שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעד מדמח
הוספת שאלה חדשה[עריכה]
הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).
-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן
אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.
שאלות[עריכה]
שתיי שאלות בנושא חסמים[עריכה]
1. מה צריך לקיים חסם עליון של קבוצה, שהוא גם המקסימום של הקבוצה?
2. נניח שנתונה הקבוצה הבאה:
zz A={2,3,5,8} zz
החסם העליון שלה הוא 8.
אבל משהו כאן לא ברור לי.
ע"פ הגדרת החסם העליון מתקיים ש-8 חסם מלעיל של A (עם הדרישה הזו אין לי בעיה).
אבל צריכה להתקיים דרישה נוספת, שאיתה דווקא יש בעיה...
הדרישה אומרת שלכל e>0 קיים איבר a ב-A כך ש-a > 8-e.
אבל עבור e=0.1 למשל, (ועבור אפסילונים רבים אחרים), לא קיים איבר a ב-A כך ש- a>8-e.
אם כך, הדרישה השנייה של קיום חסם עליון, אינה מתקיימת. מדוע אז 8 הוא בכל זאת חסם עליון?
- על מנת להיות מקסימום, האיבר צריך להיות שייך לקבוצה. לגבי הדוגמא שנתת, בוודאי שיש איבר a כזה. שכחת את 8 בעצמו! הרי
- [math]\displaystyle{ \forall \epsilon\gt 0:8\gt 8-\epsilon }[/math]
- --ארז שיינר 21:31, 23 באוקטובר 2013 (IDT)
איך מוכיחים שהמקסימום של קבוצה הוא הסופרימום של הקבוצה?[עריכה]
תודה
- הוכחה: נניח M הוא המקסימום של הקבוצה A, לכן ברור שהוא חסם עליון.
- נותר להוכיח, אם כן, שאין חסם עליון קטן יותר מM.
- נניח בשלילה שיש חסם עליון כזה N שקטן ממש מM.
- כיוון שM מקסימום, הוא שייך לקבוצה.
- לכן, יש איבר בקבוצה (M בעצמו) שגדול יותר מN בסתירה לכך שN הוא חסם מלעיל.
- --ארז שיינר 21:32, 23 באוקטובר 2013 (IDT)
שאלה לגבי תרגיל שמופיע באתר[עריכה]
אומנם מופיע גם הפתרון..אבל יש שם כמה דברים שלא מובנים לי..
השאלה הולכת כך:
יהיו קבוצות A,B מוכלות בממשיים. כל איבר ב-A קטן או שווה לכל איבר ב-B.
צריך להוכיח ש-supA<=infB.
האמת שזה די אינטואיטיבי..במיוחד אם מסתכלים על שניי תת-קטעים A , B , על הציר הממשי, שמקיימים את הנתון שכל איבר ב-A קטן שווה לכל אביר ב-B.
בסדר..מניחים בשלילה ש-supA>infB
האם נכון לומר, שמההנחה בשלילה אפשר להסיק שיש קטע (infB,supA), כך שכל איבר בקטע שייך גם לקבוצה A וגם לקבוצה B?
- לא. אין דרישה שקבוצה תכיל את כל המספרים הממשיים בקטע מסויים. קבוצות יכולות להיות אפילו סופיות. --ארז שיינר 21:34, 23 באוקטובר 2013 (IDT)
מדוע [math]\displaystyle{ 0.99999...=1 }[/math][עריכה]
זה הוזכר גם בהרצאה וגם בתרגול ולא מובן לי בכלל למה זה נכון.
- עיקר הבעייה היא שלא למדתם כלל את הגדרת הממשיים, ולכן גם לא את הגדרת המספר [math]\displaystyle{ 0.999... }[/math].
- המספר אינו מוגדר על ידי הספרות שלו, אלא על ידי סכום אינסופי מהצורה [math]\displaystyle{ 0.999...=0.9+0.009+0.0009+... }[/math]
- נראה הגדרת סכום אינסופי שכזה בהמשך הקורס.
- ובכל זאת, על מנת להבין מדוע מספרים אלה שווים, אפשר לראות את ההסבר הבא:
- נסמן [math]\displaystyle{ x=0.999... }[/math], לכן מתקיים [math]\displaystyle{ 10x=9.999... }[/math]
- לכן מתקיים [math]\displaystyle{ 10x-x=9 }[/math]
- כלומר [math]\displaystyle{ 9x=9 }[/math]
- כלומר [math]\displaystyle{ x=1 }[/math].
- המסקנה היא שגם לפי חוקי המתמטיקה שאתם מכירים על מספרים ממשיים, יוצא שזה אותו המספר. כאמור, אני מקווה שנבין את המספרים הממשיים טוב יותר במהלך הסמסטר.
- --ארז שיינר 21:39, 23 באוקטובר 2013 (IDT)
שאלה בחסמים[עריכה]
תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq R }[/math] ונתון ש- [math]\displaystyle{ 0\notin A }[/math].
