחסות לתשובות שם. מטריצה כפול סקל ייתן מטריצה - לא טוב. מטריצה כפול וקטור נותן וקטור - טוב מאד. הרי בצירוף לינארי של כמה וקטורים יש כמה סקלרים. כל הסקלרים האלה מרכיבים את הוקטור x. הרי <math>Ax=x_1C_1(A)+...+x_nC_n(A)</math> כאשר <math>x=(x_1,...,x_n)</math> (רק בעמודה)

יש דברים שאמרנו כל כך הרבה פעמים שהם ברורים. זה אחד מהם.

:תודה רבה, הבנתי את ההגדרה של מרחב השורות! גם תשובה לשאלה השלישית קיבלתי, עכשיו נשארה רק השנייה :)

::כן, אפשר לומר שהשורות ששונות מאפס בצורה המדורגת קנונית הם בת"ל מבלי להוכיח (אלא אם מבקשים מכם להוכיח את זה).
:::שוב תודה! והאם צריך להוכיח שהחלפת שורה L ב-aL לכל a שונה מ-0 עדיין נותנת בסיס?
::::לא, הרי זו פעולת שורה אלמנטרית - אלו לא משנות את המרחב הנפרש.

==7.19==
הצלחתי להוכיח את מה שהיה צ"ל ברמז (ש v, Av,..Ak-1v בת"ל). אפשר עזרה לגבי- מה עושים עכשיו? איך הרמז מתקשר בכלל לשאלה? תודה.
:נראה לי שהבנתי, האם הפתרון של מקובל? לפי תשובה לשאלה קודמת פה, הכמות המקסימלית לאיברים בקבוצה בת"ל הוא כמימד המרחב, ולכן ak=an2 ולכן an2=0 ולכן an*an=0 וזה אומר ש an=0? תודה. (מחקו אם יש עדיפות לא להראות פתרונות והפתרון נכון, תודה.)

::זה אמור להיות <math>a_n^2</math>? במטריצות יש מחלקי אפס ואי אפשר להסיק כפי שהסקת. אבל אפשר להסיק על <math>A^{n}v</math> כמו שתארתי.
:::כן זה היה אמור להיות n בריבוע, סימן שטעיתי. אבל לא הבנתי איך אפשר להסיק על Anv ואיך זה עוזר.
:::חוץ מזה לא הבנתי עוד משהו, אמרת שאם קבוצה עם n איברים היא בת"ל (מקסימלית?) אזי האיבר הn+1 שווה אפס. למה זה נכון, הוא יכול להיות גם תלוי לינארית באיברים 1 עד n, לא?

::::זה לא מה שאמרתי. אמרתי שלא יכול להיות קבוצה בת"ל עם n+1 איברים. אבל הוכחנו שהקבוצה הזו היא בת"ל. לכן בהכרח יש בה n ומטה איברים. מכאן ניתן להסיק שA^n=0 מכיוון שכך בנינו את הקבוצה (החזקה הגבוהה ביותר של A שאינה מתאפסת)

==העתקה לינארית==
מותר להשתמש בעובדה ש-<math>[\ ]_B:V\to\mathbb F^n</math> היא העתקה לינארית? או שצריך להוכיח?

===תשובה===
אם למדתם בהרצאה, מותר להשתמש (חייבים להזכיר את זה כמובן)
====שאלה בקשר לתשובה====
בהרצאה הראנו שההעתקה היא ליניארית וגם חח"ע ועל אז בשאלות בדף מותר לי להניח את זה (ולציין שכך הראנו בהרצאה) ורק להראות את ההתחייבות שהבת"ל נשמר (ב-2 א) או ההשתייכות לנפרש(ב- 2ב)?

:כן.
::דבר נוסף אם אני מראה לכיוון אחד אני יכול לומר שבגלל ההעתקה היא חח"ע ועל אז בהכרח הכיוון השני נכון?
:::אם תסביר שיש העתקה חח"ע ועל בשני הכיוונים ותוכיח להעתקה חח"ע ועל באופן כללי
:::: אם ההעתקה היא חח"ע ועל זה חייב להיות בשני הכיוונים לא?

==I]<sup>B</sup><sub>C</sub>]==
צ"ל ש-<math>[I]_C^B</math> מטריצה ריבועית?
:כן.

==שאלה 6.5==

לא הבנתי איך מוצאים את האיבר הכללי, אפשר הסבר? (קראתי את התשובות למטה ועדיין לא הבנתי..)

===תשובה===
אפשר בעזרת קואורדינטות ואפשר באמצעות פתרון ישיר של מערכת משוואות

<math>a+bx+cx^2=\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3</math> כאשר a,b,c פרמטרים נתונים, וצריך לחשב את אלפא בטא גמא (הדוגמא שנתתי היא פולינום כללי, וקטור כללי יהיה <math>(a,b,c)</math> וכדומה).
====שאלה בקשר לתשובה====
בסעיף של הפולינומים אפשר לכתוב את האיבר הכללי כ פולינום מהצורה : a+b)+(2b+c)x+(3c)x^2+(a+b+2c)x^3) כאשר a,b,c פרמטרים? (זו אינה התשובה)

:לא. צריך לענות על מה שאמרתי, ולא סתם להראות איך נראה וקטור כללי בspan (זו לא השאלה)
:: אני פתרתי מערכת משוואות ובסוף כתבתי את הפתרון הכללי בצורה הנ"ל,האם זה בסדר לכתוב ככה את האיבר הכללי?
:::אני לא מבין את השאלה. צריך לרשום את הפתרון '''בדיוק''' כמו שרשמתי למעלה, אחרי שחישבת את אלפא בטא וגמא בעזרת הפרמטרים a,b,c. צריך להציג וקטור כללי כצ"ל של הקבוצה הפורשת הנתונה.

==צ"ל?==
יהי C בסיס למ"ו U. האם צריך להוכיח שקיים בסיס <math>C\subseteq B</math> ל-<math>U\le V</math>? או שזה טריוויאלי?

===תשובה===
לא. רושמים "נשלים לבסיס למרחב כולו"

==6.5ג==
ב-6.5, סעיף ג', הכוונה ב-<math>\mathbb F^{2\times2}</math> היא <math>\mathbb R^{2\times2}</math>?

===תשובה===
זה לא משנה באמת, השאלה בסדר כמו שהיא.
:כלומר מספיק למצוא הפרכה לשדה F כלשהו? או שצריך לבדוק אם לכל שדה F הטענה לא מתקיימת (ואם לא - מה לעשות?)?
::כן, מספיק למצוא הפרכה לשדה מסויים או להוכיח לכל שדה.

==שאלה==
נתון <math>V=\mathbb{F}^n</math> וגם ש<math>\mathbb{H}</math> תת שדה של <math>\mathbb{F}</math>
אם אני יודע שהמימד של F מעל H הוא m אז אני יכול להגיד דבר כזה:
<math>V=\mathbb{F}^n=(\mathbb{H}^m)^n=\mathbb{H}^{mn}</math> כלומר המימד של V מעל השדה H הוא mn?
תודה מראש!

===תשובה===
לא, זה מה שצריך להוכיח.

אבל אני יודע ש:<math>V=\mathbb{F}^n</math> וגם <math>\mathbb{F}=\mathbb{H}^m</math>
אז כאילו אני מציב ומקבל <math>V=\mathbb{H}^{nm}</math>

:אבל לא למדנו חוקי חזקות למרחבים וקטורים - זה מה שצריך להוכיח.

::וחובה להשתמש בזה שH תת שדה של F? (לא אותו אחד ששאל מקודם.)

:::צריך להשתמש בכך שF מ"ו מעל H

==שאלה ראשונה בדף==
האם הנימוק הבא מספיק:
מספר האיברים של כל בסיס של מרחב וקטורי ממימד N שווה ל N => מספר האיברים ב B שווה לN, מספר האיברים ב C שווה ל N => יהיו לי N עמודות (כל עמודה מייצגת את הקורדינטות ליצוג איבר מסויים מB לפי איברי C ובגלל שיש N איברים יש N עמודות כאלה שמיצגות אותם) ויהיו N שורות (מכיוון שבC יש N איברים כל וקטור בB מוצג כצירוף ליניארי של N האיברים בC ולכן מספר הקורדינטות שווה לN ומכאן שיש N איברים בכל עמודה שזה אומר N שורות) => המטריצה ריבועית. לפי מה שהוכחנו בכיתה לכל וקטור במרחב יש הצגה יחידה לפי בסיס מסויים ולכן לכל איבר בB יש הצגה יחידה לפי C ומכאן שלכל איבר בB יש וקטור קורדינטות יחיד => לפי המשפט שאם קבוצת וקטורים בת"ל אזי קבוצת וקטורי הקורדינטות שלהם בת"ל (מוכיחים את זה בשאלה הבאה אני מניח שמותר לי להשתמש בזה לא?) אזי העמודות של המטריצה שקיבלנו בת"ל.
=> מכיוון שקיבלנו מטריצה ריבועית שעמודותיה בת"ל ומכאן לפי משפט מטריצה זו הפיכה.
זה הסבר מילולי קצת ארוך אבל האם הוא מספיק מפורט בשביל להוות הוכחה ללא חישובים? תודה (בבקשה שרק מתרגל יענה)

===תשובה===
" לפי המשפט שאם קבוצת וקטורים בת"ל אזי קבוצת וקטורי הקורדינטות שלהם בת"ל אזי העמודות של המטריצה שקיבלנו בת"ל. => מכיוון שקיבלנו מטריצה ריבועית שעמודותיה בת"ל ומכאן לפי משפט מטריצה זו הפיכה"

אני לא מבין מה צריך את כל הסיפור לפני כן.
: אז אני יכול להסיק ישר שהמטריצה ריבועית ואז לכתוב את המשפט הזה וזה הוכחה שתופסת?

::אה הבנתי עכשיו שאתה מראה שם שהמטריצה ריבועית, זה אכן חשוב. תנסה לתמצת את הסיפור. למשל מספר האיברים בB הוא n לכן <math>[v]_B\in F^n</math>. וכדומה.
:::אני אראה איך אני יכול לתמצת אבל בכללי הדרך הוכחה הזו מספיקה או שחסר בה משהו שצריך לציין או להסביר?
::::זה מספיק.

==בהמשך לשאלה: "דרך הפתרון ל7.9"==
לא הבנתי את מה שכתבתם שם, ונראה לי שזה יכול לקצר ולהקל מאוד על פתרון שאלות מהסוג הזה, אז חשוב לי להבין. מה עוזר דירוג המטריצה שהשורות שלה הם הוקטורים הנתונים? מה ניתן להסיק ממה שמתקבל? אם מתקבלת שורת אפסים - מה זה אומר? ואם לא? ואם מתקבל טור אפסים?

תודה מראש!

===תשובה===
אתה חייב לציין מה לא הבנת בדיוק.

האם אתה מבין מהו מרחב שורות? ושלמטריצות שקולות שורה יש אותו מרחב שורות?

====תשובה לתשובה====
את ההגדרה המילולית: "מרחב השורות הוא אוסף הצירופים הלינאריים של כל השורות במטריצה" אני מבינה, פשוט מתייחסים לכל שורה כוקטור ומרחב השורות הוא הנפרש שלהם. את ההגדרה המתמטית לא כל כך הבנתי (למה כופלים את המטריצה המשוחלפת בוקטור? לפי ההגדרה המילולית אמורים לכפול את הוקטור בסקלר, לא?)

את המשפט שלמטריצות שקולות שורה יש אותו מרחב שורות הבנתי.

ניסיתי לפרט כמה שיותר מה לא הבנתי, הנה:

"מה עוזר דירוג המטריצה שהשורות שלה הם הוקטורים הנתונים? מה ניתן להסיק ממה שמתקבל? אם מתקבלת שורת אפסים - מה זה אומר? ואם לא? ואם מתקבל טור אפסים?"

תודה על העזרה!

*ההגדרה המתמטית מסתמכת על העובדה ש<math>Ax</math> הוא צירוף לינארי של עמודות A עם הסקלרים מהוקטור x. כאשר שמים את A משוחלפת, העמודות שלה הן השורות של A. זה שקול ללכפול את השורות של A בסקלרים ולחבר.
:: (לא אני שאלתי את השאלה,אבל גם לי זה לא כל כך מובן)- אז ב7.9, ובאופן כללי, כדי להוכיח שקבוצה פורשת צריך לדרג את המטריצה המשוחלפת..? או שצריך להציב את הוקטורים הנתונים בתור שורות ואז לדרג?

:::אם אתה שם בשורות ומדרג אחרי הדירוג תקבל בסיס. אם תשים בעמודות, אז שיטת הפתרון שונה לחלוטין כמו בתרגיל 3 בקובץ הנוסף.

*אם את מסכימה שלמטריצות שקולות שורה יש אותו מרחב שורה, אז מה לא ברור בפעולת הדירוג? פעולות דירוג מעבירות מטריצה אחת למטריצה אחרת '''ששקולת שורה לראשונה'''. לכן לאחר פעולות שורה, המטריצה שהתקבל היא בעלת אותו מרחב שורות כמו הראשונה. זה ברור?

*בצורה המדורגת השורות השונות מאפס מהוות בסיס למרחב השורות. כך ניתן לדעת מהו המימד של מרחב השורות. אם קיבלת שורת אפסים, זה אומר שבקבוצה המקורית היו יותר וקטורים מאשר גודל המימד ולכן היא הייתה בהכרח '''ת"ל'''. טור אפסים לא רלוונטי לתהליך הספציפי הזה.

תודה רבה!!! נשארו רק כמה דברים קטנים מאוד שלא הבנתי (והעברתי את השאלות למעלה)

==שאלה כללית==
האם מותר לי לומר ישירות שהבסיס של תת מרחב שמכיל רק איבר האפס הוא 1? ( ד"א האם קבוצה כזו בכלל נחשבת תת מרחב?)

===תשובה===
לפי מה שידוע לי, 0 לא יכול לשמש כבסיס כי כל צירוף לינארי שיש בו 0 הוא תלוי לינארית (כי אפשר להגיע ל-0 מצירוף לא טריוויאלי).
אז אני די בטוח שמספר האיברים בבסיס של תת מרחב כזה הוא 0.
:[[#שאלה על מימדים]]

== 8.2.1/2==
בסעיף ד אם אני מגיע לכך שהתחום חייב להתקיים האם זה מספיק או שצריך לתת דוגמא לכל אפשרות בתחום ?(כי פתרנו משהו דומה בתרגול ואמרת לנו שצריך להראות דוגמאות אבל אני לא מבין למה צריך במקרה זה, כי אם זה לא מתקיים עבור אחד המקרה בתחום זה עדין אומר שכל מימד של חיתוך כזה חייב להיות בתחום)

===תשובה===
השאלה בכיתה הייתה "מהן האפשרויות" והיית צריך להראות שיש דוגמאות על מנת לדעת שצמצמת את התחום מספיק.

כאן מבקשים ממך להוכיח אי שיוויון בלבד, זה לא מעניינך אם אפשר למצוא אי שיוויון טוב יותר או שאי אפשר.

==7.7 ב'==
בשביל להוכיח את ב' לא השתמשתי בנתון ש-U תת מרחב וקטורי של V. האם אני אמורה להשתמש בו? כי גם בסעיף ג' הם אומרים שהקבוצה B מוכלת ב-V ואני לא רואה למה הנתון הזה הכרחי...

===תשובה===
ברור שזה חשוב, הנה דוגמא נגדית אחרת:
<math>U=span\{(0,1,0),(0,0,1)\}</math>, <math>V=span\{(1,0,0),(0,1,0)\}</math>

dimU=dimV=2 אבל <math>U\neq V</math>

====תשובה לתשובה====
תודה!

אם כך, אני חושבת שבחלק מהמשפטים שהוכחנו בהרצאה לא כתבנו את כל התנאים, כי יש לי במחברת משפט שאומר: "יהי V מ"ו כאשר dimV=n, אז כל קבוצה בת"ל עם n איברים היא בסיס ל-V". מהו המשפט הנכון?
:"...אזי כל קבוצה המוכלת בV שהיא בת"ל עם n איברים...."
::"יהי V מ"ו כאשר dimV=n, אזי כל קבוצה בת"ל המוכלת ב-V עם n איברים היא בסיס ל-V". תודה רבה!

==שאלה 8.2.1/2==
בסעיף ג' מותר לקחת בתור U ו-W מרחבים שהסכום שלהם אינו ישר?(במטרה שלהראות שאם הביטוי בשמאל מתקיים לא בהכרח הביטוי מימין גם מתקיים) <br>תודה

===תשובה===
אם זה לא סותר את נתוני השאלה אתה יכול לקחת את מה שאתה רוצה.

==צ"ל?==
יהי בסיס B ויהיו <math>b_i</math> איברי B. האם צריך להוכיח שלכל i, מספר האיברים ב-<math>b_i</math> שווה לעוצמת הבסיס? או שזה מספיק טריוויאלי?

===תשובה===
זה לא ממש הגיוני מה שרשמת,הרי <math>b_i</math> איבר ולא בהכרח קבוצה, אז איך יהיה לו מספר איברים?

===תשובה נוספת===
אני רואה פה כבר בילבול מושגים שחוזר על עצמו:

הוקטור (1,0,1) הינו '''איבר אחד בלבד''' כמו כן הפולינום 1+x^2 הוא איבר אחד בלבד. הם לא קבוצות עם 3 איברים. יש ב(1,0,1) 3 '''רכיבים''': 1, 0 ושוב 1. בפולינום יש את הרכיבים 1, 0x, x^2.

כמות הרכיבים של '''וקטור הקואורדינטות''' זהה למספר האיברים בבסיס שהוא המימד. '''מאד מומלץ לקרוא את המסמך בעמוד הראשי בנושא'''

===הבהרה===
# לפי ההגדרה המקובלת של קורטובסקי (Kazimierz Kuratowski), כל n-יה סדורה היא '''כן''' קבוצה (<math>(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}</math> ו-n-יה סדורה מוגדרת רקורסיבית כזוג סדור, שהאיבר הראשון שלו הוא האיבר הראשון ב-n-יה הסדורה, והאיבר השני הוא ה-(n-1)-יה הסדורה שנותרה, כלומר: <math>(a_1,a_2,\cdots,a_n):=(a_1,(a_2,\cdots,a_n))</math>).
# לא הייתי בטוח איך לנסח את זה, אבל כשכתבתי "מספר האיברים ב-<math>b_i</math>" התכוונתי למספר ה"רכיבים": מספר האיברים/רכיבים ב-<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math> הוא n. ברור לי שזה לא אותו דבר כמו עוצמה (הרי העוצמה של n-יה סדורה היא 1 או שניים).
# לא עניתם על השאלה: האם מותר לומר שמספר הרכיבים ב-<math>b_i</math> הוא <math>|B|</math>, או שצריך להוכיח? תודה, 18:56, 20 באוגוסט 2010 (IDT)

===תשובה===
* אתה מניח פה שמרחב הוקטורי היחיד הוא מרחב הn-יות הסדורות. כפי שלמדנו זה לא נכון. לכן הניסוח המדויק הוא מספר הרכיבים בוקטור הקואורדינטות. וזה נכון כי וקטור הקואורדינטות הוא תמיד בF^n כאשר n הוא המימד של המרחב.

* חשוב מאד לשים לב לקואורדינטות לפי איזה בסיס מדובר. כלומר, אם תסתכל על הקואורדינטות לפי הבסיס B מספר הרכיבים יהיה העוצמה של B. אבל אם נגיד B פורש תת מרחב ממימד 2 במרחב ממימד 3, ואתה מסתכל על הקואורדינטות לפי בסיס למרחב כולו ולא הבסיס B יכול להיות שמספר הרכיבים שלו יהיה גדול מהעוצמה של B. למשל:

<math>B=\{(1,0,0)\}</math> מעוצמה 1 אבל הוקטורים הם עם 3 רכיבים (כי זה למעשה וקטור הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של <math>\mathbb{R}^3</math>. לעומת זאת, הקואורדינטות של איבר הבסיס B לפי הבסיס B הם (1) עם רכיב אחד.

ואני אדגיש שוב את התשובה לשאלה: '''אין משמעות למושג מספר הרכיבים של וקטור באופן כללי'''.

==מותר?==
האם אפשר להוכיח תלות לינארית בין וקטורים נתונים לפי ציון מפורש של המקדמים, בלי להראות איך הגענו למקדמים האלה? למשל, נתונים <math>(1,2,3), (2,3,4), (2,2,2)</math> - האם מותר לומר שיש תלות לינארית כי <math>(2,3,4)=1\cdot(1,2,3)+\tfrac{1}{2}\cdot(2,2,2)</math>, מבלי לציין איך הגענו למקדמים <math>1,\tfrac{1}{2}</math>? תודה.

===תשובה===
מה אני אגיד? כן מותר, אבל אסור מן הסתם להעתיק את התשובה הזו מאחרים.

==שאלה 2 בדף==
בסעיף a, האם אפשר להגיד שנתאים לכל וקטור v1,..vn התאמה חח"ע, על והפיכה כך ש vi=[vi]b ולכן בכלל ש v1,..vn בת"ל אז [v1]b,..[vn]b בת"ל? ומכיוון שההתאמה הפיכה אז גם להפך? כי אני לא מצליח להוכיח את זה בצורה אחרת.

===תשובה===
כן ולא. בגדול מה שאתה אומר הוא נכון. אבל צריך להסביר 2 דברים:

1. מדוע ההתאמה הזו היא חח"ע

2. מדוע התאמה '''לינארית''' חח"ע משאירה קבוצה בת"ל - בת"ל.

==שאלה 8.4==
אפשר להגיד שאם <math>u1+u2=u1+u3</math> אז <math>dim(u1+u3)=dim(u1+u2)</math>
:כן. אם שני מ"ו שווים זה לזה אז הם אותו מרחב (כלומר, יש להם אותם איברים ואותן פעולות חיבור וקטורים וכפל בסקלר). לכן ברור שגם המימדים שלהם זהים.

==שאלה 7.19==
אפשר רמז? ולא הבנתי מה קשור הרמז שהם נתנו ואיך הוא עוזר? תודה רבה.
:מתוך העמוד הראשי:
===דוגמא לעבודה עם מטריצות כוקטורים===
'''[[מדיה:10Linear1MatrixVercotEx.pdf|דוגמא]]''' שימושית לתרגיל 4.
:קראתי את הדוגמה הזאת וזה ממש עזר לי ב2 התרגילים מהדף המצורף (ובכלל להבין את החומר) אבל זה ממש לא עזר לי להבין איך לפתור את 7.19
::נכון, לכן תקרא את התשובה שלי בדיוק מתחת --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:24, 20 באוגוסט 2010 (IDT)

===תשובה===
דווקא אני לא בטוח שהדוגמא הזו עוזרת. צריך להוכיח שהקבוצה שם בת"ל לפי ההגדרה - כל צירוף לינארי שלה מתאפס. איך זה עוזר? כי בתוך מרחב ממימד n כמה וקטורים הכי הרבה יכולים להיות בקבוצה בת"ל?

:n, אבל איך זה עוזר?

::אם אין יותר מn איברים שונים מאפס, אז האיבר הn+1 שווה אפס.

==צ"ל טריוויאלי==
האם צ"ל שאם <math>\sum_{i=1}^n{\left(\alpha_i\begin{pmatrix}b_1&b_2&\cdots&b_m\end{pmatrix}\right)[v_i]_B}=\vec0\iff\forall i\in\{1,\dots,n\}:\alpha_i\begin{pmatrix}b_1&b_2&\cdots&b_m\end{pmatrix}=\vec0</math> אזי <math>[v_1]_B,[v_2]_B,\dots,[v_n]_B</math> בת"ל? (ההבדל בין הטענה הזו לבין מה שלמדנו בהרצאה הוא שכאן יש מכפלה וקטורית). או שזה מספיק טריוויאלי? תודה.

===תשובה===
אני לא מבין את הטענה ולכן היא אינה טריוויאלית. לא למדנו מכפלה וקטורית.
:אני מדבר על מכפלה וקטורית במ"ו של מטריצות, ואותה '''כן''' למדנו.
::זו לא מכפלה וקטורית, זה כפל מטריצות. ולכן צריכים להיות וקטורי קואודדינטות בעמודות ולא סתם וקטורים. בכל אופן, זה מראה שבעצם המטריצה עם הb_i (בנהחה שהם קואו' וזו אכן מטריצה) כפול <math>[v_i]_B</math> הם בת"ל ולא רק וקטורי העמודה <math>[v_i]_B</math>.
:::שכחתי לציין שהבסיס הוא <math>B=\{b_1,b_2,\dots,b_m\}</math>. בכל אופן, אם אני מפרט שה-b-ים הם וקטורי הבסיס - אפשר לומר שוקטורי העמודה <math>[v_i]_B</math> בת"ל?

::::הם וקטורי בסיס, אבל יכולים להיות פולינומים. מה המשמעות של לשים פולינום כעמודה? אני עדיין לא רואה כיצד זה נובע, בוודאי בוודאי שזה לא טריוויאלי.

== בסיס ==

מה הכוונה בהגדרה של מימד, מספר האיברים בבסיס?נניח <math>V=R^2</math> וניקח בסיס {(1 0),(0 1)} אז אני מבין שיש שני וקטורים שפורשים
ובכל וקטור שני רכיבים- 1,0.
אז מה נחשב למספר האיברים בבסיס?
:יהי מ"ו <math>V</math> ויהי <math>B</math> בסיס שלו. אזי המימד של <math>V</math> יסומן <math>\dim(V)</math> ויוגדר כמספר האיברים בבסיס. כלומר: <math>\dim(V):=|B|</math>.

לא ענית לי לשאלה!אני יודע את ההגדרה!השאלה שלי היא מה נחשב למספר האיברים בבסיס?לפי הדוגמא שהבאתי..
:2, מן הסתם, כי יש שני איברים בבסיס <math>\Big)</math>שהם <math>(1,0)</math> ו-<math>\Big((0,1)</math>. באופן כללי, <math>\dim(\mathbb F^n)=n\cdot\dim(\mathbb F)</math>.

==בסיסים==
הוכחנו בכיתה שאם יש קבוצה פורשת שבה n איברים ועוד קבוצה בת"ל שבה m איברים אז m<=n.

זה לא מסתדר לי, כי זה הרי אומר שמספר האיברים בכל הבסיסים שקיימים - שווה (כי בסיס פורש ובת"ל).

אפשר הסבר? תודה מראש!

===תשובה===
מספר האיברים בכל הבסיסים אכן שווה - זה משפט.

יותר מזה, מספר האיברים בבסיס (הרי לא משנה איזה בסיס בחרת זה אותו מספר) מוגדר להיות '''המימד''' של המרחב.

====תשובה לתשובה====
תודה, אבל לא הבנת את השאלה שלי. אני דיברתי על בסיסים שהם לא בסיסים של אותו המרחב אלא של מרחבים שונים זה מזה. כמובן שמספר האיברים בהם לא בהכרח שווה, אז אני כנראה הבנתי את המשפט הזה לא נכון..?

=====תשובה=====
המשפט מדבר על קבוצות בתוך מרחב ספציפי נתון, ולא בין מרחבים שונים. הרי המושג '''פורש''' מתייחס למרחב הנתון ששניהם נמצאים בו, אחרת כל קבוצה בעולם היא פורשת (שכן כל קבוצה פורסת את הSpan של עצמה).

======הבהרה======
אז המשפט אומר שאם יש שתי קבוצות: U פורשת, V בת"ל '''ושתיהן מוכלות במ"ו מסוים''' אז |U|>=|V| ?
:רגע... איזו קבוצה U אמורה לפרוש? אני מבולבלת, תוכל לכתוב את המשפט כולו בבקשה? תודה מראש.

::יהא V מ"ו, ויהיו שתי קבוצות <math>A,B\subseteq V</math>. אזי אם A פורשת את V כלומר (spanA=V) וB בת"ל אזי <math>|A|\geq |B|</math>

:::תודה!

==שאלות בקשר ל6.5 ו-7.9==
* הכוונה ב"לבטא את האיבר הכללי בקבוצה" הוא בעצם להגיע לוקטור מהסוג <math>v=(x+5y,6y+z,x+z)</math> או במקרה של פולינומים <math>f(x)=a+(5a+c)x+(b+c+d)x^2+(2a+7d)x^3</math>? (כמובן שאלו דוגמאות ולא הפתרונות)
* לא כל כך הבנתי איך בודקים שקבוצה פורשת מרחב כמו בשאלה 7.9.

===תשובה===
*צריך להגיע למשוואה מהצורה <math>(x,y,z)=\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3</math> כאשר אתה צריך לחשב את אלפא, בטא וגמא. במילים אחרות אתה צריך לחשב את הקואורדינטות של איבר כללי לפי הבסיס הנתון.

*כמו שרשמתי למטה בתשובה לכמה שאלות. שמים בשורות מטריצה, מדרגים. אם בצורה המדורגת יש 5 שורות שונות מאפס אז זה אומר שהקבוצה פורסת מרחב ממימד 5. תת מרחב ממימד 5 במרחב ממימד 5 חייב להיות המרחב כולו.

==בקשר ל 6.5==
בשאלה צריך רק להראות את האיבר הכללי או להראות איבר כלשהו בקבוצה שאינו בנפרש? או שצריך לפרט למה זה שווה ואז להראות איבר כללי או להראות איבר שאינו שיך ולפרט למה?

===תשובה===
אם זה שווה צריך להראות איבר כללי. אם לא צריך למצוא איבר שאינו נפרש על ידי הspan.

:אז לא צריך לפרט רק לציין?

::צריך תמיד להסביר, אי אפשר לתת תשובה סופית בלבד. אפשר לא להציג את כל החישובים עד הסוף

==טריוויאלי או צ"ל?==
האם צ"ל שאם מטריצה A כלשהי מקיימת <math>\forall\vec x:A\vec x=\vec x</math> אז בהכרח <math>A=I</math>? או שזה טריוויאלי? תודה.

===תשובה===
אלא אם מבקשים להוכיח את זה, זה טריוויאלי (הרי פשוט מציבים <math>e_i</math> ומראים שעמודות המטריצה זהות לעמודות המטריצה I).

==לכל בסיס של V (מ"ו מסוים) יש אותו מספר איברים==
בהוכחה של מה שכתבתי בכותרת, לוקחים B1 בסיס של V עם n איברים, ו-B2 בסיס של V ומוכיחים שגם בו n איברים. בהתחלה מוכיחים שיש ב-B2 לכל היותר n איברים.

לאחר מכן אומרים שאם B2 מכיל פחות מ-n איברים אז B1 תלוי לינארית. למה?

תודה מראש!
:יש משפט חשוב שהיה בהרצאה שאומר שאם A פורשת וB בת"ל, אז |A| גדול שווה מ |B|. אז שמתי לב שיש דרך יותר קלה להוכיח שבכל בסיס יש אותו מספר איברים, מאשר הדרך שהמרצה הוכיח אותה- פשוט אומרים שאם יש 2 בסיסים A וB, אזי A פורשת וB בת"ל (ולכן|A| גדול שווה מ |B|) וגם B פורשת וA בת"ל ולכן (ולכן ההפך מקודם) ולכן |A| = |B|.

::תודה על התשובה המהירה! אמנם זו הוכחה פשוטה וקצרה, אבל גם ההוכחה של המרצה קצרה מאוד. רק לא הבנתי למה זה נכון: "אם B2 מכיל פחות מ-n איברים אז B1 תלוי לינארית".

:::זו אינה דרך קלה יותר- אתה פשוט מסתמך על ההוכחה הכבידה במהלך ההוכחה הקלה. תשים לב לסדר הוכחות המשפטים.

===תשובה===
משתמשים בהוכחה בלמת ההחלפה של שטייניץ (עמוד 39 למטה בחוברת). הרעיון הוא שאתה יכול להחליף את האיברים מB1 על ידי איברים מB2. בלשב מסויים יהיו בB1 כל האיברים מB2 ועוד כמה איברים אחרים. מכיוון שB2 פורסת, האיברים הנוספים האלה תלויים בקודמיהם ולכן B1 ת"ל.

:תודה!

==שאלה בדירוג מטריצה לבדיקת תלות לינארית==
כשמדרגים מטריצה לבדיקת תלות לינארית של איברים, אם מגיעים לשורת אפסים זה אומר שהאיברים הם בת"ל או ת"ל? רק כדי להיות בטוח. תודה רבה!

===תשובה===
ת"ל לינארית כמובן. כי זה אומר שיש צירוף לינארי לא טריוויאלי של השורות שהתאפס (וגם שמימד מרחב השורות קטן ממספר האיברים בקבוצה ולכן בהכרח היא ת"ל).
:תודה על הכל!

==דרך הפתרון ל7.9==
איך צריכים לפתור את השאלה? האם צריך להגיד ש
(x1,x2,x3,x4,x5) = a(1,2,3,4,5) +b(5,4,3,2,1)+...
ואז להראות שיש פתרון כללי ולכן הקבוצה הנתונה פורשת את R5?
או שיש דרך אחרת יותר קלה? תודה.

===תשובה===
למדנו שלמטריצות שקולות שורה יש את אותו מרחב שורה. מספיק לשים את הוקטורים בשורות מטריצה ולדרג.

למדנו גם שהשורות השונות מאפס בצורה המדורגת של המטריצה מהוות בסיס למרחב השורות (זה לצורך חישוב מימד במקרה הזה, כי מבקשים בסיס שמוכל בבסיס המקורי, ולא בסיס כלשהו).
:תודה. אבל תמיד מדרגים מטריצה כדי לבדוק תלות לינארית, לא האם קבוצה היא פורשת! הצלחתי בעזרת דירוג לפתור את ב', אך איך אנמק שהחמישיות פורשות את R5 בעזרת דירוג מטריצות? תודה.
::אם שמת את כל הוקטורים בששת שורות מטריצה, ואחרי דירוג הראת שהמטריצה פורשת את <math>\mathbb{R}^5</math> הרי שששת הוקטורים פורסים את המרחב גם. לפי השלישי חינם כל 5 וקטורים בת"ל ב<math>\mathbb{R}^5</math> פורשים אותו.
:::אה נכון, בעזרת השלישי חינם! תודה וסליחה על בוֹרוּת.

==בקשה==
אני מבקש מכל מי ששואל שאלה\עונה תשובה לעשות את הכותרת שלו בדרגה 2, כלומר כך למשל:
'==שאלה=='
ולא כך:
'=שאלה='
אחרת זה משרשר חדש(כי זה בדרגת כותרת של '=שאלות='), וזה נורא מציק לעין, תודה!
:לא עדיף שתדגישו את זה בהוראות? (ואולי גם כהודעה בעמוד הראשי - כאן מעט מאוד יראו את זה).

::לא אני כתבתי את ההערה.--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:20, 19 באוגוסט 2010 (IDT)
::ובכל אופן, אני לא רואה איך אפשר להפוך את ההוראות לברורות יותר, אשמח להצעות.

==שאלה על בסיסים ומ"וים==
האם ניתן להגיד (או האם זה נכון בכלל) שאם ל2 מרחבים וקטוריים יש בדיוק את אותו בסיס מסוים, (כלומר מצאתי קבוצה שהיא בסיס לשניהם) אזי המרחבים זהים (הם אותו מרחב וקטורי)? אם כן, האם אפשר לכתוב את זה בלי הוכחה או שצריך לכתוב הוכחה? אם צריך לכתוב הוכחה, איך מוכיחים את זה? תודה רבה.

===תשובה===
זה טריוויאלי, אבל אם אתה רוצה להוכיח:

B בת"ל בסיס לV אם"ם spanB=V (לפי הגדרה). אם בנוסף B בסיס לU אזי spanB=U מכאן נובע V=U.
::תודה!

==שאלה==
האם הסקלרים בכל צירוף לינארי כלשהוא חייבים להיות גדולים מאחד? (ובפרט בצירופים הלינאריים שבspan?)

===תשובה===
בשום צורה '''לא'''. הסקלרים הם סקלרים '''כלשהם''' מהשדה.

==שאלה==
האם כל span כולל את אפס?
===תשובה===
כן כל span הוא תת מרחב וקטורים.

הסבר אחר: span הוא אוסף כל הצירופים הלינאריים, בפרט הצ"ל הטריוויאלי - כלומר כל הסקלרים הם אפסים

== 7.20 ==

אפשר קצת הסבר על השאלה? אני לא יודע איך להסתכל על זה..מה עוזר לי הנתון שV מ"ו מעל שדה F?ואיך זה בדיוק
מתקשר למימד?? אם אפשר קצת רמזים..

===תשובה===
תמיד חשוב לזכור את ההגדרות - מימד הוא מספר האיברים בבסיס.

אני אתן דוגמא, מקווה שזה יעזור:

ניקח <math>V=\mathbb{C}^2,F=\mathbb{C},H=\mathbb{R}</math>. אפשר לראות שF הוא מרחב וקטורי מעל H עם הבסיס <math>\{1,i\}</math> שכן כל מספר מרוכב הוא מהצורה <math>a\cdot 1+b\cdot i</math> כאשר a,b ממשיים ובוודאי הסכום הזה מתאפס רק אם a=b=0. לכן הקבוצה הנ"ל פורשת ובת"ל ולכן היא בסיס. לכן F הוא ממימד 2 מעל H (כי יש 2 איברים בבסיס).

V הוא הוא ממימד 2 מעל F (זה ברור). נמצא לו בסיס מעל H: <math>\{(1,0),(i,0),(0,1),(0,i)\}</math> ואכן אנו רואים שV הוא ממימד 4=2x2 מעל H.

==שאלה==
אם אני יודע ש:
v מרחב וקטורי נוצר סופית,<math>B\subseteq V</math> ובנוסף:
*<math>sp(B)=V</math>
*B בת"ל.
אז אני יכול להגיד ש-B בסיס עבור V?

===תשובה===
כן. זו ההגדרה של בסיס. Span(B)=V (פורש) ובת"ל

==שאלה 7.10==
העברתי את המטריצות לעמודות, ודירגתי את המטריצה שהתקבלה.
יצאו לי ארבע שורות אפסים, האם זה אומר שהן תלויות לינארית ?
איך מנמקים את זה?

===תשובה===
השאלה היא לא כמה שורות אפסים יש, אלא כמה משתנים חופשיים יש. אם קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת Ax=0 אזי עמודות A תלויות לינארית.

== שאלה ==
איך מוכיחים שקבוצה היא פורשת? ואיך מוצאים בסיס לקבוצה?

===תשובה===
למדנו שמרחבי השורות של מטריצות שקולות שורה הם זהים. לכן על מנת למצוא בסיס לקבוצת וקטורים יש '''לשים אותם בשורות''' מטריצה '''ולדרג''' את המטריצה. '''בצורה המדורגת של המטריצה, השורות השונות מאפס מהוות בסיס''' למרחב השורות.

הspan של הקבוצה הוא כמובן הspan של השורות השונות מאפס בצורה המדורגת. כך ניתן לדעת מה הקבוצה פורשת (קבוצה תמיד פורשת את הspan שלה - זו ההגדרה).

כאשר יש מרחב וקטורי של פולינומים או מטריצות - מעבירים אותו לצורה וקטורית פשוטה כמו בתרגיל לדוגמא שפרסמנו בעמוד הראשי.

==שאלה על מימדים==
מה המימד של המרחב הוקטורי המכיל רק 0? האם סכום ישר אומר שהחיתוך נותן 0? כי אם כך אז המימד של {(a,b,0,0) סכום ישר (0a,0,d,c)} שווה לסכום המימדים שהוא 4, פחות מימד החיתוך שהוא 1, לא? אזי מימד הסכום שווה ל3 אבל הוא באמת שווה ל-4. מה הולך פה?

===תשובה===
המימד של מרחב האפס {0} הוא אפס. הבסיס שלו הוא הקבוצה הריקה.

==שאלה כללית==
האם שורותיה של מטריצה בדורגת הם בהכרח בת"ל?

===תשובה===
שורותיה השונות מאפס של מטריצה מדורגת הן בהכרח בת"ל. אף שורה איננה צ"ל של קודמותיה, כי יש לה אפסים במקומות בהם יש לשורות הקודמות איברים פותחים.

==שאלה==
האם אני יכול להגיד את הדבר הבא?
<math>span(A+B)=span(span(A\cup B))=span(A\cup B)=A\cup B=span(A)\cup span(B)</math>
תודה מראש...

===תשובה===
לא. האיחוד של תתי מרחבים לרוב אינו תת מרחב. שאלה זו מופיעה בתרגיל 3, והפרכתה נמצאת בפתרונות.

המעבר הראשון הלא חוקי (משמאל לימין) הוא שאפשר להוריד את הspan ולהשאיר שיוויון. מה פתאום הspan של קבוצה שווה לקבוצה? הרי הקבוצה יכולה להיות סופית, ואוסף כל הצירופים הלינאריים הוא אינו סופי (מעל שדה אינסופי כמובן)

== שאלה ==
1.אם (V1,v2...vn) וקטורים בת"ל וגם (u1,u2,...,un) וקטורים בת"ל ומתקיים ש:
v1=a1u1+a2u2...anun,...,vn=b1u1+b2u2+...+bnun , אני יכולה להגיד ש {a1,...,an}..{b1,...,bn הם בת"ל?

2. מטריצת מעבר היא חייבת להיות ריבועית?

===תשובה===
1. סקלרים לא יכולים לעולם להיות בת"ל. ההגדרה של בת"ל תקפה רק לגבי וקטורים.

2. כן. כי הרי יש בה n עמודות (מספר האיברים בבסיס B) שכל אחת מהן באורך n (מספר האיברים בבסיס C). הרי מספר האיברים זהה בכל הבסיסים.

:לגבי 1. אני לא מבינה! הרי כן אפשר להסתכל על כוקטורי עמודה {a1,..,an},{b1,...,bn ולשאול האם הם תלויים לינארית?

::הסימון עם סוגריים מסולסלים מסמן קבוצה, ולא וקטור עמודה. את מתכוונת ל<math>(a_1,...,a_n),(b_1,...,b_n)</math>? (כלומר, 2 וקטורי קואורדינטות) אה.. אני בכלל מבין עכשיו את הטעות בסימון. מהם הסקלרים שבין a ל b?

::אני מניח שהתכוונת ל
::<math>v_i=a_{1i}u_1+...+a_{ni}u_n</math> ואז השאלה אם הקבוצה <math>\{(a_{1i},...,a_{ni})|1\leq i \leq n\}</math> היא בת"ל. אבל זה בדיוק השאלה בשיעורי הבית. צריך להוכיח את זה.

::רמז: ההעתקה מv לקואורדינטות של v לפי בסיס מסוים, הינה העתקה לינארית.

== שאלה לתשובה ==

רציתי לשאול עוד בנושא, נניח ואני מגיעה לכך ש

<math>(a1u1+...anun),(b1u1+..+bnun),...,(c1u1+..+cnun)</math> שונים מאפס ובת"ל.

האם אני יכולה להסיק ש <math>(a1..an),(b1..bn),...,(c1..cn)</math> חייבים להיות שונים מ0 ובת"ל?

*אי אפשר לרשום בסקלרים a,b...c זה כמו לרשום <math>a_1u_1,a_2u_2...a_3u_n</math> זה פשוט לא עובד.

*הסימון סוגריים מסולסלים שהיה במקור - שמור לקבוצות בלבד, לא לוקטורים.

*זה נכון, אבל צריך להוכיח את זה. (למעשה זו השאלה רק במילים אחרות).

==שאלה 2 בדף המצורף==
כל מספר מסוים של וקטורים מתוך מרחב מסוים שהם בת"ל הם בהכרח גם בסיס של אותו המרחב?

===תשובה===
בוודאי שלא. בסיס הוא '''פורש''' וגם '''בת"ל'''. אחד התנאים בלבד אינו מספיק. מספר הוקטורים היחיד שיכול להיות בבסיס הוא המימד של המרחב.

לדוגמא:
<math>\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3</math> בת"ל אבל לא בסיס.

אבל (ואולי לזה התכוונת) אם ניקח קבוצה בת"ל עם מספר וקטורים כגודל המימד של המרחב היא אכן תהיה בסיס תודות למשפט השלישי חינם.

==שאלה 6.4א==
בשאלה מבקשים לוהכיח שאם חיתוך של שני ספאנים שונה מאפס, אבל כל ספאן יוצר צירוף לינארי מתאפס, אז הטענה בכלל לא יכולה להיות נכונה, האם זה בעיה בתרגיל?

===תשובה===
<math>\{0,1\}\neq \{0\}</math>

===שאלה על התשובה===
את/ה יכול/ה לתת דוגמא ל2 קבוצות שמקיימות את התנאי הזה?

====דוגמא====
ניקח <math>B=\{(1,0,1),(1,0,-1)\},A=\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3</math>

<math>span(A)\cap span(B) = span\{(1,0,0)\}\neq \{0\}</math>

במילים: יש צירוף לינארי של A וצירוף לינארי של B ששניהם שווים זה לזה אבל שונים מאפס.

== שאלה 3 ב בבוחן ==
שלום, לא הבנתי למה הזווית של 1+i היא בדיוק פי חלקי ארבע? מה החישוב שעושים?

===תשובה===
במישור המרוכב זו הנקודה (1,1) שנמצאת בדיוק על הקו הישר x=y שנמצא בזוית 45 מעלות (כי הוא חוצה את הזוית הישרה בין הצירים). אם זה לא מספיק ברור, גם <math>tg(\theta)=\frac{b}{a}=\frac{1}{1}=1</math> ולכן <math>\theta = \frac{\pi}{4}</math>

== שאלה 1 ב' בבוחן ==
בפתרונות כתוב שאם נדרג נמצא שורת סתירה עבור a=0ולכן אין פיתרון.
דרגתי כמה וכמה פעמים ואני לא מוצאת שום שורת סתירה!
אני כן מחלקת בa כחלק מהפעולות אלמנטריות אבל כשאני רוצה להוכיח שבאמת אין פיתרון עבור a=0 אני לא מצליחה!
אתה יכול לפרט יותר?

===תשובה===
אסור לחלק בa כחלק מהפעולות האלמנטריות כאשר בודקים את המקרה a=0 זה מקור הטעות.

תציבי במטריצה '''המקורית''' a=0 ותראי לאן את מגיעה.
אוקי תודה!

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-21T19:28:18Z

Nimrod: /* שאלה בקשר לתשובה */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - בוחן + תרגיל 3

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 3

=שאלות=

==8.4==
אתם יכולים להגיד אם 8.4 באמת קל או שיש שם קאץ' (כי זה נראה קל מדי...)

:אין קאץ'

==קיים וקטור v+==
זה בסדר אם אני אומר שאם <math>P\begin{pmatrix}v&Av&\cdots&A^{k-1}v\end{pmatrix}=v</math> לכל וקטור <math>A^{k-1}v\not=\vec0</math> (בשאלה 7.19) עבור מטריצה P כלשהי אז <math>(v^+P)\begin{pmatrix}v&Av&\cdots&A^{k-1}v\end{pmatrix}=v^+v=I</math> כאשר <math>v^+</math> מקיים <math>v^+v=I</math>? במילים אחרות, האם צריך להוכיח שלכל וקטור המקיים <math>A^{k-1}v\not=\vec0</math> קיים <math>v^+</math> כנ"ל?

===תשובה===
1. אני לא מבין איך מטריצה כפול מטריצה נותן וקטור (במשוואה הראשונה)

2. אסור להשתמש בחומר שלא למדנו ולא שייך לקורס הזה (אלא כמובן אם אתה מגדיר את כל ההגדרות ומוכיח את כל ההוכחות הדרושות לצורך האמירה.

==7.32==
אם המטריצות הן מעל c אז איך בכלל ניתן לייצג אותן מעל r?

[[#7.20]]

==שאלה==
האם ניתן להגיד ש <math>dim(A)>=dim(span(A))</math> תמיד? וצריך להסביר את זה בצורה כלשהי?
ועוד משהו- אם נתון לי ש A מוכלת בspan(B)- אפשר להגיד ש<math>dim(A)<=dim(span(B))</math>?
:A אינו בהכרח מ"ו ולכן זה לא נכון. אתה יכול להגיד ש-<math>\forall A:|A|\ge\dim(\operatorname{span}(A))</math>. לשאלה השנייה אין שום טעם - העוצמה של A יכולה להיות גדולה, קטנה או שווה למימד. למשל <math>A_1=\{(1,0)\},A_2=\{(1,0),(0,1)\},A_3=\{(1,0),(0,1),(1,1)\}</math> מקיימות <math>1=|A_1|<\dim(\mathbb R^2),2=|A_2|=\dim(\mathbb R^2),3=|A_3|>\dim(\mathbb R^2)</math>

הערה נוספת: אכן אין משמעות לdimA אם A הוא לא מרחב. אם A הוא כן מרחב, אז A=spanA

אז מה זה אומר אם A מוכלת בspan(B)? אפשר דוגמא למתי שזה מתקיים?

:זה לא אומר כלום סתם ככה, כמו שענו לפני. דוגמא
<math>A=\{(1,0),(2,0),(3,0)\}\subseteq span\{(1,0)\}=spanB</math>

==כמה שאלות קטנות==
* '''הגדרה מתמטית של מרחב שורות:''' בהגדרה המתמטית כופלים את השיחלוף של המטריצה ב-v שהוא וקטור (שייך ל-<math>F^m</math>). אז וקטור יש, ואיפה הסקלר? ולמה המטריצה?
* האם יש משפט שאומר שאחרי דירוג קנוני של המטריצה (או שמספיק דירוג רגיל?), כל וקטורי השורות (מלבד וקטור 0) שמתקבלים הם בת"ל? (כמובן שזה די טריוויאלי אבל האם מספיק טריוויאלי בשביל להשתמש בזה בתרגיל בלי הסבר?)
* האם יש משפט שאומר ש-<math>dim(R^n)=n</math>?

תודה מראש!

===תשובה===
[[#בהמשך לשאלה: "דרך הפתרון ל7.9"]]

ובהקשר לשאלה השלישית, אתה יודע בעצמך מהו הבסיס ונובע מזה שהמימד הוא n (כי יש בבסיס n איברים)

====תשובה לתשובה====
תודה רבה על התשובה, אבל היא לא כל כך עזרה...

אני שאלתי את השאלות שם, וכאן כתבתי את מה שנשאר מחוסר ההבנה ההתחלתי שלי.

אם אפשר להסביר לי שוב (אבל לענות על השאלה של - למה כופלים במטריצה המשוחלפת ולא בסקלר) זה יעזור מאוד!

על השאלה השנייה לא ראיתי שיש שם תשובה.

בנוגע לשאלה השלישית - ניתן להסתמך על ידע אישי כשעונים על שאלה, ולא על משפטים?

=====תשובה=====
העברת את השאלות, בלי התייחסות לתשובות שם. מטריצה כפול סקל ייתן מטריצה - לא טוב. מטריצה כפול וקטור נותן וקטור - טוב מאד. הרי בצירוף לינארי של כמה וקטורים יש כמה סקלרים. כל הסקלרים האלה מרכיבים את הוקטור x. הרי <math>Ax=x_1C_1(A)+...+x_nC_n(A)</math> כאשר <math>x=(x_1,...,x_n)</math> (רק בעמודה)

יש דברים שאמרנו כל כך הרבה פעמים שהם ברורים. זה אחד מהם.

:תודה רבה, הבנתי את ההגדרה של מרחב השורות! גם תשובה לשאלה השלישית קיבלתי, עכשיו נשארה רק השנייה :)

::כן, אפשר לומר שהשורות ששונות מאפס בצורה המדורגת קנונית הם בת"ל מבלי להוכיח (אלא אם מבקשים מכם להוכיח את זה).
:::שוב תודה! והאם צריך להוכיח שהחלפת שורה L ב-aL לכל a שונה מ-0 עדיין נותנת בסיס?

==7.19==
הצלחתי להוכיח את מה שהיה צ"ל ברמז (ש v, Av,..Ak-1v בת"ל). אפשר עזרה לגבי- מה עושים עכשיו? איך הרמז מתקשר בכלל לשאלה? תודה.
:נראה לי שהבנתי, האם הפתרון של מקובל? לפי תשובה לשאלה קודמת פה, הכמות המקסימלית לאיברים בקבוצה בת"ל הוא כמימד המרחב, ולכן ak=an2 ולכן an2=0 ולכן an*an=0 וזה אומר ש an=0? תודה. (מחקו אם יש עדיפות לא להראות פתרונות והפתרון נכון, תודה.)

::זה אמור להיות <math>a_n^2</math>? במטריצות יש מחלקי אפס ואי אפשר להסיק כפי שהסקת. אבל אפשר להסיק על <math>A^{n}v</math> כמו שתארתי.
:::כן זה היה אמור להיות n בריבוע, סימן שטעיתי. אבל לא הבנתי איך אפשר להסיק על Anv ואיך זה עוזר.
:::חוץ מזה לא הבנתי עוד משהו, אמרת שאם קבוצה עם n איברים היא בת"ל (מקסימלית?) אזי האיבר הn+1 שווה אפס. למה זה נכון, הוא יכול להיות גם תלוי לינארית באיברים 1 עד n, לא?

::::זה לא מה שאמרתי. אמרתי שלא יכול להיות קבוצה בת"ל עם n+1 איברים. אבל הוכחנו שהקבוצה הזו היא בת"ל. לכן בהכרח יש בה n ומטה איברים. מכאן ניתן להסיק שA^n=0 מכיוון שכך בנינו את הקבוצה (החזקה הגבוהה ביותר של A שאינה מתאפסת)

==העתקה לינארית==
מותר להשתמש בעובדה ש-<math>[\ ]_B:V\to\mathbb F^n</math> היא העתקה לינארית? או שצריך להוכיח?

===תשובה===
אם למדתם בהרצאה, מותר להשתמש (חייבים להזכיר את זה כמובן)
====שאלה בקשר לתשובה====
בהרצאה הראנו שההעתקה היא ליניארית וגם חח"ע ועל אז בשאלות בדף מותר לי להניח את זה (ולציין שכך הראנו בהרצאה) ורק להראות את ההתחייבות שהבת"ל נשמר (ב-2 א) או ההשתייכות לנפרש(ב- 2ב)?

:כן.
::דבר נוסף אם אני מראה לכיוון אחד אני יכול לומר שבגלל ההעתקה היא חח"ע ועל אז בהכרח הכיוון השני נכון?

==I]<sup>B</sup><sub>C</sub>]==
צ"ל ש-<math>[I]_C^B</math> מטריצה ריבועית?
:כן.

==שאלה 6.5==

לא הבנתי איך מוצאים את האיבר הכללי, אפשר הסבר? (קראתי את התשובות למטה ועדיין לא הבנתי..)

===תשובה===
אפשר בעזרת קואורדינטות ואפשר באמצעות פתרון ישיר של מערכת משוואות

<math>a+bx+cx^2=\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3</math> כאשר a,b,c פרמטרים נתונים, וצריך לחשב את אלפא בטא גמא (הדוגמא שנתתי היא פולינום כללי, וקטור כללי יהיה <math>(a,b,c)</math> וכדומה).
====שאלה בקשר לתשובה====
בסעיף של הפולינומים אפשר לכתוב את האיבר הכללי כ פולינום מהצורה : a+b)+(2b+c)x+(3c)x^2+(a+b+2c)x^3) כאשר a,b,c פרמטרים? (זו אינה התשובה)

:לא. צריך לענות על מה שאמרתי, ולא סתם להראות איך נראה וקטור כללי בspan (זו לא השאלה)
:: אני פתרתי מערכת משוואות ובסוף כתבתי את הפתרון הכללי בצורה הנ"ל,האם זה בסדר לכתוב ככה את האיבר הכללי?
:::אני לא מבין את השאלה. צריך לרשום את הפתרון '''בדיוק''' כמו שרשמתי למעלה, אחרי שחישבת את אלפא בטא וגמא בעזרת הפרמטרים a,b,c. צריך להציג וקטור כללי כצ"ל של הקבוצה הפורשת הנתונה.

==צ"ל?==
יהי C בסיס למ"ו U. האם צריך להוכיח שקיים בסיס <math>C\subseteq B</math> ל-<math>U\le V</math>? או שזה טריוויאלי?

