קוד:משפט ז'ורדן לאופרטור עם ערך עצמי יחיד

הוכחנו את משפט ז'ורדן עבור אופרטור לינארי נילפוטנטי. מהגרסה שהוכחנו, נוכל להסיק גרסה מוכללת יותר:

\begin{thm}[משפט ז'ורדן לאופרטור עם ערך עצמי יחיד]

יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור כך ש-$\lambda$ הוא ערך עצמי יחיד שלו. אזי יש ל-$T$ הצגה בצורה אלכסונית בלוקים, כך שכל בלוק הוא $J_m\left(\lambda\right)$. הצגה זו יחידה עד כדי הסדר של הבלוקים.

\end{thm}

\begin{proof}

נתבונן באופרטור $T-\lambda I$. הוא נילפוטנטי, כי לפי משפט קאלי-המילטון, $$\left(T-\lambda I\right)^n=p_T\left(T\right)=0$$ לפי משפט ז'ורדן הנילפוטנטי, ניתן להציג את $T-\lambda I$ בעזרת מטריצה אלכסונית בלוקים, כך שכל בלוק הוא מהצורה $J_m\left(0\right)$. במילים אחרות, קיים בסיס $B$ של $V$ כך שמתקיים: $$\left[T \right ]_B-\lambda I_n=\left[T-\lambda I \right ]_B=\left(\begin{matrix} \begin{array}{c|}J_{m_1}\left(0 \right )\\\hline \end{array} & & 0\\

& \ddots & \\ 

0 & & \begin{array}{|c}\hline J_{m_k}\left(0 \right ) \end{array} \end{matrix} \right )$$ ונקבל $$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix} \begin{array}{c|}J_{m_1}\left(\lambda \right )\\\hline \end{array} & & 0\\

& \ddots & \\ 

0 & & \begin{array}{|c}\hline J_{m_k}\left(\lambda \right ) \end{array} \end{matrix} \right )$$ היחידות היא מסקנה מיידית מהיחידות במקרה הנילפוטנטי.

\end{proof}