88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 4/פתרון

הפעם יש קצת יותר עבודה, אז נתחיל יותר מוקדם (:

1

לצורכי נוחיות נסמן [math]\displaystyle{ l(x):=\sqrt{(f'(x))^{2}+1} }[/math],

מכיוון שהפונקציה [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] גזירה ברציפות, אזי [math]\displaystyle{ l(x) }[/math] מוגדרת ורציפה בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (0,1] }[/math].

א

אנו רוצים להוכיח שאורך העקומה [math]\displaystyle{ f }[/math] הינו אינסופי [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] עלינו להראות כי: [math]\displaystyle{ \int_{0}^{1}l(x)dx=\infty }[/math].

לפי הנתון: [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math] מוגדרת ורציפה בקטע [math]\displaystyle{ (0,1] }[/math], ועל כן היא אינטגרבילית בו.

[math]\displaystyle{ \int_{0}^{1}f'(x)dx=\lim_{a \to 0^{+}}\int_{a}^{1}f'(x)dx=\lim_{a \to 0^{+}}(f(1)-f(a))=-\infty }[/math]

מכיוון שהפונקציה אינה מתכנסת, אזי היא גם לא מתכנסת בהחלט ולכן בהכרח: [math]\displaystyle{ \int_{0}^{1}|f'(x)|dx=\infty }[/math]

נבחין כי מתקיים - [math]\displaystyle{ l(x)=\sqrt{(f'(x))^{2}+1}\geq \sqrt{(f'(x))^{2}}=|f'(x)|\geq 0 }[/math]

ולכן, לפי מבחן ההשוואה הראשון: [math]\displaystyle{ \int_{0}^{1}l(x)dx=\infty }[/math].

ב

במקרה זה עלינו לנקוט גישה קצת שונה.

נניח בשלילה שהאורך העקומה הינו סופי, כלומר קיים [math]\displaystyle{ M \in \mathbb{R} }[/math], כך שמתקיים: [math]\displaystyle{ \int_{0}^{1}l(x)dx=M }[/math].

[math]\displaystyle{ f }[/math] אינה חסומה [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] קיים [math]\displaystyle{ y \in (0,1] }[/math] כך שמתקיים: [math]\displaystyle{ |f(y)-f(1)|\gt M }[/math].

מכיוון ש[math]\displaystyle{ l(x) }[/math] חיובית ממש לכל אורכה, אזי לכל [math]\displaystyle{ a,b \in (0,1] }[/math] מתקיים: [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b}l(x)dx\gt 0 }[/math].

(זה לא ממש שיא הפורמליות) ועל כן:

[math]\displaystyle{ \int_{0}^{1}l(x)dx\gt \int_{y}^{1}l(x)dx\geq \int_{y}^{1}|f'(x)|dx\geq |\int_{y}^{1}f'(x)dx|=|f(1)-f(y)|\gt M }[/math]

סתירה.

2

א

נפצל את האינטגרל לשניים (את האמת זה סתם לצורך הפורמליות):

[math]\displaystyle{ \int_{1}^{\infty}e^{-ln^{2}x}dx=\int_{e^{2}}^{\infty}e^{-ln^{2}x}dx+\int_{1}^{e^{2}}e^{-ln^{2}x}dx }[/math]

האינטגרל השני מתכנס כי הפונקציה רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית בו.

נבדוק את ההתכנסות של האינטגרל הראשון:

ידוע כי עבור כל [math]\displaystyle{ x\geq e^{2} }[/math] מתקיים: [math]\displaystyle{ ln^{2}(x)\geq 2ln(x) }[/math]

ומכאן שמתקיים, [math]\displaystyle{ e^{-ln^{2}x}\leq \frac{1}{x^{2}} }[/math].

ולפי מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל [math]\displaystyle{ \int_{e^{2}}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}} }[/math] מתכנס ולכן גם [math]\displaystyle{ \int_{e^{2}}^{\infty}e^{-ln^{2}x}dx }[/math].

הראנו ששני החלקים מתכנסים ולכן האינטגרל מתכנס.

ב

השאלה הופיעה בתרגילי בית משנים קודמות: ראו שאלה 7

ג

האינטגרל מתכנס לפי מבחן דיריכלה

[math]\displaystyle{ g(x)=cosx }[/math], הינה פונקציה רציפה והאינטגרל שלה חסום בכל קטע סופי.

[math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x} }[/math] הינה פונקציה רציפה מונוטונית יורדת ששואפת ל0.

ולכן מתקיימים כל התנאים הנדרשים להפעלת המבחן.

ד

מתקיים: [math]\displaystyle{ \int_{1}^{\infty}\frac{|cosx|}{x}dx\geq\int_{1}^{\infty}\frac{cos^{2}x}{x}dx }[/math],

ולכן האינטגרל מתבדר לפי מבחן ההשוואה הראשון (לפי סעיף ה').

