מד״ר מסדר שני

הצורה הכללית של מד״ר כזו היא [math]\displaystyle{ F(x,y,y',y'')=0 }[/math], והפתרון הוא מהצורה [math]\displaystyle{ y=\varphi(x,c_1,c_2) }[/math].

בעיית קושי מסדר 2

זו בעיה שבה אנו נדרשים לפתור מד״ר עם שני תנאי התחלה [math]\displaystyle{ \begin{cases}y(x_0)=y_0\\y'(x_0)=y_0'\end{cases} }[/math] (מובן ש־[math]\displaystyle{ y_0' }[/math] אינו הנגזרת של הקבוע [math]\displaystyle{ y_0 }[/math], אלא ערך הנגזרת בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]).

סוגים נפוצים

סוג 1

מתקיים [math]\displaystyle{ y^{(n)}=f(x) }[/math]. ניתן לפתור זאת ע״י אינטגרציה [math]\displaystyle{ n }[/math] פעמים (במקרה שלנו, [math]\displaystyle{ n=2 }[/math]).

סוג 2

אלה מד״ר שבהן ניתן להוריד את סדר המשוואה. עבור מד״ר מסדר 2, נחלק לשני מקרים:

מקרה 1

[math]\displaystyle{ y }[/math] לא מופיע במשוואה, כלומר המשוואה מהצורה [math]\displaystyle{ y''=f(x,y') }[/math]. במקרה זה נציב [math]\displaystyle{ z=y' }[/math] ונקבל מד״ר מסדר ראשון.

תרגיל

פתרו את המד״ר [math]\displaystyle{ y''=x y' }[/math].

פתרון

נציב [math]\displaystyle{ z=y' }[/math] ולכן:	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ z'=xz }[/math]	[math]\displaystyle{ \implies }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{z'}z=x }[/math]	[math]\displaystyle{ \implies }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \int\frac{\mathrm dz}z=\int x\mathrm dx }[/math]	[math]\displaystyle{ \implies }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \ln\vert z\vert=\frac{x^2}2+c_0 }[/math]	[math]\displaystyle{ \implies }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
נסמן [math]\displaystyle{ c_1:=\mathrm e^{c_0} }[/math]:	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ z=y'=c_1\mathrm e^{\frac{x^2}2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \implies }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ y=c_1\int\mathrm e^{\frac{x^2}2}\mathrm dx }[/math]	[math]\displaystyle{ \implies }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

מקרה 2

[math]\displaystyle{ x }[/math] לא מופיע במשוואה, כלומר המד״ר מהצורה [math]\displaystyle{ y''=f(y,y') }[/math]. שוב נגדיר [math]\displaystyle{ z=y' }[/math], ואז [math]\displaystyle{ y''=z'=\frac{\mathrm dz}{\mathrm dy}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=z_y' z }[/math]. המד״ר הופכת ל־[math]\displaystyle{ zz_y'=f(y,z) }[/math], כלומר מד״ר מסדר ראשון של [math]\displaystyle{ y,z }[/math]. נובע ש־[math]\displaystyle{ x=\int\frac{\mathrm dy}z }[/math].

תרגיל

פתרו [math]\displaystyle{ yy''-2(y')^2=0 }[/math].

פתרון

נציב [math]\displaystyle{ z }[/math] באופן הנ״ל ונקבל

[math]\displaystyle{ \begin{align}&y\frac{\mathrm dz}{\mathrm dy}z=2z^2\\\implies&\int\frac{\mathrm dz}{2z}=\int\frac{\mathrm dy}y\\\implies&\frac12\ln|z|=\ln|y|+C_1\\\implies&z=C_2y^2\\\implies&\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=C_2y^2\\\implies&\int\frac{\mathrm dy}{y^2}=\int C_2\mathrm dx\\\implies&-\frac1y=C_2x+C_3\\\implies&y=\frac{c_2}{c_1x+1}\end{align} }[/math]

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

משוואות ריקטי

אלה מד״ר מהצורה [math]\displaystyle{ y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0 }[/math]. פתרון כללי של משוואת ריקטי הוא מהצורה [math]\displaystyle{ y=\frac{c a(x)+b(x)}{c A(x)+B(x)} }[/math], ולכל ביטוי מהצורה הנ״ל קיימת משוואת ריקטי מתאימה.