===תשובה===
לא. רושמים "נשלים לבסיס למרחב כולו"

==6.5ג==
ב-6.5, סעיף ג', הכוונה ב-<math>\mathbb F^{2\times2}</math> היא <math>\mathbb R^{2\times2}</math>?

===תשובה===
זה לא משנה באמת, השאלה בסדר כמו שהיא.
:כלומר מספיק למצוא הפרכה לשדה F כלשהו? או שצריך לבדוק אם לכל שדה F הטענה לא מתקיימת (ואם לא - מה לעשות?)?
::כן, מספיק למצוא הפרכה לשדה מסויים או להוכיח לכל שדה.

==שאלה==
נתון <math>V=\mathbb{F}^n</math> וגם ש<math>\mathbb{H}</math> תת שדה של <math>\mathbb{F}</math>
אם אני יודע שהמימד של F מעל H הוא m אז אני יכול להגיד דבר כזה:
<math>V=\mathbb{F}^n=(\mathbb{H}^m)^n=\mathbb{H}^{mn}</math> כלומר המימד של V מעל השדה H הוא mn?
תודה מראש!

===תשובה===
לא, זה מה שצריך להוכיח.

אבל אני יודע ש:<math>V=\mathbb{F}^n</math> וגם <math>\mathbb{F}=\mathbb{H}^m</math>
אז כאילו אני מציב ומקבל <math>V=\mathbb{H}^{nm}</math>

:אבל לא למדנו חוקי חזקות למרחבים וקטורים - זה מה שצריך להוכיח.

::וחובה להשתמש בזה שH תת שדה של F? (לא אותו אחד ששאל מקודם.)

:::צריך להשתמש בכך שF מ"ו מעל H

==שאלה ראשונה בדף==
האם הנימוק הבא מספיק:
מספר האיברים של כל בסיס של מרחב וקטורי ממימד N שווה ל N => מספר האיברים ב B שווה לN, מספר האיברים ב C שווה ל N => יהיו לי N עמודות (כל עמודה מייצגת את הקורדינטות ליצוג איבר מסויים מB לפי איברי C ובגלל שיש N איברים יש N עמודות כאלה שמיצגות אותם) ויהיו N שורות (מכיוון שבC יש N איברים כל וקטור בB מוצג כצירוף ליניארי של N האיברים בC ולכן מספר הקורדינטות שווה לN ומכאן שיש N איברים בכל עמודה שזה אומר N שורות) => המטריצה ריבועית. לפי מה שהוכחנו בכיתה לכל וקטור במרחב יש הצגה יחידה לפי בסיס מסויים ולכן לכל איבר בB יש הצגה יחידה לפי C ומכאן שלכל איבר בB יש וקטור קורדינטות יחיד => לפי המשפט שאם קבוצת וקטורים בת"ל אזי קבוצת וקטורי הקורדינטות שלהם בת"ל (מוכיחים את זה בשאלה הבאה אני מניח שמותר לי להשתמש בזה לא?) אזי העמודות של המטריצה שקיבלנו בת"ל.
=> מכיוון שקיבלנו מטריצה ריבועית שעמודותיה בת"ל ומכאן לפי משפט מטריצה זו הפיכה.
זה הסבר מילולי קצת ארוך אבל האם הוא מספיק מפורט בשביל להוות הוכחה ללא חישובים? תודה (בבקשה שרק מתרגל יענה)

===תשובה===
" לפי המשפט שאם קבוצת וקטורים בת"ל אזי קבוצת וקטורי הקורדינטות שלהם בת"ל אזי העמודות של המטריצה שקיבלנו בת"ל. => מכיוון שקיבלנו מטריצה ריבועית שעמודותיה בת"ל ומכאן לפי משפט מטריצה זו הפיכה"

אני לא מבין מה צריך את כל הסיפור לפני כן.
: אז אני יכול להסיק ישר שהמטריצה ריבועית ואז לכתוב את המשפט הזה וזה הוכחה שתופסת?

::אה הבנתי עכשיו שאתה מראה שם שהמטריצה ריבועית, זה אכן חשוב. תנסה לתמצת את הסיפור. למשל מספר האיברים בB הוא n לכן <math>[v]_B\in F^n</math>. וכדומה.
:::אני אראה איך אני יכול לתמצת אבל בכללי הדרך הוכחה הזו מספיקה או שחסר בה משהו שצריך לציין או להסביר?
::::זה מספיק.

==בהמשך לשאלה: "דרך הפתרון ל7.9"==
לא הבנתי את מה שכתבתם שם, ונראה לי שזה יכול לקצר ולהקל מאוד על פתרון שאלות מהסוג הזה, אז חשוב לי להבין. מה עוזר דירוג המטריצה שהשורות שלה הם הוקטורים הנתונים? מה ניתן להסיק ממה שמתקבל? אם מתקבלת שורת אפסים - מה זה אומר? ואם לא? ואם מתקבל טור אפסים?

תודה מראש!

===תשובה===
אתה חייב לציין מה לא הבנת בדיוק.

האם אתה מבין מהו מרחב שורות? ושלמטריצות שקולות שורה יש אותו מרחב שורות?

====תשובה לתשובה====
את ההגדרה המילולית: "מרחב השורות הוא אוסף הצירופים הלינאריים של כל השורות במטריצה" אני מבינה, פשוט מתייחסים לכל שורה כוקטור ומרחב השורות הוא הנפרש שלהם. את ההגדרה המתמטית לא כל כך הבנתי (למה כופלים את המטריצה המשוחלפת בוקטור? לפי ההגדרה המילולית אמורים לכפול את הוקטור בסקלר, לא?)

את המשפט שלמטריצות שקולות שורה יש אותו מרחב שורות הבנתי.

ניסיתי לפרט כמה שיותר מה לא הבנתי, הנה:

"מה עוזר דירוג המטריצה שהשורות שלה הם הוקטורים הנתונים? מה ניתן להסיק ממה שמתקבל? אם מתקבלת שורת אפסים - מה זה אומר? ואם לא? ואם מתקבל טור אפסים?"

תודה על העזרה!

*ההגדרה המתמטית מסתמכת על העובדה ש<math>Ax</math> הוא צירוף לינארי של עמודות A עם הסקלרים מהוקטור x. כאשר שמים את A משוחלפת, העמודות שלה הן השורות של A. זה שקול ללכפול את השורות של A בסקלרים ולחבר.
:: (לא אני שאלתי את השאלה,אבל גם לי זה לא כל כך מובן)- אז ב7.9, ובאופן כללי, כדי להוכיח שקבוצה פורשת צריך לדרג את המטריצה המשוחלפת..? או שצריך להציב את הוקטורים הנתונים בתור שורות ואז לדרג?

:::אם אתה שם בשורות ומדרג אחרי הדירוג תקבל בסיס. אם תשים בעמודות, אז שיטת הפתרון שונה לחלוטין כמו בתרגיל 3 בקובץ הנוסף.

*אם את מסכימה שלמטריצות שקולות שורה יש אותו מרחב שורה, אז מה לא ברור בפעולת הדירוג? פעולות דירוג מעבירות מטריצה אחת למטריצה אחרת '''ששקולת שורה לראשונה'''. לכן לאחר פעולות שורה, המטריצה שהתקבל היא בעלת אותו מרחב שורות כמו הראשונה. זה ברור?

*בצורה המדורגת השורות השונות מאפס מהוות בסיס למרחב השורות. כך ניתן לדעת מהו המימד של מרחב השורות. אם קיבלת שורת אפסים, זה אומר שבקבוצה המקורית היו יותר וקטורים מאשר גודל המימד ולכן היא הייתה בהכרח '''ת"ל'''. טור אפסים לא רלוונטי לתהליך הספציפי הזה.

תודה רבה!!! נשארו רק כמה דברים קטנים מאוד שלא הבנתי (והעברתי את השאלות למעלה)

==שאלה כללית==
האם מותר לי לומר ישירות שהבסיס של תת מרחב שמכיל רק איבר האפס הוא 1? ( ד"א האם קבוצה כזו בכלל נחשבת תת מרחב?)

===תשובה===
לפי מה שידוע לי, 0 לא יכול לשמש כבסיס כי כל צירוף לינארי שיש בו 0 הוא תלוי לינארית (כי אפשר להגיע ל-0 מצירוף לא טריוויאלי).
אז אני די בטוח שמספר האיברים בבסיס של תת מרחב כזה הוא 0.
:[[#שאלה על מימדים]]

== 8.2.1/2==
בסעיף ד אם אני מגיע לכך שהתחום חייב להתקיים האם זה מספיק או שצריך לתת דוגמא לכל אפשרות בתחום ?(כי פתרנו משהו דומה בתרגול ואמרת לנו שצריך להראות דוגמאות אבל אני לא מבין למה צריך במקרה זה, כי אם זה לא מתקיים עבור אחד המקרה בתחום זה עדין אומר שכל מימד של חיתוך כזה חייב להיות בתחום)

===תשובה===
השאלה בכיתה הייתה "מהן האפשרויות" והיית צריך להראות שיש דוגמאות על מנת לדעת שצמצמת את התחום מספיק.

כאן מבקשים ממך להוכיח אי שיוויון בלבד, זה לא מעניינך אם אפשר למצוא אי שיוויון טוב יותר או שאי אפשר.

==7.7 ב'==
בשביל להוכיח את ב' לא השתמשתי בנתון ש-U תת מרחב וקטורי של V. האם אני אמורה להשתמש בו? כי גם בסעיף ג' הם אומרים שהקבוצה B מוכלת ב-V ואני לא רואה למה הנתון הזה הכרחי...

===תשובה===
ברור שזה חשוב, הנה דוגמא נגדית אחרת:
<math>U=span\{(0,1,0),(0,0,1)\}</math>, <math>V=span\{(1,0,0),(0,1,0)\}</math>

dimU=dimV=2 אבל <math>U\neq V</math>

====תשובה לתשובה====
תודה!

אם כך, אני חושבת שבחלק מהמשפטים שהוכחנו בהרצאה לא כתבנו את כל התנאים, כי יש לי במחברת משפט שאומר: "יהי V מ"ו כאשר dimV=n, אז כל קבוצה בת"ל עם n איברים היא בסיס ל-V". מהו המשפט הנכון?
:"...אזי כל קבוצה המוכלת בV שהיא בת"ל עם n איברים...."
::"יהי V מ"ו כאשר dimV=n, אזי כל קבוצה בת"ל המוכלת ב-V עם n איברים היא בסיס ל-V". תודה רבה!

==שאלה 8.2.1/2==
בסעיף ג' מותר לקחת בתור U ו-W מרחבים שהסכום שלהם אינו ישר?(במטרה שלהראות שאם הביטוי בשמאל מתקיים לא בהכרח הביטוי מימין גם מתקיים) <br>תודה

===תשובה===
אם זה לא סותר את נתוני השאלה אתה יכול לקחת את מה שאתה רוצה.

==צ"ל?==
יהי בסיס B ויהיו <math>b_i</math> איברי B. האם צריך להוכיח שלכל i, מספר האיברים ב-<math>b_i</math> שווה לעוצמת הבסיס? או שזה מספיק טריוויאלי?

===תשובה===
זה לא ממש הגיוני מה שרשמת,הרי <math>b_i</math> איבר ולא בהכרח קבוצה, אז איך יהיה לו מספר איברים?

===תשובה נוספת===
אני רואה פה כבר בילבול מושגים שחוזר על עצמו:

הוקטור (1,0,1) הינו '''איבר אחד בלבד''' כמו כן הפולינום 1+x^2 הוא איבר אחד בלבד. הם לא קבוצות עם 3 איברים. יש ב(1,0,1) 3 '''רכיבים''': 1, 0 ושוב 1. בפולינום יש את הרכיבים 1, 0x, x^2.

כמות הרכיבים של '''וקטור הקואורדינטות''' זהה למספר האיברים בבסיס שהוא המימד. '''מאד מומלץ לקרוא את המסמך בעמוד הראשי בנושא'''

===הבהרה===
# לפי ההגדרה המקובלת של קורטובסקי (Kazimierz Kuratowski), כל n-יה סדורה היא '''כן''' קבוצה (<math>(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}</math> ו-n-יה סדורה מוגדרת רקורסיבית כזוג סדור, שהאיבר הראשון שלו הוא האיבר הראשון ב-n-יה הסדורה, והאיבר השני הוא ה-(n-1)-יה הסדורה שנותרה, כלומר: <math>(a_1,a_2,\cdots,a_n):=(a_1,(a_2,\cdots,a_n))</math>).
# לא הייתי בטוח איך לנסח את זה, אבל כשכתבתי "מספר האיברים ב-<math>b_i</math>" התכוונתי למספר ה"רכיבים": מספר האיברים/רכיבים ב-<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math> הוא n. ברור לי שזה לא אותו דבר כמו עוצמה (הרי העוצמה של n-יה סדורה היא 1 או שניים).
# לא עניתם על השאלה: האם מותר לומר שמספר הרכיבים ב-<math>b_i</math> הוא <math>|B|</math>, או שצריך להוכיח? תודה, 18:56, 20 באוגוסט 2010 (IDT)

===תשובה===
* אתה מניח פה שמרחב הוקטורי היחיד הוא מרחב הn-יות הסדורות. כפי שלמדנו זה לא נכון. לכן הניסוח המדויק הוא מספר הרכיבים בוקטור הקואורדינטות. וזה נכון כי וקטור הקואורדינטות הוא תמיד בF^n כאשר n הוא המימד של המרחב.

* חשוב מאד לשים לב לקואורדינטות לפי איזה בסיס מדובר. כלומר, אם תסתכל על הקואורדינטות לפי הבסיס B מספר הרכיבים יהיה העוצמה של B. אבל אם נגיד B פורש תת מרחב ממימד 2 במרחב ממימד 3, ואתה מסתכל על הקואורדינטות לפי בסיס למרחב כולו ולא הבסיס B יכול להיות שמספר הרכיבים שלו יהיה גדול מהעוצמה של B. למשל:

<math>B=\{(1,0,0)\}</math> מעוצמה 1 אבל הוקטורים הם עם 3 רכיבים (כי זה למעשה וקטור הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של <math>\mathbb{R}^3</math>. לעומת זאת, הקואורדינטות של איבר הבסיס B לפי הבסיס B הם (1) עם רכיב אחד.

ואני אדגיש שוב את התשובה לשאלה: '''אין משמעות למושג מספר הרכיבים של וקטור באופן כללי'''.

==מותר?==
האם אפשר להוכיח תלות לינארית בין וקטורים נתונים לפי ציון מפורש של המקדמים, בלי להראות איך הגענו למקדמים האלה? למשל, נתונים <math>(1,2,3), (2,3,4), (2,2,2)</math> - האם מותר לומר שיש תלות לינארית כי <math>(2,3,4)=1\cdot(1,2,3)+\tfrac{1}{2}\cdot(2,2,2)</math>, מבלי לציין איך הגענו למקדמים <math>1,\tfrac{1}{2}</math>? תודה.

===תשובה===
מה אני אגיד? כן מותר, אבל אסור מן הסתם להעתיק את התשובה הזו מאחרים.

==שאלה 2 בדף==
בסעיף a, האם אפשר להגיד שנתאים לכל וקטור v1,..vn התאמה חח"ע, על והפיכה כך ש vi=[vi]b ולכן בכלל ש v1,..vn בת"ל אז [v1]b,..[vn]b בת"ל? ומכיוון שההתאמה הפיכה אז גם להפך? כי אני לא מצליח להוכיח את זה בצורה אחרת.

===תשובה===
כן ולא. בגדול מה שאתה אומר הוא נכון. אבל צריך להסביר 2 דברים:

1. מדוע ההתאמה הזו היא חח"ע

2. מדוע התאמה '''לינארית''' חח"ע משאירה קבוצה בת"ל - בת"ל.

==שאלה 8.4==
אפשר להגיד שאם <math>u1+u2=u1+u3</math> אז <math>dim(u1+u3)=dim(u1+u2)</math>
:כן. אם שני מ"ו שווים זה לזה אז הם אותו מרחב (כלומר, יש להם אותם איברים ואותן פעולות חיבור וקטורים וכפל בסקלר). לכן ברור שגם המימדים שלהם זהים.

==שאלה 7.19==
אפשר רמז? ולא הבנתי מה קשור הרמז שהם נתנו ואיך הוא עוזר? תודה רבה.
:מתוך העמוד הראשי:
===דוגמא לעבודה עם מטריצות כוקטורים===
'''[[מדיה:10Linear1MatrixVercotEx.pdf|דוגמא]]''' שימושית לתרגיל 4.
:קראתי את הדוגמה הזאת וזה ממש עזר לי ב2 התרגילים מהדף המצורף (ובכלל להבין את החומר) אבל זה ממש לא עזר לי להבין איך לפתור את 7.19
::נכון, לכן תקרא את התשובה שלי בדיוק מתחת --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:24, 20 באוגוסט 2010 (IDT)

===תשובה===
דווקא אני לא בטוח שהדוגמא הזו עוזרת. צריך להוכיח שהקבוצה שם בת"ל לפי ההגדרה - כל צירוף לינארי שלה מתאפס. איך זה עוזר? כי בתוך מרחב ממימד n כמה וקטורים הכי הרבה יכולים להיות בקבוצה בת"ל?

:n, אבל איך זה עוזר?

::אם אין יותר מn איברים שונים מאפס, אז האיבר הn+1 שווה אפס.

==צ"ל טריוויאלי==
האם צ"ל שאם <math>\sum_{i=1}^n{\left(\alpha_i\begin{pmatrix}b_1&b_2&\cdots&b_m\end{pmatrix}\right)[v_i]_B}=\vec0\iff\forall i\in\{1,\dots,n\}:\alpha_i\begin{pmatrix}b_1&b_2&\cdots&b_m\end{pmatrix}=\vec0</math> אזי <math>[v_1]_B,[v_2]_B,\dots,[v_n]_B</math> בת"ל? (ההבדל בין הטענה הזו לבין מה שלמדנו בהרצאה הוא שכאן יש מכפלה וקטורית). או שזה מספיק טריוויאלי? תודה.

===תשובה===
אני לא מבין את הטענה ולכן היא אינה טריוויאלית. לא למדנו מכפלה וקטורית.
:אני מדבר על מכפלה וקטורית במ"ו של מטריצות, ואותה '''כן''' למדנו.
::זו לא מכפלה וקטורית, זה כפל מטריצות. ולכן צריכים להיות וקטורי קואודדינטות בעמודות ולא סתם וקטורים. בכל אופן, זה מראה שבעצם המטריצה עם הb_i (בנהחה שהם קואו' וזו אכן מטריצה) כפול <math>[v_i]_B</math> הם בת"ל ולא רק וקטורי העמודה <math>[v_i]_B</math>.
:::שכחתי לציין שהבסיס הוא <math>B=\{b_1,b_2,\dots,b_m\}</math>. בכל אופן, אם אני מפרט שה-b-ים הם וקטורי הבסיס - אפשר לומר שוקטורי העמודה <math>[v_i]_B</math> בת"ל?

::::הם וקטורי בסיס, אבל יכולים להיות פולינומים. מה המשמעות של לשים פולינום כעמודה? אני עדיין לא רואה כיצד זה נובע, בוודאי בוודאי שזה לא טריוויאלי.

== בסיס ==

מה הכוונה בהגדרה של מימד, מספר האיברים בבסיס?נניח <math>V=R^2</math> וניקח בסיס {(1 0),(0 1)} אז אני מבין שיש שני וקטורים שפורשים
ובכל וקטור שני רכיבים- 1,0.
אז מה נחשב למספר האיברים בבסיס?
:יהי מ"ו <math>V</math> ויהי <math>B</math> בסיס שלו. אזי המימד של <math>V</math> יסומן <math>\dim(V)</math> ויוגדר כמספר האיברים בבסיס. כלומר: <math>\dim(V):=|B|</math>.

לא ענית לי לשאלה!אני יודע את ההגדרה!השאלה שלי היא מה נחשב למספר האיברים בבסיס?לפי הדוגמא שהבאתי..
:2, מן הסתם, כי יש שני איברים בבסיס <math>\Big)</math>שהם <math>(1,0)</math> ו-<math>\Big((0,1)</math>. באופן כללי, <math>\dim(\mathbb F^n)=n\cdot\dim(\mathbb F)</math>.

==בסיסים==
הוכחנו בכיתה שאם יש קבוצה פורשת שבה n איברים ועוד קבוצה בת"ל שבה m איברים אז m<=n.

זה לא מסתדר לי, כי זה הרי אומר שמספר האיברים בכל הבסיסים שקיימים - שווה (כי בסיס פורש ובת"ל).

אפשר הסבר? תודה מראש!

===תשובה===
מספר האיברים בכל הבסיסים אכן שווה - זה משפט.

יותר מזה, מספר האיברים בבסיס (הרי לא משנה איזה בסיס בחרת זה אותו מספר) מוגדר להיות '''המימד''' של המרחב.

====תשובה לתשובה====
תודה, אבל לא הבנת את השאלה שלי. אני דיברתי על בסיסים שהם לא בסיסים של אותו המרחב אלא של מרחבים שונים זה מזה. כמובן שמספר האיברים בהם לא בהכרח שווה, אז אני כנראה הבנתי את המשפט הזה לא נכון..?

=====תשובה=====
המשפט מדבר על קבוצות בתוך מרחב ספציפי נתון, ולא בין מרחבים שונים. הרי המושג '''פורש''' מתייחס למרחב הנתון ששניהם נמצאים בו, אחרת כל קבוצה בעולם היא פורשת (שכן כל קבוצה פורסת את הSpan של עצמה).

======הבהרה======
אז המשפט אומר שאם יש שתי קבוצות: U פורשת, V בת"ל '''ושתיהן מוכלות במ"ו מסוים''' אז |U|>=|V| ?
:רגע... איזו קבוצה U אמורה לפרוש? אני מבולבלת, תוכל לכתוב את המשפט כולו בבקשה? תודה מראש.

::יהא V מ"ו, ויהיו שתי קבוצות <math>A,B\subseteq V</math>. אזי אם A פורשת את V כלומר (spanA=V) וB בת"ל אזי <math>|A|\geq |B|</math>

:::תודה!

==שאלות בקשר ל6.5 ו-7.9==
* הכוונה ב"לבטא את האיבר הכללי בקבוצה" הוא בעצם להגיע לוקטור מהסוג <math>v=(x+5y,6y+z,x+z)</math> או במקרה של פולינומים <math>f(x)=a+(5a+c)x+(b+c+d)x^2+(2a+7d)x^3</math>? (כמובן שאלו דוגמאות ולא הפתרונות)
* לא כל כך הבנתי איך בודקים שקבוצה פורשת מרחב כמו בשאלה 7.9.

===תשובה===
*צריך להגיע למשוואה מהצורה <math>(x,y,z)=\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3</math> כאשר אתה צריך לחשב את אלפא, בטא וגמא. במילים אחרות אתה צריך לחשב את הקואורדינטות של איבר כללי לפי הבסיס הנתון.

*כמו שרשמתי למטה בתשובה לכמה שאלות. שמים בשורות מטריצה, מדרגים. אם בצורה המדורגת יש 5 שורות שונות מאפס אז זה אומר שהקבוצה פורסת מרחב ממימד 5. תת מרחב ממימד 5 במרחב ממימד 5 חייב להיות המרחב כולו.

==בקשר ל 6.5==
בשאלה צריך רק להראות את האיבר הכללי או להראות איבר כלשהו בקבוצה שאינו בנפרש? או שצריך לפרט למה זה שווה ואז להראות איבר כללי או להראות איבר שאינו שיך ולפרט למה?

===תשובה===
אם זה שווה צריך להראות איבר כללי. אם לא צריך למצוא איבר שאינו נפרש על ידי הspan.

:אז לא צריך לפרט רק לציין?

::צריך תמיד להסביר, אי אפשר לתת תשובה סופית בלבד. אפשר לא להציג את כל החישובים עד הסוף

==טריוויאלי או צ"ל?==
האם צ"ל שאם מטריצה A כלשהי מקיימת <math>\forall\vec x:A\vec x=\vec x</math> אז בהכרח <math>A=I</math>? או שזה טריוויאלי? תודה.

===תשובה===
אלא אם מבקשים להוכיח את זה, זה טריוויאלי (הרי פשוט מציבים <math>e_i</math> ומראים שעמודות המטריצה זהות לעמודות המטריצה I).

==לכל בסיס של V (מ"ו מסוים) יש אותו מספר איברים==
בהוכחה של מה שכתבתי בכותרת, לוקחים B1 בסיס של V עם n איברים, ו-B2 בסיס של V ומוכיחים שגם בו n איברים. בהתחלה מוכיחים שיש ב-B2 לכל היותר n איברים.

לאחר מכן אומרים שאם B2 מכיל פחות מ-n איברים אז B1 תלוי לינארית. למה?

תודה מראש!
:יש משפט חשוב שהיה בהרצאה שאומר שאם A פורשת וB בת"ל, אז |A| גדול שווה מ |B|. אז שמתי לב שיש דרך יותר קלה להוכיח שבכל בסיס יש אותו מספר איברים, מאשר הדרך שהמרצה הוכיח אותה- פשוט אומרים שאם יש 2 בסיסים A וB, אזי A פורשת וB בת"ל (ולכן|A| גדול שווה מ |B|) וגם B פורשת וA בת"ל ולכן (ולכן ההפך מקודם) ולכן |A| = |B|.

::תודה על התשובה המהירה! אמנם זו הוכחה פשוטה וקצרה, אבל גם ההוכחה של המרצה קצרה מאוד. רק לא הבנתי למה זה נכון: "אם B2 מכיל פחות מ-n איברים אז B1 תלוי לינארית".

:::זו אינה דרך קלה יותר- אתה פשוט מסתמך על ההוכחה הכבידה במהלך ההוכחה הקלה. תשים לב לסדר הוכחות המשפטים.

===תשובה===
משתמשים בהוכחה בלמת ההחלפה של שטייניץ (עמוד 39 למטה בחוברת). הרעיון הוא שאתה יכול להחליף את האיברים מB1 על ידי איברים מB2. בלשב מסויים יהיו בB1 כל האיברים מB2 ועוד כמה איברים אחרים. מכיוון שB2 פורסת, האיברים הנוספים האלה תלויים בקודמיהם ולכן B1 ת"ל.

:תודה!

==שאלה בדירוג מטריצה לבדיקת תלות לינארית==
כשמדרגים מטריצה לבדיקת תלות לינארית של איברים, אם מגיעים לשורת אפסים זה אומר שהאיברים הם בת"ל או ת"ל? רק כדי להיות בטוח. תודה רבה!

===תשובה===
ת"ל לינארית כמובן. כי זה אומר שיש צירוף לינארי לא טריוויאלי של השורות שהתאפס (וגם שמימד מרחב השורות קטן ממספר האיברים בקבוצה ולכן בהכרח היא ת"ל).
:תודה על הכל!

==דרך הפתרון ל7.9==
איך צריכים לפתור את השאלה? האם צריך להגיד ש
(x1,x2,x3,x4,x5) = a(1,2,3,4,5) +b(5,4,3,2,1)+...
ואז להראות שיש פתרון כללי ולכן הקבוצה הנתונה פורשת את R5?
או שיש דרך אחרת יותר קלה? תודה.

===תשובה===
למדנו שלמטריצות שקולות שורה יש את אותו מרחב שורה. מספיק לשים את הוקטורים בשורות מטריצה ולדרג.

למדנו גם שהשורות השונות מאפס בצורה המדורגת של המטריצה מהוות בסיס למרחב השורות (זה לצורך חישוב מימד במקרה הזה, כי מבקשים בסיס שמוכל בבסיס המקורי, ולא בסיס כלשהו).
:תודה. אבל תמיד מדרגים מטריצה כדי לבדוק תלות לינארית, לא האם קבוצה היא פורשת! הצלחתי בעזרת דירוג לפתור את ב', אך איך אנמק שהחמישיות פורשות את R5 בעזרת דירוג מטריצות? תודה.
::אם שמת את כל הוקטורים בששת שורות מטריצה, ואחרי דירוג הראת שהמטריצה פורשת את <math>\mathbb{R}^5</math> הרי שששת הוקטורים פורסים את המרחב גם. לפי השלישי חינם כל 5 וקטורים בת"ל ב<math>\mathbb{R}^5</math> פורשים אותו.
:::אה נכון, בעזרת השלישי חינם! תודה וסליחה על בוֹרוּת.

==בקשה==
אני מבקש מכל מי ששואל שאלה\עונה תשובה לעשות את הכותרת שלו בדרגה 2, כלומר כך למשל:
'==שאלה=='
ולא כך:
'=שאלה='
אחרת זה משרשר חדש(כי זה בדרגת כותרת של '=שאלות='), וזה נורא מציק לעין, תודה!
:לא עדיף שתדגישו את זה בהוראות? (ואולי גם כהודעה בעמוד הראשי - כאן מעט מאוד יראו את זה).

::לא אני כתבתי את ההערה.--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:20, 19 באוגוסט 2010 (IDT)
::ובכל אופן, אני לא רואה איך אפשר להפוך את ההוראות לברורות יותר, אשמח להצעות.

==שאלה על בסיסים ומ"וים==
האם ניתן להגיד (או האם זה נכון בכלל) שאם ל2 מרחבים וקטוריים יש בדיוק את אותו בסיס מסוים, (כלומר מצאתי קבוצה שהיא בסיס לשניהם) אזי המרחבים זהים (הם אותו מרחב וקטורי)? אם כן, האם אפשר לכתוב את זה בלי הוכחה או שצריך לכתוב הוכחה? אם צריך לכתוב הוכחה, איך מוכיחים את זה? תודה רבה.

===תשובה===
זה טריוויאלי, אבל אם אתה רוצה להוכיח:

B בת"ל בסיס לV אם"ם spanB=V (לפי הגדרה). אם בנוסף B בסיס לU אזי spanB=U מכאן נובע V=U.
::תודה!

==שאלה==
האם הסקלרים בכל צירוף לינארי כלשהוא חייבים להיות גדולים מאחד? (ובפרט בצירופים הלינאריים שבspan?)

===תשובה===
בשום צורה '''לא'''. הסקלרים הם סקלרים '''כלשהם''' מהשדה.

==שאלה==
האם כל span כולל את אפס?
===תשובה===
כן כל span הוא תת מרחב וקטורים.

הסבר אחר: span הוא אוסף כל הצירופים הלינאריים, בפרט הצ"ל הטריוויאלי - כלומר כל הסקלרים הם אפסים

== 7.20 ==

אפשר קצת הסבר על השאלה? אני לא יודע איך להסתכל על זה..מה עוזר לי הנתון שV מ"ו מעל שדה F?ואיך זה בדיוק
מתקשר למימד?? אם אפשר קצת רמזים..

===תשובה===
תמיד חשוב לזכור את ההגדרות - מימד הוא מספר האיברים בבסיס.

אני אתן דוגמא, מקווה שזה יעזור:

ניקח <math>V=\mathbb{C}^2,F=\mathbb{C},H=\mathbb{R}</math>. אפשר לראות שF הוא מרחב וקטורי מעל H עם הבסיס <math>\{1,i\}</math> שכן כל מספר מרוכב הוא מהצורה <math>a\cdot 1+b\cdot i</math> כאשר a,b ממשיים ובוודאי הסכום הזה מתאפס רק אם a=b=0. לכן הקבוצה הנ"ל פורשת ובת"ל ולכן היא בסיס. לכן F הוא ממימד 2 מעל H (כי יש 2 איברים בבסיס).

V הוא הוא ממימד 2 מעל F (זה ברור). נמצא לו בסיס מעל H: <math>\{(1,0),(i,0),(0,1),(0,i)\}</math> ואכן אנו רואים שV הוא ממימד 4=2x2 מעל H.

==שאלה==
אם אני יודע ש:
v מרחב וקטורי נוצר סופית,<math>B\subseteq V</math> ובנוסף:
*<math>sp(B)=V</math>
*B בת"ל.
אז אני יכול להגיד ש-B בסיס עבור V?

===תשובה===
כן. זו ההגדרה של בסיס. Span(B)=V (פורש) ובת"ל

==שאלה 7.10==
העברתי את המטריצות לעמודות, ודירגתי את המטריצה שהתקבלה.
יצאו לי ארבע שורות אפסים, האם זה אומר שהן תלויות לינארית ?
איך מנמקים את זה?

===תשובה===
השאלה היא לא כמה שורות אפסים יש, אלא כמה משתנים חופשיים יש. אם קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת Ax=0 אזי עמודות A תלויות לינארית.

== שאלה ==
איך מוכיחים שקבוצה היא פורשת? ואיך מוצאים בסיס לקבוצה?

===תשובה===
למדנו שמרחבי השורות של מטריצות שקולות שורה הם זהים. לכן על מנת למצוא בסיס לקבוצת וקטורים יש '''לשים אותם בשורות''' מטריצה '''ולדרג''' את המטריצה. '''בצורה המדורגת של המטריצה, השורות השונות מאפס מהוות בסיס''' למרחב השורות.

הspan של הקבוצה הוא כמובן הspan של השורות השונות מאפס בצורה המדורגת. כך ניתן לדעת מה הקבוצה פורשת (קבוצה תמיד פורשת את הspan שלה - זו ההגדרה).

כאשר יש מרחב וקטורי של פולינומים או מטריצות - מעבירים אותו לצורה וקטורית פשוטה כמו בתרגיל לדוגמא שפרסמנו בעמוד הראשי.

==שאלה על מימדים==
מה המימד של המרחב הוקטורי המכיל רק 0? האם סכום ישר אומר שהחיתוך נותן 0? כי אם כך אז המימד של {(a,b,0,0) סכום ישר (0a,0,d,c)} שווה לסכום המימדים שהוא 4, פחות מימד החיתוך שהוא 1, לא? אזי מימד הסכום שווה ל3 אבל הוא באמת שווה ל-4. מה הולך פה?

===תשובה===
המימד של מרחב האפס {0} הוא אפס. הבסיס שלו הוא הקבוצה הריקה.

==שאלה כללית==
האם שורותיה של מטריצה בדורגת הם בהכרח בת"ל?

===תשובה===
שורותיה השונות מאפס של מטריצה מדורגת הן בהכרח בת"ל. אף שורה איננה צ"ל של קודמותיה, כי יש לה אפסים במקומות בהם יש לשורות הקודמות איברים פותחים.

==שאלה==
האם אני יכול להגיד את הדבר הבא?
<math>span(A+B)=span(span(A\cup B))=span(A\cup B)=A\cup B=span(A)\cup span(B)</math>
תודה מראש...

===תשובה===
לא. האיחוד של תתי מרחבים לרוב אינו תת מרחב. שאלה זו מופיעה בתרגיל 3, והפרכתה נמצאת בפתרונות.

המעבר הראשון הלא חוקי (משמאל לימין) הוא שאפשר להוריד את הspan ולהשאיר שיוויון. מה פתאום הspan של קבוצה שווה לקבוצה? הרי הקבוצה יכולה להיות סופית, ואוסף כל הצירופים הלינאריים הוא אינו סופי (מעל שדה אינסופי כמובן)

== שאלה ==
1.אם (V1,v2...vn) וקטורים בת"ל וגם (u1,u2,...,un) וקטורים בת"ל ומתקיים ש:
v1=a1u1+a2u2...anun,...,vn=b1u1+b2u2+...+bnun , אני יכולה להגיד ש {a1,...,an}..{b1,...,bn הם בת"ל?

2. מטריצת מעבר היא חייבת להיות ריבועית?

===תשובה===
1. סקלרים לא יכולים לעולם להיות בת"ל. ההגדרה של בת"ל תקפה רק לגבי וקטורים.

2. כן. כי הרי יש בה n עמודות (מספר האיברים בבסיס B) שכל אחת מהן באורך n (מספר האיברים בבסיס C). הרי מספר האיברים זהה בכל הבסיסים.

:לגבי 1. אני לא מבינה! הרי כן אפשר להסתכל על כוקטורי עמודה {a1,..,an},{b1,...,bn ולשאול האם הם תלויים לינארית?

::הסימון עם סוגריים מסולסלים מסמן קבוצה, ולא וקטור עמודה. את מתכוונת ל<math>(a_1,...,a_n),(b_1,...,b_n)</math>? (כלומר, 2 וקטורי קואורדינטות) אה.. אני בכלל מבין עכשיו את הטעות בסימון. מהם הסקלרים שבין a ל b?

::אני מניח שהתכוונת ל
::<math>v_i=a_{1i}u_1+...+a_{ni}u_n</math> ואז השאלה אם הקבוצה <math>\{(a_{1i},...,a_{ni})|1\leq i \leq n\}</math> היא בת"ל. אבל זה בדיוק השאלה בשיעורי הבית. צריך להוכיח את זה.

::רמז: ההעתקה מv לקואורדינטות של v לפי בסיס מסוים, הינה העתקה לינארית.

== שאלה לתשובה ==

רציתי לשאול עוד בנושא, נניח ואני מגיעה לכך ש

<math>(a1u1+...anun),(b1u1+..+bnun),...,(c1u1+..+cnun)</math> שונים מאפס ובת"ל.

האם אני יכולה להסיק ש <math>(a1..an),(b1..bn),...,(c1..cn)</math> חייבים להיות שונים מ0 ובת"ל?

*אי אפשר לרשום בסקלרים a,b...c זה כמו לרשום <math>a_1u_1,a_2u_2...a_3u_n</math> זה פשוט לא עובד.

*הסימון סוגריים מסולסלים שהיה במקור - שמור לקבוצות בלבד, לא לוקטורים.

*זה נכון, אבל צריך להוכיח את זה. (למעשה זו השאלה רק במילים אחרות).

==שאלה 2 בדף המצורף==
כל מספר מסוים של וקטורים מתוך מרחב מסוים שהם בת"ל הם בהכרח גם בסיס של אותו המרחב?

===תשובה===
בוודאי שלא. בסיס הוא '''פורש''' וגם '''בת"ל'''. אחד התנאים בלבד אינו מספיק. מספר הוקטורים היחיד שיכול להיות בבסיס הוא המימד של המרחב.

לדוגמא:
<math>\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3</math> בת"ל אבל לא בסיס.

אבל (ואולי לזה התכוונת) אם ניקח קבוצה בת"ל עם מספר וקטורים כגודל המימד של המרחב היא אכן תהיה בסיס תודות למשפט השלישי חינם.

==שאלה 6.4א==
בשאלה מבקשים לוהכיח שאם חיתוך של שני ספאנים שונה מאפס, אבל כל ספאן יוצר צירוף לינארי מתאפס, אז הטענה בכלל לא יכולה להיות נכונה, האם זה בעיה בתרגיל?

===תשובה===
<math>\{0,1\}\neq \{0\}</math>

===שאלה על התשובה===
את/ה יכול/ה לתת דוגמא ל2 קבוצות שמקיימות את התנאי הזה?

====דוגמא====
ניקח <math>B=\{(1,0,1),(1,0,-1)\},A=\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3</math>

<math>span(A)\cap span(B) = span\{(1,0,0)\}\neq \{0\}</math>

במילים: יש צירוף לינארי של A וצירוף לינארי של B ששניהם שווים זה לזה אבל שונים מאפס.

== שאלה 3 ב בבוחן ==
שלום, לא הבנתי למה הזווית של 1+i היא בדיוק פי חלקי ארבע? מה החישוב שעושים?

===תשובה===
במישור המרוכב זו הנקודה (1,1) שנמצאת בדיוק על הקו הישר x=y שנמצא בזוית 45 מעלות (כי הוא חוצה את הזוית הישרה בין הצירים). אם זה לא מספיק ברור, גם <math>tg(\theta)=\frac{b}{a}=\frac{1}{1}=1</math> ולכן <math>\theta = \frac{\pi}{4}</math>

== שאלה 1 ב' בבוחן ==
בפתרונות כתוב שאם נדרג נמצא שורת סתירה עבור a=0ולכן אין פיתרון.
דרגתי כמה וכמה פעמים ואני לא מוצאת שום שורת סתירה!
אני כן מחלקת בa כחלק מהפעולות אלמנטריות אבל כשאני רוצה להוכיח שבאמת אין פיתרון עבור a=0 אני לא מצליחה!
אתה יכול לפרט יותר?

===תשובה===
אסור לחלק בa כחלק מהפעולות האלמנטריות כאשר בודקים את המקרה a=0 זה מקור הטעות.

תציבי במטריצה '''המקורית''' a=0 ותראי לאן את מגיעה.
אוקי תודה!

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-21T18:37:12Z

Nimrod: /* שאלה בקשר לתשובה */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - בוחן + תרגיל 3

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 3

=שאלות=

==קיים וקטור v+==
זה בסדר אם אני אומר שאם <math>P\begin{pmatrix}v&Av&\cdots&A^{k-1}v\end{pmatrix}=v</math> לכל וקטור <math>A^{k-1}v\not=\vec0</math> (בשאלה 7.19) עבור מטריצה P כלשהי אז <math>(v^+P)\begin{pmatrix}v&Av&\cdots&A^{k-1}v\end{pmatrix}=v^+v=I</math> כאשר <math>v^+</math> מקיים <math>v^+v=I</math> (נקרא הפסבדו הופכי של v)? במילים אחרות, האם צריך להוכיח שלכל וקטור המקיים <math>A^{k-1}v\not=\vec0</math> קיים <math>v^+</math> כנ"ל?

===תשובה===
1. אני לא מבין איך מטריצה כפול מטריצה נותן וקטור (במשוואה הראשונה)

2. אסור להשתמש בחומר שלא למדנו ולא שייך לקורס הזה (אלא כמובן אם אתה מגדיר את כל ההגדרות ומוכיח את כל ההוכחות הדרושות לצורך האמירה.

==7.32==
אם המטריצות הן מעל c אז איך בכלל ניתן לייצג אותן מעל r?

[[#7.20]]

==שאלה==
האם ניתן להגיד ש <math>dim(A)>=dim(span(A))</math> תמיד? וצריך להסביר את זה בצורה כלשהי?
ועוד משהו- אם נתון לי ש A מוכלת בspan(B)- אפשר להגיד ש<math>dim(A)<=dim(span(B))</math>?
:A אינו בהכרח מ"ו ולכן זה לא נכון. אתה יכול להגיד ש-<math>\forall A:|A|\ge\dim(\operatorname{span}(A))</math>. לשאלה השנייה אין שום טעם - העוצמה של A יכולה להיות גדולה, קטנה או שווה למימד. למשל <math>A_1=\{(1,0)\},A_2=\{(1,0),(0,1)\},A_3=\{(1,0),(0,1),(1,1)\}</math> מקיימות <math>1=|A_1|<\dim(\mathbb R^2),2=|A_2|=\dim(\mathbb R^2),3=|A_3|>\dim(\mathbb R^2)</math>

הערה נוספת: אכן אין משמעות לdimA אם A הוא לא מרחב. אם A הוא כן מרחב, אז A=spanA

==כמה שאלות קטנות==
* '''הגדרה מתמטית של מרחב שורות:''' בהגדרה המתמטית כופלים את השיחלוף של המטריצה ב-v שהוא וקטור (שייך ל-<math>F^m</math>). אז וקטור יש, ואיפה הסקלר? ולמה המטריצה?
* האם יש משפט שאומר שאחרי דירוג קנוני של המטריצה (או שמספיק דירוג רגיל?), כל וקטורי השורות (מלבד וקטור 0) שמתקבלים הם בת"ל? (כמובן שזה די טריוויאלי אבל האם מספיק טריוויאלי בשביל להשתמש בזה בתרגיל בלי הסבר?)
* האם יש משפט שאומר ש-<math>dim(R^n)=n</math>?

תודה מראש!

===תשובה===
[[#בהמשך לשאלה: "דרך הפתרון ל7.9"]]

ובהקשר לשאלה השלישית, אתה יודע בעצמך מהו הבסיס ונובע מזה שהמימד הוא n (כי יש בבסיס n איברים)

==7.19==
הצלחתי להוכיח את מה שהיה צ"ל ברמז (ש v, Av,..Ak-1v בת"ל). אפשר עזרה לגבי- מה עושים עכשיו? איך הרמז מתקשר בכלל לשאלה? תודה.
:נראה לי שהבנתי, האם הפתרון של מקובל? לפי תשובה לשאלה קודמת פה, הכמות המקסימלית לאיברים בקבוצה בת"ל הוא כמימד המרחב, ולכן ak=an2 ולכן an2=0 ולכן an*an=0 וזה אומר ש an=0? תודה. (מחקו אם יש עדיפות לא להראות פתרונות והפתרון נכון, תודה.)

::זה אמור להיות <math>a_n^2</math>? במטריצות יש מחלקי אפס ואי אפשר להסיק כפי שהסקת. אבל אפשר להסיק על <math>A^{n}v</math> כמו שתארתי.
:::כן זה היה אמור להיות n בריבוע, סימן שטעיתי. אבל לא הבנתי איך אפשר להסיק על Anv ואיך זה עוזר.
:::חוץ מזה לא הבנתי עוד משהו, אמרת שאם קבוצה עם n איברים היא בת"ל (מקסימלית?) אזי האיבר הn+1 שווה אפס. למה זה נכון, הוא יכול להיות גם תלוי לינארית באיברים 1 עד n, לא?

==העתקה לינארית==
מותר להשתמש בעובדה ש-<math>[\ ]_B:V\to\mathbb F^n</math> היא העתקה לינארית? או שצריך להוכיח?

===תשובה===
אם למדתם בהרצאה, מותר להשתמש (חייבים להזכיר את זה כמובן)
====שאלה בקשר לתשובה====
בהרצאה הראנו שההעתקה היא ליניארית וגם חח"ע ועל אז בשאלות בדף מותר לי להניח את זה (ולציין שכך הראנו בהרצאה) ורק להראות את ההתחייבות שהבת"ל נשמר (ב-2 א) או ההשתייכות לנפרש(ב- 2ב)?

==I]<sup>B</sup><sub>C</sub>]==
צ"ל ש-<math>[I]_C^B</math> מטריצה ריבועית?
:כן.

==שאלה 6.5==

לא הבנתי איך מוצאים את האיבר הכללי, אפשר הסבר? (קראתי את התשובות למטה ועדיין לא הבנתי..)

===תשובה===
אפשר בעזרת קואורדינטות ואפשר באמצעות פתרון ישיר של מערכת משוואות

<math>a+bx+cx^2=\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3</math> כאשר a,b,c פרמטרים נתונים, וצריך לחשב את אלפא בטא גמא (הדוגמא שנתתי היא פולינום כללי, וקטור כללי יהיה <math>(a,b,c)</math> וכדומה).
====שאלה בקשר לתשובה====
בסעיף של הפולינומים אפשר לכתוב את האיבר הכללי כ פולינום מהצורה : a+b)+(2b+c)x+(3c)x^2+(a+b+2c)x^3) כאשר a,b,c פרמטרים? (זו אינה התשובה)

:לא. צריך לענות על מה שאמרתי, ולא סתם להראות איך נראה וקטור כללי בspan (זו לא השאלה)
:: אני פתרתי מערכת משוואות ובסוף כתבתי את הפתרון הכללי בצורה הנ"ל,האם זה בסדר לכתוב ככה את האיבר הכללי?

==צ"ל?==
יהי C בסיס למ"ו U. האם צריך להוכיח שקיים בסיס <math>C\subseteq B</math> ל-<math>U\le V</math>? או שזה טריוויאלי?

===תשובה===
לא. רושמים "נשלים לבסיס למרחב כולו"

==6.5ג==
ב-6.5, סעיף ג', הכוונה ב-<math>\mathbb F^{2\times2}</math> היא <math>\mathbb R^{2\times2}</math>?

===תשובה===
זה לא משנה באמת, השאלה בסדר כמו שהיא.
:כלומר מספיק למצוא הפרכה לשדה F כלשהו? או שצריך לבדוק אם לכל שדה F הטענה לא מתקיימת (ואם לא - מה לעשות?)?
::כן, מספיק למצוא הפרכה לשדה מסויים או להוכיח לכל שדה.

==שאלה==
נתון <math>V=\mathbb{F}^n</math> וגם ש<math>\mathbb{H}</math> תת שדה של <math>\mathbb{F}</math>
אם אני יודע שהמימד של F מעל H הוא m אז אני יכול להגיד דבר כזה:
<math>V=\mathbb{F}^n=(\mathbb{H}^m)^n=\mathbb{H}^{mn}</math> כלומר המימד של V מעל השדה H הוא mn?
תודה מראש!

===תשובה===
לא, זה מה שצריך להוכיח.

אבל אני יודע ש:<math>V=\mathbb{F}^n</math> וגם <math>\mathbb{F}=\mathbb{H}^m</math>
אז כאילו אני מציב ומקבל <math>V=\mathbb{H}^{nm}</math>

:אבל לא למדנו חוקי חזקות למרחבים וקטורים - זה מה שצריך להוכיח.

::וחובה להשתמש בזה שH תת שדה של F? (לא אותו אחד ששאל מקודם.)

:::צריך להשתמש בכך שF מ"ו מעל H

==שאלה ראשונה בדף==
האם הנימוק הבא מספיק:
מספר האיברים של כל בסיס של מרחב וקטורי ממימד N שווה ל N => מספר האיברים ב B שווה לN, מספר האיברים ב C שווה ל N => יהיו לי N עמודות (כל עמודה מייצגת את הקורדינטות ליצוג איבר מסויים מB לפי איברי C ובגלל שיש N איברים יש N עמודות כאלה שמיצגות אותם) ויהיו N שורות (מכיוון שבC יש N איברים כל וקטור בB מוצג כצירוף ליניארי של N האיברים בC ולכן מספר הקורדינטות שווה לN ומכאן שיש N איברים בכל עמודה שזה אומר N שורות) => המטריצה ריבועית. לפי מה שהוכחנו בכיתה לכל וקטור במרחב יש הצגה יחידה לפי בסיס מסויים ולכן לכל איבר בB יש הצגה יחידה לפי C ומכאן שלכל איבר בB יש וקטור קורדינטות יחיד => לפי המשפט שאם קבוצת וקטורים בת"ל אזי קבוצת וקטורי הקורדינטות שלהם בת"ל (מוכיחים את זה בשאלה הבאה אני מניח שמותר לי להשתמש בזה לא?) אזי העמודות של המטריצה שקיבלנו בת"ל.
=> מכיוון שקיבלנו מטריצה ריבועית שעמודותיה בת"ל ומכאן לפי משפט מטריצה זו הפיכה.
זה הסבר מילולי קצת ארוך אבל האם הוא מספיק מפורט בשביל להוות הוכחה ללא חישובים? תודה (בבקשה שרק מתרגל יענה)

===תשובה===
" לפי המשפט שאם קבוצת וקטורים בת"ל אזי קבוצת וקטורי הקורדינטות שלהם בת"ל אזי העמודות של המטריצה שקיבלנו בת"ל. => מכיוון שקיבלנו מטריצה ריבועית שעמודותיה בת"ל ומכאן לפי משפט מטריצה זו הפיכה"

אני לא מבין מה צריך את כל הסיפור לפני כן.
: אז אני יכול להסיק ישר שהמטריצה ריבועית ואז לכתוב את המשפט הזה וזה הוכחה שתופסת?

::אה הבנתי עכשיו שאתה מראה שם שהמטריצה ריבועית, זה אכן חשוב. תנסה לתמצת את הסיפור. למשל מספר האיברים בB הוא n לכן <math>[v]_B\in F^n</math>. וכדומה.
:::אני אראה איך אני יכול לתמצת אבל בכללי הדרך הוכחה הזו מספיקה או שחסר בה משהו שצריך לציין או להסביר?
::::זה מספיק.

==בהמשך לשאלה: "דרך הפתרון ל7.9"==
לא הבנתי את מה שכתבתם שם, ונראה לי שזה יכול לקצר ולהקל מאוד על פתרון שאלות מהסוג הזה, אז חשוב לי להבין. מה עוזר דירוג המטריצה שהשורות שלה הם הוקטורים הנתונים? מה ניתן להסיק ממה שמתקבל? אם מתקבלת שורת אפסים - מה זה אומר? ואם לא? ואם מתקבל טור אפסים?

תודה מראש!

===תשובה===
אתה חייב לציין מה לא הבנת בדיוק.

האם אתה מבין מהו מרחב שורות? ושלמטריצות שקולות שורה יש אותו מרחב שורות?

====תשובה לתשובה====
את ההגדרה המילולית: "מרחב השורות הוא אוסף הצירופים הלינאריים של כל השורות במטריצה" אני מבינה, פשוט מתייחסים לכל שורה כוקטור ומרחב השורות הוא הנפרש שלהם. את ההגדרה המתמטית לא כל כך הבנתי (למה כופלים את המטריצה המשוחלפת בוקטור? לפי ההגדרה המילולית אמורים לכפול את הוקטור בסקלר, לא?)

את המשפט שלמטריצות שקולות שורה יש אותו מרחב שורות הבנתי.

ניסיתי לפרט כמה שיותר מה לא הבנתי, הנה:

"מה עוזר דירוג המטריצה שהשורות שלה הם הוקטורים הנתונים? מה ניתן להסיק ממה שמתקבל? אם מתקבלת שורת אפסים - מה זה אומר? ואם לא? ואם מתקבל טור אפסים?"

תודה על העזרה!

*ההגדרה המתמטית מסתמכת על העובדה ש<math>Ax</math> הוא צירוף לינארי של עמודות A עם הסקלרים מהוקטור x. כאשר שמים את A משוחלפת, העמודות שלה הן השורות של A. זה שקול ללכפול את השורות של A בסקלרים ולחבר.
:: (לא אני שאלתי את השאלה,אבל גם לי זה לא כל כך מובן)- אז ב7.9, ובאופן כללי, כדי להוכיח שקבוצה פורשת צריך לדרג את המטריצה המשוחלפת..? או שצריך להציב את הוקטורים הנתונים בתור שורות ואז לדרג?

*אם את מסכימה שלמטריצות שקולות שורה יש אותו מרחב שורה, אז מה לא ברור בפעולת הדירוג? פעולות דירוג מעבירות מטריצה אחת למטריצה אחרת '''ששקולת שורה לראשונה'''. לכן לאחר פעולות שורה, המטריצה שהתקבל היא בעלת אותו מרחב שורות כמו הראשונה. זה ברור?

*בצורה המדורגת השורות השונות מאפס מהוות בסיס למרחב השורות. כך ניתן לדעת מהו המימד של מרחב השורות. אם קיבלת שורת אפסים, זה אומר שבקבוצה המקורית היו יותר וקטורים מאשר גודל המימד ולכן היא הייתה בהכרח '''ת"ל'''. טור אפסים לא רלוונטי לתהליך הספציפי הזה.

תודה רבה!!! נשארו רק כמה דברים קטנים מאוד שלא הבנתי (והעברתי את השאלות למעלה)

==שאלה כללית==
האם מותר לי לומר ישירות שהבסיס של תת מרחב שמכיל רק איבר האפס הוא 1? ( ד"א האם קבוצה כזו בכלל נחשבת תת מרחב?)

===תשובה===
לפי מה שידוע לי, 0 לא יכול לשמש כבסיס כי כל צירוף לינארי שיש בו 0 הוא תלוי לינארית (כי אפשר להגיע ל-0 מצירוף לא טריוויאלי).
אז אני די בטוח שמספר האיברים בבסיס של תת מרחב כזה הוא 0.
:[[#שאלה על מימדים]]

== 8.2.1/2==
בסעיף ד אם אני מגיע לכך שהתחום חייב להתקיים האם זה מספיק או שצריך לתת דוגמא לכל אפשרות בתחום ?(כי פתרנו משהו דומה בתרגול ואמרת לנו שצריך להראות דוגמאות אבל אני לא מבין למה צריך במקרה זה, כי אם זה לא מתקיים עבור אחד המקרה בתחום זה עדין אומר שכל מימד של חיתוך כזה חייב להיות בתחום)

===תשובה===
השאלה בכיתה הייתה "מהן האפשרויות" והיית צריך להראות שיש דוגמאות על מנת לדעת שצמצמת את התחום מספיק.

כאן מבקשים ממך להוכיח אי שיוויון בלבד, זה לא מעניינך אם אפשר למצוא אי שיוויון טוב יותר או שאי אפשר.