מגדירים את הקבוצה: [math]\displaystyle{ A^{-1}=\left \{{1/a|a\in A}}{ \right \} }[/math].
הוכח/הפרך: אם A חסומה מלעיל, אז [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] חסומה מלעיל.
לדעתי הטענה לא נכונה.
למשל עבור [math]\displaystyle{ A=(0,1) }[/math] מתקיים ש-A חסומה מלעיל (למשל ע"י 3), אבל [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] לא חסומה מלעיל.
האינטואיציה היא שבגלל ש-[math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] מוגדרת להיות 1 חלקי איברי A, אז עבור איברי A שקרובים ל-0, השבר מתהפך והקבוצה
[math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math], לא תיהיה חסומה מלעיל.
השאלה שלי היא כיצד אני מוכיח את זה בצורה מדוייקת.
בעצם מה שאני רוצה להראות, זה ש-[math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] לא חסומה מלעיל. כלומר להראות שמתקיימת הטענה הבאה:
[math]\displaystyle{ \forall M\exists a\in A^{-1}:a\gt M }[/math]. שזו בעצם השלילה של קיום חסם מלעיל.
איך אני מראה את זה???
- השורה האחרונה שלך נכונה. אתה צריך להראות שלכל מספר M קיים איבר בקבוצה שגדול ממנו. איברים בקבוצה הזו הם מהצורה של אחד חלקי איברים מהקטע בין אפס לאחד.
- אז רק צריך להראות ש [math]\displaystyle{ \frac{1}{M+1}\in A^{-1} }[/math] --ארז שיינר
מה נסגר עם הנוסחאות??????????????? אני לא מצליח לראות מה אני כותב. לא הבנתי גם מה אתה כתבת כי הנוסחה לא מופיעה כמו שצריך =\
משמעות הביטוי הבא[עריכה]
היי, שאלה , האם כדי להפריך טענה מסויימת מספיק לתת דוגמא נגדית ? ספציפית? כלומר לבחור 2 קבוצות עם מספרים שלא מקיימים את הטענה ?
- כן --ארז שיינר
בתרגיל 3 שאלה 2 סעיף ג' יש לי תהיה[עריכה]
האם הסדרה an=0 סותררת את ההנחה מכיוון ש an אינו גדול ממש מ0 לכל n באשר הוא?
- אם היא מקיימת את תנאיי השאלה, אך לא את המסקנה, היא אכן מהווה דוגמא נגדית. --ארז שיינר
הוכחה שגבול של סדרה הוא אינסוף באמצעות הגדרת הגבול.[עריכה]
לפי הגדרת גבול של סדרה [math]\displaystyle{ |an - l| = epsilon }[/math] לצורך העניין [math]\displaystyle{ an=n^2/(n+1) }[/math] השאלה היא איך אני ממשיך מכאן.. כשהגבול הוא מספר, אז זה ברור - מציבים במקום L ופותרים.. אבל כשהגבול הוא אינסופי לא ניתן לחשב.. הבנתי שצריך לבחור אפסילון כלשהו וליצור אי שיוויון, אבל לא הבנתי בדיוק איך עושים זאת ? אשמח להכוונה, תודה
- הגדרת הגבול לאינסוף היא הגדרה אחרת. התכנסות זו נקראת "התכנסות במובן הרחב". ניתן לקרוא על זה כאן --ארז שיינר
תרגיל 3 שאלה 1[עריכה]
איך מוכיחים שמספר אינו גבול של סדרה?
מניחים בשלילה שהוא כן הגבול, ומוצאים אפסילון>0 שעבורו לא מתקיימת הגדרת הגבול. סתירה.
- אופיר.
שאלה בנוגע לגבולות חלקיים.[עריכה]
אם אני מפרק סדרה לתתי סדרות מתכנסות אשר איחודן מהווה את כל איברי הסדרה. האם אני יכול להניח שהגבולות של התתי סדרות האלה הינם הגבולות החלקיים
- היחידים* של הסדרה?
תרגיל 6 שאלה 2[עריכה]
לא הבנתי את ניסוח השאלה ״מה ניתן להגיד על התכנסות הטורים?״ האם הכוונה היא לכל אחד מהם בנפרד? או לשניהם ביחד? האם תיתכן תשובה כגון ״לפחות אחד מהם מתכנס\מתבדר?״
גבול פונקציה[עריכה]
שאלה: מה הגבול כאשר x שואף לאינסוף של: [math]\displaystyle{ lim xsin 1/x }[/math]
אז התשובה היא 1 (כשמציבים T=1/X אבל אני לא מבין למה זה לא אינסוף ? כי יש שם את X שהיא סדרה ששואפת לאינסוף וזה כפול סינוס (משהו) שהיא סדרה חסומה, אז אינסוף כפול חסום לא אמור להיות אינסוף ??
לא נכון אפס (שזה עדיין חסום) כפול אינסוף אינו מוגדר.