הוכחה

ראשית, נוכיח שלכל ביטוי מהצורה הנ״ל קיימת משוואת ריקטי מתאימה: מתקיים [math]\displaystyle{ y\cdot(cA+B)=ca+b }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ c(yA-a)-b+yB=0 }[/math]. נגזור את שני האגפים ונקבל [math]\displaystyle{ c(y'A+A'y-a')-b'+(y'B+B'y)=0 }[/math]. נציג את שתי המשוואות האחרונות בצורה [math]\displaystyle{ {\color{Blue}\begin{pmatrix}y'A+A'y-a'&-b'+y'B+B'y\\yA-a&-b+yB\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}c\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} }[/math] ונשים לב שהמטריצה הכחולה מאפסת וקטור שאינו וקטור האפס, ולפיכך הדטרמיננטה שלה היא 0: [math]\displaystyle{ \begin{vmatrix}y'A+A'y-a'&-b'+y'B+B'y\\yA-a&-b+yB\end{vmatrix}=0 }[/math]. נחשב את הדטרמיננטה ונגלה ש־[math]\displaystyle{ y'+y^2\frac{AB'-B'a}{Ab-aB}+y\frac{a'B-A'B-Ab'-aB'}{bA-aB}+\frac{ab'-a'b}{bA-aB}=0 }[/math], כדרוש.

לצד השני, יהי [math]\displaystyle{ y_z(x) }[/math] פתרון רגולרי של משוואת ריקטי. נציב במד״ר [math]\displaystyle{ y(x)=y_z(x)+z(x) }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ z }[/math] פונקציה לא ידועה) ונגלה ש־

	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ z'+y_z'+f(x)\left(z^2+2zy_z+y_z^2\right)+g(x)(y_z+z)+h(x)=0 }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \Big(z'+z^2+(2f(x)y_z+g(x))z\Big)+\Big(y_z'+f(x)y_z^2+g(x)y_z+h(x)\Big)=0 }[/math]	[math]\displaystyle{ \implies }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ y_z }[/math] פתרון, לכן:	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ z'+z^2+(2f(x)y_z+g(x))z=0 }[/math]	[math]\displaystyle{ \implies }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ z }[/math] פתרון של משוואת ברנולי עם [math]\displaystyle{ y^2 }[/math], ולפיכך הוא מהצורה [math]\displaystyle{ z=\frac1{c\alpha(x)+\beta(x)} }[/math]. לבסוף הפתרון מהצורה [math]\displaystyle{ y=y_z+z=\frac{cy_z(x)\alpha(x)+y_z(x)z(x)+1}{c\alpha(x)+\beta(x)} }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

מערכת מד״ר מסדר ראשון

זו מערכת מהצורה [math]\displaystyle{ \vec F(x,\vec y,\vec y\,')=0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \vec F }[/math] היא מערכת של [math]\displaystyle{ n }[/math] פונקציות. המערכת היא ב־[math]\displaystyle{ 2n+1 }[/math] משתנים. בצורה נורמלית: [math]\displaystyle{ \vec y\,'=\vec f(x,\vec y) }[/math]. לפיכך הפתרון הכללי הינו מהצורה [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\varphi_1(x,c_1,c_2)\\\varphi_2(x,c_1,c_2)\end{pmatrix} }[/math]. לדוגמה, [math]\displaystyle{ \begin{cases}y_1'+\sin(x)+y_1y_2x^2=0\\\frac{y_1'}{y_2}+\frac{y_2'}{y_1}+\cos(x)=0\end{cases} }[/math] היא מערכת מד״ר.

