הלמה של קנטור

חזרה למשפטים באינפי

הלמה של קנטור

תהי [math]\displaystyle{ I_n }[/math] סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה [math]\displaystyle{ I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots }[/math], כך שאורך הקטעים שואף לאפס. אזי קיימת נקודה יחידה [math]\displaystyle{ c }[/math] הנמצאת בכל הקטעים.

הוכחה

נסמן [math]\displaystyle{ I_n=[a_n,b_n] }[/math] . לפי הנתון שהקטעים מוכלים זה בזה, ניתן להסיק כי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מונוטונית עולה וחסומה על-ידי [math]\displaystyle{ b_1 }[/math] , ואילו [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מונוטונית יורדת וחסומה על-ידי [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] .

לכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. כיון שאורך הקטעים שואף לאפס, [math]\displaystyle{ \lim |b_n-a_n|=0 }[/math] ולכן גבול הסדרות זהה. נוכיח כי הנקודה

[math]\displaystyle{ c=\lim a_n=\lim b_n }[/math]

מקיימת את הדרוש.

נניח בשלילה, כי קיים קטע כך ש- [math]\displaystyle{ c\notin[a_k,b_k] }[/math] . לכן [math]\displaystyle{ c\lt a_k }[/math] או [math]\displaystyle{ c\gt b_k }[/math] וכיון שאילו סדרות מונוטוניות, הגבול שלהן שונה מ- [math]\displaystyle{ c }[/math] בסתירה. ([math]\displaystyle{ \lim a_n\ge a_k\gt c }[/math] או [math]\displaystyle{ \lim b_n\le b_k\lt c }[/math])

לכן הנקודה [math]\displaystyle{ c }[/math] שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת [math]\displaystyle{ c\ne d }[/math] השייכת לכל הקטעים. לכן אורך כל הקטעים הוא לפחות [math]\displaystyle{ |d-c|\gt 0 }[/math] בסתירה לכך שהאורך שואף לאפס.