88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 1

חומר הכנה

שלום, אני יודע שעדיין קצת מוקדם אבל יש אולי סיכומים להתכונן לשיעורים הראשונים של הקורס?
תודה

תשובה

הקורס הולך כמעט אחד לאחד לפי הספר של מייזלר, כך שלקרוא את הספר יכול לעזור מאד (גם לפני תחילת השנה וגם במהלכה).

תודה

אני מנסה לקרוא את הספר ולא כל כך מבינה מה הוא אומר, האם יש ספר אחר שיכול לעזור או שהספר של מייזלר הכי טוב?

שימוש בדברים שלא הוגדרו כהנחות אך שומשו בפתירת תרגיל בזמן התרגול

שלום, בזמן התירגול השתמשת באפשרות של הוצאה והכנסת סקלאר מ\ל ערך מוחלט דוגמא: |2ab| = 2|ab|

למרות שלא הגדרת בפעולות של ערך מוחלט פעולה שכזו. בתרגיל 3 נאלצתי להשתמש בפעולת הוצאת הסקלאר כך 2ab|<= -2ab-| ולאחר פעולת ההוצאה (אני אוציא -1 מהערך המוחלט) 2ab| <= -2ab|-

האם דבר כזה יתקבל כפעולה לגיטימית?

תשובה

הוצאת הקבוע החוצה נעשית בהתאם לתכונות שלמדנו.

[math]\displaystyle{ |2ab|=|2||ab|=2|ab| }[/math]

באופן דומה

[math]\displaystyle{ |-2ab|=|-1||2ab|=1\cdot |2ab|=|2ab| }[/math]

להוציא מינוס אחד אסור, הרי הערך המוחלט גדול שווה אפס, ולכן מינוס שלו יהיה קטן שווה לאפס. הם יהיו שווים אך ורק כאשר מדובר באפס עצמו. --ארז שיינר 01:29, 12 באוקטובר 2010 (IST)

תשובות לתרגילים.

היי, יש אפשרות שתעלה תשובות (אפילו בלי פתרון) לתרגיל 4. רק כדי לדעת שהפיתרון נכון?

תשובה

פתרונות מלאים יועלו אחרי הגשת התרגיל. אם ברצונך לבדוק את התשובות שיצאו לך, אני מציע להציב כמה ערכים ולוודא. (אם למשל יוצאת לך תשובה שאי השיוויון מתקיים עבור x גדול מ3, אז סביר להניח שיש שיוויון עבור x=3 ועבור x=4 צד אחד צריך להיות גדול מהשני, וכדומה.) --ארז שיינר 10:59, 12 באוקטובר 2010 (IST)

איזה תרגילים להגיש?

צריך את כל החמישה?

תשובה

כן, זה תרגיל אחד עם חמש שאלות וחייבים להגיש את כולן, ציון 100 זה פתרון כל השאלות. --ארז שיינר 22:28, 12 באוקטובר 2010 (IST)

שלאה 4 א

שלום,בשאלה 4 א אני מצליח למצוא דרך למצוא את התשובה, אבל אני לא מבין איך זה קשור למה שלמדנו, האם יש דרך לקשר את זה לחומר הנלמד בהרצאה?
תודה

תשובה

לא יודע מה למדתם בהרצאה, זה קשור ליכולת 'חלוקה למקרים' שלמדנו בתרגול. --ארז שיינר 18:59, 13 באוקטובר 2010 (IST)

שאלות על ערך מוחלט (שאלה 1)

הסתכלתי על אחת מהשאלות מתחתי, ויש לי שאלה דומה. האם, ואם כן למה, אפשר להשתמש בפעולה [math]\displaystyle{ |0.5a|= 0.5|a| }[/math]? בשיעור לא הגדרנו אף פעולה על ערך מוחלט, רק הגדרה שאומרת ש |a| שווה לאחד מהערכים a,-a שגדול מאפס (וש|0|=0). בנוסף, צריך בשאלה להוכיח את שצריך להוכיח לכל a ששייך לR. אפילו שלנו זה נראה מובן מאילו, מבחינה טכנית אנחנו לא יכולים להוכיח את זה לכל מספר ממשי אלא רק לרציונלי, כי הגדרנו את הערך המוחלט לפני שהגדרנו את המספרים האי רציונליים. מה עושים? ושאלה אחרונה, למה כמעט כל התרגיל הוא על ערך מוחלט, אם כמעט שלא דיברנו בכלל על ערך מוחלט וזה בכלל לא הנושא שאנו לומדים? תודה רבה!

תשובה

1. אני לא רואה את ההבדל בין חצי לבין 2 לבין 4 לבין פאי, ההוכחה היא אותה הוכחה בשימוש בתכונות שלמדנו:

[math]\displaystyle{ |0.5a|=|0.5||a|=0.5 |a| }[/math].

הערך המוחלט מוגדר לפי שליליות או חיוביות, זה נכון גם לרציונאלים וגם לממשיים. 0.5 הוא גדול מאפס ולכן הערך המוחלט שלו זה הוא עצמו.

2. ההוכחות נעשות בעזרת התכונות שלמדנו בתרגיל. התכונות נכונות לכל המספרים הממשיים, ולכן ניתן להוכיח בנקל.

3. דיברנו על ערך מוחלט בתרגול, ולכן בוודאי הוא נושא שאנו לומדים. בכל אופן, ערך מוחלט מודד מרחק ובקורס אינפי מאד אוהבים למדוד מרחקים [בעיקר קטנים (אינפיטיסימליים)]. לכן יש צורך לשלוט בתכונות הערך המוחלט.

--ארז שיינר 19:00, 13 באוקטובר 2010 (IST)

את העובדה ש0.5=|0.5| אפשר להוכיח מתכונת הערך המוחלט, אבל לא זוכר שדיברנו על התכונה ש |a||x|=|ax| וגם לא הצלחתי להוכיח אותה מההגדרה של הערך המוחלט.

בוודאי שהזכרנו את התכונה הזו, תכונה מספר 2. --ארז שיינר 19:23, 13 באוקטובר 2010 (IST)

מספר 2? אפשר בקשה להעלות דף עם התכונות? כי אני לא חושב ש(עם המתרגל שלי) דיברנו על תכונות כשלהם! תודה רבה!

אין דף עם תכונות, אלה תכונות שרשמתי על הלוח לכיתה שלי. תכונה 2 היא [math]\displaystyle{ |xy|=|x||y| }[/math]. --ארז שיינר 20:10, 13 באוקטובר 2010 (IST)

שאלה 2

אחרי שהכפלתי ב2 ופשיטתי הגעתי לאי שוויון [math]\displaystyle{ |2x-a|\lt a }[/math]. דבר ראשון, האם אפשר להגיד מכאן ש [math]\displaystyle{ -a\lt 2x-a\lt a }[/math]? איזה נימוק צריך להוסיף? ודבר שני, גם אחרי האי שוויון הזה, האי שוויון הכי רחוק שהגעתי אליו הוא [math]\displaystyle{ 0\lt x\lt a }[/math]. אפשר הדרכה לגבי איך אפשר להמשיך? באמת שאין לי מושג.. תודה רבה מראש!!

תשובה

את הדבר הראשון שהזכרת אפשר לבצע לפי תכונה מספר 6. הכיוון לפתרון התרגיל הוא אי-שיוויון המשולש, בדומה למה שעשינו בכיתה. --ארז שיינר 19:25, 13 באוקטובר 2010 (IST)

איזו תכונה? ואפשר הסבר קצר לגבי אי שוויון המשולש? כנראה שלא הבנתי את זה בכיתה... תודה רבה!

תכונה 6: [math]\displaystyle{ -L\leq x \leq L \iff |x|\leq L }[/math]. אי שיוויון המשולש הוא הנוסחא [math]\displaystyle{ |x+y|\leq |x|+|y| }[/math]. ראינו דוגמא לשימוש בו: [math]\displaystyle{ |x-z|=|x-y+y-z|\leq |x-y|+|y-z| }[/math] --ארז שיינר 19:52, 13 באוקטובר 2010 (IST)

תודה רבה! נשמח אם תוכל לכתוב בקצרה רשימה של תכונות (מכיוון שהקבוצה שלי לא למדה תכונות של הערך המוחלט). (אלא אם זה לא ממש חשוב ואז לא משנה). תודה!

טוב, טוב, ארשום:

[math]\displaystyle{ \forall x \in \mathbb{R}:|x|\geq 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ |x|=0 \iff x=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ |x\cdot y|=|x|\cdot |y| }[/math]
[math]\displaystyle{ |x+y|\leq |x| + |y| }[/math] (אי שיוויון המשולש)
|a-b| הוא המרחק בין a לבין b
[math]\displaystyle{ x\leq |x| }[/math]
נניח [math]\displaystyle{ L \geq 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ -L\leq x \leq L \iff |x|\leq L }[/math]
[math]\displaystyle{ x\leq -L \or x\geq L \iff |x|\geq L }[/math]
[math]\displaystyle{ ||a|-|b||\leq |a-b| }[/math]

שאלה 4

שלום!

יש לי מספר שאלות על הסעיפים בשאלה 4..

1. האם אפשר בסעיף א' לכתוב את התשובה ע"פ הסבר הגיוני במילים?

2. האם יתכן שבסעיף ב' יצאה לי תשובה עם מספרים לא רציונליים (2.82... וכיו"ב)?

3. האם אפשר בסעיף ג' להעלות בריבוע בשביל להוציא את השורש מוחלט?

תודה!!

תשובה

1. צריך להסביר במדויק.

2. יכול להיות

3. אפשר להעלות בריבוע אם זה חוקי. למדנו שכאשר שני צידי אי שיוויון הינם חיוביים, ניתן להעלות אותם בריבוע.

--ארז שיינר 22:28, 14 באוקטובר 2010 (IST)

שאלה 4 א'

האם יש צורך בהסבר במילים או באיזושהי נוסחה ? האם יש קשר לסדרות?

תשובה

כבר שאלו את זה מספר פעמים. התשובה היא פועל יוצא מחלוקה נכונה למקרים, אפשר להסביר במילים באופן מדוייק. אם רוצים באמת להוכיח כמו שצריך, יש להשתמש באינדוקציה.

אין קשר לסדרות. --ארז שיינר 12:09, 15 באוקטובר 2010 (IST)

עוד פעם 4א ...

צריך להגדיר את X לפי n ולהגדיר באיזה מצבים האי שיוויון מתקיים? ולתת הסבר במילים על כל מצב למה הוא מתקיים או לא מתקיים? למשל שאם x=n אז זה מאפס את צד שמאל וזה לא מתקיים וכו ...

תשובה

כן, משהו כזה --ארז שיינר 18:03, 15 באוקטובר 2010 (IST)

שאלה כללית

אשמח אם מתרגל יענה על השאלה. בתירגול שהיה לנו השבוע, המתרגל אמר כי פעם בשבועיים יפורסמו תרגילים באתר שהוא יגיד בשבוע הבא, רציתי לשאול: א. זה באמת כל שבועיים? מכיוון שכבר היום יש את תרגיל 2... ב. יש אפשרות לכתוב את תאריך ההגשה של כל תרגיל ליד הקובץ בדף "תרגילים"?

