88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 2

שאלה

אני ועוד כמה ילדים עברנו מהקבוצה של שיין לקבוצה של הורוביץ לפני כשבועיים. כתוצאה מכך הגשנו את תרגיל 1 ו2 מmath wiki. כעת, נאלצנו לחזור לקבוצה של שיין. איזה תרגילים עלינו להגיש ליום ראשון הקרוב, למתרגל אדווארד?

שאלה 5א תרגול 2

שלום רב, הצלחתי להוכיח את שאלה 5א ללא שימוש באפסילון, למרות מה שכתוב בגוף התרגול. השתמשתי בדרך של הוכחה בשלילה ושימוש בתכונות של חסם תחתון וחסם עליון ושל חסמי מלעיל ומלרע (שוב, ללא שימוש באפסילון). האם זה בסדר? בכל אופן, לא מצאתי דרך אשר עושה שימוש באפסילון. כל פעם שניסיתי - נתקעתי. האם אתם יכולים לתת הכוונה כלשהי כיצד לעשות זאת עם אפסילון? תודה מראש, גל א.

תשובה

מהן התכונות של חסם עליון בעזרתן הוכחת? את מניח בשלילה שאחד גדול מהשני, מה הלאה? איפה הסתירה? יש להראות שיש איבר a שגדול ממש מאיבר b, עושים את זה בעזרת משפט שלמדנו בקשר לחסמים המזכיר את אפסילון. --ארז שיינר 02:22, 22 באוקטובר 2010 (IST)

האם אי אפשר להגיע לסתירה על ידי הוכחה בשלילה באופן הבא: supA>infB ולכן infB לא חסם מלעיל של A ולכן קיים a ב-A עבורו a>infB אבל עפ"י נתון גם עבור ה-a הספיציפי הזה לכל b ב-B עפ"י נתון a קטן שווה ל-b ולכן a חסם מלרע של הקבוצה B אבל a>infB וזהי סתירה. בהוכחה זו אני לא רואה שום שימוש באפסילון, חוץ מזה לא זכור לי שדיברנו על המשפט המסויים שציינת, אתה יכול לצטט אותו?

האמת שזה נכון מאד. המשפט עם האפסילון: תהי A קבוצה חסומה מלעיל. אזי M חסם עליון של A אם"ם M חסם מלעיל וגם לכל [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a\gt M-\epsilon }[/math]. זה בדיוק מה שאתה אומר, רק בשימוש באפסילון. --ארז שיינר 13:38, 22 באוקטובר 2010 (IST)

אז האם זה בסדר שבתרגול עצמו אכתוב את ההוכחה ללא אפסילון? תודה, גל א.

כן. --ארז שיינר 15:05, 22 באוקטובר 2010 (IST)

מה המשפט הנוגע ל-A חסומה מלרע?

תהי A קבוצה חסומה מלרע. אזי m חסם תחתון של A אם"ם m חסם מלרע וגם לכל [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a\lt m+\epsilon }[/math] --ארז שיינר 22:14, 22 באוקטובר 2010 (IST)

תודה :)- ארז אתה מתרגל אינפי1 לתיכוניסטים במחצית הזו?

לפי מה שידוע לי הוא מתרגל רק למבוגרים בסמסטר זה (ובקורס זה).

באסה :( :)

שאלה 6

סליחה, בצורה יותר מסודרת: האם בשאלה 6 אני יכול להשתמש בפונקציות שאני מכיר וע"י כך להגדיר קבוצות ע"מ להראות דוגמא נגדית, לדוגמא: {A={ arctanx∶ ∀x∈R & x>0?

תשובה

אין צורך... תשתמש בקבוצות פשוטות בהרבה (קטעים פתוחים/סגורים בציר הממשיים) --ארז שיינר 15:07, 22 באוקטובר 2010 (IST)

הצעת ייעול

לא עדיף לחלק את הארכיונים השונים לפי תרגולים, כלומר שארכיון 1 יהיה עבור תרגול 1 בלבד וכך הלאה?!? כך יהיה יותר נוח לחפש בין השאלות השונות. אולי כדאי להוציא את השאלות שעוסקות בתרגול 2 אל מחוץ לארכיון 1? אני בטוח שככה יהיה לרוב המשתמשים נוח יותר. שבוע טוב, גל א.

