Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

שיחה:88-341 תשעג סמסטר א

2012-12-24T23:51:24Z

Orbiri: /* קבוצת קנטור */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== סיכומי הרצאות ותרגולים ==

אני מסכם את ההרצאות של ד"ר הורוביץ ואת תרגוליו של מיכאל טויטו. את ההרצאות ניתן למצוא [http://www.studenteen.org/modern_analysis.pdf כאן], ואת סיכומי התרגולים ניתן למצוא [http://www.studenteen.org/modern_analysis_exercises.pdf כאן].
בהצלחה!

== תרגיל 1 שאלה 4 ==

למה הכוונה בקבוצה לא מדידה? תודה.

: האמת שראיתם בהרצאה דוגמא, אבל עוד לא הגדרנו את זה בדיוק ולא יהיה הוגן לשאול על זה... שאלה 4 מבוטלת.
: לשאלתך: זוהי קבוצה שמונעת מהתכונות הרצויות למידה להתקיים. --[[משתמש:Michael|Michael]] 20:09, 1 בנובמבר 2012 (IST)
:: עכשיו אני נזכר בזה... מצד שני, בהרצאה לא ממש קראנו לזה לא מדידות, אלא אמרנו שיש מקרים שלא יתקיימו כל התכונות, ולכן נגדיר קבוצה מדידה לפי לבג. בכל מקרה, תודה.
::: אני מבין ששאר השאלות ברורות?

== תרגילים נוספים לדוגמה ==

שלום. היכן ניתן לראות תרגילים לדוגמה עם פתרונות , מעבר למה שמתרגלים בכיתה ,לנושאים שנלמדו?
:שלום. אני בטוח שבספרים על תורת המידה או אנליזה ממשית יש שאלות פתורות (צריכים להיות כמה כאלו בספריה). --[[משתמש:Michael|Michael]] 20:08, 3 בנובמבר 2012 (IST)

שלום האם ניתן לומר שסיגמה מ 1 ועד אינסוף של קבוע כפול קבוצה המוכלת ב R ,הוא הקבוע כפול הסיגמה של הקבוצה?
: משהו לא מסתדר כאן. אין כוונה לסכום טורים של קבוצות. אם תוכלי לרשום זאת בכתיב מתמטי זה יעזור לי. --[[משתמש:Michael|Michael]] 10:52, 4 בנובמבר 2012 (IST)
האם מכאן נובע שקבוע כפול המידה של הקבוצה שווה למידה של הקבוע כפול הקבוצה?
: גם כאן אשמח לראות משוואות. אבל נראה לי שזאת שאלה שאסור לי לענות עליה. --[[משתמש:Michael|Michael]] 10:52, 4 בנובמבר 2012 (IST)
הסגור של הקטע הפתוח (a,b) הוא הקטע הסגור [a,b] האם הסגור של קבוצת הרציונליים בקטע (3,4] הוא הקטע הסגור [3,4]?
: נכון. --[[משתמש:Michael|Michael]] 10:52, 4 בנובמבר 2012 (IST)

==שאלה בנוגע למידה==
אם פונקציה חיובית <math>\mu</math> שמתאפסת על הקבוצה הריקה ומקיימת שלכל סדרה מתכנסת <math>(A_n)_{n=1}^{\infty}</math> מקיימת:

<math>\mu(\lim_{n \rightarrow \infty} A_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} \mu(A_n)</math>
האם <math>\mu</math> כזו היא מידה? (ז"א האם היא <math>\sigma</math>-חיבורית?).
: איך את/ה מגדיר/ה התכנסות של סדרת '''קבוצות'''? --[[משתמש:Michael|Michael]] 15:03, 18 בנובמבר 2012 (IST)

:: מגדירים גבול עליון כקבוצת כל האיברים שנמצאים באינסוף סדרות וגבול תחתון כקבוצת כל האיברים
:: שנמצאים החל מאינדקס מסוים בכל הסדרות, ז"א:
:: <math>\limsup_{n \rightarrow \infty} A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{m=n}^{\infty} A_m</math>
:: <math>\liminf_{n \rightarrow \infty} A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{m=n}^{\infty} A_m</math>
:: סדרה מתכנסת אם הגבול העליון שווה לתחתון (וערכם גם תהיה קבוצת הגבול). כרגיל גבול של סדרת קבוצות עולה הוא האיחוד ושל יורדת החיתוך. ז"א שאם <math>\mu</math> סגורה לגבולות אז היא גם סגורה לאיחודים וחיתוכים בני-מנייה. אבל האם יש לזה קשר לחיבוריות?
::: ראשית אציין שלא כל מידה זוכה לקיים תכונה זו: למשל מידת לבג <math>m</math> על <math>(\mathbb{R},\mathcal{L})</math>, עם סדרת הקבוצות <math>A_n=(n,\infty) \rightarrow \empty</math>. אני יכול להוכיח שאם <math>\mu</math> היא חיבורית '''סופית''', כלומר <math>\mu \left( \bigcup_{n=1}^N A_n \right)=\sum_{n=1}^N \mu(A_n)</math> עבור קבוצות זרות בזוגות, ומקיימת את הדרישה שלך אזי היא תהיה גם <math>\sigma</math>-חיבורית:

:::<math>\mu \left( \bigcup_{n=1}^\infty E_n \right)=\mu \left( \lim_{N \to \infty} \bigcup_{n=1}^N E_n \right)=\lim_{N \to \infty} \mu \left( \bigcup_{n=1}^N E_n \right)</math>

:::ועכשיו על פי חיבורית זה שווה ל <math>\lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N \mu\left(E_n\right)</math> - וזוהי בדיוק ההגדרה של הטור האינסופי <math>\sum_{n=1}^\infty \mu \left( E_n \right)</math>

::: אני חושב שבלי חיבוריות סופית אין תוצאה, אבל ליתר בטחון כדאי לשאול את ד"ר הורוביץ. --[[משתמש:Michael|Michael]] 14:55, 21 בנובמבר 2012 (IST)

::: כן. למשל, פונקציה <math>\mu \equiv c</math> קבועה מקיימת את הנ"ל ואינה מידה, וכן אפשר להגדיר פונקציה שתהיה קבועה על אוספי קבוצות זרות וגם לדאוג שתקיים את השמירה על הגבול ולא תהיה מידה.

== תרגיל 4 שאלה 2א ==

גם שם אני רשאי להניח שהשיטות לחישוב אינטגרלים מאינפי עובדות? תודה.
: אין חובה לדרוש זאת, אבל אילו שיטות אתה צריך? --[[משתמש:Michael|Michael]] 19:49, 22 בנובמבר 2012 (IST)
::למשל המשפט היסודי (בעקרון אני לקחתי פונקציה שהיא חלקה למקוטעין, אך רציפה, ומורכבת מפונקציה קבועה וישר, ואז אני צריך לחשב את האינטגרל לחלק של הישר).
::טוב, אני כבר מבין שהסתבכתי (ושאין צורך בדרישה כזו, אם לוקחים פונק' רציפה למקוטעין כמו שהצעת). אעדכן בפתרונות שלי. תודה שוב.

== תרגול ==

ביום ה 13/12 יש תרגול כרגיל? תודה.

:יהיה תרגול חזרה, כלומר נפתור תרגילים מייצגים על החומר שראינו עד כה. (לא נמשיך מעבר למשפט ההתכנסות הנשלטת של לבג). --[[משתמש:Michael|Michael]] 01:31, 11 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6, שאלה 3, סעיף א ==

על איזו קבוצה צריך לחשב את האינטגרל של הסדרה האינטגרבילית? <math>\mathbb N</math> או כל קבוצה ב־<math>\mathcal P(\mathbb N)</math>? תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]]<sup>[[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]</sup> 19:30, 19 בדצמבר 2012 (IST)
: <math>\mathbb{N}</math> --[[משתמש:Michael|Michael]] 21:37, 19 בדצמבר 2012 (IST)
:ובאותה שאלה, לא זכור לי שלמדנו באף קורס איך לחשב את <math>\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}=\zeta(2)</math> (ו[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%91%D7%A2%D7%99%D7%99%D7%AA_%D7%91%D7%96%D7%9C לפי ויקיפדיה], לקח כמעט 100 שנה לפתור את זה). איך אמורים לחשב את האינטגרל? [[משתמש:אור שחף|אור שחף]]<sup>[[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]</sup> 22:27, 19 בדצמבר 2012 (IST)
: אתה צודק, אפשר להשאיר את התשובה בצורה של טור, בלי לחשב את הסכום שלו. שים לב שמדובר בטור '''מתחלף'''. --[[משתמש:Michael|Michael]] 00:07, 20 בדצמבר 2012 (IST)

== קבוצת קנטור ==

האם ניתן לרשום את Ck כאיחוד של הקטעים הבאים?
<math>\left \{ \left [ \frac{2n}{3^k},\frac{2n+1}{3^k} \right ] \mid n\in \mathbb{N} \wedge \frac{2n}{3^k}\in C \right \}</math>

או שיש דרך יותר סימפטית לתאר את Ck כאיחוד קטעים סגורים?