==7.7 ב'==
בשביל להוכיח את ב' לא השתמשתי בנתון ש-U תת מרחב וקטורי של V. האם אני אמורה להשתמש בו? כי גם בסעיף ג' הם אומרים שהקבוצה B מוכלת ב-V ואני לא רואה למה הנתון הזה הכרחי...

===תשובה===
ברור שזה חשוב, הנה דוגמא נגדית אחרת:
<math>U=span\{(0,1,0),(0,0,1)\}</math>, <math>V=span\{(1,0,0),(0,1,0)\}</math>

dimU=dimV=2 אבל <math>U\neq V</math>

====תשובה לתשובה====
תודה!

אם כך, אני חושבת שבחלק מהמשפטים שהוכחנו בהרצאה לא כתבנו את כל התנאים, כי יש לי במחברת משפט שאומר: "יהי V מ"ו כאשר dimV=n, אז כל קבוצה בת"ל עם n איברים היא בסיס ל-V". מהו המשפט הנכון?
:"...אזי כל קבוצה המוכלת בV שהיא בת"ל עם n איברים...."
::"יהי V מ"ו כאשר dimV=n, אזי כל קבוצה בת"ל המוכלת ב-V עם n איברים היא בסיס ל-V". תודה רבה!

==שאלה 8.2.1/2==
בסעיף ג' מותר לקחת בתור U ו-W מרחבים שהסכום שלהם אינו ישר?(במטרה שלהראות שאם הביטוי בשמאל מתקיים לא בהכרח הביטוי מימין גם מתקיים) <br>תודה

===תשובה===
אם זה לא סותר את נתוני השאלה אתה יכול לקחת את מה שאתה רוצה.

==צ"ל?==
יהי בסיס B ויהיו <math>b_i</math> איברי B. האם צריך להוכיח שלכל i, מספר האיברים ב-<math>b_i</math> שווה לעוצמת הבסיס? או שזה מספיק טריוויאלי?

===תשובה===
זה לא ממש הגיוני מה שרשמת,הרי <math>b_i</math> איבר ולא בהכרח קבוצה, אז איך יהיה לו מספר איברים?

===תשובה נוספת===
אני רואה פה כבר בילבול מושגים שחוזר על עצמו:

הוקטור (1,0,1) הינו '''איבר אחד בלבד''' כמו כן הפולינום 1+x^2 הוא איבר אחד בלבד. הם לא קבוצות עם 3 איברים. יש ב(1,0,1) 3 '''רכיבים''': 1, 0 ושוב 1. בפולינום יש את הרכיבים 1, 0x, x^2.

כמות הרכיבים של '''וקטור הקואורדינטות''' זהה למספר האיברים בבסיס שהוא המימד. '''מאד מומלץ לקרוא את המסמך בעמוד הראשי בנושא'''

===הבהרה===
# לפי ההגדרה המקובלת של קורטובסקי (Kazimierz Kuratowski), כל n-יה סדורה היא '''כן''' קבוצה (<math>(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}</math> ו-n-יה סדורה מוגדרת רקורסיבית כזוג סדור, שהאיבר הראשון שלו הוא האיבר הראשון ב-n-יה הסדורה, והאיבר השני הוא ה-(n-1)-יה הסדורה שנותרה, כלומר: <math>(a_1,a_2,\cdots,a_n):=(a_1,(a_2,\cdots,a_n))</math>).
# לא הייתי בטוח איך לנסח את זה, אבל כשכתבתי "מספר האיברים ב-<math>b_i</math>" התכוונתי למספר ה"רכיבים": מספר האיברים/רכיבים ב-<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math> הוא n. ברור לי שזה לא אותו דבר כמו עוצמה (הרי העוצמה של n-יה סדורה היא 1 או שניים).
# לא עניתם על השאלה: האם מותר לומר שמספר הרכיבים ב-<math>b_i</math> הוא <math>|B|</math>, או שצריך להוכיח? תודה, 18:56, 20 באוגוסט 2010 (IDT)

===תשובה===
* אתה מניח פה שמרחב הוקטורי היחיד הוא מרחב הn-יות הסדורות. כפי שלמדנו זה לא נכון. לכן הניסוח המדויק הוא מספר הרכיבים בוקטור הקואורדינטות. וזה נכון כי וקטור הקואורדינטות הוא תמיד בF^n כאשר n הוא המימד של המרחב.

* חשוב מאד לשים לב לקואורדינטות לפי איזה בסיס מדובר. כלומר, אם תסתכל על הקואורדינטות לפי הבסיס B מספר הרכיבים יהיה העוצמה של B. אבל אם נגיד B פורש תת מרחב ממימד 2 במרחב ממימד 3, ואתה מסתכל על הקואורדינטות לפי בסיס למרחב כולו ולא הבסיס B יכול להיות שמספר הרכיבים שלו יהיה גדול מהעוצמה של B. למשל:

<math>B=\{(1,0,0)\}</math> מעוצמה 1 אבל הוקטורים הם עם 3 רכיבים (כי זה למעשה וקטור הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של <math>\mathbb{R}^3</math>. לעומת זאת, הקואורדינטות של איבר הבסיס B לפי הבסיס B הם (1) עם רכיב אחד.

ואני אדגיש שוב את התשובה לשאלה: '''אין משמעות למושג מספר הרכיבים של וקטור באופן כללי'''.

==מותר?==
האם אפשר להוכיח תלות לינארית בין וקטורים נתונים לפי ציון מפורש של המקדמים, בלי להראות איך הגענו למקדמים האלה? למשל, נתונים <math>(1,2,3), (2,3,4), (2,2,2)</math> - האם מותר לומר שיש תלות לינארית כי <math>(2,3,4)=1\cdot(1,2,3)+\tfrac{1}{2}\cdot(2,2,2)</math>, מבלי לציין איך הגענו למקדמים <math>1,\tfrac{1}{2}</math>? תודה.

===תשובה===
מה אני אגיד? כן מותר, אבל אסור מן הסתם להעתיק את התשובה הזו מאחרים.

==שאלה 2 בדף==
בסעיף a, האם אפשר להגיד שנתאים לכל וקטור v1,..vn התאמה חח"ע, על והפיכה כך ש vi=[vi]b ולכן בכלל ש v1,..vn בת"ל אז [v1]b,..[vn]b בת"ל? ומכיוון שההתאמה הפיכה אז גם להפך? כי אני לא מצליח להוכיח את זה בצורה אחרת.

===תשובה===
כן ולא. בגדול מה שאתה אומר הוא נכון. אבל צריך להסביר 2 דברים:

1. מדוע ההתאמה הזו היא חח"ע

2. מדוע התאמה '''לינארית''' חח"ע משאירה קבוצה בת"ל - בת"ל.

==שאלה 8.4==
אפשר להגיד שאם <math>u1+u2=u1+u3</math> אז <math>dim(u1+u3)=dim(u1+u2)</math>
:כן. אם שני מ"ו שווים זה לזה אז הם אותו מרחב (כלומר, יש להם אותם איברים ואותן פעולות חיבור וקטורים וכפל בסקלר). לכן ברור שגם המימדים שלהם זהים.

==שאלה 7.19==
אפשר רמז? ולא הבנתי מה קשור הרמז שהם נתנו ואיך הוא עוזר? תודה רבה.
:מתוך העמוד הראשי:
===דוגמא לעבודה עם מטריצות כוקטורים===
'''[[מדיה:10Linear1MatrixVercotEx.pdf|דוגמא]]''' שימושית לתרגיל 4.
:קראתי את הדוגמה הזאת וזה ממש עזר לי ב2 התרגילים מהדף המצורף (ובכלל להבין את החומר) אבל זה ממש לא עזר לי להבין איך לפתור את 7.19
::נכון, לכן תקרא את התשובה שלי בדיוק מתחת --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:24, 20 באוגוסט 2010 (IDT)

===תשובה===
דווקא אני לא בטוח שהדוגמא הזו עוזרת. צריך להוכיח שהקבוצה שם בת"ל לפי ההגדרה - כל צירוף לינארי שלה מתאפס. איך זה עוזר? כי בתוך מרחב ממימד n כמה וקטורים הכי הרבה יכולים להיות בקבוצה בת"ל?

:n, אבל איך זה עוזר?

::אם אין יותר מn איברים שונים מאפס, אז האיבר הn+1 שווה אפס.

==צ"ל טריוויאלי==
האם צ"ל שאם <math>\sum_{i=1}^n{\left(\alpha_i\begin{pmatrix}b_1&b_2&\cdots&b_m\end{pmatrix}\right)[v_i]_B}=\vec0\iff\forall i\in\{1,\dots,n\}:\alpha_i\begin{pmatrix}b_1&b_2&\cdots&b_m\end{pmatrix}=\vec0</math> אזי <math>[v_1]_B,[v_2]_B,\dots,[v_n]_B</math> בת"ל? (ההבדל בין הטענה הזו לבין מה שלמדנו בהרצאה הוא שכאן יש מכפלה וקטורית). או שזה מספיק טריוויאלי? תודה.

===תשובה===
אני לא מבין את הטענה ולכן היא אינה טריוויאלית. לא למדנו מכפלה וקטורית.
:אני מדבר על מכפלה וקטורית במ"ו של מטריצות, ואותה '''כן''' למדנו.
::זו לא מכפלה וקטורית, זה כפל מטריצות. ולכן צריכים להיות וקטורי קואודדינטות בעמודות ולא סתם וקטורים. בכל אופן, זה מראה שבעצם המטריצה עם הb_i (בנהחה שהם קואו' וזו אכן מטריצה) כפול <math>[v_i]_B</math> הם בת"ל ולא רק וקטורי העמודה <math>[v_i]_B</math>.
:::שכחתי לציין שהבסיס הוא <math>B=\{b_1,b_2,\dots,b_m\}</math>. בכל אופן, אם אני מפרט שה-b-ים הם וקטורי הבסיס - אפשר לומר שוקטורי העמודה <math>[v_i]_B</math> בת"ל?

::::הם וקטורי בסיס, אבל יכולים להיות פולינומים. מה המשמעות של לשים פולינום כעמודה? אני עדיין לא רואה כיצד זה נובע, בוודאי בוודאי שזה לא טריוויאלי.

== בסיס ==

מה הכוונה בהגדרה של מימד, מספר האיברים בבסיס?נניח <math>V=R^2</math> וניקח בסיס {(1 0),(0 1)} אז אני מבין שיש שני וקטורים שפורשים
ובכל וקטור שני רכיבים- 1,0.
אז מה נחשב למספר האיברים בבסיס?
:יהי מ"ו <math>V</math> ויהי <math>B</math> בסיס שלו. אזי המימד של <math>V</math> יסומן <math>\dim(V)</math> ויוגדר כמספר האיברים בבסיס. כלומר: <math>\dim(V):=|B|</math>.

לא ענית לי לשאלה!אני יודע את ההגדרה!השאלה שלי היא מה נחשב למספר האיברים בבסיס?לפי הדוגמא שהבאתי..
:2, מן הסתם, כי יש שני איברים בבסיס <math>\Big)</math>שהם <math>(1,0)</math> ו-<math>\Big((0,1)</math>. באופן כללי, <math>\dim(\mathbb F^n)=n\cdot\dim(\mathbb F)</math>.

==בסיסים==
הוכחנו בכיתה שאם יש קבוצה פורשת שבה n איברים ועוד קבוצה בת"ל שבה m איברים אז m<=n.

זה לא מסתדר לי, כי זה הרי אומר שמספר האיברים בכל הבסיסים שקיימים - שווה (כי בסיס פורש ובת"ל).

אפשר הסבר? תודה מראש!

===תשובה===
מספר האיברים בכל הבסיסים אכן שווה - זה משפט.

יותר מזה, מספר האיברים בבסיס (הרי לא משנה איזה בסיס בחרת זה אותו מספר) מוגדר להיות '''המימד''' של המרחב.

====תשובה לתשובה====
תודה, אבל לא הבנת את השאלה שלי. אני דיברתי על בסיסים שהם לא בסיסים של אותו המרחב אלא של מרחבים שונים זה מזה. כמובן שמספר האיברים בהם לא בהכרח שווה, אז אני כנראה הבנתי את המשפט הזה לא נכון..?

=====תשובה=====
המשפט מדבר על קבוצות בתוך מרחב ספציפי נתון, ולא בין מרחבים שונים. הרי המושג '''פורש''' מתייחס למרחב הנתון ששניהם נמצאים בו, אחרת כל קבוצה בעולם היא פורשת (שכן כל קבוצה פורסת את הSpan של עצמה).

======הבהרה======
אז המשפט אומר שאם יש שתי קבוצות: U פורשת, V בת"ל '''ושתיהן מוכלות במ"ו מסוים''' אז |U|>=|V| ?
:רגע... איזו קבוצה U אמורה לפרוש? אני מבולבלת, תוכל לכתוב את המשפט כולו בבקשה? תודה מראש.

::יהא V מ"ו, ויהיו שתי קבוצות <math>A,B\subseteq V</math>. אזי אם A פורשת את V כלומר (spanA=V) וB בת"ל אזי <math>|A|\geq |B|</math>

:::תודה!

==שאלות בקשר ל6.5 ו-7.9==
* הכוונה ב"לבטא את האיבר הכללי בקבוצה" הוא בעצם להגיע לוקטור מהסוג <math>v=(x+5y,6y+z,x+z)</math> או במקרה של פולינומים <math>f(x)=a+(5a+c)x+(b+c+d)x^2+(2a+7d)x^3</math>? (כמובן שאלו דוגמאות ולא הפתרונות)
* לא כל כך הבנתי איך בודקים שקבוצה פורשת מרחב כמו בשאלה 7.9.

===תשובה===
*צריך להגיע למשוואה מהצורה <math>(x,y,z)=\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3</math> כאשר אתה צריך לחשב את אלפא, בטא וגמא. במילים אחרות אתה צריך לחשב את הקואורדינטות של איבר כללי לפי הבסיס הנתון.

*כמו שרשמתי למטה בתשובה לכמה שאלות. שמים בשורות מטריצה, מדרגים. אם בצורה המדורגת יש 5 שורות שונות מאפס אז זה אומר שהקבוצה פורסת מרחב ממימד 5. תת מרחב ממימד 5 במרחב ממימד 5 חייב להיות המרחב כולו.

==בקשר ל 6.5==
בשאלה צריך רק להראות את האיבר הכללי או להראות איבר כלשהו בקבוצה שאינו בנפרש? או שצריך לפרט למה זה שווה ואז להראות איבר כללי או להראות איבר שאינו שיך ולפרט למה?

===תשובה===
אם זה שווה צריך להראות איבר כללי. אם לא צריך למצוא איבר שאינו נפרש על ידי הspan.

:אז לא צריך לפרט רק לציין?

::צריך תמיד להסביר, אי אפשר לתת תשובה סופית בלבד. אפשר לא להציג את כל החישובים עד הסוף

==טריוויאלי או צ"ל?==
האם צ"ל שאם מטריצה A כלשהי מקיימת <math>\forall\vec x:A\vec x=\vec x</math> אז בהכרח <math>A=I</math>? או שזה טריוויאלי? תודה.

===תשובה===
אלא אם מבקשים להוכיח את זה, זה טריוויאלי (הרי פשוט מציבים <math>e_i</math> ומראים שעמודות המטריצה זהות לעמודות המטריצה I).

==לכל בסיס של V (מ"ו מסוים) יש אותו מספר איברים==
בהוכחה של מה שכתבתי בכותרת, לוקחים B1 בסיס של V עם n איברים, ו-B2 בסיס של V ומוכיחים שגם בו n איברים. בהתחלה מוכיחים שיש ב-B2 לכל היותר n איברים.

לאחר מכן אומרים שאם B2 מכיל פחות מ-n איברים אז B1 תלוי לינארית. למה?

תודה מראש!
:יש משפט חשוב שהיה בהרצאה שאומר שאם A פורשת וB בת"ל, אז |A| גדול שווה מ |B|. אז שמתי לב שיש דרך יותר קלה להוכיח שבכל בסיס יש אותו מספר איברים, מאשר הדרך שהמרצה הוכיח אותה- פשוט אומרים שאם יש 2 בסיסים A וB, אזי A פורשת וB בת"ל (ולכן|A| גדול שווה מ |B|) וגם B פורשת וA בת"ל ולכן (ולכן ההפך מקודם) ולכן |A| = |B|.

::תודה על התשובה המהירה! אמנם זו הוכחה פשוטה וקצרה, אבל גם ההוכחה של המרצה קצרה מאוד. רק לא הבנתי למה זה נכון: "אם B2 מכיל פחות מ-n איברים אז B1 תלוי לינארית".

:::זו אינה דרך קלה יותר- אתה פשוט מסתמך על ההוכחה הכבידה במהלך ההוכחה הקלה. תשים לב לסדר הוכחות המשפטים.

===תשובה===
משתמשים בהוכחה בלמת ההחלפה של שטייניץ (עמוד 39 למטה בחוברת). הרעיון הוא שאתה יכול להחליף את האיברים מB1 על ידי איברים מB2. בלשב מסויים יהיו בB1 כל האיברים מB2 ועוד כמה איברים אחרים. מכיוון שB2 פורסת, האיברים הנוספים האלה תלויים בקודמיהם ולכן B1 ת"ל.

:תודה!

==שאלה בדירוג מטריצה לבדיקת תלות לינארית==
כשמדרגים מטריצה לבדיקת תלות לינארית של איברים, אם מגיעים לשורת אפסים זה אומר שהאיברים הם בת"ל או ת"ל? רק כדי להיות בטוח. תודה רבה!

===תשובה===
ת"ל לינארית כמובן. כי זה אומר שיש צירוף לינארי לא טריוויאלי של השורות שהתאפס (וגם שמימד מרחב השורות קטן ממספר האיברים בקבוצה ולכן בהכרח היא ת"ל).
:תודה על הכל!

==דרך הפתרון ל7.9==
איך צריכים לפתור את השאלה? האם צריך להגיד ש
(x1,x2,x3,x4,x5) = a(1,2,3,4,5) +b(5,4,3,2,1)+...
ואז להראות שיש פתרון כללי ולכן הקבוצה הנתונה פורשת את R5?
או שיש דרך אחרת יותר קלה? תודה.

===תשובה===
למדנו שלמטריצות שקולות שורה יש את אותו מרחב שורה. מספיק לשים את הוקטורים בשורות מטריצה ולדרג.

למדנו גם שהשורות השונות מאפס בצורה המדורגת של המטריצה מהוות בסיס למרחב השורות (זה לצורך חישוב מימד במקרה הזה, כי מבקשים בסיס שמוכל בבסיס המקורי, ולא בסיס כלשהו).
:תודה. אבל תמיד מדרגים מטריצה כדי לבדוק תלות לינארית, לא האם קבוצה היא פורשת! הצלחתי בעזרת דירוג לפתור את ב', אך איך אנמק שהחמישיות פורשות את R5 בעזרת דירוג מטריצות? תודה.
::אם שמת את כל הוקטורים בששת שורות מטריצה, ואחרי דירוג הראת שהמטריצה פורשת את <math>\mathbb{R}^5</math> הרי שששת הוקטורים פורסים את המרחב גם. לפי השלישי חינם כל 5 וקטורים בת"ל ב<math>\mathbb{R}^5</math> פורשים אותו.
:::אה נכון, בעזרת השלישי חינם! תודה וסליחה על בוֹרוּת.

==בקשה==
אני מבקש מכל מי ששואל שאלה\עונה תשובה לעשות את הכותרת שלו בדרגה 2, כלומר כך למשל:
'==שאלה=='
ולא כך:
'=שאלה='
אחרת זה משרשר חדש(כי זה בדרגת כותרת של '=שאלות='), וזה נורא מציק לעין, תודה!
:לא עדיף שתדגישו את זה בהוראות? (ואולי גם כהודעה בעמוד הראשי - כאן מעט מאוד יראו את זה).

::לא אני כתבתי את ההערה.--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:20, 19 באוגוסט 2010 (IDT)
::ובכל אופן, אני לא רואה איך אפשר להפוך את ההוראות לברורות יותר, אשמח להצעות.

==שאלה על בסיסים ומ"וים==
האם ניתן להגיד (או האם זה נכון בכלל) שאם ל2 מרחבים וקטוריים יש בדיוק את אותו בסיס מסוים, (כלומר מצאתי קבוצה שהיא בסיס לשניהם) אזי המרחבים זהים (הם אותו מרחב וקטורי)? אם כן, האם אפשר לכתוב את זה בלי הוכחה או שצריך לכתוב הוכחה? אם צריך לכתוב הוכחה, איך מוכיחים את זה? תודה רבה.

===תשובה===
זה טריוויאלי, אבל אם אתה רוצה להוכיח:

B בת"ל בסיס לV אם"ם spanB=V (לפי הגדרה). אם בנוסף B בסיס לU אזי spanB=U מכאן נובע V=U.
::תודה!

==שאלה==
האם הסקלרים בכל צירוף לינארי כלשהוא חייבים להיות גדולים מאחד? (ובפרט בצירופים הלינאריים שבspan?)

===תשובה===
בשום צורה '''לא'''. הסקלרים הם סקלרים '''כלשהם''' מהשדה.

==שאלה==
האם כל span כולל את אפס?
===תשובה===
כן כל span הוא תת מרחב וקטורים.

הסבר אחר: span הוא אוסף כל הצירופים הלינאריים, בפרט הצ"ל הטריוויאלי - כלומר כל הסקלרים הם אפסים

== 7.20 ==

אפשר קצת הסבר על השאלה? אני לא יודע איך להסתכל על זה..מה עוזר לי הנתון שV מ"ו מעל שדה F?ואיך זה בדיוק
מתקשר למימד?? אם אפשר קצת רמזים..

===תשובה===
תמיד חשוב לזכור את ההגדרות - מימד הוא מספר האיברים בבסיס.

אני אתן דוגמא, מקווה שזה יעזור:

ניקח <math>V=\mathbb{C}^2,F=\mathbb{C},H=\mathbb{R}</math>. אפשר לראות שF הוא מרחב וקטורי מעל H עם הבסיס <math>\{1,i\}</math> שכן כל מספר מרוכב הוא מהצורה <math>a\cdot 1+b\cdot i</math> כאשר a,b ממשיים ובוודאי הסכום הזה מתאפס רק אם a=b=0. לכן הקבוצה הנ"ל פורשת ובת"ל ולכן היא בסיס. לכן F הוא ממימד 2 מעל H (כי יש 2 איברים בבסיס).

V הוא הוא ממימד 2 מעל F (זה ברור). נמצא לו בסיס מעל H: <math>\{(1,0),(i,0),(0,1),(0,i)\}</math> ואכן אנו רואים שV הוא ממימד 4=2x2 מעל H.

==שאלה==
אם אני יודע ש:
v מרחב וקטורי נוצר סופית,<math>B\subseteq V</math> ובנוסף:
*<math>sp(B)=V</math>
*B בת"ל.
אז אני יכול להגיד ש-B בסיס עבור V?

===תשובה===
כן. זו ההגדרה של בסיס. Span(B)=V (פורש) ובת"ל

==שאלה 7.10==
העברתי את המטריצות לעמודות, ודירגתי את המטריצה שהתקבלה.
יצאו לי ארבע שורות אפסים, האם זה אומר שהן תלויות לינארית ?
איך מנמקים את זה?

===תשובה===
השאלה היא לא כמה שורות אפסים יש, אלא כמה משתנים חופשיים יש. אם קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת Ax=0 אזי עמודות A תלויות לינארית.

== שאלה ==
איך מוכיחים שקבוצה היא פורשת? ואיך מוצאים בסיס לקבוצה?

===תשובה===
למדנו שמרחבי השורות של מטריצות שקולות שורה הם זהים. לכן על מנת למצוא בסיס לקבוצת וקטורים יש '''לשים אותם בשורות''' מטריצה '''ולדרג''' את המטריצה. '''בצורה המדורגת של המטריצה, השורות השונות מאפס מהוות בסיס''' למרחב השורות.

הspan של הקבוצה הוא כמובן הspan של השורות השונות מאפס בצורה המדורגת. כך ניתן לדעת מה הקבוצה פורשת (קבוצה תמיד פורשת את הspan שלה - זו ההגדרה).

כאשר יש מרחב וקטורי של פולינומים או מטריצות - מעבירים אותו לצורה וקטורית פשוטה כמו בתרגיל לדוגמא שפרסמנו בעמוד הראשי.

==שאלה על מימדים==
מה המימד של המרחב הוקטורי המכיל רק 0? האם סכום ישר אומר שהחיתוך נותן 0? כי אם כך אז המימד של {(a,b,0,0) סכום ישר (0a,0,d,c)} שווה לסכום המימדים שהוא 4, פחות מימד החיתוך שהוא 1, לא? אזי מימד הסכום שווה ל3 אבל הוא באמת שווה ל-4. מה הולך פה?

===תשובה===
המימד של מרחב האפס {0} הוא אפס. הבסיס שלו הוא הקבוצה הריקה.

==שאלה כללית==
האם שורותיה של מטריצה בדורגת הם בהכרח בת"ל?

===תשובה===
שורותיה השונות מאפס של מטריצה מדורגת הן בהכרח בת"ל. אף שורה איננה צ"ל של קודמותיה, כי יש לה אפסים במקומות בהם יש לשורות הקודמות איברים פותחים.

==שאלה==
האם אני יכול להגיד את הדבר הבא?
<math>span(A+B)=span(span(A\cup B))=span(A\cup B)=A\cup B=span(A)\cup span(B)</math>
תודה מראש...

===תשובה===
לא. האיחוד של תתי מרחבים לרוב אינו תת מרחב. שאלה זו מופיעה בתרגיל 3, והפרכתה נמצאת בפתרונות.

המעבר הראשון הלא חוקי (משמאל לימין) הוא שאפשר להוריד את הspan ולהשאיר שיוויון. מה פתאום הspan של קבוצה שווה לקבוצה? הרי הקבוצה יכולה להיות סופית, ואוסף כל הצירופים הלינאריים הוא אינו סופי (מעל שדה אינסופי כמובן)

== שאלה ==
1.אם (V1,v2...vn) וקטורים בת"ל וגם (u1,u2,...,un) וקטורים בת"ל ומתקיים ש:
v1=a1u1+a2u2...anun,...,vn=b1u1+b2u2+...+bnun , אני יכולה להגיד ש {a1,...,an}..{b1,...,bn הם בת"ל?

2. מטריצת מעבר היא חייבת להיות ריבועית?

===תשובה===
1. סקלרים לא יכולים לעולם להיות בת"ל. ההגדרה של בת"ל תקפה רק לגבי וקטורים.

2. כן. כי הרי יש בה n עמודות (מספר האיברים בבסיס B) שכל אחת מהן באורך n (מספר האיברים בבסיס C). הרי מספר האיברים זהה בכל הבסיסים.

:לגבי 1. אני לא מבינה! הרי כן אפשר להסתכל על כוקטורי עמודה {a1,..,an},{b1,...,bn ולשאול האם הם תלויים לינארית?

::הסימון עם סוגריים מסולסלים מסמן קבוצה, ולא וקטור עמודה. את מתכוונת ל<math>(a_1,...,a_n),(b_1,...,b_n)</math>? (כלומר, 2 וקטורי קואורדינטות) אה.. אני בכלל מבין עכשיו את הטעות בסימון. מהם הסקלרים שבין a ל b?

::אני מניח שהתכוונת ל
::<math>v_i=a_{1i}u_1+...+a_{ni}u_n</math> ואז השאלה אם הקבוצה <math>\{(a_{1i},...,a_{ni})|1\leq i \leq n\}</math> היא בת"ל. אבל זה בדיוק השאלה בשיעורי הבית. צריך להוכיח את זה.

::רמז: ההעתקה מv לקואורדינטות של v לפי בסיס מסוים, הינה העתקה לינארית.

== שאלה לתשובה ==

רציתי לשאול עוד בנושא, נניח ואני מגיעה לכך ש

<math>(a1u1+...anun),(b1u1+..+bnun),...,(c1u1+..+cnun)</math> שונים מאפס ובת"ל.

האם אני יכולה להסיק ש <math>(a1..an),(b1..bn),...,(c1..cn)</math> חייבים להיות שונים מ0 ובת"ל?

*אי אפשר לרשום בסקלרים a,b...c זה כמו לרשום <math>a_1u_1,a_2u_2...a_3u_n</math> זה פשוט לא עובד.

*הסימון סוגריים מסולסלים שהיה במקור - שמור לקבוצות בלבד, לא לוקטורים.

*זה נכון, אבל צריך להוכיח את זה. (למעשה זו השאלה רק במילים אחרות).

==שאלה 2 בדף המצורף==
כל מספר מסוים של וקטורים מתוך מרחב מסוים שהם בת"ל הם בהכרח גם בסיס של אותו המרחב?

===תשובה===
בוודאי שלא. בסיס הוא '''פורש''' וגם '''בת"ל'''. אחד התנאים בלבד אינו מספיק. מספר הוקטורים היחיד שיכול להיות בבסיס הוא המימד של המרחב.

לדוגמא:
<math>\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3</math> בת"ל אבל לא בסיס.

אבל (ואולי לזה התכוונת) אם ניקח קבוצה בת"ל עם מספר וקטורים כגודל המימד של המרחב היא אכן תהיה בסיס תודות למשפט השלישי חינם.

==שאלה 6.4א==
בשאלה מבקשים לוהכיח שאם חיתוך של שני ספאנים שונה מאפס, אבל כל ספאן יוצר צירוף לינארי מתאפס, אז הטענה בכלל לא יכולה להיות נכונה, האם זה בעיה בתרגיל?

===תשובה===
<math>\{0,1\}\neq \{0\}</math>

===שאלה על התשובה===
את/ה יכול/ה לתת דוגמא ל2 קבוצות שמקיימות את התנאי הזה?

====דוגמא====
ניקח <math>B=\{(1,0,1),(1,0,-1)\},A=\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3</math>

<math>span(A)\cap span(B) = span\{(1,0,0)\}\neq \{0\}</math>

במילים: יש צירוף לינארי של A וצירוף לינארי של B ששניהם שווים זה לזה אבל שונים מאפס.

== שאלה 3 ב בבוחן ==
שלום, לא הבנתי למה הזווית של 1+i היא בדיוק פי חלקי ארבע? מה החישוב שעושים?

===תשובה===
במישור המרוכב זו הנקודה (1,1) שנמצאת בדיוק על הקו הישר x=y שנמצא בזוית 45 מעלות (כי הוא חוצה את הזוית הישרה בין הצירים). אם זה לא מספיק ברור, גם <math>tg(\theta)=\frac{b}{a}=\frac{1}{1}=1</math> ולכן <math>\theta = \frac{\pi}{4}</math>

== שאלה 1 ב' בבוחן ==
בפתרונות כתוב שאם נדרג נמצא שורת סתירה עבור a=0ולכן אין פיתרון.
דרגתי כמה וכמה פעמים ואני לא מוצאת שום שורת סתירה!
אני כן מחלקת בa כחלק מהפעולות אלמנטריות אבל כשאני רוצה להוכיח שבאמת אין פיתרון עבור a=0 אני לא מצליחה!
אתה יכול לפרט יותר?

===תשובה===
אסור לחלק בa כחלק מהפעולות האלמנטריות כאשר בודקים את המקרה a=0 זה מקור הטעות.

תציבי במטריצה '''המקורית''' a=0 ותראי לאן את מגיעה.
אוקי תודה!

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-21T15:14:10Z

Nimrod: /* תשובה */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - בוחן + תרגיל 3

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 3

=שאלות=
==7.19==
הצלחתי להוכיח את מה שהיה צ"ל ברמז (ש v, Av,..Ak-1v בת"ל). אפשר עזרה לגבי- מה עושים עכשיו? איך הרמז מתקשר בכלל לשאלה? תודה.
:נראה לי שהבנתי, האם הפתרון של מקובל? לפי תשובה לשאלה קודמת פה, הכמות המקסימלית לאיברים בקבוצה בת"ל הוא כמימד המרחב, ולכן ak=an2 ולכן an2=0 ולכן an*an=0 וזה אומר ש an=0? תודה. (מחקו אם יש עדיפות לא להראות פתרונות והפתרון נכון, תודה.)

::זה אמור להיות <math>a_n^2</math>? במטריצות יש מחלקי אפס ואי אפשר להסיק כפי שהסקת. אבל אפשר להסיק על <math>A^{n}v</math> כמו שתארתי.
:::כן זה היה אמור להיות n בריבוע, סימן שטעיתי. אבל לא הבנתי איך אפשר להסיק על Anv ואיך זה עוזר.
:::חוץ מזה לא הבנתי עוד משהו, אמרת שאם קבוצה עם n איברים היא בת"ל (מקסימלית?) אזי האיבר הn+1 שווה אפס. למה זה נכון, הוא יכול להיות גם תלוי לינארית באיברים 1 עד n, לא?

==העתקה לינארית==
מותר להשתמש בעובדה ש-<math>[\ ]_B:V\to\mathbb F^n</math> היא העתקה לינארית? או שצריך להוכיח?

===תשובה===
אם למדתם בהרצאה, מותר להשתמש (חייבים להזכיר את זה כמובן)
====שאלה בקשר לתשובה====
בהרצאה הראנו שההעתקה היא ליניארית וגם חח"ע ועל אז בשאלות בדף מותר לי להניח את זה (ולציין שכך הראנו בהרצאה) ורק להראות את ההתחייבות שהבת"ל נשמר (ב-2 א) או ההשתייכות לנפרש(ב- 2ב)?

==I]<sup>B</sup><sub>C</sub>]==
צ"ל ש-<math>[I]_C^B</math> מטריצה ריבועית?
:כן.

==שאלה 6.5==

לא הבנתי איך מוצאים את האיבר הכללי, אפשר הסבר? (קראתי את התשובות למטה ועדיין לא הבנתי..)

===תשובה===
אפשר בעזרת קואורדינטות ואפשר באמצעות פתרון ישיר של מערכת משוואות

<math>a+bx+cx^2=\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3</math> כאשר a,b,c פרמטרים נתונים, וצריך לחשב את אלפא בטא גמא (הדוגמא שנתתי היא פולינום כללי, וקטור כללי יהיה <math>(a,b,c)</math> וכדומה).
====שאלה בקשר לתשובה====
בסעיף של הפולינומים אפשר לכתוב את האיבר הכללי כ פולינום מהצורה : a+b)+(2b+c)x+(3c)x^2+(a+b+2c)x^3) כאשר a,b,c פרמטרים? (זו אינה התשובה)
==צ"ל?==
יהי C בסיס למ"ו U. האם צריך להוכיח שקיים בסיס <math>C\subseteq B</math> ל-<math>U\le V</math>? או שזה טריוויאלי?

===תשובה===
לא. רושמים "נשלים לבסיס למרחב כולו"

==6.5ג==
ב-6.5, סעיף ג', הכוונה ב-<math>\mathbb F^{2\times2}</math> היא <math>\mathbb R^{2\times2}</math>?

===תשובה===
זה לא משנה באמת, השאלה בסדר כמו שהיא.
:כלומר מספיק למצוא הפרכה לשדה F כלשהו? או שצריך לבדוק אם לכל שדה F הטענה לא מתקיימת (ואם לא - מה לעשות?)?
::כן, מספיק למצוא הפרכה לשדה מסויים או להוכיח לכל שדה.

==שאלה==
נתון <math>V=\mathbb{F}^n</math> וגם ש<math>\mathbb{H}</math> תת שדה של <math>\mathbb{F}</math>
אם אני יודע שהמימד של F מעל H הוא m אז אני יכול להגיד דבר כזה:
<math>V=\mathbb{F}^n=(\mathbb{H}^m)^n=\mathbb{H}^{mn}</math> כלומר המימד של V מעל השדה H הוא mn?
תודה מראש!

===תשובה===
לא, זה מה שצריך להוכיח.

אבל אני יודע ש:<math>V=\mathbb{F}^n</math> וגם <math>\mathbb{F}=\mathbb{H}^m</math>
אז כאילו אני מציב ומקבל <math>V=\mathbb{H}^{nm}</math>

:אבל לא למדנו חוקי חזקות למרחבים וקטורים - זה מה שצריך להוכיח.

::וחובה להשתמש בזה שH תת שדה של F? (לא אותו אחד ששאל מקודם.)

:::צריך להשתמש בכך שF מ"ו מעל H

==שאלה ראשונה בדף==
האם הנימוק הבא מספיק:
מספר האיברים של כל בסיס של מרחב וקטורי ממימד N שווה ל N => מספר האיברים ב B שווה לN, מספר האיברים ב C שווה ל N => יהיו לי N עמודות (כל עמודה מייצגת את הקורדינטות ליצוג איבר מסויים מB לפי איברי C ובגלל שיש N איברים יש N עמודות כאלה שמיצגות אותם) ויהיו N שורות (מכיוון שבC יש N איברים כל וקטור בB מוצג כצירוף ליניארי של N האיברים בC ולכן מספר הקורדינטות שווה לN ומכאן שיש N איברים בכל עמודה שזה אומר N שורות) => המטריצה ריבועית. לפי מה שהוכחנו בכיתה לכל וקטור במרחב יש הצגה יחידה לפי בסיס מסויים ולכן לכל איבר בB יש הצגה יחידה לפי C ומכאן שלכל איבר בB יש וקטור קורדינטות יחיד => לפי המשפט שאם קבוצת וקטורים בת"ל אזי קבוצת וקטורי הקורדינטות שלהם בת"ל (מוכיחים את זה בשאלה הבאה אני מניח שמותר לי להשתמש בזה לא?) אזי העמודות של המטריצה שקיבלנו בת"ל.
=> מכיוון שקיבלנו מטריצה ריבועית שעמודותיה בת"ל ומכאן לפי משפט מטריצה זו הפיכה.
זה הסבר מילולי קצת ארוך אבל האם הוא מספיק מפורט בשביל להוות הוכחה ללא חישובים? תודה (בבקשה שרק מתרגל יענה)

===תשובה===
" לפי המשפט שאם קבוצת וקטורים בת"ל אזי קבוצת וקטורי הקורדינטות שלהם בת"ל אזי העמודות של המטריצה שקיבלנו בת"ל. => מכיוון שקיבלנו מטריצה ריבועית שעמודותיה בת"ל ומכאן לפי משפט מטריצה זו הפיכה"

אני לא מבין מה צריך את כל הסיפור לפני כן.
: אז אני יכול להסיק ישר שהמטריצה ריבועית ואז לכתוב את המשפט הזה וזה הוכחה שתופסת?

::אה הבנתי עכשיו שאתה מראה שם שהמטריצה ריבועית, זה אכן חשוב. תנסה לתמצת את הסיפור. למשל מספר האיברים בB הוא n לכן <math>[v]_B\in F^n</math>. וכדומה.
:::אני אראה איך אני יכול לתמצת אבל בכללי הדרך הוכחה הזו מספיקה או שחסר בה משהו שצריך לציין או להסביר?
::::זה מספיק.

==בהמשך לשאלה: "דרך הפתרון ל7.9"==
לא הבנתי את מה שכתבתם שם, ונראה לי שזה יכול לקצר ולהקל מאוד על פתרון שאלות מהסוג הזה, אז חשוב לי להבין. מה עוזר דירוג המטריצה שהשורות שלה הם הוקטורים הנתונים? מה ניתן להסיק ממה שמתקבל? אם מתקבלת שורת אפסים - מה זה אומר? ואם לא? ואם מתקבל טור אפסים?

תודה מראש!

===תשובה===
אתה חייב לציין מה לא הבנת בדיוק.

האם אתה מבין מהו מרחב שורות? ושלמטריצות שקולות שורה יש אותו מרחב שורות?

====תשובה לתשובה====
את ההגדרה המילולית: "מרחב השורות הוא אוסף הצירופים הלינאריים של כל השורות במטריצה" אני מבינה, פשוט מתייחסים לכל שורה כוקטור ומרחב השורות הוא הנפרש שלהם. את ההגדרה המתמטית לא כל כך הבנתי (למה כופלים את המטריצה המשוחלפת בוקטור? לפי ההגדרה המילולית אמורים לכפול את הוקטור בסקלר, לא?)

את המשפט שלמטריצות שקולות שורה יש אותו מרחב שורות הבנתי.

ניסיתי לפרט כמה שיותר מה לא הבנתי, הנה:

"מה עוזר דירוג המטריצה שהשורות שלה הם הוקטורים הנתונים? מה ניתן להסיק ממה שמתקבל? אם מתקבלת שורת אפסים - מה זה אומר? ואם לא? ואם מתקבל טור אפסים?"

תודה על העזרה!

*ההגדרה המתמטית מסתמכת על העובדה ש<math>Ax</math> הוא צירוף לינארי של עמודות A עם הסקלרים מהוקטור x. כאשר שמים את A משוחלפת, העמודות שלה הן השורות של A. זה שקול ללכפול את השורות של A בסקלרים ולחבר.

*אם את מסכימה שלמטריצות שקולות שורה יש אותו מרחב שורה, אז מה לא ברור בפעולת הדירוג? פעולות דירוג מעבירות מטריצה אחת למטריצה אחרת '''ששקולת שורה לראשונה'''. לכן לאחר פעולות שורה, המטריצה שהתקבל היא בעלת אותו מרחב שורות כמו הראשונה. זה ברור?

*בצורה המדורגת השורות השונות מאפס מהוות בסיס למרחב השורות. כך ניתן לדעת מהו המימד של מרחב השורות. אם קיבלת שורת אפסים, זה אומר שבקבוצה המקורית היו יותר וקטורים מאשר גודל המימד ולכן היא הייתה בהכרח '''ת"ל'''. טור אפסים לא רלוונטי לתהליך הספציפי הזה.

====עוד כמה שאלות קטנות====
תודה רבה!! נשארו רק כמה דברים קטנים שלא הבנתי:
* בהגדרה המתמטית כופלים את השיחלוף של המטריצה ב-v שהוא וקטור (שייך ל-<math>F^m</math>). אז וקטור יש, ואיפה הסקלר? ולמה המטריצה?
* האם יש משפט שאומר שאחרי דירוג קנוני של המטריצה (או שמספיק דירוג רגיל?), כל וקטורי השורות (מלבד וקטור 0) שמתקבלים הם בת"ל? (כמובן שזה די טריוויאלי אבל האם מספיק טריוויאלי בשביל להשתמש בזה בתרגיל בלי הסבר?)
* האם יש משפט שאומר ש-<math>dim(R^n)=n</math>?

שוב תודה!

==שאלה כללית==
האם מותר לי לומר ישירות שהבסיס של תת מרחב שמכיל רק איבר האפס הוא 1? ( ד"א האם קבוצה כזו בכלל נחשבת תת מרחב?)

===תשובה===
לפי מה שידוע לי, 0 לא יכול לשמש כבסיס כי כל צירוף לינארי שיש בו 0 הוא תלוי לינארית (כי אפשר להגיע ל-0 מצירוף לא טריוויאלי).
אז אני די בטוח שמספר האיברים בבסיס של תת מרחב כזה הוא 0.
:[[#שאלה על מימדים]]

== 8.2.1/2==
בסעיף ד אם אני מגיע לכך שהתחום חייב להתקיים האם זה מספיק או שצריך לתת דוגמא לכל אפשרות בתחום ?(כי פתרנו משהו דומה בתרגול ואמרת לנו שצריך להראות דוגמאות אבל אני לא מבין למה צריך במקרה זה, כי אם זה לא מתקיים עבור אחד המקרה בתחום זה עדין אומר שכל מימד של חיתוך כזה חייב להיות בתחום)

===תשובה===
השאלה בכיתה הייתה "מהן האפשרויות" והיית צריך להראות שיש דוגמאות על מנת לדעת שצמצמת את התחום מספיק.

כאן מבקשים ממך להוכיח אי שיוויון בלבד, זה לא מעניינך אם אפשר למצוא אי שיוויון טוב יותר או שאי אפשר.

==7.7 ב'==
בשביל להוכיח את ב' לא השתמשתי בנתון ש-U תת מרחב וקטורי של V. האם אני אמורה להשתמש בו? כי גם בסעיף ג' הם אומרים שהקבוצה B מוכלת ב-V ואני לא רואה למה הנתון הזה הכרחי...

===תשובה===
ברור שזה חשוב, הנה דוגמא נגדית אחרת:
<math>U=span\{(0,1,0),(0,0,1)\}</math>, <math>V=span\{(1,0,0),(0,1,0)\}</math>

dimU=dimV=2 אבל <math>U\neq V</math>

====תשובה לתשובה====
תודה!

אם כך, אני חושבת שבחלק מהמשפטים שהוכחנו בהרצאה לא כתבנו את כל התנאים, כי יש לי במחברת משפט שאומר: "יהי V מ"ו כאשר dimV=n, אז כל קבוצה בת"ל עם n איברים היא בסיס ל-V". מהו המשפט הנכון?
:"...אזי כל קבוצה המוכלת בV שהיא בת"ל עם n איברים...."
::"יהי V מ"ו כאשר dimV=n, אזי כל קבוצה בת"ל המוכלת ב-V עם n איברים היא בסיס ל-V". תודה רבה!

==שאלה 8.2.1/2==
בסעיף ג' מותר לקחת בתור U ו-W מרחבים שהסכום שלהם אינו ישר?(במטרה שלהראות שאם הביטוי בשמאל מתקיים לא בהכרח הביטוי מימין גם מתקיים) <br>תודה

===תשובה===
אם זה לא סותר את נתוני השאלה אתה יכול לקחת את מה שאתה רוצה.

==צ"ל?==
יהי בסיס B ויהיו <math>b_i</math> איברי B. האם צריך להוכיח שלכל i, מספר האיברים ב-<math>b_i</math> שווה לעוצמת הבסיס? או שזה מספיק טריוויאלי?

===תשובה===
זה לא ממש הגיוני מה שרשמת,הרי <math>b_i</math> איבר ולא בהכרח קבוצה, אז איך יהיה לו מספר איברים?

===תשובה נוספת===
אני רואה פה כבר בילבול מושגים שחוזר על עצמו:

הוקטור (1,0,1) הינו '''איבר אחד בלבד''' כמו כן הפולינום 1+x^2 הוא איבר אחד בלבד. הם לא קבוצות עם 3 איברים. יש ב(1,0,1) 3 '''רכיבים''': 1, 0 ושוב 1. בפולינום יש את הרכיבים 1, 0x, x^2.

כמות הרכיבים של '''וקטור הקואורדינטות''' זהה למספר האיברים בבסיס שהוא המימד. '''מאד מומלץ לקרוא את המסמך בעמוד הראשי בנושא'''

===הבהרה===
# לפי ההגדרה המקובלת של קורטובסקי (Kazimierz Kuratowski), כל n-יה סדורה היא '''כן''' קבוצה (<math>(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}</math> ו-n-יה סדורה מוגדרת רקורסיבית כזוג סדור, שהאיבר הראשון שלו הוא האיבר הראשון ב-n-יה הסדורה, והאיבר השני הוא ה-(n-1)-יה הסדורה שנותרה, כלומר: <math>(a_1,a_2,\cdots,a_n):=(a_1,(a_2,\cdots,a_n))</math>).
# לא הייתי בטוח איך לנסח את זה, אבל כשכתבתי "מספר האיברים ב-<math>b_i</math>" התכוונתי למספר ה"רכיבים": מספר האיברים/רכיבים ב-<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math> הוא n. ברור לי שזה לא אותו דבר כמו עוצמה (הרי העוצמה של n-יה סדורה היא 1 או שניים).
# לא עניתם על השאלה: האם מותר לומר שמספר הרכיבים ב-<math>b_i</math> הוא <math>|B|</math>, או שצריך להוכיח? תודה, 18:56, 20 באוגוסט 2010 (IDT)

===תשובה===
* אתה מניח פה שמרחב הוקטורי היחיד הוא מרחב הn-יות הסדורות. כפי שלמדנו זה לא נכון. לכן הניסוח המדויק הוא מספר הרכיבים בוקטור הקואורדינטות. וזה נכון כי וקטור הקואורדינטות הוא תמיד בF^n כאשר n הוא המימד של המרחב.

* חשוב מאד לשים לב לקואורדינטות לפי איזה בסיס מדובר. כלומר, אם תסתכל על הקואורדינטות לפי הבסיס B מספר הרכיבים יהיה העוצמה של B. אבל אם נגיד B פורש תת מרחב ממימד 2 במרחב ממימד 3, ואתה מסתכל על הקואורדינטות לפי בסיס למרחב כולו ולא הבסיס B יכול להיות שמספר הרכיבים שלו יהיה גדול מהעוצמה של B. למשל:

<math>B=\{(1,0,0)\}</math> מעוצמה 1 אבל הוקטורים הם עם 3 רכיבים (כי זה למעשה וקטור הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של <math>\mathbb{R}^3</math>. לעומת זאת, הקואורדינטות של איבר הבסיס B לפי הבסיס B הם (1) עם רכיב אחד.

ואני אדגיש שוב את התשובה לשאלה: '''אין משמעות למושג מספר הרכיבים של וקטור באופן כללי'''.

==מותר?==
האם אפשר להוכיח תלות לינארית בין וקטורים נתונים לפי ציון מפורש של המקדמים, בלי להראות איך הגענו למקדמים האלה? למשל, נתונים <math>(1,2,3), (2,3,4), (2,2,2)</math> - האם מותר לומר שיש תלות לינארית כי <math>(2,3,4)=1\cdot(1,2,3)+\tfrac{1}{2}\cdot(2,2,2)</math>, מבלי לציין איך הגענו למקדמים <math>1,\tfrac{1}{2}</math>? תודה.

===תשובה===
מה אני אגיד? כן מותר, אבל אסור מן הסתם להעתיק את התשובה הזו מאחרים.

==שאלה 2 בדף==
בסעיף a, האם אפשר להגיד שנתאים לכל וקטור v1,..vn התאמה חח"ע, על והפיכה כך ש vi=[vi]b ולכן בכלל ש v1,..vn בת"ל אז [v1]b,..[vn]b בת"ל? ומכיוון שההתאמה הפיכה אז גם להפך? כי אני לא מצליח להוכיח את זה בצורה אחרת.

===תשובה===
כן ולא. בגדול מה שאתה אומר הוא נכון. אבל צריך להסביר 2 דברים:

1. מדוע ההתאמה הזו היא חח"ע

2. מדוע התאמה '''לינארית''' חח"ע משאירה קבוצה בת"ל - בת"ל.

==שאלה 8.4==
אפשר להגיד שאם <math>u1+u2=u1+u3</math> אז <math>dim(u1+u3)=dim(u1+u2)</math>
:כן. אם שני מ"ו שווים זה לזה אז הם אותו מרחב (כלומר, יש להם אותם איברים ואותן פעולות חיבור וקטורים וכפל בסקלר). לכן ברור שגם המימדים שלהם זהים.

==שאלה 7.19==
אפשר רמז? ולא הבנתי מה קשור הרמז שהם נתנו ואיך הוא עוזר? תודה רבה.
:מתוך העמוד הראשי:
===דוגמא לעבודה עם מטריצות כוקטורים===
'''[[מדיה:10Linear1MatrixVercotEx.pdf|דוגמא]]''' שימושית לתרגיל 4.
:קראתי את הדוגמה הזאת וזה ממש עזר לי ב2 התרגילים מהדף המצורף (ובכלל להבין את החומר) אבל זה ממש לא עזר לי להבין איך לפתור את 7.19
::נכון, לכן תקרא את התשובה שלי בדיוק מתחת --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:24, 20 באוגוסט 2010 (IDT)

===תשובה===
דווקא אני לא בטוח שהדוגמא הזו עוזרת. צריך להוכיח שהקבוצה שם בת"ל לפי ההגדרה - כל צירוף לינארי שלה מתאפס. איך זה עוזר? כי בתוך מרחב ממימד n כמה וקטורים הכי הרבה יכולים להיות בקבוצה בת"ל?

:n, אבל איך זה עוזר?

::אם אין יותר מn איברים שונים מאפס, אז האיבר הn+1 שווה אפס.

==צ"ל טריוויאלי==
האם צ"ל שאם <math>\sum_{i=1}^n{\left(\alpha_i\begin{pmatrix}b_1&b_2&\cdots&b_m\end{pmatrix}\right)[v_i]_B}=\vec0\iff\forall i\in\{1,\dots,n\}:\alpha_i\begin{pmatrix}b_1&b_2&\cdots&b_m\end{pmatrix}=\vec0</math> אזי <math>[v_1]_B,[v_2]_B,\dots,[v_n]_B</math> בת"ל? (ההבדל בין הטענה הזו לבין מה שלמדנו בהרצאה הוא שכאן יש מכפלה וקטורית). או שזה מספיק טריוויאלי? תודה.

===תשובה===
אני לא מבין את הטענה ולכן היא אינה טריוויאלית. לא למדנו מכפלה וקטורית.
:אני מדבר על מכפלה וקטורית במ"ו של מטריצות, ואותה '''כן''' למדנו.
::זו לא מכפלה וקטורית, זה כפל מטריצות. ולכן צריכים להיות וקטורי קואודדינטות בעמודות ולא סתם וקטורים. בכל אופן, זה מראה שבעצם המטריצה עם הb_i (בנהחה שהם קואו' וזו אכן מטריצה) כפול <math>[v_i]_B</math> הם בת"ל ולא רק וקטורי העמודה <math>[v_i]_B</math>.
:::שכחתי לציין שהבסיס הוא <math>B=\{b_1,b_2,\dots,b_m\}</math>. בכל אופן, אם אני מפרט שה-b-ים הם וקטורי הבסיס - אפשר לומר שוקטורי העמודה <math>[v_i]_B</math> בת"ל?

::::הם וקטורי בסיס, אבל יכולים להיות פולינומים. מה המשמעות של לשים פולינום כעמודה? אני עדיין לא רואה כיצד זה נובע, בוודאי בוודאי שזה לא טריוויאלי.

== בסיס ==

מה הכוונה בהגדרה של מימד, מספר האיברים בבסיס?נניח <math>V=R^2</math> וניקח בסיס {(1 0),(0 1)} אז אני מבין שיש שני וקטורים שפורשים
ובכל וקטור שני רכיבים- 1,0.
אז מה נחשב למספר האיברים בבסיס?
:יהי מ"ו <math>V</math> ויהי <math>B</math> בסיס שלו. אזי המימד של <math>V</math> יסומן <math>\dim(V)</math> ויוגדר כמספר האיברים בבסיס. כלומר: <math>\dim(V):=|B|</math>.

לא ענית לי לשאלה!אני יודע את ההגדרה!השאלה שלי היא מה נחשב למספר האיברים בבסיס?לפי הדוגמא שהבאתי..
:2, מן הסתם, כי יש שני איברים בבסיס <math>\Big)</math>שהם <math>(1,0)</math> ו-<math>\Big((0,1)</math>. באופן כללי, <math>\dim(\mathbb F^n)=n\cdot\dim(\mathbb F)</math>.

==בסיסים==
הוכחנו בכיתה שאם יש קבוצה פורשת שבה n איברים ועוד קבוצה בת"ל שבה m איברים אז m<=n.

זה לא מסתדר לי, כי זה הרי אומר שמספר האיברים בכל הבסיסים שקיימים - שווה (כי בסיס פורש ובת"ל).

אפשר הסבר? תודה מראש!

===תשובה===
מספר האיברים בכל הבסיסים אכן שווה - זה משפט.

יותר מזה, מספר האיברים בבסיס (הרי לא משנה איזה בסיס בחרת זה אותו מספר) מוגדר להיות '''המימד''' של המרחב.

====תשובה לתשובה====
תודה, אבל לא הבנת את השאלה שלי. אני דיברתי על בסיסים שהם לא בסיסים של אותו המרחב אלא של מרחבים שונים זה מזה. כמובן שמספר האיברים בהם לא בהכרח שווה, אז אני כנראה הבנתי את המשפט הזה לא נכון..?

=====תשובה=====
המשפט מדבר על קבוצות בתוך מרחב ספציפי נתון, ולא בין מרחבים שונים. הרי המושג '''פורש''' מתייחס למרחב הנתון ששניהם נמצאים בו, אחרת כל קבוצה בעולם היא פורשת (שכן כל קבוצה פורסת את הSpan של עצמה).

