שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/ארכיון 4

שאלה כללית

אם עבור פונק' מסויימת (f(x מתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a^{+}}f(x)=\lim_{x\to a^{-}}f(x) = \infty }[/math], אז מאיזה סוג הנק' a? אי רציפות סליקה? סוג ראשון?

שני. --מני 22:39, 18 בינואר 2012 (IST)

שאלה 8 תרגיל 10

בעצם אמור לצאת ע"פ ההוכחה שתמיד יהיה מינימום לפונקציה... אבל מקסימום לא חייב. האם אני טועה? השתמשתי במשפט ויירשטראס השני.

שים לב שאמרנו מינימום או מקסימום, לכן אין לך שום סיבה להניח שאתה טועה.--מני 20:20, 14 בינואר 2012 (IST)

אבל כל השאלות האלה מתחכמות... גם השאלה נראת לי מופשטת מאוד. אני לא הצלחתי למצוא דוגמה נגדית, אבל אני לא בטוח שאני צודק... הכוונה למקסימום מקומי?

הכוונה היתה למינימום ומקסימום מוחלטים. מצד שני האם יכול להיות שלפונקציה ששואפת לאינסוף כשאיקס שואף לאינסוף יהיה מקסימום? מכאן שכנראה מה שאנחנו רוצים זה ...

לגבי זה שהשאלה מופשטת, במבחן יכולות להופיע שאלות מופשטות. --מני 23:27, 15 בינואר 2012 (IST)

מינימום מוחלט בטוח קיים. מקסימום מוחלט בטוח לא קיים. מקסימום מקומי- בתלות מהפונקציה.

תרגיל 10 שאלה 3

בסעיף b מותר להשתמש בכך שאם הפונ' שלנו זוגית אז מציאת נקודת אי רציפות מכל סוג שהוא גוררת שגם המינוס של נקודה (-x0) זו היא אותה סוג אי רציפות?

תובנה יפה. אני הייתי מקבל את זה גם בבוחן. אם אתה תיכוניסט אולי עדיף שגם ארז יגיד אם היה מקבל.

במבחן כמובן עדיף לשאול את המרצה. כמובן שאם ראיתם את הטענה בתרגול או בהרצאה מותר להסתמך עליה. אם לא ראיתם אז יפה מאד שהסקת את זה לבד. אני מניח שזה נכון שכן ניתן להוכיח שבהנחה שהפונקציה זוגית אז אם קיים גבול באחד האגפים הוא שוה לגבול באגף השני. אני מדבר על השויון: [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a^{+}}f(x)=\lim_{x\to (-a)^{-}}f(x) }[/math] --מני 20:38, 14 בינואר 2012 (IST)

תרגיל 10 שאלה 7

אפשר לקבל הכוונה לפיתרון??? --ג.יפית 16:18, 14 בינואר 2012 (IST)

חחח ג. יפית

משפט ערך הביניים. על איזה פונקציה כדאי להפעיל? על איזה קטע סגור כדאי להפעיל?--מני 20:21, 14 בינואר 2012 (IST)

תרגיל 10, שאלה 8

יש אולי אפשרות שתתנו או לפחות תאמרו אם קיימת פונקציה שמקיימת תנאי אחד בדיוק? תודה.

מה הכוונה "מקיימת תנאי אחד בדיוק"? יש המון פונקציות שמקיימות את תנאי השאלה... למשל: [math]\displaystyle{ f(x)= x }[/math] --לואי 12:31, 15 בינואר 2012 (IST)

תרגיל 11

באופן כללי, אני יכול להשתמש במשפט שפונקציה רציפה ומחזורית היא רציפה במ"ש? או שאני צריך להוכיח אותה? ואם כן, למה לא אמרו לנו כלום לגבי זה (כלומר, למה זה לא מופיע במערכי תירגול)?

אפשר ונוסיף למערכי התרגול --ארז שיינר

שאלה 7 תרגיל 10

אפשר להוכיח קיום ע"י תהליך:

א) קודם כל, אם הפונקציה רציפה, ומתקיים התנאי [math]\displaystyle{ f(0)=f(a) }[/math] והפונקציה בתחום [math]\displaystyle{ [0,a] }[/math] אזי קיים מינימום ומקסימום בתחום הנתון, כך שלפחות אחד מסוגי נקודות קריטיות אינו נק' קצה.

ב)ניקח את הנק' הקריטית, ע"פ משפט כלשהו (לא זוכר שם), קיימות שתי נקודות בכל סביבה של הנקודה שנבחר, כך שהשיפוע הישר בינהם שווה לנגזרת בנקודה עצמה.ולכן, השיפוע של הישר יהיה שווה ל-0.

ג)ניקח סביבה כלשהי של הנקודה, כך שהקצוות שלה יוצרות ישר עם שיפוע 0.נקרא לקצוות [math]\displaystyle{ x_{1}\lt x_{2} }[/math].כל עוד לא מתקיים [math]\displaystyle{ x_{2}-x_{1}=\frac{a}{2} }[/math]: נסמן את הנקודה [math]\displaystyle{ x_{2}=x_{1}+\frac{a}{2} }[/math]. נמצא את הנקודה הקרובה מימין שמקיימת[math]\displaystyle{ x:f(x)=f(x_{2}) }[/math], ונסמן [math]\displaystyle{ x_{1}=x }[/math]. כיוון שהפונקציה רציפה,התהליך מוגדר היטב.מה שיוצא בסוף זה שקיים כזה [math]\displaystyle{ x_{1} }[/math] שמקיים את התנאי.

לא ברור לי באיזה משפט אתה נעזר. אבל, אין לך שום מידע על גזירות הפונקציה באיזושהי נקודה. --מני 23:46, 15 בינואר 2012 (IST)

ראיתי משפט כזה איפהשהו, לא זוכר איפה, ולא זוכר שם. אבל בנקודה קריטית תמיד קיימת הנגזרת, והיא שווה ל-0, אלא אם כן יש שם אי רציפות, אבל לפי הנתונים הפונקציה רציפה בכל התחום.אנו משתמשים פה בנגזרת של נקודה קריטית.

הפונקציה ערך מוחלט רציפה בכל [math]\displaystyle{ \Bbb R }[/math] מקבלת מינימום מוחלט ב0 אבל לא גזירה ב0. --מני 13:16, 16 בינואר 2012 (IST)

זה נחשב כנקודה קריטית? אבל בכל מקרה, פונקציה זו לא מקיימת את תנאי הבעיה אז לא ניתן להביא אותה כדוגמה נגדית להוכחה שלי.חוץ מזה, הכוונה שלי הייתה למצוא שתי נק' שהישר בינהם מקביל לציר ה-X ולא לנקודה קריטית. אפילו אם יש נק' קיצון שהיא "שבירה" של הפונקציה, אז האלגוריתם עובד.

העובדה שלא ניתן למצוא דוגמא נגדית לתרגיל, נובעת מזה שהוא נכון. לעומת זאת, הדוגמא בוודאי סותרת את ההנחה שאתה משתמש בה לפיה הפונקציה גזירה. אתה הגדרת כי קיימת נקודה קריטית, כאשר התכוונת לנקודת מקסימום או מינימום. עקרונית ההוכחה הזו אינה תקיפה כי היא מניחה נתון שלא קיים - גזירות הפונקציה --ארז שיינר

אפשר להשתמש בשיעורי בית שפונקציה שרציפה במש במספר

סופי של קטעים אזי היא רציפה באיחוד של הקטעים?

כן --ארז שיינר

הרחבה לאריתמטיקה

ניסיתי לשווא להוכיח עפ"י הגדרה ש[math]\displaystyle{ lim a_n^{limb_n}=lim a_n^{b_n} }[/math] (כאשר הגבולות קיימים). איך עושים את זה? (או מפריכים)

לאחר שתלמדו על פונקציות רציפות ותוכיחו שפונקצית ln רציפה, התשובה לשאלה תהיה יותר ברורה.

--מני

אתם יכולים לתת לי רמז איך להוכיח

ששורש X היא פונקציה רציפה במש בקטע (0,1)תודה

היא רציפה בקטע הסגור גם... משפט קנטור --ארז שיינר

סליחה התבלבלתי קודם איך אני מוכיח את זה לקטע הפתוח מ0 עד אינסוף?

תחלק לקטעים גדול מאחד וקטן מאחד--ארז שיינר

להוכיח לפי הגדרת היינה תרגיל 8 מדמח

בשאלה 1 צריך להוכיח לפי הגדרה. בסעיפים א-ד אפשר להוכיח לפי ההגדרה של היינה, פשוט לוקחים סדרה כלשהי Xn ששואפת ל-X0 ואומרים שלכל סדרה כזאת אם מפעילים עליה את הפונקציה f(xn), הגבול של זה באינסוף הוא L. זו הוכחה טובה? במקרה כזה האם יש חובה להשתמש ההגדרה של קושי? בסעיף ה חייבים להשתמש בהגדרת קושי.

אני חושב שהכוונה שם זה להגדרת קושי ולא היינה --ארז שיינר

תרגיל 11 שאלה 7

אפשר לקבל איזשהי הכוונה או איזשהו ספויילר??

השאלה ופתרונה מזכירים מאד שאלה מתרגיל 10. --מני 18:54, 21 בינואר 2012 (IST)

סתם שאלה

אני שואל מבחינה אינטואיטיבית על איך נראה גרף של פונקציה שאינה רבמ"ש בקטע מסוים. יכול להיות שמדובר בעליות (וירדות) חדות או מהירות...?

אינטואיטיבת קצת קשה לראות... אבל למשל [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] היא לא רבמ"ש על הישר הממשי... וזה (ממש אינטואיטיבית) בגלל העליה היחסית חדה... --לואי 22:10, 21 בינואר 2012 (IST)

תודה.