תרגול 2, שאלות 2,8

שבוע טוב! 1. לגבי שאלה 2 לא כ"כ הבנתי מה צריך להוכיח ולמה זה קשור. אני יודעת שX בין אפסילון לאפס אבל איך אני יכולה לדעת אם הוא שווה ל0 או לא.. 2. בשאלה 8 האם יש קשר בין ההוכחה בלי הסוגריים להוכחה של הסוגריים. יש עדיפות להוכיח קודם את אחת ההוכחות בשביל להצליח להוכיח את השניה.. תודה!

תשובה

ארמוז לך לגבי שאלה 2. נתון X גדול שווה אפס ולכן אפשר שיתקיים אחד מהשניים בלבד:

1. X גדול מאפס

2. X שווה לאפס

תראי מדוע ייתכן/לא ייתכן ש-X גדול מאפס. רמז, לכל אפסילון שגדול מאפס X קטן מאפסילון. האם X יכול להיות אפסילון? מה יקרה אז?

לגבי שאלה 8: אני אישית עשיתי לפי הסדר בשאלה. לי היה יותר נוח כך, אבל לא נראה לי שזה משנה.

מקווה שעזרתי, גל א.

המשך שאלה על תרגול 2 שאלה 8

מבקשים ממני להוכיח שm חסם תחתון של A אבל זה לא תמיד אפס כי ידוע שa גדול מאפס..? זה לא בעצם שמספיק להוכיח רק את ההוכחה שבסוגריים כי רק היא נכונה.. (שהרי אם 0 הוא חסם תחתון של a אז 1/0 הוא חסם תחתון של A בחזקת -1 וזה בעצם אין פתרון אז זה אומר שהיא לא חסומה..)

לדעתי, ההוכחה שבסוגריים הינה מקרה פרטי של A כאשר, כמו שציינת, החסם התחתון (שים לב שזה חסם תחתון ולא מלרע) הוא באמת 0, כאשר ההוכחה הכללית מתייחסת למקרים שבהם infA שונה מ-0.

לא כ"כ הבנתי את הרמז ולמה האפסילון קשור בכלל. אפשר בבקשה עוד כיוון לשאלה 2 ולשאלה 8.

תודה!

תשובה

לגבי שאלה 2: נתון שx קטן מכל מספר חיובי (שקראנו לו אפסילון, השם של המשתנה הרי לא משנה את תוכן המשפט, נכון?) האם יש מספר חיובי שקטן מכל המספרים החיוביים?

לגבי שאלה 8: נתון לך שבקבוצה כל האיברים גדולים מאפס, זה לא אומר שכל המספרים שגדולים מאפס נמצאים בקבוצה. למשל הקבוצה [math]\displaystyle{ A=(1,2)=\{x\in\mathbb{R}|1\lt x\lt 2\} }[/math] מקיימת את תנאי השאלה, והחסם התחתון שלה הינו 1 ולא אפס. שנית, אמרת שהחסם חייב להיות 1 חלקי אפס ולכן הוא לא קיים, זו לא הוכחה תקינה. על מנת להראות שקבוצה אינה חסומה יש להראות שאין לה חסם, כלומר יש בה מספרים גדולים כרצוננו.

--ארז שיינר 01:14, 24 באוקטובר 2010 (IST)

תרגול 3

שלום רב, מתי יועלה תרגול 3? תודה מראש, גל א.

תשובה

היום בערב.

שעות קבלה

ארז, אפשר את המייל שלך בשביל לקבוע איתך על שאלות שיש לי באינפי?

ד"א: ארז, מהן שעות הקבלה שלך? האם אנשים שלומדים בתרגולים מקבילים אחרים בקורס זה יכולים להגיע אליהן כדי לשאול שאלות, או שכל אחד חייב להגיע למתרגל שלו? תודה מראש!