======הבהרה======
אז המשפט אומר שאם יש שתי קבוצות: U פורשת, V בת"ל '''ושתיהן מוכלות במ"ו מסוים''' אז |U|>=|V| ?
:רגע... איזו קבוצה U אמורה לפרוש? אני מבולבלת, תוכל לכתוב את המשפט כולו בבקשה? תודה מראש.

::יהא V מ"ו, ויהיו שתי קבוצות <math>A,B\subseteq V</math>. אזי אם A פורשת את V כלומר (spanA=V) וB בת"ל אזי <math>|A|\geq |B|</math>

:::תודה!

==שאלות בקשר ל6.5 ו-7.9==
* הכוונה ב"לבטא את האיבר הכללי בקבוצה" הוא בעצם להגיע לוקטור מהסוג <math>v=(x+5y,6y+z,x+z)</math> או במקרה של פולינומים <math>f(x)=a+(5a+c)x+(b+c+d)x^2+(2a+7d)x^3</math>? (כמובן שאלו דוגמאות ולא הפתרונות)
* לא כל כך הבנתי איך בודקים שקבוצה פורשת מרחב כמו בשאלה 7.9.

===תשובה===
*צריך להגיע למשוואה מהצורה <math>(x,y,z)=\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3</math> כאשר אתה צריך לחשב את אלפא, בטא וגמא. במילים אחרות אתה צריך לחשב את הקואורדינטות של איבר כללי לפי הבסיס הנתון.

*כמו שרשמתי למטה בתשובה לכמה שאלות. שמים בשורות מטריצה, מדרגים. אם בצורה המדורגת יש 5 שורות שונות מאפס אז זה אומר שהקבוצה פורסת מרחב ממימד 5. תת מרחב ממימד 5 במרחב ממימד 5 חייב להיות המרחב כולו.

==בקשר ל 6.5==
בשאלה צריך רק להראות את האיבר הכללי או להראות איבר כלשהו בקבוצה שאינו בנפרש? או שצריך לפרט למה זה שווה ואז להראות איבר כללי או להראות איבר שאינו שיך ולפרט למה?

===תשובה===
אם זה שווה צריך להראות איבר כללי. אם לא צריך למצוא איבר שאינו נפרש על ידי הspan.

:אז לא צריך לפרט רק לציין?

::צריך תמיד להסביר, אי אפשר לתת תשובה סופית בלבד. אפשר לא להציג את כל החישובים עד הסוף

==טריוויאלי או צ"ל?==
האם צ"ל שאם מטריצה A כלשהי מקיימת <math>\forall\vec x:A\vec x=\vec x</math> אז בהכרח <math>A=I</math>? או שזה טריוויאלי? תודה.

===תשובה===
אלא אם מבקשים להוכיח את זה, זה טריוויאלי (הרי פשוט מציבים <math>e_i</math> ומראים שעמודות המטריצה זהות לעמודות המטריצה I).

==לכל בסיס של V (מ"ו מסוים) יש אותו מספר איברים==
בהוכחה של מה שכתבתי בכותרת, לוקחים B1 בסיס של V עם n איברים, ו-B2 בסיס של V ומוכיחים שגם בו n איברים. בהתחלה מוכיחים שיש ב-B2 לכל היותר n איברים.

לאחר מכן אומרים שאם B2 מכיל פחות מ-n איברים אז B1 תלוי לינארית. למה?

תודה מראש!
:יש משפט חשוב שהיה בהרצאה שאומר שאם A פורשת וB בת"ל, אז |A| גדול שווה מ |B|. אז שמתי לב שיש דרך יותר קלה להוכיח שבכל בסיס יש אותו מספר איברים, מאשר הדרך שהמרצה הוכיח אותה- פשוט אומרים שאם יש 2 בסיסים A וB, אזי A פורשת וB בת"ל (ולכן|A| גדול שווה מ |B|) וגם B פורשת וA בת"ל ולכן (ולכן ההפך מקודם) ולכן |A| = |B|.

::תודה על התשובה המהירה! אמנם זו הוכחה פשוטה וקצרה, אבל גם ההוכחה של המרצה קצרה מאוד. רק לא הבנתי למה זה נכון: "אם B2 מכיל פחות מ-n איברים אז B1 תלוי לינארית".

:::זו אינה דרך קלה יותר- אתה פשוט מסתמך על ההוכחה הכבידה במהלך ההוכחה הקלה. תשים לב לסדר הוכחות המשפטים.

===תשובה===
משתמשים בהוכחה בלמת ההחלפה של שטייניץ (עמוד 39 למטה בחוברת). הרעיון הוא שאתה יכול להחליף את האיברים מB1 על ידי איברים מB2. בלשב מסויים יהיו בB1 כל האיברים מB2 ועוד כמה איברים אחרים. מכיוון שB2 פורסת, האיברים הנוספים האלה תלויים בקודמיהם ולכן B1 ת"ל.

:תודה!

==שאלה בדירוג מטריצה לבדיקת תלות לינארית==
כשמדרגים מטריצה לבדיקת תלות לינארית של איברים, אם מגיעים לשורת אפסים זה אומר שהאיברים הם בת"ל או ת"ל? רק כדי להיות בטוח. תודה רבה!

===תשובה===
ת"ל לינארית כמובן. כי זה אומר שיש צירוף לינארי לא טריוויאלי של השורות שהתאפס (וגם שמימד מרחב השורות קטן ממספר האיברים בקבוצה ולכן בהכרח היא ת"ל).
:תודה על הכל!

==דרך הפתרון ל7.9==
איך צריכים לפתור את השאלה? האם צריך להגיד ש
(x1,x2,x3,x4,x5) = a(1,2,3,4,5) +b(5,4,3,2,1)+...
ואז להראות שיש פתרון כללי ולכן הקבוצה הנתונה פורשת את R5?
או שיש דרך אחרת יותר קלה? תודה.

===תשובה===
למדנו שלמטריצות שקולות שורה יש את אותו מרחב שורה. מספיק לשים את הוקטורים בשורות מטריצה ולדרג.

למדנו גם שהשורות השונות מאפס בצורה המדורגת של המטריצה מהוות בסיס למרחב השורות (זה לצורך חישוב מימד במקרה הזה, כי מבקשים בסיס שמוכל בבסיס המקורי, ולא בסיס כלשהו).
:תודה. אבל תמיד מדרגים מטריצה כדי לבדוק תלות לינארית, לא האם קבוצה היא פורשת! הצלחתי בעזרת דירוג לפתור את ב', אך איך אנמק שהחמישיות פורשות את R5 בעזרת דירוג מטריצות? תודה.
::אם שמת את כל הוקטורים בששת שורות מטריצה, ואחרי דירוג הראת שהמטריצה פורשת את <math>\mathbb{R}^5</math> הרי שששת הוקטורים פורסים את המרחב גם. לפי השלישי חינם כל 5 וקטורים בת"ל ב<math>\mathbb{R}^5</math> פורשים אותו.
:::אה נכון, בעזרת השלישי חינם! תודה וסליחה על בוֹרוּת.

==בקשה==
אני מבקש מכל מי ששואל שאלה\עונה תשובה לעשות את הכותרת שלו בדרגה 2, כלומר כך למשל:
'==שאלה=='
ולא כך:
'=שאלה='
אחרת זה משרשר חדש(כי זה בדרגת כותרת של '=שאלות='), וזה נורא מציק לעין, תודה!
:לא עדיף שתדגישו את זה בהוראות? (ואולי גם כהודעה בעמוד הראשי - כאן מעט מאוד יראו את זה).

::לא אני כתבתי את ההערה.--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:20, 19 באוגוסט 2010 (IDT)
::ובכל אופן, אני לא רואה איך אפשר להפוך את ההוראות לברורות יותר, אשמח להצעות.

==שאלה על בסיסים ומ"וים==
האם ניתן להגיד (או האם זה נכון בכלל) שאם ל2 מרחבים וקטוריים יש בדיוק את אותו בסיס מסוים, (כלומר מצאתי קבוצה שהיא בסיס לשניהם) אזי המרחבים זהים (הם אותו מרחב וקטורי)? אם כן, האם אפשר לכתוב את זה בלי הוכחה או שצריך לכתוב הוכחה? אם צריך לכתוב הוכחה, איך מוכיחים את זה? תודה רבה.

===תשובה===
זה טריוויאלי, אבל אם אתה רוצה להוכיח:

B בת"ל בסיס לV אם"ם spanB=V (לפי הגדרה). אם בנוסף B בסיס לU אזי spanB=U מכאן נובע V=U.
::תודה!

==שאלה==
האם הסקלרים בכל צירוף לינארי כלשהוא חייבים להיות גדולים מאחד? (ובפרט בצירופים הלינאריים שבspan?)

===תשובה===
בשום צורה '''לא'''. הסקלרים הם סקלרים '''כלשהם''' מהשדה.

==שאלה==
האם כל span כולל את אפס?
===תשובה===
כן כל span הוא תת מרחב וקטורים.

הסבר אחר: span הוא אוסף כל הצירופים הלינאריים, בפרט הצ"ל הטריוויאלי - כלומר כל הסקלרים הם אפסים

== 7.20 ==

אפשר קצת הסבר על השאלה? אני לא יודע איך להסתכל על זה..מה עוזר לי הנתון שV מ"ו מעל שדה F?ואיך זה בדיוק
מתקשר למימד?? אם אפשר קצת רמזים..

===תשובה===
תמיד חשוב לזכור את ההגדרות - מימד הוא מספר האיברים בבסיס.

אני אתן דוגמא, מקווה שזה יעזור:

ניקח <math>V=\mathbb{C}^2,F=\mathbb{C},H=\mathbb{R}</math>. אפשר לראות שF הוא מרחב וקטורי מעל H עם הבסיס <math>\{1,i\}</math> שכן כל מספר מרוכב הוא מהצורה <math>a\cdot 1+b\cdot i</math> כאשר a,b ממשיים ובוודאי הסכום הזה מתאפס רק אם a=b=0. לכן הקבוצה הנ"ל פורשת ובת"ל ולכן היא בסיס. לכן F הוא ממימד 2 מעל H (כי יש 2 איברים בבסיס).

V הוא הוא ממימד 2 מעל F (זה ברור). נמצא לו בסיס מעל H: <math>\{(1,0),(i,0),(0,1),(0,i)\}</math> ואכן אנו רואים שV הוא ממימד 4=2x2 מעל H.

==שאלה==
אם אני יודע ש:
v מרחב וקטורי נוצר סופית,<math>B\subseteq V</math> ובנוסף:
*<math>sp(B)=V</math>
*B בת"ל.
אז אני יכול להגיד ש-B בסיס עבור V?

===תשובה===
כן. זו ההגדרה של בסיס. Span(B)=V (פורש) ובת"ל

==שאלה 7.10==
העברתי את המטריצות לעמודות, ודירגתי את המטריצה שהתקבלה.
יצאו לי ארבע שורות אפסים, האם זה אומר שהן תלויות לינארית ?
איך מנמקים את זה?

===תשובה===
השאלה היא לא כמה שורות אפסים יש, אלא כמה משתנים חופשיים יש. אם קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת Ax=0 אזי עמודות A תלויות לינארית.

== שאלה ==
איך מוכיחים שקבוצה היא פורשת? ואיך מוצאים בסיס לקבוצה?

===תשובה===
למדנו שמרחבי השורות של מטריצות שקולות שורה הם זהים. לכן על מנת למצוא בסיס לקבוצת וקטורים יש '''לשים אותם בשורות''' מטריצה '''ולדרג''' את המטריצה. '''בצורה המדורגת של המטריצה, השורות השונות מאפס מהוות בסיס''' למרחב השורות.

הspan של הקבוצה הוא כמובן הspan של השורות השונות מאפס בצורה המדורגת. כך ניתן לדעת מה הקבוצה פורשת (קבוצה תמיד פורשת את הspan שלה - זו ההגדרה).

כאשר יש מרחב וקטורי של פולינומים או מטריצות - מעבירים אותו לצורה וקטורית פשוטה כמו בתרגיל לדוגמא שפרסמנו בעמוד הראשי.

==שאלה על מימדים==
מה המימד של המרחב הוקטורי המכיל רק 0? האם סכום ישר אומר שהחיתוך נותן 0? כי אם כך אז המימד של {(a,b,0,0) סכום ישר (0a,0,d,c)} שווה לסכום המימדים שהוא 4, פחות מימד החיתוך שהוא 1, לא? אזי מימד הסכום שווה ל3 אבל הוא באמת שווה ל-4. מה הולך פה?

===תשובה===
המימד של מרחב האפס {0} הוא אפס. הבסיס שלו הוא הקבוצה הריקה.

==שאלה כללית==
האם שורותיה של מטריצה בדורגת הם בהכרח בת"ל?

===תשובה===
שורותיה השונות מאפס של מטריצה מדורגת הן בהכרח בת"ל. אף שורה איננה צ"ל של קודמותיה, כי יש לה אפסים במקומות בהם יש לשורות הקודמות איברים פותחים.

==שאלה==
האם אני יכול להגיד את הדבר הבא?
<math>span(A+B)=span(span(A\cup B))=span(A\cup B)=A\cup B=span(A)\cup span(B)</math>
תודה מראש...

===תשובה===
לא. האיחוד של תתי מרחבים לרוב אינו תת מרחב. שאלה זו מופיעה בתרגיל 3, והפרכתה נמצאת בפתרונות.

המעבר הראשון הלא חוקי (משמאל לימין) הוא שאפשר להוריד את הspan ולהשאיר שיוויון. מה פתאום הspan של קבוצה שווה לקבוצה? הרי הקבוצה יכולה להיות סופית, ואוסף כל הצירופים הלינאריים הוא אינו סופי (מעל שדה אינסופי כמובן)

== שאלה ==
1.אם (V1,v2...vn) וקטורים בת"ל וגם (u1,u2,...,un) וקטורים בת"ל ומתקיים ש:
v1=a1u1+a2u2...anun,...,vn=b1u1+b2u2+...+bnun , אני יכולה להגיד ש {a1,...,an}..{b1,...,bn הם בת"ל?

2. מטריצת מעבר היא חייבת להיות ריבועית?

===תשובה===
1. סקלרים לא יכולים לעולם להיות בת"ל. ההגדרה של בת"ל תקפה רק לגבי וקטורים.

2. כן. כי הרי יש בה n עמודות (מספר האיברים בבסיס B) שכל אחת מהן באורך n (מספר האיברים בבסיס C). הרי מספר האיברים זהה בכל הבסיסים.

:לגבי 1. אני לא מבינה! הרי כן אפשר להסתכל על כוקטורי עמודה {a1,..,an},{b1,...,bn ולשאול האם הם תלויים לינארית?

::הסימון עם סוגריים מסולסלים מסמן קבוצה, ולא וקטור עמודה. את מתכוונת ל<math>(a_1,...,a_n),(b_1,...,b_n)</math>? (כלומר, 2 וקטורי קואורדינטות) אה.. אני בכלל מבין עכשיו את הטעות בסימון. מהם הסקלרים שבין a ל b?

::אני מניח שהתכוונת ל
::<math>v_i=a_{1i}u_1+...+a_{ni}u_n</math> ואז השאלה אם הקבוצה <math>\{(a_{1i},...,a_{ni})|1\leq i \leq n\}</math> היא בת"ל. אבל זה בדיוק השאלה בשיעורי הבית. צריך להוכיח את זה.

::רמז: ההעתקה מv לקואורדינטות של v לפי בסיס מסוים, הינה העתקה לינארית.

== שאלה לתשובה ==

רציתי לשאול עוד בנושא, נניח ואני מגיעה לכך ש

<math>(a1u1+...anun),(b1u1+..+bnun),...,(c1u1+..+cnun)</math> שונים מאפס ובת"ל.

האם אני יכולה להסיק ש <math>(a1..an),(b1..bn),...,(c1..cn)</math> חייבים להיות שונים מ0 ובת"ל?

*אי אפשר לרשום בסקלרים a,b...c זה כמו לרשום <math>a_1u_1,a_2u_2...a_3u_n</math> זה פשוט לא עובד.

*הסימון סוגריים מסולסלים שהיה במקור - שמור לקבוצות בלבד, לא לוקטורים.

*זה נכון, אבל צריך להוכיח את זה. (למעשה זו השאלה רק במילים אחרות).

==שאלה 2 בדף המצורף==
כל מספר מסוים של וקטורים מתוך מרחב מסוים שהם בת"ל הם בהכרח גם בסיס של אותו המרחב?

===תשובה===
בוודאי שלא. בסיס הוא '''פורש''' וגם '''בת"ל'''. אחד התנאים בלבד אינו מספיק. מספר הוקטורים היחיד שיכול להיות בבסיס הוא המימד של המרחב.

לדוגמא:
<math>\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3</math> בת"ל אבל לא בסיס.

אבל (ואולי לזה התכוונת) אם ניקח קבוצה בת"ל עם מספר וקטורים כגודל המימד של המרחב היא אכן תהיה בסיס תודות למשפט השלישי חינם.

==שאלה 6.4א==
בשאלה מבקשים לוהכיח שאם חיתוך של שני ספאנים שונה מאפס, אבל כל ספאן יוצר צירוף לינארי מתאפס, אז הטענה בכלל לא יכולה להיות נכונה, האם זה בעיה בתרגיל?

===תשובה===
<math>\{0,1\}\neq \{0\}</math>

===שאלה על התשובה===
את/ה יכול/ה לתת דוגמא ל2 קבוצות שמקיימות את התנאי הזה?

====דוגמא====
ניקח <math>B=\{(1,0,1),(1,0,-1)\},A=\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3</math>

<math>span(A)\cap span(B) = span\{(1,0,0)\}\neq \{0\}</math>

במילים: יש צירוף לינארי של A וצירוף לינארי של B ששניהם שווים זה לזה אבל שונים מאפס.

== שאלה 3 ב בבוחן ==
שלום, לא הבנתי למה הזווית של 1+i היא בדיוק פי חלקי ארבע? מה החישוב שעושים?

===תשובה===
במישור המרוכב זו הנקודה (1,1) שנמצאת בדיוק על הקו הישר x=y שנמצא בזוית 45 מעלות (כי הוא חוצה את הזוית הישרה בין הצירים). אם זה לא מספיק ברור, גם <math>tg(\theta)=\frac{b}{a}=\frac{1}{1}=1</math> ולכן <math>\theta = \frac{\pi}{4}</math>

== שאלה 1 ב' בבוחן ==
בפתרונות כתוב שאם נדרג נמצא שורת סתירה עבור a=0ולכן אין פיתרון.
דרגתי כמה וכמה פעמים ואני לא מוצאת שום שורת סתירה!
אני כן מחלקת בa כחלק מהפעולות אלמנטריות אבל כשאני רוצה להוכיח שבאמת אין פיתרון עבור a=0 אני לא מצליחה!
אתה יכול לפרט יותר?

===תשובה===
אסור לחלק בa כחלק מהפעולות האלמנטריות כאשר בודקים את המקרה a=0 זה מקור הטעות.

תציבי במטריצה '''המקורית''' a=0 ותראי לאן את מגיעה.
אוקי תודה!

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-21T15:09:44Z

Nimrod: /* תשובה */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - בוחן + תרגיל 3

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 3

=שאלות=
==7.19==
הצלחתי להוכיח את מה שהיה צ"ל ברמז (ש v, Av,..Ak-1v בת"ל). אפשר עזרה לגבי- מה עושים עכשיו? איך הרמז מתקשר בכלל לשאלה? תודה.
:נראה לי שהבנתי, האם הפתרון של מקובל? לפי תשובה לשאלה קודמת פה, הכמות המקסימלית לאיברים בקבוצה בת"ל הוא כמימד המרחב, ולכן ak=an2 ולכן an2=0 ולכן an*an=0 וזה אומר ש an=0? תודה. (מחקו אם יש עדיפות לא להראות פתרונות והפתרון נכון, תודה.)

::זה אמור להיות <math>a_n^2</math>? במטריצות יש מחלקי אפס ואי אפשר להסיק כפי שהסקת. אבל אפשר להסיק על <math>A^{n}v</math> כמו שתארתי.
:::כן זה היה אמור להיות n בריבוע, סימן שטעיתי. אבל לא הבנתי איך אפשר להסיק על Anv ואיך זה עוזר.
:::חוץ מזה לא הבנתי עוד משהו, אמרת שאם קבוצה עם n איברים היא בת"ל (מקסימלית?) אזי האיבר הn+1 שווה אפס. למה זה נכון, הוא יכול להיות גם תלוי לינארית באיברים 1 עד n, לא?

==העתקה לינארית==
מותר להשתמש בעובדה ש-<math>[\ ]_B:V\to\mathbb F^n</math> היא העתקה לינארית? או שצריך להוכיח?

===תשובה===
אם למדתם בהרצאה, מותר להשתמש (חייבים להזכיר את זה כמובן)

==I]<sup>B</sup><sub>C</sub>]==
צ"ל ש-<math>[I]_C^B</math> מטריצה ריבועית?
:כן.

==שאלה 6.5==

לא הבנתי איך מוצאים את האיבר הכללי, אפשר הסבר? (קראתי את התשובות למטה ועדיין לא הבנתי..)

===תשובה===
אפשר בעזרת קואורדינטות ואפשר באמצעות פתרון ישיר של מערכת משוואות

<math>a+bx+cx^2=\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3</math> כאשר a,b,c פרמטרים נתונים, וצריך לחשב את אלפא בטא גמא (הדוגמא שנתתי היא פולינום כללי, וקטור כללי יהיה <math>(a,b,c)</math> וכדומה).
====שאלה בקשר לתשובה====
בסעיף של הפולינומים אפשר לכתוב את האיבר הכללי כ פולינום מהצורה : a+b)+(2b+c)x+(3c)x^2+(a+b+2c)x^3) כאשר a,b,c פרמטרים? (זו אינה התשובה)
==צ"ל?==
יהי C בסיס למ"ו U. האם צריך להוכיח שקיים בסיס <math>C\subseteq B</math> ל-<math>U\le V</math>? או שזה טריוויאלי?

===תשובה===
לא. רושמים "נשלים לבסיס למרחב כולו"

==6.5ג==
ב-6.5, סעיף ג', הכוונה ב-<math>\mathbb F^{2\times2}</math> היא <math>\mathbb R^{2\times2}</math>?

===תשובה===
זה לא משנה באמת, השאלה בסדר כמו שהיא.
:כלומר מספיק למצוא הפרכה לשדה F כלשהו? או שצריך לבדוק אם לכל שדה F הטענה לא מתקיימת (ואם לא - מה לעשות?)?
::כן, מספיק למצוא הפרכה לשדה מסויים או להוכיח לכל שדה.

==שאלה==
נתון <math>V=\mathbb{F}^n</math> וגם ש<math>\mathbb{H}</math> תת שדה של <math>\mathbb{F}</math>
אם אני יודע שהמימד של F מעל H הוא m אז אני יכול להגיד דבר כזה:
<math>V=\mathbb{F}^n=(\mathbb{H}^m)^n=\mathbb{H}^{mn}</math> כלומר המימד של V מעל השדה H הוא mn?
תודה מראש!

===תשובה===
לא, זה מה שצריך להוכיח.

אבל אני יודע ש:<math>V=\mathbb{F}^n</math> וגם <math>\mathbb{F}=\mathbb{H}^m</math>
אז כאילו אני מציב ומקבל <math>V=\mathbb{H}^{nm}</math>

:אבל לא למדנו חוקי חזקות למרחבים וקטורים - זה מה שצריך להוכיח.

::וחובה להשתמש בזה שH תת שדה של F? (לא אותו אחד ששאל מקודם.)

:::צריך להשתמש בכך שF מ"ו מעל H

==שאלה ראשונה בדף==
האם הנימוק הבא מספיק:
מספר האיברים של כל בסיס של מרחב וקטורי ממימד N שווה ל N => מספר האיברים ב B שווה לN, מספר האיברים ב C שווה ל N => יהיו לי N עמודות (כל עמודה מייצגת את הקורדינטות ליצוג איבר מסויים מB לפי איברי C ובגלל שיש N איברים יש N עמודות כאלה שמיצגות אותם) ויהיו N שורות (מכיוון שבC יש N איברים כל וקטור בB מוצג כצירוף ליניארי של N האיברים בC ולכן מספר הקורדינטות שווה לN ומכאן שיש N איברים בכל עמודה שזה אומר N שורות) => המטריצה ריבועית. לפי מה שהוכחנו בכיתה לכל וקטור במרחב יש הצגה יחידה לפי בסיס מסויים ולכן לכל איבר בB יש הצגה יחידה לפי C ומכאן שלכל איבר בB יש וקטור קורדינטות יחיד => לפי המשפט שאם קבוצת וקטורים בת"ל אזי קבוצת וקטורי הקורדינטות שלהם בת"ל (מוכיחים את זה בשאלה הבאה אני מניח שמותר לי להשתמש בזה לא?) אזי העמודות של המטריצה שקיבלנו בת"ל.
=> מכיוון שקיבלנו מטריצה ריבועית שעמודותיה בת"ל ומכאן לפי משפט מטריצה זו הפיכה.
זה הסבר מילולי קצת ארוך אבל האם הוא מספיק מפורט בשביל להוות הוכחה ללא חישובים? תודה (בבקשה שרק מתרגל יענה)

===תשובה===
" לפי המשפט שאם קבוצת וקטורים בת"ל אזי קבוצת וקטורי הקורדינטות שלהם בת"ל אזי העמודות של המטריצה שקיבלנו בת"ל. => מכיוון שקיבלנו מטריצה ריבועית שעמודותיה בת"ל ומכאן לפי משפט מטריצה זו הפיכה"

אני לא מבין מה צריך את כל הסיפור לפני כן.
: אז אני יכול להסיק ישר שהמטריצה ריבועית ואז לכתוב את המשפט הזה וזה הוכחה שתופסת?

::אה הבנתי עכשיו שאתה מראה שם שהמטריצה ריבועית, זה אכן חשוב. תנסה לתמצת את הסיפור. למשל מספר האיברים בB הוא n לכן <math>[v]_B\in F^n</math>. וכדומה.
:::אני אראה איך אני יכול לתמצת אבל בכללי הדרך הוכחה הזו מספיקה או שחסר בה משהו שצריך לציין או להסביר?
::::זה מספיק.

==בהמשך לשאלה: "דרך הפתרון ל7.9"==
לא הבנתי את מה שכתבתם שם, ונראה לי שזה יכול לקצר ולהקל מאוד על פתרון שאלות מהסוג הזה, אז חשוב לי להבין. מה עוזר דירוג המטריצה שהשורות שלה הם הוקטורים הנתונים? מה ניתן להסיק ממה שמתקבל? אם מתקבלת שורת אפסים - מה זה אומר? ואם לא? ואם מתקבל טור אפסים?

תודה מראש!

===תשובה===
אתה חייב לציין מה לא הבנת בדיוק.

האם אתה מבין מהו מרחב שורות? ושלמטריצות שקולות שורה יש אותו מרחב שורות?

====תשובה לתשובה====
את ההגדרה המילולית: "מרחב השורות הוא אוסף הצירופים הלינאריים של כל השורות במטריצה" אני מבינה, פשוט מתייחסים לכל שורה כוקטור ומרחב השורות הוא הנפרש שלהם. את ההגדרה המתמטית לא כל כך הבנתי (למה כופלים את המטריצה המשוחלפת בוקטור? לפי ההגדרה המילולית אמורים לכפול את הוקטור בסקלר, לא?)

את המשפט שלמטריצות שקולות שורה יש אותו מרחב שורות הבנתי.

ניסיתי לפרט כמה שיותר מה לא הבנתי, הנה:

"מה עוזר דירוג המטריצה שהשורות שלה הם הוקטורים הנתונים? מה ניתן להסיק ממה שמתקבל? אם מתקבלת שורת אפסים - מה זה אומר? ואם לא? ואם מתקבל טור אפסים?"

תודה על העזרה!

*ההגדרה המתמטית מסתמכת על העובדה ש<math>Ax</math> הוא צירוף לינארי של עמודות A עם הסקלרים מהוקטור x. כאשר שמים את A משוחלפת, העמודות שלה הן השורות של A. זה שקול ללכפול את השורות של A בסקלרים ולחבר.

*אם את מסכימה שלמטריצות שקולות שורה יש אותו מרחב שורה, אז מה לא ברור בפעולת הדירוג? פעולות דירוג מעבירות מטריצה אחת למטריצה אחרת '''ששקולת שורה לראשונה'''. לכן לאחר פעולות שורה, המטריצה שהתקבל היא בעלת אותו מרחב שורות כמו הראשונה. זה ברור?

*בצורה המדורגת השורות השונות מאפס מהוות בסיס למרחב השורות. כך ניתן לדעת מהו המימד של מרחב השורות. אם קיבלת שורת אפסים, זה אומר שבקבוצה המקורית היו יותר וקטורים מאשר גודל המימד ולכן היא הייתה בהכרח '''ת"ל'''. טור אפסים לא רלוונטי לתהליך הספציפי הזה.

====עוד כמה שאלות קטנות====
תודה רבה!! נשארו רק כמה דברים קטנים שלא הבנתי:
* בהגדרה המתמטית כופלים את השיחלוף של המטריצה ב-v שהוא וקטור (שייך ל-<math>F^m</math>). אז וקטור יש, ואיפה הסקלר? ולמה המטריצה?
* האם יש משפט שאומר שאחרי דירוג קנוני של המטריצה (או שמספיק דירוג רגיל?), כל וקטורי השורות (מלבד וקטור 0) שמתקבלים הם בת"ל? (כמובן שזה די טריוויאלי אבל האם מספיק טריוויאלי בשביל להשתמש בזה בתרגיל בלי הסבר?)
* האם יש משפט שאומר ש-<math>dim(R^n)=n</math>?

שוב תודה!

==שאלה כללית==
האם מותר לי לומר ישירות שהבסיס של תת מרחב שמכיל רק איבר האפס הוא 1? ( ד"א האם קבוצה כזו בכלל נחשבת תת מרחב?)

===תשובה===
לפי מה שידוע לי, 0 לא יכול לשמש כבסיס כי כל צירוף לינארי שיש בו 0 הוא תלוי לינארית (כי אפשר להגיע ל-0 מצירוף לא טריוויאלי).
אז אני די בטוח שמספר האיברים בבסיס של תת מרחב כזה הוא 0.
:[[#שאלה על מימדים]]

== 8.2.1/2==
בסעיף ד אם אני מגיע לכך שהתחום חייב להתקיים האם זה מספיק או שצריך לתת דוגמא לכל אפשרות בתחום ?(כי פתרנו משהו דומה בתרגול ואמרת לנו שצריך להראות דוגמאות אבל אני לא מבין למה צריך במקרה זה, כי אם זה לא מתקיים עבור אחד המקרה בתחום זה עדין אומר שכל מימד של חיתוך כזה חייב להיות בתחום)

===תשובה===
השאלה בכיתה הייתה "מהן האפשרויות" והיית צריך להראות שיש דוגמאות על מנת לדעת שצמצמת את התחום מספיק.

כאן מבקשים ממך להוכיח אי שיוויון בלבד, זה לא מעניינך אם אפשר למצוא אי שיוויון טוב יותר או שאי אפשר.

==7.7 ב'==
בשביל להוכיח את ב' לא השתמשתי בנתון ש-U תת מרחב וקטורי של V. האם אני אמורה להשתמש בו? כי גם בסעיף ג' הם אומרים שהקבוצה B מוכלת ב-V ואני לא רואה למה הנתון הזה הכרחי...

===תשובה===
ברור שזה חשוב, הנה דוגמא נגדית אחרת:
<math>U=span\{(0,1,0),(0,0,1)\}</math>, <math>V=span\{(1,0,0),(0,1,0)\}</math>

dimU=dimV=2 אבל <math>U\neq V</math>

====תשובה לתשובה====
תודה!

אם כך, אני חושבת שבחלק מהמשפטים שהוכחנו בהרצאה לא כתבנו את כל התנאים, כי יש לי במחברת משפט שאומר: "יהי V מ"ו כאשר dimV=n, אז כל קבוצה בת"ל עם n איברים היא בסיס ל-V". מהו המשפט הנכון?
:"...אזי כל קבוצה המוכלת בV שהיא בת"ל עם n איברים...."
::"יהי V מ"ו כאשר dimV=n, אזי כל קבוצה בת"ל המוכלת ב-V עם n איברים היא בסיס ל-V". תודה רבה!

==שאלה 8.2.1/2==
בסעיף ג' מותר לקחת בתור U ו-W מרחבים שהסכום שלהם אינו ישר?(במטרה שלהראות שאם הביטוי בשמאל מתקיים לא בהכרח הביטוי מימין גם מתקיים) <br>תודה

===תשובה===
אם זה לא סותר את נתוני השאלה אתה יכול לקחת את מה שאתה רוצה.

==צ"ל?==
יהי בסיס B ויהיו <math>b_i</math> איברי B. האם צריך להוכיח שלכל i, מספר האיברים ב-<math>b_i</math> שווה לעוצמת הבסיס? או שזה מספיק טריוויאלי?

===תשובה===
זה לא ממש הגיוני מה שרשמת,הרי <math>b_i</math> איבר ולא בהכרח קבוצה, אז איך יהיה לו מספר איברים?

===תשובה נוספת===
אני רואה פה כבר בילבול מושגים שחוזר על עצמו:

הוקטור (1,0,1) הינו '''איבר אחד בלבד''' כמו כן הפולינום 1+x^2 הוא איבר אחד בלבד. הם לא קבוצות עם 3 איברים. יש ב(1,0,1) 3 '''רכיבים''': 1, 0 ושוב 1. בפולינום יש את הרכיבים 1, 0x, x^2.

כמות הרכיבים של '''וקטור הקואורדינטות''' זהה למספר האיברים בבסיס שהוא המימד. '''מאד מומלץ לקרוא את המסמך בעמוד הראשי בנושא'''

===הבהרה===
# לפי ההגדרה המקובלת של קורטובסקי (Kazimierz Kuratowski), כל n-יה סדורה היא '''כן''' קבוצה (<math>(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}</math> ו-n-יה סדורה מוגדרת רקורסיבית כזוג סדור, שהאיבר הראשון שלו הוא האיבר הראשון ב-n-יה הסדורה, והאיבר השני הוא ה-(n-1)-יה הסדורה שנותרה, כלומר: <math>(a_1,a_2,\cdots,a_n):=(a_1,(a_2,\cdots,a_n))</math>).
# לא הייתי בטוח איך לנסח את זה, אבל כשכתבתי "מספר האיברים ב-<math>b_i</math>" התכוונתי למספר ה"רכיבים": מספר האיברים/רכיבים ב-<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math> הוא n. ברור לי שזה לא אותו דבר כמו עוצמה (הרי העוצמה של n-יה סדורה היא 1 או שניים).
# לא עניתם על השאלה: האם מותר לומר שמספר הרכיבים ב-<math>b_i</math> הוא <math>|B|</math>, או שצריך להוכיח? תודה, 18:56, 20 באוגוסט 2010 (IDT)

===תשובה===
* אתה מניח פה שמרחב הוקטורי היחיד הוא מרחב הn-יות הסדורות. כפי שלמדנו זה לא נכון. לכן הניסוח המדויק הוא מספר הרכיבים בוקטור הקואורדינטות. וזה נכון כי וקטור הקואורדינטות הוא תמיד בF^n כאשר n הוא המימד של המרחב.

* חשוב מאד לשים לב לקואורדינטות לפי איזה בסיס מדובר. כלומר, אם תסתכל על הקואורדינטות לפי הבסיס B מספר הרכיבים יהיה העוצמה של B. אבל אם נגיד B פורש תת מרחב ממימד 2 במרחב ממימד 3, ואתה מסתכל על הקואורדינטות לפי בסיס למרחב כולו ולא הבסיס B יכול להיות שמספר הרכיבים שלו יהיה גדול מהעוצמה של B. למשל:

<math>B=\{(1,0,0)\}</math> מעוצמה 1 אבל הוקטורים הם עם 3 רכיבים (כי זה למעשה וקטור הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של <math>\mathbb{R}^3</math>. לעומת זאת, הקואורדינטות של איבר הבסיס B לפי הבסיס B הם (1) עם רכיב אחד.

ואני אדגיש שוב את התשובה לשאלה: '''אין משמעות למושג מספר הרכיבים של וקטור באופן כללי'''.

==מותר?==
האם אפשר להוכיח תלות לינארית בין וקטורים נתונים לפי ציון מפורש של המקדמים, בלי להראות איך הגענו למקדמים האלה? למשל, נתונים <math>(1,2,3), (2,3,4), (2,2,2)</math> - האם מותר לומר שיש תלות לינארית כי <math>(2,3,4)=1\cdot(1,2,3)+\tfrac{1}{2}\cdot(2,2,2)</math>, מבלי לציין איך הגענו למקדמים <math>1,\tfrac{1}{2}</math>? תודה.

===תשובה===
מה אני אגיד? כן מותר, אבל אסור מן הסתם להעתיק את התשובה הזו מאחרים.

==שאלה 2 בדף==
בסעיף a, האם אפשר להגיד שנתאים לכל וקטור v1,..vn התאמה חח"ע, על והפיכה כך ש vi=[vi]b ולכן בכלל ש v1,..vn בת"ל אז [v1]b,..[vn]b בת"ל? ומכיוון שההתאמה הפיכה אז גם להפך? כי אני לא מצליח להוכיח את זה בצורה אחרת.

===תשובה===
כן ולא. בגדול מה שאתה אומר הוא נכון. אבל צריך להסביר 2 דברים:

1. מדוע ההתאמה הזו היא חח"ע

2. מדוע התאמה '''לינארית''' חח"ע משאירה קבוצה בת"ל - בת"ל.

==שאלה 8.4==
אפשר להגיד שאם <math>u1+u2=u1+u3</math> אז <math>dim(u1+u3)=dim(u1+u2)</math>
:כן. אם שני מ"ו שווים זה לזה אז הם אותו מרחב (כלומר, יש להם אותם איברים ואותן פעולות חיבור וקטורים וכפל בסקלר). לכן ברור שגם המימדים שלהם זהים.

==שאלה 7.19==
אפשר רמז? ולא הבנתי מה קשור הרמז שהם נתנו ואיך הוא עוזר? תודה רבה.
:מתוך העמוד הראשי:
===דוגמא לעבודה עם מטריצות כוקטורים===
'''[[מדיה:10Linear1MatrixVercotEx.pdf|דוגמא]]''' שימושית לתרגיל 4.
:קראתי את הדוגמה הזאת וזה ממש עזר לי ב2 התרגילים מהדף המצורף (ובכלל להבין את החומר) אבל זה ממש לא עזר לי להבין איך לפתור את 7.19
::נכון, לכן תקרא את התשובה שלי בדיוק מתחת --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:24, 20 באוגוסט 2010 (IDT)

===תשובה===
דווקא אני לא בטוח שהדוגמא הזו עוזרת. צריך להוכיח שהקבוצה שם בת"ל לפי ההגדרה - כל צירוף לינארי שלה מתאפס. איך זה עוזר? כי בתוך מרחב ממימד n כמה וקטורים הכי הרבה יכולים להיות בקבוצה בת"ל?

:n, אבל איך זה עוזר?

::אם אין יותר מn איברים שונים מאפס, אז האיבר הn+1 שווה אפס.

==צ"ל טריוויאלי==
האם צ"ל שאם <math>\sum_{i=1}^n{\left(\alpha_i\begin{pmatrix}b_1&b_2&\cdots&b_m\end{pmatrix}\right)[v_i]_B}=\vec0\iff\forall i\in\{1,\dots,n\}:\alpha_i\begin{pmatrix}b_1&b_2&\cdots&b_m\end{pmatrix}=\vec0</math> אזי <math>[v_1]_B,[v_2]_B,\dots,[v_n]_B</math> בת"ל? (ההבדל בין הטענה הזו לבין מה שלמדנו בהרצאה הוא שכאן יש מכפלה וקטורית). או שזה מספיק טריוויאלי? תודה.

===תשובה===
אני לא מבין את הטענה ולכן היא אינה טריוויאלית. לא למדנו מכפלה וקטורית.
:אני מדבר על מכפלה וקטורית במ"ו של מטריצות, ואותה '''כן''' למדנו.
::זו לא מכפלה וקטורית, זה כפל מטריצות. ולכן צריכים להיות וקטורי קואודדינטות בעמודות ולא סתם וקטורים. בכל אופן, זה מראה שבעצם המטריצה עם הb_i (בנהחה שהם קואו' וזו אכן מטריצה) כפול <math>[v_i]_B</math> הם בת"ל ולא רק וקטורי העמודה <math>[v_i]_B</math>.
:::שכחתי לציין שהבסיס הוא <math>B=\{b_1,b_2,\dots,b_m\}</math>. בכל אופן, אם אני מפרט שה-b-ים הם וקטורי הבסיס - אפשר לומר שוקטורי העמודה <math>[v_i]_B</math> בת"ל?

::::הם וקטורי בסיס, אבל יכולים להיות פולינומים. מה המשמעות של לשים פולינום כעמודה? אני עדיין לא רואה כיצד זה נובע, בוודאי בוודאי שזה לא טריוויאלי.

== בסיס ==

מה הכוונה בהגדרה של מימד, מספר האיברים בבסיס?נניח <math>V=R^2</math> וניקח בסיס {(1 0),(0 1)} אז אני מבין שיש שני וקטורים שפורשים
ובכל וקטור שני רכיבים- 1,0.
אז מה נחשב למספר האיברים בבסיס?
:יהי מ"ו <math>V</math> ויהי <math>B</math> בסיס שלו. אזי המימד של <math>V</math> יסומן <math>\dim(V)</math> ויוגדר כמספר האיברים בבסיס. כלומר: <math>\dim(V):=|B|</math>.

לא ענית לי לשאלה!אני יודע את ההגדרה!השאלה שלי היא מה נחשב למספר האיברים בבסיס?לפי הדוגמא שהבאתי..
:2, מן הסתם, כי יש שני איברים בבסיס <math>\Big)</math>שהם <math>(1,0)</math> ו-<math>\Big((0,1)</math>. באופן כללי, <math>\dim(\mathbb F^n)=n\cdot\dim(\mathbb F)</math>.

==בסיסים==
הוכחנו בכיתה שאם יש קבוצה פורשת שבה n איברים ועוד קבוצה בת"ל שבה m איברים אז m<=n.

זה לא מסתדר לי, כי זה הרי אומר שמספר האיברים בכל הבסיסים שקיימים - שווה (כי בסיס פורש ובת"ל).

אפשר הסבר? תודה מראש!

===תשובה===
מספר האיברים בכל הבסיסים אכן שווה - זה משפט.

יותר מזה, מספר האיברים בבסיס (הרי לא משנה איזה בסיס בחרת זה אותו מספר) מוגדר להיות '''המימד''' של המרחב.

====תשובה לתשובה====
תודה, אבל לא הבנת את השאלה שלי. אני דיברתי על בסיסים שהם לא בסיסים של אותו המרחב אלא של מרחבים שונים זה מזה. כמובן שמספר האיברים בהם לא בהכרח שווה, אז אני כנראה הבנתי את המשפט הזה לא נכון..?

=====תשובה=====
המשפט מדבר על קבוצות בתוך מרחב ספציפי נתון, ולא בין מרחבים שונים. הרי המושג '''פורש''' מתייחס למרחב הנתון ששניהם נמצאים בו, אחרת כל קבוצה בעולם היא פורשת (שכן כל קבוצה פורסת את הSpan של עצמה).

======הבהרה======
אז המשפט אומר שאם יש שתי קבוצות: U פורשת, V בת"ל '''ושתיהן מוכלות במ"ו מסוים''' אז |U|>=|V| ?
:רגע... איזו קבוצה U אמורה לפרוש? אני מבולבלת, תוכל לכתוב את המשפט כולו בבקשה? תודה מראש.

::יהא V מ"ו, ויהיו שתי קבוצות <math>A,B\subseteq V</math>. אזי אם A פורשת את V כלומר (spanA=V) וB בת"ל אזי <math>|A|\geq |B|</math>

:::תודה!

==שאלות בקשר ל6.5 ו-7.9==
* הכוונה ב"לבטא את האיבר הכללי בקבוצה" הוא בעצם להגיע לוקטור מהסוג <math>v=(x+5y,6y+z,x+z)</math> או במקרה של פולינומים <math>f(x)=a+(5a+c)x+(b+c+d)x^2+(2a+7d)x^3</math>? (כמובן שאלו דוגמאות ולא הפתרונות)
* לא כל כך הבנתי איך בודקים שקבוצה פורשת מרחב כמו בשאלה 7.9.

===תשובה===
*צריך להגיע למשוואה מהצורה <math>(x,y,z)=\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3</math> כאשר אתה צריך לחשב את אלפא, בטא וגמא. במילים אחרות אתה צריך לחשב את הקואורדינטות של איבר כללי לפי הבסיס הנתון.

*כמו שרשמתי למטה בתשובה לכמה שאלות. שמים בשורות מטריצה, מדרגים. אם בצורה המדורגת יש 5 שורות שונות מאפס אז זה אומר שהקבוצה פורסת מרחב ממימד 5. תת מרחב ממימד 5 במרחב ממימד 5 חייב להיות המרחב כולו.

==בקשר ל 6.5==
בשאלה צריך רק להראות את האיבר הכללי או להראות איבר כלשהו בקבוצה שאינו בנפרש? או שצריך לפרט למה זה שווה ואז להראות איבר כללי או להראות איבר שאינו שיך ולפרט למה?

===תשובה===
אם זה שווה צריך להראות איבר כללי. אם לא צריך למצוא איבר שאינו נפרש על ידי הspan.

:אז לא צריך לפרט רק לציין?

::צריך תמיד להסביר, אי אפשר לתת תשובה סופית בלבד. אפשר לא להציג את כל החישובים עד הסוף

==טריוויאלי או צ"ל?==
האם צ"ל שאם מטריצה A כלשהי מקיימת <math>\forall\vec x:A\vec x=\vec x</math> אז בהכרח <math>A=I</math>? או שזה טריוויאלי? תודה.

===תשובה===
אלא אם מבקשים להוכיח את זה, זה טריוויאלי (הרי פשוט מציבים <math>e_i</math> ומראים שעמודות המטריצה זהות לעמודות המטריצה I).

==לכל בסיס של V (מ"ו מסוים) יש אותו מספר איברים==
בהוכחה של מה שכתבתי בכותרת, לוקחים B1 בסיס של V עם n איברים, ו-B2 בסיס של V ומוכיחים שגם בו n איברים. בהתחלה מוכיחים שיש ב-B2 לכל היותר n איברים.

לאחר מכן אומרים שאם B2 מכיל פחות מ-n איברים אז B1 תלוי לינארית. למה?

תודה מראש!
:יש משפט חשוב שהיה בהרצאה שאומר שאם A פורשת וB בת"ל, אז |A| גדול שווה מ |B|. אז שמתי לב שיש דרך יותר קלה להוכיח שבכל בסיס יש אותו מספר איברים, מאשר הדרך שהמרצה הוכיח אותה- פשוט אומרים שאם יש 2 בסיסים A וB, אזי A פורשת וB בת"ל (ולכן|A| גדול שווה מ |B|) וגם B פורשת וA בת"ל ולכן (ולכן ההפך מקודם) ולכן |A| = |B|.

::תודה על התשובה המהירה! אמנם זו הוכחה פשוטה וקצרה, אבל גם ההוכחה של המרצה קצרה מאוד. רק לא הבנתי למה זה נכון: "אם B2 מכיל פחות מ-n איברים אז B1 תלוי לינארית".

:::זו אינה דרך קלה יותר- אתה פשוט מסתמך על ההוכחה הכבידה במהלך ההוכחה הקלה. תשים לב לסדר הוכחות המשפטים.

===תשובה===
משתמשים בהוכחה בלמת ההחלפה של שטייניץ (עמוד 39 למטה בחוברת). הרעיון הוא שאתה יכול להחליף את האיברים מB1 על ידי איברים מB2. בלשב מסויים יהיו בB1 כל האיברים מB2 ועוד כמה איברים אחרים. מכיוון שB2 פורסת, האיברים הנוספים האלה תלויים בקודמיהם ולכן B1 ת"ל.

:תודה!

==שאלה בדירוג מטריצה לבדיקת תלות לינארית==
כשמדרגים מטריצה לבדיקת תלות לינארית של איברים, אם מגיעים לשורת אפסים זה אומר שהאיברים הם בת"ל או ת"ל? רק כדי להיות בטוח. תודה רבה!

===תשובה===
ת"ל לינארית כמובן. כי זה אומר שיש צירוף לינארי לא טריוויאלי של השורות שהתאפס (וגם שמימד מרחב השורות קטן ממספר האיברים בקבוצה ולכן בהכרח היא ת"ל).
:תודה על הכל!

==דרך הפתרון ל7.9==
איך צריכים לפתור את השאלה? האם צריך להגיד ש
(x1,x2,x3,x4,x5) = a(1,2,3,4,5) +b(5,4,3,2,1)+...
ואז להראות שיש פתרון כללי ולכן הקבוצה הנתונה פורשת את R5?
או שיש דרך אחרת יותר קלה? תודה.

===תשובה===
למדנו שלמטריצות שקולות שורה יש את אותו מרחב שורה. מספיק לשים את הוקטורים בשורות מטריצה ולדרג.

למדנו גם שהשורות השונות מאפס בצורה המדורגת של המטריצה מהוות בסיס למרחב השורות (זה לצורך חישוב מימד במקרה הזה, כי מבקשים בסיס שמוכל בבסיס המקורי, ולא בסיס כלשהו).
:תודה. אבל תמיד מדרגים מטריצה כדי לבדוק תלות לינארית, לא האם קבוצה היא פורשת! הצלחתי בעזרת דירוג לפתור את ב', אך איך אנמק שהחמישיות פורשות את R5 בעזרת דירוג מטריצות? תודה.
::אם שמת את כל הוקטורים בששת שורות מטריצה, ואחרי דירוג הראת שהמטריצה פורשת את <math>\mathbb{R}^5</math> הרי שששת הוקטורים פורסים את המרחב גם. לפי השלישי חינם כל 5 וקטורים בת"ל ב<math>\mathbb{R}^5</math> פורשים אותו.
:::אה נכון, בעזרת השלישי חינם! תודה וסליחה על בוֹרוּת.

==בקשה==
אני מבקש מכל מי ששואל שאלה\עונה תשובה לעשות את הכותרת שלו בדרגה 2, כלומר כך למשל:
'==שאלה=='
ולא כך:
'=שאלה='
אחרת זה משרשר חדש(כי זה בדרגת כותרת של '=שאלות='), וזה נורא מציק לעין, תודה!
:לא עדיף שתדגישו את זה בהוראות? (ואולי גם כהודעה בעמוד הראשי - כאן מעט מאוד יראו את זה).

::לא אני כתבתי את ההערה.--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:20, 19 באוגוסט 2010 (IDT)
::ובכל אופן, אני לא רואה איך אפשר להפוך את ההוראות לברורות יותר, אשמח להצעות.

==שאלה על בסיסים ומ"וים==
האם ניתן להגיד (או האם זה נכון בכלל) שאם ל2 מרחבים וקטוריים יש בדיוק את אותו בסיס מסוים, (כלומר מצאתי קבוצה שהיא בסיס לשניהם) אזי המרחבים זהים (הם אותו מרחב וקטורי)? אם כן, האם אפשר לכתוב את זה בלי הוכחה או שצריך לכתוב הוכחה? אם צריך לכתוב הוכחה, איך מוכיחים את זה? תודה רבה.

===תשובה===
זה טריוויאלי, אבל אם אתה רוצה להוכיח:

B בת"ל בסיס לV אם"ם spanB=V (לפי הגדרה). אם בנוסף B בסיס לU אזי spanB=U מכאן נובע V=U.
::תודה!

==שאלה==
האם הסקלרים בכל צירוף לינארי כלשהוא חייבים להיות גדולים מאחד? (ובפרט בצירופים הלינאריים שבspan?)

===תשובה===
בשום צורה '''לא'''. הסקלרים הם סקלרים '''כלשהם''' מהשדה.

==שאלה==
האם כל span כולל את אפס?
===תשובה===
כן כל span הוא תת מרחב וקטורים.

הסבר אחר: span הוא אוסף כל הצירופים הלינאריים, בפרט הצ"ל הטריוויאלי - כלומר כל הסקלרים הם אפסים

== 7.20 ==

אפשר קצת הסבר על השאלה? אני לא יודע איך להסתכל על זה..מה עוזר לי הנתון שV מ"ו מעל שדה F?ואיך זה בדיוק
מתקשר למימד?? אם אפשר קצת רמזים..

===תשובה===
תמיד חשוב לזכור את ההגדרות - מימד הוא מספר האיברים בבסיס.

אני אתן דוגמא, מקווה שזה יעזור:

ניקח <math>V=\mathbb{C}^2,F=\mathbb{C},H=\mathbb{R}</math>. אפשר לראות שF הוא מרחב וקטורי מעל H עם הבסיס <math>\{1,i\}</math> שכן כל מספר מרוכב הוא מהצורה <math>a\cdot 1+b\cdot i</math> כאשר a,b ממשיים ובוודאי הסכום הזה מתאפס רק אם a=b=0. לכן הקבוצה הנ"ל פורשת ובת"ל ולכן היא בסיס. לכן F הוא ממימד 2 מעל H (כי יש 2 איברים בבסיס).

V הוא הוא ממימד 2 מעל F (זה ברור). נמצא לו בסיס מעל H: <math>\{(1,0),(i,0),(0,1),(0,i)\}</math> ואכן אנו רואים שV הוא ממימד 4=2x2 מעל H.

==שאלה==
אם אני יודע ש:
v מרחב וקטורי נוצר סופית,<math>B\subseteq V</math> ובנוסף:
*<math>sp(B)=V</math>
*B בת"ל.
אז אני יכול להגיד ש-B בסיס עבור V?

===תשובה===
כן. זו ההגדרה של בסיס. Span(B)=V (פורש) ובת"ל

==שאלה 7.10==
העברתי את המטריצות לעמודות, ודירגתי את המטריצה שהתקבלה.
יצאו לי ארבע שורות אפסים, האם זה אומר שהן תלויות לינארית ?
איך מנמקים את זה?

===תשובה===
השאלה היא לא כמה שורות אפסים יש, אלא כמה משתנים חופשיים יש. אם קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת Ax=0 אזי עמודות A תלויות לינארית.

== שאלה ==
איך מוכיחים שקבוצה היא פורשת? ואיך מוצאים בסיס לקבוצה?

===תשובה===
למדנו שמרחבי השורות של מטריצות שקולות שורה הם זהים. לכן על מנת למצוא בסיס לקבוצת וקטורים יש '''לשים אותם בשורות''' מטריצה '''ולדרג''' את המטריצה. '''בצורה המדורגת של המטריצה, השורות השונות מאפס מהוות בסיס''' למרחב השורות.

הspan של הקבוצה הוא כמובן הspan של השורות השונות מאפס בצורה המדורגת. כך ניתן לדעת מה הקבוצה פורשת (קבוצה תמיד פורשת את הspan שלה - זו ההגדרה).

כאשר יש מרחב וקטורי של פולינומים או מטריצות - מעבירים אותו לצורה וקטורית פשוטה כמו בתרגיל לדוגמא שפרסמנו בעמוד הראשי.

==שאלה על מימדים==
מה המימד של המרחב הוקטורי המכיל רק 0? האם סכום ישר אומר שהחיתוך נותן 0? כי אם כך אז המימד של {(a,b,0,0) סכום ישר (0a,0,d,c)} שווה לסכום המימדים שהוא 4, פחות מימד החיתוך שהוא 1, לא? אזי מימד הסכום שווה ל3 אבל הוא באמת שווה ל-4. מה הולך פה?

===תשובה===
המימד של מרחב האפס {0} הוא אפס. הבסיס שלו הוא הקבוצה הריקה.

==שאלה כללית==
האם שורותיה של מטריצה בדורגת הם בהכרח בת"ל?

===תשובה===
שורותיה השונות מאפס של מטריצה מדורגת הן בהכרח בת"ל. אף שורה איננה צ"ל של קודמותיה, כי יש לה אפסים במקומות בהם יש לשורות הקודמות איברים פותחים.

==שאלה==
האם אני יכול להגיד את הדבר הבא?
<math>span(A+B)=span(span(A\cup B))=span(A\cup B)=A\cup B=span(A)\cup span(B)</math>
תודה מראש...

===תשובה===
לא. האיחוד של תתי מרחבים לרוב אינו תת מרחב. שאלה זו מופיעה בתרגיל 3, והפרכתה נמצאת בפתרונות.

המעבר הראשון הלא חוקי (משמאל לימין) הוא שאפשר להוריד את הspan ולהשאיר שיוויון. מה פתאום הspan של קבוצה שווה לקבוצה? הרי הקבוצה יכולה להיות סופית, ואוסף כל הצירופים הלינאריים הוא אינו סופי (מעל שדה אינסופי כמובן)

== שאלה ==
1.אם (V1,v2...vn) וקטורים בת"ל וגם (u1,u2,...,un) וקטורים בת"ל ומתקיים ש:
v1=a1u1+a2u2...anun,...,vn=b1u1+b2u2+...+bnun , אני יכולה להגיד ש {a1,...,an}..{b1,...,bn הם בת"ל?

2. מטריצת מעבר היא חייבת להיות ריבועית?

===תשובה===
1. סקלרים לא יכולים לעולם להיות בת"ל. ההגדרה של בת"ל תקפה רק לגבי וקטורים.

2. כן. כי הרי יש בה n עמודות (מספר האיברים בבסיס B) שכל אחת מהן באורך n (מספר האיברים בבסיס C). הרי מספר האיברים זהה בכל הבסיסים.

:לגבי 1. אני לא מבינה! הרי כן אפשר להסתכל על כוקטורי עמודה {a1,..,an},{b1,...,bn ולשאול האם הם תלויים לינארית?

::הסימון עם סוגריים מסולסלים מסמן קבוצה, ולא וקטור עמודה. את מתכוונת ל<math>(a_1,...,a_n),(b_1,...,b_n)</math>? (כלומר, 2 וקטורי קואורדינטות) אה.. אני בכלל מבין עכשיו את הטעות בסימון. מהם הסקלרים שבין a ל b?

::אני מניח שהתכוונת ל
::<math>v_i=a_{1i}u_1+...+a_{ni}u_n</math> ואז השאלה אם הקבוצה <math>\{(a_{1i},...,a_{ni})|1\leq i \leq n\}</math> היא בת"ל. אבל זה בדיוק השאלה בשיעורי הבית. צריך להוכיח את זה.

::רמז: ההעתקה מv לקואורדינטות של v לפי בסיס מסוים, הינה העתקה לינארית.

== שאלה לתשובה ==

רציתי לשאול עוד בנושא, נניח ואני מגיעה לכך ש

<math>(a1u1+...anun),(b1u1+..+bnun),...,(c1u1+..+cnun)</math> שונים מאפס ובת"ל.

האם אני יכולה להסיק ש <math>(a1..an),(b1..bn),...,(c1..cn)</math> חייבים להיות שונים מ0 ובת"ל?

*אי אפשר לרשום בסקלרים a,b...c זה כמו לרשום <math>a_1u_1,a_2u_2...a_3u_n</math> זה פשוט לא עובד.

*הסימון סוגריים מסולסלים שהיה במקור - שמור לקבוצות בלבד, לא לוקטורים.

*זה נכון, אבל צריך להוכיח את זה. (למעשה זו השאלה רק במילים אחרות).

==שאלה 2 בדף המצורף==
כל מספר מסוים של וקטורים מתוך מרחב מסוים שהם בת"ל הם בהכרח גם בסיס של אותו המרחב?

===תשובה===
בוודאי שלא. בסיס הוא '''פורש''' וגם '''בת"ל'''. אחד התנאים בלבד אינו מספיק. מספר הוקטורים היחיד שיכול להיות בבסיס הוא המימד של המרחב.

לדוגמא:
<math>\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3</math> בת"ל אבל לא בסיס.

אבל (ואולי לזה התכוונת) אם ניקח קבוצה בת"ל עם מספר וקטורים כגודל המימד של המרחב היא אכן תהיה בסיס תודות למשפט השלישי חינם.

==שאלה 6.4א==
בשאלה מבקשים לוהכיח שאם חיתוך של שני ספאנים שונה מאפס, אבל כל ספאן יוצר צירוף לינארי מתאפס, אז הטענה בכלל לא יכולה להיות נכונה, האם זה בעיה בתרגיל?

===תשובה===
<math>\{0,1\}\neq \{0\}</math>

===שאלה על התשובה===
את/ה יכול/ה לתת דוגמא ל2 קבוצות שמקיימות את התנאי הזה?

====דוגמא====
ניקח <math>B=\{(1,0,1),(1,0,-1)\},A=\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3</math>

<math>span(A)\cap span(B) = span\{(1,0,0)\}\neq \{0\}</math>

במילים: יש צירוף לינארי של A וצירוף לינארי של B ששניהם שווים זה לזה אבל שונים מאפס.

== שאלה 3 ב בבוחן ==
שלום, לא הבנתי למה הזווית של 1+i היא בדיוק פי חלקי ארבע? מה החישוב שעושים?

===תשובה===
במישור המרוכב זו הנקודה (1,1) שנמצאת בדיוק על הקו הישר x=y שנמצא בזוית 45 מעלות (כי הוא חוצה את הזוית הישרה בין הצירים). אם זה לא מספיק ברור, גם <math>tg(\theta)=\frac{b}{a}=\frac{1}{1}=1</math> ולכן <math>\theta = \frac{\pi}{4}</math>

== שאלה 1 ב' בבוחן ==
בפתרונות כתוב שאם נדרג נמצא שורת סתירה עבור a=0ולכן אין פיתרון.
דרגתי כמה וכמה פעמים ואני לא מוצאת שום שורת סתירה!
אני כן מחלקת בa כחלק מהפעולות אלמנטריות אבל כשאני רוצה להוכיח שבאמת אין פיתרון עבור a=0 אני לא מצליחה!
אתה יכול לפרט יותר?

===תשובה===
אסור לחלק בa כחלק מהפעולות האלמנטריות כאשר בודקים את המקרה a=0 זה מקור הטעות.

תציבי במטריצה '''המקורית''' a=0 ותראי לאן את מגיעה.
אוקי תודה!

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-21T10:50:59Z

Nimrod: /* שאלה ראשונה בדף */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - בוחן + תרגיל 3

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 3

=שאלות=

==שאלה==
נתון <math>V=\mathbb{F}^n</math> וגם ש<math>\mathbb{H}</math> תת שדה של <math>\mathbb{F}</math>
אם אני יודע שהמימד של F מעל H הוא m אז אני יכול להגיד דבר כזה:
<math>V=\mathbb{F}^n=(\mathbb{H}^m)^n=\mathbb{H}^{mn}</math> כלומר המימד של V מעל השדה H הוא mn?
תודה מראש!

===תשובה===
לא, זה מה שצריך להוכיח.

אבל אני יודע ש:<math>V=\mathbb{F}^n</math> וגם <math>\mathbb{F}=\mathbb{H}^m</math>
אז כאילו אני מציב ומקבל <math>V=\mathbb{H}^{nm}</math>

==שאלה ראשונה בדף==
האם הנימוק הבא מספיק:
מספר האיברים של כל בסיס של מרחב וקטורי ממימד N שווה ל N => מספר האיברים ב B שווה לN, מספר האיברים ב C שווה ל N => יהיו לי N עמודות (כל עמודה מייצגת את הקורדינטות ליצוג איבר מסויים מB לפי איברי C ובגלל שיש N איברים יש N עמודות כאלה שמיצגות אותם) ויהיו N שורות (מכיוון שבC יש N איברים כל וקטור בB מוצג כצירוף ליניארי של N האיברים בC ולכן מספר הקורדינטות שווה לN ומכאן שיש N איברים בכל עמודה שזה אומר N שורות) => המטריצה ריבועית. לפי מה שהוכחנו בכיתה לכל וקטור במרחב יש הצגה יחידה לפי בסיס מסויים ולכן לכל איבר בB יש הצגה יחידה לפי C ומכאן שלכל איבר בB יש וקטור קורדינטות יחיד => לפי המשפט שאם קבוצת וקטורים בת"ל אזי קבוצת וקטורי הקורדינטות שלהם בת"ל (מוכיחים את זה בשאלה הבאה אני מניח שמותר לי להשתמש בזה לא?) אזי העמודות של המטריצה שקיבלנו בת"ל.
=> מכיוון שקיבלנו מטריצה ריבועית שעמודותיה בת"ל ומכאן לפי משפט מטריצה זו הפיכה.
זה הסבר מילולי קצת ארוך אבל האם הוא מספיק מפורט בשביל להוות הוכחה ללא חישובים? תודה (בבקשה שרק מתרגל יענה)

===תשובה===
" לפי המשפט שאם קבוצת וקטורים בת"ל אזי קבוצת וקטורי הקורדינטות שלהם בת"ל אזי העמודות של המטריצה שקיבלנו בת"ל. => מכיוון שקיבלנו מטריצה ריבועית שעמודותיה בת"ל ומכאן לפי משפט מטריצה זו הפיכה"

אני לא מבין מה צריך את כל הסיפור לפני כן.
: אז אני יכול להסיק ישר שהמטריצה ריבועית ואז לכתוב את המשפט הזה וזה הוכחה שתופסת?

::אה הבנתי עכשיו שאתה מראה שם שהמטריצה ריבועית, זה אכן חשוב. תנסה לתמצת את הסיפור. למשל מספר האיברים בB הוא n לכן <math>[v]_B\in F^n</math>. וכדומה.
:::אני אראה איך אני יכול לתמצת אבל בכללי הדרך הוכחה הזו מספיקה או שחסר בה משהו שצריך לציין או להסביר?

==בהמשך לשאלה: "דרך הפתרון ל7.9"==
לא הבנתי את מה שכתבתם שם, ונראה לי שזה יכול לקצר ולהקל מאוד על פתרון שאלות מהסוג הזה, אז חשוב לי להבין. מה עוזר דירוג המטריצה שהשורות שלה הם הוקטורים הנתונים? מה ניתן להסיק ממה שמתקבל? אם מתקבלת שורת אפסים - מה זה אומר? ואם לא? ואם מתקבל טור אפסים?

תודה מראש!

===תשובה===
אתה חייב לציין מה לא הבנת בדיוק.

האם אתה מבין מהו מרחב שורות? ושלמטריצות שקולות שורה יש אותו מרחב שורות?

==שאלה כללית==
האם מותר לי לומר ישירות שהבסיס של תת מרחב שמכיל רק איבר האפס הוא 1? ( ד"א האם קבוצה כזו בכלל נחשבת תת מרחב?)

===תשובה===
לפי מה שידוע לי, 0 לא יכול לשמש כבסיס כי כל צירוף לינארי שיש בו 0 הוא תלוי לינארית (כי אפשר להגיע ל-0 מצירוף לא טריוויאלי).
אז אני די בטוח שמספר האיברים בבסיס של תת מרחב כזה הוא 0.
:[[#שאלה על מימדים]]

== 8.2.1/2==
בסעיף ד אם אני מגיע לכך שהתחום חייב להתקיים האם זה מספיק או שצריך לתת דוגמא לכל אפשרות בתחום ?(כי פתרנו משהו דומה בתרגול ואמרת לנו שצריך להראות דוגמאות אבל אני לא מבין למה צריך במקרה זה, כי אם זה לא מתקיים עבור אחד המקרה בתחום זה עדין אומר שכל מימד של חיתוך כזה חייב להיות בתחום)

===תשובה===
השאלה בכיתה הייתה "מהן האפשרויות" והיית צריך להראות שיש דוגמאות על מנת לדעת שצמצמת את התחום מספיק.

כאן מבקשים ממך להוכיח אי שיוויון בלבד, זה לא מעניינך אם אפשר למצוא אי שיוויון טוב יותר או שאי אפשר.

==7.7 ב'==
בשביל להוכיח את ב' לא השתמשתי בנתון ש-U תת מרחב וקטורי של V. האם אני אמורה להשתמש בו? כי גם בסעיף ג' הם אומרים שהקבוצה B מוכלת ב-V ואני לא רואה למה הנתון הזה הכרחי...

===תשובה===
ברור שזה חשוב, הנה דוגמא נגדית אחרת:
<math>U=span\{(0,1,0),(0,0,1)\}</math>, <math>V=span\{(1,0,0),(0,1,0)\}</math>

dimU=dimV=2 אבל <math>U\neq V</math>

====תשובה לתשובה====
תודה!

אם כך, אני חושבת שבחלק מהמשפטים שהוכחנו בהרצאה לא כתבנו את כל התנאים, כי יש לי במחברת משפט שאומר: "יהי V מ"ו כאשר dimV=n, אז כל קבוצה בת"ל עם n איברים היא בסיס ל-V". מהו המשפט הנכון?
:"...אזי כל קבוצה המוכלת בV שהיא בת"ל עם n איברים...."
::"יהי V מ"ו כאשר dimV=n, אזי כל קבוצה בת"ל המוכלת ב-V עם n איברים היא בסיס ל-V". תודה רבה!

==שאלה 8.2.1/2==
בסעיף ג' מותר לקחת בתור U ו-W מרחבים שהסכום שלהם אינו ישר?(במטרה שלהראות שאם הביטוי בשמאל מתקיים לא בהכרח הביטוי מימין גם מתקיים) <br>תודה

===תשובה===
אם זה לא סותר את נתוני השאלה אתה יכול לקחת את מה שאתה רוצה.

==צ"ל?==
יהי בסיס B ויהיו <math>b_i</math> איברי B. האם צריך להוכיח שלכל i, מספר האיברים ב-<math>b_i</math> שווה לעוצמת הבסיס? או שזה מספיק טריוויאלי?

===תשובה===
זה לא ממש הגיוני מה שרשמת,הרי <math>b_i</math> איבר ולא בהכרח קבוצה, אז איך יהיה לו מספר איברים?

===תשובה נוספת===
אני רואה פה כבר בילבול מושגים שחוזר על עצמו:

הוקטור (1,0,1) הינו '''איבר אחד בלבד''' כמו כן הפולינום 1+x^2 הוא איבר אחד בלבד. הם לא קבוצות עם 3 איברים. יש ב(1,0,1) 3 '''רכיבים''': 1, 0 ושוב 1. בפולינום יש את הרכיבים 1, 0x, x^2.

כמות הרכיבים של '''וקטור הקואורדינטות''' זהה למספר האיברים בבסיס שהוא המימד. '''מאד מומלץ לקרוא את המסמך בעמוד הראשי בנושא'''

===הבהרה===
# לפי ההגדרה המקובלת של קורטובסקי (Kazimierz Kuratowski), כל n-יה סדורה היא '''כן''' קבוצה (<math>(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}</math> ו-n-יה סדורה מוגדרת רקורסיבית כזוג סדור, שהאיבר הראשון שלו הוא האיבר הראשון ב-n-יה הסדורה, והאיבר השני הוא ה-(n-1)-יה הסדורה שנותרה, כלומר: <math>(a_1,a_2,\cdots,a_n):=(a_1,(a_2,\cdots,a_n))</math>).
# לא הייתי בטוח איך לנסח את זה, אבל כשכתבתי "מספר האיברים ב-<math>b_i</math>" התכוונתי למספר ה"רכיבים": מספר האיברים/רכיבים ב-<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math> הוא n. ברור לי שזה לא אותו דבר כמו עוצמה (הרי העוצמה של n-יה סדורה היא 1 או שניים).
# לא עניתם על השאלה: האם מותר לומר שמספר הרכיבים ב-<math>b_i</math> הוא <math>|B|</math>, או שצריך להוכיח? תודה, 18:56, 20 באוגוסט 2010 (IDT)

===תשובה===
* אתה מניח פה שמרחב הוקטורי היחיד הוא מרחב הn-יות הסדורות. כפי שלמדנו זה לא נכון. לכן הניסוח המדויק הוא מספר הרכיבים בוקטור הקואורדינטות. וזה נכון כי וקטור הקואורדינטות הוא תמיד בF^n כאשר n הוא המימד של המרחב.

* חשוב מאד לשים לב לקואורדינטות לפי איזה בסיס מדובר. כלומר, אם תסתכל על הקואורדינטות לפי הבסיס B מספר הרכיבים יהיה העוצמה של B. אבל אם נגיד B פורש תת מרחב ממימד 2 במרחב ממימד 3, ואתה מסתכל על הקואורדינטות לפי בסיס למרחב כולו ולא הבסיס B יכול להיות שמספר הרכיבים שלו יהיה גדול מהעוצמה של B. למשל:

<math>B=\{(1,0,0)\}</math> מעוצמה 1 אבל הוקטורים הם עם 3 רכיבים (כי זה למעשה וקטור הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של <math>\mathbb{R}^3</math>. לעומת זאת, הקואורדינטות של איבר הבסיס B לפי הבסיס B הם (1) עם רכיב אחד.

ואני אדגיש שוב את התשובה לשאלה: '''אין משמעות למושג מספר הרכיבים של וקטור באופן כללי'''.

==מותר?==
האם אפשר להוכיח תלות לינארית בין וקטורים נתונים לפי ציון מפורש של המקדמים, בלי להראות איך הגענו למקדמים האלה? למשל, נתונים <math>(1,2,3), (2,3,4), (2,2,2)</math> - האם מותר לומר שיש תלות לינארית כי <math>(2,3,4)=1\cdot(1,2,3)+\tfrac{1}{2}\cdot(2,2,2)</math>, מבלי לציין איך הגענו למקדמים <math>1,\tfrac{1}{2}</math>? תודה.

===תשובה===
מה אני אגיד? כן מותר, אבל אסור מן הסתם להעתיק את התשובה הזו מאחרים.

==שאלה 2 בדף==
בסעיף a, האם אפשר להגיד שנתאים לכל וקטור v1,..vn התאמה חח"ע, על והפיכה כך ש vi=[vi]b ולכן בכלל ש v1,..vn בת"ל אז [v1]b,..[vn]b בת"ל? ומכיוון שההתאמה הפיכה אז גם להפך? כי אני לא מצליח להוכיח את זה בצורה אחרת.

===תשובה===
כן ולא. בגדול מה שאתה אומר הוא נכון. אבל צריך להסביר 2 דברים:

1. מדוע ההתאמה הזו היא חח"ע

2. מדוע התאמה '''לינארית''' חח"ע משאירה קבוצה בת"ל - בת"ל.

==שאלה 8.4==
אפשר להגיד שאם <math>u1+u2=u1+u3</math> אז <math>dim(u1+u3)=dim(u1+u2)</math>
:כן. אם שני מ"ו שווים זה לזה אז הם אותו מרחב (כלומר, יש להם אותם איברים ואותן פעולות חיבור וקטורים וכפל בסקלר). לכן ברור שגם המימדים שלהם זהים.

==שאלה 7.19==
אפשר רמז? ולא הבנתי מה קשור הרמז שהם נתנו ואיך הוא עוזר? תודה רבה.
:מתוך העמוד הראשי:
===דוגמא לעבודה עם מטריצות כוקטורים===
'''[[מדיה:10Linear1MatrixVercotEx.pdf|דוגמא]]''' שימושית לתרגיל 4.
:קראתי את הדוגמה הזאת וזה ממש עזר לי ב2 התרגילים מהדף המצורף (ובכלל להבין את החומר) אבל זה ממש לא עזר לי להבין איך לפתור את 7.19
::נכון, לכן תקרא את התשובה שלי בדיוק מתחת --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:24, 20 באוגוסט 2010 (IDT)

===תשובה===
דווקא אני לא בטוח שהדוגמא הזו עוזרת. צריך להוכיח שהקבוצה שם בת"ל לפי ההגדרה - כל צירוף לינארי שלה מתאפס. איך זה עוזר? כי בתוך מרחב ממימד n כמה וקטורים הכי הרבה יכולים להיות בקבוצה בת"ל?

:n, אבל איך זה עוזר?

::אם אין יותר מn איברים שונים מאפס, אז האיבר הn+1 שווה אפס.

==צ"ל טריוויאלי==
האם צ"ל שאם <math>\sum_{i=1}^n{\left(\alpha_i\begin{pmatrix}b_1&b_2&\cdots&b_m\end{pmatrix}\right)[v_i]_B}=\vec0\iff\forall i\in\{1,\dots,n\}:\alpha_i\begin{pmatrix}b_1&b_2&\cdots&b_m\end{pmatrix}=\vec0</math> אזי <math>[v_1]_B,[v_2]_B,\dots,[v_n]_B</math> בת"ל? (ההבדל בין הטענה הזו לבין מה שלמדנו בהרצאה הוא שכאן יש מכפלה וקטורית). או שזה מספיק טריוויאלי? תודה.

===תשובה===
אני לא מבין את הטענה ולכן היא אינה טריוויאלית. לא למדנו מכפלה וקטורית.
:אני מדבר על מכפלה וקטורית במ"ו של מטריצות, ואותה '''כן''' למדנו.
::זו לא מכפלה וקטורית, זה כפל מטריצות. ולכן צריכים להיות וקטורי קואודדינטות בעמודות ולא סתם וקטורים. בכל אופן, זה מראה שבעצם המטריצה עם הb_i (בנהחה שהם קואו' וזו אכן מטריצה) כפול <math>[v_i]_B</math> הם בת"ל ולא רק וקטורי העמודה <math>[v_i]_B</math>.
:::שכחתי לציין שהבסיס הוא <math>B=\{b_1,b_2,\dots,b_m\}</math>. בכל אופן, אם אני מפרט שה-b-ים הם וקטורי הבסיס - אפשר לומר שוקטורי העמודה <math>[v_i]_B</math> בת"ל?

::::הם וקטורי בסיס, אבל יכולים להיות פולינומים. מה המשמעות של לשים פולינום כעמודה? אני עדיין לא רואה כיצד זה נובע, בוודאי בוודאי שזה לא טריוויאלי.

== בסיס ==

מה הכוונה בהגדרה של מימד, מספר האיברים בבסיס?נניח <math>V=R^2</math> וניקח בסיס {(1 0),(0 1)} אז אני מבין שיש שני וקטורים שפורשים
ובכל וקטור שני רכיבים- 1,0.
אז מה נחשב למספר האיברים בבסיס?
:יהי מ"ו <math>V</math> ויהי <math>B</math> בסיס שלו. אזי המימד של <math>V</math> יסומן <math>\dim(V)</math> ויוגדר כמספר האיברים בבסיס. כלומר: <math>\dim(V):=|B|</math>.

לא ענית לי לשאלה!אני יודע את ההגדרה!השאלה שלי היא מה נחשב למספר האיברים בבסיס?לפי הדוגמא שהבאתי..
:2, מן הסתם, כי יש שני איברים בבסיס <math>\Big)</math>שהם <math>(1,0)</math> ו-<math>\Big((0,1)</math>. באופן כללי, <math>\dim(\mathbb F^n)=n\cdot\dim(\mathbb F)</math>.

==בסיסים==
הוכחנו בכיתה שאם יש קבוצה פורשת שבה n איברים ועוד קבוצה בת"ל שבה m איברים אז m<=n.

זה לא מסתדר לי, כי זה הרי אומר שמספר האיברים בכל הבסיסים שקיימים - שווה (כי בסיס פורש ובת"ל).

אפשר הסבר? תודה מראש!

===תשובה===
מספר האיברים בכל הבסיסים אכן שווה - זה משפט.

יותר מזה, מספר האיברים בבסיס (הרי לא משנה איזה בסיס בחרת זה אותו מספר) מוגדר להיות '''המימד''' של המרחב.

====תשובה לתשובה====
תודה, אבל לא הבנת את השאלה שלי. אני דיברתי על בסיסים שהם לא בסיסים של אותו המרחב אלא של מרחבים שונים זה מזה. כמובן שמספר האיברים בהם לא בהכרח שווה, אז אני כנראה הבנתי את המשפט הזה לא נכון..?

=====תשובה=====
המשפט מדבר על קבוצות בתוך מרחב ספציפי נתון, ולא בין מרחבים שונים. הרי המושג '''פורש''' מתייחס למרחב הנתון ששניהם נמצאים בו, אחרת כל קבוצה בעולם היא פורשת (שכן כל קבוצה פורסת את הSpan של עצמה).

======הבהרה======
אז המשפט אומר שאם יש שתי קבוצות: U פורשת, V בת"ל '''ושתיהן מוכלות במ"ו מסוים''' אז |U|>=|V| ?
:רגע... איזו קבוצה U אמורה לפרוש? אני מבולבלת, תוכל לכתוב את המשפט כולו בבקשה? תודה מראש.

::יהא V מ"ו, ויהיו שתי קבוצות <math>A,B\subseteq V</math>. אזי אם A פורשת את V כלומר (spanA=V) וB בת"ל אזי <math>|A|\geq |B|</math>

:::תודה!

==שאלות בקשר ל6.5 ו-7.9==
* הכוונה ב"לבטא את האיבר הכללי בקבוצה" הוא בעצם להגיע לוקטור מהסוג <math>v=(x+5y,6y+z,x+z)</math> או במקרה של פולינומים <math>f(x)=a+(5a+c)x+(b+c+d)x^2+(2a+7d)x^3</math>? (כמובן שאלו דוגמאות ולא הפתרונות)
* לא כל כך הבנתי איך בודקים שקבוצה פורשת מרחב כמו בשאלה 7.9.

===תשובה===
*צריך להגיע למשוואה מהצורה <math>(x,y,z)=\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3</math> כאשר אתה צריך לחשב את אלפא, בטא וגמא. במילים אחרות אתה צריך לחשב את הקואורדינטות של איבר כללי לפי הבסיס הנתון.

*כמו שרשמתי למטה בתשובה לכמה שאלות. שמים בשורות מטריצה, מדרגים. אם בצורה המדורגת יש 5 שורות שונות מאפס אז זה אומר שהקבוצה פורסת מרחב ממימד 5. תת מרחב ממימד 5 במרחב ממימד 5 חייב להיות המרחב כולו.

==בקשר ל 6.5==
בשאלה צריך רק להראות את האיבר הכללי או להראות איבר כלשהו בקבוצה שאינו בנפרש? או שצריך לפרט למה זה שווה ואז להראות איבר כללי או להראות איבר שאינו שיך ולפרט למה?

===תשובה===
אם זה שווה צריך להראות איבר כללי. אם לא צריך למצוא איבר שאינו נפרש על ידי הspan.

:אז לא צריך לפרט רק לציין?

::צריך תמיד להסביר, אי אפשר לתת תשובה סופית בלבד. אפשר לא להציג את כל החישובים עד הסוף

==טריוויאלי או צ"ל?==
האם צ"ל שאם מטריצה A כלשהי מקיימת <math>\forall\vec x:A\vec x=\vec x</math> אז בהכרח <math>A=I</math>? או שזה טריוויאלי? תודה.

===תשובה===
אלא אם מבקשים להוכיח את זה, זה טריוויאלי (הרי פשוט מציבים <math>e_i</math> ומראים שעמודות המטריצה זהות לעמודות המטריצה I).

==לכל בסיס של V (מ"ו מסוים) יש אותו מספר איברים==
בהוכחה של מה שכתבתי בכותרת, לוקחים B1 בסיס של V עם n איברים, ו-B2 בסיס של V ומוכיחים שגם בו n איברים. בהתחלה מוכיחים שיש ב-B2 לכל היותר n איברים.

לאחר מכן אומרים שאם B2 מכיל פחות מ-n איברים אז B1 תלוי לינארית. למה?

תודה מראש!
:יש משפט חשוב שהיה בהרצאה שאומר שאם A פורשת וB בת"ל, אז |A| גדול שווה מ |B|. אז שמתי לב שיש דרך יותר קלה להוכיח שבכל בסיס יש אותו מספר איברים, מאשר הדרך שהמרצה הוכיח אותה- פשוט אומרים שאם יש 2 בסיסים A וB, אזי A פורשת וB בת"ל (ולכן|A| גדול שווה מ |B|) וגם B פורשת וA בת"ל ולכן (ולכן ההפך מקודם) ולכן |A| = |B|.

::תודה על התשובה המהירה! אמנם זו הוכחה פשוטה וקצרה, אבל גם ההוכחה של המרצה קצרה מאוד. רק לא הבנתי למה זה נכון: "אם B2 מכיל פחות מ-n איברים אז B1 תלוי לינארית".

:::זו אינה דרך קלה יותר- אתה פשוט מסתמך על ההוכחה הכבידה במהלך ההוכחה הקלה. תשים לב לסדר הוכחות המשפטים.

===תשובה===
משתמשים בהוכחה בלמת ההחלפה של שטייניץ (עמוד 39 למטה בחוברת). הרעיון הוא שאתה יכול להחליף את האיברים מB1 על ידי איברים מB2. בלשב מסויים יהיו בB1 כל האיברים מB2 ועוד כמה איברים אחרים. מכיוון שB2 פורסת, האיברים הנוספים האלה תלויים בקודמיהם ולכן B1 ת"ל.

:תודה!

==שאלה בדירוג מטריצה לבדיקת תלות לינארית==
כשמדרגים מטריצה לבדיקת תלות לינארית של איברים, אם מגיעים לשורת אפסים זה אומר שהאיברים הם בת"ל או ת"ל? רק כדי להיות בטוח. תודה רבה!

===תשובה===
ת"ל לינארית כמובן. כי זה אומר שיש צירוף לינארי לא טריוויאלי של השורות שהתאפס (וגם שמימד מרחב השורות קטן ממספר האיברים בקבוצה ולכן בהכרח היא ת"ל).
:תודה על הכל!

==דרך הפתרון ל7.9==
איך צריכים לפתור את השאלה? האם צריך להגיד ש
(x1,x2,x3,x4,x5) = a(1,2,3,4,5) +b(5,4,3,2,1)+...
ואז להראות שיש פתרון כללי ולכן הקבוצה הנתונה פורשת את R5?
או שיש דרך אחרת יותר קלה? תודה.

===תשובה===
למדנו שלמטריצות שקולות שורה יש את אותו מרחב שורה. מספיק לשים את הוקטורים בשורות מטריצה ולדרג.

למדנו גם שהשורות השונות מאפס בצורה המדורגת של המטריצה מהוות בסיס למרחב השורות (זה לצורך חישוב מימד במקרה הזה, כי מבקשים בסיס שמוכל בבסיס המקורי, ולא בסיס כלשהו).
:תודה. אבל תמיד מדרגים מטריצה כדי לבדוק תלות לינארית, לא האם קבוצה היא פורשת! הצלחתי בעזרת דירוג לפתור את ב', אך איך אנמק שהחמישיות פורשות את R5 בעזרת דירוג מטריצות? תודה.
::אם שמת את כל הוקטורים בששת שורות מטריצה, ואחרי דירוג הראת שהמטריצה פורשת את <math>\mathbb{R}^5</math> הרי שששת הוקטורים פורסים את המרחב גם. לפי השלישי חינם כל 5 וקטורים בת"ל ב<math>\mathbb{R}^5</math> פורשים אותו.
:::אה נכון, בעזרת השלישי חינם! תודה וסליחה על בוֹרוּת.

==בקשה==
אני מבקש מכל מי ששואל שאלה\עונה תשובה לעשות את הכותרת שלו בדרגה 2, כלומר כך למשל:
'==שאלה=='
ולא כך:
'=שאלה='
אחרת זה משרשר חדש(כי זה בדרגת כותרת של '=שאלות='), וזה נורא מציק לעין, תודה!
:לא עדיף שתדגישו את זה בהוראות? (ואולי גם כהודעה בעמוד הראשי - כאן מעט מאוד יראו את זה).

::לא אני כתבתי את ההערה.--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:20, 19 באוגוסט 2010 (IDT)
::ובכל אופן, אני לא רואה איך אפשר להפוך את ההוראות לברורות יותר, אשמח להצעות.

==שאלה על בסיסים ומ"וים==
האם ניתן להגיד (או האם זה נכון בכלל) שאם ל2 מרחבים וקטוריים יש בדיוק את אותו בסיס מסוים, (כלומר מצאתי קבוצה שהיא בסיס לשניהם) אזי המרחבים זהים (הם אותו מרחב וקטורי)? אם כן, האם אפשר לכתוב את זה בלי הוכחה או שצריך לכתוב הוכחה? אם צריך לכתוב הוכחה, איך מוכיחים את זה? תודה רבה.

===תשובה===
זה טריוויאלי, אבל אם אתה רוצה להוכיח:

B בת"ל בסיס לV אם"ם spanB=V (לפי הגדרה). אם בנוסף B בסיס לU אזי spanB=U מכאן נובע V=U.
::תודה!

==שאלה==
האם הסקלרים בכל צירוף לינארי כלשהוא חייבים להיות גדולים מאחד? (ובפרט בצירופים הלינאריים שבspan?)

===תשובה===
בשום צורה '''לא'''. הסקלרים הם סקלרים '''כלשהם''' מהשדה.

==שאלה==
האם כל span כולל את אפס?
===תשובה===
כן כל span הוא תת מרחב וקטורים.

הסבר אחר: span הוא אוסף כל הצירופים הלינאריים, בפרט הצ"ל הטריוויאלי - כלומר כל הסקלרים הם אפסים

== 7.20 ==

אפשר קצת הסבר על השאלה? אני לא יודע איך להסתכל על זה..מה עוזר לי הנתון שV מ"ו מעל שדה F?ואיך זה בדיוק
מתקשר למימד?? אם אפשר קצת רמזים..

===תשובה===
תמיד חשוב לזכור את ההגדרות - מימד הוא מספר האיברים בבסיס.

אני אתן דוגמא, מקווה שזה יעזור:

ניקח <math>V=\mathbb{C}^2,F=\mathbb{C},H=\mathbb{R}</math>. אפשר לראות שF הוא מרחב וקטורי מעל H עם הבסיס <math>\{1,i\}</math> שכן כל מספר מרוכב הוא מהצורה <math>a\cdot 1+b\cdot i</math> כאשר a,b ממשיים ובוודאי הסכום הזה מתאפס רק אם a=b=0. לכן הקבוצה הנ"ל פורשת ובת"ל ולכן היא בסיס. לכן F הוא ממימד 2 מעל H (כי יש 2 איברים בבסיס).

V הוא הוא ממימד 2 מעל F (זה ברור). נמצא לו בסיס מעל H: <math>\{(1,0),(i,0),(0,1),(0,i)\}</math> ואכן אנו רואים שV הוא ממימד 4=2x2 מעל H.

==שאלה==
אם אני יודע ש:
v מרחב וקטורי נוצר סופית,<math>B\subseteq V</math> ובנוסף:
*<math>sp(B)=V</math>
*B בת"ל.
אז אני יכול להגיד ש-B בסיס עבור V?

===תשובה===
כן. זו ההגדרה של בסיס. Span(B)=V (פורש) ובת"ל

==שאלה 7.10==
העברתי את המטריצות לעמודות, ודירגתי את המטריצה שהתקבלה.
יצאו לי ארבע שורות אפסים, האם זה אומר שהן תלויות לינארית ?
איך מנמקים את זה?

===תשובה===
השאלה היא לא כמה שורות אפסים יש, אלא כמה משתנים חופשיים יש. אם קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת Ax=0 אזי עמודות A תלויות לינארית.

== שאלה ==
איך מוכיחים שקבוצה היא פורשת? ואיך מוצאים בסיס לקבוצה?

===תשובה===
למדנו שמרחבי השורות של מטריצות שקולות שורה הם זהים. לכן על מנת למצוא בסיס לקבוצת וקטורים יש '''לשים אותם בשורות''' מטריצה '''ולדרג''' את המטריצה. '''בצורה המדורגת של המטריצה, השורות השונות מאפס מהוות בסיס''' למרחב השורות.

הspan של הקבוצה הוא כמובן הspan של השורות השונות מאפס בצורה המדורגת. כך ניתן לדעת מה הקבוצה פורשת (קבוצה תמיד פורשת את הspan שלה - זו ההגדרה).

כאשר יש מרחב וקטורי של פולינומים או מטריצות - מעבירים אותו לצורה וקטורית פשוטה כמו בתרגיל לדוגמא שפרסמנו בעמוד הראשי.

==שאלה על מימדים==
מה המימד של המרחב הוקטורי המכיל רק 0? האם סכום ישר אומר שהחיתוך נותן 0? כי אם כך אז המימד של {(a,b,0,0) סכום ישר (0a,0,d,c)} שווה לסכום המימדים שהוא 4, פחות מימד החיתוך שהוא 1, לא? אזי מימד הסכום שווה ל3 אבל הוא באמת שווה ל-4. מה הולך פה?

===תשובה===
המימד של מרחב האפס {0} הוא אפס. הבסיס שלו הוא הקבוצה הריקה.

==שאלה כללית==
האם שורותיה של מטריצה בדורגת הם בהכרח בת"ל?

===תשובה===
שורותיה השונות מאפס של מטריצה מדורגת הן בהכרח בת"ל. אף שורה איננה צ"ל של קודמותיה, כי יש לה אפסים במקומות בהם יש לשורות הקודמות איברים פותחים.

==שאלה==
האם אני יכול להגיד את הדבר הבא?
<math>span(A+B)=span(span(A\cup B))=span(A\cup B)=A\cup B=span(A)\cup span(B)</math>
תודה מראש...

===תשובה===
לא. האיחוד של תתי מרחבים לרוב אינו תת מרחב. שאלה זו מופיעה בתרגיל 3, והפרכתה נמצאת בפתרונות.

המעבר הראשון הלא חוקי (משמאל לימין) הוא שאפשר להוריד את הspan ולהשאיר שיוויון. מה פתאום הspan של קבוצה שווה לקבוצה? הרי הקבוצה יכולה להיות סופית, ואוסף כל הצירופים הלינאריים הוא אינו סופי (מעל שדה אינסופי כמובן)

== שאלה ==
1.אם (V1,v2...vn) וקטורים בת"ל וגם (u1,u2,...,un) וקטורים בת"ל ומתקיים ש:
v1=a1u1+a2u2...anun,...,vn=b1u1+b2u2+...+bnun , אני יכולה להגיד ש {a1,...,an}..{b1,...,bn הם בת"ל?

2. מטריצת מעבר היא חייבת להיות ריבועית?

===תשובה===
1. סקלרים לא יכולים לעולם להיות בת"ל. ההגדרה של בת"ל תקפה רק לגבי וקטורים.

2. כן. כי הרי יש בה n עמודות (מספר האיברים בבסיס B) שכל אחת מהן באורך n (מספר האיברים בבסיס C). הרי מספר האיברים זהה בכל הבסיסים.

:לגבי 1. אני לא מבינה! הרי כן אפשר להסתכל על כוקטורי עמודה {a1,..,an},{b1,...,bn ולשאול האם הם תלויים לינארית?

::הסימון עם סוגריים מסולסלים מסמן קבוצה, ולא וקטור עמודה. את מתכוונת ל<math>(a_1,...,a_n),(b_1,...,b_n)</math>? (כלומר, 2 וקטורי קואורדינטות) אה.. אני בכלל מבין עכשיו את הטעות בסימון. מהם הסקלרים שבין a ל b?

::אני מניח שהתכוונת ל
::<math>v_i=a_{1i}u_1+...+a_{ni}u_n</math> ואז השאלה אם הקבוצה <math>\{(a_{1i},...,a_{ni})|1\leq i \leq n\}</math> היא בת"ל. אבל זה בדיוק השאלה בשיעורי הבית. צריך להוכיח את זה.

::רמז: ההעתקה מv לקואורדינטות של v לפי בסיס מסוים, הינה העתקה לינארית.

== שאלה לתשובה ==

רציתי לשאול עוד בנושא, נניח ואני מגיעה לכך ש <math>{a1u1+...anun},{b1u1+..+bnun},...,{c1u1+..+cnun}</math> שונים מאפס ובת"ל.
האם אני יכולה להסיק ש <math>{a1..an},{b1..bn},...,{c1..cn}</math> חייבים להיות שונים מ0 ובת"ל?

==שאלה 2 בדף המצורף==
כל מספר מסוים של וקטורים מתוך מרחב מסוים שהם בת"ל הם בהכרח גם בסיס של אותו המרחב?

===תשובה===
בוודאי שלא. בסיס הוא '''פורש''' וגם '''בת"ל'''. אחד התנאים בלבד אינו מספיק. מספר הוקטורים היחיד שיכול להיות בבסיס הוא המימד של המרחב.

לדוגמא:
<math>\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3</math> בת"ל אבל לא בסיס.

אבל (ואולי לזה התכוונת) אם ניקח קבוצה בת"ל עם מספר וקטורים כגודל המימד של המרחב היא אכן תהיה בסיס תודות למשפט השלישי חינם.

==שאלה 6.4א==
בשאלה מבקשים לוהכיח שאם חיתוך של שני ספאנים שונה מאפס, אבל כל ספאן יוצר צירוף לינארי מתאפס, אז הטענה בכלל לא יכולה להיות נכונה, האם זה בעיה בתרגיל?

===תשובה===
<math>\{0,1\}\neq \{0\}</math>

===שאלה על התשובה===
את/ה יכול/ה לתת דוגמא ל2 קבוצות שמקיימות את התנאי הזה?

====דוגמא====
ניקח <math>B=\{(1,0,1),(1,0,-1)\},A=\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3</math>

<math>span(A)\cap span(B) = span\{(1,0,0)\}\neq \{0\}</math>

במילים: יש צירוף לינארי של A וצירוף לינארי של B ששניהם שווים זה לזה אבל שונים מאפס.

== שאלה 3 ב בבוחן ==
שלום, לא הבנתי למה הזווית של 1+i היא בדיוק פי חלקי ארבע? מה החישוב שעושים?

===תשובה===
במישור המרוכב זו הנקודה (1,1) שנמצאת בדיוק על הקו הישר x=y שנמצא בזוית 45 מעלות (כי הוא חוצה את הזוית הישרה בין הצירים). אם זה לא מספיק ברור, גם <math>tg(\theta)=\frac{b}{a}=\frac{1}{1}=1</math> ולכן <math>\theta = \frac{\pi}{4}</math>

== שאלה 1 ב' בבוחן ==
בפתרונות כתוב שאם נדרג נמצא שורת סתירה עבור a=0ולכן אין פיתרון.
דרגתי כמה וכמה פעמים ואני לא מוצאת שום שורת סתירה!
אני כן מחלקת בa כחלק מהפעולות אלמנטריות אבל כשאני רוצה להוכיח שבאמת אין פיתרון עבור a=0 אני לא מצליחה!
אתה יכול לפרט יותר?

===תשובה===
אסור לחלק בa כחלק מהפעולות האלמנטריות כאשר בודקים את המקרה a=0 זה מקור הטעות.

תציבי במטריצה '''המקורית''' a=0 ותראי לאן את מגיעה.
אוקי תודה!

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-21T10:37:18Z

Nimrod: /* תשובה */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - בוחן + תרגיל 3

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 3

=שאלות=

==שאלה==
נתון <math>V=\mathbb{F}^n</math> וגם ש<math>\mathbb{H}</math> תת שדה של <math>\mathbb{F}</math>
אם אני יודע שהמימד של F מעל H הוא m אז אני יכול להגיד דבר כזה:
<math>V=\mathbb{F}^n=(\mathbb{H}^m)^n=\mathbb{H}^{mn}</math> כלומר המימד של V מעל השדה H הוא mn?
תודה מראש!

===תשובה===
לא, זה מה שצריך להוכיח.

אבל אני יודע ש:<math>V=\mathbb{F}^n</math> וגם <math>\mathbb{F}=\mathbb{H}^m</math>
אז כאילו אני מציב ומקבל <math>V=\mathbb{H}^{nm}</math>

==שאלה ראשונה בדף==
האם הנימוק הבא מספיק:
מספר האיברים של כל בסיס של מרחב וקטורי ממימד N שווה ל N => מספר האיברים ב B שווה לN, מספר האיברים ב C שווה ל N => יהיו לי N עמודות (כל עמודה מייצגת את הקורדינטות ליצוג איבר מסויים מB לפי איברי C ובגלל שיש N איברים יש N עמודות כאלה שמיצגות אותם) ויהיו N שורות (מכיוון שבC יש N איברים כל וקטור בB מוצג כצירוף ליניארי של N האיברים בC ולכן מספר הקורדינטות שווה לN ומכאן שיש N איברים בכל עמודה שזה אומר N שורות) => המטריצה ריבועית. לפי מה שהוכחנו בכיתה לכל וקטור במרחב יש הצגה יחידה לפי בסיס מסויים ולכן לכל איבר בB יש הצגה יחידה לפי C ומכאן שלכל איבר בB יש וקטור קורדינטות יחיד => לפי המשפט שאם קבוצת וקטורים בת"ל אזי קבוצת וקטורי הקורדינטות שלהם בת"ל (מוכיחים את זה בשאלה הבאה אני מניח שמותר לי להשתמש בזה לא?) אזי העמודות של המטריצה שקיבלנו בת"ל.
=> מכיוון שקיבלנו מטריצה ריבועית שעמודותיה בת"ל ומכאן לפי משפט מטריצה זו הפיכה.
זה הסבר מילולי קצת ארוך אבל האם הוא מספיק מפורט בשביל להוות הוכחה ללא חישובים? תודה (בבקשה שרק מתרגל יענה)

===תשובה===
" לפי המשפט שאם קבוצת וקטורים בת"ל אזי קבוצת וקטורי הקורדינטות שלהם בת"ל אזי העמודות של המטריצה שקיבלנו בת"ל. => מכיוון שקיבלנו מטריצה ריבועית שעמודותיה בת"ל ומכאן לפי משפט מטריצה זו הפיכה"

אני לא מבין מה צריך את כל הסיפור לפני כן.
: אז אני יכול להסיק ישר שהמטריצה ריבועית ואז לכתוב את המשפט הזה וזה הוכחה שתופסת?

==בהמשך לשאלה: "דרך הפתרון ל7.9"==
לא הבנתי את מה שכתבתם שם, ונראה לי שזה יכול לקצר ולהקל מאוד על פתרון שאלות מהסוג הזה, אז חשוב לי להבין. מה עוזר דירוג המטריצה שהשורות שלה הם הוקטורים הנתונים? מה ניתן להסיק ממה שמתקבל? אם מתקבלת שורת אפסים - מה זה אומר? ואם לא? ואם מתקבל טור אפסים?

תודה מראש!

===תשובה===
אתה חייב לציין מה לא הבנת בדיוק.

האם אתה מבין מהו מרחב שורות? ושלמטריצות שקולות שורה יש אותו מרחב שורות?

==שאלה כללית==
האם מותר לי לומר ישירות שהבסיס של תת מרחב שמכיל רק איבר האפס הוא 1? ( ד"א האם קבוצה כזו בכלל נחשבת תת מרחב?)

===תשובה===
לפי מה שידוע לי, 0 לא יכול לשמש כבסיס כי כל צירוף לינארי שיש בו 0 הוא תלוי לינארית (כי אפשר להגיע ל-0 מצירוף לא טריוויאלי).
אז אני די בטוח שמספר האיברים בבסיס של תת מרחב כזה הוא 0.
:[[#שאלה על מימדים]]

== 8.2.1/2==
בסעיף ד אם אני מגיע לכך שהתחום חייב להתקיים האם זה מספיק או שצריך לתת דוגמא לכל אפשרות בתחום ?(כי פתרנו משהו דומה בתרגול ואמרת לנו שצריך להראות דוגמאות אבל אני לא מבין למה צריך במקרה זה, כי אם זה לא מתקיים עבור אחד המקרה בתחום זה עדין אומר שכל מימד של חיתוך כזה חייב להיות בתחום)

===תשובה===
השאלה בכיתה הייתה "מהן האפשרויות" והיית צריך להראות שיש דוגמאות על מנת לדעת שצמצמת את התחום מספיק.

כאן מבקשים ממך להוכיח אי שיוויון בלבד, זה לא מעניינך אם אפשר למצוא אי שיוויון טוב יותר או שאי אפשר.

==7.7 ב'==
בשביל להוכיח את ב' לא השתמשתי בנתון ש-U תת מרחב וקטורי של V. האם אני אמורה להשתמש בו? כי גם בסעיף ג' הם אומרים שהקבוצה B מוכלת ב-V ואני לא רואה למה הנתון הזה הכרחי...

===תשובה===
ברור שזה חשוב, הנה דוגמא נגדית אחרת:
<math>U=span\{(0,1,0),(0,0,1)\}</math>, <math>V=span\{(1,0,0),(0,1,0)\}</math>

dimU=dimV=2 אבל <math>U\neq V</math>

====תשובה לתשובה====
תודה!

אם כך, אני חושבת שבחלק מהמשפטים שהוכחנו בהרצאה לא כתבנו את כל התנאים, כי יש לי במחברת משפט שאומר: "יהי V מ"ו כאשר dimV=n, אז כל קבוצה בת"ל עם n איברים היא בסיס ל-V". מהו המשפט הנכון?
:"...אזי כל קבוצה המוכלת בV שהיא בת"ל עם n איברים...."
::"יהי V מ"ו כאשר dimV=n, אזי כל קבוצה בת"ל המוכלת ב-V עם n איברים היא בסיס ל-V". תודה רבה!

==שאלה 8.2.1/2==
בסעיף ג' מותר לקחת בתור U ו-W מרחבים שהסכום שלהם אינו ישר?(במטרה שלהראות שאם הביטוי בשמאל מתקיים לא בהכרח הביטוי מימין גם מתקיים) <br>תודה

===תשובה===
אם זה לא סותר את נתוני השאלה אתה יכול לקחת את מה שאתה רוצה.

==צ"ל?==
יהי בסיס B ויהיו <math>b_i</math> איברי B. האם צריך להוכיח שלכל i, מספר האיברים ב-<math>b_i</math> שווה לעוצמת הבסיס? או שזה מספיק טריוויאלי?

===תשובה===
זה לא ממש הגיוני מה שרשמת,הרי <math>b_i</math> איבר ולא בהכרח קבוצה, אז איך יהיה לו מספר איברים?

===תשובה נוספת===
אני רואה פה כבר בילבול מושגים שחוזר על עצמו:

הוקטור (1,0,1) הינו '''איבר אחד בלבד''' כמו כן הפולינום 1+x^2 הוא איבר אחד בלבד. הם לא קבוצות עם 3 איברים. יש ב(1,0,1) 3 '''רכיבים''': 1, 0 ושוב 1. בפולינום יש את הרכיבים 1, 0x, x^2.

כמות הרכיבים של '''וקטור הקואורדינטות''' זהה למספר האיברים בבסיס שהוא המימד. '''מאד מומלץ לקרוא את המסמך בעמוד הראשי בנושא'''

===הבהרה===
# לפי ההגדרה המקובלת של קורטובסקי (Kazimierz Kuratowski), כל n-יה סדורה היא '''כן''' קבוצה (<math>(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}</math> ו-n-יה סדורה מוגדרת רקורסיבית כזוג סדור, שהאיבר הראשון שלו הוא האיבר הראשון ב-n-יה הסדורה, והאיבר השני הוא ה-(n-1)-יה הסדורה שנותרה, כלומר: <math>(a_1,a_2,\cdots,a_n):=(a_1,(a_2,\cdots,a_n))</math>).
# לא הייתי בטוח איך לנסח את זה, אבל כשכתבתי "מספר האיברים ב-<math>b_i</math>" התכוונתי למספר ה"רכיבים": מספר האיברים/רכיבים ב-<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math> הוא n. ברור לי שזה לא אותו דבר כמו עוצמה (הרי העוצמה של n-יה סדורה היא 1 או שניים).
# לא עניתם על השאלה: האם מותר לומר שמספר הרכיבים ב-<math>b_i</math> הוא <math>|B|</math>, או שצריך להוכיח? תודה, 18:56, 20 באוגוסט 2010 (IDT)

===תשובה===
* אתה מניח פה שמרחב הוקטורי היחיד הוא מרחב הn-יות הסדורות. כפי שלמדנו זה לא נכון. לכן הניסוח המדויק הוא מספר הרכיבים בוקטור הקואורדינטות. וזה נכון כי וקטור הקואורדינטות הוא תמיד בF^n כאשר n הוא המימד של המרחב.

* חשוב מאד לשים לב לקואורדינטות לפי איזה בסיס מדובר. כלומר, אם תסתכל על הקואורדינטות לפי הבסיס B מספר הרכיבים יהיה העוצמה של B. אבל אם נגיד B פורש תת מרחב ממימד 2 במרחב ממימד 3, ואתה מסתכל על הקואורדינטות לפי בסיס למרחב כולו ולא הבסיס B יכול להיות שמספר הרכיבים שלו יהיה גדול מהעוצמה של B. למשל:

<math>B=\{(1,0,0)\}</math> מעוצמה 1 אבל הוקטורים הם עם 3 רכיבים (כי זה למעשה וקטור הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של <math>\mathbb{R}^3</math>. לעומת זאת, הקואורדינטות של איבר הבסיס B לפי הבסיס B הם (1) עם רכיב אחד.

ואני אדגיש שוב את התשובה לשאלה: '''אין משמעות למושג מספר הרכיבים של וקטור באופן כללי'''.

==מותר?==
האם אפשר להוכיח תלות לינארית בין וקטורים נתונים לפי ציון מפורש של המקדמים, בלי להראות איך הגענו למקדמים האלה? למשל, נתונים <math>(1,2,3), (2,3,4), (2,2,2)</math> - האם מותר לומר שיש תלות לינארית כי <math>(2,3,4)=1\cdot(1,2,3)+\tfrac{1}{2}\cdot(2,2,2)</math>, מבלי לציין איך הגענו למקדמים <math>1,\tfrac{1}{2}</math>? תודה.

===תשובה===
מה אני אגיד? כן מותר, אבל אסור מן הסתם להעתיק את התשובה הזו מאחרים.

==שאלה 2 בדף==
בסעיף a, האם אפשר להגיד שנתאים לכל וקטור v1,..vn התאמה חח"ע, על והפיכה כך ש vi=[vi]b ולכן בכלל ש v1,..vn בת"ל אז [v1]b,..[vn]b בת"ל? ומכיוון שההתאמה הפיכה אז גם להפך? כי אני לא מצליח להוכיח את זה בצורה אחרת.

===תשובה===
כן ולא. בגדול מה שאתה אומר הוא נכון. אבל צריך להסביר 2 דברים:

1. מדוע ההתאמה הזו היא חח"ע

2. מדוע התאמה '''לינארית''' חח"ע משאירה קבוצה בת"ל - בת"ל.

==שאלה 8.4==
אפשר להגיד שאם <math>u1+u2=u1+u3</math> אז <math>dim(u1+u3)=dim(u1+u2)</math>
:כן. אם שני מ"ו שווים זה לזה אז הם אותו מרחב (כלומר, יש להם אותם איברים ואותן פעולות חיבור וקטורים וכפל בסקלר). לכן ברור שגם המימדים שלהם זהים.

==שאלה 7.19==
אפשר רמז? ולא הבנתי מה קשור הרמז שהם נתנו ואיך הוא עוזר? תודה רבה.
:מתוך העמוד הראשי:
===דוגמא לעבודה עם מטריצות כוקטורים===
'''[[מדיה:10Linear1MatrixVercotEx.pdf|דוגמא]]''' שימושית לתרגיל 4.
:קראתי את הדוגמה הזאת וזה ממש עזר לי ב2 התרגילים מהדף המצורף (ובכלל להבין את החומר) אבל זה ממש לא עזר לי להבין איך לפתור את 7.19
::נכון, לכן תקרא את התשובה שלי בדיוק מתחת --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:24, 20 באוגוסט 2010 (IDT)

===תשובה===
דווקא אני לא בטוח שהדוגמא הזו עוזרת. צריך להוכיח שהקבוצה שם בת"ל לפי ההגדרה - כל צירוף לינארי שלה מתאפס. איך זה עוזר? כי בתוך מרחב ממימד n כמה וקטורים הכי הרבה יכולים להיות בקבוצה בת"ל?

:n, אבל איך זה עוזר?

::אם אין יותר מn איברים שונים מאפס, אז האיבר הn+1 שווה אפס.