תרגיל 11

האם המשפט שלמדנו על פונק' מחזוריות שרציפות בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] תופס גם אם הפונק' מוגדרת בקטע כלשהו(ולא בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math])? תודה.

מה הכוונה? הרי פונקציה רציפה על קטע סגור רציפה שם במ"ש. אם אתה משכפל את הפונקציה על כל ציר הממשיים, היא עדיין תהא רציפה במ"ש. אם תשכפל רק לצד אינסופי אחד, זה עדיין יהיה נכון. לגבי קטע סופי, שוב היא תהיה רציפה בקטע הסגור. --ארז שיינר

תרגיל 10 שאלה 1ב

אפשר לבחור פשוט x^3, נכון?

אפשר... רק מדוע זה יותר פשוט מסינוס? :) --לואי 13:11, 22 בינואר 2012 (IST)

כי לא הוכחנו שסינוס מקיים את הדרישה הזאת (וגם לא את הנוסחה של חיבור בשביל הוכחת הרציפות).

העובדה שפונקצית סינוס היא אי זוגית אמורה להיות מוכרת עוד מהתיכון. כמו כן היא אחת מהפונקציות האלמנטריות שעליהן ידוע שהן רציפות בתחום הגדרתן. --מני 23:16, 22 בינואר 2012 (IST)

תרגיל 10 שאלה 2

צריך לבחור [math]\displaystyle{ min(\delta,\alpha) }[/math], נכון? (זה מובלע בסוף התשובה)

[math]\displaystyle{ \alpha }[/math] עושה את העבודה לבד. לא צריך לקחת מינימום. --מני 23:09, 22 בינואר 2012 (IST)

הרחבה לתרגיל 10 שאלה 1

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \exists c \in \mathbb{R} : \forall x \in \mathbb{R}:( x \neq c\rightarrow f(c+x)=-f(c-x)) }[/math].

אני טוען שאם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב-[math]\displaystyle{ c }[/math], אזי [math]\displaystyle{ f(c)=0 }[/math].

הפתרון שלי הוא להגדיר פונ' [math]\displaystyle{ g }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ \forall x \in \mathbb{R}:g(x)=f(x+c) }[/math] ולהשתמש במה שהוכחנו.

השאלות שלי: האם הפתרון נכון? איך מוכיחים את זה עם סדרות?

האם לא התכוונת דווקא [math]\displaystyle{ \exists c \in \mathbb{R} : \forall x \in \mathbb{R}:( x \neq 0\rightarrow f(c+x)=-f(c-x)) }[/math]?. --מני 23:12, 22 בינואר 2012 (IST)

כן, נכון.

הפתרון נכון. אותן סדרות שעבדו בשביל f בשאלה המקורית יעבדו עכשיו בשביל g.

שהרי g רציפה ב0 וכמו כן [math]\displaystyle{ g(x)=-g(-x) }[/math] לכל x השונה מאפס. --מני 18:39, 23 בינואר 2012 (IST)

"אותן סדרות שעבדו בשביל f בשאלה המקורית יעבדו עכשיו בשביל g" איך זה יכול להיות אם הן אפילו לא בהכרח שואפות לc?

נראה לי שלא הובנתי. במילים "השאלה המקורית" הכוונה שלי היתה לשאלה 1 מתרגיל 10. אין צורך שהסדרות ישאפו לc אלא לאפס. כל הרעיון להגדיר את הפונקציה g הוא כדי שאפשר יהיה לעבור מדיון ברציפות בc לרציפות באפס. שבה דנים בשאלה 1 תרגיל 10. מסיקים לגבי g ש

[math]\displaystyle{ g(0)=0 }[/math] וממילא אפשר לקבל מה שצריך בבעיה המורחבת --מני 18:45, 24 בינואר 2012 (IST)

[מדמ"ח] תרגיל 9 שאלה 1ז

הפונקציה מכילה שורש של x-7 ולכן עבור כל x < 7 הפונקציה לא מוגדרת כלל. האם זה נחשב אי רציפות מסוג שני עבור כל x < 7? (בלי קשר לעובדה שצריך לבדוק את הנקודות 2 ו 2- כי גם בהם הפונקציה בעייתית).

בנקודות בהן אין סביבה בה הפונקציה מוגדרת, אין גבול ולכן זה מין שני. --ארז שיינר

הגבלת האפסילון

איך מוכיחים שבקריטריון קושי ובהגדרת הגבול מספיק להראות לכל אפסילון רציונלי?

יהי [math]\displaystyle{ \epsilon'\gt 0 }[/math] בודאות קיים [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] רציונלי הקטן מ[math]\displaystyle{ \epsilon' }[/math]. מכאן...--מני 19:05, 23 בינואר 2012 (IST)

אז אפשר גם להרחיב את הטענה: (סטייל מבחן העיבוי) תהי [math]\displaystyle{ {a_n} }[/math] חיובית ממש (אפילו לא צריך יורדת) כך ש[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_n=0 }[/math].

