משפט הדרגה

חזרה למשפטים בלינארית

משפט הדרגה

יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] . אזי מתקיים:

[math]\displaystyle{ \dim(\ker T)+\dim(\Im T)=\dim(V) }[/math]

הוכחה

נסמן את הבסיס לגרעין ב־[math]\displaystyle{ \{v_1,\ldots,v_k\} }[/math] .

נשלים את הבסיס הזה לבסיס ל־[math]\displaystyle{ V }[/math] , נסמנו [math]\displaystyle{ \{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p\} }[/math] .

נוכיח כי [math]\displaystyle{ E=\{Tu_1,\ldots,Tu_p\} }[/math] בסיס לתמונה, ומכאן נסיק בקלות את המשפט.

E פורש את ImT

כיוון שכל וקטור ב־[math]\displaystyle{ V }[/math] הנו צירוף לינארי של אברי הבסיס, [math]\displaystyle{ T }[/math] שולחת כל וקטור לצירוף לינארי של תמונות אברי הבסיס.

לכן, באופן כללי, בהנתן בסיס ל־[math]\displaystyle{ V }[/math] התמונות של אברי הבסיס פורשות (אך לא בהכרח בסיס) לתמונה של [math]\displaystyle{ T }[/math] .

כלומר [math]\displaystyle{ \Im T=\text{span}\{Tv_1,\ldots,Tv_k,Tu_1,\ldots,Tu_p\} }[/math] .

ברור כי [math]\displaystyle{ Tv_1=\cdots=Tv_k=0 }[/math] (הרי בחרנו את [math]\displaystyle{ v_1,\ldots,v_k }[/math] להיות בסיס לגרעין).

לכן מתקיים [math]\displaystyle{ \Im T=\text{span}\{Tu_1,\ldots,Tu_p\} }[/math] .

E בת"ל

ניקח צירוף לינארי מתאפס של אברי [math]\displaystyle{ E }[/math] :

[math]\displaystyle{ a_1Tu_1+\cdots+a_pTu_p=0 }[/math]

לכן

[math]\displaystyle{ T(a_1u_1+\cdots+a_pu_p)=0 }[/math]

לכן

[math]\displaystyle{ a_1u_1+\cdots+a_pu_p\in\ker T }[/math]

ולכן קיים צירוף לינארי של אברי הבסיס לגרעין עבורו

[math]\displaystyle{ a_1u_1+\cdots+a_pu_p=b_1v_1+\cdots+b_kv_k }[/math]

נעביר אגף לקבל צירוף לינארי מתאפס של אברי הבסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math] , ולכן כל המקדמים הם 0.

לכן [math]\displaystyle{ E }[/math] בת"ל.

ספירת ממדים וסיכום

הוכחנו אפוא, כי [math]\displaystyle{ E }[/math] הנו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים וממדים לכל תת־המרחבים המעורבים בעניין.

[math]\displaystyle{ \dim(V)=k+p=\dim(\ker T)+\dim(\Im T) }[/math]