קוד:סכום ישר המושרה מפירוק בסיס

נראה עכשיו דרך פשוטה להשיג את המרחב הווקטורי הגדול, $V$, כסכום ישר של תתי-מרחבים. הדרך היא באמצעות לקיחת בסיס של $V$ ופירוקו לתתי-קבוצות. כל תת-קבוצה תפרוש מרחב בסכום.

\begin{lem}

אם בסיס $B$ של $V$ הוא איחוד זר של הקבוצות $B_1,\dots,B_k$, ואם לכל $i=1,\dots,k$, $U_i=\operatorname{span}\left(B_i\right)$, אזי $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$.

\end{lem}

\begin{proof}

נתחיל מלהוכיח ש-$V=U_1+\cdots+U_k$, ז"א שכל $x\in V$ ניתן להצגה כסכום $$x=u_1+\cdots+u_k$$ כך שלכל $i=1,\dots,k$, $u_i\in U_i$. זה נובע מההצגה של $x$ כצירוף לינארי של איברי $B$.

נעבור להוכיח שהסכום הוא ישר. נתבונן בחיתוך $$W=\underbrace{\left(\left(U_1+U_2 \right )+U_{i-1}\right)}_{\tilde{W}}\cap U_i$$ נניח שקיים $x\in \tilde{W}$ ו-$x\in U_i$. לכן, ניתן להציג אותו כצירוף לינארי של איברי הבסיס $B_1\cup\cdots\cup B_{i-1}$, כלומר גם כסכום $x=u_1+\cdots+u_{i-1}$, כאשר לכל $j=1,\dots,i-1$, מתקיים $u_j\in U_j$, והוא צירוף לינארי של איברי $B_j$. כמו כן, $x$ ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברי הבסיס $B_i$, כי $x\in U_i$.

עם זאת, מתקיים $\left(B_1\cup\cdots\cup B_{i-1} \right )\cap B_i=\emptyset$. לכן, מיחידות ההצגה של $x$ כצירוף לינארי של איברי $B$, נובע שכל המקדמים בצירופים הם אפסים, ולכן $x=0$.

\end{proof}