Math-Wiki - תרומות המשתמש [he]

קובץ:20LinearYifatTirgul6.pdf

2020-07-27T12:38:49Z

Yifath:

קובץ:20LinearYifatTirgul5.pdf

2020-07-27T12:37:54Z

Yifath:

קובץ:20LinearYifatTirgul7.pdf

2020-07-27T12:34:08Z

Yifath:

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/יפעת חדד

2020-07-27T12:31:55Z

Yifath:

במידה ויש טעות בסיכומים, תעדכנו במייל yifat.haddad@biu.ac.il
=תרגול 1, 05.07.20=

*[[מדיה:20LinearYifatTirgul1.pdf|סיכום התרגול הראשון-שדות, מרוכבים]]

<videoflash>QHeJPCkUnLY </videoflash>

=תרגול 2, 07.07.20=

*[[מדיה:20LinearYifatTirgul2.pdf|סיכום התרגול השני-מערכות משוואות לינאריות, דירוג]]
יעלה בקרוב :)

=תרגול 3, 12.07.20=

*[[מדיה:20LinearYifatTirgul3.pdf|סיכום התרגול השלישי-אלגברת מטריצות, מטריצות מיוחדות]]

<videoflash>LRsgh36fFi4 </videoflash>

=תרגול 4, 14.07.20=

*[[מדיה:20LinearYifatTirgul4.pdf|סיכום התרגול הרביעי-מטריצות הפיכות, אלגוריתם למציאת מטריצה הופכית]]

לא הוקלט לצערי =\

=תרגול 5, 19.07.20=

*[[מדיה:20LinearYifatTirgul5.pdf|סיכום התרגול החמישי-מרחבים וקטורים]]

<videoflash>s3hPs1hF6l0 </videoflash>

=תרגול 6, 21.07.20=

*[[מדיה:20LinearYifatTirgul6.pdf|סיכום התרגול השישי-צירופים לינארים, בסיס]]

<videoflash>YFcZDQFkbk0 </videoflash>

=תרגול 7, 26.07.20=

*[[מדיה:20LinearYifatTirgul7.pdf|סיכום התרגול השביעי-משפט המימדים, בסיסים]]

<videoflash>j0MoKoagpeo </videoflash>

88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/יפעת חדד

2020-07-21T14:15:05Z

Yifath:

במידה ויש טעות בסיכומים, תעדכנו במייל yifat.haddad@biu.ac.il
=תרגול 1, 06.07.20=

*[[מדיה:20BdidaYifatTirgul1.pdf|סיכום התרגול הראשון-לוגיקה]]

<videoflash>7avne7pUDx0 </videoflash>

=תרגול 2, 08.07.20=

*[[מדיה:20BdidaYifatTirgul2.pdf|סיכום התרגול השני-אינדוקציה וקבוצות]]

<videoflash>ApbY7R8WeKY </videoflash>

=תרגול 3, 13.07.20=

*[[מדיה:20BdidaYifatTirgul3.pdf|סיכום התרגול השלישי-קבוצות, איחודים וחיתוכים כלליים, קב' החזקה]]

<videoflash>ZkULuRAZCKg </videoflash>

=תרגול 4, 15.07.20=

*[[מדיה:20BdidaYifatTirgul4.pdf|סיכום התרגול הרביעי-מכפלה קרטזית, יחסים]]

<videoflash>E61oQqYFtWc </videoflash>

=תרגול 5, 20.07.20=

*[[מדיה:20BdidaYifatTirgul5.pdf|סיכום התרגול החמישי-יחסי שקילות ויחסי סדר]]

<videoflash>HAe6COOOXoU </videoflash>

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/יפעת חדד

2020-07-21T14:03:07Z

Yifath:

במידה ויש טעות בסיכומים, תעדכנו במייל yifat.haddad@biu.ac.il
=תרגול 1, 05.07.20=

*[[מדיה:20LinearYifatTirgul1.pdf|סיכום התרגול הראשון-שדות, מרוכבים]]

<videoflash>QHeJPCkUnLY </videoflash>

=תרגול 2, 07.07.20=

*[[מדיה:20LinearYifatTirgul2.pdf|סיכום התרגול השני-מערכות משוואות לינאריות, דירוג]]
יעלה בקרוב :)

=תרגול 3, 12.07.20=

*[[מדיה:20LinearYifatTirgul3.pdf|סיכום התרגול השלישי-אלגברת מטריצות, מטריצות מיוחדות]]

<videoflash>LRsgh36fFi4 </videoflash>

=תרגול 4, 14.07.20=

*[[מדיה:20LinearYifatTirgul4.pdf|סיכום התרגול הרביעי-מטריצות הפיכות, אלגוריתם למציאת מטריצה הופכית]]

לא הוקלט לצערי =\

=תרגול 5, 19.07.20=

*[[מדיה:20LinearYifatTirgul5.pdf|סיכום התרגול החמישי-מרחבים וקטורים]]

<videoflash>s3hPs1hF6l0 </videoflash>

=תרגול 6, 21.07.20=

*[[מדיה:20LinearYifatTirgul6.pdf|סיכום התרגול החמישי-צירופים לינארים, בסיס]]

<videoflash>YFcZDQFkbk0 </videoflash>

קובץ:20LinearYifatTirgul4.pdf

2020-07-14T14:41:52Z

Yifath:

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/יפעת חדד

2020-07-14T14:41:20Z

Yifath:

קובץ:20BdidaYifatTirgul3.pdf

2020-07-14T14:36:24Z

Yifath:

קובץ:20LinearYifatTirgul3.pdf

2020-07-12T14:04:45Z

Yifath:

88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/יפעת חדד

2020-07-08T17:20:27Z

Yifath: /* תרגול 1, 06.07.20 */

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/יפעת חדד

2020-07-07T19:59:22Z

Yifath: /* תרגול 1, 05.07.20 */

קובץ:20LinearYifatTirgul2.pdf

2020-07-07T19:54:18Z

Yifath:

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/יפעת חדד

2020-07-07T19:51:45Z

Yifath:

במידה ויש טעות בסיכומים, תעדכנו במייל yifat.haddad@biu.ac.il
=תרגול 1, 05.07.20=

*[[מדיה:20LinearYifatTirgul1.pdf|סיכום התרגול הראשון-שדות, מרוכבים]]

=תרגול 2, 07.07.20=

*[[מדיה:20LinearYifatTirgul2.pdf|סיכום התרגול השני-מערכות משוואות לינאריות, דירוג]]

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/יפעת חדד

2020-07-06T14:04:20Z

Yifath: /* תרגול 1, 05.07.20 */

במידה ויש טעות בסיכומים, תעדכנו במייל yifat.haddad@biu.ac.il
=תרגול 1, 05.07.20=

*[[מדיה:20LinearYifatTirgul1.pdf|סיכום התרגול הראשון-שדות, מרוכבים]]

88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/יפעת חדד

2020-07-06T14:03:43Z

Yifath: /* תרגול 1, 06.07.20 */

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/יפעת חדד

2020-07-06T14:02:52Z

Yifath: /* תרגול 1, 05.07.20 */

=תרגול 1, 05.07.20=
במידה ויש טעות בסיכומים, תעדכנו במייל yifat.haddad@biu.ac.il

*[[מדיה:20LinearYifatTirgul1.pdf|סיכום התרגול הראשון-שדות, מרוכבים]]

קובץ:20LinearYifatTirgul1.pdf

2020-07-06T13:58:48Z

Yifath:

88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשף/יפעת חדד

2020-07-06T13:57:48Z

Yifath: /* תרגול 1, 05.07.20 */

=תרגול 1, 05.07.20=

*[[מדיה:20LinearYifatTirgul1.pdf|סיכום התרגול הראשון]]

קובץ:20BdidaYifatTirgul1.pdf

2020-07-06T13:52:15Z

Yifath:

88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/יפעת חדד

2020-07-06T13:43:33Z

Yifath: יצירת דף עם התוכן "=תרגול 1, 06.07.20= *סיכום התרגול הראשון-לוגיקה <videoflash>7avne7pUDx0 </videoflash>"

=תרגול 1, 06.07.20=

*[[מדיה:20BdidaYifatTirgul1.pdf|סיכום התרגול הראשון-לוגיקה]]

<videoflash>7avne7pUDx0 </videoflash>

88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף

2020-07-06T13:37:19Z

Yifath:

[[88-195 מתמטיקה בדידה]]

==קישורים==
*[[מתמטיקה בדידה - ארז שיינר|סרטוני ותקצירי ההרצאות והתרגולים]]

* [http://xi.math-wiki.com מערכת הגשת התרגילים XI]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/ארז שיינר|הרצאות בפועל של ארז שיינר]]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/אושרית שטוסל|מצגות וסרטוני התרגולים של אושרית שטוסל]]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/בארי גרינפלד|רשימות ההרצאה - בארי]]

*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים קיץ תשף/יפעת חדד|סיכומי וסרטוני התרגול של יפעת חדד]]

==הודעות==

שיחה:88-151 תשעג סמסטר ב

2013-04-26T09:56:16Z

Yifath: /* בוחן */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

== שמירת קובץ בmatlab ==

איך בדיוק שומרים קובץ? לאחר שהקלדתי את כל הפקודות שאני רוצה להדפיס ולהגיש כשאלה 1, איך בדיוק מדפיסים/שומרים את הקובץ הזה? כי כששמרתי קיבלתי רק את המשתנים וזה לא עזר לי כל כך.

האם צריך להגיש רק את הקובץ בצורה של script? שם רואים רק את שורת החישוב ללא שורת התשובה..

:(לא מרצה/מתרגל) לפני שאתה מתחיל לרשום את מה שאתה רוצה להדפיס תרשום את הפקודה diary('filename') כאשר filename הוא השם של הקובץ (חשוב שיהיו הגרשיים ') ותלחץ אנטר. זה שומר לך את כל מה שאתה כותב אחרי הפקודה הזאת בסקריפט כולל התשובות וכל מה שכתבת. כדי להפסיק לשמור אתה רושם diary(off) ולוחץ אנטר.

== מה צריך להגיש ? ==
בתרגיל 1 צריך להגיש רק את תרגיל 4 ? ומותר להגיש אותו כקובץ וורד ?
*כן. (ע"פ שימי ריאני) --[[משתמש:Caspim|Caspim]] 13:08, 7 במרץ 2013 (IST)

: אפשר להגיש בכל פורמט שאתה רוצה, אבל כל תוכנית או דוגמא יש להפעיל ב- matlab ולהדפיס את התוצאות. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 16:28, 8 במרץ 2013 (IST)

== תרגיל 1 שאלה 4 ==

כאשר רשום בשאלה "הסבירו בקצרה", למה הכוונה? האם להעתיק את מה שה-MATLAB רושם או לנסח במילים שלי? והדוגמה שצריך לתת, כיצד היא אמורה להיראות? האם זה פשוט סקריפט שבו אני משתמש בפעולה/פונקציה?

* במילים שלך, הדוגמא זה שימוש ב"מושג"

== האם יש אפשרות להתחבר לשרת Planet דרך מחשב mac? ==

האם יש אפשרות להתחבר לשרת Planet דרך מחשב mac? יש מדריך איך לעשות זאת?

(לא מתרגל/מרצה) אני לא רואה סיבה למה לא,פשוט תוריד את האפשרות של mac ל VNC, תמצא PuTTY לmac וזה אמור להיות זהה להמשך המדריך לזה

: בעיקרון זה צריך להיות אפילו יותר פשוט מה מחשב עם חלונות, תפנה לתמיכה טכנית - http://support.cs.biu.ac.il --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 16:31, 8 במרץ 2013 (IST)

== שעות קבלה ==

תוכלו לפרסם בבקשה שעות קבלה של המרצים והמתרגלים? תודה!

== וקטור בקלט של פונקציה ==

איך אפשר להפוך את הקלט של פונקציה שאני בונה לוקטור?

: עוברים מוקטור שורה לעמודה ע"י 'x

* כשאני רושם את הקלט בפונקציה, ולאחר מכן מנסה להפעיל אותה הוא מביא לי אזהרה ואומר ש-x הוא מסוג double. כלומר איך אני מגדיר אותו להיות וקטור?
: כל דבר במטלב הוא מטריצה (או וקטור, בפרט). ככל הנראה יש לך טעות בפונקציה. עדיף שתשלח אליי את הקוד, או תפרסם אותו כאן, אז אוכל לעזור. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 17:08, 10 במרץ 2013 (IST)

*ניסיתי לבנות את הפונקציה ודיי הסתבכתי. המטרה שלי היא שאם תירשם לדוגמא פקודה בצורה הבאה במטלב:

([Avg([80 78 69

הפונקציה תחזיר את הממוצע של שלושתם (ובמקרה הכללי עבור מספר לא ידוע של ציונים, שמכניס המשתמש).

: [http://u.math.biu.ac.il/~osharog/88151/Avg.m בקישור זה] נמצאת דוגמא לפונקציה כזאת. תשים לב שהפונקציה צריכה להיות בתיקייה שאתה עובד בה (Current Folder). אל תשכח לשנות את התיקייה מברירת מחדל של מטלב לתיקייה אמיתית. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 23:36, 10 במרץ 2013 (IST)

*תודה!

== תרגיל 2 שאלות 3,4 ==

-האם אפשר (או אפילו צריך) להדפיס את הscript עם כל הקוד בנפרד, ואת הפעלת הפונקציה על קלט לדוגמא?

: כן. אנחנו צריכים לראות את הקוד וגם התוצאות של הרצת קוד זה. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 18:53, 13 במרץ 2013 (IST)

-בשאלה 4,למה הכוונה במערכים מוכלים?

: לדוגמא, מערך [1, 2, 3] מוכל במערך [1, 2, 3, 4, 5]. כמו הכלה של קבוצות. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 18:53, 13 במרץ 2013 (IST)

- האם הכוונה למטריצה ש"נמצאת בתוך" מטריצה אחרת, כמו לדוגמא I2 נמצאת בתוך I4, או לפי האינדקסים של המטריצות (כלומר התייחסות למטריצה כוקטור שורה כמו שראינו בתרגול)?
:מטריצה בתוך מטריצה [[משתמש:Rianis|shimi]] 01:16, 18 במרץ 2013 (IST)

== שאלה לגבי תרגיל 2 שאלה 5 ==

לגבי האיבר המינימלי: כוונת השאלה הייתה לחשב את סכום שלושת האיברים הקטנים ביותר במטריצה M?
: הכוונה הייתה לקבל את המספר המינימלי בכל עמודה ולחשב את סכומם [[משתמש:Rianis|shimi]] 01:36, 18 במרץ 2013 (IST)

== תוכנה נתקעת ==

בכל פעם שאני מתחבר לשרתים של בר אילן התוכנה נתקעת ורק השעון שבפינה עובד.
איך אני יכול לסדר את זה?

== החזרת מספר פרמטרים מפוקנציה ==

אם מחזירים מהפונקציה מספר פרמטרים - כיצד לקבל את כולם?
השאלה היא לא לגבי מספרים , אלא לדוגמא אם מחזירים וקטור ומטריצה(כמו בשאלה 3)
הדרך שמצאתי היא :
...vector,matrix]=function]
ואז הוקטור בvector והמטריצה בmatrix
האם זו דרך נכונה? האם יש דרכים יותר טובות? לא ראינו דוגמאות לכך בהרצאה..
ושאלה נוספת לגבי התרגילים: בכל שבוע נצטרך להגיש רק שאלה אחת שהיא להגשה(למשל בתרגיל2 - שאלה 3)
וכל השאלות האחרות הן לתרגול עצמי?(כלומר-אין צורך להגיש והם רשות)

*(לא מתרגל) בעיקרון במטלב כל משתנה שלא תאמר/י לו מה להיות מפורשות יוגדר להיות מטריצה. כלומר אם הפלט מוגדר להיות x ובמהלך הפונקציה יש בו שימוש כסקלר, הוא יהיה סקלר. אם השימוש הוא כמטריצה, הוא יהיה מטריצה. הכל עניין של הפוקדות שנכללות בהמשך הפונ' בהן מוגדר x. השמות הם דבר שולי, גם אם תקרא לוקטורים matrix ולמטריצות vector, זה לא יהפוך אותם לסוג זה. מומלץ להביא שמות קשורים למציאות, כדי שלמי שקורא את הקוד יהיה קל להבין.

:עשית זאת נכון. אכן תרגיל אחד להגשה בכל פעם והשאר לתרגול עצמי (מומלץ מאוד לעשות) [[משתמש:Rianis|shimi]] 01:40, 18 במרץ 2013 (IST)

== תרגיל 2 שאלה 4 ==

מה הפונקציה אמורה להחזיר ? ערך לוגי(0 -אם מוכלים , 1 - אם לא) או משהוא אחר?
והבדיקה צריכה להיות אם הראשון מוכל בשני והשני בראשון או רק צד אחד - ראשון בשני?

* (לא מתרגל) אני חושב שזה לא משנה כל כך, תוכל/י להחזיר 1 או אפס, ובאותה מידה תוכל/י להחזיר הודעה כתובה עם disp נניח. העיקר זה יהיה מובן, לכן אני ממליץ על הודעה במילים. אפשר גם להסביר בhelp שאם התנאי מתקיים הפו' מחזירה 1 ואחרת 0, גם זו אופציה, הרבה פו' במטלב פועלות על הקונספט הזה.

לפי הניסוח של השאלה - צריך לבדוק האם כל אחד הוא תת מערך של השני.

== תרגיל 2 שאלה 3 ==

האם ניתן להניח תקינות קלט? כלומר - שלמטריצת הקלט יהיו 4 עמודות לפחות?
ואם לא - מה צריך לעשות במקרה של קלט לא תקין?
:לצורך השאלה ניתן להניח תקינות קלט, אך תמיד נחמד להוסיף בדיקה לתקינות הקלט אשר תוציא הודעה מתאימה למשתמש במידה והקלט אינו תקין ואז תסיים את הפונקציה [[משתמש:Rianis|shimi]] 01:44, 18 במרץ 2013 (IST)

== שינוי הסיסמא ==

אפשר הסבר על איך לשנות את הסיסמא? לפי מה שהבנתי צריך להיכנס לאתר הזה
http://password.cs.biu.ac.il/

אבל אני לא מצליח להתחבר אליו..

*(לא מתרגל) אם הכוונה לשינוי סיסמא עבור השרת של בר אילן דרך putty, אפשר לפעול לפי המדריך המצורף בדף הקורס. נכנסים לputty ונכנסים עם שם המשתמש והסיסמא הראשונית, המערכת ישר מפנה לשינוי סיסמא ומשם כדאי להקפיד על הכללים הבאים: http://support.cs.biu.ac.il/content/%D7%9B%D7%99%D7%A6%D7%93-%D7%9E%D7%90%D7%A4%D7%A1%D7%99%D7%9D-%D7%A1%D7%99%D7%A1%D7%9E%D7%90

ה putty לא עובד לי.. יש עוד דרך?

*מהputty נכנסים לשרת, אני לא מכיר דרך אחרת. אין סיבה שהוא לא יעבוד, הוא גם לא קשור לבר אילן כל כך, זו תוכנה שמאפשרת כניסה לשרתים רבים. נסה למחוק ולהוריד שוב.

== בניית מטריצה ללא לולאות ==

איך ניתן לבנות את המטריצה המקיימת: <math>A(i,j)=i+j</math> מבלי להשתמש בלולאות?

*אתה יכול להשתמש בפונקציית הcumsum וones על מנת לבנות וקטורי עמודה ושורה של 1 2 3 ... n. אפשר לחבר ולשכפל את הווקטור הזה על מנת ליצור מטריצה שמקיימת את התנאים שציינת.
:קוד נחמד שכתבתי המבצע זאת:
[[קובץ:GetIplusJMatrix.png]]

:--[[משתמש:Avital|(לא מתרגל/מרצה) Avital]] 12:28, 20 במרץ 2013 (IST)

תודה!

== ציור גרף ==

המטלב שלי לא מצייר גרפים. בכל פעם שאני מנסה ליצור גרף הוא נותן לי רשימה של חמש שגיאות שונות שרובן בתוכנות של המטלב עצמו
וכן הוא כותב (גם אם אני עושה plot על משתנה אחד) שמספר הערכים ב- X וב Y שונה.
מה אני יכול לעשות?

== לימודים בפסח ==

יש לימודים בימי ראשון ושלישי הבאים? (31/3 וה 2/3)?

: חופשת פסח עד יום שלישי (02/03/2013) כולל. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 20:23, 28 במרץ 2013 (IST)

מתי חוזרים ללמוד?

: החל מיום רביעי... --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 23:22, 31 במרץ 2013 (IDT)

== שתי שאלות לגבי הבוחן ==

א.אילו פקודות צריך לדעת לבוחן (מלבד פקודות אלמנטריות כמו sin,cos,exp וכד')?
ב.ניתן יהיה להעלות קובץ עם דוגמאות לשאלות ברמה של הבוחן?

(לא מתרגל / מרצה) מתי יש בוחן? --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:42, 30 במרץ 2013 (IDT)

== לגבי תרגיל 3 שאלה 4 ==

צריך להדפיס את כל 92 הפתרונות?

*(לא מתרגל) רשום בשאלה: "כתבו תכנית המוצאת מצב לוח כלשהו הפותר את החידה".

== העלאת הרצאות של ד"ר מיכאלי על גרפים ורקורסיה ==

ניתן יהיה להעלות את המצגות של הרצאות 4 ו5 (על גרפים ורקרוסיה) של ד"ר מיכאלי לאתר שלו?

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

- האם אפשר להניח תקינות הקלט (לדוגמא לא לבדוק אם מכניסים לי שלוש פעמים את הנקודה 0,0 או כשלא יוצא מצולע מקורדינטות הקלט וכו').
: כן. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 19:11, 13 באפריל 2013 (IDT)
-איך בדיוק אפשר לחשב שטח של מצולע לא קמור? כלומר אם אני מבין נכון הפונ' צריכה גם לדעת לחשב שטח כמו של המצולע הזה [http://www.ics.uci.edu/~eppstein/161/theseus.gif]?
: אתה יכול להניח מקרים פשוטים יותר מהמקרה שבציור. יש להניח שצלעות לא נחתכים. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 19:11, 13 באפריל 2013 (IDT)

-אבל זה יותר בעייתי לחשב שטח של מצולע לא קמור מאשר קמור, איך אפשר לעשות זאת?
: זה יותר מסובך אבל לא בלתי אפשרי. תחשוב על הפתרון, תנסה לצייר כמה מצולעים ולחשוב על אלגוריתם שיאפשר חישוב. תוכל גם לחפש ולקרוא באינטרנט על גישות שונות לבעיה זו --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 23:32, 13 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 3 שטח מצולע מורכב ==

צריך לחשב גם שטח של מצולע מורכב, שצלעותיו יכולות לחתוך זאת את זאת או מספיק מצולע פשוט? --[[משתמש:Avital|(לא מתרגל/מרצה) Avital]] 18:03, 13 באפריל 2013 (IDT)
: יש להניח שצלעותיו לא נחתכים. מצולע לא חייב להיות קמור. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 19:12, 13 באפריל 2013 (IDT)

== וקטור קוארדינטות ==

שלום! מה הכוונה שהמצולע נתון על ידי שני וקטורי קוארדינטות? אפשר בבקשה לקבל דוג' לקלט? תודה!

*(לא מתרגל) לדוגמא הקלט: <math>x=[-1,1,0] y=[0,0,1]</math> הוא המשולש עם הקודקודים <math>(-1,0);(1,0);(0,1)</math>.
: תודה. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 18:44, 14 באפריל 2013 (IDT)

== קודקודים סמוכים ==

אפשר להניח שהקודקודים שמגיעים מהקלט מסודרים? כלומר שכל קודקוד סמוך לאלה שכתובים משני הצדדים שלו?
למשל אם אני מקבלת בקלט: x=(7,5,0,-3,6) ו y=(1,5,3,-4,-5) אז אני יכולה להניח שהקודקוד 5,5 סמוך ל 7,1 ול 0,3?
: אפשר להניח שהקודקודים מסודרים לפי כיוון השעון. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 18:44, 14 באפריל 2013 (IDT)

== מרחק נקודה מישר ==

האם יש פונקציה שאפשר להשתמש בה לחישוב של מרחק נקודה מישר? תודה!

*(לא מתרגל) אולי ואולי לא, אבל תמיד אפשר לבנות בנפרד לפי נוסחא.
: אם יש צורך בפונקציה כזו, אפשר לממש אותה. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 01:02, 17 באפריל 2013 (IDT)

אם אתה מנסה לחשב שטח של משולש לפי 3 קודקודים יש נוסחה פשוטה לכך, חפש בגוגל
: אפשר גם לפתח אותה בעצמכם, זה לא מסובך. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 18:51, 17 באפריל 2013 (IDT)

== שתי שאלות לגבי תרגיל 4 ==

לגבי שאלה 1:הבסיס אורתונורמלי ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית על R?
: כן. אפשר גם עבור מכפלה פנימית שרירותית. זה לא ישנה את התוכנה. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 01:05, 17 באפריל 2013 (IDT)
לגבי שאלה 3:צריך לנמק למה הפונקציה שבניתי עובדת גם עבור מרובעים קעורים וגם עבור קמורים או שמספיק להביא דוגמה לכל סוג מצולע?
: צריך גם לנמק וגם להביא דוגמאות. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 01:05, 17 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

האם אפשר להביא פתרון לא רקורסיבי?
: לא. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 01:05, 17 באפריל 2013 (IDT)

אוקיי. כמה תרגילים אפשר לא להגיש בלי שתהיה פגיעה בציון?
: למיטב ידיעתי 0, אבל תתעדכן עם המרצה. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 18:50, 17 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

כבר אמרתם שאפשר להניח שצלעות לא נחתכות, אבל האם אפשר גם להניח שבמהלך הרקורסיה הצלעות לא נחתכות?

לדוגמה בחישוב שטח של מצולע בצורת כוכב, בעיקרון אין צלעות נחתכות אבל אם ניקח 4 נקודות סמוכות אז בשטח שהן יצרו כן יהיו צלעות נחתכות.

*אמרו כבר שהצלעות מסודרות בכיוון השעון, כך שלא צריכה להיווצר בעיה כזו, ואם כן אז התוכנה לא אמורה לדעת לחשב שטח של מצולע כזה.

: אני לא יודע איך בדיוק עובדת תוכנה שלך, לכן קשה לי להבין דוגמא שנתת. אבל אם במהלך החישוב אתה מקבל צלעות נחתחות, אז ככל הנראה התוכנה לא עובדת נכון. אמרתי שהסידור לפי כיוון השעון רק כדי שתדעו איך לצייר את המצולע, אחרת יש הרבה אפשרויות חיבור. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 23:56, 17 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

ניתן להשתמש בלולאות ופונקציות אחרות שיצרתי בפעולה הרקורסיבית? --[[משתמש:Avital|(לא מתרגל/מרצה) Avital]] 16:31, 18 באפריל 2013 (IDT)
: כל מה שאתה רוצה. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 18:36, 18 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

אני מכיר נוסחה פשוטה לחישוב שטח של מצולע לפי הקודקודים, אני יכול פשוט להתשתמש בו? (כמובן אחשב את הנוסחה רקורסיבית, בלי לולאות)
: תצטרך להסביר את הנוסחא. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 21:43, 20 באפריל 2013 (IDT)

:: בלהסביר הכוונה להראות את הנוסחה או להוכיח אותה?
::: עדיף להוכיח. אבל גם הסבר מפורט יכול להתאים. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 00:48, 22 באפריל 2013 (IDT)

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

הכוונה בכך שנקודות מתווספות עם כיוון השעון היא שהן גם בהכרח מחוץ למצולע לפני שמוסיפים כל אחת?
: אני לא הבנתי את המשפט. נקודות לא מתווספות - הן נתונות. רק כל הנקודות מייצרות את המצולע. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 22:27, 22 באפריל 2013 (IDT)
(לא מתרגל) בקשר לשאלה שלך, לא.

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

אפשר להניח שבמהלך הרקורסיה עם הורדת נקודות גם המצולע החדש לא חותך את עצמו?
: אני לא יודע איך אתה מתכוון להוריד את הנקודות, איך אפשר להיות בטוח שמשהו חדש לא חותך את עצמו? אם אתה עושה פעולה שאתה לא בטוח בתוצאה, אז תבדוק מה עושים בכל אחת מאפשרויות. --[[משתמש:Grisha|Grigory Osharovich]] 13:32, 23 באפריל 2013 (IDT)

== בוחן בשימושי מחשבים- תיכוניסטים ==

הבוחן שבוע הבא ביום שני. ערב לפני זה מדורות ל"ג בעומר ואין כל כך זמן ללמוד.
בנוסף- אחרי המדורות נהיה עייפים וזה לא יום מוצלח לעשות בו את הבוחן.
יהיה אפשר לדחות את הבוחן?

ועוד שאלה-
עד איפה החומר לבוחן? האם הוא עם חומר פתוח?

*(לא מתרגל) אלה פחות או יותר התשובות שהביא היום המרצה (ד"ר מיכאלי, לתיכוניסטים):

-הבוחן כבר נקבע מוקדם יותר ואי אפשר להחליף את המועד שלו.

- יהיו 2 שאלות, הזמן הוא בערך שעה.

- השאלות יהיו בנושא של תכנות.

- ללא חומר פתוח.

- הוא אמר שישתדלו לפרסם בוחן לדוגמא או משהו דומה.

-בשביל להתכונן מומלץ לענות על כל השאלות משיעורי הבית, לא רק מה שהיה צריך להגיש.

== שאלה לגבי הבוחן ==

בבוחן יהיה צריך לדעת לשחזר אלגוריתמים בלתי טריוויאלים (מיון בועות,bisection וכד') שהוראו בהרצאה?

== בוחן לדוגמא ==

אתם יכולים להוציא בוחן לדוגמה?

== בוחן ==

שלום! האם נצטרך לדעת ריבועים מינימליים לבוחן?

שיחה:88-113 תשעג סמסטר א

2013-02-13T08:37:13Z

Yifath: /* שאלה כללית (תיכוניסטים) */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגיל (תיכוניסטים) ==

מתי יעלו לנו את התרגיל בלינארית 2 ומתי יום ההגשה שלו?
:התרגיל עלה, הגשה לשבוע הבא. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 שאלה 1 (תיכוניסטים) ==

שכתוב למצוא מרחב עצמי הכוונה למצוא בסיס למרחב העצמי?
:בדיוק --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 2 לתיכוניסטים ==

הפרכה:
נקח את המטריצה מ1ג
ואת הווקטורים (1,1,0-) ו-(1,0,1-) שאינם תלויים לינארית
ונראה ששניהם ו"ע של המטריצה עם ע"ע 0.

:צודק, תקנתי את הטעות בשאלה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אוף ניסיתי יותר מדי זמן להוכיח את זה

== מרחב עצמי ==

מה הכוונה מרחב עצמי? הגדרנו רק ערך עצמי ווקטור עצמי...
:(לא מרצה/מתרגל) מרחב עצמי זה קבוצת כל הווקטורים העצמיים עם ווקטור האפס(שהרי ע"פי ההגדרה הוא לא ווקטור עצמי). ניתן להוכיח בקלות שקבוצה זו מקיימת סגירות לחיבור, וכפל בסקלר. היא מכילה את ווקטור האפס ולכן היא מרחב.
:אם תבין את הכתב שלי אז יש שם הגדרה של המרחב + הוכחה קצרה:
:[[קובץ:3.jpg|200px|thumb|left|עמוד שלישי של התרגול הראשון]]
:--[[משתמש:Avital|Avital]] 21:56, 25 באוקטובר 2012 (IST)

== לא הבנתי משהו בתרגול ==

רשמנו בתרגיל:
"כל המטריצות הדומות מייצגות את אותה העתקה לינארית בבסיסים שונים"

אפשר הסבר למשפט הזה?

*(לא מתרגל) אמרנו (אי שם בלינארית 1) שכל העתקה אפשר להציג בתור מטריצה ביחס לבסיסים מסוימים, וההפך - כל מטריצה מייצגת העתקה, ביחס לבסיסים מסוימים.
יש טענה כזו שאומרת שכל שתי מטריצות שמייצגות אותה העתקה ביחס לבסיסים שונים, הן דומות. כלומר, קיימת P הפיכה כך ש:
http://up357.siz.co.il/up1/3zjymrewzmyd.png

מצד שני, הטענה ההפוכה היא: אם ניקח שתי מטריצות דומות, אפשר למצוא העתקה לינארית, וכן ארבעה בסיסים כך שהמטריצות המייצגות ביחס לבסיסים יהיו שוות לאותן המטריצות הדומות.

ומה זה נותן לי, שהמטריצות הללו מייצגות את אותה הע"ל בבסיסים שונים?

:העובדה שמטריצות דומות מייצגות את אותה העתקה לינארית עוזרת באופן הבא- אם יש לך מטריצה כלשהי המייצגת העתקה, היית מעדיף למצוא מטריצה דומה לה (כלומר מייצגת את אותה ההעתקה) שהיא פשוטה יותר. למשל אם המטריצה הדומה היא אלכסונית, אז ההעתקה סה"כ כופלת כל איבר בבסיס מסויים בסקלר --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אז הרעיון במטריצות דומות זה בעצם להפוך את המטריצה למטריצה "יפה" יותר, שממנה יותר קל לראות מה ההעתקה עושה?

:אכן זה אחד הרעיונות המרכזיים של הקורס (לכסון, שילוש, ז'ורדן) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 1 שאלה 3 ==

האם אפשר להניח שלכל i, ה-x במקום i שונה מאפס? (זה נחוץ לחישוב הדטרמיננטה)

(לא מתרגל) אני אישית הפרדתי באופן זה או אחר. נסה/י לראות מה יקרה אם Xi שווה אפס, ותנסה/י "להיפטר" ממקרה זה בחישוב הדט' שאת/ה מנסה לחשב.

== תרגיל 2 ==

אפשר הסבר לשאלה 2? למה בדיוק הכוונה ב- T משקפת נקודות ביחס לישר y=kx?

נראה לי שזה אומר שכאילו שמים מראה על הישר y=kx וזה מעביר את כל הנקודות לצד השני שלו כשהן נשארות באותו מרחק ממנו ביחס לאותה נקודה שלו

אפשר למצוא את התוצאה עם אנך ואמצע קטע כמו בגיאומטריה אנליטית

מקווה שעזרתי בינתיים אבל עדיף לחכות לתשובה של מתרגל

:נכון, שיקוף זו פעולה של מראה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

* למה בדיוק הכוונה? איך אני רושם את T של וקטור (x,y) במפורש?

:זו בדיוק השאלה. כמו שענו לך למעלה, מכל נקודה אתה מעביר אנך לקו הישר ושולח אותה לנקודה על האנך מאותו המרחק בצד השני של הישר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אתה יכול להביא דוגמא מספרית?

*קצת קשה לראות כאן דוגמא מספרית, כי צריך לעשות הרבה עבודה כדי להגיע לזה, ואין לזה הרבה משמעות. פשוט לוקחים את הישר kx ונקודה כלשהי, מעבירים ממנה אנך לישר kx. לנקודה הזו יש מרחק מהישר. אז ניקח את הנקודה על הישר המאונך לkx, בצד השני של הישר, שהיא במרחק זהה. זה הכל.

== תרגיל 2 ==

בשאלה 2, מה זה L? --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:14, 31 באוקטובר 2012 (IST)
:זו טעות. הכוונה לT --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 4 ==

מה ההתקה בדיוק עושה למטריצה ? לא ברור... זה נראה כאילו היא לוקחת כל מטריצה 2 על 2 והופכת אותה למטריצה מסויימת שכתובה בתרגיל כאילו וקטור עצמי זה מטריצה בכלל ?

תודה

:כן, במקרה של ההעתקה מעל מרחב המטריצות, הוקטורים הם מטריצות. ולכן וקטור עצמי יהיה מטריצה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 3 ==

בסעיף א', מה זאת אומרת הערכים העצמיים של A שונים זה מזה, מן הסתם שהם שונים לא?
:הכוונה היא שיש n ערכים עצמיים שונים --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

כש n זה הגודל של המטריצה נכון?

:נכון --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 2 (תיכוניסטים) ==

האם מוצר להשתמש במה שלמדנו בתיכון בגאומטריה אנליטית (מרחק בין 2 נקודות, מרחק בין נקודה לישר, אם m שיפוע של ישר אז שיפוע הישר האנך לו הוא (1-)^m וכו) ?

אתה יכול להסביר לי מה מבקשים בכלל בתרגיל? מה זאת אומרת "משקפת"?

:מצורף '''[[מדיה:שיקוף ביחס לישר - הסבר.jpeg|איור]]''' המתאר למה הכוונה בשיקוף. האיור לקוח מתוך הקורס בגיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית, סמסטר א תשע"ב (ואויר על ידי המתרגלת, אנה זרך). מקווה שזה עוזר. [[משתמש:gordo6|גל]].

אז מה שהשיקוף עושה, זה להעביר מהנקודה אנך לישר, ואז ממשיכים את האנך הזה כאורכו, ואז הנקודה שהוא מגיעה אליה, זה השיקוף?

:בהחלט. זה העקרון על פיו מוצאים את הדמות במראה (באופטיקה, אם למדת בתיכון), ובעצם כאן y=kx הוא המראה שלך.

== שאלה כללית ==

אם יש לי ע"ע כלשהו, והמטריצה A-xI יוצאת הפיכה, אז אין וקטור עצמי עבור הערך העצמי הזה ? כי למרחב האפס של המטריצה יש רק פתרון טריוויאלי ?

:לא ייתכן שעבור ע"ע x המטריצה A-xI תהא הפיכה. הרי ע"ע מאפס את הפולינום האופייני - הוא הדטרמיננטה של מטריצה זו. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 5 ==

כתוב למצוא בסיס למרחב העצמי הנתון. איזה מרחב עצמי נתון ?
:אני מניח שהכוונה למרחב העצמי לע"ע 1... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 2 שאלה 2 ==

מה זה אומר שצריך למצוא הצגה אלכסונית D? מה זאת אומרת?

נ.ב כשמבקשים להוכיח האם T לכסינה, זה בעצם להראות שהמטריצה המייצגת שלה לפי בסיסים כלשהם, לכסינה?

*בנוגע לנ.ב. - כן, זהו משפט שראינו בהרצאה. עכשיו בנוגע לשאלה הראשונה - לאחר שמצאת האם T לפי בסיס כלשהו לכסינה, אתה צריך למצוא את המטריצה האלכסונית שלה היא דומה.

אז כשרוצים למצוא את D, צריך למצוא את המטריצה או את ההעתקה עצמה?

* כשאומרים למצוא את D, הכוונה היא שתרשום את המטריצה האלכסונית הזו שאתה מחפש.

ואיך אמורים למצוא את הבסיס הזה?

*לפי תרגיל שראינו בהרצאה, T לפי הבסיס B היא אלכסונית <=> הבסיס B מורכב מ-n ו"ע בת"ל של T.

אוקי, ואם לדוגמא T לכסינה, זה אומר שלכל בסיס B, המטריצה המייצגת את T לפי B היא אלכסונית? או שרק קיים בסיס כזה?

:רק שקיים בסיס כזה, אחרת אין משמעות לפעולת הלכסון. פעולת הלכסון היא בדיוק מציאת הבסיס לפי המטריצה אלכסונית (כאשר מסתכלים גם על מטריצה רגילה כהעתקה לינארית) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

* חשוב גם לאמר שיש יותר מאופציה אחת, כי אם נשנה את הסדר של הוקטורים בבסיס שמצאנו, נקבל בסיס סדור אחר, שגם הוא יתאים. מה שיקרה זה שבסה"כ הע"ע יחליפו מקומות על האלכסון במטריצה המייצגת, ונקבל מטריצה קצת אחרת.

== תרגיל 2 שאלה 4 ==

איך אני מוצא את המטריצה המייצגת של ההעתקה T?
:כמו שלמדנו ב[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/9|לינארית 1]]. מצא בסיס למרחב (שים לב שזהו מרחב של מטריצות), תפעיל את ההעתקה על הבסיס, שים את הקואורדינטות של התוצאות בעמודות מטריצה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 3 שאלה 3 ==

איך אני מגלה לאן f שולחת?

(לא מתרגל / מרצה) התכוונת ל-f שכתוב ב-<math>T(f)</math>? אם כן, זהו פשוט פולינום כללי ממעלה עד מעלה שלישית --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:43, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 3 ==

יש הבדל בין f לבין <math>f(x)</math>?

(לא מתרגל / מרצה) לא --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:42, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

אם g, h פולינומים, יש דבר כזה <math>g/h</math>
(g חלקי h)?

*כן, זהו חילוק פולינומים. לדוגמא אם ניקח x^2-1 וכן x-1 החילוק שלהם יביא x+1.

== תרגיל 3 שאלה 1 סעיף ג' ==

אפשר ניסוח אחר של השאלה? כי הפתרונות שחשבתי עליהם ממש טריוויאלים ואני לא חושב שלזה התכוונו. --[[משתמש:Avital|Avital]] 18:12, 9 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

מה למדנו על מספרים זרים בתרגול? :)

:אם f,g פולינומים זרים אז קיימים פולינומים a,b כך ש af+bg=1 --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== שאלה 1 סעיף ב (תרגיל 3) ==

המטריצות בסעיף הזה גם מעל הממשיים?

== תרגיל 3,שאלה 4 ==

סעיף ב

אפשר להוכיח באינדוקציה בלי להשתמש בסעיף א?, כי ככה יצא לי האמת.

בקשר לסעיף ג, מז"א הצגה יחידה עד כדי סקלר?

תודה

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

מעל C, קיימים פולינומים אי - פריקים חוץ מהפולינומים ממעלה 1?

*(לא מתרגל) אמרנו בהרצאה שכל פולינום מתפרק לגורמים '''לינאריים''' מעל C, ולכן התשובה היא לא.

== אפשר אולי להעלות את התרגילי בית מוקדם יותר? ==

נגיד ביום של הגשת התרגיל הקודם או יום אחרי, זה מאוד יעזור.
מצטרף לשאלה.

גם אני מצטרף.... עברו כבר שלושה ימים ועדיין לא עלה התרגיל...

בכלל אם אפשר עדיף לעלות אותם יום-יומיים לפני- כמו בפיזיקה ואז יש יותר משבוע שלם -משהו כמו 9-10 ימים להכין את השיעורים-

ובעיניין התרגיל הנוכחי- תרגיל 4 עדיף לדחות אותו בשבוע לפחות - כי גם ככה אין לנו סיכוי לסיים אותו בזמן

ֿ
אני ממש בעד שהתרגיל יעלה מוקדם יותר באופן קבוע (אולי גם באינפי), זה יכול לחסוך לנו הרבה זמן

== איחור העלאת התרגיל ==

יתנו לנו הארכה על התרגיל הנוכחי ? כבר סוף שבוע והוא עוד לא עלה....

*כבר יום ראשון..(מישהו אחר)

== הבוחן ==

אם אפשר לתת פרטים על הבוחן וקישור לתרגילים, זה ממש יעזור! תודה

== תרגיל 4 שאלה 2 ==

לא כל כך הבנתי את השאלה זה לא בעצם אומר שהמטריצה היא מטריצת האפס?

צודק, יש טעות בשאלה m(x)=x^2 ולא m(x)=x אני אעלה תיקון בהקדם.

==תרגיל 4 שאלה 3==

הכוונה שנישתמש באלגוריתם לשילוש שלמדנו בתירגול?

לא מרצה/מתרגל. סביר להניח שכן

== תרגיל 4 שאלה 5א ==

מהו תת מרחב g(T) אינווריאנטי?

מצטרף גם כן לשאלה....

*(לא מתרגל) ראינו כי אם g פולינום אז אפשר להציב עליו מטריצות וגם טרנספורמציות. כלומר אם נציב על g את T, נקבל טרנספורמציה g(T). ומכאן אפשר להבין את המונח בדיוק כמו בעבור העתקה רגילה T, רק שפה ההעתקה היא g(T), זה הכל.

מה זאת אומרת להציב טרנפורמציות ??? הכוונה להציב את המטריצה המייצגת שלהם ? וגם אז הכוונה שלכל <math>v</math> ב-<math>W</math> גם <math>g(T(v))</math> נמצא ב-<math>W</math> ?

*אם ניקח פולינום כלשהו, אפשר להציב עליו העתקות לינאריות, באופן הבא:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g(x)={%20a%20}_{%200%20}+{%20a%20}_{%201%20}x+...+{%20a%20}_{%20n%20}{%20x%20}^{%20n%20}\\%20=%3Eg(T)={%20a%20}_{%200%20}I+{%20a%20}_{%201%20}T+...+{%20a%20}_{%20n%20}{%20T%20}^{%20n%20}

כאשר I היא העתקה הזהות, ולדוגמא T בריבוע היא T הרכבה T.
בעצם קיבלנו כפל של העתקות בסקלר => העתקה, וכן חיבור העתקות => העתקה (כי מרחב ההעתקות הוא מרחב וקטורי וסגור לכפל בסקלר וחיבור), כלומר בסה"כ על <math>g(T)</math> היא העתקה.

ואז אפשר להבין את הגדרה בדיוק כמו עבור העתקה T:

W הוא ת"מ <math>g(T)</math> אינווריאנטי אם לכל v ב W מתקיים <math>(g(T))(v)\in W</math>

== תרגיל 4 שאלה 3 ==

מעל איזה שדה נמצאת המטריצה הנתונה ? מרוכבים ? ממשיים ? ....

*(לא מתרגל) זה לא משנה כל כך לשאלה אני מאמין.

אני דווקא חושב שזה די חשוב...

*באיזשהו מקום אתה צודק, כי אם המרחב הוא Z2 השאלה הופכת לקלילה. אם הוא Z1, כלומר המרחב שמכיל את 0 בלבד, אז היא עוד יותר קלה. ובכל מקרה, יש פתרון שתקף לכל מרחב שתיקח.

*מתי תבינו שאם לא כתוב אז זה אומר שאנחנו מעל R?--[[משתמש:Caspim|Caspim]] 21:25, 22 בנובמבר 2012 (IST)

*(לא מתרגל) נבין מחר. בכל מקרה, יש פתרון שתקף גם מעל C, גם מעל Z2 וגם מעל R, אז לא חייבים להגביל בשדה (אולי דווקא בגלל זה לא רשמו אותו).

== תרגיל 4 שאלה 5 ב' ==

כשרושמים <math>f(T)[W]</math> מתכוונים לזה שמפעילים את כל הוקטורים ב W על ההעתקה?

*(לא מתרגל) הכוונה היא לתמונה של W לפי ההעתקה <math>f(T)</math>

== שאלה 5 ==

בקשר לסעיפים ב,ג
אפשר לקחת איבר כללי ב-W בסעיף ב ובסעיף ג איבר כללי ב-V
ולהראות את ההוכחה על התמונה שלו
או שבאמת צריך לקחת את כל האיברים בתמונה...
תודה

== תרגיל 4 שאלה 5 ==

זה בהנחה ש T הע"ל מ V לעצמו נכון..(?)

*(לא מתרגל) כן, אחרת כל התרגיל לא מוגדר בהכרח (זה כמו להניח שמטריצה A ריבועית).

== דחוף! שאלה בקשר לבוחן (תיכוניסטים) ==

יש מחר בוחן או לא? אם לא, למתי הוא נדחה?
אודה אם יענו לי בהקדם! תודה :)

(לא מתרגל / מרצה) הבוחן נדחה ל-11.12, ההשלמה בחנוכה --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:30, 26 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 4 שאלה 1 ==

מעל איזה שדה T? זה מאד חשוב לפתרון , שכן יכולים להיות פתרונות שונים אם זה מעל C או מעל R...

(לא מתרגל / מרצה) כתוב <math>T:\mathbb{C}^3\rightarrow\mathbb{C}^3</math>, לכן מעל <math>\mathbb{C}</math>. --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:51, 26 בנובמבר 2012 (IST)

== איך מוצאים תתי מרחבים אינווריאנטים? ==

יש אלגוריתם למציאת תתי מרחבים אינווריאנטים?

(לא מתרגל / מרצה) לדעתי לא, אחרת היה ארז היה מעלה אותו ל-math-wiki --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:34, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 2 א' ==

אפשר הסבר למה זה בעצם W1?

???

???

(לא מרצה / מתרגל) ארז אמר שהוא יבדוק מחר ויחזיר תשובה בנושא --[[משתמש:גיא|גיא]] 23:15, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 1 ==

מה זה תתי מרחבים אינווריאנטים תחת כפל ב-A ?

(לא מתרגל / מרצה) דיברנו בהרצאה ובתרגול על תתי מרחבים אינווריאנטיים תחת העתקה מסוימת. אך מלינארית 1 אנו יודעים כי כל העתקה שקולה לכפל במטריצה. הכוונה בתרגיל - במקום העתקה מכפילים את הוקטור במטריצה; <math>V</math> תת מרחב אינווריאנטי תחת כפל ב-<math>A</math> אם לכל <math>\vec{v}\in V</math> מתקיים <math>A\vec{v}\in V</math> --[[משתמש:גיא|גיא]] 12:59, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 1 ==

אני לא מבין את השאלה V ו W הם מרחבים של מטריצות או של וקטורים?
וגם הוקטורים העצמיים יוצאים מרוכבים אז יכול להיות שהם אמורים להיות ממשיים?

(לא מתרגל / מרצה) <math>V,W\subseteq \mathbb{R}^4</math>, לכן הם תתי מרחבים של וקטורי <math>\mathbb{R}^4</math>. נכון, הו"ע וגם הע"ע יוצאים מרוכבים, אך יש לחשוב כיצד לחזור לממשיים עם תתי מרחבים אינווריאנטיים כדרוש --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:33, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 ,שאלה 3 ==

האם אפשר ב-א ישר לתת את המרחבים האלה? והאם מותר להשתמש במרחבים טריוואלים

?

תודה

(לא מתרגל / מרצה) מה הכוונה בלתת ישר את המרחבים האלו ולהשתמש במרחבים טריוויאליים? <math>W</math> נתון לך מעצם השאלה, אתה צריך למצוא לו תת מרחב אחר <math>W'</math> שיקיים את התנאי. אסור להשתמש בדוגמאות ספציפיות - כי <math>W</math> אינו נתון --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:31, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 2 א ==

לא הבנתי מה זה wi זה יוצא ker של מטריצה לא ריבועית...

== תרגיל 5 שאלה 2 א - הסבר ==

העליתי קובץ מתוקן.

== החישובים יוצאים ממש ארוכים.. ==

רק לחשב את הפולינום האופייני של מטריצה 4x4 לקח לי בערך 2 עמודים, שלא לדבר על זה שעכשיו צריך למצוא וקטורים עצמיים בשביל שאלה 1..

איך זה אפשרי שבמבחן יהיה לי זמן לעשות את כל החישובים האלו?

== תחרות כמו בשנה שעברה ==

האם גם השנה, בדומה לשנה שעברה, תיערך תחרות בחנוכה בנושא פתרון תרגילים הקשורים לצורות ז'ורדן?

== ערכים עצמיים ==

האם זה אפשרי שיהיו לי 5 ע"ע שונים (ממשיים) למטריצה ממשית של 4 על 4?

*(לא מתרגל) לא, כי אז הפולינום האופייני הוא ממעלה 5 (לפחות), מה שלא ייתכן.

== מערכי תרגול מעודכנים (תיכוניסטים) ==

אפשר בבקשה להעלות מערכי תרגול בנושאים שלמדנו בהרצאות/תרגולים האחרונים, שעוד לא עלו?

== איך מוכיחים שלמטריצות דומות יש אותו פולינום מינימלי? ==

אני לא הבנתי את ההוכחה שנתנו לנו בתרגול על זה..

*(לא מתרגל)
יהי פולינום f, נסמנו
<math>f(x)=a0+a1x1+...+akx^k</math>

לפי הנתון, קיימת P הפיכה כך שמתקיים <math>P^{-1}AP=B</math>

לכן מתקיים:

<math>P^{-1}f(A)P=P^{-1}(a0I+...+akA^k)P=a0I+a1P^{-1}AP+...+akP^{-1}A^kP=a0I+...+B^k</math>

כאשר נזכור כי לכל i מתקיים <math>B^i=P^{-1}A^iP</math>.

ולכן בסה"כ מתקיים <math>P^{-1}f(A)P=f(B)</math>.

היות והמטריצה P הפיכה, אפשר לאמר כי <math>f(A)=0</math> אם ורק אם <math>f(B)=0</math>, ובמילים - כל פולינום שמאפס את A מאפס גם את B וההיפך.

כעת נביט בפולינום המינימלי של A, נסמנו mA. היות והוא מאפס, הוא יאפס גם את B לפי מה שהוכחנו לעיל, ולכן <math>mA(B)=0</math>. כעת, לפי טענה שהוכחנו, הפולינום המינימלי של B מחלק כל פולינום שמאפס את B, ולכן מתקיים <math>mB(x)|mA(x)</math>.

באופן דומה, היות והפולינום המינימלי של B מאפס את B, הוא גם יאפס את A, ולכן <math>mB(A)=0</math>, ומכאן <math>mA(x)|mB(x)</math>.

בסה"כ שניהם מחלקים זה את ראהו, ושניהם מתוקנים, ולכן שווים.

:הבנתי תודה רבה :)

== שאלה לגבי מבנה הבוחן ==

הבוחן ב11.12 יהיה מורכב מהוכחת משפט או מיישום קבוצת משפטים על מטריצה?

== הפולינום המינימלי של מטריצת אלכסונית בלוקים. ==

מישהו יכול להביא לי את ההוכחה שהפולינום המינימלי של מטריצה אלכסונית בלוקים הוא ה lcm של הפולינומים המינימלים של הבלוקים?

== פתרונות לתרגילים (תיכוניסטים) ==

בבקשה תעלו את הפתרונות של התרגילי בית שנוכל לחזור עליהם לפני הבוחן ולבדוק את הטעויות שלנו.
דגש על הפתרון של תרגיל 5.
אודה לכם אם תעשו זאת עוד לפני שבת! תודה רבה!

== לא מצליח לג'רדן מטריצה ==

איך אמורים לג'רדן את המטריצה:

<math>A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

היא ניליפוטנטית מסדר 2, לכן צריך למצוא את <math>N(A)\cap C(A)</math>, ויצא לי ש <math>Ae_2</math> בסיס ל <math>C(A)</math>, ולכן החלק הראשון של המטריצה המג'רדנת היא
<math>Ae_2, e_2</math>. איך אני אמור להמשיך מפה?

תודה.

*(לא מתרגל) ראינו שצריך למצוא בסיס בצורת מסלול ל<math>N(A)\cap C(A^{ k-1 })</math>. לאחר מכן, להשלים אותו לבסיס עבור <math>N(A)\cap C(A^{ k-2 })</math> וכו' וכו'.
אם הגענו למצב שבו צריך להשלים לבסיס עבור <math>N(A)\cap C(A^{ k-k })=N(A)</math>, פירושו שיהיו בהצגה האלכסונית בלוקי ג'ורדן מהצורה <math>{ J }_{ 1 }(0)</math>, כי הוקטורים עצמם נמצאים <math>N(A)</math>. ואכן, אם תמצא את מרחב האפס תקבל כי הוא מורכב מe1 וכן מהוקטור <math>(0,-1,1)^{ t }</math>. הוקטור e1 כבר מופיע בבסיס הכללי ולכן נשמיט אותו.

לסיכום, הבסיס מתחיל במה שאמרת ומסתיים בוקטור <math>(0,-1,1)^{ t }</math>, וההצגה היא
<math>\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math>

תודה רבה, ועוד שאלה יש דרך לדעת איך תראה כבר המטריצה המג'ורדנת, רק מהתבוננות בפולינום המינימלי והאופייני?

(לא מתרגל / מרצה) אי אפשר ממש לדעת איך בדיוק זה ייראה, אבל אפשר לקבל כיוון לפי החוקים הבאים:
1. הריבוי הגאומטרי של ערך עצמי (של מטריצה A) הוא מספר הבלוקים המתאימים לערך העצמי הזה בצורת ז'ורדן של A.
2. החזקה של הגורם בפולינום המינימלי של A היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים ל- בצורת ז'ורדן של המטריצה.
3. הריבוי האלגברי של בפולינום האופייני הוא סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- בצורת ז'ורדן.
מקווה שעזרתי --[[משתמש:גיא|גיא]] 12:28, 8 בדצמבר 2012 (IST)

מישהו יודע להסביר למה האלגוריתם לז'רדון נילפוטנטי נכון ?