שיחה:88-231 פונקציות מרוכבות תשעב סמסטר אביב/שאלות ותשובות

2012-06-01T01:47:35Z

Orbiri: /* תרגיל 8 שאלה 3 */

{{הוראות דף שיחה}}

== תרגיל 1 שאלה 1 סעיף ב ==

האם a הוא מספר ממשי או מרוכב?
: ממשי. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:13, 20 במרץ 2012 (IST)

== שאלה 2, תרגיל 1 ==

נראה לי שהזהות שצ"ל שם אינה נכונה.

אם נציב טטא=פאי/2, n=1, הזהות לא מתקיימת, כאשר טטא הוא מחוץ לסינוס באגף ימין. לדעתי הוא אמור להיות בתוכו...

אשמח באם תוכלו לומר לי האם אני טועה, או שיש טעות בתרגיל.
תודה רבה מראש, [[משתמש:gordo6|גל]].
:אז איזו זהות עלינו להוכיח לבסוף? או לחלופין להפריך בדף התשובות?

:: <math>\theta</math> שייך ל- <math>sin</math>. אתה יכול (אך לא חייב) להוסיף את הסוגריים: <math>sin((n+1/2)\theta)</math>. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:26, 20 במרץ 2012 (IST)
:::תודה.

== שאלה 1 סעיפים ב' ו-ג' ==

אלה לא קבוצות נקודות, אלא מספר ממשי כלשהו...
: תודה. הועלה קובץ מתוקן. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:10, 22 במרץ 2012 (IST)

== תרגיל 2 ==

'''שאלה 2'''

באילו מהפונקציות הבאות מותר להשתמש בשאלה: Re(z), Im(z), |z|, z conjugate?
: <math>z, \bar z</math>. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:35, 4 באפריל 2012 (IDT)

'''שאלה 3'''

מה בדיוק הקשר של השאלה לפונקציות מרוכבות הרי כאשר z->2 במסלול הממשי הגבול קיים וידוע?
: לא אמרנו שזה מסובך. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:35, 4 באפריל 2012 (IDT)

תודה רבה.

== תרגיל 4 שאלה 4 ==

מוגדר שם שורש. על איזה ענף של השורש מוגדרת הפונקצייה: בין פאי למינוס פאי, או בין 0 לשני פאי?
: יש תנאי שלפיו צריך לבדוק באיזה ענף מדובר. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 20:25, 16 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 3 שאלה 7 ==

מה זאת אומרת למצוא תבנית לפונקציה בשאלה 7?
: כל הפונקציות האפשריות מהצורה <math>\Phi(x^2-y^2)</math>, כלומר, בכל מקום שפוגשים משתנים הם באים בצורה <math>x^2-y^2</math>. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:03, 23 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 5- שאלה 5 ==

מופיעה באינטגרל פעמיים dz. האם אמור להופיע משהו אחר במונה של השבר?
: לא, לא אמור להופיע שום דבר חוץ מ- dz. עדכנתי את הקובץ. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 20:51, 25 באפריל 2012 (IDT)

== 3 שאלות על תרגיל 3 ==

1. מהו התחום בו פונקציית השורש אנליטית?
: יש מספר תחומים כאלה. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:58, 25 באפריל 2012 (IDT)

2. האם הכוונה בשאלה 1 לתחום אנליטיות?
: לא, הכוונה לתחום ההגדרה כפי שכתוב. הענף העיקרי הוא בפרט ענף אנליטי. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:58, 25 באפריל 2012 (IDT)

3. בשאלה 5, מדוע העובדה ש 2pi>Arg(z)>0 אומרת ש: 2pi>Im(z)>0 ?
: לפי הגדרה <math>log(z)=ln(|z|)+i\cdot arg(z)</math>. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 22:58, 25 באפריל 2012 (IDT)

תודה רבה.

'''לא הבנתי את תשובתך לשאלה הראשונה שלי, האם תוכל להרחיב? בנוסף, האם תוכל בבקשה להסביר את הקשר בין בחירת ענף לבין אנליטיות?
תודה רבה.'''
: הענפים שמעניינים אותנו הם אנליטיים. אבל אני יכול לבחור איך ייראה הענף. לדוגמא, ענף עיקרי הוא הענף ש- <math>-\pi < \arg (z) < \pi </math>. אבל אני גם יכול לקחת ענף אחר שעבורו <math>0 < \arg (z) < 2\pi </math>. זהו גם ענף אנליטי, אך לא הענף העיקרי. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 17:35, 26 באפריל 2012 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 3 ==

אם למשל נתונה לי פונקציה מרוכבת <math>|f(x)|<k</math> שהיא חסומה, האם נכון לכתוב <math>-k<f(x)<k</math>?
: אם <nowiki>f(x)</nowiki> היא פונקציה ממשית, אז נכון. אם היא פונקציה מרוכבת, אז ממש לא. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 20:49, 7 במאי 2012 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 1 ==

גרישה, אתה יכול לתת רמז איך פותרים את השאלה 1 בתרגיל 6
: צריך לעשות "פרמטריזציה חפוכה" כדי לחזור לאינטגרל לפי dz שאותו אפשר לחשב בעזרת נוסחת קושי. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 20:56, 7 במאי 2012 (IDT)

== תרגיל 6 שאלה 1 ==

אפשר להשתמש בו במשפט הערך הממוצע?

