מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/6
וקטורים
באופן דומה למישור המרוכב, וקטור ניתן להצגה בשתי דרכים: גאומטרית ואלגברית. אלגברית, וקטור הוא נקודה כללית במרחב [math]\displaystyle{ (a_1,a_2,...,a_n) }[/math]. גאומטרית, וקטור הוא שילוב של אורך וכיוון.
באופן גיאומטרי, החיבור בין שני וקטורים הוא אלכסון המקבילית הנוצרת בינהן. מבחינה אלגברית [math]\displaystyle{ (a,b,c)+(d,e,f)=(a+d,b+e,c+f) }[/math]
כל וקטור במישור ניתן לפירוק לרכיבים שלו על כל אחד מהצירים, זה שקול למעבר מהצורה הפולרית לצורה הקרטזית. פירוק זה משמש אותנו בעיקר בפיסיקה, כאשר אנו מעוניינים לדעת כיצד כוח בזוית מסויימת משפיע על גוף בזוית אחרת- למשל כיצד כוח המשיכה משפיע על קרונית במדרון, מהי הזוית הטובה ביותר לזרוק כדור למרחק וכדומה.
הגדרות:
- אורך וקטור (לפי פיתגורס) הוא
- [math]\displaystyle{ |(a,b,c)|=\sqrt{a^2+b^2+c^2} }[/math]
זהו למעשה מרחק הנקודה במרחב מראשית הצירים.
- המרחק בין שני וקטורים v,u הוא [math]\displaystyle{ |v-u| }[/math]
- המכפלה הסקלרית בין שני וקטורים היא [math]\displaystyle{ (a,b,c)\cdot(x,y,z)=ax+by+cz }[/math].
- [math]\displaystyle{ |u|^2=u\cdot u }[/math]
- מכפלה בקבוע מוגדרת על ידי [math]\displaystyle{ \alpha(x,y,z)=(\alpha x,\alpha y,\alpha z) }[/math]
- הזוית בין שני הוקטורים v,u מקיימת
- [math]\displaystyle{ cos\theta = \frac{v\cdot u}{|v|\cdot |u|} }[/math]
הוכחה:
נזכר במשפט הקוסינוסים במשולש בעל צלעות באורכים a,b,c:
- [math]\displaystyle{ c^2=a^2+b^2-2abcos(\gamma) }[/math]
כאשר [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] היא הזוית בין הצלעות המתאימות לa,b
אורך הצלע השלישית במשולש הנוצר על ידי שני הוקטורים הנתונים u,v היא [math]\displaystyle{ |v-u| }[/math]
ולכן בסימונים שלנו:
- [math]\displaystyle{ |v-u|^2=|u|^2+|v|^2-2|u||v|cos\theta }[/math]
- [math]\displaystyle{ cos\theta = \frac{v\cdot v + u\cdot u - (v-u)\cdot (v-u)}{2|u||v|} = \frac{v\cdot u}{|u||v|} }[/math]
- המכפלה הוקטורית בין שני וקטורים במרחב היא [math]\displaystyle{ (a,b,c)\cdot(x,y,z)=(bz-cy,cx-az,ay-bx) }[/math]
תרגילים
- הוכח כי שני וקטורים במישור מאונכים זה לזה אם"ם המכפלה הסקלרית בינהם היא אפס.
הערה: הדבר נכון גם לוקטורים במרחב.
- הוכח כי [math]\displaystyle{ |v|=\sqrt{v\cdot v} }[/math]
- הוכח כי כפל בקבוע משנה את האורך באופן הבא: [math]\displaystyle{ |\alpha\cdot v|=|\alpha|\cdot |v| }[/math] (שימו לב שזה הערך המוחלט של הקבוע, כפול אורך הוקטור).