*(לא מתרגל) זה נובע בעיקר מההוכחה של משפט ג'ורדן הנילפוטנטי בקובץ של ד"ר צבאן, וההסבר המלא מתחיל אחרי סעיף 5, עד לסוף של סעיף 5.6. [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/LAT73/JordanAll.pdf]

הרעיון הכללי והבסיסי הוא שאופרטור מוצג לפי בסיס כבלוק ג'ורדן <=> הבסיס הוא מסלול. לכן המטרה היא למצוא בסיס שמורכב ממסלולים. לרוב מסלול אחד לא עושה את העבודה, ויש צורך בכמה מסלולים שייצרו בלוקי ג'ורדן נפרדים. כדי למצוא את הבסיס שמורכב ממסלולים זרים, פועלים לפי האלגוריתם, ובהוכחת טענה 5.6 אפשר להבין למה זה באמת בסיס (בת"ל ופורש). לאחר שהבנו שזה אכן בסיס, ברור לפי הטענה לעיל (אופרטור מוצג לפי בסיס כבלוק ג'ורדן <=> הבסיס הוא מסלול) שנקבל בעצם הצגה בצורה של ג'ורדן - על האלכסון יש בלוקי ג'ורדן, כי כל פעם ההעתקה מוצגת לפי מסלול (לכן גם חשוב הסדר בתוך המסלולים בבסיס, אחרת לא היינו מקבלים צורת ג'ורדן).

== איך אפשר לדעת איך תראה המטריצה המז'ורדנת? ==

אחרי שחישבתי את הבסיס המז'רדן ושמתי אותו בעמודות מטריצה P, איך אני יכול לראות איך תראה המטריצה המז'ורדנת, מבלי למצוא את P^-1 ולהכפיל בינהם?

(לא מתרגל / מרצה) אם כבר מצאת את P, למה כבר לא להכפיל את הכל ולגמור את הסיפור? בכל מקרה, הנה כמה כללים:

1. הריבוי הגאומטרי של ערך עצמי (של מטריצה A) הוא מספר הבלוקים המתאימים לערך העצמי הזה בצורת ז'ורדן של A.

2. החזקה של הגורם בפולינום המינימלי של A היא כגודל הבלוק הגדול ביותר המתאים ל- בצורת ז'ורדן של המטריצה.

3. הריבוי האלגברי של בפולינום האופייני הוא סכום הגדלים של הבלוקים המתאימים ל- בצורת ז'ורדן.

בהצלחה בשלישי :) --[[משתמש:גיא|גיא]] 17:06, 9 בדצמבר 2012 (IST)

אבל אם יתנו לנו מטריצה 4x4 שזה יהיה סיפור להפוך אותה. אין אפשרות במהלך הז'ירדון כבר לראות איך המטריצה המז'ורדנת תיראה, מבלי ממש לבדוק (לבדוק את P^-1AP)?

(לא מתרגל / מרצה) אם יבקשו ממך לז'רדן את המטריצה אז תהיה חייב לבצע את כל התהליך, כולל ההפיכה --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:36, 9 בדצמבר 2012 (IST)

אה אוקי... טוב תודה :)

== שאלה לגבי שאלה5 תרגיל 6 ==

מה הכוונה בשאלה 5 כשכתוב "להוכיח את משפט ג'ורדן עבור מטריצות ממשפט ג'ורדן"? לכתוב הוכחה גם עבור מטריצה נילפוטנטית וגם למטריצה כללית (עם ע"ע שונים מ0) ?

*(לא מתרגל) מה שצריך לעשות זה להוכיח את המשפט:
לכל מטריצה ריבועית A כך שהפ"א שלה מל"ל, A דומה למטריצה בצורת ג'ורדן.
לפי התרגיל, צריך לעשות זאת בעזרת משפט ג'ורדן עבור אופרטורים. במילים אחרות - לצאת מנקודת הנחה שהמשפט נכון לאופרטורים, להוכיח בעזרת זה את המשפט עבור מטריצות.

מה זאת אומרת? אפשר פשוט לשים את הבסיס המז'רדן בתור עמודות מטריצה ולהגיד שזה המטריצה המז'רדנת? זה מה שהם רצו שנעשה?

*מי אמר? אם את/ה חושב/ת שזה נכון, מוזמנ/ת להוכיח.

נסתכל על A כשהעתקה לינארית, לפי ההנחה יש לה בסיס מז'רדן (נניח B), נשים את וקטורי B בעמודות מטריצה P, ולפי ההגדרה של דמיון מטריצות (שזה בעצם מעבר בין בסיסים) מקבלים ש A דומה למטריצה עם בלוקי ג'ורדן

*"כשהעתקה הלינארית..." - איזו העתקה לינארית?

"כהעתקה לינארית", בלי ש' טעות שלי P:

== תרגיל 7 שאלה 1 ==

בשאלה 1 נראה לי שמצאתי הפרכה: יהי <math><w,v>=0 \Leftarrow v=0</math> וזה מתקיים לדוגמא ל- <math>w=(1,1,1,1,1,...,1)\neq 0</math>

*(לא מתרגל) נתון כי הדבר נכון '''לכל''' v בV, לא רק לv יחיד שבחרת.

(לא מתרגל)צריך להוכיח בשאלה שלכל V מתקיים w,v>=0> גורר W=0
ולכן הפרכה של הטענה הזאת היא: שקיים V עבורו w,v>=0> לא גורר W=0.
ולכן הוא הפריך את הטענה הזאת - יש טעות בשאלה הגרירה נכונה רק לכיוון אחד... (וגם אם זה נכון אז כל וקטור מאונך רק ל0...)

*(לא מתרגל) לא נכון, זו לוגיקה בסיסית - ההפרכה היא: אם w שונה מאפס בכל מקרה לכל v בV מתקיים 0=<w,v>. ואת זה אי אפשר להפריך, מוזמנים לנסות.

הטענה שציינת, האומרת שכל וקטור מאונך רק לאפס - שגויה. מדובר פה בווקטור שמאונך '''לכל הווקטורים במרחב''', וכזה הוא רק וקטור האפס. לא תמצא עוד אחד כזה, ואם אני אגיד למה אז אני למעשה פותר את השאלה.

(לא מתרגל / מרצה) הכוונה היא שהתנאי הימני הוא לכל <math>v\in V</math>, מתקיים <math><w,v>=0</math> --[[משתמש:גיא|גיא]] 15:57, 21 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 7 שאלה 3 ==

בשאלה 3 לדעתי חסר נתונים לסעיף א' לפחות, כי בהוכחת האי-שליליות, <math><f,f><0</math> אם מקדמי הפולינום <math>f(x)</math> הם שליליים, או אם <math>a>b</math> וכן הלאה.. כלומר לדעתי צריך להוסיף שם כמה תנאים כדי שההוכחה תהיה נכונה..
לא

== תרגיל 7 שאלה 3 (תיכוניסטים) ==

באי שליליות, איך אני מוכיח שהאינטגרל המסוים הזה תמיד חיובי (או שווה לאפס...)?

מצטרף לשאלה.

כנ"ל P:

== תיכוניסטים תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם אני בוחר b=1 a=0
ו f=x^3-x אז המכפלה הפנימית של f עם עצמו היא0 והוא שונה מ-0

(לא מתרגל / מרצה) לא נכון, כי <math>\left \langle x^3-x,x^3-x \right \rangle = \int_0^1(x^3-x)^2 dx=\int_0^1 (x^6-2x^4+x^2)dx=\left [ \frac{1}{7}x^7-\frac{2}{5}x^5+\frac{1}{3}x^3 \right]_0^1=\frac{1}{7}-\frac{2}{5}+\frac{1}{3}=\frac{8}{105}\neq 0</math> --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:40, 21 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 7 שאלה 3 ==

מה ההגדרה המדויקת של צמוד של פולינום?

(לא מתרגל / מרצה) הצמוד של פולינום מתקבל מהצמדת כל המקדמים שלו (ללא שום קשר למשתנה). למשל, הצמוד של הפולינום <math>\ f(z) = z^2+(2+i)z + 3i</math> הוא <math>\ \bar{f}(z) = z^2 + (2-i)z - 3i</math>. --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:55, 21 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 7 שאלה 4 ==

יכול להיות שלא הבנתי את התרגיל נכון אבל נראה לי שמצאתי לו הפרכה..
מעל <math>\mathbb{R}</math>, הבסיס הוא <math>{(1,0),(0,1)}</math> ו-<math>c1=0 , c2=1</math> וקל לראות שמתקיים <math><(0,2),v1>=c1=0</math> וגם <math><(0,3),v1>=c1=0</math>

(לא מתרגל / מרצה) אבל עם הוקטור השני זה שונה מ-1 --[[משתמש:גיא|גיא]] 20:19, 21 בדצמבר 2012 (IST)

^^מה?

(לא מתרגל / מרצה) שים לב שאתה צריך לכל איבר בבסיס שהמכפלה הפנימית תהיה הסקלר שבחרת. עבור <math>v_2</math> לא שניהם יתנו את 1 (התוצאה תלויה במכפלה הפנימית) --[[משתמש:גיא|גיא]] 14:25, 22 בדצמבר 2012 (IST)

רגע כשהם אומרים למצוא w כזה,הם מתכוונים שקיים w יחיד שמקיים את זה, או שלכל i צריך למצוא wi כזה, ולהוכיח שעבור ה i הספציפי הזה, קיים רק wi יחיד כזה?

(לא מתרגל / מרצה) למצוא <math>w</math> כך שלכל <math>i</math> יתקיים <math>\langle w,v_i\rangle = c_i</math>, ולא עבור כל <math>i</math> בנפרד --[[משתמש:גיא|גיא]] 15:15, 22 בדצמבר 2012 (IST)

אהההה אוקי.

== תרגיל 7 שאלה 3 ==

אם בוחרים <math>f(x)=1/x</math>, ובוחרים <math>a=1, b=2</math> מקבלים <math>F(x)=-(1/2)/x^2</math>, <math>F(a)=F(1)=-(1/2)/1^2=-(1/2), F(b)=F(2)=-(1/2)/2^2=-(1/8)</math>, <math>\Leftarrow </math> <math><f,f>=\int_{a}^{b}(f(x))^2dx=(F(b))^2-(F(a))^2=(-(1/8))^2-(-(1/2))^2<0</math>, וזו סתירה לאי-שליליות

(לא מתרגל / מרצה) לא נכון. אם ניקח <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> אזי <math>(f(x))^2=\frac{1}{x^2}</math>, ואז <math>\int (f(x))^2 dx=\int \frac{1}{x^2} dx=\int x^{-2} dx=\frac{1}{-2+1}\cdot x^{-2+1}=-\frac{1}{x}=F(x)</math>, ואז <math>\int^2_1 (f(x))^2 dx=F(2)-F(1)=-\frac{1}{2}-(-\frac{1}{1})=0.5>0</math> כדרוש. מעבר לכך - הוא לא פולינום --[[משתמש:גיא|גיא]] 15:14, 22 בדצמבר 2012 (IST)

== לימודים ביום ראשון ==

משהו יודע אם יש לימודים ביום ראשון הקרוב כי אמרו לנו שאין בגלל צום אבל מלי לא שלחה שום הודעה.
יכול להיות שאין הרצאות אבל יש תירגול ?

(לא מתרגל / מרצה) אין לימודים. קרא [http://www1.biu.ac.il/index.php?id=9563&pt=1&pid=839&level=4&cPath=9563 כאן] --[[משתמש:גיא|גיא]] 17:17, 22 בדצמבר 2012 (IST)

== מטריצת גראם ==

מטריצת גראם בהכרח הפיכה?

(לא מתרגל / מרצה) מטריצת גראם הפיכה אם ורק אם קבוצת הוקטורים שלפיה היא בנויה (לדוגמה בסיס של המרחב הוקטורי) הוא בת"ל. --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:41, 22 בדצמבר 2012 (IST)

אפשר להשתמש במשפט הזה בשעורי בית?

???

== בשאלה 6 תרגיל 7 תיכוניסטים ==

בסעיף ב' הם אומרים "אורתוגונליים זה לזה". תחת איזו מכפלה פנימית הם אמורים להיות אורתוגונליים? יש הרבה מכפלות פנימית..

(לא מתרגל / מרצה) אני חושב שזה לא משנה, כיוון שאם וקטורים אורתוגונליים המכפלה הפנימית שלהם תהיה 0 לכל מכפלה פנימית. אבל עדיף לחכות לתשובה של מתרגל או לנסות להוכיח את זה לבד --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:39, 22 בדצמבר 2012 (IST)

מה שאמרת לא נכון אורתוגונליות תלויה בהגדרת מכפלה פנימית.

(לא מתרגל / מרצה) צודק --[[משתמש:גיא|גיא]] 16:51, 24 בדצמבר 2012 (IST)

אז רגע מספיק צריך להוכיח שזה נכון למכפלה הפנימית הסטנדרטית וזהו?

== תרגיל 7 בשאלה 5 ==

בשאלה הם רוצים שתחילה נוכיח שזה אכן מכפלה פנימית על R[X[, ואז למצוא את מטריצת גראם ביחס לבסיס הנתון?

(לא מתרגל / מרצה) כן. --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:38, 22 בדצמבר 2012 (IST)

אוקי תודה :)

== שאלה 5 ==

מישהו יכול להביא לי דוגמא למכפלה שבשאלה? אני פשוט לא הבנתי מה המכפלה עושה..

(לא מתרגל / מרצה) לדוגמה, <math>\langle x+1, -2x\rangle = \frac{1\cdot (-2)}{1+1+1}+\frac{1\cdot (-2)}{0+1+1}=-\frac{2}{3}-\frac{2}{2}=-1\frac{2}{3}</math>. --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:31, 23 בדצמבר 2012 (IST)

אז זה בעצם עבור i = 1 עושים את כל ה j-ים, ואז עבור i = 2 עושים עוד פעם את כל ה j-ים, וכך הלאה?

(לא מתרגל / מרצה) אם הבנתי אותך נכון אז כן --[[משתמש:גיא|גיא]] 20:51, 24 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 7 שאלה 4 תיכוניסטים ==

האם הכוונה שלכל i מתקיים <w,vi>=ci או שרק לi יחיד?

לכל i

== תרגיל 7 שאלה 3 ==

האם מותר להשתמש בכך שאינטגרל מסוים זה בעצם שטח למרות שלא הוכחנו את זה?
:לא --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== בתרגיל 8 ==

יש שאלה 5?
:כן, עכשיו חזרתי הבייתה והשלמתי את כתיבת התרגיל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תיכוניסטים תרגיל 8 שאלה 4 ==

אני חושב שיש טעות והכוונה לא לגדול אלא לקטן שווה.
אם ניקח את הנורמה הסטנדרטית מעל R^2 ואת W בתור ציר ה-x אז הוקטור v פחות
ההיטל שלו זה וקטור על ציר ה-y עד לגובה של v (שיעור ה-y שלו) וכל וקטור אחר שניקח ב-W
ייתן וקטור עם אותו y אבל יהיה גם ערך ל-x ולכן הוא יהיה ארוך יותר.
השיוויון הוא רק במצב שהוקטור w הוא ההיטל של v

כן אמור להיות רשום קטן שווה לא גדול......................

מתחת איזה נורמה צריך להתייחס בתרגיל? כל הנורמות או הנורמה המושרת?

== שאלה 5 תרגיל 8 ==

למצוא את U ניצב אומר למצוא לו בסיס או רק לאפיין את התכונות של כל האיברים במרחב?

*(לא מתרגל) אני מאמין שאפשר רק לאפיין, זו גם דרך להציג תתי מרחבים.

== מטריצת גראם של בסיס אורתונורמלי ==

למה מטריצת הגראם של בסיס אורתונורמלי היא מטריצת היחידה?

*(לא מתרגל) כי בבסיס אורתונורמלי מתקיים:
אם i=j אז 1=<vi,vj>. אחרת אם הם שונים אז המכפלה היא 0.
כלומר על האלכסון של מטריצת גרם יש אחדות, על שאר המקומות אפס, וזו בדיוק I.

למה אם i=j אז 1=<vi,vj>?

*כי הבסיס אורתונורמלי, לכן <vi,vi> הוא למעשה 2^||vi||, והנורמה של vi היא אחת (הוא איבר של בסיס א"נ ולכן נורמלי), לכן המ"פ של vi עם עצמו היא 1.

כן אבל זה נכון רק לנורמה המושרת... לשאר הנורמות זה לא חייב להתקיים

בואנה תקשיב לי ותקשיב לי טוב יא לבן אחד. פעם הבאה שאתה פה אני אונס אותך --[[משתמש:מתן מוסקוביץ|הכושי]] 09:58, 1 בינואר 2013 (IST)

== אפשר להגיד דבר כזה? ==

אם יש מרחב וקטורי <math>V</math> והבסיס שלו הוא <math>\{v_1,...,v_n\}</math>. ונתון <math>W\subseteq V</math> תת מרחב ממימד k.
אפשר להגיד (בלי הגבלת הכלליות) ש <math>\{v_1,...,v_k\}</math> בסיס ל <math>W</math>?

זה בעצם כמו "צמצום בסיס"

לא

למה לא? היא הרי בת"ל ומספר האיברים בה הוא k

:הטענה מאד '''לא''' נכונה. בבקשה דוגמא: <math>V=span\{(1,0),(0,1)\}</math>, <math>W=span\{(1,1)\}</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 8 שאלה 3 ג' ==

מה התחום של האופרטור? <math>V</math> או <math>W</math>?

:V --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 8 שאלה 2 ==

אפשר לתת איזשהו רמז לשאלה ? אני יושב עליה די הרבה זמן... (רמז אחר חוץ מהרמז הנתון של הערכים העצמיים). תודה:)

אתה יושב במקום הלא נכון

סטהגדיש

:בתרגילים קודמים אמרנו מה צריך לקיים ע"ע של מטריצה אונטרית, ובנוסף אנחנו יודעים על קשר בין הדטרמיננטה והעקבה לבין הע"ע. ביחד מנסים את האפשרויות השונות --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אני יודע מה הקשר בין עקבה לע״ע ומה צריך לקיים ע״ע של מטריצה אוניטרית אבל מה הקשר בין הדטרמיננטה לעקבה ?

:דטרמיננטה היא מכפלת הע"ע --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

שמעת

== תרגיל 8 שאלה 6 ==

האם ניתן להשתמש במשפט(מסקנה) שהוכחנו בהרצאה שלכל מרחב יש בסיס אורתונורמלי ולהציג את ההטלה לפי בסיס זה?
:כן.יותר מזה, יש להשתמש במשפט שאפשר להרחיב כל בסיס א"נ לתת מרחב לבסיס א"נ למרחב כולו --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

תודה ארז , ניתן להוכיח גם ללא המשפט השני

אפשר רמז לאיך פותרים את זה?

נניח u1,...uk בבסיס של U , שים לב שהםם נמצאים גם בV אז ניתן להציג כל אחד מהם כצירוף לינארי של איברי הבסיס הא"נ של V ,תחשב את ההטלה ואת המכפלה והנורמה
בשימוש בתכונות של מכפלה פנימית ובסיס אורתונורמלי. רמז לסוף: שים לבש כיוון שהבסיס שלU אורתונורמלי - הנורמה שלו שווה ל1 מצד אחד,צד שני תגיע כבר לבד

== תרגיל 9 שאלה 2 ==

אני חושב שיש טעות בניסוח של השאלה - אם נבצע תהליך גראם שמידט לא בהכרח נקבל בסיס א"נ, אלא רק א"ג.

(לא מתרגל / מרצה) חלק מתהליך גראם-שמידט הוא נרמול הוקטורים המתקבלים, ולכן נקבל בסיס אורתונורמלי --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:20, 4 בינואר 2013 (IST)

*תהליך גראם שמידט מביא בסוף בסיס אורתוגונלי, ואז אפשר לנרמל (ללא קשר לתהליך) ולקבל בסיס א"נ.

== תרגיל 9 שאלה 3 ==

מה זאת אומרת ש <math>R(A)\perp C(A)</math>

אני חושב שזה אומר שהמרחבים מאונכים.

הגדרנו בכלל מה זה מרחבים מאונכים?

(לא מתרגל / מרצה) אכן הגדרנו מהם מרחבים מאונכים. יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>, ויהיו <math>U,W\subseteq V</math> שני תתי-מרחבים. אזי נקרא להם מאונכים אם לכל <math>u\in U</math> ולכל <math>w\in W</math> יתקיים <math>\langle u,w \rangle =0</math>. --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:24, 4 בינואר 2013 (IST)

לפי איך שניסחת את ההגדרה יוצא שהתרגיל לא אפשרי, כי לפי משפט פירוק הניצב יוצא שהדרגה של A הוא 1.5..

(לא מתרגל / מרצה) תיקנתי --[[משתמש:גיא|גיא]] 11:12, 5 בינואר 2013 (IST)

סבבה ועוד משהו, יצאו לי שתי אפשרויות לצורת ג'ורדן של A. זה אמור להיות ככה או שיש רק צורה אחת אפשרית?

(לא מתרגל / מרצה) יכולות להיות שתי צורות ז'ורדן, אך יש לבדוק שהן מקיימות את כל התנאים --[[משתמש:גיא|גיא]] 13:56, 5 בינואר 2013 (IST)

== תרגיל 9 שאלה 1 ==

האם בתרגיל הכוונה להרכבת הפולינומים(באינטגרל)?

*(לא מתרגל) הכוונה היא לכפל של הפולינומים, הוכחנו שזו אכן מכפלה פנימית באחד התרגילים האחרונים.

== תרגיל 9 שאלה 1 ב' ==

הכוונה שב W יש רק 2 וקטורים, או ש <math>\{1,1+x+x^2\}</math> מסמל את הבסיס של W?

*(לא מתרגל) זו שאלה טובה, כי מצד אחד W מסמל תת מרחב ברוב המקרים, אך לפי הכתיבה זו קבוצה. בכל מקרה, הדבר לא משנה לתרגיל.

(לא מתרגל / מרצה) אכן לפי הכתיבה זו קבוצה, אבל זה לא משנה. ראשית, הוכחנו כי <math>S^\perp = \left ( Span S \right ) ^\perp</math>, ובנוסף הגדרת המרחב הניצב הייתה על קבוצה כלשהי, ולא בהכרח בסיס או מרחב וקטורי. --[[משתמש:גיא|גיא]] 11:15, 5 בינואר 2013 (IST)

== אפשר להעלות את התרגיל מאוחר יותר? ==

רצוי ביום של ההגשה שלו

== נכונות אלגוריתם גראם-שמידט ==

למה אכן אחרי סיום האלגוריתם מקבלים קבוצה בת"ל?

זה משפט שהוכחנו בהרצאה: הקבוצה אחרי תהליך גראם שמידט נשארת בסיס.

== תרגיל 9 שאלה 1 תיכוניסטים ==

בשאלה 1 סעיף ב', אני יכול פשוט למצא בסיס כך ש W איחוד עם הבסיס שמצאתי זה כל V?

B פורש כבר את כל V..תגובה: התכוונתי W, לא Bת גם רשמתי סעיף ב'

אמממ כן.. בהנחה שהבסיס שאתה מוצא הוא בסיס ל <math>W^\perp</math>

(לא מתרגל / מרצה) הבסיס שתקבל לא בהכרח יהיה בסיס עבור <math>W^\perp</math>, לדוגמה אם <math>V=\mathbb{R}^2</math>, <math>W=\left \{ (1,0) \right \}</math> וההשלמה תהיה <math>\left \{ (1,0) ,(1,1) \right \}</math> (עבור המכפלה הסטנדרטית). לכן וודא שהוא אכן כזה --[[משתמש:גיא|גיא]] 13:10, 7 בינואר 2013 (IST)

== תרגיל 9 שאלה 3 ==

*נתון <math>C(A)</math> ניצב ל-<math>R(A)</math> ולפי זה לכל מ"פ ולכל <math>v\in R(A), u\in C(A)</math> מתקיים <math><u,v>=0</math> אבל עבור מ"פ פנימית סטנדרטית נקבל <math><u,v>=u^t\overline{v}=0</math>, אבל כפל כזה לא מוגדר אז אני לא מבין איך זה הגיוני..

למה לא מוגדר? פשוט מכפילים כל רכיב בu כפול הצמוד של הרכיב המתאים בv.

(לא מתרגל / מרצה) כנראה הכוונה היא ששני הוקטורים הם וקטורי עמודה --[[משתמש:גיא|גיא]] 21:47, 5 בינואר 2013 (IST)

לזה התכוונתי.

== תרגיל 9 שאלה3 ==

עם איזה פרמטרים מותר להביע את צורת גורדון פשוט מצאתי שתי דוגמאות אפילו עם ע"ע שונים

(לא מתרגל) מה יצא לך? לי יצא שכל הע"ע הם 0

== מטריצות דומות ==

האם למטריצות דומות אותם מרחבי שורה ועמודה?

*(לא מתרגל) לאו דווקא, אפשר אפילו להסתכל על דוגמא פשוטה: הוכחנו בעבר כי A דומה לA משוחלפת. כלומר מספיק ותיקח/י מטריצה שמרחב השורות שלה שונה ממרחב העמודות שלה.

== הבחנים ==

מה התאריכים של הבחנים, ומה החומר שהם יכסו? תודה

== תרגיל 10 שאלה 3 ==

אפשר רמז ?

(לא מתרגל / מרצה) רמז - היעזרו בשוויון שהוכחנו בתרגול לגבי חישוב העתקה צמודה --[[משתמש:גיא|גיא]] 14:15, 12 בינואר 2013 (IST)

== ה "מידע אישי" ==

כתוב באתר שאם לא קיבלתי את המייל על הסקר לבדוק דרך ה "מידע אישי".. איפה זה נמצא?

(לא מתרגל / מרצה) [http://attentive.topsaas.net/BarIlan_surveys/IdentBarIlan.htm כאן] --[[משתמש:גיא|גיא]] 20:07, 12 בינואר 2013 (IST)

ואיך נכנסים ל "מידע אישי"? אמרו שיש שם הודעות חשובות ששולחים

== תרגיל 10 שאלה 4 ==

מה זה בעצם V? המספרים המרוכבים?

(לא מרצה/מתרגל) כן.

== שאלה 5 ==

מעל איזה שדה V? כי זה לא נראה לי נכון אם V מעל C..

(לא מתרגל / מרצה) גם מעל <math>\mathbb{C}</math> הטענה נכונה --[[משתמש:גיא|גיא]] 15:08, 12 בינואר 2013 (IST)

== תרגיל 10 שאלה 3 ==

יכול להיות שיש טעות בנתון של שאלה שלוש ? אני חושב שאולי זה צריך להיות לכל <math>u</math> ו- <math>v</math> ב- <math>V</math> ... אנא בדקו אם זה טעות או לא.

התרגיל פתיר.

(לא מתרגל / מרצה) ניתן לפתור את התרגיל. רמז - היעזרו בשוויון שהוכחנו בתרגול לגבי חישוב העתקה צמודה --[[משתמש:גיא|גיא]] 14:15, 12 בינואר 2013 (IST)

== תרגיל 10 שאלה 3 ==

אפשר אולי עזרה בתרגיל ? רמז או משהו ? והאם המכפלה הפנימית הנתונה היא מכפלה פנימית כלשהי או המכפלה הפנימית הסטנדרטית ? (או אחרת..)

(לא מתרגל / מרצה) אתה לא יכול להגיד מכפלה פנימית סטנדרטית על מרחב כללי. רמז - היעזרו בשוויון שהוכחנו בתרגול לגבי חישוב העתקה צמודה --[[משתמש:גיא|גיא]] 14:14, 12 בינואר 2013 (IST)

== מה זה מטריצה קבועה? ==

? תודה

לא משתנה עבור מטריצות A שונות

== שאלה 3 ==

לא נראה לי שהבנתי את השאלה הרי אם ניקח את v להיות R^2 ואת המ"פ הסטנדרטית המכפלה היא תמיד שולחת ל R אבל לא כל העתקה שנבחר מR ל R היא אוניטרית(למשל (T(x,y)=(0,x )

נו ברור.. רוצים להוכיח שהיא צמודה לעצמה, לא אוניטרית.

== בקשר להעתקה אוניטרית ==

בשאלה 3 בתרגיל 10

נתון לנו T=MA

האם להראות שMA אוניטרי זה כמו להראות שהעתקה T אוניטרית?

תודה

*(לא מתרגל) אם את/ה חושב/ת שכן, צריך להוכיח שזה אכן נכון.

בצורה כללית, צריך להוכיח שהאופרטור עם כוכבית מורכב על האופרטור הרגיל הוא אופרטור הזהות(או ההפך), זו ההגדרה. אם מצאת משהו שקול להגדרה, צריך להראות שהוא שקול ולהוכיח אותו.

== יש לימודים מחר? ==

כי אתם יודעים.. יש בגרות מחר..

מצטרף לשאלה !

== יש לימודים מחר ? ??? תשובה בדחיפות בבקשה. ==

יש מחר הרצאות ותירגולים ? כי יש מחר בגרות באנגלית. אנא תשובה בהקדם ! תודה מראש.

*לא אמרו שלא, סביר להניח שכן. מציע לשלוח מייל למזכירות כדי לוודא.

ראו בדף הבית של הקורס, תחת "הודעות", מידע רלוונטי.

== תרגיל 11 כמה שאלות ==

ב 1.ב מה זה הסימן הזה עיגול עם חץ שעובר דרכו?

ב 4, לא הבנתי מה כתוב בסוגריים

*(לא מתרגל)1.ב זהו פשוט סקלר כלשהו, זוהי האות היוונית פי.

4. כתוב להציג את T כאלכסונית וזה אמור לעזור למצוא את f.

אז ב 1 ב צריך לחשב את ההרכבה של העתקות?
וב 1 א' לא הבנתי מה כתוב אחרי שמגדירים את U..

*(לא מתרגל) כן, צריך לחשב הרכבה של העתקות.

ב1.א' מה שכתוב הוא למעשה תרגום של ההוראה הראשונה, פשוט בשפה קצת יותר יפה ו"מוחשית". המטריצה מהסוג הראשון היא מסוג סיבוב, והשני היא פשוט הרכבה של שיקוף (ביחס לציר x) על סיבוב.

סבבה תודה

== הגשת תרגיל 11 ==

מתי אמורים להגיש את התרגיל?

בתרגול הבא

*איכשהו זה יוצא נכון באופן ריק, כי אין תרגול הבא.

== הוכחת משפטים במבחן (תיכוניסטים) ==

איזה משפטים אני צריך לדעת איך להוכיח בשביל המבחן? את כולם, או שיש רשימה מסוימת?

(לא מתרגל / מרצה) באופן עקרוני (לפי צבאן) כולם מלבד המשפטים שלמדנו לבוחן חנוכה (חוברת ז'ורדן עד 5.6). פירוט יותר רחב בעמוד של הקורס - צבאן כתב --[[משתמש:גיא|גיא]] 14:50, 25 בינואר 2013 (IST)

== משפטים למבחן ==

צריך לדעת הוכחות למשפטים מלינארית 1?

== משפט ז'ורדן במבחן ==

מה זאת אומרת שצריך לדעת "תיאור הצעדים העיקריים בהוכחת משפט ז'ורדן" לדעת איך להשתמש בכל הטענות כדי להוכיח את המשפט או לדעת להוכיח את הטענות המרכזיות?

== פתרונות לתרגילי בית ==

אפשר לעלות פתרונות לתרגילי הבית?

== תרגילי בית ==

אפשר בבקשה בבקשה להעלות כבר פתרונות לשיעורי הבית..?

== מטריצות לתרגול ==

איפה אני יכול למצוא מטריצות ללכסון/שילוש/ז'ירדון/לכסון או שילוש אורתוגונלי?
ואיפה אני יכול למצוא תרגילים בנושא תהליך גראם-שמידט?
תודה

== מטריצות לתרגול ==

איפה אני יכול למצוא מטריצות ללכסון/שילוש/ז'ירדון/לכסון או שילוש אורתוגונלי?
ואיפה אני יכול למצוא תרגילים בנושא תהליך גראם-שמידט?
תודה

== שאלה ==

המטריצה iI נחשבת מטריצה סקלרית?

== שאלה כללית (תיכוניסטים) ==

מתי מותר לחשב את הפולינום האופייני כדטרמיננטה של A-xI במקום xI-A?

(לא מתרגל) תמיד, כי מה שאתה רוצה למצוא זה מתי הפולינום האופייני מתאפס, ההבדל היחיד בין שני החישובים הוא בעצם המינוס בחוץ.

שיחה:88-113 תשעג סמסטר א

2013-02-10T18:59:27Z

Yifath: /* תרגילי בית */ פסקה חדשה

שיחה:88-132 תשעג סמסטר א

2013-02-03T20:20:55Z

Yifath: /* איפה אפשר למצוא מבחנים של פרופסור אגרנובסקי? */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון =

*[[שיחה:88-132 תשעג סמסטר א/ארכיון 1|ארכיון שאלות ותשובות 1]]
*[[שיחה:88-132 תשעג סמסטר א/ארכיון 2|ארכיון שאלות ותשובות 2]]
=שאלות=

==הערה לגבי הצגת שאלות==

כשמתייחסים לשאלה משיעורי הבית אז בשורת הכותרת פרט למספר התרגיל ולמספר השאלה רצוי מאוד לומר על איזה קבוצה מדובר:מתמטיקאים,תיכוניסטים או מדמ"ח. אחרת, זה יכול לבלבל הן את הסטודנטים והן את המתרגלים.
 --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:27, 31 באוקטובר 2012 (IST)

== (מתמטיקאים) תרגיל 7 שאלה 5 ==

כדי להפריך התכנסות של טור מראים שהאיבר הכללי לא שואף לאפס.
השאלה שלי האם אפשר להפריד באיבר הכללי ולהראות פעם אחת על האיבר הכללי הזוגי (כאשר n זוגי) שהוא לא מתכנס לאפס ופעם שניה על האיבר הכללי האי זוגי שהוא לא מתכנס לאפס. האם די בכך כדי לטעון שהאיבר הכללי לא מתכנס לאפס?

היי,
'''מקווה שאני לא טועה ומטעה''', אבל לדעתי מספיק להוכיח על אחת מתתי הסדרות (זוגיים או אי זוגיים) שאינה שואפת לאפס, בכדי להוכיח שכל הסדרה שאינה שואפת לאפס.
הרי מתקיים: אם סדרה an שואפת ל-l אזי כל תת-סדרה ank שואפת ל-l. וזה בדיוק כמו: אם יש תת-סדרה ank שלא שואפת ל-l, אזי הסדרה an אינה שואפת ל-l.

אגב, יש עוד דרכים להפריך התכנסות של טור (להוכיח שסדרת הסכומים החלקיים לא מתכנסת לגבול סופי או להשתמש באחד מהמבחנים לטורים חיוביים- של קושי וחבריו). בהצלחה.

== אפשר בבקשה לפרסם את תרגיל 8 למתמטיקאים? ==

תודה!

== תרגיל מס' 8 שאלה 1 ==

לפי לייבניץ, אם an היא סדרה מונוטונית יורדת של מס' חיובים השואפת ל-0, אזי הטור מתכנס, האם נכון גם לגבי תתי-סדרות, זוגיים ואי-זוגיים? האם ניתן להראות מונוטיות יורדת עבור שני איברים זוגיים ולאחר מכן, עבור שני איברים א"ז?
תודה.

(לא מתרגל / מרצה) זה אכן אפשרי, אך זה לא אומר כלום על מונוטוניות הסדרה כולה, שכן יכול להיות שגם הזוגיים וגם האי זוגיים מונוטוניים עולים, אבל לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים <math>a_{2n}>a_{2n+1}</math>, ואז אין מונוטוניות של הסדרה כולה --[[משתמש:גיא|גיא]] 17:40, 23 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 8 שאלה 5 ==

חסר במקרה נתון של מונוטוניות??.. כי לא ברור איך לפתור.. או שצריך לחלק למיקרים אם Bn מונוטונית ואם לא..

(לא מתרגל / מרצה) לא חסר שום נתון. באיזה כיוון את/ה מתקשה להוכיח? --[[משתמש:גיא|גיא]] 06:47, 26 בדצמבר 2012 (IST)

בשני הכיוונים למען האמת, נניח בכיוון הישר הטור An מתכנס בהחלט אז מה זה נותן לי??.. שהסידרה שואפת לאפס אבל לא נתון מונוטונית אז אי אפשר לפי דריכלה כי גם לא נתור '''שהטור''' Bn חסום, אבל גם אי אפשר abel כי מי אמר שBn מונוטונית יכולה להיות חסומה ולא מונוטונית... וגם לפי לייבניץ אני לא רואה כיוון כי לא נתון ש An מונוטונית בכלל.. בקיצור איך מתקדמים??..
::בכיוון שציינת שווה לנסות להוכיח יותר, עד כמה שזה נשמע מוזר, שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty a_nb_n</math> מתכנס אפילו בהחלט לכל סדרה חסומה. אפשר בהקשר זה לחשוב על מבחני התכנסות נוספים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 10:45, 26 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 8 ==

אם נתונה סדרה חסומה אזי בהכרח הטור של הסדרה חסום???.. ולהיפך?.. אם טור חסום אזי הסדרה חסומה??..

(לא מתרגל / מרצה) בוודאי שלא. לדוגמה ניקח את הטור ההרמוני <math>\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math> - הסדרה <math>\frac{1}{n}</math> חסומה ע"י 1, אבל טורה מתבדר ולכן אינו חסום. לגבי הכיוון השני, אני חושב שגם לו ניתן למצוא הפרכה אבל אני לא בטוח סופית --[[משתמש:גיא|גיא]] 06:45, 26 בדצמבר 2012 (IST)
::הכיוון השני כן נכון. כי אם קיים <math>M>0</math> כך ש<math> \forall n \in \mathbb{N} \ M\geq |S_n|</math>
אז<math> \forall n \in \mathbb{N} \ |a_{n+1}|=|S_{n+1}-S_n|\leq |S_{n+1}|+|S_n|\leq 2M</math>. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 10:56, 26 בדצמבר 2012 (IST)

== זהויות טריגונומטריות ==

תוכלו בבקשה להעלות קובץ עם הזהויות הטריגונומטריות החיוניות עבורנו?
יש בעמוד הראשי קישור לויקיפדיה, אבל יש שם המון זהויות...

תודה
::אני לא יודע בשלב זה לספק רשימת זהויות חיוניות. אני מניח שכל הזהויות שניתקלים בהן בהרצאה, תרגול/ש"ב הן הזהויות ההכרחיות. דברים שכן חשובים ואני יכול להצביע עליהם אלו הזהויות של קוסינוס וסינוס זווית כפולה וגם מעבר ממכפלה לסכום (יש טבלה כזו בקישור שציינת). --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:51, 26 בדצמבר 2012 (IST)

== שלילת התכנסות טור ==

האם על סמך התנאי an+1/an>1 ניתן להסיק ש lim an שונה מ-0 ? ובכך לקבוע ישירות התבדרות הטור.

*(לא מתרגל) כן, כי אם כך (החל ממקום מסוים) איברי הסדרה עולים ממש, וכן חיוביים ולכן לא שואפים ל-0 בטוח. לכן לפי הטענה:

אם הטור מתכנס אז הסדרה שואפת לאפס.

אפשר להסיק שהטור מתבדר.
::נכון. תובנה יפה. בהמשך לכך שימו לב שאם התנאי <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}>1</math> מתקיים נניח החל מ<math>n_0</math> אז אם
<math>a_{n_0}</math> שלילי אז התנאי דווקא יגרום לכך שהסדרה מונוטונית יורדת מאותו מקום,וגם אז הגבול לא יכול להיות אפס. כי אם תהיה התכנסות הגבול יהיה קטן או שווה ל<math>a_{n_0}</math> שהוא שלילי. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:02, 26 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלת בונוס (מתמטיקאים) ==

נתון בשאלה שמתקיים: <math>\lim_{n\to \infty} (a_{n+1}-a_{n})=0</math>
כלומר, לכל <math>\varepsilon> 0 </math> קיים <math>n_{0}</math> שהחל ממנו <math>\left |a_{n+1}-a_{n} \right |< \varepsilon</math>

ניסיתי להשתמש בקושי ולטעון:
<math>\left | a_{n+p}-a_{n} \right |=\left | a_{n+p}-a_{n+p-1}+a_{n+p-1}-a_{n+p-2}+...+a_{n+1}-a_{n} \right |\leq \left | a_{n+p}-a_{n+p-1} \right |+\left | {n+p-1}-a_{n+p-2} \right |+...+\left | a_{n+1}-a_{n} \right |
</math>

ולכל <math>n\geq n_{0}</math> מתקיים:

<math>\left | a_{n+p}-a_{n} \right |< \varepsilon +\varepsilon +...+\varepsilon =p\cdot \varepsilon </math>

נבחר <math>\varepsilon=\frac{\varepsilon _{0}}{p} \Rightarrow \varepsilon \cdot p=\varepsilon _{0}
</math>

ונקבל : לכל <math>\varepsilon _{0}</math> (בהתאם לבחירת <math>\varepsilon</math> כרצוננו):

<math>\left | a_{n+p}-a_{n}\right |< \varepsilon _{0}</math>

ולכן, לפי קושי, הסדרה מתכנסת לגבול סופי.

האם זה נכון?
::לא. יש בעיה עם הכמתים (קיים,לכל). בהגדרה לפי קושי, אם אשתמש בסימונים שלך צריך להוכיח שלכל <math>\epsilon_0</math> קיים <math>n_0</math> כך שלכל <math>n\geq n_0</math> '''ולכל''' <math>p</math> טבעי<math>\left | a_{n+p}-a_{n}\right |< \varepsilon _{0}</math>.

אני אציג מה שלא עובד בהוכחה שציינת. בגדול אי אפשר יהיה לקבוע מהו <math>n_0</math>. למה?

נציב לפי ההצעה שלך <math>p</math> טבעי מסוים ועבור <math>\varepsilon _0</math> מסוים,
<math>\epsilon=\frac{\varepsilon_0}{p}</math> ונשתמש בגבול הנתון ונסיק שקיים <math>n_0</math> שתלוי ב <math>\varepsilon</math> ולכן '''תלוי ב<math>p</math> ''' כך שלכל <math>n\geq n_{0}</math> ועבור אותו <math>p</math> ספציפי <math>\left | a_{n+p}-a_{n}\right |< \varepsilon _{0}</math>. אבל
כדי להוכיח קריטריון קושי צריך שהנ"ל יתקיים '''לכל <math>p</math>''' ולא ל <math>p</math> מסויים.
אם היינו משנים את <math>p</math> גם <math>n_0</math> היה יכול להשתנות (כי הוא תלוי ב<math>\varepsilon</math> '''שתלוי ב<math>p</math>''').

אגב, אי אפשר להוכיח שקריטריון קושי מתקיים ושהסדרה מתכנסת שכן קיימות דוגמאות נגדיות לסדרות שלא יתכנסו אך עדיין יקימו את התנאי בשאלה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:50, 28 בדצמבר 2012 (IST)

נכון. תודה (:

== מועד הבוחן ==

מתי יתקיים הבוחן השני לתיכוניסטים?

(לא מתרגל / מרצה) התאריך אמור להתפרסם בקרוב :) --[[משתמש:גיא|גיא]] 21:58, 1 בינואר 2013 (IST)

== תיכוניסטים תרגיל 9 שאלה 3 ==

האם L ממשי או שייך לקו הממשי המורחב(כלומר כולל פלוס ומינוס אינסוף)?
:ממשי --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== תרגיל 9 שאלה 1 ==

כאשר רוצים לדרוש ערך מוחלט גדול מחיובי כלשהו (חסם לפי קושי)..אפשר לבחור את דלתא עצמה??.. כי ידוע שהיא חיובית, תודה!
::אם הבנתי נכון את השאלה אז התשובה היא לא. אנחנו לא יודעים שדלתא חיובית. אנחנו רוצים להוכיח שקיימת דלתא חיובית כך ש...

חוץ מזה אנחנו לוקחים איקס לפי דלתא למשל <math>\delta>|x-1|>0</math> כשבודקים גבול פונקציה בנקודה 1.
בעצם כתוב כאן קיימת דלתא כך שלכל איקס המקיים <math>\delta>|x-1|>0</math>. לכן האיקסים אמורים להיות תלויים בדלתא ולא ההיפך... אי אפשר להגיד פתאום ש <math>|x+5|>\delta</math>. הרעיון הוא להוסיף אילוץ על דלתא שלא תלוי באיקס למשל שדלתא קטנה משליש ואז דווקא לקבל מידע על הטווח של האיקסים לפי <math>\delta>|x-1|>0</math> בדוגמא שלי --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:28, 2 בינואר 2013 (IST)

== תיכוניסטים תרגיל 9 שאלה 2b ==

ניתן להניח שאם
<math> \lim_{x \rightarrow - \infty }f(x)=- \infty</math> וגם <math> \lim_{x \rightarrow - \infty }g(x)=- \infty </math>
אז <math> \lim_{x \rightarrow - \infty }f(x)g(x)= \infty </math> ?

(לא מתרגל / מרצה) כן, לפי אריתמטיקה של גבולות --[[משתמש:גיא|גיא]] 20:07, 4 בינואר 2013 (IST)

== שאלה כללית ==

איך אני מחשב גבולות חד צדדיים של פונקציות?

*(לא מתרגל) באופן כללי יש הרבה דרכים, ומשפטי עזר לנושא. לדוגמא, אפשר לחשב על ידי אריתמטיקה, או על ידי משפט הסנדוויץ'. בנוסף אפשר לדעת על קיומו של גבול חד צדדי לפי המשפטון הבא:

אם f פונקציה חסומה ומונוטונית בקטע סגור [a,b] אזי קיימים הגבול מימין של a והגבול משמאל של b. דבר נחמד נוסף הוא שבמקרה בו הפונקציה עולה לדוגמא, הגבול השמאלי של b הוא הsup של כל ה(f(x בקטע, ובנוגע לגבול הימני בa הוא הinf בהתאמה. ביורדת בדומה. כלומר, אפשר לפתור את הבעיה עם חסמים במידה ומתרחש מקרה כמו המתואר לעיל.

דרך נוספת היא ממש לפי ההגדרה - לפי קושי/היינה, אבל לרוב זה לא נחמד ולא שימושי כל כך.

== רציפות במידה שווה ==

אפשר הסבר להבדל בין רציפות לבין רציפות במידה שווה מבחינת הגדרה? כי אמרו שהדלתא יכול להיות תלוי ב x, בעוד שבמידה שווה זה לא כך.

לא הבנתי כל-כך למה זה נכון..

(לא מתרגל / מרצה) הנה ההסבר שלי:

ההגדרה לרציפות היא נקודתית. כלומר <math>f</math> רציפה בנקודה <math>x_0</math> אם <math>lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)</math>, כלומר <math>\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall x,0<|x-x_0|<\delta: |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. כלומר בבחירת <math>\delta</math> יש גם תלות ב-<math>x_0</math>.

לעומת זאת, ההגדרה לרציפות במידה שווה היא כוללת. פונקציה <math>f</math> היא רציפה שווה בקטע <math>A</math> אם <math>\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall x_1,x_2\in A, |x_1-x_2|<\delta:|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon</math>. כלומר פה אין קודם בחירה של הנקודה, אלא ה-<math>\delta</math> מתאים לכל שתי נקודות.

זו הכוונה בכך ש-<math>\delta</math> אינו תלוי ב-<math>x_0</math>. --[[משתמש:גיא|גיא]] 23:21, 6 בינואר 2013 (IST)

תודה רבה הבנתי :) כשאמרו שבחירת הדלתא תלוי ב x, לא הבנתי שהם מתכוונים ל xo.

== שאלה טכנית ==

אם יש לי, נניח, דבר כזה:

<math>lim_{x\rightarrow 0} (\frac{1}{x}+x)</math>

ואני רוצה לחשב גבולות חד-צדדיים. האם מותר לי, לפני חישוב הגבולות, לומר:

<math>lim_{x\rightarrow 0} (\frac{1}{x}+x)=lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x} + 0=lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x}</math>

כאילו לעשות מעבר גבול על "חלק" מהארגומנט, אותו החלק שאינו תלוי בצד הגבול (מימין או משמאל)?
::יש קצת בעיה לכתוב את זה כך כי גבול שווה לסכום הגבולות בהנחה שהגבולות בכלל קיימים בדוגמא שציינת הגבול <math>lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x}</math> כלל לא קיים ומן הסתם גם הגבול שהתחלת איתו לא קיים. מצד שני לכתוב
<math>lim_{x\rightarrow 0^+} (\frac{1}{x}+x)=lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{1}{x} + 0=lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{1}{x}</math> נראה יותר מדוייק וכנ"ל בגבול החד צדדי השמאלי שכן הגבולות החד צדדיים האלו כן קיימים--[[משתמש:מני ש.|מני]] 15:04, 8 בינואר 2013 (IST)

== בתרגיל 10 שאלה 1ב (מתמטיקאים) ==

צריך להוכיח רציפות של הפונקציות sin ו-cos?
::לא. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 16:19, 9 בינואר 2013 (IST)

== חומר לבוחן (תיכוניסטים) ==

מה החומר לבוחן (הקבוצה של פרופ' אגרונובסקי)?

== העלאת תרגיל 10 לתיכוניסיטים ==

ניתן בבקשה להעלאות את התרגיל של השבוע?

== הבחנים ==

מה התאריכים של הבחנים, ומה החומר שהם יכסו? תודה

== שאלה כללית ==

מה ההבדל בין סופרמום של פונקציה למקסימום שלה??..ואם אפשר לרשום את ההגדרה הפורמלית של כל אחד מהמושגים, תודה!

http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%97%D7%A1%D7%9E%D7%99%D7%9D

== הגדרת גבול של פונקציה ==

אם פונקציה שואפת לאינסוף, מה זה אומר??

== הגדרת גבול של פונקציה ==

אם פונקציה שואפת לאינסוף, מה זה אומר??
כלומר אם איקס שואף לאינסוף, והגבול הוא L, מה זה אומר??

(לא מתרגל / מרצה) <math>\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall x, x>\frac{1}{\delta}:|f(x)-L|<\varepsilon</math>, כי כזכור <math>U_\delta (+\infty)=(\frac{1}{\delta},+\infty)</math>. --[[משתמש:גיא|גיא]] 19:24, 12 בינואר 2013 (IST)

קצת מבלבל אותי הסביבות הללו XD

(לא מתרגל / מרצה) אם <math>x\rightarrow\infty</math> והגבול הוא <math>L</math>, אז לכל <math> \varepsilon>0 </math> שנבחר (מרחק על ציר <math>y</math>), קיים מרחק על ציר <math>x</math>, שבשפה מתמטית קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>x>\frac{1}{\delta}</math>, ערכי הפונקציה יהיו באזור של <math>L</math>, כלומר יתקיים <math>|f(x)-L|<\varepsilon</math>. מקווה שיותר מובן :) --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:24, 16 בינואר 2013 (IST)

יש הבדל בין <math>x>\frac{1}{\delta}</math> לבין <math>x>\delta</math>?

(לא מתרגל / מרצה) באופן עקרוני אם מדובר בכל <math>\delta</math>, אז אין הבדל גדול, אך בגלל הגדרת הסביבה אנו כותבים <math>x>\frac{1}{\delta}</math> --[[משתמש:גיא|גיא]] 23:13, 16 בינואר 2013 (IST)

למה בהגדרת הסביבה צריך לרשום <math>x>\frac{1}{\delta}</math> ולא <math>x>\delta</math>?

== האם יש מחר לימודים ??? (תיכוניסטים) דחוף ! ==

מתקיימים מחר הרצאות ותירגולים ??? כי יש בגרות באנגלית מחר והיא חופפת לשעות הלמידה. בבקשה תשובה בהקדם !

(לא מתרגל) כן. כרגיל

== מבחנים לדוגמא (תיכוניסטים) ==

מישהו יכול להוסיף לכאן קישור למבחנים לדוגמא באינפי 1 ובלינארית 2? תודה!

== רציפות במ"ש ==

יש לי שאלה כללית: יש משפט שאומר שאם פונקציה רציפה בקטע והגבולות בקצות הקטע קיימים וסופיים אז הפונקציה רציפה במ"ש עכשיו אם הפונקציה מוגדרת רק בסביבה ימנית של קצה הקטע האם המשפט יהיה נכון ע"י בדיקת הגבול הימני בקצות הקטע לדוגמא האם אפשר להוכיח ששורש x רציפה במ"ש ב(0,1) בעזרת זה שהיא רציפה בקטע הגבול ב-1 הוא 1 והגבול הימני באפס הוא אפס ? ואם לא איך אפשר להוכיח ששורש x רציפה במ"ש?
::הכוונה בגבולות בקצות הקטע הם לגבולות מתוך הקטע כלומר החד צדדיים כמו שרצית. אני לא בטוח אם למדתם השנה את המשפט הזה בהרצאה. בכל מקרה בקטע סופי ההוכחה די ברורה מרחיבים את הגדרת הפונקציה בקצוות לפי עררכי הגבול בקצוות ואז קל לראות שהפונקציה המורחבת גם כן רציפה. מכאן היא רציפה במ"ש בקטע הסגור לפי קנטור ולכן רבמ"ש גם בתת הקטע שממנו התחלנו אבל בתת הקטע היא מתלכדת עם הפונקציה המקורית. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:47, 23 בינואר 2013 (IST)

== רשימת משפטים ==

האם רשימת המשפטים שהועלתה לאתר היא מהסיבה שתהיה הוכחת משפט/ים מתוכם? או כי פשוט החלטתם להעלות ללא קשר למבחן?

*יש שאלת משפט במבחן, כך לפחות אצל ד"ר הורוביץ. אני מאמין שגם בקבוצה של פרופ' אגרונובסקי, לא מחלקים רשימת משפטים ספציפית סתם כך. חשוב לזכור שהרשימה בין שתי הקבוצות שונה.

(לא מתרגל / מרצה) רשימת המשפטים והוכחתם שעלו לאתר מיועדים לקבוצת התיכוניסטים (אני לא יודע מה עם הבוגרים) של פרופ' אגרנובסקי. במבחן אחד המשפטים מהרשימה או יותר עשויים להופיע כשאלה --[[משתמש:גיא|גיא]] 14:52, 25 בינואר 2013 (IST)

הבוגרים קיבלו את אותה רשימת משפטים.

== שיעור חזרה לקבוצה של שמחה ==

באיזה תאריך ושעה השיעור חזרה יתקיים?

(לא מתרגל / מרצה) של איזה מרצה ואיזו קבוצה? --[[משתמש:גיא|גיא]] 13:28, 26 בינואר 2013 (IST)

לקבוצה של שמחה הורוביץ.

== מספר שאלות לגבי רשימת המשפטים של פרופ' אגרונובסקי (תיכוניסטים) ==

1) במבחן השורש של קושי להתכנסות טור, המבחן הוא על פי הגבול העליון, אך ההוכחה שפרופ' אגרונובסקי הראה לנו היא בהנחה שקיים גבול, האם ניתן להסתפק בהוכחה זו?

2) אם בחלק מההוכחות שפרופ' אגרונובסקי הראה לנו יש התעלמות ממקרי קצה, האם ניתן להתעלם מהם במבחן?

בתודה מראש, [[משתמש:Avichai|Avichai]] 20:21, 26 בינואר 2013 (IST)

(לא מרצה / מתרגל) שאלתי אותו במייל והעלתי עדכון להוכחות. הוא ביקש שנדע גם את ההוכחה להכללה של משפט קושי. --[[משתמש:Dvir1352|דביר חדד ]] 15:06, 29 בינואר 2013 (IST)

דביר- פרופ' אגרונובסקי עבר על ההוכחות שלך? - זה ההוכחות שהוא רוצה שנכתוב? (צריך גם את של רול ואת שתי הפשרויות למבחן קושי של טורים??)

אני אשלח לו מייל עם ההוכחות בדיוק, ומחר גם אפגוש אותו. ככה שרק אז אוכל לענות ב100%. כרגע מדובר בדיוק בהוכחות שהוא נתן בכיתה, פלוס ההערות שהוא הוסיף בעקבות שאלות שנשלחו אליו במייל. --[[משתמש:Dvir1352|דביר חדד ]] 23:56, 30 בינואר 2013 (IST)

'''הועלה עדכון לעמוד של הקורס'''
--[[משתמש:Dvir1352|דביר חדד ]] 21:30, 31 בינואר 2013 (IST)

== היינה-בורל ==

[[מדיה:Example.ogg]]

למדנו את משפט היינה בורל ?

== מערכי תירגול במשפט ערך הביניים (תיכוניסטים) ==

במערך התרגול של משפט ערך הביניים יש ארבעה תרגילים. אפשר לצרף אליהם פתרונות לבדיקה עצמית ?

== שאלה על הקשר בין פונקציה לנגזרתה ==

אם פונקציה רציפה אז האם בהכרח גם נגזרתה רציפה ?
אם כן אשמח להוכחה ואם לא אשמח להפרכה.

פונקציה רציפה לא גוררת גזירות.. למשל פונקציית הערך המוחלט

תן לי לנסח את עצמי מחדש . אני שואל אם פונקציה רציפה וגזירה אז גם הנגזרת שלה רציפה.

:גם לא, למשל הפונקציה הבאה: אם <math>x<1</math> אז <math>f(x)=1</math>, אחרת <math>f(x)=x</math>. הפונק' גזירה בכל הנקודות למעט 1, ושם גם הנגזרת לא רציפה.

כנראה לא הייתי ברור מספיק. נניח שיש פונקציה f גזירה בכל הממשיים ! (ולכן גם רציפה). האם גם נגזרתה רציפה ? בדוגמא שלך הפונקציה לא גזירה ב-1.