אם לכל [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] קיים דלתא כך ש... הערך המוחלט קטן מ[math]\displaystyle{ a_n }[/math], אז הגבול של הפונק' קיים ושווה [math]\displaystyle{ L }[/math]. האם הטענה נכונה? (זה משפט די מגניב ^_^)

לא הבנתי מהי הטענה. --מני 19:13, 24 בינואר 2012 (IST)

בוחן תיכוניסטים 4

מתרגלים יקרים, מהו החומר לבוחן הרביעי של התיכוניסטים ב - 29/1 מבחינת תרגילים ומבחינת תרגולים? תודה רבה מראש

תרגילים 10-12, תרגולים: כל מה שנחוץ על מנת לפתור את תרגילים 10-12 --ארז שיינר

ציון תרגיל סופי

אם עשיתי את כל 3 הבחנים שהיו ויש לי בסה"כ 99, האם זה נחשב 99 בציון תרגיל, או שזה 99/108?

זה 99 --ארז שיינר

תודה!

התרגיל ברבמ"ש שלא הצלחנו בתירגול

היינו צריכים להוכיח ש[math]\displaystyle{ f(x)=xlnx }[/math] אינה רבמ"ש בחלק החיובי של ציר הx.

חשבתי על פתרון (כי עדיין לא העלו אחד), לפי ההגדרה עצמה.

ברמת העיקרון שצריך להוכיח שקיים [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] אבל זה עובד לכל אחד.

יהי [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math], נניח כי [math]\displaystyle{ 1\gt \delta }[/math].

אזי ניקח [math]\displaystyle{ x_{0}, x_{1}:=x_{0}+\frac{\delta }{2} }[/math] ונביט בהגדרה:

[math]\displaystyle{ |f(x_{1})-f(x_{0})|=|(x_{0}+\frac{\delta }{2})ln(x_{0}+\frac{\delta }{2})-x_{0}lnx_{0}|=|\frac{\delta }{2}ln(x_{0}+\frac{\delta }{2})+x_{0}ln\frac{x_{0}+\frac{\delta }{2}}{x_{0}}| }[/math]

מתקיים: [math]\displaystyle{ \frac{x_{0}+\frac{\delta }{2}}{x_{0}}\gt 1\Rightarrow ln(\frac{x_{0}+\frac{\delta }{2}}{x_{0}})\gt 0 }[/math]

ולכן מספיק למצוא x כך שיתקיים [math]\displaystyle{ \frac{\delta }{2}ln(x_{0}+\frac{\delta }{2})\geq \varepsilon }[/math]

ניקח [math]\displaystyle{ x_{0}=e^{\frac{2\varepsilon }{\delta }}-\frac{\delta }{2} }[/math] וסיימנו.

יפה מאד, העתקתי למערכי התרגול. --ארז שיינר

או להוכיח שהגבול ב-0 הוא מינוס אינסוף (בעזרת משפט לופיטל ומשפט 5) ואז בקטע הפתוח והסופי, מ-0 ועד 1 הפונקציה לא חסומה--> הפונקציה אינה רבמ"ש.

רק שהגבול לפי לפיטל הוא 0.

הגדרנו גזירוּת בקטע סגור?

(לפי גזירה מהצד המתאים בקצוות?) השאלה היא כי בכל המשפטים שמתי לב שלא דורשים גזירות בקטע סגור.

בדומה לרציפות, יש נגזרת מימין ונגזרת משמאל, אך במשפטים שלמדנו צריך שהפונקציה תהיה גזירה בכל נקודה בקטע=כל נקודה תהיה גזירה משני הצדדים, ואם מבטיחים גזירות בקטע פתוח אז בהכרח זה משני הצדדים. (בשונה מקטע סגור)

גבול קשה

שאלה 2 פה?

אינטואיטיבית הסוגריים הם כמו [math]\displaystyle{ \pi n }[/math] ולכן הגבול הוא 0 . פורמלית?

אני חושב שפורמלית הגבול הוא 1. אל תשכח/י שהשורש הוא מספר אי רציונלי. תנסה/י עוד קצת, ואם לא תצליח/י אני אפרסם כאן איך פותרים. (רמז: נמצא את גבול הסדרה [math]\displaystyle{ \sqrt{n^2+n}-n }[/math])

לפי הצבת 100 הגבול הוא באמת 1. ע"י הכפלה בצמוד וחלוקת מונה ומכנה בn מקבלים שהגבול שכתבת שווה חצי. מוסיפים ומחסרים בתוך הסוגריים [math]\displaystyle{ \pi n }[/math] ומקבלים ביטוי ששואף ל[math]\displaystyle{ 3\pi/2 }[/math], ולפי הרכבת רציפות מקבלים הדרוש, לדעתי :)

איפה נעזרת באי-רציונליות?

זה בדיוק מה שעשיתי (חוץ מזה שהוכחתי גם את התכנסות הסדרה. זה שואף ל1+- לפני הבריבוע, ולכן ל-1), איפה נעזרתי באי-רציונליות? מה זאת אומרת? לא ממש הבנתי את השאלה, אבל אני יכול לומר מה שאני יודע שכן עשיתי: לא יכולתי להשתמש ישר בנוסחה של 0=sin n pi ולכן רציתי להגיע לביטוי שמתכנס לזה. זה למה החסרתי ב-n (לא ככה עליתי על זה אבל זה לא משנה) וככה מצאתי שהביטוי שואף לביטוי אחר שאיתו ניתן להשתמש בנוסחה. מכיוון וזוהי שאיפה, למרות שזה לא בדיוק 0.5 זאת עדיין שאיפה בשונה משורש של מספר לא ריבועי.

פתרון תר׳ 10 שאלה 3ב

ה0= בפתרון לx=1 הוא טעות, נכון?

כנראה שאתה צודק. כי: 1.צריך להוכיח שאותו גבול לא קיים. 2.הגבולות החד צדדיים הם 1,1-.

אחוז ציון תרגיל

הציון תרגיל מהווה 10% או 20% מהציון הסופי?

עליתי על טעות בחלק מהוכחות על דרך השלילה באתר + שאלה

אם מוכיחים משהו על דרך השלילה, חייבים להראות שמה שנותר כן עובד. דוגמא: באינפי, תרגיל 10 שאלה מס' 4: הראנו שהאפשרות של f לא קבועה לא מקיימת את התנאים, אך עדיין נותר להוכיח ש-f קבועה מקיימת את התנאים! זה לא קשה אבל הכרחי.

דבר נוסף, בבוחן הקרב, מותר להשתמש בנימוקים שיש בפתרונות של התרגילים? (שם אומרים-"קל לראות שסדרות אלו שואפות ל-1" בהוכחה עצמה, האם בבוחן גם מותר?)

אם רוצים להוכיח שא' גורר ב' זה שקול להוכיח ששלילת ב' גוררת שלילת א'. אין שום צורך להראות שפונקציה קבועה מקיימת את התנאים. יש שני מצבים פונקציה קבועה ופונקציה שאינה קבועה. אנו צריכים להוכיח שאם התנאים מתקיימים אז הפונקציה קבועה וזה שקול לכך שאם הפונקציה לא קבועה אז התנאים לא מתקיימים.

אם רוצים להוכיח א' גורר ב'. אז אם תנאי א' לא מתקיימים אף פעם הגרירה מוחזקת כפסוק אמת. אגב, אם השאלה היתה בניסוח של אם ורק אם אז הטענה שלך היתה נכונה. --מני 21:01, 28 בינואר 2012 (IST)

תרגיל 11 שאלה 1

קראתי את הפתרון ולא הבנתי:

1. למה אם לפי הגדרת הגבול מתיחסים לX>M הקטע שמתייחסים אליו הוא (M,INFINIT] כלומר כוול את M.

2. מה לגבי המקרה שבו איקס 1 איבר במM עד אינסוף והשני בקטע מa עד M פלוס 1?

1. זה נכון, צריך לקחת נקודה טיפה אחרי M

2. צריך למצוא דלתא כלשהי. אם דלתא קטנה מאחד, זה מבטיח שהזוג יהיה באחד הקטעים, ולכן יש לו דלתא כזו באמת... --ארז שיינר

שגיאה בתר' 12 שאלה 8?

אסור להשתמש בלגראנז' כי גזרנו את סינוס לפי גבול לפי מה שצריך להוכיח.

נכון.יפה שעלית על זה. אתם יכולים לדלג על שאלה זו. לטובת מי שלא הבין את מה שנאמר כאן (האמת שאני אחד מהם עד שפיענחתי את כוונתך), כדי לגזור טנגנס צריך לגזור סינוס וקוסינוס. בהוכחת הנגזרת של סינוס משתמשים בגבול [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{sin(x)}{x}=1 }[/math]. אבל את הוכחת הגבול הזו מוכיחים בין השאר באמצעות אי השוויון [math]\displaystyle{ tan x\gt x }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ (0,\frac{\pi}{2}) }[/math].

אבל אי השוויון האחרון זה מה שאנו מבקשים להוכיח בתרגיל. אי אפשר לעשות זאת עפ"י לגרנז' כי הנגזרת של tan(x נובעת מאי השוויון הזה לפי כל מה שתואר לעיל (לפחות לפי המסלול של ההוכחות הזה). זה יוצר סוג של לולאה.

בכל מקרה איך הוכחתם בהרצאה את אי השויון [math]\displaystyle{ tan x\gt x }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ (0,\frac{\pi}{2}) }[/math]? הההוכחה היתה גיאומטרית. שורה תחתונה- ניתן להתעלם מהשאלה. --מני 23:08, 30 בינואר 2012 (IST)

לא הוכחנו. ההוכחה לא פשוטה -- המרצה אמר שנתעלם מזה. (אפשר להגדיר מלכתחילה את טנגנס לפי [math]\displaystyle{ x+x^3/3+(2 x^5)/15+... }[/math] ואז טריוויאלי, אבל במקרה כזה צריך להראות שההגדרות שקולות - וזאת בעיה בלי נגזרת...)

