משפט המימדים

2011-12-06T11:11:23Z

Theanonymous: /* B בת"ל */

חזרה ל[[משפטים/לינארית|משפטים בלינארית]]

=משפט המימדים=
יהי V מ"ו נוצר סופית ויהיו U,W תתי מרחב של V. אזי:

:<math>dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math>

=הוכחה=

נסמן את הבסיס ל <math>U\cap W</math> ב <math>\{v_1,v_2,...,v_k\}</math>.

כיוון ש<math>U\cap W \subseteq U,W</math>, ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס לU ובאופן דומה לבסיס לW.

נסמן את הבסיסים ב <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_p\},\{v_1,...,v_k,w_1,...,w_m\}</math>.

נסמן את איחוד הבסיסים ב <math>B=\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_p,w_1,...,w_m\}</math>, ונוכיח כי B הינו בסיס לU+W.

===B פורש את U+W===

יהי <math>u+w\in U+W</math>. אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים, <math>u+w=a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p+c_1v_1+...+c_kv_k+d_1w_1+...+d_mw_m</math>.

ברור אם כך כי <math>u+w\in span(B)</math>

===B בת"ל===

ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של איברי B:

:<math>a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p+c_1w_1+...+c_mu_m=0</math>.

נסמן <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p=-c_1w_1-...-c_mu_m</math>

ברור משני אגפי המשוואה כי <math>v\in U \and v\in W</math> ולכן <math>v\in U\cap W</math>

לכן ל-v יש הצגה כצירוף לינארי של איברי הבסיס לחיתוך, <math>v=d_1v_1+...+d_kv_k</math>.

כמו כן, ל-v יש הצגה '''יחידה''' כצירוף לינארי של איברי הבסיס של U ולכן מתקיים:

::<math>v=d_1v_1+...+d_kv_k+0\cdot u_1+...+0\cdot u_p = a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p</math>

ולכן <math>b_1=b_2=...=b_p=0</math>.

כעת קיבלנו כי <math>a_1v_1+...+a_kv_k+c_1w_1+...+c_mu_m=0</math>,

אבל זה צירוף לינארי של איברי הבסיס של W ולכן הוא טריוויאלי.

מכאן שהצירוף הלינארי היחיד שמתאפס של איברי B הינו הטריוויאלי ולכן B בת"ל.

===ספירת מימדים וסיכום===

מצאנו, איפוא, בסיסים לכל תתי המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת:

<math>dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math>

Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

משפט המימדים