אמנם נכתב "השתמשו בנוסחת קושי" אבל בכיתה השתמשנו בנוסחת קושי כדי להוכיח את משפט הערך הממוצע...
תודה מראש.
: כתוב במפורש להשתמש בנוסחא קושי וזה מה שאנחנו רוצים לראות. אפשר להשתמש במשפט הערך הממוצע כחישוב צד כדי לבדוק האם הפתרון בעזרת נוסחת קושי היה נכון. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 23:52, 11 במאי 2012 (IDT)

== מתי מתחילה החופשה? ==

אמורה להיות לנו חופשה של שבועיים. מתי היא מתחילה? והיא רלוונטית לגבי קורסים אחרים? תודה רבה!
: אני לא מכיר חופשה של שבועיים. יש חופשה ביום ראשון הקרוב (20.05) - יום ירושלים וימים ראשון ושני בעוד שבועיים (27-28.05) - שבועות. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 17:12, 17 במאי 2012 (IDT)

== שאלה על משפט היחידות ==

משפט היחידות אומר שאם f(zn)=g(zn) כאשר zn סדרה לא מנוונת שגבולה בתחום האנליטיות של f אז בתחום זה f=g.
אם f שלמה, האם סדרה ששואפת לאינסוף נחשבת כסדרה שגבולה בתוך תחום האנליטיות של f ויכולה לקיים את תנאי המשפט?
וגם, אם ל zn אין גבול אבל היא נשארת תמיד בתוך סביבה שמוכלת ממש בתחום האנליטיות (למשל - רצה על מעגל היחידה), האם אפשר להפעיל את המשפט על zn או שהמשפט לא מתקיים עבור zn כזאת?
תודה!

: אנסה לתת ניסוח קצת שונה של המפשט - נניח שהפונקציות (g(z),f(z אנליטיות בתחום D שכולל קבוצה E שנקודת ההצטברות שלה, a, שייכת ל-D. נניח גם ש- (f(z)=g(z לכל <math>z\in E</math>. אזי (f(z)=g(z לכל <math>z\in D</math>. מכאן נקודת אינסוף לא מתאימה. חוץ מזה, אם תיזכר בהוכחת המשפט, אז הוכחתם ע"י פיתוח לטור טיילור סביב נק' a (תקן אם אני טועה והוכחתם אחרת). --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 20:36, 19 במאי 2012 (IDT)
::"קבוצה E שנקודת ההצטברות שלה" - מה אם לE יש יותר מנקודת הצטברות אחת, האם הכוונה היא שאם לכל נקודת הצטברות בE, הנק' שייכת לD, אז המשפט מתקיים?
::עריכה: הצלחתי להוכיח את הדרוש עם לקיחת תת סדרה מתאימה. תודה!

== תרגיל 8 שאלה 7 ב' ==

בשאלה 7 סעיף ב' לא ברור מה צריך לעשות בשאלה
: תודה. הועלה קובץ מתוקן. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 23:21, 21 במאי 2012 (IDT)

== מבחנים ==

אם תוסיפו מבחנים נוספים של המרצה לתרגול זה יהיה מאוד מועיל. תודה מראש וחג שמח.
זה כל מה שיש אצלי. תבדקו בספריה, לאחרונה נבנה בנק בחינות. גם תסתכלו על המבחנים של מרצים אחרים, החומר לא משתנה יותר מדי. גם באוניברסיטאות אחרות אפשר למצוא הרבה מבחנים (לפעמים אפילו פתורים). --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 17:33, 24 במאי 2012 (IDT)

== הוספת מבחנים נוספים ==

האם ניתן להוסיף מבחנים משנים קודמות יותר ? תודה מראש.
: זה כל מה שיש אצלי. תבדקו בספריה, לאחרונה נבנה בנק בחינות. --[[משתמש:Grisha|Grisha]] 17:31, 24 במאי 2012 (IDT)

== תרגיל 8 שאלה 3 ==

האם ניתן להניח כי R תחום קשיר? אחרת לא ניתן להוכיח כי f היא 0 זהותית ב-R.
ובנוסף אם f(1/n) גדול ממש מ-0 אז f אינה רציפה, ולכ גם אינה אנליטית ב-R, לכן אי השיוויון המתאים הוא גדול או שווה.