תשובה

שעות הקבלה שלי הן בתיאום מראש במייל, ואפשר להגיע אליי מכל קורס לכל נושא (שאני יודע). המייל הוא erez_sh ב hotmail.com (את המייל השני אני מעדיף לא לרשום פה כי הוא יעלה בחיפוש גוגל. אני אענה מהמייל אוניברסיטה) --ארז שיינר 22:33, 24 באוקטובר 2010 (IST)

שתי שאלות

אני בקבוצה אחרת שלא משתמשת באתר הזה, אבל יש שתי שאלות משיעורי הבית שאני לא מצליחה לפתור, ואשמח לקבל רמז או הכוונה:

1. [math]\displaystyle{ S_n=arctg(1/2)+arctg(1/8)+...+arctg(1/(2n^2)) }[/math] פתרו באינדוקציה.

[math]\displaystyle{ S_n }[/math] לא נתון אבל תוכנה מצאה שזה [math]\displaystyle{ arctg(n/(n+1)) }[/math]. איך מוכיחים את זה? ואיך פותרים בלי תוכנה? בכלל אף פעם לא התעסקתי עם [math]\displaystyle{ arctg }[/math], יש נוסחאות? תודה!

2. צ"ל: [math]\displaystyle{ pZ2+qZ3+rZ(2/3) }[/math] אי רציונלי כאשר p,q,r רציונליים ולפחות אחד מהם שונה מ-0.

כתבתי את האות Z במקום לכתוב שורש (איך כותבים שורש??).

כלומר פי-שורש-2 ועוד קיו-שורש-שלוש ועוד אר-שורש-שני-שליש.

אני יודעת להוכיח ששורש a אי רציונלי, ושמכפלת רציונלי פי אי רציונלי היא אי רציונלית, וששורש אי רציונלי נשאר אי רציונלי, אבל זה לא מספיק כאן!

תודה רבה מראש,

בדחיפות בבקשה.

תשובה

1. אני לא מבין לגמרי מה השאלה בכלל, מה הכוונה פתרו באינדוקציה? לפתור את מה? נתת סדרה S_n.. מה לגביה?

2. צריך קצת לשחק עם זה אלגברית, עד שתבודדי את אחד השורשים. (רמז, להעביר אגף ולהעלות בריבוע). ושורש כותבים כך: <math>\sqrt{2}</math>

--ארז שיינר 20:56, 25 באוקטובר 2010 (IST)

המשך השאלה

1. זו שאלה 4 פה: http://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxlZHVhcmRrb250b3JvdmljaHxneDo2OTFjMzMzMjdlYzQxMjFh

2. תודה, אנסה.

תשובה

אני מניח שזה קשור למשהו שלמדתם בשיעור. כך או כך בקישור הזה יש נוסחאות שאולי יכולות לעזור בפתרון התרגיל (the addition formula). --ארז שיינר 13:46, 26 באוקטובר 2010 (IST)

תודה רבה, הצלחתי את שניהם!

תרגול 3 - שאלה 1ג'

שלום, מדברים גיל ושרה. מה שלומכם? מקווה שיותר טוב מאיתנו, למה קצת הסתבכנו פה. והנה למה: [math]\displaystyle{ ((n+1)!-n!)/((n+1)!+n!)) }[/math] צ"ל גבול. אנחנו טענו שהגבול הוא 0 כי המכנה יותר גדול מהמונה ולכן הסדרה תשאף ל-0. אז כמובן אמרנו דבר ראשון יהי אפסילון גדול מ-0 וגם צ"ל שקיים N אפסילון (ששיך לN) שמקיים עבור כל N אפסליון < n
[math]\displaystyle{ |a(n) - L| }[/math] < אפסילון. (ד"א אם מישהו יודע איך לכתוב אפסילון פה בצורה יותר נעימה, שיגיד בבקשה). הגענו למצב בו אנחנו מוציאים את [math]\displaystyle{ n! }[/math] ומצמצמים אותו כך שישאר לנו שבר כזה: [math]\displaystyle{ (n+1-1)/(n+1+1) }[/math]. מכיוון שטענו שהגבול הוא 0 אזי יוצא ש- [math]\displaystyle{ (n+1-1)/(n+1+1) \lt epsilon }[/math] בסופו של תהליך, יוצא ש n קטן מביטוי עם אפסילון.... מה זה אומר? האם נכשלנו איפשהו?

תשובה

כנראה שנכשלתם בבחירת הגבול. עשיתם פיתוח יפה לסדרה וקיבלתם [math]\displaystyle{ \frac{n}{n+2} }[/math] האם זה שואף לאפס?