היה נדמה לי שתלמידי ד"ר הורוביץ ראו את ההוכחה הגיאומטרית. (לא יודע אם אתה בקבוצה שלו). ההוכחה הגיאומטרית אינה מסובכת. אפשר למצוא אותה למשל בספרים סטנדרטיים של אינפי (בספר של בן ציון קון לפחות יש).--מני 20:34, 31 בינואר 2012 (IST)

היא לא מסובכת כי היא רמאות. ד"ר שיין הביא אותה, ואז הבהיר שנשאר מה להוכיח. (מחליטים בלי סיבה שקו אחד גדול מהשני, או משתמשים בנוסחה לשטח שמקבלים מאינטגרלים שמקבלים מ... הנגזרת של סינוס :) יש שיטות לא קשות, אבל הן דורשות הכנה קטנה (מיצוי) או עבודה (5 דקות גיאומטריה))

רבמ"ש שיטת הסדרות מערכי תרגול

תוכלו להעלות הוכחה לשיטה? כמו כן, צריך להיות [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] ולא רק שונה.

ההוכחה דיי טריוויאלית, אם יש אינסוף זוגות כאלה, אז לכל דלתא יש זוג. ותיקנתי לגבי הa, תודה. --ארז שיינר

אני נורא מבולבל

הממ אמרו לנו שיש פונקציות שמוגדרות על כל הישר כמו sin(x),cos(x),x וכו' מה קורה באינסוף או במינוס אינסוף נניח אפשר לקחת בעבור cos(x) שתי סדרות ששואפות לאינסוף אבל עם גבולות שונים אז זה אומר ש cos(x) לא מוגדרת באינסוף לא? ומה עם x או a^x האם הן מוגדרות באינסוף?

פונקציה אינה מוגדרת באינסוף, לפעמים יש לה גבול ולפעמים לא. יש גבול (לפי היינה) אם לכל סדרה השואפת לאינסוף, הפונקציה עליהן שואפות לגבול. לסינוס וקוסינוס בבירור זה לא מתקיים --ארז שיינר

השארית בטיילור יורדת?

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונ' ממשית וגזירה. האם בהכרח סדרת השאריות (של פולינום טיילור שלה סביב נק' כלשהי בתחום הגדרתה לאחר שהוצבה בו נק' אחרת) [math]\displaystyle{ \left \{ R_n \right \} }[/math] היא לא-עולה?

לא. --מני 13:07, 31 בינואר 2012 (IST)

דוג' נגדית?

זה רע, לא? אז מה הטעם בבחירה של n גדול כשאנחנו אפילו לא בטוחים שזה יביא לקירוב טוב יותר?

בדוגמאות המעניינות השארית שואפת לאפס ולכן ניתן לדאוג שהשגיאה תהיה קטנה כרצוננו.

לגבי דוגמא נגדית- פתח את הפונקציה [math]\displaystyle{ x^3 }[/math] סביב הנקודה 1.

פולינום טיילור מסדר 1 הוא [math]\displaystyle{ 1+3(x-1) }[/math]

פולינום טיילור מסדר 2 הוא [math]\displaystyle{ 1+3(x-1)+3(x-1)^2 }[/math]

פולינום טיילור מסדר 3 מתלכד עם הפונקציה והוא [math]\displaystyle{ 1+3(x-1)+3(x-1)^2+(x-1)^3 }[/math]

אם נציב עכשיו את הנקודה [math]\displaystyle{ -2 }[/math] בפונקציה נקבל את הערך [math]\displaystyle{ -8 }[/math].

אם נציב את הנקודה [math]\displaystyle{ -2 }[/math] בפולינומי טיילור מסדר 1,2,3 נקבל את הערכים:[math]\displaystyle{ -8,19,-8 }[/math]

השאריות התקבלות הן אפס אח"כ 27 ואח"כ שוב אפס. --מני 20:19, 31 בינואר 2012 (IST)

תרגילים מדמח

כמה תרגילים יהיו למדמ"ח ומתי צריך להגיש כל אחד מאלה שנשארו?

זהו, נגמר. צריך להגיש הכל השבוע. לצורך לימוד למבחן כדאי לפתור תרגילים של המתמטיקאים --ארז שיינר

אבל איזה תרגילים צריך להגיש? עד 10? 11?

רבמ"ש

[math]\displaystyle{ x^‎{1.01} }[/math] רציפה במ"ש בR? (התחושה היא שלא)

התחושה נכונה. נניח בשלילה שהפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=x^{1.01} }[/math] רבמ"ש. לכן גם [math]\displaystyle{ f(f(x)) }[/math]

רבמ"ש וגם הרכבה של f על עצמה "מספיק פעמים תהיה רבמ"ש. אם מרכיבים את f על עצמה מספיק פעמים מקבלים את הפונקציה [math]\displaystyle{ g(x)=x^{2+t} }[/math] עבור t>0. כעת להוכיח שg אינה רבמ"ש זה כבר יותר קל (למשל דרך הסדרות [math]\displaystyle{ n }[/math] ו[math]\displaystyle{ n+\frac{1}{n} }[/math] )וכך מקבלים סתירה. מה שאומר שהפונקציה f אינה רבמ"ש. --מני 01:01, 3 בפברואר 2012 (IST)

עוד רבמ"ש

[math]\displaystyle{ x^2sin(1/x) }[/math] רבמ"ש ב[math]\displaystyle{ R_+ }[/math]?

הנגזרת חסומה בקטע (הגבולות שלה באינסוף ו0 שואפים ל2 ו1 בהתאמה, והיא רציפה)

ציוני תרגול סופיים

מתרגלים יקרים, הקובץ של הציונים הסופיים בתרגול שפרסמתם מתייחס לתיכוניסטים? אני, תיכוניסט מס' 206086704, את ציוני שם לא מצאתי.

אתה מתכוון לתוצאות הבוחן הרביעי? --ארז שיינר

היי!!!

תוכלו לעלות פתרונות לאינפי 12? תודה!

לימוד למבחן.

זה מאוד יעזור אם תכתבו פה איך אפשר ללמוד למבחן בצורה הכי טובה. תודה :)

כמו בכל מבחן, לעבור נושא נושא על הרצאה, תרגול, תרגילי בית. אחרי זה לקחת מבחן משנה קודמת, לשבת עליו שעתיים לבד בלי חומר עזר ולהעריך את היכולות שלך. (וחוזר חלילה) --ארז שיינר

שאלה לגבי המבחן

האם יהיה צריך במבחן להגדיר הגדרות ?

אם מוכיחים משפט צריך להגדיר אותו היטב. אם פותרים תרגיל צריך לדעת באיזה משפט או הגדרה השתמשת במדויק --ארז שיינר

חזקה של גבולות

אם בסיס החזקה שואף אבל לא שוה ממש לסמפר ממשי גדול מ1 ומעריך החזקה הוא n האם זה נכון שהביטוי שואף לאינסוף? (ובאופן דומה לאפס שכהביטוי בבסיס שואף למספר בין 0 ל1)

כן. --מני 19:26, 6 בפברואר 2012 (IST)

טעות בת.ז

בבחנים האחרונים באינפי טעו בדף הציונים שפורסם באתר בת.ז שלי (אותה הטעות) במקום 313525727 יש 313525777

אם אפשר לשנות או לבדוק במערכת לגבי הקורס עצמו (למקרה שאני רשום בת.ז לא נכונה) דרך אגב זה קרה רק באינפי.

פתרונות של מבחנים

לא לכל אלה שבמאגר יש פתרונות...איפה הם נמצאים?

אין פתרונות למאגר, הוא עלה רק לפני חודש. ככל שיפתרו יותר יהיה יותר פתרונות --ארז שיינר

שאלה מטופשת

אם פונקציה היא גזירה בנקודה אז היא בפרט מוגדרת בסביבתה, נכון? (היה ברור לי שכן, אבל ראיתי במבחן שנתון שפונקציה "מוגדרת בסביבת נקודה וגזירה בה".)

כן, כי מוגדרות זו דרישת סף לקיום גבול. --ארז שיינר

סיבוכיות יתר...

אני טוען [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\lim_{k \to \infty } \frac{2^k+3^k}{2^{k+n}+3^{k+n}}=0 }[/math].

(פורמלית, [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left \{ \lim_{k \to \infty } \frac{2^k+3^k}{2^{k+n}+3^{k+n}} \right \}_{n=1}^\infty }[/math])

ניסיתי להבין מה בעצם כתבתי בלשון אפסילון ודלתא (בלי שימוש ב(פרדיקט?) lim), ולאחר כאב ראש או שניים יצא הביטוי הבא:

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\lim_{k \to \infty } \frac{2^k+3^k}{2^{k+m}+3^{k+m}}\leftrightarrow \forall \epsilon \gt 0\exists N_\epsilon \in \mathbb{N} \forall n\gt N_\epsilon \exists L \in \mathbb{R}:(\forall \alpha \gt 0\exists K_\alpha \in \mathbb{N}\forall k\gt K_\alpha :(|\frac{2^k+3^k}{2^{k+n}+3^{k+n}}|\lt \alpha \wedge |L|\lt \epsilon )) }[/math]

אשמח אם מישהו יאשר

1)את קיום המשמעות בכלל למה שרשמתי, ואת נכונות:

2)הטענה (על הגבול),

3)השימוש במילה פרדיקט,

4)הביטוי.

התרגיל קשור לגבול חוזר שאותו לומדים באינפי 3 ואולי ב2 אבל אני לא חושב שבאינפי 1. הגבול אכן שווה לאפס. לכל n קבוע הגבול הפנימי הוא [math]\displaystyle{ \frac{1}{3^n} }[/math] ומכאן אפשר להסיק שהגבול החוזר הוא אפס.