בעיית קושי

במערכת מד״ר מסדר 1, בעיית קושי היא לפתור את המד״ר עם תנאי ההתחלה [math]\displaystyle{ \vec y(x_0)=\vec y_0 }[/math].

משפט

מד״ר מסדר [math]\displaystyle{ n }[/math] (נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית) שקולה למערכת של [math]\displaystyle{ n }[/math] מד״ר מסדר ראשון (נורמליות/לינאריות/לינאריות־והומוגניות). אם למד״ר מסדר גבוה נתונים ערכי ההתחלה [math]\displaystyle{ y(x_0),y'(x_0),\dots,y^{(n-1)}(x_0) }[/math] אז המד״ר שקולה לבעיית קושי עבור המערכת.

הוכחה

נתונה המד״ר [math]\displaystyle{ F\left(x,y,y',\dots,y^{(n)}\right)=0 }[/math] ונסמן [math]\displaystyle{ \forall k=1,\dots, n-1:\ y_k=y^{(k)} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ F(x,y,y_1,y_2,\dots,y_{n-1},y_{n-1}')=0 }[/math]. נוסיף את המד״ר הבאות: [math]\displaystyle{ \forall k=1,\dots,n-1:\ y_k=y_{k-1}' }[/math]. המערכת שקולה למד״ר המקורית והיא נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית בהתאם למערכת המקורית. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה

[math]\displaystyle{ y^{(3)}+x^2y''+\sin(x)y=0 }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ z=y' }[/math] ו־[math]\displaystyle{ w=z'=y'' }[/math] ולפיכך [math]\displaystyle{ \begin{cases}w'+x^2w+\sin(x)y=0\\z=y'\\w=z'\end{cases} }[/math].

מד״ר סתומות מסדר 1

אלה מד״ר [math]\displaystyle{ F(x,y,y')=0 }[/math] שאנו לא יודעים כיצד להביאן לצורה נורמלית.

סוגים נפוצים

מקרה 1

משוואה מסדר 1 וממעלה [math]\displaystyle{ n }[/math]: [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1}p_k(x,y)(y')^k+(y')^n=0 }[/math]. מכאן שקיימות פונקציות [math]\displaystyle{ f_k,\quad k\in\{1,2,\dots,n\} }[/math] שעבורן [math]\displaystyle{ \prod_{k=1}^n\Big(y'-f_k(x,y)\Big)=0 }[/math].

תרגיל

פתרו [math]\displaystyle{ (y')^2-\frac{xy}{a^2}=0 }[/math].

פתרון

[math]\displaystyle{ \begin{align}&\left(y'-\frac\sqrt{xy}a\right)\left(y'+\frac\sqrt{xy}a\right)=0\\\implies&y'=\pm\frac\sqrt{xy}a\\\implies&\frac{y'}\sqrt y=\pm\frac\sqrt xa\\\implies&\int\frac{\mathrm dy}\sqrt y=\pm\int\frac\sqrt xa\mathrm dx\\\implies&2\sqrt y=\pm\frac{2x^{3/2}}{3a}+c\\\implies&y=\frac14\left(c\pm\frac{2\sqrt x^3}{3a}\right)^2\end{align} }[/math]

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

מקרה 2

[math]\displaystyle{ x }[/math] לא מופיעה במד״ר. צורתה [math]\displaystyle{ F(y,y')=0 }[/math], ובהצבת [math]\displaystyle{ z=y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ F(y,z)=0 }[/math]. נשים לב ש־[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm dy}z=\mathrm dx }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ x=\int\mathrm dx=\int\frac{\mathrm dy}z=\frac yz+\int\frac y{z^2}\mathrm dz }[/math]. לפיכך, אם [math]\displaystyle{ y=\varphi(z) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x=\frac{\varphi(z)}z+\int\frac{\varphi(z)}{z^2}\mathrm dz }[/math].