==צ"ל טריוויאלי==
האם צ"ל שאם <math>\sum_{i=1}^n{\left(\alpha_i\begin{pmatrix}b_1&b_2&\cdots&b_m\end{pmatrix}\right)[v_i]_B}=\vec0\iff\forall i\in\{1,\dots,n\}:\alpha_i\begin{pmatrix}b_1&b_2&\cdots&b_m\end{pmatrix}=\vec0</math> אזי <math>[v_1]_B,[v_2]_B,\dots,[v_n]_B</math> בת"ל? (ההבדל בין הטענה הזו לבין מה שלמדנו בהרצאה הוא שכאן יש מכפלה וקטורית). או שזה מספיק טריוויאלי? תודה.

===תשובה===
אני לא מבין את הטענה ולכן היא אינה טריוויאלית. לא למדנו מכפלה וקטורית.
:אני מדבר על מכפלה וקטורית במ"ו של מטריצות, ואותה '''כן''' למדנו.
::זו לא מכפלה וקטורית, זה כפל מטריצות. ולכן צריכים להיות וקטורי קואודדינטות בעמודות ולא סתם וקטורים. בכל אופן, זה מראה שבעצם המטריצה עם הb_i (בנהחה שהם קואו' וזו אכן מטריצה) כפול <math>[v_i]_B</math> הם בת"ל ולא רק וקטורי העמודה <math>[v_i]_B</math>.
:::שכחתי לציין שהבסיס הוא <math>B=\{b_1,b_2,\dots,b_m\}</math>. בכל אופן, אם אני מפרט שה-b-ים הם וקטורי הבסיס - אפשר לומר שוקטורי העמודה <math>[v_i]_B</math> בת"ל?

::::הם וקטורי בסיס, אבל יכולים להיות פולינומים. מה המשמעות של לשים פולינום כעמודה? אני עדיין לא רואה כיצד זה נובע, בוודאי בוודאי שזה לא טריוויאלי.

== בסיס ==

מה הכוונה בהגדרה של מימד, מספר האיברים בבסיס?נניח <math>V=R^2</math> וניקח בסיס {(1 0),(0 1)} אז אני מבין שיש שני וקטורים שפורשים
ובכל וקטור שני רכיבים- 1,0.
אז מה נחשב למספר האיברים בבסיס?
:יהי מ"ו <math>V</math> ויהי <math>B</math> בסיס שלו. אזי המימד של <math>V</math> יסומן <math>\dim(V)</math> ויוגדר כמספר האיברים בבסיס. כלומר: <math>\dim(V):=|B|</math>.

לא ענית לי לשאלה!אני יודע את ההגדרה!השאלה שלי היא מה נחשב למספר האיברים בבסיס?לפי הדוגמא שהבאתי..
:2, מן הסתם, כי יש שני איברים בבסיס <math>\Big)</math>שהם <math>(1,0)</math> ו-<math>\Big((0,1)</math>. באופן כללי, <math>\dim(\mathbb F^n)=n\cdot\dim(\mathbb F)</math>.

==בסיסים==
הוכחנו בכיתה שאם יש קבוצה פורשת שבה n איברים ועוד קבוצה בת"ל שבה m איברים אז m<=n.

זה לא מסתדר לי, כי זה הרי אומר שמספר האיברים בכל הבסיסים שקיימים - שווה (כי בסיס פורש ובת"ל).

אפשר הסבר? תודה מראש!

===תשובה===
מספר האיברים בכל הבסיסים אכן שווה - זה משפט.

יותר מזה, מספר האיברים בבסיס (הרי לא משנה איזה בסיס בחרת זה אותו מספר) מוגדר להיות '''המימד''' של המרחב.

====תשובה לתשובה====
תודה, אבל לא הבנת את השאלה שלי. אני דיברתי על בסיסים שהם לא בסיסים של אותו המרחב אלא של מרחבים שונים זה מזה. כמובן שמספר האיברים בהם לא בהכרח שווה, אז אני כנראה הבנתי את המשפט הזה לא נכון..?

=====תשובה=====
המשפט מדבר על קבוצות בתוך מרחב ספציפי נתון, ולא בין מרחבים שונים. הרי המושג '''פורש''' מתייחס למרחב הנתון ששניהם נמצאים בו, אחרת כל קבוצה בעולם היא פורשת (שכן כל קבוצה פורסת את הSpan של עצמה).

======הבהרה======
אז המשפט אומר שאם יש שתי קבוצות: U פורשת, V בת"ל '''ושתיהן מוכלות במ"ו מסוים''' אז |U|>=|V| ?
:רגע... איזו קבוצה U אמורה לפרוש? אני מבולבלת, תוכל לכתוב את המשפט כולו בבקשה? תודה מראש.

::יהא V מ"ו, ויהיו שתי קבוצות <math>A,B\subseteq V</math>. אזי אם A פורשת את V כלומר (spanA=V) וB בת"ל אזי <math>|A|\geq |B|</math>

:::תודה!

==שאלות בקשר ל6.5 ו-7.9==
* הכוונה ב"לבטא את האיבר הכללי בקבוצה" הוא בעצם להגיע לוקטור מהסוג <math>v=(x+5y,6y+z,x+z)</math> או במקרה של פולינומים <math>f(x)=a+(5a+c)x+(b+c+d)x^2+(2a+7d)x^3</math>? (כמובן שאלו דוגמאות ולא הפתרונות)
* לא כל כך הבנתי איך בודקים שקבוצה פורשת מרחב כמו בשאלה 7.9.

===תשובה===
*צריך להגיע למשוואה מהצורה <math>(x,y,z)=\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3</math> כאשר אתה צריך לחשב את אלפא, בטא וגמא. במילים אחרות אתה צריך לחשב את הקואורדינטות של איבר כללי לפי הבסיס הנתון.

*כמו שרשמתי למטה בתשובה לכמה שאלות. שמים בשורות מטריצה, מדרגים. אם בצורה המדורגת יש 5 שורות שונות מאפס אז זה אומר שהקבוצה פורסת מרחב ממימד 5. תת מרחב ממימד 5 במרחב ממימד 5 חייב להיות המרחב כולו.

==בקשר ל 6.5==
בשאלה צריך רק להראות את האיבר הכללי או להראות איבר כלשהו בקבוצה שאינו בנפרש? או שצריך לפרט למה זה שווה ואז להראות איבר כללי או להראות איבר שאינו שיך ולפרט למה?

===תשובה===
אם זה שווה צריך להראות איבר כללי. אם לא צריך למצוא איבר שאינו נפרש על ידי הspan.

:אז לא צריך לפרט רק לציין?

::צריך תמיד להסביר, אי אפשר לתת תשובה סופית בלבד. אפשר לא להציג את כל החישובים עד הסוף

==טריוויאלי או צ"ל?==
האם צ"ל שאם מטריצה A כלשהי מקיימת <math>\forall\vec x:A\vec x=\vec x</math> אז בהכרח <math>A=I</math>? או שזה טריוויאלי? תודה.

===תשובה===
אלא אם מבקשים להוכיח את זה, זה טריוויאלי (הרי פשוט מציבים <math>e_i</math> ומראים שעמודות המטריצה זהות לעמודות המטריצה I).

==לכל בסיס של V (מ"ו מסוים) יש אותו מספר איברים==
בהוכחה של מה שכתבתי בכותרת, לוקחים B1 בסיס של V עם n איברים, ו-B2 בסיס של V ומוכיחים שגם בו n איברים. בהתחלה מוכיחים שיש ב-B2 לכל היותר n איברים.

לאחר מכן אומרים שאם B2 מכיל פחות מ-n איברים אז B1 תלוי לינארית. למה?

תודה מראש!
:יש משפט חשוב שהיה בהרצאה שאומר שאם A פורשת וB בת"ל, אז |A| גדול שווה מ |B|. אז שמתי לב שיש דרך יותר קלה להוכיח שבכל בסיס יש אותו מספר איברים, מאשר הדרך שהמרצה הוכיח אותה- פשוט אומרים שאם יש 2 בסיסים A וB, אזי A פורשת וB בת"ל (ולכן|A| גדול שווה מ |B|) וגם B פורשת וA בת"ל ולכן (ולכן ההפך מקודם) ולכן |A| = |B|.

::תודה על התשובה המהירה! אמנם זו הוכחה פשוטה וקצרה, אבל גם ההוכחה של המרצה קצרה מאוד. רק לא הבנתי למה זה נכון: "אם B2 מכיל פחות מ-n איברים אז B1 תלוי לינארית".

:::זו אינה דרך קלה יותר- אתה פשוט מסתמך על ההוכחה הכבידה במהלך ההוכחה הקלה. תשים לב לסדר הוכחות המשפטים.

===תשובה===
משתמשים בהוכחה בלמת ההחלפה של שטייניץ (עמוד 39 למטה בחוברת). הרעיון הוא שאתה יכול להחליף את האיברים מB1 על ידי איברים מB2. בלשב מסויים יהיו בB1 כל האיברים מB2 ועוד כמה איברים אחרים. מכיוון שB2 פורסת, האיברים הנוספים האלה תלויים בקודמיהם ולכן B1 ת"ל.

:תודה!

==שאלה בדירוג מטריצה לבדיקת תלות לינארית==
כשמדרגים מטריצה לבדיקת תלות לינארית של איברים, אם מגיעים לשורת אפסים זה אומר שהאיברים הם בת"ל או ת"ל? רק כדי להיות בטוח. תודה רבה!

===תשובה===
ת"ל לינארית כמובן. כי זה אומר שיש צירוף לינארי לא טריוויאלי של השורות שהתאפס (וגם שמימד מרחב השורות קטן ממספר האיברים בקבוצה ולכן בהכרח היא ת"ל).
:תודה על הכל!

==דרך הפתרון ל7.9==
איך צריכים לפתור את השאלה? האם צריך להגיד ש
(x1,x2,x3,x4,x5) = a(1,2,3,4,5) +b(5,4,3,2,1)+...
ואז להראות שיש פתרון כללי ולכן הקבוצה הנתונה פורשת את R5?
או שיש דרך אחרת יותר קלה? תודה.

===תשובה===
למדנו שלמטריצות שקולות שורה יש את אותו מרחב שורה. מספיק לשים את הוקטורים בשורות מטריצה ולדרג.

למדנו גם שהשורות השונות מאפס בצורה המדורגת של המטריצה מהוות בסיס למרחב השורות (זה לצורך חישוב מימד במקרה הזה, כי מבקשים בסיס שמוכל בבסיס המקורי, ולא בסיס כלשהו).
:תודה. אבל תמיד מדרגים מטריצה כדי לבדוק תלות לינארית, לא האם קבוצה היא פורשת! הצלחתי בעזרת דירוג לפתור את ב', אך איך אנמק שהחמישיות פורשות את R5 בעזרת דירוג מטריצות? תודה.
::אם שמת את כל הוקטורים בששת שורות מטריצה, ואחרי דירוג הראת שהמטריצה פורשת את <math>\mathbb{R}^5</math> הרי שששת הוקטורים פורסים את המרחב גם. לפי השלישי חינם כל 5 וקטורים בת"ל ב<math>\mathbb{R}^5</math> פורשים אותו.
:::אה נכון, בעזרת השלישי חינם! תודה וסליחה על בוֹרוּת.

==בקשה==
אני מבקש מכל מי ששואל שאלה\עונה תשובה לעשות את הכותרת שלו בדרגה 2, כלומר כך למשל:
'==שאלה=='
ולא כך:
'=שאלה='
אחרת זה משרשר חדש(כי זה בדרגת כותרת של '=שאלות='), וזה נורא מציק לעין, תודה!
:לא עדיף שתדגישו את זה בהוראות? (ואולי גם כהודעה בעמוד הראשי - כאן מעט מאוד יראו את זה).

::לא אני כתבתי את ההערה.--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:20, 19 באוגוסט 2010 (IDT)
::ובכל אופן, אני לא רואה איך אפשר להפוך את ההוראות לברורות יותר, אשמח להצעות.

==שאלה על בסיסים ומ"וים==
האם ניתן להגיד (או האם זה נכון בכלל) שאם ל2 מרחבים וקטוריים יש בדיוק את אותו בסיס מסוים, (כלומר מצאתי קבוצה שהיא בסיס לשניהם) אזי המרחבים זהים (הם אותו מרחב וקטורי)? אם כן, האם אפשר לכתוב את זה בלי הוכחה או שצריך לכתוב הוכחה? אם צריך לכתוב הוכחה, איך מוכיחים את זה? תודה רבה.

===תשובה===
זה טריוויאלי, אבל אם אתה רוצה להוכיח:

B בת"ל בסיס לV אם"ם spanB=V (לפי הגדרה). אם בנוסף B בסיס לU אזי spanB=U מכאן נובע V=U.
::תודה!

==שאלה==
האם הסקלרים בכל צירוף לינארי כלשהוא חייבים להיות גדולים מאחד? (ובפרט בצירופים הלינאריים שבspan?)

===תשובה===
בשום צורה '''לא'''. הסקלרים הם סקלרים '''כלשהם''' מהשדה.

==שאלה==
האם כל span כולל את אפס?
===תשובה===
כן כל span הוא תת מרחב וקטורים.

הסבר אחר: span הוא אוסף כל הצירופים הלינאריים, בפרט הצ"ל הטריוויאלי - כלומר כל הסקלרים הם אפסים

== 7.20 ==

אפשר קצת הסבר על השאלה? אני לא יודע איך להסתכל על זה..מה עוזר לי הנתון שV מ"ו מעל שדה F?ואיך זה בדיוק
מתקשר למימד?? אם אפשר קצת רמזים..

===תשובה===
תמיד חשוב לזכור את ההגדרות - מימד הוא מספר האיברים בבסיס.

אני אתן דוגמא, מקווה שזה יעזור:

ניקח <math>V=\mathbb{C}^2,F=\mathbb{C},H=\mathbb{R}</math>. אפשר לראות שF הוא מרחב וקטורי מעל H עם הבסיס <math>\{1,i\}</math> שכן כל מספר מרוכב הוא מהצורה <math>a\cdot 1+b\cdot i</math> כאשר a,b ממשיים ובוודאי הסכום הזה מתאפס רק אם a=b=0. לכן הקבוצה הנ"ל פורשת ובת"ל ולכן היא בסיס. לכן F הוא ממימד 2 מעל H (כי יש 2 איברים בבסיס).

V הוא הוא ממימד 2 מעל F (זה ברור). נמצא לו בסיס מעל H: <math>\{(1,0),(i,0),(0,1),(0,i)\}</math> ואכן אנו רואים שV הוא ממימד 4=2x2 מעל H.

==שאלה==
אם אני יודע ש:
v מרחב וקטורי נוצר סופית,<math>B\subseteq V</math> ובנוסף:
*<math>sp(B)=V</math>
*B בת"ל.
אז אני יכול להגיד ש-B בסיס עבור V?

===תשובה===
כן. זו ההגדרה של בסיס. Span(B)=V (פורש) ובת"ל

==שאלה 7.10==
העברתי את המטריצות לעמודות, ודירגתי את המטריצה שהתקבלה.
יצאו לי ארבע שורות אפסים, האם זה אומר שהן תלויות לינארית ?
איך מנמקים את זה?

===תשובה===
השאלה היא לא כמה שורות אפסים יש, אלא כמה משתנים חופשיים יש. אם קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת Ax=0 אזי עמודות A תלויות לינארית.

== שאלה ==
איך מוכיחים שקבוצה היא פורשת? ואיך מוצאים בסיס לקבוצה?

===תשובה===
למדנו שמרחבי השורות של מטריצות שקולות שורה הם זהים. לכן על מנת למצוא בסיס לקבוצת וקטורים יש '''לשים אותם בשורות''' מטריצה '''ולדרג''' את המטריצה. '''בצורה המדורגת של המטריצה, השורות השונות מאפס מהוות בסיס''' למרחב השורות.

הspan של הקבוצה הוא כמובן הspan של השורות השונות מאפס בצורה המדורגת. כך ניתן לדעת מה הקבוצה פורשת (קבוצה תמיד פורשת את הspan שלה - זו ההגדרה).

כאשר יש מרחב וקטורי של פולינומים או מטריצות - מעבירים אותו לצורה וקטורית פשוטה כמו בתרגיל לדוגמא שפרסמנו בעמוד הראשי.

==שאלה על מימדים==
מה המימד של המרחב הוקטורי המכיל רק 0? האם סכום ישר אומר שהחיתוך נותן 0? כי אם כך אז המימד של {(a,b,0,0) סכום ישר (0a,0,d,c)} שווה לסכום המימדים שהוא 4, פחות מימד החיתוך שהוא 1, לא? אזי מימד הסכום שווה ל3 אבל הוא באמת שווה ל-4. מה הולך פה?

===תשובה===
המימד של מרחב האפס {0} הוא אפס. הבסיס שלו הוא הקבוצה הריקה.

==שאלה כללית==
האם שורותיה של מטריצה בדורגת הם בהכרח בת"ל?

===תשובה===
שורותיה השונות מאפס של מטריצה מדורגת הן בהכרח בת"ל. אף שורה איננה צ"ל של קודמותיה, כי יש לה אפסים במקומות בהם יש לשורות הקודמות איברים פותחים.

==שאלה==
האם אני יכול להגיד את הדבר הבא?
<math>span(A+B)=span(span(A\cup B))=span(A\cup B)=A\cup B=span(A)\cup span(B)</math>
תודה מראש...

===תשובה===
לא. האיחוד של תתי מרחבים לרוב אינו תת מרחב. שאלה זו מופיעה בתרגיל 3, והפרכתה נמצאת בפתרונות.

המעבר הראשון הלא חוקי (משמאל לימין) הוא שאפשר להוריד את הspan ולהשאיר שיוויון. מה פתאום הspan של קבוצה שווה לקבוצה? הרי הקבוצה יכולה להיות סופית, ואוסף כל הצירופים הלינאריים הוא אינו סופי (מעל שדה אינסופי כמובן)

== שאלה ==
1.אם (V1,v2...vn) וקטורים בת"ל וגם (u1,u2,...,un) וקטורים בת"ל ומתקיים ש:
v1=a1u1+a2u2...anun,...,vn=b1u1+b2u2+...+bnun , אני יכולה להגיד ש {a1,...,an}..{b1,...,bn הם בת"ל?

2. מטריצת מעבר היא חייבת להיות ריבועית?

===תשובה===
1. סקלרים לא יכולים לעולם להיות בת"ל. ההגדרה של בת"ל תקפה רק לגבי וקטורים.

2. כן. כי הרי יש בה n עמודות (מספר האיברים בבסיס B) שכל אחת מהן באורך n (מספר האיברים בבסיס C). הרי מספר האיברים זהה בכל הבסיסים.

:לגבי 1. אני לא מבינה! הרי כן אפשר להסתכל על כוקטורי עמודה {a1,..,an},{b1,...,bn ולשאול האם הם תלויים לינארית?

::הסימון עם סוגריים מסולסלים מסמן קבוצה, ולא וקטור עמודה. את מתכוונת ל<math>(a_1,...,a_n),(b_1,...,b_n)</math>? (כלומר, 2 וקטורי קואורדינטות) אה.. אני בכלל מבין עכשיו את הטעות בסימון. מהם הסקלרים שבין a ל b?

::אני מניח שהתכוונת ל
::<math>v_i=a_{1i}u_1+...+a_{ni}u_n</math> ואז השאלה אם הקבוצה <math>\{(a_{1i},...,a_{ni})|1\leq i \leq n\}</math> היא בת"ל. אבל זה בדיוק השאלה בשיעורי הבית. צריך להוכיח את זה.

::רמז: ההעתקה מv לקואורדינטות של v לפי בסיס מסוים, הינה העתקה לינארית.

== שאלה לתשובה ==

רציתי לשאול עוד בנושא, נניח ואני מגיעה לכך ש <math>{a1u1+...anun},{b1u1+..+bnun},...,{c1u1+..+cnun}</math> שונים מאפס ובת"ל.
האם אני יכולה להסיק ש <math>{a1..an},{b1..bn},...,{c1..cn}</math> חייבים להיות שונים מ0 ובת"ל?

==שאלה 2 בדף המצורף==
כל מספר מסוים של וקטורים מתוך מרחב מסוים שהם בת"ל הם בהכרח גם בסיס של אותו המרחב?

===תשובה===
בוודאי שלא. בסיס הוא '''פורש''' וגם '''בת"ל'''. אחד התנאים בלבד אינו מספיק. מספר הוקטורים היחיד שיכול להיות בבסיס הוא המימד של המרחב.

לדוגמא:
<math>\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3</math> בת"ל אבל לא בסיס.

אבל (ואולי לזה התכוונת) אם ניקח קבוצה בת"ל עם מספר וקטורים כגודל המימד של המרחב היא אכן תהיה בסיס תודות למשפט השלישי חינם.

==שאלה 6.4א==
בשאלה מבקשים לוהכיח שאם חיתוך של שני ספאנים שונה מאפס, אבל כל ספאן יוצר צירוף לינארי מתאפס, אז הטענה בכלל לא יכולה להיות נכונה, האם זה בעיה בתרגיל?

===תשובה===
<math>\{0,1\}\neq \{0\}</math>

===שאלה על התשובה===
את/ה יכול/ה לתת דוגמא ל2 קבוצות שמקיימות את התנאי הזה?

====דוגמא====
ניקח <math>B=\{(1,0,1),(1,0,-1)\},A=\{(1,0,0),(0,1,0)\}\subseteq \mathbb{R}^3</math>

<math>span(A)\cap span(B) = span\{(1,0,0)\}\neq \{0\}</math>

במילים: יש צירוף לינארי של A וצירוף לינארי של B ששניהם שווים זה לזה אבל שונים מאפס.

== שאלה 3 ב בבוחן ==
שלום, לא הבנתי למה הזווית של 1+i היא בדיוק פי חלקי ארבע? מה החישוב שעושים?

===תשובה===
במישור המרוכב זו הנקודה (1,1) שנמצאת בדיוק על הקו הישר x=y שנמצא בזוית 45 מעלות (כי הוא חוצה את הזוית הישרה בין הצירים). אם זה לא מספיק ברור, גם <math>tg(\theta)=\frac{b}{a}=\frac{1}{1}=1</math> ולכן <math>\theta = \frac{\pi}{4}</math>

== שאלה 1 ב' בבוחן ==
בפתרונות כתוב שאם נדרג נמצא שורת סתירה עבור a=0ולכן אין פיתרון.
דרגתי כמה וכמה פעמים ואני לא מוצאת שום שורת סתירה!
אני כן מחלקת בa כחלק מהפעולות אלמנטריות אבל כשאני רוצה להוכיח שבאמת אין פיתרון עבור a=0 אני לא מצליחה!
אתה יכול לפרט יותר?

===תשובה===
אסור לחלק בa כחלק מהפעולות האלמנטריות כאשר בודקים את המקרה a=0 זה מקור הטעות.

תציבי במטריצה '''המקורית''' a=0 ותראי לאן את מגיעה.
אוקי תודה!

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-21T09:19:58Z

Nimrod: /* שאלות */

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-21T09:18:10Z

Nimrod: /* שאלות */

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-20T17:36:22Z

Nimrod: /* שאלה כללית */

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-20T17:35:45Z

Nimrod: /* 8.2.1/2 */

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-20T17:19:30Z

Nimrod: /* שאלות */

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-20T16:58:06Z

Nimrod: /* שאלות */

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-19T19:31:59Z

Nimrod: /* תשובה */

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-19T19:31:27Z

Nimrod: /* בקשר ל 6.5 */

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-19T19:19:26Z

Nimrod: /* שאלות */

בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-16T17:50:43Z

Nimrod: /* תשובה */

<math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - תרגיל 3

=שאלות=
== שאלה בקשר ל 5 א==
האם צריך לפרט את האיחודים והחיתוכים של הקבוצות שבתוך העוצמות? אם כן מותר לי לומר ישירות ש B איחוד עם C משלים שווה ל C משלים או שצריך להסביר למה? אם צריך להסביר אשמח אם מישהו יוכל לעזור לי להסביר בצורה שתתקבל כחלק מהוכחה. תודה

===תשובה===
זה לא תמיד נכון, למשל לקבוצות סופיות, דוגמה:
<math>|C|=|\mathbb{Z^-}|</math>,<math>|B|=|\mathbb{N}|</math>
מתקיים <math>|B|=|C|=\aleph_0</math> כמו כן מתקיים גם<math>B\cap C=\phi</math>
אבל במקרה הזה B איחוד C משלים לא חייב ליהיות שווה C משלים, כי זה איחוד לא זר. אבל אני לא בטוח בתשובה שלי... אז אל תסתמך...
===התשובה שלך שגוייה===
יש טעות בדבריך המשלים של C במקרה זה הוא כל השלמים האי שליליים (או אם אני לוקח את המשלים מתוך R אז כל המספרים שאינם שלמים ושליליים) קבוצה זו בהכרח מכילה את B ולכן האיחוד בניהן יהיה שווה לC משלים...
הטענה הזו היא נכונה במאה אחוזים (א זה לא ברור אפשר לראות את זה לפי דאגרמות וון בשביל להבין את הנכונות) השאלה שלי אם אני צריך להסביר את השלב הזה... אשמח לתשובה של מתרגל

==שאלה 6א'==
האם אפשר להגיד שאם A מוכלת בB וA אינסופית אז יש פונקציה חח"ע מA לB?
ואז בהכרח B אינסופית
<כלומר B לא סופית>..
הסעיף הזה די טריוויאלי, אז באיזו דרך מצפים שנוכיח אותו?
:בערך כמו שאמרת, נראה לי.. (אני לא מתרגל).

==שאלה 6ד'==
אפשר להשתמש בסעיף ג' כדי להוכיח? ואם לא- מה אם B קבוצה ריקה-לא נקבל שיש רק פונקציה אחת בקבוצת הפונקציות?

==שאלה על עוצמות==
A|+|B|=|D|+|C|
נתון העוצמה של B שווה לעוצמה של C. האם העוצמה של D שווה לעוצמה של A?
לא בהכרח למשל א+1=א+2=א אבל 2לא שווה ל-1...

==שאלה 3==
אפשר להוכיח ע"י דוגמא? כי מבקשים להראות שקיימת, אז אם אני מראה שיש לפחות פונקציה אחת כזו זה מספיק?

===תשובה===
אתה צריך להוכיח שלכל |A|=|B| יש פונקציה חח"ע שהיא לא על, כלומר אם אתה נותן דוגמה עבור |A|=|B| כלשהם זה לא מספיק(אלא אם כן אתה מתכוון לתת דוגמה עבור כל |A|=|B| שזה כידוע לך בלתי אפשרי...) כלומר אם ברצונך להוכיח את המשפט אתה חייב לעשות את זה באופן כללי, אבל '''להפריך''' אתה יכול בעזרת דוגמה...
:: זאת את, ותודה רבה :)

==שאלה כללית==
מה העוצמה של חיבור של <math>\aleph_0</math> קבוצות כאשר כל קבוצה עוצמתה <math>\aleph</math>? (כולן זרות)
זה כמו א כפול אלף אפס שווה לאלף

==תכונות של חזקת עוצמות==
אחד המתרגלים יכול להעלות הוכחה לכל התכונות של חזקת עוצמות?

אומנם שי הוכיח את התכונות בהרצאה אך בצורה מאוד לא מפורטת...תודה!

==שאלה 9ב' *עדיין צריך עזרה בבקשה*==
האם מותר לי להגדיר פו' g מ-C ל-A בחזקת B (הפו' מB לA) ע"י כך ש(קראו לאט, הניסוח אולי מסובך) g(c) = Gc(b) a (הוספתי את הa כדי לתקן את הבעיות בעברית-אנגלית, הוא לא אמור להיות שם) כאשר Gc היא פו' מB לA ומוגדרת ע"י Gc(b) = b*c ? מותר לי להגדיר ככה את הפונקציות, או שאולי אסור להגדיר אותן ככה כי אז אני מניח שהקבוצה A היא קבוצת המכפלות של איברים מB ומC? תודה.

==איפה נמצא תרגיל 10א?==
:מה לא מספיק לך ב' ג' וד'?

==שאלה 3==

(האם מדובר בקבוצות אינסופיות), אם אני נותן דוג' נגדית של קבוצה סופית, האם זאת הפרכה או שצריך להראות גם בקבוצות אינסופיות

'''תשובה'''

לא הוגדר בשום מקום את גודל הקבוצות, לכן אתה רשאי להניח כל סוגי הקבוצות בדוגמא נגדית. (גרישה אושרוביץ')

==שאלה כללית==
כמה פונקציות יש מקבוצה ריקה לקבוצה לא ריקה?
:1 (זו [http://en.wikipedia.org/wiki/Empty_function הפונקציה הריקה]).

==שאלה 6,7==
בשאלה 6 א',ב' אפשר פשוט להגיד שהעוצמה של A קטנה או שווה לעוצמה של B ולכן בB צריכים ליהיות אינסוף איברים?מה זה סדרה עולה?

'''תשובה'''

* שאלה 6: לא, צריך להראות זאת במפורש, כלומר להוכיח ש-B לא יכולה להיות קב' סופית.
* שאלה 7: ראה תשובה למטה.
(גרישה אושרוביץ')

== שאלה==
האם <math>
|A \setminus B | = |A | - |A \cap B |
</math> נכון בעבור עוצמות?

מותר לי להשתמש בזה בלי לנמק?

===תשובה===
לא. זה כלל לא נכון לגבי עוצמות.
לא הגדרנו כלל את סימן המינוס בעוצמות (למעט עוצמות סופיות)
קח לדוגמא את <math>A=\mathbb{Q}</math> ו<math>B=\mathbb{N}</math>, אז לכאורה לפי הטענה שלך,
<math>|A \setminus B|=\aleph_0-\aleph_0=0</math>?[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:35, 16 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 5==
מה ההגדרה של הפרש עוצמות?

===תשובה===
לא הגדרנו הפרש עוצמות. בשאלה 5 מופיעה העוצמה של הפרש קבוצות. הפרש קבוצות הגדרנו. ההפרש כשלעצמו הוא קבוצה שיש לה עוצמה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 11:13, 16 באוגוסט 2010 (IDT)

'''מה זה הפרש קבוצות-a\b ?'''
:<math>A\setminus B=A-B=A\cap \overline B</math>

==שאלה 8==
איך יודעים מה ההבדל בין גדולה "סתם" לגדולה "ממש"?

'''תשובה:
'''
גדולה ממש זה גדולה ולא שווה. <math>|A|<|B|</math>
בתרגיל הנ"ל מבקשים קבוצה שעוצמת גדולה מעוצמת הרצף ובנוסף שלא תהיה שווה לה.

==צריך להוכיח?==
האם צריך להוכיח ש-<math>|A\setminus B|\le|A|</math> לכל שתי קבוצות A,B, או שזה נחשב טריוויאלי?

===תשובה===
זה נובע מכך ש<math>A \setminus B \subseteq A</math> ולכן זה די טריוויאלי. כעיקרון אפשר להעיר בקצרה ואין צורך ממש להוכיח את זה על מנת להשתמש בעובדה הזו אלא אם זה מה שאתם מתבקשים להוכיח. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 20:40, 15 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלות 4,6,7,8 ושאלה כללית על שאלות 1,3,5,9,10==
* בשאלה 4: לא הבנתי את הרמז, מה זה <math>1/n</math>? ומהו הישר הממשי?
* בשאלה 6-ד': מהי הקבוצה B? (אינסופית/סופית? האם היא יכולה להיות קבוצה ריקה?)
* בשאלה 7: מהי קבוצת כל הסדרות העולות של המספרים הטבעיים?
* בשאלה 8: מהי עוצמת הרצף?
* שאלה כללית: העוצמות הכלליות שיש בשאלות שבתרגיל זה הן אינסופיות או סופיות (כמו העוצמות בשאלות 1,3,5,9,10)

'''תשובה'''

* שאלה 4: הישר הממשי הוא דימוי הניתן לקבוצה <math>\R</math> שהיא קבוצת כל המספרים הממשיים. לדוגמא, ציר ה- x: <math>(-\infin,\infin)</math>
* שאלה 6: אם לא נתון אפיון של B, תבדוק את כל האפשרויות.
* שאלה 7: סדרות של מספרים טבעיים בהן איבר ה-n-י גדול מהאיבר ה- n-1. למשל: {...,1,2,3,4,5} או {...,10,20,40,80}
* שאלה 8: עוצמת הרצף היא העוצמה של המספרים הממשיים. עוצמת הרצף מסומנת באות <math>\aleph</math>.
* שאלה כללית: אם לא נאמר אחרת, עוצמה יכולה להיות כלשהי.
(גרישה אושרוביץ')

==תרגיל 4 שאלה 4==
מהו הישר הממשי? תודה, גל.
==שאלה 5==
בסעיף א', מתכוונים ל |a|-|b| = |a| - |c| במקום ל |a-b| = |a-c| לא? כי אין דבר כזה הפרש בין קבוצות (הפרש עם קו אנכי)..?
:<math>A-B=A\setminus B</math> לכל שתי קבוצות A,B. אלה שני סימונים שונים להפרש קבוצות.

'''תשובה'''

הכוונה ל- <math>|A\setminus B|=|A\setminus C|</math> (גרישה אושרוביץ')
==חיתוך==
אם ידוע לי ש-<math>A\setminus B=A\setminus C</math>
אני יכולה להסיק מזה שB=C?
:לא: <math>A=\{1,2\}\and B=\{1\}\and C=\{0,1\}\implies A\setminus B=\{1,2\}\setminus\{1\}=\{2\}=\{1,2\}\setminus\{0,1\}=A\setminus C</math>
::התבלבלתי זה היה אמור להיות שB וC מוכלים בA.. ואז אני חושבת שזה נכון. אבל תודה :)
:::אם <math>B,C\subseteq A</math> אז
:::<math>\begin{align}&A\setminus B=A\setminus C\\\implies&A\cap B'=A\cap C'\\\implies&A'\cup(A\cap B')=A'\cup(A\cap C')\\\implies&(A'\cup A)\cap(A'\cup B')=(A'\cup A)\cap(A'\cup C')\\\implies&(A\cap B)'=(A\cap C)'\\\implies&A\cap B=A\cap C\\\implies&B=C\qquad\Big(\text{because }B,C\subseteq A\Big)\\\blacksquare\end{align}</math>

תודה!

בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-16T16:47:47Z

Nimrod: /* שאלות */

<math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 3| ארכיון 3]]''' - תרגיל 3

=שאלות=
== שאלה בקשר ל 5 א==
האם צריך לפרט את האיחודים והחיתוכים של הקבוצות שבתוך העוצמות? אם כן מותר לי לומר ישירות ש B איחוד עם C משלים שווה ל C משלים או שצריך להסביר למה? אם צריך להסביר אשמח אם מישהו יוכל לעזור לי להסביר בצורה שתתקבל כחלק מהוכחה. תודה
==שאלה 6א'==
האם אפשר להגיד שאם A מוכלת בB וA אינסופית אז יש פונקציה חח"ע מA לB?
ואז בהכרח B אינסופית
<כלומר B לא סופית>..
הסעיף הזה די טריוויאלי, אז באיזו דרך מצפים שנוכיח אותו?
:בערך כמו שאמרת, נראה לי.. (אני לא מתרגל).

==שאלה 6ד'==
אפשר להשתמש בסעיף ג' כדי להוכיח? ואם לא- מה אם B קבוצה ריקה-לא נקבל שיש רק פונקציה אחת בקבוצת הפונקציות?

==שאלה על עוצמות==
A|+|B|=|D|+|C|
נתון העוצמה של B שווה לעוצמה של C. האם העוצמה של D שווה לעוצמה של A?
לא בהכרח למשל א+1=א+2=א אבל 2לא שווה ל-1...

==שאלה 3==
אפשר להוכיח ע"י דוגמא? כי מבקשים להראות שקיימת, אז אם אני מראה שיש לפחות פונקציה אחת כזו זה מספיק?

==תשובה==
אתה צריך להוכיח שלכל |A|=|B| יש פונקציה חח"ע שהיא לא על, כלומר אם אתה נותן דוגמה עבור |A|=|B| כלשהם זה לא מספיק(אלא אם כן אתה מתכוון לתת דוגמה עבור כל |A|=|B| שזה כידוע לך בלתי אפשרי...) כלומר אם ברצונך להוכיח את המשפט אתה חייב לעשות את זה באופן כללי, אבל '''להפריך''' אתה יכול בעזרת דוגמה...

==שאלה כללית==
מה העוצמה של חיבור של <math>\aleph_0</math> קבוצות כאשר כל קבוצה עוצמתה <math>\aleph</math>? (כולן זרות)
זה כמו א כפול אלף אפס שווה לאלף

==תכונות של חזקת עוצמות==
אחד המתרגלים יכול להעלות הוכחה לכל התכונות של חזקת עוצמות?

אומנם שי הוכיח את התכונות בהרצאה אך בצורה מאוד לא מפורטת...תודה!

==שאלה 9ב' *עדיין צריך עזרה בבקשה*==
האם מותר לי להגדיר פו' g מ-C ל-A בחזקת B (הפו' מB לA) ע"י כך ש(קראו לאט, הניסוח אולי מסובך) g(c) = Gc(b) a (הוספתי את הa כדי לתקן את הבעיות בעברית-אנגלית, הוא לא אמור להיות שם) כאשר Gc היא פו' מB לA ומוגדרת ע"י Gc(b) = b*c ? מותר לי להגדיר ככה את הפונקציות, או שאולי אסור להגדיר אותן ככה כי אז אני מניח שהקבוצה A היא קבוצת המכפלות של איברים מB ומC? תודה.

==איפה נמצא תרגיל 10א?==
:מה לא מספיק לך ב' ג' וד'?

==שאלה 3==

(האם מדובר בקבוצות אינסופיות), אם אני נותן דוג' נגדית של קבוצה סופית, האם זאת הפרכה או שצריך להראות גם בקבוצות אינסופיות

'''תשובה'''

לא הוגדר בשום מקום את גודל הקבוצות, לכן אתה רשאי להניח כל סוגי הקבוצות בדוגמא נגדית. (גרישה אושרוביץ')

==שאלה כללית==
כמה פונקציות יש מקבוצה ריקה לקבוצה לא ריקה?
:1 (זו [http://en.wikipedia.org/wiki/Empty_function הפונקציה הריקה]).

==שאלה 6,7==
בשאלה 6 א',ב' אפשר פשוט להגיד שהעוצמה של A קטנה או שווה לעוצמה של B ולכן בB צריכים ליהיות אינסוף איברים?מה זה סדרה עולה?

'''תשובה'''

* שאלה 6: לא, צריך להראות זאת במפורש, כלומר להוכיח ש-B לא יכולה להיות קב' סופית.
* שאלה 7: ראה תשובה למטה.
(גרישה אושרוביץ')

== שאלה==
האם <math>
|A \setminus B | = |A | - |A \cap B |
</math> נכון בעבור עוצמות?

מותר לי להשתמש בזה בלי לנמק?

===תשובה===
לא. זה כלל לא נכון לגבי עוצמות.
לא הגדרנו כלל את סימן המינוס בעוצמות (למעט עוצמות סופיות)
קח לדוגמא את <math>A=\mathbb{Q}</math> ו<math>B=\mathbb{N}</math>, אז לכאורה לפי הטענה שלך,
<math>|A \setminus B|=\aleph_0-\aleph_0=0</math>?[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:35, 16 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 5==
מה ההגדרה של הפרש עוצמות?

===תשובה===
לא הגדרנו הפרש עוצמות. בשאלה 5 מופיעה העוצמה של הפרש קבוצות. הפרש קבוצות הגדרנו. ההפרש כשלעצמו הוא קבוצה שיש לה עוצמה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 11:13, 16 באוגוסט 2010 (IDT)

'''מה זה הפרש קבוצות-a\b ?'''
:<math>A\setminus B=A-B=A\cap \overline B</math>

==שאלה 8==
איך יודעים מה ההבדל בין גדולה "סתם" לגדולה "ממש"?

'''תשובה:
'''
גדולה ממש זה גדולה ולא שווה. <math>|A|<|B|</math>
בתרגיל הנ"ל מבקשים קבוצה שעוצמת גדולה מעוצמת הרצף ובנוסף שלא תהיה שווה לה.

==צריך להוכיח?==
האם צריך להוכיח ש-<math>|A\setminus B|\le|A|</math> לכל שתי קבוצות A,B, או שזה נחשב טריוויאלי?

===תשובה===
זה נובע מכך ש<math>A \setminus B \subseteq A</math> ולכן זה די טריוויאלי. כעיקרון אפשר להעיר בקצרה ואין צורך ממש להוכיח את זה על מנת להשתמש בעובדה הזו אלא אם זה מה שאתם מתבקשים להוכיח. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 20:40, 15 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלות 4,6,7,8 ושאלה כללית על שאלות 1,3,5,9,10==
* בשאלה 4: לא הבנתי את הרמז, מה זה <math>1/n</math>? ומהו הישר הממשי?
* בשאלה 6-ד': מהי הקבוצה B? (אינסופית/סופית? האם היא יכולה להיות קבוצה ריקה?)
* בשאלה 7: מהי קבוצת כל הסדרות העולות של המספרים הטבעיים?
* בשאלה 8: מהי עוצמת הרצף?
* שאלה כללית: העוצמות הכלליות שיש בשאלות שבתרגיל זה הן אינסופיות או סופיות (כמו העוצמות בשאלות 1,3,5,9,10)

'''תשובה'''

* שאלה 4: הישר הממשי הוא דימוי הניתן לקבוצה <math>\R</math> שהיא קבוצת כל המספרים הממשיים. לדוגמא, ציר ה- x: <math>(-\infin,\infin)</math>
* שאלה 6: אם לא נתון אפיון של B, תבדוק את כל האפשרויות.
* שאלה 7: סדרות של מספרים טבעיים בהן איבר ה-n-י גדול מהאיבר ה- n-1. למשל: {...,1,2,3,4,5} או {...,10,20,40,80}
* שאלה 8: עוצמת הרצף היא העוצמה של המספרים הממשיים. עוצמת הרצף מסומנת באות <math>\aleph</math>.
* שאלה כללית: אם לא נאמר אחרת, עוצמה יכולה להיות כלשהי.
(גרישה אושרוביץ')

==תרגיל 4 שאלה 4==
מהו הישר הממשי? תודה, גל.
==שאלה 5==
בסעיף א', מתכוונים ל |a|-|b| = |a| - |c| במקום ל |a-b| = |a-c| לא? כי אין דבר כזה הפרש בין קבוצות (הפרש עם קו אנכי)..?
:<math>A-B=A\setminus B</math> לכל שתי קבוצות A,B. אלה שני סימונים שונים להפרש קבוצות.

'''תשובה'''

הכוונה ל- <math>|A\setminus B|=|A\setminus C|</math> (גרישה אושרוביץ')
==חיתוך==
אם ידוע לי ש-<math>A\setminus B=A\setminus C</math>
אני יכולה להסיק מזה שB=C?
:לא: <math>A=\{1,2\}\and B=\{1\}\and C=\{0,1\}\implies A\setminus B=\{1,2\}\setminus\{1\}=\{2\}=\{1,2\}\setminus\{0,1\}=A\setminus C</math>
::התבלבלתי זה היה אמור להיות שB וC מוכלים בA.. ואז אני חושבת שזה נכון. אבל תודה :)
:::אם <math>B,C\subseteq A</math> אז
:::<math>\begin{align}&A\setminus B=A\setminus C\\\implies&A\cap B'=A\cap C'\\\implies&A'\cup(A\cap B')=A'\cup(A\cap C')\\\implies&(A'\cup A)\cap(A'\cup B')=(A'\cup A)\cap(A'\cup C')\\\implies&(A\cap B)'=(A\cap C)'\\\implies&A\cap B=A\cap C\\\implies&B=C\qquad\Big(\text{because }B,C\subseteq A\Big)\\\blacksquare\end{align}</math>

בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-16T15:22:39Z

Nimrod: /* שאלה כללית */

<math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

=שאלות=

==שאלה על עוצמות==
A|+|B|=|D|+|C|
נתון העוצמה של B שווה לעוצמה של C. האם העוצמה של D שווה לעוצמה של A?
לא בהכרח למשל א+1=א+2=א אבל 2לא שווה ל-1...

==שאלה 3==
אפשר להוכיח ע"י דוגמא? כי מבקשים להראות שקיימת, אז אם אני מראה שיש לפחות פונקציה אחת כזו זה מספיק?

==שאלה כללית==
מה העוצמה של חיבור של <math>\aleph_0</math> קבוצות כאשר כל קבוצה עוצמתה <math>\aleph</math>? (כולן זרות)
זה כמו א כפול אלף אפס שווה לאלף

==תכונות של חזקת עוצמות==
אחד המתרגלים יכול להעלות הוכחה לכל התכונות של חזקת עוצמות?

אומנם שי הוכיח את התכונות בהרצאה אך בצורה מאוד לא מפורטת...תודה!

==שאלה 9ב'==
האם מותר לי להגדיר פו' g מ-C ל-A בחזקת B (הפו' מB לA) ע"י כך ש(קראו לאט, הניסוח אולי מסובך) g(c) = Gc(b) a (הוספתי את הa כדי לתקן את הבעיות בעברית-אנגלית, הוא לא אמור להיות שם) כאשר Gc היא פו' מB לA ומוגדרת ע"י Gc(b) = b*c ? מותר לי להגדיר ככה את הפונקציות, או שאולי אסור להגדיר אותן ככה כי אז אני מניח שהקבוצה A היא קבוצת המכפלות של איברים מB ומC? תודה.

==איפה נמצא תרגיל 10א?==
:מה לא מספיק לך ב' ג' וד'?

==שאלה 3==

(האם מדובר בקבוצות אינסופיות), אם אני נותן דוג' נגדית של קבוצה סופית, האם זאת הפרכה או שצריך להראות גם בקבוצות אינסופיות

'''תשובה'''

לא הוגדר בשום מקום את גודל הקבוצות, לכן אתה רשאי להניח כל סוגי הקבוצות בדוגמא נגדית. (גרישה אושרוביץ')

==שאלה כללית==
כמה פונקציות יש מקבוצה ריקה לקבוצה לא ריקה?
:1 (זו [http://en.wikipedia.org/wiki/Empty_function הפונקציה הריקה]).

==שאלה 6,7==
בשאלה 6 א',ב' אפשר פשוט להגיד שהעוצמה של A קטנה או שווה לעוצמה של B ולכן בB צריכים ליהיות אינסוף איברים?מה זה סדרה עולה?

'''תשובה'''

* שאלה 6: לא, צריך להראות זאת במפורש, כלומר להוכיח ש-B לא יכולה להיות קב' סופית.
* שאלה 7: ראה תשובה למטה.
(גרישה אושרוביץ')

== שאלה==
האם <math>
|A \setminus B | = |A | - |A \cap B |
</math> נכון בעבור עוצמות?

מותר לי להשתמש בזה בלי לנמק?

===תשובה===
לא. זה כלל לא נכון לגבי עוצמות.
לא הגדרנו כלל את סימן המינוס בעוצמות (למעט עוצמות סופיות)
קח לדוגמא את <math>A=\mathbb{Q}</math> ו<math>B=\mathbb{N}</math>, אז לכאורה לפי הטענה שלך,
<math>|A \setminus B|=\aleph_0-\aleph_0=0</math>?[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:35, 16 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 5==
מה ההגדרה של הפרש עוצמות?

===תשובה===
לא הגדרנו הפרש עוצמות. בשאלה 5 מופיעה העוצמה של הפרש קבוצות. הפרש קבוצות הגדרנו. ההפרש כשלעצמו הוא קבוצה שיש לה עוצמה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 11:13, 16 באוגוסט 2010 (IDT)

'''מה זה הפרש קבוצות-a\b ?'''
:<math>A\setminus B=A-B=A\cap \overline B</math>

==שאלה 8==
איך יודעים מה ההבדל בין גדולה "סתם" לגדולה "ממש"?

'''תשובה:
'''
גדולה ממש זה גדולה ולא שווה. <math>|A|<|B|</math>
בתרגיל הנ"ל מבקשים קבוצה שעוצמת גדולה מעוצמת הרצף ובנוסף שלא תהיה שווה לה.

==צריך להוכיח?==
האם צריך להוכיח ש-<math>|A\setminus B|\le|A|</math> לכל שתי קבוצות A,B, או שזה נחשב טריוויאלי?

===תשובה===
זה נובע מכך ש<math>A \setminus B \subseteq A</math> ולכן זה די טריוויאלי. כעיקרון אפשר להעיר בקצרה ואין צורך ממש להוכיח את זה על מנת להשתמש בעובדה הזו אלא אם זה מה שאתם מתבקשים להוכיח. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 20:40, 15 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלות 4,6,7,8 ושאלה כללית על שאלות 1,3,5,9,10==
* בשאלה 4: לא הבנתי את הרמז, מה זה <math>1/n</math>? ומהו הישר הממשי?
* בשאלה 6-ד': מהי הקבוצה B? (אינסופית/סופית? האם היא יכולה להיות קבוצה ריקה?)
* בשאלה 7: מהי קבוצת כל הסדרות העולות של המספרים הטבעיים?
* בשאלה 8: מהי עוצמת הרצף?
* שאלה כללית: העוצמות הכלליות שיש בשאלות שבתרגיל זה הן אינסופיות או סופיות (כמו העוצמות בשאלות 1,3,5,9,10)

'''תשובה'''

* שאלה 4: הישר הממשי הוא דימוי הניתן לקבוצה <math>\R</math> שהיא קבוצת כל המספרים הממשיים. לדוגמא, ציר ה- x: <math>(-\infin,\infin)</math>
* שאלה 6: אם לא נתון אפיון של B, תבדוק את כל האפשרויות.
* שאלה 7: סדרות של מספרים טבעיים בהן איבר ה-n-י גדול מהאיבר ה- n-1. למשל: {...,1,2,3,4,5} או {...,10,20,40,80}
* שאלה 8: עוצמת הרצף היא העוצמה של המספרים הממשיים. עוצמת הרצף מסומנת באות <math>\aleph</math>.
* שאלה כללית: אם לא נאמר אחרת, עוצמה יכולה להיות כלשהי.
(גרישה אושרוביץ')

==תרגיל 4 שאלה 4==
מהו הישר הממשי? תודה, גל.
==שאלה 5==
בסעיף א', מתכוונים ל |a|-|b| = |a| - |c| במקום ל |a-b| = |a-c| לא? כי אין דבר כזה הפרש בין קבוצות (הפרש עם קו אנכי)..?
:<math>A-B=A\setminus B</math> לכל שתי קבוצות A,B. אלה שני סימונים שונים להפרש קבוצות.

'''תשובה'''

הכוונה ל- <math>|A\setminus B|=|A\setminus C|</math> (גרישה אושרוביץ')
==חיתוך==
אם ידוע לי ש-<math>A\setminus B=A\setminus C</math>
אני יכולה להסיק מזה שB=C?
:לא: <math>A=\{1,2\}\and B=\{1\}\and C=\{0,1\}\implies A\setminus B=\{1,2\}\setminus\{1\}=\{2\}=\{1,2\}\setminus\{0,1\}=A\setminus C</math>
::התבלבלתי זה היה אמור להיות שB וC מוכלים בA.. ואז אני חושבת שזה נכון. אבל תודה :)
:::אם <math>B,C\subseteq A</math> אז
:::<math>\begin{align}&A\setminus B=A\setminus C\\\implies&A\cap B'=A\cap C'\\\implies&A'\cup(A\cap B')=A'\cup(A\cap C')\\\implies&(A'\cup A)\cap(A'\cup B')=(A'\cup A)\cap(A'\cup C')\\\implies&(A\cap B)'=(A\cap C)'\\\implies&A\cap B=A\cap C\\\implies&B=C\qquad\Big(\text{because }B,C\subseteq A\Big)\\\blacksquare\end{align}</math>

==תרגיל 3, שאלה 3==

כאשר מוכיחים הופכיות של פונקציה ע"י מציאת הפונקציה ההופכית, צריך להראות איך הגענו לפונקציה ההופכית, או שמספיק להראות רק שהיא אכן ההופכית? לדוגמה, נתונה <math>f(x)=x^2-1\and f:\mathbb C\to\mathbb C</math>. האם צריך להסביר למה <math>g(x)=\sqrt{x+1}\and g:\mathbb C\to\mathbb C</math> היא ההופכית לה מימין (ולמה g פונקציה ולא יחס שאינו פונקציה)? תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 19:59, 10 באוגוסט 2010 (IDT)

===תשובה===
בגדול, התשובה היא לא. לא תמיד יש אלגוריתם מובנה למציאת פונקצייה הופכית ואם עליתם עליה באיזושהי דרך, זה לא מאוד חשוב שתציינו איך עליתם עליה. וכן, כמובן אחרי שנתת את הפונקציה, אתה צריך להראות שהיא אכן ההופכית מימין לפונקצייה שאתה רוצה להוכיח שהיא הפיכה מימין. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 13:44, 12 באוגוסט 2010 (IDT)

==תרגיל 3. שאלה 2. סעיף א'==
האם אנחנו קובעים את a וb. אם לא אז איך אנחנו יודעים שמס' האיברים בb גדול שווה למס' האיברים בa?

==שאלה 1 סעיף ד'==

הכוונה היא שהטווח וגם התחום של הפונקציה הוא רק האיברים {0,1,2,3,4}?
או שאפשר לקחת (בטווח) גם את 6,7,8 וכן אלה כשהם במודולו 5?
ואם מדובר רק ב{0,1,2,3,4} בטווח, איך אפשר לדעת מה הולך למה?

'''תשובה'''

כן. הן טווח והן תחום הם <math>\mathbb{Z}_5</math>. לשאלתך, למשל <math>3^2=_5 4</math> (גרישה אושרוביץ')

==תשובה==
לדעתי, כל מה שבשדה <math>\mathbb{Z}_5</math> אחרת זאת לא פונקציה(אין הגדרה ל-<math>[x^2]</math> כאשר x=4 למשל)

==תרגיל 4 (מתרגיל 3)==

סעיף ו' ו-ה' דומים לחלוטין מלבד העובדה שב-ה' כתוב <math>f</math> וב-ו' כתוב<math>f^{-1}</math>
לא נתון כלום על <math>f</math> האם זה אומר שמותר לומר שנסמן את <math>f^{-1}=f</math> ואז ההוכחה שקולה להוכחת סעיף ה'?

'''תשובה'''

אני מציע לחשוב איזה תכונות מיוחדות יש ל-<math>f^{-1}</math> (גרישה אושרוביץ')

==שאלה==

אתם יכולים להזכיר איך בודקים חד ערכיות ושלמות?

תודה רבה!

:[[#שאלה על הגדרת הפונקציה]]

==שאלה 2==
אם אני מגדירה את הפונקציה G ככה זה בסדר?
<math>g(x)= (x/2,x+1/2)</math>
ככה שאני מקבלת זוג סדור <math>(a,b)</math>
כש<math>a=(x/2)</math>
ו<math>b=(x+1/2)</math>
אם לא- מישהו יכול לתת לי כיוון איך להגדיר את הפונקציה?
(וזה מה שאני צריכה לעשות-להגדיר פונקציה G ולהראות שהיא חח"ע?)

'''תשובה'''

את צריכה לוודא האם <math>x/2 \in A</math> וגם <math>x+1/2 \in B</math> (גרישה אושרוביץ')

==להוכיח שפונקציה היא על==

ראיתי את השאלות שלמטה והתשובות עליהן, ובכל זאת לא הבנתי איך להוכיח.

אם אי אפשר למצוא נוסחה למקור?

ראיתי בתשובות לבוחן שכדי להוכיח ש-f היא על, מספיק להוכיח ש-f הפיכה מימין, כלומר קיימת g מ-U ל-U כך ש-f הרכבה g היא פונקציית הזהות על U.

לא מצאתי במחברת שלי שום דבר על "הפיכה מימין" - אפשר בבקשה הסבר מה זה?

ואם מדובר פה על איזה משפט מוגדר, אז נוסח המשפט יעזור לי מאוד. לא מצאתי כזה במחברת.

===תשובה===
אם <math>g \circ f</math> חח"ע ועל אזי <math>f</math> חח"ע ו<math>g</math> על. בפרט, אם <math>g \circ f=id</math> אז היא חח"ע ועל.
כלומר, אם <math>g</math> היא הפיכה מימין (כלומר קיימת <math>f</math> כך ש<math>g \circ f=id</math>) אז <math>g</math> על.
אגב, הקושי למצוא נוסחא למציאת מקור עבור כל תמונה זהה לקושי במציאת פונקצייה מתאימה מימין. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:00, 8 באוגוסט 2010 (IDT)

:תודה על התשובה. מה זה id?

