בונוס ללינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע

שאלת הבונוס

תהי [math]\displaystyle{ A \in \mathbb{C}^{n} }[/math] הפיכה, ונתון ש [math]\displaystyle{ A^2 }[/math] לכסינה. הוכח ש[math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה.

יש פותרים לשאלת הבונוס. השאלה נפתרה בשלוש דרכים עיקריות:

1. הפותרים: רום דודקביץ ועידו קוטלר

[math]\displaystyle{ m_{A^2} }[/math] מתפרק לגורמים לינאריים כי אנחנו מעל המרוכבים. לכן [math]\displaystyle{ m_{A^2}=(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_k) }[/math] (החזקות הן אחד לפי התיקון/השלמה שנייה להרצאה כי [math]\displaystyle{ A^2 }[/math] לכסינה). המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה ולכן גם [math]\displaystyle{ A^2 }[/math] הפיכה, ולכן אין לה ע"ע אפס (לפי משפט). לכן לכל [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math] קיימים שני שורשים שונים [math]\displaystyle{ \pm\alpha_i }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ \alpha_i^2=\lambda_i }[/math].

[math]\displaystyle{ m_{A^2}(A^2)=0 }[/math] כלומר לכן

[math]\displaystyle{ 0=m_{A^2}(A^2)=(A^2-\alpha_1^2)\cdots(A^2-\alpha_k^2)=(A-\alpha_1)(A+\alpha_1)\cdots(A-\alpha_k)(A+\alpha_k)=0 }[/math].

נסמן [math]\displaystyle{ g=(x-\alpha_1)(x+\alpha_1)\cdots(x-\alpha_k)(x+\alpha_k) }[/math] וקבלנו ש[math]\displaystyle{ g(A)=0 }[/math] ולכן הפולינום המינימלי של [math]\displaystyle{ A }[/math] מחלק את [math]\displaystyle{ g(A) }[/math]. אבל [math]\displaystyle{ g }[/math] מכיל גורמים לינאריים בלבד ולכן גם הפולינום המינימלי של [math]\displaystyle{ A }[/math] מכיל גורמים לינאריים בלבד (שימו לב, אם אפס היה ע"ע אז היה גורם [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] לא לינארי). ולכן ולפי משפט (ראה תיקון/השלמה שנייה) [math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה.

2. הפותרים: דניאל ורדי-זר, אסף רוזן וניל וקסלר

אנחנו מעל המרוכבים אז לכל מטריצה יש צורת ז'ורדן. תהיי [math]\displaystyle{ J }[/math] צורת הז'ורדן של [math]\displaystyle{ A }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ A=P^{-1}JP }[/math], נעלה בריבוע ונקבל [math]\displaystyle{ A^2=P^{-1}J^2P }[/math]כלומר [math]\displaystyle{ A^2 }[/math] ו [math]\displaystyle{ J^2 }[/math] דומות.

נניח בשלילה ש[math]\displaystyle{ A }[/math] לא לכסינה ונוכיח שנובע ש[math]\displaystyle{ J^2 }[/math] לא לכסינה וזו סתירה לכך ש[math]\displaystyle{ A^2 }[/math] לכסינה.

[math]\displaystyle{ J }[/math] היא סכום ישר של בלוקים, ולכן [math]\displaystyle{ J^2 }[/math] היא סכום ישר של הבלוקים של [math]\displaystyle{ J }[/math] בריבוע. הנחנו ש[math]\displaystyle{ A }[/math] לא לכסינה, לכן בצורת הז'ורדן שלה [math]\displaystyle{ J }[/math] יש בלוק בגודל גדול או שווה ל2 (אחרת כל הבלוקים בגודל אחד וזו מטריצה אלכסונית).

נניח [math]\displaystyle{ J_r(\lambda) }[/math] בלוק ז'ורדן ב[math]\displaystyle{ J }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ r\geq 2 }[/math]. מכיוון ש[math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה אין לה ע"ע אפס! ולכן [math]\displaystyle{ \lambda \neq 0 }[/math]. לכן בהכרח (תרגיל) [math]\displaystyle{ J_r(\lambda)^2 }[/math] מכיל איברים שאינם אפסים מעל האלכסון, והאלכסון שלו מכיל את [math]\displaystyle{ \lambda^2 }[/math]. ולכן [math]\displaystyle{ rank(J_r(\lambda)^2-\lambda^2I)\gt 0 }[/math]. לכן יש ל [math]\displaystyle{ J_r(\lambda)^2 }[/math] פחות מ [math]\displaystyle{ r }[/math] וקטורים עצמיים בת"ל.

לפי משפט, כמות הוקטורים העצמיים הבת"ל של מטריצה שהיא סכום ישר של מטריצות, היא סכום כמויות הוקטורים העצמיים הבת"ל בכל אחת מן המטריצות. זה נכון כי [math]\displaystyle{ rank(A\oplus B)=rankA+rankB }[/math]. אבל הראנו שיש בסכום הישר של המטריצה [math]\displaystyle{ J^2 }[/math] את הבלוק [math]\displaystyle{ J_r(\lambda)^2 }[/math] שתורם פחות מ [math]\displaystyle{ r }[/math] וקטורים עצמיים בת"ל. ולכן לכל המטריצה [math]\displaystyle{ J^2 }[/math] יש פחות מ[math]\displaystyle{ n }[/math] וקטורים עצמיים בת"ל, ולכן היא לא לכסינה. סתירה.