* טוב, הדיון הזה נהיה קצת הזוי... :) בואו נראה האם הבנתי את השאלה. יש פונקציות רציפות וגזירות כך שנגזרתן אינן רציפה. הדוגמה הסטנדרטית היא: <math>f(x)=x^2\sin{\frac{1}{x}}</math> עבור <math>x\neq 0</math>, ו- <math>f(0)=0</math>. למרות שהנגזרת באפס קיימת, פונקציית הנגזרת אינה רציפה שם. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 18:03, 2 בפברואר 2013 (IST)

== שיעור חזרה לקבוצה של שמחה ==

מתי מתקיים שיעור החזרה לקבוצה של שמחה הורוביץ'?

*ההודעה נשלחה במייל ממלי:

שם הקורס : חשבון אינפיניטסימלי 1

שם המרצה : ד"ר הורוביץ שמחה

שעור חזרה עם ד"ר הורוביץ יתקיים ב תאריך 5/2/13 בשעה 16-18 בכיתה 202/103

== הבוחן השני (תיכוניסטים) ==

אפשר הסבר לשאלה 3 סעיף ג', למה x = 0 היא נקודת אי רציפות ממין שני?

== צריך ללמוד הוכחות של משפטים שאינם ברשימה? ==

בפרט, צריך לדעת הוכחות של משפטים שההוכחות מהרשימה מסתמכות עליהם?
למשל, ההוכחה של משפט לגרנז' מסתמכת על הלמה של רול, שבעצמה נשענת על משפט פרמה- האם כל ההוכחות הפנימיות דרושות?

::זאת שאלה מעולה. למרצים. :) --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 17:56, 3 בפברואר 2013 (IST)

== רציפות במידה שווה של אקספוננט ולאן ==

האם האקספוננט רציף במ"ש על כל הישר הממשי ואותה שאלה לגבי ln x בין 0 לאינסוף
אם אפשר לצרף הוכחה
תודה

::נמצא במערכי תרגול ובשיעורי הבית. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 17:57, 3 בפברואר 2013 (IST)

*(לא מתרגל) בנוגע לlnx אפשר לראות כי היא לא חסומה על (0,1),והוא תת קטע של הקטע המדובר, לכן היא לא רציפה שם במ"ש ולכן לא רציפה במ"ש גם בקטע המקורי.

בנוגע לe^x אפשר לקחת שתי סדרות ולהפריך זאת, לדוגמא על ידי Xn=n+1/n וכן Yn=n. זה יוצא קצת ארוך ועם הרבה לופיטל, אבל בסוף מתקבל שהגבול הוא מינוס אינסוף. אפשר גם לקחת Xn=lnn+1/n וכן Yn=lnn ולקבל כי ההפרש של הפונ' שואף ל-1, זה מעט קצת יותר.

== איפה אפשר למצוא מבחנים של פרופסור אגרנובסקי? ==

או בכלל?...

http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/

ודביר חדד העלה מבחנים ממקומות אחרים:
http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_-_%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%A0%D7%99%D7%9D_%D7%9E%D7%90%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%91%D7%A8%D7%A1%D7%99%D7%98%D7%90%D7%95%D7%AA_%D7%A9%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%AA

בהצלחה לנו (:

שיחה:88-132 תשעג סמסטר א

2013-01-25T14:22:26Z

Yifath: /* רשימת משפטים */

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2013-01-23T17:54:22Z

Yifath: /* פונקציונאלים */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגיל 1 ==

רשום בהודעות שתרגיל 1 קוצר אך יורד לי בדיוק אותו קובץ שירד לי קודם (עם 7 שאלות)? [[משתמש:איל דימנט|איל דימנט]] 23:25, 24 באוקטובר 2012 (IST)

>זו הודעה של בדידה שהופיעה בטעות פה. תוקן. עדי

==רמז לשאלה 5,תרגיל 1==
<math>z^n=(rcis(\theta))^n=r^ncis(n \theta)=1 </math>
החלק המדומה בצד ימין הוא אפס. מתי החלק המדומה בצד שמאל הוא אפס? כתוצאה מכך מהי הזוית/זויות ומיהו r? ועל כן, היכן יושבים מרוכבים אלו על המישור?
עדי

== סילבוס ==

שלום, אשמח אם תעלו סילבוס של הקורס.
כרגע הסילבוס הוא של "בדידה" משום מה.
תודה.

'''>>תוקן. עדי

== תרגיל 1 שאלה 6 ==

שלום! האם אפשר לקבל הכוונה לשאלה 6? ניסיתי להציב אבל אני לא רואה איך אפשר עוד להתקדם בפתרון.... תודה מראש!

'''>> השאלה מה הצבת, את <math>z</math> או את הצמוד שלו? רצוי להתחיל ממה שידוע, כלומר, שהצבת <math>z</math> היא פיתרון. אז העזר בתכונות ההצמדה שהוכחנו בכיתה כדי לעבור להופעה של <math>\bar z</math> במשוואה זו במקום. עדי

== תרגיל בית 2 שאלה 2.3 סעיף ד ==

שלום! כשאומרים ש 0F=1Z3 מתכוונים לאיבר הראשון בZ3 או לאיבר 1 בZ3? תודה מראש!

'''>>לאיבר 1 ב<math>Z_3</math>. עדי'''

==שאלה 4ב בתרגיל 3==

יש לי שאלות של אסור ומותר לגבי הוכחות, שעלו בעקבות שאלה מספר 4ב בתרגיל מספר 3.
ראשית אני חושב שמותר לי להניח שהקבוצה מוכלת בתוך השדה, אחרת אין מה לדבר על תת שדה.
שנית, אני רוצה להוכיח כי הקבוצה שווה לשדה הנתון.
הגעתי לכך שהראיתי שאם קיים איבר בשדה שהוא לא בקבוצה, אז הסכום של 1 והאיבר "לפניו" (או קומבינציה מסויימת של אברי הקבוצה) הם בעצם אותו איבר שלא נמצא בקבוצה.
לכן הקבוצה לא סגורה תחת חיבור ולכן לא יכולה להיות שדה.
אני יכול לטעון זאת? מותר לי?
או שבשאלה הספציפית הזאת הדרך לפתור היא רק דרך הנחה בשלילה או הוכחת הקריטריון המקוצר?

'''>>ראשית, ודאי ש F שדה, זה נתון. שנית, הוכח פורמלית לפי הקריטריון המקוצר. עדי'''

== תרגיל מס' 2 שאלה לא מהחוברת ==

בסעיף א' איזה משוואה צריך לבנות?

'''>> <math>\forall (a,b),(c,d),(e,f)\in C\ \ (a,b)[(c,d)+(e,f)]=(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)</math> עם החיבור והכפל המוגדרים בשאלה. עדי'''

== תרגול 2 שאלה לא מהחוברת... ==

שלום! :)
לא הבנתי בדיוק את המשמעות של RxR...
אשמח להסבר!

'''>> <math>A\times B</math> הוא אוסף כל הזוגות הסדורים כך שה"קואורדינטה" הראשונה מגיעה מ-A והשניה מ-B:
<math>A\times B=\{(a,b):a\in A, b\in B\}</math>. '''במקרה זה <math>R\times R</math> הוא אוסף כל הזוגות הסדורים מעל הממשיים (כלומר המישור הממשי). היות ומספר מרוכב מוגדר ע"י זוג סדור של מספרים ממשיים (האחד מייצג את הרכיב הממשי והשני את הרכיב המדומה) ניתן להתייחס ל-<math>R\times R</math> כקב' שקולה ל-<math>C</math>, ממנו מגיעות הפעוללות המוגדרות בשאלה. עדי'''

== תרגיל 2 ==

לגבי שאלה 4.4 סעיף א' מהחוברת לא הבנתי איך זה עוזר לי אם אוכיח ש n*1f)*(m*1f)=(nm)*1f)
יפית, אמרת שארשום את זה בפורום ותסבירי לכולנו. תודה.

'''>>בהנחה שהוכחתם טענת עזר זאת, הניחו בשלילה ש-k הוא מאפיין השדה ואיננו ראשוני. הישתמשו בטענת העזר ובעובדה שאין בשדה מחלקי אפס על מנת להראות ש 1+...+1 יתאפס כבר בראשוניים שמחלקים את k בסתירה למינימליותו. עדי'''

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

הגדרנו תת שדה H של שדה F כך ש H צריכה קודם כל להיות תת קבוצה של F ואז לקיים את הקריטריון.
בשאלה יש p איברים ל F ואז מוכיחים שיש לקבוצה המועמדת להיות תת שדה גם p איברים.
אבל אם יש לקבוצה הזו p איברים שונים והיא גם תת קבוצה של F שגם היא בעלת p איברים שונים, לא ניתן להסיק בעצם שהיא שווה ל F?

'''>>כן, אבל איך זה רלוונטי לשאלה? בסעיף לא ידוע שב-H יש p אייברים, לכאורה H בנויה באופן אינסופי, מהות המבוקש להוכיח הוא כי למעשה לאחר p אייברים אין אייברים "חדשים". עדי

נכון, מבקשים להוכיח שבH יש p איברים ואכן הוכחתי זאת כפי שאמרת. לכן אם היא צריכה להיות תת קבוצה של F שגם לה p איברים שונים אז היא בהכרח שווה ל F לא? אם כן, כל הבדיקה של תת שדה מיותרת... כי אם H=F אז H כבר שדה.

'''>> ראשית, הורדתי את הפיתרון שרשמת... שנית, מי אמר שב F יש p איברים? הוא ממאפיין p. שדה מגודל 4 למשל הוא ממאפיין 2. עדי

ראשית, הגעתי לכך מאותה הסיבה שב Z5 יש 5 איברים וב Z7 יש 7 איברים ו H היא לא אינסופית כמו שנרשם. שנינו מסכימים על כך שב F יש לא פחות מ p איברים. אבל אם יהיו יותר, כמו בדוגמה שהבאת, אז בדיוק כמו ב H ניתן לרשום אותם כמו שרשמתי בהודעה הקודמת, כלומר לא מוסיפים איברים חדשים. גם אם ניקח את הקבוצה {0,1,2,3,4,5,6,8,9} בעלת 9 איברים מעל z7, היא שדה (הוכחתי זאת). אבל עדיין 8 ב z7 זה 1 ו 9 בz7 זה2. לכן כתיבתם מיותרת כי זה כמו לכתוב את הקבוצה {1} בצורה {1,1,1,1,1,1} ועדיין אומרים שיש איבר אחד בקבוצה ולא 6 איברים.

שנית, אם הייתי מסתכל בפתרונות, הייתי פשוט מעתיק ושותק. לא הייתי נכנס לדיונים ומביך את עצמי בפומבי.

'''>> אתה ממש לא מביך את עצמך! השאלה היא לגיטימית מאוד וזו טעות נפוצה. זו הסיבה שכ"כ חשוב לי שכולם יראו את ההערה באדום, לוודא שכולם נמנעים ממנה. אני מודה לך על השאלה! הלוואי והיו יותר.

'''לא הבנתי את הרלוונטיות של "מעתיק ושותק" לדיון.

'''בכל מקרה,

'''1. לא אמרתי ש-H אינסופית, אמרתי שהיא בנויה באופן אינסופי, היא כל האייברים מהצורה <math>1,1+1,1+1+1,...</math> כשמשמעות ה-3 נקודות היא ''וכן הלאה'', נראה שהם מתלכדים לכדיי p אייברים. כמו <math>\{1\}=\{1,1,1\}=\{1,1,1,...\}</math>, כשהכוונה בקבוצה האחרונה היא קבוצה של אינסוף אחדים, אך ניתן להוכיח שהיא סופית מגודל 1. היא לא אינסופית, אבל היא בנויה באופן אינסופי.

'''2.הנקודה לגבי שאלתך המקורית היא שב-F ''לא פחות'' מ-p אייברים ''שונים, ללא חזרות''. למשל בדוגמא שהעלתי למטה, ניתן לבנות תת שדה של 0 ו-1 עבור השדה מגודל 4. כלומר: F מגודל 4 וממאפיין 2. H נבנת כמו בשאלה, ע"י 1 של F, והיא גם ממאפיין 2 וגם מגודל 2.

'''עדי

<nowiki>1. התכוונתי שאם הייתי מעתיק את הפתרון, לא הייתי מנסה להפליל את עצמי ע"י שאלת שאלות, פשוט הייתי מעתיק וזהו.

2. אני לא מצליח להבין כיצד הדוגמה שהבאת שונה מהדוגמה שהבאתי על 9 איברים ב Z7. גם זה שדה של 9 איברים אבל המאפיין הוא 7. וגם כאן 8 שונה מ 1 ו9 שונה מ 2 (הם שווים רק מעל Z7), בדיוק כמו a ו b בדוגמה שהבאת. אבל עדיין מה שעשית הוא לקחת איבר מ Z7 ולרשום אותו בצורה אחרת, לא הוספתי שום איבר חדש (ואני גם לא יכול, כי מן הסתם הוא ירשם בצורה כלשהי ע"י אברי Z7). ההיגיון שלי יכול אולי לקבל את ההשערה שזה עובד לא ב Zp, אבל כרגע ב Zp אני לא מצליח לשכנע את עצמי שזה אכן כך.</nowiki>

'''>> 1. שוב, אני לא מבינה למה אתה מתכוון ב"להפליל את עצמך". לזה נועד הפורום, אני מעודדת שאילת שאלות והשאיפה שהדיון יעודד עוד אנשים לשאול. אני מתנצלת אם באיזושהי צורה התשובה שלי התפרשה אחרת.

'''לגבי העתקה, אני חושבת שברורה לכולנו חוסר התועלת של כך, למי שבוחר לעשות כן.

'''2. בדוגמא שהבאת 9 אייברים, אם אתה מסתכל עליה כמו שהיא, ואז היא איננה מוכלת בZ7. אם אתה מסתכל על איבריה מודולו 7 (זו לא ממש אותה קבוצה, זו קבוצת מנה של היח"ש מודולו 7) אז יש בה 7 אייברים, 1 לא שונה מ8 ו2 לא שונה מ9. דוגמא בZn לא תמצא כי Zn הוא שדה רק כאשר ה-n ראשוני. אין זה נכון במקרה הכללי לגבי גודל הקבוצה, אלא רק לגבי מאפיינה.

טוב, עכשיו הבנתי למה חשבת שאני חשבתי שהעתקת. כי רשמתי שהורדתי את הפיתרון. לא התכוונתי שהעתקת ועכשיו הסרתי אותו, התכוונתי שהורדתי את הפיתרון שרשמת בתשובה שלך. בתגובה המקורית שלך ל-להוכיח שב-H יש p איברים רשמת פיתרון מלא לאיך הראית את זה, אז הורדתי אותו. לא חשבתי בשום שלב שהעתקת

'''עדי

==חשוב מאוד! הבדילו בין גודלו של שדה למאפיינו==


הוכחנו שהמאפיין בהכרח ראשוני, אולם שדה יכול להיות מגודל שאינו ראשוני.

מצ"ב דוגמא חשובה, שדה מגודל 4 עם מאפיין 2(מוכרח להיות). עיינו בה וודאו שאתם מבינים אותה היטב.

[[מדיה:char(F)=2.doc|דוגמא חשובה F|=4, char(F)=2|]]


עדי
: כתוב בדף ש"שדה יכול להיות מכל גודל"; אני מניח שהכוונה היא להדגיש שגודל השדה אינו חייב להיות שווה למאפיין - יש כמובן מגבלות אחרות. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:11, 21 בנובמבר 2012 (IST)

תוקן. תודה

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

לא כל-כך ברור לי הקונספט של '''הוכחה''' בהקשר שמופיע בשאלה.

בסעיף א.- מעצם ההגדרה, לשדה סופי יש מאפיין חיובי, ושדה בעל מאפיין חיובי הוא בהכרח סופי.
האם הדרך להוכיח זאת היא ליצור פעולה של חיבור איברי יחידה במספר הולך וגדל (כמו הקבוצה בסעיף ב) ולהראות שקיים n כלשהו כך שמחיבור n איברי יחידה בהכרח נקבל 0 (שזוהי הגדרת מאפיין)?

בסעיף ב.- לכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp. למיטב הבנתי יוצא מזה, לפי הגדרת תת-שדה, שהפעולות של שדה סופי זהות לפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים.
מתוך זה נובע כי כל תת-שדה של שדה סופי הוא בעל פעולות זהות לאלו של ZcharF.

מה הכוונה ב'''להראות''' שאלו הן הפעולות של תת-השדה?

אגב, יש משפט לגבי יחידות של שדה? כלומר, האם שני שדות, שיש להם את אותם איברי היחידה והאפס, אותן פעולות החיבור והכפל, ואותו הגודל, הם בהכרח אותו השדה?

'''>> סעיף א-

'''זו הגדרת מאפיין של שדה: המאפיין (או המציין) של שדה הוא המספר ''הטבעי'' n הקטן ביותר כך ש- <math>1_F+1_F+...</math> n פעמים הוא אפס של השדה. אם n אינסופי נאמר שהמאפיין אפס. כך שהמאפיין תמיד אי שלילי ושלם.

'''לגבי ההוכחה, אכן יש להראות שקיים n שכזה, אך החשיבות היא להראות שהוא סופי.

'''סעיף ב-

'''זה לא נכון שלכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp, כי Zp איננו מוכל בכל שדה.

עבור שדה ממאפיין p תת שדה מ'''גודל''' p '''יתנהג''' כמו Zp, כלומר, טבלאות הפעולה שלו יהיו זהות.

'''לא נכון לומר שהפעולות זהות, אלא שטבלאות הפעולה זהות, כלומר חיבור וכפל בין האיבר ה-i לאיבר ה-j (לא בהכרח המספרים i ו-j) ילכו לאיבר ה-k וה- h בהתאמה (כלומר k לחיבור, ו-h לכפל), בשני השדות.

'''אין זה נכון שטבלת הפעולות של שדה סופי זהה לטבלת הפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים היות וגודל השדה יכול להיות גדול מהמאפיין שלו, כפי שניתן לראות בדוגמא למעלה. זה לא יכול לקרות ב-Zn שם הקבוצה היא שדה רק כאשר גודלה ראשוני, ולכן שווה למאפיינה.

אם גודל השדה=מאפיין השדה, ולכן ראשוני, אז הוא '''מתנהג''' כמו ZcharF.

לגבי ההערה האחרונה: במקרה הסופי כן, במקרה האינסופי לא, לדוגמא R ו-C. אבל הנקודה בחלק השני של סעיף ב' היא לא '''שיוויון''' בין השדות או הפעולות אלא '''התנהגות''' זהה של הפעולות.

'''עדי

==המשך להערה החשובה==

שימו לב שתת השדה בסעיף ב' של שאלה 4 בתרגיל 3 בנוי להיות בעל '''מספר טיבעי''' של אייברים וכולם מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>. לא כל שדה הוא מגודל טיבעי, בניגוד למאפיין. למשל R עם החיבור והכפל המוכרים לנו. המשמעות היא שלא בהכרח כל איבר בשדה הוא מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>, הוא כן בהכרח מהצורה <math>1_F\cdot a</math> עבור a מהשדה, לדוגמא <math>1.5</math> ב-R.

למעשה, רק charF אייברים בשדה יהיו מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>, וכפי שכבר הבנו, יתכן שבשדה יותר מ-charF אייברים.

עדי


== תרגיל 4 תרגיל נוסף לא מהחוברת ==

שלום! איך בדיוק מתארים אלגוריתם? תיארתי לעצמי במילים את השלבים של הדירוג, איך בדיוק אני אמורה לתרגם את זה לכתיבה מתמטית..? תודהה:)

'''>> תאור (תקין) במילים הוא בסדר גמור. את יכולה להוסיף דיאגרמה של המטריצה להסבר, ע"מ להימנע מאי הבנות או כפל משמעות. עדי

== זהות בין מטריצות ==

האם בכדי להוכיח ששתי מטריצות שוות, מספיק להראות כי הן מאותו הסדר וכי נוסחת האיבר הכללי (נגיד: aij, כש-i אינדקס שורה, j אינדקס עמודה) שלהן זהה?

'''>>כן, סדר ושיוויון רכיב-רכיב. עדי

== בוחן ==

שלום! מה בדיוק החומר לבוחן..? ואיך כדאי ללמוד? תודה!:)

'''>> עד מרחבים וקטורים, לא כולל. כדאי לפתור את כל התרגילים מההרצאה, תירגולים ושעורי בית. הפורום זמין לשאלות ודיונים. עדי

== תרגילים 2 ו-3 ==

נבדקו והוחזרו כבר?

== שאלה 4.2 מתרגיל 5 ==

אבל גם בכלל.
לעתים תכופות קורה, דווקא בשאלות הטריוויאליות יותר, שלא ברור לי אילו היסקים "מותר" לעשות ואילו לא.

הדוגמא הרלוונטית לעכשיו:

הגדרתי: A=(aij) B=(bij) ולכן: A+B=(aij+bij)
השאלה היא כזאת: האם כשאני משחלפת את A+B מותר לי לומר: (A+B)טרנספוז= (aji+bji( או שזוהי הנחת המבוקש?

ובאופן כללי יותר, קיימים קווים מנחים להוכחה ריגורוזית?

תודה מראש

'''>> ההוכחה אכן קצרה באופן מעט מרתיע, לכן עלינו להקפיד על פורמליות. אם <math>\ C=A+B=(c_{ij}),\ C^t=(d_{ij})\ </math> תאמרו מצד אחד מיהו <math>c_{ij}</math> בהסתמך על הסכום, מצד שני מיהו <math>d_{ij}</math> בהסתמך על הגדרת שיחלוף ורק בסוף תקשרו ביניהם.

'''לגבי השאלה הכללית: ההיתר (ובמובן זה גם ההגבלה) בהוכחה היא להסתמך על מה שהוכח עד נקודה זו ובלבד ש-

'''1. זו איננה מהות כל המבוקש להוכיח (לפעמים תתבקשו למשל להוכיח טענות שהוכחתם בכיתה)

'''2. שלא השתמשתם בהוכחה בטענה שהוכחתה מסתמכת על מה שאתם מנסים להוכיח כעת (כלומר, לא ליצור מעגליות בהוכחה, להסתמך על ב כדי להוכיח א כאשר השתמשתם ב-א כדי להוכיח את ב).
עדי

== כפל מטריצות משוחלפות ==

אם מוגדרות: <math>A=(aij) , B=(bij)</math>,
ועשינו טרנספוז ל-A:
<math>A^t=(aji)</math>

אז המכפלה: <math>C=A^tB</math>

יוצרת איזו מבין נוסחאות האיבר הכללי:

<math>cij=sum_{l}^{n}ailblj</math>

או <math>cij=sum_{l}^{n}aliblj</math> ?

הראשונה "שולחת" אותנו ל-<math>A^t</math>, אבל "מאבדת" את הקשר עם <math>A</math> (נראה לי).
השניה "שולחת" אותנו ישירות ל-<math>A</math> (אבל המכפלה היא על <math>A^t</math> ).

'''>> ראשית תוודא שהמכפלה הנ"ל מוגדרת. במידה וכן <math>A^t=(d_{ij})</math> כאשר <math>d_{ij}=a_{ji}\ \forall j,i</math>.

'''לכן
<math>c_{ij}=\Sigma_{l=1}^{n}d_{il}b_{lj}=\Sigma_{l=1}^{n}a_{li}b_{lj}</math>

'''ולכן המשוואה השניה היא הנכונה. המשוואה הראשונה מגדירה איבר כללי בAB (שוב, במידה ומכפלה זו מוגדרת). עדי

תודה רבה, עדי (:


==חומר לבוחן==
כל החומר עד מרחבים וקטוריים, לא כולל. תרגיל 6 לא נכלל בשאלות, אבל לא יכול להזיק לפתור לקראת הבוחן שאלות מהחוברת עד עמ' 19 כולל.


== מיקום הבוחן ==

היכן מתקיים הבוחן לקבוצה של יפית?

== תרגיל בית מספר 7 ==

בשאלה 2 שלא מהחוברת, במקומות של השדה מופיעים ריבועים ריקים.

'''>>לא אצל כולם משום מה. בכל מקרה זה C.

אוקי תודה רבה. האם ניתן להעלות את התרגילים כקבצי pdf?

== תרגיל 7 שאלה 4.8 ==

האם יש קשר בין סעיף א ל-ב? כלומר, האם הדרישה היא למצוא "נוסחא כללית" ל-Ui ו-Vi כך שעבור i=1 מתקיים א ועבור i=2 מתקיים ב?

או שצריך למצוא U,V שמקיימים את א, ובלי קשר למצוא U,V אחרים שמקיימים את ב?

'''>> לא, אין קשר. Ui,Vi לא צריכים להיות תלויים ב-i באופן של-1 קורה א ול-2 קורה ב. צריך דוגמא עבור א ודוגמא (תלויה או לא תלויה בה) עבור ב. עדי

== בוחן <math>II</math> ==



ב-7 לינואר, 18:00-19:00 יתקיים בקורס בוחן (השני מתוך שניים) על מרחבים וקטוריים, תתי מרחבים, תלות-לינארית, בסיס, מימד ודרגה של מטריצה, בפרט גם: מרחב העמודות, מרחב השורות ומרחב האפס <math>(A\in M_{mxn}(F),\ Null(A)=\{v\in F^n:Av=0\})</math>. יש ללמוד את כל החומר מההרצאות.

הבוחן יתקיים בבניין:604, כיתה:62 . יפית ועדי



== תרגיל 10 שאלה 11.12 ==

אנחנו עובדות תחת ההנחה ש-A היא מסדר nxn? זה מצוין בתרגיל הקודם, אבל לא בנוכחי, ונדמה לי שללא ההנחה הזאת הטענות אינן שקולות.

'''>>כן

== שאלת הוכחה ==

== כותרת ==
איך מוכיחים שאם ההעתקה לינארית אזי ההעתקה מה-0 מ"ו של התחום הולך ל-0 מ"ו של הטווח?

'''>> תהי <math>T:V->W</math>. אם <math>V\ne \{0\}</math> אז <math>\exist v\in V:0\ne v</math> ולכן <math>T(0_V)=T(v+(-v))=T(v)+T(-v)=T(v)-T(v)=0_W</math>.

'''אם V הוא מרחב האפס ו-W לא (אם כן אז אפס יכול ללכת רק לאפס) ונניח בשלילה ש <math>T(0_V)=w\in W:w\ne 0_W</math>

'''אז <math>-w=-T(0_V)=T(-0_V)=T(0_V)</math>

'''כלומר <math>w=-w</math>, אחרת למקור שתי תמונות.

'''כתוצאה מכך, אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין שונה מ-2 אז <math>w=0_W</math>.

'''אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין 2 אז <math>T(0_V)=T(0_V+0_V)=T(0_V)+T(0_V)=2w=0_W</math>, מה שלא יכול לקרות כי <math>w\ne 0_W</math> ומקור לא יכול להישלח לשתי תמונות.

עדי

== בוחן שני ==

תוכלו להעלות לאתר את השאלות מהבוחן השני?

'''>>עלה ביום הבוחן

== פתרונות למבחנים ==

האם אפשר לצרף פתרונות למבחנים שהועלו לאתר?

תודה.

'''>>העלתי אחד בינתיים

תודה.

== בסיס ל-NULL ==

רציתי לשאול, כשרוצים למצוא את הבסיס והמימד של KerF בהע"ל מ-R4 ל-R3, אני פותרת מע' משוואות הומוגנית, ו-2 משתנים חופשיים, האם קיימים מס' בסיסים? לי יצא ווקטורי בסיס של (0 1 2 1) (1- 0 1 2)
ובספר (1 0 2 1) (0 1- 1 2)

'''>>וודאי. תבדקי אם הם פורשים את אותו מרחב, כלומר, שתיהן קב' בת"ל מאותו גודל (מה שאכן קורה) וניתן לקבל את הוקטורים של האחת כצ"ל של וקטורי השניה.
'''אכן, אם הן פורשות מרחב מאותו מימד והאחת מוכלת בשניה אז הן שוות.
עדי

== פונקציונלים ==

עמוד 108 שאלה 1.3 ב, בחוברת של בועז צבאן. איך מוכיחים שההעתקה היא לא פונקציונל? (איך מוכיחים שהיא כן..?) אמרנו שפונקציונל זה העתקה של מרחב לשדה שלו, למה זה לא מתקיים בשאלה 1.3? תודה מראש:)

'''>> בדיוק כפי שעושים עבור ה"ל. פונקציונל היא ה"ל במקרה הפרטי שהטווח הינו שדה המרחב הוקטורי בתחום.

'''במקרה של דטרמינטות: <math>|kA|=k^n|A|</math> ולא <math>k|A|</math> כפי שדורשת ה"ל

'''במקרה ב', קל למצוא דוגמא, למשל: <math>T((2,2)+(2,3))=T(4,5)=20\ne T(2,2)+T(2,3)=4+6=10</math>.

עדי

== בועז צבאן עמוד 56 שאלה 2.7 סעיף א ==

ב- <math>T=T^{2}</math>
הכוונה ש: <math>\forall v\epsilon V: T(v)=T^{2}(v)=T(T(v))</math> ?

'''>>כן.

אם זוהי אכן הכוונה, האם ניתן להפריך ע"י הדוגמא הבאה?

<math>T(v)=T(x,y)=(x,0) , V=\mathbb{R}^{2}</math>

ואז התנאי מתקיים, אבל <math>T\neq I_{v},-I_{v}</math>

'''>> נכון מאוד.

== דרגת מטריצה ==

שלום! איך מוכיחים ש rankAB קטן או שווה ל rankA (או B)? תודה!

<math>y\in C(AB)=>\exists x:ABx=y=>\exists Bx:A(Bx)=y => y\in C(A)=>C(AB)\subseteq C(A)=>rank(AB)\leq rank(A)</math>

כמו כן, נאמר שמס' העמודות ב-B הוא m, ולכן גם מס' העמודות ב-AB הוא m/

ממשפט הדרגה

<math>dim(Null(B))+rank(B)=m=dim(Null(AB))+rank(AB)</math>

היות ו-

<math>x\in Null(B) => Bx=0 =>ABx=0 => x\in Null(AB) =>Null(B)\subseteq Null(AB) => dim(Null(B))\leq dim(Null(AB))</math>

נקבל ש-

<math>rank(B)\geq rank(AB)</math>.

עדי

== תרגיל 1 מועד א 2006 ==

אומרים שלכל b למערכת Ax=b יש פתרון (b שייך לFm). אז אני מוכיחה שA הפיכה ולכן יש פתרון יחיד,
א. האם נכון שזה גורר שעמודות ושורות A בתל וש n=m?
ב. האם מרחב העמודות של A שווה ל Fm? איך מוכיחים זאת?
תודה רבה!

'''>> ראשית, אם אינך יודע אם n=m איך הוכחת שA הפיכה? מט' הפיכה רק אם היא ריבועית. בכל מקרה הנתון אינו גורר זאת ולא פיתרון יחיד.

<math>C(A)=F^m</math> היות ונתון כי לכל b קיים <math>x=(x_1,...,x_n)</math> כך ש <math>Ax=\sum x_iC_i(A)=b</math>. כלומר עמודות A פורשות כל וקטור ב<math>F^m</math>.

עדי

== העתקות ==

האם קיימת העתקה מR2 לR2 כך ש: imT=kerT?

מה עם נגיד העתקה ששולחת כל (0,X) לוקטור האפס וכל (X,Y) לוקטור (0,X)?

'''(לא מתרגלת)
בהגדרה שלך יש בעיה, היא שולחת וקטור מהצורה (x,0) לשני וקטורים שונים: (0,0) מצד אחד ו-(x,0) מצד שני.

אם תגדיר אותה כך שרק כאשר y שונה מאפס היא תשלח את (x,y) לוקטור (x,0), תקבל העתקה שאינה לינארית.
לדוגמא: (1,2) יילך ל- (1,0), (2-,2) יילך ל-(2,0), אבל (1,2)+(2-,2)=(3,0) יילך ל-(0,0)
[ולא ל-(3,0), כפי שהיה אמור להיות בהעתקה לינארית].

והצעה להעתקה כזו (לא בדקתי עד הסוף, אבל נראה לי):

העתקה T ששולחת כל וקטור (x,y) לוקטור (0,y). ככה יתקבל בתמונה כל ציר ה-x, והגרעין יהיה כל הוקטורים שערך ה-y שלהם הוא 0, שזה גם ציר ה-x. כדאי לשים לב, אגב, ש-T בריבוע היא העתקת האפס (לא רק בדוגמא שלי, בכל העתקה שמקיימת את התנאי בשאלה).'''

צודקת, תודה רבה (:

'''אכן זו ההעתקה המתאימה. לכל שדה ממימד זוגי 2n ניתן למצוא כזו, נשלח את <math>e_1,...,e_n</math> ל-0, ואת <math>e_{n+1},...,e_{2n}</math> ל-<math>e_1,...,e_n</math> בהתאמה. עבור שדה ממימד אי זוגי אין זה אפשרי היות וזה ידרוש מימד שאיננו שלם. עדי

== בשאלה 2.18 מעמוד 57 ==

צריך להוכיח שקילות בין שלושה סעיפים.

ראשית, בין סעיפים א ו-ב, מספיק להשתמש במשפט המימדים (dimKerT+dimImT=dimV) עבור T ועבור T^2, ולהסתמך על כך ש-ImT^2 מוכלת ב-ImT, וש-KerT מוכל ב-KerT^2?

שנית, לא הצלחתי להוכיח גרירה מסעיף א לסעיף ג, או מסעיף ב לסעיף ג.

'''>> עשינו את השאלה בימלואה בתירגול האחרון.

שאלה נוספת- הבסיס הסטנדרטי של מרחב הפולינומים ממעלה 2 הוא: {1,x^2,x}.
קבוצת וקטורי הקואורדינטות של הבסיס הסטנדרטי, לפי עצמו, שהיא: {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} מהווה גם היא בסיס למרחב הפולינומים p[x]2?

'''>>לא, אלו וקטורי הבסיס הסטנדרטי של <math>F^3</math> אשר איזומורפי למרחב זה.

ודבר אחרון (לבינתיים...): יש צורך ללמוד העתקה דואלית למבחן? (המרצה אמר שצריך ללמוד מרחב דואלי ובסיס דואלי, אך האם גם העתקה?)

'''>> רק אם עשיתם את זה בכיתה.

עדי

== תרגילים 1 ו-2 ==

רלוונטיים לחומר הבחינה?

'''>> כבסיס לכל מה שבא אחרי. לא תוכל לפתור שאלה מעל המרוכבים ללא חשבון מרוכבים או להשתמש בתכונות של סקלרים מבלי לדעת אכסיומות של שדות.

עדי

== מבחן 2012 מועד ב' ==

בשאלה 3 הפתרון לא נכון ואני ממש לא יודעת איך פותרים אותו.
האם העובדה שהשדה שלי בעל p איברים אומרת שdimF^n=p^n??
תודה מראש :)

'''>>לא. המימד הוא n. הוא התכוון, כפי שנעשה בפיתרון, למימד מרחב ההעתקות. הדבר היחיד שחסר בפתרון הוא המעבר מהמימד שהוא אכן mn למספר האייברים, שזה מה שביקשו. כל מטריצה היא צ"ל של mn אייברי בסיס ולכל וקטור בסיס p אפשרויות לסקלר שהוא מקדמו בצירוף הלינארי. לכן <math>p^{mn}</math>. גם לפי משפט ההגדרה ניתן לשלוח n אייברי בסיס של <math>F^n</math> ל-n אייברי טווח מתוך <math>p^m</math> לכן <math>(p^m)^n=p^{mn}</math> אפשרויות.
עדי

== qn ==

Let V be a vector space over F.U is a subspace of V.Let v,w∈V.
Prove that if dim(U+span{(v+w)})<dim(U+sp{v}) then v,w∉U

'''Assume v,w∈U then U+sp{v+w}=U=U+sp{v}. Therefore dim(U+sp{v+w})=dim(U)=dim(U+sp{v}). contradiction
so v∉U or w∉U.

'''If (w∉U and v∈U) then v+w∉U and we get
<math>dim(U+span{(v+w)})=dim(U)+dim(sp\{v+w\})-dim(U\bigcap sp\{v+w\})=dim(U)+1-0\geq dim(U)=dim(U+sp\{v\})</math>. contradiction

'''If (v∉U and w∈U) then v+w∉U and we get
<math>dim(U+span{(v+w)})=dim(U)+dim(sp\{v+w\})-dim(U\bigcap sp\{v+w\})=dim(U)+1-0= dim(U)+dim(sp\{v\})-dim(U\bigcap sp\{v\})=dim(U+sp\{v\})</math>. contradiction

so v and w are not in U

Adi

== במבחנים מתשס"ו (מועד א' ו-ב') ==

השאלה הראשונה מתייחסת למערכת x=bA (ולא Ax=b). האם הסדר שונה בכוונה?...

(לא מתרגלת) אני חושבת שכן, תראי שכדי שהכפל יהיה מוגדר בכלל אזי b צריך להיות מצד שמאל, ואז את מקבלת שx הוא וקטור שורה בעל n מקומות

למה x לא יכול להיות וקטור שורה בעל n עמודות?

(נראה לי דווקא שהכפל כן מוגדר בצורה הזאת. נתון ש-b ב-Fm, כלומר הוא וקטור שורה או עמודה מגודל m (סדר 1xm, או mx1, בהתאמה).
נצא מנקודת הנחה שהוא מסדר 1xm, ואז אין בעיה לכפול (משמאל) במטריצה שמספר שורותיה הוא m.)

לא הבנת אותי נכון, התכוונתי שלפי דעתי אין טעות בסדר :)
אם b הוא מסדר 1Xm, אז x הוא מסדר 1Xn, כלומר וקטור שורה.
ומה שאמרת זה בדיוק מה שהתכוונתי.
ואגב-מאיפה מועד ב'?

מפה: [http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/]

תודה!

== מבחן 2010 ==

אפשר לקבל כיוון לפתרון שאלה 4א?

תודה.

(לא מתרגלת) תסמן dim(nullA<math>\cap</math>CspanB)=p
תקח בסיס לחיתוך, תשלים אותו לבסיס למרחב העמודות של B ואז תנסה לראות מה קורה כשמכפילים AB.

== 2012 מ ועד ב' ==

שלום! אפשר בבקשה להסביר מה לא נכון בפתרון של 3 סע' ב?
תודה!

'''>> ראשית, הוא לא הגדיר את התמונות מוכלות אלא שוות. שנית, זה שיש איזושהי זהות בין קבוצות התמונות לא אומר שמקור-מקור התמונות זהות.

הפיתרון הנכון צריך להיות:

<math>C(A)=sp\{v_1,...,v_k\}, C(B)=sp\{v_1,...,v_k,...,v_l\}, F^n=sp\{v_1,...,v_k,...,v_l,...,v_n\}</math>.

אזי, קיימים בסיסים <math>\{x_1,...,x_m\},\{y_1,...,y_m\}</math> כך ש-

<math>Ax_i=v_i,\ \forall i=1,...,k\ and\ 0\ otherwise</math>

<math>By_i=v_i,\ \forall i=1,...,l\ and\ 0\ otherwise</math>

ונגדיר C ע"י

<math>Cx_i=y_i,\ \forall i=1,...,k\ and\ 0\ otherwise</math>.

לכן:

<math>\forall i=1,...,m\ \ BCx_i=B(y_i,\ i=1,...,k\ and\ 0\ otherwise)=v_i,\ \forall i=1,...,k\ and\ 0\ otherwise=Ax_i</math>.

עדי

תודה רבה (:

== פונקציונאלים ==

איך מחשבים בסיס דואלי?
ומה לגבי השאלה שהמרצה נתן בנושא םונקציונלים בשיעור האחרון?
תודה.

'''>> ראה ע"מ 109 למטה בחוברת של ד"ר צבאן.

'''>> לגבי השאלה, אני לא יודעת מה סוכם מול המרצה. הוא אמר שתישלחו לו או משהו, לא? תמורת ציון?

עדי

לא זכור לי שנאמר משהו בנוגע לציון.

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2013-01-23T17:33:42Z

Yifath: /* 2012 מ ועד ב' */

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2013-01-23T17:33:11Z

Yifath: /* 2012 מ ועד ב' */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגיל 1 ==

רשום בהודעות שתרגיל 1 קוצר אך יורד לי בדיוק אותו קובץ שירד לי קודם (עם 7 שאלות)? [[משתמש:איל דימנט|איל דימנט]] 23:25, 24 באוקטובר 2012 (IST)

>זו הודעה של בדידה שהופיעה בטעות פה. תוקן. עדי

==רמז לשאלה 5,תרגיל 1==
<math>z^n=(rcis(\theta))^n=r^ncis(n \theta)=1 </math>
החלק המדומה בצד ימין הוא אפס. מתי החלק המדומה בצד שמאל הוא אפס? כתוצאה מכך מהי הזוית/זויות ומיהו r? ועל כן, היכן יושבים מרוכבים אלו על המישור?
עדי

== סילבוס ==

שלום, אשמח אם תעלו סילבוס של הקורס.
כרגע הסילבוס הוא של "בדידה" משום מה.
תודה.

'''>>תוקן. עדי

== תרגיל 1 שאלה 6 ==

שלום! האם אפשר לקבל הכוונה לשאלה 6? ניסיתי להציב אבל אני לא רואה איך אפשר עוד להתקדם בפתרון.... תודה מראש!

'''>> השאלה מה הצבת, את <math>z</math> או את הצמוד שלו? רצוי להתחיל ממה שידוע, כלומר, שהצבת <math>z</math> היא פיתרון. אז העזר בתכונות ההצמדה שהוכחנו בכיתה כדי לעבור להופעה של <math>\bar z</math> במשוואה זו במקום. עדי

== תרגיל בית 2 שאלה 2.3 סעיף ד ==

שלום! כשאומרים ש 0F=1Z3 מתכוונים לאיבר הראשון בZ3 או לאיבר 1 בZ3? תודה מראש!

'''>>לאיבר 1 ב<math>Z_3</math>. עדי'''

==שאלה 4ב בתרגיל 3==

יש לי שאלות של אסור ומותר לגבי הוכחות, שעלו בעקבות שאלה מספר 4ב בתרגיל מספר 3.
ראשית אני חושב שמותר לי להניח שהקבוצה מוכלת בתוך השדה, אחרת אין מה לדבר על תת שדה.
שנית, אני רוצה להוכיח כי הקבוצה שווה לשדה הנתון.
הגעתי לכך שהראיתי שאם קיים איבר בשדה שהוא לא בקבוצה, אז הסכום של 1 והאיבר "לפניו" (או קומבינציה מסויימת של אברי הקבוצה) הם בעצם אותו איבר שלא נמצא בקבוצה.
לכן הקבוצה לא סגורה תחת חיבור ולכן לא יכולה להיות שדה.
אני יכול לטעון זאת? מותר לי?
או שבשאלה הספציפית הזאת הדרך לפתור היא רק דרך הנחה בשלילה או הוכחת הקריטריון המקוצר?

'''>>ראשית, ודאי ש F שדה, זה נתון. שנית, הוכח פורמלית לפי הקריטריון המקוצר. עדי'''

== תרגיל מס' 2 שאלה לא מהחוברת ==

בסעיף א' איזה משוואה צריך לבנות?

'''>> <math>\forall (a,b),(c,d),(e,f)\in C\ \ (a,b)[(c,d)+(e,f)]=(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)</math> עם החיבור והכפל המוגדרים בשאלה. עדי'''

== תרגול 2 שאלה לא מהחוברת... ==

שלום! :)
לא הבנתי בדיוק את המשמעות של RxR...
אשמח להסבר!

'''>> <math>A\times B</math> הוא אוסף כל הזוגות הסדורים כך שה"קואורדינטה" הראשונה מגיעה מ-A והשניה מ-B:
<math>A\times B=\{(a,b):a\in A, b\in B\}</math>. '''במקרה זה <math>R\times R</math> הוא אוסף כל הזוגות הסדורים מעל הממשיים (כלומר המישור הממשי). היות ומספר מרוכב מוגדר ע"י זוג סדור של מספרים ממשיים (האחד מייצג את הרכיב הממשי והשני את הרכיב המדומה) ניתן להתייחס ל-<math>R\times R</math> כקב' שקולה ל-<math>C</math>, ממנו מגיעות הפעוללות המוגדרות בשאלה. עדי'''

== תרגיל 2 ==

לגבי שאלה 4.4 סעיף א' מהחוברת לא הבנתי איך זה עוזר לי אם אוכיח ש n*1f)*(m*1f)=(nm)*1f)
יפית, אמרת שארשום את זה בפורום ותסבירי לכולנו. תודה.

'''>>בהנחה שהוכחתם טענת עזר זאת, הניחו בשלילה ש-k הוא מאפיין השדה ואיננו ראשוני. הישתמשו בטענת העזר ובעובדה שאין בשדה מחלקי אפס על מנת להראות ש 1+...+1 יתאפס כבר בראשוניים שמחלקים את k בסתירה למינימליותו. עדי'''

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

הגדרנו תת שדה H של שדה F כך ש H צריכה קודם כל להיות תת קבוצה של F ואז לקיים את הקריטריון.
בשאלה יש p איברים ל F ואז מוכיחים שיש לקבוצה המועמדת להיות תת שדה גם p איברים.
אבל אם יש לקבוצה הזו p איברים שונים והיא גם תת קבוצה של F שגם היא בעלת p איברים שונים, לא ניתן להסיק בעצם שהיא שווה ל F?

'''>>כן, אבל איך זה רלוונטי לשאלה? בסעיף לא ידוע שב-H יש p אייברים, לכאורה H בנויה באופן אינסופי, מהות המבוקש להוכיח הוא כי למעשה לאחר p אייברים אין אייברים "חדשים". עדי

נכון, מבקשים להוכיח שבH יש p איברים ואכן הוכחתי זאת כפי שאמרת. לכן אם היא צריכה להיות תת קבוצה של F שגם לה p איברים שונים אז היא בהכרח שווה ל F לא? אם כן, כל הבדיקה של תת שדה מיותרת... כי אם H=F אז H כבר שדה.

'''>> ראשית, הורדתי את הפיתרון שרשמת... שנית, מי אמר שב F יש p איברים? הוא ממאפיין p. שדה מגודל 4 למשל הוא ממאפיין 2. עדי

ראשית, הגעתי לכך מאותה הסיבה שב Z5 יש 5 איברים וב Z7 יש 7 איברים ו H היא לא אינסופית כמו שנרשם. שנינו מסכימים על כך שב F יש לא פחות מ p איברים. אבל אם יהיו יותר, כמו בדוגמה שהבאת, אז בדיוק כמו ב H ניתן לרשום אותם כמו שרשמתי בהודעה הקודמת, כלומר לא מוסיפים איברים חדשים. גם אם ניקח את הקבוצה {0,1,2,3,4,5,6,8,9} בעלת 9 איברים מעל z7, היא שדה (הוכחתי זאת). אבל עדיין 8 ב z7 זה 1 ו 9 בz7 זה2. לכן כתיבתם מיותרת כי זה כמו לכתוב את הקבוצה {1} בצורה {1,1,1,1,1,1} ועדיין אומרים שיש איבר אחד בקבוצה ולא 6 איברים.

שנית, אם הייתי מסתכל בפתרונות, הייתי פשוט מעתיק ושותק. לא הייתי נכנס לדיונים ומביך את עצמי בפומבי.

'''>> אתה ממש לא מביך את עצמך! השאלה היא לגיטימית מאוד וזו טעות נפוצה. זו הסיבה שכ"כ חשוב לי שכולם יראו את ההערה באדום, לוודא שכולם נמנעים ממנה. אני מודה לך על השאלה! הלוואי והיו יותר.

'''לא הבנתי את הרלוונטיות של "מעתיק ושותק" לדיון.

'''בכל מקרה,

'''1. לא אמרתי ש-H אינסופית, אמרתי שהיא בנויה באופן אינסופי, היא כל האייברים מהצורה <math>1,1+1,1+1+1,...</math> כשמשמעות ה-3 נקודות היא ''וכן הלאה'', נראה שהם מתלכדים לכדיי p אייברים. כמו <math>\{1\}=\{1,1,1\}=\{1,1,1,...\}</math>, כשהכוונה בקבוצה האחרונה היא קבוצה של אינסוף אחדים, אך ניתן להוכיח שהיא סופית מגודל 1. היא לא אינסופית, אבל היא בנויה באופן אינסופי.

'''2.הנקודה לגבי שאלתך המקורית היא שב-F ''לא פחות'' מ-p אייברים ''שונים, ללא חזרות''. למשל בדוגמא שהעלתי למטה, ניתן לבנות תת שדה של 0 ו-1 עבור השדה מגודל 4. כלומר: F מגודל 4 וממאפיין 2. H נבנת כמו בשאלה, ע"י 1 של F, והיא גם ממאפיין 2 וגם מגודל 2.

'''עדי

<nowiki>1. התכוונתי שאם הייתי מעתיק את הפתרון, לא הייתי מנסה להפליל את עצמי ע"י שאלת שאלות, פשוט הייתי מעתיק וזהו.

2. אני לא מצליח להבין כיצד הדוגמה שהבאת שונה מהדוגמה שהבאתי על 9 איברים ב Z7. גם זה שדה של 9 איברים אבל המאפיין הוא 7. וגם כאן 8 שונה מ 1 ו9 שונה מ 2 (הם שווים רק מעל Z7), בדיוק כמו a ו b בדוגמה שהבאת. אבל עדיין מה שעשית הוא לקחת איבר מ Z7 ולרשום אותו בצורה אחרת, לא הוספתי שום איבר חדש (ואני גם לא יכול, כי מן הסתם הוא ירשם בצורה כלשהי ע"י אברי Z7). ההיגיון שלי יכול אולי לקבל את ההשערה שזה עובד לא ב Zp, אבל כרגע ב Zp אני לא מצליח לשכנע את עצמי שזה אכן כך.</nowiki>

'''>> 1. שוב, אני לא מבינה למה אתה מתכוון ב"להפליל את עצמך". לזה נועד הפורום, אני מעודדת שאילת שאלות והשאיפה שהדיון יעודד עוד אנשים לשאול. אני מתנצלת אם באיזושהי צורה התשובה שלי התפרשה אחרת.

'''לגבי העתקה, אני חושבת שברורה לכולנו חוסר התועלת של כך, למי שבוחר לעשות כן.

'''2. בדוגמא שהבאת 9 אייברים, אם אתה מסתכל עליה כמו שהיא, ואז היא איננה מוכלת בZ7. אם אתה מסתכל על איבריה מודולו 7 (זו לא ממש אותה קבוצה, זו קבוצת מנה של היח"ש מודולו 7) אז יש בה 7 אייברים, 1 לא שונה מ8 ו2 לא שונה מ9. דוגמא בZn לא תמצא כי Zn הוא שדה רק כאשר ה-n ראשוני. אין זה נכון במקרה הכללי לגבי גודל הקבוצה, אלא רק לגבי מאפיינה.

טוב, עכשיו הבנתי למה חשבת שאני חשבתי שהעתקת. כי רשמתי שהורדתי את הפיתרון. לא התכוונתי שהעתקת ועכשיו הסרתי אותו, התכוונתי שהורדתי את הפיתרון שרשמת בתשובה שלך. בתגובה המקורית שלך ל-להוכיח שב-H יש p איברים רשמת פיתרון מלא לאיך הראית את זה, אז הורדתי אותו. לא חשבתי בשום שלב שהעתקת

'''עדי

==חשוב מאוד! הבדילו בין גודלו של שדה למאפיינו==


הוכחנו שהמאפיין בהכרח ראשוני, אולם שדה יכול להיות מגודל שאינו ראשוני.

מצ"ב דוגמא חשובה, שדה מגודל 4 עם מאפיין 2(מוכרח להיות). עיינו בה וודאו שאתם מבינים אותה היטב.

[[מדיה:char(F)=2.doc|דוגמא חשובה F|=4, char(F)=2|]]


עדי
: כתוב בדף ש"שדה יכול להיות מכל גודל"; אני מניח שהכוונה היא להדגיש שגודל השדה אינו חייב להיות שווה למאפיין - יש כמובן מגבלות אחרות. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:11, 21 בנובמבר 2012 (IST)

תוקן. תודה

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

לא כל-כך ברור לי הקונספט של '''הוכחה''' בהקשר שמופיע בשאלה.

בסעיף א.- מעצם ההגדרה, לשדה סופי יש מאפיין חיובי, ושדה בעל מאפיין חיובי הוא בהכרח סופי.
האם הדרך להוכיח זאת היא ליצור פעולה של חיבור איברי יחידה במספר הולך וגדל (כמו הקבוצה בסעיף ב) ולהראות שקיים n כלשהו כך שמחיבור n איברי יחידה בהכרח נקבל 0 (שזוהי הגדרת מאפיין)?

בסעיף ב.- לכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp. למיטב הבנתי יוצא מזה, לפי הגדרת תת-שדה, שהפעולות של שדה סופי זהות לפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים.
מתוך זה נובע כי כל תת-שדה של שדה סופי הוא בעל פעולות זהות לאלו של ZcharF.

מה הכוונה ב'''להראות''' שאלו הן הפעולות של תת-השדה?

אגב, יש משפט לגבי יחידות של שדה? כלומר, האם שני שדות, שיש להם את אותם איברי היחידה והאפס, אותן פעולות החיבור והכפל, ואותו הגודל, הם בהכרח אותו השדה?

'''>> סעיף א-

'''זו הגדרת מאפיין של שדה: המאפיין (או המציין) של שדה הוא המספר ''הטבעי'' n הקטן ביותר כך ש- <math>1_F+1_F+...</math> n פעמים הוא אפס של השדה. אם n אינסופי נאמר שהמאפיין אפס. כך שהמאפיין תמיד אי שלילי ושלם.

'''לגבי ההוכחה, אכן יש להראות שקיים n שכזה, אך החשיבות היא להראות שהוא סופי.

'''סעיף ב-

'''זה לא נכון שלכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp, כי Zp איננו מוכל בכל שדה.

עבור שדה ממאפיין p תת שדה מ'''גודל''' p '''יתנהג''' כמו Zp, כלומר, טבלאות הפעולה שלו יהיו זהות.

'''לא נכון לומר שהפעולות זהות, אלא שטבלאות הפעולה זהות, כלומר חיבור וכפל בין האיבר ה-i לאיבר ה-j (לא בהכרח המספרים i ו-j) ילכו לאיבר ה-k וה- h בהתאמה (כלומר k לחיבור, ו-h לכפל), בשני השדות.

'''אין זה נכון שטבלת הפעולות של שדה סופי זהה לטבלת הפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים היות וגודל השדה יכול להיות גדול מהמאפיין שלו, כפי שניתן לראות בדוגמא למעלה. זה לא יכול לקרות ב-Zn שם הקבוצה היא שדה רק כאשר גודלה ראשוני, ולכן שווה למאפיינה.

אם גודל השדה=מאפיין השדה, ולכן ראשוני, אז הוא '''מתנהג''' כמו ZcharF.

לגבי ההערה האחרונה: במקרה הסופי כן, במקרה האינסופי לא, לדוגמא R ו-C. אבל הנקודה בחלק השני של סעיף ב' היא לא '''שיוויון''' בין השדות או הפעולות אלא '''התנהגות''' זהה של הפעולות.

'''עדי

==המשך להערה החשובה==

שימו לב שתת השדה בסעיף ב' של שאלה 4 בתרגיל 3 בנוי להיות בעל '''מספר טיבעי''' של אייברים וכולם מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>. לא כל שדה הוא מגודל טיבעי, בניגוד למאפיין. למשל R עם החיבור והכפל המוכרים לנו. המשמעות היא שלא בהכרח כל איבר בשדה הוא מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>, הוא כן בהכרח מהצורה <math>1_F\cdot a</math> עבור a מהשדה, לדוגמא <math>1.5</math> ב-R.

למעשה, רק charF אייברים בשדה יהיו מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>, וכפי שכבר הבנו, יתכן שבשדה יותר מ-charF אייברים.

עדי


== תרגיל 4 תרגיל נוסף לא מהחוברת ==

שלום! איך בדיוק מתארים אלגוריתם? תיארתי לעצמי במילים את השלבים של הדירוג, איך בדיוק אני אמורה לתרגם את זה לכתיבה מתמטית..? תודהה:)

'''>> תאור (תקין) במילים הוא בסדר גמור. את יכולה להוסיף דיאגרמה של המטריצה להסבר, ע"מ להימנע מאי הבנות או כפל משמעות. עדי

== זהות בין מטריצות ==

האם בכדי להוכיח ששתי מטריצות שוות, מספיק להראות כי הן מאותו הסדר וכי נוסחת האיבר הכללי (נגיד: aij, כש-i אינדקס שורה, j אינדקס עמודה) שלהן זהה?

'''>>כן, סדר ושיוויון רכיב-רכיב. עדי

== בוחן ==

שלום! מה בדיוק החומר לבוחן..? ואיך כדאי ללמוד? תודה!:)

'''>> עד מרחבים וקטורים, לא כולל. כדאי לפתור את כל התרגילים מההרצאה, תירגולים ושעורי בית. הפורום זמין לשאלות ודיונים. עדי

== תרגילים 2 ו-3 ==

נבדקו והוחזרו כבר?

== שאלה 4.2 מתרגיל 5 ==

אבל גם בכלל.
לעתים תכופות קורה, דווקא בשאלות הטריוויאליות יותר, שלא ברור לי אילו היסקים "מותר" לעשות ואילו לא.

הדוגמא הרלוונטית לעכשיו:

הגדרתי: A=(aij) B=(bij) ולכן: A+B=(aij+bij)
השאלה היא כזאת: האם כשאני משחלפת את A+B מותר לי לומר: (A+B)טרנספוז= (aji+bji( או שזוהי הנחת המבוקש?

ובאופן כללי יותר, קיימים קווים מנחים להוכחה ריגורוזית?

תודה מראש

'''>> ההוכחה אכן קצרה באופן מעט מרתיע, לכן עלינו להקפיד על פורמליות. אם <math>\ C=A+B=(c_{ij}),\ C^t=(d_{ij})\ </math> תאמרו מצד אחד מיהו <math>c_{ij}</math> בהסתמך על הסכום, מצד שני מיהו <math>d_{ij}</math> בהסתמך על הגדרת שיחלוף ורק בסוף תקשרו ביניהם.

'''לגבי השאלה הכללית: ההיתר (ובמובן זה גם ההגבלה) בהוכחה היא להסתמך על מה שהוכח עד נקודה זו ובלבד ש-

'''1. זו איננה מהות כל המבוקש להוכיח (לפעמים תתבקשו למשל להוכיח טענות שהוכחתם בכיתה)

'''2. שלא השתמשתם בהוכחה בטענה שהוכחתה מסתמכת על מה שאתם מנסים להוכיח כעת (כלומר, לא ליצור מעגליות בהוכחה, להסתמך על ב כדי להוכיח א כאשר השתמשתם ב-א כדי להוכיח את ב).
עדי

== כפל מטריצות משוחלפות ==

אם מוגדרות: <math>A=(aij) , B=(bij)</math>,
ועשינו טרנספוז ל-A:
<math>A^t=(aji)</math>

אז המכפלה: <math>C=A^tB</math>

יוצרת איזו מבין נוסחאות האיבר הכללי:

<math>cij=sum_{l}^{n}ailblj</math>

או <math>cij=sum_{l}^{n}aliblj</math> ?

הראשונה "שולחת" אותנו ל-<math>A^t</math>, אבל "מאבדת" את הקשר עם <math>A</math> (נראה לי).
השניה "שולחת" אותנו ישירות ל-<math>A</math> (אבל המכפלה היא על <math>A^t</math> ).

'''>> ראשית תוודא שהמכפלה הנ"ל מוגדרת. במידה וכן <math>A^t=(d_{ij})</math> כאשר <math>d_{ij}=a_{ji}\ \forall j,i</math>.

'''לכן
<math>c_{ij}=\Sigma_{l=1}^{n}d_{il}b_{lj}=\Sigma_{l=1}^{n}a_{li}b_{lj}</math>

'''ולכן המשוואה השניה היא הנכונה. המשוואה הראשונה מגדירה איבר כללי בAB (שוב, במידה ומכפלה זו מוגדרת). עדי

תודה רבה, עדי (:


==חומר לבוחן==
כל החומר עד מרחבים וקטוריים, לא כולל. תרגיל 6 לא נכלל בשאלות, אבל לא יכול להזיק לפתור לקראת הבוחן שאלות מהחוברת עד עמ' 19 כולל.


== מיקום הבוחן ==

היכן מתקיים הבוחן לקבוצה של יפית?

== תרגיל בית מספר 7 ==

בשאלה 2 שלא מהחוברת, במקומות של השדה מופיעים ריבועים ריקים.

'''>>לא אצל כולם משום מה. בכל מקרה זה C.

אוקי תודה רבה. האם ניתן להעלות את התרגילים כקבצי pdf?

== תרגיל 7 שאלה 4.8 ==

האם יש קשר בין סעיף א ל-ב? כלומר, האם הדרישה היא למצוא "נוסחא כללית" ל-Ui ו-Vi כך שעבור i=1 מתקיים א ועבור i=2 מתקיים ב?

או שצריך למצוא U,V שמקיימים את א, ובלי קשר למצוא U,V אחרים שמקיימים את ב?

'''>> לא, אין קשר. Ui,Vi לא צריכים להיות תלויים ב-i באופן של-1 קורה א ול-2 קורה ב. צריך דוגמא עבור א ודוגמא (תלויה או לא תלויה בה) עבור ב. עדי

== בוחן <math>II</math> ==



ב-7 לינואר, 18:00-19:00 יתקיים בקורס בוחן (השני מתוך שניים) על מרחבים וקטוריים, תתי מרחבים, תלות-לינארית, בסיס, מימד ודרגה של מטריצה, בפרט גם: מרחב העמודות, מרחב השורות ומרחב האפס <math>(A\in M_{mxn}(F),\ Null(A)=\{v\in F^n:Av=0\})</math>. יש ללמוד את כל החומר מההרצאות.

הבוחן יתקיים בבניין:604, כיתה:62 . יפית ועדי



== תרגיל 10 שאלה 11.12 ==

אנחנו עובדות תחת ההנחה ש-A היא מסדר nxn? זה מצוין בתרגיל הקודם, אבל לא בנוכחי, ונדמה לי שללא ההנחה הזאת הטענות אינן שקולות.

'''>>כן

== שאלת הוכחה ==

== כותרת ==
איך מוכיחים שאם ההעתקה לינארית אזי ההעתקה מה-0 מ"ו של התחום הולך ל-0 מ"ו של הטווח?

'''>> תהי <math>T:V->W</math>. אם <math>V\ne \{0\}</math> אז <math>\exist v\in V:0\ne v</math> ולכן <math>T(0_V)=T(v+(-v))=T(v)+T(-v)=T(v)-T(v)=0_W</math>.

'''אם V הוא מרחב האפס ו-W לא (אם כן אז אפס יכול ללכת רק לאפס) ונניח בשלילה ש <math>T(0_V)=w\in W:w\ne 0_W</math>

'''אז <math>-w=-T(0_V)=T(-0_V)=T(0_V)</math>

'''כלומר <math>w=-w</math>, אחרת למקור שתי תמונות.

'''כתוצאה מכך, אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין שונה מ-2 אז <math>w=0_W</math>.

'''אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין 2 אז <math>T(0_V)=T(0_V+0_V)=T(0_V)+T(0_V)=2w=0_W</math>, מה שלא יכול לקרות כי <math>w\ne 0_W</math> ומקור לא יכול להישלח לשתי תמונות.

עדי

== בוחן שני ==

תוכלו להעלות לאתר את השאלות מהבוחן השני?

'''>>עלה ביום הבוחן

== פתרונות למבחנים ==

האם אפשר לצרף פתרונות למבחנים שהועלו לאתר?

תודה.

'''>>העלתי אחד בינתיים

תודה.

== בסיס ל-NULL ==

רציתי לשאול, כשרוצים למצוא את הבסיס והמימד של KerF בהע"ל מ-R4 ל-R3, אני פותרת מע' משוואות הומוגנית, ו-2 משתנים חופשיים, האם קיימים מס' בסיסים? לי יצא ווקטורי בסיס של (0 1 2 1) (1- 0 1 2)
ובספר (1 0 2 1) (0 1- 1 2)

'''>>וודאי. תבדקי אם הם פורשים את אותו מרחב, כלומר, שתיהן קב' בת"ל מאותו גודל (מה שאכן קורה) וניתן לקבל את הוקטורים של האחת כצ"ל של וקטורי השניה.
'''אכן, אם הן פורשות מרחב מאותו מימד והאחת מוכלת בשניה אז הן שוות.
עדי

== פונקציונלים ==

עמוד 108 שאלה 1.3 ב, בחוברת של בועז צבאן. איך מוכיחים שההעתקה היא לא פונקציונל? (איך מוכיחים שהיא כן..?) אמרנו שפונקציונל זה העתקה של מרחב לשדה שלו, למה זה לא מתקיים בשאלה 1.3? תודה מראש:)

'''>> בדיוק כפי שעושים עבור ה"ל. פונקציונל היא ה"ל במקרה הפרטי שהטווח הינו שדה המרחב הוקטורי בתחום.

'''במקרה של דטרמינטות: <math>|kA|=k^n|A|</math> ולא <math>k|A|</math> כפי שדורשת ה"ל

'''במקרה ב', קל למצוא דוגמא, למשל: <math>T((2,2)+(2,3))=T(4,5)=20\ne T(2,2)+T(2,3)=4+6=10</math>.

עדי

== בועז צבאן עמוד 56 שאלה 2.7 סעיף א ==

ב- <math>T=T^{2}</math>
הכוונה ש: <math>\forall v\epsilon V: T(v)=T^{2}(v)=T(T(v))</math> ?

'''>>כן.

אם זוהי אכן הכוונה, האם ניתן להפריך ע"י הדוגמא הבאה?

<math>T(v)=T(x,y)=(x,0) , V=\mathbb{R}^{2}</math>

ואז התנאי מתקיים, אבל <math>T\neq I_{v},-I_{v}</math>

'''>> נכון מאוד.

== דרגת מטריצה ==

שלום! איך מוכיחים ש rankAB קטן או שווה ל rankA (או B)? תודה!

<math>y\in C(AB)=>\exists x:ABx=y=>\exists Bx:A(Bx)=y => y\in C(A)=>C(AB)\subseteq C(A)=>rank(AB)\leq rank(A)</math>

כמו כן, נאמר שמס' העמודות ב-B הוא m, ולכן גם מס' העמודות ב-AB הוא m/

ממשפט הדרגה

<math>dim(Null(B))+rank(B)=m=dim(Null(AB))+rank(AB)</math>

היות ו-

<math>x\in Null(B) => Bx=0 =>ABx=0 => x\in Null(AB) =>Null(B)\subseteq Null(AB) => dim(Null(B))\leq dim(Null(AB))</math>

נקבל ש-

<math>rank(B)\geq rank(AB)</math>.

עדי

== תרגיל 1 מועד א 2006 ==

אומרים שלכל b למערכת Ax=b יש פתרון (b שייך לFm). אז אני מוכיחה שA הפיכה ולכן יש פתרון יחיד,
א. האם נכון שזה גורר שעמודות ושורות A בתל וש n=m?
ב. האם מרחב העמודות של A שווה ל Fm? איך מוכיחים זאת?
תודה רבה!

'''>> ראשית, אם אינך יודע אם n=m איך הוכחת שA הפיכה? מט' הפיכה רק אם היא ריבועית. בכל מקרה הנתון אינו גורר זאת ולא פיתרון יחיד.

<math>C(A)=F^m</math> היות ונתון כי לכל b קיים <math>x=(x_1,...,x_n)</math> כך ש <math>Ax=\sum x_iC_i(A)=b</math>. כלומר עמודות A פורשות כל וקטור ב<math>F^m</math>.

עדי

== העתקות ==

האם קיימת העתקה מR2 לR2 כך ש: imT=kerT?

מה עם נגיד העתקה ששולחת כל (0,X) לוקטור האפס וכל (X,Y) לוקטור (0,X)?

'''(לא מתרגלת)
בהגדרה שלך יש בעיה, היא שולחת וקטור מהצורה (x,0) לשני וקטורים שונים: (0,0) מצד אחד ו-(x,0) מצד שני.

אם תגדיר אותה כך שרק כאשר y שונה מאפס היא תשלח את (x,y) לוקטור (x,0), תקבל העתקה שאינה לינארית.
לדוגמא: (1,2) יילך ל- (1,0), (2-,2) יילך ל-(2,0), אבל (1,2)+(2-,2)=(3,0) יילך ל-(0,0)
[ולא ל-(3,0), כפי שהיה אמור להיות בהעתקה לינארית].

והצעה להעתקה כזו (לא בדקתי עד הסוף, אבל נראה לי):

העתקה T ששולחת כל וקטור (x,y) לוקטור (0,y). ככה יתקבל בתמונה כל ציר ה-x, והגרעין יהיה כל הוקטורים שערך ה-y שלהם הוא 0, שזה גם ציר ה-x. כדאי לשים לב, אגב, ש-T בריבוע היא העתקת האפס (לא רק בדוגמא שלי, בכל העתקה שמקיימת את התנאי בשאלה).'''

צודקת, תודה רבה (:

'''אכן זו ההעתקה המתאימה. לכל שדה ממימד זוגי 2n ניתן למצוא כזו, נשלח את <math>e_1,...,e_n</math> ל-0, ואת <math>e_{n+1},...,e_{2n}</math> ל-<math>e_1,...,e_n</math> בהתאמה. עבור שדה ממימד אי זוגי אין זה אפשרי היות וזה ידרוש מימד שאיננו שלם. עדי

== בשאלה 2.18 מעמוד 57 ==

צריך להוכיח שקילות בין שלושה סעיפים.

ראשית, בין סעיפים א ו-ב, מספיק להשתמש במשפט המימדים (dimKerT+dimImT=dimV) עבור T ועבור T^2, ולהסתמך על כך ש-ImT^2 מוכלת ב-ImT, וש-KerT מוכל ב-KerT^2?

שנית, לא הצלחתי להוכיח גרירה מסעיף א לסעיף ג, או מסעיף ב לסעיף ג.

'''>> עשינו את השאלה בימלואה בתירגול האחרון.

שאלה נוספת- הבסיס הסטנדרטי של מרחב הפולינומים ממעלה 2 הוא: {1,x^2,x}.
קבוצת וקטורי הקואורדינטות של הבסיס הסטנדרטי, לפי עצמו, שהיא: {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} מהווה גם היא בסיס למרחב הפולינומים p[x]2?

'''>>לא, אלו וקטורי הבסיס הסטנדרטי של <math>F^3</math> אשר איזומורפי למרחב זה.

ודבר אחרון (לבינתיים...): יש צורך ללמוד העתקה דואלית למבחן? (המרצה אמר שצריך ללמוד מרחב דואלי ובסיס דואלי, אך האם גם העתקה?)

'''>> רק אם עשיתם את זה בכיתה.

עדי

== תרגילים 1 ו-2 ==

רלוונטיים לחומר הבחינה?

'''>> כבסיס לכל מה שבא אחרי. לא תוכל לפתור שאלה מעל המרוכבים ללא חשבון מרוכבים או להשתמש בתכונות של סקלרים מבלי לדעת אכסיומות של שדות.

עדי

== מבחן 2012 מועד ב' ==

בשאלה 3 הפתרון לא נכון ואני ממש לא יודעת איך פותרים אותו.
האם העובדה שהשדה שלי בעל p איברים אומרת שdimF^n=p^n??
תודה מראש :)

'''>>לא. המימד הוא n. הוא התכוון, כפי שנעשה בפיתרון, למימד מרחב ההעתקות. הדבר היחיד שחסר בפתרון הוא המעבר מהמימד שהוא אכן mn למספר האייברים, שזה מה שביקשו. כל מטריצה היא צ"ל של mn אייברי בסיס ולכל וקטור בסיס p אפשרויות לסקלר שהוא מקדמו בצירוף הלינארי. לכן <math>p^{mn}</math>. גם לפי משפט ההגדרה ניתן לשלוח n אייברי בסיס של <math>F^n</math> ל-n אייברי טווח מתוך <math>p^m</math> לכן <math>(p^m)^n=p^{mn}</math> אפשרויות.
עדי

== qn ==

Let V be a vector space over F.U is a subspace of V.Let v,w∈V.
Prove that if dim(U+span{(v+w)})<dim(U+sp{v}) then v,w∉U

'''Assume v,w∈U then U+sp{v+w}=U=U+sp{v}. Therefore dim(U+sp{v+w})=dim(U)=dim(U+sp{v}). contradiction
so v∉U or w∉U.

'''If (w∉U and v∈U) then v+w∉U and we get
<math>dim(U+span{(v+w)})=dim(U)+dim(sp\{v+w\})-dim(U\bigcap sp\{v+w\})=dim(U)+1-0\geq dim(U)=dim(U+sp\{v\})</math>. contradiction

'''If (v∉U and w∈U) then v+w∉U and we get
<math>dim(U+span{(v+w)})=dim(U)+dim(sp\{v+w\})-dim(U\bigcap sp\{v+w\})=dim(U)+1-0= dim(U)+dim(sp\{v\})-dim(U\bigcap sp\{v\})=dim(U+sp\{v\})</math>. contradiction

so v and w are not in U

Adi

== במבחנים מתשס"ו (מועד א' ו-ב') ==

השאלה הראשונה מתייחסת למערכת x=bA (ולא Ax=b). האם הסדר שונה בכוונה?...

(לא מתרגלת) אני חושבת שכן, תראי שכדי שהכפל יהיה מוגדר בכלל אזי b צריך להיות מצד שמאל, ואז את מקבלת שx הוא וקטור שורה בעל n מקומות

למה x לא יכול להיות וקטור שורה בעל n עמודות?

(נראה לי דווקא שהכפל כן מוגדר בצורה הזאת. נתון ש-b ב-Fm, כלומר הוא וקטור שורה או עמודה מגודל m (סדר 1xm, או mx1, בהתאמה).
נצא מנקודת הנחה שהוא מסדר 1xm, ואז אין בעיה לכפול (משמאל) במטריצה שמספר שורותיה הוא m.)

לא הבנת אותי נכון, התכוונתי שלפי דעתי אין טעות בסדר :)
אם b הוא מסדר 1Xm, אז x הוא מסדר 1Xn, כלומר וקטור שורה.
ומה שאמרת זה בדיוק מה שהתכוונתי.
ואגב-מאיפה מועד ב'?

מפה: [http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/]

תודה!

== מבחן 2010 ==

אפשר לקבל כיוון לפתרון שאלה 4א?

תודה.

(לא מתרגלת) תסמן dim(nullA<math>\cap</math>CspanB)=p
תקח בסיס לחיתוך, תשלים אותו לבסיס למרחב העמודות של B ואז תנסה לראות מה קורה כשמכפילים AB.

== 2012 מ ועד ב' ==

שלום! אפשר בבקשה להסביר מה לא נכון בפתרון של 3 סע' ב?
תודה!

'''>> ראשית, הוא לא הגדיר את התמונות מוכלות אלא שוות. שנית, זה שיש איזושהי זהות בין קבוצות התמונות לא אומר שמקור-מקור התמונות זהות.

הפיתרון הנכון צריך להיות:

<math>C(A)=sp\{v_1,...,v_k\}, C(B)=sp\{v_1,...,v_k,...,v_l\}, F^n=sp\{v_1,...,v_k,...,v_l,...,v_n\}</math>.

אזי, קיימים בסיסים <math>\{x_1,...,x_m\},\{y_1,...,y_m\}</math> כך ש-

<math>Ax_i=v_i,\ \forall i=1,...,k\ and\ 0\ otherwise</math>

<math>By_i=v_i,\ \forall i=1,...,l\ and\ 0\ otherwise</math>

ונגדיר C ע"י

<math>Cx_i=y_i,\ \forall i=1,...,k\ and\ 0\ otherwise</math>.

לכן:

<math>\forall i=1,...,m\ \ BCx_i=B(y_i,\ i=1,...,k\ and\ 0\ otherwise)=v_i,\ \forall i=1,...,k\ and\ 0\ otherwise=Ax_i</math>.

תודה רבה (:
עדי

== פונקציונאלים ==

איך מחשבים בסיס דואלי?
ומה לגבי השאלה שהמרצה נתן בנושא םונקציונלים בשיעור האחרון?
תודה.

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2013-01-23T14:47:55Z

Yifath: /* במבחנים מתשס"ו (מועד א' ו-ב') */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגיל 1 ==

רשום בהודעות שתרגיל 1 קוצר אך יורד לי בדיוק אותו קובץ שירד לי קודם (עם 7 שאלות)? [[משתמש:איל דימנט|איל דימנט]] 23:25, 24 באוקטובר 2012 (IST)

>זו הודעה של בדידה שהופיעה בטעות פה. תוקן. עדי

==רמז לשאלה 5,תרגיל 1==
<math>z^n=(rcis(\theta))^n=r^ncis(n \theta)=1 </math>
החלק המדומה בצד ימין הוא אפס. מתי החלק המדומה בצד שמאל הוא אפס? כתוצאה מכך מהי הזוית/זויות ומיהו r? ועל כן, היכן יושבים מרוכבים אלו על המישור?
עדי

== סילבוס ==

שלום, אשמח אם תעלו סילבוס של הקורס.
כרגע הסילבוס הוא של "בדידה" משום מה.
תודה.

'''>>תוקן. עדי

== תרגיל 1 שאלה 6 ==

שלום! האם אפשר לקבל הכוונה לשאלה 6? ניסיתי להציב אבל אני לא רואה איך אפשר עוד להתקדם בפתרון.... תודה מראש!

'''>> השאלה מה הצבת, את <math>z</math> או את הצמוד שלו? רצוי להתחיל ממה שידוע, כלומר, שהצבת <math>z</math> היא פיתרון. אז העזר בתכונות ההצמדה שהוכחנו בכיתה כדי לעבור להופעה של <math>\bar z</math> במשוואה זו במקום. עדי

== תרגיל בית 2 שאלה 2.3 סעיף ד ==

שלום! כשאומרים ש 0F=1Z3 מתכוונים לאיבר הראשון בZ3 או לאיבר 1 בZ3? תודה מראש!

'''>>לאיבר 1 ב<math>Z_3</math>. עדי'''

==שאלה 4ב בתרגיל 3==

יש לי שאלות של אסור ומותר לגבי הוכחות, שעלו בעקבות שאלה מספר 4ב בתרגיל מספר 3.
ראשית אני חושב שמותר לי להניח שהקבוצה מוכלת בתוך השדה, אחרת אין מה לדבר על תת שדה.
שנית, אני רוצה להוכיח כי הקבוצה שווה לשדה הנתון.
הגעתי לכך שהראיתי שאם קיים איבר בשדה שהוא לא בקבוצה, אז הסכום של 1 והאיבר "לפניו" (או קומבינציה מסויימת של אברי הקבוצה) הם בעצם אותו איבר שלא נמצא בקבוצה.
לכן הקבוצה לא סגורה תחת חיבור ולכן לא יכולה להיות שדה.
אני יכול לטעון זאת? מותר לי?
או שבשאלה הספציפית הזאת הדרך לפתור היא רק דרך הנחה בשלילה או הוכחת הקריטריון המקוצר?

'''>>ראשית, ודאי ש F שדה, זה נתון. שנית, הוכח פורמלית לפי הקריטריון המקוצר. עדי'''

== תרגיל מס' 2 שאלה לא מהחוברת ==

בסעיף א' איזה משוואה צריך לבנות?

'''>> <math>\forall (a,b),(c,d),(e,f)\in C\ \ (a,b)[(c,d)+(e,f)]=(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)</math> עם החיבור והכפל המוגדרים בשאלה. עדי'''

== תרגול 2 שאלה לא מהחוברת... ==

שלום! :)
לא הבנתי בדיוק את המשמעות של RxR...
אשמח להסבר!

'''>> <math>A\times B</math> הוא אוסף כל הזוגות הסדורים כך שה"קואורדינטה" הראשונה מגיעה מ-A והשניה מ-B:
<math>A\times B=\{(a,b):a\in A, b\in B\}</math>. '''במקרה זה <math>R\times R</math> הוא אוסף כל הזוגות הסדורים מעל הממשיים (כלומר המישור הממשי). היות ומספר מרוכב מוגדר ע"י זוג סדור של מספרים ממשיים (האחד מייצג את הרכיב הממשי והשני את הרכיב המדומה) ניתן להתייחס ל-<math>R\times R</math> כקב' שקולה ל-<math>C</math>, ממנו מגיעות הפעוללות המוגדרות בשאלה. עדי'''

== תרגיל 2 ==

לגבי שאלה 4.4 סעיף א' מהחוברת לא הבנתי איך זה עוזר לי אם אוכיח ש n*1f)*(m*1f)=(nm)*1f)
יפית, אמרת שארשום את זה בפורום ותסבירי לכולנו. תודה.

'''>>בהנחה שהוכחתם טענת עזר זאת, הניחו בשלילה ש-k הוא מאפיין השדה ואיננו ראשוני. הישתמשו בטענת העזר ובעובדה שאין בשדה מחלקי אפס על מנת להראות ש 1+...+1 יתאפס כבר בראשוניים שמחלקים את k בסתירה למינימליותו. עדי'''

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

הגדרנו תת שדה H של שדה F כך ש H צריכה קודם כל להיות תת קבוצה של F ואז לקיים את הקריטריון.
בשאלה יש p איברים ל F ואז מוכיחים שיש לקבוצה המועמדת להיות תת שדה גם p איברים.
אבל אם יש לקבוצה הזו p איברים שונים והיא גם תת קבוצה של F שגם היא בעלת p איברים שונים, לא ניתן להסיק בעצם שהיא שווה ל F?

'''>>כן, אבל איך זה רלוונטי לשאלה? בסעיף לא ידוע שב-H יש p אייברים, לכאורה H בנויה באופן אינסופי, מהות המבוקש להוכיח הוא כי למעשה לאחר p אייברים אין אייברים "חדשים". עדי

נכון, מבקשים להוכיח שבH יש p איברים ואכן הוכחתי זאת כפי שאמרת. לכן אם היא צריכה להיות תת קבוצה של F שגם לה p איברים שונים אז היא בהכרח שווה ל F לא? אם כן, כל הבדיקה של תת שדה מיותרת... כי אם H=F אז H כבר שדה.

'''>> ראשית, הורדתי את הפיתרון שרשמת... שנית, מי אמר שב F יש p איברים? הוא ממאפיין p. שדה מגודל 4 למשל הוא ממאפיין 2. עדי

ראשית, הגעתי לכך מאותה הסיבה שב Z5 יש 5 איברים וב Z7 יש 7 איברים ו H היא לא אינסופית כמו שנרשם. שנינו מסכימים על כך שב F יש לא פחות מ p איברים. אבל אם יהיו יותר, כמו בדוגמה שהבאת, אז בדיוק כמו ב H ניתן לרשום אותם כמו שרשמתי בהודעה הקודמת, כלומר לא מוסיפים איברים חדשים. גם אם ניקח את הקבוצה {0,1,2,3,4,5,6,8,9} בעלת 9 איברים מעל z7, היא שדה (הוכחתי זאת). אבל עדיין 8 ב z7 זה 1 ו 9 בz7 זה2. לכן כתיבתם מיותרת כי זה כמו לכתוב את הקבוצה {1} בצורה {1,1,1,1,1,1} ועדיין אומרים שיש איבר אחד בקבוצה ולא 6 איברים.

שנית, אם הייתי מסתכל בפתרונות, הייתי פשוט מעתיק ושותק. לא הייתי נכנס לדיונים ומביך את עצמי בפומבי.

'''>> אתה ממש לא מביך את עצמך! השאלה היא לגיטימית מאוד וזו טעות נפוצה. זו הסיבה שכ"כ חשוב לי שכולם יראו את ההערה באדום, לוודא שכולם נמנעים ממנה. אני מודה לך על השאלה! הלוואי והיו יותר.

'''לא הבנתי את הרלוונטיות של "מעתיק ושותק" לדיון.

'''בכל מקרה,

'''1. לא אמרתי ש-H אינסופית, אמרתי שהיא בנויה באופן אינסופי, היא כל האייברים מהצורה <math>1,1+1,1+1+1,...</math> כשמשמעות ה-3 נקודות היא ''וכן הלאה'', נראה שהם מתלכדים לכדיי p אייברים. כמו <math>\{1\}=\{1,1,1\}=\{1,1,1,...\}</math>, כשהכוונה בקבוצה האחרונה היא קבוצה של אינסוף אחדים, אך ניתן להוכיח שהיא סופית מגודל 1. היא לא אינסופית, אבל היא בנויה באופן אינסופי.

'''2.הנקודה לגבי שאלתך המקורית היא שב-F ''לא פחות'' מ-p אייברים ''שונים, ללא חזרות''. למשל בדוגמא שהעלתי למטה, ניתן לבנות תת שדה של 0 ו-1 עבור השדה מגודל 4. כלומר: F מגודל 4 וממאפיין 2. H נבנת כמו בשאלה, ע"י 1 של F, והיא גם ממאפיין 2 וגם מגודל 2.

'''עדי

<nowiki>1. התכוונתי שאם הייתי מעתיק את הפתרון, לא הייתי מנסה להפליל את עצמי ע"י שאלת שאלות, פשוט הייתי מעתיק וזהו.

2. אני לא מצליח להבין כיצד הדוגמה שהבאת שונה מהדוגמה שהבאתי על 9 איברים ב Z7. גם זה שדה של 9 איברים אבל המאפיין הוא 7. וגם כאן 8 שונה מ 1 ו9 שונה מ 2 (הם שווים רק מעל Z7), בדיוק כמו a ו b בדוגמה שהבאת. אבל עדיין מה שעשית הוא לקחת איבר מ Z7 ולרשום אותו בצורה אחרת, לא הוספתי שום איבר חדש (ואני גם לא יכול, כי מן הסתם הוא ירשם בצורה כלשהי ע"י אברי Z7). ההיגיון שלי יכול אולי לקבל את ההשערה שזה עובד לא ב Zp, אבל כרגע ב Zp אני לא מצליח לשכנע את עצמי שזה אכן כך.</nowiki>

'''>> 1. שוב, אני לא מבינה למה אתה מתכוון ב"להפליל את עצמך". לזה נועד הפורום, אני מעודדת שאילת שאלות והשאיפה שהדיון יעודד עוד אנשים לשאול. אני מתנצלת אם באיזושהי צורה התשובה שלי התפרשה אחרת.

'''לגבי העתקה, אני חושבת שברורה לכולנו חוסר התועלת של כך, למי שבוחר לעשות כן.

'''2. בדוגמא שהבאת 9 אייברים, אם אתה מסתכל עליה כמו שהיא, ואז היא איננה מוכלת בZ7. אם אתה מסתכל על איבריה מודולו 7 (זו לא ממש אותה קבוצה, זו קבוצת מנה של היח"ש מודולו 7) אז יש בה 7 אייברים, 1 לא שונה מ8 ו2 לא שונה מ9. דוגמא בZn לא תמצא כי Zn הוא שדה רק כאשר ה-n ראשוני. אין זה נכון במקרה הכללי לגבי גודל הקבוצה, אלא רק לגבי מאפיינה.

טוב, עכשיו הבנתי למה חשבת שאני חשבתי שהעתקת. כי רשמתי שהורדתי את הפיתרון. לא התכוונתי שהעתקת ועכשיו הסרתי אותו, התכוונתי שהורדתי את הפיתרון שרשמת בתשובה שלך. בתגובה המקורית שלך ל-להוכיח שב-H יש p איברים רשמת פיתרון מלא לאיך הראית את זה, אז הורדתי אותו. לא חשבתי בשום שלב שהעתקת

'''עדי

==חשוב מאוד! הבדילו בין גודלו של שדה למאפיינו==


הוכחנו שהמאפיין בהכרח ראשוני, אולם שדה יכול להיות מגודל שאינו ראשוני.

מצ"ב דוגמא חשובה, שדה מגודל 4 עם מאפיין 2(מוכרח להיות). עיינו בה וודאו שאתם מבינים אותה היטב.

[[מדיה:char(F)=2.doc|דוגמא חשובה F|=4, char(F)=2|]]


עדי
: כתוב בדף ש"שדה יכול להיות מכל גודל"; אני מניח שהכוונה היא להדגיש שגודל השדה אינו חייב להיות שווה למאפיין - יש כמובן מגבלות אחרות. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:11, 21 בנובמבר 2012 (IST)

תוקן. תודה

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

לא כל-כך ברור לי הקונספט של '''הוכחה''' בהקשר שמופיע בשאלה.

בסעיף א.- מעצם ההגדרה, לשדה סופי יש מאפיין חיובי, ושדה בעל מאפיין חיובי הוא בהכרח סופי.
האם הדרך להוכיח זאת היא ליצור פעולה של חיבור איברי יחידה במספר הולך וגדל (כמו הקבוצה בסעיף ב) ולהראות שקיים n כלשהו כך שמחיבור n איברי יחידה בהכרח נקבל 0 (שזוהי הגדרת מאפיין)?

בסעיף ב.- לכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp. למיטב הבנתי יוצא מזה, לפי הגדרת תת-שדה, שהפעולות של שדה סופי זהות לפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים.
מתוך זה נובע כי כל תת-שדה של שדה סופי הוא בעל פעולות זהות לאלו של ZcharF.

מה הכוונה ב'''להראות''' שאלו הן הפעולות של תת-השדה?

אגב, יש משפט לגבי יחידות של שדה? כלומר, האם שני שדות, שיש להם את אותם איברי היחידה והאפס, אותן פעולות החיבור והכפל, ואותו הגודל, הם בהכרח אותו השדה?

'''>> סעיף א-

'''זו הגדרת מאפיין של שדה: המאפיין (או המציין) של שדה הוא המספר ''הטבעי'' n הקטן ביותר כך ש- <math>1_F+1_F+...</math> n פעמים הוא אפס של השדה. אם n אינסופי נאמר שהמאפיין אפס. כך שהמאפיין תמיד אי שלילי ושלם.

'''לגבי ההוכחה, אכן יש להראות שקיים n שכזה, אך החשיבות היא להראות שהוא סופי.

'''סעיף ב-

'''זה לא נכון שלכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp, כי Zp איננו מוכל בכל שדה.

עבור שדה ממאפיין p תת שדה מ'''גודל''' p '''יתנהג''' כמו Zp, כלומר, טבלאות הפעולה שלו יהיו זהות.

'''לא נכון לומר שהפעולות זהות, אלא שטבלאות הפעולה זהות, כלומר חיבור וכפל בין האיבר ה-i לאיבר ה-j (לא בהכרח המספרים i ו-j) ילכו לאיבר ה-k וה- h בהתאמה (כלומר k לחיבור, ו-h לכפל), בשני השדות.

'''אין זה נכון שטבלת הפעולות של שדה סופי זהה לטבלת הפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים היות וגודל השדה יכול להיות גדול מהמאפיין שלו, כפי שניתן לראות בדוגמא למעלה. זה לא יכול לקרות ב-Zn שם הקבוצה היא שדה רק כאשר גודלה ראשוני, ולכן שווה למאפיינה.

אם גודל השדה=מאפיין השדה, ולכן ראשוני, אז הוא '''מתנהג''' כמו ZcharF.

לגבי ההערה האחרונה: במקרה הסופי כן, במקרה האינסופי לא, לדוגמא R ו-C. אבל הנקודה בחלק השני של סעיף ב' היא לא '''שיוויון''' בין השדות או הפעולות אלא '''התנהגות''' זהה של הפעולות.

'''עדי

==המשך להערה החשובה==

שימו לב שתת השדה בסעיף ב' של שאלה 4 בתרגיל 3 בנוי להיות בעל '''מספר טיבעי''' של אייברים וכולם מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>. לא כל שדה הוא מגודל טיבעי, בניגוד למאפיין. למשל R עם החיבור והכפל המוכרים לנו. המשמעות היא שלא בהכרח כל איבר בשדה הוא מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>, הוא כן בהכרח מהצורה <math>1_F\cdot a</math> עבור a מהשדה, לדוגמא <math>1.5</math> ב-R.

למעשה, רק charF אייברים בשדה יהיו מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>, וכפי שכבר הבנו, יתכן שבשדה יותר מ-charF אייברים.

עדי


== תרגיל 4 תרגיל נוסף לא מהחוברת ==

שלום! איך בדיוק מתארים אלגוריתם? תיארתי לעצמי במילים את השלבים של הדירוג, איך בדיוק אני אמורה לתרגם את זה לכתיבה מתמטית..? תודהה:)

'''>> תאור (תקין) במילים הוא בסדר גמור. את יכולה להוסיף דיאגרמה של המטריצה להסבר, ע"מ להימנע מאי הבנות או כפל משמעות. עדי

== זהות בין מטריצות ==

האם בכדי להוכיח ששתי מטריצות שוות, מספיק להראות כי הן מאותו הסדר וכי נוסחת האיבר הכללי (נגיד: aij, כש-i אינדקס שורה, j אינדקס עמודה) שלהן זהה?

'''>>כן, סדר ושיוויון רכיב-רכיב. עדי

== בוחן ==

שלום! מה בדיוק החומר לבוחן..? ואיך כדאי ללמוד? תודה!:)

'''>> עד מרחבים וקטורים, לא כולל. כדאי לפתור את כל התרגילים מההרצאה, תירגולים ושעורי בית. הפורום זמין לשאלות ודיונים. עדי

== תרגילים 2 ו-3 ==

נבדקו והוחזרו כבר?

== שאלה 4.2 מתרגיל 5 ==

אבל גם בכלל.
לעתים תכופות קורה, דווקא בשאלות הטריוויאליות יותר, שלא ברור לי אילו היסקים "מותר" לעשות ואילו לא.

הדוגמא הרלוונטית לעכשיו:

הגדרתי: A=(aij) B=(bij) ולכן: A+B=(aij+bij)
השאלה היא כזאת: האם כשאני משחלפת את A+B מותר לי לומר: (A+B)טרנספוז= (aji+bji( או שזוהי הנחת המבוקש?

ובאופן כללי יותר, קיימים קווים מנחים להוכחה ריגורוזית?

תודה מראש

'''>> ההוכחה אכן קצרה באופן מעט מרתיע, לכן עלינו להקפיד על פורמליות. אם <math>\ C=A+B=(c_{ij}),\ C^t=(d_{ij})\ </math> תאמרו מצד אחד מיהו <math>c_{ij}</math> בהסתמך על הסכום, מצד שני מיהו <math>d_{ij}</math> בהסתמך על הגדרת שיחלוף ורק בסוף תקשרו ביניהם.

'''לגבי השאלה הכללית: ההיתר (ובמובן זה גם ההגבלה) בהוכחה היא להסתמך על מה שהוכח עד נקודה זו ובלבד ש-

'''1. זו איננה מהות כל המבוקש להוכיח (לפעמים תתבקשו למשל להוכיח טענות שהוכחתם בכיתה)

'''2. שלא השתמשתם בהוכחה בטענה שהוכחתה מסתמכת על מה שאתם מנסים להוכיח כעת (כלומר, לא ליצור מעגליות בהוכחה, להסתמך על ב כדי להוכיח א כאשר השתמשתם ב-א כדי להוכיח את ב).
עדי

== כפל מטריצות משוחלפות ==

אם מוגדרות: <math>A=(aij) , B=(bij)</math>,
ועשינו טרנספוז ל-A:
<math>A^t=(aji)</math>

אז המכפלה: <math>C=A^tB</math>

יוצרת איזו מבין נוסחאות האיבר הכללי:

<math>cij=sum_{l}^{n}ailblj</math>

או <math>cij=sum_{l}^{n}aliblj</math> ?

הראשונה "שולחת" אותנו ל-<math>A^t</math>, אבל "מאבדת" את הקשר עם <math>A</math> (נראה לי).
השניה "שולחת" אותנו ישירות ל-<math>A</math> (אבל המכפלה היא על <math>A^t</math> ).

'''>> ראשית תוודא שהמכפלה הנ"ל מוגדרת. במידה וכן <math>A^t=(d_{ij})</math> כאשר <math>d_{ij}=a_{ji}\ \forall j,i</math>.

'''לכן
<math>c_{ij}=\Sigma_{l=1}^{n}d_{il}b_{lj}=\Sigma_{l=1}^{n}a_{li}b_{lj}</math>

'''ולכן המשוואה השניה היא הנכונה. המשוואה הראשונה מגדירה איבר כללי בAB (שוב, במידה ומכפלה זו מוגדרת). עדי

תודה רבה, עדי (:


==חומר לבוחן==
כל החומר עד מרחבים וקטוריים, לא כולל. תרגיל 6 לא נכלל בשאלות, אבל לא יכול להזיק לפתור לקראת הבוחן שאלות מהחוברת עד עמ' 19 כולל.


== מיקום הבוחן ==

היכן מתקיים הבוחן לקבוצה של יפית?

== תרגיל בית מספר 7 ==

בשאלה 2 שלא מהחוברת, במקומות של השדה מופיעים ריבועים ריקים.

'''>>לא אצל כולם משום מה. בכל מקרה זה C.

אוקי תודה רבה. האם ניתן להעלות את התרגילים כקבצי pdf?

== תרגיל 7 שאלה 4.8 ==

האם יש קשר בין סעיף א ל-ב? כלומר, האם הדרישה היא למצוא "נוסחא כללית" ל-Ui ו-Vi כך שעבור i=1 מתקיים א ועבור i=2 מתקיים ב?

או שצריך למצוא U,V שמקיימים את א, ובלי קשר למצוא U,V אחרים שמקיימים את ב?

'''>> לא, אין קשר. Ui,Vi לא צריכים להיות תלויים ב-i באופן של-1 קורה א ול-2 קורה ב. צריך דוגמא עבור א ודוגמא (תלויה או לא תלויה בה) עבור ב. עדי

== בוחן <math>II</math> ==



ב-7 לינואר, 18:00-19:00 יתקיים בקורס בוחן (השני מתוך שניים) על מרחבים וקטוריים, תתי מרחבים, תלות-לינארית, בסיס, מימד ודרגה של מטריצה, בפרט גם: מרחב העמודות, מרחב השורות ומרחב האפס <math>(A\in M_{mxn}(F),\ Null(A)=\{v\in F^n:Av=0\})</math>. יש ללמוד את כל החומר מההרצאות.

הבוחן יתקיים בבניין:604, כיתה:62 . יפית ועדי



== תרגיל 10 שאלה 11.12 ==

אנחנו עובדות תחת ההנחה ש-A היא מסדר nxn? זה מצוין בתרגיל הקודם, אבל לא בנוכחי, ונדמה לי שללא ההנחה הזאת הטענות אינן שקולות.

'''>>כן

== שאלת הוכחה ==

== כותרת ==
איך מוכיחים שאם ההעתקה לינארית אזי ההעתקה מה-0 מ"ו של התחום הולך ל-0 מ"ו של הטווח?

'''>> תהי <math>T:V->W</math>. אם <math>V\ne \{0\}</math> אז <math>\exist v\in V:0\ne v</math> ולכן <math>T(0_V)=T(v+(-v))=T(v)+T(-v)=T(v)-T(v)=0_W</math>.

'''אם V הוא מרחב האפס ו-W לא (אם כן אז אפס יכול ללכת רק לאפס) ונניח בשלילה ש <math>T(0_V)=w\in W:w\ne 0_W</math>

'''אז <math>-w=-T(0_V)=T(-0_V)=T(0_V)</math>

'''כלומר <math>w=-w</math>, אחרת למקור שתי תמונות.

'''כתוצאה מכך, אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין שונה מ-2 אז <math>w=0_W</math>.

'''אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין 2 אז <math>T(0_V)=T(0_V+0_V)=T(0_V)+T(0_V)=2w=0_W</math>, מה שלא יכול לקרות כי <math>w\ne 0_W</math> ומקור לא יכול להישלח לשתי תמונות.

עדי

== בוחן שני ==

תוכלו להעלות לאתר את השאלות מהבוחן השני?

'''>>עלה ביום הבוחן

== פתרונות למבחנים ==

האם אפשר לצרף פתרונות למבחנים שהועלו לאתר?

תודה.

'''>>העלתי אחד בינתיים

תודה.

== בסיס ל-NULL ==

רציתי לשאול, כשרוצים למצוא את הבסיס והמימד של KerF בהע"ל מ-R4 ל-R3, אני פותרת מע' משוואות הומוגנית, ו-2 משתנים חופשיים, האם קיימים מס' בסיסים? לי יצא ווקטורי בסיס של (0 1 2 1) (1- 0 1 2)
ובספר (1 0 2 1) (0 1- 1 2)

'''>>וודאי. תבדקי אם הם פורשים את אותו מרחב, כלומר, שתיהן קב' בת"ל מאותו גודל (מה שאכן קורה) וניתן לקבל את הוקטורים של האחת כצ"ל של וקטורי השניה.
'''אכן, אם הן פורשות מרחב מאותו מימד והאחת מוכלת בשניה אז הן שוות.
עדי

== פונקציונלים ==

עמוד 108 שאלה 1.3 ב, בחוברת של בועז צבאן. איך מוכיחים שההעתקה היא לא פונקציונל? (איך מוכיחים שהיא כן..?) אמרנו שפונקציונל זה העתקה של מרחב לשדה שלו, למה זה לא מתקיים בשאלה 1.3? תודה מראש:)

'''>> בדיוק כפי שעושים עבור ה"ל. פונקציונל היא ה"ל במקרה הפרטי שהטווח הינו שדה המרחב הוקטורי בתחום.

'''במקרה של דטרמינטות: <math>|kA|=k^n|A|</math> ולא <math>k|A|</math> כפי שדורשת ה"ל

'''במקרה ב', קל למצוא דוגמא, למשל: <math>T((2,2)+(2,3))=T(4,5)=20\ne T(2,2)+T(2,3)=4+6=10</math>.

עדי

== בועז צבאן עמוד 56 שאלה 2.7 סעיף א ==

ב- <math>T=T^{2}</math>
הכוונה ש: <math>\forall v\epsilon V: T(v)=T^{2}(v)=T(T(v))</math> ?

'''>>כן.

אם זוהי אכן הכוונה, האם ניתן להפריך ע"י הדוגמא הבאה?

<math>T(v)=T(x,y)=(x,0) , V=\mathbb{R}^{2}</math>

ואז התנאי מתקיים, אבל <math>T\neq I_{v},-I_{v}</math>

'''>> נכון מאוד.

== דרגת מטריצה ==

שלום! איך מוכיחים ש rankAB קטן או שווה ל rankA (או B)? תודה!

<math>y\in C(AB)=>\exists x:ABx=y=>\exists Bx:A(Bx)=y => y\in C(A)=>C(AB)\subseteq C(A)=>rank(AB)\leq rank(A)</math>

כמו כן, נאמר שמס' העמודות ב-B הוא m, ולכן גם מס' העמודות ב-AB הוא m/

ממשפט הדרגה

<math>dim(Null(B))+rank(B)=m=dim(Null(AB))+rank(AB)</math>

היות ו-

<math>x\in Null(B) => Bx=0 =>ABx=0 => x\in Null(AB) =>Null(B)\subseteq Null(AB) => dim(Null(B))\leq dim(Null(AB))</math>

נקבל ש-

<math>rank(B)\geq rank(AB)</math>.

עדי

== תרגיל 1 מועד א 2006 ==

אומרים שלכל b למערכת Ax=b יש פתרון (b שייך לFm). אז אני מוכיחה שA הפיכה ולכן יש פתרון יחיד,
א. האם נכון שזה גורר שעמודות ושורות A בתל וש n=m?
ב. האם מרחב העמודות של A שווה ל Fm? איך מוכיחים זאת?
תודה רבה!

'''>> ראשית, אם אינך יודע אם n=m איך הוכחת שA הפיכה? מט' הפיכה רק אם היא ריבועית. בכל מקרה הנתון אינו גורר זאת ולא פיתרון יחיד.

<math>C(A)=F^m</math> היות ונתון כי לכל b קיים <math>x=(x_1,...,x_n)</math> כך ש <math>Ax=\sum x_iC_i(A)=b</math>. כלומר עמודות A פורשות כל וקטור ב<math>F^m</math>.

עדי

== העתקות ==

האם קיימת העתקה מR2 לR2 כך ש: imT=kerT?

מה עם נגיד העתקה ששולחת כל (0,X) לוקטור האפס וכל (X,Y) לוקטור (0,X)?

'''(לא מתרגלת)
בהגדרה שלך יש בעיה, היא שולחת וקטור מהצורה (x,0) לשני וקטורים שונים: (0,0) מצד אחד ו-(x,0) מצד שני.

אם תגדיר אותה כך שרק כאשר y שונה מאפס היא תשלח את (x,y) לוקטור (x,0), תקבל העתקה שאינה לינארית.
לדוגמא: (1,2) יילך ל- (1,0), (2-,2) יילך ל-(2,0), אבל (1,2)+(2-,2)=(3,0) יילך ל-(0,0)
[ולא ל-(3,0), כפי שהיה אמור להיות בהעתקה לינארית].

והצעה להעתקה כזו (לא בדקתי עד הסוף, אבל נראה לי):

העתקה T ששולחת כל וקטור (x,y) לוקטור (0,y). ככה יתקבל בתמונה כל ציר ה-x, והגרעין יהיה כל הוקטורים שערך ה-y שלהם הוא 0, שזה גם ציר ה-x. כדאי לשים לב, אגב, ש-T בריבוע היא העתקת האפס (לא רק בדוגמא שלי, בכל העתקה שמקיימת את התנאי בשאלה).'''

צודקת, תודה רבה (:

'''אכן זו ההעתקה המתאימה. לכל שדה ממימד זוגי 2n ניתן למצוא כזו, נשלח את <math>e_1,...,e_n</math> ל-0, ואת <math>e_{n+1},...,e_{2n}</math> ל-<math>e_1,...,e_n</math> בהתאמה. עבור שדה ממימד אי זוגי אין זה אפשרי היות וזה ידרוש מימד שאיננו שלם. עדי

== בשאלה 2.18 מעמוד 57 ==

צריך להוכיח שקילות בין שלושה סעיפים.

ראשית, בין סעיפים א ו-ב, מספיק להשתמש במשפט המימדים (dimKerT+dimImT=dimV) עבור T ועבור T^2, ולהסתמך על כך ש-ImT^2 מוכלת ב-ImT, וש-KerT מוכל ב-KerT^2?

שנית, לא הצלחתי להוכיח גרירה מסעיף א לסעיף ג, או מסעיף ב לסעיף ג.

'''>> עשינו את השאלה בימלואה בתירגול האחרון.

שאלה נוספת- הבסיס הסטנדרטי של מרחב הפולינומים ממעלה 2 הוא: {1,x^2,x}.
קבוצת וקטורי הקואורדינטות של הבסיס הסטנדרטי, לפי עצמו, שהיא: {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} מהווה גם היא בסיס למרחב הפולינומים p[x]2?

'''>>לא, אלו וקטורי הבסיס הסטנדרטי של <math>F^3</math> אשר איזומורפי למרחב זה.

ודבר אחרון (לבינתיים...): יש צורך ללמוד העתקה דואלית למבחן? (המרצה אמר שצריך ללמוד מרחב דואלי ובסיס דואלי, אך האם גם העתקה?)

'''>> רק אם עשיתם את זה בכיתה.

עדי

== תרגילים 1 ו-2 ==

רלוונטיים לחומר הבחינה?

'''>> כבסיס לכל מה שבא אחרי. לא תוכל לפתור שאלה מעל המרוכבים ללא חשבון מרוכבים או להשתמש בתכונות של סקלרים מבלי לדעת אכסיומות של שדות.

עדי

== מבחן 2012 מועד ב' ==

בשאלה 3 הפתרון לא נכון ואני ממש לא יודעת איך פותרים אותו.
האם העובדה שהשדה שלי בעל p איברים אומרת שdimF^n=p^n??
תודה מראש :)

'''>>לא. המימד הוא n. הוא התכוון, כפי שנעשה בפיתרון, למימד מרחב ההעתקות. הדבר היחיד שחסר בפתרון הוא המעבר מהמימד שהוא אכן mn למספר האייברים, שזה מה שביקשו. כל מטריצה היא צ"ל של mn אייברי בסיס ולכל וקטור בסיס p אפשרויות לסקלר שהוא מקדמו בצירוף הלינארי. לכן <math>p^{mn}</math>. גם לפי משפט ההגדרה ניתן לשלוח n אייברי בסיס של <math>F^n</math> ל-n אייברי טווח מתוך <math>p^m</math> לכן <math>(p^m)^n=p^{mn}</math> אפשרויות.
עדי

== qn ==

Let V be a vector space over F.U is a subspace of V.Let v,w∈V.
Prove that if dim(U+span{(v+w)})<dim(U+sp{v}) then v,w∉U

'''Assume v,w∈U then U+sp{v+w}=U=U+sp{v}. Therefore dim(U+sp{v+w})=dim(U)=dim(U+sp{v}). contradiction
so v∉U or w∉U.

'''If (w∉U and v∈U) then v+w∉U and we get
<math>dim(U+span{(v+w)})=dim(U)+dim(sp\{v+w\})-dim(U\bigcap sp\{v+w\})=dim(U)+1-0\geq dim(U)=dim(U+sp\{v\})</math>. contradiction

'''If (v∉U and w∈U) then v+w∉U and we get
<math>dim(U+span{(v+w)})=dim(U)+dim(sp\{v+w\})-dim(U\bigcap sp\{v+w\})=dim(U)+1-0= dim(U)+dim(sp\{v\})-dim(U\bigcap sp\{v\})=dim(U+sp\{v\})</math>. contradiction

so v and w are not in U

Adi

== במבחנים מתשס"ו (מועד א' ו-ב') ==

השאלה הראשונה מתייחסת למערכת x=bA (ולא Ax=b). האם הסדר שונה בכוונה?...

(לא מתרגלת) אני חושבת שכן, תראי שכדי שהכפל יהיה מוגדר בכלל אזי b צריך להיות מצד שמאל, ואז את מקבלת שx הוא וקטור שורה בעל n מקומות

למה x לא יכול להיות וקטור שורה בעל n עמודות?

(נראה לי דווקא שהכפל כן מוגדר בצורה הזאת. נתון ש-b ב-Fm, כלומר הוא וקטור שורה או עמודה מגודל m (סדר 1xm, או mx1, בהתאמה).
נצא מנקודת הנחה שהוא מסדר 1xm, ואז אין בעיה לכפול (משמאל) במטריצה שמספר שורותיה הוא m.)

לא הבנת אותי נכון, התכוונתי שלפי דעתי אין טעות בסדר :)
אם b הוא מסדר 1Xm, אז x הוא מסדר 1Xn, כלומר וקטור שורה.
ומה שאמרת זה בדיוק מה שהתכוונתי.
ואגב-מאיפה מועד ב'?

מפה: [http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/]

תודה!

== מבחן 2010 ==

אפשר לקבל כיוון לפתרון שאלה 4א?

תודה.

(לא מתרגלת) תסמן dim(nullA<math>\cap</math>CspanB)=p
תקח בסיס לחיתוך, תשלים אותו לבסיס למרחב העמודות של B ואז תנסה לראות מה קורה כשמכפילים AB.

== 2012 מ ועד ב' ==

שלום! אפשר בבקשה להסביר מה לא נכון בפתרון של 3 סע' ב?
תודה!

== פונקציונאלים ==

איך מחשבים בסיס דואלי?
ומה לגבי השאלה שהמרצה נתן בנושא םונקציונלים בשיעור האחרון?
תודה.

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2013-01-23T14:36:04Z

Yifath: /* מבחן 2010 */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגיל 1 ==

רשום בהודעות שתרגיל 1 קוצר אך יורד לי בדיוק אותו קובץ שירד לי קודם (עם 7 שאלות)? [[משתמש:איל דימנט|איל דימנט]] 23:25, 24 באוקטובר 2012 (IST)

>זו הודעה של בדידה שהופיעה בטעות פה. תוקן. עדי

==רמז לשאלה 5,תרגיל 1==
<math>z^n=(rcis(\theta))^n=r^ncis(n \theta)=1 </math>
החלק המדומה בצד ימין הוא אפס. מתי החלק המדומה בצד שמאל הוא אפס? כתוצאה מכך מהי הזוית/זויות ומיהו r? ועל כן, היכן יושבים מרוכבים אלו על המישור?
עדי

== סילבוס ==

שלום, אשמח אם תעלו סילבוס של הקורס.
כרגע הסילבוס הוא של "בדידה" משום מה.
תודה.

'''>>תוקן. עדי

== תרגיל 1 שאלה 6 ==

שלום! האם אפשר לקבל הכוונה לשאלה 6? ניסיתי להציב אבל אני לא רואה איך אפשר עוד להתקדם בפתרון.... תודה מראש!

'''>> השאלה מה הצבת, את <math>z</math> או את הצמוד שלו? רצוי להתחיל ממה שידוע, כלומר, שהצבת <math>z</math> היא פיתרון. אז העזר בתכונות ההצמדה שהוכחנו בכיתה כדי לעבור להופעה של <math>\bar z</math> במשוואה זו במקום. עדי

== תרגיל בית 2 שאלה 2.3 סעיף ד ==

שלום! כשאומרים ש 0F=1Z3 מתכוונים לאיבר הראשון בZ3 או לאיבר 1 בZ3? תודה מראש!

'''>>לאיבר 1 ב<math>Z_3</math>. עדי'''

==שאלה 4ב בתרגיל 3==

יש לי שאלות של אסור ומותר לגבי הוכחות, שעלו בעקבות שאלה מספר 4ב בתרגיל מספר 3.
ראשית אני חושב שמותר לי להניח שהקבוצה מוכלת בתוך השדה, אחרת אין מה לדבר על תת שדה.
שנית, אני רוצה להוכיח כי הקבוצה שווה לשדה הנתון.
הגעתי לכך שהראיתי שאם קיים איבר בשדה שהוא לא בקבוצה, אז הסכום של 1 והאיבר "לפניו" (או קומבינציה מסויימת של אברי הקבוצה) הם בעצם אותו איבר שלא נמצא בקבוצה.
לכן הקבוצה לא סגורה תחת חיבור ולכן לא יכולה להיות שדה.
אני יכול לטעון זאת? מותר לי?
או שבשאלה הספציפית הזאת הדרך לפתור היא רק דרך הנחה בשלילה או הוכחת הקריטריון המקוצר?

'''>>ראשית, ודאי ש F שדה, זה נתון. שנית, הוכח פורמלית לפי הקריטריון המקוצר. עדי'''

== תרגיל מס' 2 שאלה לא מהחוברת ==

בסעיף א' איזה משוואה צריך לבנות?

'''>> <math>\forall (a,b),(c,d),(e,f)\in C\ \ (a,b)[(c,d)+(e,f)]=(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)</math> עם החיבור והכפל המוגדרים בשאלה. עדי'''

== תרגול 2 שאלה לא מהחוברת... ==

שלום! :)
לא הבנתי בדיוק את המשמעות של RxR...
אשמח להסבר!

'''>> <math>A\times B</math> הוא אוסף כל הזוגות הסדורים כך שה"קואורדינטה" הראשונה מגיעה מ-A והשניה מ-B:
<math>A\times B=\{(a,b):a\in A, b\in B\}</math>. '''במקרה זה <math>R\times R</math> הוא אוסף כל הזוגות הסדורים מעל הממשיים (כלומר המישור הממשי). היות ומספר מרוכב מוגדר ע"י זוג סדור של מספרים ממשיים (האחד מייצג את הרכיב הממשי והשני את הרכיב המדומה) ניתן להתייחס ל-<math>R\times R</math> כקב' שקולה ל-<math>C</math>, ממנו מגיעות הפעוללות המוגדרות בשאלה. עדי'''

== תרגיל 2 ==

לגבי שאלה 4.4 סעיף א' מהחוברת לא הבנתי איך זה עוזר לי אם אוכיח ש n*1f)*(m*1f)=(nm)*1f)
יפית, אמרת שארשום את זה בפורום ותסבירי לכולנו. תודה.

'''>>בהנחה שהוכחתם טענת עזר זאת, הניחו בשלילה ש-k הוא מאפיין השדה ואיננו ראשוני. הישתמשו בטענת העזר ובעובדה שאין בשדה מחלקי אפס על מנת להראות ש 1+...+1 יתאפס כבר בראשוניים שמחלקים את k בסתירה למינימליותו. עדי'''

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

הגדרנו תת שדה H של שדה F כך ש H צריכה קודם כל להיות תת קבוצה של F ואז לקיים את הקריטריון.
בשאלה יש p איברים ל F ואז מוכיחים שיש לקבוצה המועמדת להיות תת שדה גם p איברים.
אבל אם יש לקבוצה הזו p איברים שונים והיא גם תת קבוצה של F שגם היא בעלת p איברים שונים, לא ניתן להסיק בעצם שהיא שווה ל F?

'''>>כן, אבל איך זה רלוונטי לשאלה? בסעיף לא ידוע שב-H יש p אייברים, לכאורה H בנויה באופן אינסופי, מהות המבוקש להוכיח הוא כי למעשה לאחר p אייברים אין אייברים "חדשים". עדי

נכון, מבקשים להוכיח שבH יש p איברים ואכן הוכחתי זאת כפי שאמרת. לכן אם היא צריכה להיות תת קבוצה של F שגם לה p איברים שונים אז היא בהכרח שווה ל F לא? אם כן, כל הבדיקה של תת שדה מיותרת... כי אם H=F אז H כבר שדה.

'''>> ראשית, הורדתי את הפיתרון שרשמת... שנית, מי אמר שב F יש p איברים? הוא ממאפיין p. שדה מגודל 4 למשל הוא ממאפיין 2. עדי

ראשית, הגעתי לכך מאותה הסיבה שב Z5 יש 5 איברים וב Z7 יש 7 איברים ו H היא לא אינסופית כמו שנרשם. שנינו מסכימים על כך שב F יש לא פחות מ p איברים. אבל אם יהיו יותר, כמו בדוגמה שהבאת, אז בדיוק כמו ב H ניתן לרשום אותם כמו שרשמתי בהודעה הקודמת, כלומר לא מוסיפים איברים חדשים. גם אם ניקח את הקבוצה {0,1,2,3,4,5,6,8,9} בעלת 9 איברים מעל z7, היא שדה (הוכחתי זאת). אבל עדיין 8 ב z7 זה 1 ו 9 בz7 זה2. לכן כתיבתם מיותרת כי זה כמו לכתוב את הקבוצה {1} בצורה {1,1,1,1,1,1} ועדיין אומרים שיש איבר אחד בקבוצה ולא 6 איברים.

שנית, אם הייתי מסתכל בפתרונות, הייתי פשוט מעתיק ושותק. לא הייתי נכנס לדיונים ומביך את עצמי בפומבי.

'''>> אתה ממש לא מביך את עצמך! השאלה היא לגיטימית מאוד וזו טעות נפוצה. זו הסיבה שכ"כ חשוב לי שכולם יראו את ההערה באדום, לוודא שכולם נמנעים ממנה. אני מודה לך על השאלה! הלוואי והיו יותר.

'''לא הבנתי את הרלוונטיות של "מעתיק ושותק" לדיון.

'''בכל מקרה,

'''1. לא אמרתי ש-H אינסופית, אמרתי שהיא בנויה באופן אינסופי, היא כל האייברים מהצורה <math>1,1+1,1+1+1,...</math> כשמשמעות ה-3 נקודות היא ''וכן הלאה'', נראה שהם מתלכדים לכדיי p אייברים. כמו <math>\{1\}=\{1,1,1\}=\{1,1,1,...\}</math>, כשהכוונה בקבוצה האחרונה היא קבוצה של אינסוף אחדים, אך ניתן להוכיח שהיא סופית מגודל 1. היא לא אינסופית, אבל היא בנויה באופן אינסופי.

'''2.הנקודה לגבי שאלתך המקורית היא שב-F ''לא פחות'' מ-p אייברים ''שונים, ללא חזרות''. למשל בדוגמא שהעלתי למטה, ניתן לבנות תת שדה של 0 ו-1 עבור השדה מגודל 4. כלומר: F מגודל 4 וממאפיין 2. H נבנת כמו בשאלה, ע"י 1 של F, והיא גם ממאפיין 2 וגם מגודל 2.

'''עדי

<nowiki>1. התכוונתי שאם הייתי מעתיק את הפתרון, לא הייתי מנסה להפליל את עצמי ע"י שאלת שאלות, פשוט הייתי מעתיק וזהו.

2. אני לא מצליח להבין כיצד הדוגמה שהבאת שונה מהדוגמה שהבאתי על 9 איברים ב Z7. גם זה שדה של 9 איברים אבל המאפיין הוא 7. וגם כאן 8 שונה מ 1 ו9 שונה מ 2 (הם שווים רק מעל Z7), בדיוק כמו a ו b בדוגמה שהבאת. אבל עדיין מה שעשית הוא לקחת איבר מ Z7 ולרשום אותו בצורה אחרת, לא הוספתי שום איבר חדש (ואני גם לא יכול, כי מן הסתם הוא ירשם בצורה כלשהי ע"י אברי Z7). ההיגיון שלי יכול אולי לקבל את ההשערה שזה עובד לא ב Zp, אבל כרגע ב Zp אני לא מצליח לשכנע את עצמי שזה אכן כך.</nowiki>

'''>> 1. שוב, אני לא מבינה למה אתה מתכוון ב"להפליל את עצמך". לזה נועד הפורום, אני מעודדת שאילת שאלות והשאיפה שהדיון יעודד עוד אנשים לשאול. אני מתנצלת אם באיזושהי צורה התשובה שלי התפרשה אחרת.

'''לגבי העתקה, אני חושבת שברורה לכולנו חוסר התועלת של כך, למי שבוחר לעשות כן.

'''2. בדוגמא שהבאת 9 אייברים, אם אתה מסתכל עליה כמו שהיא, ואז היא איננה מוכלת בZ7. אם אתה מסתכל על איבריה מודולו 7 (זו לא ממש אותה קבוצה, זו קבוצת מנה של היח"ש מודולו 7) אז יש בה 7 אייברים, 1 לא שונה מ8 ו2 לא שונה מ9. דוגמא בZn לא תמצא כי Zn הוא שדה רק כאשר ה-n ראשוני. אין זה נכון במקרה הכללי לגבי גודל הקבוצה, אלא רק לגבי מאפיינה.

טוב, עכשיו הבנתי למה חשבת שאני חשבתי שהעתקת. כי רשמתי שהורדתי את הפיתרון. לא התכוונתי שהעתקת ועכשיו הסרתי אותו, התכוונתי שהורדתי את הפיתרון שרשמת בתשובה שלך. בתגובה המקורית שלך ל-להוכיח שב-H יש p איברים רשמת פיתרון מלא לאיך הראית את זה, אז הורדתי אותו. לא חשבתי בשום שלב שהעתקת

'''עדי

==חשוב מאוד! הבדילו בין גודלו של שדה למאפיינו==


הוכחנו שהמאפיין בהכרח ראשוני, אולם שדה יכול להיות מגודל שאינו ראשוני.

מצ"ב דוגמא חשובה, שדה מגודל 4 עם מאפיין 2(מוכרח להיות). עיינו בה וודאו שאתם מבינים אותה היטב.

[[מדיה:char(F)=2.doc|דוגמא חשובה F|=4, char(F)=2|]]


עדי
: כתוב בדף ש"שדה יכול להיות מכל גודל"; אני מניח שהכוונה היא להדגיש שגודל השדה אינו חייב להיות שווה למאפיין - יש כמובן מגבלות אחרות. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:11, 21 בנובמבר 2012 (IST)

תוקן. תודה

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

לא כל-כך ברור לי הקונספט של '''הוכחה''' בהקשר שמופיע בשאלה.

בסעיף א.- מעצם ההגדרה, לשדה סופי יש מאפיין חיובי, ושדה בעל מאפיין חיובי הוא בהכרח סופי.
האם הדרך להוכיח זאת היא ליצור פעולה של חיבור איברי יחידה במספר הולך וגדל (כמו הקבוצה בסעיף ב) ולהראות שקיים n כלשהו כך שמחיבור n איברי יחידה בהכרח נקבל 0 (שזוהי הגדרת מאפיין)?

בסעיף ב.- לכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp. למיטב הבנתי יוצא מזה, לפי הגדרת תת-שדה, שהפעולות של שדה סופי זהות לפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים.
מתוך זה נובע כי כל תת-שדה של שדה סופי הוא בעל פעולות זהות לאלו של ZcharF.

מה הכוונה ב'''להראות''' שאלו הן הפעולות של תת-השדה?

אגב, יש משפט לגבי יחידות של שדה? כלומר, האם שני שדות, שיש להם את אותם איברי היחידה והאפס, אותן פעולות החיבור והכפל, ואותו הגודל, הם בהכרח אותו השדה?

'''>> סעיף א-

'''זו הגדרת מאפיין של שדה: המאפיין (או המציין) של שדה הוא המספר ''הטבעי'' n הקטן ביותר כך ש- <math>1_F+1_F+...</math> n פעמים הוא אפס של השדה. אם n אינסופי נאמר שהמאפיין אפס. כך שהמאפיין תמיד אי שלילי ושלם.

'''לגבי ההוכחה, אכן יש להראות שקיים n שכזה, אך החשיבות היא להראות שהוא סופי.

'''סעיף ב-

'''זה לא נכון שלכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp, כי Zp איננו מוכל בכל שדה.

עבור שדה ממאפיין p תת שדה מ'''גודל''' p '''יתנהג''' כמו Zp, כלומר, טבלאות הפעולה שלו יהיו זהות.

'''לא נכון לומר שהפעולות זהות, אלא שטבלאות הפעולה זהות, כלומר חיבור וכפל בין האיבר ה-i לאיבר ה-j (לא בהכרח המספרים i ו-j) ילכו לאיבר ה-k וה- h בהתאמה (כלומר k לחיבור, ו-h לכפל), בשני השדות.

'''אין זה נכון שטבלת הפעולות של שדה סופי זהה לטבלת הפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים היות וגודל השדה יכול להיות גדול מהמאפיין שלו, כפי שניתן לראות בדוגמא למעלה. זה לא יכול לקרות ב-Zn שם הקבוצה היא שדה רק כאשר גודלה ראשוני, ולכן שווה למאפיינה.

אם גודל השדה=מאפיין השדה, ולכן ראשוני, אז הוא '''מתנהג''' כמו ZcharF.

לגבי ההערה האחרונה: במקרה הסופי כן, במקרה האינסופי לא, לדוגמא R ו-C. אבל הנקודה בחלק השני של סעיף ב' היא לא '''שיוויון''' בין השדות או הפעולות אלא '''התנהגות''' זהה של הפעולות.

'''עדי

==המשך להערה החשובה==

שימו לב שתת השדה בסעיף ב' של שאלה 4 בתרגיל 3 בנוי להיות בעל '''מספר טיבעי''' של אייברים וכולם מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>. לא כל שדה הוא מגודל טיבעי, בניגוד למאפיין. למשל R עם החיבור והכפל המוכרים לנו. המשמעות היא שלא בהכרח כל איבר בשדה הוא מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>, הוא כן בהכרח מהצורה <math>1_F\cdot a</math> עבור a מהשדה, לדוגמא <math>1.5</math> ב-R.

למעשה, רק charF אייברים בשדה יהיו מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>, וכפי שכבר הבנו, יתכן שבשדה יותר מ-charF אייברים.

עדי


== תרגיל 4 תרגיל נוסף לא מהחוברת ==

שלום! איך בדיוק מתארים אלגוריתם? תיארתי לעצמי במילים את השלבים של הדירוג, איך בדיוק אני אמורה לתרגם את זה לכתיבה מתמטית..? תודהה:)

'''>> תאור (תקין) במילים הוא בסדר גמור. את יכולה להוסיף דיאגרמה של המטריצה להסבר, ע"מ להימנע מאי הבנות או כפל משמעות. עדי

== זהות בין מטריצות ==

האם בכדי להוכיח ששתי מטריצות שוות, מספיק להראות כי הן מאותו הסדר וכי נוסחת האיבר הכללי (נגיד: aij, כש-i אינדקס שורה, j אינדקס עמודה) שלהן זהה?

'''>>כן, סדר ושיוויון רכיב-רכיב. עדי

== בוחן ==

שלום! מה בדיוק החומר לבוחן..? ואיך כדאי ללמוד? תודה!:)

'''>> עד מרחבים וקטורים, לא כולל. כדאי לפתור את כל התרגילים מההרצאה, תירגולים ושעורי בית. הפורום זמין לשאלות ודיונים. עדי

== תרגילים 2 ו-3 ==

נבדקו והוחזרו כבר?

== שאלה 4.2 מתרגיל 5 ==

אבל גם בכלל.
לעתים תכופות קורה, דווקא בשאלות הטריוויאליות יותר, שלא ברור לי אילו היסקים "מותר" לעשות ואילו לא.

הדוגמא הרלוונטית לעכשיו:

הגדרתי: A=(aij) B=(bij) ולכן: A+B=(aij+bij)
השאלה היא כזאת: האם כשאני משחלפת את A+B מותר לי לומר: (A+B)טרנספוז= (aji+bji( או שזוהי הנחת המבוקש?

ובאופן כללי יותר, קיימים קווים מנחים להוכחה ריגורוזית?

תודה מראש

'''>> ההוכחה אכן קצרה באופן מעט מרתיע, לכן עלינו להקפיד על פורמליות. אם <math>\ C=A+B=(c_{ij}),\ C^t=(d_{ij})\ </math> תאמרו מצד אחד מיהו <math>c_{ij}</math> בהסתמך על הסכום, מצד שני מיהו <math>d_{ij}</math> בהסתמך על הגדרת שיחלוף ורק בסוף תקשרו ביניהם.

'''לגבי השאלה הכללית: ההיתר (ובמובן זה גם ההגבלה) בהוכחה היא להסתמך על מה שהוכח עד נקודה זו ובלבד ש-

'''1. זו איננה מהות כל המבוקש להוכיח (לפעמים תתבקשו למשל להוכיח טענות שהוכחתם בכיתה)

'''2. שלא השתמשתם בהוכחה בטענה שהוכחתה מסתמכת על מה שאתם מנסים להוכיח כעת (כלומר, לא ליצור מעגליות בהוכחה, להסתמך על ב כדי להוכיח א כאשר השתמשתם ב-א כדי להוכיח את ב).
עדי

== כפל מטריצות משוחלפות ==

אם מוגדרות: <math>A=(aij) , B=(bij)</math>,
ועשינו טרנספוז ל-A:
<math>A^t=(aji)</math>

אז המכפלה: <math>C=A^tB</math>

יוצרת איזו מבין נוסחאות האיבר הכללי:

<math>cij=sum_{l}^{n}ailblj</math>

או <math>cij=sum_{l}^{n}aliblj</math> ?

הראשונה "שולחת" אותנו ל-<math>A^t</math>, אבל "מאבדת" את הקשר עם <math>A</math> (נראה לי).
השניה "שולחת" אותנו ישירות ל-<math>A</math> (אבל המכפלה היא על <math>A^t</math> ).

'''>> ראשית תוודא שהמכפלה הנ"ל מוגדרת. במידה וכן <math>A^t=(d_{ij})</math> כאשר <math>d_{ij}=a_{ji}\ \forall j,i</math>.

'''לכן
<math>c_{ij}=\Sigma_{l=1}^{n}d_{il}b_{lj}=\Sigma_{l=1}^{n}a_{li}b_{lj}</math>

'''ולכן המשוואה השניה היא הנכונה. המשוואה הראשונה מגדירה איבר כללי בAB (שוב, במידה ומכפלה זו מוגדרת). עדי

תודה רבה, עדי (:


==חומר לבוחן==
כל החומר עד מרחבים וקטוריים, לא כולל. תרגיל 6 לא נכלל בשאלות, אבל לא יכול להזיק לפתור לקראת הבוחן שאלות מהחוברת עד עמ' 19 כולל.


== מיקום הבוחן ==

היכן מתקיים הבוחן לקבוצה של יפית?

== תרגיל בית מספר 7 ==

בשאלה 2 שלא מהחוברת, במקומות של השדה מופיעים ריבועים ריקים.

'''>>לא אצל כולם משום מה. בכל מקרה זה C.

אוקי תודה רבה. האם ניתן להעלות את התרגילים כקבצי pdf?

== תרגיל 7 שאלה 4.8 ==

האם יש קשר בין סעיף א ל-ב? כלומר, האם הדרישה היא למצוא "נוסחא כללית" ל-Ui ו-Vi כך שעבור i=1 מתקיים א ועבור i=2 מתקיים ב?

או שצריך למצוא U,V שמקיימים את א, ובלי קשר למצוא U,V אחרים שמקיימים את ב?

'''>> לא, אין קשר. Ui,Vi לא צריכים להיות תלויים ב-i באופן של-1 קורה א ול-2 קורה ב. צריך דוגמא עבור א ודוגמא (תלויה או לא תלויה בה) עבור ב. עדי

== בוחן <math>II</math> ==



ב-7 לינואר, 18:00-19:00 יתקיים בקורס בוחן (השני מתוך שניים) על מרחבים וקטוריים, תתי מרחבים, תלות-לינארית, בסיס, מימד ודרגה של מטריצה, בפרט גם: מרחב העמודות, מרחב השורות ומרחב האפס <math>(A\in M_{mxn}(F),\ Null(A)=\{v\in F^n:Av=0\})</math>. יש ללמוד את כל החומר מההרצאות.

הבוחן יתקיים בבניין:604, כיתה:62 . יפית ועדי



== תרגיל 10 שאלה 11.12 ==

אנחנו עובדות תחת ההנחה ש-A היא מסדר nxn? זה מצוין בתרגיל הקודם, אבל לא בנוכחי, ונדמה לי שללא ההנחה הזאת הטענות אינן שקולות.

'''>>כן

== שאלת הוכחה ==

== כותרת ==
איך מוכיחים שאם ההעתקה לינארית אזי ההעתקה מה-0 מ"ו של התחום הולך ל-0 מ"ו של הטווח?

'''>> תהי <math>T:V->W</math>. אם <math>V\ne \{0\}</math> אז <math>\exist v\in V:0\ne v</math> ולכן <math>T(0_V)=T(v+(-v))=T(v)+T(-v)=T(v)-T(v)=0_W</math>.

'''אם V הוא מרחב האפס ו-W לא (אם כן אז אפס יכול ללכת רק לאפס) ונניח בשלילה ש <math>T(0_V)=w\in W:w\ne 0_W</math>

'''אז <math>-w=-T(0_V)=T(-0_V)=T(0_V)</math>

'''כלומר <math>w=-w</math>, אחרת למקור שתי תמונות.

'''כתוצאה מכך, אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין שונה מ-2 אז <math>w=0_W</math>.

'''אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין 2 אז <math>T(0_V)=T(0_V+0_V)=T(0_V)+T(0_V)=2w=0_W</math>, מה שלא יכול לקרות כי <math>w\ne 0_W</math> ומקור לא יכול להישלח לשתי תמונות.

עדי

== בוחן שני ==

תוכלו להעלות לאתר את השאלות מהבוחן השני?

'''>>עלה ביום הבוחן

== פתרונות למבחנים ==

האם אפשר לצרף פתרונות למבחנים שהועלו לאתר?

תודה.

'''>>העלתי אחד בינתיים

תודה.

== בסיס ל-NULL ==

רציתי לשאול, כשרוצים למצוא את הבסיס והמימד של KerF בהע"ל מ-R4 ל-R3, אני פותרת מע' משוואות הומוגנית, ו-2 משתנים חופשיים, האם קיימים מס' בסיסים? לי יצא ווקטורי בסיס של (0 1 2 1) (1- 0 1 2)
ובספר (1 0 2 1) (0 1- 1 2)

'''>>וודאי. תבדקי אם הם פורשים את אותו מרחב, כלומר, שתיהן קב' בת"ל מאותו גודל (מה שאכן קורה) וניתן לקבל את הוקטורים של האחת כצ"ל של וקטורי השניה.
'''אכן, אם הן פורשות מרחב מאותו מימד והאחת מוכלת בשניה אז הן שוות.
עדי

== פונקציונלים ==

עמוד 108 שאלה 1.3 ב, בחוברת של בועז צבאן. איך מוכיחים שההעתקה היא לא פונקציונל? (איך מוכיחים שהיא כן..?) אמרנו שפונקציונל זה העתקה של מרחב לשדה שלו, למה זה לא מתקיים בשאלה 1.3? תודה מראש:)

'''>> בדיוק כפי שעושים עבור ה"ל. פונקציונל היא ה"ל במקרה הפרטי שהטווח הינו שדה המרחב הוקטורי בתחום.

'''במקרה של דטרמינטות: <math>|kA|=k^n|A|</math> ולא <math>k|A|</math> כפי שדורשת ה"ל

'''במקרה ב', קל למצוא דוגמא, למשל: <math>T((2,2)+(2,3))=T(4,5)=20\ne T(2,2)+T(2,3)=4+6=10</math>.

עדי

== בועז צבאן עמוד 56 שאלה 2.7 סעיף א ==

ב- <math>T=T^{2}</math>
הכוונה ש: <math>\forall v\epsilon V: T(v)=T^{2}(v)=T(T(v))</math> ?

'''>>כן.

אם זוהי אכן הכוונה, האם ניתן להפריך ע"י הדוגמא הבאה?

<math>T(v)=T(x,y)=(x,0) , V=\mathbb{R}^{2}</math>

ואז התנאי מתקיים, אבל <math>T\neq I_{v},-I_{v}</math>

'''>> נכון מאוד.

== דרגת מטריצה ==

שלום! איך מוכיחים ש rankAB קטן או שווה ל rankA (או B)? תודה!

<math>y\in C(AB)=>\exists x:ABx=y=>\exists Bx:A(Bx)=y => y\in C(A)=>C(AB)\subseteq C(A)=>rank(AB)\leq rank(A)</math>

כמו כן, נאמר שמס' העמודות ב-B הוא m, ולכן גם מס' העמודות ב-AB הוא m/

ממשפט הדרגה

<math>dim(Null(B))+rank(B)=m=dim(Null(AB))+rank(AB)</math>

היות ו-

<math>x\in Null(B) => Bx=0 =>ABx=0 => x\in Null(AB) =>Null(B)\subseteq Null(AB) => dim(Null(B))\leq dim(Null(AB))</math>

נקבל ש-

<math>rank(B)\geq rank(AB)</math>.

עדי

== תרגיל 1 מועד א 2006 ==

אומרים שלכל b למערכת Ax=b יש פתרון (b שייך לFm). אז אני מוכיחה שA הפיכה ולכן יש פתרון יחיד,
א. האם נכון שזה גורר שעמודות ושורות A בתל וש n=m?
ב. האם מרחב העמודות של A שווה ל Fm? איך מוכיחים זאת?
תודה רבה!

'''>> ראשית, אם אינך יודע אם n=m איך הוכחת שA הפיכה? מט' הפיכה רק אם היא ריבועית. בכל מקרה הנתון אינו גורר זאת ולא פיתרון יחיד.

<math>C(A)=F^m</math> היות ונתון כי לכל b קיים <math>x=(x_1,...,x_n)</math> כך ש <math>Ax=\sum x_iC_i(A)=b</math>. כלומר עמודות A פורשות כל וקטור ב<math>F^m</math>.

עדי

== העתקות ==

האם קיימת העתקה מR2 לR2 כך ש: imT=kerT?

מה עם נגיד העתקה ששולחת כל (0,X) לוקטור האפס וכל (X,Y) לוקטור (0,X)?

'''(לא מתרגלת)
בהגדרה שלך יש בעיה, היא שולחת וקטור מהצורה (x,0) לשני וקטורים שונים: (0,0) מצד אחד ו-(x,0) מצד שני.

אם תגדיר אותה כך שרק כאשר y שונה מאפס היא תשלח את (x,y) לוקטור (x,0), תקבל העתקה שאינה לינארית.
לדוגמא: (1,2) יילך ל- (1,0), (2-,2) יילך ל-(2,0), אבל (1,2)+(2-,2)=(3,0) יילך ל-(0,0)
[ולא ל-(3,0), כפי שהיה אמור להיות בהעתקה לינארית].

והצעה להעתקה כזו (לא בדקתי עד הסוף, אבל נראה לי):

העתקה T ששולחת כל וקטור (x,y) לוקטור (0,y). ככה יתקבל בתמונה כל ציר ה-x, והגרעין יהיה כל הוקטורים שערך ה-y שלהם הוא 0, שזה גם ציר ה-x. כדאי לשים לב, אגב, ש-T בריבוע היא העתקת האפס (לא רק בדוגמא שלי, בכל העתקה שמקיימת את התנאי בשאלה).'''

צודקת, תודה רבה (:

'''אכן זו ההעתקה המתאימה. לכל שדה ממימד זוגי 2n ניתן למצוא כזו, נשלח את <math>e_1,...,e_n</math> ל-0, ואת <math>e_{n+1},...,e_{2n}</math> ל-<math>e_1,...,e_n</math> בהתאמה. עבור שדה ממימד אי זוגי אין זה אפשרי היות וזה ידרוש מימד שאיננו שלם. עדי

== בשאלה 2.18 מעמוד 57 ==

צריך להוכיח שקילות בין שלושה סעיפים.

ראשית, בין סעיפים א ו-ב, מספיק להשתמש במשפט המימדים (dimKerT+dimImT=dimV) עבור T ועבור T^2, ולהסתמך על כך ש-ImT^2 מוכלת ב-ImT, וש-KerT מוכל ב-KerT^2?

שנית, לא הצלחתי להוכיח גרירה מסעיף א לסעיף ג, או מסעיף ב לסעיף ג.

'''>> עשינו את השאלה בימלואה בתירגול האחרון.

שאלה נוספת- הבסיס הסטנדרטי של מרחב הפולינומים ממעלה 2 הוא: {1,x^2,x}.
קבוצת וקטורי הקואורדינטות של הבסיס הסטנדרטי, לפי עצמו, שהיא: {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} מהווה גם היא בסיס למרחב הפולינומים p[x]2?

'''>>לא, אלו וקטורי הבסיס הסטנדרטי של <math>F^3</math> אשר איזומורפי למרחב זה.

ודבר אחרון (לבינתיים...): יש צורך ללמוד העתקה דואלית למבחן? (המרצה אמר שצריך ללמוד מרחב דואלי ובסיס דואלי, אך האם גם העתקה?)

'''>> רק אם עשיתם את זה בכיתה.

עדי

== תרגילים 1 ו-2 ==

רלוונטיים לחומר הבחינה?

'''>> כבסיס לכל מה שבא אחרי. לא תוכל לפתור שאלה מעל המרוכבים ללא חשבון מרוכבים או להשתמש בתכונות של סקלרים מבלי לדעת אכסיומות של שדות.

עדי

== מבחן 2012 מועד ב' ==

בשאלה 3 הפתרון לא נכון ואני ממש לא יודעת איך פותרים אותו.
האם העובדה שהשדה שלי בעל p איברים אומרת שdimF^n=p^n??
תודה מראש :)

'''>>לא. המימד הוא n. הוא התכוון, כפי שנעשה בפיתרון, למימד מרחב ההעתקות. הדבר היחיד שחסר בפתרון הוא המעבר מהמימד שהוא אכן mn למספר האייברים, שזה מה שביקשו. כל מטריצה היא צ"ל של mn אייברי בסיס ולכל וקטור בסיס p אפשרויות לסקלר שהוא מקדמו בצירוף הלינארי. לכן <math>p^{mn}</math>. גם לפי משפט ההגדרה ניתן לשלוח n אייברי בסיס של <math>F^n</math> ל-n אייברי טווח מתוך <math>p^m</math> לכן <math>(p^m)^n=p^{mn}</math> אפשרויות.
עדי

== qn ==

Let V be a vector space over F.U is a subspace of V.Let v,w∈V.
Prove that if dim(U+span{(v+w)})<dim(U+sp{v}) then v,w∉U

'''Assume v,w∈U then U+sp{v+w}=U=U+sp{v}. Therefore dim(U+sp{v+w})=dim(U)=dim(U+sp{v}). contradiction
so v∉U or w∉U.

'''If (w∉U and v∈U) then v+w∉U and we get
<math>dim(U+span{(v+w)})=dim(U)+dim(sp\{v+w\})-dim(U\bigcap sp\{v+w\})=dim(U)+1-0\geq dim(U)=dim(U+sp\{v\})</math>. contradiction

'''If (v∉U and w∈U) then v+w∉U and we get
<math>dim(U+span{(v+w)})=dim(U)+dim(sp\{v+w\})-dim(U\bigcap sp\{v+w\})=dim(U)+1-0= dim(U)+dim(sp\{v\})-dim(U\bigcap sp\{v\})=dim(U+sp\{v\})</math>. contradiction

so v and w are not in U

Adi

== במבחנים מתשס"ו (מועד א' ו-ב') ==

השאלה הראשונה מתייחסת למערכת x=bA (ולא Ax=b). האם הסדר שונה בכוונה?...

(לא מתרגלת) אני חושבת שכן, תראי שכדי שהכפל יהיה מוגדר בכלל אזי b צריך להיות מצד שמאל, ואז את מקבלת שx הוא וקטור שורה בעל n מקומות

למה x לא יכול להיות וקטור שורה בעל n עמודות?

(נראה לי דווקא שהכפל כן מוגדר בצורה הזאת. נתון ש-b ב-Fm, כלומר הוא וקטור שורה או עמודה מגודל m (סדר 1xm, או mx1, בהתאמה).
נצא מנקודת הנחה שהוא מסדר 1xm, ואז אין בעיה לכפול (משמאל) במטריצה שמספר שורותיה הוא m.)

לא הבנת אותי נכון, התכוונתי שלפי דעתי אין טעות בסדר :)
אם b הוא מסדר 1Xm, אז x הוא מסדר 1Xn, כלומר וקטור שורה.
ומה שאמרת זה בדיוק מה שהתכוונתי.
ואגב-מאיפה מועד ב'?

== מבחן 2010 ==

אפשר לקבל כיוון לפתרון שאלה 4א?

תודה.

(לא מתרגלת) תסמן dim(nullA<math>\cap</math>CspanB)=p
תקח בסיס לחיתוך, תשלים אותו לבסיס למרחב העמודות של B ואז תנסה לראות מה קורה כשמכפילים AB.

== 2012 מ ועד ב' ==

שלום! אפשר בבקשה להסביר מה לא נכון בפתרון של 3 סע' ב?
תודה!

== פונקציונאלים ==

איך מחשבים בסיס דואלי?
ומה לגבי השאלה שהמרצה נתן בנושא םונקציונלים בשיעור האחרון?
תודה.

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2013-01-23T13:30:00Z

Yifath: /* פונקציונאלים */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגיל 1 ==

רשום בהודעות שתרגיל 1 קוצר אך יורד לי בדיוק אותו קובץ שירד לי קודם (עם 7 שאלות)? [[משתמש:איל דימנט|איל דימנט]] 23:25, 24 באוקטובר 2012 (IST)

>זו הודעה של בדידה שהופיעה בטעות פה. תוקן. עדי

==רמז לשאלה 5,תרגיל 1==
<math>z^n=(rcis(\theta))^n=r^ncis(n \theta)=1 </math>
החלק המדומה בצד ימין הוא אפס. מתי החלק המדומה בצד שמאל הוא אפס? כתוצאה מכך מהי הזוית/זויות ומיהו r? ועל כן, היכן יושבים מרוכבים אלו על המישור?
עדי

== סילבוס ==

שלום, אשמח אם תעלו סילבוס של הקורס.
כרגע הסילבוס הוא של "בדידה" משום מה.
תודה.

'''>>תוקן. עדי

== תרגיל 1 שאלה 6 ==

שלום! האם אפשר לקבל הכוונה לשאלה 6? ניסיתי להציב אבל אני לא רואה איך אפשר עוד להתקדם בפתרון.... תודה מראש!

'''>> השאלה מה הצבת, את <math>z</math> או את הצמוד שלו? רצוי להתחיל ממה שידוע, כלומר, שהצבת <math>z</math> היא פיתרון. אז העזר בתכונות ההצמדה שהוכחנו בכיתה כדי לעבור להופעה של <math>\bar z</math> במשוואה זו במקום. עדי

== תרגיל בית 2 שאלה 2.3 סעיף ד ==

שלום! כשאומרים ש 0F=1Z3 מתכוונים לאיבר הראשון בZ3 או לאיבר 1 בZ3? תודה מראש!

'''>>לאיבר 1 ב<math>Z_3</math>. עדי'''

==שאלה 4ב בתרגיל 3==

יש לי שאלות של אסור ומותר לגבי הוכחות, שעלו בעקבות שאלה מספר 4ב בתרגיל מספר 3.
ראשית אני חושב שמותר לי להניח שהקבוצה מוכלת בתוך השדה, אחרת אין מה לדבר על תת שדה.
שנית, אני רוצה להוכיח כי הקבוצה שווה לשדה הנתון.
הגעתי לכך שהראיתי שאם קיים איבר בשדה שהוא לא בקבוצה, אז הסכום של 1 והאיבר "לפניו" (או קומבינציה מסויימת של אברי הקבוצה) הם בעצם אותו איבר שלא נמצא בקבוצה.
לכן הקבוצה לא סגורה תחת חיבור ולכן לא יכולה להיות שדה.
אני יכול לטעון זאת? מותר לי?
או שבשאלה הספציפית הזאת הדרך לפתור היא רק דרך הנחה בשלילה או הוכחת הקריטריון המקוצר?

'''>>ראשית, ודאי ש F שדה, זה נתון. שנית, הוכח פורמלית לפי הקריטריון המקוצר. עדי'''

== תרגיל מס' 2 שאלה לא מהחוברת ==

בסעיף א' איזה משוואה צריך לבנות?

'''>> <math>\forall (a,b),(c,d),(e,f)\in C\ \ (a,b)[(c,d)+(e,f)]=(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)</math> עם החיבור והכפל המוגדרים בשאלה. עדי'''

== תרגול 2 שאלה לא מהחוברת... ==

שלום! :)
לא הבנתי בדיוק את המשמעות של RxR...
אשמח להסבר!

'''>> <math>A\times B</math> הוא אוסף כל הזוגות הסדורים כך שה"קואורדינטה" הראשונה מגיעה מ-A והשניה מ-B:
<math>A\times B=\{(a,b):a\in A, b\in B\}</math>. '''במקרה זה <math>R\times R</math> הוא אוסף כל הזוגות הסדורים מעל הממשיים (כלומר המישור הממשי). היות ומספר מרוכב מוגדר ע"י זוג סדור של מספרים ממשיים (האחד מייצג את הרכיב הממשי והשני את הרכיב המדומה) ניתן להתייחס ל-<math>R\times R</math> כקב' שקולה ל-<math>C</math>, ממנו מגיעות הפעוללות המוגדרות בשאלה. עדי'''

== תרגיל 2 ==

לגבי שאלה 4.4 סעיף א' מהחוברת לא הבנתי איך זה עוזר לי אם אוכיח ש n*1f)*(m*1f)=(nm)*1f)
יפית, אמרת שארשום את זה בפורום ותסבירי לכולנו. תודה.

'''>>בהנחה שהוכחתם טענת עזר זאת, הניחו בשלילה ש-k הוא מאפיין השדה ואיננו ראשוני. הישתמשו בטענת העזר ובעובדה שאין בשדה מחלקי אפס על מנת להראות ש 1+...+1 יתאפס כבר בראשוניים שמחלקים את k בסתירה למינימליותו. עדי'''

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

הגדרנו תת שדה H של שדה F כך ש H צריכה קודם כל להיות תת קבוצה של F ואז לקיים את הקריטריון.
בשאלה יש p איברים ל F ואז מוכיחים שיש לקבוצה המועמדת להיות תת שדה גם p איברים.
אבל אם יש לקבוצה הזו p איברים שונים והיא גם תת קבוצה של F שגם היא בעלת p איברים שונים, לא ניתן להסיק בעצם שהיא שווה ל F?

'''>>כן, אבל איך זה רלוונטי לשאלה? בסעיף לא ידוע שב-H יש p אייברים, לכאורה H בנויה באופן אינסופי, מהות המבוקש להוכיח הוא כי למעשה לאחר p אייברים אין אייברים "חדשים". עדי

נכון, מבקשים להוכיח שבH יש p איברים ואכן הוכחתי זאת כפי שאמרת. לכן אם היא צריכה להיות תת קבוצה של F שגם לה p איברים שונים אז היא בהכרח שווה ל F לא? אם כן, כל הבדיקה של תת שדה מיותרת... כי אם H=F אז H כבר שדה.

'''>> ראשית, הורדתי את הפיתרון שרשמת... שנית, מי אמר שב F יש p איברים? הוא ממאפיין p. שדה מגודל 4 למשל הוא ממאפיין 2. עדי

ראשית, הגעתי לכך מאותה הסיבה שב Z5 יש 5 איברים וב Z7 יש 7 איברים ו H היא לא אינסופית כמו שנרשם. שנינו מסכימים על כך שב F יש לא פחות מ p איברים. אבל אם יהיו יותר, כמו בדוגמה שהבאת, אז בדיוק כמו ב H ניתן לרשום אותם כמו שרשמתי בהודעה הקודמת, כלומר לא מוסיפים איברים חדשים. גם אם ניקח את הקבוצה {0,1,2,3,4,5,6,8,9} בעלת 9 איברים מעל z7, היא שדה (הוכחתי זאת). אבל עדיין 8 ב z7 זה 1 ו 9 בz7 זה2. לכן כתיבתם מיותרת כי זה כמו לכתוב את הקבוצה {1} בצורה {1,1,1,1,1,1} ועדיין אומרים שיש איבר אחד בקבוצה ולא 6 איברים.

שנית, אם הייתי מסתכל בפתרונות, הייתי פשוט מעתיק ושותק. לא הייתי נכנס לדיונים ומביך את עצמי בפומבי.

'''>> אתה ממש לא מביך את עצמך! השאלה היא לגיטימית מאוד וזו טעות נפוצה. זו הסיבה שכ"כ חשוב לי שכולם יראו את ההערה באדום, לוודא שכולם נמנעים ממנה. אני מודה לך על השאלה! הלוואי והיו יותר.

'''לא הבנתי את הרלוונטיות של "מעתיק ושותק" לדיון.

'''בכל מקרה,

'''1. לא אמרתי ש-H אינסופית, אמרתי שהיא בנויה באופן אינסופי, היא כל האייברים מהצורה <math>1,1+1,1+1+1,...</math> כשמשמעות ה-3 נקודות היא ''וכן הלאה'', נראה שהם מתלכדים לכדיי p אייברים. כמו <math>\{1\}=\{1,1,1\}=\{1,1,1,...\}</math>, כשהכוונה בקבוצה האחרונה היא קבוצה של אינסוף אחדים, אך ניתן להוכיח שהיא סופית מגודל 1. היא לא אינסופית, אבל היא בנויה באופן אינסופי.

'''2.הנקודה לגבי שאלתך המקורית היא שב-F ''לא פחות'' מ-p אייברים ''שונים, ללא חזרות''. למשל בדוגמא שהעלתי למטה, ניתן לבנות תת שדה של 0 ו-1 עבור השדה מגודל 4. כלומר: F מגודל 4 וממאפיין 2. H נבנת כמו בשאלה, ע"י 1 של F, והיא גם ממאפיין 2 וגם מגודל 2.

'''עדי

<nowiki>1. התכוונתי שאם הייתי מעתיק את הפתרון, לא הייתי מנסה להפליל את עצמי ע"י שאלת שאלות, פשוט הייתי מעתיק וזהו.

2. אני לא מצליח להבין כיצד הדוגמה שהבאת שונה מהדוגמה שהבאתי על 9 איברים ב Z7. גם זה שדה של 9 איברים אבל המאפיין הוא 7. וגם כאן 8 שונה מ 1 ו9 שונה מ 2 (הם שווים רק מעל Z7), בדיוק כמו a ו b בדוגמה שהבאת. אבל עדיין מה שעשית הוא לקחת איבר מ Z7 ולרשום אותו בצורה אחרת, לא הוספתי שום איבר חדש (ואני גם לא יכול, כי מן הסתם הוא ירשם בצורה כלשהי ע"י אברי Z7). ההיגיון שלי יכול אולי לקבל את ההשערה שזה עובד לא ב Zp, אבל כרגע ב Zp אני לא מצליח לשכנע את עצמי שזה אכן כך.</nowiki>

'''>> 1. שוב, אני לא מבינה למה אתה מתכוון ב"להפליל את עצמך". לזה נועד הפורום, אני מעודדת שאילת שאלות והשאיפה שהדיון יעודד עוד אנשים לשאול. אני מתנצלת אם באיזושהי צורה התשובה שלי התפרשה אחרת.

'''לגבי העתקה, אני חושבת שברורה לכולנו חוסר התועלת של כך, למי שבוחר לעשות כן.

'''2. בדוגמא שהבאת 9 אייברים, אם אתה מסתכל עליה כמו שהיא, ואז היא איננה מוכלת בZ7. אם אתה מסתכל על איבריה מודולו 7 (זו לא ממש אותה קבוצה, זו קבוצת מנה של היח"ש מודולו 7) אז יש בה 7 אייברים, 1 לא שונה מ8 ו2 לא שונה מ9. דוגמא בZn לא תמצא כי Zn הוא שדה רק כאשר ה-n ראשוני. אין זה נכון במקרה הכללי לגבי גודל הקבוצה, אלא רק לגבי מאפיינה.

טוב, עכשיו הבנתי למה חשבת שאני חשבתי שהעתקת. כי רשמתי שהורדתי את הפיתרון. לא התכוונתי שהעתקת ועכשיו הסרתי אותו, התכוונתי שהורדתי את הפיתרון שרשמת בתשובה שלך. בתגובה המקורית שלך ל-להוכיח שב-H יש p איברים רשמת פיתרון מלא לאיך הראית את זה, אז הורדתי אותו. לא חשבתי בשום שלב שהעתקת

'''עדי

==חשוב מאוד! הבדילו בין גודלו של שדה למאפיינו==


הוכחנו שהמאפיין בהכרח ראשוני, אולם שדה יכול להיות מגודל שאינו ראשוני.

מצ"ב דוגמא חשובה, שדה מגודל 4 עם מאפיין 2(מוכרח להיות). עיינו בה וודאו שאתם מבינים אותה היטב.

[[מדיה:char(F)=2.doc|דוגמא חשובה F|=4, char(F)=2|]]


עדי
: כתוב בדף ש"שדה יכול להיות מכל גודל"; אני מניח שהכוונה היא להדגיש שגודל השדה אינו חייב להיות שווה למאפיין - יש כמובן מגבלות אחרות. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:11, 21 בנובמבר 2012 (IST)

תוקן. תודה

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

לא כל-כך ברור לי הקונספט של '''הוכחה''' בהקשר שמופיע בשאלה.

בסעיף א.- מעצם ההגדרה, לשדה סופי יש מאפיין חיובי, ושדה בעל מאפיין חיובי הוא בהכרח סופי.
האם הדרך להוכיח זאת היא ליצור פעולה של חיבור איברי יחידה במספר הולך וגדל (כמו הקבוצה בסעיף ב) ולהראות שקיים n כלשהו כך שמחיבור n איברי יחידה בהכרח נקבל 0 (שזוהי הגדרת מאפיין)?

בסעיף ב.- לכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp. למיטב הבנתי יוצא מזה, לפי הגדרת תת-שדה, שהפעולות של שדה סופי זהות לפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים.
מתוך זה נובע כי כל תת-שדה של שדה סופי הוא בעל פעולות זהות לאלו של ZcharF.

מה הכוונה ב'''להראות''' שאלו הן הפעולות של תת-השדה?

אגב, יש משפט לגבי יחידות של שדה? כלומר, האם שני שדות, שיש להם את אותם איברי היחידה והאפס, אותן פעולות החיבור והכפל, ואותו הגודל, הם בהכרח אותו השדה?

'''>> סעיף א-

'''זו הגדרת מאפיין של שדה: המאפיין (או המציין) של שדה הוא המספר ''הטבעי'' n הקטן ביותר כך ש- <math>1_F+1_F+...</math> n פעמים הוא אפס של השדה. אם n אינסופי נאמר שהמאפיין אפס. כך שהמאפיין תמיד אי שלילי ושלם.

'''לגבי ההוכחה, אכן יש להראות שקיים n שכזה, אך החשיבות היא להראות שהוא סופי.

'''סעיף ב-

'''זה לא נכון שלכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp, כי Zp איננו מוכל בכל שדה.

עבור שדה ממאפיין p תת שדה מ'''גודל''' p '''יתנהג''' כמו Zp, כלומר, טבלאות הפעולה שלו יהיו זהות.

'''לא נכון לומר שהפעולות זהות, אלא שטבלאות הפעולה זהות, כלומר חיבור וכפל בין האיבר ה-i לאיבר ה-j (לא בהכרח המספרים i ו-j) ילכו לאיבר ה-k וה- h בהתאמה (כלומר k לחיבור, ו-h לכפל), בשני השדות.

'''אין זה נכון שטבלת הפעולות של שדה סופי זהה לטבלת הפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים היות וגודל השדה יכול להיות גדול מהמאפיין שלו, כפי שניתן לראות בדוגמא למעלה. זה לא יכול לקרות ב-Zn שם הקבוצה היא שדה רק כאשר גודלה ראשוני, ולכן שווה למאפיינה.

אם גודל השדה=מאפיין השדה, ולכן ראשוני, אז הוא '''מתנהג''' כמו ZcharF.

לגבי ההערה האחרונה: במקרה הסופי כן, במקרה האינסופי לא, לדוגמא R ו-C. אבל הנקודה בחלק השני של סעיף ב' היא לא '''שיוויון''' בין השדות או הפעולות אלא '''התנהגות''' זהה של הפעולות.

'''עדי

==המשך להערה החשובה==

שימו לב שתת השדה בסעיף ב' של שאלה 4 בתרגיל 3 בנוי להיות בעל '''מספר טיבעי''' של אייברים וכולם מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>. לא כל שדה הוא מגודל טיבעי, בניגוד למאפיין. למשל R עם החיבור והכפל המוכרים לנו. המשמעות היא שלא בהכרח כל איבר בשדה הוא מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>, הוא כן בהכרח מהצורה <math>1_F\cdot a</math> עבור a מהשדה, לדוגמא <math>1.5</math> ב-R.

למעשה, רק charF אייברים בשדה יהיו מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>, וכפי שכבר הבנו, יתכן שבשדה יותר מ-charF אייברים.

עדי


== תרגיל 4 תרגיל נוסף לא מהחוברת ==

שלום! איך בדיוק מתארים אלגוריתם? תיארתי לעצמי במילים את השלבים של הדירוג, איך בדיוק אני אמורה לתרגם את זה לכתיבה מתמטית..? תודהה:)

'''>> תאור (תקין) במילים הוא בסדר גמור. את יכולה להוסיף דיאגרמה של המטריצה להסבר, ע"מ להימנע מאי הבנות או כפל משמעות. עדי

== זהות בין מטריצות ==

האם בכדי להוכיח ששתי מטריצות שוות, מספיק להראות כי הן מאותו הסדר וכי נוסחת האיבר הכללי (נגיד: aij, כש-i אינדקס שורה, j אינדקס עמודה) שלהן זהה?

'''>>כן, סדר ושיוויון רכיב-רכיב. עדי

== בוחן ==

שלום! מה בדיוק החומר לבוחן..? ואיך כדאי ללמוד? תודה!:)

'''>> עד מרחבים וקטורים, לא כולל. כדאי לפתור את כל התרגילים מההרצאה, תירגולים ושעורי בית. הפורום זמין לשאלות ודיונים. עדי

== תרגילים 2 ו-3 ==

נבדקו והוחזרו כבר?

== שאלה 4.2 מתרגיל 5 ==

אבל גם בכלל.
לעתים תכופות קורה, דווקא בשאלות הטריוויאליות יותר, שלא ברור לי אילו היסקים "מותר" לעשות ואילו לא.

הדוגמא הרלוונטית לעכשיו:

הגדרתי: A=(aij) B=(bij) ולכן: A+B=(aij+bij)
השאלה היא כזאת: האם כשאני משחלפת את A+B מותר לי לומר: (A+B)טרנספוז= (aji+bji( או שזוהי הנחת המבוקש?

ובאופן כללי יותר, קיימים קווים מנחים להוכחה ריגורוזית?

תודה מראש

'''>> ההוכחה אכן קצרה באופן מעט מרתיע, לכן עלינו להקפיד על פורמליות. אם <math>\ C=A+B=(c_{ij}),\ C^t=(d_{ij})\ </math> תאמרו מצד אחד מיהו <math>c_{ij}</math> בהסתמך על הסכום, מצד שני מיהו <math>d_{ij}</math> בהסתמך על הגדרת שיחלוף ורק בסוף תקשרו ביניהם.

'''לגבי השאלה הכללית: ההיתר (ובמובן זה גם ההגבלה) בהוכחה היא להסתמך על מה שהוכח עד נקודה זו ובלבד ש-

'''1. זו איננה מהות כל המבוקש להוכיח (לפעמים תתבקשו למשל להוכיח טענות שהוכחתם בכיתה)

'''2. שלא השתמשתם בהוכחה בטענה שהוכחתה מסתמכת על מה שאתם מנסים להוכיח כעת (כלומר, לא ליצור מעגליות בהוכחה, להסתמך על ב כדי להוכיח א כאשר השתמשתם ב-א כדי להוכיח את ב).
עדי

== כפל מטריצות משוחלפות ==

אם מוגדרות: <math>A=(aij) , B=(bij)</math>,
ועשינו טרנספוז ל-A:
<math>A^t=(aji)</math>

אז המכפלה: <math>C=A^tB</math>

יוצרת איזו מבין נוסחאות האיבר הכללי:

<math>cij=sum_{l}^{n}ailblj</math>

או <math>cij=sum_{l}^{n}aliblj</math> ?

הראשונה "שולחת" אותנו ל-<math>A^t</math>, אבל "מאבדת" את הקשר עם <math>A</math> (נראה לי).
השניה "שולחת" אותנו ישירות ל-<math>A</math> (אבל המכפלה היא על <math>A^t</math> ).

'''>> ראשית תוודא שהמכפלה הנ"ל מוגדרת. במידה וכן <math>A^t=(d_{ij})</math> כאשר <math>d_{ij}=a_{ji}\ \forall j,i</math>.

'''לכן
<math>c_{ij}=\Sigma_{l=1}^{n}d_{il}b_{lj}=\Sigma_{l=1}^{n}a_{li}b_{lj}</math>

'''ולכן המשוואה השניה היא הנכונה. המשוואה הראשונה מגדירה איבר כללי בAB (שוב, במידה ומכפלה זו מוגדרת). עדי

תודה רבה, עדי (:


==חומר לבוחן==
כל החומר עד מרחבים וקטוריים, לא כולל. תרגיל 6 לא נכלל בשאלות, אבל לא יכול להזיק לפתור לקראת הבוחן שאלות מהחוברת עד עמ' 19 כולל.


== מיקום הבוחן ==

היכן מתקיים הבוחן לקבוצה של יפית?

== תרגיל בית מספר 7 ==

בשאלה 2 שלא מהחוברת, במקומות של השדה מופיעים ריבועים ריקים.

'''>>לא אצל כולם משום מה. בכל מקרה זה C.

אוקי תודה רבה. האם ניתן להעלות את התרגילים כקבצי pdf?

== תרגיל 7 שאלה 4.8 ==

האם יש קשר בין סעיף א ל-ב? כלומר, האם הדרישה היא למצוא "נוסחא כללית" ל-Ui ו-Vi כך שעבור i=1 מתקיים א ועבור i=2 מתקיים ב?

או שצריך למצוא U,V שמקיימים את א, ובלי קשר למצוא U,V אחרים שמקיימים את ב?

'''>> לא, אין קשר. Ui,Vi לא צריכים להיות תלויים ב-i באופן של-1 קורה א ול-2 קורה ב. צריך דוגמא עבור א ודוגמא (תלויה או לא תלויה בה) עבור ב. עדי

== בוחן <math>II</math> ==



ב-7 לינואר, 18:00-19:00 יתקיים בקורס בוחן (השני מתוך שניים) על מרחבים וקטוריים, תתי מרחבים, תלות-לינארית, בסיס, מימד ודרגה של מטריצה, בפרט גם: מרחב העמודות, מרחב השורות ומרחב האפס <math>(A\in M_{mxn}(F),\ Null(A)=\{v\in F^n:Av=0\})</math>. יש ללמוד את כל החומר מההרצאות.

הבוחן יתקיים בבניין:604, כיתה:62 . יפית ועדי



== תרגיל 10 שאלה 11.12 ==

אנחנו עובדות תחת ההנחה ש-A היא מסדר nxn? זה מצוין בתרגיל הקודם, אבל לא בנוכחי, ונדמה לי שללא ההנחה הזאת הטענות אינן שקולות.

'''>>כן

== שאלת הוכחה ==

== כותרת ==
איך מוכיחים שאם ההעתקה לינארית אזי ההעתקה מה-0 מ"ו של התחום הולך ל-0 מ"ו של הטווח?

'''>> תהי <math>T:V->W</math>. אם <math>V\ne \{0\}</math> אז <math>\exist v\in V:0\ne v</math> ולכן <math>T(0_V)=T(v+(-v))=T(v)+T(-v)=T(v)-T(v)=0_W</math>.

'''אם V הוא מרחב האפס ו-W לא (אם כן אז אפס יכול ללכת רק לאפס) ונניח בשלילה ש <math>T(0_V)=w\in W:w\ne 0_W</math>

'''אז <math>-w=-T(0_V)=T(-0_V)=T(0_V)</math>

'''כלומר <math>w=-w</math>, אחרת למקור שתי תמונות.

'''כתוצאה מכך, אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין שונה מ-2 אז <math>w=0_W</math>.

'''אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין 2 אז <math>T(0_V)=T(0_V+0_V)=T(0_V)+T(0_V)=2w=0_W</math>, מה שלא יכול לקרות כי <math>w\ne 0_W</math> ומקור לא יכול להישלח לשתי תמונות.

עדי

== בוחן שני ==

תוכלו להעלות לאתר את השאלות מהבוחן השני?

'''>>עלה ביום הבוחן

== פתרונות למבחנים ==

האם אפשר לצרף פתרונות למבחנים שהועלו לאתר?

תודה.

'''>>העלתי אחד בינתיים

תודה.

== בסיס ל-NULL ==

רציתי לשאול, כשרוצים למצוא את הבסיס והמימד של KerF בהע"ל מ-R4 ל-R3, אני פותרת מע' משוואות הומוגנית, ו-2 משתנים חופשיים, האם קיימים מס' בסיסים? לי יצא ווקטורי בסיס של (0 1 2 1) (1- 0 1 2)
ובספר (1 0 2 1) (0 1- 1 2)

'''>>וודאי. תבדקי אם הם פורשים את אותו מרחב, כלומר, שתיהן קב' בת"ל מאותו גודל (מה שאכן קורה) וניתן לקבל את הוקטורים של האחת כצ"ל של וקטורי השניה.
'''אכן, אם הן פורשות מרחב מאותו מימד והאחת מוכלת בשניה אז הן שוות.
עדי

== פונקציונלים ==

עמוד 108 שאלה 1.3 ב, בחוברת של בועז צבאן. איך מוכיחים שההעתקה היא לא פונקציונל? (איך מוכיחים שהיא כן..?) אמרנו שפונקציונל זה העתקה של מרחב לשדה שלו, למה זה לא מתקיים בשאלה 1.3? תודה מראש:)

'''>> בדיוק כפי שעושים עבור ה"ל. פונקציונל היא ה"ל במקרה הפרטי שהטווח הינו שדה המרחב הוקטורי בתחום.

'''במקרה של דטרמינטות: <math>|kA|=k^n|A|</math> ולא <math>k|A|</math> כפי שדורשת ה"ל

'''במקרה ב', קל למצוא דוגמא, למשל: <math>T((2,2)+(2,3))=T(4,5)=20\ne T(2,2)+T(2,3)=4+6=10</math>.

עדי

== בועז צבאן עמוד 56 שאלה 2.7 סעיף א ==

ב- <math>T=T^{2}</math>
הכוונה ש: <math>\forall v\epsilon V: T(v)=T^{2}(v)=T(T(v))</math> ?

'''>>כן.

אם זוהי אכן הכוונה, האם ניתן להפריך ע"י הדוגמא הבאה?

<math>T(v)=T(x,y)=(x,0) , V=\mathbb{R}^{2}</math>

ואז התנאי מתקיים, אבל <math>T\neq I_{v},-I_{v}</math>

'''>> נכון מאוד.

== דרגת מטריצה ==

שלום! איך מוכיחים ש rankAB קטן או שווה ל rankA (או B)? תודה!

<math>y\in C(AB)=>\exists x:ABx=y=>\exists Bx:A(Bx)=y => y\in C(A)=>C(AB)\subseteq C(A)=>rank(AB)\leq rank(A)</math>

כמו כן, נאמר שמס' העמודות ב-B הוא m, ולכן גם מס' העמודות ב-AB הוא m/

ממשפט הדרגה

<math>dim(Null(B))+rank(B)=m=dim(Null(AB))+rank(AB)</math>

היות ו-

<math>x\in Null(B) => Bx=0 =>ABx=0 => x\in Null(AB) =>Null(B)\subseteq Null(AB) => dim(Null(B))\leq dim(Null(AB))</math>

נקבל ש-

<math>rank(B)\geq rank(AB)</math>.

עדי

== תרגיל 1 מועד א 2006 ==

אומרים שלכל b למערכת Ax=b יש פתרון (b שייך לFm). אז אני מוכיחה שA הפיכה ולכן יש פתרון יחיד,
א. האם נכון שזה גורר שעמודות ושורות A בתל וש n=m?
ב. האם מרחב העמודות של A שווה ל Fm? איך מוכיחים זאת?
תודה רבה!

'''>> ראשית, אם אינך יודע אם n=m איך הוכחת שA הפיכה? מט' הפיכה רק אם היא ריבועית. בכל מקרה הנתון אינו גורר זאת ולא פיתרון יחיד.

<math>C(A)=F^m</math> היות ונתון כי לכל b קיים <math>x=(x_1,...,x_n)</math> כך ש <math>Ax=\sum x_iC_i(A)=b</math>. כלומר עמודות A פורשות כל וקטור ב<math>F^m</math>.

עדי

== העתקות ==

האם קיימת העתקה מR2 לR2 כך ש: imT=kerT?

מה עם נגיד העתקה ששולחת כל (0,X) לוקטור האפס וכל (X,Y) לוקטור (0,X)?

'''(לא מתרגלת)
בהגדרה שלך יש בעיה, היא שולחת וקטור מהצורה (x,0) לשני וקטורים שונים: (0,0) מצד אחד ו-(x,0) מצד שני.

אם תגדיר אותה כך שרק כאשר y שונה מאפס היא תשלח את (x,y) לוקטור (x,0), תקבל העתקה שאינה לינארית.
לדוגמא: (1,2) יילך ל- (1,0), (2-,2) יילך ל-(2,0), אבל (1,2)+(2-,2)=(3,0) יילך ל-(0,0)
[ולא ל-(3,0), כפי שהיה אמור להיות בהעתקה לינארית].

והצעה להעתקה כזו (לא בדקתי עד הסוף, אבל נראה לי):

העתקה T ששולחת כל וקטור (x,y) לוקטור (0,y). ככה יתקבל בתמונה כל ציר ה-x, והגרעין יהיה כל הוקטורים שערך ה-y שלהם הוא 0, שזה גם ציר ה-x. כדאי לשים לב, אגב, ש-T בריבוע היא העתקת האפס (לא רק בדוגמא שלי, בכל העתקה שמקיימת את התנאי בשאלה).'''

צודקת, תודה רבה (:

'''אכן זו ההעתקה המתאימה. לכל שדה ממימד זוגי 2n ניתן למצוא כזו, נשלח את <math>e_1,...,e_n</math> ל-0, ואת <math>e_{n+1},...,e_{2n}</math> ל-<math>e_1,...,e_n</math> בהתאמה. עבור שדה ממימד אי זוגי אין זה אפשרי היות וזה ידרוש מימד שאיננו שלם. עדי

== בשאלה 2.18 מעמוד 57 ==

צריך להוכיח שקילות בין שלושה סעיפים.

ראשית, בין סעיפים א ו-ב, מספיק להשתמש במשפט המימדים (dimKerT+dimImT=dimV) עבור T ועבור T^2, ולהסתמך על כך ש-ImT^2 מוכלת ב-ImT, וש-KerT מוכל ב-KerT^2?

שנית, לא הצלחתי להוכיח גרירה מסעיף א לסעיף ג, או מסעיף ב לסעיף ג.

'''>> עשינו את השאלה בימלואה בתירגול האחרון.

שאלה נוספת- הבסיס הסטנדרטי של מרחב הפולינומים ממעלה 2 הוא: {1,x^2,x}.
קבוצת וקטורי הקואורדינטות של הבסיס הסטנדרטי, לפי עצמו, שהיא: {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} מהווה גם היא בסיס למרחב הפולינומים p[x]2?

'''>>לא, אלו וקטורי הבסיס הסטנדרטי של <math>F^3</math> אשר איזומורפי למרחב זה.

ודבר אחרון (לבינתיים...): יש צורך ללמוד העתקה דואלית למבחן? (המרצה אמר שצריך ללמוד מרחב דואלי ובסיס דואלי, אך האם גם העתקה?)

'''>> רק אם עשיתם את זה בכיתה.

עדי

== תרגילים 1 ו-2 ==

רלוונטיים לחומר הבחינה?

'''>> כבסיס לכל מה שבא אחרי. לא תוכל לפתור שאלה מעל המרוכבים ללא חשבון מרוכבים או להשתמש בתכונות של סקלרים מבלי לדעת אכסיומות של שדות.

עדי

== מבחן 2012 מועד ב' ==

בשאלה 3 הפתרון לא נכון ואני ממש לא יודעת איך פותרים אותו.
האם העובדה שהשדה שלי בעל p איברים אומרת שdimF^n=p^n??
תודה מראש :)

'''>>לא. המימד הוא n. הוא התכוון, כפי שנעשה בפיתרון, למימד מרחב ההעתקות. הדבר היחיד שחסר בפתרון הוא המעבר מהמימד שהוא אכן mn למספר האייברים, שזה מה שביקשו. כל מטריצה היא צ"ל של mn אייברי בסיס ולכל וקטור בסיס p אפשרויות לסקלר שהוא מקדמו בצירוף הלינארי. לכן <math>p^{mn}</math>. גם לפי משפט ההגדרה ניתן לשלוח n אייברי בסיס של <math>F^n</math> ל-n אייברי טווח מתוך <math>p^m</math> לכן <math>(p^m)^n=p^{mn}</math> אפשרויות.
עדי

== qn ==

Let V be a vector space over F.U is a subspace of V.Let v,w∈V.
Prove that if dim(U+span{(v+w)})<dim(U+sp{v}) then v,w∉U

'''Assume v,w∈U then U+sp{v+w}=U=U+sp{v}. Therefore dim(U+sp{v+w})=dim(U)=dim(U+sp{v}). contradiction
so v∉U or w∉U.

'''If (w∉U and v∈U) then v+w∉U and we get
<math>dim(U+span{(v+w)})=dim(U)+dim(sp\{v+w\})-dim(U\bigcap sp\{v+w\})=dim(U)+1-0\geq dim(U)=dim(U+sp\{v\})</math>. contradiction

'''If (v∉U and w∈U) then v+w∉U and we get
<math>dim(U+span{(v+w)})=dim(U)+dim(sp\{v+w\})-dim(U\bigcap sp\{v+w\})=dim(U)+1-0= dim(U)+dim(sp\{v\})-dim(U\bigcap sp\{v\})=dim(U+sp\{v\})</math>. contradiction

so v and w are not in U

Adi

== במבחנים מתשס"ו (מועד א' ו-ב') ==

השאלה הראשונה מתייחסת למערכת x=bA (ולא Ax=b). האם הסדר שונה בכוונה?...

(לא מתרגלת) אני חושבת שכן, תראי שכדי שהכפל יהיה מוגדר בכלל אזי b צריך להיות מצד שמאל, ואז את מקבלת שx הוא וקטור שורה בעל n מקומות

למה x לא יכול להיות וקטור שורה בעל n עמודות?

(נראה לי דווקא שהכפל כן מוגדר בצורה הזאת. נתון ש-b ב-Fm, כלומר הוא וקטור שורה או עמודה מגודל m (סדר 1xm, או mx1, בהתאמה).
נצא מנקודת הנחה שהוא מסדר 1xm, ואז אין בעיה לכפול (משמאל) במטריצה שמספר שורותיה הוא m.)

לא הבנת אותי נכון, התכוונתי שלפי דעתי אין טעות בסדר :)
אם b הוא מסדר 1Xm, אז x הוא מסדר 1Xn, כלומר וקטור שורה.
ומה שאמרת זה בדיוק מה שהתכוונתי.
ואגב-מאיפה מועד ב'?

== מבחן 2010 ==

אפשר לקבל כיוון לפתרון שאלה 4א?

תודה.

== 2012 מ ועד ב' ==

שלום! אפשר בבקשה להסביר מה לא נכון בפתרון של 3 סע' ב?
תודה!

== פונקציונאלים ==

איך מחשבים בסיס דואלי?
ומה לגבי השאלה שהמרצה נתן בנושא םונקציונלים בשיעור האחרון?
תודה.

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2013-01-23T10:48:00Z

Yifath: /* 2012 מ ועד ב' */ פסקה חדשה

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגיל 1 ==

רשום בהודעות שתרגיל 1 קוצר אך יורד לי בדיוק אותו קובץ שירד לי קודם (עם 7 שאלות)? [[משתמש:איל דימנט|איל דימנט]] 23:25, 24 באוקטובר 2012 (IST)

>זו הודעה של בדידה שהופיעה בטעות פה. תוקן. עדי

==רמז לשאלה 5,תרגיל 1==
<math>z^n=(rcis(\theta))^n=r^ncis(n \theta)=1 </math>
החלק המדומה בצד ימין הוא אפס. מתי החלק המדומה בצד שמאל הוא אפס? כתוצאה מכך מהי הזוית/זויות ומיהו r? ועל כן, היכן יושבים מרוכבים אלו על המישור?
עדי

== סילבוס ==

שלום, אשמח אם תעלו סילבוס של הקורס.
כרגע הסילבוס הוא של "בדידה" משום מה.
תודה.

'''>>תוקן. עדי

== תרגיל 1 שאלה 6 ==

שלום! האם אפשר לקבל הכוונה לשאלה 6? ניסיתי להציב אבל אני לא רואה איך אפשר עוד להתקדם בפתרון.... תודה מראש!

'''>> השאלה מה הצבת, את <math>z</math> או את הצמוד שלו? רצוי להתחיל ממה שידוע, כלומר, שהצבת <math>z</math> היא פיתרון. אז העזר בתכונות ההצמדה שהוכחנו בכיתה כדי לעבור להופעה של <math>\bar z</math> במשוואה זו במקום. עדי

== תרגיל בית 2 שאלה 2.3 סעיף ד ==

שלום! כשאומרים ש 0F=1Z3 מתכוונים לאיבר הראשון בZ3 או לאיבר 1 בZ3? תודה מראש!

'''>>לאיבר 1 ב<math>Z_3</math>. עדי'''

==שאלה 4ב בתרגיל 3==

יש לי שאלות של אסור ומותר לגבי הוכחות, שעלו בעקבות שאלה מספר 4ב בתרגיל מספר 3.
ראשית אני חושב שמותר לי להניח שהקבוצה מוכלת בתוך השדה, אחרת אין מה לדבר על תת שדה.
שנית, אני רוצה להוכיח כי הקבוצה שווה לשדה הנתון.
הגעתי לכך שהראיתי שאם קיים איבר בשדה שהוא לא בקבוצה, אז הסכום של 1 והאיבר "לפניו" (או קומבינציה מסויימת של אברי הקבוצה) הם בעצם אותו איבר שלא נמצא בקבוצה.
לכן הקבוצה לא סגורה תחת חיבור ולכן לא יכולה להיות שדה.
אני יכול לטעון זאת? מותר לי?
או שבשאלה הספציפית הזאת הדרך לפתור היא רק דרך הנחה בשלילה או הוכחת הקריטריון המקוצר?

'''>>ראשית, ודאי ש F שדה, זה נתון. שנית, הוכח פורמלית לפי הקריטריון המקוצר. עדי'''

== תרגיל מס' 2 שאלה לא מהחוברת ==

בסעיף א' איזה משוואה צריך לבנות?

'''>> <math>\forall (a,b),(c,d),(e,f)\in C\ \ (a,b)[(c,d)+(e,f)]=(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)</math> עם החיבור והכפל המוגדרים בשאלה. עדי'''

== תרגול 2 שאלה לא מהחוברת... ==

שלום! :)
לא הבנתי בדיוק את המשמעות של RxR...
אשמח להסבר!

'''>> <math>A\times B</math> הוא אוסף כל הזוגות הסדורים כך שה"קואורדינטה" הראשונה מגיעה מ-A והשניה מ-B:
<math>A\times B=\{(a,b):a\in A, b\in B\}</math>. '''במקרה זה <math>R\times R</math> הוא אוסף כל הזוגות הסדורים מעל הממשיים (כלומר המישור הממשי). היות ומספר מרוכב מוגדר ע"י זוג סדור של מספרים ממשיים (האחד מייצג את הרכיב הממשי והשני את הרכיב המדומה) ניתן להתייחס ל-<math>R\times R</math> כקב' שקולה ל-<math>C</math>, ממנו מגיעות הפעוללות המוגדרות בשאלה. עדי'''

== תרגיל 2 ==

לגבי שאלה 4.4 סעיף א' מהחוברת לא הבנתי איך זה עוזר לי אם אוכיח ש n*1f)*(m*1f)=(nm)*1f)
יפית, אמרת שארשום את זה בפורום ותסבירי לכולנו. תודה.

'''>>בהנחה שהוכחתם טענת עזר זאת, הניחו בשלילה ש-k הוא מאפיין השדה ואיננו ראשוני. הישתמשו בטענת העזר ובעובדה שאין בשדה מחלקי אפס על מנת להראות ש 1+...+1 יתאפס כבר בראשוניים שמחלקים את k בסתירה למינימליותו. עדי'''

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

הגדרנו תת שדה H של שדה F כך ש H צריכה קודם כל להיות תת קבוצה של F ואז לקיים את הקריטריון.
בשאלה יש p איברים ל F ואז מוכיחים שיש לקבוצה המועמדת להיות תת שדה גם p איברים.
אבל אם יש לקבוצה הזו p איברים שונים והיא גם תת קבוצה של F שגם היא בעלת p איברים שונים, לא ניתן להסיק בעצם שהיא שווה ל F?

'''>>כן, אבל איך זה רלוונטי לשאלה? בסעיף לא ידוע שב-H יש p אייברים, לכאורה H בנויה באופן אינסופי, מהות המבוקש להוכיח הוא כי למעשה לאחר p אייברים אין אייברים "חדשים". עדי

נכון, מבקשים להוכיח שבH יש p איברים ואכן הוכחתי זאת כפי שאמרת. לכן אם היא צריכה להיות תת קבוצה של F שגם לה p איברים שונים אז היא בהכרח שווה ל F לא? אם כן, כל הבדיקה של תת שדה מיותרת... כי אם H=F אז H כבר שדה.

'''>> ראשית, הורדתי את הפיתרון שרשמת... שנית, מי אמר שב F יש p איברים? הוא ממאפיין p. שדה מגודל 4 למשל הוא ממאפיין 2. עדי

ראשית, הגעתי לכך מאותה הסיבה שב Z5 יש 5 איברים וב Z7 יש 7 איברים ו H היא לא אינסופית כמו שנרשם. שנינו מסכימים על כך שב F יש לא פחות מ p איברים. אבל אם יהיו יותר, כמו בדוגמה שהבאת, אז בדיוק כמו ב H ניתן לרשום אותם כמו שרשמתי בהודעה הקודמת, כלומר לא מוסיפים איברים חדשים. גם אם ניקח את הקבוצה {0,1,2,3,4,5,6,8,9} בעלת 9 איברים מעל z7, היא שדה (הוכחתי זאת). אבל עדיין 8 ב z7 זה 1 ו 9 בz7 זה2. לכן כתיבתם מיותרת כי זה כמו לכתוב את הקבוצה {1} בצורה {1,1,1,1,1,1} ועדיין אומרים שיש איבר אחד בקבוצה ולא 6 איברים.

שנית, אם הייתי מסתכל בפתרונות, הייתי פשוט מעתיק ושותק. לא הייתי נכנס לדיונים ומביך את עצמי בפומבי.

'''>> אתה ממש לא מביך את עצמך! השאלה היא לגיטימית מאוד וזו טעות נפוצה. זו הסיבה שכ"כ חשוב לי שכולם יראו את ההערה באדום, לוודא שכולם נמנעים ממנה. אני מודה לך על השאלה! הלוואי והיו יותר.

'''לא הבנתי את הרלוונטיות של "מעתיק ושותק" לדיון.

'''בכל מקרה,

'''1. לא אמרתי ש-H אינסופית, אמרתי שהיא בנויה באופן אינסופי, היא כל האייברים מהצורה <math>1,1+1,1+1+1,...</math> כשמשמעות ה-3 נקודות היא ''וכן הלאה'', נראה שהם מתלכדים לכדיי p אייברים. כמו <math>\{1\}=\{1,1,1\}=\{1,1,1,...\}</math>, כשהכוונה בקבוצה האחרונה היא קבוצה של אינסוף אחדים, אך ניתן להוכיח שהיא סופית מגודל 1. היא לא אינסופית, אבל היא בנויה באופן אינסופי.

'''2.הנקודה לגבי שאלתך המקורית היא שב-F ''לא פחות'' מ-p אייברים ''שונים, ללא חזרות''. למשל בדוגמא שהעלתי למטה, ניתן לבנות תת שדה של 0 ו-1 עבור השדה מגודל 4. כלומר: F מגודל 4 וממאפיין 2. H נבנת כמו בשאלה, ע"י 1 של F, והיא גם ממאפיין 2 וגם מגודל 2.

'''עדי

<nowiki>1. התכוונתי שאם הייתי מעתיק את הפתרון, לא הייתי מנסה להפליל את עצמי ע"י שאלת שאלות, פשוט הייתי מעתיק וזהו.

2. אני לא מצליח להבין כיצד הדוגמה שהבאת שונה מהדוגמה שהבאתי על 9 איברים ב Z7. גם זה שדה של 9 איברים אבל המאפיין הוא 7. וגם כאן 8 שונה מ 1 ו9 שונה מ 2 (הם שווים רק מעל Z7), בדיוק כמו a ו b בדוגמה שהבאת. אבל עדיין מה שעשית הוא לקחת איבר מ Z7 ולרשום אותו בצורה אחרת, לא הוספתי שום איבר חדש (ואני גם לא יכול, כי מן הסתם הוא ירשם בצורה כלשהי ע"י אברי Z7). ההיגיון שלי יכול אולי לקבל את ההשערה שזה עובד לא ב Zp, אבל כרגע ב Zp אני לא מצליח לשכנע את עצמי שזה אכן כך.</nowiki>

'''>> 1. שוב, אני לא מבינה למה אתה מתכוון ב"להפליל את עצמך". לזה נועד הפורום, אני מעודדת שאילת שאלות והשאיפה שהדיון יעודד עוד אנשים לשאול. אני מתנצלת אם באיזושהי צורה התשובה שלי התפרשה אחרת.

'''לגבי העתקה, אני חושבת שברורה לכולנו חוסר התועלת של כך, למי שבוחר לעשות כן.

'''2. בדוגמא שהבאת 9 אייברים, אם אתה מסתכל עליה כמו שהיא, ואז היא איננה מוכלת בZ7. אם אתה מסתכל על איבריה מודולו 7 (זו לא ממש אותה קבוצה, זו קבוצת מנה של היח"ש מודולו 7) אז יש בה 7 אייברים, 1 לא שונה מ8 ו2 לא שונה מ9. דוגמא בZn לא תמצא כי Zn הוא שדה רק כאשר ה-n ראשוני. אין זה נכון במקרה הכללי לגבי גודל הקבוצה, אלא רק לגבי מאפיינה.

טוב, עכשיו הבנתי למה חשבת שאני חשבתי שהעתקת. כי רשמתי שהורדתי את הפיתרון. לא התכוונתי שהעתקת ועכשיו הסרתי אותו, התכוונתי שהורדתי את הפיתרון שרשמת בתשובה שלך. בתגובה המקורית שלך ל-להוכיח שב-H יש p איברים רשמת פיתרון מלא לאיך הראית את זה, אז הורדתי אותו. לא חשבתי בשום שלב שהעתקת

'''עדי

==חשוב מאוד! הבדילו בין גודלו של שדה למאפיינו==


הוכחנו שהמאפיין בהכרח ראשוני, אולם שדה יכול להיות מגודל שאינו ראשוני.

מצ"ב דוגמא חשובה, שדה מגודל 4 עם מאפיין 2(מוכרח להיות). עיינו בה וודאו שאתם מבינים אותה היטב.

[[מדיה:char(F)=2.doc|דוגמא חשובה F|=4, char(F)=2|]]


עדי
: כתוב בדף ש"שדה יכול להיות מכל גודל"; אני מניח שהכוונה היא להדגיש שגודל השדה אינו חייב להיות שווה למאפיין - יש כמובן מגבלות אחרות. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:11, 21 בנובמבר 2012 (IST)

תוקן. תודה

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

לא כל-כך ברור לי הקונספט של '''הוכחה''' בהקשר שמופיע בשאלה.

בסעיף א.- מעצם ההגדרה, לשדה סופי יש מאפיין חיובי, ושדה בעל מאפיין חיובי הוא בהכרח סופי.
האם הדרך להוכיח זאת היא ליצור פעולה של חיבור איברי יחידה במספר הולך וגדל (כמו הקבוצה בסעיף ב) ולהראות שקיים n כלשהו כך שמחיבור n איברי יחידה בהכרח נקבל 0 (שזוהי הגדרת מאפיין)?

בסעיף ב.- לכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp. למיטב הבנתי יוצא מזה, לפי הגדרת תת-שדה, שהפעולות של שדה סופי זהות לפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים.
מתוך זה נובע כי כל תת-שדה של שדה סופי הוא בעל פעולות זהות לאלו של ZcharF.

מה הכוונה ב'''להראות''' שאלו הן הפעולות של תת-השדה?

אגב, יש משפט לגבי יחידות של שדה? כלומר, האם שני שדות, שיש להם את אותם איברי היחידה והאפס, אותן פעולות החיבור והכפל, ואותו הגודל, הם בהכרח אותו השדה?

'''>> סעיף א-

'''זו הגדרת מאפיין של שדה: המאפיין (או המציין) של שדה הוא המספר ''הטבעי'' n הקטן ביותר כך ש- <math>1_F+1_F+...</math> n פעמים הוא אפס של השדה. אם n אינסופי נאמר שהמאפיין אפס. כך שהמאפיין תמיד אי שלילי ושלם.

'''לגבי ההוכחה, אכן יש להראות שקיים n שכזה, אך החשיבות היא להראות שהוא סופי.

'''סעיף ב-

'''זה לא נכון שלכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp, כי Zp איננו מוכל בכל שדה.

עבור שדה ממאפיין p תת שדה מ'''גודל''' p '''יתנהג''' כמו Zp, כלומר, טבלאות הפעולה שלו יהיו זהות.

'''לא נכון לומר שהפעולות זהות, אלא שטבלאות הפעולה זהות, כלומר חיבור וכפל בין האיבר ה-i לאיבר ה-j (לא בהכרח המספרים i ו-j) ילכו לאיבר ה-k וה- h בהתאמה (כלומר k לחיבור, ו-h לכפל), בשני השדות.

'''אין זה נכון שטבלת הפעולות של שדה סופי זהה לטבלת הפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים היות וגודל השדה יכול להיות גדול מהמאפיין שלו, כפי שניתן לראות בדוגמא למעלה. זה לא יכול לקרות ב-Zn שם הקבוצה היא שדה רק כאשר גודלה ראשוני, ולכן שווה למאפיינה.

אם גודל השדה=מאפיין השדה, ולכן ראשוני, אז הוא '''מתנהג''' כמו ZcharF.

לגבי ההערה האחרונה: במקרה הסופי כן, במקרה האינסופי לא, לדוגמא R ו-C. אבל הנקודה בחלק השני של סעיף ב' היא לא '''שיוויון''' בין השדות או הפעולות אלא '''התנהגות''' זהה של הפעולות.

'''עדי

==המשך להערה החשובה==

שימו לב שתת השדה בסעיף ב' של שאלה 4 בתרגיל 3 בנוי להיות בעל '''מספר טיבעי''' של אייברים וכולם מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>. לא כל שדה הוא מגודל טיבעי, בניגוד למאפיין. למשל R עם החיבור והכפל המוכרים לנו. המשמעות היא שלא בהכרח כל איבר בשדה הוא מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>, הוא כן בהכרח מהצורה <math>1_F\cdot a</math> עבור a מהשדה, לדוגמא <math>1.5</math> ב-R.

למעשה, רק charF אייברים בשדה יהיו מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>, וכפי שכבר הבנו, יתכן שבשדה יותר מ-charF אייברים.

עדי


== תרגיל 4 תרגיל נוסף לא מהחוברת ==

שלום! איך בדיוק מתארים אלגוריתם? תיארתי לעצמי במילים את השלבים של הדירוג, איך בדיוק אני אמורה לתרגם את זה לכתיבה מתמטית..? תודהה:)

'''>> תאור (תקין) במילים הוא בסדר גמור. את יכולה להוסיף דיאגרמה של המטריצה להסבר, ע"מ להימנע מאי הבנות או כפל משמעות. עדי

== זהות בין מטריצות ==

האם בכדי להוכיח ששתי מטריצות שוות, מספיק להראות כי הן מאותו הסדר וכי נוסחת האיבר הכללי (נגיד: aij, כש-i אינדקס שורה, j אינדקס עמודה) שלהן זהה?

'''>>כן, סדר ושיוויון רכיב-רכיב. עדי

== בוחן ==

שלום! מה בדיוק החומר לבוחן..? ואיך כדאי ללמוד? תודה!:)

'''>> עד מרחבים וקטורים, לא כולל. כדאי לפתור את כל התרגילים מההרצאה, תירגולים ושעורי בית. הפורום זמין לשאלות ודיונים. עדי

== תרגילים 2 ו-3 ==

נבדקו והוחזרו כבר?

== שאלה 4.2 מתרגיל 5 ==

אבל גם בכלל.
לעתים תכופות קורה, דווקא בשאלות הטריוויאליות יותר, שלא ברור לי אילו היסקים "מותר" לעשות ואילו לא.

הדוגמא הרלוונטית לעכשיו:

הגדרתי: A=(aij) B=(bij) ולכן: A+B=(aij+bij)
השאלה היא כזאת: האם כשאני משחלפת את A+B מותר לי לומר: (A+B)טרנספוז= (aji+bji( או שזוהי הנחת המבוקש?

ובאופן כללי יותר, קיימים קווים מנחים להוכחה ריגורוזית?

תודה מראש

'''>> ההוכחה אכן קצרה באופן מעט מרתיע, לכן עלינו להקפיד על פורמליות. אם <math>\ C=A+B=(c_{ij}),\ C^t=(d_{ij})\ </math> תאמרו מצד אחד מיהו <math>c_{ij}</math> בהסתמך על הסכום, מצד שני מיהו <math>d_{ij}</math> בהסתמך על הגדרת שיחלוף ורק בסוף תקשרו ביניהם.

'''לגבי השאלה הכללית: ההיתר (ובמובן זה גם ההגבלה) בהוכחה היא להסתמך על מה שהוכח עד נקודה זו ובלבד ש-

'''1. זו איננה מהות כל המבוקש להוכיח (לפעמים תתבקשו למשל להוכיח טענות שהוכחתם בכיתה)

'''2. שלא השתמשתם בהוכחה בטענה שהוכחתה מסתמכת על מה שאתם מנסים להוכיח כעת (כלומר, לא ליצור מעגליות בהוכחה, להסתמך על ב כדי להוכיח א כאשר השתמשתם ב-א כדי להוכיח את ב).
עדי

== כפל מטריצות משוחלפות ==

אם מוגדרות: <math>A=(aij) , B=(bij)</math>,
ועשינו טרנספוז ל-A:
<math>A^t=(aji)</math>

אז המכפלה: <math>C=A^tB</math>

יוצרת איזו מבין נוסחאות האיבר הכללי:

<math>cij=sum_{l}^{n}ailblj</math>

או <math>cij=sum_{l}^{n}aliblj</math> ?

הראשונה "שולחת" אותנו ל-<math>A^t</math>, אבל "מאבדת" את הקשר עם <math>A</math> (נראה לי).
השניה "שולחת" אותנו ישירות ל-<math>A</math> (אבל המכפלה היא על <math>A^t</math> ).

'''>> ראשית תוודא שהמכפלה הנ"ל מוגדרת. במידה וכן <math>A^t=(d_{ij})</math> כאשר <math>d_{ij}=a_{ji}\ \forall j,i</math>.

'''לכן
<math>c_{ij}=\Sigma_{l=1}^{n}d_{il}b_{lj}=\Sigma_{l=1}^{n}a_{li}b_{lj}</math>

'''ולכן המשוואה השניה היא הנכונה. המשוואה הראשונה מגדירה איבר כללי בAB (שוב, במידה ומכפלה זו מוגדרת). עדי

תודה רבה, עדי (:


==חומר לבוחן==
כל החומר עד מרחבים וקטוריים, לא כולל. תרגיל 6 לא נכלל בשאלות, אבל לא יכול להזיק לפתור לקראת הבוחן שאלות מהחוברת עד עמ' 19 כולל.


== מיקום הבוחן ==

היכן מתקיים הבוחן לקבוצה של יפית?

== תרגיל בית מספר 7 ==

בשאלה 2 שלא מהחוברת, במקומות של השדה מופיעים ריבועים ריקים.

'''>>לא אצל כולם משום מה. בכל מקרה זה C.

אוקי תודה רבה. האם ניתן להעלות את התרגילים כקבצי pdf?

== תרגיל 7 שאלה 4.8 ==

האם יש קשר בין סעיף א ל-ב? כלומר, האם הדרישה היא למצוא "נוסחא כללית" ל-Ui ו-Vi כך שעבור i=1 מתקיים א ועבור i=2 מתקיים ב?

או שצריך למצוא U,V שמקיימים את א, ובלי קשר למצוא U,V אחרים שמקיימים את ב?

'''>> לא, אין קשר. Ui,Vi לא צריכים להיות תלויים ב-i באופן של-1 קורה א ול-2 קורה ב. צריך דוגמא עבור א ודוגמא (תלויה או לא תלויה בה) עבור ב. עדי

== בוחן <math>II</math> ==



ב-7 לינואר, 18:00-19:00 יתקיים בקורס בוחן (השני מתוך שניים) על מרחבים וקטוריים, תתי מרחבים, תלות-לינארית, בסיס, מימד ודרגה של מטריצה, בפרט גם: מרחב העמודות, מרחב השורות ומרחב האפס <math>(A\in M_{mxn}(F),\ Null(A)=\{v\in F^n:Av=0\})</math>. יש ללמוד את כל החומר מההרצאות.

הבוחן יתקיים בבניין:604, כיתה:62 . יפית ועדי



== תרגיל 10 שאלה 11.12 ==

אנחנו עובדות תחת ההנחה ש-A היא מסדר nxn? זה מצוין בתרגיל הקודם, אבל לא בנוכחי, ונדמה לי שללא ההנחה הזאת הטענות אינן שקולות.

'''>>כן

== שאלת הוכחה ==

== כותרת ==
איך מוכיחים שאם ההעתקה לינארית אזי ההעתקה מה-0 מ"ו של התחום הולך ל-0 מ"ו של הטווח?

'''>> תהי <math>T:V->W</math>. אם <math>V\ne \{0\}</math> אז <math>\exist v\in V:0\ne v</math> ולכן <math>T(0_V)=T(v+(-v))=T(v)+T(-v)=T(v)-T(v)=0_W</math>.

'''אם V הוא מרחב האפס ו-W לא (אם כן אז אפס יכול ללכת רק לאפס) ונניח בשלילה ש <math>T(0_V)=w\in W:w\ne 0_W</math>

'''אז <math>-w=-T(0_V)=T(-0_V)=T(0_V)</math>

'''כלומר <math>w=-w</math>, אחרת למקור שתי תמונות.

'''כתוצאה מכך, אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין שונה מ-2 אז <math>w=0_W</math>.

'''אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין 2 אז <math>T(0_V)=T(0_V+0_V)=T(0_V)+T(0_V)=2w=0_W</math>, מה שלא יכול לקרות כי <math>w\ne 0_W</math> ומקור לא יכול להישלח לשתי תמונות.

עדי

== בוחן שני ==

תוכלו להעלות לאתר את השאלות מהבוחן השני?

'''>>עלה ביום הבוחן

== פתרונות למבחנים ==

האם אפשר לצרף פתרונות למבחנים שהועלו לאתר?

תודה.

'''>>העלתי אחד בינתיים

תודה.

== בסיס ל-NULL ==

רציתי לשאול, כשרוצים למצוא את הבסיס והמימד של KerF בהע"ל מ-R4 ל-R3, אני פותרת מע' משוואות הומוגנית, ו-2 משתנים חופשיים, האם קיימים מס' בסיסים? לי יצא ווקטורי בסיס של (0 1 2 1) (1- 0 1 2)
ובספר (1 0 2 1) (0 1- 1 2)

'''>>וודאי. תבדקי אם הם פורשים את אותו מרחב, כלומר, שתיהן קב' בת"ל מאותו גודל (מה שאכן קורה) וניתן לקבל את הוקטורים של האחת כצ"ל של וקטורי השניה.
'''אכן, אם הן פורשות מרחב מאותו מימד והאחת מוכלת בשניה אז הן שוות.
עדי

== פונקציונלים ==

עמוד 108 שאלה 1.3 ב, בחוברת של בועז צבאן. איך מוכיחים שההעתקה היא לא פונקציונל? (איך מוכיחים שהיא כן..?) אמרנו שפונקציונל זה העתקה של מרחב לשדה שלו, למה זה לא מתקיים בשאלה 1.3? תודה מראש:)

'''>> בדיוק כפי שעושים עבור ה"ל. פונקציונל היא ה"ל במקרה הפרטי שהטווח הינו שדה המרחב הוקטורי בתחום.

'''במקרה של דטרמינטות: <math>|kA|=k^n|A|</math> ולא <math>k|A|</math> כפי שדורשת ה"ל

'''במקרה ב', קל למצוא דוגמא, למשל: <math>T((2,2)+(2,3))=T(4,5)=20\ne T(2,2)+T(2,3)=4+6=10</math>.

עדי

== בועז צבאן עמוד 56 שאלה 2.7 סעיף א ==

ב- <math>T=T^{2}</math>
הכוונה ש: <math>\forall v\epsilon V: T(v)=T^{2}(v)=T(T(v))</math> ?

'''>>כן.

אם זוהי אכן הכוונה, האם ניתן להפריך ע"י הדוגמא הבאה?

<math>T(v)=T(x,y)=(x,0) , V=\mathbb{R}^{2}</math>

ואז התנאי מתקיים, אבל <math>T\neq I_{v},-I_{v}</math>

'''>> נכון מאוד.

== דרגת מטריצה ==

שלום! איך מוכיחים ש rankAB קטן או שווה ל rankA (או B)? תודה!

<math>y\in C(AB)=>\exists x:ABx=y=>\exists Bx:A(Bx)=y => y\in C(A)=>C(AB)\subseteq C(A)=>rank(AB)\leq rank(A)</math>

כמו כן, נאמר שמס' העמודות ב-B הוא m, ולכן גם מס' העמודות ב-AB הוא m/

ממשפט הדרגה

<math>dim(Null(B))+rank(B)=m=dim(Null(AB))+rank(AB)</math>

היות ו-

<math>x\in Null(B) => Bx=0 =>ABx=0 => x\in Null(AB) =>Null(B)\subseteq Null(AB) => dim(Null(B))\leq dim(Null(AB))</math>

נקבל ש-

<math>rank(B)\geq rank(AB)</math>.

עדי

== תרגיל 1 מועד א 2006 ==

אומרים שלכל b למערכת Ax=b יש פתרון (b שייך לFm). אז אני מוכיחה שA הפיכה ולכן יש פתרון יחיד,
א. האם נכון שזה גורר שעמודות ושורות A בתל וש n=m?
ב. האם מרחב העמודות של A שווה ל Fm? איך מוכיחים זאת?
תודה רבה!

'''>> ראשית, אם אינך יודע אם n=m איך הוכחת שA הפיכה? מט' הפיכה רק אם היא ריבועית. בכל מקרה הנתון אינו גורר זאת ולא פיתרון יחיד.

<math>C(A)=F^m</math> היות ונתון כי לכל b קיים <math>x=(x_1,...,x_n)</math> כך ש <math>Ax=\sum x_iC_i(A)=b</math>. כלומר עמודות A פורשות כל וקטור ב<math>F^m</math>.

עדי

== העתקות ==

האם קיימת העתקה מR2 לR2 כך ש: imT=kerT?

מה עם נגיד העתקה ששולחת כל (0,X) לוקטור האפס וכל (X,Y) לוקטור (0,X)?

'''(לא מתרגלת)
בהגדרה שלך יש בעיה, היא שולחת וקטור מהצורה (x,0) לשני וקטורים שונים: (0,0) מצד אחד ו-(x,0) מצד שני.

אם תגדיר אותה כך שרק כאשר y שונה מאפס היא תשלח את (x,y) לוקטור (x,0), תקבל העתקה שאינה לינארית.
לדוגמא: (1,2) יילך ל- (1,0), (2-,2) יילך ל-(2,0), אבל (1,2)+(2-,2)=(3,0) יילך ל-(0,0)
[ולא ל-(3,0), כפי שהיה אמור להיות בהעתקה לינארית].

והצעה להעתקה כזו (לא בדקתי עד הסוף, אבל נראה לי):

העתקה T ששולחת כל וקטור (x,y) לוקטור (0,y). ככה יתקבל בתמונה כל ציר ה-x, והגרעין יהיה כל הוקטורים שערך ה-y שלהם הוא 0, שזה גם ציר ה-x. כדאי לשים לב, אגב, ש-T בריבוע היא העתקת האפס (לא רק בדוגמא שלי, בכל העתקה שמקיימת את התנאי בשאלה).'''

צודקת, תודה רבה (:

'''אכן זו ההעתקה המתאימה. לכל שדה ממימד זוגי 2n ניתן למצוא כזו, נשלח את <math>e_1,...,e_n</math> ל-0, ואת <math>e_{n+1},...,e_{2n}</math> ל-<math>e_1,...,e_n</math> בהתאמה. עבור שדה ממימד אי זוגי אין זה אפשרי היות וזה ידרוש מימד שאיננו שלם. עדי

== בשאלה 2.18 מעמוד 57 ==

צריך להוכיח שקילות בין שלושה סעיפים.

ראשית, בין סעיפים א ו-ב, מספיק להשתמש במשפט המימדים (dimKerT+dimImT=dimV) עבור T ועבור T^2, ולהסתמך על כך ש-ImT^2 מוכלת ב-ImT, וש-KerT מוכל ב-KerT^2?

שנית, לא הצלחתי להוכיח גרירה מסעיף א לסעיף ג, או מסעיף ב לסעיף ג.

'''>> עשינו את השאלה בימלואה בתירגול האחרון.

שאלה נוספת- הבסיס הסטנדרטי של מרחב הפולינומים ממעלה 2 הוא: {1,x^2,x}.
קבוצת וקטורי הקואורדינטות של הבסיס הסטנדרטי, לפי עצמו, שהיא: {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} מהווה גם היא בסיס למרחב הפולינומים p[x]2?

'''>>לא, אלו וקטורי הבסיס הסטנדרטי של <math>F^3</math> אשר איזומורפי למרחב זה.

ודבר אחרון (לבינתיים...): יש צורך ללמוד העתקה דואלית למבחן? (המרצה אמר שצריך ללמוד מרחב דואלי ובסיס דואלי, אך האם גם העתקה?)

'''>> רק אם עשיתם את זה בכיתה.

עדי

== תרגילים 1 ו-2 ==

רלוונטיים לחומר הבחינה?

'''>> כבסיס לכל מה שבא אחרי. לא תוכל לפתור שאלה מעל המרוכבים ללא חשבון מרוכבים או להשתמש בתכונות של סקלרים מבלי לדעת אכסיומות של שדות.

עדי

== מבחן 2012 מועד ב' ==

בשאלה 3 הפתרון לא נכון ואני ממש לא יודעת איך פותרים אותו.
האם העובדה שהשדה שלי בעל p איברים אומרת שdimF^n=p^n??
תודה מראש :)

'''>>לא. המימד הוא n. הוא התכוון, כפי שנעשה בפיתרון, למימד מרחב ההעתקות. הדבר היחיד שחסר בפתרון הוא המעבר מהמימד שהוא אכן mn למספר האייברים, שזה מה שביקשו. כל מטריצה היא צ"ל של mn אייברי בסיס ולכל וקטור בסיס p אפשרויות לסקלר שהוא מקדמו בצירוף הלינארי. לכן <math>p^{mn}</math>. גם לפי משפט ההגדרה ניתן לשלוח n אייברי בסיס של <math>F^n</math> ל-n אייברי טווח מתוך <math>p^m</math> לכן <math>(p^m)^n=p^{mn}</math> אפשרויות.
עדי

== qn ==

Let V be a vector space over F.U is a subspace of V.Let v,w∈V.
Prove that if dim(U+span{(v+w)})<dim(U+sp{v}) then v,w∉U

'''Assume v,w∈U then U+sp{v+w}=U=U+sp{v}. Therefore dim(U+sp{v+w})=dim(U)=dim(U+sp{v}). contradiction
so v∉U or w∉U.

'''If (w∉U and v∈U) then v+w∉U and we get
<math>dim(U+span{(v+w)})=dim(U)+dim(sp\{v+w\})-dim(U\bigcap sp\{v+w\})=dim(U)+1-0\geq dim(U)=dim(U+sp\{v\})</math>. contradiction

'''If (v∉U and w∈U) then v+w∉U and we get
<math>dim(U+span{(v+w)})=dim(U)+dim(sp\{v+w\})-dim(U\bigcap sp\{v+w\})=dim(U)+1-0= dim(U)+dim(sp\{v\})-dim(U\bigcap sp\{v\})=dim(U+sp\{v\})</math>. contradiction

so v and w are not in U

Adi

== במבחנים מתשס"ו (מועד א' ו-ב') ==

השאלה הראשונה מתייחסת למערכת x=bA (ולא Ax=b). האם הסדר שונה בכוונה?...

(לא מתרגלת) אני חושבת שכן, תראי שכדי שהכפל יהיה מוגדר בכלל אזי b צריך להיות מצד שמאל, ואז את מקבלת שx הוא וקטור שורה בעל n מקומות

למה x לא יכול להיות וקטור שורה בעל n עמודות?

(נראה לי דווקא שהכפל כן מוגדר בצורה הזאת. נתון ש-b ב-Fm, כלומר הוא וקטור שורה או עמודה מגודל m (סדר 1xm, או mx1, בהתאמה).
נצא מנקודת הנחה שהוא מסדר 1xm, ואז אין בעיה לכפול (משמאל) במטריצה שמספר שורותיה הוא m.)

לא הבנת אותי נכון, התכוונתי שלפי דעתי אין טעות בסדר :)
אם b הוא מסדר 1Xm, אז x הוא מסדר 1Xn, כלומר וקטור שורה.
ומה שאמרת זה בדיוק מה שהתכוונתי.
ואגב-מאיפה מועד ב'?

== מבחן 2010 ==

אפשר לקבל כיוון לפתרון שאלה 4א?

תודה.

== 2012 מ ועד ב' ==

שלום! אפשר בבקשה להסביר מה לא נכון בפתרון של 3 סע' ב?
תודה!

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2013-01-23T08:00:58Z

Yifath: /* במבחנים מתשס"ו (מועד א' ו-ב') */

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2013-01-23T07:34:59Z

Yifath: /* במבחנים מתשס"ו (מועד א' ו-ב') */

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2013-01-23T07:17:10Z

Yifath: /* במבחנים מתשס"ו (מועד א' ו-ב') */

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2013-01-22T22:41:54Z

Yifath: /* במבחנים מתשס"ו (מועד א' ו-ב') */

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2013-01-22T18:28:00Z

Yifath: /* מבחן 2012 מועד ב' */ פסקה חדשה

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2013-01-22T12:27:34Z

Yifath: /* העתקות */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגיל 1 ==

רשום בהודעות שתרגיל 1 קוצר אך יורד לי בדיוק אותו קובץ שירד לי קודם (עם 7 שאלות)? [[משתמש:איל דימנט|איל דימנט]] 23:25, 24 באוקטובר 2012 (IST)

>זו הודעה של בדידה שהופיעה בטעות פה. תוקן. עדי

==רמז לשאלה 5,תרגיל 1==
<math>z^n=(rcis(\theta))^n=r^ncis(n \theta)=1 </math>
החלק המדומה בצד ימין הוא אפס. מתי החלק המדומה בצד שמאל הוא אפס? כתוצאה מכך מהי הזוית/זויות ומיהו r? ועל כן, היכן יושבים מרוכבים אלו על המישור?
עדי

== סילבוס ==

שלום, אשמח אם תעלו סילבוס של הקורס.
כרגע הסילבוס הוא של "בדידה" משום מה.
תודה.

'''>>תוקן. עדי

== תרגיל 1 שאלה 6 ==

שלום! האם אפשר לקבל הכוונה לשאלה 6? ניסיתי להציב אבל אני לא רואה איך אפשר עוד להתקדם בפתרון.... תודה מראש!

'''>> השאלה מה הצבת, את <math>z</math> או את הצמוד שלו? רצוי להתחיל ממה שידוע, כלומר, שהצבת <math>z</math> היא פיתרון. אז העזר בתכונות ההצמדה שהוכחנו בכיתה כדי לעבור להופעה של <math>\bar z</math> במשוואה זו במקום. עדי

== תרגיל בית 2 שאלה 2.3 סעיף ד ==

שלום! כשאומרים ש 0F=1Z3 מתכוונים לאיבר הראשון בZ3 או לאיבר 1 בZ3? תודה מראש!

'''>>לאיבר 1 ב<math>Z_3</math>. עדי'''

==שאלה 4ב בתרגיל 3==

יש לי שאלות של אסור ומותר לגבי הוכחות, שעלו בעקבות שאלה מספר 4ב בתרגיל מספר 3.
ראשית אני חושב שמותר לי להניח שהקבוצה מוכלת בתוך השדה, אחרת אין מה לדבר על תת שדה.
שנית, אני רוצה להוכיח כי הקבוצה שווה לשדה הנתון.
הגעתי לכך שהראיתי שאם קיים איבר בשדה שהוא לא בקבוצה, אז הסכום של 1 והאיבר "לפניו" (או קומבינציה מסויימת של אברי הקבוצה) הם בעצם אותו איבר שלא נמצא בקבוצה.
לכן הקבוצה לא סגורה תחת חיבור ולכן לא יכולה להיות שדה.
אני יכול לטעון זאת? מותר לי?
או שבשאלה הספציפית הזאת הדרך לפתור היא רק דרך הנחה בשלילה או הוכחת הקריטריון המקוצר?

'''>>ראשית, ודאי ש F שדה, זה נתון. שנית, הוכח פורמלית לפי הקריטריון המקוצר. עדי'''

== תרגיל מס' 2 שאלה לא מהחוברת ==

בסעיף א' איזה משוואה צריך לבנות?

'''>> <math>\forall (a,b),(c,d),(e,f)\in C\ \ (a,b)[(c,d)+(e,f)]=(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)</math> עם החיבור והכפל המוגדרים בשאלה. עדי'''

== תרגול 2 שאלה לא מהחוברת... ==

שלום! :)
לא הבנתי בדיוק את המשמעות של RxR...
אשמח להסבר!

'''>> <math>A\times B</math> הוא אוסף כל הזוגות הסדורים כך שה"קואורדינטה" הראשונה מגיעה מ-A והשניה מ-B:
<math>A\times B=\{(a,b):a\in A, b\in B\}</math>. '''במקרה זה <math>R\times R</math> הוא אוסף כל הזוגות הסדורים מעל הממשיים (כלומר המישור הממשי). היות ומספר מרוכב מוגדר ע"י זוג סדור של מספרים ממשיים (האחד מייצג את הרכיב הממשי והשני את הרכיב המדומה) ניתן להתייחס ל-<math>R\times R</math> כקב' שקולה ל-<math>C</math>, ממנו מגיעות הפעוללות המוגדרות בשאלה. עדי'''

== תרגיל 2 ==

לגבי שאלה 4.4 סעיף א' מהחוברת לא הבנתי איך זה עוזר לי אם אוכיח ש n*1f)*(m*1f)=(nm)*1f)
יפית, אמרת שארשום את זה בפורום ותסבירי לכולנו. תודה.

'''>>בהנחה שהוכחתם טענת עזר זאת, הניחו בשלילה ש-k הוא מאפיין השדה ואיננו ראשוני. הישתמשו בטענת העזר ובעובדה שאין בשדה מחלקי אפס על מנת להראות ש 1+...+1 יתאפס כבר בראשוניים שמחלקים את k בסתירה למינימליותו. עדי'''

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

הגדרנו תת שדה H של שדה F כך ש H צריכה קודם כל להיות תת קבוצה של F ואז לקיים את הקריטריון.
בשאלה יש p איברים ל F ואז מוכיחים שיש לקבוצה המועמדת להיות תת שדה גם p איברים.
אבל אם יש לקבוצה הזו p איברים שונים והיא גם תת קבוצה של F שגם היא בעלת p איברים שונים, לא ניתן להסיק בעצם שהיא שווה ל F?

'''>>כן, אבל איך זה רלוונטי לשאלה? בסעיף לא ידוע שב-H יש p אייברים, לכאורה H בנויה באופן אינסופי, מהות המבוקש להוכיח הוא כי למעשה לאחר p אייברים אין אייברים "חדשים". עדי

נכון, מבקשים להוכיח שבH יש p איברים ואכן הוכחתי זאת כפי שאמרת. לכן אם היא צריכה להיות תת קבוצה של F שגם לה p איברים שונים אז היא בהכרח שווה ל F לא? אם כן, כל הבדיקה של תת שדה מיותרת... כי אם H=F אז H כבר שדה.

'''>> ראשית, הורדתי את הפיתרון שרשמת... שנית, מי אמר שב F יש p איברים? הוא ממאפיין p. שדה מגודל 4 למשל הוא ממאפיין 2. עדי

ראשית, הגעתי לכך מאותה הסיבה שב Z5 יש 5 איברים וב Z7 יש 7 איברים ו H היא לא אינסופית כמו שנרשם. שנינו מסכימים על כך שב F יש לא פחות מ p איברים. אבל אם יהיו יותר, כמו בדוגמה שהבאת, אז בדיוק כמו ב H ניתן לרשום אותם כמו שרשמתי בהודעה הקודמת, כלומר לא מוסיפים איברים חדשים. גם אם ניקח את הקבוצה {0,1,2,3,4,5,6,8,9} בעלת 9 איברים מעל z7, היא שדה (הוכחתי זאת). אבל עדיין 8 ב z7 זה 1 ו 9 בz7 זה2. לכן כתיבתם מיותרת כי זה כמו לכתוב את הקבוצה {1} בצורה {1,1,1,1,1,1} ועדיין אומרים שיש איבר אחד בקבוצה ולא 6 איברים.

שנית, אם הייתי מסתכל בפתרונות, הייתי פשוט מעתיק ושותק. לא הייתי נכנס לדיונים ומביך את עצמי בפומבי.

'''>> אתה ממש לא מביך את עצמך! השאלה היא לגיטימית מאוד וזו טעות נפוצה. זו הסיבה שכ"כ חשוב לי שכולם יראו את ההערה באדום, לוודא שכולם נמנעים ממנה. אני מודה לך על השאלה! הלוואי והיו יותר.

'''לא הבנתי את הרלוונטיות של "מעתיק ושותק" לדיון.

'''בכל מקרה,

'''1. לא אמרתי ש-H אינסופית, אמרתי שהיא בנויה באופן אינסופי, היא כל האייברים מהצורה <math>1,1+1,1+1+1,...</math> כשמשמעות ה-3 נקודות היא ''וכן הלאה'', נראה שהם מתלכדים לכדיי p אייברים. כמו <math>\{1\}=\{1,1,1\}=\{1,1,1,...\}</math>, כשהכוונה בקבוצה האחרונה היא קבוצה של אינסוף אחדים, אך ניתן להוכיח שהיא סופית מגודל 1. היא לא אינסופית, אבל היא בנויה באופן אינסופי.

'''2.הנקודה לגבי שאלתך המקורית היא שב-F ''לא פחות'' מ-p אייברים ''שונים, ללא חזרות''. למשל בדוגמא שהעלתי למטה, ניתן לבנות תת שדה של 0 ו-1 עבור השדה מגודל 4. כלומר: F מגודל 4 וממאפיין 2. H נבנת כמו בשאלה, ע"י 1 של F, והיא גם ממאפיין 2 וגם מגודל 2.

'''עדי

<nowiki>1. התכוונתי שאם הייתי מעתיק את הפתרון, לא הייתי מנסה להפליל את עצמי ע"י שאלת שאלות, פשוט הייתי מעתיק וזהו.

2. אני לא מצליח להבין כיצד הדוגמה שהבאת שונה מהדוגמה שהבאתי על 9 איברים ב Z7. גם זה שדה של 9 איברים אבל המאפיין הוא 7. וגם כאן 8 שונה מ 1 ו9 שונה מ 2 (הם שווים רק מעל Z7), בדיוק כמו a ו b בדוגמה שהבאת. אבל עדיין מה שעשית הוא לקחת איבר מ Z7 ולרשום אותו בצורה אחרת, לא הוספתי שום איבר חדש (ואני גם לא יכול, כי מן הסתם הוא ירשם בצורה כלשהי ע"י אברי Z7). ההיגיון שלי יכול אולי לקבל את ההשערה שזה עובד לא ב Zp, אבל כרגע ב Zp אני לא מצליח לשכנע את עצמי שזה אכן כך.</nowiki>

'''>> 1. שוב, אני לא מבינה למה אתה מתכוון ב"להפליל את עצמך". לזה נועד הפורום, אני מעודדת שאילת שאלות והשאיפה שהדיון יעודד עוד אנשים לשאול. אני מתנצלת אם באיזושהי צורה התשובה שלי התפרשה אחרת.

'''לגבי העתקה, אני חושבת שברורה לכולנו חוסר התועלת של כך, למי שבוחר לעשות כן.

'''2. בדוגמא שהבאת 9 אייברים, אם אתה מסתכל עליה כמו שהיא, ואז היא איננה מוכלת בZ7. אם אתה מסתכל על איבריה מודולו 7 (זו לא ממש אותה קבוצה, זו קבוצת מנה של היח"ש מודולו 7) אז יש בה 7 אייברים, 1 לא שונה מ8 ו2 לא שונה מ9. דוגמא בZn לא תמצא כי Zn הוא שדה רק כאשר ה-n ראשוני. אין זה נכון במקרה הכללי לגבי גודל הקבוצה, אלא רק לגבי מאפיינה.

טוב, עכשיו הבנתי למה חשבת שאני חשבתי שהעתקת. כי רשמתי שהורדתי את הפיתרון. לא התכוונתי שהעתקת ועכשיו הסרתי אותו, התכוונתי שהורדתי את הפיתרון שרשמת בתשובה שלך. בתגובה המקורית שלך ל-להוכיח שב-H יש p איברים רשמת פיתרון מלא לאיך הראית את זה, אז הורדתי אותו. לא חשבתי בשום שלב שהעתקת

'''עדי

==חשוב מאוד! הבדילו בין גודלו של שדה למאפיינו==


הוכחנו שהמאפיין בהכרח ראשוני, אולם שדה יכול להיות מגודל שאינו ראשוני.

מצ"ב דוגמא חשובה, שדה מגודל 4 עם מאפיין 2(מוכרח להיות). עיינו בה וודאו שאתם מבינים אותה היטב.

[[מדיה:char(F)=2.doc|דוגמא חשובה F|=4, char(F)=2|]]


עדי
: כתוב בדף ש"שדה יכול להיות מכל גודל"; אני מניח שהכוונה היא להדגיש שגודל השדה אינו חייב להיות שווה למאפיין - יש כמובן מגבלות אחרות. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:11, 21 בנובמבר 2012 (IST)

תוקן. תודה

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

לא כל-כך ברור לי הקונספט של '''הוכחה''' בהקשר שמופיע בשאלה.

בסעיף א.- מעצם ההגדרה, לשדה סופי יש מאפיין חיובי, ושדה בעל מאפיין חיובי הוא בהכרח סופי.
האם הדרך להוכיח זאת היא ליצור פעולה של חיבור איברי יחידה במספר הולך וגדל (כמו הקבוצה בסעיף ב) ולהראות שקיים n כלשהו כך שמחיבור n איברי יחידה בהכרח נקבל 0 (שזוהי הגדרת מאפיין)?

בסעיף ב.- לכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp. למיטב הבנתי יוצא מזה, לפי הגדרת תת-שדה, שהפעולות של שדה סופי זהות לפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים.
מתוך זה נובע כי כל תת-שדה של שדה סופי הוא בעל פעולות זהות לאלו של ZcharF.

מה הכוונה ב'''להראות''' שאלו הן הפעולות של תת-השדה?

אגב, יש משפט לגבי יחידות של שדה? כלומר, האם שני שדות, שיש להם את אותם איברי היחידה והאפס, אותן פעולות החיבור והכפל, ואותו הגודל, הם בהכרח אותו השדה?

'''>> סעיף א-

'''זו הגדרת מאפיין של שדה: המאפיין (או המציין) של שדה הוא המספר ''הטבעי'' n הקטן ביותר כך ש- <math>1_F+1_F+...</math> n פעמים הוא אפס של השדה. אם n אינסופי נאמר שהמאפיין אפס. כך שהמאפיין תמיד אי שלילי ושלם.

'''לגבי ההוכחה, אכן יש להראות שקיים n שכזה, אך החשיבות היא להראות שהוא סופי.

'''סעיף ב-

'''זה לא נכון שלכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp, כי Zp איננו מוכל בכל שדה.

עבור שדה ממאפיין p תת שדה מ'''גודל''' p '''יתנהג''' כמו Zp, כלומר, טבלאות הפעולה שלו יהיו זהות.

'''לא נכון לומר שהפעולות זהות, אלא שטבלאות הפעולה זהות, כלומר חיבור וכפל בין האיבר ה-i לאיבר ה-j (לא בהכרח המספרים i ו-j) ילכו לאיבר ה-k וה- h בהתאמה (כלומר k לחיבור, ו-h לכפל), בשני השדות.

'''אין זה נכון שטבלת הפעולות של שדה סופי זהה לטבלת הפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים היות וגודל השדה יכול להיות גדול מהמאפיין שלו, כפי שניתן לראות בדוגמא למעלה. זה לא יכול לקרות ב-Zn שם הקבוצה היא שדה רק כאשר גודלה ראשוני, ולכן שווה למאפיינה.

אם גודל השדה=מאפיין השדה, ולכן ראשוני, אז הוא '''מתנהג''' כמו ZcharF.

לגבי ההערה האחרונה: במקרה הסופי כן, במקרה האינסופי לא, לדוגמא R ו-C. אבל הנקודה בחלק השני של סעיף ב' היא לא '''שיוויון''' בין השדות או הפעולות אלא '''התנהגות''' זהה של הפעולות.

'''עדי

==המשך להערה החשובה==

שימו לב שתת השדה בסעיף ב' של שאלה 4 בתרגיל 3 בנוי להיות בעל '''מספר טיבעי''' של אייברים וכולם מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>. לא כל שדה הוא מגודל טיבעי, בניגוד למאפיין. למשל R עם החיבור והכפל המוכרים לנו. המשמעות היא שלא בהכרח כל איבר בשדה הוא מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>, הוא כן בהכרח מהצורה <math>1_F\cdot a</math> עבור a מהשדה, לדוגמא <math>1.5</math> ב-R.

למעשה, רק charF אייברים בשדה יהיו מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>, וכפי שכבר הבנו, יתכן שבשדה יותר מ-charF אייברים.

עדי


== תרגיל 4 תרגיל נוסף לא מהחוברת ==

שלום! איך בדיוק מתארים אלגוריתם? תיארתי לעצמי במילים את השלבים של הדירוג, איך בדיוק אני אמורה לתרגם את זה לכתיבה מתמטית..? תודהה:)

'''>> תאור (תקין) במילים הוא בסדר גמור. את יכולה להוסיף דיאגרמה של המטריצה להסבר, ע"מ להימנע מאי הבנות או כפל משמעות. עדי

== זהות בין מטריצות ==

האם בכדי להוכיח ששתי מטריצות שוות, מספיק להראות כי הן מאותו הסדר וכי נוסחת האיבר הכללי (נגיד: aij, כש-i אינדקס שורה, j אינדקס עמודה) שלהן זהה?

'''>>כן, סדר ושיוויון רכיב-רכיב. עדי

== בוחן ==

שלום! מה בדיוק החומר לבוחן..? ואיך כדאי ללמוד? תודה!:)

'''>> עד מרחבים וקטורים, לא כולל. כדאי לפתור את כל התרגילים מההרצאה, תירגולים ושעורי בית. הפורום זמין לשאלות ודיונים. עדי

== תרגילים 2 ו-3 ==

נבדקו והוחזרו כבר?

== שאלה 4.2 מתרגיל 5 ==

אבל גם בכלל.
לעתים תכופות קורה, דווקא בשאלות הטריוויאליות יותר, שלא ברור לי אילו היסקים "מותר" לעשות ואילו לא.

הדוגמא הרלוונטית לעכשיו:

הגדרתי: A=(aij) B=(bij) ולכן: A+B=(aij+bij)
השאלה היא כזאת: האם כשאני משחלפת את A+B מותר לי לומר: (A+B)טרנספוז= (aji+bji( או שזוהי הנחת המבוקש?

ובאופן כללי יותר, קיימים קווים מנחים להוכחה ריגורוזית?

תודה מראש

'''>> ההוכחה אכן קצרה באופן מעט מרתיע, לכן עלינו להקפיד על פורמליות. אם <math>\ C=A+B=(c_{ij}),\ C^t=(d_{ij})\ </math> תאמרו מצד אחד מיהו <math>c_{ij}</math> בהסתמך על הסכום, מצד שני מיהו <math>d_{ij}</math> בהסתמך על הגדרת שיחלוף ורק בסוף תקשרו ביניהם.

'''לגבי השאלה הכללית: ההיתר (ובמובן זה גם ההגבלה) בהוכחה היא להסתמך על מה שהוכח עד נקודה זו ובלבד ש-

'''1. זו איננה מהות כל המבוקש להוכיח (לפעמים תתבקשו למשל להוכיח טענות שהוכחתם בכיתה)

'''2. שלא השתמשתם בהוכחה בטענה שהוכחתה מסתמכת על מה שאתם מנסים להוכיח כעת (כלומר, לא ליצור מעגליות בהוכחה, להסתמך על ב כדי להוכיח א כאשר השתמשתם ב-א כדי להוכיח את ב).
עדי

== כפל מטריצות משוחלפות ==

אם מוגדרות: <math>A=(aij) , B=(bij)</math>,
ועשינו טרנספוז ל-A:
<math>A^t=(aji)</math>

אז המכפלה: <math>C=A^tB</math>

יוצרת איזו מבין נוסחאות האיבר הכללי:

<math>cij=sum_{l}^{n}ailblj</math>

או <math>cij=sum_{l}^{n}aliblj</math> ?

הראשונה "שולחת" אותנו ל-<math>A^t</math>, אבל "מאבדת" את הקשר עם <math>A</math> (נראה לי).
השניה "שולחת" אותנו ישירות ל-<math>A</math> (אבל המכפלה היא על <math>A^t</math> ).

'''>> ראשית תוודא שהמכפלה הנ"ל מוגדרת. במידה וכן <math>A^t=(d_{ij})</math> כאשר <math>d_{ij}=a_{ji}\ \forall j,i</math>.

'''לכן
<math>c_{ij}=\Sigma_{l=1}^{n}d_{il}b_{lj}=\Sigma_{l=1}^{n}a_{li}b_{lj}</math>

'''ולכן המשוואה השניה היא הנכונה. המשוואה הראשונה מגדירה איבר כללי בAB (שוב, במידה ומכפלה זו מוגדרת). עדי

תודה רבה, עדי (:


==חומר לבוחן==
כל החומר עד מרחבים וקטוריים, לא כולל. תרגיל 6 לא נכלל בשאלות, אבל לא יכול להזיק לפתור לקראת הבוחן שאלות מהחוברת עד עמ' 19 כולל.


== מיקום הבוחן ==

היכן מתקיים הבוחן לקבוצה של יפית?

== תרגיל בית מספר 7 ==

בשאלה 2 שלא מהחוברת, במקומות של השדה מופיעים ריבועים ריקים.

'''>>לא אצל כולם משום מה. בכל מקרה זה C.

אוקי תודה רבה. האם ניתן להעלות את התרגילים כקבצי pdf?

== תרגיל 7 שאלה 4.8 ==

האם יש קשר בין סעיף א ל-ב? כלומר, האם הדרישה היא למצוא "נוסחא כללית" ל-Ui ו-Vi כך שעבור i=1 מתקיים א ועבור i=2 מתקיים ב?

או שצריך למצוא U,V שמקיימים את א, ובלי קשר למצוא U,V אחרים שמקיימים את ב?

'''>> לא, אין קשר. Ui,Vi לא צריכים להיות תלויים ב-i באופן של-1 קורה א ול-2 קורה ב. צריך דוגמא עבור א ודוגמא (תלויה או לא תלויה בה) עבור ב. עדי

== בוחן <math>II</math> ==



ב-7 לינואר, 18:00-19:00 יתקיים בקורס בוחן (השני מתוך שניים) על מרחבים וקטוריים, תתי מרחבים, תלות-לינארית, בסיס, מימד ודרגה של מטריצה, בפרט גם: מרחב העמודות, מרחב השורות ומרחב האפס <math>(A\in M_{mxn}(F),\ Null(A)=\{v\in F^n:Av=0\})</math>. יש ללמוד את כל החומר מההרצאות.

הבוחן יתקיים בבניין:604, כיתה:62 . יפית ועדי



== תרגיל 10 שאלה 11.12 ==

אנחנו עובדות תחת ההנחה ש-A היא מסדר nxn? זה מצוין בתרגיל הקודם, אבל לא בנוכחי, ונדמה לי שללא ההנחה הזאת הטענות אינן שקולות.

'''>>כן

== שאלת הוכחה ==

== כותרת ==
איך מוכיחים שאם ההעתקה לינארית אזי ההעתקה מה-0 מ"ו של התחום הולך ל-0 מ"ו של הטווח?

'''>> תהי <math>T:V->W</math>. אם <math>V\ne \{0\}</math> אז <math>\exist v\in V:0\ne v</math> ולכן <math>T(0_V)=T(v+(-v))=T(v)+T(-v)=T(v)-T(v)=0_W</math>.

'''אם V הוא מרחב האפס ו-W לא (אם כן אז אפס יכול ללכת רק לאפס) ונניח בשלילה ש <math>T(0_V)=w\in W:w\ne 0_W</math>

'''אז <math>-w=-T(0_V)=T(-0_V)=T(0_V)</math>

'''כלומר <math>w=-w</math>, אחרת למקור שתי תמונות.

'''כתוצאה מכך, אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין שונה מ-2 אז <math>w=0_W</math>.

'''אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין 2 אז <math>T(0_V)=T(0_V+0_V)=T(0_V)+T(0_V)=2w=0_W</math>, מה שלא יכול לקרות כי <math>w\ne 0_W</math> ומקור לא יכול להישלח לשתי תמונות.

עדי

== בוחן שני ==

תוכלו להעלות לאתר את השאלות מהבוחן השני?

'''>>עלה ביום הבוחן

== פתרונות למבחנים ==

האם אפשר לצרף פתרונות למבחנים שהועלו לאתר?

תודה.

'''>>העלתי אחד בינתיים

תודה.

== בסיס ל-NULL ==

רציתי לשאול, כשרוצים למצוא את הבסיס והמימד של KerF בהע"ל מ-R4 ל-R3, אני פותרת מע' משוואות הומוגנית, ו-2 משתנים חופשיים, האם קיימים מס' בסיסים? לי יצא ווקטורי בסיס של (0 1 2 1) (1- 0 1 2)
ובספר (1 0 2 1) (0 1- 1 2)

'''>>וודאי. תבדקי אם הם פורשים את אותו מרחב, כלומר, שתיהן קב' בת"ל מאותו גודל (מה שאכן קורה) וניתן לקבל את הוקטורים של האחת כצ"ל של וקטורי השניה.
'''אכן, אם הן פורשות מרחב מאותו מימד והאחת מוכלת בשניה אז הן שוות.
עדי

== פונקציונלים ==

עמוד 108 שאלה 1.3 ב, בחוברת של בועז צבאן. איך מוכיחים שההעתקה היא לא פונקציונל? (איך מוכיחים שהיא כן..?) אמרנו שפונקציונל זה העתקה של מרחב לשדה שלו, למה זה לא מתקיים בשאלה 1.3? תודה מראש:)

'''>> בדיוק כפי שעושים עבור ה"ל. פונקציונל היא ה"ל במקרה הפרטי שהטווח הינו שדה המרחב הוקטורי בתחום.

'''במקרה של דטרמינטות: <math>|kA|=k^n|A|</math> ולא <math>k|A|</math> כפי שדורשת ה"ל

'''במקרה ב', קל למצוא דוגמא, למשל: <math>T((2,2)+(2,3))=T(4,5)=20\ne T(2,2)+T(2,3)=4+6=10</math>.

עדי

== בועז צבאן עמוד 56 שאלה 2.7 סעיף א ==

ב- <math>T=T^{2}</math>
הכוונה ש: <math>\forall v\epsilon V: T(v)=T^{2}(v)=T(T(v))</math> ?

'''>>כן.

אם זוהי אכן הכוונה, האם ניתן להפריך ע"י הדוגמא הבאה?

<math>T(v)=T(x,y)=(x,0) , V=\mathbb{R}^{2}</math>

ואז התנאי מתקיים, אבל <math>T\neq I_{v},-I_{v}</math>

'''>> נכון מאוד.

== דרגת מטריצה ==

שלום! איך מוכיחים ש rankAB קטן או שווה ל rankA (או B)? תודה!

<math>y\in C(AB)=>\exists x:ABx=y=>\exists Bx:A(Bx)=y => y\in C(A)=>C(AB)\subseteq C(A)=>rank(AB)\leq rank(A)</math>

כמו כן, נאמר שמס' העמודות ב-B הוא m, ולכן גם מס' העמודות ב-AB הוא m/

ממשפט הדרגה

<math>dim(Null(B))+rank(B)=m=dim(Null(AB))+rank(AB)</math>

היות ו-

<math>x\in Null(B) => Bx=0 =>ABx=0 => x\in Null(AB) =>Null(B)\subseteq Null(AB) => dim(Null(B))\leq dim(Null(AB))</math>

נקבל ש-

<math>rank(B)\geq rank(AB)</math>.

עדי

== תרגיל 1 מועד א 2006 ==

אומרים שלכל b למערכת Ax=b יש פתרון (b שייך לFm). אז אני מוכיחה שA הפיכה ולכן יש פתרון יחיד,
א. האם נכון שזה גורר שעמודות ושורות A בתל וש n=m?
ב. האם מרחב העמודות של A שווה ל Fm? איך מוכיחים זאת?
תודה רבה!

'''>> ראשית, אם אינך יודע אם n=m איך הוכחת שA הפיכה? מט' הפיכה רק אם היא ריבועית. בכל מקרה הנתון אינו גורר זאת ולא פיתרון יחיד.

<math>C(A)=F^m</math> היות ונתון כי לכל b קיים <math>x=(x_1,...,x_n)</math> כך ש <math>Ax=\sum x_iC_i(A)=b</math>. כלומר עמודות A פורשות כל וקטור ב<math>F^m</math>.

עדי

== העתקות ==

האם קיימת העתקה מR2 לR2 כך ש: imT=kerT?

מה עם נגיד העתקה ששולחת כל (0,X) לוקטור האפס וכל (X,Y) לוקטור (0,X)?

'''(לא מתרגלת)
בהגדרה שלך יש בעיה, היא שולחת וקטור מהצורה (x,0) לשני וקטורים שונים: (0,0) מצד אחד ו-(x,0) מצד שני.

אם תגדיר אותה כך שרק כאשר y שונה מאפס היא תשלח את (x,y) לוקטור (x,0), תקבל העתקה שאינה לינארית.
לדוגמא: (1,2) יילך ל- (1,0), (2-,2) יילך ל-(2,0), אבל (1,2)+(2-,2)=(3,0) יילך ל-(0,0)
[ולא ל-(3,0), כפי שהיה אמור להיות בהעתקה לינארית].

והצעה להעתקה כזו (לא בדקתי עד הסוף, אבל נראה לי):

העתקה T ששולחת כל וקטור (x,y) לוקטור (0,y). ככה יתקבל בתמונה כל ציר ה-x, והגרעין יהיה כל הוקטורים שערך ה-y שלהם הוא 0, שזה גם ציר ה-x. כדאי לשים לב, אגב, ש-T בריבוע היא העתקת האפס (לא רק בדוגמא שלי, בכל העתקה שמקיימת את התנאי בשאלה).'''

צודקת, תודה רבה (:

== בשאלה 2.18 מעמוד 57 ==

צריך להוכיח שקילות בין שלושה סעיפים.

'''ראשית''', בין סעיפים א ו-ב, מספיק להשתמש במשפט המימדים (dimKerT+dimImT=dimV) עבור T ועבור T^2, ולהסתמך על כך ש-ImT^2 מוכלת ב-ImT, וש-KerT מוכל ב-KerT^2?

'''שנית''', לא הצלחתי להוכיח גרירה מסעיף א לסעיף ג, או מסעיף ב לסעיף ג.

'''שאלה נוספת'''- הבסיס הסטנדרטי של מרחב הפולינומים ממעלה 2 הוא: {1,x^2,x}.
קבוצת וקטורי הקואורדינטות של הבסיס הסטנדרטי, לפי עצמו, שהיא: {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} מהווה גם היא בסיס למרחב הפולינומים p[x]2?

'''ודבר אחרון (לבינתיים...)''': יש צורך ללמוד העתקה דואלית למבחן? (המרצה אמר שצריך ללמוד מרחב דואלי ובסיס דואלי, אך האם גם העתקה?)

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2013-01-22T11:01:24Z

Yifath: /* העתקות */

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2013-01-22T10:56:42Z

Yifath: /* העתקות */

שיחה:88-112 תשעג סמסטר א

2013-01-22T10:52:06Z

Yifath: /* העתקות */

{{הוראות דף שיחה}}

=שאלות=

== תרגיל 1 ==

רשום בהודעות שתרגיל 1 קוצר אך יורד לי בדיוק אותו קובץ שירד לי קודם (עם 7 שאלות)? [[משתמש:איל דימנט|איל דימנט]] 23:25, 24 באוקטובר 2012 (IST)

>זו הודעה של בדידה שהופיעה בטעות פה. תוקן. עדי

==רמז לשאלה 5,תרגיל 1==
<math>z^n=(rcis(\theta))^n=r^ncis(n \theta)=1 </math>
החלק המדומה בצד ימין הוא אפס. מתי החלק המדומה בצד שמאל הוא אפס? כתוצאה מכך מהי הזוית/זויות ומיהו r? ועל כן, היכן יושבים מרוכבים אלו על המישור?
עדי

== סילבוס ==

שלום, אשמח אם תעלו סילבוס של הקורס.
כרגע הסילבוס הוא של "בדידה" משום מה.
תודה.

'''>>תוקן. עדי

== תרגיל 1 שאלה 6 ==

שלום! האם אפשר לקבל הכוונה לשאלה 6? ניסיתי להציב אבל אני לא רואה איך אפשר עוד להתקדם בפתרון.... תודה מראש!

'''>> השאלה מה הצבת, את <math>z</math> או את הצמוד שלו? רצוי להתחיל ממה שידוע, כלומר, שהצבת <math>z</math> היא פיתרון. אז העזר בתכונות ההצמדה שהוכחנו בכיתה כדי לעבור להופעה של <math>\bar z</math> במשוואה זו במקום. עדי

== תרגיל בית 2 שאלה 2.3 סעיף ד ==

שלום! כשאומרים ש 0F=1Z3 מתכוונים לאיבר הראשון בZ3 או לאיבר 1 בZ3? תודה מראש!

'''>>לאיבר 1 ב<math>Z_3</math>. עדי'''

==שאלה 4ב בתרגיל 3==

יש לי שאלות של אסור ומותר לגבי הוכחות, שעלו בעקבות שאלה מספר 4ב בתרגיל מספר 3.
ראשית אני חושב שמותר לי להניח שהקבוצה מוכלת בתוך השדה, אחרת אין מה לדבר על תת שדה.
שנית, אני רוצה להוכיח כי הקבוצה שווה לשדה הנתון.
הגעתי לכך שהראיתי שאם קיים איבר בשדה שהוא לא בקבוצה, אז הסכום של 1 והאיבר "לפניו" (או קומבינציה מסויימת של אברי הקבוצה) הם בעצם אותו איבר שלא נמצא בקבוצה.
לכן הקבוצה לא סגורה תחת חיבור ולכן לא יכולה להיות שדה.
אני יכול לטעון זאת? מותר לי?
או שבשאלה הספציפית הזאת הדרך לפתור היא רק דרך הנחה בשלילה או הוכחת הקריטריון המקוצר?

'''>>ראשית, ודאי ש F שדה, זה נתון. שנית, הוכח פורמלית לפי הקריטריון המקוצר. עדי'''

== תרגיל מס' 2 שאלה לא מהחוברת ==

בסעיף א' איזה משוואה צריך לבנות?

'''>> <math>\forall (a,b),(c,d),(e,f)\in C\ \ (a,b)[(c,d)+(e,f)]=(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)</math> עם החיבור והכפל המוגדרים בשאלה. עדי'''

== תרגול 2 שאלה לא מהחוברת... ==

שלום! :)
לא הבנתי בדיוק את המשמעות של RxR...
אשמח להסבר!

'''>> <math>A\times B</math> הוא אוסף כל הזוגות הסדורים כך שה"קואורדינטה" הראשונה מגיעה מ-A והשניה מ-B:
<math>A\times B=\{(a,b):a\in A, b\in B\}</math>. '''במקרה זה <math>R\times R</math> הוא אוסף כל הזוגות הסדורים מעל הממשיים (כלומר המישור הממשי). היות ומספר מרוכב מוגדר ע"י זוג סדור של מספרים ממשיים (האחד מייצג את הרכיב הממשי והשני את הרכיב המדומה) ניתן להתייחס ל-<math>R\times R</math> כקב' שקולה ל-<math>C</math>, ממנו מגיעות הפעוללות המוגדרות בשאלה. עדי'''

== תרגיל 2 ==

לגבי שאלה 4.4 סעיף א' מהחוברת לא הבנתי איך זה עוזר לי אם אוכיח ש n*1f)*(m*1f)=(nm)*1f)
יפית, אמרת שארשום את זה בפורום ותסבירי לכולנו. תודה.

'''>>בהנחה שהוכחתם טענת עזר זאת, הניחו בשלילה ש-k הוא מאפיין השדה ואיננו ראשוני. הישתמשו בטענת העזר ובעובדה שאין בשדה מחלקי אפס על מנת להראות ש 1+...+1 יתאפס כבר בראשוניים שמחלקים את k בסתירה למינימליותו. עדי'''

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

הגדרנו תת שדה H של שדה F כך ש H צריכה קודם כל להיות תת קבוצה של F ואז לקיים את הקריטריון.
בשאלה יש p איברים ל F ואז מוכיחים שיש לקבוצה המועמדת להיות תת שדה גם p איברים.
אבל אם יש לקבוצה הזו p איברים שונים והיא גם תת קבוצה של F שגם היא בעלת p איברים שונים, לא ניתן להסיק בעצם שהיא שווה ל F?

'''>>כן, אבל איך זה רלוונטי לשאלה? בסעיף לא ידוע שב-H יש p אייברים, לכאורה H בנויה באופן אינסופי, מהות המבוקש להוכיח הוא כי למעשה לאחר p אייברים אין אייברים "חדשים". עדי

נכון, מבקשים להוכיח שבH יש p איברים ואכן הוכחתי זאת כפי שאמרת. לכן אם היא צריכה להיות תת קבוצה של F שגם לה p איברים שונים אז היא בהכרח שווה ל F לא? אם כן, כל הבדיקה של תת שדה מיותרת... כי אם H=F אז H כבר שדה.

'''>> ראשית, הורדתי את הפיתרון שרשמת... שנית, מי אמר שב F יש p איברים? הוא ממאפיין p. שדה מגודל 4 למשל הוא ממאפיין 2. עדי

ראשית, הגעתי לכך מאותה הסיבה שב Z5 יש 5 איברים וב Z7 יש 7 איברים ו H היא לא אינסופית כמו שנרשם. שנינו מסכימים על כך שב F יש לא פחות מ p איברים. אבל אם יהיו יותר, כמו בדוגמה שהבאת, אז בדיוק כמו ב H ניתן לרשום אותם כמו שרשמתי בהודעה הקודמת, כלומר לא מוסיפים איברים חדשים. גם אם ניקח את הקבוצה {0,1,2,3,4,5,6,8,9} בעלת 9 איברים מעל z7, היא שדה (הוכחתי זאת). אבל עדיין 8 ב z7 זה 1 ו 9 בz7 זה2. לכן כתיבתם מיותרת כי זה כמו לכתוב את הקבוצה {1} בצורה {1,1,1,1,1,1} ועדיין אומרים שיש איבר אחד בקבוצה ולא 6 איברים.

שנית, אם הייתי מסתכל בפתרונות, הייתי פשוט מעתיק ושותק. לא הייתי נכנס לדיונים ומביך את עצמי בפומבי.

'''>> אתה ממש לא מביך את עצמך! השאלה היא לגיטימית מאוד וזו טעות נפוצה. זו הסיבה שכ"כ חשוב לי שכולם יראו את ההערה באדום, לוודא שכולם נמנעים ממנה. אני מודה לך על השאלה! הלוואי והיו יותר.

'''לא הבנתי את הרלוונטיות של "מעתיק ושותק" לדיון.

'''בכל מקרה,

'''1. לא אמרתי ש-H אינסופית, אמרתי שהיא בנויה באופן אינסופי, היא כל האייברים מהצורה <math>1,1+1,1+1+1,...</math> כשמשמעות ה-3 נקודות היא ''וכן הלאה'', נראה שהם מתלכדים לכדיי p אייברים. כמו <math>\{1\}=\{1,1,1\}=\{1,1,1,...\}</math>, כשהכוונה בקבוצה האחרונה היא קבוצה של אינסוף אחדים, אך ניתן להוכיח שהיא סופית מגודל 1. היא לא אינסופית, אבל היא בנויה באופן אינסופי.

'''2.הנקודה לגבי שאלתך המקורית היא שב-F ''לא פחות'' מ-p אייברים ''שונים, ללא חזרות''. למשל בדוגמא שהעלתי למטה, ניתן לבנות תת שדה של 0 ו-1 עבור השדה מגודל 4. כלומר: F מגודל 4 וממאפיין 2. H נבנת כמו בשאלה, ע"י 1 של F, והיא גם ממאפיין 2 וגם מגודל 2.

'''עדי

<nowiki>1. התכוונתי שאם הייתי מעתיק את הפתרון, לא הייתי מנסה להפליל את עצמי ע"י שאלת שאלות, פשוט הייתי מעתיק וזהו.

2. אני לא מצליח להבין כיצד הדוגמה שהבאת שונה מהדוגמה שהבאתי על 9 איברים ב Z7. גם זה שדה של 9 איברים אבל המאפיין הוא 7. וגם כאן 8 שונה מ 1 ו9 שונה מ 2 (הם שווים רק מעל Z7), בדיוק כמו a ו b בדוגמה שהבאת. אבל עדיין מה שעשית הוא לקחת איבר מ Z7 ולרשום אותו בצורה אחרת, לא הוספתי שום איבר חדש (ואני גם לא יכול, כי מן הסתם הוא ירשם בצורה כלשהי ע"י אברי Z7). ההיגיון שלי יכול אולי לקבל את ההשערה שזה עובד לא ב Zp, אבל כרגע ב Zp אני לא מצליח לשכנע את עצמי שזה אכן כך.</nowiki>

'''>> 1. שוב, אני לא מבינה למה אתה מתכוון ב"להפליל את עצמך". לזה נועד הפורום, אני מעודדת שאילת שאלות והשאיפה שהדיון יעודד עוד אנשים לשאול. אני מתנצלת אם באיזושהי צורה התשובה שלי התפרשה אחרת.

'''לגבי העתקה, אני חושבת שברורה לכולנו חוסר התועלת של כך, למי שבוחר לעשות כן.

'''2. בדוגמא שהבאת 9 אייברים, אם אתה מסתכל עליה כמו שהיא, ואז היא איננה מוכלת בZ7. אם אתה מסתכל על איבריה מודולו 7 (זו לא ממש אותה קבוצה, זו קבוצת מנה של היח"ש מודולו 7) אז יש בה 7 אייברים, 1 לא שונה מ8 ו2 לא שונה מ9. דוגמא בZn לא תמצא כי Zn הוא שדה רק כאשר ה-n ראשוני. אין זה נכון במקרה הכללי לגבי גודל הקבוצה, אלא רק לגבי מאפיינה.

טוב, עכשיו הבנתי למה חשבת שאני חשבתי שהעתקת. כי רשמתי שהורדתי את הפיתרון. לא התכוונתי שהעתקת ועכשיו הסרתי אותו, התכוונתי שהורדתי את הפיתרון שרשמת בתשובה שלך. בתגובה המקורית שלך ל-להוכיח שב-H יש p איברים רשמת פיתרון מלא לאיך הראית את זה, אז הורדתי אותו. לא חשבתי בשום שלב שהעתקת

'''עדי

==חשוב מאוד! הבדילו בין גודלו של שדה למאפיינו==


הוכחנו שהמאפיין בהכרח ראשוני, אולם שדה יכול להיות מגודל שאינו ראשוני.

מצ"ב דוגמא חשובה, שדה מגודל 4 עם מאפיין 2(מוכרח להיות). עיינו בה וודאו שאתם מבינים אותה היטב.

[[מדיה:char(F)=2.doc|דוגמא חשובה F|=4, char(F)=2|]]


עדי
: כתוב בדף ש"שדה יכול להיות מכל גודל"; אני מניח שהכוונה היא להדגיש שגודל השדה אינו חייב להיות שווה למאפיין - יש כמובן מגבלות אחרות. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 23:11, 21 בנובמבר 2012 (IST)

תוקן. תודה

== תרגיל 3 שאלה 4 ==

לא כל-כך ברור לי הקונספט של '''הוכחה''' בהקשר שמופיע בשאלה.

בסעיף א.- מעצם ההגדרה, לשדה סופי יש מאפיין חיובי, ושדה בעל מאפיין חיובי הוא בהכרח סופי.
האם הדרך להוכיח זאת היא ליצור פעולה של חיבור איברי יחידה במספר הולך וגדל (כמו הקבוצה בסעיף ב) ולהראות שקיים n כלשהו כך שמחיבור n איברי יחידה בהכרח נקבל 0 (שזוהי הגדרת מאפיין)?

בסעיף ב.- לכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp. למיטב הבנתי יוצא מזה, לפי הגדרת תת-שדה, שהפעולות של שדה סופי זהות לפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים.
מתוך זה נובע כי כל תת-שדה של שדה סופי הוא בעל פעולות זהות לאלו של ZcharF.

מה הכוונה ב'''להראות''' שאלו הן הפעולות של תת-השדה?

אגב, יש משפט לגבי יחידות של שדה? כלומר, האם שני שדות, שיש להם את אותם איברי היחידה והאפס, אותן פעולות החיבור והכפל, ואותו הגודל, הם בהכרח אותו השדה?

'''>> סעיף א-

'''זו הגדרת מאפיין של שדה: המאפיין (או המציין) של שדה הוא המספר ''הטבעי'' n הקטן ביותר כך ש- <math>1_F+1_F+...</math> n פעמים הוא אפס של השדה. אם n אינסופי נאמר שהמאפיין אפס. כך שהמאפיין תמיד אי שלילי ושלם.

'''לגבי ההוכחה, אכן יש להראות שקיים n שכזה, אך החשיבות היא להראות שהוא סופי.

'''סעיף ב-

'''זה לא נכון שלכל שדה סופי בעל מאפיין p, יש תת-שדה Zp, כי Zp איננו מוכל בכל שדה.

עבור שדה ממאפיין p תת שדה מ'''גודל''' p '''יתנהג''' כמו Zp, כלומר, טבלאות הפעולה שלו יהיו זהות.

'''לא נכון לומר שהפעולות זהות, אלא שטבלאות הפעולה זהות, כלומר חיבור וכפל בין האיבר ה-i לאיבר ה-j (לא בהכרח המספרים i ו-j) ילכו לאיבר ה-k וה- h בהתאמה (כלומר k לחיבור, ו-h לכפל), בשני השדות.

'''אין זה נכון שטבלת הפעולות של שדה סופי זהה לטבלת הפעולות של מודול המאפיין שלו מעל השלמים היות וגודל השדה יכול להיות גדול מהמאפיין שלו, כפי שניתן לראות בדוגמא למעלה. זה לא יכול לקרות ב-Zn שם הקבוצה היא שדה רק כאשר גודלה ראשוני, ולכן שווה למאפיינה.

אם גודל השדה=מאפיין השדה, ולכן ראשוני, אז הוא '''מתנהג''' כמו ZcharF.

לגבי ההערה האחרונה: במקרה הסופי כן, במקרה האינסופי לא, לדוגמא R ו-C. אבל הנקודה בחלק השני של סעיף ב' היא לא '''שיוויון''' בין השדות או הפעולות אלא '''התנהגות''' זהה של הפעולות.

'''עדי

==המשך להערה החשובה==

שימו לב שתת השדה בסעיף ב' של שאלה 4 בתרגיל 3 בנוי להיות בעל '''מספר טיבעי''' של אייברים וכולם מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>. לא כל שדה הוא מגודל טיבעי, בניגוד למאפיין. למשל R עם החיבור והכפל המוכרים לנו. המשמעות היא שלא בהכרח כל איבר בשדה הוא מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>, הוא כן בהכרח מהצורה <math>1_F\cdot a</math> עבור a מהשדה, לדוגמא <math>1.5</math> ב-R.

למעשה, רק charF אייברים בשדה יהיו מהצורה <math>1_F+1_F+...</math>, וכפי שכבר הבנו, יתכן שבשדה יותר מ-charF אייברים.

עדי


== תרגיל 4 תרגיל נוסף לא מהחוברת ==

שלום! איך בדיוק מתארים אלגוריתם? תיארתי לעצמי במילים את השלבים של הדירוג, איך בדיוק אני אמורה לתרגם את זה לכתיבה מתמטית..? תודהה:)

'''>> תאור (תקין) במילים הוא בסדר גמור. את יכולה להוסיף דיאגרמה של המטריצה להסבר, ע"מ להימנע מאי הבנות או כפל משמעות. עדי

== זהות בין מטריצות ==

האם בכדי להוכיח ששתי מטריצות שוות, מספיק להראות כי הן מאותו הסדר וכי נוסחת האיבר הכללי (נגיד: aij, כש-i אינדקס שורה, j אינדקס עמודה) שלהן זהה?

'''>>כן, סדר ושיוויון רכיב-רכיב. עדי

== בוחן ==

שלום! מה בדיוק החומר לבוחן..? ואיך כדאי ללמוד? תודה!:)

'''>> עד מרחבים וקטורים, לא כולל. כדאי לפתור את כל התרגילים מההרצאה, תירגולים ושעורי בית. הפורום זמין לשאלות ודיונים. עדי

== תרגילים 2 ו-3 ==

נבדקו והוחזרו כבר?

== שאלה 4.2 מתרגיל 5 ==

אבל גם בכלל.
לעתים תכופות קורה, דווקא בשאלות הטריוויאליות יותר, שלא ברור לי אילו היסקים "מותר" לעשות ואילו לא.

הדוגמא הרלוונטית לעכשיו:

הגדרתי: A=(aij) B=(bij) ולכן: A+B=(aij+bij)
השאלה היא כזאת: האם כשאני משחלפת את A+B מותר לי לומר: (A+B)טרנספוז= (aji+bji( או שזוהי הנחת המבוקש?

ובאופן כללי יותר, קיימים קווים מנחים להוכחה ריגורוזית?

תודה מראש

'''>> ההוכחה אכן קצרה באופן מעט מרתיע, לכן עלינו להקפיד על פורמליות. אם <math>\ C=A+B=(c_{ij}),\ C^t=(d_{ij})\ </math> תאמרו מצד אחד מיהו <math>c_{ij}</math> בהסתמך על הסכום, מצד שני מיהו <math>d_{ij}</math> בהסתמך על הגדרת שיחלוף ורק בסוף תקשרו ביניהם.

'''לגבי השאלה הכללית: ההיתר (ובמובן זה גם ההגבלה) בהוכחה היא להסתמך על מה שהוכח עד נקודה זו ובלבד ש-

'''1. זו איננה מהות כל המבוקש להוכיח (לפעמים תתבקשו למשל להוכיח טענות שהוכחתם בכיתה)

'''2. שלא השתמשתם בהוכחה בטענה שהוכחתה מסתמכת על מה שאתם מנסים להוכיח כעת (כלומר, לא ליצור מעגליות בהוכחה, להסתמך על ב כדי להוכיח א כאשר השתמשתם ב-א כדי להוכיח את ב).
עדי

== כפל מטריצות משוחלפות ==

אם מוגדרות: <math>A=(aij) , B=(bij)</math>,
ועשינו טרנספוז ל-A:
<math>A^t=(aji)</math>

אז המכפלה: <math>C=A^tB</math>

יוצרת איזו מבין נוסחאות האיבר הכללי:

<math>cij=sum_{l}^{n}ailblj</math>

או <math>cij=sum_{l}^{n}aliblj</math> ?

הראשונה "שולחת" אותנו ל-<math>A^t</math>, אבל "מאבדת" את הקשר עם <math>A</math> (נראה לי).
השניה "שולחת" אותנו ישירות ל-<math>A</math> (אבל המכפלה היא על <math>A^t</math> ).

'''>> ראשית תוודא שהמכפלה הנ"ל מוגדרת. במידה וכן <math>A^t=(d_{ij})</math> כאשר <math>d_{ij}=a_{ji}\ \forall j,i</math>.

'''לכן
<math>c_{ij}=\Sigma_{l=1}^{n}d_{il}b_{lj}=\Sigma_{l=1}^{n}a_{li}b_{lj}</math>

'''ולכן המשוואה השניה היא הנכונה. המשוואה הראשונה מגדירה איבר כללי בAB (שוב, במידה ומכפלה זו מוגדרת). עדי

תודה רבה, עדי (:


==חומר לבוחן==
כל החומר עד מרחבים וקטוריים, לא כולל. תרגיל 6 לא נכלל בשאלות, אבל לא יכול להזיק לפתור לקראת הבוחן שאלות מהחוברת עד עמ' 19 כולל.


== מיקום הבוחן ==

היכן מתקיים הבוחן לקבוצה של יפית?

== תרגיל בית מספר 7 ==

בשאלה 2 שלא מהחוברת, במקומות של השדה מופיעים ריבועים ריקים.

'''>>לא אצל כולם משום מה. בכל מקרה זה C.

אוקי תודה רבה. האם ניתן להעלות את התרגילים כקבצי pdf?

== תרגיל 7 שאלה 4.8 ==

האם יש קשר בין סעיף א ל-ב? כלומר, האם הדרישה היא למצוא "נוסחא כללית" ל-Ui ו-Vi כך שעבור i=1 מתקיים א ועבור i=2 מתקיים ב?

או שצריך למצוא U,V שמקיימים את א, ובלי קשר למצוא U,V אחרים שמקיימים את ב?

'''>> לא, אין קשר. Ui,Vi לא צריכים להיות תלויים ב-i באופן של-1 קורה א ול-2 קורה ב. צריך דוגמא עבור א ודוגמא (תלויה או לא תלויה בה) עבור ב. עדי

== בוחן <math>II</math> ==



ב-7 לינואר, 18:00-19:00 יתקיים בקורס בוחן (השני מתוך שניים) על מרחבים וקטוריים, תתי מרחבים, תלות-לינארית, בסיס, מימד ודרגה של מטריצה, בפרט גם: מרחב העמודות, מרחב השורות ומרחב האפס <math>(A\in M_{mxn}(F),\ Null(A)=\{v\in F^n:Av=0\})</math>. יש ללמוד את כל החומר מההרצאות.

הבוחן יתקיים בבניין:604, כיתה:62 . יפית ועדי



== תרגיל 10 שאלה 11.12 ==

אנחנו עובדות תחת ההנחה ש-A היא מסדר nxn? זה מצוין בתרגיל הקודם, אבל לא בנוכחי, ונדמה לי שללא ההנחה הזאת הטענות אינן שקולות.

'''>>כן

== שאלת הוכחה ==

== כותרת ==
איך מוכיחים שאם ההעתקה לינארית אזי ההעתקה מה-0 מ"ו של התחום הולך ל-0 מ"ו של הטווח?

'''>> תהי <math>T:V->W</math>. אם <math>V\ne \{0\}</math> אז <math>\exist v\in V:0\ne v</math> ולכן <math>T(0_V)=T(v+(-v))=T(v)+T(-v)=T(v)-T(v)=0_W</math>.

'''אם V הוא מרחב האפס ו-W לא (אם כן אז אפס יכול ללכת רק לאפס) ונניח בשלילה ש <math>T(0_V)=w\in W:w\ne 0_W</math>

'''אז <math>-w=-T(0_V)=T(-0_V)=T(0_V)</math>

'''כלומר <math>w=-w</math>, אחרת למקור שתי תמונות.

'''כתוצאה מכך, אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין שונה מ-2 אז <math>w=0_W</math>.

'''אם W מ"ו מעל שדה ממאפיין 2 אז <math>T(0_V)=T(0_V+0_V)=T(0_V)+T(0_V)=2w=0_W</math>, מה שלא יכול לקרות כי <math>w\ne 0_W</math> ומקור לא יכול להישלח לשתי תמונות.

עדי

== בוחן שני ==

תוכלו להעלות לאתר את השאלות מהבוחן השני?

'''>>עלה ביום הבוחן

== פתרונות למבחנים ==

האם אפשר לצרף פתרונות למבחנים שהועלו לאתר?

תודה.

'''>>העלתי אחד בינתיים

תודה.

== בסיס ל-NULL ==

רציתי לשאול, כשרוצים למצוא את הבסיס והמימד של KerF בהע"ל מ-R4 ל-R3, אני פותרת מע' משוואות הומוגנית, ו-2 משתנים חופשיים, האם קיימים מס' בסיסים? לי יצא ווקטורי בסיס של (0 1 2 1) (1- 0 1 2)
ובספר (1 0 2 1) (0 1- 1 2)

'''>>וודאי. תבדקי אם הם פורשים את אותו מרחב, כלומר, שתיהן קב' בת"ל מאותו גודל (מה שאכן קורה) וניתן לקבל את הוקטורים של האחת כצ"ל של וקטורי השניה.
'''אכן, אם הן פורשות מרחב מאותו מימד והאחת מוכלת בשניה אז הן שוות.
עדי

== פונקציונלים ==

עמוד 108 שאלה 1.3 ב, בחוברת של בועז צבאן. איך מוכיחים שההעתקה היא לא פונקציונל? (איך מוכיחים שהיא כן..?) אמרנו שפונקציונל זה העתקה של מרחב לשדה שלו, למה זה לא מתקיים בשאלה 1.3? תודה מראש:)

'''>> בדיוק כפי שעושים עבור ה"ל. פונקציונל היא ה"ל במקרה הפרטי שהטווח הינו שדה המרחב הוקטורי בתחום.

'''במקרה של דטרמינטות: <math>|kA|=k^n|A|</math> ולא <math>k|A|</math> כפי שדורשת ה"ל

'''במקרה ב', קל למצוא דוגמא, למשל: <math>T((2,2)+(2,3))=T(4,5)=20\ne T(2,2)+T(2,3)=4+6=10</math>.

עדי

== בועז צבאן עמוד 56 שאלה 2.7 סעיף א ==

ב- <math>T=T^{2}</math>
הכוונה ש: <math>\forall v\epsilon V: T(v)=T^{2}(v)=T(T(v))</math> ?

'''>>כן.

אם זוהי אכן הכוונה, האם ניתן להפריך ע"י הדוגמא הבאה?

<math>T(v)=T(x,y)=(x,0) , V=\mathbb{R}^{2}</math>

ואז התנאי מתקיים, אבל <math>T\neq I_{v},-I_{v}</math>

'''>> נכון מאוד.

== דרגת מטריצה ==

שלום! איך מוכיחים ש rankAB קטן או שווה ל rankA (או B)? תודה!

<math>y\in C(AB)=>\exists x:ABx=y=>\exists Bx:A(Bx)=y => y\in C(A)=>C(AB)\subseteq C(A)=>rank(AB)\leq rank(A)</math>

כמו כן, נאמר שמס' העמודות ב-B הוא m, ולכן גם מס' העמודות ב-AB הוא m/

ממשפט הדרגה

<math>dim(Null(B))+rank(B)=m=dim(Null(AB))+rank(AB)</math>

היות ו-

<math>x\in Null(B) => Bx=0 =>ABx=0 => x\in Null(AB) =>Null(B)\subseteq Null(AB) => dim(Null(B))\leq dim(Null(AB))</math>

נקבל ש-

<math>rank(B)\geq rank(AB)</math>.

עדי

== תרגיל 1 מועד א 2006 ==

אומרים שלכל b למערכת Ax=b יש פתרון (b שייך לFm). אז אני מוכיחה שA הפיכה ולכן יש פתרון יחיד,
א. האם נכון שזה גורר שעמודות ושורות A בתל וש n=m?
ב. האם מרחב העמודות של A שווה ל Fm? איך מוכיחים זאת?
תודה רבה!

'''>> ראשית, אם אינך יודע אם n=m איך הוכחת שA הפיכה? מט' הפיכה רק אם היא ריבועית. בכל מקרה הנתון אינו גורר זאת ולא פיתרון יחיד.

<math>C(A)=F^m</math> היות ונתון כי לכל b קיים <math>x=(x_1,...,x_n)</math> כך ש <math>Ax=\sum x_iC_i(A)=b</math>. כלומר עמודות A פורשות כל וקטור ב<math>F^m</math>.

עדי

== העתקות ==

האם קיימת העתקה מR2 לR2 כך ש: imT=kerT?

>>אולי העתקה ששולחת את הכל לאפס?

שיחה:88-132 תשעג סמסטר א

2013-01-14T20:58:23Z

Yifath: /* הגדרת גבול של פונקציה */

שיחה:88-132 תשעג סמסטר א

2013-01-12T16:41:24Z

Yifath: /* הגדרת גבול של פונקציה */

שיחה:88-132 תשעג סמסטר א

2013-01-12T16:39:52Z

Yifath: /* הגדרת גבול של פונקציה */ פסקה חדשה

שיחה:88-132 תשעג סמסטר א

2013-01-12T16:39:50Z

Yifath: /* הגדרת גבול של פונקציה */ פסקה חדשה

שיחה:88-132 תשעג סמסטר א

2012-12-15T22:07:23Z

Yifath: /* מתי הלימודים מחר ????? (תיכוניסטים) */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון =

*[[שיחה:88-132 תשעג סמסטר א/ארכיון 1|ארכיון שאלות ותשובות 1]]
=שאלות=

==הערה לגבי הצגת שאלות==

כשמתייחסים לשאלה משיעורי הבית אז בשורת הכותרת פרט למספר התרגיל ולמספר השאלה רצוי מאוד לומר על איזה קבוצה מדובר:מתמטיקאים,תיכוניסטים או מדמ"ח. אחרת, זה יכול לבלבל הן את הסטודנטים והן את המתרגלים.
 --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:27, 31 באוקטובר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 6 ==

נניח יש לי שתי סדרות והגבולות החלקיים של An זו קבוצה (A= (-1,1, והגבולות החלקיים של Bn זו קבוצה
(B=(0,2. נתון לי ש Cn=An+Bn וקבוצה C זה הגבולות החלקיים של Cn. מזה אומר??.. מהי קבוצה C זה האיחוד של כל הגבולות החלקיים כלומר (1-,1,2,0) או שזה חיבור שלהם כלומר (1,3-), לא ממש ברור לי הסכום של הסדרות אשמח לעזרה כלשהי כדי לפתור את השאלה, תודה!
::הקבוצה C היא כל הגבולות החלקיים הממשיים של הסדרה <math>c_n</math>. גבול חלקי ממשי של <math>c_n</math> הוא מספר <math>L\in \Bbb R</math> כך שקיימת תת סדרה
<math>c_{n_k}</math> המתכנסת אליו. אני יכול להציע לך לקחת בהתחלה אפילו שתי סדרות שהן מתכנסות <math>a_n,b_n</math> ולחשוב מה תהיה הקבוצה C במצב זה. אח"כ אפשר לחשוב על סדרות שלא מתכנסות ושיש להן יותר מגבול חלקי אחד ולחשוב מה קורה במצב זה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:07, 25 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה כללית ==

אם מבקשים ממני למצוא סכום של טור כלשהו, אני יכול לצאת מנקודת הנחה שהטור מתכנס או שאני צריך להוכיח זאת?

???
::אם תמצא את הסכום ממילא תוכיח באותו הזמן גם שהוא מתכנס. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 14:16, 27 בנובמבר 2012 (IST)

== פרטים על הבוחן ==

איפה אני יכול למצוא פרטים על הבוחן כמו מתי? איפה? חומר?

(לא מתרגל / מרצה) של איזו קבוצה? --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:29, 26 בנובמבר 2012 (IST)
של התיכוניסטים

(לא מתרגל / מרצה) הבוחן ב-16.12. החומר יינתן ביום ראשון בתרגולים. מיקום - של שיעור ההשלמה. בקיצור - יישלחו פרטים מדויקים בהמשך :) --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:48, 26 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה לגבי תרגיל 5 ==

האם זה נכון לומר שאם cn=an+bn אז תת הסדרה cnk היא ank+bnk?
::כן.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 14:16, 27 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלה 5g (תיכוניסטים) ==

צריך לחלק למיקרים של a?
::אולי. זה חלק מהשאלה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:36, 28 בנובמבר 2012 (IST)

== משפט דלאמבר ==

אם יוצא לי שD שואף לאינסוף, האם בידוע שהטור מתבדר?
::בהנחה שבD כוונתך לגבול התחתון של המנה אז התשובה היא כן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:38, 28 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלה 5 d (תיכוניסטים) ==

הסכום לא צריך להתחיל מ n = 2?
::כן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:39, 28 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 (תיכוניסטים) ==

מותר להשתמש בעובדה שהסכום <math>\sum\frac{1}{n^p}</math> מתכנס אם"ם p>1?
::כן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:39, 28 בנובמבר 2012 (IST)

== מבחן ההשוואה הגבולי ==

מה קורה אם הגבול <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n}{a_n}</math> שווה לאינסוף? אפשר להגיד משהו על הטורים?
::כן. התכנסות הטור <math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math> גוררת התכנסות הטור <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:41, 28 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 כמה שאלות בוגרים ==

הי,
1.שאלה 7-הם מתלכדים החל ממקום סופי או לאו דווקא?
2.אשמח לרמז ל 2ב
תודה
::1. במילה "מקום" אנו בעצם מצביעים על אינדקס טבעי וממילא זהו ערך סופי בהכרח.
2. אפשר לנסות לכתוב אי שוויון בכיוון אחד לנסות לפשט אותו ואז להסתמך על טענות או משפטים שראיתם בהרצאה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:07, 29 בנובמבר 2012 (IST)

== אריטמתיקה של סכומים ==

אם יש לי <math>\sum_{1}^{\infty}a_n=a</math> וגם <math>\sum_{1}^{\infty}b_n=b</math>

a,b ממשיים

האם אפשר להגיד ש:

<math>\sum_{1}^{\infty}(a_n+b_n)=a+b</math>
::כן. זה משפט. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:07, 29 בנובמבר 2012 (IST)

== טורים ==

אם <math>\sum(a_n)</math> מתכנס ו<math>b_n</math> חסומה
האם ניתן לומר ש <math> \sum(a_nb_n)</math> גם מתכנס?
:: (לא מרצה/מתרגל) לדעתי כן (בהנחה ש <math>a_n</math> חיובית), הוכחה: <math>b_n</math> חסומה ולכן קיים M כך ש <math>b_n</math> <M, ולכן: <math>a_nb_n</math> <M<math>a_n</math>. <math>\sum(M*a_n)</math> מתכנס ולכן <math> \sum(a_nb_n)</math> מתכנס.

== מותר להגיד דבר כזה? ==

שאם <math>\sum(a_n)</math> מתכנס ו <math>\sum(b_n)</math> מתבדר, אז
<math>\sum(a_n)+\sum(b_n)</math> מתבדר?
::כן זה נכון. אפשר להניח בשלילה שזה מתכנס ואז להפעיל אריתמטיקה (חיסור) ולקבל ... --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:34, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלה 3 מתמטיקאים ==

האם ניתן קודם למצוא את הגבול ובעזרת המידע שאני יודע עליו להוכיח את את הטענה?
::קצת קשה לי לראות איך מהידע על הגבול ניתן להסיק מונוטוניות של הסדרה. אבל אם יש לך רעיון/כיוון שעוזר לך אתה יכול לנסות אותו. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:21, 2 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 7 תיכוניסטים ==

למתי צריך להגיש את תרגיל 7
שבוע הבא אין שיעורים
ויום ראשון לאחר מכן יש לנו בוחן בבוקר

ד"א לאחר הבוחן יש הרצאה ותרגול כרגיל(בשעות אחה"צ)?
תודה

== תרגיל 6 ==

לא בדיוק הבנתי מזה אומר ש An+Bn היא סידרה חסומה??.. כלומר חסומה גם מילעיל וגם מילרע?.. ומזה אומר לגבי An וBn ??.. לא בדיוק למדנו את זה... כי לפי הנתון הנוסף AN לא יכולה להיות חסומה- רק מלרע כי היא שואפת לאינסוף אז איך יכול להיות שהסכום חסום?.. תודה!
::ההגדרה של סדרה חסומה היא כפי שאמרת. לגבי השאלה האחרונה זו בדיוק השאלה שיש לשאול. אם הסכום חסום ומצד שני הסדרה
An שואפת לאינסוף מה ניתן יהיה להסיק ביחס לסדרה Bn ? נסו לחשוב איך יתכן שהסכום חסום. זה השלב הראשון בדרך לפתרון. -[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:34, 5 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 (מתמטקאים בוגרים) ==

שאלה 2, הכוונה שם ששלושת הסדרות מתכנסות במובן הצר?

תודה
::כן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:38, 5 בדצמבר 2012 (IST)

== שאלה על אריתמטיקה (מתמטיקאים בוגרים) ==

מותר לחלק משוואה או אי שיוויון בסדרה ששואפת לאפס בצורה הזו לדוגמא n שואף לאינסוף אז מותר לחלק בסדרה 1 חלקי n?

תודה
::אם הסדרה שונה מאפס לכל n אז בלי קשר למה היא תשאף אין לך חלוקה באפס. לכן אם איבר הסדרה הוא חיובי אז אי השוויון שהתחלת ממנו ישמר אם הוא שלילי אז אי השוויון שהיה לך יתהפך פשוט לפי כללים רגילים של אי שוויון.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:36, 5 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלות 5 ו-6 (מתמטיקאים) ==

בשאלה 5- אפשר להניח ש-an מתכנסת במובן הצר? (ובאופן כללי שכאומרות מתכנסת- אפשר להניח שזה לגבול ממשי?)

בשאלה 6- מותר להוכיח ע"י מבחן השוואה?
::שאלה 5 - כן. באופן כללי.
שאלה 6- לא תרגלנו טורים עדיין והכוונה היתה לפתור דרך נושאים שגם תרגלנו. אבל אני מניח שמי שרוצה יכול לפתור גם בכלים שכבר ראיתם בהרצאה כמו מבחני השוואה לטורים חיוביים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:28, 5 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלה 3 ==

נתקעתי אחרי שניסיתי כמה כיוונים שונים. לא הצלחתי למצוא דרך לפי מה שלמדנו בכיתה.