שיחה:88-231 פונקציות מרוכבות תשעב סמסטר אביב/שאלות ותשובות

2012-06-01T01:17:58Z

Orbiri: /* תרגיל 8 שאלה 3 */ פסקה חדשה

שיחה:88-231 פונקציות מרוכבות תשעב סמסטר אביב/שאלות ותשובות

2012-04-25T12:20:33Z

Orbiri: /* תרגיל 5- שאלה 5 */ פסקה חדשה

שיחה:88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעא

2011-10-05T18:59:42Z

Orbiri: /* מתי יעלו פתרונות למבחן? */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון=
[[שיחה:88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעא/ארכיון 1|ארכיון 1]]

=שאלות=

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

1) הכוונה היא בנקודת שבת "של g" <math>x| g*x=x</math> או בנקודת שבת "של G" (איקסים כך שלכל g בG מתקיים g*x=x)?

2)סימטריות של הריבוע = סיבובים?
תודה
:1) לא נתונה g ספציפית, לכן הכוונה לנקודת שבת "של החבורה" (ליתר דיוק, של הפעולה), כלומר איבר x ב-X שנשאר במקום ע"י כל איברי g ב-G.
:2) סיבובים ושיקופים. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 08:16, 30 באוגוסט 2011 (IDT)
::תודה

== שאלה ==

ב Sn, טיפוסי המחזורים הבאים: (--)(---) ו- (---)(--) נחשבים טיפוסים שונים, או זהים? תודה!
:זהים: כי מחזורים זרים מתחלפים. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 10:39, 30 באוגוסט 2011 (IDT)
::תודה!

== תרגיל 4 - שאלת בונוס 2 ==

בשאלת הבונוס השניה בתרגיל 4, מה זה בדיוק [G,G] ו-[G,A]?

תודה מראש!;)
: אלו חבורות הקומוטטורים. אם G היא חבורה ו-A,B תת-חבורות שלה, אז <math>\ [A,B]</math> היא תת-החבורה של G הנוצרת על-ידי כל הקומוטטורים <math>\ [a,b] = aba^{-1}b^{-1}</math> עבור <math>\ a\in A, b\in B</math>. שימו לב שבאופן כללי, לא כל איבר של <math>\ [A,B]</math> הוא קומוטטור. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 13:36, 30 באוגוסט 2011 (IDT)

== בקשר לשאלה 11 ==

האם מתקיים ש exp(G)= lcm({ O(g)|g in G }) zzz? זה לפחות מתקיים בחבורה Sn? תודה!
:הטענה נכונה. בכל חבורה סופית האקספוננט הוא ה-lcm של סדרי כל האיברים (בפרט ב-Sn). נסו להוכיח זאת. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 08:42, 1 בספטמבר 2011 (IDT)
::צריך להוכיח זאת לצורך התרגיל? תודה.
:::לא, אתם יכולים פשוט להשתמש בזה. אני כן ממליץ (בלי קשר לתרגיל) לנסות להבין למה זה נכון. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 13:26, 1 בספטמבר 2011 (IDT)
::::תודה!

== כמה שאלות לגבי שאלה 6 ==

1. הכוונה (ב-ב.) היא שצריך להוכיח שקיים אפימורפיזם מZ^m לG, נכון?
2. אני יכול לטעון שקבוצה מסוימת יוצרת את Z^m בלי להוכיח את זה?
3. זה טריויאלי להשתמש בעובדה שניתן להגדיר הומומורפיזם ע"י שליחת יוצר בקבוצה אחת ליוצר בקבוצה אחרת?
תודה!
== שאלה 7 סעיף ב' ==

מה זה G' ?
: ('''לא מתרגל''') חבורה הנוצרת ע"י כל הקומוטטורים ב-G. למדנו זאת בחלק נרחב מהתרגול, קשה לי להאמין שלא נתקלת בזה.
: מקווה שעזרתי;)

== סיכומים (של סטודנטים) לקורס זה ==

שלום רב,

כפי שנעשה בקורסים האחרים באתר זה (כגון: [[88-236 תשעא סמסטר קיץ|אינפי 4]]), העליתי סיכומים של הקורס (שכתבו סטודנטים שלמדו בו) לדף השיחה שלי - ממש [[משתמש:Gordo6/סיכומים אלגברה מופשטת 1|כאן]] תוך הוספת הערה שאלו סיכומים שנכתבו על ידי הסטודנטים, ולכן כמובן שאין התחייבות של המרצים ו/או המתרגלים לתקינותם.

