Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

שיחה:88-132 תשעג סמסטר א

2013-01-25T07:45:09Z

Rrr: /* רשימת משפטים */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון =

*[[שיחה:88-132 תשעג סמסטר א/ארכיון 1|ארכיון שאלות ותשובות 1]]
*[[שיחה:88-132 תשעג סמסטר א/ארכיון 2|ארכיון שאלות ותשובות 2]]
=שאלות=

==הערה לגבי הצגת שאלות==

כשמתייחסים לשאלה משיעורי הבית אז בשורת הכותרת פרט למספר התרגיל ולמספר השאלה רצוי מאוד לומר על איזה קבוצה מדובר:מתמטיקאים,תיכוניסטים או מדמ"ח. אחרת, זה יכול לבלבל הן את הסטודנטים והן את המתרגלים.
 --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:27, 31 באוקטובר 2012 (IST)

== (מתמטיקאים) תרגיל 7 שאלה 5 ==

כדי להפריך התכנסות של טור מראים שהאיבר הכללי לא שואף לאפס.
השאלה שלי האם אפשר להפריד באיבר הכללי ולהראות פעם אחת על האיבר הכללי הזוגי (כאשר n זוגי) שהוא לא מתכנס לאפס ופעם שניה על האיבר הכללי האי זוגי שהוא לא מתכנס לאפס. האם די בכך כדי לטעון שהאיבר הכללי לא מתכנס לאפס?

היי,
'''מקווה שאני לא טועה ומטעה''', אבל לדעתי מספיק להוכיח על אחת מתתי הסדרות (זוגיים או אי זוגיים) שאינה שואפת לאפס, בכדי להוכיח שכל הסדרה שאינה שואפת לאפס.
הרי מתקיים: אם סדרה an שואפת ל-l אזי כל תת-סדרה ank שואפת ל-l. וזה בדיוק כמו: אם יש תת-סדרה ank שלא שואפת ל-l, אזי הסדרה an אינה שואפת ל-l.

אגב, יש עוד דרכים להפריך התכנסות של טור (להוכיח שסדרת הסכומים החלקיים לא מתכנסת לגבול סופי או להשתמש באחד מהמבחנים לטורים חיוביים- של קושי וחבריו). בהצלחה.

== אפשר בבקשה לפרסם את תרגיל 8 למתמטיקאים? ==

תודה!

== תרגיל מס' 8 שאלה 1 ==

לפי לייבניץ, אם an היא סדרה מונוטונית יורדת של מס' חיובים השואפת ל-0, אזי הטור מתכנס, האם נכון גם לגבי תתי-סדרות, זוגיים ואי-זוגיים? האם ניתן להראות מונוטיות יורדת עבור שני איברים זוגיים ולאחר מכן, עבור שני איברים א"ז?
תודה.

(לא מתרגל / מרצה) זה אכן אפשרי, אך זה לא אומר כלום על מונוטוניות הסדרה כולה, שכן יכול להיות שגם הזוגיים וגם האי זוגיים מונוטוניים עולים, אבל לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים <math>a_{2n}>a_{2n+1}</math>, ואז אין מונוטוניות של הסדרה כולה --[[משתמש:גיא|גיא]] 17:40, 23 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 8 שאלה 5 ==

חסר במקרה נתון של מונוטוניות??.. כי לא ברור איך לפתור.. או שצריך לחלק למיקרים אם Bn מונוטונית ואם לא..

(לא מתרגל / מרצה) לא חסר שום נתון. באיזה כיוון את/ה מתקשה להוכיח? --[[משתמש:גיא|גיא]] 06:47, 26 בדצמבר 2012 (IST)

בשני הכיוונים למען האמת, נניח בכיוון הישר הטור An מתכנס בהחלט אז מה זה נותן לי??.. שהסידרה שואפת לאפס אבל לא נתון מונוטונית אז אי אפשר לפי דריכלה כי גם לא נתור '''שהטור''' Bn חסום, אבל גם אי אפשר abel כי מי אמר שBn מונוטונית יכולה להיות חסומה ולא מונוטונית... וגם לפי לייבניץ אני לא רואה כיוון כי לא נתון ש An מונוטונית בכלל.. בקיצור איך מתקדמים??..
::בכיוון שציינת שווה לנסות להוכיח יותר, עד כמה שזה נשמע מוזר, שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty a_nb_n</math> מתכנס אפילו בהחלט לכל סדרה חסומה. אפשר בהקשר זה לחשוב על מבחני התכנסות נוספים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 10:45, 26 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 8 ==

אם נתונה סדרה חסומה אזי בהכרח הטור של הסדרה חסום???.. ולהיפך?.. אם טור חסום אזי הסדרה חסומה??..

(לא מתרגל / מרצה) בוודאי שלא. לדוגמה ניקח את הטור ההרמוני <math>\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math> - הסדרה <math>\frac{1}{n}</math> חסומה ע"י 1, אבל טורה מתבדר ולכן אינו חסום. לגבי הכיוון השני, אני חושב שגם לו ניתן למצוא הפרכה אבל אני לא בטוח סופית --[[משתמש:גיא|גיא]] 06:45, 26 בדצמבר 2012 (IST)
::הכיוון השני כן נכון. כי אם קיים <math>M>0</math> כך ש<math> \forall n \in \mathbb{N} \ M\geq |S_n|</math>
אז<math> \forall n \in \mathbb{N} \ |a_{n+1}|=|S_{n+1}-S_n|\leq |S_{n+1}|+|S_n|\leq 2M</math>. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 10:56, 26 בדצמבר 2012 (IST)

== זהויות טריגונומטריות ==

תוכלו בבקשה להעלות קובץ עם הזהויות הטריגונומטריות החיוניות עבורנו?
יש בעמוד הראשי קישור לויקיפדיה, אבל יש שם המון זהויות...

תודה
::אני לא יודע בשלב זה לספק רשימת זהויות חיוניות. אני מניח שכל הזהויות שניתקלים בהן בהרצאה, תרגול/ש"ב הן הזהויות ההכרחיות. דברים שכן חשובים ואני יכול להצביע עליהם אלו הזהויות של קוסינוס וסינוס זווית כפולה וגם מעבר ממכפלה לסכום (יש טבלה כזו בקישור שציינת). --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:51, 26 בדצמבר 2012 (IST)

== שלילת התכנסות טור ==

האם על סמך התנאי an+1/an>1 ניתן להסיק ש lim an שונה מ-0 ? ובכך לקבוע ישירות התבדרות הטור.

*(לא מתרגל) כן, כי אם כך (החל ממקום מסוים) איברי הסדרה עולים ממש, וכן חיוביים ולכן לא שואפים ל-0 בטוח. לכן לפי הטענה:

אם הטור מתכנס אז הסדרה שואפת לאפס.

אפשר להסיק שהטור מתבדר.
::נכון. תובנה יפה. בהמשך לכך שימו לב שאם התנאי <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}>1</math> מתקיים נניח החל מ<math>n_0</math> אז אם
<math>a_{n_0}</math> שלילי אז התנאי דווקא יגרום לכך שהסדרה מונוטונית יורדת מאותו מקום,וגם אז הגבול לא יכול להיות אפס. כי אם תהיה התכנסות הגבול יהיה קטן או שווה ל<math>a_{n_0}</math> שהוא שלילי. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:02, 26 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלת בונוס (מתמטיקאים) ==

נתון בשאלה שמתקיים: <math>\lim_{n\to \infty} (a_{n+1}-a_{n})=0</math>
כלומר, לכל <math>\varepsilon> 0 </math> קיים <math>n_{0}</math> שהחל ממנו <math>\left |a_{n+1}-a_{n} \right |< \varepsilon</math>

ניסיתי להשתמש בקושי ולטעון:
<math>\left | a_{n+p}-a_{n} \right |=\left | a_{n+p}-a_{n+p-1}+a_{n+p-1}-a_{n+p-2}+...+a_{n+1}-a_{n} \right |\leq \left | a_{n+p}-a_{n+p-1} \right |+\left | {n+p-1}-a_{n+p-2} \right |+...+\left | a_{n+1}-a_{n} \right |
</math>

ולכל <math>n\geq n_{0}</math> מתקיים:

<math>\left | a_{n+p}-a_{n} \right |< \varepsilon +\varepsilon +...+\varepsilon =p\cdot \varepsilon </math>

נבחר <math>\varepsilon=\frac{\varepsilon _{0}}{p} \Rightarrow \varepsilon \cdot p=\varepsilon _{0}
</math>

ונקבל : לכל <math>\varepsilon _{0}</math> (בהתאם לבחירת <math>\varepsilon</math> כרצוננו):

<math>\left | a_{n+p}-a_{n}\right |< \varepsilon _{0}</math>

ולכן, לפי קושי, הסדרה מתכנסת לגבול סופי.

האם זה נכון?
::לא. יש בעיה עם הכמתים (קיים,לכל). בהגדרה לפי קושי, אם אשתמש בסימונים שלך צריך להוכיח שלכל <math>\epsilon_0</math> קיים <math>n_0</math> כך שלכל <math>n\geq n_0</math> '''ולכל''' <math>p</math> טבעי<math>\left | a_{n+p}-a_{n}\right |< \varepsilon _{0}</math>.

אני אציג מה שלא עובד בהוכחה שציינת. בגדול אי אפשר יהיה לקבוע מהו <math>n_0</math>. למה?

נציב לפי ההצעה שלך <math>p</math> טבעי מסוים ועבור <math>\varepsilon _0</math> מסוים,
<math>\epsilon=\frac{\varepsilon_0}{p}</math> ונשתמש בגבול הנתון ונסיק שקיים <math>n_0</math> שתלוי ב <math>\varepsilon</math> ולכן '''תלוי ב<math>p</math> ''' כך שלכל <math>n\geq n_{0}</math> ועבור אותו <math>p</math> ספציפי <math>\left | a_{n+p}-a_{n}\right |< \varepsilon _{0}</math>. אבל
כדי להוכיח קריטריון קושי צריך שהנ"ל יתקיים '''לכל <math>p</math>''' ולא ל <math>p</math> מסויים.
אם היינו משנים את <math>p</math> גם <math>n_0</math> היה יכול להשתנות (כי הוא תלוי ב<math>\varepsilon</math> '''שתלוי ב<math>p</math>''').

אגב, אי אפשר להוכיח שקריטריון קושי מתקיים ושהסדרה מתכנסת שכן קיימות דוגמאות נגדיות לסדרות שלא יתכנסו אך עדיין יקימו את התנאי בשאלה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:50, 28 בדצמבר 2012 (IST)

נכון. תודה (:

== מועד הבוחן ==

מתי יתקיים הבוחן השני לתיכוניסטים?

(לא מתרגל / מרצה) התאריך אמור להתפרסם בקרוב :) --[[משתמש:גיא|גיא]] 21:58, 1 בינואר 2013 (IST)

== תיכוניסטים תרגיל 9 שאלה 3 ==

האם L ממשי או שייך לקו הממשי המורחב(כלומר כולל פלוס ומינוס אינסוף)?
:ממשי --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 9 שאלה 1 ==

כאשר רוצים לדרוש ערך מוחלט גדול מחיובי כלשהו (חסם לפי קושי)..אפשר לבחור את דלתא עצמה??.. כי ידוע שהיא חיובית, תודה!
::אם הבנתי נכון את השאלה אז התשובה היא לא. אנחנו לא יודעים שדלתא חיובית. אנחנו רוצים להוכיח שקיימת דלתא חיובית כך ש...

חוץ מזה אנחנו לוקחים איקס לפי דלתא למשל <math>\delta>|x-1|>0</math> כשבודקים גבול פונקציה בנקודה 1.
בעצם כתוב כאן קיימת דלתא כך שלכל איקס המקיים <math>\delta>|x-1|>0</math>. לכן האיקסים אמורים להיות תלויים בדלתא ולא ההיפך... אי אפשר להגיד פתאום ש <math>|x+5|>\delta</math>. הרעיון הוא להוסיף אילוץ על דלתא שלא תלוי באיקס למשל שדלתא קטנה משליש ואז דווקא לקבל מידע על הטווח של האיקסים לפי <math>\delta>|x-1|>0</math> בדוגמא שלי --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:28, 2 בינואר 2013 (IST)

== תיכוניסטים תרגיל 9 שאלה 2b ==

ניתן להניח שאם
<math> \lim_{x \rightarrow - \infty }f(x)=- \infty</math> וגם <math> \lim_{x \rightarrow - \infty }g(x)=- \infty </math>
אז <math> \lim_{x \rightarrow - \infty }f(x)g(x)= \infty </math> ?

(לא מתרגל / מרצה) כן, לפי אריתמטיקה של גבולות --[[משתמש:גיא|גיא]] 20:07, 4 בינואר 2013 (IST)

== שאלה כללית ==

איך אני מחשב גבולות חד צדדיים של פונקציות?

*(לא מתרגל) באופן כללי יש הרבה דרכים, ומשפטי עזר לנושא. לדוגמא, אפשר לחשב על ידי אריתמטיקה, או על ידי משפט הסנדוויץ'. בנוסף אפשר לדעת על קיומו של גבול חד צדדי לפי המשפטון הבא:

אם f פונקציה חסומה ומונוטונית בקטע סגור [a,b] אזי קיימים הגבול מימין של a והגבול משמאל של b. דבר נחמד נוסף הוא שבמקרה בו הפונקציה עולה לדוגמא, הגבול השמאלי של b הוא הsup של כל ה(f(x בקטע, ובנוגע לגבול הימני בa הוא הinf בהתאמה. ביורדת בדומה. כלומר, אפשר לפתור את הבעיה עם חסמים במידה ומתרחש מקרה כמו המתואר לעיל.

דרך נוספת היא ממש לפי ההגדרה - לפי קושי/היינה, אבל לרוב זה לא נחמד ולא שימושי כל כך.

== רציפות במידה שווה ==

אפשר הסבר להבדל בין רציפות לבין רציפות במידה שווה מבחינת הגדרה? כי אמרו שהדלתא יכול להיות תלוי ב x, בעוד שבמידה שווה זה לא כך.

לא הבנתי כל-כך למה זה נכון..

(לא מתרגל / מרצה) הנה ההסבר שלי:

ההגדרה לרציפות היא נקודתית. כלומר <math>f</math> רציפה בנקודה <math>x_0</math> אם <math>lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)</math>, כלומר <math>\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall x,0<|x-x_0|<\delta: |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. כלומר בבחירת <math>\delta</math> יש גם תלות ב-<math>x_0</math>.

לעומת זאת, ההגדרה לרציפות במידה שווה היא כוללת. פונקציה <math>f</math> היא רציפה שווה בקטע <math>A</math> אם <math>\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall x_1,x_2\in A, |x_1-x_2|<\delta:|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon</math>. כלומר פה אין קודם בחירה של הנקודה, אלא ה-<math>\delta</math> מתאים לכל שתי נקודות.

זו הכוונה בכך ש-<math>\delta</math> אינו תלוי ב-<math>x_0</math>. --[[משתמש:גיא|גיא]] 23:21, 6 בינואר 2013 (IST)

תודה רבה הבנתי :) כשאמרו שבחירת הדלתא תלוי ב x, לא הבנתי שהם מתכוונים ל xo.

== שאלה טכנית ==

אם יש לי, נניח, דבר כזה:

<math>lim_{x\rightarrow 0} (\frac{1}{x}+x)</math>

ואני רוצה לחשב גבולות חד-צדדיים. האם מותר לי, לפני חישוב הגבולות, לומר:

<math>lim_{x\rightarrow 0} (\frac{1}{x}+x)=lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x} + 0=lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x}</math>

כאילו לעשות מעבר גבול על "חלק" מהארגומנט, אותו החלק שאינו תלוי בצד הגבול (מימין או משמאל)?
::יש קצת בעיה לכתוב את זה כך כי גבול שווה לסכום הגבולות בהנחה שהגבולות בכלל קיימים בדוגמא שציינת הגבול <math>lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x}</math> כלל לא קיים ומן הסתם גם הגבול שהתחלת איתו לא קיים. מצד שני לכתוב
<math>lim_{x\rightarrow 0^+} (\frac{1}{x}+x)=lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{1}{x} + 0=lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{1}{x}</math> נראה יותר מדוייק וכנ"ל בגבול החד צדדי השמאלי שכן הגבולות החד צדדיים האלו כן קיימים--[[משתמש:מני ש.|מני]] 15:04, 8 בינואר 2013 (IST)

== בתרגיל 10 שאלה 1ב (מתמטיקאים) ==

צריך להוכיח רציפות של הפונקציות sin ו-cos?
::לא. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:19, 9 בינואר 2013 (IST)

== חומר לבוחן (תיכוניסטים) ==

מה החומר לבוחן (הקבוצה של פרופ' אגרונובסקי)?

== העלאת תרגיל 10 לתיכוניסיטים ==

ניתן בבקשה להעלאות את התרגיל של השבוע?

== הבחנים ==

מה התאריכים של הבחנים, ומה החומר שהם יכסו? תודה

== שאלה כללית ==

מה ההבדל בין סופרמום של פונקציה למקסימום שלה??..ואם אפשר לרשום את ההגדרה הפורמלית של כל אחד מהמושגים, תודה!

http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%97%D7%A1%D7%9E%D7%99%D7%9D

== הגדרת גבול של פונקציה ==

אם פונקציה שואפת לאינסוף, מה זה אומר??

== הגדרת גבול של פונקציה ==

אם פונקציה שואפת לאינסוף, מה זה אומר??
כלומר אם איקס שואף לאינסוף, והגבול הוא L, מה זה אומר??

(לא מתרגל / מרצה) <math>\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall x, x>\frac{1}{\delta}:|f(x)-L|<\varepsilon</math>, כי כזכור <math>U_\delta (+\infty)=(\frac{1}{\delta},+\infty)</math>. --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:24, 12 בינואר 2013 (IST)

קצת מבלבל אותי הסביבות הללו XD

(לא מתרגל / מרצה) אם <math>x\rightarrow\infty</math> והגבול הוא <math>L</math>, אז לכל <math> \varepsilon>0 </math> שנבחר (מרחק על ציר <math>y</math>), קיים מרחק על ציר <math>x</math>, שבשפה מתמטית קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>x>\frac{1}{\delta}</math>, ערכי הפונקציה יהיו באזור של <math>L</math>, כלומר יתקיים <math>|f(x)-L|<\varepsilon</math>. מקווה שיותר מובן :) --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:24, 16 בינואר 2013 (IST)

יש הבדל בין <math>x>\frac{1}{\delta}</math> לבין <math>x>\delta</math>?

(לא מתרגל / מרצה) באופן עקרוני אם מדובר בכל <math>\delta</math>, אז אין הבדל גדול, אך בגלל הגדרת הסביבה אנו כותבים <math>x>\frac{1}{\delta}</math> --[[משתמש:גיא|גיא]] 23:13, 16 בינואר 2013 (IST)

למה בהגדרת הסביבה צריך לרשום <math>x>\frac{1}{\delta}</math> ולא <math>x>\delta</math>?

== האם יש מחר לימודים ??? (תיכוניסטים) דחוף ! ==

מתקיימים מחר הרצאות ותירגולים ??? כי יש בגרות באנגלית מחר והיא חופפת לשעות הלמידה. בבקשה תשובה בהקדם !

(לא מתרגל) כן. כרגיל

== מבחנים לדוגמא (תיכוניסטים) ==

מישהו יכול להוסיף לכאן קישור למבחנים לדוגמא באינפי 1 ובלינארית 2? תודה!

== רציפות במ"ש ==

יש לי שאלה כללית: יש משפט שאומר שאם פונקציה רציפה בקטע והגבולות בקצות הקטע קיימים וסופיים אז הפונקציה רציפה במ"ש עכשיו אם הפונקציה מוגדרת רק בסביבה ימנית של קצה הקטע האם המשפט יהיה נכון ע"י בדיקת הגבול הימני בקצות הקטע לדוגמא האם אפשר להוכיח ששורש x רציפה במ"ש ב(0,1) בעזרת זה שהיא רציפה בקטע הגבול ב-1 הוא 1 והגבול הימני באפס הוא אפס ? ואם לא איך אפשר להוכיח ששורש x רציפה במ"ש?
::הכוונה בגבולות בקצות הקטע הם לגבולות מתוך הקטע כלומר החד צדדיים כמו שרצית. אני לא בטוח אם למדתם השנה את המשפט הזה בהרצאה. בכל מקרה בקטע סופי ההוכחה די ברורה מרחיבים את הגדרת הפונקציה בקצוות לפי עררכי הגבול בקצוות ואז קל לראות שהפונקציה המורחבת גם כן רציפה. מכאן היא רציפה במ"ש בקטע הסגור לפי קנטור ולכן רבמ"ש גם בתת הקטע שממנו התחלנו אבל בתת הקטע היא מתלכדת עם הפונקציה המקורית. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:47, 23 בינואר 2013 (IST)

== רשימת משפטים ==

האם רשימת המשפטים שהועלתה לאתר היא מהסיבה שתהיה הוכחת משפט/ים מתוכם? או כי פשוט החלטתם להעלות ללא קשר למבחן?

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2013-01-23T09:26:55Z

Rrr: /* מבחן 2012 */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגיל 1 ==

רשום בהודעות שתרגיל 1 קוצר אך יורד לי בדיוק אותו קובץ שירד לי קודם (עם 7 שאלות)? [[משתמש:איל דימנט|איל דימנט]] 23:25, 24 באוקטובר 2012 (IST)

>זו הודעה של בדידה שהופיעה בטעות פה. תוקן. עדי

==רמז לשאלה 5,תרגיל 1==
<math>z^n=(rcis(\theta))^n=r^ncis(n \theta)=1 </math>
החלק המדומה בצד ימין הוא אפס. מתי החלק המדומה בצד שמאל הוא אפס? כתוצאה מכך מהי הזוית/זויות ומיהו r? ועל כן, היכן יושבים מרוכבים אלו על המישור?
עדי

== סילבוס ==

שלום, אשמח אם תעלו סילבוס של הקורס.
כרגע הסילבוס הוא של "בדידה" משום מה.
תודה.

'''>>תוקן. עדי

== תרגיל 1 שאלה 6 ==

שלום! האם אפשר לקבל הכוונה לשאלה 6? ניסיתי להציב אבל אני לא רואה איך אפשר עוד להתקדם בפתרון.... תודה מראש!

'''>> השאלה מה הצבת, את <math>z</math> או את הצמוד שלו? רצוי להתחיל ממה שידוע, כלומר, שהצבת <math>z</math> היא פיתרון. אז העזר בתכונות ההצמדה שהוכחנו בכיתה כדי לעבור להופעה של <math>\bar z</math> במשוואה זו במקום. עדי

== תרגיל בית 2 שאלה 2.3 סעיף ד ==

שלום! כשאומרים ש 0F=1Z3 מתכוונים לאיבר הראשון בZ3 או לאיבר 1 בZ3? תודה מראש!

'''>>לאיבר 1 ב<math>Z_3</math>. עדי'''

==שאלה 4ב בתרגיל 3==

יש לי שאלות של אסור ומותר לגבי הוכחות, שעלו בעקבות שאלה מספר 4ב בתרגיל מספר 3.
ראשית אני חושב שמותר לי להניח שהקבוצה מוכלת בתוך השדה, אחרת אין מה לדבר על תת שדה.
שנית, אני רוצה להוכיח כי הקבוצה שווה לשדה הנתון.
הגעתי לכך שהראיתי שאם קיים איבר בשדה שהוא לא בקבוצה, אז הסכום של 1 והאיבר "לפניו" (או קומבינציה מסויימת של אברי הקבוצה) הם בעצם אותו איבר שלא נמצא בקבוצה.
לכן הקבוצה לא סגורה תחת חיבור ולכן לא יכולה להיות שדה.
אני יכול לטעון זאת? מותר לי?
או שבשאלה הספציפית הזאת הדרך לפתור היא רק דרך הנחה בשלילה או הוכחת הקריטריון המקוצר?

'''>>ראשית, ודאי ש F שדה, זה נתון. שנית, הוכח פורמלית לפי הקריטריון המקוצר. עדי'''

== תרגיל מס' 2 שאלה לא מהחוברת ==

בסעיף א' איזה משוואה צריך לבנות?

'''>> <math>\forall (a,b),(c,d),(e,f)\in C\ \ (a,b)[(c,d)+(e,f)]=(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)</math> עם החיבור והכפל המוגדרים בשאלה. עדי'''

== תרגול 2 שאלה לא מהחוברת... ==

שלום! :)
לא הבנתי בדיוק את המשמעות של RxR...
אשמח להסבר!

'''>> <math>A\times B</math> הוא אוסף כל הזוגות הסדורים כך שה"קואורדינטה" הראשונה מגיעה מ-A והשניה מ-B:
<math>A\times B=\{(a,b):a\in A, b\in B\}</math>. '''במקרה זה <math>R\times R</math> הוא אוסף כל הזוגות הסדורים מעל הממשיים (כלומר המישור הממשי). היות ומספר מרוכב מוגדר ע"י זוג סדור של מספרים ממשיים (האחד מייצג את הרכיב הממשי והשני את הרכיב המדומה) ניתן להתייחס ל-<math>R\times R</math> כקב' שקולה ל-<math>C</math>, ממנו מגיעות הפעוללות המוגדרות בשאלה. עדי'''

== תרגיל 2 ==

לגבי שאלה 4.4 סעיף א' מהחוברת לא הבנתי איך זה עוזר לי אם אוכיח ש n*1f)*(m*1f)=(nm)*1f)
יפית, אמרת שארשום את זה בפורום ותסבירי לכולנו. תודה.

'''>>בהנחה שהוכחתם טענת עזר זאת, הניחו בשלילה ש-k הוא מאפיין השדה ואיננו ראשוני. הישתמשו בטענת העזר ובעובדה שאין בשדה מחלקי אפס על מנת להראות ש 1+...+1 יתאפס כבר בראשוניים שמחלקים את k בסתירה למינימליותו. עדי'''

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

הגדרנו תת שדה H של שדה F כך ש H צריכה קודם כל להיות תת קבוצה של F ואז לקיים את הקריטריון.
בשאלה יש p איברים ל F ואז מוכיחים שיש לקבוצה המועמדת להיות תת שדה גם p איברים.
אבל אם יש לקבוצה הזו p איברים שונים והיא גם תת קבוצה של F שגם היא בעלת p איברים שונים, לא ניתן להסיק בעצם שהיא שווה ל F?

