קמירות

הגדרה

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה ממשית הגזירה בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] . אם קיימת סביבת [math]\displaystyle{ a }[/math] עבורה הפונקציה גדולה או שווה למשיק בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] , אומרים כי הפונקציה קמורה כלפי מעלה ב- [math]\displaystyle{ a }[/math] .

באופן דומה, אם קיימת סביבת [math]\displaystyle{ a }[/math] עבורה הפונקציה קטנה או שווה למשיק בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] , אומרים כי הפונקציה קמורה כלפי מטה ב- [math]\displaystyle{ a }[/math] .

(ראו גם נקודת פיתול.)

תנאי מספיק

אם [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה פעמיים ברציפות בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] , והנגזרת השניה חיובית אזי הפונקציה קמורה כלפי מעלה ב- [math]\displaystyle{ a }[/math] . אם הנגזרת השניה שלילית הפונקציה קמורה כלפי מטה, אחרת לא ניתן לקבוע.

הוכחה

לפי פיתוח טילור ההפרש בין הפונקציה למשיק שווה:

[math]\displaystyle{ f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)=\dfrac{f''(c)}{2}(x-a)^2 }[/math]

מתוך רציפות הנגזרת השנייה, אם היא חיובית ב- [math]\displaystyle{ a }[/math] קיימת סביבת [math]\displaystyle{ a }[/math] עבורה לכל [math]\displaystyle{ c }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f''(c)\gt 0 }[/math] . באופן דומה עבור נגזרת שניה שלילית.