כמו כן - הוספתי לדף הראשי של הקורס הזה קישור לדף הסיכומים, ממש כפי שנעשה בקורסים האחרים. מקווה שזה בסדר. במידה וזה בעייתי, אין לי בעיה להסיר את הקישור המדובר בעקבות בקשה שלכם ו/או שאתם תסירו אותו.

תודה, [[משתמש:Gordo6|גל]].

== בקשה ==

מתרגלים יקרים, תוכלו להעלות את הפתרונות של תרגילי הבית? וגם אולי מבחנים? (זה חשוב כדי להתאמן למבחן).
תודה רבה!

::קיבלתם! :) הפתרונות נמצאים מתחת לתרגילים. עוד היום יעלו גם מבחנים של פרופסור מגרל משנים קודמות. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]]
:::תודה

== חבורות חופשיות ==

חבורות חופשיות זה בחומר למבחן? לא תרגלנו את הנושא והנושא מרגיש לא מובן, לכן נשמח אם לא נבחן עליו. תודה!

::המבחן כבר כתוב, וכולל את כל החומר שלמדתם. חבורה חופשית זה נושא גדול, ובמסגרת מה שהספקת בהרצאה - אין הרבה מה לתרגל. אני מציעה שתעברו על החומר במחברת ותנסו להבין את הרעיונות המרכזיים. --[[משתמש: לואי פולב|לואי]]

== שיעור חזרה מחר ==

איפה השיעור מחר? תודה מראש.

::זה מופיע בהודעות, בדף הראשי

== שיעור חזרה היום ==

הי לואי,
המזכירות שלחה עכשיו מייל לכולם שהתרגול בשעה 14, למרות שכתוב באתר שהוא בשעה 16. אז מתי הוא יהיה? גל.

::הי גל, בסוף הוא יהיה בשעה 14:00. ההודעה באתר תוקנה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]].

== כמה שאלות על תרגילי הבית ==

בתרגיל 2 (http://math-wiki.com/images/5/56/Solution2abstractalgebra2011.pdf) שאלה 8,ג', למה הקוסט שיצא איזומורפי לX2? אני לא רואה למה זה קורה. לאן נעלם X1? כפי שאני רואה את זה זה שווה ל X1xX2 ולא איזומורפי לX2.

:: זה אכן איזומורפי ל-<math>X_2</math>. אנסה להבהיר את זה עם דוגמא. נתבונן ב- <math>G=\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2</math>, ותהי <math>H=\mathbb{Z}_4 \times \{0\}</math>. כעת נתבונן בקוסטים של <math>H</math>:
: <math>(0,0)+H=H</math>
:<math>(1,0)+H=H</math>
:...
:למעשה: <math>(a,0)+H=H</math>.
:כעת, מה קורה אם יש 1 במקום השני?
:<math>(0,1)+H= \mathbb{Z}_4 \times \{1\}</math>
:וקל לראות כי:
:<math>(a,1)+H=\mathbb{Z}_4 \times \{1\}</math>.
:לכן יש רק שני קוסטים, ואכן קבוצת המחלקות של <math>H</math> איזומורפית ל-<math>\mathbb{Z}_2</math>.
:אותו הדבר בדיוק קורה בתרגיל המדובר. נסו לחשוב מהו האיזומורפיזם המפורש שעושה את העבודה. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]]

בתרגיל 3 (http://math-wiki.com/images/a/a6/Solution3abstractalgebra2011.pdf) שאלת בונוס 2, מהו C_H(a)?

זהו המרכז (centralizer) של <math>a</math> ב- <math>H</math>.

ותוכלו להסביר את הפתרון? (למשל למה ידוע ש <math>|[a]_H|=[H:C_H(a)]</math>).
ידוע את זה לגבי כל חבורה, בפרט עבור <math>H</math>.

באופן כללי, אני אוכל לנסות לכתוב את הפתרון באתר באופן יותר ברור, אבל כאן זה לא המקום להסביר את כל השאלה הזאת (כי זאת, אחרי הכל, שאלת בונוס).

בשאלת בונוס 3 באותו תרגיל, איך הגעתם לסדרי יתר מחלקות הצמידות? וגם, למה הסדר של חבורה נורמלית צריך להיות סכום של איברים מהקבוצה הנ"ל '''ועוד אחד'''? איבר היחידה לא נמצא כבר בתוך המסלולים האחרים? לדוגמה אם אנחנו במסלול בגודל 12, איבר היחידה הוא לא אחד מהאיברים במסלול, כך שלא צריך להוסיף עוד אחד ולקבל 13?

