קוד:נגזרות מסדר גבוה

\begin{definition} תהי $f\in D(a,b) $ אזי קיימת פונקציית נגזרת $f':(a,b)\to \mathbb{R} $ . לפעמים גם לפונקציית הנגזרת אפשר להגדיר נגזרת, ומסמנים אותה $$(f')'(x)=f(x)=\frac{d^2 f}{dx^2} (x) $$ וזאת הנגזרת השנייה של $f$. אפשר להמשיך באופן דומה לנגזרת שלישית, רביעית, ובאופן כללי נגזרת $n$ית, $$f^{(n)}(x) = \frac{d^n f}{dx^n} (x) $$ מסמנים $D^n (a,b) $ להיות קבוצת כל הפונקציות הגזירות $n$ פעמים בקטע $(a,b) $ \end{definition}

לדוגמה נסתכל על $f(x)=|x|^3 $

$$f'(x)=\begin{cases} -3x^2& \text{if}\ x\leq 0 \\ 3x^2& \text{else} \end{cases}$$

ולכן $f\in D(\mathbb R) $

$$f(x)=\begin{cases} -6x& \text{if}\ x\leq 0 \\ 6x& \text{else} \end{cases}$$

ולכן $f\in D^2 (\mathbb R) $

$$f(x)=\begin{cases} -6& \text{if}\ x<0 \\ 6x& \text{if}\ x>0 \end{cases}$$

ולכן $f\in D^2(-\infty,\infty)\backslash D^3(-\infty,\infty) $