משפט קנטור על רציפות במידה שווה

משפט קנטור לגבי פונקציות רציפות במ"ש

פונקציה רציפה בקטע סגור וסופי, רציפה שם במ"ש.

הוכחה

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה על קטע סגור וסופי [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] . נניח בשלילה שהיא לא-רציפה שם במ"ש. לכן קיים [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] , כך שלכל [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] יש שתי נקודות במרחק קטן מדלתא כך שהפרש התמונות שלהן גדול או שווה לאפסילון. ניתן אם כך לבנות סדרה של זוגות של נקודות

[math]\displaystyle{ x_n,y_n }[/math]

כך שמתקיים

[math]\displaystyle{ x_n-y_n\to 0 }[/math]

אבל

[math]\displaystyle{ \Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\ge\epsilon }[/math]

לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרות, יש ל- [math]\displaystyle{ x_n }[/math] תת-סדרה מתכנסת [math]\displaystyle{ x_{n_k} }[/math] (כיון שהקטע סופי, הסדרה חסומה).

בנוסף, לתת הסדרה [math]\displaystyle{ y_{n_k} }[/math] יש תת-סדרה מתכנסת. אם כך, בנינו זוג סדרות מתכנסות המקיימות את התנאים:

[math]\displaystyle{ x'_n-y'_n\to 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \Big|f(x'_n)-f(y'_n)\Big|\ge\epsilon }[/math]

אבל כיון שזהו קטע סגור, נקודת הגבול של הסדרות המתכנסות שייכת לקטע (נקודת הגבול בינהן זהה כי המרחק בינהן שואף ל-0). לכן, לפי רציפות,

[math]\displaystyle{ \lim f(x'_n)=\lim f(y'_n) }[/math]

בסתירה. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]