ערך מוחלט ואי שיוויונים

הערך המוחלט של מספר ממשי הוא האורך שלו, כלומר המרחק שלו מראשית הציר. לדוגמא:

[math]\displaystyle{ |7|=|-7|=7 }[/math]

ההגדרה המדוייקת של הערך המוחלט היא:

[math]\displaystyle{ |x|=\begin{cases}x & x\geq 0 \\ -x & x\lt 0\end{cases} }[/math]

תכונות של הערך המוחלט

לכל x מתקיים [math]\displaystyle{ |x|\geq 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ |x|=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ |x\cdot y| = |x|\cdot |y| }[/math]

[math]\displaystyle{ (|x|)^2=x^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ x\leq |x| }[/math]

אי שיוויון המשולש: [math]\displaystyle{ |x+y|\leq |x|+|y| }[/math]

[math]\displaystyle{ ||x|-|y||\leq |x-y| }[/math]

[math]\displaystyle{ |x-y| }[/math] הוא המרחק בין x לבין y

נניח [math]\displaystyle{ L\geq 0 }[/math] אזי
- [math]\displaystyle{ |x|\leq L }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ -L\leq x\leq L }[/math]
- [math]\displaystyle{ |x|\geq L }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x\geq L }[/math] או [math]\displaystyle{ x\leq -L }[/math]

תכונות של אי שיוויונים

[math]\displaystyle{ x\leq y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ -x\geq -y }[/math]

נניח [math]\displaystyle{ 0\leq x,y }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x\leq y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x^2\leq y^2 }[/math]

נניח [math]\displaystyle{ 0\lt x,y }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x\leq y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} \geq \frac{1}{y} }[/math]

תרגילים

תרגיל: הוכח את אי שיוויון המשולש

תרגיל: הוכח כי [math]\displaystyle{ ||x|-|y||\leq |x-y| }[/math]

תרגיל: יהיו [math]\displaystyle{ x,y,z\in\mathbb{R} }[/math] מספרים ממשיים. יהי [math]\displaystyle{ 0\lt \epsilon\in\mathbb{R} }[/math] מספר ממשי חיובי. עוד נניח כי מתקיים:

[math]\displaystyle{ |x-y|\leq \frac{\epsilon}{2}, |y-z|\leq \frac{\epsilon}{2} }[/math]

הוכח כי [math]\displaystyle{ |x-z|\leq \epsilon }[/math]

תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

[math]\displaystyle{ |2x-1|\gt |x-1| }[/math]

תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

[math]\displaystyle{ (x-a)(x-b)\gt 0 }[/math]

(חלק למקרים כאשר a=b וכאשר a שונה מ-b)

תרגיל: נגדיר פונקציה f כך שאם n זוגי אזי [math]\displaystyle{ f(n)=2n }[/math] ואם n אינו זוגי אזי [math]\displaystyle{ f(n)=\frac{n}{2} }[/math]

האם יש פתרון למשוואה [math]\displaystyle{ f(n)=7 }[/math]?

תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

[math]\displaystyle{ |x^2-5x+4|\gt |x^2-5x| }[/math]

אי שיוויונים מעריכיים

נניח [math]\displaystyle{ a\gt 1 }[/math], אזי

[math]\displaystyle{ a^x\leq a^y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x\leq y }[/math]

תרגיל: נניח כי [math]\displaystyle{ a\lt 1 }[/math] הוכח כי:

[math]\displaystyle{ a^x\leq a^y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x\geq y }[/math]

תרגיל: מצא לאילו ערכים של [math]\displaystyle{ a,x }[/math] מתקיים אי השיוויון הבא:

[math]\displaystyle{ a^x\lt 1 }[/math]

תרגיל: מצא לאילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

[math]\displaystyle{ |x-1|^{x^2+2x} \lt \frac{1}{|x-1|} }[/math]

תרגיל: הראה כי

אם [math]\displaystyle{ a\gt 1 }[/math] אזי

[math]\displaystyle{ \log_a(x)\leq\log_a(y) }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ 0\lt x\leq y }[/math]

ואם [math]\displaystyle{ a\lt 1 }[/math] אזי

[math]\displaystyle{ \log_a(x)\leq\log_a(y) }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ 0\lt y\leq x }[/math]

תרגיל: מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

[math]\displaystyle{ \log_3(x)\gt log_9(x+1) }[/math]