הקושי העיקרי שלי בלהוכיח "על" הוא ההסברה. כמעט שום הסבר לא נראה לי מספק וסגור מכל הקצוות. כך שאם יש נוסחה שאומרת שברגע שמצאתי (עצם המציאה לא קשה בפונקציות שבתרגיל) f כך ש-g הרכבה f שווה משהו אז g על, זה פותר את הקושי.

==שאלות 2 ו3-א'==
בשאלה 2, האם אני צריך להוכיח ש <math>g:A \rightarrow AxB</math> היא פונקציה?
בנוסף, אני גם לא כל כך הבנתי איך אפשר לעשות פונקציה בין יחסים (כמו <math>AxB \rightarrow BxB</math>) או בין קבוצה ליחס כמו בשאלה הנ"ל.

בשאלה 3, כתוב לציין האם הפונקציה הפיכה או חח"ע או על, אבל האם היא יכולה להיות אף אחת מהן? או בכלל לא פונקציה, כמו ב3-א' ש <math>f(0)</math> שלא מוגדר?
ובשאלה כתוב לציין, אז אני צריך גם להוכיח/לנמק למה אם היא כן? או לתת דוגמה נגדית אם היא לא?

אם מישהו יוכל לענות כמה שיותר מהר, עוד לפני הבוחן, אני אודה לו מאוד.
תודה רבה.

'''תשובה מאוד חלקית'''

אני לא מבין גדול בנושא הזה שרק אתמול קיבלנו את התרגול עליו, ואני מאוד מפחד להטעות אותך. מה שכן, בתחילת העמוד יש תשובה שתענה לך על השאלה בנוגע ל-<math>f(0)</math>

===תשובה (אולי פחות חלקית)===
באשר לשאלה 2, לא נתונה לך פונקציה <math>g</math> שאתה פשוט צריך להוכיח שהיא פונקציה. אתה צריך לתת פונקציה ולהראות שהיא חח"ע. לרוב, כשמגדירים פונקציה, אז דואגים שהיא תהייה פונקציה, למשל נותנים לכל איבר במקור איבר אחד בטווח. ברגע שתגדיר את הפונקציה, אז יותר חשוב משתוכיח לנו שהיא פונקציה, חשוב שתוכיח שהיא חח"ע. יש?

באשר לשאלה 3א, מעולם לא שמעתי שהערך המוחלט של אפס לא מוגדר. הערך המוחלט של אפס הוא אפס ותו לא. אין שם אף פונקציה שהיא איננה פונקציה. כעיקרון תיתכן פונקציה בשאלה הזו שניתן לכם והיא לא תהיה על, לא חח"ע וכיוצא בכך לא הפיכה, אך אינני מבטיח שזה המצב. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 01:52, 4 באוגוסט 2010 (IDT)

תודה.

בקשר ל-0 התכוונתי שהפונקציה מוגדרת מהשלמים לטבעיים ו-0 לא שייך לטבעיים, או שאולי בשאלה הזו הכוונה היא שהוא כן שייך?

ובקשר לפונקציה בין יחסים. גם המרצה וגם המתרגלת שלנו לא עברו איתנו על זה ואני לא מבין איך אפשר לפתור את שאלה 3. אז אפשר הסבר קצר?

שמע,
ישנן שתי אסכולות בנוגע למספרים טבעיים. אחת גורסת כי אפס הוא טבעי (ומתבססת על כך שבבנייה הגנרית של מספרים טבעיים משתמשים באפס) והשניה גורסת כי אפס לא טבעי (ומתבססת על כך שבמשך מאות שנים אנשים חכמים מאוד, כמו היוונים העתיקים, עשו חישובים מסובכים בלי להכיר בכלל את המספר אפס, שהגיע לאירופה עם הערבים בסוף האלף הראשון לספירה).
אני לא יודע מי כתב את השאלה במקור, אך הוא כנראה כלל את אפס כמספר טבעי.

בקשר לפונקציות "בין יחסים", אתה כנראה מדבר על הפונקציה <math>g: A \rightarrow A \times B</math>. אין משהו מיוחד ללמוד פה, זו סתם פונקציה שהמקור שלה זו הקבוצה <math>A</math> והטווח זו הקבוצה <math>A \times B</math>. אין חשיבות לעובדה ש <math>A \times B</math> זה גם יחס. תנסה כתרגיל לבחור <math>A</math> ו<math>B</math> ופונקציה <math>g</math> כנ"ל תחילה ואז תתקדם לנסות להוכיח את מה שאתה מתבקש.

באשר לשאלה 3, ראשית כדאי שתוודא עם עצמך אם אתה יודע מה זו פונקצייה על ומה זו פונקצייה חח"ע.
אם אתה רוצה לבדוק אם פונקצייה היא על אתה צריך לבדוק אם לכל איבר בטווח יש מקור. אם החלטת שהיא אכן על אז תראה כי אכן לכל איבר בטווח יש מקור. אם החלטת שהיא איננה על אז תראה שקיים איבר בטווח שאין לו מקור.
אם אתה רוצה לוהכיח שפונקצייה היא חח"ע אתה צריך להראות שאם שני מקורות הולכים לאותה תמונה אז המקורות שווים. אם החלטת שהפונקצייה איננה חח"ע אתה צריך לתת דוגמא לשני מקורות שונים שהולכים לאותה תמונה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:01, 5 באוגוסט 2010 (IDT)

תודה רבה!

==אותה שאלה==
לא ענו לי קודם, כנראה כי לא ראו או משהו, וזה נרוא חשוב, אז אני שואל את זה שוב.

נקח לדוגמא את שאלה 6 בתרגיל 2. נתון לי יחס G מסויים ומבקשים ממני להוכיח שהוא יחס שקילות על . השאלה שלי היא: האם צריך קודם להוכיח ש-G הוא יחס על על , בלי לענות עוד על השאלה אם הוא שקילות או לא.

לפי דעית לא, כי זה נובע ישירות מדרך ההגדרה של G.

===תשובה===
נדמה לי שהבנתי את כוונתך. באשר שאלה האם צריך להראות ש<math>G</math> הוא יחס על <math>A \times B</math>, דהיינו להראות <math>G \subseteq (A \times B) \times (A \times B)</math>, התשובה היא לא, אין צורך. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 01:44, 4 באוגוסט 2010 (IDT)

==הודעה לקראת הבוחן==
(זה אומנם לא הדף הנכון לשים בו את ההודעה הזו, אך יש יותר סיכוי שיקראו אותה אם היא תופיע גם בדף הזה)

1) הבוחן מחר (4/8/2010) יתקיים בשעה 12:30 לאחר תרגול של חצי שעה.

2) הבוחן יכלול שלוש שאלות שעל כולן יש לענות (לא שתיים מתוך שלוש כפי שחשבתי תחילה שיהיה).

3) אורך הבוחן יהיה שעה.

4) לתלמידים שיש להם אישור מטעם האוניברסיטה על הארכת זמן תינתנה 15 דקות נוספות.

5) תלמידים עם הארכות זמן ייבחנו בחדר 103 בשעה הנקובה למעלה, גם אם הם לומדים לפני כן בכיתה אחרת.
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 20:42, 3 באוגוסט 2010 (IDT)

==הוכחה שפונקציה היא על==
איך מוכיחים שפונקציה היא על (כמו בשאלה 3א' בתרגיל 3)? חיפשתי דוגמאות להוכחות כאלה מההרצאות, אבל כשהמרצה הוכיח שפונקציה כלשהי היא על הוא תמיד (בדוגמאות שמצאתי) השתמש בכך שפונקציה אחרת (g) היא על וככה הוכיח שיש a ששייך לA כך ש f(a) = b. איך מוכיחים שפונקציה היא על כש"ברור" שהיא על, כמו בשאלה 3א'? תודה רבה מראש.

:ראה תשובה לשאלה הקודמת[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:55, 3 באוגוסט 2010 (IDT)
::תודה

==שאלה כללית==
מה הדרך הנכונה ביותר להוכיח שפונקציה מסוימת היא פונקציה על?

===תשובה===
אם ברצונך להראות כי <math>f: A \rightarrow B</math> הינה פונקציית על,
אתה צריך להראות כי לכל איבר <math>b \in B</math> יש מקור <math>a \in A</math>.
לעיתים יש נוסחה לאיבר כללי ב<math>B</math> ואז ניתן לפתח נוסחה למקור של כל איבר כזה,
למשל אם <math>f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}</math> כך ש<math>f(z)=z+1</math>,
אזי לכל <math>b \in \mathbb{b}</math> יש מקור <math>b-1</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:54, 3 באוגוסט 2010 (IDT)

תודה

:האם צריך להוכיח משהו לגבי הנוסחה למקור? מה צריך להוכיח לגביה?

==שתי שאלות==
1. אם מבקשים ממני להוכיח ש-R הוא יחס שקילות ל-A, האם עלי להוכיח בראש ובראשונה ש-R יחס על A (בעיקר משאלות 9,6 מתרגיל 9), או שזה מובן מאליו?

2. אם מבקשים ממני למצוא את F הרכבה G, וזה לא קיים, האם התשובה היא קבוצה ריקה או שזה פשוט לא מוגדר (זכור לי משהו כזה מהשיעורים)? והאם יש הבדל בתשובה בין יחסים לבין פונקציות?

תודה רבה.

===תשובה===
1. יחס שקילות הוא תמיד על <math>A</math>, דהיינו מ<math>A</math> ל<math>A</math> כלשהו. אני לא כל כך מבין למה את\ה מתכוון\ת ב"<math>R</math> יחס שקילות ל<math>A</math>.

2. ייתכן כי הרכבת יחסים תיתן את היחס הריק. עבור פונקציות <math>g \circ f</math> הדבר איננו אפשרי, אלא אם התחום של <math>f</math> הוא ריק. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:59, 3 באוגוסט 2010 (IDT)

'''בקשר ל-1:''' קח לדוגמא את שאלה 6 בתרגיל 2. נותון לי יחס G מסויים ומבקשים ממני להוכיח שהוא יחס שקילות על <math>AxB</math>. השאלה שלי היא: האם צריך קודם להוכיח ש-G הוא יחס על על <math>AxB</math>, בלי לענות עוד על השאלה אם הוא שקילות או לא.

==שאלה על הגדרת הפונקציה==
כדי להוכיח שf היא פו' יש להוכיח שמתקיימים בה 2 דברים, חד ערכיות, ו"שלמות", נכון? שלמות זה אומר שאם f היא מA לB אז לכל a ששייך לA יש b בB כך ש f(a)=b נכון? תודה.

אני לא מתרגל אבל אני חושב שאם תכניס את המילים "אחד ויחיד" למשפט שאמרת אז תקבל שלמות וגם חד-ערכיות

:כל הדרכים (שאין בהן טעות) מובילות לרומא. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:01, 3 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה על פונקציה חח"ע==
אם אני רוצה להוכיח שקיימת פונקציה חח"ע מA לB, מספיק להראות שמספר האיברים בA קטן או שווה למספר האיברים בB? [ואז ניתן ליצור פונקציה שתשלח כל איבר של A לאיבר אחר של B]
או שעלי ממש להציג פונקציה שכזו?
:אני חושב שבשאלה שצריך להראות שקיימת פו' חח"ע צריך להראות פונקציה כזאת.

==לקבוצה של שני-הרכבת יחסים==
הרכבת יחסית מוגדרת כפי שחלקכם אמרתם, הפוך ממה שאמרתי.
ההגדרה: <math>R \subseteq A\times B \and S \subseteq B\times C</math> אזי
<math>(a,c)\in S \circ R \iff \exist b \in B :(a,b) \in R \and (b,c) \in S</math>

(שני)

== שאלה לגבי הבוחן==
האם הבוחן יכלול גם פונקציות כמו <math>g:A->AxB</math> ? (איברים שהם זוג סדור)

==שאלה 7==
כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.

---> אם היחסים שמצאת לא מסובכים מדי, אין צורך להוכיח שהם אכן יח"ש. (גרישה אושרוביץ')

==A^2 יח"ש==
צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
: אלא אם תתבקשו להוכיח שזה יח"ש, אתה יכול להתייחס לזה כעובדה. זה די טריוויאלי[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:06, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 3א בתרגיל 3==
נאמר שf היא פונקציה מ-<math>\mathbb{Z}</math> ל-<math>\mathbb{N}</math>, אבל 0 אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math> (אבל איבר ב-<math>\mathbb{Z}</math>) ולכן ערכו המוחלט הוא אפס (ששוב, אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>). במקרה זה f אינו פונקציה ולכן בוודאי שלא מקיים אף אחד מהשלושה.
לכן יש לי תחושה שקיימת טעות בסעיף זה, או שפשוט התכוונתם לגירסה הפחות רווחת לפיה גם אפס הוא איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים.
:בתורת הקבוצות דווקא יותר נפוץ ש-0 הוא '''כן''' טבעי (כך מתקיים, למשל, שעוצמת כל קבוצה סופית היא מספר טבעי). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:55, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
::עם זאת בשאר ענפי המתמטיקה הנטייה היא לא לכלול את אפס, ובדר"כ כאשר המרצה (שי) מעוניין להבהיר שהוא מעוניין להתכוון גם לאפס אז הוא רושם <math>\mathbb{N}</math> חיתוך עם {0}. אני אסתמך על כך בתשובה, עם הערה לפיה f פונקציה אם"ם 0 מצוי בטבעיים.

==שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.==
האם הכוונה בz5 היא המודולו?
:אכן.

==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==
האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?
:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:
**קבוצות
**יחסים
**פונקציות

כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)

-אבל לפי התרגול או ההרצאה?
:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).

---> הבוחן יכלול נושאים הבאים: קבוצות, יחסים ופונקציות. נושאים אלה הועברו הן בהרצאות הן בתרגולים. (גרישה אושרוביץ')

בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-16T15:20:58Z

Nimrod: /* שאלה על עוצמות */

<math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

=שאלות=

==שאלה על עוצמות==
A|+|B|=|D|+|C|
נתון העוצמה של B שווה לעוצמה של C. האם העוצמה של D שווה לעוצמה של A?
לא בהכרח למשל א+1=א+2=א אבל 2לא שווה ל-1...

==שאלה 3==
אפשר להוכיח ע"י דוגמא? כי מבקשים להראות שקיימת, אז אם אני מראה שיש לפחות פונקציה אחת כזו זה מספיק?

==שאלה כללית==
מה העוצמה של חיבור של <math>\aleph_0</math> קבוצות כאשר כל קבוצה עוצמתה <math>\aleph</math>? (כולן זרות)
==תכונות של חזקת עוצמות==
אחד המתרגלים יכול להעלות הוכחה לכל התכונות של חזקת עוצמות?

אומנם שי הוכיח את התכונות בהרצאה אך בצורה מאוד לא מפורטת...תודה!

==שאלה 9ב'==
האם מותר לי להגדיר פו' g מ-C ל-A בחזקת B (הפו' מB לA) ע"י כך ש(קראו לאט, הניסוח אולי מסובך) g(c) = Gc(b) a (הוספתי את הa כדי לתקן את הבעיות בעברית-אנגלית, הוא לא אמור להיות שם) כאשר Gc היא פו' מB לA ומוגדרת ע"י Gc(b) = b*c ? מותר לי להגדיר ככה את הפונקציות, או שאולי אסור להגדיר אותן ככה כי אז אני מניח שהקבוצה A היא קבוצת המכפלות של איברים מB ומC? תודה.

==איפה נמצא תרגיל 10א?==
:מה לא מספיק לך ב' ג' וד'?

==שאלה 3==

(האם מדובר בקבוצות אינסופיות), אם אני נותן דוג' נגדית של קבוצה סופית, האם זאת הפרכה או שצריך להראות גם בקבוצות אינסופיות

'''תשובה'''

לא הוגדר בשום מקום את גודל הקבוצות, לכן אתה רשאי להניח כל סוגי הקבוצות בדוגמא נגדית. (גרישה אושרוביץ')

==שאלה כללית==
כמה פונקציות יש מקבוצה ריקה לקבוצה לא ריקה?
:1 (זו [http://en.wikipedia.org/wiki/Empty_function הפונקציה הריקה]).

==שאלה 6,7==
בשאלה 6 א',ב' אפשר פשוט להגיד שהעוצמה של A קטנה או שווה לעוצמה של B ולכן בB צריכים ליהיות אינסוף איברים?מה זה סדרה עולה?

'''תשובה'''

* שאלה 6: לא, צריך להראות זאת במפורש, כלומר להוכיח ש-B לא יכולה להיות קב' סופית.
* שאלה 7: ראה תשובה למטה.
(גרישה אושרוביץ')

== שאלה==
האם <math>
|A \setminus B | = |A | - |A \cap B |
</math> נכון בעבור עוצמות?

מותר לי להשתמש בזה בלי לנמק?

===תשובה===
לא. זה כלל לא נכון לגבי עוצמות.
לא הגדרנו כלל את סימן המינוס בעוצמות (למעט עוצמות סופיות)
קח לדוגמא את <math>A=\mathbb{Q}</math> ו<math>B=\mathbb{N}</math>, אז לכאורה לפי הטענה שלך,
<math>|A \setminus B|=\aleph_0-\aleph_0=0</math>?[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:35, 16 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 5==
מה ההגדרה של הפרש עוצמות?

===תשובה===
לא הגדרנו הפרש עוצמות. בשאלה 5 מופיעה העוצמה של הפרש קבוצות. הפרש קבוצות הגדרנו. ההפרש כשלעצמו הוא קבוצה שיש לה עוצמה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 11:13, 16 באוגוסט 2010 (IDT)

'''מה זה הפרש קבוצות-a\b ?'''
:<math>A\setminus B=A-B=A\cap \overline B</math>

==שאלה 8==
איך יודעים מה ההבדל בין גדולה "סתם" לגדולה "ממש"?

'''תשובה:
'''
גדולה ממש זה גדולה ולא שווה. <math>|A|<|B|</math>
בתרגיל הנ"ל מבקשים קבוצה שעוצמת גדולה מעוצמת הרצף ובנוסף שלא תהיה שווה לה.

==צריך להוכיח?==
האם צריך להוכיח ש-<math>|A\setminus B|\le|A|</math> לכל שתי קבוצות A,B, או שזה נחשב טריוויאלי?

===תשובה===
זה נובע מכך ש<math>A \setminus B \subseteq A</math> ולכן זה די טריוויאלי. כעיקרון אפשר להעיר בקצרה ואין צורך ממש להוכיח את זה על מנת להשתמש בעובדה הזו אלא אם זה מה שאתם מתבקשים להוכיח. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 20:40, 15 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלות 4,6,7,8 ושאלה כללית על שאלות 1,3,5,9,10==
* בשאלה 4: לא הבנתי את הרמז, מה זה <math>1/n</math>? ומהו הישר הממשי?
* בשאלה 6-ד': מהי הקבוצה B? (אינסופית/סופית? האם היא יכולה להיות קבוצה ריקה?)
* בשאלה 7: מהי קבוצת כל הסדרות העולות של המספרים הטבעיים?
* בשאלה 8: מהי עוצמת הרצף?
* שאלה כללית: העוצמות הכלליות שיש בשאלות שבתרגיל זה הן אינסופיות או סופיות (כמו העוצמות בשאלות 1,3,5,9,10)

'''תשובה'''

* שאלה 4: הישר הממשי הוא דימוי הניתן לקבוצה <math>\R</math> שהיא קבוצת כל המספרים הממשיים. לדוגמא, ציר ה- x: <math>(-\infin,\infin)</math>
* שאלה 6: אם לא נתון אפיון של B, תבדוק את כל האפשרויות.
* שאלה 7: סדרות של מספרים טבעיים בהן איבר ה-n-י גדול מהאיבר ה- n-1. למשל: {...,1,2,3,4,5} או {...,10,20,40,80}
* שאלה 8: עוצמת הרצף היא העוצמה של המספרים הממשיים. עוצמת הרצף מסומנת באות <math>\aleph</math>.
* שאלה כללית: אם לא נאמר אחרת, עוצמה יכולה להיות כלשהי.
(גרישה אושרוביץ')

==תרגיל 4 שאלה 4==
מהו הישר הממשי? תודה, גל.
==שאלה 5==
בסעיף א', מתכוונים ל |a|-|b| = |a| - |c| במקום ל |a-b| = |a-c| לא? כי אין דבר כזה הפרש בין קבוצות (הפרש עם קו אנכי)..?
:<math>A-B=A\setminus B</math> לכל שתי קבוצות A,B. אלה שני סימונים שונים להפרש קבוצות.

'''תשובה'''

הכוונה ל- <math>|A\setminus B|=|A\setminus C|</math> (גרישה אושרוביץ')
==חיתוך==
אם ידוע לי ש-<math>A\setminus B=A\setminus C</math>
אני יכולה להסיק מזה שB=C?
:לא: <math>A=\{1,2\}\and B=\{1\}\and C=\{0,1\}\implies A\setminus B=\{1,2\}\setminus\{1\}=\{2\}=\{1,2\}\setminus\{0,1\}=A\setminus C</math>
::התבלבלתי זה היה אמור להיות שB וC מוכלים בA.. ואז אני חושבת שזה נכון. אבל תודה :)
:::אם <math>B,C\subseteq A</math> אז
:::<math>\begin{align}&A\setminus B=A\setminus C\\\implies&A\cap B'=A\cap C'\\\implies&A'\cup(A\cap B')=A'\cup(A\cap C')\\\implies&(A'\cup A)\cap(A'\cup B')=(A'\cup A)\cap(A'\cup C')\\\implies&(A\cap B)'=(A\cap C)'\\\implies&A\cap B=A\cap C\\\implies&B=C\qquad\Big(\text{because }B,C\subseteq A\Big)\\\blacksquare\end{align}</math>

==תרגיל 3, שאלה 3==

כאשר מוכיחים הופכיות של פונקציה ע"י מציאת הפונקציה ההופכית, צריך להראות איך הגענו לפונקציה ההופכית, או שמספיק להראות רק שהיא אכן ההופכית? לדוגמה, נתונה <math>f(x)=x^2-1\and f:\mathbb C\to\mathbb C</math>. האם צריך להסביר למה <math>g(x)=\sqrt{x+1}\and g:\mathbb C\to\mathbb C</math> היא ההופכית לה מימין (ולמה g פונקציה ולא יחס שאינו פונקציה)? תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 19:59, 10 באוגוסט 2010 (IDT)

===תשובה===
בגדול, התשובה היא לא. לא תמיד יש אלגוריתם מובנה למציאת פונקצייה הופכית ואם עליתם עליה באיזושהי דרך, זה לא מאוד חשוב שתציינו איך עליתם עליה. וכן, כמובן אחרי שנתת את הפונקציה, אתה צריך להראות שהיא אכן ההופכית מימין לפונקצייה שאתה רוצה להוכיח שהיא הפיכה מימין. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 13:44, 12 באוגוסט 2010 (IDT)

==תרגיל 3. שאלה 2. סעיף א'==
האם אנחנו קובעים את a וb. אם לא אז איך אנחנו יודעים שמס' האיברים בb גדול שווה למס' האיברים בa?

==שאלה 1 סעיף ד'==

הכוונה היא שהטווח וגם התחום של הפונקציה הוא רק האיברים {0,1,2,3,4}?
או שאפשר לקחת (בטווח) גם את 6,7,8 וכן אלה כשהם במודולו 5?
ואם מדובר רק ב{0,1,2,3,4} בטווח, איך אפשר לדעת מה הולך למה?

'''תשובה'''

כן. הן טווח והן תחום הם <math>\mathbb{Z}_5</math>. לשאלתך, למשל <math>3^2=_5 4</math> (גרישה אושרוביץ')

==תשובה==
לדעתי, כל מה שבשדה <math>\mathbb{Z}_5</math> אחרת זאת לא פונקציה(אין הגדרה ל-<math>[x^2]</math> כאשר x=4 למשל)

==תרגיל 4 (מתרגיל 3)==

סעיף ו' ו-ה' דומים לחלוטין מלבד העובדה שב-ה' כתוב <math>f</math> וב-ו' כתוב<math>f^{-1}</math>
לא נתון כלום על <math>f</math> האם זה אומר שמותר לומר שנסמן את <math>f^{-1}=f</math> ואז ההוכחה שקולה להוכחת סעיף ה'?

'''תשובה'''

אני מציע לחשוב איזה תכונות מיוחדות יש ל-<math>f^{-1}</math> (גרישה אושרוביץ')

==שאלה==

אתם יכולים להזכיר איך בודקים חד ערכיות ושלמות?

תודה רבה!

:[[#שאלה על הגדרת הפונקציה]]

==שאלה 2==
אם אני מגדירה את הפונקציה G ככה זה בסדר?
<math>g(x)= (x/2,x+1/2)</math>
ככה שאני מקבלת זוג סדור <math>(a,b)</math>
כש<math>a=(x/2)</math>
ו<math>b=(x+1/2)</math>
אם לא- מישהו יכול לתת לי כיוון איך להגדיר את הפונקציה?
(וזה מה שאני צריכה לעשות-להגדיר פונקציה G ולהראות שהיא חח"ע?)

'''תשובה'''

את צריכה לוודא האם <math>x/2 \in A</math> וגם <math>x+1/2 \in B</math> (גרישה אושרוביץ')

==להוכיח שפונקציה היא על==

ראיתי את השאלות שלמטה והתשובות עליהן, ובכל זאת לא הבנתי איך להוכיח.

אם אי אפשר למצוא נוסחה למקור?

ראיתי בתשובות לבוחן שכדי להוכיח ש-f היא על, מספיק להוכיח ש-f הפיכה מימין, כלומר קיימת g מ-U ל-U כך ש-f הרכבה g היא פונקציית הזהות על U.

לא מצאתי במחברת שלי שום דבר על "הפיכה מימין" - אפשר בבקשה הסבר מה זה?

ואם מדובר פה על איזה משפט מוגדר, אז נוסח המשפט יעזור לי מאוד. לא מצאתי כזה במחברת.

===תשובה===
אם <math>g \circ f</math> חח"ע ועל אזי <math>f</math> חח"ע ו<math>g</math> על. בפרט, אם <math>g \circ f=id</math> אז היא חח"ע ועל.
כלומר, אם <math>g</math> היא הפיכה מימין (כלומר קיימת <math>f</math> כך ש<math>g \circ f=id</math>) אז <math>g</math> על.
אגב, הקושי למצוא נוסחא למציאת מקור עבור כל תמונה זהה לקושי במציאת פונקצייה מתאימה מימין. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:00, 8 באוגוסט 2010 (IDT)

:תודה על התשובה. מה זה id?

הקושי העיקרי שלי בלהוכיח "על" הוא ההסברה. כמעט שום הסבר לא נראה לי מספק וסגור מכל הקצוות. כך שאם יש נוסחה שאומרת שברגע שמצאתי (עצם המציאה לא קשה בפונקציות שבתרגיל) f כך ש-g הרכבה f שווה משהו אז g על, זה פותר את הקושי.

==שאלות 2 ו3-א'==
בשאלה 2, האם אני צריך להוכיח ש <math>g:A \rightarrow AxB</math> היא פונקציה?
בנוסף, אני גם לא כל כך הבנתי איך אפשר לעשות פונקציה בין יחסים (כמו <math>AxB \rightarrow BxB</math>) או בין קבוצה ליחס כמו בשאלה הנ"ל.

בשאלה 3, כתוב לציין האם הפונקציה הפיכה או חח"ע או על, אבל האם היא יכולה להיות אף אחת מהן? או בכלל לא פונקציה, כמו ב3-א' ש <math>f(0)</math> שלא מוגדר?
ובשאלה כתוב לציין, אז אני צריך גם להוכיח/לנמק למה אם היא כן? או לתת דוגמה נגדית אם היא לא?

אם מישהו יוכל לענות כמה שיותר מהר, עוד לפני הבוחן, אני אודה לו מאוד.
תודה רבה.

'''תשובה מאוד חלקית'''

אני לא מבין גדול בנושא הזה שרק אתמול קיבלנו את התרגול עליו, ואני מאוד מפחד להטעות אותך. מה שכן, בתחילת העמוד יש תשובה שתענה לך על השאלה בנוגע ל-<math>f(0)</math>

===תשובה (אולי פחות חלקית)===
באשר לשאלה 2, לא נתונה לך פונקציה <math>g</math> שאתה פשוט צריך להוכיח שהיא פונקציה. אתה צריך לתת פונקציה ולהראות שהיא חח"ע. לרוב, כשמגדירים פונקציה, אז דואגים שהיא תהייה פונקציה, למשל נותנים לכל איבר במקור איבר אחד בטווח. ברגע שתגדיר את הפונקציה, אז יותר חשוב משתוכיח לנו שהיא פונקציה, חשוב שתוכיח שהיא חח"ע. יש?

באשר לשאלה 3א, מעולם לא שמעתי שהערך המוחלט של אפס לא מוגדר. הערך המוחלט של אפס הוא אפס ותו לא. אין שם אף פונקציה שהיא איננה פונקציה. כעיקרון תיתכן פונקציה בשאלה הזו שניתן לכם והיא לא תהיה על, לא חח"ע וכיוצא בכך לא הפיכה, אך אינני מבטיח שזה המצב. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 01:52, 4 באוגוסט 2010 (IDT)

תודה.

בקשר ל-0 התכוונתי שהפונקציה מוגדרת מהשלמים לטבעיים ו-0 לא שייך לטבעיים, או שאולי בשאלה הזו הכוונה היא שהוא כן שייך?

ובקשר לפונקציה בין יחסים. גם המרצה וגם המתרגלת שלנו לא עברו איתנו על זה ואני לא מבין איך אפשר לפתור את שאלה 3. אז אפשר הסבר קצר?

שמע,
ישנן שתי אסכולות בנוגע למספרים טבעיים. אחת גורסת כי אפס הוא טבעי (ומתבססת על כך שבבנייה הגנרית של מספרים טבעיים משתמשים באפס) והשניה גורסת כי אפס לא טבעי (ומתבססת על כך שבמשך מאות שנים אנשים חכמים מאוד, כמו היוונים העתיקים, עשו חישובים מסובכים בלי להכיר בכלל את המספר אפס, שהגיע לאירופה עם הערבים בסוף האלף הראשון לספירה).
אני לא יודע מי כתב את השאלה במקור, אך הוא כנראה כלל את אפס כמספר טבעי.

בקשר לפונקציות "בין יחסים", אתה כנראה מדבר על הפונקציה <math>g: A \rightarrow A \times B</math>. אין משהו מיוחד ללמוד פה, זו סתם פונקציה שהמקור שלה זו הקבוצה <math>A</math> והטווח זו הקבוצה <math>A \times B</math>. אין חשיבות לעובדה ש <math>A \times B</math> זה גם יחס. תנסה כתרגיל לבחור <math>A</math> ו<math>B</math> ופונקציה <math>g</math> כנ"ל תחילה ואז תתקדם לנסות להוכיח את מה שאתה מתבקש.

באשר לשאלה 3, ראשית כדאי שתוודא עם עצמך אם אתה יודע מה זו פונקצייה על ומה זו פונקצייה חח"ע.
אם אתה רוצה לבדוק אם פונקצייה היא על אתה צריך לבדוק אם לכל איבר בטווח יש מקור. אם החלטת שהיא אכן על אז תראה כי אכן לכל איבר בטווח יש מקור. אם החלטת שהיא איננה על אז תראה שקיים איבר בטווח שאין לו מקור.
אם אתה רוצה לוהכיח שפונקצייה היא חח"ע אתה צריך להראות שאם שני מקורות הולכים לאותה תמונה אז המקורות שווים. אם החלטת שהפונקצייה איננה חח"ע אתה צריך לתת דוגמא לשני מקורות שונים שהולכים לאותה תמונה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:01, 5 באוגוסט 2010 (IDT)

תודה רבה!

==אותה שאלה==
לא ענו לי קודם, כנראה כי לא ראו או משהו, וזה נרוא חשוב, אז אני שואל את זה שוב.

נקח לדוגמא את שאלה 6 בתרגיל 2. נתון לי יחס G מסויים ומבקשים ממני להוכיח שהוא יחס שקילות על . השאלה שלי היא: האם צריך קודם להוכיח ש-G הוא יחס על על , בלי לענות עוד על השאלה אם הוא שקילות או לא.

לפי דעית לא, כי זה נובע ישירות מדרך ההגדרה של G.

===תשובה===
נדמה לי שהבנתי את כוונתך. באשר שאלה האם צריך להראות ש<math>G</math> הוא יחס על <math>A \times B</math>, דהיינו להראות <math>G \subseteq (A \times B) \times (A \times B)</math>, התשובה היא לא, אין צורך. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 01:44, 4 באוגוסט 2010 (IDT)

==הודעה לקראת הבוחן==
(זה אומנם לא הדף הנכון לשים בו את ההודעה הזו, אך יש יותר סיכוי שיקראו אותה אם היא תופיע גם בדף הזה)

1) הבוחן מחר (4/8/2010) יתקיים בשעה 12:30 לאחר תרגול של חצי שעה.

2) הבוחן יכלול שלוש שאלות שעל כולן יש לענות (לא שתיים מתוך שלוש כפי שחשבתי תחילה שיהיה).

3) אורך הבוחן יהיה שעה.

4) לתלמידים שיש להם אישור מטעם האוניברסיטה על הארכת זמן תינתנה 15 דקות נוספות.

5) תלמידים עם הארכות זמן ייבחנו בחדר 103 בשעה הנקובה למעלה, גם אם הם לומדים לפני כן בכיתה אחרת.
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 20:42, 3 באוגוסט 2010 (IDT)

==הוכחה שפונקציה היא על==
איך מוכיחים שפונקציה היא על (כמו בשאלה 3א' בתרגיל 3)? חיפשתי דוגמאות להוכחות כאלה מההרצאות, אבל כשהמרצה הוכיח שפונקציה כלשהי היא על הוא תמיד (בדוגמאות שמצאתי) השתמש בכך שפונקציה אחרת (g) היא על וככה הוכיח שיש a ששייך לA כך ש f(a) = b. איך מוכיחים שפונקציה היא על כש"ברור" שהיא על, כמו בשאלה 3א'? תודה רבה מראש.

:ראה תשובה לשאלה הקודמת[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:55, 3 באוגוסט 2010 (IDT)
::תודה

==שאלה כללית==
מה הדרך הנכונה ביותר להוכיח שפונקציה מסוימת היא פונקציה על?

===תשובה===
אם ברצונך להראות כי <math>f: A \rightarrow B</math> הינה פונקציית על,
אתה צריך להראות כי לכל איבר <math>b \in B</math> יש מקור <math>a \in A</math>.
לעיתים יש נוסחה לאיבר כללי ב<math>B</math> ואז ניתן לפתח נוסחה למקור של כל איבר כזה,
למשל אם <math>f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}</math> כך ש<math>f(z)=z+1</math>,
אזי לכל <math>b \in \mathbb{b}</math> יש מקור <math>b-1</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:54, 3 באוגוסט 2010 (IDT)

תודה

:האם צריך להוכיח משהו לגבי הנוסחה למקור? מה צריך להוכיח לגביה?

==שתי שאלות==
1. אם מבקשים ממני להוכיח ש-R הוא יחס שקילות ל-A, האם עלי להוכיח בראש ובראשונה ש-R יחס על A (בעיקר משאלות 9,6 מתרגיל 9), או שזה מובן מאליו?

2. אם מבקשים ממני למצוא את F הרכבה G, וזה לא קיים, האם התשובה היא קבוצה ריקה או שזה פשוט לא מוגדר (זכור לי משהו כזה מהשיעורים)? והאם יש הבדל בתשובה בין יחסים לבין פונקציות?

תודה רבה.

===תשובה===
1. יחס שקילות הוא תמיד על <math>A</math>, דהיינו מ<math>A</math> ל<math>A</math> כלשהו. אני לא כל כך מבין למה את\ה מתכוון\ת ב"<math>R</math> יחס שקילות ל<math>A</math>.

2. ייתכן כי הרכבת יחסים תיתן את היחס הריק. עבור פונקציות <math>g \circ f</math> הדבר איננו אפשרי, אלא אם התחום של <math>f</math> הוא ריק. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:59, 3 באוגוסט 2010 (IDT)

'''בקשר ל-1:''' קח לדוגמא את שאלה 6 בתרגיל 2. נותון לי יחס G מסויים ומבקשים ממני להוכיח שהוא יחס שקילות על <math>AxB</math>. השאלה שלי היא: האם צריך קודם להוכיח ש-G הוא יחס על על <math>AxB</math>, בלי לענות עוד על השאלה אם הוא שקילות או לא.

==שאלה על הגדרת הפונקציה==
כדי להוכיח שf היא פו' יש להוכיח שמתקיימים בה 2 דברים, חד ערכיות, ו"שלמות", נכון? שלמות זה אומר שאם f היא מA לB אז לכל a ששייך לA יש b בB כך ש f(a)=b נכון? תודה.

אני לא מתרגל אבל אני חושב שאם תכניס את המילים "אחד ויחיד" למשפט שאמרת אז תקבל שלמות וגם חד-ערכיות

:כל הדרכים (שאין בהן טעות) מובילות לרומא. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:01, 3 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה על פונקציה חח"ע==
אם אני רוצה להוכיח שקיימת פונקציה חח"ע מA לB, מספיק להראות שמספר האיברים בA קטן או שווה למספר האיברים בB? [ואז ניתן ליצור פונקציה שתשלח כל איבר של A לאיבר אחר של B]
או שעלי ממש להציג פונקציה שכזו?
:אני חושב שבשאלה שצריך להראות שקיימת פו' חח"ע צריך להראות פונקציה כזאת.

==לקבוצה של שני-הרכבת יחסים==
הרכבת יחסית מוגדרת כפי שחלקכם אמרתם, הפוך ממה שאמרתי.
ההגדרה: <math>R \subseteq A\times B \and S \subseteq B\times C</math> אזי
<math>(a,c)\in S \circ R \iff \exist b \in B :(a,b) \in R \and (b,c) \in S</math>

(שני)

== שאלה לגבי הבוחן==
האם הבוחן יכלול גם פונקציות כמו <math>g:A->AxB</math> ? (איברים שהם זוג סדור)

==שאלה 7==
כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.

---> אם היחסים שמצאת לא מסובכים מדי, אין צורך להוכיח שהם אכן יח"ש. (גרישה אושרוביץ')

==A^2 יח"ש==
צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-<math>A^2</math> הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
: אלא אם תתבקשו להוכיח שזה יח"ש, אתה יכול להתייחס לזה כעובדה. זה די טריוויאלי[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:06, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

==שאלה 3א בתרגיל 3==
נאמר שf היא פונקציה מ-<math>\mathbb{Z}</math> ל-<math>\mathbb{N}</math>, אבל 0 אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math> (אבל איבר ב-<math>\mathbb{Z}</math>) ולכן ערכו המוחלט הוא אפס (ששוב, אינו איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>). במקרה זה f אינו פונקציה ולכן בוודאי שלא מקיים אף אחד מהשלושה.
לכן יש לי תחושה שקיימת טעות בסעיף זה, או שפשוט התכוונתם לגירסה הפחות רווחת לפיה גם אפס הוא איבר ב-<math>\mathbb{N}</math>. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים.
:בתורת הקבוצות דווקא יותר נפוץ ש-0 הוא '''כן''' טבעי (כך מתקיים, למשל, שעוצמת כל קבוצה סופית היא מספר טבעי). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:55, 2 באוגוסט 2010 (IDT)
::עם זאת בשאר ענפי המתמטיקה הנטייה היא לא לכלול את אפס, ובדר"כ כאשר המרצה (שי) מעוניין להבהיר שהוא מעוניין להתכוון גם לאפס אז הוא רושם <math>\mathbb{N}</math> חיתוך עם {0}. אני אסתמך על כך בתשובה, עם הערה לפיה f פונקציה אם"ם 0 מצוי בטבעיים.

==שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.==
האם הכוונה בz5 היא המודולו?
:אכן.

==הבוחן- אני אשמח שרק '''מתרגל''' יענה על השאלה==
האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?
:אני לא '''מתרגל''' אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:
**קבוצות
**יחסים
**פונקציות

כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)

-אבל לפי התרגול או ההרצאה?
:הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).

---> הבוחן יכלול נושאים הבאים: קבוצות, יחסים ופונקציות. נושאים אלה הועברו הן בהרצאות הן בתרגולים. (גרישה אושרוביץ')

שיחת משתמש:Nimrod

2010-08-14T20:14:45Z

Nimrod: /* לינארית: תרגיל 3, דף נלווה, שאלה 2d */

== בדידה: תרגיל 1, 4.ג' ==

צ"ל <math>A\cap \bigcup_{i=1}^n B_i = \bigcup_{i=1}^n (A\cap B_i)</math> ואח"כ אתה משתמש בזה פעמיים (כדי להראות ש: <math>\bigcup_{i=1}^n A_i \cap \bigcup_{j=1}^m B_j' = \bigcup_{i=1}^n(A_i \cap \bigcup_{j=1}^m B_j') = \bigcup_{i=1}^n \bigcup_{j=1}^m (A_i \cap B_j')</math>). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 19:01, 26 ביולי 2010 (IDT)

== לינארית: תרגיל 1, 2.8א ==

אתה רוצה להראות ש-<math>\frac{1}{a+b\sqrt{p}} \in \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math>. מתקיים: <math>\frac{1}{a+b\sqrt{p}} = \frac{a-b\sqrt{p}}{a^2-b^2 p}</math>. מכיוון ש-<math>a^2-b^2 p \in \mathbb{F}</math> הטענה נכונה. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 18:46, 27 ביולי 2010 (IDT)
:<math>\left(a^2-b^2 p\right)^{-1} \in \mathbb{F} \subset \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math> ולכן <math>\frac{a}{a^2-b^2 p} \in \mathbb{F} \and \frac{-b}{a^2-b^2 p} \in \mathbb{F}</math>. לפי הגדרת <math>\mathbb{F}[\sqrt{p}]</math> ולפי דיסטריביוטיביות (שאותה צ"ל, זה קל) נובע ש-<math> \frac{a-b\sqrt{p}}{a^2-b^2 p} \in \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math> ואז, לפי <math>x^2-y^2=(x+y)(x-y)</math> (צ"ל), <math>\frac{x}{x}=1</math> ואסוציאטיביות (צ"ל) מתקיים <math> \frac{a-b\sqrt{p}}{a^2-b^2 p} = \frac{1}{a+b\sqrt{p}} \in \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 19:44, 27 ביולי 2010 (IDT)
::בזכות תומר שמתי לב ש-p לא בהכרח שייך ל-F, חכו. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:07, 27 ביולי 2010 (IDT)
:::ברגע שמוכיחים סגירות נובע מכך: <math>a^2-b^2 p \in \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math>. ניסיתי להוכיח סגירות: <math>(a+b\sqrt{p})(c+d\sqrt{p})=^\text{(distributivity)}ac+bdp+ad\sqrt{p}+bc\sqrt{p}=^\text{(associativity)}(ac+bdp)+(ad+bc)\sqrt{p}</math>. בזכות הגדרת <math>\mathbb{F}[\sqrt{p}]</math>, נותר להוכיח ש-<math>ac+bdp \in \mathbb{F}</math>, אבל בגלל קיום איבר נגדי, איבר הופכי וסגירות החיבור והכפל ב-F, צריך להתקיים ש-p שייך ל-F. חכו רגע, או שטעיתי או שיש פה משהו מתוחכם שלא ראיתי. נ.ב. נמרוד, למה מחקת? -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:37, 27 ביולי 2010 (IDT)

::::בגלל שעדיף לא לציין מה שיש בו טעות אלה רק מה שנכון
:::::חשבתי שאולי תנסו למצוא טעות (ואולי נובע מכך שלכל תת-שדה של R כל הראשוניים שייכים לתת-שדה). בכל מקרה, רוב מה שכתבתי ישמש אותנו גם אם טעיתי. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:20, 27 ביולי 2010 (IDT)

::::נזכרתי ש-<math>+_\mathbb{F}</math> זהה ל-<math>+_\mathbb{R}</math>, ולכן קל להוכיח באינדוקציה ש-<math>p\in \mathbb{F}</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]],

== לינארית: תרגיל 2, 5.16; 6.19; 6.20; ==

אני לא בטוח מה זאת אומרת "הרעיונות הכללים", אבל תבדוק אם כבר ענו על מה שאתה צריך [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה_4|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה על מט' מחלקת אפס|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה 6.20 - פולינום|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה 6.19|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה 6.20_2|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#6.20|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה 5.16|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה 6.20|כאן]] ו[[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה 6.19 סעיף ב'|כאן]]. אם יש משהו שאתה עדיין לא מבין, תשאל. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 16:56, 7 באוגוסט 2010 (IDT)
:בקשר ל-5.16, מגדירים את <math>A_k\in\mathbb F^{n\times n}</math> כך ש: <math>\forall k\in\mathbb N\setminus \{0\}: \left(A_k\right)_{i,j}=\delta_{i+k,j}</math> (כאשר <math>\delta_{i,j} = \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{if } i=j \\ 0 & \mbox{if } i \ne j \end{matrix}\right.</math> היא הדלתא של קרונקר), ומחשבים לפי <math>\left(A_m\cdot A_1\right)_{i,j}=\sum_{k=1}^n{\left(A_m\right)_{i,k}\cdot \left(A_1\right)_{k,j}}</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 19:43, 7 באוגוסט 2010 (IDT)
::עדין יש משהו שחסר לי בשביל להוכיח. בנוסף תרגיל 6.20 אני לא יודע מה לעשות שם...
:::המשך 5.16: <math>\begin{align}\left(A_m\cdot A_1\right)_{i,j} & =\sum_{k=1}^n{\left(A_m\right)_{i,k}\cdot \left(A_1\right)_{k,j}}\\ & =\sum_{k=1}^n{\delta_{i+m,k}\cdot \delta_{k+1,j}}\end{align}</math>. אנו מחפשים מתי <math>\delta_{i+m,k}\cdot \delta_{k+1,j}\not =0</math>: <math>\delta_{i+m,k}=\delta_{k+1,j}=1\implies i+m=k\and k+1=j\implies k=i+m=j-1</math> יאדה, יאדה, יאדה, לכן <math>\left(A_m\cdot A_1\right)_{i,j}=\delta_{i+m,j-1}</math>. נותר להוכיח ש-<math>\left(A_{m+1}\right)_{i,j}=\delta_{i+m,j-1}</math> (זה קל), מש"ל. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:50, 7 באוגוסט 2010 (IDT)
לצערי לא הצלחתי להבין את 6.20 אשמח אם תוכל להסביר לי (ואשמח אם תוכל להסביר לי שנית מחר את 5.16 בשביל שאהיה בטוח שהבנתי נכון את הפתרון)

== הצמוד של שורש של פולינום ==

כל המקדמים ממשיים, לכן:
<div align="left">
<math>\begin{align}p(z)&=\sum_{k=0}^n{a_k z^k}\\&=0\\&=\bar0\\&=\overline{\sum_{k=0}^n{a_k z^k}}\\&=\sum_{k=0}^n\overline{a_k z^k}\\&=\sum_{k=0}^n{a_k \bar z^k}\\&=p(\bar z)\end{align}</math>
</div>

== לינארית: תרגיל 3, דף נלווה, שאלה 2d ==

אכן <math>\operatorname{span}(\emptyset)=\{0\}</math> ([http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_H%C3%BClle ויקיפדיה הגרמנית], כאשר <math>\langle A\rangle=\operatorname{span}(A)</math>)
:אז איך אני מוכיח את הסעיף הזה?
::זה מאוד פשוט: אתה מגדיר צ"ל של איברי A (ולכן הצ"ל שייך ל-<math>\operatorname{span}(A)</math>). <math>A\subseteq B</math> ולכן זהו גם צ"ל של איברי B, ולכן זה שייך ל-<math>\operatorname{span}(B)</math>. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]],
לא את זה את זה הצלחתי אני מדבר על b (לא d)

שיחת משתמש:Nimrod

2010-08-14T19:36:20Z

Nimrod: /* לינארית: תרגיל 3, דף נלווה, שאלה 2d */

== בדידה: תרגיל 1, 4.ג' ==

צ"ל <math>A\cap \bigcup_{i=1}^n B_i = \bigcup_{i=1}^n (A\cap B_i)</math> ואח"כ אתה משתמש בזה פעמיים (כדי להראות ש: <math>\bigcup_{i=1}^n A_i \cap \bigcup_{j=1}^m B_j' = \bigcup_{i=1}^n(A_i \cap \bigcup_{j=1}^m B_j') = \bigcup_{i=1}^n \bigcup_{j=1}^m (A_i \cap B_j')</math>). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 19:01, 26 ביולי 2010 (IDT)

== לינארית: תרגיל 1, 2.8א ==

אתה רוצה להראות ש-<math>\frac{1}{a+b\sqrt{p}} \in \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math>. מתקיים: <math>\frac{1}{a+b\sqrt{p}} = \frac{a-b\sqrt{p}}{a^2-b^2 p}</math>. מכיוון ש-<math>a^2-b^2 p \in \mathbb{F}</math> הטענה נכונה. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 18:46, 27 ביולי 2010 (IDT)
:<math>\left(a^2-b^2 p\right)^{-1} \in \mathbb{F} \subset \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math> ולכן <math>\frac{a}{a^2-b^2 p} \in \mathbb{F} \and \frac{-b}{a^2-b^2 p} \in \mathbb{F}</math>. לפי הגדרת <math>\mathbb{F}[\sqrt{p}]</math> ולפי דיסטריביוטיביות (שאותה צ"ל, זה קל) נובע ש-<math> \frac{a-b\sqrt{p}}{a^2-b^2 p} \in \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math> ואז, לפי <math>x^2-y^2=(x+y)(x-y)</math> (צ"ל), <math>\frac{x}{x}=1</math> ואסוציאטיביות (צ"ל) מתקיים <math> \frac{a-b\sqrt{p}}{a^2-b^2 p} = \frac{1}{a+b\sqrt{p}} \in \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 19:44, 27 ביולי 2010 (IDT)
::בזכות תומר שמתי לב ש-p לא בהכרח שייך ל-F, חכו. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:07, 27 ביולי 2010 (IDT)
:::ברגע שמוכיחים סגירות נובע מכך: <math>a^2-b^2 p \in \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math>. ניסיתי להוכיח סגירות: <math>(a+b\sqrt{p})(c+d\sqrt{p})=^\text{(distributivity)}ac+bdp+ad\sqrt{p}+bc\sqrt{p}=^\text{(associativity)}(ac+bdp)+(ad+bc)\sqrt{p}</math>. בזכות הגדרת <math>\mathbb{F}[\sqrt{p}]</math>, נותר להוכיח ש-<math>ac+bdp \in \mathbb{F}</math>, אבל בגלל קיום איבר נגדי, איבר הופכי וסגירות החיבור והכפל ב-F, צריך להתקיים ש-p שייך ל-F. חכו רגע, או שטעיתי או שיש פה משהו מתוחכם שלא ראיתי. נ.ב. נמרוד, למה מחקת? -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:37, 27 ביולי 2010 (IDT)

::::בגלל שעדיף לא לציין מה שיש בו טעות אלה רק מה שנכון
:::::חשבתי שאולי תנסו למצוא טעות (ואולי נובע מכך שלכל תת-שדה של R כל הראשוניים שייכים לתת-שדה). בכל מקרה, רוב מה שכתבתי ישמש אותנו גם אם טעיתי. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 21:20, 27 ביולי 2010 (IDT)

::::נזכרתי ש-<math>+_\mathbb{F}</math> זהה ל-<math>+_\mathbb{R}</math>, ולכן קל להוכיח באינדוקציה ש-<math>p\in \mathbb{F}</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]],

== לינארית: תרגיל 2, 5.16; 6.19; 6.20; ==

אני לא בטוח מה זאת אומרת "הרעיונות הכללים", אבל תבדוק אם כבר ענו על מה שאתה צריך [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה_4|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה על מט' מחלקת אפס|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה 6.20 - פולינום|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה 6.19|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה 6.20_2|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#6.20|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה 5.16|כאן]], [[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה 6.20|כאן]] ו[[לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות#שאלה 6.19 סעיף ב'|כאן]]. אם יש משהו שאתה עדיין לא מבין, תשאל. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 16:56, 7 באוגוסט 2010 (IDT)
:בקשר ל-5.16, מגדירים את <math>A_k\in\mathbb F^{n\times n}</math> כך ש: <math>\forall k\in\mathbb N\setminus \{0\}: \left(A_k\right)_{i,j}=\delta_{i+k,j}</math> (כאשר <math>\delta_{i,j} = \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{if } i=j \\ 0 & \mbox{if } i \ne j \end{matrix}\right.</math> היא הדלתא של קרונקר), ומחשבים לפי <math>\left(A_m\cdot A_1\right)_{i,j}=\sum_{k=1}^n{\left(A_m\right)_{i,k}\cdot \left(A_1\right)_{k,j}}</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 19:43, 7 באוגוסט 2010 (IDT)
::עדין יש משהו שחסר לי בשביל להוכיח. בנוסף תרגיל 6.20 אני לא יודע מה לעשות שם...
:::המשך 5.16: <math>\begin{align}\left(A_m\cdot A_1\right)_{i,j} & =\sum_{k=1}^n{\left(A_m\right)_{i,k}\cdot \left(A_1\right)_{k,j}}\\ & =\sum_{k=1}^n{\delta_{i+m,k}\cdot \delta_{k+1,j}}\end{align}</math>. אנו מחפשים מתי <math>\delta_{i+m,k}\cdot \delta_{k+1,j}\not =0</math>: <math>\delta_{i+m,k}=\delta_{k+1,j}=1\implies i+m=k\and k+1=j\implies k=i+m=j-1</math> יאדה, יאדה, יאדה, לכן <math>\left(A_m\cdot A_1\right)_{i,j}=\delta_{i+m,j-1}</math>. נותר להוכיח ש-<math>\left(A_{m+1}\right)_{i,j}=\delta_{i+m,j-1}</math> (זה קל), מש"ל. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:50, 7 באוגוסט 2010 (IDT)
לצערי לא הצלחתי להבין את 6.20 אשמח אם תוכל להסביר לי (ואשמח אם תוכל להסביר לי שנית מחר את 5.16 בשביל שאהיה בטוח שהבנתי נכון את הפתרון)

== הצמוד של שורש של פולינום ==

כל המקדמים ממשיים, לכן:
<div align="left">
<math>\begin{align}p(z)&=\sum_{k=0}^n{a_k z^k}\\&=0\\&=\bar0\\&=\overline{\sum_{k=0}^n{a_k z^k}}\\&=\sum_{k=0}^n\overline{a_k z^k}\\&=\sum_{k=0}^n{a_k \bar z^k}\\&=p(\bar z)\end{align}</math>
</div>

== לינארית: תרגיל 3, דף נלווה, שאלה 2d ==

אכן <math>\operatorname{span}(\emptyset)=\{0\}</math> ([http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_H%C3%BClle ויקיפדיה הגרמנית], כאשר <math>\langle A\rangle=\operatorname{span}(A)</math>)
אז איך אני מוכיח את הסעיף הזה?

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-09T18:25:36Z

Nimrod: /* דמיון מטריצות */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

=שאלות=
==פתרון מרוכבים==
בשורה הראשונה (בעמ' הראשון) כתבתם בערך המוחלט של w שהוא שווה לשורש אחד ועוד שלוש. אבל הרי w הוא i מינוס שורש שלוש, אז הa של w זה i, וi בריבוע זה מינוס אחד.

==שוב שאלה לגבי מרוכבים בבוחן==
האם עלינו לדעת מאיפה מגיע הסימון <math>i</math> במספר המרוכב (הסבר על ידי שימוש בעותק של <math>R</math> בתוך <math>C</math> כפי שאלי הראה לנו בכיתה)?
תודה מראש.