תמיד טוב לכתוב כמה מאיברי הסדרה על מנת להבין מהו הגבול, לפעמים רואים מהר מאד טעויות ככה.

באופן עקרוני המשפט "המונה גדול מהמכנה, לכן הסדרה שואפת לאפס" הוא שקרי. --ארז שיינר 13:27, 26 באוקטובר 2010 (IST)

(ואפסילון כותבים כך- <math>\epsilon</math>)

אפשר גם פשוט להציב n=99999999 ולראות מה זה יוצא במחשבון במקום לכתוב את איברי הסדרה!

ואם זה משתנה, כלומר הולך למעלה ולמטה וחוזר חלילה? תמיד עדיף לרשום את האיברים הראשונים של הסדרה. (אבל השיטה עם המחשבון יעילה בנוסף). --ארז שיינר 20:55, 27 באוקטובר 2010 (IST)

תרגיל 3 שאלה 1 סעיף ה׳

לאחר פיתוח קיבלתי ש: a(n) = (3/4)^n ה׳ניחוש׳ שלי הוא שזה שואף ל0 כשאני בא להוכיח שהגבול הוא אכן 0, באמצעות מציאת n(epsilon אני מגיע לאי השיוויון: Epsilon > (3/4) ^n בדוגמאות שראינו בכיתה, עלינו עכשיו לבודד את ה n ולהגדיר שלכל אפסילון שנקח, נבחר n(epsilon כך ש n(epsilon גדול מביטוי כלשהו התלוי רק באפסילון. כשאני בא לבודד את ה n במקרה הזה אני מקבל שלכל אפסילון שנבחר, נצטרך לקחת n קטן מ: log3/4(epsilon N הוא טבעי וכן יש הרבה אפסילונים עבורם לא נמצא n מתאים....

השאלה שלי היא, האם טעיתי פה איפהשהו? או האם יש דרך אחרת להראות ש0 הוא הגבול

תודה

תשובה

דרך אחת היא לקרוא את דף התרגיל כמו שצריך, ספציפית השורה הראשונה (: --ארז שיינר 21:02, 27 באוקטובר 2010 (IST)

תרגיל 3 שאלה 2 איך אני ניגש אליו?

השמח לקבל איזהשהוא כיוון?

תשובה

צריך להעביר את הסדרה לצורה דומה לסדרה בנתון השאלה. אפשר בנוסף להשתמש בעובדה שעבור מספר ממשי [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] וסדרה מתכנסת [math]\displaystyle{ a_n\rightarrow L }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ (a_n)^\alpha = L^\alpha }[/math] --ארז שיינר 22:34, 27 באוקטובר 2010 (IST)

הצלחתי..אבל המישחקים אם המישוואה היו ממש מיגעים ..תודה!

תרגול 3-שאלה 7

האם אפשר להגיד שan ו cn שואפות שתיהן לאותו גבול L?

תשובה

מה הכוונה להגיד? אם רוצים להגיד את זה צריך להוכיח את זה. שים לב שאם L שונה מאפס, הרי c_n לא מתכנסת כלל (זה אחד הכיוונים שצריך להוכיח). --ארז שיינר 23:58, 27 באוקטובר 2010 (IST)

שאלה 1ג' - שאלה נוספת

שלום לכולם. הצבתי כל מיני Nים במחשבים ואני הסקתי שהגבול הוא 1. אבל יוצא שלי שאפסילון קטן ממספר שלילי.... האם זה אפשרי או שגם פה טעיתי? [math]\displaystyle{ |(n/(n+2) - 1)| \lt \epsilon }[/math] זה מביא אותי למצב (אחרי פיתוח אלגברי) [math]\displaystyle{ (-2/(n+2)) \lt \epsilon }[/math] ולכן עליי להסיק ש: [math]\displaystyle{ (-2-2\epsilon)/\epsilon \lt n }[/math] וזה ברור אז שאפסילון קטן ממספר שלילי.... טעיתי?