תודה

תשובה

יש מצב שזה תלוי במתרגל שלך. הקבוצות שלי ושל רועי בוסי (03,04) יצטרכו להגיש תרגיל כל שבוע, מה שהופך את תאריך ההגשה למאד פשוט. --ארז שיינר 22:50, 15 באוקטובר 2010 (IST)

תשובה לתשובה

ומה עם הקבוצות של התיכוניסטים - אדוארד קנטרוביץ (06) ויפית נתני (08)? לנו יפית אמרה שכנראה שיהיה פעם בשבועיים אבל יכול להיות שיהיו שינויים, ולעקוב אחרי מה שכתוב באתר כאן. תודה, גל א.

תשובה לתשובה לתשובה

עד כמה שידוע לי היא הוחלפה במתרגל אחר. יום ראשון תוכלו לשאול את המתרגלים שלכם בדיוק מה לעשות. כך או כך אתם מוזמנים להמשיך להשתמש באתר לשאלות ותשובות. --ארז שיינר 23:17, 15 באוקטובר 2010 (IST)

תשובה

האם זה אמור להיות אתר הקורס לתיכוניסטים, או שקרתה אי הבנה וסתם נאמר לנו שזה אתר הקורס שלנו? האם ידוע לך מי מתרגל במקום יפית? בכל מקרה נשאל את המתרגלים שלנו מחר. תודה רבה, גל א.

יפית התכוונה שזה יהיה האתר, אני לא יודע מה דעת המתרגלים האחרים שלכם (המקביל לה, וזה שמחליף אותה). מחר תגלו, אני מניח. --ארז שיינר 11:26, 16 באוקטובר 2010 (IST)

הסקת נכונות טענה ממראית עין

שלום, שאלה 5ב' אומרת כך. הוכך באינדוקציה את: [math]\displaystyle{ 1^3 + 2^3 + ... + N^3 = (1 + 2 + ... + N)^2 }[/math] רציתי לשאול את השאלה הבאה, מה שנמצא בתוך הסוגריים באגף הימני הינו סדרה חשבונית.
1) האם אני יכול להתייחס לזה כאל סדרה חשבונית לכל דבר גם מבלי שהגדירו לי כך?

2) האם אני יכול לבצע נוסחא של סדרה חשבונית על זה כאל נוסחא לכל דבר או שאני אצטרך להוכיח את נכונות הנוסחא של סדרה חשבונית באינדוקציה גם?

תשובה

באופן כללי ניתן להשתמש בתכונות שכבר למדנו אם מצטטים אותם ואם הם לא עיקר התרגיל. פה אין שום בעייה להשתמש בנוסחא של סכום סדרה חשבונית, רק צריך לצטט את הנוסחא ולהשתמש בה. --ארז שיינר 13:42, 16 באוקטובר 2010 (IST)

שאלה 3

השקעתי שעות של דם זיעה ודמעות על התרגיל הזה ושום דבר לא הולך. אפשר עזרה בבקשה? תודה..

תנסה להעלות בריבוע... ראה הערתו של ארז שיינר לגבי מתי מותר ומתי אסור להעלות בריבוע, כאן: [1] (סעיף 3). כמו כן, בקבוצת ההרצאה שלנו (ד"ר הורוביץ) הוכחנו את זה בשיטה גיאומטרית-אינטואיטיבית, שמתבססת על תכונה 4 מהרשימה הבאה: [2], וגם אפשר להוכיח את זה ע"י אי שוויון המשולש המקורי (אם תסתכל טוב בקישור 2 בהודעה זו תוכל לראות בעצם רמז גדול כיצד לעשות שימוש באי שוויון המשולש לצורך פתרון תרגיל זה). בעזרת כל השיטות הללו ניתן להוכיח את הטענה. עם השיטה הראשונה הוכחנו את הטענה בתרגול, עם השתיים האחרות הוכחנו בהרצאה. בברכה, גל א.

הצלחתי להוכיח עם העלאה בריבוע (הוכחה די מכוערת אבל...). תודה רבה על העזרה!

לארז- מעוניינת לעבור לקורס שלך

שלום ארז, התרגול שלך בימי ראשון יותר מסתדר לי במערכת מאשר התרגול בחמישי... נרשמתי היום בפריא"ל לתרגול שלך. מה לעשות בשביל להשלים את השיעור לש היום? האם להכנס לתרגול בחמישי הזה ואז מראשון הבא אהיה בתרגול שלך? האם זה אותם ש.ב.?

תודה!

תשובה

כן, תרגילי הבית אחידים בין הקבוצות, התרגולים בכיתה אמורים לכסות את אותו חומר פחות או יותר, לכן מה שהצעת נשמע סביר מאד. --ארז שיינר 23:10, 17 באוקטובר 2010 (IST)

בקשר למעבר לקורס של ארז

אני אהיה ביום חמישי בתרגול של רועי ואז ביום ראשון בתרגול שלך.. למי להגיש את התרגול הראשון? (מיום חמישי שעבר)

לרועי. --ארז שיינר 11:03, 18 באוקטובר 2010 (IST)

שאלה 8 תרגול שני

יש לי שתי שאלות לגבי שאלה זו:

1. האם צריך להוכיח את הטענה שבסוגריים או שזו סתם טענה שנועדה לתת לנו ראיה אחבה יותר על הנעשה?

2. בטענה שבסוגריים נאמר אפס חסם תחתון של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] לא חסומה. אבל אני מצליח להוכיח ש-[math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] חסומה מלרע, כי תמיד מתקיים [math]\displaystyle{ 1\gt 0 }[/math] ועפ"י נתון [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] ולכן תמיד יתקיים ש- [math]\displaystyle{ 1/a\gt 0 }[/math] ולכן 0 חסם מלרע של קבוצה זו. או שכוונתכם היא שאם קבוצה לא חסומה אז ייתכן שהיא לא חסומה רק מכיוון אחד אבל מהקבוצה השנייה היא חסומה?

תודה, גל א.

תשובה

1. יש להוכיח את הכיתוב בסוגריים.

2. אתה צודק, הניסוח לא מדויק. קבוצה נקראית חסומה (בדר"כ וגם ספציפית כאן) אם היא חסומה גם מלעיל וגם מלרע.

--ארז שיינר 18:39, 18 באוקטובר 2010 (IST)

תרגיל 2 שאלה 4 אני לא מצליח--למישהו יש רעיון?

תשובה

נסה לרשום מספר איברים ראשונים של הסדרה ולנחש מהם החסמים. לאחר שיש לך ניחוש, הוכח אותן בשיטות אלגבריות (כמו אינדוקציה, והוכחה ישירה). אפשר להשתמש בהוכחת אפסילון לקיום חסם עליון/תחתון. --ארז שיינר 20:02, 20 באוקטובר 2010 (IST)

אם תוכלי לתת לי כיוון

לגבי פתירת תרגיל 2 ו- 4א בתרגיל 1

תודה רבה

אורית

תשובה

תרגיל 2 אפשר לפתור עם אי שיוויון המשולש, כבר שאלו את זה כאן, את 4א' צריך לפתור בעזרת חלוקה למקרים. מאד מומלץ לקחת n=5 נגיד ולראות מה קורה על מנת להבין את המקרה הכללי. --ארז שיינר 20:16, 20 באוקטובר 2010 (IST)

רוצה את חוות דעתכם על המתרגלים מנחם שלוסברג , אהוד נבון , ולואי פולב מי יותר טוב ?

מה אתם אומרים מי מהם מסביר טוב את החומר ? ועונה לשאלות

על איזה קורס אתה שואל? לינארית? תשים לב שמנחם שלוסברג ולואי פולב מתרגלים את לינארית 1 (88112) ואילו אוהד נבון מתרגל את לינארית 2 (88113), כך שההשוואה בכלל לא נכונה במקרה זה... בכל אופן הקבוצה של אוהד נבון בלינארית היא קבוצה של תיכוניסטים... לגבי האחרים אני לא יודע, באופן ספציפי אוהד מתרגל שלי והוא די בסדר... גל א.