קוד:חקירה של פונקציות מונוטוניות

\begin{thm} תהי $f\in D(a,b) $ אזי \begin{enumerate} \item $\forall x : f'(x) \geq 0 $ אם ורק אם $f$ מונוטונית עולה \item $\forall x : f'(x) \leq 0 $ אם ורק אם $f$ מונוטונית יורדת \item $\forall x : f'(x)>0 $ אזי $f$ מונוטונית עולה ממש\\ (המשפט ההפוך לא נכון, לדוגמה $f(x)=x^3 $ מפריכה) \item $\forall x : f'(x)<0 $ אזי $f$ מונוטונית יורדת ממש\\ (המשפט ההפוך לא נכון, לדוגמה $f(x)=-x^3 $ מפריכה)

\end{enumerate} \end{thm}

\begin{proof} קודם כל נוכיח את $\boxed{\Leftarrow} $ עבור המשפט הראשון ועבור השאר הכיוון הזה מוכח באופן דומה:

יהיו $x_1,x_2\in (a,b) $ ובה"כ נניח $x_1\leq x_2 $ אז לפי לגרנז' $\exists c\in (x_1,x_2) : f'(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} $ אבל $f'(c)\geq 0 $ וגם המכנה חיובי ומכאן ש- $f(x_2)\geq f(x_1) $.

כעת עבור $\boxed{\Rightarrow} $ שוב נוכיח עבור המשפט הראשון ועבור המשפט השני באופן דומה:

$$ f'(x)=f'_+ (x) =\lim_{t\to 0^+} \frac{f(x+t)-f(x)}{t} $$

אבל גם המונה אי שלילי (מהנתון) והמכנה חיובי ומכאן ש- $f'(x)\geq 0 $

\end{proof}