:בתרגיל 4(http://math-wiki.com/images/3/39/Solution4abstractalgebra2011.pdf), שאלת בונוס 2, למה G/K אבלית <-> [G,G] מוכל בK? למה G=<A,x>?
תודה רבה!

:: זאת שאלה חשובה. טענה: תהי <math>G</math> חבורה כלשהי ותהי <math>N</math> תת חבורה נורמלית של <math>G</math>. אזי <math>G/N</math> אבלית אם ורק אם <math>G' \subseteq N</math>.
::הוכחה: נוכיח את הכיוון הלא טריוויאלי. נניח ש- <math>G/N</math> אבלית. צריך להוכיח כי<math>G' \subseteq N</math>. אז נניח בשלילה שלא. כלומר, קיים קומוטטור שלא שייך ל-<math>N</math>. זאת אומרת, קיימים <math>a,b \in G</math> כך ש- <math>[a,b]=aba^{-1}b^{-1} \notin N</math>. או.קיי. אבל <math>G/N</math> אבלית ולכן מתקיים לכל <math>a,b \in G</math>:
::<math>[aN,bN]=N</math>, אבל, <math>[aN,bN]=aNbNa^{-1}Nb^{-1}N=aba^{-1}b^{-1}N=N</math> ואז מקבלים ש-<math>aba^{-1}b^{-1} \in N</math>, בסתירה להנחה שלנו. לכן חבורת המנה היא אבלית אם ורק אם <math>N</math> מכילה את חבורת הקומוטטורים. --[[משתמש: לואי פולב|לואי]]
:::תודה על התשובות!

== [[מדיה: AAexam2004B.pdf|מבחן 2004 מועד ב]] שאלה 6א ==

השאלה היא: "בעזרת משפט ברנסייד מצא מספר ריבועים '''לא שקולים''' עד כדי סיבובים ושיקופים אם מותר לצבוע את הקודקודים בשני צבעים קבועים".
האם אפשר למצוע את מספר הריבועים השקולים (כפי שלמדנו לעשות בעזרת הלמה של ברנסייד), ואז לקחת את מספר כלל האפשרויות, לחסר ממנו את מספר הצביעות השקולות שמצאנו ולקבל את מספר הצביעות הלא שקולות?
תודה מראש, [[משתמש:gordo6|גל.]]

::לא, כי משפט ברנסייד בעצמו מספק את התשובה הדרושה. לפי משפט ברנסייד אנחנו מוצאים את מספר המסלולים של פעולת החבורה. בכל מסלול - איברי המסלול הם שקולים אחד לשני, מצד שני, שני איברים ממסלולים שונים - לא יהיו שקולים. לכן למצוא את מספר המסלולים משמע למצוא את מספר הצביעות '''השונות''', או את מספר הריבועים '''הלא שקולים''' (במקרה של השאלה הנ"ל). [[משתמש:לואי פולב|לואי]]

נ.ב. מצאתי עוד מבחנים נוספים של פרופ' מגרל שלא העלתם, אז העלתי אותם לדף המבחנים.
::נהדר, תודה! :) [[משתמש:לואי פולב|לואי]]

== שאלה ==

האם מתקיים <math>Un~=Z_\phi(n)</math> (הכוונה היא שחבורת ההפיכים של Zn איזו' לZ של פי (פונקצית אוילר) של n), לפחות אולי לn ראשוני? תודה!

::אני לא בטוחה שהבנתי את השאלה, אבל על פי '''ההגדרה''': חבורת אוילר <math>U_n</math> היא חבורת האיברים ההפיכים של <math>\mathbb{Z}_n</math>.

::האם זה עונה על השאלה?..--[[משתמש:לואי פולב|לואי]]

:::אני די בטוח שהשאלה פה היא האם חבורת אוילר מסדר n כלשהו איזו' לZ של פי של אן (כלומר לחבורת מודולו פי אן - כאשר פי אן היא פונקציית אוילר או במילים אחרות העוצמה של חבורת אוילר). התשובה לזה, כמובן, קשורה לשאלה האם חבורת אוילר היא ציקלית (שכן האיזו ששאלת עליו יקרה אם"ם היא ציקלית). עם זאת לא כל חבורת אוילר היא ציקלית - למשל U_20. עם זאת, חבורות אבליות הן אבליות ולכן ניתנות לפירוק למכפלה של חבורות ציקליות. מקווה שעזרתי, [[משתמש:gordo6|גל.]]