'''>>כן, אבל איך זה רלוונטי לשאלה? בסעיף לא ידוע שב-H יש p אייברים, לכאורה H בנויה באופן אינסופי, מהות המבוקש להוכיח הוא כי למעשה לאחר p אייברים אין אייברים "חדשים". עדי

נכון, מבקשים להוכיח שבH יש p איברים ואכן הוכחתי זאת כפי שאמרת. לכן אם היא צריכה להיות תת קבוצה של F שגם לה p איברים שונים אז היא בהכרח שווה ל F לא? אם כן, כל הבדיקה של תת שדה מיותרת... כי אם H=F אז H כבר שדה.

'''>> ראשית, הורדתי את הפיתרון שרשמת... שנית, מי אמר שב F יש p איברים? הוא ממאפיין p. שדה מגודל 4 למשל הוא ממאפיין 2. עדי

ראשית, הגעתי לכך מאותה הסיבה שב Z5 יש 5 איברים וב Z7 יש 7 איברים ו H היא לא אינסופית כמו שנרשם. שנינו מסכימים על כך שב F יש לא פחות מ p איברים. אבל אם יהיו יותר, כמו בדוגמה שהבאת, אז בדיוק כמו ב H ניתן לרשום אותם כמו שרשמתי בהודעה הקודמת, כלומר לא מוסיפים איברים חדשים. גם אם ניקח את הקבוצה {0,1,2,3,4,5,6,8,9} בעלת 9 איברים מעל z7, היא שדה (הוכחתי זאת). אבל עדיין 8 ב z7 זה 1 ו 9 בz7 זה2. לכן כתיבתם מיותרת כי זה כמו לכתוב את הקבוצה {1} בצורה {1,1,1,1,1,1} ועדיין אומרים שיש איבר אחד בקבוצה ולא 6 איברים.

שנית, אם הייתי מסתכל בפתרונות, הייתי פשוט מעתיק ושותק. לא הייתי נכנס לדיונים ומביך את עצמי בפומבי.

'''>> אתה ממש לא מביך את עצמך! השאלה היא לגיטימית מאוד וזו טעות נפוצה. זו הסיבה שכ"כ חשוב לי שכולם יראו את ההערה באדום, לוודא שכולם נמנעים ממנה. אני מודה לך על השאלה! הלוואי והיו יותר.

'''לא הבנתי את הרלוונטיות של "מעתיק ושותק" לדיון.

'''בכל מקרה,

'''1. לא אמרתי ש-H אינסופית, אמרתי שהיא בנויה באופן אינסופי, היא כל האייברים מהצורה <math>1,1+1,1+1+1,...</math> כשמשמעות ה-3 נקודות היא ''וכן הלאה'', נראה שהם מתלכדים לכדיי p אייברים. כמו <math>\{1\}=\{1,1,1\}=\{1,1,1,...\}</math>, כשהכוונה בקבוצה האחרונה היא קבוצה של אינסוף אחדים, אך ניתן להוכיח שהיא סופית מגודל 1. היא לא אינסופית, אבל היא בנויה באופן אינסופי.

'''2.הנקודה לגבי שאלתך המקורית היא שב-F ''לא פחות'' מ-p אייברים ''שונים, ללא חזרות''. למשל בדוגמא שהעלתי למטה, ניתן לבנות תת שדה של 0 ו-1 עבור השדה מגודל 4. כלומר: F מגודל 4 וממאפיין 2. H נבנת כמו בשאלה, ע"י 1 של F, והיא גם ממאפיין 2 וגם מגודל 2.

'''עדי

<nowiki>1. התכוונתי שאם הייתי מעתיק את הפתרון, לא הייתי מנסה להפליל את עצמי ע"י שאלת שאלות, פשוט הייתי מעתיק וזהו.

2. אני לא מצליח להבין כיצד הדוגמה שהבאת שונה מהדוגמה שהבאתי על 9 איברים ב Z7. גם זה שדה של 9 איברים אבל המאפיין הוא 7. וגם כאן 8 שונה מ 1 ו9 שונה מ 2 (הם שווים רק מעל Z7), בדיוק כמו a ו b בדוגמה שהבאת. אבל עדיין מה שעשית הוא לקחת איבר מ Z7 ולרשום אותו בצורה אחרת, לא הוספתי שום איבר חדש (ואני גם לא יכול, כי מן הסתם הוא ירשם בצורה כלשהי ע"י אברי Z7). ההיגיון שלי יכול אולי לקבל את ההשערה שזה עובד לא ב Zp, אבל כרגע ב Zp אני לא מצליח לשכנע את עצמי שזה אכן כך.</nowiki>

'''>> 1. שוב, אני לא מבינה למה אתה מתכוון ב"להפליל את עצמך". לזה נועד הפורום, אני מעודדת שאילת שאלות והשאיפה שהדיון יעודד עוד אנשים לשאול. אני מתנצלת אם באיזושהי צורה התשובה שלי התפרשה אחרת.

'''לגבי העתקה, אני חושבת שברורה לכולנו חוסר התועלת של כך, למי שבוחר לעשות כן.

'''2. בדוגמא שהבאת 9 אייברים, אם אתה מסתכל עליה כמו שהיא, ואז היא איננה מוכלת בZ7. אם אתה מסתכל על איבריה מודולו 7 (זו לא ממש אותה קבוצה, זו קבוצת מנה של היח"ש מודולו 7) אז יש בה 7 אייברים, 1 לא שונה מ8 ו2 לא שונה מ9. דוגמא בZn לא תמצא כי Zn הוא שדה רק כאשר ה-n ראשוני. אין זה נכון במקרה הכללי לגבי גודל הקבוצה, אלא רק לגבי מאפיינה.

טוב, עכשיו הבנתי למה חשבת שאני חשבתי שהעתקת. כי רשמתי שהורדתי את הפיתרון. לא התכוונתי שהעתקת ועכשיו הסרתי אותו, התכוונתי שהורדתי את הפיתרון שרשמת בתשובה שלך. בתגובה המקורית שלך ל-להוכיח שב-H יש p איברים רשמת פיתרון מלא לאיך הראית את זה, אז הורדתי אותו. לא חשבתי בשום שלב שהעתקת

'''עדי

==חשוב מאוד! הבדילו בין גודלו של שדה למאפיינו==


הוכחנו שהמאפיין בהכרח ראשוני, אולם שדה יכול להיות מגודל שאינו ראשוני.

מצ"ב דוגמא חשובה, שדה מגודל 4 עם מאפיין 2(מוכרח להיות). עיינו בה וודאו שאתם מבינים אותה היטב.

[[מדיה:char(F)=2.doc|דוגמא חשובה F|=4, char(F)=2|]]


עדי
: כתוב בדף ש"שדה יכול להיות מכל גודל"; אני מניח שהכוונה היא להדגיש שגודל השדה אינו חייב להיות שווה למאפיין - יש כמובן מגבלות אחרות. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:11, 21 בנובמבר 2012 (IST)

תוקן. תודה

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

לא כל-כך ברור לי הקונספט של '''הוכחה''' בהקשר שמופיע בשאלה.

בסעיף א.- מעצם ההגדרה, לשדה סופי יש מאפיין חיובי, ושדה בעל מאפיין חיובי הוא בהכרח סופי.
האם הדרך להוכיח זאת היא ליצור פעולה של חיבור איברי יחידה במספר הולך וגדל (כמו הקבוצה בסעיף ב) ולהראות שקיים n כלשהו כך שמחיבור n איברי יחידה בהכרח נקבל 0 (שזוהי הגדרת מאפיין)?

בסעיף ב.- לכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp. למיטב הבנתי יוצא מזה, לפי הגדרת תת-שדה, שהפעולות של שדה סופי זהות לפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים.
מתוך זה נובע כי כל תת-שדה של שדה סופי הוא בעל פעולות זהות לאלו של ZcharF.

מה הכוונה ב'''להראות''' שאלו הן הפעולות של תת-השדה?

אגב, יש משפט לגבי יחידות של שדה? כלומר, האם שני שדות, שיש להם את אותם איברי היחידה והאפס, אותן פעולות החיבור והכפל, ואותו הגודל, הם בהכרח אותו השדה?

'''>> סעיף א-

'''זו הגדרת מאפיין של שדה: המאפיין (או המציין) של שדה הוא המספר ''הטבעי'' n הקטן ביותר כך ש- <math>1_F+1_F+...</math> n פעמים הוא אפס של השדה. אם n אינסופי נאמר שהמאפיין אפס. כך שהמאפיין תמיד אי שלילי ושלם.

'''לגבי ההוכחה, אכן יש להראות שקיים n שכזה, אך החשיבות היא להראות שהוא סופי.

'''סעיף ב-

'''זה לא נכון שלכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp, כי Zp איננו מוכל בכל שדה.

עבור שדה ממאפיין p תת שדה מ'''גודל''' p '''יתנהג''' כמו Zp, כלומר, טבלאות הפעולה שלו יהיו זהות.

'''לא נכון לומר שהפעולות זהות, אלא שטבלאות הפעולה זהות, כלומר חיבור וכפל בין האיבר ה-i לאיבר ה-j (לא בהכרח המספרים i ו-j) ילכו לאיבר ה-k וה- h בהתאמה (כלומר k לחיבור, ו-h לכפל), בשני השדות.

'''אין זה נכון שטבלת הפעולות של שדה סופי זהה לטבלת הפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים היות וגודל השדה יכול להיות גדול מהמאפיין שלו, כפי שניתן לראות בדוגמא למעלה. זה לא יכול לקרות ב-Zn שם הקבוצה היא שדה רק כאשר גודלה ראשוני, ולכן שווה למאפיינה.

אם גודל השדה=מאפיין השדה, ולכן ראשוני, אז הוא '''מתנהג''' כמו ZcharF.

לגבי ההערה האחרונה: במקרה הסופי כן, במקרה האינסופי לא, לדוגמא R ו-C. אבל הנקודה בחלק השני של סעיף ב' היא לא '''שיוויון''' בין השדות או הפעולות אלא '''התנהגות''' זהה של הפעולות.

'''עדי

==המשך להערה החשובה==

שימו לב שתת השדה בסעיף ב' של שאלה 4 בתרגיל 3 בנוי להיות בעל '''מספר טיבעי''' של אייברים וכולם מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>. לא כל שדה הוא מגודל טיבעי, בניגוד למאפיין. למשל R עם החיבור והכפל המוכרים לנו. המשמעות היא שלא בהכרח כל איבר בשדה הוא מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>, הוא כן בהכרח מהצורה <math>1_F\cdot a</math> עבור a מהשדה, לדוגמא <math>1.5</math> ב-R.

למעשה, רק charF אייברים בשדה יהיו מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>, וכפי שכבר הבנו, יתכן שבשדה יותר מ-charF אייברים.

עדי


== תרגיל 4 תרגיל נוסף לא מהחוברת ==

שלום! איך בדיוק מתארים אלגוריתם? תיארתי לעצמי במילים את השלבים של הדירוג, איך בדיוק אני אמורה לתרגם את זה לכתיבה מתמטית..? תודהה:)

'''>> תאור (תקין) במילים הוא בסדר גמור. את יכולה להוסיף דיאגרמה של המטריצה להסבר, ע"מ להימנע מאי הבנות או כפל משמעות. עדי

== זהות בין מטריצות ==

האם בכדי להוכיח ששתי מטריצות שוות, מספיק להראות כי הן מאותו הסדר וכי נוסחת האיבר הכללי (נגיד: aij, כש-i אינדקס שורה, j אינדקס עמודה) שלהן זהה?

'''>>כן, סדר ושיוויון רכיב-רכיב. עדי

== בוחן ==

שלום! מה בדיוק החומר לבוחן..? ואיך כדאי ללמוד? תודה!:)

'''>> עד מרחבים וקטורים, לא כולל. כדאי לפתור את כל התרגילים מההרצאה, תירגולים ושעורי בית. הפורום זמין לשאלות ודיונים. עדי

== תרגילים 2 ו-3 ==

נבדקו והוחזרו כבר?

== שאלה 4.2 מתרגיל 5 ==

אבל גם בכלל.
לעתים תכופות קורה, דווקא בשאלות הטריוויאליות יותר, שלא ברור לי אילו היסקים "מותר" לעשות ואילו לא.

הדוגמא הרלוונטית לעכשיו:

הגדרתי: A=(aij) B=(bij) ולכן: A+B=(aij+bij)
השאלה היא כזאת: האם כשאני משחלפת את A+B מותר לי לומר: (A+B)טרנספוז= (aji+bji( או שזוהי הנחת המבוקש?

ובאופן כללי יותר, קיימים קווים מנחים להוכחה ריגורוזית?

תודה מראש

'''>> ההוכחה אכן קצרה באופן מעט מרתיע, לכן עלינו להקפיד על פורמליות. אם <math>\ C=A+B=(c_{ij}),\ C^t=(d_{ij})\ </math> תאמרו מצד אחד מיהו <math>c_{ij}</math> בהסתמך על הסכום, מצד שני מיהו <math>d_{ij}</math> בהסתמך על הגדרת שיחלוף ורק בסוף תקשרו ביניהם.

'''לגבי השאלה הכללית: ההיתר (ובמובן זה גם ההגבלה) בהוכחה היא להסתמך על מה שהוכח עד נקודה זו ובלבד ש-

'''1. זו איננה מהות כל המבוקש להוכיח (לפעמים תתבקשו למשל להוכיח טענות שהוכחתם בכיתה)

'''2. שלא השתמשתם בהוכחה בטענה שהוכחתה מסתמכת על מה שאתם מנסים להוכיח כעת (כלומר, לא ליצור מעגליות בהוכחה, להסתמך על ב כדי להוכיח א כאשר השתמשתם ב-א כדי להוכיח את ב).
עדי

== כפל מטריצות משוחלפות ==

אם מוגדרות: <math>A=(aij) , B=(bij)</math>,
ועשינו טרנספוז ל-A:
<math>A^t=(aji)</math>

אז המכפלה: <math>C=A^tB</math>

יוצרת איזו מבין נוסחאות האיבר הכללי:

<math>cij=sum_{l}^{n}ailblj</math>

או <math>cij=sum_{l}^{n}aliblj</math> ?

הראשונה "שולחת" אותנו ל-<math>A^t</math>, אבל "מאבדת" את הקשר עם <math>A</math> (נראה לי).
השניה "שולחת" אותנו ישירות ל-<math>A</math> (אבל המכפלה היא על <math>A^t</math> ).

'''>> ראשית תוודא שהמכפלה הנ"ל מוגדרת. במידה וכן <math>A^t=(d_{ij})</math> כאשר <math>d_{ij}=a_{ji}\ \forall j,i</math>.

'''לכן
<math>c_{ij}=\Sigma_{l=1}^{n}d_{il}b_{lj}=\Sigma_{l=1}^{n}a_{li}b_{lj}</math>

'''ולכן המשוואה השניה היא הנכונה. המשוואה הראשונה מגדירה איבר כללי בAB (שוב, במידה ומכפלה זו מוגדרת). עדי

תודה רבה, עדי (:


==חומר לבוחן==
כל החומר עד מרחבים וקטוריים, לא כולל. תרגיל 6 לא נכלל בשאלות, אבל לא יכול להזיק לפתור לקראת הבוחן שאלות מהחוברת עד עמ' 19 כולל.


== מיקום הבוחן ==

היכן מתקיים הבוחן לקבוצה של יפית?

== תרגיל בית מספר 7 ==

בשאלה 2 שלא מהחוברת, במקומות של השדה מופיעים ריבועים ריקים.

'''>>לא אצל כולם משום מה. בכל מקרה זה C.

אוקי תודה רבה. האם ניתן להעלות את התרגילים כקבצי pdf?

== תרגיל 7 שאלה 4.8 ==

האם יש קשר בין סעיף א ל-ב? כלומר, האם הדרישה היא למצוא "נוסחא כללית" ל-Ui ו-Vi כך שעבור i=1 מתקיים א ועבור i=2 מתקיים ב?

או שצריך למצוא U,V שמקיימים את א, ובלי קשר למצוא U,V אחרים שמקיימים את ב?

'''>> לא, אין קשר. Ui,Vi לא צריכים להיות תלויים ב-i באופן של-1 קורה א ול-2 קורה ב. צריך דוגמא עבור א ודוגמא (תלויה או לא תלויה בה) עבור ב. עדי

== בוחן <math>II</math> ==



ב-7 לינואר, 18:00-19:00 יתקיים בקורס בוחן (השני מתוך שניים) על מרחבים וקטוריים, תתי מרחבים, תלות-לינארית, בסיס, מימד ודרגה של מטריצה, בפרט גם: מרחב העמודות, מרחב השורות ומרחב האפס <math>(A\in M_{mxn}(F),\ Null(A)=\{v\in F^n:Av=0\})</math>. יש ללמוד את כל החומר מההרצאות.

הבוחן יתקיים בבניין:604, כיתה:62 . יפית ועדי



== תרגיל 10 שאלה 11.12 ==

אנחנו עובדות תחת ההנחה ש-A היא מסדר nxn? זה מצוין בתרגיל הקודם, אבל לא בנוכחי, ונדמה לי שללא ההנחה הזאת הטענות אינן שקולות.

'''>>כן

== שאלת הוכחה ==

== כותרת ==
איך מוכיחים שאם ההעתקה לינארית אזי ההעתקה מה-0 מ"ו של התחום הולך ל-0 מ"ו של הטווח?

'''>> תהי <math>T:V->W</math>. אם <math>V\ne \{0\}</math> אז <math>\exist v\in V:0\ne v</math> ולכן <math>T(0_V)=T(v+(-v))=T(v)+T(-v)=T(v)-T(v)=0_W</math>.

'''אם V הוא מרחב האפס ו-W לא (אם כן אז אפס יכול ללכת רק לאפס) ונניח בשלילה ש <math>T(0_V)=w\in W:w\ne 0_W</math>

'''אז <math>-w=-T(0_V)=T(-0_V)=T(0_V)</math>

'''כלומר <math>w=-w</math>, אחרת למקור שתי תמונות.

'''כתוצאה מכך, אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין שונה מ-2 אז <math>w=0_W</math>.

'''אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין 2 אז <math>T(0_V)=T(0_V+0_V)=T(0_V)+T(0_V)=2w=0_W</math>, מה שלא יכול לקרות כי <math>w\ne 0_W</math> ומקור לא יכול להישלח לשתי תמונות.

עדי

== בוחן שני ==

תוכלו להעלות לאתר את השאלות מהבוחן השני?

'''>>עלה ביום הבוחן

== פתרונות למבחנים ==

האם אפשר לצרף פתרונות למבחנים שהועלו לאתר?

תודה.

'''>>העלתי אחד בינתיים

תודה.

== בסיס ל-NULL ==

רציתי לשאול, כשרוצים למצוא את הבסיס והמימד של KerF בהע"ל מ-R4 ל-R3, אני פותרת מע' משוואות הומוגנית, ו-2 משתנים חופשיים, האם קיימים מס' בסיסים? לי יצא ווקטורי בסיס של (0 1 2 1) (1- 0 1 2)
ובספר (1 0 2 1) (0 1- 1 2)

'''>>וודאי. תבדקי אם הם פורשים את אותו מרחב, כלומר, שתיהן קב' בת"ל מאותו גודל (מה שאכן קורה) וניתן לקבל את הוקטורים של האחת כצ"ל של וקטורי השניה.
'''אכן, אם הן פורשות מרחב מאותו מימד והאחת מוכלת בשניה אז הן שוות.
עדי

== פונקציונלים ==

עמוד 108 שאלה 1.3 ב, בחוברת של בועז צבאן. איך מוכיחים שההעתקה היא לא פונקציונל? (איך מוכיחים שהיא כן..?) אמרנו שפונקציונל זה העתקה של מרחב לשדה שלו, למה זה לא מתקיים בשאלה 1.3? תודה מראש:)

'''>> בדיוק כפי שעושים עבור ה"ל. פונקציונל היא ה"ל במקרה הפרטי שהטווח הינו שדה המרחב הוקטורי בתחום.

'''במקרה של דטרמינטות: <math>|kA|=k^n|A|</math> ולא <math>k|A|</math> כפי שדורשת ה"ל

'''במקרה ב', קל למצוא דוגמא, למשל: <math>T((2,2)+(2,3))=T(4,5)=20\ne T(2,2)+T(2,3)=4+6=10</math>.

עדי

== בועז צבאן עמוד 56 שאלה 2.7 סעיף א ==

ב- <math>T=T^{2}</math>
הכוונה ש: <math>\forall v\epsilon V: T(v)=T^{2}(v)=T(T(v))</math> ?

'''>>כן.

אם זוהי אכן הכוונה, האם ניתן להפריך ע"י הדוגמא הבאה?

<math>T(v)=T(x,y)=(x,0) , V=\mathbb{R}^{2}</math>

ואז התנאי מתקיים, אבל <math>T\neq I_{v},-I_{v}</math>

'''>> נכון מאוד.

== דרגת מטריצה ==

שלום! איך מוכיחים ש rankAB קטן או שווה ל rankA (או B)? תודה!

<math>y\in C(AB)=>\exists x:ABx=y=>\exists Bx:A(Bx)=y => y\in C(A)=>C(AB)\subseteq C(A)=>rank(AB)\leq rank(A)</math>

כמו כן, נאמר שמס' העמודות ב-B הוא m, ולכן גם מס' העמודות ב-AB הוא m/

ממשפט הדרגה

<math>dim(Null(B))+rank(B)=m=dim(Null(AB))+rank(AB)</math>

היות ו-

<math>x\in Null(B) => Bx=0 =>ABx=0 => x\in Null(AB) =>Null(B)\subseteq Null(AB) => dim(Null(B))\leq dim(Null(AB))</math>

נקבל ש-

<math>rank(B)\geq rank(AB)</math>.

עדי

== תרגיל 1 מועד א 2006 ==

אומרים שלכל b למערכת Ax=b יש פתרון (b שייך לFm). אז אני מוכיחה שA הפיכה ולכן יש פתרון יחיד,
א. האם נכון שזה גורר שעמודות ושורות A בתל וש n=m?
ב. האם מרחב העמודות של A שווה ל Fm? איך מוכיחים זאת?
תודה רבה!

'''>> ראשית, אם אינך יודע אם n=m איך הוכחת שA הפיכה? מט' הפיכה רק אם היא ריבועית. בכל מקרה הנתון אינו גורר זאת ולא פיתרון יחיד.

<math>C(A)=F^m</math> היות ונתון כי לכל b קיים <math>x=(x_1,...,x_n)</math> כך ש <math>Ax=\sum x_iC_i(A)=b</math>. כלומר עמודות A פורשות כל וקטור ב<math>F^m</math>.

עדי

== העתקות ==

האם קיימת העתקה מR2 לR2 כך ש: imT=kerT?

מה עם נגיד העתקה ששולחת כל (0,X) לוקטור האפס וכל (X,Y) לוקטור (0,X)?

'''(לא מתרגלת)
בהגדרה שלך יש בעיה, היא שולחת וקטור מהצורה (x,0) לשני וקטורים שונים: (0,0) מצד אחד ו-(x,0) מצד שני.

אם תגדיר אותה כך שרק כאשר y שונה מאפס היא תשלח את (x,y) לוקטור (x,0), תקבל העתקה שאינה לינארית.
לדוגמא: (1,2) יילך ל- (1,0), (2-,2) יילך ל-(2,0), אבל (1,2)+(2-,2)=(3,0) יילך ל-(0,0)
[ולא ל-(3,0), כפי שהיה אמור להיות בהעתקה לינארית].

והצעה להעתקה כזו (לא בדקתי עד הסוף, אבל נראה לי):

העתקה T ששולחת כל וקטור (x,y) לוקטור (0,y). ככה יתקבל בתמונה כל ציר ה-x, והגרעין יהיה כל הוקטורים שערך ה-y שלהם הוא 0, שזה גם ציר ה-x. כדאי לשים לב, אגב, ש-T בריבוע היא העתקת האפס (לא רק בדוגמא שלי, בכל העתקה שמקיימת את התנאי בשאלה).'''

צודקת, תודה רבה (:

'''אכן זו ההעתקה המתאימה. לכל שדה ממימד זוגי 2n ניתן למצוא כזו, נשלח את <math>e_1,...,e_n</math> ל-0, ואת <math>e_{n+1},...,e_{2n}</math> ל-<math>e_1,...,e_n</math> בהתאמה. עבור שדה ממימד אי זוגי אין זה אפשרי היות וזה ידרוש מימד שאיננו שלם. עדי

== בשאלה 2.18 מעמוד 57 ==

צריך להוכיח שקילות בין שלושה סעיפים.

ראשית, בין סעיפים א ו-ב, מספיק להשתמש במשפט המימדים (dimKerT+dimImT=dimV) עבור T ועבור T^2, ולהסתמך על כך ש-ImT^2 מוכלת ב-ImT, וש-KerT מוכל ב-KerT^2?

שנית, לא הצלחתי להוכיח גרירה מסעיף א לסעיף ג, או מסעיף ב לסעיף ג.

'''>> עשינו את השאלה בימלואה בתירגול האחרון.

שאלה נוספת- הבסיס הסטנדרטי של מרחב הפולינומים ממעלה 2 הוא: {1,x^2,x}.
קבוצת וקטורי הקואורדינטות של הבסיס הסטנדרטי, לפי עצמו, שהיא: {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} מהווה גם היא בסיס למרחב הפולינומים p[x]2?

'''>>לא, אלו וקטורי הבסיס הסטנדרטי של <math>F^3</math> אשר איזומורפי למרחב זה.

ודבר אחרון (לבינתיים...): יש צורך ללמוד העתקה דואלית למבחן? (המרצה אמר שצריך ללמוד מרחב דואלי ובסיס דואלי, אך האם גם העתקה?)

'''>> רק אם עשיתם את זה בכיתה.

עדי

== תרגילים 1 ו-2 ==

רלוונטיים לחומר הבחינה?