===תשובה===
אני לא יודע מה בדיוק הוא הראה לכם בהרצאה. בגדול צריך לדעת את הדברים שרואים בהרצאה, אבל מכיוון שאני הייתי בין כותבי הבוחן ואני לא מבין למה אתה מתכוון, אני מניח שהתשובה היא שלבוחן הספציפי הזה לא צריך :)

==מערכות שקולות?==
הגדרה: שתי מערכות של משוואות לינאריות ב'''אותם הנעלמים''' נקראות שקולות אם למערכות יש אותה קבוצת פתרונות.

השאלה שלי: האם יכול להיות מצב של שתי מערכות של משוואות לינאריות שיש להן אותה קבוצת פתרונות אבל לא אותם הנעלמים? מה הכוונה אותם הנעלמים?

תודה.

===תשובה===
הרי מה זה אותם נעלמים? זה קצת חסר משמעות... הכוונה היא שתי מערכות עם אותו מספר נעלמים, כלומר מטריצות עם אותו מספר עמודות. שימו לב אבל שאם מספר המשוואות שונה המטריצות לא יהיו שקולות שורה.

==הוכחה שקבוצה כלשהי עם פעולות היא שדה==
האם צריך להוכיח גם שאין מחלקי אפס? תודה.
===תשובה===
צריך להוכיח בלבד את כל התכונות של שדה. אם אתה מוכיח שזה תת שדה אפשר להסתפק בקריטריון המקוצר. מתוך אלא נובע שאין מחלקי אפס, אין צורך להוכיח ישירות שאין מחלקי אפס.

==דמיון מטריצות==
האם נכון לור שאם מטריצה A דומה למטריצה B אז גם מתקיים שמטריצה B דומה למטריצה A?
תודה רבה.

:אני חושבת שכן כי זה יחס שקילות ויש בו סימטריות.

::ענית יפה. קל לראות שזה נכון אם כופלים בP וP^-1 בשני הצדדים מקבלים נוסחא דומה רק עם B לבד. כלומר <math>B=PAP^{-1}</math>
:::ברור לי למה אם A דומה לB אז B דומה לA , אבל לא ברור לי מדוע היחס של הדומה בין המטריצות הוא יחס שקילות, אשמח אם מישהו יוכל לענות

==הוכחה שכאשר <math>p</math> לא ראשוני, <math>\mathbb{Z}_p</math> הוא לא שדה==
נניח בשלילה ש-<math>\mathbb{Z}_p</math> שדה. <math>p</math> לא ראשוני לכן נגדיר <math>p=k \dot m</math> כאשר m,k טבעיים. לכן <math>k,m<p</math> ואז <math>1<=k,m<=p-1</math>. מוגדר <math>k*m=(k \dot m)mod p</math>.

מכאן, במחברת יש לי הוכחה שכוללת <math>k*m*m^{-1}</math> ואז יוצא <math>k=0</math> (לאחר כמה וכמה שלבים).

האם ניתן להוכיח גם בדרך של: <math>k*m=(k \dot m)mod p=p mod p=0</math> ואז קיבלנו שיש מחלקי 0, לכן זה לא שדה?
תודה מראש.

*לא יצא לי הסימן של הכפול, הנקודה.

===תשובה===
ההוכחה עם השלבים היא בדיוק אותו דבר, פרט לעובדה שהיא מוכיחה למה אם יש מחלקי אפס זה אינו שדה. מספיק לומר שיש מחלקי אפס ולכן זה לא שדה, אלא אם נבקש להוכיח את זה.

==שימוש ב"טריקים" במבחן ובבוחן==
זה כנראה לא המקום הכי טוב לשאול את זה, אבל אם מותר להשתמש ב"טריקים" בבוחן? למשל, למצוא פתרון של מערכת כלשהי ע"י הכפלה משמאל במטריצה ההופכית למטריצת המקדמים (שאותה אפשר לחשב, לפעמים, בעל-פה או בעזרת נוסחאות שלא בהכרח למדנו בכיתה, כמו <math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}</math>), מבלי לפרט למה הכפלנו דווקא במטריצה הזו. תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 17:39, 9 באוגוסט 2010 (IDT)

===תשובה===
אי אפשר מבלי לפרט. אם זו מטריצה 2 על 2 ניתן לומר שזו הנוסחא להופכית. וניתן לכפול בהופכית ולהגיד שככה אתה פותר, זה לגיטימי מאד.

==תרגיל 6.37==
האם (בשיעורי הבית ובבוחן) צריך להוכיח טענות (לדוגמה בא', שצריך להוכיח ש Ak~Bk) ממש בצמוד להגדרות להוכיח כל שלב, או שאפשר "להשתחרר קצת" ולהוכיח טענות בעזרת פעולות חשבון, בלי להוכיח שניתן לבצע כל שלב כפי שעשיתי אותו? אם השאלה לא מובנת, אסביר בדוגמה- בשאלה 6.37 א'- האם אפשר להוכיח את הטענה כך? -מכיוון שA שקול לB, ידוע ש A=p-1BP, ועכשיו נעלה את 2 האגפים בחזקת K, יוצא ש Ak=(p-1)k*Bk*pk ולכן
Ak=((p-1)*p)k*Bk ולכן Ak=(p-1)p*Bk ולכן Ak=(p-1)*Bk*p?
או שזו דרך שבה אני משתמש בהרבה פעולות שלא בטוח שניתן לבצע אותן, ולכן אני צריך להשתמש בדרך אחרת, יותר צמודה להגדרות? תודה.

===תשובה===
יש 2 דברים:
1. מהי רמת הפירוט הנדרשת בתרגיל. אם מבקשים להוכיח ש<math>A^k~B^k</math> אז צריך להוכיח את כל השלבים בדרך בדיוק כמו שעשינו בכיתה. בבוחן או מבחן אם אתה לא בטוח כמה צריך לפרט אתה יכול לשאול.

2. אסור בתכלית האיסור לרשום דברים לא נכונים בתוך הוכחה, וההוכחה שרשמת למעלה פשוט לא נכונה. הרי אין חילופיות במטריצות ולכן <math>(P^{-1}BP)^k</math> לא בהכרח שווה ל<math>P^{-k}B^kP^k</math>. איך השתמשת פה בחילופיות? ניקח דוגמא פשוטה:

<math>(abc)^2=abcabc</math> אם חילופיות הייתה מתקיימת היה אפשר לשנות את סדר האיברים בכפל ולקבל <math>aabbcc=a^2b^2c^2</math>. כאשר אין חילופיות אסור לעשות את זה, כי אתה עלול להגיע לתוצאות לא נכונות. הרי לפי שיטת ההוכחה שלך <math>A=P^{-1}BP=P^{-1}PB=B</math> ולמעשה מטריצות דומות הן בכלל שוות. אבל זה לא נכון.

:סליחה לגבי ההוכחה הלא נכונה, לגמרי שכחתי שאין חילופיות במטריצות, התבלבלתי. אבל לגבי רמת הפירוט- אמרת שצריך לבדוק מהי רמת הפירוט הנדרשת בתרגיל- איך אני יודע מהי רמת הפירוט הנדרשת? למה אם צריך להוכיח שקילות אז צריך להוכיח את כל השלבים בדרך (האם כשצריך להוכיח משהו אחר, לא צריך להוכיח את כל השלבים בדרך?) ולמה במבחן מותר לפרט פחות? תודה רבה.
:בנוסף, בכיתה אמרנו שצריך להוכיח את זה באינדוקציה, אך מותר גם להוכיח את זה פשוט ע"י הכפלת p-1BP קיי (K) פעמים? זה נראה לי חוקי (שימוש רק באסוציאטיביות).

===תשובה===
אין נוסחא כללית לרמת הפירוט. יש להפעיל הגיון ולשאול במקרים ספציפיים.

לשאלה לגבי האינדוקציה - אינדוקציה זו הדרך המתמטית להוכיח את זה. לפעמים בכיתה אנחנו מדלגים על אינדוקציות טריוויאליות מעין זו. לכתוב את זה k פעמים זה כמובן בלתי אפשרי, כי k הוא משתנה....

==שאלה על הקובץ של המרוכבים==
באיזה משפט מדובר בפתרון של שאלה 4?
:כנראה שהמשפט אומר שלמשוואה ממעלה n (כאשר חייבים להיות כל החזקות של X, כלומר ax^n+bx^(n-1)+...=y) אז יש למשוואה n פתרונות מרוכבים. אני לא זוכר מתי ואם בכלל הוכחנו אותו, אבל כנראה שלא נצטרך להוכיח אותו במבחן..

===תשובה===
אתם צודקים שאני לא מסביר את עצמי שם היטב, עיקר השאלה מבחינתי היה להראות שאם z שורש של פולינום אזי גם הצמוד שלו שורש.

מי שמתעניין מעבר מוזמן להסתכל על תרגיל 3.9 בעמוד 6 (שגם ממנו צריך להסביר מעבר למה שאני רשמתי בתשובה - התשובה שלי לא הייתה מדוייקת). בכל אופן ההוכחה שהצמוד הוא גם שורש יכולה להופיע בבוחן, אבל הוכחה לגבי שורשי פולינומים לא.

===שאלה נוספת בקשר לפתרון של 4===
ניסיתי להבין למה לפי זה שהמשלים של מכפלה או סכום ששוה למכפלת משלימי הגורמים או המחברים ניתן להגיע לזה שהמספר המשלים של שורש של הפולינום בהכרח מקיים גם הוא את הפולינום.
אשמח אם תוכל להסביר בצורה יותר ברורה למה דבר זה מתקיים.

==שאלה 6.34==
אני עושה את התרגילים מהתרגיל החדש כדי להתאמן לבוחן מחר - אני ממש לא יודע איך אפשר למצוא בעזרת ההופכי של A את הפתרון הכללי של המערכת? שמתי לב לשלושת האיקסים הראשונים (x1,x2,x3) המקדמים שלהם הם המקדים של המטריצה A. גם חישבתי את ההופכי של A. אפשר עזרה או רמז לֶמה צריך לעשות כדי למצוא את הפתרון הכללי של המערכת בעזרת ההופכי של A? תודה.

===תשובה===
מה הקשר שלמדנו בין פתרון מערכת משוואות וכפל מטריצות?
:בכפל מטריצות כל איבר במכפלה שווה לשורה המתאימה מהמט' הראשונה כפול העמודה המתאימה מהמט' השנייה. באמת שאני לא יודע איך זה מתקשר למערכת משוואות (סליחה על בורוּת ושוב תודה מראש)
::דירוג מטריצה שקול לכפל במטריצות אלמנטריות
:::איך מטריצות אלמנטריות קשורות לשאלה הזאת?
::::מה הקשר בין מטריצה הפיכה למטריצות אלמנטריות? (מומלץ לקרוא את המחברת...)
:::::לקח לי הרבה זמן למצוא את זה, אבל מצאתי במחברת הערה שאומרת שאם A הפיכה אזי אפשר להפוך את A לI ע"י פעולות שורה אלמ'. אני עדיין לא מבין איך 2 האיקסים הנוספים (x4,x5) ואיך המטריצות האלמנטריות נכנסות לתמונה. אשמח לרמזים עבים יותר, במיוחד כי מחר הבוחן ואני משקיע את מירב המאמצים כדי להתכונן אליו. תודה רבה מראש.
::::::כל מטריצה הפיכה היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות וכל פעולת דירוג היא כפל במטריצות אלמנטריות. רמז יותר עבה מזה הוא פתרון התרגיל. כמובן שאני לא יכול לפתור את התרגיל לפני שהגשתם אותו...

==מרוכבים בבוחן==
שלום רב,
האם תתכן משוואה מרוכבת כפי שנתנה בדף התרגול בבוחן עצמו? אם כן, מכיוון שאסור שימוש במחשבון, עלינו ללמוד את ערכי הסינוס, קוסינוס וטנגנס של זוויות נפוצות (30, 45, 60, 120, ... ואם כן אז אילו זוויות נפוצות?) או שבמידה ונשאל את הבוחן ייאמר לנו?
תודה מראש.

===תשובה===
שמח ששאלת :)

אם תהיה שאלה כזו במבחן אתם צריכים לדעת מהי התנהגות הסינוס והקוסינוס (מחזור, שיאים, אפסים וכדומה).
====תשובה לתשובה :)====
ראשית, תודה על התשובה המהירה.
ושנית, אני מניח שאנחנו נצטרך לדעת רק את הערכים הבסיסיים יותר, למשל לא יהיה צורך בלדעת מה ערך ה<math>\alpha</math> במשהו כמו <math>cos(\alpha)=0.124</math>, נכון?
והאם אתם מחיבים כתיבת זוויות ברדיאנים כפי שנכתב בתשובות או שגם מעלות זה בסדר?
תודה שוב.

:לא תצטרכו לדעת דברים מסובכים כאלה. וכן, מהרגע שנכנסתם בשער האוניברסיטה רק רדיאנים :)

==הוכחה שיש איבר הופכי בשדה <math>Z_p</math>==
ההוכחה מורכבת משלב א' בו מוכיחים שאם <math>a*b=a*c</math> כאשר <math>a \neq 0</math> אז <math>b=c</math>.

בשלב השני, אומרים שיש <math>p</math> איברים שונים בקבוצה <math>A</math> <math>a*0, a*1, a*2...a*(p-1)</math> כאשר <math>a \neq 0</math>, וגם P איברים ב-<math>Z_p</math>, לכן כל האיברים ב-<math>Z_p</math> נמצאים ב-<math>A</math> כולל <math>1</math>. כלומר קיים <math>b</math> ב-<math>Z_p</math> כך ש-<math>a*b=1</math>.

אז לא הבנתי:

1. למה שלב א' לא מספיק בשביל להוכיח שיש איבר הופכי? בשביל מה שלב ב'?

הרי אם הוכחנו את שלב א', זה אומר שיש איבר <math>a^{-1}</math> כך ש-<math>a*a^{-1}=1</math>. כלומר יש איבר הופכי ל-<math>a</math>.

2. האם שלב ב' לא מספיק, בלי שלב א' בשביל להוכיח שיש הופכי? הרי הוכחנו שקיים <math>b</math> כך ש-<math>a*b=1</math>, כלומר קיים איבר הופכי ל-<math>a</math>.

בקיצור לי נראה כאילו שלב א' ושלב ב' מספיקים כל אחד מהם בשביל להוכיח שיש הופכי.

אפשר הסבר? תודה.

===תשובה===
שלב א לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש (הדבר תקף לכל שדה ולא רק לשדה <math>Z_p</math> כלשהו):
יהי <math>a*b=a*c</math> ומכאן ש - <math>b=c</math>. אבל שים לב שלא רשום לנו בהכרח <math>a*b=a*c=1</math>, ולכן קיימת דוגמה נגדית לכך ש- c ו- b אינם ההופכיים של a, למשל <math>a*b=4=a*c</math>. במקרה זה אכן מתקיים ש-<math>b=c</math> אבל לא מתקיים שהם ההופכיים של a.

שלב ב לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש:
הוכחת ש-1 נמצא ב- <math>A</math> ועפ"י הגדרת הקבוצה <math>A</math> שנתת יתקיים ש: <math>a*p</math> גם הוא איבר של <math>A</math>.
יהיו p, t איברים שונים בהם מכפילים את a ומקבלים 1. עפ"י שלב א הוכחת ש-p=t וזוהי סתירה כמובן. ולכן לכל a מ-<math>Z_p</math> איבר הופכי אחד בלבד, דבר המקיים את תכונת ההופכי.

שים לב שאם מבקשים ממך להוכיח ש- <math>Z_p</math> מסוים הוא שדה אז ניתן להוכיח את תכונת האיברים ההופכיים ע"י לוח הכפל של השדה המסוים שעבורו התבקשת להוכיח (או להפריך אותה עבור p שאינו ראשוני).

מקווה שעזרתי, גל.

===תשובה נוספת(ארז)===
גל, אתה קצת מבלבל. זה נכון שהתכונה הראשונה נכונה בשדה. זה מתוך ההנחה שמדובר בשדה, אבל '''זה מה שצריך להוכיח''' ואסור להסתמך על כך בהוכחה.

התשובה המדויקת ללמה זה לא מספיק היא פשוטה - זה לא מה שצריך להוכיח. צריך להוכיח שלכל איבר a
קיים איבר b כך ש ab=1. זה פשוט לא מה שהשורה הראשונה אומרת, ואני לא רואה איך אפשר להסיק את זה ממנה. (נכון שאם היה הופכי השורה הראשונה ברורה, אבל זו גרירה חד כיוונית).

לגבי השלב השני. ההנחה פה היא שהאיברים בA '''שונים זה מזה''' ולכן '''כל''' האיברים של <math>\mathbb{Z}_p</math> מופיעים שם (בפרט 1). העובדה שהם שונים זה מזה נובעת ישירות משלב א'. בלי שלב א' היה יכול להיות שבA יש פחות מp איברים ולכן אולי אחד חסר שם.

:תודה רבה!

==שאלה==
האם מישהו יכול להגיד מה מבנה הבוחן וכמה זמן יש לנו?

===תשובה===
3 שאלות מתוך 4, 45 דקות.

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-09T18:15:25Z

Nimrod: /* שאלה נוספת בקשר לפתרון של 4 */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

=שאלות=
==פתרון מרוכבים==
בשורה הראשונה (בעמ' הראשון) כתבתם בערך המוחלט של w שהוא שווה לשורש אחד ועוד שלוש. אבל הרי w הוא i מינוס שורש שלוש, אז הa של w זה i, וi בריבוע זה מינוס אחד.

==שוב שאלה לגבי מרוכבים בבוחן==
האם עלינו לדעת מאיפה מגיע הסימון <math>i</math> במספר המרוכב (הסבר על ידי שימוש בעותק של <math>R</math> בתוך <math>C</math> כפי שאלי הראה לנו בכיתה)?
תודה מראש.

===תשובה===
אני לא יודע מה בדיוק הוא הראה לכם בהרצאה. בגדול צריך לדעת את הדברים שרואים בהרצאה, אבל מכיוון שאני הייתי בין כותבי הבוחן ואני לא מבין למה אתה מתכוון, אני מניח שהתשובה היא שלבוחן הספציפי הזה לא צריך :)

==מערכות שקולות?==
הגדרה: שתי מערכות של משוואות לינאריות ב'''אותם הנעלמים''' נקראות שקולות אם למערכות יש אותה קבוצת פתרונות.

השאלה שלי: האם יכול להיות מצב של שתי מערכות של משוואות לינאריות שיש להן אותה קבוצת פתרונות אבל לא אותם הנעלמים? מה הכוונה אותם הנעלמים?

תודה.

===תשובה===
הרי מה זה אותם נעלמים? זה קצת חסר משמעות... הכוונה היא שתי מערכות עם אותו מספר נעלמים, כלומר מטריצות עם אותו מספר עמודות. שימו לב אבל שאם מספר המשוואות שונה המטריצות לא יהיו שקולות שורה.

==הוכחה שקבוצה כלשהי עם פעולות היא שדה==
האם צריך להוכיח גם שאין מחלקי אפס? תודה.
===תשובה===
צריך להוכיח בלבד את כל התכונות של שדה. אם אתה מוכיח שזה תת שדה אפשר להסתפק בקריטריון המקוצר. מתוך אלא נובע שאין מחלקי אפס, אין צורך להוכיח ישירות שאין מחלקי אפס.

==דמיון מטריצות==
האם נכון לור שאם מטריצה A דומה למטריצה B אז גם מתקיים שמטריצה B דומה למטריצה A?
תודה רבה.

:אני חושבת שכן כי זה יחס שקילות ויש בו סימטריות.

::ענית יפה. קל לראות שזה נכון אם כופלים בP וP^-1 בשני הצדדים מקבלים נוסחא דומה רק עם B לבד. כלומר <math>B=PAP^{-1}</math>

==הוכחה שכאשר <math>p</math> לא ראשוני, <math>\mathbb{Z}_p</math> הוא לא שדה==
נניח בשלילה ש-<math>\mathbb{Z}_p</math> שדה. <math>p</math> לא ראשוני לכן נגדיר <math>p=k \dot m</math> כאשר m,k טבעיים. לכן <math>k,m<p</math> ואז <math>1<=k,m<=p-1</math>. מוגדר <math>k*m=(k \dot m)mod p</math>.

מכאן, במחברת יש לי הוכחה שכוללת <math>k*m*m^{-1}</math> ואז יוצא <math>k=0</math> (לאחר כמה וכמה שלבים).

האם ניתן להוכיח גם בדרך של: <math>k*m=(k \dot m)mod p=p mod p=0</math> ואז קיבלנו שיש מחלקי 0, לכן זה לא שדה?
תודה מראש.

*לא יצא לי הסימן של הכפול, הנקודה.

===תשובה===
ההוכחה עם השלבים היא בדיוק אותו דבר, פרט לעובדה שהיא מוכיחה למה אם יש מחלקי אפס זה אינו שדה. מספיק לומר שיש מחלקי אפס ולכן זה לא שדה, אלא אם נבקש להוכיח את זה.

==שימוש ב"טריקים" במבחן ובבוחן==
זה כנראה לא המקום הכי טוב לשאול את זה, אבל אם מותר להשתמש ב"טריקים" בבוחן? למשל, למצוא פתרון של מערכת כלשהי ע"י הכפלה משמאל במטריצה ההופכית למטריצת המקדמים (שאותה אפשר לחשב, לפעמים, בעל-פה או בעזרת נוסחאות שלא בהכרח למדנו בכיתה, כמו <math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}</math>), מבלי לפרט למה הכפלנו דווקא במטריצה הזו. תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 17:39, 9 באוגוסט 2010 (IDT)

===תשובה===
אי אפשר מבלי לפרט. אם זו מטריצה 2 על 2 ניתן לומר שזו הנוסחא להופכית. וניתן לכפול בהופכית ולהגיד שככה אתה פותר, זה לגיטימי מאד.

==תרגיל 6.37==
האם (בשיעורי הבית ובבוחן) צריך להוכיח טענות (לדוגמה בא', שצריך להוכיח ש Ak~Bk) ממש בצמוד להגדרות להוכיח כל שלב, או שאפשר "להשתחרר קצת" ולהוכיח טענות בעזרת פעולות חשבון, בלי להוכיח שניתן לבצע כל שלב כפי שעשיתי אותו? אם השאלה לא מובנת, אסביר בדוגמה- בשאלה 6.37 א'- האם אפשר להוכיח את הטענה כך? -מכיוון שA שקול לB, ידוע ש A=p-1BP, ועכשיו נעלה את 2 האגפים בחזקת K, יוצא ש Ak=(p-1)k*Bk*pk ולכן
Ak=((p-1)*p)k*Bk ולכן Ak=(p-1)p*Bk ולכן Ak=(p-1)*Bk*p?
או שזו דרך שבה אני משתמש בהרבה פעולות שלא בטוח שניתן לבצע אותן, ולכן אני צריך להשתמש בדרך אחרת, יותר צמודה להגדרות? תודה.

===תשובה===
יש 2 דברים:
1. מהי רמת הפירוט הנדרשת בתרגיל. אם מבקשים להוכיח ש<math>A^k~B^k</math> אז צריך להוכיח את כל השלבים בדרך בדיוק כמו שעשינו בכיתה. בבוחן או מבחן אם אתה לא בטוח כמה צריך לפרט אתה יכול לשאול.

2. אסור בתכלית האיסור לרשום דברים לא נכונים בתוך הוכחה, וההוכחה שרשמת למעלה פשוט לא נכונה. הרי אין חילופיות במטריצות ולכן <math>(P^{-1}BP)^k</math> לא בהכרח שווה ל<math>P^{-k}B^kP^k</math>. איך השתמשת פה בחילופיות? ניקח דוגמא פשוטה:

<math>(abc)^2=abcabc</math> אם חילופיות הייתה מתקיימת היה אפשר לשנות את סדר האיברים בכפל ולקבל <math>aabbcc=a^2b^2c^2</math>. כאשר אין חילופיות אסור לעשות את זה, כי אתה עלול להגיע לתוצאות לא נכונות. הרי לפי שיטת ההוכחה שלך <math>A=P^{-1}BP=P^{-1}PB=B</math> ולמעשה מטריצות דומות הן בכלל שוות. אבל זה לא נכון.

:סליחה לגבי ההוכחה הלא נכונה, לגמרי שכחתי שאין חילופיות במטריצות, התבלבלתי. אבל לגבי רמת הפירוט- אמרת שצריך לבדוק מהי רמת הפירוט הנדרשת בתרגיל- איך אני יודע מהי רמת הפירוט הנדרשת? למה אם צריך להוכיח שקילות אז צריך להוכיח את כל השלבים בדרך (האם כשצריך להוכיח משהו אחר, לא צריך להוכיח את כל השלבים בדרך?) ולמה במבחן מותר לפרט פחות? תודה רבה.
:בנוסף, בכיתה אמרנו שצריך להוכיח את זה באינדוקציה, אך מותר גם להוכיח את זה פשוט ע"י הכפלת p-1BP קיי (K) פעמים? זה נראה לי חוקי (שימוש רק באסוציאטיביות).

===תשובה===
אין נוסחא כללית לרמת הפירוט. יש להפעיל הגיון ולשאול במקרים ספציפיים.

לשאלה לגבי האינדוקציה - אינדוקציה זו הדרך המתמטית להוכיח את זה. לפעמים בכיתה אנחנו מדלגים על אינדוקציות טריוויאליות מעין זו. לכתוב את זה k פעמים זה כמובן בלתי אפשרי, כי k הוא משתנה....

==שאלה על הקובץ של המרוכבים==
באיזה משפט מדובר בפתרון של שאלה 4?
:כנראה שהמשפט אומר שלמשוואה ממעלה n (כאשר חייבים להיות כל החזקות של X, כלומר ax^n+bx^(n-1)+...=y) אז יש למשוואה n פתרונות מרוכבים. אני לא זוכר מתי ואם בכלל הוכחנו אותו, אבל כנראה שלא נצטרך להוכיח אותו במבחן..

===תשובה===
אתם צודקים שאני לא מסביר את עצמי שם היטב, עיקר השאלה מבחינתי היה להראות שאם z שורש של פולינום אזי גם הצמוד שלו שורש.

מי שמתעניין מעבר מוזמן להסתכל על תרגיל 3.9 בעמוד 6 (שגם ממנו צריך להסביר מעבר למה שאני רשמתי בתשובה - התשובה שלי לא הייתה מדוייקת). בכל אופן ההוכחה שהצמוד הוא גם שורש יכולה להופיע בבוחן, אבל הוכחה לגבי שורשי פולינומים לא.

===שאלה נוספת בקשר לפתרון של 4===
ניסיתי להבין למה לפי זה שהמשלים של מכפלה או סכום ששוה למכפלת משלימי הגורמים או המחברים ניתן להגיע לזה שהמספר המשלים של שורש של הפולינום בהכרח מקיים גם הוא את הפולינום.
אשמח אם תוכל להסביר בצורה יותר ברורה למה דבר זה מתקיים.

==שאלה 6.34==
אני עושה את התרגילים מהתרגיל החדש כדי להתאמן לבוחן מחר - אני ממש לא יודע איך אפשר למצוא בעזרת ההופכי של A את הפתרון הכללי של המערכת? שמתי לב לשלושת האיקסים הראשונים (x1,x2,x3) המקדמים שלהם הם המקדים של המטריצה A. גם חישבתי את ההופכי של A. אפשר עזרה או רמז לֶמה צריך לעשות כדי למצוא את הפתרון הכללי של המערכת בעזרת ההופכי של A? תודה.

===תשובה===
מה הקשר שלמדנו בין פתרון מערכת משוואות וכפל מטריצות?
:בכפל מטריצות כל איבר במכפלה שווה לשורה המתאימה מהמט' הראשונה כפול העמודה המתאימה מהמט' השנייה. באמת שאני לא יודע איך זה מתקשר למערכת משוואות (סליחה על בורוּת ושוב תודה מראש)
::דירוג מטריצה שקול לכפל במטריצות אלמנטריות
:::איך מטריצות אלמנטריות קשורות לשאלה הזאת?
::::מה הקשר בין מטריצה הפיכה למטריצות אלמנטריות? (מומלץ לקרוא את המחברת...)
:::::לקח לי הרבה זמן למצוא את זה, אבל מצאתי במחברת הערה שאומרת שאם A הפיכה אזי אפשר להפוך את A לI ע"י פעולות שורה אלמ'. אני עדיין לא מבין איך 2 האיקסים הנוספים (x4,x5) ואיך המטריצות האלמנטריות נכנסות לתמונה. אשמח לרמזים עבים יותר, במיוחד כי מחר הבוחן ואני משקיע את מירב המאמצים כדי להתכונן אליו. תודה רבה מראש.
::::::כל מטריצה הפיכה היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות וכל פעולת דירוג היא כפל במטריצות אלמנטריות. רמז יותר עבה מזה הוא פתרון התרגיל. כמובן שאני לא יכול לפתור את התרגיל לפני שהגשתם אותו...

==מרוכבים בבוחן==
שלום רב,
האם תתכן משוואה מרוכבת כפי שנתנה בדף התרגול בבוחן עצמו? אם כן, מכיוון שאסור שימוש במחשבון, עלינו ללמוד את ערכי הסינוס, קוסינוס וטנגנס של זוויות נפוצות (30, 45, 60, 120, ... ואם כן אז אילו זוויות נפוצות?) או שבמידה ונשאל את הבוחן ייאמר לנו?
תודה מראש.

===תשובה===
שמח ששאלת :)

אם תהיה שאלה כזו במבחן אתם צריכים לדעת מהי התנהגות הסינוס והקוסינוס (מחזור, שיאים, אפסים וכדומה).
====תשובה לתשובה :)====
ראשית, תודה על התשובה המהירה.
ושנית, אני מניח שאנחנו נצטרך לדעת רק את הערכים הבסיסיים יותר, למשל לא יהיה צורך בלדעת מה ערך ה<math>\alpha</math> במשהו כמו <math>cos(\alpha)=0.124</math>, נכון?
והאם אתם מחיבים כתיבת זוויות ברדיאנים כפי שנכתב בתשובות או שגם מעלות זה בסדר?
תודה שוב.

:לא תצטרכו לדעת דברים מסובכים כאלה. וכן, מהרגע שנכנסתם בשער האוניברסיטה רק רדיאנים :)

==הוכחה שיש איבר הופכי בשדה <math>Z_p</math>==
ההוכחה מורכבת משלב א' בו מוכיחים שאם <math>a*b=a*c</math> כאשר <math>a \neq 0</math> אז <math>b=c</math>.

בשלב השני, אומרים שיש <math>p</math> איברים שונים בקבוצה <math>A</math> <math>a*0, a*1, a*2...a*(p-1)</math> כאשר <math>a \neq 0</math>, וגם P איברים ב-<math>Z_p</math>, לכן כל האיברים ב-<math>Z_p</math> נמצאים ב-<math>A</math> כולל <math>1</math>. כלומר קיים <math>b</math> ב-<math>Z_p</math> כך ש-<math>a*b=1</math>.

אז לא הבנתי:

1. למה שלב א' לא מספיק בשביל להוכיח שיש איבר הופכי? בשביל מה שלב ב'?

הרי אם הוכחנו את שלב א', זה אומר שיש איבר <math>a^{-1}</math> כך ש-<math>a*a^{-1}=1</math>. כלומר יש איבר הופכי ל-<math>a</math>.

2. האם שלב ב' לא מספיק, בלי שלב א' בשביל להוכיח שיש הופכי? הרי הוכחנו שקיים <math>b</math> כך ש-<math>a*b=1</math>, כלומר קיים איבר הופכי ל-<math>a</math>.

בקיצור לי נראה כאילו שלב א' ושלב ב' מספיקים כל אחד מהם בשביל להוכיח שיש הופכי.

אפשר הסבר? תודה.

===תשובה===
שלב א לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש (הדבר תקף לכל שדה ולא רק לשדה <math>Z_p</math> כלשהו):
יהי <math>a*b=a*c</math> ומכאן ש - <math>b=c</math>. אבל שים לב שלא רשום לנו בהכרח <math>a*b=a*c=1</math>, ולכן קיימת דוגמה נגדית לכך ש- c ו- b אינם ההופכיים של a, למשל <math>a*b=4=a*c</math>. במקרה זה אכן מתקיים ש-<math>b=c</math> אבל לא מתקיים שהם ההופכיים של a.

שלב ב לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש:
הוכחת ש-1 נמצא ב- <math>A</math> ועפ"י הגדרת הקבוצה <math>A</math> שנתת יתקיים ש: <math>a*p</math> גם הוא איבר של <math>A</math>.
יהיו p, t איברים שונים בהם מכפילים את a ומקבלים 1. עפ"י שלב א הוכחת ש-p=t וזוהי סתירה כמובן. ולכן לכל a מ-<math>Z_p</math> איבר הופכי אחד בלבד, דבר המקיים את תכונת ההופכי.

שים לב שאם מבקשים ממך להוכיח ש- <math>Z_p</math> מסוים הוא שדה אז ניתן להוכיח את תכונת האיברים ההופכיים ע"י לוח הכפל של השדה המסוים שעבורו התבקשת להוכיח (או להפריך אותה עבור p שאינו ראשוני).

מקווה שעזרתי, גל.

===תשובה נוספת(ארז)===
גל, אתה קצת מבלבל. זה נכון שהתכונה הראשונה נכונה בשדה. זה מתוך ההנחה שמדובר בשדה, אבל '''זה מה שצריך להוכיח''' ואסור להסתמך על כך בהוכחה.

התשובה המדויקת ללמה זה לא מספיק היא פשוטה - זה לא מה שצריך להוכיח. צריך להוכיח שלכל איבר a
קיים איבר b כך ש ab=1. זה פשוט לא מה שהשורה הראשונה אומרת, ואני לא רואה איך אפשר להסיק את זה ממנה. (נכון שאם היה הופכי השורה הראשונה ברורה, אבל זו גרירה חד כיוונית).

לגבי השלב השני. ההנחה פה היא שהאיברים בA '''שונים זה מזה''' ולכן '''כל''' האיברים של <math>\mathbb{Z}_p</math> מופיעים שם (בפרט 1). העובדה שהם שונים זה מזה נובעת ישירות משלב א'. בלי שלב א' היה יכול להיות שבA יש פחות מp איברים ולכן אולי אחד חסר שם.

:תודה רבה!

==שאלה==
האם מישהו יכול להגיד מה מבנה הבוחן וכמה זמן יש לנו?

===תשובה===
3 שאלות מתוך 4, 45 דקות.

לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

2010-08-09T18:14:38Z

Nimrod: /* שאלה על הקובץ של המרוכבים */

<math>\dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U</math>

{{הוראות}}

=ארכיון=

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 1| ארכיון 1]]''' - תרגיל 1

'''[[לינארית 1 לתיכוניסטים תשע - שאלות ותשובות - ארכיון 2| ארכיון 2]]''' - תרגיל 2

=שאלות=
==פתרון מרוכבים==
בשורה הראשונה (בעמ' הראשון) כתבתם בערך המוחלט של w שהוא שווה לשורש אחד ועוד שלוש. אבל הרי w הוא i מינוס שורש שלוש, אז הa של w זה i, וi בריבוע זה מינוס אחד.

==שוב שאלה לגבי מרוכבים בבוחן==
האם עלינו לדעת מאיפה מגיע הסימון <math>i</math> במספר המרוכב (הסבר על ידי שימוש בעותק של <math>R</math> בתוך <math>C</math> כפי שאלי הראה לנו בכיתה)?
תודה מראש.

===תשובה===
אני לא יודע מה בדיוק הוא הראה לכם בהרצאה. בגדול צריך לדעת את הדברים שרואים בהרצאה, אבל מכיוון שאני הייתי בין כותבי הבוחן ואני לא מבין למה אתה מתכוון, אני מניח שהתשובה היא שלבוחן הספציפי הזה לא צריך :)

==מערכות שקולות?==
הגדרה: שתי מערכות של משוואות לינאריות ב'''אותם הנעלמים''' נקראות שקולות אם למערכות יש אותה קבוצת פתרונות.

השאלה שלי: האם יכול להיות מצב של שתי מערכות של משוואות לינאריות שיש להן אותה קבוצת פתרונות אבל לא אותם הנעלמים? מה הכוונה אותם הנעלמים?

תודה.

===תשובה===
הרי מה זה אותם נעלמים? זה קצת חסר משמעות... הכוונה היא שתי מערכות עם אותו מספר נעלמים, כלומר מטריצות עם אותו מספר עמודות. שימו לב אבל שאם מספר המשוואות שונה המטריצות לא יהיו שקולות שורה.

==הוכחה שקבוצה כלשהי עם פעולות היא שדה==
האם צריך להוכיח גם שאין מחלקי אפס? תודה.
===תשובה===
צריך להוכיח בלבד את כל התכונות של שדה. אם אתה מוכיח שזה תת שדה אפשר להסתפק בקריטריון המקוצר. מתוך אלא נובע שאין מחלקי אפס, אין צורך להוכיח ישירות שאין מחלקי אפס.

==דמיון מטריצות==
האם נכון לור שאם מטריצה A דומה למטריצה B אז גם מתקיים שמטריצה B דומה למטריצה A?
תודה רבה.

:אני חושבת שכן כי זה יחס שקילות ויש בו סימטריות.

::ענית יפה. קל לראות שזה נכון אם כופלים בP וP^-1 בשני הצדדים מקבלים נוסחא דומה רק עם B לבד. כלומר <math>B=PAP^{-1}</math>

==הוכחה שכאשר <math>p</math> לא ראשוני, <math>\mathbb{Z}_p</math> הוא לא שדה==
נניח בשלילה ש-<math>\mathbb{Z}_p</math> שדה. <math>p</math> לא ראשוני לכן נגדיר <math>p=k \dot m</math> כאשר m,k טבעיים. לכן <math>k,m<p</math> ואז <math>1<=k,m<=p-1</math>. מוגדר <math>k*m=(k \dot m)mod p</math>.

מכאן, במחברת יש לי הוכחה שכוללת <math>k*m*m^{-1}</math> ואז יוצא <math>k=0</math> (לאחר כמה וכמה שלבים).

האם ניתן להוכיח גם בדרך של: <math>k*m=(k \dot m)mod p=p mod p=0</math> ואז קיבלנו שיש מחלקי 0, לכן זה לא שדה?
תודה מראש.

*לא יצא לי הסימן של הכפול, הנקודה.

===תשובה===
ההוכחה עם השלבים היא בדיוק אותו דבר, פרט לעובדה שהיא מוכיחה למה אם יש מחלקי אפס זה אינו שדה. מספיק לומר שיש מחלקי אפס ולכן זה לא שדה, אלא אם נבקש להוכיח את זה.

==שימוש ב"טריקים" במבחן ובבוחן==
זה כנראה לא המקום הכי טוב לשאול את זה, אבל אם מותר להשתמש ב"טריקים" בבוחן? למשל, למצוא פתרון של מערכת כלשהי ע"י הכפלה משמאל במטריצה ההופכית למטריצת המקדמים (שאותה אפשר לחשב, לפעמים, בעל-פה או בעזרת נוסחאות שלא בהכרח למדנו בכיתה, כמו <math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}</math>), מבלי לפרט למה הכפלנו דווקא במטריצה הזו. תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 17:39, 9 באוגוסט 2010 (IDT)

===תשובה===
אי אפשר מבלי לפרט. אם זו מטריצה 2 על 2 ניתן לומר שזו הנוסחא להופכית. וניתן לכפול בהופכית ולהגיד שככה אתה פותר, זה לגיטימי מאד.

==תרגיל 6.37==
האם (בשיעורי הבית ובבוחן) צריך להוכיח טענות (לדוגמה בא', שצריך להוכיח ש Ak~Bk) ממש בצמוד להגדרות להוכיח כל שלב, או שאפשר "להשתחרר קצת" ולהוכיח טענות בעזרת פעולות חשבון, בלי להוכיח שניתן לבצע כל שלב כפי שעשיתי אותו? אם השאלה לא מובנת, אסביר בדוגמה- בשאלה 6.37 א'- האם אפשר להוכיח את הטענה כך? -מכיוון שA שקול לB, ידוע ש A=p-1BP, ועכשיו נעלה את 2 האגפים בחזקת K, יוצא ש Ak=(p-1)k*Bk*pk ולכן
Ak=((p-1)*p)k*Bk ולכן Ak=(p-1)p*Bk ולכן Ak=(p-1)*Bk*p?
או שזו דרך שבה אני משתמש בהרבה פעולות שלא בטוח שניתן לבצע אותן, ולכן אני צריך להשתמש בדרך אחרת, יותר צמודה להגדרות? תודה.

===תשובה===
יש 2 דברים:
1. מהי רמת הפירוט הנדרשת בתרגיל. אם מבקשים להוכיח ש<math>A^k~B^k</math> אז צריך להוכיח את כל השלבים בדרך בדיוק כמו שעשינו בכיתה. בבוחן או מבחן אם אתה לא בטוח כמה צריך לפרט אתה יכול לשאול.

2. אסור בתכלית האיסור לרשום דברים לא נכונים בתוך הוכחה, וההוכחה שרשמת למעלה פשוט לא נכונה. הרי אין חילופיות במטריצות ולכן <math>(P^{-1}BP)^k</math> לא בהכרח שווה ל<math>P^{-k}B^kP^k</math>. איך השתמשת פה בחילופיות? ניקח דוגמא פשוטה:

<math>(abc)^2=abcabc</math> אם חילופיות הייתה מתקיימת היה אפשר לשנות את סדר האיברים בכפל ולקבל <math>aabbcc=a^2b^2c^2</math>. כאשר אין חילופיות אסור לעשות את זה, כי אתה עלול להגיע לתוצאות לא נכונות. הרי לפי שיטת ההוכחה שלך <math>A=P^{-1}BP=P^{-1}PB=B</math> ולמעשה מטריצות דומות הן בכלל שוות. אבל זה לא נכון.

:סליחה לגבי ההוכחה הלא נכונה, לגמרי שכחתי שאין חילופיות במטריצות, התבלבלתי. אבל לגבי רמת הפירוט- אמרת שצריך לבדוק מהי רמת הפירוט הנדרשת בתרגיל- איך אני יודע מהי רמת הפירוט הנדרשת? למה אם צריך להוכיח שקילות אז צריך להוכיח את כל השלבים בדרך (האם כשצריך להוכיח משהו אחר, לא צריך להוכיח את כל השלבים בדרך?) ולמה במבחן מותר לפרט פחות? תודה רבה.
:בנוסף, בכיתה אמרנו שצריך להוכיח את זה באינדוקציה, אך מותר גם להוכיח את זה פשוט ע"י הכפלת p-1BP קיי (K) פעמים? זה נראה לי חוקי (שימוש רק באסוציאטיביות).

===תשובה===
אין נוסחא כללית לרמת הפירוט. יש להפעיל הגיון ולשאול במקרים ספציפיים.

לשאלה לגבי האינדוקציה - אינדוקציה זו הדרך המתמטית להוכיח את זה. לפעמים בכיתה אנחנו מדלגים על אינדוקציות טריוויאליות מעין זו. לכתוב את זה k פעמים זה כמובן בלתי אפשרי, כי k הוא משתנה....

==שאלה על הקובץ של המרוכבים==
באיזה משפט מדובר בפתרון של שאלה 4?
:כנראה שהמשפט אומר שלמשוואה ממעלה n (כאשר חייבים להיות כל החזקות של X, כלומר ax^n+bx^(n-1)+...=y) אז יש למשוואה n פתרונות מרוכבים. אני לא זוכר מתי ואם בכלל הוכחנו אותו, אבל כנראה שלא נצטרך להוכיח אותו במבחן..

===תשובה===
אתם צודקים שאני לא מסביר את עצמי שם היטב, עיקר השאלה מבחינתי היה להראות שאם z שורש של פולינום אזי גם הצמוד שלו שורש.

מי שמתעניין מעבר מוזמן להסתכל על תרגיל 3.9 בעמוד 6 (שגם ממנו צריך להסביר מעבר למה שאני רשמתי בתשובה - התשובה שלי לא הייתה מדוייקת). בכל אופן ההוכחה שהצמוד הוא גם שורש יכולה להופיע בבוחן, אבל הוכחה לגבי שורשי פולינומים לא.

==שאלה נוספת בקשר לפתרון של 4==
ניסיתי להבין למה לפי זה שהמשלים של מכפלה או סכום ששוה למכפלת משלימי הגורמים או המחברים ניתן להגיע לזה שהמספר המשלים של שורש של הפולינום בהכרח מקיים גם הוא את הפולינום.
אשמח אם תוכל להסביר בצורה יותר ברורה למה דבר זה מתקיים.

==שאלה 6.34==
אני עושה את התרגילים מהתרגיל החדש כדי להתאמן לבוחן מחר - אני ממש לא יודע איך אפשר למצוא בעזרת ההופכי של A את הפתרון הכללי של המערכת? שמתי לב לשלושת האיקסים הראשונים (x1,x2,x3) המקדמים שלהם הם המקדים של המטריצה A. גם חישבתי את ההופכי של A. אפשר עזרה או רמז לֶמה צריך לעשות כדי למצוא את הפתרון הכללי של המערכת בעזרת ההופכי של A? תודה.

===תשובה===
מה הקשר שלמדנו בין פתרון מערכת משוואות וכפל מטריצות?
:בכפל מטריצות כל איבר במכפלה שווה לשורה המתאימה מהמט' הראשונה כפול העמודה המתאימה מהמט' השנייה. באמת שאני לא יודע איך זה מתקשר למערכת משוואות (סליחה על בורוּת ושוב תודה מראש)
::דירוג מטריצה שקול לכפל במטריצות אלמנטריות
:::איך מטריצות אלמנטריות קשורות לשאלה הזאת?
::::מה הקשר בין מטריצה הפיכה למטריצות אלמנטריות? (מומלץ לקרוא את המחברת...)
:::::לקח לי הרבה זמן למצוא את זה, אבל מצאתי במחברת הערה שאומרת שאם A הפיכה אזי אפשר להפוך את A לI ע"י פעולות שורה אלמ'. אני עדיין לא מבין איך 2 האיקסים הנוספים (x4,x5) ואיך המטריצות האלמנטריות נכנסות לתמונה. אשמח לרמזים עבים יותר, במיוחד כי מחר הבוחן ואני משקיע את מירב המאמצים כדי להתכונן אליו. תודה רבה מראש.
::::::כל מטריצה הפיכה היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות וכל פעולת דירוג היא כפל במטריצות אלמנטריות. רמז יותר עבה מזה הוא פתרון התרגיל. כמובן שאני לא יכול לפתור את התרגיל לפני שהגשתם אותו...

==מרוכבים בבוחן==
שלום רב,
האם תתכן משוואה מרוכבת כפי שנתנה בדף התרגול בבוחן עצמו? אם כן, מכיוון שאסור שימוש במחשבון, עלינו ללמוד את ערכי הסינוס, קוסינוס וטנגנס של זוויות נפוצות (30, 45, 60, 120, ... ואם כן אז אילו זוויות נפוצות?) או שבמידה ונשאל את הבוחן ייאמר לנו?
תודה מראש.

===תשובה===
שמח ששאלת :)

אם תהיה שאלה כזו במבחן אתם צריכים לדעת מהי התנהגות הסינוס והקוסינוס (מחזור, שיאים, אפסים וכדומה).
====תשובה לתשובה :)====
ראשית, תודה על התשובה המהירה.
ושנית, אני מניח שאנחנו נצטרך לדעת רק את הערכים הבסיסיים יותר, למשל לא יהיה צורך בלדעת מה ערך ה<math>\alpha</math> במשהו כמו <math>cos(\alpha)=0.124</math>, נכון?
והאם אתם מחיבים כתיבת זוויות ברדיאנים כפי שנכתב בתשובות או שגם מעלות זה בסדר?
תודה שוב.

:לא תצטרכו לדעת דברים מסובכים כאלה. וכן, מהרגע שנכנסתם בשער האוניברסיטה רק רדיאנים :)

==הוכחה שיש איבר הופכי בשדה <math>Z_p</math>==
ההוכחה מורכבת משלב א' בו מוכיחים שאם <math>a*b=a*c</math> כאשר <math>a \neq 0</math> אז <math>b=c</math>.

בשלב השני, אומרים שיש <math>p</math> איברים שונים בקבוצה <math>A</math> <math>a*0, a*1, a*2...a*(p-1)</math> כאשר <math>a \neq 0</math>, וגם P איברים ב-<math>Z_p</math>, לכן כל האיברים ב-<math>Z_p</math> נמצאים ב-<math>A</math> כולל <math>1</math>. כלומר קיים <math>b</math> ב-<math>Z_p</math> כך ש-<math>a*b=1</math>.

אז לא הבנתי:

1. למה שלב א' לא מספיק בשביל להוכיח שיש איבר הופכי? בשביל מה שלב ב'?

הרי אם הוכחנו את שלב א', זה אומר שיש איבר <math>a^{-1}</math> כך ש-<math>a*a^{-1}=1</math>. כלומר יש איבר הופכי ל-<math>a</math>.

2. האם שלב ב' לא מספיק, בלי שלב א' בשביל להוכיח שיש הופכי? הרי הוכחנו שקיים <math>b</math> כך ש-<math>a*b=1</math>, כלומר קיים איבר הופכי ל-<math>a</math>.

בקיצור לי נראה כאילו שלב א' ושלב ב' מספיקים כל אחד מהם בשביל להוכיח שיש הופכי.

אפשר הסבר? תודה.

===תשובה===
שלב א לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש (הדבר תקף לכל שדה ולא רק לשדה <math>Z_p</math> כלשהו):
יהי <math>a*b=a*c</math> ומכאן ש - <math>b=c</math>. אבל שים לב שלא רשום לנו בהכרח <math>a*b=a*c=1</math>, ולכן קיימת דוגמה נגדית לכך ש- c ו- b אינם ההופכיים של a, למשל <math>a*b=4=a*c</math>. במקרה זה אכן מתקיים ש-<math>b=c</math> אבל לא מתקיים שהם ההופכיים של a.

שלב ב לא מספיק מהסיבה הפשוטה ש:
הוכחת ש-1 נמצא ב- <math>A</math> ועפ"י הגדרת הקבוצה <math>A</math> שנתת יתקיים ש: <math>a*p</math> גם הוא איבר של <math>A</math>.
יהיו p, t איברים שונים בהם מכפילים את a ומקבלים 1. עפ"י שלב א הוכחת ש-p=t וזוהי סתירה כמובן. ולכן לכל a מ-<math>Z_p</math> איבר הופכי אחד בלבד, דבר המקיים את תכונת ההופכי.

שים לב שאם מבקשים ממך להוכיח ש- <math>Z_p</math> מסוים הוא שדה אז ניתן להוכיח את תכונת האיברים ההופכיים ע"י לוח הכפל של השדה המסוים שעבורו התבקשת להוכיח (או להפריך אותה עבור p שאינו ראשוני).

מקווה שעזרתי, גל.

===תשובה נוספת(ארז)===
גל, אתה קצת מבלבל. זה נכון שהתכונה הראשונה נכונה בשדה. זה מתוך ההנחה שמדובר בשדה, אבל '''זה מה שצריך להוכיח''' ואסור להסתמך על כך בהוכחה.

התשובה המדויקת ללמה זה לא מספיק היא פשוטה - זה לא מה שצריך להוכיח. צריך להוכיח שלכל איבר a
קיים איבר b כך ש ab=1. זה פשוט לא מה שהשורה הראשונה אומרת, ואני לא רואה איך אפשר להסיק את זה ממנה. (נכון שאם היה הופכי השורה הראשונה ברורה, אבל זו גרירה חד כיוונית).

לגבי השלב השני. ההנחה פה היא שהאיברים בA '''שונים זה מזה''' ולכן '''כל''' האיברים של <math>\mathbb{Z}_p</math> מופיעים שם (בפרט 1). העובדה שהם שונים זה מזה נובעת ישירות משלב א'. בלי שלב א' היה יכול להיות שבA יש פחות מp איברים ולכן אולי אחד חסר שם.

:תודה רבה!

==שאלה==
האם מישהו יכול להגיד מה מבנה הבוחן וכמה זמן יש לנו?

===תשובה===
3 שאלות מתוך 4, 45 דקות.

שיחת משתמש:Nimrod

2010-08-07T19:11:56Z

Nimrod: /* לינארית: תרגיל 2, 5.16; 6.19; 6.20; */

שיחת משתמש:Nimrod

2010-08-07T17:33:12Z

Nimrod: /* לינארית: תרגיל 2, 5.16; 6.19; 6.20; */

שיחת משתמש:אור שחף

2010-08-07T10:27:14Z

Nimrod: דף חדש: אור אני לא מצליח את שלושת התרגילים האחרונים בליניארית יש מצב שאתה מסביר לי את הרעיונות הכלליים?

אור אני לא מצליח את שלושת התרגילים האחרונים בליניארית יש מצב שאתה מסביר לי את הרעיונות הכלליים?

שיחת משתמש:Nimrod

2010-07-27T18:17:14Z

Nimrod: /* תרגיל 1, 2.8א */

== תרגיל 1, 4.ג' ==

צ"ל <math>A\cap \bigcup_{i=1}^n B_i = \bigcup_{i=1}^n (A\cap B_i)</math> ואח"כ אתה משתמש בזה פעמיים (כדי להראות ש: <math>\bigcup_{i=1}^n A_i \cap \bigcup_{j=1}^m B_j' = \bigcup_{i=1}^n(A_i \cap \bigcup_{j=1}^m B_j') = \bigcup_{i=1}^n \bigcup_{j=1}^m (A_i \cap B_j')</math>). -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 19:01, 26 ביולי 2010 (IDT)

== תרגיל 1, 2.8א ==

אתה רוצה להראות ש-<math>\frac{1}{a+b\sqrt{p}} \in \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math>. מתקיים: <math>\frac{1}{a+b\sqrt{p}} = \frac{a-b\sqrt{p}}{a^2-b^2 p}</math>. מכיוון ש-<math>a^2-b^2 p \in \mathbb{F}</math> הטענה נכונה. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 18:46, 27 ביולי 2010 (IDT)
:<math>\left(a^2-b^2 p\right)^{-1} \in \mathbb{F} \subset \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math> ולכן <math>\frac{a}{a^2-b^2 p} \in \mathbb{F} \and \frac{-b}{a^2-b^2 p} \in \mathbb{F}</math>. לפי הגדרת <math>\mathbb{F}[\sqrt{p}]</math> ולפי דיסטריביוטיביות (שאותה צ"ל, זה קל) נובע ש-<math> \frac{a-b\sqrt{p}}{a^2-b^2 p} \in \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math> ואז, לפי <math>x^2-y^2=(x+y)(x-y)</math> (צ"ל), <math>\frac{x}{x}=1</math> ואסוציאטיביות (צ"ל) מתקיים <math> \frac{a-b\sqrt{p}}{a^2-b^2 p} = \frac{1}{a+b\sqrt{p}} \in \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math>. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 19:44, 27 ביולי 2010 (IDT)
::בזכות תומר שמתי לב ש-p לא בהכרח שייך ל-F, חכו. -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:07, 27 ביולי 2010 (IDT)
:::ברגע שמוכיחים סגירות נובע מכך: <math>a^2-b^2 p \in \mathbb{F}[\sqrt{p}]</math>. ניסיתי להוכיח סגירות: <math>(a+b\sqrt{p})(c+d\sqrt{p})=^\text{(distributivity)}ac+bdp+ad\sqrt{p}+bc\sqrt{p}=^\text{(associativity)}(ac+bdp)+(ad+bc)\sqrt{p}</math>. בזכות הגדרת <math>\mathbb{F}[\sqrt{p}]</math>, נותר להוכיח ש-<math>ac+bdp \in \mathbb{F}</math>, אבל בגלל קיום איבר נגדי, איבר הופכי וסגירות החיבור והכפל ב-F, צריך להתקיים ש-p שייך ל-F. חכו רגע, או שטעיתי או שיש פה משהו מתוחכם שלא ראיתי. נ.ב. נמרוד, למה מחקת? -[[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 20:37, 27 ביולי 2010 (IDT)

בגלל שעדיף לא לציין מה שיש בו טעות אלה רק מה שנכון

שיחת משתמש:Nimrod

2010-07-27T17:17:31Z

Nimrod: /* תרגיל 1, 2.8א */