משפט טיילור עם שארית לגראנז'

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה ממשית הגזירה [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] פעמים בסביבה מסוימת של נקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] . אזי לכל [math]\displaystyle{ x }[/math] בסביבה קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c }[/math] בין [math]\displaystyle{ x }[/math] ל- [math]\displaystyle{ a }[/math] כך ש:

[math]\displaystyle{ R_n(x)=f(x)-P_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ P_n }[/math] הנו פולינום טיילור מדרגה [math]\displaystyle{ n }[/math]

שימו לב כי הנקודה [math]\displaystyle{ c }[/math] תלויה ב- [math]\displaystyle{ x }[/math]