'''>> כבסיס לכל מה שבא אחרי. לא תוכל לפתור שאלה מעל המרוכבים ללא חשבון מרוכבים או להשתמש בתכונות של סקלרים מבלי לדעת אכסיומות של שדות.

עדי

== מבחן 2012 מועד ב' ==

בשאלה 3 הפתרון לא נכון ואני ממש לא יודעת איך פותרים אותו.
האם העובדה שהשדה שלי בעל p איברים אומרת שdimF^n=p^n??
תודה מראש :)

'''>>לא. המימד הוא n. הוא התכוון, כפי שנעשה בפיתרון, למימד מרחב ההעתקות. הדבר היחיד שחסר בפתרון הוא המעבר מהמימד שהוא אכן mn למספר האייברים, שזה מה שביקשו. כל מטריצה היא צ"ל של mn אייברי בסיס ולכל וקטור בסיס p אפשרויות לסקלר שהוא מקדמו בצירוף הלינארי. לכן <math>p^{mn}</math>. גם לפי משפט ההגדרה ניתן לשלוח n אייברי בסיס של <math>F^n</math> ל-n אייברי טווח מתוך <math>p^m</math> לכן <math>(p^m)^n=p^{mn}</math> אפשרויות.
עדי

== qn ==

Let V be a vector space over F.U is a subspace of V.Let v,w∈V.
Prove that if dim(U+span{(v+w)})<dim(U+sp{v}) then v,w∉U

'''Assume v,w∈U then U+sp{v+w}=U=U+sp{v}. Therefore dim(U+sp{v+w})=dim(U)=dim(U+sp{v}). contradiction
so v∉U or w∉U.

'''If (w∉U and v∈U) then v+w∉U and we get
<math>dim(U+span{(v+w)})=dim(U)+dim(sp\{v+w\})-dim(U\bigcap sp\{v+w\})=dim(U)+1-0\geq dim(U)=dim(U+sp\{v\})</math>. contradiction

'''If (v∉U and w∈U) then v+w∉U and we get
<math>dim(U+span{(v+w)})=dim(U)+dim(sp\{v+w\})-dim(U\bigcap sp\{v+w\})=dim(U)+1-0= dim(U)+dim(sp\{v\})-dim(U\bigcap sp\{v\})=dim(U+sp\{v\})</math>. contradiction

so v and w are not in U

Adi

== במבחנים מתשס"ו (מועד א' ו-ב') ==

השאלה הראשונה מתייחסת למערכת x=bA (ולא Ax=b). האם הסדר שונה בכוונה?...

(לא מתרגלת) אני חושבת שכן, תראי שכדי שהכפל יהיה מוגדר בכלל אזי b צריך להיות מצד שמאל, ואז את מקבלת שx הוא וקטור שורה בעל n מקומות

למה x לא יכול להיות וקטור שורה בעל n עמודות?

(נראה לי דווקא שהכפל כן מוגדר בצורה הזאת. נתון ש-b ב-Fm, כלומר הוא וקטור שורה או עמודה מגודל m (סדר 1xm, או mx1, בהתאמה).
נצא מנקודת הנחה שהוא מסדר 1xm, ואז אין בעיה לכפול (משמאל) במטריצה שמספר שורותיה הוא m.)

לא הבנת אותי נכון, התכוונתי שלפי דעתי אין טעות בסדר :)
אם b הוא מסדר 1Xm, אז x הוא מסדר 1Xn, כלומר וקטור שורה.
ומה שאמרת זה בדיוק מה שהתכוונתי.
ואגב-מאיפה מועד ב'?

== מבחן 2010 ==

אפשר לקבל כיוון לפתרון שאלה 4א?

תודה.

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2013-01-23T09:26:37Z

Rrr: /* מבחן 2012 */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגיל 1 ==

רשום בהודעות שתרגיל 1 קוצר אך יורד לי בדיוק אותו קובץ שירד לי קודם (עם 7 שאלות)? [[משתמש:איל דימנט|איל דימנט]] 23:25, 24 באוקטובר 2012 (IST)

>זו הודעה של בדידה שהופיעה בטעות פה. תוקן. עדי

==רמז לשאלה 5,תרגיל 1==
<math>z^n=(rcis(\theta))^n=r^ncis(n \theta)=1 </math>
החלק המדומה בצד ימין הוא אפס. מתי החלק המדומה בצד שמאל הוא אפס? כתוצאה מכך מהי הזוית/זויות ומיהו r? ועל כן, היכן יושבים מרוכבים אלו על המישור?
עדי

== סילבוס ==

שלום, אשמח אם תעלו סילבוס של הקורס.
כרגע הסילבוס הוא של "בדידה" משום מה.
תודה.

'''>>תוקן. עדי

== תרגיל 1 שאלה 6 ==

שלום! האם אפשר לקבל הכוונה לשאלה 6? ניסיתי להציב אבל אני לא רואה איך אפשר עוד להתקדם בפתרון.... תודה מראש!

'''>> השאלה מה הצבת, את <math>z</math> או את הצמוד שלו? רצוי להתחיל ממה שידוע, כלומר, שהצבת <math>z</math> היא פיתרון. אז העזר בתכונות ההצמדה שהוכחנו בכיתה כדי לעבור להופעה של <math>\bar z</math> במשוואה זו במקום. עדי

== תרגיל בית 2 שאלה 2.3 סעיף ד ==

שלום! כשאומרים ש 0F=1Z3 מתכוונים לאיבר הראשון בZ3 או לאיבר 1 בZ3? תודה מראש!

'''>>לאיבר 1 ב<math>Z_3</math>. עדי'''

==שאלה 4ב בתרגיל 3==

יש לי שאלות של אסור ומותר לגבי הוכחות, שעלו בעקבות שאלה מספר 4ב בתרגיל מספר 3.
ראשית אני חושב שמותר לי להניח שהקבוצה מוכלת בתוך השדה, אחרת אין מה לדבר על תת שדה.
שנית, אני רוצה להוכיח כי הקבוצה שווה לשדה הנתון.
הגעתי לכך שהראיתי שאם קיים איבר בשדה שהוא לא בקבוצה, אז הסכום של 1 והאיבר "לפניו" (או קומבינציה מסויימת של אברי הקבוצה) הם בעצם אותו איבר שלא נמצא בקבוצה.
לכן הקבוצה לא סגורה תחת חיבור ולכן לא יכולה להיות שדה.
אני יכול לטעון זאת? מותר לי?
או שבשאלה הספציפית הזאת הדרך לפתור היא רק דרך הנחה בשלילה או הוכחת הקריטריון המקוצר?

'''>>ראשית, ודאי ש F שדה, זה נתון. שנית, הוכח פורמלית לפי הקריטריון המקוצר. עדי'''

== תרגיל מס' 2 שאלה לא מהחוברת ==

בסעיף א' איזה משוואה צריך לבנות?

'''>> <math>\forall (a,b),(c,d),(e,f)\in C\ \ (a,b)[(c,d)+(e,f)]=(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)</math> עם החיבור והכפל המוגדרים בשאלה. עדי'''

== תרגול 2 שאלה לא מהחוברת... ==

שלום! :)
לא הבנתי בדיוק את המשמעות של RxR...
אשמח להסבר!

'''>> <math>A\times B</math> הוא אוסף כל הזוגות הסדורים כך שה"קואורדינטה" הראשונה מגיעה מ-A והשניה מ-B:
<math>A\times B=\{(a,b):a\in A, b\in B\}</math>. '''במקרה זה <math>R\times R</math> הוא אוסף כל הזוגות הסדורים מעל הממשיים (כלומר המישור הממשי). היות ומספר מרוכב מוגדר ע"י זוג סדור של מספרים ממשיים (האחד מייצג את הרכיב הממשי והשני את הרכיב המדומה) ניתן להתייחס ל-<math>R\times R</math> כקב' שקולה ל-<math>C</math>, ממנו מגיעות הפעוללות המוגדרות בשאלה. עדי'''

== תרגיל 2 ==

לגבי שאלה 4.4 סעיף א' מהחוברת לא הבנתי איך זה עוזר לי אם אוכיח ש n*1f)*(m*1f)=(nm)*1f)
יפית, אמרת שארשום את זה בפורום ותסבירי לכולנו. תודה.

'''>>בהנחה שהוכחתם טענת עזר זאת, הניחו בשלילה ש-k הוא מאפיין השדה ואיננו ראשוני. הישתמשו בטענת העזר ובעובדה שאין בשדה מחלקי אפס על מנת להראות ש 1+...+1 יתאפס כבר בראשוניים שמחלקים את k בסתירה למינימליותו. עדי'''

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

הגדרנו תת שדה H של שדה F כך ש H צריכה קודם כל להיות תת קבוצה של F ואז לקיים את הקריטריון.
בשאלה יש p איברים ל F ואז מוכיחים שיש לקבוצה המועמדת להיות תת שדה גם p איברים.
אבל אם יש לקבוצה הזו p איברים שונים והיא גם תת קבוצה של F שגם היא בעלת p איברים שונים, לא ניתן להסיק בעצם שהיא שווה ל F?

'''>>כן, אבל איך זה רלוונטי לשאלה? בסעיף לא ידוע שב-H יש p אייברים, לכאורה H בנויה באופן אינסופי, מהות המבוקש להוכיח הוא כי למעשה לאחר p אייברים אין אייברים "חדשים". עדי

נכון, מבקשים להוכיח שבH יש p איברים ואכן הוכחתי זאת כפי שאמרת. לכן אם היא צריכה להיות תת קבוצה של F שגם לה p איברים שונים אז היא בהכרח שווה ל F לא? אם כן, כל הבדיקה של תת שדה מיותרת... כי אם H=F אז H כבר שדה.

'''>> ראשית, הורדתי את הפיתרון שרשמת... שנית, מי אמר שב F יש p איברים? הוא ממאפיין p. שדה מגודל 4 למשל הוא ממאפיין 2. עדי

ראשית, הגעתי לכך מאותה הסיבה שב Z5 יש 5 איברים וב Z7 יש 7 איברים ו H היא לא אינסופית כמו שנרשם. שנינו מסכימים על כך שב F יש לא פחות מ p איברים. אבל אם יהיו יותר, כמו בדוגמה שהבאת, אז בדיוק כמו ב H ניתן לרשום אותם כמו שרשמתי בהודעה הקודמת, כלומר לא מוסיפים איברים חדשים. גם אם ניקח את הקבוצה {0,1,2,3,4,5,6,8,9} בעלת 9 איברים מעל z7, היא שדה (הוכחתי זאת). אבל עדיין 8 ב z7 זה 1 ו 9 בz7 זה2. לכן כתיבתם מיותרת כי זה כמו לכתוב את הקבוצה {1} בצורה {1,1,1,1,1,1} ועדיין אומרים שיש איבר אחד בקבוצה ולא 6 איברים.

שנית, אם הייתי מסתכל בפתרונות, הייתי פשוט מעתיק ושותק. לא הייתי נכנס לדיונים ומביך את עצמי בפומבי.

'''>> אתה ממש לא מביך את עצמך! השאלה היא לגיטימית מאוד וזו טעות נפוצה. זו הסיבה שכ"כ חשוב לי שכולם יראו את ההערה באדום, לוודא שכולם נמנעים ממנה. אני מודה לך על השאלה! הלוואי והיו יותר.

'''לא הבנתי את הרלוונטיות של "מעתיק ושותק" לדיון.

'''בכל מקרה,

'''1. לא אמרתי ש-H אינסופית, אמרתי שהיא בנויה באופן אינסופי, היא כל האייברים מהצורה <math>1,1+1,1+1+1,...</math> כשמשמעות ה-3 נקודות היא ''וכן הלאה'', נראה שהם מתלכדים לכדיי p אייברים. כמו <math>\{1\}=\{1,1,1\}=\{1,1,1,...\}</math>, כשהכוונה בקבוצה האחרונה היא קבוצה של אינסוף אחדים, אך ניתן להוכיח שהיא סופית מגודל 1. היא לא אינסופית, אבל היא בנויה באופן אינסופי.

'''2.הנקודה לגבי שאלתך המקורית היא שב-F ''לא פחות'' מ-p אייברים ''שונים, ללא חזרות''. למשל בדוגמא שהעלתי למטה, ניתן לבנות תת שדה של 0 ו-1 עבור השדה מגודל 4. כלומר: F מגודל 4 וממאפיין 2. H נבנת כמו בשאלה, ע"י 1 של F, והיא גם ממאפיין 2 וגם מגודל 2.

'''עדי

<nowiki>1. התכוונתי שאם הייתי מעתיק את הפתרון, לא הייתי מנסה להפליל את עצמי ע"י שאלת שאלות, פשוט הייתי מעתיק וזהו.

2. אני לא מצליח להבין כיצד הדוגמה שהבאת שונה מהדוגמה שהבאתי על 9 איברים ב Z7. גם זה שדה של 9 איברים אבל המאפיין הוא 7. וגם כאן 8 שונה מ 1 ו9 שונה מ 2 (הם שווים רק מעל Z7), בדיוק כמו a ו b בדוגמה שהבאת. אבל עדיין מה שעשית הוא לקחת איבר מ Z7 ולרשום אותו בצורה אחרת, לא הוספתי שום איבר חדש (ואני גם לא יכול, כי מן הסתם הוא ירשם בצורה כלשהי ע"י אברי Z7). ההיגיון שלי יכול אולי לקבל את ההשערה שזה עובד לא ב Zp, אבל כרגע ב Zp אני לא מצליח לשכנע את עצמי שזה אכן כך.</nowiki>

'''>> 1. שוב, אני לא מבינה למה אתה מתכוון ב"להפליל את עצמך". לזה נועד הפורום, אני מעודדת שאילת שאלות והשאיפה שהדיון יעודד עוד אנשים לשאול. אני מתנצלת אם באיזושהי צורה התשובה שלי התפרשה אחרת.

'''לגבי העתקה, אני חושבת שברורה לכולנו חוסר התועלת של כך, למי שבוחר לעשות כן.

'''2. בדוגמא שהבאת 9 אייברים, אם אתה מסתכל עליה כמו שהיא, ואז היא איננה מוכלת בZ7. אם אתה מסתכל על איבריה מודולו 7 (זו לא ממש אותה קבוצה, זו קבוצת מנה של היח"ש מודולו 7) אז יש בה 7 אייברים, 1 לא שונה מ8 ו2 לא שונה מ9. דוגמא בZn לא תמצא כי Zn הוא שדה רק כאשר ה-n ראשוני. אין זה נכון במקרה הכללי לגבי גודל הקבוצה, אלא רק לגבי מאפיינה.

טוב, עכשיו הבנתי למה חשבת שאני חשבתי שהעתקת. כי רשמתי שהורדתי את הפיתרון. לא התכוונתי שהעתקת ועכשיו הסרתי אותו, התכוונתי שהורדתי את הפיתרון שרשמת בתשובה שלך. בתגובה המקורית שלך ל-להוכיח שב-H יש p איברים רשמת פיתרון מלא לאיך הראית את זה, אז הורדתי אותו. לא חשבתי בשום שלב שהעתקת

'''עדי

==חשוב מאוד! הבדילו בין גודלו של שדה למאפיינו==


הוכחנו שהמאפיין בהכרח ראשוני, אולם שדה יכול להיות מגודל שאינו ראשוני.

מצ"ב דוגמא חשובה, שדה מגודל 4 עם מאפיין 2(מוכרח להיות). עיינו בה וודאו שאתם מבינים אותה היטב.

[[מדיה:char(F)=2.doc|דוגמא חשובה F|=4, char(F)=2|]]


עדי
: כתוב בדף ש"שדה יכול להיות מכל גודל"; אני מניח שהכוונה היא להדגיש שגודל השדה אינו חייב להיות שווה למאפיין - יש כמובן מגבלות אחרות. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:11, 21 בנובמבר 2012 (IST)

תוקן. תודה

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

לא כל-כך ברור לי הקונספט של '''הוכחה''' בהקשר שמופיע בשאלה.

בסעיף א.- מעצם ההגדרה, לשדה סופי יש מאפיין חיובי, ושדה בעל מאפיין חיובי הוא בהכרח סופי.
האם הדרך להוכיח זאת היא ליצור פעולה של חיבור איברי יחידה במספר הולך וגדל (כמו הקבוצה בסעיף ב) ולהראות שקיים n כלשהו כך שמחיבור n איברי יחידה בהכרח נקבל 0 (שזוהי הגדרת מאפיין)?

בסעיף ב.- לכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp. למיטב הבנתי יוצא מזה, לפי הגדרת תת-שדה, שהפעולות של שדה סופי זהות לפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים.
מתוך זה נובע כי כל תת-שדה של שדה סופי הוא בעל פעולות זהות לאלו של ZcharF.

מה הכוונה ב'''להראות''' שאלו הן הפעולות של תת-השדה?

אגב, יש משפט לגבי יחידות של שדה? כלומר, האם שני שדות, שיש להם את אותם איברי היחידה והאפס, אותן פעולות החיבור והכפל, ואותו הגודל, הם בהכרח אותו השדה?

'''>> סעיף א-

'''זו הגדרת מאפיין של שדה: המאפיין (או המציין) של שדה הוא המספר ''הטבעי'' n הקטן ביותר כך ש- <math>1_F+1_F+...</math> n פעמים הוא אפס של השדה. אם n אינסופי נאמר שהמאפיין אפס. כך שהמאפיין תמיד אי שלילי ושלם.

'''לגבי ההוכחה, אכן יש להראות שקיים n שכזה, אך החשיבות היא להראות שהוא סופי.

'''סעיף ב-

'''זה לא נכון שלכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp, כי Zp איננו מוכל בכל שדה.

עבור שדה ממאפיין p תת שדה מ'''גודל''' p '''יתנהג''' כמו Zp, כלומר, טבלאות הפעולה שלו יהיו זהות.

'''לא נכון לומר שהפעולות זהות, אלא שטבלאות הפעולה זהות, כלומר חיבור וכפל בין האיבר ה-i לאיבר ה-j (לא בהכרח המספרים i ו-j) ילכו לאיבר ה-k וה- h בהתאמה (כלומר k לחיבור, ו-h לכפל), בשני השדות.

'''אין זה נכון שטבלת הפעולות של שדה סופי זהה לטבלת הפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים היות וגודל השדה יכול להיות גדול מהמאפיין שלו, כפי שניתן לראות בדוגמא למעלה. זה לא יכול לקרות ב-Zn שם הקבוצה היא שדה רק כאשר גודלה ראשוני, ולכן שווה למאפיינה.

אם גודל השדה=מאפיין השדה, ולכן ראשוני, אז הוא '''מתנהג''' כמו ZcharF.

לגבי ההערה האחרונה: במקרה הסופי כן, במקרה האינסופי לא, לדוגמא R ו-C. אבל הנקודה בחלק השני של סעיף ב' היא לא '''שיוויון''' בין השדות או הפעולות אלא '''התנהגות''' זהה של הפעולות.

'''עדי

==המשך להערה החשובה==

שימו לב שתת השדה בסעיף ב' של שאלה 4 בתרגיל 3 בנוי להיות בעל '''מספר טיבעי''' של אייברים וכולם מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>. לא כל שדה הוא מגודל טיבעי, בניגוד למאפיין. למשל R עם החיבור והכפל המוכרים לנו. המשמעות היא שלא בהכרח כל איבר בשדה הוא מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>, הוא כן בהכרח מהצורה <math>1_F\cdot a</math> עבור a מהשדה, לדוגמא <math>1.5</math> ב-R.

למעשה, רק charF אייברים בשדה יהיו מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>, וכפי שכבר הבנו, יתכן שבשדה יותר מ-charF אייברים.

עדי


== תרגיל 4 תרגיל נוסף לא מהחוברת ==

שלום! איך בדיוק מתארים אלגוריתם? תיארתי לעצמי במילים את השלבים של הדירוג, איך בדיוק אני אמורה לתרגם את זה לכתיבה מתמטית..? תודהה:)

'''>> תאור (תקין) במילים הוא בסדר גמור. את יכולה להוסיף דיאגרמה של המטריצה להסבר, ע"מ להימנע מאי הבנות או כפל משמעות. עדי

== זהות בין מטריצות ==

האם בכדי להוכיח ששתי מטריצות שוות, מספיק להראות כי הן מאותו הסדר וכי נוסחת האיבר הכללי (נגיד: aij, כש-i אינדקס שורה, j אינדקס עמודה) שלהן זהה?

'''>>כן, סדר ושיוויון רכיב-רכיב. עדי

== בוחן ==

שלום! מה בדיוק החומר לבוחן..? ואיך כדאי ללמוד? תודה!:)

'''>> עד מרחבים וקטורים, לא כולל. כדאי לפתור את כל התרגילים מההרצאה, תירגולים ושעורי בית. הפורום זמין לשאלות ודיונים. עדי

== תרגילים 2 ו-3 ==

נבדקו והוחזרו כבר?

== שאלה 4.2 מתרגיל 5 ==

אבל גם בכלל.
לעתים תכופות קורה, דווקא בשאלות הטריוויאליות יותר, שלא ברור לי אילו היסקים "מותר" לעשות ואילו לא.

הדוגמא הרלוונטית לעכשיו:

הגדרתי: A=(aij) B=(bij) ולכן: A+B=(aij+bij)
השאלה היא כזאת: האם כשאני משחלפת את A+B מותר לי לומר: (A+B)טרנספוז= (aji+bji( או שזוהי הנחת המבוקש?

ובאופן כללי יותר, קיימים קווים מנחים להוכחה ריגורוזית?

תודה מראש

'''>> ההוכחה אכן קצרה באופן מעט מרתיע, לכן עלינו להקפיד על פורמליות. אם <math>\ C=A+B=(c_{ij}),\ C^t=(d_{ij})\ </math> תאמרו מצד אחד מיהו <math>c_{ij}</math> בהסתמך על הסכום, מצד שני מיהו <math>d_{ij}</math> בהסתמך על הגדרת שיחלוף ורק בסוף תקשרו ביניהם.

'''לגבי השאלה הכללית: ההיתר (ובמובן זה גם ההגבלה) בהוכחה היא להסתמך על מה שהוכח עד נקודה זו ובלבד ש-

'''1. זו איננה מהות כל המבוקש להוכיח (לפעמים תתבקשו למשל להוכיח טענות שהוכחתם בכיתה)

'''2. שלא השתמשתם בהוכחה בטענה שהוכחתה מסתמכת על מה שאתם מנסים להוכיח כעת (כלומר, לא ליצור מעגליות בהוכחה, להסתמך על ב כדי להוכיח א כאשר השתמשתם ב-א כדי להוכיח את ב).
עדי

== כפל מטריצות משוחלפות ==

אם מוגדרות: <math>A=(aij) , B=(bij)</math>,
ועשינו טרנספוז ל-A:
<math>A^t=(aji)</math>

אז המכפלה: <math>C=A^tB</math>

יוצרת איזו מבין נוסחאות האיבר הכללי:

<math>cij=sum_{l}^{n}ailblj</math>

או <math>cij=sum_{l}^{n}aliblj</math> ?

הראשונה "שולחת" אותנו ל-<math>A^t</math>, אבל "מאבדת" את הקשר עם <math>A</math> (נראה לי).
השניה "שולחת" אותנו ישירות ל-<math>A</math> (אבל המכפלה היא על <math>A^t</math> ).

'''>> ראשית תוודא שהמכפלה הנ"ל מוגדרת. במידה וכן <math>A^t=(d_{ij})</math> כאשר <math>d_{ij}=a_{ji}\ \forall j,i</math>.

'''לכן
<math>c_{ij}=\Sigma_{l=1}^{n}d_{il}b_{lj}=\Sigma_{l=1}^{n}a_{li}b_{lj}</math>

'''ולכן המשוואה השניה היא הנכונה. המשוואה הראשונה מגדירה איבר כללי בAB (שוב, במידה ומכפלה זו מוגדרת). עדי

תודה רבה, עדי (:


==חומר לבוחן==
כל החומר עד מרחבים וקטוריים, לא כולל. תרגיל 6 לא נכלל בשאלות, אבל לא יכול להזיק לפתור לקראת הבוחן שאלות מהחוברת עד עמ' 19 כולל.


== מיקום הבוחן ==

היכן מתקיים הבוחן לקבוצה של יפית?

== תרגיל בית מספר 7 ==

בשאלה 2 שלא מהחוברת, במקומות של השדה מופיעים ריבועים ריקים.

'''>>לא אצל כולם משום מה. בכל מקרה זה C.

אוקי תודה רבה. האם ניתן להעלות את התרגילים כקבצי pdf?

== תרגיל 7 שאלה 4.8 ==

האם יש קשר בין סעיף א ל-ב? כלומר, האם הדרישה היא למצוא "נוסחא כללית" ל-Ui ו-Vi כך שעבור i=1 מתקיים א ועבור i=2 מתקיים ב?

או שצריך למצוא U,V שמקיימים את א, ובלי קשר למצוא U,V אחרים שמקיימים את ב?

'''>> לא, אין קשר. Ui,Vi לא צריכים להיות תלויים ב-i באופן של-1 קורה א ול-2 קורה ב. צריך דוגמא עבור א ודוגמא (תלויה או לא תלויה בה) עבור ב. עדי

== בוחן <math>II</math> ==



ב-7 לינואר, 18:00-19:00 יתקיים בקורס בוחן (השני מתוך שניים) על מרחבים וקטוריים, תתי מרחבים, תלות-לינארית, בסיס, מימד ודרגה של מטריצה, בפרט גם: מרחב העמודות, מרחב השורות ומרחב האפס <math>(A\in M_{mxn}(F),\ Null(A)=\{v\in F^n:Av=0\})</math>. יש ללמוד את כל החומר מההרצאות.

הבוחן יתקיים בבניין:604, כיתה:62 . יפית ועדי



== תרגיל 10 שאלה 11.12 ==

אנחנו עובדות תחת ההנחה ש-A היא מסדר nxn? זה מצוין בתרגיל הקודם, אבל לא בנוכחי, ונדמה לי שללא ההנחה הזאת הטענות אינן שקולות.

'''>>כן

== שאלת הוכחה ==

== כותרת ==
איך מוכיחים שאם ההעתקה לינארית אזי ההעתקה מה-0 מ"ו של התחום הולך ל-0 מ"ו של הטווח?

