משפט ההגדרה

חזרה למשפטים בלינארית

משפט ההגדרה

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו נוצר סופית, ויהי [math]\displaystyle{ B=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} }[/math] בסיס ל־[math]\displaystyle{ V }[/math].

יהי [math]\displaystyle{ W }[/math] מ"ו נוצר סופית ויהיו [math]\displaystyle{ \mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n }[/math] וקטורים כלשהם (לא בהכרח שונים).

אזי קיימת העתקה לינארית יחידה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] המקיימת:

[math]\displaystyle{ \begin{align}T(\mathbf{v}_1)&=\mathbf{w}_1\\&\vdots\\T(\mathbf{v}_n)&=\mathbf{w}_n\end{align} }[/math]

הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ \mathbf{v}\in V }[/math]. אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס [math]\displaystyle{ B }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{v}=a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n }[/math]

לכן ניתן להגדיר היטב העתקה [math]\displaystyle{ T }[/math] על ידי

[math]\displaystyle{ T(\mathbf{v})=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n }[/math]

קל מאד להראות כי [math]\displaystyle{ T }[/math] המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר [math]\displaystyle{ T(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i }[/math]).

נותר להוכיח כי [math]\displaystyle{ T }[/math] יחידה. אמנם, אם [math]\displaystyle{ S }[/math] העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר [math]\displaystyle{ S(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i }[/math]), מתקיים:

[math]\displaystyle{ \begin{align}S(\mathbf{v})&=S(a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n)\\&=a_1S(\mathbf{v}_1)+\cdots+a_nS(\mathbf{v}_n)\\&=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n\\&=T(\mathbf{v})\end{align} }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ S=T }[/math].