תשובה

לאן נעלם הערך המוחלט? הרי תפקידו היה לבטל את המינוס, לא יכול להיות שערך מוחלט הינו שלילי. --ארז שיינר 01:25, 28 באוקטובר 2010 (IST)

סבבה, אבל זה עדיין יוצא שלילי. [math]\displaystyle{ |(n/(n+2))-1| \lt \epsilon }[/math] ואז יוצא אחרי פיתוחים [math]\displaystyle{ |-2/(n+2)| \lt \epsilon }[/math] מכיוון ש-n שייך ל-N אז n+2 הינו ביטוי חיובי ולכן אפשר להמיר את הביטוי שבתוך הערך המוחלט ל- [math]\displaystyle{ 2/(n+2) \lt \epsilon }[/math] ואחרי פיתוחים יוצא ש- [math]\displaystyle{ n \gt ((2-2\epsilon)/\epsilon) }[/math] וגם זה (יכול להיות) ביטוי שלילי מכיוון ש- [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] תמיד גדול מ-0 ואם הוא גדול מ-1 אז אני בבעיה. השאלה היא האם אני צריך להוכיח שזה נכון לכל אפסילון או שקיים אפסילון שזה מתקיים?

קודם כל, ברור שצריך להוכיח לכל אפסילון, זו לשון ההגדרה. שנית, מה הבעייה אם הצד השמאלי שלילי? הרי מספר טבעי תמיד גדול משלילי ואז אי השיויון מתקיים והמצב מצויין. זכור שעליך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה כל איברי הסדרה מקיימים את אי השיוויון. זה מאד הגיוני שכאשר אפסילון גדול מאד התנאי על המקום בסדרה הוא קל מאד, כי הדרישה היא שאיברי הסדרה יהיו קרובים לגבול עד כדי מרחק אפסילון. --ארז שיינר 02:27, 28 באוקטובר 2010 (IST)

תרגיל 3 שאלה 1ה'

שלום, רציתי לשאול משהו בקשר למשפט הראשון שרשום בדף התרגיל. רשום אם [math]\displaystyle{ |\alpha| \lt 1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ lim(\alpha^n) = 0 }[/math] בתרגיל 1ה' אפשר לפשט את הביטוי ל- [math]\displaystyle{ (3/2^n)^n }[/math] זה ברור שאם [math]\displaystyle{ n \gt = 2 }[/math] אזי הביטוי בתוך הסוגריים תמיד יהיה קטן מ-1. ואז אני יכול לסמן את הביטוי בתוך הסוגריים בתור [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] ומש"ל. הבעיה שלי היא מה קורה ב- n=1. כלומר האם [math]\displaystyle{ |\alpha| \lt 1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ lim(\alpha^n) = 0 }[/math] מתייחס לכל [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] או ל-[math]\displaystyle{ \alpha }[/math] כאשר n שואף לאינסוף

תשובה

1. מספר סופי של איברים מהסדרה לא משנה את ההתכנסות, מה זה משנה מה קורה עבור n=1?

2. יש לך טעות בלוגיקה. במשפט בתחילת התרגיל אלפא הוא קבוע, ופה יש ערך קטן מאחד שמשתנה. תחשוב למשל על הסדרה ששואפת לe, לפי הטיעון הזה היא הייתה אמור לשאוף לאינסוף.

אפשר לפתור מהנקודה שהגעת אליה, פשוט צריך לחשוב על זה עוד קצת. --ארז שיינר 13:25, 28 באוקטובר 2010 (IST)

תרגיל 3 שאלה 7

ארז, כתבת באחת התשובות שאם L שונה מ0 אז Cn לא מתכנסת כלל. זה בדיוק מה שאנחנו רוצים להגיד השאלה למה זה נכון? אפשר להתייחס לזה כעובדה?

תשובה

נכון, זה מה שצריך להוכיח. אי אפשר להשתמש בזה כעובדה - צריך להוכיח את זה. רמז: הוכחה בשלילה. --ארז שיינר 21:13, 28 באוקטובר 2010 (IST)

לינארי 1

אינני יודע מי אחראי לזה, אך הציונים הסופיים בלינארי 1 מורכבים מ 15% ש.ב. 85% מבחן במקום 20% ש.ב. ו 80% כמו שנאמר.

תשובה

ידוע. שימו לב שאמרנו עוד ששאלתם את השאלה הזו שאנחנו מקווים לתקן את זה. העניין בטיפול בכל אופן. --ארז שיינר 23:03, 28 באוקטובר 2010 (IST)

תודה