'''>> תהי <math>T:V->W</math>. אם <math>V\ne \{0\}</math> אז <math>\exist v\in V:0\ne v</math> ולכן <math>T(0_V)=T(v+(-v))=T(v)+T(-v)=T(v)-T(v)=0_W</math>.

'''אם V הוא מרחב האפס ו-W לא (אם כן אז אפס יכול ללכת רק לאפס) ונניח בשלילה ש <math>T(0_V)=w\in W:w\ne 0_W</math>

'''אז <math>-w=-T(0_V)=T(-0_V)=T(0_V)</math>

'''כלומר <math>w=-w</math>, אחרת למקור שתי תמונות.

'''כתוצאה מכך, אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין שונה מ-2 אז <math>w=0_W</math>.

'''אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין 2 אז <math>T(0_V)=T(0_V+0_V)=T(0_V)+T(0_V)=2w=0_W</math>, מה שלא יכול לקרות כי <math>w\ne 0_W</math> ומקור לא יכול להישלח לשתי תמונות.

עדי

== בוחן שני ==

תוכלו להעלות לאתר את השאלות מהבוחן השני?

'''>>עלה ביום הבוחן

== פתרונות למבחנים ==

האם אפשר לצרף פתרונות למבחנים שהועלו לאתר?

תודה.

'''>>העלתי אחד בינתיים

תודה.

== בסיס ל-NULL ==

רציתי לשאול, כשרוצים למצוא את הבסיס והמימד של KerF בהע"ל מ-R4 ל-R3, אני פותרת מע' משוואות הומוגנית, ו-2 משתנים חופשיים, האם קיימים מס' בסיסים? לי יצא ווקטורי בסיס של (0 1 2 1) (1- 0 1 2)
ובספר (1 0 2 1) (0 1- 1 2)

'''>>וודאי. תבדקי אם הם פורשים את אותו מרחב, כלומר, שתיהן קב' בת"ל מאותו גודל (מה שאכן קורה) וניתן לקבל את הוקטורים של האחת כצ"ל של וקטורי השניה.
'''אכן, אם הן פורשות מרחב מאותו מימד והאחת מוכלת בשניה אז הן שוות.
עדי

== פונקציונלים ==

עמוד 108 שאלה 1.3 ב, בחוברת של בועז צבאן. איך מוכיחים שההעתקה היא לא פונקציונל? (איך מוכיחים שהיא כן..?) אמרנו שפונקציונל זה העתקה של מרחב לשדה שלו, למה זה לא מתקיים בשאלה 1.3? תודה מראש:)

'''>> בדיוק כפי שעושים עבור ה"ל. פונקציונל היא ה"ל במקרה הפרטי שהטווח הינו שדה המרחב הוקטורי בתחום.

'''במקרה של דטרמינטות: <math>|kA|=k^n|A|</math> ולא <math>k|A|</math> כפי שדורשת ה"ל

'''במקרה ב', קל למצוא דוגמא, למשל: <math>T((2,2)+(2,3))=T(4,5)=20\ne T(2,2)+T(2,3)=4+6=10</math>.

עדי

== בועז צבאן עמוד 56 שאלה 2.7 סעיף א ==

ב- <math>T=T^{2}</math>
הכוונה ש: <math>\forall v\epsilon V: T(v)=T^{2}(v)=T(T(v))</math> ?

'''>>כן.

אם זוהי אכן הכוונה, האם ניתן להפריך ע"י הדוגמא הבאה?

<math>T(v)=T(x,y)=(x,0) , V=\mathbb{R}^{2}</math>

ואז התנאי מתקיים, אבל <math>T\neq I_{v},-I_{v}</math>

'''>> נכון מאוד.

== דרגת מטריצה ==

שלום! איך מוכיחים ש rankAB קטן או שווה ל rankA (או B)? תודה!

<math>y\in C(AB)=>\exists x:ABx=y=>\exists Bx:A(Bx)=y => y\in C(A)=>C(AB)\subseteq C(A)=>rank(AB)\leq rank(A)</math>

כמו כן, נאמר שמס' העמודות ב-B הוא m, ולכן גם מס' העמודות ב-AB הוא m/

ממשפט הדרגה

<math>dim(Null(B))+rank(B)=m=dim(Null(AB))+rank(AB)</math>

היות ו-

<math>x\in Null(B) => Bx=0 =>ABx=0 => x\in Null(AB) =>Null(B)\subseteq Null(AB) => dim(Null(B))\leq dim(Null(AB))</math>

נקבל ש-

<math>rank(B)\geq rank(AB)</math>.

עדי

== תרגיל 1 מועד א 2006 ==

אומרים שלכל b למערכת Ax=b יש פתרון (b שייך לFm). אז אני מוכיחה שA הפיכה ולכן יש פתרון יחיד,
א. האם נכון שזה גורר שעמודות ושורות A בתל וש n=m?
ב. האם מרחב העמודות של A שווה ל Fm? איך מוכיחים זאת?
תודה רבה!

'''>> ראשית, אם אינך יודע אם n=m איך הוכחת שA הפיכה? מט' הפיכה רק אם היא ריבועית. בכל מקרה הנתון אינו גורר זאת ולא פיתרון יחיד.

<math>C(A)=F^m</math> היות ונתון כי לכל b קיים <math>x=(x_1,...,x_n)</math> כך ש <math>Ax=\sum x_iC_i(A)=b</math>. כלומר עמודות A פורשות כל וקטור ב<math>F^m</math>.

עדי

== העתקות ==

האם קיימת העתקה מR2 לR2 כך ש: imT=kerT?

מה עם נגיד העתקה ששולחת כל (0,X) לוקטור האפס וכל (X,Y) לוקטור (0,X)?

'''(לא מתרגלת)
בהגדרה שלך יש בעיה, היא שולחת וקטור מהצורה (x,0) לשני וקטורים שונים: (0,0) מצד אחד ו-(x,0) מצד שני.

אם תגדיר אותה כך שרק כאשר y שונה מאפס היא תשלח את (x,y) לוקטור (x,0), תקבל העתקה שאינה לינארית.
לדוגמא: (1,2) יילך ל- (1,0), (2-,2) יילך ל-(2,0), אבל (1,2)+(2-,2)=(3,0) יילך ל-(0,0)
[ולא ל-(3,0), כפי שהיה אמור להיות בהעתקה לינארית].

והצעה להעתקה כזו (לא בדקתי עד הסוף, אבל נראה לי):

העתקה T ששולחת כל וקטור (x,y) לוקטור (0,y). ככה יתקבל בתמונה כל ציר ה-x, והגרעין יהיה כל הוקטורים שערך ה-y שלהם הוא 0, שזה גם ציר ה-x. כדאי לשים לב, אגב, ש-T בריבוע היא העתקת האפס (לא רק בדוגמא שלי, בכל העתקה שמקיימת את התנאי בשאלה).'''

צודקת, תודה רבה (:

'''אכן זו ההעתקה המתאימה. לכל שדה ממימד זוגי 2n ניתן למצוא כזו, נשלח את <math>e_1,...,e_n</math> ל-0, ואת <math>e_{n+1},...,e_{2n}</math> ל-<math>e_1,...,e_n</math> בהתאמה. עבור שדה ממימד אי זוגי אין זה אפשרי היות וזה ידרוש מימד שאיננו שלם. עדי

== בשאלה 2.18 מעמוד 57 ==

צריך להוכיח שקילות בין שלושה סעיפים.

ראשית, בין סעיפים א ו-ב, מספיק להשתמש במשפט המימדים (dimKerT+dimImT=dimV) עבור T ועבור T^2, ולהסתמך על כך ש-ImT^2 מוכלת ב-ImT, וש-KerT מוכל ב-KerT^2?

שנית, לא הצלחתי להוכיח גרירה מסעיף א לסעיף ג, או מסעיף ב לסעיף ג.

'''>> עשינו את השאלה בימלואה בתירגול האחרון.

שאלה נוספת- הבסיס הסטנדרטי של מרחב הפולינומים ממעלה 2 הוא: {1,x^2,x}.
קבוצת וקטורי הקואורדינטות של הבסיס הסטנדרטי, לפי עצמו, שהיא: {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} מהווה גם היא בסיס למרחב הפולינומים p[x]2?

'''>>לא, אלו וקטורי הבסיס הסטנדרטי של <math>F^3</math> אשר איזומורפי למרחב זה.

ודבר אחרון (לבינתיים...): יש צורך ללמוד העתקה דואלית למבחן? (המרצה אמר שצריך ללמוד מרחב דואלי ובסיס דואלי, אך האם גם העתקה?)

'''>> רק אם עשיתם את זה בכיתה.

עדי

== תרגילים 1 ו-2 ==

רלוונטיים לחומר הבחינה?

'''>> כבסיס לכל מה שבא אחרי. לא תוכל לפתור שאלה מעל המרוכבים ללא חשבון מרוכבים או להשתמש בתכונות של סקלרים מבלי לדעת אכסיומות של שדות.

עדי

== מבחן 2012 מועד ב' ==

בשאלה 3 הפתרון לא נכון ואני ממש לא יודעת איך פותרים אותו.
האם העובדה שהשדה שלי בעל p איברים אומרת שdimF^n=p^n??
תודה מראש :)

'''>>לא. המימד הוא n. הוא התכוון, כפי שנעשה בפיתרון, למימד מרחב ההעתקות. הדבר היחיד שחסר בפתרון הוא המעבר מהמימד שהוא אכן mn למספר האייברים, שזה מה שביקשו. כל מטריצה היא צ"ל של mn אייברי בסיס ולכל וקטור בסיס p אפשרויות לסקלר שהוא מקדמו בצירוף הלינארי. לכן <math>p^{mn}</math>. גם לפי משפט ההגדרה ניתן לשלוח n אייברי בסיס של <math>F^n</math> ל-n אייברי טווח מתוך <math>p^m</math> לכן <math>(p^m)^n=p^{mn}</math> אפשרויות.
עדי

== qn ==

Let V be a vector space over F.U is a subspace of V.Let v,w∈V.
Prove that if dim(U+span{(v+w)})<dim(U+sp{v}) then v,w∉U

'''Assume v,w∈U then U+sp{v+w}=U=U+sp{v}. Therefore dim(U+sp{v+w})=dim(U)=dim(U+sp{v}). contradiction
so v∉U or w∉U.

'''If (w∉U and v∈U) then v+w∉U and we get
<math>dim(U+span{(v+w)})=dim(U)+dim(sp\{v+w\})-dim(U\bigcap sp\{v+w\})=dim(U)+1-0\geq dim(U)=dim(U+sp\{v\})</math>. contradiction

'''If (v∉U and w∈U) then v+w∉U and we get
<math>dim(U+span{(v+w)})=dim(U)+dim(sp\{v+w\})-dim(U\bigcap sp\{v+w\})=dim(U)+1-0= dim(U)+dim(sp\{v\})-dim(U\bigcap sp\{v\})=dim(U+sp\{v\})</math>. contradiction

so v and w are not in U

Adi

== במבחנים מתשס"ו (מועד א' ו-ב') ==

השאלה הראשונה מתייחסת למערכת x=bA (ולא Ax=b). האם הסדר שונה בכוונה?...

(לא מתרגלת) אני חושבת שכן, תראי שכדי שהכפל יהיה מוגדר בכלל אזי b צריך להיות מצד שמאל, ואז את מקבלת שx הוא וקטור שורה בעל n מקומות

למה x לא יכול להיות וקטור שורה בעל n עמודות?

(נראה לי דווקא שהכפל כן מוגדר בצורה הזאת. נתון ש-b ב-Fm, כלומר הוא וקטור שורה או עמודה מגודל m (סדר 1xm, או mx1, בהתאמה).
נצא מנקודת הנחה שהוא מסדר 1xm, ואז אין בעיה לכפול (משמאל) במטריצה שמספר שורותיה הוא m.)

לא הבנת אותי נכון, התכוונתי שלפי דעתי אין טעות בסדר :)
אם b הוא מסדר 1Xm, אז x הוא מסדר 1Xn, כלומר וקטור שורה.
ומה שאמרת זה בדיוק מה שהתכוונתי.
ואגב-מאיפה מועד ב'?

== מבחן 2012 ==

אפשר לקבל כיוון לפתרון שאלה 4א?

תודה.

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2013-01-18T16:09:33Z

Rrr: /* פתרונות למבחנים */

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2013-01-16T15:33:22Z

Rrr: /* פתרונות למבחנים */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגיל 1 ==

רשום בהודעות שתרגיל 1 קוצר אך יורד לי בדיוק אותו קובץ שירד לי קודם (עם 7 שאלות)? [[משתמש:איל דימנט|איל דימנט]] 23:25, 24 באוקטובר 2012 (IST)

>זו הודעה של בדידה שהופיעה בטעות פה. תוקן. עדי

==רמז לשאלה 5,תרגיל 1==
<math>z^n=(rcis(\theta))^n=r^ncis(n \theta)=1 </math>
החלק המדומה בצד ימין הוא אפס. מתי החלק המדומה בצד שמאל הוא אפס? כתוצאה מכך מהי הזוית/זויות ומיהו r? ועל כן, היכן יושבים מרוכבים אלו על המישור?
עדי

== סילבוס ==

שלום, אשמח אם תעלו סילבוס של הקורס.
כרגע הסילבוס הוא של "בדידה" משום מה.
תודה.

'''>>תוקן. עדי

== תרגיל 1 שאלה 6 ==

שלום! האם אפשר לקבל הכוונה לשאלה 6? ניסיתי להציב אבל אני לא רואה איך אפשר עוד להתקדם בפתרון.... תודה מראש!

'''>> השאלה מה הצבת, את <math>z</math> או את הצמוד שלו? רצוי להתחיל ממה שידוע, כלומר, שהצבת <math>z</math> היא פיתרון. אז העזר בתכונות ההצמדה שהוכחנו בכיתה כדי לעבור להופעה של <math>\bar z</math> במשוואה זו במקום. עדי

== תרגיל בית 2 שאלה 2.3 סעיף ד ==

שלום! כשאומרים ש 0F=1Z3 מתכוונים לאיבר הראשון בZ3 או לאיבר 1 בZ3? תודה מראש!

'''>>לאיבר 1 ב<math>Z_3</math>. עדי'''

==שאלה 4ב בתרגיל 3==

יש לי שאלות של אסור ומותר לגבי הוכחות, שעלו בעקבות שאלה מספר 4ב בתרגיל מספר 3.
ראשית אני חושב שמותר לי להניח שהקבוצה מוכלת בתוך השדה, אחרת אין מה לדבר על תת שדה.
שנית, אני רוצה להוכיח כי הקבוצה שווה לשדה הנתון.
הגעתי לכך שהראיתי שאם קיים איבר בשדה שהוא לא בקבוצה, אז הסכום של 1 והאיבר "לפניו" (או קומבינציה מסויימת של אברי הקבוצה) הם בעצם אותו איבר שלא נמצא בקבוצה.
לכן הקבוצה לא סגורה תחת חיבור ולכן לא יכולה להיות שדה.
אני יכול לטעון זאת? מותר לי?
או שבשאלה הספציפית הזאת הדרך לפתור היא רק דרך הנחה בשלילה או הוכחת הקריטריון המקוצר?

'''>>ראשית, ודאי ש F שדה, זה נתון. שנית, הוכח פורמלית לפי הקריטריון המקוצר. עדי'''

== תרגיל מס' 2 שאלה לא מהחוברת ==

בסעיף א' איזה משוואה צריך לבנות?

'''>> <math>\forall (a,b),(c,d),(e,f)\in C\ \ (a,b)[(c,d)+(e,f)]=(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)</math> עם החיבור והכפל המוגדרים בשאלה. עדי'''

== תרגול 2 שאלה לא מהחוברת... ==

שלום! :)
לא הבנתי בדיוק את המשמעות של RxR...
אשמח להסבר!

'''>> <math>A\times B</math> הוא אוסף כל הזוגות הסדורים כך שה"קואורדינטה" הראשונה מגיעה מ-A והשניה מ-B:
<math>A\times B=\{(a,b):a\in A, b\in B\}</math>. '''במקרה זה <math>R\times R</math> הוא אוסף כל הזוגות הסדורים מעל הממשיים (כלומר המישור הממשי). היות ומספר מרוכב מוגדר ע"י זוג סדור של מספרים ממשיים (האחד מייצג את הרכיב הממשי והשני את הרכיב המדומה) ניתן להתייחס ל-<math>R\times R</math> כקב' שקולה ל-<math>C</math>, ממנו מגיעות הפעוללות המוגדרות בשאלה. עדי'''

== תרגיל 2 ==

לגבי שאלה 4.4 סעיף א' מהחוברת לא הבנתי איך זה עוזר לי אם אוכיח ש n*1f)*(m*1f)=(nm)*1f)
יפית, אמרת שארשום את זה בפורום ותסבירי לכולנו. תודה.

'''>>בהנחה שהוכחתם טענת עזר זאת, הניחו בשלילה ש-k הוא מאפיין השדה ואיננו ראשוני. הישתמשו בטענת העזר ובעובדה שאין בשדה מחלקי אפס על מנת להראות ש 1+...+1 יתאפס כבר בראשוניים שמחלקים את k בסתירה למינימליותו. עדי'''

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

הגדרנו תת שדה H של שדה F כך ש H צריכה קודם כל להיות תת קבוצה של F ואז לקיים את הקריטריון.
בשאלה יש p איברים ל F ואז מוכיחים שיש לקבוצה המועמדת להיות תת שדה גם p איברים.
אבל אם יש לקבוצה הזו p איברים שונים והיא גם תת קבוצה של F שגם היא בעלת p איברים שונים, לא ניתן להסיק בעצם שהיא שווה ל F?

'''>>כן, אבל איך זה רלוונטי לשאלה? בסעיף לא ידוע שב-H יש p אייברים, לכאורה H בנויה באופן אינסופי, מהות המבוקש להוכיח הוא כי למעשה לאחר p אייברים אין אייברים "חדשים". עדי

נכון, מבקשים להוכיח שבH יש p איברים ואכן הוכחתי זאת כפי שאמרת. לכן אם היא צריכה להיות תת קבוצה של F שגם לה p איברים שונים אז היא בהכרח שווה ל F לא? אם כן, כל הבדיקה של תת שדה מיותרת... כי אם H=F אז H כבר שדה.

'''>> ראשית, הורדתי את הפיתרון שרשמת... שנית, מי אמר שב F יש p איברים? הוא ממאפיין p. שדה מגודל 4 למשל הוא ממאפיין 2. עדי

ראשית, הגעתי לכך מאותה הסיבה שב Z5 יש 5 איברים וב Z7 יש 7 איברים ו H היא לא אינסופית כמו שנרשם. שנינו מסכימים על כך שב F יש לא פחות מ p איברים. אבל אם יהיו יותר, כמו בדוגמה שהבאת, אז בדיוק כמו ב H ניתן לרשום אותם כמו שרשמתי בהודעה הקודמת, כלומר לא מוסיפים איברים חדשים. גם אם ניקח את הקבוצה {0,1,2,3,4,5,6,8,9} בעלת 9 איברים מעל z7, היא שדה (הוכחתי זאת). אבל עדיין 8 ב z7 זה 1 ו 9 בz7 זה2. לכן כתיבתם מיותרת כי זה כמו לכתוב את הקבוצה {1} בצורה {1,1,1,1,1,1} ועדיין אומרים שיש איבר אחד בקבוצה ולא 6 איברים.

שנית, אם הייתי מסתכל בפתרונות, הייתי פשוט מעתיק ושותק. לא הייתי נכנס לדיונים ומביך את עצמי בפומבי.

'''>> אתה ממש לא מביך את עצמך! השאלה היא לגיטימית מאוד וזו טעות נפוצה. זו הסיבה שכ"כ חשוב לי שכולם יראו את ההערה באדום, לוודא שכולם נמנעים ממנה. אני מודה לך על השאלה! הלוואי והיו יותר.

'''לא הבנתי את הרלוונטיות של "מעתיק ושותק" לדיון.

'''בכל מקרה,

'''1. לא אמרתי ש-H אינסופית, אמרתי שהיא בנויה באופן אינסופי, היא כל האייברים מהצורה <math>1,1+1,1+1+1,...</math> כשמשמעות ה-3 נקודות היא ''וכן הלאה'', נראה שהם מתלכדים לכדיי p אייברים. כמו <math>\{1\}=\{1,1,1\}=\{1,1,1,...\}</math>, כשהכוונה בקבוצה האחרונה היא קבוצה של אינסוף אחדים, אך ניתן להוכיח שהיא סופית מגודל 1. היא לא אינסופית, אבל היא בנויה באופן אינסופי.

'''2.הנקודה לגבי שאלתך המקורית היא שב-F ''לא פחות'' מ-p אייברים ''שונים, ללא חזרות''. למשל בדוגמא שהעלתי למטה, ניתן לבנות תת שדה של 0 ו-1 עבור השדה מגודל 4. כלומר: F מגודל 4 וממאפיין 2. H נבנת כמו בשאלה, ע"י 1 של F, והיא גם ממאפיין 2 וגם מגודל 2.

'''עדי

<nowiki>1. התכוונתי שאם הייתי מעתיק את הפתרון, לא הייתי מנסה להפליל את עצמי ע"י שאלת שאלות, פשוט הייתי מעתיק וזהו.

2. אני לא מצליח להבין כיצד הדוגמה שהבאת שונה מהדוגמה שהבאתי על 9 איברים ב Z7. גם זה שדה של 9 איברים אבל המאפיין הוא 7. וגם כאן 8 שונה מ 1 ו9 שונה מ 2 (הם שווים רק מעל Z7), בדיוק כמו a ו b בדוגמה שהבאת. אבל עדיין מה שעשית הוא לקחת איבר מ Z7 ולרשום אותו בצורה אחרת, לא הוספתי שום איבר חדש (ואני גם לא יכול, כי מן הסתם הוא ירשם בצורה כלשהי ע"י אברי Z7). ההיגיון שלי יכול אולי לקבל את ההשערה שזה עובד לא ב Zp, אבל כרגע ב Zp אני לא מצליח לשכנע את עצמי שזה אכן כך.</nowiki>

'''>> 1. שוב, אני לא מבינה למה אתה מתכוון ב"להפליל את עצמך". לזה נועד הפורום, אני מעודדת שאילת שאלות והשאיפה שהדיון יעודד עוד אנשים לשאול. אני מתנצלת אם באיזושהי צורה התשובה שלי התפרשה אחרת.

'''לגבי העתקה, אני חושבת שברורה לכולנו חוסר התועלת של כך, למי שבוחר לעשות כן.

'''2. בדוגמא שהבאת 9 אייברים, אם אתה מסתכל עליה כמו שהיא, ואז היא איננה מוכלת בZ7. אם אתה מסתכל על איבריה מודולו 7 (זו לא ממש אותה קבוצה, זו קבוצת מנה של היח"ש מודולו 7) אז יש בה 7 אייברים, 1 לא שונה מ8 ו2 לא שונה מ9. דוגמא בZn לא תמצא כי Zn הוא שדה רק כאשר ה-n ראשוני. אין זה נכון במקרה הכללי לגבי גודל הקבוצה, אלא רק לגבי מאפיינה.

טוב, עכשיו הבנתי למה חשבת שאני חשבתי שהעתקת. כי רשמתי שהורדתי את הפיתרון. לא התכוונתי שהעתקת ועכשיו הסרתי אותו, התכוונתי שהורדתי את הפיתרון שרשמת בתשובה שלך. בתגובה המקורית שלך ל-להוכיח שב-H יש p איברים רשמת פיתרון מלא לאיך הראית את זה, אז הורדתי אותו. לא חשבתי בשום שלב שהעתקת

'''עדי

==חשוב מאוד! הבדילו בין גודלו של שדה למאפיינו==


הוכחנו שהמאפיין בהכרח ראשוני, אולם שדה יכול להיות מגודל שאינו ראשוני.

מצ"ב דוגמא חשובה, שדה מגודל 4 עם מאפיין 2(מוכרח להיות). עיינו בה וודאו שאתם מבינים אותה היטב.

[[מדיה:char(F)=2.doc|דוגמא חשובה F|=4, char(F)=2|]]


עדי
: כתוב בדף ש"שדה יכול להיות מכל גודל"; אני מניח שהכוונה היא להדגיש שגודל השדה אינו חייב להיות שווה למאפיין - יש כמובן מגבלות אחרות. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:11, 21 בנובמבר 2012 (IST)

תוקן. תודה

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

לא כל-כך ברור לי הקונספט של '''הוכחה''' בהקשר שמופיע בשאלה.

בסעיף א.- מעצם ההגדרה, לשדה סופי יש מאפיין חיובי, ושדה בעל מאפיין חיובי הוא בהכרח סופי.
האם הדרך להוכיח זאת היא ליצור פעולה של חיבור איברי יחידה במספר הולך וגדל (כמו הקבוצה בסעיף ב) ולהראות שקיים n כלשהו כך שמחיבור n איברי יחידה בהכרח נקבל 0 (שזוהי הגדרת מאפיין)?

בסעיף ב.- לכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp. למיטב הבנתי יוצא מזה, לפי הגדרת תת-שדה, שהפעולות של שדה סופי זהות לפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים.
מתוך זה נובע כי כל תת-שדה של שדה סופי הוא בעל פעולות זהות לאלו של ZcharF.

מה הכוונה ב'''להראות''' שאלו הן הפעולות של תת-השדה?

אגב, יש משפט לגבי יחידות של שדה? כלומר, האם שני שדות, שיש להם את אותם איברי היחידה והאפס, אותן פעולות החיבור והכפל, ואותו הגודל, הם בהכרח אותו השדה?

'''>> סעיף א-

'''זו הגדרת מאפיין של שדה: המאפיין (או המציין) של שדה הוא המספר ''הטבעי'' n הקטן ביותר כך ש- <math>1_F+1_F+...</math> n פעמים הוא אפס של השדה. אם n אינסופי נאמר שהמאפיין אפס. כך שהמאפיין תמיד אי שלילי ושלם.

'''לגבי ההוכחה, אכן יש להראות שקיים n שכזה, אך החשיבות היא להראות שהוא סופי.