- הוכח כי לכל שלושה וקטורים וקבוע מתקיים [math]\displaystyle{ (u+\alpha v)\cdot w=u\cdot w+\alpha v\cdot w }[/math]
- הוכח את אי שיוויון המשולש לוקטורים במישור [math]\displaystyle{ |u+v|\leq |u|+|v| }[/math]
- הוכח כי המכפלה הוקטורית בין שני וקטורים v,u מאונכת גם לv וגם לu (באמצעות המכפלה הפנימית)
היטל
היטל של וקטור v על קו ישר הנפרש על ידי וקטור u הינו וקטור על הקו הישר ([math]\displaystyle{ \alpha u }[/math]) כך שההפרש [math]\displaystyle{ v-\alpha u }[/math] מאונך לישר.
מבחינה גיאומטרית, ההיטל הוא הנקודה הקרובה ביותר לוקטור v על הישר.
מבחינה פיזיקלית, ההיטל הוא הרכיב של v בכיוון הישר.
נמצא נוסחא להיטל. דרשנו כי ההפרש בין הוקטור להיטל יהיה מאונך לישר, לכן:
- [math]\displaystyle{ u\cdot (v-\alpha u) = 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ u\cdot v - u\cdot\alpha u = 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \alpha = \frac{u\cdot v}{u\cdot u} }[/math]
ולכן ההיטל של v על הישר הנפרש על ידי הוקטור u הינו:
- [math]\displaystyle{ (\frac{u\cdot v}{|u|^2})u }[/math]
מצד שני, אנו יודעים כי הזוית בין v לu מקיימת
- [math]\displaystyle{ cos\theta = \frac{v\cdot u}{|v||u|} }[/math]
ולכן אנו מקבלים נוסחא שניה להיטל המזכירה את הפירוק הפיסיקלי לרכיבים:
- [math]\displaystyle{ (\frac{|v|}{|u|}cos\theta) u }[/math]
צורות גיאומטריות במישור
נתאר מספר צורות גיאומטריות בסיסיות וחשובות:
- 'ישר
- באופן אלגברי במישור: אוסף הנקודות המקיימות משוואה מהצורה [math]\displaystyle{ Ax+By=D }[/math]
- באופן פרמטרי כללי: בהינתן נקודת התחלה ווקטור כיוון, אוסף הנקודות מהצורה [math]\displaystyle{ \vec{v_0}+t\vec{v} }[/math]
- מעגל הוא אוסף נקודות המקיימות משוואה מהצורה [math]\displaystyle{ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 }[/math]
במרחב:
- מישור
- באופן אלגברי במרחב: אוסף הנקודות המקיימות משוואה מהצורה [math]\displaystyle{ Ax+By+Cz=D }[/math]
- באופן פרמטרי כללי: בהנתן נקודת התחחלה ושני וקטורי כיוון [math]\displaystyle{ \vec{v_0}+t\vec{v_1}+s\vec{v_2} }[/math]
תרגילים
- מצא את משוואת הישר העובר בין הנקודות [math]\displaystyle{ (2,2),(1,2) }[/math]
- מצא את משוואת המישור העובר בין שלושת הנקודות [math]\displaystyle{ (1,1,0),(0,0,0),(0,1,1) }[/math]
- מצא את משוואת הישר המאונך לוקטור [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math] (היוצא מראשית הצירים) ועובר בנקודה [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math]
- מצא את הכיוון המאונך למישור שמשוואתו [math]\displaystyle{ x+2y-3z=5 }[/math]
פתרון:
ישר המאונך למישור, לפי הגדרה, מאונך לכל קו ישר העובר במישור. כל כיוון של קו ישר העובר במישור מיוצר על ידי הפרש בין שתי נקודות במישור.
ניקח שתי נקודות כלליות במישור המיוצג על ידי המשוואה [math]\displaystyle{ Ax+By+Cz=D }[/math] ונגלה כי
- [math]\displaystyle{ (A,B,C)\cdot (u_1-u_2)=0 }[/math]
ולכן הכיוון המאונך למישור הנתון הוא [math]\displaystyle{ (1,2,-3) }[/math]