שיחה:88-101 חשיבה מתמטית/ארכיון 1

מקורות

הספר שבועז הציע.

דיונים

הערה: הניסוח "כך וכך קורה אם כך וכך נתון" הוא מבלבל ולא מקובל במתמטיקה. הניסוח המקובל, שהייתי רוצה שתלמידים יבינו עד סוף הקורס הוא "אם כך וכך נתון, אז כך וכך קורה" או "נניח שכך וכך. אזי כך וכך.". נראה קטנוני, אבל מדובר בכאלה שאפילו ההבדל הזה בין הדוגמאות שלכם לניסוחים בקורסים האחרים יבלבלו אותם.

עוד בעיה עם הניסוח "כך וכך קורה אם כך וכך נתון" היא, שבמתמטיקה הוא הרבה פעמים משמש להגדרה, כשהכוונה היא ל"אם ורק אם" (!). זו מוסכמה לא כתובה, שמקובלת מאד בהגדרות, ואני מעדיף אותה על פני הגישה המלאכותית "הגדרה: מספר הוא זוגי אם ורק אם הוא כפולה של שתיים".

אגב, ללואי: מתלמידי פילוסופיה דווקא כן הייתי מצפה שישלטו בכל ההתנסחויות, כיון שזה חלק מהותי בעבודתם (התנסחויות שונות סביב דברים שאי אפשר להבין - סליחה על הירידה...).

1. לא הבנתי את הדוג' הראשונה "שניהם צודקים" והדוג' השניה נראית לי קשה מדיי. מטרתנו בקורס היא להביא את התלמידים לרמה המינימלית הנדרשת במתמטיקה, ולתת רק דוגמאות שיכולות להעלות תלמידים לרמה הזאת, ולא לייאש אותם.

שניהם צודקים מבחינת השפה העברית, מכיוון שאין משמעות מתמטית למושג "יכול להיות ש...", אני מקווה שבע"פ זה יהיה ברור יותר ואולי אני אשנה ניסוח. לגבי הדוגמא השנייה, אני חושב לתת אותה פתורה ולא כתרגיל, כך שיעקבו אחרי ההגיון (ושוב, אני מקווה שבע"פ זה יהיה ברור יותר מאשר כך על הכתב בחופזה). --ארז שיינר 16:20, 15 בפברואר 2011 (IST)

2. כדאי לפתוח את הספר ולשאוב ממנו רעיונות. סוף סוף זהו ספר שמבוסס על נסיון בדברים כאלה, שלנו עדיין (כמעט ש)אין.

בוודאי, מיד כאשר שלחת את הספר פתחתי אותו ואני משתמש בו במהלך הכתיבה. --ארז שיינר 16:20, 15 בפברואר 2011 (IST)

הצעות לגבי מבנה הקורס (בניסוח עובדתי)

הבחנים יכללו דף נוסחאות הכולל את ההגדרות - פונקציה כתת קבוצה של מכפלה קרטזית, סדרה כפונקציה מהטבעיים, חיתוך, איחוד, הכלה, חבורה, שדה, מ"ו וכדומה ככל הנדרש. הדגש יהיה על ההסקה הלוגית מתוך ההגדרות, ולא על זכרון ההגדרות (שכן הדגש על זה נמצא בקורסים המקצועיים). --ארז שיינר 13:58, 15 בפברואר 2011 (IST)
שעת הקורס ביום תהיה קריטית- אנו מעוניינים שהתלמידים יהיו רעננים ובתחילת היום על מנת שיוכלו לעקוב ולהשתתף באופן אקטיבי, ולא ללמוד בבית בלבד. שעה מתאימה הינה 10 בתחילת יום הלימודים (כלומר שלא יהיה קורס לפני כן). --ארז שיינר 13:58, 15 בפברואר 2011 (IST)
הקורס יהיה מפוצל לשתי קבוצות על מנת לאפשר דיון אקטיבי. --ארז שיינר 13:58, 15 בפברואר 2011 (IST)

דוגמאות

"כל העתקה לינארית ממרחב וקטורי לעצמו היא איזומורפיזם, כי ידוע שכל מרחב וקטורי איזומורפי לעצמו". עוזי ו. 22:20, 5 במרץ 2011 (IST)

מבנה: יולי 2011

ארז, לא ברור לי הקשר בין הכותרת "הצרנת תכונות" לבין תוכן הסעיף שאחריה. סעיף ההצרנה שייך לפרק מאוחר יותר, תחשיב הפרדיקטים (הסדר הוא לוגיקת-קשרים, לוגיקת-פרדיקטים, לוגיקה מסדר ראשון; הצמדתי את שני האחרונים זה לזה). עוזי ו. 03:27, 10 ביולי 2011 (IDT)

את הכותרת אתה נתת, אני כנראה לא הבנתי אותה. תרגיש חופשי לשנות את סדר הדברים.

כמו כן, רשמת את המשפט "בהצרנה מקצים לכל מרכיב בפסוק אטום שונה, ומרכיבים שונים - גם אם הם קרובים במשמעותם - מקבלים אטומים שונים. למשל, בדוגמא האחרונה, יש הבדל בין "חוסר תאבון" לבין "רעב"." אתה רושם שדברים שונים מקבלים אטומים שונים, אבל דווקא בדוגמא הם קיבלו את אותו אטום. --ארז שיינר 12:19, 11 ביולי 2011 (IDT)

היו צריכים לקבל אטומים שונים. עוזי ו. 13:46, 11 ביולי 2011 (IDT)

העברות

כשהמשפט המקורי מעורפל ונתון לכמה פרשנויות, ההצרנה בוחרת בנקודת מבט אחת ופרשנות אחת. להלן כמה דוגמאות:

נניח שבקופסא יש שלושה כדורים, שאותם נחלק באקראי בין שלושה אנשים. הראשון מציץ בקופסא לפני החלוקה, ואומר "לא יכול להיות שמישהו יקבל כדור ירוק". השני, שאינו מסתכל בקופסא, אומר "יכול להיות שמישהו יקבל כדור ירוק". שניהם צודקים מכיוון שהמושג "יכול להיות" מסתיר את הסייג "עד כמה שאני יודע": הדוברים אינם סותרים זה את זה, משום שיש להם נקודות מבט שונות.
מורה אומרת לתלמידיה "שבוע הבא יהיה לכם בוחן, כך שבערב לפניו לא תדעו בוודאות על קיום הבוחן למחרת". לכאורה משפט זה יוצר סתירה לוגית כיוון שאם הבוחן ביום האחרון בשבוע, והמורה דוברת אמת, התלמדים ידעו שהבוחן יהיה למחרת, לכן המורה משקרת או שהבוחן לא ביום האחרון. כן הלאה, אם המורה דוברת אמת הבוחן לא ביום הלפני אחרון והלפני לפני אחרון, ולא יכול להיות בוחן בכלל. לכן אם המורה דוברת אמת, הרי היא משקרת. לעומת זאת, אם הבוחן יהיה ביום שלישי, התלמידים לא ידעו על כך ולכן המורה דברה אמת - סתירה. הסתירה נובעת מחוסר היכולת להגדיר מתמטית את המושג "ידעו", שכן התלמידים לא יכולים "לדעת" שהמורה אומרת אמת, ולכן לא יכולים ל"דעת" שהבוחן יהיה ביום חמישי.

העברה נוספת

מטרתו של התרגיל הזה לא ברורה לי. הוא מבוסס על כמה מושגים שונים של אינסוף, שאף אחד מהם אינו מוגדר כאן, וכתוב בפורמליות עודפת למרות פערים הכרחיים.

<תחילת העברה:>

תרגיל. הוכח שהטענות הבאות שקולות:

לכל מספר זוגי יש מספר גדול ממנו k כך ש [math]\displaystyle{ P(k) }[/math] הוא אמת
אין חסם מלעיל לקבוצת המספרים המקיימים את הפרדיקט P
לכל מספר יש מספר הגדול ממנו המקיים את הפרדיקט P

שימו לב שכל הטענות הללו שקולות לכך שקיימים אינסוף מספרים המקיימים את הפרדיקט P. למעשה הטענות השנייה או השלישית יתאימו כהגדרה לטענה "אינסוף מספרים מקיימים את P"

פתרון. לפי תרגיל הבית, מספיק להוכיח שכל טענה גוררת את הבאה לה (והאחרונה את הראשונה). דבר ראשון נצרין את הטענות:

[math]\displaystyle{ \forall n\in\mathbb{N}:(\exists m\in\mathbb{N}:2m=n)\rightarrow \exists k\in\mathbb{N}:(k\gt n \and P(k)) }[/math]
[math]\displaystyle{ \neg[\exists n\in\mathbb{N}:\forall k\in\mathbb{N}:(k\gt n \rightarrow \neg P(k))] }[/math]
[math]\displaystyle{ \forall n\in\mathbb{N}:\exists k\in\mathbb{N}:(k\gt n \and P(k)) }[/math]

הוכחה:

נוכיח שהטענה השנייה נגררת מהראשונה. נניח בשלילה את שלילת הטענה השנייה. כלומר, נניח ש [math]\displaystyle{ \exists n\in\mathbb{N}:\forall k\in\mathbb{N}:(k\gt n \rightarrow \neg P(k)) }[/math]

נקצר ברישום, ונוסיף את הפרדיקט [math]\displaystyle{ C(n)=\exists m\in\mathbb{N}:2m=n }[/math]. נוסיף את העובדה [math]\displaystyle{ C(n)\or C(n+1) }[/math] ונקבל

[math]\displaystyle{ \exists n\in\mathbb{N}:(C(n)\or C(n+1))\and [\forall k\in\mathbb{N}:(k\gt n \rightarrow \neg P(k))] }[/math]

נשתמש בטאוטולוגיה [math]\displaystyle{ (A \or B) \and C \equiv (A \and C) \or (B \and C) }[/math] ונקבל

[math]\displaystyle{ \exists n\in\mathbb{N}:(C(n) \and [\forall k\in\mathbb{N}:(k\gt n \rightarrow \neg P(k))]) \or (C(n+1) \and [\forall k\in\mathbb{N}:(k\gt n \rightarrow \neg P(k))]) }[/math]

אבל יחד עם הטענה הראשונה, אנחנו יכולים לגרור את הטענה הבאה:

[math]\displaystyle{ \exists n\in\mathbb{N}:(\exists k\in\mathbb{N}:(k\gt n \and P(k)) \and [\forall k\in\mathbb{N}:(k\gt n \rightarrow \neg P(k))]) \or \exists k\in\mathbb{N}:(k\gt n+1 \and P(k)) \and [\forall k\in\mathbb{N}:(k\gt n \rightarrow \neg P(k))]) }[/math]

וקל לראות (-: שזו סתירה.

הטענה השנייה גוררת את השלישית (ולמעשה שקולה לשלישית) על ידי הכנסת השלילה פנימה לפי הכללים שלמדנו.

(שימו לב לשימוש בטאוטולוגיה [math]\displaystyle{ \neg (A\rightarrow B) \Leftrightarrow (A \and \neg B) }[/math])

הטענה השלישית גוררת את הראשונה בקלות מתוך הטאוטולוגיה [math]\displaystyle{ (n \in\mathbb{N} \and C(n))\rightarrow n \in\mathbb{N} }[/math]

קינון כמתים באנליזה

(הועבר מן הסדנא, עוזי ו. 00:12, 6 באוקטובר 2011 (IST))

תרגיל. סדרה היא התאמה של מספר ממשי לכל מספר טבעי: [math]\displaystyle{ \ a_1,a_2,a_3,\cdots }[/math]. מספר ממשי L הוא גבול של הסדרה, אם לכל מספר חיובי שנבחר, יש מקום בסדרה שממנו והלאה מרחק האברים בסדרה מ-L קטן מן המספר האמור. הצרן את הטענות הבאות:

L הוא גבול של הסדרה [math]\displaystyle{ \ a_1,a_2,a_3,\cdots }[/math]

[math]\displaystyle{ \forall \epsilon \gt 0 : \exists N: \forall n\gt N: (|a_n-L|\lt \epsilon) }[/math]

"0 הוא הגבול של הסדרה [math]\displaystyle{ \ 1, 1/2, 1/3, 1/4, \cdots }[/math]".

[math]\displaystyle{ \forall \epsilon \gt 0 : \exists N: \forall n\gt N: (\frac{1}{n}\lt \epsilon) }[/math]

"לסדרה [math]\displaystyle{ \ 1, 1/2, 1/3, 1/4, \cdots }[/math] קיים גבול".

[math]\displaystyle{ \exists L: \forall \epsilon \gt 0 : \exists N: \forall n\gt N: (|\frac{1}{n}-L|\lt \epsilon) }[/math]

"L איננו הגבול של הסדרה [math]\displaystyle{ \ a_1,a_2,\dots }[/math]".

[math]\displaystyle{ \exists \epsilon \gt 0: \forall N: \exists n\gt N: (|a_n-L|\geq \epsilon) }[/math]

"לסדרה [math]\displaystyle{ \ a_1,a_2,\dots }[/math] לא קיים גבול".

[math]\displaystyle{ \forall L: \exists \epsilon \gt 0 :\forall N: \exists n\gt N: (|a_n-L| \geq \epsilon) }[/math]

"אם יש לסדרה [math]\displaystyle{ \ a_1,a_2,\dots }[/math] גבול, אז הוא יחיד".

תרגיל. הפונקציה [math]\displaystyle{ \ f : C \rightarrow \mathbb{R} }[/math] רציפה בנקודה x אם לכל [math]\displaystyle{ \ \epsilon\gt 0 }[/math], קיים [math]\displaystyle{ \ \delta\gt 0 }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ \ |x-y|\lt \delta }[/math] (עבור y בקטע) אז [math]\displaystyle{ \ |f(x)-f(y)|\lt \epsilon }[/math]. הפונקציה רציפה בקטע C אם היא רציפה בכל הנקודות x הנמצאות בקטע. הצרן את הטענות הבאות:

הפונקציה [math]\displaystyle{ \ f(x) = x^5 }[/math] רציפה בקטע [0,1].

[math]\displaystyle{ \forall x \in [0,1] : \forall \epsilon \gt 0: \exists \delta \gt 0: (|x-y|\lt \delta \rightarrow |x^5-y^5|\lt \epsilon) }[/math]

הפונקציה [math]\displaystyle{ \ f(x) = x^5 }[/math] אינה רציפה בנקודה x=0.

[math]\displaystyle{ \exists \epsilon \gt 0: \forall \delta \gt 0: (|y|\lt \delta \and |f(y)|\gt \epsilon) }[/math]

הפונקציה f רציפה בנקודה x אם ורק אם לכל סדרה [math]\displaystyle{ \ a_1,a_2,\dots }[/math] המתכנסת ל-x, הערך [math]\displaystyle{ \ f(x) }[/math] הוא גבול של הסדרה [math]\displaystyle{ \ f(a_1),f(a_2),\dots }[/math].

תרגיל. הפונקציה [math]\displaystyle{ \ f : C \rightarrow \mathbb{R} }[/math] רציפה במידה שווה בקטע C אם לכל [math]\displaystyle{ \ \epsilon\gt 0 }[/math], קיים [math]\displaystyle{ \ \delta\gt 0 }[/math] כך שלכל x,y בקטע, אם [math]\displaystyle{ \ |x-y|\lt \delta }[/math] אז [math]\displaystyle{ \ |f(x)-f(y)|\lt \epsilon }[/math]. הצרן את הטענות הבאות:

הפונקציה [math]\displaystyle{ \ f(x) = x^5 }[/math] רציפה במידה שווה בקטע [0,1].
הפונקציה [math]\displaystyle{ \ f(x) = x^5 }[/math] אינה רציפה במידה שווה בקטע [0,1].
אם הפונקציה f רציפה במידה שווה בקטע C, אז היא רציפה בכל נקודה שלו.

תשובות לדוגמאות בגוף היחידה?

לא מצאתי תשובות - האם אני מפספס משהו? נראה לי חשוב ויעיל ללימוד אם כל שאלה תזכה גם לפתרון מרצה - תודה