'''סעיף ב-

'''זה לא נכון שלכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp, כי Zp איננו מוכל בכל שדה.

עבור שדה ממאפיין p תת שדה מ'''גודל''' p '''יתנהג''' כמו Zp, כלומר, טבלאות הפעולה שלו יהיו זהות.

'''לא נכון לומר שהפעולות זהות, אלא שטבלאות הפעולה זהות, כלומר חיבור וכפל בין האיבר ה-i לאיבר ה-j (לא בהכרח המספרים i ו-j) ילכו לאיבר ה-k וה- h בהתאמה (כלומר k לחיבור, ו-h לכפל), בשני השדות.

'''אין זה נכון שטבלת הפעולות של שדה סופי זהה לטבלת הפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים היות וגודל השדה יכול להיות גדול מהמאפיין שלו, כפי שניתן לראות בדוגמא למעלה. זה לא יכול לקרות ב-Zn שם הקבוצה היא שדה רק כאשר גודלה ראשוני, ולכן שווה למאפיינה.

אם גודל השדה=מאפיין השדה, ולכן ראשוני, אז הוא '''מתנהג''' כמו ZcharF.

לגבי ההערה האחרונה: במקרה הסופי כן, במקרה האינסופי לא, לדוגמא R ו-C. אבל הנקודה בחלק השני של סעיף ב' היא לא '''שיוויון''' בין השדות או הפעולות אלא '''התנהגות''' זהה של הפעולות.

'''עדי

==המשך להערה החשובה==

שימו לב שתת השדה בסעיף ב' של שאלה 4 בתרגיל 3 בנוי להיות בעל '''מספר טיבעי''' של אייברים וכולם מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>. לא כל שדה הוא מגודל טיבעי, בניגוד למאפיין. למשל R עם החיבור והכפל המוכרים לנו. המשמעות היא שלא בהכרח כל איבר בשדה הוא מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>, הוא כן בהכרח מהצורה <math>1_F\cdot a</math> עבור a מהשדה, לדוגמא <math>1.5</math> ב-R.

למעשה, רק charF אייברים בשדה יהיו מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>, וכפי שכבר הבנו, יתכן שבשדה יותר מ-charF אייברים.

עדי


== תרגיל 4 תרגיל נוסף לא מהחוברת ==

שלום! איך בדיוק מתארים אלגוריתם? תיארתי לעצמי במילים את השלבים של הדירוג, איך בדיוק אני אמורה לתרגם את זה לכתיבה מתמטית..? תודהה:)

'''>> תאור (תקין) במילים הוא בסדר גמור. את יכולה להוסיף דיאגרמה של המטריצה להסבר, ע"מ להימנע מאי הבנות או כפל משמעות. עדי

== זהות בין מטריצות ==

האם בכדי להוכיח ששתי מטריצות שוות, מספיק להראות כי הן מאותו הסדר וכי נוסחת האיבר הכללי (נגיד: aij, כש-i אינדקס שורה, j אינדקס עמודה) שלהן זהה?

'''>>כן, סדר ושיוויון רכיב-רכיב. עדי

== בוחן ==

שלום! מה בדיוק החומר לבוחן..? ואיך כדאי ללמוד? תודה!:)

'''>> עד מרחבים וקטורים, לא כולל. כדאי לפתור את כל התרגילים מההרצאה, תירגולים ושעורי בית. הפורום זמין לשאלות ודיונים. עדי

== תרגילים 2 ו-3 ==

נבדקו והוחזרו כבר?

== שאלה 4.2 מתרגיל 5 ==

אבל גם בכלל.
לעתים תכופות קורה, דווקא בשאלות הטריוויאליות יותר, שלא ברור לי אילו היסקים "מותר" לעשות ואילו לא.

הדוגמא הרלוונטית לעכשיו:

הגדרתי: A=(aij) B=(bij) ולכן: A+B=(aij+bij)
השאלה היא כזאת: האם כשאני משחלפת את A+B מותר לי לומר: (A+B)טרנספוז= (aji+bji( או שזוהי הנחת המבוקש?

ובאופן כללי יותר, קיימים קווים מנחים להוכחה ריגורוזית?

תודה מראש

'''>> ההוכחה אכן קצרה באופן מעט מרתיע, לכן עלינו להקפיד על פורמליות. אם <math>\ C=A+B=(c_{ij}),\ C^t=(d_{ij})\ </math> תאמרו מצד אחד מיהו <math>c_{ij}</math> בהסתמך על הסכום, מצד שני מיהו <math>d_{ij}</math> בהסתמך על הגדרת שיחלוף ורק בסוף תקשרו ביניהם.

'''לגבי השאלה הכללית: ההיתר (ובמובן זה גם ההגבלה) בהוכחה היא להסתמך על מה שהוכח עד נקודה זו ובלבד ש-

'''1. זו איננה מהות כל המבוקש להוכיח (לפעמים תתבקשו למשל להוכיח טענות שהוכחתם בכיתה)

'''2. שלא השתמשתם בהוכחה בטענה שהוכחתה מסתמכת על מה שאתם מנסים להוכיח כעת (כלומר, לא ליצור מעגליות בהוכחה, להסתמך על ב כדי להוכיח א כאשר השתמשתם ב-א כדי להוכיח את ב).
עדי

== כפל מטריצות משוחלפות ==

אם מוגדרות: <math>A=(aij) , B=(bij)</math>,
ועשינו טרנספוז ל-A:
<math>A^t=(aji)</math>

אז המכפלה: <math>C=A^tB</math>

יוצרת איזו מבין נוסחאות האיבר הכללי:

<math>cij=sum_{l}^{n}ailblj</math>

או <math>cij=sum_{l}^{n}aliblj</math> ?

הראשונה "שולחת" אותנו ל-<math>A^t</math>, אבל "מאבדת" את הקשר עם <math>A</math> (נראה לי).
השניה "שולחת" אותנו ישירות ל-<math>A</math> (אבל המכפלה היא על <math>A^t</math> ).

'''>> ראשית תוודא שהמכפלה הנ"ל מוגדרת. במידה וכן <math>A^t=(d_{ij})</math> כאשר <math>d_{ij}=a_{ji}\ \forall j,i</math>.

'''לכן
<math>c_{ij}=\Sigma_{l=1}^{n}d_{il}b_{lj}=\Sigma_{l=1}^{n}a_{li}b_{lj}</math>

'''ולכן המשוואה השניה היא הנכונה. המשוואה הראשונה מגדירה איבר כללי בAB (שוב, במידה ומכפלה זו מוגדרת). עדי

תודה רבה, עדי (:


==חומר לבוחן==
כל החומר עד מרחבים וקטוריים, לא כולל. תרגיל 6 לא נכלל בשאלות, אבל לא יכול להזיק לפתור לקראת הבוחן שאלות מהחוברת עד עמ' 19 כולל.


== מיקום הבוחן ==

היכן מתקיים הבוחן לקבוצה של יפית?

== תרגיל בית מספר 7 ==

בשאלה 2 שלא מהחוברת, במקומות של השדה מופיעים ריבועים ריקים.

'''>>לא אצל כולם משום מה. בכל מקרה זה C.

אוקי תודה רבה. האם ניתן להעלות את התרגילים כקבצי pdf?

== תרגיל 7 שאלה 4.8 ==

האם יש קשר בין סעיף א ל-ב? כלומר, האם הדרישה היא למצוא "נוסחא כללית" ל-Ui ו-Vi כך שעבור i=1 מתקיים א ועבור i=2 מתקיים ב?

או שצריך למצוא U,V שמקיימים את א, ובלי קשר למצוא U,V אחרים שמקיימים את ב?

'''>> לא, אין קשר. Ui,Vi לא צריכים להיות תלויים ב-i באופן של-1 קורה א ול-2 קורה ב. צריך דוגמא עבור א ודוגמא (תלויה או לא תלויה בה) עבור ב. עדי

== בוחן <math>II</math> ==



ב-7 לינואר, 18:00-19:00 יתקיים בקורס בוחן (השני מתוך שניים) על מרחבים וקטוריים, תתי מרחבים, תלות-לינארית, בסיס, מימד ודרגה של מטריצה, בפרט גם: מרחב העמודות, מרחב השורות ומרחב האפס <math>(A\in M_{mxn}(F),\ Null(A)=\{v\in F^n:Av=0\})</math>. יש ללמוד את כל החומר מההרצאות.

הבוחן יתקיים בבניין:604, כיתה:62 . יפית ועדי



== תרגיל 10 שאלה 11.12 ==

אנחנו עובדות תחת ההנחה ש-A היא מסדר nxn? זה מצוין בתרגיל הקודם, אבל לא בנוכחי, ונדמה לי שללא ההנחה הזאת הטענות אינן שקולות.

'''>>כן

== שאלת הוכחה ==

== כותרת ==
איך מוכיחים שאם ההעתקה לינארית אזי ההעתקה מה-0 מ"ו של התחום הולך ל-0 מ"ו של הטווח?

'''>> תהי <math>T:V->W</math>. אם <math>V\ne \{0\}</math> אז <math>\exist v\in V:0\ne v</math> ולכן <math>T(0_V)=T(v+(-v))=T(v)+T(-v)=T(v)-T(v)=0_W</math>.

'''אם V הוא מרחב האפס ו-W לא (אם כן אז אפס יכול ללכת רק לאפס) ונניח בשלילה ש <math>T(0_V)=w\in W:w\ne 0_W</math>

'''אז <math>-w=-T(0_V)=T(-0_V)=T(0_V)</math>

'''כלומר <math>w=-w</math>, אחרת למקור שתי תמונות.

'''כתוצאה מכך, אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין שונה מ-2 אז <math>w=0_W</math>.

'''אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין 2 אז <math>T(0_V)=T(0_V+0_V)=T(0_V)+T(0_V)=2w=0_W</math>, מה שלא יכול לקרות כי <math>w\ne 0_W</math> ומקור לא יכול להישלח לשתי תמונות.

עדי

== בוחן שני ==

תוכלו להעלות לאתר את השאלות מהבוחן השני?

== פתרונות למבחנים ==

האם אפשר לצרף פתרונות למבחנים שהועלו לאתר?

תודה.

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2012-12-23T21:14:49Z

Rrr: /* תרגיל בית מספר 7 */

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2012-12-19T13:25:59Z

Rrr: /* תרגיל בית מספר 7 */ פסקה חדשה

שיחה:88-132 תשעג סמסטר א

2012-12-02T17:45:37Z

Rrr: /* תרגיל 6 שאלה 3 מתמטיקאים */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון =

*[[שיחה:88-132 תשעג סמסטר א/ארכיון 1|ארכיון שאלות ותשובות 1]]
=שאלות=

==הערה לגבי הצגת שאלות==

כשמתייחסים לשאלה משיעורי הבית אז בשורת הכותרת פרט למספר התרגיל ולמספר השאלה רצוי מאוד לומר על איזה קבוצה מדובר:מתמטיקאים,תיכוניסטים או מדמ"ח. אחרת, זה יכול לבלבל הן את הסטודנטים והן את המתרגלים.
 --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:27, 31 באוקטובר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 6 ==

נניח יש לי שתי סדרות והגבולות החלקיים של An זו קבוצה (A= (-1,1, והגבולות החלקיים של Bn זו קבוצה
(B=(0,2. נתון לי ש Cn=An+Bn וקבוצה C זה הגבולות החלקיים של Cn. מזה אומר??.. מהי קבוצה C זה האיחוד של כל הגבולות החלקיים כלומר (1-,1,2,0) או שזה חיבור שלהם כלומר (1,3-), לא ממש ברור לי הסכום של הסדרות אשמח לעזרה כלשהי כדי לפתור את השאלה, תודה!
::הקבוצה C היא כל הגבולות החלקיים הממשיים של הסדרה <math>c_n</math>. גבול חלקי ממשי של <math>c_n</math> הוא מספר <math>L\in \Bbb R</math> כך שקיימת תת סדרה
<math>c_{n_k}</math> המתכנסת אליו. אני יכול להציע לך לקחת בהתחלה אפילו שתי סדרות שהן מתכנסות <math>a_n,b_n</math> ולחשוב מה תהיה הקבוצה C במצב זה. אח"כ אפשר לחשוב על סדרות שלא מתכנסות ושיש להן יותר מגבול חלקי אחד ולחשוב מה קורה במצב זה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:07, 25 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה כללית ==

אם מבקשים ממני למצוא סכום של טור כלשהו, אני יכול לצאת מנקודת הנחה שהטור מתכנס או שאני צריך להוכיח זאת?

???
::אם תמצא את הסכום ממילא תוכיח באותו הזמן גם שהוא מתכנס. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 14:16, 27 בנובמבר 2012 (IST)

== פרטים על הבוחן ==

איפה אני יכול למצוא פרטים על הבוחן כמו מתי? איפה? חומר?

(לא מתרגל / מרצה) של איזו קבוצה? --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:29, 26 בנובמבר 2012 (IST)
של התיכוניסטים

(לא מתרגל / מרצה) הבוחן ב-16.12. החומר יינתן ביום ראשון בתרגולים. מיקום - של שיעור ההשלמה. בקיצור - יישלחו פרטים מדויקים בהמשך :) --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:48, 26 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה לגבי תרגיל 5 ==

האם זה נכון לומר שאם cn=an+bn אז תת הסדרה cnk היא ank+bnk?
::כן.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 14:16, 27 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלה 5g (תיכוניסטים) ==

צריך לחלק למיקרים של a?
::אולי. זה חלק מהשאלה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:36, 28 בנובמבר 2012 (IST)

== משפט דלאמבר ==

אם יוצא לי שD שואף לאינסוף, האם בידוע שהטור מתבדר?
::בהנחה שבD כוונתך לגבול התחתון של המנה אז התשובה היא כן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:38, 28 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלה 5 d (תיכוניסטים) ==

הסכום לא צריך להתחיל מ n = 2?
::כן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:39, 28 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 (תיכוניסטים) ==

מותר להשתמש בעובדה שהסכום <math>\sum\frac{1}{n^p}</math> מתכנס אם"ם p>1?
::כן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:39, 28 בנובמבר 2012 (IST)

== מבחן ההשוואה הגבולי ==

מה קורה אם הגבול <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n}{a_n}</math> שווה לאינסוף? אפשר להגיד משהו על הטורים?
::כן. התכנסות הטור <math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math> גוררת התכנסות הטור <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:41, 28 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 כמה שאלות בוגרים ==

הי,
1.שאלה 7-הם מתלכדים החל ממקום סופי או לאו דווקא?
2.אשמח לרמז ל 2ב
תודה
::1. במילה "מקום" אנו בעצם מצביעים על אינדקס טבעי וממילא זהו ערך סופי בהכרח.
2. אפשר לנסות לכתוב אי שוויון בכיוון אחד לנסות לפשט אותו ואז להסתמך על טענות או משפטים שראיתם בהרצאה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:07, 29 בנובמבר 2012 (IST)

== אריטמתיקה של סכומים ==

אם יש לי <math>\sum_{1}^{\infty}a_n=a</math> וגם <math>\sum_{1}^{\infty}b_n=b</math>

a,b ממשיים

האם אפשר להגיד ש:

<math>\sum_{1}^{\infty}(a_n+b_n)=a+b</math>
::כן. זה משפט. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:07, 29 בנובמבר 2012 (IST)

== טורים ==

אם <math>\sum(a_n)</math> מתכנס ו<math>b_n</math> חסומה
האם ניתן לומר ש <math> \sum(a_nb_n)</math> גם מתכנס?
:: (לא מרצה/מתרגל) לדעתי כן (בהנחה ש <math>a_n</math> חיובית), הוכחה: <math>b_n</math> חסומה ולכן קיים M כך ש <math>b_n</math> <M, ולכן: <math>a_nb_n</math> <M<math>a_n</math>. <math>\sum(M*a_n)</math> מתכנס ולכן <math> \sum(a_nb_n)</math> מתכנס.

== מותר להגיד דבר כזה? ==

שאם <math>\sum(a_n)</math> מתכנס ו <math>\sum(b_n)</math> מתבדר, אז
<math>\sum(a_n)+\sum(b_n)</math> מתבדר?
::כן זה נכון. אפשר להניח בשלילה שזה מתכנס ואז להפעיל אריתמטיקה (חיסור) ולקבל ... --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:34, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלה 3 מתמטיקאים ==

האם ניתן קודם למצוא את הגבול ובעזרת המידע שאני יודע עליו להוכיח את את הטענה?

שיחה:88-132 תשעג סמסטר א

2012-11-27T08:52:35Z

Rrr: /* שאלה לגבי תרגיל 5 */

שיחה:88-132 תשעג סמסטר א

2012-11-27T08:51:52Z

Rrr: /* שאלה לגבי תרגיל 5 */ פסקה חדשה

שיחה:88-132 תשעג סמסטר א

2012-11-23T17:37:01Z

Rrr: /* תרגיל 4 שאלה 7 (מתמטיקאים) */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=


==הערה לגבי הצגת שאלות==
כשמתייחסים לשאלה משיעורי הבית אז בשורת הכותרת פרט למספר התרגיל ולמספר השאלה רצוי מאוד לומר על איזה קבוצה מדובר:מתמטיקאים,תיכוניסטים או מדמ"ח. אחרת, זה יכול לבלבל הן את הסטודנטים והן את המתרגלים.
 --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:27, 31 באוקטובר 2012 (IST)

==שאלה 1 תרגיל 1 (מתמטיקאים)==
מתן, אני עונה לשאלה שלך כאן כי אין לי פייסבוק. מה שאתה אומר נכון כאשר <math>a</math> אי שלילי אבל אינו נכון כאשר <math>a</math> שלילי. שים לב שבשני אי השווינים זה שנתון וזה שצ"ל יש ערך מוחלט גם באגף ימין. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:50, 22 באוקטובר 2012 (IST)

== תרגילי בית ==

אתה יכול להעלות את תרגילי הבית בPDF?
(כי גם ככה לא צריך לערוך את זה אחרי שנה)
:מטרת העל היא להעלות הכל בפורמט ויקי. כל תרגיל וכל פתרון מתכנסים לכדי מאגר גדול, ואתם נהנים מפירות השנים הקודמות. ניתן לבחור גרסאת הדפסה מימין למטה ולהדפיס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::אבל האיכות של זה היא לא איכות של PDF.תדפיס תרגיל כזה ולידו תרגיל שנתנו לנו בקיץ.ותראה שמה שבPDF הרבה יותר נעים לקרוא. --[[משתמש:Caspim|Caspim]] 23:55, 21 באוקטובר 2012 (IST)

:::כל אחד וההקרבות שלו. אני מקים את כל האתר הזה ומנהל את כל התוכן, אתם צריכים להתמודד עם פונטים של latex... אם אני אוכל לשפר את האיכות בעתיד אעשה זאת. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

:::: אני חושב שצריך להוריד בגרסה להדפסה את החלק של הפיסבוק. זה מבזבז לי קצת טונר --[[משתמש:Avital|Avital]] 20:19, 22 באוקטובר 2012 (IST)

== האוני' פתוחה ==

הספרם של האוניברסיטה הפתוחה מתחילים מיחידה 3?

:אני לא בטוח מה כוונת השאלה, ואני לא בטוח מה יש בספרים של הפתוחה. כמדומני הם מדלגים על סדרות וטורים ומתחילים ישר מגבולות של פונקציות. זה לא הסדר שאנחנו נעבוד לפיו. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::אז איזה ספר אתה ממליץ?

:::מייזלר הולך מאד מאד קרוב לתוכנית הלימודים שלנו. אני ממליץ לנסות לדבר עם סטודנטים בוגרים יותר לשמוע מה הם מצאו כיעיל --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 (תיכוניסטים) ==

בשאלות 1 ו2 x ממשי, נכון? --[[משתמש:Avital|Avital]] 20:15, 22 באוקטובר 2012 (IST)

:מצטרפת, ואם יוצא לי לא ממשי צריך להתעלם מזה?

::x הוא ממשי --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1ב (תיכוניסטים) ==

יש מצב זה אמור להיות <math>x^2-4x+3</math> במקום <math>x^2-4x-3</math>?

הפתרון יוצא יותר יפה.. :)
:מה יותר יפה משורש? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

שהתוצאה היא רציונאלית

== מישהו יכול לעזור לי? ==

איך מוכיחים:

<math>\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n^2-n+1}{3n^2+2n+1}=\frac{1}{3}</math>

תודה תודה רבה :)

*(לא מתרגל) אצלנו בהרצאה המרצה הביא את הכיוון. הוא אמר שאפשר לעשות זאת בקלות על ידי אריתמטיקה של גבולות, כלומר כל מני חוקים שמתקיימים בגבולות של כמה סדרות, עליהם נלמד בשיעור הבא. בכל מקרה, הכיוון שהוא הביא: צריך לחלק את המונה והמכנה בn^2, ואז נקבל:
http://www.math-wiki.com/images/b/bc/Daum_equation_1351689248875.png

מכאן זה דיי פשוט - לפי החוקים שנלמד, הגבול של המכפלה הוא מכפלת הגבולות, כנ"ל עם חילוק, חיסור וחיבור, ואפשר לראות שאחת חלקי n שואף לאפס, גם 2 חלקי n, גם 1 חלק n^2, וכו'. בנוסף "נפטרים" מכל הדברים עם n, חוץ מה1 למעלה והשלוש למטה, ונשאר שליש כי 1 ו-3 הם סדרה קבועה.

ואיך מוכיחים זאת בלי אריתמטיקה של גבולות?

* אני לא בטוח שאפשר, אבל בעיקרון כמו שמוכיחים ש1 חלקי n שואף לאפס. ננחש שהגבול הוא שליש, ונפעל לפי ההגדרה. כלומר, לכל אפסילון גדול מאפס, נרצה למצוא n0 כך שלכל n>n0 המרחק בין an לשליש (בערך מוחלט) קטן מאפסילון. לא בטוח שזה יעבוד בכזו קלות, אולי לא יעבוד בכלל.

אוקי תודה :)

== שאלה 7 בתרגיל 2 ==

האם צריך להוכיח כי קיים חסם עליון ל A וחסם תחתון ל B, או שאפשר לצאת מנקודת הנחה שיש להם את החסמים הנ"ל?

-לפי אקסיומת השלמות, כל תת קבוצה של R שחסומה מלעיל, יש לה סופרימום. את השאר צריך להוכיח.

== תרגיל 2 שאלה 5 ב' (תיכוניסטים) ==

אם אני רוצה להפריך ע"י הבאת שתי קבוצות שהחסמים שלהן מקיימים את התנאי, צריך למצוא לשתיהן את החסמים בשיטה הרגילה או שאפשר להסתפק בכך שברור שהם החסמים (אם מדובר בקבוצות שהחסמים שלהן ברורים)? [[משתמש:Avichai|Avichai]] 21:08, 1 בנובמבר 2012 (IST)

כנ"ל לגבי הפרכות בשאלה 6.

:צריך להסביר, לא חייבים להוכיח עם אפסילון. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 4 (תיכוניסטים) ==

אפשר למצוא חסם עליון וחסם תחתון בעזרת אינדוקציה?
::אני מניחה שהשאלה היא: אחרי שיש לי רעיון מהו החסם, האם ניתן להוכיח באינדוקציה שהוא אכן החסם? התשובה היא כן...--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:08, 3 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 5ג (תיכוניסטים) ==

האם אפשר לכתוב רק את המקרה הכללי או שצריך גם להוכיח?

== תרגיל 2 שאלה 8 (תיכוניסטים) ==

בסוף בסוגריים זה לא אמור להיות אפס חסם תחתון של A אם"ם A^-1 לא חסומה מלעיל?

כי אם לא אפשר להפריך את זה, לדוגמה אם A היא קבוצת כל המספרים הממשיים הגדולים מ-0, אז 0 יהיה חסם תחתון של A^-1.

* קבוצה חסומה היא קבוצה שיש לה חסם מלעיל וחסם מלרע. בR זה אומר שיש גם אינפימום וגם סופרימום.

== תרגיל 2, שאלה 2 (בוגרים) ==

האם ניתן להפריך את הטענה :
שאלה 2
יהי x∈ℝ מספר ממשי המקיים x ≥ 0 . נניח בנוסף שמתקיים x < ε לכל ε > 0. הוכיחו
או הפריכו: x = 0 .
ע"י הוכחת הטענה: לכל אפסילון גדול מאפס קיים n טבעי כך ש- אפסילון גדול מ 1/n??

תודה

::בעיקרון - לא. הערה כללית: זה לא ממש המקום לרשום הוכחות/הפרכות של שאלות. זה עלול להרוס לאנשים שעדיין מנסים לפתור את השאלות בעצמם... =) זה כן המקום לשאול שאלות על החומר, לבקש הבהרות ורמזים על התרגילים, וכדומה... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:06, 3 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 (מדמ"ח) ==

למה אין שאלה מספר אחת? לא אמורה להיות, או שהיא נשמטה?
:אין שאלה אחת, לא לדאוג (: --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== ספר באינפי של הוכמן ==

האם הספר "חשבון אינפיניטסימלי" של מיכאל הוכמן בהוצ' אקדמון טוב לקורס שלנו ?
תודה.
::אני לא מכיר את הספר. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:07, 7 בנובמבר 2012 (IST)

== ספר באינפי של הוכמן ==

האם הספר "חשבון אינפיניטסימלי" של מיכאל הוכמן בהוצ' אקדמון טוב לקורס שלנו ?
תודה.

== תרגיל 2 ,שאלה 3(מתמטיקאים בוגרים) ==

הכוונה שם זה לתת הפרכה, ככה שאני בוחר את A ,ובוחר אפסילון שיתאים?
תודה
::לא. הטענה היא שאם A קבוצה שעבורה מתקיים התנאי שמופיע בתרגיל אז בהכרח 0 אינו חסם תחתון. לכן אתה לא יכול לבחור A ספציפית אלא להוכיח עבור '''כל''' A שמקיימת את התנאי. זאת אומרת אתה צריך לקחת A שרירותית אבל מותר לך להניח שהתנאי עם אפסילון מתקיים (גם כאן אתה לא יכול לבחור את אפסילון). מזה אתה צריך ויכול להסיק שאפס בהכרח אינו החסם התחתון. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:12, 7 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 5 (מתמטיקאים) ==

מצאו חסם עליון תחתון מינ' מקס' .
צריך גם להוכיח ? למשל אם לא קיים מקס' להוכיח זאת ?
::כן. צריך להוכיח. אם מוצאים את החסם עליון (כמובן עם הוכחה) והוא לא שייך לקבוצה אז זה מספיק להסיק שאין מקסימום.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:50, 7 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 4 ו (תיכוניסטים) ==

אם לדוגמא קיים i כך ש ai = 0, אז התרגיל מוגדר בכלל?