תרגיל

פתרו [math]\displaystyle{ y=(y')^2+2(y')^3 }[/math].

פתרון

נסמן [math]\displaystyle{ z=y' }[/math] ונציב במד״ר: [math]\displaystyle{ y=z^2+2z^3 }[/math]. עתה [math]\displaystyle{ x=\frac yz+\int\frac y{z^2}\mathrm dz=\frac{z^2+2z^3}z+\int(1+2z)\mathrm dz=c+z+2z^2+z+z^2=c+2z+3z^2=c+2y'+3(y')^2 }[/math], וזו מד״ר ממקרה 1, שאותו אנו כבר יודעים לפתור. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

מקרה 3

[math]\displaystyle{ y }[/math] לא מופיעה, [math]\displaystyle{ F(x,y')=0 }[/math]. שוב נציב [math]\displaystyle{ z=y' }[/math], ונניח [math]\displaystyle{ x=\varphi(y')=\varphi(z) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ y=\int z\mathrm dx=zx-\int x\mathrm dz=z\cdot\varphi(z)-\int\varphi(z)\mathrm dz }[/math].

תרגיל

פתרו [math]\displaystyle{ x=y'\sin(y') }[/math].

פתרון

אחרי הצבה [math]\displaystyle{ z=y' }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ x=z\sin(z) }[/math] ולבסוף [math]\displaystyle{ y=z\cdot z\sin(z)-\int z\sin(z)\mathrm dz=c+z^2\sin(z)+z\cos(z)-\sin(z) }[/math]. נציב חזרה [math]\displaystyle{ z=y' }[/math] ונקבל את מקרה 2. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

מקרה 4

[math]\displaystyle{ y }[/math] מופיעה ו־[math]\displaystyle{ x }[/math] לא, כלומר [math]\displaystyle{ F(y,y')=0 }[/math], והמד״ר סתומה. כרגיל, נגדיר [math]\displaystyle{ z=y' }[/math]. אם [math]\displaystyle{ y=\varphi(t) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ z=\psi(t) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \mathrm dy=\psi(t)\mathrm dx=\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dt}(t)\mathrm dt=\varphi_t'(t)\mathrm dt }[/math], ומכאן ש־[math]\displaystyle{ \mathrm dx=\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt }[/math]. לבסוף, [math]\displaystyle{ \begin{cases}x=\int\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt\\y=\varphi(t)\end{cases} }[/math].

תרגיל

פתרו [math]\displaystyle{ y=a\sqrt{1+(y')^2} }[/math].

פתרון

נסמן [math]\displaystyle{ \psi(t)=\sinh(t)=z }[/math], נציב במד״ר ונקבל [math]\displaystyle{ y=a\cosh(t)=\varphi(t) }[/math]. כמו כן, [math]\displaystyle{ x=\int\frac{a\sinh(t)}{\sinh(t)}\mathrm dt=at+c_1 }[/math]. עתה, [math]\displaystyle{ t=\frac{x+c}a }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ y=a\cosh\left(\frac{x+c}a\right) }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

מקרה 5

[math]\displaystyle{ x }[/math] מופיעה ו־[math]\displaystyle{ y }[/math] לא, כלומר [math]\displaystyle{ F(x,y')=0 }[/math], והמד״ר סתומה. נציב [math]\displaystyle{ z=y',x=\varphi(t) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ F(\varphi(t),z)=0 }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ z=\psi(t) }[/math] ונגלה כי [math]\displaystyle{ \mathrm dx=\varphi_t'(t)\mathrm dt=\frac{\mathrm dy}{\psi(t)} }[/math]. מאינטגרציה ולפי הגדרת [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \begin{cases}y=\int\psi(t)\varphi_t'(t)\mathrm dt\\x=\varphi(t)\end{cases} }[/math].