קוד:חלוקת פולינומים עם שארית

נתחיל ממשפט, המוכר מהלימודים כבר בתיכון. אנו יודעים כי אם יש לנו שני פולינומים, אפשר לחלק אחד בשני, ולקבל מנה ושארית. המשפט הבא מנסח את הטענה באופן כללי:

\begin{thm}

יהיו $f\left ( x \right ),g\left ( x \right )\in\mathbb{F}\left [ x \right ]$ פולינומים, $\deg\left ( f \right )\ge1$, $\deg\left ( g \right )\ge1$ (כזכור, $\deg$ = הדרגה של הפולינום). אזי קיימים פולינומים $q\left ( x \right )$ (המנה) ו-$r\left ( x \right )$ (השארית) שעבורם:

\begin{enumerate}

\item $f\left ( x \right )=q\left ( x \right )g\left ( x \right )+r\left ( x \right )$.

\item $r\left ( x \right )=0$ או $\deg\left ( r \right )<\deg\left ( g \right )$.

\end{enumerate}

\end{thm}

לא נוכיח את המשפט בקורס זה.

\begin{remark}

נעיר מספר הערות על המשפט.

\begin{enumerate}

\item בתנאי השני, הסיבה למקרה v $r\left ( x \right )=0$ היא ש-$\deg\left(0\right)$ אינו מוגדר.

\item אם $\deg\left ( f \right )<\deg\left ( g \right )$, אז החלוקה הינה $f\left ( x \right )=0\cdot g\left ( x \right )+f\left ( x \right )$.

\item השוויון בתנאי הראשון הוא שוויון פולינומים (ולא רק של קבוצות הערכים שלהם). בדוגמה הבאה נראה דוגמה לשני פולינומים שונים, המקבלים אותה קבוצת ערכים.

\end{enumerate}

\end{remark}

\begin{example}

נדגים שני פולינומים שונים עם אותן קבוצות ערכים, זאת אומרת $f\neq g$, אבל לכל $x\in\mathbb{F}$ מתקיים $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.

עבור השדה $\mathbb{F}=\mathbb{Z}_2$, הפולינומים $f\left(x\right)=x$ ו-$g\left(x\right)=x^2$ מקיימים את הדרישות האלו. זה נכון, מפני שמתקיים $$0^2=0,\quad 1^2=1$$

\end{example}

\begin{example}

נדגים את חלוקת הפולינומים $f\left ( x \right )=x^3-2$ ב-$g\left ( x \right )=x-2$. כאן אין הבדל אם השדה יהיה $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ או $\mathbb{C}$, אך בדוגמאות אחרות ייתכן שיהיה הבדל בין החלוקות (לפי המקדמים של הפולינומים - למשל, אם יש מקדם אי רציונלי, אי אפשר לעבוד מעל הרציונליים).

$\quad\quad\quad x^2+2x+4\\ \overline{x^3\quad\quad\quad\quad\quad-2}|x-2\\ \underline{x^3-2x^2}\\ \hphantom\quad\quad\,2x^2\\ \hphantom\quad\quad\,\underline{2x^2+4x}\\ \hphantom\quad\quad\quad\quad\quad4x-2\\ \hphantom\quad\quad\quad\quad\quad\underline{4x-8}\\ \hphantom\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;6\\$

לסיכום, מתקיים $x^3-2=\left(x^2+2x+4\right)\left(x-2\right)+6$.

\end{example}