???

(לא מתרגל / מרצה) זה תלוי. מותר למספר סופי של איברים להיות 0, אך חייב להיות <math>n_1\in N</math> עבורו לכל <math>n\ge n_1</math>, <math>a_n\neq 0</math> --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:48, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה 1 תרגיל 3(תיכוניסטים) ==

מותר בשאלה 1 להשתמש מבלי להוכיח בכך ש
<math>\lim_{n\rightarrow \propto}\frac{1}{n}=0</math>
?

== תרגיל 3 שאלה 4 (תיכוניסטים) ==

למה הכוונה "מתכנסת במובן הרחב לאינסוף" ? לא למדנו את המושג בכלל(לא בהרצה ולא בתרגול).

(לא מרצה / מתרגל) תהי <math>a_n</math> סדרה. אזי נאמר ש-<math>a_n</math> מתכנסת לאינסוף (במובן הרחב) אם <math>\forall M>0, \exist N_M\in N ,\forall n\ge N_M : a_n\ge M</math> --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:59, 8 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 6 אינפי למתמטיקאים ==

בשאלה 6 הגדרתם ש A ו B חסומות מלרע, האם אני יכול לקחת כדוגמאות קבוצות שהן גם חסומות מלעיל וגם חסומות מלרע?
::כן.

== תרגיל 3 שאלה 1 סעיף א' ==

אני יכול להוציא שורש לגבול? לדוגמא
אם
<math>(\lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt n})^2=0</math>
אז
<math>(\lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt n})=0</math>

== תרגיל 3 שאלה 4ה' (תיכוניסטים) ==

האם אני יכול להפריך את הטענה ע"י כך שאני אומר ש-An היא סדרה אינסופית שכל אחד מהאיברים שלה הוא 0?

*(לא מתרגל) אני חושב שאפשר להניח שAn הוא לא אפס, אחרת לתרגיל אין כל כך משמעות, כי Bn לא מוגדרת בכלל (וגם לסעיפים ד,ו תחת אותו רעיון).

== שאלה לגבי שאיפה במובן הרחב (תיכוניסטים) ==

בשאלות 5 ו6 בתרגיל 3 צריך להוכיח את הטענות גם עבור המובן הרחב (כלומר עבור שאיפה ל<math>\pm\infty
</math>)?

== תרגיל 3 (מדמ"ח) ==

בשאלה 5, האם מותר לי להשתמש במה שלמדנו בכיתה שכל סידרה המתכנסת לאפס כפול סידרה חסומה ולא מתכנסת, היא סידרה המתכנסת לאפס?
כי אז צד אחד של הגרירה הכפולה הוא בדיוק זה...

תשובה: כן, מותר להשתמש בשיטות שראינו בתרגול - אבל צריך לצטט את הטענה ולציין שהוכחנו אותה בתרגול.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:41, 11 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 2 (מתמטיקאים) ==

בהגדרה של אקסיומת דדקינד בכיתה הגדרנו עבור 2 קבוצות שמוכלות בF.
האם אפשר להשתמש באקסיומה על 2 קבוצות ב R?
::שאלה טובה. אפשר להסתכל מה בדיוק היה אותו F באקסיומת דדיקנד ומה נאמר על <math>\mathbb{R}</math> בהמשך אותה ההרצאה. אני לא רוצה לענות תשובה של כן/לא למרות שיש תשובה כזו. יש לך את כל הכלים להחליט מהי התשובה לשאלה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:02, 12 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 (רגילים) ==

האם ניתן להגדיר סופ/ ו אינפ על קבוצה בעלת איבר יחיד??

::בהחלט כן. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 16:48, 12 בנובמבר 2012 (IST)

== (מתמטיקאים), תרגיל 3 שאלה 1 ==

האם ניתן עבור הוכחת sup,inf שקיימים m,n שמקיימים לדוגמא הביטוי בתרגיל<0+ε(אפסילון) לבחור m,n כביטוי עם אפסילון לדוגמא n=אפסילון/2?
תודה
::לפני שאענה יש לי הערה. אני די מנחש מההקשר מה ניסית לעשות. ההשערה שלך היא שאפס הוא החסם התחתון וזאת הבדיקה שמוצעת כאן, נכון? הייתי שמח אם אפשר היה להוסיף עוד שתי מילים כדי שהשאלה תהיה ברורה יותר.

בכל מקרה התשובה לשאלה עצמה שהעלית היא שלילית. m,n אמורים להיות טבעיים ואפסילון לא צריך להיות טבעי וגם לא אפסילון חלקי 2 מה שאומר שאי אפשר לבחור n ששוה לאפסילון חלקי 2 (אגב אני לא יודע מהי קבוצת התרגול שלך אבל בתרגול האחרון שלי עשיתי טעות דומה לזאת ואח"כ תיקנתי אותה). לעומת זאת אי שוויון במקום שוויון .... --[[משתמש:מני ש.|מני]] 14:57, 13 בנובמבר 2012 (IST)

== שלילת גבול (תיכוניסטים) ==

אם אני רוצה להפריך קיום גבול של סדרת, בהינתן סדרת נסיגה: האם אפשר להניח בשלילה שקיים גבול <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L</math>, להשתמש בעובדה ש <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}</math> ואז להראות סתירה? (לדוגמא ש L שלילי, בעוד שאנחנו יודעים שכל האיברים חיוביים)?
::כן.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:02, 15 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה כללית ==

אם An שואף לאינסוף וBn שואף למינוס אינסוף אני יכול להגיד ש-An/Bn שואף ל1- ?

*(לא מתרגל) צריך להוכיח.
::אינסוף חלקי אינסוף לא מוגדר וכך גם מינוס אינסוף חלקי אינסוף. יכולות להיות הרבה תוצאות אפשריות. לדוגמא <math>\frac{n^2}{-n}</math> הוא גבול מהצורה אינסוף חלקי מינוס אינסוף והוא שואף דוקא למינוס אינסוף. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:02, 15 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלות 6,8 לתיכוניסטים ==

== כותרת ==

בשאלה 5 לכל סידרה קיימת תת סידרה מונוטונית...
בשאלה 8, הסדרה מונוטונית עולה כלומר a1 הוא חסם תחתון כלומר הסדרה חסומה בניגוד למה שצריך להוכיח
::לגבי שאלה 5 הצדק איתך הענין הוא שביקשו מכם להוכיח פחות. מי שרוצה מוזמן להתפרע ולהוכיח את הטענה הכללית יותר שציינת.
לגבי שאלה 8 זה שלסדרה יש חסם תחתון לא אומר שהיא חסומה מלעיל ולכן אי אפשר להסיק שהיא חסומה.

== הגדרה של סדרה ששואפת לאינסוף ==

ההגדרה אומרת שסדרה an שואפת לאינסוף אם לכל מס' ממשי A קיים N שהחל ממנו an>A.

N לא איבר בסדרה?
::לא. N הוא מקום בסדרה (אינדקס)--[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:11, 15 בנובמבר 2012 (IST)

== התבדרות/התכנסות במובן הרחב ==

סדרה שמתכנסת במובן הרחב היא סדרה מתבדרת?
סדרה מתבדרת היא סדרה שמתכנסת במובן הרחב?
::התכנסות במובן הרחב פירושה התכנסות לגבול ממשי או <math>\pm \infty</math>. התכנסות במובן הצר היא התכנסות למספר ממשי בלבד. סדרה שלא מתכנסת בשום מובן שהוא היא מתבדרת. לגבי התכנסות לערך אינסופי יש חוסר התאמה במינוחים. אנשים שונים משתמשים במינוחים שונים. יש כאלו שיקרא לזה מתבדרת אבל אז הם כמובן מתכונים שהיא דוקא מתבדרת במובן הצר ושאינה מתכנסת לגבול ממשי. אחרים(וזו הגישה שגם אנו נשתדל לאמץ בקורס זה)לא משתמשים בלשון של מתבדרת כאשר ההתכנסות היא לגבול אינסופי ופשוט קוראים לזה מתכנסת לאינסוף או מינוס אינסוף.
התשובה לשאלה השניה היא שלילית בכל מקרה (בלי תלות במינוחים שציינתי קודם) כי יש סדרות שלא מתכנסות לשום גבול ממשי או אינסופי, למשל, <math>(-1)^n</math>
מתבדרת אך אינה מתכנסת לשום גבול ממשי או אינסופי.
--[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:25, 15 בנובמבר 2012 (IST)

== דוגמה לסדרה חסומה שאינה מתכנסת במובן הרחב ==

האם הסדרה 1 חלקי n היא סדרה חסומה שאינה מתכנסת במובן הרחב?
::לא. היא מתכנסת לאפס ובפרט מתכנסת במובן הרחב (פירוט מופיע בתשובה לשאלה הקודמת).--[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:31, 15 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 5(תיכוניסטים) ==

אומרים ש an חסומה, וצריך להוכיח שקיימת לה תת סדרה מונוטונית.
אבל הוכחנו בהרצאה שלכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית. למה צריך להגיד גם שהיא חסומה?

??

*(לא מתרגל)כבר ענו על השאלה הזו למעלה. אתה צודק, מספיק להוכיח שלכל סדרה יש תת סדרה מונוטנית, זו טענה חזקה יותר (אם כי לא מצאתי מה הנתון של חסומה עוזר בחיים).

== סדרה חסומה ==

זה נכון שסדרה חסומה מתכנסת למספר כלשהו (שונה מאינסוף), כי בכל סדרה קיימת תת סדרה מונוטונית, ולתת סדרה זו קיימת חסם (כי היא בסדרה חסומה), ולכן היא מתכנסת?

*(לא מתרגל) לא בהכרח - קח/י לדוגמא את הסדרה ...1,1-,1,1-,1,1-,1. היא סדרה חסומה, ויש לה תת סדרה מונוטנית (ואפילו אינסוף כאלה) ששואפת לגבול ממשי. לכן יש לה חסם מלעיל כמו 1 וחסם מלרע כמו 1-, אבל היא עצמה בכלל לא מתכנסת.

== סדרה עולה וחסומה מלעיל היא סדרה חסומה? אם כן, למה? ==

סדרה עולה וחסומה מלעיל היא סדרה חסומה? אם כן, למה?

*(לא מתרגל) זה נכון, כי אם הסדרה עולה האיבר הראשון שלה קטן(שווה) מהשני, שקטן(שווה) לשלישי, שקטן (שווה) לרביעי וכו' וכו'. כלומר a1 משמש חסם מלרע. חסם מלעיל יש לפי השאלה שלך, ולכן היא חסומה בסה"כ.

== כל סדרה מונוטונית מתכנסת במובן הרחב? ==

כל סדרה מונוטונית מתכנסת במובן הרחב?

*(לא מתרגל) כן, זהו משפט מההרצאה.

== תרגיל 4 שאלה 4 ב (תיכוניסטים) ==

כשאומרים תת סדרה ששואפת לאינסוף, מתכוונים לפלוס אינסוף, או למינוס או פלוס אינסוף?

הכוונה היא + אינסוף.

== העלאת תרגילים (תיכוניסטים) ==

אבקש שיעלו את התרגילים ביום ההגשה ולא ידחו את זה לאמצע השבוע כדי שנוכל להספיק להכין אותם.
יום הגשת התרגיל לתיכוניסטים באינפי 1 הוא יום ראשון. בזמן האחרון התרגילים מועלים באמצע השבוע במקום להעלות כבר בראשון בערב לאחר ההגשה.
אבקש שהעניין יטופל ושיעלו את התרגילים בזמן. תודה!

== בוחן (תיכוניסטים) ==

אפשר בבקשה לכתוב בצורה מפורטת על הבוחן- מתי הבוחן, על מה הוא, איפה יש תרגילים לבוחן, מה המשקל שלו בציון הסופי...

== תרגיל 3 (מדמ"ח) ==

שלום,
הגשת תרגיל 3 נדחתה? לכולם? לחלק?
תודה מראש.

== תרגיל 5 שאלה 1 (תיכוניסטים) ==

האם מותר להסתמך על כך ש (sin(1/n שואף לאפס או שצריך להוכיח את זה על פי ההגדרה?

== תרגיל 4 ==

בשאלה 1 בנוסף למציאת הגבול, אני כאילו צריכה להראות שזה באמת הגבול לפי ההגדרה, עם הערך מוחלט וקטן מאפסילון? או שמספיק שאני מוכיחה את זה על ידי אמירה למה כל מרכיב שואף?
::אפשר לפי ההגדרה, אפשר לפי אריתמטיקה של גבולות ואפשר לפי משפטים אחרים. אם בחרת בשתי האפשרויות האחרונות אין צורך להוכיח לפי הגדרה.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:23, 19 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שימושים במשפט + שאלה 4 ==

1. האם ניתן להשתמש בהכללה שהמרצה (דר הורוביץ) הראה לנו בהרצאה - lim((1+1/an)^(an))=e לכל סדרה -{an} ששואפת לאינסוף ?
2.שאלה 4 הייתה גם בתרגיל 3, האם זו טעות או שלפתור עוד פעם?
::באופן כללי אם למדתם משפט ודאי שאתם יכולים להשתמש בו. כמובן תוך התיחסות אליו. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:48, 21 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 7 סעיף א (מתמטיקאים בוגרים) ==

אם ב-א אם היא מתכנסת, צריך להוכיח או משהו אחר?
תודה
::אם היא מתכנסת אז צריך להוכיח ולהגיד מהו הגבול. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:30, 21 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 8 (תיכוניסטים) ==

אפשר להשתמש בזה שסדרה מתכנסת לגבול L אם ורק אם כל תת סדרה שלה מתכנסת ל L

???
::מותר להשתמש בכל משפט שלמדתם --[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:48, 21 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה כללית בנושא תתי סדרות ==

תת סדרה של an יכולה להיות מספר סופי של איברים מתוך an?
:: קודם כל הערה על המושג איברי סדרה בניגוד לאיברי קבוצה. אם מסתכלים למשל על הסדרה: <math>-1,1,-1,1,-1</math> או בקיצור <math>(-1)^n</math> אז כקבוצה מספר האיברים הוא סופי אבל כשאומרים איברי הסדרה יש חשיבות למיקום האיברים ובכל סדרה יש אינסוף איברים. לכל מספר טבעי מתאימים איבר של הסדרה ויש חשיבות לא רק לאיבר אלא גם למיקומו. כנ"ל לגבי תת סדרה. כל תת סדרה היא בפרט סדרה. כזאת שהתקבלה מהסדרה המקורית ע"י בחירת אינסוף מקומות. לכן גם על תת סדרה הייתי אומר שמספר איברי הסדרה של תת הסדרה הוא אינסופי בהכרח. אך אם השאלה על מספר האיברים בהסתכלות כקבוצה אז בדומה לסדרה ודאי שהמספר יכול להיות סופי. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:33, 21 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 6 _מתמטיקאים בוגרים ==

אפשר קצת יותר פירוט מה הכוונה שם?
והאם היסמון על הסדרות בסוף ההסבר זה ערך מוחלט?

תודה
::זה אכן ערך מוחלט. לכל סדרת חיוביים המתכנסת לאפס צריך להוכיח שקיימות שתי סדרות: אחת גדולה מהסדרה הנתונה (בערך מוחלט) ואחת קטנה ממנה (בערך מוחלט) שגם הן מתכנסות לאפס. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:24, 21 בנובמבר 2012 (IST)

האם אפשר להראות סדרות המקיימות bn<an<cn פרט למספר סופי של איברים?

== תרגיל 4 (מתמטיקאים) ==

האם n < 2^n לכל n טבעי דורש הוכחה באינדוקציה או שאפשר להסתמך על זה בלי להוכיח?
::אפשר להסתמך ללא הוכחה.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:19, 21 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה כללית (תיכוניסטים) ==

אפשר להגיד שהגבול העליון של סדרה חסומה קטן מאינסוף?

*(לא מתרגל) כן: ניקח תת סדרה שמתכנסת לגבול העליון. אם נניח בשלילה שהוא אינסוף, אזי לפי ההגדרה לכל M ממשי קיים n0 כך שלכל k>k0 מתקיים ak>M. בפרט זה נכון עבור החסם העליון של הסדרה (כי היא חסומה על ידי מספר ממשי), ואם נניח שהחסם הזה הוא S, נקבל כי קיים k0 כלשהו כך שאם k>k0 מתקיים ank>S, בסתירה להגדרה של S כחסם של הסדרה an.

== תרגיל 4 שאלה 7 (מתמטיקאים) ==

אם לדוגמא אני מניח ש bn--->0 אז אני צריך לבדוק מה קורה עם an/bn או שאני עדיין יכול להניח ש an/bn---->c
::אני לא בטוח על איזה סעיף אתה מדבר אבל ככלל אם אתה מוסיף הנחה משלך אתה חייב לבדוק שהיא אינה סותרת את מה שנתון. אם היא סותרת זה כמובן אומר שמה שהנחת אינו אפשרי בדיוק בדומה לרעיון של הוכחה בדרך השלילה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 21:18, 22 בנובמבר 2012 (IST)

אם אני אומר ש bn מתכנסת רק במובן הרחב (כלומר לא לגבול סופי), אני עדיין צריך לבדוק מה קורה אם bn לא מתכנסת או שזה מספיק? כלומר לא הבנתי אם זה דורש תשובה גורפת כמו בסעיף ב' או לא.

== תרגיל 5 שאלה 5 ==

בתרגיל הזה נתון ש Bn חסומה. רציתי לדעת אם מותר להגיד שבגלל שהיא חסומה אז זה אומר שהיא מתכנסת, ואז מכאן נובע שקיימת תת סדרה כללית ששואפת לגבול העליון של Bn..זה נכון או שלא?
תודה רבה
::(לא מתרגל) הטענה לא נכונה, אם סדרה חסומה זה לא אומר שהיא מתכנסת; אבל הוכחנו שהגבול העליון של סדרה הוא גבול חלקי שלה, ולכן קיימת תת סדרה ששואפת לגבול העליון של Bn, בלי קשר לטענתך שהסדרה Bn מתכנסת.

== תת סידרה מתכנסת ==

זה נכון להגיד שאם סידרה an מתכנסת ל b כלשהו, אזי כל תת סידרה מתכנסת של an מתכנסת אף היא לאותו b?
ואם זה נכון, אפשר כיוון להוכחה של טענה כזו?

(לא מתרגל / מרצה) זהו משפט שלמדנו בהרצאה - אם סדרה מתכנסת אז כל תת סדרה שלה מתכנסת גם. כדי להוכיח ניתן להיעזר בהגדרת הגבול --[[משתמש:גיא|גיא]] 11:54, 23 בנובמבר 2012 (IST)

השאלה הייתה, האם היא מתכנסת לאותו גבול?

(לא מתרגל / מרצה) כן --[[משתמש:גיא|גיא]] 13:53, 23 בנובמבר 2012 (IST)

== לגבי שאלה מהמערך תרגול ==

http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA

אני מדבר על התרגיל השני בדף הזה...השאלה עם האלפא ובטא.
למה רוצים להוכיח כי איברי הסדרה an גדולים בהתאמה מאיברי הסדרה bn? מה המוטיבציה לצעד הזה?

דבר שני, איך בכלל יודעים מבחינה אינטואיטיבית שאיברי הסדרה an גדולים מאיברי הסדרה bn? הרי לפני שאני בא להוכיח כזה דבר,

אני מניח שצריך אינטואיציה כלשהי שתוביל אותי לכך שזה כנראה נכון, ואז אגש להוכיח זאת.

אשמח לקבל תשובה לשתי השאלות הללו.

תודה מראש

(לא מתרגל / מרצה) השאיפה הייתה להראות ששתי הסדרות חסומות ומונוטוניות. שים לב כי <math>a_n</math> מונוטונית יורדת, ואילו <math>b_n</math> מונוטונית עולה. כשהראנו שאיברי הסדרה <math>a_n</math> גדולים בהתאמה מאיברי <math>b_n</math>, מצאנו חסמים (מלעיל ומלרע) לכל אחת מהסדרות - ובכך הוכחנו כי הן מתכנסות. לגבי אינטואיציה - צריך לנסות. אפשר לקחת דוגמאות מספריות כדי לקבל אינטואיציה, למרות שעם ניסיון מגיעה אינטואיציה --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:14, 23 בנובמבר 2012 (IST)

== בהמשך לשאלה מהמערת תרגול ==

http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA

לא ממש מובן לי כיצד יתכן ש-an גדולה מ-bn לכל n בזמן ש-an יורדת ו-bn עולה. איך זה שאין שלב כלשהו שבו איברי bn יהיו גדולים מאיברי an עבור n כלשהו????

תודה מראש

(לא מתרגל / מרצה) ניקח לדוגמה את שתי הסדרות <math>b_n=-1/n</math>, <math>a_n=1/n</math>. שים לב ש-<math>a_n</math> מונוטונית יורדת, <math>b_n</math> מונוטונית עולה ולמרות זאת לכל <math>n\in N</math>, מתקיים <math>b_n<a_n</math>. זו רק דוגמה אחת - פשוט גבול כל סדרה גם יהיה קטן (או גדול) או שווה לאיברי הסדרה השנייה --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:16, 23 בנובמבר 2012 (IST)

== מדעי המחשב שאלה 1 תרגיל4 ==

נניח שאני רוצה להוכיח שהסדרה an חסומה ומונוטונית ולכן מתכנסת.

א', איך אני יודע האם לנחש שהיא יורדת או לנחש שהיא עולה?

ב', את המונוטוניות אפשר להוכיח רק באמצעות אינדוקציה?

ג', איך אפשר להראות שהסדרה חסומה??

*(לא מתרגל) א' אפשר להציב כמה מספרים ולראות.

ב' יש כמה דרכים, אינדוקציה זו אחת מהן. דרך נוספת: נניח שאנחנו רוצים להוכיח שהסדרה עולה, לכן נוכיח כי עבור האיבר הכללי an מתקיים
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac%20{%20{%20a%20}_{%20n+1%20}%20}{%20{%20a%20}_{%20n%20}%20}%20\ge%201\quad%20or\quad%20{%20a%20}_{%20n+1%20}-{%20a%20}_{%20n%20}\ge%200

ובדומה עבור יורדת.

ג' אם יודעים מה הגבול, אפשר להוכיח שהוא חסם עליון או תחתון, תלוי אם הסדרה עולה או יורדת (בהתאמה). את זה אפשר לעשות באינדוקציה.

== סדרה שאינה חסומה מלעיל היא סדרה מונוטונית עולה? ==

סדרה שאינה חסומה מלעיל היא סדרה מונוטונית עולה?

(לא מתרגל / מרצה) לא בהכרח. קח את הסדרה: <math>x_n=(-1)^n\cdot n</math> --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:08, 23 בנובמבר 2012 (IST)

צודק...אגב, איך מוכיחים שהסדרה שנתת לא חסומה מלעיל? ושהיא לא שואפת לאינסוף?

:(לא מתרגל) הדרך הכי מהירה שאני יכול לחשוב עליה היא להוכיח שההפרש בין שני איברים עוקבים לא שואף לאפס. (זה לגבי גבול סופי)

: לגבי לא שואפת לאינסוף, היא לא חסומה מלמטה ע"י 0 החל משלב מסויים

(לא מתרגל / מרצה) השלילה של שאיפה לאינסוף היא <math>\exists M\in R \forall n\in N \exists n_1\ge n : x_{n_1}\leq M</math>. קל לראות שאפילו לכל <math>M</math> שתבחר, לכל <math>n\in N</math> - אם <math>M<0</math> אז <math>x_{n+2}<M</math> ואם <math>M\ge 0</math> אז <math>x_{n+1}<M</math>. בצורה דומה לא חסומה --[[משתמש:גיא|גיא]] 17:23, 23 בנובמבר 2012 (IST)

שיחה:88-132 תשעג סמסטר א

2012-11-23T09:43:10Z

Rrr: /* תרגיל 4 שאלה 6 _מתמטיקאים בוגרים */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=


==הערה לגבי הצגת שאלות==
כשמתייחסים לשאלה משיעורי הבית אז בשורת הכותרת פרט למספר התרגיל ולמספר השאלה רצוי מאוד לומר על איזה קבוצה מדובר:מתמטיקאים,תיכוניסטים או מדמ"ח. אחרת, זה יכול לבלבל הן את הסטודנטים והן את המתרגלים.
 --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:27, 31 באוקטובר 2012 (IST)

==שאלה 1 תרגיל 1 (מתמטיקאים)==
מתן, אני עונה לשאלה שלך כאן כי אין לי פייסבוק. מה שאתה אומר נכון כאשר <math>a</math> אי שלילי אבל אינו נכון כאשר <math>a</math> שלילי. שים לב שבשני אי השווינים זה שנתון וזה שצ"ל יש ערך מוחלט גם באגף ימין. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:50, 22 באוקטובר 2012 (IST)

== תרגילי בית ==

אתה יכול להעלות את תרגילי הבית בPDF?
(כי גם ככה לא צריך לערוך את זה אחרי שנה)
:מטרת העל היא להעלות הכל בפורמט ויקי. כל תרגיל וכל פתרון מתכנסים לכדי מאגר גדול, ואתם נהנים מפירות השנים הקודמות. ניתן לבחור גרסאת הדפסה מימין למטה ולהדפיס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::אבל האיכות של זה היא לא איכות של PDF.תדפיס תרגיל כזה ולידו תרגיל שנתנו לנו בקיץ.ותראה שמה שבPDF הרבה יותר נעים לקרוא. --[[משתמש:Caspim|Caspim]] 23:55, 21 באוקטובר 2012 (IST)

:::כל אחד וההקרבות שלו. אני מקים את כל האתר הזה ומנהל את כל התוכן, אתם צריכים להתמודד עם פונטים של latex... אם אני אוכל לשפר את האיכות בעתיד אעשה זאת. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

:::: אני חושב שצריך להוריד בגרסה להדפסה את החלק של הפיסבוק. זה מבזבז לי קצת טונר --[[משתמש:Avital|Avital]] 20:19, 22 באוקטובר 2012 (IST)

== האוני' פתוחה ==

הספרם של האוניברסיטה הפתוחה מתחילים מיחידה 3?

:אני לא בטוח מה כוונת השאלה, ואני לא בטוח מה יש בספרים של הפתוחה. כמדומני הם מדלגים על סדרות וטורים ומתחילים ישר מגבולות של פונקציות. זה לא הסדר שאנחנו נעבוד לפיו. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::אז איזה ספר אתה ממליץ?

:::מייזלר הולך מאד מאד קרוב לתוכנית הלימודים שלנו. אני ממליץ לנסות לדבר עם סטודנטים בוגרים יותר לשמוע מה הם מצאו כיעיל --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 (תיכוניסטים) ==

בשאלות 1 ו2 x ממשי, נכון? --[[משתמש:Avital|Avital]] 20:15, 22 באוקטובר 2012 (IST)

:מצטרפת, ואם יוצא לי לא ממשי צריך להתעלם מזה?

::x הוא ממשי --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1ב (תיכוניסטים) ==

יש מצב זה אמור להיות <math>x^2-4x+3</math> במקום <math>x^2-4x-3</math>?

הפתרון יוצא יותר יפה.. :)
:מה יותר יפה משורש? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

שהתוצאה היא רציונאלית

== מישהו יכול לעזור לי? ==

איך מוכיחים:

<math>\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n^2-n+1}{3n^2+2n+1}=\frac{1}{3}</math>

תודה תודה רבה :)

*(לא מתרגל) אצלנו בהרצאה המרצה הביא את הכיוון. הוא אמר שאפשר לעשות זאת בקלות על ידי אריתמטיקה של גבולות, כלומר כל מני חוקים שמתקיימים בגבולות של כמה סדרות, עליהם נלמד בשיעור הבא. בכל מקרה, הכיוון שהוא הביא: צריך לחלק את המונה והמכנה בn^2, ואז נקבל:
http://www.math-wiki.com/images/b/bc/Daum_equation_1351689248875.png

מכאן זה דיי פשוט - לפי החוקים שנלמד, הגבול של המכפלה הוא מכפלת הגבולות, כנ"ל עם חילוק, חיסור וחיבור, ואפשר לראות שאחת חלקי n שואף לאפס, גם 2 חלקי n, גם 1 חלק n^2, וכו'. בנוסף "נפטרים" מכל הדברים עם n, חוץ מה1 למעלה והשלוש למטה, ונשאר שליש כי 1 ו-3 הם סדרה קבועה.

ואיך מוכיחים זאת בלי אריתמטיקה של גבולות?

* אני לא בטוח שאפשר, אבל בעיקרון כמו שמוכיחים ש1 חלקי n שואף לאפס. ננחש שהגבול הוא שליש, ונפעל לפי ההגדרה. כלומר, לכל אפסילון גדול מאפס, נרצה למצוא n0 כך שלכל n>n0 המרחק בין an לשליש (בערך מוחלט) קטן מאפסילון. לא בטוח שזה יעבוד בכזו קלות, אולי לא יעבוד בכלל.

אוקי תודה :)

== שאלה 7 בתרגיל 2 ==

האם צריך להוכיח כי קיים חסם עליון ל A וחסם תחתון ל B, או שאפשר לצאת מנקודת הנחה שיש להם את החסמים הנ"ל?

-לפי אקסיומת השלמות, כל תת קבוצה של R שחסומה מלעיל, יש לה סופרימום. את השאר צריך להוכיח.

== תרגיל 2 שאלה 5 ב' (תיכוניסטים) ==

אם אני רוצה להפריך ע"י הבאת שתי קבוצות שהחסמים שלהן מקיימים את התנאי, צריך למצוא לשתיהן את החסמים בשיטה הרגילה או שאפשר להסתפק בכך שברור שהם החסמים (אם מדובר בקבוצות שהחסמים שלהן ברורים)? [[משתמש:Avichai|Avichai]] 21:08, 1 בנובמבר 2012 (IST)

כנ"ל לגבי הפרכות בשאלה 6.

:צריך להסביר, לא חייבים להוכיח עם אפסילון. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 4 (תיכוניסטים) ==

אפשר למצוא חסם עליון וחסם תחתון בעזרת אינדוקציה?
::אני מניחה שהשאלה היא: אחרי שיש לי רעיון מהו החסם, האם ניתן להוכיח באינדוקציה שהוא אכן החסם? התשובה היא כן...--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:08, 3 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 5ג (תיכוניסטים) ==

האם אפשר לכתוב רק את המקרה הכללי או שצריך גם להוכיח?

== תרגיל 2 שאלה 8 (תיכוניסטים) ==

בסוף בסוגריים זה לא אמור להיות אפס חסם תחתון של A אם"ם A^-1 לא חסומה מלעיל?

כי אם לא אפשר להפריך את זה, לדוגמה אם A היא קבוצת כל המספרים הממשיים הגדולים מ-0, אז 0 יהיה חסם תחתון של A^-1.

* קבוצה חסומה היא קבוצה שיש לה חסם מלעיל וחסם מלרע. בR זה אומר שיש גם אינפימום וגם סופרימום.

== תרגיל 2, שאלה 2 (בוגרים) ==

האם ניתן להפריך את הטענה :
שאלה 2
יהי x∈ℝ מספר ממשי המקיים x ≥ 0 . נניח בנוסף שמתקיים x < ε לכל ε > 0. הוכיחו
או הפריכו: x = 0 .
ע"י הוכחת הטענה: לכל אפסילון גדול מאפס קיים n טבעי כך ש- אפסילון גדול מ 1/n??

תודה

::בעיקרון - לא. הערה כללית: זה לא ממש המקום לרשום הוכחות/הפרכות של שאלות. זה עלול להרוס לאנשים שעדיין מנסים לפתור את השאלות בעצמם... =) זה כן המקום לשאול שאלות על החומר, לבקש הבהרות ורמזים על התרגילים, וכדומה... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:06, 3 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 (מדמ"ח) ==

למה אין שאלה מספר אחת? לא אמורה להיות, או שהיא נשמטה?
:אין שאלה אחת, לא לדאוג (: --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== ספר באינפי של הוכמן ==

האם הספר "חשבון אינפיניטסימלי" של מיכאל הוכמן בהוצ' אקדמון טוב לקורס שלנו ?
תודה.
::אני לא מכיר את הספר. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:07, 7 בנובמבר 2012 (IST)

== ספר באינפי של הוכמן ==

האם הספר "חשבון אינפיניטסימלי" של מיכאל הוכמן בהוצ' אקדמון טוב לקורס שלנו ?
תודה.

== תרגיל 2 ,שאלה 3(מתמטיקאים בוגרים) ==

הכוונה שם זה לתת הפרכה, ככה שאני בוחר את A ,ובוחר אפסילון שיתאים?
תודה
::לא. הטענה היא שאם A קבוצה שעבורה מתקיים התנאי שמופיע בתרגיל אז בהכרח 0 אינו חסם תחתון. לכן אתה לא יכול לבחור A ספציפית אלא להוכיח עבור '''כל''' A שמקיימת את התנאי. זאת אומרת אתה צריך לקחת A שרירותית אבל מותר לך להניח שהתנאי עם אפסילון מתקיים (גם כאן אתה לא יכול לבחור את אפסילון). מזה אתה צריך ויכול להסיק שאפס בהכרח אינו החסם התחתון. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:12, 7 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 5 (מתמטיקאים) ==

מצאו חסם עליון תחתון מינ' מקס' .
צריך גם להוכיח ? למשל אם לא קיים מקס' להוכיח זאת ?
::כן. צריך להוכיח. אם מוצאים את החסם עליון (כמובן עם הוכחה) והוא לא שייך לקבוצה אז זה מספיק להסיק שאין מקסימום.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:50, 7 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 4 ו (תיכוניסטים) ==

אם לדוגמא קיים i כך ש ai = 0, אז התרגיל מוגדר בכלל?

???

(לא מתרגל / מרצה) זה תלוי. מותר למספר סופי של איברים להיות 0, אך חייב להיות <math>n_1\in N</math> עבורו לכל <math>n\ge n_1</math>, <math>a_n\neq 0</math> --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:48, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה 1 תרגיל 3(תיכוניסטים) ==

מותר בשאלה 1 להשתמש מבלי להוכיח בכך ש
<math>\lim_{n\rightarrow \propto}\frac{1}{n}=0</math>
?

== תרגיל 3 שאלה 4 (תיכוניסטים) ==

למה הכוונה "מתכנסת במובן הרחב לאינסוף" ? לא למדנו את המושג בכלל(לא בהרצה ולא בתרגול).

(לא מרצה / מתרגל) תהי <math>a_n</math> סדרה. אזי נאמר ש-<math>a_n</math> מתכנסת לאינסוף (במובן הרחב) אם <math>\forall M>0, \exist N_M\in N ,\forall n\ge N_M : a_n\ge M</math> --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:59, 8 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 6 אינפי למתמטיקאים ==

בשאלה 6 הגדרתם ש A ו B חסומות מלרע, האם אני יכול לקחת כדוגמאות קבוצות שהן גם חסומות מלעיל וגם חסומות מלרע?
::כן.

== תרגיל 3 שאלה 1 סעיף א' ==

אני יכול להוציא שורש לגבול? לדוגמא
אם
<math>(\lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt n})^2=0</math>
אז
<math>(\lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt n})=0</math>

== תרגיל 3 שאלה 4ה' (תיכוניסטים) ==

האם אני יכול להפריך את הטענה ע"י כך שאני אומר ש-An היא סדרה אינסופית שכל אחד מהאיברים שלה הוא 0?

*(לא מתרגל) אני חושב שאפשר להניח שAn הוא לא אפס, אחרת לתרגיל אין כל כך משמעות, כי Bn לא מוגדרת בכלל (וגם לסעיפים ד,ו תחת אותו רעיון).

== שאלה לגבי שאיפה במובן הרחב (תיכוניסטים) ==

בשאלות 5 ו6 בתרגיל 3 צריך להוכיח את הטענות גם עבור המובן הרחב (כלומר עבור שאיפה ל<math>\pm\infty
</math>)?

== תרגיל 3 (מדמ"ח) ==

בשאלה 5, האם מותר לי להשתמש במה שלמדנו בכיתה שכל סידרה המתכנסת לאפס כפול סידרה חסומה ולא מתכנסת, היא סידרה המתכנסת לאפס?
כי אז צד אחד של הגרירה הכפולה הוא בדיוק זה...

תשובה: כן, מותר להשתמש בשיטות שראינו בתרגול - אבל צריך לצטט את הטענה ולציין שהוכחנו אותה בתרגול.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:41, 11 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 2 (מתמטיקאים) ==

בהגדרה של אקסיומת דדקינד בכיתה הגדרנו עבור 2 קבוצות שמוכלות בF.
האם אפשר להשתמש באקסיומה על 2 קבוצות ב R?
::שאלה טובה. אפשר להסתכל מה בדיוק היה אותו F באקסיומת דדיקנד ומה נאמר על <math>\mathbb{R}</math> בהמשך אותה ההרצאה. אני לא רוצה לענות תשובה של כן/לא למרות שיש תשובה כזו. יש לך את כל הכלים להחליט מהי התשובה לשאלה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:02, 12 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 (רגילים) ==

האם ניתן להגדיר סופ/ ו אינפ על קבוצה בעלת איבר יחיד??

::בהחלט כן. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 16:48, 12 בנובמבר 2012 (IST)

== (מתמטיקאים), תרגיל 3 שאלה 1 ==

האם ניתן עבור הוכחת sup,inf שקיימים m,n שמקיימים לדוגמא הביטוי בתרגיל<0+ε(אפסילון) לבחור m,n כביטוי עם אפסילון לדוגמא n=אפסילון/2?
תודה
::לפני שאענה יש לי הערה. אני די מנחש מההקשר מה ניסית לעשות. ההשערה שלך היא שאפס הוא החסם התחתון וזאת הבדיקה שמוצעת כאן, נכון? הייתי שמח אם אפשר היה להוסיף עוד שתי מילים כדי שהשאלה תהיה ברורה יותר.

בכל מקרה התשובה לשאלה עצמה שהעלית היא שלילית. m,n אמורים להיות טבעיים ואפסילון לא צריך להיות טבעי וגם לא אפסילון חלקי 2 מה שאומר שאי אפשר לבחור n ששוה לאפסילון חלקי 2 (אגב אני לא יודע מהי קבוצת התרגול שלך אבל בתרגול האחרון שלי עשיתי טעות דומה לזאת ואח"כ תיקנתי אותה). לעומת זאת אי שוויון במקום שוויון .... --[[משתמש:מני ש.|מני]] 14:57, 13 בנובמבר 2012 (IST)

== שלילת גבול (תיכוניסטים) ==

אם אני רוצה להפריך קיום גבול של סדרת, בהינתן סדרת נסיגה: האם אפשר להניח בשלילה שקיים גבול <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L</math>, להשתמש בעובדה ש <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}</math> ואז להראות סתירה? (לדוגמא ש L שלילי, בעוד שאנחנו יודעים שכל האיברים חיוביים)?
::כן.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:02, 15 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה כללית ==

אם An שואף לאינסוף וBn שואף למינוס אינסוף אני יכול להגיד ש-An/Bn שואף ל1- ?

*(לא מתרגל) צריך להוכיח.
::אינסוף חלקי אינסוף לא מוגדר וכך גם מינוס אינסוף חלקי אינסוף. יכולות להיות הרבה תוצאות אפשריות. לדוגמא <math>\frac{n^2}{-n}</math> הוא גבול מהצורה אינסוף חלקי מינוס אינסוף והוא שואף דוקא למינוס אינסוף. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:02, 15 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלות 6,8 לתיכוניסטים ==

== כותרת ==

בשאלה 5 לכל סידרה קיימת תת סידרה מונוטונית...
בשאלה 8, הסדרה מונוטונית עולה כלומר a1 הוא חסם תחתון כלומר הסדרה חסומה בניגוד למה שצריך להוכיח
::לגבי שאלה 5 הצדק איתך הענין הוא שביקשו מכם להוכיח פחות. מי שרוצה מוזמן להתפרע ולהוכיח את הטענה הכללית יותר שציינת.
לגבי שאלה 8 זה שלסדרה יש חסם תחתון לא אומר שהיא חסומה מלעיל ולכן אי אפשר להסיק שהיא חסומה.

== הגדרה של סדרה ששואפת לאינסוף ==

ההגדרה אומרת שסדרה an שואפת לאינסוף אם לכל מס' ממשי A קיים N שהחל ממנו an>A.

N לא איבר בסדרה?
::לא. N הוא מקום בסדרה (אינדקס)--[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:11, 15 בנובמבר 2012 (IST)

== התבדרות/התכנסות במובן הרחב ==

סדרה שמתכנסת במובן הרחב היא סדרה מתבדרת?
סדרה מתבדרת היא סדרה שמתכנסת במובן הרחב?
::התכנסות במובן הרחב פירושה התכנסות לגבול ממשי או <math>\pm \infty</math>. התכנסות במובן הצר היא התכנסות למספר ממשי בלבד. סדרה שלא מתכנסת בשום מובן שהוא היא מתבדרת. לגבי התכנסות לערך אינסופי יש חוסר התאמה במינוחים. אנשים שונים משתמשים במינוחים שונים. יש כאלו שיקרא לזה מתבדרת אבל אז הם כמובן מתכונים שהיא דוקא מתבדרת במובן הצר ושאינה מתכנסת לגבול ממשי. אחרים(וזו הגישה שגם אנו נשתדל לאמץ בקורס זה)לא משתמשים בלשון של מתבדרת כאשר ההתכנסות היא לגבול אינסופי ופשוט קוראים לזה מתכנסת לאינסוף או מינוס אינסוף.
התשובה לשאלה השניה היא שלילית בכל מקרה (בלי תלות במינוחים שציינתי קודם) כי יש סדרות שלא מתכנסות לשום גבול ממשי או אינסופי, למשל, <math>(-1)^n</math>
מתבדרת אך אינה מתכנסת לשום גבול ממשי או אינסופי.
--[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:25, 15 בנובמבר 2012 (IST)

== דוגמה לסדרה חסומה שאינה מתכנסת במובן הרחב ==

האם הסדרה 1 חלקי n היא סדרה חסומה שאינה מתכנסת במובן הרחב?
::לא. היא מתכנסת לאפס ובפרט מתכנסת במובן הרחב (פירוט מופיע בתשובה לשאלה הקודמת).--[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:31, 15 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 5(תיכוניסטים) ==

אומרים ש an חסומה, וצריך להוכיח שקיימת לה תת סדרה מונוטונית.
אבל הוכחנו בהרצאה שלכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית. למה צריך להגיד גם שהיא חסומה?

??

*(לא מתרגל)כבר ענו על השאלה הזו למעלה. אתה צודק, מספיק להוכיח שלכל סדרה יש תת סדרה מונוטנית, זו טענה חזקה יותר (אם כי לא מצאתי מה הנתון של חסומה עוזר בחיים).

== סדרה חסומה ==

זה נכון שסדרה חסומה מתכנסת למספר כלשהו (שונה מאינסוף), כי בכל סדרה קיימת תת סדרה מונוטונית, ולתת סדרה זו קיימת חסם (כי היא בסדרה חסומה), ולכן היא מתכנסת?

*(לא מתרגל) לא בהכרח - קח/י לדוגמא את הסדרה ...1,1-,1,1-,1,1-,1. היא סדרה חסומה, ויש לה תת סדרה מונוטנית (ואפילו אינסוף כאלה) ששואפת לגבול ממשי. לכן יש לה חסם מלעיל כמו 1 וחסם מלרע כמו 1-, אבל היא עצמה בכלל לא מתכנסת.

== סדרה עולה וחסומה מלעיל היא סדרה חסומה? אם כן, למה? ==

סדרה עולה וחסומה מלעיל היא סדרה חסומה? אם כן, למה?

*(לא מתרגל) זה נכון, כי אם הסדרה עולה האיבר הראשון שלה קטן(שווה) מהשני, שקטן(שווה) לשלישי, שקטן (שווה) לרביעי וכו' וכו'. כלומר a1 משמש חסם מלרע. חסם מלעיל יש לפי השאלה שלך, ולכן היא חסומה בסה"כ.

== כל סדרה מונוטונית מתכנסת במובן הרחב? ==

כל סדרה מונוטונית מתכנסת במובן הרחב?

*(לא מתרגל) כן, זהו משפט מההרצאה.

== תרגיל 4 שאלה 4 ב (תיכוניסטים) ==

כשאומרים תת סדרה ששואפת לאינסוף, מתכוונים לפלוס אינסוף, או למינוס או פלוס אינסוף?

הכוונה היא + אינסוף.

== העלאת תרגילים (תיכוניסטים) ==

אבקש שיעלו את התרגילים ביום ההגשה ולא ידחו את זה לאמצע השבוע כדי שנוכל להספיק להכין אותם.
יום הגשת התרגיל לתיכוניסטים באינפי 1 הוא יום ראשון. בזמן האחרון התרגילים מועלים באמצע השבוע במקום להעלות כבר בראשון בערב לאחר ההגשה.
אבקש שהעניין יטופל ושיעלו את התרגילים בזמן. תודה!

== בוחן (תיכוניסטים) ==

אפשר בבקשה לכתוב בצורה מפורטת על הבוחן- מתי הבוחן, על מה הוא, איפה יש תרגילים לבוחן, מה המשקל שלו בציון הסופי...

== תרגיל 3 (מדמ"ח) ==

שלום,
הגשת תרגיל 3 נדחתה? לכולם? לחלק?
תודה מראש.

== תרגיל 5 שאלה 1 (תיכוניסטים) ==

האם מותר להסתמך על כך ש (sin(1/n שואף לאפס או שצריך להוכיח את זה על פי ההגדרה?

== תרגיל 4 ==

בשאלה 1 בנוסף למציאת הגבול, אני כאילו צריכה להראות שזה באמת הגבול לפי ההגדרה, עם הערך מוחלט וקטן מאפסילון? או שמספיק שאני מוכיחה את זה על ידי אמירה למה כל מרכיב שואף?
::אפשר לפי ההגדרה, אפשר לפי אריתמטיקה של גבולות ואפשר לפי משפטים אחרים. אם בחרת בשתי האפשרויות האחרונות אין צורך להוכיח לפי הגדרה.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:23, 19 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שימושים במשפט + שאלה 4 ==

1. האם ניתן להשתמש בהכללה שהמרצה (דר הורוביץ) הראה לנו בהרצאה - lim((1+1/an)^(an))=e לכל סדרה -{an} ששואפת לאינסוף ?
2.שאלה 4 הייתה גם בתרגיל 3, האם זו טעות או שלפתור עוד פעם?
::באופן כללי אם למדתם משפט ודאי שאתם יכולים להשתמש בו. כמובן תוך התיחסות אליו. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:48, 21 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 7 סעיף א (מתמטיקאים בוגרים) ==

אם ב-א אם היא מתכנסת, צריך להוכיח או משהו אחר?
תודה
::אם היא מתכנסת אז צריך להוכיח ולהגיד מהו הגבול. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:30, 21 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 8 (תיכוניסטים) ==

אפשר להשתמש בזה שסדרה מתכנסת לגבול L אם ורק אם כל תת סדרה שלה מתכנסת ל L

???
::מותר להשתמש בכל משפט שלמדתם --[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:48, 21 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה כללית בנושא תתי סדרות ==

תת סדרה של an יכולה להיות מספר סופי של איברים מתוך an?
:: קודם כל הערה על המושג איברי סדרה בניגוד לאיברי קבוצה. אם מסתכלים למשל על הסדרה: <math>-1,1,-1,1,-1</math> או בקיצור <math>(-1)^n</math> אז כקבוצה מספר האיברים הוא סופי אבל כשאומרים איברי הסדרה יש חשיבות למיקום האיברים ובכל סדרה יש אינסוף איברים. לכל מספר טבעי מתאימים איבר של הסדרה ויש חשיבות לא רק לאיבר אלא גם למיקומו. כנ"ל לגבי תת סדרה. כל תת סדרה היא בפרט סדרה. כזאת שהתקבלה מהסדרה המקורית ע"י בחירת אינסוף מקומות. לכן גם על תת סדרה הייתי אומר שמספר איברי הסדרה של תת הסדרה הוא אינסופי בהכרח. אך אם השאלה על מספר האיברים בהסתכלות כקבוצה אז בדומה לסדרה ודאי שהמספר יכול להיות סופי. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:33, 21 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 6 _מתמטיקאים בוגרים ==

אפשר קצת יותר פירוט מה הכוונה שם?
והאם היסמון על הסדרות בסוף ההסבר זה ערך מוחלט?

תודה
::זה אכן ערך מוחלט. לכל סדרת חיוביים המתכנסת לאפס צריך להוכיח שקיימות שתי סדרות: אחת גדולה מהסדרה הנתונה (בערך מוחלט) ואחת קטנה ממנה (בערך מוחלט) שגם הן מתכנסות לאפס. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:24, 21 בנובמבר 2012 (IST)

האם אפשר להראות סדרות המקיימות bn<an<cn פרט למספר סופי של איברים?

== תרגיל 4 (מתמטיקאים) ==

האם n < 2^n לכל n טבעי דורש הוכחה באינדוקציה או שאפשר להסתמך על זה בלי להוכיח?
::אפשר להסתמך ללא הוכחה.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:19, 21 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה כללית (תיכוניסטים) ==

אפשר להגיד שהגבול העליון של סדרה חסומה קטן מאינסוף?

*(לא מתרגל) כן: ניקח תת סדרה שמתכנסת לגבול העליון. אם נניח בשלילה שהוא אינסוף, אזי לפי ההגדרה לכל M ממשי קיים n0 כך שלכל k>k0 מתקיים ak>M. בפרט זה נכון עבור החסם העליון של הסדרה (כי היא חסומה על ידי מספר ממשי), ואם נניח שהחסם הזה הוא S, נקבל כי קיים k0 כלשהו כך שאם k>k0 מתקיים ank>S, בסתירה להגדרה של S כחסם של הסדרה an.

== תרגיל 4 שאלה 7 (מתמטיקאים) ==

אם לדוגמא אני מניח ש bn--->0 אז אני צריך לבדוק מה קורה עם an/bn או שאני עדיין יכול להניח ש an/bn---->c
::אני לא בטוח על איזה סעיף אתה מדבר אבל ככלל אם אתה מוסיף הנחה משלך אתה חייב לבדוק שהיא אינה סותרת את מה שנתון. אם היא סותרת זה כמובן אומר שמה שהנחת אינו אפשרי בדיוק בדומה לרעיון של הוכחה בדרך השלילה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 21:18, 22 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 5 ==

בתרגיל הזה נתון ש Bn חסומה. רציתי לדעת אם מותר להגיד שבגלל שהיא חסומה אז זה אומר שהיא מתכנסת, ואז מכאן נובע שקיימת תת סדרה כללית ששואפת לגבול העליון של Bn..זה נכון או שלא?
תודה רבה
::(לא מתרגל) הטענה לא נכונה, אם סדרה חסומה זה לא אומר שהיא מתכנסת; אבל הוכחנו שהגבול העליון של סדרה הוא גבול חלקי שלה, ולכן קיימת תת סדרה ששואפת לגבול העליון של Bn, בלי קשר לטענתך שהסדרה Bn מתכנסת.

== תת סידרה מתכנסת ==

זה נכון להגיד שאם סידרה an מתכנסת ל b כלשהו, אזי כל תת סידרה מתכנסת של an מתכנסת אף היא לאותו b?
ואם זה נכון, אפשר כיוון להוכחה של טענה כזו?

