88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 4

1

א

תהי f פונקציה גזירה ברציפות בקטע [math]\displaystyle{ (0,1] }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0+}f(x)=\infty }[/math]. הוכח כי אורך העקומה של f בקטע הוא אינסוף.

ב

תהי f פונקציה גזירה ברציפות בקטע [math]\displaystyle{ (0,1] }[/math] שאינה חסומה שם. הוכח כי אורך העקומה של f בקטע הוא אינסוף.

2

חשב אילו מן האינטגרלים הבאים מתכנס

א

[math]\displaystyle{ \int_1^\infty e^{-ln^2(x)}dx }[/math]

ב

[math]\displaystyle{ \int_0^\infty x^2sin(x^4)dx }[/math]

ג

[math]\displaystyle{ \int_1^\infty\frac{cos(x)}{x} }[/math]

ד

[math]\displaystyle{ \int_1^\infty\frac{|cos(x)|}{x} }[/math]

ה

[math]\displaystyle{ \int_1^\infty\frac{cos^2(x)}{x} }[/math]

ו

[math]\displaystyle{ \int_0^\infty\frac{x-arctan(x)}{x(1+x^2)arctan(x)}dx }[/math]

3

חשב לאילו ערכים של הפרמטרים האינטגרלים הבאים מתכנסים

א

[math]\displaystyle{ \int_0^\infty\frac{sin^2(x)}{x^\alpha}dx }[/math]

ב

[math]\displaystyle{ \int_0^1|ln(x)|^\alpha dx }[/math]

ג

[math]\displaystyle{ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}tan^\alpha(x)dx }[/math]

4

תהי f פונקציה יורדת כך ש [math]\displaystyle{ \int_0^\infty f(x)dx }[/math] מתכנס

א

הוכח כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=0 }[/math]

ב

הוכח כי [math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow\infty}xf(x)=0 }[/math]

5

נתונה f חיובית ורציפה, ונתון כי [math]\displaystyle{ \int_0^\infty f(x)dx=\infty }[/math]. הוכח כי

[math]\displaystyle{ \int_1^\infty\frac{f(x)}{\int_0^x f(t)dt}dx=\infty }[/math]