אלגברה לינארית 2 - ארז שיינר

2026-01-01T17:46:14Z

Razigammal: /* פרק 5 - ההעתקה הצמודה, לכסון אוניטרי */

=חומרי עזר=

*[[88-113Exams| מבחנים ובחנים עם פתרונות]]
* [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/LA2ExtOutline.pdf תקציר מפורט של הקורס של פרופ' בועז צבאן]. ההרצאות בנושא צורת ג'ורדן מסוכמות בפירוט בחוברת [[מדיה:JordanAll.pdf|הסיפור המלא]].
*[[88-113 אלגברה לינארית 2]]

=סרטונים ותקצירי הרצאות=
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-umgzN7d5aFNXSWaddo-BgU הפלייליסט של כל הסרטונים]

==פרק 1 - מכפלה פנימית ונורמה==

===מכפלה סקלרית===

<math>v\cdot w = |v||w|\cos(\theta)</math>

<videoflash>MU45juH2U_c</videoflash>

===מכפלה פנימית===
יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math>

מכפלה פנימית היא מכפלה <math>\langle \cdot, \cdot\rangle:V\times V\to \mathbb{F}</math> המקיימת את ארבע התכונות הבאות:

לכל <math>x,y\in V</math> ולכל <math>c\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי:

*אדטיביות <math>\langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle + \langle y,z\rangle</math>
*כפל בסקלר <math>\langle cx,y\rangle = c\langle x,y\rangle</math>
*הרמיטיות <math>\langle y,x\rangle = \overline{\langle x,y\rangle}</math>
*אי שליליות <math>\langle x,x\rangle \geq 0</math> וכן <math>\langle x,x\rangle =0</math> אם ורק אם <math>x=0</math>

<videoflash>JEfRTZj1sPE</videoflash>

<math>\langle av_1 +bv_2 ,cw_1+dw_2\rangle = a\overline{c}\langle v_1,w_1\rangle + a\overline{d}\langle v_1,w_2\rangle+
b\overline{c}\langle v_2,w_1\rangle+b\overline{d}\langle v_2,w_2\rangle</math>

<videoflash>25A8rn3_wGI</videoflash>

===נורמה===

יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math>

נורמה היא פונקציה <math>||\cdot||:V\to\mathbb{R}</math> המקיימת את שלושת התכונות הבאות.

לכל <math>x,y\in V</math> ולכל <math>c\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי:

*אי שליליות <math>||x|\geq 0</math> וכן <math>||x||=0</math> אם ורק אם <math>x=0</math>
*כפל בסקלר <math>||cx|| = |c|\cdot ||x||</math>
*אי שיוויון המשולש <math>||x+y||\leq ||x||+||y||</math>

<videoflash>jNCVpE8duhE</videoflash>

===נורמה מושרית===
יהי <math>V</math> מרחב מכפלה פנימית מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math>.

הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית היא הפונקציה <math>||\cdot||:V\to\mathbb{R}</math> המוגדרת ע"י הנוסחא:

:<math>||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} </math>

שימו לב: הפונקציה מוגדרת היטב -

מתכונת האי-שליליות של המכפלה הפנימית ידוע כי <math>0\leq \langle v,v\rangle\in\mathbb{R}</math> ולכן מותר להוציא שורש.

====הנורמה המושרית היא אכן נורמה====

נוכיח כי הנורמה המושרית היא אכן נורמה.

תכונת האי-שליליות של הנורמה מתקבלת בחינם, כי <math>||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} \geq 0</math> ממש לפי הגדרת פונקצית השורש.
כמו כן, נקבל כי <math>||v||=0</math> אם ורק אם <math>\langle v,v\rangle=0</math> אם ורק אם, לפי תכונת המכפלה הפנימית, <math>v=0_V</math>

כעת, יהי סקלר <math>c\in\mathbb{C}</math> אזי

:<math>||cv||=\sqrt{\langle cv,cv\rangle}=\sqrt{c\overline{c}\langle v,v\rangle}=\sqrt{|c|^2\langle v,v\rangle}=|c|\cdot \langle v,v\rangle=|c|\cdot ||v||</math>

לבסוף, עלינו להוכיח את אי שיוויון המשולש, אך זה ידרוש קצת הכנה מקדימה.