שיחה:88-132 תשעג סמסטר א

2012-11-22T17:09:25Z

Rrr: /* תרגיל 4 שאלה 7 (מתמטיקאים) */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=


==הערה לגבי הצגת שאלות==
כשמתייחסים לשאלה משיעורי הבית אז בשורת הכותרת פרט למספר התרגיל ולמספר השאלה רצוי מאוד לומר על איזה קבוצה מדובר:מתמטיקאים,תיכוניסטים או מדמ"ח. אחרת, זה יכול לבלבל הן את הסטודנטים והן את המתרגלים.
 --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:27, 31 באוקטובר 2012 (IST)

==שאלה 1 תרגיל 1 (מתמטיקאים)==
מתן, אני עונה לשאלה שלך כאן כי אין לי פייסבוק. מה שאתה אומר נכון כאשר <math>a</math> אי שלילי אבל אינו נכון כאשר <math>a</math> שלילי. שים לב שבשני אי השווינים זה שנתון וזה שצ"ל יש ערך מוחלט גם באגף ימין. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:50, 22 באוקטובר 2012 (IST)

== תרגילי בית ==

אתה יכול להעלות את תרגילי הבית בPDF?
(כי גם ככה לא צריך לערוך את זה אחרי שנה)
:מטרת העל היא להעלות הכל בפורמט ויקי. כל תרגיל וכל פתרון מתכנסים לכדי מאגר גדול, ואתם נהנים מפירות השנים הקודמות. ניתן לבחור גרסאת הדפסה מימין למטה ולהדפיס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::אבל האיכות של זה היא לא איכות של PDF.תדפיס תרגיל כזה ולידו תרגיל שנתנו לנו בקיץ.ותראה שמה שבPDF הרבה יותר נעים לקרוא. --[[משתמש:Caspim|Caspim]] 23:55, 21 באוקטובר 2012 (IST)

:::כל אחד וההקרבות שלו. אני מקים את כל האתר הזה ומנהל את כל התוכן, אתם צריכים להתמודד עם פונטים של latex... אם אני אוכל לשפר את האיכות בעתיד אעשה זאת. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

:::: אני חושב שצריך להוריד בגרסה להדפסה את החלק של הפיסבוק. זה מבזבז לי קצת טונר --[[משתמש:Avital|Avital]] 20:19, 22 באוקטובר 2012 (IST)

== האוני' פתוחה ==

הספרם של האוניברסיטה הפתוחה מתחילים מיחידה 3?

:אני לא בטוח מה כוונת השאלה, ואני לא בטוח מה יש בספרים של הפתוחה. כמדומני הם מדלגים על סדרות וטורים ומתחילים ישר מגבולות של פונקציות. זה לא הסדר שאנחנו נעבוד לפיו. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

::אז איזה ספר אתה ממליץ?

:::מייזלר הולך מאד מאד קרוב לתוכנית הלימודים שלנו. אני ממליץ לנסות לדבר עם סטודנטים בוגרים יותר לשמוע מה הם מצאו כיעיל --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 (תיכוניסטים) ==

בשאלות 1 ו2 x ממשי, נכון? --[[משתמש:Avital|Avital]] 20:15, 22 באוקטובר 2012 (IST)

:מצטרפת, ואם יוצא לי לא ממשי צריך להתעלם מזה?

::x הוא ממשי --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1ב (תיכוניסטים) ==

יש מצב זה אמור להיות <math>x^2-4x+3</math> במקום <math>x^2-4x-3</math>?

הפתרון יוצא יותר יפה.. :)
:מה יותר יפה משורש? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

שהתוצאה היא רציונאלית

== מישהו יכול לעזור לי? ==

איך מוכיחים:

<math>\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n^2-n+1}{3n^2+2n+1}=\frac{1}{3}</math>

תודה תודה רבה :)

*(לא מתרגל) אצלנו בהרצאה המרצה הביא את הכיוון. הוא אמר שאפשר לעשות זאת בקלות על ידי אריתמטיקה של גבולות, כלומר כל מני חוקים שמתקיימים בגבולות של כמה סדרות, עליהם נלמד בשיעור הבא. בכל מקרה, הכיוון שהוא הביא: צריך לחלק את המונה והמכנה בn^2, ואז נקבל:
http://www.math-wiki.com/images/b/bc/Daum_equation_1351689248875.png

מכאן זה דיי פשוט - לפי החוקים שנלמד, הגבול של המכפלה הוא מכפלת הגבולות, כנ"ל עם חילוק, חיסור וחיבור, ואפשר לראות שאחת חלקי n שואף לאפס, גם 2 חלקי n, גם 1 חלק n^2, וכו'. בנוסף "נפטרים" מכל הדברים עם n, חוץ מה1 למעלה והשלוש למטה, ונשאר שליש כי 1 ו-3 הם סדרה קבועה.

ואיך מוכיחים זאת בלי אריתמטיקה של גבולות?

* אני לא בטוח שאפשר, אבל בעיקרון כמו שמוכיחים ש1 חלקי n שואף לאפס. ננחש שהגבול הוא שליש, ונפעל לפי ההגדרה. כלומר, לכל אפסילון גדול מאפס, נרצה למצוא n0 כך שלכל n>n0 המרחק בין an לשליש (בערך מוחלט) קטן מאפסילון. לא בטוח שזה יעבוד בכזו קלות, אולי לא יעבוד בכלל.

אוקי תודה :)

== שאלה 7 בתרגיל 2 ==

האם צריך להוכיח כי קיים חסם עליון ל A וחסם תחתון ל B, או שאפשר לצאת מנקודת הנחה שיש להם את החסמים הנ"ל?

-לפי אקסיומת השלמות, כל תת קבוצה של R שחסומה מלעיל, יש לה סופרימום. את השאר צריך להוכיח.

== תרגיל 2 שאלה 5 ב' (תיכוניסטים) ==

אם אני רוצה להפריך ע"י הבאת שתי קבוצות שהחסמים שלהן מקיימים את התנאי, צריך למצוא לשתיהן את החסמים בשיטה הרגילה או שאפשר להסתפק בכך שברור שהם החסמים (אם מדובר בקבוצות שהחסמים שלהן ברורים)? [[משתמש:Avichai|Avichai]] 21:08, 1 בנובמבר 2012 (IST)

כנ"ל לגבי הפרכות בשאלה 6.

:צריך להסביר, לא חייבים להוכיח עם אפסילון. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 4 (תיכוניסטים) ==

אפשר למצוא חסם עליון וחסם תחתון בעזרת אינדוקציה?
::אני מניחה שהשאלה היא: אחרי שיש לי רעיון מהו החסם, האם ניתן להוכיח באינדוקציה שהוא אכן החסם? התשובה היא כן...--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:08, 3 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 5ג (תיכוניסטים) ==

האם אפשר לכתוב רק את המקרה הכללי או שצריך גם להוכיח?

== תרגיל 2 שאלה 8 (תיכוניסטים) ==

בסוף בסוגריים זה לא אמור להיות אפס חסם תחתון של A אם"ם A^-1 לא חסומה מלעיל?

כי אם לא אפשר להפריך את זה, לדוגמה אם A היא קבוצת כל המספרים הממשיים הגדולים מ-0, אז 0 יהיה חסם תחתון של A^-1.

* קבוצה חסומה היא קבוצה שיש לה חסם מלעיל וחסם מלרע. בR זה אומר שיש גם אינפימום וגם סופרימום.

== תרגיל 2, שאלה 2 (בוגרים) ==

האם ניתן להפריך את הטענה :
שאלה 2
יהי x∈ℝ מספר ממשי המקיים x ≥ 0 . נניח בנוסף שמתקיים x < ε לכל ε > 0. הוכיחו
או הפריכו: x = 0 .
ע"י הוכחת הטענה: לכל אפסילון גדול מאפס קיים n טבעי כך ש- אפסילון גדול מ 1/n??

תודה

::בעיקרון - לא. הערה כללית: זה לא ממש המקום לרשום הוכחות/הפרכות של שאלות. זה עלול להרוס לאנשים שעדיין מנסים לפתור את השאלות בעצמם... =) זה כן המקום לשאול שאלות על החומר, לבקש הבהרות ורמזים על התרגילים, וכדומה... --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 21:06, 3 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 (מדמ"ח) ==

למה אין שאלה מספר אחת? לא אמורה להיות, או שהיא נשמטה?
:אין שאלה אחת, לא לדאוג (: --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== ספר באינפי של הוכמן ==

האם הספר "חשבון אינפיניטסימלי" של מיכאל הוכמן בהוצ' אקדמון טוב לקורס שלנו ?
תודה.
::אני לא מכיר את הספר. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:07, 7 בנובמבר 2012 (IST)

== ספר באינפי של הוכמן ==

האם הספר "חשבון אינפיניטסימלי" של מיכאל הוכמן בהוצ' אקדמון טוב לקורס שלנו ?
תודה.

== תרגיל 2 ,שאלה 3(מתמטיקאים בוגרים) ==

הכוונה שם זה לתת הפרכה, ככה שאני בוחר את A ,ובוחר אפסילון שיתאים?
תודה
::לא. הטענה היא שאם A קבוצה שעבורה מתקיים התנאי שמופיע בתרגיל אז בהכרח 0 אינו חסם תחתון. לכן אתה לא יכול לבחור A ספציפית אלא להוכיח עבור '''כל''' A שמקיימת את התנאי. זאת אומרת אתה צריך לקחת A שרירותית אבל מותר לך להניח שהתנאי עם אפסילון מתקיים (גם כאן אתה לא יכול לבחור את אפסילון). מזה אתה צריך ויכול להסיק שאפס בהכרח אינו החסם התחתון. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:12, 7 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 5 (מתמטיקאים) ==

מצאו חסם עליון תחתון מינ' מקס' .
צריך גם להוכיח ? למשל אם לא קיים מקס' להוכיח זאת ?
::כן. צריך להוכיח. אם מוצאים את החסם עליון (כמובן עם הוכחה) והוא לא שייך לקבוצה אז זה מספיק להסיק שאין מקסימום.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:50, 7 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 4 ו (תיכוניסטים) ==

אם לדוגמא קיים i כך ש ai = 0, אז התרגיל מוגדר בכלל?

???

(לא מתרגל / מרצה) זה תלוי. מותר למספר סופי של איברים להיות 0, אך חייב להיות <math>n_1\in N</math> עבורו לכל <math>n\ge n_1</math>, <math>a_n\neq 0</math> --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:48, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה 1 תרגיל 3(תיכוניסטים) ==

מותר בשאלה 1 להשתמש מבלי להוכיח בכך ש
<math>\lim_{n\rightarrow \propto}\frac{1}{n}=0</math>
?

== תרגיל 3 שאלה 4 (תיכוניסטים) ==

למה הכוונה "מתכנסת במובן הרחב לאינסוף" ? לא למדנו את המושג בכלל(לא בהרצה ולא בתרגול).

(לא מרצה / מתרגל) תהי <math>a_n</math> סדרה. אזי נאמר ש-<math>a_n</math> מתכנסת לאינסוף (במובן הרחב) אם <math>\forall M>0, \exist N_M\in N ,\forall n\ge N_M : a_n\ge M</math> --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:59, 8 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 6 אינפי למתמטיקאים ==

בשאלה 6 הגדרתם ש A ו B חסומות מלרע, האם אני יכול לקחת כדוגמאות קבוצות שהן גם חסומות מלעיל וגם חסומות מלרע?
::כן.

== תרגיל 3 שאלה 1 סעיף א' ==

אני יכול להוציא שורש לגבול? לדוגמא
אם
<math>(\lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt n})^2=0</math>
אז
<math>(\lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt n})=0</math>

== תרגיל 3 שאלה 4ה' (תיכוניסטים) ==

האם אני יכול להפריך את הטענה ע"י כך שאני אומר ש-An היא סדרה אינסופית שכל אחד מהאיברים שלה הוא 0?

*(לא מתרגל) אני חושב שאפשר להניח שAn הוא לא אפס, אחרת לתרגיל אין כל כך משמעות, כי Bn לא מוגדרת בכלל (וגם לסעיפים ד,ו תחת אותו רעיון).

== שאלה לגבי שאיפה במובן הרחב (תיכוניסטים) ==

בשאלות 5 ו6 בתרגיל 3 צריך להוכיח את הטענות גם עבור המובן הרחב (כלומר עבור שאיפה ל<math>\pm\infty
</math>)?

== תרגיל 3 (מדמ"ח) ==

בשאלה 5, האם מותר לי להשתמש במה שלמדנו בכיתה שכל סידרה המתכנסת לאפס כפול סידרה חסומה ולא מתכנסת, היא סידרה המתכנסת לאפס?
כי אז צד אחד של הגרירה הכפולה הוא בדיוק זה...

תשובה: כן, מותר להשתמש בשיטות שראינו בתרגול - אבל צריך לצטט את הטענה ולציין שהוכחנו אותה בתרגול.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 14:41, 11 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 2 (מתמטיקאים) ==

בהגדרה של אקסיומת דדקינד בכיתה הגדרנו עבור 2 קבוצות שמוכלות בF.
האם אפשר להשתמש באקסיומה על 2 קבוצות ב R?
::שאלה טובה. אפשר להסתכל מה בדיוק היה אותו F באקסיומת דדיקנד ומה נאמר על <math>\mathbb{R}</math> בהמשך אותה ההרצאה. אני לא רוצה לענות תשובה של כן/לא למרות שיש תשובה כזו. יש לך את כל הכלים להחליט מהי התשובה לשאלה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:02, 12 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 (רגילים) ==

האם ניתן להגדיר סופ/ ו אינפ על קבוצה בעלת איבר יחיד??

::בהחלט כן. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 16:48, 12 בנובמבר 2012 (IST)

== (מתמטיקאים), תרגיל 3 שאלה 1 ==

האם ניתן עבור הוכחת sup,inf שקיימים m,n שמקיימים לדוגמא הביטוי בתרגיל<0+ε(אפסילון) לבחור m,n כביטוי עם אפסילון לדוגמא n=אפסילון/2?
תודה
::לפני שאענה יש לי הערה. אני די מנחש מההקשר מה ניסית לעשות. ההשערה שלך היא שאפס הוא החסם התחתון וזאת הבדיקה שמוצעת כאן, נכון? הייתי שמח אם אפשר היה להוסיף עוד שתי מילים כדי שהשאלה תהיה ברורה יותר.

בכל מקרה התשובה לשאלה עצמה שהעלית היא שלילית. m,n אמורים להיות טבעיים ואפסילון לא צריך להיות טבעי וגם לא אפסילון חלקי 2 מה שאומר שאי אפשר לבחור n ששוה לאפסילון חלקי 2 (אגב אני לא יודע מהי קבוצת התרגול שלך אבל בתרגול האחרון שלי עשיתי טעות דומה לזאת ואח"כ תיקנתי אותה). לעומת זאת אי שוויון במקום שוויון .... --[[משתמש:מני ש.|מני]] 14:57, 13 בנובמבר 2012 (IST)

== שלילת גבול (תיכוניסטים) ==

אם אני רוצה להפריך קיום גבול של סדרת, בהינתן סדרת נסיגה: האם אפשר להניח בשלילה שקיים גבול <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L</math>, להשתמש בעובדה ש <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}</math> ואז להראות סתירה? (לדוגמא ש L שלילי, בעוד שאנחנו יודעים שכל האיברים חיוביים)?
::כן.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:02, 15 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה כללית ==

אם An שואף לאינסוף וBn שואף למינוס אינסוף אני יכול להגיד ש-An/Bn שואף ל1- ?

*(לא מתרגל) צריך להוכיח.
::אינסוף חלקי אינסוף לא מוגדר וכך גם מינוס אינסוף חלקי אינסוף. יכולות להיות הרבה תוצאות אפשריות. לדוגמא <math>\frac{n^2}{-n}</math> הוא גבול מהצורה אינסוף חלקי מינוס אינסוף והוא שואף דוקא למינוס אינסוף. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:02, 15 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלות 6,8 לתיכוניסטים ==

== כותרת ==

בשאלה 5 לכל סידרה קיימת תת סידרה מונוטונית...
בשאלה 8, הסדרה מונוטונית עולה כלומר a1 הוא חסם תחתון כלומר הסדרה חסומה בניגוד למה שצריך להוכיח
::לגבי שאלה 5 הצדק איתך הענין הוא שביקשו מכם להוכיח פחות. מי שרוצה מוזמן להתפרע ולהוכיח את הטענה הכללית יותר שציינת.
לגבי שאלה 8 זה שלסדרה יש חסם תחתון לא אומר שהיא חסומה מלעיל ולכן אי אפשר להסיק שהיא חסומה.

== הגדרה של סדרה ששואפת לאינסוף ==

ההגדרה אומרת שסדרה an שואפת לאינסוף אם לכל מס' ממשי A קיים N שהחל ממנו an>A.

N לא איבר בסדרה?
::לא. N הוא מקום בסדרה (אינדקס)--[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:11, 15 בנובמבר 2012 (IST)

== התבדרות/התכנסות במובן הרחב ==

סדרה שמתכנסת במובן הרחב היא סדרה מתבדרת?
סדרה מתבדרת היא סדרה שמתכנסת במובן הרחב?
::התכנסות במובן הרחב פירושה התכנסות לגבול ממשי או <math>\pm \infty</math>. התכנסות במובן הצר היא התכנסות למספר ממשי בלבד. סדרה שלא מתכנסת בשום מובן שהוא היא מתבדרת. לגבי התכנסות לערך אינסופי יש חוסר התאמה במינוחים. אנשים שונים משתמשים במינוחים שונים. יש כאלו שיקרא לזה מתבדרת אבל אז הם כמובן מתכונים שהיא דוקא מתבדרת במובן הצר ושאינה מתכנסת לגבול ממשי. אחרים(וזו הגישה שגם אנו נשתדל לאמץ בקורס זה)לא משתמשים בלשון של מתבדרת כאשר ההתכנסות היא לגבול אינסופי ופשוט קוראים לזה מתכנסת לאינסוף או מינוס אינסוף.
התשובה לשאלה השניה היא שלילית בכל מקרה (בלי תלות במינוחים שציינתי קודם) כי יש סדרות שלא מתכנסות לשום גבול ממשי או אינסופי, למשל, <math>(-1)^n</math>
מתבדרת אך אינה מתכנסת לשום גבול ממשי או אינסופי.
--[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:25, 15 בנובמבר 2012 (IST)

== דוגמה לסדרה חסומה שאינה מתכנסת במובן הרחב ==

האם הסדרה 1 חלקי n היא סדרה חסומה שאינה מתכנסת במובן הרחב?
::לא. היא מתכנסת לאפס ובפרט מתכנסת במובן הרחב (פירוט מופיע בתשובה לשאלה הקודמת).--[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:31, 15 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 5(תיכוניסטים) ==

אומרים ש an חסומה, וצריך להוכיח שקיימת לה תת סדרה מונוטונית.
אבל הוכחנו בהרצאה שלכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית. למה צריך להגיד גם שהיא חסומה?

??

*(לא מתרגל)כבר ענו על השאלה הזו למעלה. אתה צודק, מספיק להוכיח שלכל סדרה יש תת סדרה מונוטנית, זו טענה חזקה יותר (אם כי לא מצאתי מה הנתון של חסומה עוזר בחיים).

== סדרה חסומה ==

זה נכון שסדרה חסומה מתכנסת למספר כלשהו (שונה מאינסוף), כי בכל סדרה קיימת תת סדרה מונוטונית, ולתת סדרה זו קיימת חסם (כי היא בסדרה חסומה), ולכן היא מתכנסת?

*(לא מתרגל) לא בהכרח - קח/י לדוגמא את הסדרה ...1,1-,1,1-,1,1-,1. היא סדרה חסומה, ויש לה תת סדרה מונוטנית (ואפילו אינסוף כאלה) ששואפת לגבול ממשי. לכן יש לה חסם מלעיל כמו 1 וחסם מלרע כמו 1-, אבל היא עצמה בכלל לא מתכנסת.

== סדרה עולה וחסומה מלעיל היא סדרה חסומה? אם כן, למה? ==

סדרה עולה וחסומה מלעיל היא סדרה חסומה? אם כן, למה?

*(לא מתרגל) זה נכון, כי אם הסדרה עולה האיבר הראשון שלה קטן(שווה) מהשני, שקטן(שווה) לשלישי, שקטן (שווה) לרביעי וכו' וכו'. כלומר a1 משמש חסם מלרע. חסם מלעיל יש לפי השאלה שלך, ולכן היא חסומה בסה"כ.

== כל סדרה מונוטונית מתכנסת במובן הרחב? ==

כל סדרה מונוטונית מתכנסת במובן הרחב?

*(לא מתרגל) כן, זהו משפט מההרצאה.

== תרגיל 4 שאלה 4 ב (תיכוניסטים) ==

כשאומרים תת סדרה ששואפת לאינסוף, מתכוונים לפלוס אינסוף, או למינוס או פלוס אינסוף?

הכוונה היא + אינסוף.

== העלאת תרגילים (תיכוניסטים) ==

אבקש שיעלו את התרגילים ביום ההגשה ולא ידחו את זה לאמצע השבוע כדי שנוכל להספיק להכין אותם.
יום הגשת התרגיל לתיכוניסטים באינפי 1 הוא יום ראשון. בזמן האחרון התרגילים מועלים באמצע השבוע במקום להעלות כבר בראשון בערב לאחר ההגשה.
אבקש שהעניין יטופל ושיעלו את התרגילים בזמן. תודה!

== בוחן (תיכוניסטים) ==

אפשר בבקשה לכתוב בצורה מפורטת על הבוחן- מתי הבוחן, על מה הוא, איפה יש תרגילים לבוחן, מה המשקל שלו בציון הסופי...

== תרגיל 3 (מדמ"ח) ==

שלום,
הגשת תרגיל 3 נדחתה? לכולם? לחלק?
תודה מראש.

== תרגיל 5 שאלה 1 (תיכוניסטים) ==

האם מותר להסתמך על כך ש (sin(1/n שואף לאפס או שצריך להוכיח את זה על פי ההגדרה?

== תרגיל 4 ==

בשאלה 1 בנוסף למציאת הגבול, אני כאילו צריכה להראות שזה באמת הגבול לפי ההגדרה, עם הערך מוחלט וקטן מאפסילון? או שמספיק שאני מוכיחה את זה על ידי אמירה למה כל מרכיב שואף?
::אפשר לפי ההגדרה, אפשר לפי אריתמטיקה של גבולות ואפשר לפי משפטים אחרים. אם בחרת בשתי האפשרויות האחרונות אין צורך להוכיח לפי הגדרה.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 22:23, 19 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שימושים במשפט + שאלה 4 ==

1. האם ניתן להשתמש בהכללה שהמרצה (דר הורוביץ) הראה לנו בהרצאה - lim((1+1/an)^(an))=e לכל סדרה -{an} ששואפת לאינסוף ?
2.שאלה 4 הייתה גם בתרגיל 3, האם זו טעות או שלפתור עוד פעם?
::באופן כללי אם למדתם משפט ודאי שאתם יכולים להשתמש בו. כמובן תוך התיחסות אליו. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:48, 21 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 7 סעיף א (מתמטיקאים בוגרים) ==

אם ב-א אם היא מתכנסת, צריך להוכיח או משהו אחר?
תודה
::אם היא מתכנסת אז צריך להוכיח ולהגיד מהו הגבול. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:30, 21 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 8 (תיכוניסטים) ==

אפשר להשתמש בזה שסדרה מתכנסת לגבול L אם ורק אם כל תת סדרה שלה מתכנסת ל L

???
::מותר להשתמש בכל משפט שלמדתם --[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:48, 21 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה כללית בנושא תתי סדרות ==

תת סדרה של an יכולה להיות מספר סופי של איברים מתוך an?
:: קודם כל הערה על המושג איברי סדרה בניגוד לאיברי קבוצה. אם מסתכלים למשל על הסדרה: <math>-1,1,-1,1,-1</math> או בקיצור <math>(-1)^n</math> אז כקבוצה מספר האיברים הוא סופי אבל כשאומרים איברי הסדרה יש חשיבות למיקום האיברים ובכל סדרה יש אינסוף איברים. לכל מספר טבעי מתאימים איבר של הסדרה ויש חשיבות לא רק לאיבר אלא גם למיקומו. כנ"ל לגבי תת סדרה. כל תת סדרה היא בפרט סדרה. כזאת שהתקבלה מהסדרה המקורית ע"י בחירת אינסוף מקומות. לכן גם על תת סדרה הייתי אומר שמספר איברי הסדרה של תת הסדרה הוא אינסופי בהכרח. אך אם השאלה על מספר האיברים בהסתכלות כקבוצה אז בדומה לסדרה ודאי שהמספר יכול להיות סופי. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:33, 21 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 6 _מתמטיקאים בוגרים ==

אפשר קצת יותר פירוט מה הכוונה שם?
והאם היסמון על הסדרות בסוף ההסבר זה ערך מוחלט?

תודה
::זה אכן ערך מוחלט. לכל סדרת חיוביים המתכנסת לאפס צריך להוכיח שקיימות שתי סדרות: אחת גדולה מהסדרה הנתונה (בערך מוחלט) ואחת קטנה ממנה (בערך מוחלט) שגם הן מתכנסות לאפס. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:24, 21 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 (מתמטיקאים) ==

האם n < 2^n לכל n טבעי דורש הוכחה באינדוקציה או שאפשר להסתמך על זה בלי להוכיח?
::אפשר להסתמך ללא הוכחה.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:19, 21 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה כללית (תיכוניסטים) ==

אפשר להגיד שהגבול העליון של סדרה חסומה קטן מאינסוף?

== תרגיל 4 שאלה 7 (מתמטיקאים) ==

אם לדוגמא אני מניח ש bn--->0 אז אני צריך לבדוק מה קורה עם an/bn או שאני עדיין יכול להניח ש an/bn---->c

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2012-11-22T07:59:45Z

Rrr: /* תרגיל 3 שאלה 4 */

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2012-11-22T07:58:28Z

Rrr: /* תרגיל 3 שאלה 4 */

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2012-11-22T07:57:49Z

Rrr: /* תרגיל 3 שאלה 4 */

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2012-11-21T14:50:56Z

Rrr: /* תרגיל 3 שאלה 4 */

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2012-11-21T07:35:55Z

Rrr: /* תרגיל 3 שאלה 4 */

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2012-11-20T17:22:44Z

Rrr: /* תרגיל 3 שאלה 4 */ פסקה חדשה