האם מישהו יכול לתת לי הכוונה לגבי איך מוכיחים שהסדרה יורדת מונוטונית? ניסיתי כבר חיסור, מנה ואינדוקציה...
::הוכחתם בהרצאה לגבי סדרה אחרת דומה מאד שהיא מונוטונית(עולה דוקא). הייתי מציע להסתכל על ההוכחה ולנסות להשתמש בכלים שהיו שם. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 21:05, 5 בדצמבר 2012 (IST)

אני מבין שאתה מתכוון להתכנסות לe ניסיתי כבר להשתמש בזה - לא עבד....

== שאלות לגבי הבוחן ==

א. הבוחן יכלול גם הוכחת משפטים?
ב. בבוחן יהיו בנוסף לטורים ולסדרות גם גבולות של פונקציות?

== למתי צריך להגיש את השעורים באינפי? (תיכוניסטים) ==

באיזה תאריך צריך להגיש את השעורים הקרובים?

?????????????????

== פתרונות לתרגילים (תיכוניסטים) ==

בבקשה תעלו בהקדם את הפיתרונות לכל תרגילי הבית שנוכל לחזור עליהם לפני הבוחן. תודה רבה!

== תרגיל 7 שאלה 5 (מתמטיקאים)==

נראה לי שיש טעות בשאלה...
הא'-ב' לא מסודרים שם בסדר הנכון...p:

::נכון... עכשיו אני רואה שחסר שם סעיף ב', וגם סעיפים יא', יב' ו-יג'... תודה רבה על תיקון הטעות! =) נפצה אתכם כפליים בתרגיל בית הבא! --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 12:44, 9 בדצמבר 2012 (IST)

יש!!!מעולה..תודה!:)

== תרגיל 7 שאלה 4 תיכוניסטים ==

שלום, בשאלה 4 מאיזה n הטור מתחיל? זה יכול להשפיע על סכומו... --[[משתמש:גיא|גיא]] 12:38, 8 בדצמבר 2012 (IST)
:תבחר נקודה התחלתית כלשהי, זה אכן ישפיע על התשובה הסופית. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== הבוחן (תיכוניסטים) ==

הבוחן יכלול גם מה שלמדנו על פונקציות?

== לא הבנתי את שאלה 2 בתרגיל 7 תיכוניסטים ==

כשאומרים שסדרת הזנבות של הטור מוגדרת, אז זה אומר שכל זנב (שהוא טור) מוגדר..

אי אפשר פשוט לקחת את <math>d_1</math> וזה לדוגמא יפתור את סעיף c?

:כן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אה.. אוקי...

== תרגיל 7 שאלה 8 (תיכוניסטים) ==

הנתון <math>\sum a_nb_n\leq C</math> אומר בעצם ש <math>\sum a_nb_n</math> מתכנס, אבל לא לאינסוף?

*(לא מתרגל) לאו דווקא, תסתכל\י על: <math>a_{n}=1, b_{n}=(-1)^{n}</math>

כן אבל אז הסכום לא מוגדר בכלל..

*(לא מתרגל) מה זאת אומרת טור לא מוגדר? אולי הוא לא מתכנס, אבל סדרת הסכומים החלקיים מוגדרת (והיא לא מתכנסת).

אוקי. אז מה הנתון הזה אומר?

*(לא מתרגל) אם אני מבין נכון, זה פשוט אומר שהטור חסום.. --דביר חדד 15:07, 10 בדצמבר 2012 (IST)

כן אבל זה בהנחה שהטור בכלל מתכנס לא?

*(לא מתרגל) לאו דווקא, אתה יכול להסתכל על הטור<math>\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { (-1) }^{ n } } </math> והוא חסום, על ידי 8078 לדוגמא, אבל לא מתכנס.

אבל הרי סכום הטור הוא בעצם גבול הסכומים החלקיים <math>\sum_{n=1}^\infty a_n=\lim_{N\rightarrow\infty}S_N</math>, ובגלל שבמקרה הזה אין גבול לסכומים החלקיים, הטור לא מוגדר. אז איך אפשר להגיד שהטור חסום אם הוא לא מוגדר בכלל?

*(לא מתרגל) אני לא מבין למה אתה מתכוון "הטור לא מוגדר". הסכום מוגדר, יש סכום כזה של <math>1-1+1-1...</math>, מה הבעיה איתו? אולי אתה מדבר על כך שהטור '''לא מתכנס''', כלומר סדרת הסכומים החלקיים לא מתכנסת, וזה נכון, אבל היא מוגדרת מצוין, כי הסדרה <math>(-1)^n</math> מוגדרת היטב (זו הרי פונקציה מN לR, ואין כל בעיה בהגדרה שלה). בכל מקרה, סדרת הסכומים פה חסומה, חסימות במובן של סדרות.

== מבחן דיריכלה ==

אם מצאתי שהטור מורכב מan מונוטונית שואפת לאפס, כפול bn שסס"ח שלה לא חסומה- האם זה גורר שהטור מתבדר?

לא בהכרח. an = 1/n^2, bn = 1

== בוחן לתיכוניסטים ==

הבוחן יכלול את מה שלמדנו בפרק של פונקציות?
הבוחן יכלול הוכחת משפטים?

== בוחן תיכוניסטים ==

רציתי לדעת מה החומר לבוחן? והאם הוא יכלול הוכחת משפטים?

(לא מתרגל / מרצה) הבוחן לא יכלול הוכחות משפטים. החומר - הכל עד טורים (כולל). --[[משתמש:גיא|גיא]] 15:14, 12 בדצמבר 2012 (IST)

תודה

== שאלה (מתמטיקאים) ==

באופן כללי,
האם ניתן לעשות את "הטריק" של לחבר ולהחסיר אבל עם סדרות וגבולות?
ז"א האם גם כשמשאיפים את n לאינסוף אפשר להגיד ש- 1= 1+a_n-a_n?

תודה

::השוויון שציינת בוודאי מתקיים לכל <math>n</math> .אם הכוונה שלך שהגבול של צד ימין כשn שואף לאינסוף שווה לגבול של צד שמאל כשn שואף לאינסוף ושניהם שווים לאחד אז התשובה חיובית. לא ניתן לומר בדוגמא שנתת כלום על התכנסות של <math>a_n</math> למשל. באופן כללי אפשר להפעיל חיבור וחיסור כשמפעילים גבולות בהנחה שהגבולות קיימים. למשל גבול של סכום הוא סכום הגבולות אבל רק אם יודעים שכל מחובר מתכנס ואז גם אפשר להשתמש ב"טריק" הכללי שציינת בצורה מועילה. חוץ מזה צריך לזכור שבאריתמטיקה של גבולות יש ביטויים לא מוגדרים כמו אינסוף פחות אינסוף וכו'. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:22, 15 בדצמבר 2012 (IST)

== אפשר להגיד דבר כזה? ==

נניח שיש סדרות <math>a_n</math> ו <math>b_n</math> כך ש <math>\lim a_n = L</math> ו <math>\lim b_n = R</math>, וכמו כן <math>L \leq R</math>, אז אפשר להגיד שקיים <math>n_0</math> טבעי, כך שלכל <math>n \geq n_0</math> מתקיים <math>a_n \leq b_n</math>?

תודה

*(לא מתרגל) לאו דווקא, נסתכל על הסדרות an=1+1/n, bn=1.

שתיהן שואפות לאחת, ואכן מתקיים 1<=1. כלומר הגבול של an קטן שווה מהגבול של bn.

אבל לכל n שתבחר תמיד יתקיים an>bn.

::(לא מתרגל) אבל אם האי שוויון חזק אז כן

אה אוקי תודה :-)

== הבוחן לדוגמא ==

יש למישהו את התשובות לבוחן לדגומא שהעלו?

== בוחן דמה ==

אפשר להעלות פתרונות לבוחן דמה ? או שמישהו יגיד מה יצא לו ב-2 ו3 ...

:יש לך פתרון לראשון?

*(לא מתרגל) את הראשון פתרנו בתרגול (לפחות בקבוצה שלנו). בכל מקרה יש אותו במערכי התרגול.

:אבל בתרגיל הזה הם ביקשו משהו אחר.

*(לא מתרגל) אני מצרף פתרונות סופיים שיצאו לי, קח/י בחשבון שיש מצב שהם לא נכונים, לא מתחייב ב100% (אם כי אני דיי בטוח שזה נכון).

התשובות הסופיות בקישור הבא, כדי לא להרוס למי שלא רוצה לראות: [http://up361.siz.co.il/up3/4nh3iozggotd.jpg]

בנוגע לשאלה השנייה, אני מאמין שזה אותו דבר. פשוט צריך להוכיח שאם קיים הגבול של שורש n-י של an, הוא גם שווה לגבול השני.

:כן אבל השאלה הראשונה זה הפרכה.. אפילו בתרגול אמרו לנו את זה.

*אוקיי, את/ה יכול/ה להראות אותה?

: זה בדיוק מה שביקשתי בהתחלה :O

אפשר להראות שזה הפרכה עם סדרה קבועה של אפסים

: כן גם חשבתי על זה.. אבל יוצא שהסדרה בכלל לא מוגדרת (an+1/an) ככה שהיא מתכנסת באופן ריק.

אתה יכול אז לקחת סדרה שמוגדרת כך שעבור n מתחלק ב-3 תחזיר n עבור n מתחלק ב-3 עם שארית 1 תחזיר 2n ועבור n מתחלק ב-3 עם שארית 2 תחזיר 3n אפשר לראות שכל תת סדרה שואפת ל-1 ולכן גבול הסדרה הוא אחד אבל אפשר לראות שסדרת היחסים בין כל שני איברים סמוכים לא מתכנסת

*"כל תת סדרה מתכנסת ל-1"? כל תת סדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף בדוגמא שלך. ואיפה בדיוק השורש הn-י?

בשורש n-י כל תת סדרה מתכנסת ל-1...

*אוקיי כנראה שאת/ה צודק/ת :(

בכל מקרה, אני דיי בטוח שאם an+1/an מתכנסת אז היא תתכנס לאותו L.

שאלה 1 ב' http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%A4%D7%AA%D7%A8%D7%95%D7%9F_%D7%9E%D7%95%D7%A2%D7%93_%D7%90_%D7%9E%D7%93%D7%9E%D7

== שאלה כללית ==

האם ניתן להגיד שאם גבול של סדרה הוא אפס, אזי סס"ח שלה חסומה?

לא. גבול של אחד חלקי n הוא אפס אבל הסס"ח שלה לא חסומה...

:: השאלה הזאת לא מנוסחת טוב. חייבים להקפיד על שימוש תקין במונחים מתמטיים! למשל, "אם גבול של סדרה הוא אפס, אזי סס"ח שלה..." סס"ח של מי? לסדרות אין סס"חים! :) סדרת סכומים חלקיים זה משהו שיש לטור... אותה בעיה בתשובה.
::כעת, מה השאלה בעצם? נניח שיש לנו טור, כך שהאיבר הכללי שואף לאפס, אז האם סס"ח של הטור חסומה? התשובה היא לא (אותה דוגמא נגדית מעולה של התשובה מעל). --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 20:42, 15 בדצמבר 2012 (IST)

== מבחן ההשוואה ==

אם טור An <= Bn <= Cn וCn ו An מתכנסים, אז Bn מתכנס?
ראיתי במשפט רק כש Bn סדרה שבין סדרה מתכנסת ל0.

::האם הכוונה בשאלה לטורים חיוביים?...--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 20:43, 15 בדצמבר 2012 (IST)

לאו דווקא, חיובים ברור כי אז An >= 0 וזה ככה במשפט

::אם כך, הנה המשפט:
::יהיו <math>\sum a_n , \sum b_n , \sum c_n</math> טורים כך שהחל ממקום מסויים מתקיים <math>a_n \leq b_n \leq c_n</math>. אזי אם הטורים <math>\sum a_n , \sum c_n</math> מתכנסים, גם <math> \sum b_n </math> מתכנס.

== מבחן המנה ==

אם אני מקבל ש <math>\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}</math> שווה לאינסוף אז הטור <math>\sum a_n</math> מתבדר ? ואותו דבר, אם מקבלים מינוס אינסוף אז הטור המקורי מתכנס ?

*(לא מתרגל) אני כמעט בטוח שאם הוא פלוס אינסוף אז הטור מתבדר, כי זה גדול מ-1 ולא הגבלנו אותו להיות ממשי. בכל מקרה, מציע שתחכה לתשובה יותר חד משמעית.

בנוגע למינוס אינסוף - זה לא יכול לקרות, כי הטור חיובי, ולכן הגבול בהכרח גדול שווה אפס, לא יכול להיות שלילי (כי אפס חסם מלרע של כל סדרה אי שלילית).

== מתי הלימודים מחר ????? (תיכוניסטים) ==

מישהו יודע מתי מתחילים הלימודים מחר ??? אני יודע שהבוחן ב-12... אבל יש לימודים לפני ? ומתי הלימודים נגמרים ?

הבוחן ב12 ואז לימודים כרגיל משלוש וחצי עד 8 וחצי (:

ואין לימודים לפני הבוחן?

אין

== הלימודים ביום ראשון ==

איך מתנהלים הלימודים ביום ראשון? מתי צריך להגיע לאוניברסיטה?

שיחה:88-132 תשעג סמסטר א

2012-12-15T20:04:41Z

Yifath: /* מתי הלימודים מחר ????? (תיכוניסטים) */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון =

*[[שיחה:88-132 תשעג סמסטר א/ארכיון 1|ארכיון שאלות ותשובות 1]]
=שאלות=

==הערה לגבי הצגת שאלות==

כשמתייחסים לשאלה משיעורי הבית אז בשורת הכותרת פרט למספר התרגיל ולמספר השאלה רצוי מאוד לומר על איזה קבוצה מדובר:מתמטיקאים,תיכוניסטים או מדמ"ח. אחרת, זה יכול לבלבל הן את הסטודנטים והן את המתרגלים.
 --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:27, 31 באוקטובר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 6 ==

נניח יש לי שתי סדרות והגבולות החלקיים של An זו קבוצה (A= (-1,1, והגבולות החלקיים של Bn זו קבוצה
(B=(0,2. נתון לי ש Cn=An+Bn וקבוצה C זה הגבולות החלקיים של Cn. מזה אומר??.. מהי קבוצה C זה האיחוד של כל הגבולות החלקיים כלומר (1-,1,2,0) או שזה חיבור שלהם כלומר (1,3-), לא ממש ברור לי הסכום של הסדרות אשמח לעזרה כלשהי כדי לפתור את השאלה, תודה!
::הקבוצה C היא כל הגבולות החלקיים הממשיים של הסדרה <math>c_n</math>. גבול חלקי ממשי של <math>c_n</math> הוא מספר <math>L\in \Bbb R</math> כך שקיימת תת סדרה
<math>c_{n_k}</math> המתכנסת אליו. אני יכול להציע לך לקחת בהתחלה אפילו שתי סדרות שהן מתכנסות <math>a_n,b_n</math> ולחשוב מה תהיה הקבוצה C במצב זה. אח"כ אפשר לחשוב על סדרות שלא מתכנסות ושיש להן יותר מגבול חלקי אחד ולחשוב מה קורה במצב זה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:07, 25 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה כללית ==

אם מבקשים ממני למצוא סכום של טור כלשהו, אני יכול לצאת מנקודת הנחה שהטור מתכנס או שאני צריך להוכיח זאת?

???
::אם תמצא את הסכום ממילא תוכיח באותו הזמן גם שהוא מתכנס. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 14:16, 27 בנובמבר 2012 (IST)

== פרטים על הבוחן ==

איפה אני יכול למצוא פרטים על הבוחן כמו מתי? איפה? חומר?

(לא מתרגל / מרצה) של איזו קבוצה? --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:29, 26 בנובמבר 2012 (IST)
של התיכוניסטים

(לא מתרגל / מרצה) הבוחן ב-16.12. החומר יינתן ביום ראשון בתרגולים. מיקום - של שיעור ההשלמה. בקיצור - יישלחו פרטים מדויקים בהמשך :) --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:48, 26 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה לגבי תרגיל 5 ==

האם זה נכון לומר שאם cn=an+bn אז תת הסדרה cnk היא ank+bnk?
::כן.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 14:16, 27 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלה 5g (תיכוניסטים) ==

צריך לחלק למיקרים של a?
::אולי. זה חלק מהשאלה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:36, 28 בנובמבר 2012 (IST)

== משפט דלאמבר ==

אם יוצא לי שD שואף לאינסוף, האם בידוע שהטור מתבדר?
::בהנחה שבD כוונתך לגבול התחתון של המנה אז התשובה היא כן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:38, 28 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלה 5 d (תיכוניסטים) ==

הסכום לא צריך להתחיל מ n = 2?
::כן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:39, 28 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 (תיכוניסטים) ==

מותר להשתמש בעובדה שהסכום <math>\sum\frac{1}{n^p}</math> מתכנס אם"ם p>1?
::כן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:39, 28 בנובמבר 2012 (IST)

== מבחן ההשוואה הגבולי ==

מה קורה אם הגבול <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n}{a_n}</math> שווה לאינסוף? אפשר להגיד משהו על הטורים?
::כן. התכנסות הטור <math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math> גוררת התכנסות הטור <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:41, 28 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 כמה שאלות בוגרים ==

הי,
1.שאלה 7-הם מתלכדים החל ממקום סופי או לאו דווקא?
2.אשמח לרמז ל 2ב
תודה
::1. במילה "מקום" אנו בעצם מצביעים על אינדקס טבעי וממילא זהו ערך סופי בהכרח.
2. אפשר לנסות לכתוב אי שוויון בכיוון אחד לנסות לפשט אותו ואז להסתמך על טענות או משפטים שראיתם בהרצאה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:07, 29 בנובמבר 2012 (IST)

== אריטמתיקה של סכומים ==

אם יש לי <math>\sum_{1}^{\infty}a_n=a</math> וגם <math>\sum_{1}^{\infty}b_n=b</math>

a,b ממשיים

האם אפשר להגיד ש:

<math>\sum_{1}^{\infty}(a_n+b_n)=a+b</math>
::כן. זה משפט. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:07, 29 בנובמבר 2012 (IST)

== טורים ==

אם <math>\sum(a_n)</math> מתכנס ו<math>b_n</math> חסומה
האם ניתן לומר ש <math> \sum(a_nb_n)</math> גם מתכנס?
:: (לא מרצה/מתרגל) לדעתי כן (בהנחה ש <math>a_n</math> חיובית), הוכחה: <math>b_n</math> חסומה ולכן קיים M כך ש <math>b_n</math> <M, ולכן: <math>a_nb_n</math> <M<math>a_n</math>. <math>\sum(M*a_n)</math> מתכנס ולכן <math> \sum(a_nb_n)</math> מתכנס.

== מותר להגיד דבר כזה? ==

שאם <math>\sum(a_n)</math> מתכנס ו <math>\sum(b_n)</math> מתבדר, אז
<math>\sum(a_n)+\sum(b_n)</math> מתבדר?
::כן זה נכון. אפשר להניח בשלילה שזה מתכנס ואז להפעיל אריתמטיקה (חיסור) ולקבל ... --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:34, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלה 3 מתמטיקאים ==

האם ניתן קודם למצוא את הגבול ובעזרת המידע שאני יודע עליו להוכיח את את הטענה?
::קצת קשה לי לראות איך מהידע על הגבול ניתן להסיק מונוטוניות של הסדרה. אבל אם יש לך רעיון/כיוון שעוזר לך אתה יכול לנסות אותו. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:21, 2 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 7 תיכוניסטים ==

למתי צריך להגיש את תרגיל 7
שבוע הבא אין שיעורים
ויום ראשון לאחר מכן יש לנו בוחן בבוקר

ד"א לאחר הבוחן יש הרצאה ותרגול כרגיל(בשעות אחה"צ)?
תודה

== תרגיל 6 ==

לא בדיוק הבנתי מזה אומר ש An+Bn היא סידרה חסומה??.. כלומר חסומה גם מילעיל וגם מילרע?.. ומזה אומר לגבי An וBn ??.. לא בדיוק למדנו את זה... כי לפי הנתון הנוסף AN לא יכולה להיות חסומה- רק מלרע כי היא שואפת לאינסוף אז איך יכול להיות שהסכום חסום?.. תודה!
::ההגדרה של סדרה חסומה היא כפי שאמרת. לגבי השאלה האחרונה זו בדיוק השאלה שיש לשאול. אם הסכום חסום ומצד שני הסדרה
An שואפת לאינסוף מה ניתן יהיה להסיק ביחס לסדרה Bn ? נסו לחשוב איך יתכן שהסכום חסום. זה השלב הראשון בדרך לפתרון. -[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:34, 5 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 (מתמטקאים בוגרים) ==

שאלה 2, הכוונה שם ששלושת הסדרות מתכנסות במובן הצר?

תודה
::כן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:38, 5 בדצמבר 2012 (IST)

== שאלה על אריתמטיקה (מתמטיקאים בוגרים) ==

מותר לחלק משוואה או אי שיוויון בסדרה ששואפת לאפס בצורה הזו לדוגמא n שואף לאינסוף אז מותר לחלק בסדרה 1 חלקי n?

תודה
::אם הסדרה שונה מאפס לכל n אז בלי קשר למה היא תשאף אין לך חלוקה באפס. לכן אם איבר הסדרה הוא חיובי אז אי השוויון שהתחלת ממנו ישמר אם הוא שלילי אז אי השוויון שהיה לך יתהפך פשוט לפי כללים רגילים של אי שוויון.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:36, 5 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלות 5 ו-6 (מתמטיקאים) ==

בשאלה 5- אפשר להניח ש-an מתכנסת במובן הצר? (ובאופן כללי שכאומרות מתכנסת- אפשר להניח שזה לגבול ממשי?)

בשאלה 6- מותר להוכיח ע"י מבחן השוואה?
::שאלה 5 - כן. באופן כללי.
שאלה 6- לא תרגלנו טורים עדיין והכוונה היתה לפתור דרך נושאים שגם תרגלנו. אבל אני מניח שמי שרוצה יכול לפתור גם בכלים שכבר ראיתם בהרצאה כמו מבחני השוואה לטורים חיוביים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:28, 5 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלה 3 ==

נתקעתי אחרי שניסיתי כמה כיוונים שונים. לא הצלחתי למצוא דרך לפי מה שלמדנו בכיתה.

האם מישהו יכול לתת לי הכוונה לגבי איך מוכיחים שהסדרה יורדת מונוטונית? ניסיתי כבר חיסור, מנה ואינדוקציה...
::הוכחתם בהרצאה לגבי סדרה אחרת דומה מאד שהיא מונוטונית(עולה דוקא). הייתי מציע להסתכל על ההוכחה ולנסות להשתמש בכלים שהיו שם. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 21:05, 5 בדצמבר 2012 (IST)

אני מבין שאתה מתכוון להתכנסות לe ניסיתי כבר להשתמש בזה - לא עבד....

== שאלות לגבי הבוחן ==

א. הבוחן יכלול גם הוכחת משפטים?
ב. בבוחן יהיו בנוסף לטורים ולסדרות גם גבולות של פונקציות?

== למתי צריך להגיש את השעורים באינפי? (תיכוניסטים) ==

באיזה תאריך צריך להגיש את השעורים הקרובים?

?????????????????

== פתרונות לתרגילים (תיכוניסטים) ==

בבקשה תעלו בהקדם את הפיתרונות לכל תרגילי הבית שנוכל לחזור עליהם לפני הבוחן. תודה רבה!

== תרגיל 7 שאלה 5 (מתמטיקאים)==

נראה לי שיש טעות בשאלה...
הא'-ב' לא מסודרים שם בסדר הנכון...p:

::נכון... עכשיו אני רואה שחסר שם סעיף ב', וגם סעיפים יא', יב' ו-יג'... תודה רבה על תיקון הטעות! =) נפצה אתכם כפליים בתרגיל בית הבא! --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 12:44, 9 בדצמבר 2012 (IST)

יש!!!מעולה..תודה!:)

== תרגיל 7 שאלה 4 תיכוניסטים ==

שלום, בשאלה 4 מאיזה n הטור מתחיל? זה יכול להשפיע על סכומו... --[[משתמש:גיא|גיא]] 12:38, 8 בדצמבר 2012 (IST)
:תבחר נקודה התחלתית כלשהי, זה אכן ישפיע על התשובה הסופית. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== הבוחן (תיכוניסטים) ==

הבוחן יכלול גם מה שלמדנו על פונקציות?

== לא הבנתי את שאלה 2 בתרגיל 7 תיכוניסטים ==

כשאומרים שסדרת הזנבות של הטור מוגדרת, אז זה אומר שכל זנב (שהוא טור) מוגדר..

אי אפשר פשוט לקחת את <math>d_1</math> וזה לדוגמא יפתור את סעיף c?

:כן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אה.. אוקי...

== תרגיל 7 שאלה 8 (תיכוניסטים) ==

הנתון <math>\sum a_nb_n\leq C</math> אומר בעצם ש <math>\sum a_nb_n</math> מתכנס, אבל לא לאינסוף?

*(לא מתרגל) לאו דווקא, תסתכל\י על: <math>a_{n}=1, b_{n}=(-1)^{n}</math>

כן אבל אז הסכום לא מוגדר בכלל..

*(לא מתרגל) מה זאת אומרת טור לא מוגדר? אולי הוא לא מתכנס, אבל סדרת הסכומים החלקיים מוגדרת (והיא לא מתכנסת).

אוקי. אז מה הנתון הזה אומר?

*(לא מתרגל) אם אני מבין נכון, זה פשוט אומר שהטור חסום.. --דביר חדד 15:07, 10 בדצמבר 2012 (IST)

כן אבל זה בהנחה שהטור בכלל מתכנס לא?

*(לא מתרגל) לאו דווקא, אתה יכול להסתכל על הטור<math>\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { (-1) }^{ n } } </math> והוא חסום, על ידי 8078 לדוגמא, אבל לא מתכנס.

אבל הרי סכום הטור הוא בעצם גבול הסכומים החלקיים <math>\sum_{n=1}^\infty a_n=\lim_{N\rightarrow\infty}S_N</math>, ובגלל שבמקרה הזה אין גבול לסכומים החלקיים, הטור לא מוגדר. אז איך אפשר להגיד שהטור חסום אם הוא לא מוגדר בכלל?

*(לא מתרגל) אני לא מבין למה אתה מתכוון "הטור לא מוגדר". הסכום מוגדר, יש סכום כזה של <math>1-1+1-1...</math>, מה הבעיה איתו? אולי אתה מדבר על כך שהטור '''לא מתכנס''', כלומר סדרת הסכומים החלקיים לא מתכנסת, וזה נכון, אבל היא מוגדרת מצוין, כי הסדרה <math>(-1)^n</math> מוגדרת היטב (זו הרי פונקציה מN לR, ואין כל בעיה בהגדרה שלה). בכל מקרה, סדרת הסכומים פה חסומה, חסימות במובן של סדרות.

== מבחן דיריכלה ==

אם מצאתי שהטור מורכב מan מונוטונית שואפת לאפס, כפול bn שסס"ח שלה לא חסומה- האם זה גורר שהטור מתבדר?

לא בהכרח. an = 1/n^2, bn = 1

== בוחן לתיכוניסטים ==

הבוחן יכלול את מה שלמדנו בפרק של פונקציות?
הבוחן יכלול הוכחת משפטים?

== בוחן תיכוניסטים ==

רציתי לדעת מה החומר לבוחן? והאם הוא יכלול הוכחת משפטים?

(לא מתרגל / מרצה) הבוחן לא יכלול הוכחות משפטים. החומר - הכל עד טורים (כולל). --[[משתמש:גיא|גיא]] 15:14, 12 בדצמבר 2012 (IST)

תודה

== שאלה (מתמטיקאים) ==

באופן כללי,
האם ניתן לעשות את "הטריק" של לחבר ולהחסיר אבל עם סדרות וגבולות?
ז"א האם גם כשמשאיפים את n לאינסוף אפשר להגיד ש- 1= 1+a_n-a_n?

תודה

::השוויון שציינת בוודאי מתקיים לכל <math>n</math> .אם הכוונה שלך שהגבול של צד ימין כשn שואף לאינסוף שווה לגבול של צד שמאל כשn שואף לאינסוף ושניהם שווים לאחד אז התשובה חיובית. לא ניתן לומר בדוגמא שנתת כלום על התכנסות של <math>a_n</math> למשל. באופן כללי אפשר להפעיל חיבור וחיסור כשמפעילים גבולות בהנחה שהגבולות קיימים. למשל גבול של סכום הוא סכום הגבולות אבל רק אם יודעים שכל מחובר מתכנס ואז גם אפשר להשתמש ב"טריק" הכללי שציינת בצורה מועילה. חוץ מזה צריך לזכור שבאריתמטיקה של גבולות יש ביטויים לא מוגדרים כמו אינסוף פחות אינסוף וכו'. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:22, 15 בדצמבר 2012 (IST)

== אפשר להגיד דבר כזה? ==

נניח שיש סדרות <math>a_n</math> ו <math>b_n</math> כך ש <math>\lim a_n = L</math> ו <math>\lim b_n = R</math>, וכמו כן <math>L \leq R</math>, אז אפשר להגיד שקיים <math>n_0</math> טבעי, כך שלכל <math>n \geq n_0</math> מתקיים <math>a_n \leq b_n</math>?

תודה

*(לא מתרגל) לאו דווקא, נסתכל על הסדרות an=1+1/n, bn=1.

שתיהן שואפות לאחת, ואכן מתקיים 1<=1. כלומר הגבול של an קטן שווה מהגבול של bn.

אבל לכל n שתבחר תמיד יתקיים an>bn.

::(לא מתרגל) אבל אם האי שוויון חזק אז כן

אה אוקי תודה :-)

== הבוחן לדוגמא ==

יש למישהו את התשובות לבוחן לדגומא שהעלו?

== בוחן דמה ==

אפשר להעלות פתרונות לבוחן דמה ? או שמישהו יגיד מה יצא לו ב-2 ו3 ...

:יש לך פתרון לראשון?

*(לא מתרגל) את הראשון פתרנו בתרגול (לפחות בקבוצה שלנו). בכל מקרה יש אותו במערכי התרגול.

:אבל בתרגיל הזה הם ביקשו משהו אחר.

*(לא מתרגל) אני מצרף פתרונות סופיים שיצאו לי, קח/י בחשבון שיש מצב שהם לא נכונים, לא מתחייב ב100% (אם כי אני דיי בטוח שזה נכון).

התשובות הסופיות בקישור הבא, כדי לא להרוס למי שלא רוצה לראות: [http://up361.siz.co.il/up3/4nh3iozggotd.jpg]

בנוגע לשאלה השנייה, אני מאמין שזה אותו דבר. פשוט צריך להוכיח שאם קיים הגבול של שורש n-י של an, הוא גם שווה לגבול השני.

:כן אבל השאלה הראשונה זה הפרכה.. אפילו בתרגול אמרו לנו את זה.

*אוקיי, את/ה יכול/ה להראות אותה?

: זה בדיוק מה שביקשתי בהתחלה :O

אפשר להראות שזה הפרכה עם סדרה קבועה של אפסים

: כן גם חשבתי על זה.. אבל יוצא שהסדרה בכלל לא מוגדרת (an+1/an) ככה שהיא מתכנסת באופן ריק.

אתה יכול אז לקחת סדרה שמוגדרת כך שעבור n מתחלק ב-3 תחזיר n עבור n מתחלק ב-3 עם שארית 1 תחזיר 2n ועבור n מתחלק ב-3 עם שארית 2 תחזיר 3n אפשר לראות שכל תת סדרה שואפת ל-1 ולכן גבול הסדרה הוא אחד אבל אפשר לראות שסדרת היחסים בין כל שני איברים סמוכים לא מתכנסת

*"כל תת סדרה מתכנסת ל-1"? כל תת סדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף בדוגמא שלך. ואיפה בדיוק השורש הn-י?

בשורש n-י כל תת סדרה מתכנסת ל-1...

*אוקיי כנראה שאת/ה צודק/ת :(

בכל מקרה, אני דיי בטוח שאם an+1/an מתכנסת אז היא תתכנס לאותו L.

שאלה 1 ב' http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%A4%D7%AA%D7%A8%D7%95%D7%9F_%D7%9E%D7%95%D7%A2%D7%93_%D7%90_%D7%9E%D7%93%D7%9E%D7

== שאלה כללית ==

האם ניתן להגיד שאם גבול של סדרה הוא אפס, אזי סס"ח שלה חסומה?

לא. גבול של אחד חלקי n הוא אפס אבל הסס"ח שלה לא חסומה...

:: השאלה הזאת לא מנוסחת טוב. חייבים להקפיד על שימוש תקין במונחים מתמטיים! למשל, "אם גבול של סדרה הוא אפס, אזי סס"ח שלה..." סס"ח של מי? לסדרות אין סס"חים! :) סדרת סכומים חלקיים זה משהו שיש לטור... אותה בעיה בתשובה.
::כעת, מה השאלה בעצם? נניח שיש לנו טור, כך שהאיבר הכללי שואף לאפס, אז האם סס"ח של הטור חסומה? התשובה היא לא (אותה דוגמא נגדית מעולה של התשובה מעל). --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 20:42, 15 בדצמבר 2012 (IST)

== מבחן ההשוואה ==

אם טור An <= Bn <= Cn וCn ו An מתכנסים, אז Bn מתכנס?
ראיתי במשפט רק כש Bn סדרה שבין סדרה מתכנסת ל0.

::האם הכוונה בשאלה לטורים חיוביים?...--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 20:43, 15 בדצמבר 2012 (IST)

לאו דווקא, חיובים ברור כי אז An >= 0 וזה ככה במשפט

== מבחן המנה ==

אם אני מקבל ש <math>\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}</math> שווה לאינסוף אז הטור <math>\sum a_n</math> מתבדר ? ואותו דבר, אם מקבלים מינוס אינסוף אז הטור המקורי מתכנס ?

*(לא מתרגל) אני כמעט בטוח שאם הוא פלוס אינסוף אז הטור מתבדר, כי זה גדול מ-1 ולא הגבלנו אותו להיות ממשי. בכל מקרה, מציע שתחכה לתשובה יותר חד משמעית.

בנוגע למינוס אינסוף - זה לא יכול לקרות, כי הטור חיובי, ולכן הגבול בהכרח גדול שווה אפס, לא יכול להיות שלילי (כי אפס חסם מלרע של כל סדרה אי שלילית).

== מתי הלימודים מחר ????? (תיכוניסטים) ==

מישהו יודע מתי מתחילים הלימודים מחר ??? אני יודע שהבוחן ב-12... אבל יש לימודים לפני ? ומתי הלימודים נגמרים ?

הבוחן ב12 ואז לימודים כרגיל משלוש וחצי עד 8 וחצי (:

== הלימודים ביום ראשון ==

איך מתנהלים הלימודים ביום ראשון? מתי צריך להגיע לאוניברסיטה?

שיחה:88-132 תשעג סמסטר א

2012-12-15T20:04:20Z

Yifath: /* מתי הלימודים מחר ????? (תיכוניסטים) */

{{הוראות דף שיחה}}

=ארכיון =

*[[שיחה:88-132 תשעג סמסטר א/ארכיון 1|ארכיון שאלות ותשובות 1]]
=שאלות=

==הערה לגבי הצגת שאלות==

כשמתייחסים לשאלה משיעורי הבית אז בשורת הכותרת פרט למספר התרגיל ולמספר השאלה רצוי מאוד לומר על איזה קבוצה מדובר:מתמטיקאים,תיכוניסטים או מדמ"ח. אחרת, זה יכול לבלבל הן את הסטודנטים והן את המתרגלים.
 --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:27, 31 באוקטובר 2012 (IST)

== תרגיל 5 שאלה 6 ==

נניח יש לי שתי סדרות והגבולות החלקיים של An זו קבוצה (A= (-1,1, והגבולות החלקיים של Bn זו קבוצה
(B=(0,2. נתון לי ש Cn=An+Bn וקבוצה C זה הגבולות החלקיים של Cn. מזה אומר??.. מהי קבוצה C זה האיחוד של כל הגבולות החלקיים כלומר (1-,1,2,0) או שזה חיבור שלהם כלומר (1,3-), לא ממש ברור לי הסכום של הסדרות אשמח לעזרה כלשהי כדי לפתור את השאלה, תודה!
::הקבוצה C היא כל הגבולות החלקיים הממשיים של הסדרה <math>c_n</math>. גבול חלקי ממשי של <math>c_n</math> הוא מספר <math>L\in \Bbb R</math> כך שקיימת תת סדרה
<math>c_{n_k}</math> המתכנסת אליו. אני יכול להציע לך לקחת בהתחלה אפילו שתי סדרות שהן מתכנסות <math>a_n,b_n</math> ולחשוב מה תהיה הקבוצה C במצב זה. אח"כ אפשר לחשוב על סדרות שלא מתכנסות ושיש להן יותר מגבול חלקי אחד ולחשוב מה קורה במצב זה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:07, 25 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה כללית ==

אם מבקשים ממני למצוא סכום של טור כלשהו, אני יכול לצאת מנקודת הנחה שהטור מתכנס או שאני צריך להוכיח זאת?

???
::אם תמצא את הסכום ממילא תוכיח באותו הזמן גם שהוא מתכנס. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 14:16, 27 בנובמבר 2012 (IST)

== פרטים על הבוחן ==

איפה אני יכול למצוא פרטים על הבוחן כמו מתי? איפה? חומר?

(לא מתרגל / מרצה) של איזו קבוצה? --[[משתמש:גיא|גיא]] 18:29, 26 בנובמבר 2012 (IST)
של התיכוניסטים

(לא מתרגל / מרצה) הבוחן ב-16.12. החומר יינתן ביום ראשון בתרגולים. מיקום - של שיעור ההשלמה. בקיצור - יישלחו פרטים מדויקים בהמשך :) --[[משתמש:גיא|גיא]] 22:48, 26 בנובמבר 2012 (IST)

== שאלה לגבי תרגיל 5 ==

האם זה נכון לומר שאם cn=an+bn אז תת הסדרה cnk היא ank+bnk?
::כן.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 14:16, 27 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלה 5g (תיכוניסטים) ==

צריך לחלק למיקרים של a?
::אולי. זה חלק מהשאלה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:36, 28 בנובמבר 2012 (IST)

== משפט דלאמבר ==

אם יוצא לי שD שואף לאינסוף, האם בידוע שהטור מתבדר?
::בהנחה שבD כוונתך לגבול התחתון של המנה אז התשובה היא כן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:38, 28 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלה 5 d (תיכוניסטים) ==

הסכום לא צריך להתחיל מ n = 2?
::כן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:39, 28 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 (תיכוניסטים) ==

מותר להשתמש בעובדה שהסכום <math>\sum\frac{1}{n^p}</math> מתכנס אם"ם p>1?
::כן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:39, 28 בנובמבר 2012 (IST)

== מבחן ההשוואה הגבולי ==

מה קורה אם הגבול <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n}{a_n}</math> שווה לאינסוף? אפשר להגיד משהו על הטורים?
::כן. התכנסות הטור <math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math> גוררת התכנסות הטור <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:41, 28 בנובמבר 2012 (IST)

== תרגיל 5 כמה שאלות בוגרים ==

הי,
1.שאלה 7-הם מתלכדים החל ממקום סופי או לאו דווקא?
2.אשמח לרמז ל 2ב
תודה
::1. במילה "מקום" אנו בעצם מצביעים על אינדקס טבעי וממילא זהו ערך סופי בהכרח.
2. אפשר לנסות לכתוב אי שוויון בכיוון אחד לנסות לפשט אותו ואז להסתמך על טענות או משפטים שראיתם בהרצאה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:07, 29 בנובמבר 2012 (IST)

== אריטמתיקה של סכומים ==

אם יש לי <math>\sum_{1}^{\infty}a_n=a</math> וגם <math>\sum_{1}^{\infty}b_n=b</math>

a,b ממשיים

האם אפשר להגיד ש:

<math>\sum_{1}^{\infty}(a_n+b_n)=a+b</math>
::כן. זה משפט. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:07, 29 בנובמבר 2012 (IST)

== טורים ==

אם <math>\sum(a_n)</math> מתכנס ו<math>b_n</math> חסומה
האם ניתן לומר ש <math> \sum(a_nb_n)</math> גם מתכנס?
:: (לא מרצה/מתרגל) לדעתי כן (בהנחה ש <math>a_n</math> חיובית), הוכחה: <math>b_n</math> חסומה ולכן קיים M כך ש <math>b_n</math> <M, ולכן: <math>a_nb_n</math> <M<math>a_n</math>. <math>\sum(M*a_n)</math> מתכנס ולכן <math> \sum(a_nb_n)</math> מתכנס.

== מותר להגיד דבר כזה? ==

שאם <math>\sum(a_n)</math> מתכנס ו <math>\sum(b_n)</math> מתבדר, אז
<math>\sum(a_n)+\sum(b_n)</math> מתבדר?
::כן זה נכון. אפשר להניח בשלילה שזה מתכנס ואז להפעיל אריתמטיקה (חיסור) ולקבל ... --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:34, 1 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלה 3 מתמטיקאים ==

האם ניתן קודם למצוא את הגבול ובעזרת המידע שאני יודע עליו להוכיח את את הטענה?
::קצת קשה לי לראות איך מהידע על הגבול ניתן להסיק מונוטוניות של הסדרה. אבל אם יש לך רעיון/כיוון שעוזר לך אתה יכול לנסות אותו. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:21, 2 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 7 תיכוניסטים ==

למתי צריך להגיש את תרגיל 7
שבוע הבא אין שיעורים
ויום ראשון לאחר מכן יש לנו בוחן בבוקר

ד"א לאחר הבוחן יש הרצאה ותרגול כרגיל(בשעות אחה"צ)?
תודה

== תרגיל 6 ==

לא בדיוק הבנתי מזה אומר ש An+Bn היא סידרה חסומה??.. כלומר חסומה גם מילעיל וגם מילרע?.. ומזה אומר לגבי An וBn ??.. לא בדיוק למדנו את זה... כי לפי הנתון הנוסף AN לא יכולה להיות חסומה- רק מלרע כי היא שואפת לאינסוף אז איך יכול להיות שהסכום חסום?.. תודה!
::ההגדרה של סדרה חסומה היא כפי שאמרת. לגבי השאלה האחרונה זו בדיוק השאלה שיש לשאול. אם הסכום חסום ומצד שני הסדרה
An שואפת לאינסוף מה ניתן יהיה להסיק ביחס לסדרה Bn ? נסו לחשוב איך יתכן שהסכום חסום. זה השלב הראשון בדרך לפתרון. -[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:34, 5 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 (מתמטקאים בוגרים) ==

שאלה 2, הכוונה שם ששלושת הסדרות מתכנסות במובן הצר?

תודה
::כן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:38, 5 בדצמבר 2012 (IST)

== שאלה על אריתמטיקה (מתמטיקאים בוגרים) ==

מותר לחלק משוואה או אי שיוויון בסדרה ששואפת לאפס בצורה הזו לדוגמא n שואף לאינסוף אז מותר לחלק בסדרה 1 חלקי n?

תודה
::אם הסדרה שונה מאפס לכל n אז בלי קשר למה היא תשאף אין לך חלוקה באפס. לכן אם איבר הסדרה הוא חיובי אז אי השוויון שהתחלת ממנו ישמר אם הוא שלילי אז אי השוויון שהיה לך יתהפך פשוט לפי כללים רגילים של אי שוויון.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:36, 5 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלות 5 ו-6 (מתמטיקאים) ==

בשאלה 5- אפשר להניח ש-an מתכנסת במובן הצר? (ובאופן כללי שכאומרות מתכנסת- אפשר להניח שזה לגבול ממשי?)

בשאלה 6- מותר להוכיח ע"י מבחן השוואה?
::שאלה 5 - כן. באופן כללי.
שאלה 6- לא תרגלנו טורים עדיין והכוונה היתה לפתור דרך נושאים שגם תרגלנו. אבל אני מניח שמי שרוצה יכול לפתור גם בכלים שכבר ראיתם בהרצאה כמו מבחני השוואה לטורים חיוביים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 13:28, 5 בדצמבר 2012 (IST)

== תרגיל 6 שאלה 3 ==

נתקעתי אחרי שניסיתי כמה כיוונים שונים. לא הצלחתי למצוא דרך לפי מה שלמדנו בכיתה.

האם מישהו יכול לתת לי הכוונה לגבי איך מוכיחים שהסדרה יורדת מונוטונית? ניסיתי כבר חיסור, מנה ואינדוקציה...
::הוכחתם בהרצאה לגבי סדרה אחרת דומה מאד שהיא מונוטונית(עולה דוקא). הייתי מציע להסתכל על ההוכחה ולנסות להשתמש בכלים שהיו שם. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 21:05, 5 בדצמבר 2012 (IST)

אני מבין שאתה מתכוון להתכנסות לe ניסיתי כבר להשתמש בזה - לא עבד....

== שאלות לגבי הבוחן ==

א. הבוחן יכלול גם הוכחת משפטים?
ב. בבוחן יהיו בנוסף לטורים ולסדרות גם גבולות של פונקציות?

== למתי צריך להגיש את השעורים באינפי? (תיכוניסטים) ==

באיזה תאריך צריך להגיש את השעורים הקרובים?

?????????????????

== פתרונות לתרגילים (תיכוניסטים) ==

בבקשה תעלו בהקדם את הפיתרונות לכל תרגילי הבית שנוכל לחזור עליהם לפני הבוחן. תודה רבה!

== תרגיל 7 שאלה 5 (מתמטיקאים)==

נראה לי שיש טעות בשאלה...
הא'-ב' לא מסודרים שם בסדר הנכון...p:

::נכון... עכשיו אני רואה שחסר שם סעיף ב', וגם סעיפים יא', יב' ו-יג'... תודה רבה על תיקון הטעות! =) נפצה אתכם כפליים בתרגיל בית הבא! --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 12:44, 9 בדצמבר 2012 (IST)

יש!!!מעולה..תודה!:)

== תרגיל 7 שאלה 4 תיכוניסטים ==

שלום, בשאלה 4 מאיזה n הטור מתחיל? זה יכול להשפיע על סכומו... --[[משתמש:גיא|גיא]] 12:38, 8 בדצמבר 2012 (IST)
:תבחר נקודה התחלתית כלשהי, זה אכן ישפיע על התשובה הסופית. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

== הבוחן (תיכוניסטים) ==

הבוחן יכלול גם מה שלמדנו על פונקציות?

== לא הבנתי את שאלה 2 בתרגיל 7 תיכוניסטים ==

כשאומרים שסדרת הזנבות של הטור מוגדרת, אז זה אומר שכל זנב (שהוא טור) מוגדר..

אי אפשר פשוט לקחת את <math>d_1</math> וזה לדוגמא יפתור את סעיף c?

:כן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]

אה.. אוקי...

== תרגיל 7 שאלה 8 (תיכוניסטים) ==

הנתון <math>\sum a_nb_n\leq C</math> אומר בעצם ש <math>\sum a_nb_n</math> מתכנס, אבל לא לאינסוף?

*(לא מתרגל) לאו דווקא, תסתכל\י על: <math>a_{n}=1, b_{n}=(-1)^{n}</math>

כן אבל אז הסכום לא מוגדר בכלל..

*(לא מתרגל) מה זאת אומרת טור לא מוגדר? אולי הוא לא מתכנס, אבל סדרת הסכומים החלקיים מוגדרת (והיא לא מתכנסת).

אוקי. אז מה הנתון הזה אומר?

*(לא מתרגל) אם אני מבין נכון, זה פשוט אומר שהטור חסום.. --דביר חדד 15:07, 10 בדצמבר 2012 (IST)

כן אבל זה בהנחה שהטור בכלל מתכנס לא?

*(לא מתרגל) לאו דווקא, אתה יכול להסתכל על הטור<math>\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { (-1) }^{ n } } </math> והוא חסום, על ידי 8078 לדוגמא, אבל לא מתכנס.

אבל הרי סכום הטור הוא בעצם גבול הסכומים החלקיים <math>\sum_{n=1}^\infty a_n=\lim_{N\rightarrow\infty}S_N</math>, ובגלל שבמקרה הזה אין גבול לסכומים החלקיים, הטור לא מוגדר. אז איך אפשר להגיד שהטור חסום אם הוא לא מוגדר בכלל?

*(לא מתרגל) אני לא מבין למה אתה מתכוון "הטור לא מוגדר". הסכום מוגדר, יש סכום כזה של <math>1-1+1-1...</math>, מה הבעיה איתו? אולי אתה מדבר על כך שהטור '''לא מתכנס''', כלומר סדרת הסכומים החלקיים לא מתכנסת, וזה נכון, אבל היא מוגדרת מצוין, כי הסדרה <math>(-1)^n</math> מוגדרת היטב (זו הרי פונקציה מN לR, ואין כל בעיה בהגדרה שלה). בכל מקרה, סדרת הסכומים פה חסומה, חסימות במובן של סדרות.

== מבחן דיריכלה ==

אם מצאתי שהטור מורכב מan מונוטונית שואפת לאפס, כפול bn שסס"ח שלה לא חסומה- האם זה גורר שהטור מתבדר?

לא בהכרח. an = 1/n^2, bn = 1

== בוחן לתיכוניסטים ==

הבוחן יכלול את מה שלמדנו בפרק של פונקציות?
הבוחן יכלול הוכחת משפטים?

== בוחן תיכוניסטים ==

רציתי לדעת מה החומר לבוחן? והאם הוא יכלול הוכחת משפטים?

(לא מתרגל / מרצה) הבוחן לא יכלול הוכחות משפטים. החומר - הכל עד טורים (כולל). --[[משתמש:גיא|גיא]] 15:14, 12 בדצמבר 2012 (IST)

תודה

== שאלה (מתמטיקאים) ==

באופן כללי,
האם ניתן לעשות את "הטריק" של לחבר ולהחסיר אבל עם סדרות וגבולות?
ז"א האם גם כשמשאיפים את n לאינסוף אפשר להגיד ש- 1= 1+a_n-a_n?

תודה

::השוויון שציינת בוודאי מתקיים לכל <math>n</math> .אם הכוונה שלך שהגבול של צד ימין כשn שואף לאינסוף שווה לגבול של צד שמאל כשn שואף לאינסוף ושניהם שווים לאחד אז התשובה חיובית. לא ניתן לומר בדוגמא שנתת כלום על התכנסות של <math>a_n</math> למשל. באופן כללי אפשר להפעיל חיבור וחיסור כשמפעילים גבולות בהנחה שהגבולות קיימים. למשל גבול של סכום הוא סכום הגבולות אבל רק אם יודעים שכל מחובר מתכנס ואז גם אפשר להשתמש ב"טריק" הכללי שציינת בצורה מועילה. חוץ מזה צריך לזכור שבאריתמטיקה של גבולות יש ביטויים לא מוגדרים כמו אינסוף פחות אינסוף וכו'. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:22, 15 בדצמבר 2012 (IST)

== אפשר להגיד דבר כזה? ==

נניח שיש סדרות <math>a_n</math> ו <math>b_n</math> כך ש <math>\lim a_n = L</math> ו <math>\lim b_n = R</math>, וכמו כן <math>L \leq R</math>, אז אפשר להגיד שקיים <math>n_0</math> טבעי, כך שלכל <math>n \geq n_0</math> מתקיים <math>a_n \leq b_n</math>?

תודה

*(לא מתרגל) לאו דווקא, נסתכל על הסדרות an=1+1/n, bn=1.

שתיהן שואפות לאחת, ואכן מתקיים 1<=1. כלומר הגבול של an קטן שווה מהגבול של bn.

אבל לכל n שתבחר תמיד יתקיים an>bn.

::(לא מתרגל) אבל אם האי שוויון חזק אז כן

אה אוקי תודה :-)

== הבוחן לדוגמא ==

יש למישהו את התשובות לבוחן לדגומא שהעלו?

== בוחן דמה ==

אפשר להעלות פתרונות לבוחן דמה ? או שמישהו יגיד מה יצא לו ב-2 ו3 ...

:יש לך פתרון לראשון?

*(לא מתרגל) את הראשון פתרנו בתרגול (לפחות בקבוצה שלנו). בכל מקרה יש אותו במערכי התרגול.

:אבל בתרגיל הזה הם ביקשו משהו אחר.

*(לא מתרגל) אני מצרף פתרונות סופיים שיצאו לי, קח/י בחשבון שיש מצב שהם לא נכונים, לא מתחייב ב100% (אם כי אני דיי בטוח שזה נכון).

התשובות הסופיות בקישור הבא, כדי לא להרוס למי שלא רוצה לראות: [http://up361.siz.co.il/up3/4nh3iozggotd.jpg]

בנוגע לשאלה השנייה, אני מאמין שזה אותו דבר. פשוט צריך להוכיח שאם קיים הגבול של שורש n-י של an, הוא גם שווה לגבול השני.

:כן אבל השאלה הראשונה זה הפרכה.. אפילו בתרגול אמרו לנו את זה.

*אוקיי, את/ה יכול/ה להראות אותה?

: זה בדיוק מה שביקשתי בהתחלה :O

אפשר להראות שזה הפרכה עם סדרה קבועה של אפסים

: כן גם חשבתי על זה.. אבל יוצא שהסדרה בכלל לא מוגדרת (an+1/an) ככה שהיא מתכנסת באופן ריק.

אתה יכול אז לקחת סדרה שמוגדרת כך שעבור n מתחלק ב-3 תחזיר n עבור n מתחלק ב-3 עם שארית 1 תחזיר 2n ועבור n מתחלק ב-3 עם שארית 2 תחזיר 3n אפשר לראות שכל תת סדרה שואפת ל-1 ולכן גבול הסדרה הוא אחד אבל אפשר לראות שסדרת היחסים בין כל שני איברים סמוכים לא מתכנסת

*"כל תת סדרה מתכנסת ל-1"? כל תת סדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף בדוגמא שלך. ואיפה בדיוק השורש הn-י?

בשורש n-י כל תת סדרה מתכנסת ל-1...

*אוקיי כנראה שאת/ה צודק/ת :(

בכל מקרה, אני דיי בטוח שאם an+1/an מתכנסת אז היא תתכנס לאותו L.

שאלה 1 ב' http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%A4%D7%AA%D7%A8%D7%95%D7%9F_%D7%9E%D7%95%D7%A2%D7%93_%D7%90_%D7%9E%D7%93%D7%9E%D7

== שאלה כללית ==

האם ניתן להגיד שאם גבול של סדרה הוא אפס, אזי סס"ח שלה חסומה?

לא. גבול של אחד חלקי n הוא אפס אבל הסס"ח שלה לא חסומה...

:: השאלה הזאת לא מנוסחת טוב. חייבים להקפיד על שימוש תקין במונחים מתמטיים! למשל, "אם גבול של סדרה הוא אפס, אזי סס"ח שלה..." סס"ח של מי? לסדרות אין סס"חים! :) סדרת סכומים חלקיים זה משהו שיש לטור... אותה בעיה בתשובה.
::כעת, מה השאלה בעצם? נניח שיש לנו טור, כך שהאיבר הכללי שואף לאפס, אז האם סס"ח של הטור חסומה? התשובה היא לא (אותה דוגמא נגדית מעולה של התשובה מעל). --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 20:42, 15 בדצמבר 2012 (IST)

== מבחן ההשוואה ==

אם טור An <= Bn <= Cn וCn ו An מתכנסים, אז Bn מתכנס?
ראיתי במשפט רק כש Bn סדרה שבין סדרה מתכנסת ל0.

::האם הכוונה בשאלה לטורים חיוביים?...--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 20:43, 15 בדצמבר 2012 (IST)

לאו דווקא, חיובים ברור כי אז An >= 0 וזה ככה במשפט

== מבחן המנה ==

אם אני מקבל ש <math>\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}</math> שווה לאינסוף אז הטור <math>\sum a_n</math> מתבדר ? ואותו דבר, אם מקבלים מינוס אינסוף אז הטור המקורי מתכנס ?

*(לא מתרגל) אני כמעט בטוח שאם הוא פלוס אינסוף אז הטור מתבדר, כי זה גדול מ-1 ולא הגבלנו אותו להיות ממשי. בכל מקרה, מציע שתחכה לתשובה יותר חד משמעית.

בנוגע למינוס אינסוף - זה לא יכול לקרות, כי הטור חיובי, ולכן הגבול בהכרח גדול שווה אפס, לא יכול להיות שלילי (כי אפס חסם מלרע של כל סדרה אי שלילית).

== מתי הלימודים מחר ????? (תיכוניסטים) ==

מישהו יודע מתי מתחילים הלימודים מחר ??? אני יודע שהבוחן ב-12... אבל יש לימודים לפני ? ומתי הלימודים נגמרים ?

הבוחן ב12 ואז לימודים כרגיל משלוש וחצי עד 8 וחצי (:

== הלימודים ביום ראשון ==

איך מתנהלים הלימודים ביום ראשון? מתי צריך להגיע לאוניברסיטה?