פולינום טיילור

כיון שכפל וחיבור הן פעולות שקל לחשבן, פולינומים הן פונקציות שקל לחשבן את ערכן בכל נקודה. לכן, בהנתן פונקציה כללית [math]\displaystyle{ f }[/math] , היינו שמחים למצוא פולינום קרוב אליה. כלומר, היינו רוצים למצוא פולינום [math]\displaystyle{ p }[/math] כך שהשארית

[math]\displaystyle{ R(x)=f(x)-p(x) }[/math]

תהא "מינימלית". שימו לב כי הגדרת המינימליות תלויה בצורך. לדוגמא, יתכן ונרצה כי השארית תהא חסומה על כל הממשיים או תשאף לאפס בנקודה מסויימת.

פולינום טיילור

פולינום טיילור סביב נקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] מדרגה [math]\displaystyle{ n }[/math] הנו פולינום מהצורה:

[math]\displaystyle{ P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ f^{(n)} }[/math] היא הנגזרת ה- [math]\displaystyle{ n }[/math] של [math]\displaystyle{ f }[/math] .

שימו לב שבאופן ברור מההגדרה קיום פולינום טיילור מדרגה [math]\displaystyle{ n }[/math] דורש שהפונקציה תהא גזירה לפחות [math]\displaystyle{ n }[/math] פעמים בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] . אנחנו נראה מיד שעל-מנת להעריך את השגיאה של הפולינום נדרוש כי הפונקציה תהא גזירה לפחות [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] פעמים באזור הנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] .

פולינום טיילור משמש לקירוב פונקציות מסיבות שנראה בהמשך (טור חזקות), ובזכות משפט טיילור עם שארית לגראנז'