קוד:שורות ועמודות של מטריצה אוניטרית

הגיע הזמן לקשר בין מטריצות אוניטריות לבין המושגים של נורמליות, אורתוגונליות ואורתונורמליות. שני המשפטים הבאים יראו את הקשר (החזק) ביניהם:

\begin{thm}

$A$ אוניטרית אם ורק אם השורות של $A$ מהוות בסיס אורתונורמלי של $\mathbb{F}^n$ יחסית למכפלה הסטנדרטית אם ורק אם העמודות של $A$ גם מהוות בסיס אורתונורמלי של $\mathbb{F}^n$ יחסית למכפלה הפנימית הסטנדרטית.

\end{thm}

\begin{proof}

$A^*=\overline{A}^t$, ולכן השורה ה-$i$ של $A^*$ שווה לעמודה ה-$i$ של $A$ צמודה. כלומר, אם $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ השורות של $A$, אם $\beta_1,\dots,\beta_n$ העמודות של $A$, אם $\alpha_1^*,\dots,\alpha_n^*$ השורות של $A$, וכן אם $\beta_1^*,\dots,\beta_n^*$ העמודות של $A^*$, אזי $\alpha_i^*=\overline{\beta_i}$, וכן $\beta_i^*=\overline{\alpha_i}$ לכל $i=1,\dots,n$.

כעת, $A$ אוניטרית $\Leftrightarrow$ $AA^*=I$ $\Leftrightarrow$

$\left \langle \alpha_i,\alpha_j \right \rangle=\sum_{k=1}^n\alpha_{ik}\overline{\alpha}_{jk}=\sum_{k=1}^n\alpha_{ik}\beta_{kj}^*=I_{ij}=\delta_{ij}=\left \{ \begin{matrix} 1,\quad i=j\\ 0,\quad i\neq j \end{matrix} \right.$ (זו המכפלה הפנימית הסטנדרטית)

$\Leftrightarrow$ $\left\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\right\}$ בסיס אורתונורמלי של $\mathbb{F}^n$ יחסית למכפלה הפנימית הסטנדרטית.

הוכחנו עבור השורות. כעת, $A$ אוניטרית $\Leftrightarrow$ $A^t$ אוניטרית $\Leftrightarrow$ אותם השוויונים ל-$A^t$ במקום ל-$A$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\beta_1,\dots,\beta_n\right\}$ בסיס אורתונורמלי של $\mathbb{F}^n$ יחסית למכפלה הפנימית הסטנדרטית.

\end{proof}