לא ברורה לי החלפת n בm וכן איך קיבלת את הביטוי עצמו. אני לא רואה איפה האינדקס k משתלב אצלך. על פניו מה שרשמת אינו שקול לכך שהגבול החוזר הוא אפס.

--מני 19:33, 7 בפברואר 2012 (IST)

ה-m הייתה שגיאת הקלדה. תיקנתי את K. עכשיו בסדר?

נראה לי שבסוף אין צורך לקחת L בערך מוחלט שקטן מאפסילון אלא פשוט L שקטן מאפסילון וכמו כן במקום

[math]\displaystyle{ (|\frac{2^k+3^k}{2^{k+n}+3^{k+n}}|\lt \alpha }[/math] צריך [math]\displaystyle{ (|\frac{2^k+3^k}{2^{k+n}+3^{k+n}}-L|\lt \alpha }[/math] --מני 21:31, 7 בפברואר 2012 (IST)

למה לא צריך ערך מוחלט?

אתה צודק. תתעלם מההערה שלי על הערך המוחלט. בפועל אותו L הוא חיובי כך שאין צורך בערך מוחלט אבל פורמלית יש מקום לערך המוחלט. --מני 00:21, 8 בפברואר 2012 (IST)

שאלות באינפי...

אפשר עזרה בלהוכיח שהיינה בורל ובולצאנו ווירשטראס שקולים ובנוסף איך מראים שגבול חלקי עליון וגבול חלקי תחתון תמיד קיימים??? מה קורה אם יש לי אינסוף גבולות חלקיים?

לגבי השאלה השניה-גם אם יש אינסוף גבולות חלקיים יהיה קיים הגדול והקטן ביותר. אני אציין את הסיבה לגבי הגבול הגבול ביותר-

ניתן להוכיח שתמיד מתקיים: [math]\displaystyle{ \lim sup a_n=inf_{n\in \Bbb N} sup\{a_k:k\geq n\} }[/math] כלומר תמיד יש גבול חלקי של הסדרה השווה לביטוי מימין ואין תת סדרה המתכנסת לגבול חלקי הגדול מהביטוי באגף ימין. זה בלי תלות אם מספר הגבולות החלקיים הוא סופי או אינסופי. לגבי השאלה הראשונה- אני מניח שהוכחה לשני המשפטים ראיתם בהרצאה. אם אתה מחפש שקילות אז ההצעה הכי טובה שלי היא לחכות לקורס טופולוגיה שם תיתקל במושגים כמו קומפקטיות וקומפקטיות סדרתית שבעזרתם השקילות תיראה יותר ברורה. כך למשל משפט בולצאנו ויירשטראס שקול לכך שלתת קבוצה אינסופית חסומה וסגורה של [math]\displaystyle{ \Bbb R }[/math] יש לפחות נקודת הצטברות אחת. משפט היינה בורל שקול לכך (וזה יותר קשה לראות אבל כן רואים בטופולוגיה) שלכל סדרה המוכלת בקבוצה חסומה וסגורה יש תת סדרה המתכנסת לגבול השייך לאותה קבוצה. --מני 11:24, 8 בפברואר 2012 (IST)

מציאת גבול פונקציה

בתרגיל שמבקשים למצוא גבול לפונקציה האם עליי קודם להוכיח שיש לה גבול ואם כן אז איך אני עושה זאת?

תלוי איזה תרגיל. יש דוגמאות רבות לכל סוגי התרגילים באתר, אם יש שאלה ספציפית נשמח לענות עליה. --ארז שיינר

תלמיד מתמטיקה :האם הוכחנו שאם הנגזרת גדולה מ0

אזי הפונקציה עולה?

כן, שכן השיפוע חיובי באיזור הנקודה, כלומר המונה בביטוי הגבול של הנגזרת חיובי מימין ושלילי משמאל (שכן המכנה תמיד חיובי מימין ושלילי משמאל) --ארז שיינר

משפטים למבחן: מבחן לייבניץ

מתרגלים נכבדים, שימו לב שלא דבקתם בניסוח של ד"ר הורוביץ, לפיו: בנוסף לכך שהטור מתכנס. הוא מתכנס למספר [math]\displaystyle{ s }[/math] כך ש: [math]\displaystyle{ 0 \leq s \leq a_1 }[/math].

אין לכך זכר לא בניסוח ולא בהוכחה.

את הניסוח תנסחו במדויק כפי שראיתם בהרצאה. זה כן נובע מההוכחה, כיוון שרשום שהשארית קטנה מהאיבר בו עצרת. בפרט אם תעצור באיבר הראשון השארית תהא כל הטור והיא קטנה מהאיבר הראשון.

בלי קשר, ככל, ייתכנו סטיות בהוכחות מחומר ההרצאה, שכן את ההוכחות אלה כתבנו אנחנו. המטרה העיקרית שלהן היא להציג דרכים פשוטות להוכחה העוזרות לזכור אותה יותר טוב. אם יש הוכחות קצרות יותר תמיד נשמח לשמוע אותן. --ארז שיינר