== שיעור חזרה עם המרצה ==

מתי ואיפה הוא יתקיים?
תודה!
:ראה מייל שפרופ' מגרל שלח לי לגבי זמן השיעור, מיקומו ומטרותיו. [[משתמש:gordo6|גל]].
"
השיעור יתקיים ביום ראשון ב 2 לאוקטובר בשעה 16:00
חדר המחלקה אחד מהאופציות אבל
יתכן שיהיה שינוי חדר באותו יום

אני מתכוון לדבר קצת על החומר -- לסכם כמה דברים
ואם יש לכם שאולות לגבי המשפטים
למשל אם משהו לא ברור בהוכחה

זאת המטרה של השיעור"

== שאלה - אוטומורפיזמים ב-Sn ==

ערב טוב,

האם אוטומורפיזם כלשהו על Sn שומר על סימן תמורה? כלומר:

<math>\forall f \in Aut(S_n), \alpha \in S_n : sign(\alpha) = sign(f(\alpha))</math>

תודה מראש!

::בהחלט! יש לא מעט אוטומורפיזמים כאלה.
קודם כל - אוטומורפיזם הזהות. או למשל: אוטומורפיזם ההצמדה (הוא שומר על מבנה המחזורים ולכן שומר גם על הסימן) --[[משתמש: לואי פולב| לואי]]
::: תודה, אך את זאת ידעתי כבר קודם. השאלה שלי הייתה האם '''כל''' אוטומורפיזם כללי הוא בהכרח שומר סימן, אלא אם כן התכוונת שכל אוטומורפיזם שומר סימן (והדוגמאות היו כדי להסביר).

::אז ככה, זה מה שאני יודעת: עבור <math>n \neq 2,6</math> מתקיים <math>Aut(S_n)=Inn(S_n)</math>, ז"א יש רק את האוטומורפיזמים של ההצמדה (ואז הם שומרים סימן). אבל אני לא ממש בטוחה מה קורה ב- <math>S_6</math>, לא קופץ לי לראש כרגע... שווה לבדוק :)--[[משתמש:לואי פולב|לואי]]
::: אשמח להוסיף כאן עוד שאלה שנתקלתי בה, (ובזמן שניסיתי להוכיח אותה עלה בראשי השאלה לגבי שמירת סימן), להוכיח שכל אוטומורפיזם על Sn שולח חילוף אל חילוף. יש לי עוד שאלה נוספת לגבי שאלה שמצאתי, אשמח אם אוכל לשאול אותך זאת
::: באי-מייל, מה האי-מייל שלך?

::זה רשום בדף המשתמש שלי :) --[[משתמש:לואי פולב|לואי]]
::: תודה מראש ;)

: ברור שאוטומורפיזם של הצמדה שומר על הסימן (כי הוא שומר על חילופים). כפי שלואי כתבה, כל אוטומורפיזם של החבורה הסימטרית, פרט למקרה n=6, הוא פנימי (במקרה n=6 המנה של חבורת האוטומורפיזמים ביחס לפנימיים היא מסדר 2: יש 1440 אוטומורפיזמים, מחציתם פנימיים), ולכן זה פותר את הבעיה - אבל כדי להוכיח את המשפט הזה (שכל האוטומורפיזמים פנימיים) צריך להראות שאין עוד מחלקה בגודל של מחלקת החילופים, וזה דורש קומבינטוריקה לא טריוויאלית.
: אפשר להוכיח את הטענה הכללית (כל אוטומורפיזם שומר על הסימן) באופן הבא. החילופים צמודים זה לזה; לכן גם התמונות שלהם צמודות זו לזו. אם התמונה של חילוף היתה זוגית, ממילא היו כל התמורות עוברות לתמורות זוגיות, אבל אז ההעתקה אינה על החבורה. לכן התמונה של (כל) חילוף היא אי-זוגית. מכאן שהזוגיות של התמונה של מכפלת חילופים שווה לזוגיות של המכפלה עצמה. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 15:29, 4 באוקטובר 2011 (IST)

== טעות בתשובה בתרגיל 2 ==

בתרגיל 2 שאלה 2 א', חישבו את פי של 102=2*51. כתוב שפי של 51 זה 50 אבל 51=17*3 (לא ראשוני)
לכן התשובה בתרגיל צריכה להיות 32 ולא 50

[[משתמש:חופית|חופית]]

== מתי יעלו פתרונות למבחן? ==

(כותרת)
עובדים על זה! ואגב, זה יהיה הרבה יותר מהיר אם יהיו מתנדבים לכתיבת הפתרונות :) [[משתמש:לואי פולב|לואי]]
:אם היינו יודעים איך לפתור לא היינו מבקשים פתרונות :P

שיחה:88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעא

2011-10-04T19:36:42Z

Orbiri: /* מתי יעלו פתרונות למבחן? */ פסקה חדשה