3. הפותר: עדן קופרווסר

אנחנו מעל המרוכבים, ולכן [math]\displaystyle{ A }[/math] דומה למטריצה משולשית [math]\displaystyle{ U }[/math] שבאלכסון שלה נמצאים הע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ A^2=P^{-1}D^2P }[/math] כלומר הע"ע של [math]\displaystyle{ A^2 }[/math] הם בדיוק הריבועים של הע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math].

נוכיח שהמרחב העצמי של [math]\displaystyle{ A^2 }[/math] עבור הע"ע [math]\displaystyle{ \lambda_i^2 }[/math] (נסמן אותו ב[math]\displaystyle{ V_{\lambda_i^2}^{A^2} }[/math]), שווה לסכום המרחבים העצמיים של [math]\displaystyle{ A }[/math] עבור הע"ע [math]\displaystyle{ \pm\lambda_i }[/math] (נסמן אותם ב[math]\displaystyle{ V_{\pm\lambda_i}^A }[/math]. כלומר נוכיח ש [math]\displaystyle{ V_{\lambda_i^2}^{A^2} = V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A }[/math].

דבר ראשון נראה שהסכום הוא אכן ישר. נניח [math]\displaystyle{ w \in V_{\lambda_i}^A }[/math] אזי [math]\displaystyle{ Aw=\lambda_i w }[/math] וגם [math]\displaystyle{ w \in V_{-\lambda_i}^A }[/math] אזי [math]\displaystyle{ Aw=-\lambda_i w }[/math] לכן ההפרש בינהם יוצא [math]\displaystyle{ 0=Aw-Aw=2\lambda_iw }[/math]. כעת, נתון ש[math]\displaystyle{ A }[/math] לא הפיכה ולכן 0 לא ע"ע שלה. ולכן [math]\displaystyle{ w=0 }[/math] כלומר הסכום הוא ישר.

דבר שני, נראה הכלה בכיוון ראשון. נניח [math]\displaystyle{ w \in V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A }[/math] אזי [math]\displaystyle{ w=v_1+v_2 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ Aw=Av_1+Av_2=\lambda_i v_1-\lambda_i v_2 }[/math] ונכפול שוב במטריצה לקבל [math]\displaystyle{ A^2w=\lambda_i^2v_1+\lambda_i^2v_2=\lambda_i^2w }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ w \in V_{\lambda_i^2}^{A^2} }[/math]. ולכן [math]\displaystyle{ V_{\lambda_i^2}^{A^2} \supseteq V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A }[/math].

בכיוון ההפוך, נניח [math]\displaystyle{ w \in V_{\lambda_i^2}^{A^2} }[/math] לכן [math]\displaystyle{ (A^2-\lambda_i^2I)w=0 }[/math] לכן [math]\displaystyle{ (A-\lambda_iI)(A+\lambda_iI)w=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ (A+\lambda_iI)(A-\lambda_iI)w=0 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ (A+\lambda_iI)w=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ w \in V_{-\lambda_i}^A }[/math] וסיימנו. אם [math]\displaystyle{ (A-\lambda_iI)w=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ w \in V_{\lambda_i}^A }[/math] וסיימנו.

אם שתי האופציות לא נכונות, כלומר [math]\displaystyle{ (A-\lambda_iI)w \neq 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ (A+\lambda_iI)w \neq 0 }[/math] אזי נסמן [math]\displaystyle{ u_1=(A+\lambda_iI)w }[/math] ונסמן [math]\displaystyle{ u_2=(A-\lambda_iI)w }[/math].

מהמשוואות למעלה רואים ש [math]\displaystyle{ (A-\lambda_iI)u_1=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ (A+\lambda_iI)u_2=0 }[/math]. לכן הם שייכים למרחבים העצמיים המתאימים של [math]\displaystyle{ A }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ u_1-u_2 \in V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A }[/math]. אבל [math]\displaystyle{ u_1-u_2=Aw+\lambda_iw-Aw + \lambda_iw = 2\lambda_iw }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ 2\lambda_iw \in V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ w \in V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ V_{\lambda_i^2}^{A^2} \subseteq V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A }[/math].

מכיוון שהראנו הכלה דו-כיוונית אזי [math]\displaystyle{ V_{\lambda_i^2}^{A^2} = V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A }[/math] כפי שרצינו להוכיח.

כעת, [math]\displaystyle{ A^2 }[/math] לסכינה, ולכן סכום הריבויים הגיאומטרים של הע"ע שלה שווה [math]\displaystyle{ n }[/math]. אבל הריבוי הגיאומטרי זה מימד המרחב העצמי, ולכן [math]\displaystyle{ \sum_idim(V_{\lambda_i^2}^{A^2})=n }[/math] אבל זה שווה [math]\displaystyle{ n=\sum_idim(V_{\lambda_i^2}^{A^2})=\sum_i[dim(V_{\lambda_i}^A)+dim(V_{-\lambda_i}^A)] }[/math] אבל זה בדיוק סכום הריבויים הגיאומטריים של [math]\displaystyle{ A }[/math], ויצא לנו שהוא גם כן שווה [math]\displaystyle{ n }[/math]. ולכן [math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה.