סכומי טורים

תזכורת: (אינטגרציה איבר איבר בסדרות) אם [math]\displaystyle{ f_n }[/math] סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציה f ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], אז f אינטגרבילית ומתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b f }[/math]. באופן דומה ננסח עבור גזירה איבר-איבר בסדרות: [math]\displaystyle{ f_n }[/math] סדרת פונקציות גזירות ורציפות ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] המתכנסת בנקודה אחת לפחות [math]\displaystyle{ x_0\in[a,b] }[/math] ל-[math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ f_n' }[/math] סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אז [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} f_n'(x)=f'(x)=\left(\lim_{n\to\infty}f_n(x)\right)' }[/math].

באופן דומה נגדיר עבור טורים. עבור אינטגרציה, לדוגמה: יהי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n(x) }[/math] טור של פונקציות רציפות ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] המתכנס במ"ש בקטע לפונקצית סכום [math]\displaystyle{ S(x) }[/math], אזי טור המספרים מתכנס ומתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b \sum_{n=1}^\infty f_n=\int\limits_a^b S }[/math].

גזירה איבר איבר של טורי פונקציות: יהיו [math]\displaystyle{ f_n }[/math] פונציות גזירות רציפות ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n(x) }[/math] מתכנס ב-[math]\displaystyle{ x_0\in[a,b] }[/math] ל-[math]\displaystyle{ S(x_0) }[/math]. אם טור הנגזרות [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n'(x) }[/math] מתכנס במידה שווה בקטע אז מתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n'(x)=S'(x)=\left(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\right)' }[/math].

דוגמה 1

הוכיחו שלכל [math]\displaystyle{ t\in(0,1) }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \ln(1+t)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{t^n}n }[/math].
פתרון

ידוע ש-[math]\displaystyle{ \ln(1+t)=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1+x} }[/math] וש-[math]\displaystyle{ \frac1{1+x}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n }[/math] (לפי נוסחת סכום סדרה הנדסית). מספיק להראות שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש בקטע [math]\displaystyle{ [0,a] }[/math] ואז נוכל לעשות אינטגרציה איבר-איבר. נשתמש במבחן ה-M של ויירשראס: [math]\displaystyle{ |(-1)^nx^n|\le a^n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in[0,a] }[/math]. אם [math]\displaystyle{ 0\lt a\lt 1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a^n }[/math] מתכנס ולכן [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n }[/math] מתכנס במ"ש.
עתה יהי [math]\displaystyle{ t\in(0,1) }[/math] ונסתכל על הקטע מהצורה [math]\displaystyle{ [0,t] }[/math], שם הראנו שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש ולכן
[math]\displaystyle{ \begin{align}\ln(1+t)&=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1+x}\\&=\int\limits_0^t \sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n \mathrm dx\\&=\sum_{n=0}^\infty \int\limits_0^t (-1)^nx^n\mathrm dx\\&=\sum_{n=0}^\infty\left[(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{x=0}^t\\&=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nt^{n+1}}{n+1}\\&=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{t^n}n\end{align} }[/math]
[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
חשבו [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac1{2^nn} }[/math].
פתרון

נעזר בסעיף 1. ברור כי [math]\displaystyle{ t=\frac12 }[/math] נמצא בקטע [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math], ולכן נציב: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{2^nn}=-\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{\left(\frac12\right)^n}n=-\ln\left(1\tfrac12\right) }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה 2

חשבו את סכום הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac n{(n+1)x^n} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math].

פתרון

נשים לב כי [math]\displaystyle{ \frac n{(n+1)x^n}=\frac1{x^n}-\frac1{(n+1)x^n} }[/math], ולפיכך מספיק לחשב את [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}-\sum_{n=1}^\infty \frac1{(n+1)x^n} }[/math].

ראשית נוכיח שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x^n }[/math] מתכנס במ"ש ב-[math]\displaystyle{ (0,1) }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ 0\lt x_0\lt 1 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \left|x^n\right|\le x_0^n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in[0,x_0] }[/math]. כמו כן [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x_0^n }[/math] מתכנס כי [math]\displaystyle{ 0\lt x_0\lt 1 }[/math] והטור הנדסי, לכן, ממבחן ה-M של ויירשראס, הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x^n=\frac1{1-x} }[/math] מתכנס במ"ש ב-[math]\displaystyle{ [0,x_0] }[/math]. עתה נוכל לעשות אינטגרציה איבר-איבר: [math]\displaystyle{ \int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1-t}=\int\limits_0^x\sum_{n=1}^\infty t^n\mathrm dt=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_0^x t^n\mathrm dt=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n+1}}{n+1} }[/math]. כמו כן, ברור כי [math]\displaystyle{ \int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1-t}=[-\ln|1-t|]_{t=0}^x=-\ln(1-x) }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n+1}=-\frac1x\ln(1-x) }[/math].

עתה, אם [math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \frac1x\in(0,1) }[/math] ולבסוף

[math]\displaystyle{ \begin{align}\sum_{n=1}^\infty\frac n{(n+1)x^n}&=\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}-\sum_{n=1}^\infty \frac1{(n+1)x^n}\\&=\frac1{1-\tfrac1x}-\left(-\frac1{1/x}\ln\left(1-\frac1x\right)\right)\\&=\frac x{x-1}+x\ln\left(\frac{x-1}x\right)\end{align} }[/math]

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה 3

מהו סכום הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac n{x^n} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x\lt 1 }[/math]?

פתרון

נשים לב שאם נגדיר[math]\displaystyle{ f_n(x)=\frac1{x^n} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f_n'(x)=(x^{-n})'=-n\cdot x^{-n-1}=\frac{-n}{x^{n+1}} }[/math]. כמו כן [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}=\frac{1/x}{1-1/x}=\frac1{x-1} }[/math]. נבדוק את התנאים לגזירה איבר-איבר. דרוש ש-[math]\displaystyle{ \sum f_n'(x) }[/math] יתכנס במ"ש.

נעזר במבחן ה-M של ויירשראס. אם [math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math] אז יש [math]\displaystyle{ 1\lt a\lt x }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \left|\frac{-n}{x^{n+1}}\right|\le\frac n{a^{n+1}} }[/math]. הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac n{a^{n+1}} }[/math] טור מתכנס עפ"י מבחן המנה של ד'לאמר (או מבחן השורש של קושי).

נסיק שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{-n}{x^{n+1}} }[/math] מתכנס במ"ש ולכן [math]\displaystyle{ \left(\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}\right)'=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac1{x^n}\right)'=\sum_{n=1}^\infty \frac{-n}{x^{n+1}} }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \left(\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}\right)'=\left(\frac1{x-1}\right)'=\frac{-1}{(x-1)^2} }[/math]. לסיכום [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{-n}{x^{n+1}}=\frac{-1}{(x-1)^2} }[/math], ולפיכך [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac n{x^n}=\frac x{(x-1)^2} }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

טורי חזקות

רדיוס ההתכנסות של טור חזקות [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_nx^n }[/math] הוא [math]\displaystyle{ R=\frac1{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}} }[/math], והוא מתכנס בהחלט ב-[math]\displaystyle{ (x_0-R,x_0+R) }[/math]. לגבי התכנסות בקצוות הקטע, יש לבדוק בנפרד.

דוגמה 4

מצאו את תחום התכנסות של הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}\sqrt[3]n }[/math].

פתרון

אכן מדובר על טור חזקות כי כאשר המקדם הכללי הוא [math]\displaystyle{ a_n=\frac1\sqrt[3]n }[/math]. לכן רדיוס ההתכנסות הוא [math]\displaystyle{ R=\frac1{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]\tfrac1\sqrt[3]n}=\left(1/\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n\right)^{-3}=1 }[/math]. ז"א כאשר [math]\displaystyle{ |x|\lt 1 }[/math] הטור מתכנס. נשאר לבדוק האם יש התכנסות בקצוות [math]\displaystyle{ x=\pm1 }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] הטור הוא [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1^n}\sqrt[3]n }[/math], שמתבדר כי הוא גדול מ-[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac1n=\infty }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math] ברור שהטור מתכנס, לפי משפט לייבניץ. לסיכום, תחום ההתכנסות הוא [math]\displaystyle{ [-1,1) }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

דוגמה 5

מצאו את תחום ההתכנסות של [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty n!x^{n!} }[/math].

פתרון

נשים לב כי הטור הנתון אינו טור חזקות, ולכן "נתקן" אותו. נגדיר [math]\displaystyle{ a_n=\begin{cases}n&\exists k:\ n=k!\\0&\text{else}\end{cases} }[/math]. נקבל את הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n }[/math]. במקרה הזה נצטרך לחשב [math]\displaystyle{ \limsup }[/math] (ולא סתם [math]\displaystyle{ \lim }[/math]). [math]\displaystyle{ 1/\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1/\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n=1/1=1 }[/math] ולכן רדיוס ההתכנסות הוא 1. נבדוק בקצוות: ב-1 הטור הוא [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty n!\cdot 1^{n!}\to\infty }[/math]. עבור [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math] הטור הוא [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty n!(-1)^{n!} }[/math], שגם שואף לאינסוף כי [math]\displaystyle{ n! }[/math] זוגי לכל [math]\displaystyle{ n\gt 1 }[/math]. לסיכום, תחום ההתכנסות הוא [math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]