קוד:הגדרת ריבוי אלגברי וגיאומטרי

כעת נחזור לתיאוריה של מטריצות ושל אופרטורים. ההגדרה הבאה תוגדר עבור אופרטורים, אך הגדרה זהה נכונה גם לגבי מטריצות, ולא נצטט אותה כאן:

\begin{definition}

יהי $\lambda\in\mathbb{F}$ ע"ע של אופרטור לינארי $T:V\rightarrow V$.

\textbf{הריבוי האלגברי} $k$ של $\lambda$ הוא החזקה הגדולה ביותר $\left(x-\lambda\right)^k$, כך שמתקיים $\left(x-\lambda\right)^k|p_T\left(x \right )$ (במילים, אם מפרקים את הפולינום האופייני לגורמים לינאריים, הריבוי האלגברי הוא החזקה של הגורם $x-\lambda$).

\textbf{הריבוי הגיאומטרי} $m$ של $\lambda$ הוא $m=\dim V_\lambda\left(T \right )$ (במילים, זהו המספר הגדול ביותר של וקטורים עצמיים הקשורים ל-$\lambda$ שהם בלתי תלויים לינארית).

\end{definition}

\begin{remark}

לכל $\lambda\in\mathbb{F}$,

\begin{enumerate}

\item $1\leq k_\lambda\leq n$

\begin{proof}

\begin{enumerate}

\item $1\leq k_\lambda$ כי $\lambda$ שורש של הפולינום האופייני.

\item $k_\lambda\leq n$ על פי השוואת דרגות.

\end{enumerate}

\end{proof}

\item $1\leq m_\lambda\leq n$

\begin{proof}

\begin{enumerate}

\item $1\leq m_\lambda$ כי $\lambda$ ע"ע, ולכן קיים $0\neq v\in V_\lambda\left(T \right )$.

\item $m_\lambda\leq n$ כי $V_\lambda\left(T \right )$ תת-מרחב של $V$.

\end{enumerate}

\end{proof}

\end{enumerate}

\end{remark}