צריך להוכיח כי:

:<math>||v+w||\leq ||v||+||w||</math>

כיוון ששני הצדדים אי שליליים, אפשר להעלות בריבוע ולקבל אי שיוויון שקול:

:<math>||v+w||^2 \leq ||v||^2 +2||v||\cdot ||w||+||w||^2</math>

נפתח את צד שמאל לפי ההגדרה של הנורמה:

:<math>||v+w||^2=\langle v+w,v+w \rangle = \langle v,v \rangle + \langle v, w\rangle + \langle w, v\rangle + \langle w,w \rangle =</math>
:<math>=||v||^2 +\langle v, w\rangle + \overline{\langle v, w\rangle}+ ||w||^2 = ||v||^2 +2Re\left(\langle v, w\rangle\right) +||w||^2</math>

כעת נחזור לאי השיוויון שצריך להוכיח, נצמצם את <math>||v||^2+||w||^2</math> משני האגפים ונחלק ב2, ונקבל את אי השיוויון השקול הבא:

:<math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w||</math>

נעצור על מנת להוכיח אי שיוויון עזר:

מתכונת האי שליליות, אנו יודעים כי

:<math>\langle v-w, v-w\rangle\geq 0</math>

ובעזרת פיתוח דומה לעיל נקבל כי

:<math>0\leq \langle v-w,v-w \rangle = ||v||^2 -2Re\left(\langle v, w\rangle\right) +||w||^2</math>

מכאן נובע כי

:<math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq \frac{||v||^2+||w||^2}{2} </math>

כעת, נחזור להוכחת אי שיוויון המשולש. צ"ל כי <math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w||</math>

אם <math>v=0_V</math> או <math>w=0_V</math> התוצאה מיידית כי שני הצדדים שווים אפס.

אחרת, נציב את הוקטורים המנורמלים <math>\frac{v}{||v||} , \frac{w}{||w||}</math> באי שיוויון העזר ונקבל:

:<math>Re\left(\langle \frac{v}{||v||}, \frac{w}{||w||}\rangle\right)\leq \frac{||\frac{v}{||v||}||^2+||\frac{w}{||w||}||^2}{2}</math>

ולכן

:<math>Re\left(\frac{1}{||v||\cdot ||w||} \langle v, w\rangle\right)\leq \frac{1+1}{2}</math>

:<math>\frac{1}{||v||\cdot ||w||} \cdot Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq \frac{1+1}{2}</math>

וסה"כ, קיבלנו את מה שצריך:

:<math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w||</math>

===אי שיוויון קושי-שוורץ===
בהנתן מרחב מכפלה פנימית <math>V</math> יחד עם הנורמה המושרית, לכל <math>v,w\in V</math> מתקיים כי
:<math>|\langle v,w\rangle | \leq ||v||\cdot ||w||</math>

====הוכחה====
נציב את הוקטורים <math>v, \langle v,w \rangle w</math> באי השיוויון שקיבלנו בהוכחת אי שיוויון המשולש ונקבל:

:<math>Re\left(\langle v, \langle v,w \rangle w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||\langle v,w \rangle w||</math>

ולכן

:<math>Re\left(\overline{\langle v,w \rangle}\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot |\langle v,w \rangle|\cdot ||w||</math>

כלומר

:<math>|\langle v,w \rangle|^2 \leq |\langle v,w \rangle|\cdot ||v||\cdot||w||</math>

כעת אם <math>\langle v,w \rangle=0</math> אי שיוויון קושי-שוורץ מתקיים באופן מיידי, ואחרת מותר לחלק ב<math>|\langle v,w \rangle|</math> ולקבל את אי שיוויון קושי-שוורץ.

===מכפלה פנימית מושרית===

*האם כל נורמה היא נורמה מושרית?

*האם ייתכן שנורמה תהיה הנורמה המושרית של שתי מכפלות פנימיות שונות?

לתשובות ולהוכחות קראו את הערך [[מכפלה פנימית מושרית]].

==פרק 2 - המרחב הניצב==

*משפט הפירוק הניצב
*בא"נ והיטלים
*אי שיוויון בסל
*משפט פיתגורס
*גרם שמידט

==פרק 3 - לכסון, וקטורים עצמיים וערכים עצמיים==

==פרק 4 - צורת ז'ורדן==

==פרק 5 - ההעתקה הצמודה, לכסון אוניטרי==
bruh

==פרק 6 - מיון משוואות ממעלה שנייה==

Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

אלגברה לינארית 2 - ארז שיינר