התכנסות במ"ש (המשך)

משפט דיני

[math]\displaystyle{ f_n }[/math] סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ומתכנסת נקודתית בקטע זה לפונקציה רציפה f. בנוסף [math]\displaystyle{ \{f_n(x)\} }[/math] סדרה עולה לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f_n }[/math] מתכנסת במ"ש ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

דוגמה 1

בדוק הכנסות עבור הסדרה [math]\displaystyle{ f_n(x)=\sqrt[n]{\sin(x)} }[/math] בקטע

[math]\displaystyle{ \left[\tfrac\pi4,\tfrac34\pi\right] }[/math]
פתרון
נשים לב שעבור x בקטע [math]\displaystyle{ \sin(x)\gt 0 }[/math]. קל לראות גם שפונקצית הגבול היא [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin(x)}=1 }[/math], שרציפה. כמו כן ברור כי [math]\displaystyle{ f_n }[/math] רציפות ובקטע מתקיים [math]\displaystyle{ \sqrt[n+1]{\sin(x)}\ge\sqrt[n]{\sin(x)} }[/math]. לכן מתקיימים תנאי משפט דיני, ומכאן שההתכנסות במ"ש. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
[math]\displaystyle{ (0,\pi) }[/math]
פתרון

נשים לב שנתון קטע פתוח, לכן לא ניתן להשתמש בתנאי דיני. ברור לנו שפונקצית הגבול [math]\displaystyle{ f(x)=1 }[/math] ומכיוון ש-[math]\displaystyle{ \sup_{x\in(0,\pi)}\left|1-\sqrt[n]{\sin(x)}\right|=1\ne0 }[/math] ההתכנסות אינה במ"ש. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה 2

קבעו אם הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x^{2n} }[/math] מתכנס ב-[math]\displaystyle{ \left[-\tfrac34,\tfrac34\right] }[/math].

פתרון

נשתמש בנוסחאת הסכום לטור הנדסי: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x^{2n}=\sum_{n=1}^\infty \left(x^2\right)^n=\frac{x^2}{1-x^2} }[/math]. לכן יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה 3

הוכח או הפרך: אם [math]\displaystyle{ f_n:[a,b]\to[c,d] }[/math] סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקצית הגבול f וכן [math]\displaystyle{ g:[c,d]\to\mathbb R }[/math] פונקציה רציפה אז [math]\displaystyle{ g\circ f_n }[/math] היא סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש לפונקצית הגבול [math]\displaystyle{ g\circ f }[/math].

פתרון

נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] יש [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ |y_1-y_2|\lt \delta }[/math] אז [math]\displaystyle{ |g(y_1)-g(y_2)|\lt \varepsilon }[/math]. בנוסף נתון ש-[math]\displaystyle{ f_n }[/math] מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f_n(x)-f(x)|\lt \delta }[/math] (בפרט אפשר לבחור [math]\displaystyle{ \varepsilon=\delta }[/math]). נשים לב ש-[math]\displaystyle{ g\circ f_n }[/math] מוגדרת היטב לכל [math]\displaystyle{ a\le x\le b }[/math] ועבור [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |g(f_n(x))-g(f(x))|\lt \varepsilon }[/math]. מכאן ש-[math]\displaystyle{ g\circ f_n\to g\circ f }[/math] במ"ש. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

מבחן ה-M של ווירשטראס

יהי [math]\displaystyle{ \sum f_n(x) }[/math] טור פונקציות בקטע I. אם קיים טור מתכנס של מספרים חיוביים [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] כך שלכל n גדול מספיק ולכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f_n(x)|\le a_n }[/math] אז [math]\displaystyle{ \sum f_n(x) }[/math] מתכנס במ"ש ב-I.

דוגמה 4

הוכח כי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n }[/math] מתכנס במ"ש ב-[math]\displaystyle{ [0,1] }[/math].

פתרון

נרשום את הטור כ-[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty (x(1-x))^n }[/math] נסמן [math]\displaystyle{ f(x)=x(1-x) }[/math] ונחסום אותה: [math]\displaystyle{ f(x)=x-x^2\implies f'(x)=1-2x }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f'(x)=0\iff x=\frac12 }[/math], שהיא מקסימום כי [math]\displaystyle{ f''(1/2)=-2\lt 0 }[/math]. נותר לבדוק את קצוות הקטע: [math]\displaystyle{ f(0)=f(1)=0 }[/math]. נסיק ש-[math]\displaystyle{ x=\frac12 }[/math] היא נקודת קיצון גלובלית וכן-[math]\displaystyle{ f(1/2)=\frac14\implies f_n(x)=(x(1-x))^n\le\left(\frac14\right)^n }[/math]. [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac1{4^n} }[/math] מתכנס (זהו טור הנדסי) ולכן, לפי מבחן ה-M של וירשטרס, הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n }[/math] מתכנס במ"ש. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

אינטגרציה איבר-איבר בסדרות

תהי [math]\displaystyle{ f_n }[/math] סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציות f בקטע I. אזי f אינטגרבילית בקטע ומתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b\lim_{n\to\infty}f_n=\int\limits_a^b f }[/math].

דוגמה 5

קבע האם [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n }[/math] מתכנס כאשר [math]\displaystyle{ f_n(x)=nxe^{-nx^2} }[/math] ב-[math]\displaystyle{ [0,1] }[/math], והאם [math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] במ"ש.

פתרון

נציב [math]\displaystyle{ y=x^2 }[/math] ואז [math]\displaystyle{ \int\limits_0^1 f_n=\frac n2\int\limits_0^1e^{-ny}\mathrm dy=\frac n2\left[\frac{e^{-ny}}{-n}\right]_{y=0}^1=-\frac12e^{-n}+\frac12\to\frac12 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n }[/math] אכן מתכנס. נותר לבדוק אם [math]\displaystyle{ \{f_n\} }[/math] מתכנסת במ"ש:

דרך 1: [math]\displaystyle{ f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{e^{nx^2}}=0 }[/math] (השיוויון האחרון לפי לופיטל). נניח בשלילה שההתכנסות במ"ש, אבל [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 nxe^{-nx^2}\mathrm dx=\frac12\ne 0=\int\limits_0^1 f }[/math] ולכן קיבלנו סתירה. לפיכך ההתכנסות אינה במ"ש. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דרך 2: הראנו כבר כי פונקצית הגבול היא 0. נחפש מקסימום ל-[math]\displaystyle{ f_n(x) }[/math]: [math]\displaystyle{ 0=f_n'(x)=-2n^2x^2e^{-nx^2}+ne^{-nx^2}=ne^{-nx^2}(-2x^2n+1) }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ x=\frac1\sqrt{2n} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \sup\left|f_n(x)-f(x)\right|=\frac n\sqrt{2n}e^{-\frac n{2n}}-0=\sqrt\frac n2e^{-\frac 1{2}}\to\infty\ne0 }[/math] ומכאן שההתכנסות אינה במ"ש. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]