ה

[math]\displaystyle{ \int_{1}^{\infty}\frac{cos^{2}x}{x}dx=\int_{1}^{\infty}\frac{cos2x+1}{2x}dx=\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{2x}+\int_{1}^{\infty}\frac{cos2x}{2x}dx }[/math]

האינטגרל הוא סכום של אינטגרל מתבדר ואינטגרל מתכנס (לפי דיריכלה), ולכן האינטגרל מתבדר.

ו

מכיוון שיש לכאורה שני אינטגרלים בעייתים, נפצל את הביטוי לשניים ונוכיח התכנסות של כל אחד מהם בנפרד:

[math]\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}\frac{x-arctanx}{x(x^{2}+1)arctanx}dx=\int_{1}^{\infty}\frac{x-arctanx}{x(x^{2}+1)arctanx}dx+\int_{0}^{1}\frac{x-arctanx}{x(x^{2}+1)arctanx}dx }[/math]

האינטגרל השני: נראה שבעצם מדובר באינטגרל אמיתי, כי יש גבול בנק' הבעייתית 0.

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\frac{x-arctanx}{x(x^{2}+1)arctanx}=\lim_{x \to 0}\frac{x-arctanx}{x \cdot arctanx}={l'Hôpital}=\lim_{x \to 0}\frac{1-\frac{1}{x^{2}+1}}{arctanx+\frac{x}{x^{2}+1}}= }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\frac{1-\frac{1}{x^{2}+1}}{arctanx+\frac{x}{x^{2}+1}}=\lim_{x \to 0}\frac{x^{2}}{x+(x^{2}+1)arctanx}=l'Hôpital=\lim_{x \to 0}\frac{2x}{2+2xarctanx}=0 }[/math]

האינטגרל הראשון:

לפי מבחן ההשוואה הגבולי עם האינטגרל [math]\displaystyle{ \int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}} }[/math].

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}\frac{\frac{x-arctanx}{x(x^{2}+1)arctanx}}{\frac{1}{x^{2}}}=\lim_{x \to \infty}\frac{x^{3}-x^{2}arctanx}{x(x^{2}+1)arctanx}=\frac{2}{\pi} }[/math]

שני האינטגרלים מתכנסים, ולכן גם סמוכם מתכנס.

3

א

מופיע בתרגילי בית משנים קודמות: ראו פתרון לשאלה 6

4

שאלה זו (במלואה) הופיעה בתרגיל בית קודמים: ראו פתרון לתרגיל 2

5

נתון כי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] פונקציה רציפה [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] יש לה פונקציה קדומה [math]\displaystyle{ F(x) }[/math]

לפי נוסחאת ניוטון-לייבניץ' מתקיים: [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) }[/math]

ידוע כי [math]\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}f(x)dx=\infty }[/math], ולכן: [math]\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}F(x)=\infty }[/math]

לכן נוכל לכתוב את האינטגרל הלא אמיתי שאנו צריכים לחשב בצורה הבאה:

[math]\displaystyle{ \int_{1}^{\infty}\frac{f(x)}{F(x)-F(0)}dx=\int_{1}^{\infty}\frac{F'(x)}{F(x)-F(0)}dx }[/math]

אך לפני שנחשב את האינטגרל עלינו להסביר מדוע בכלל ניתן לדבר עליו:

[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] רציפה וחיובית [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] לכל [math]\displaystyle{ a,b\in[0,\infty) }[/math] מתקיים: [math]\displaystyle{ F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}f(x)dx\gt 0 }[/math],

ובפרט לכל [math]\displaystyle{ x\geq 1 }[/math] מתקיים: [math]\displaystyle{ F(x)-F(0)\gt 0 }[/math].

[math]\displaystyle{ F(x) }[/math] גזירה ולכן רציפה [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] הפונקציה [math]\displaystyle{ F(x)-F(0) }[/math] רציפה וחיובית.

מכיוון ששתי הפונקציות רציפות ו[math]\displaystyle{ F(x)-F(0) }[/math] חיובית [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] הפונקציה [math]\displaystyle{ \frac{f(x)}{F(x)-F(0)} }[/math] רציפה, ולכן אינטגרבילית על כל קטע סופי על הישר.

וכאן סיימנו להראות שניתן לדבר על האינטגרל הלא אמיתי.

כעת נוכל לחשב את האינטגרל עצמו:

לטעמי נוחות בלבד נסמן: [math]\displaystyle{ a:=F(1)-F(0) }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_{1}^{\infty}\frac{F'(x)}{F(x)-F(0)}dx=\begin{Bmatrix} t=F(x)-F(0)\\ dt=F'(x)dx \end{Bmatrix}=\int_{a}^{\infty}\frac{dt}{t}=\lim_{b \to \infty}ln(F(b)-F(0))-ln(F(a)-F(0))=\infty }[/math]

וסיימנו (: