שיחה:88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעא/ארכיון 1

תרגיל 1, שאלה 2, סעיף ה

האם צריך להוכיח ש-[math]\displaystyle{ \Delta }[/math] אסוציאטיבית, או שמספיק לציין את זה? (כבר הוכחנו במתמטיקה בדידה). תודה, אור שחף^שיחה 22:50, 6 באוגוסט 2011 (IDT)

מספיק לציין. דורון פרלמן 11:02, 7 באוגוסט 2011 (IDT)

מערכת שעות למחר 8/8

שלום רב, מהי מערכת השעות למחר 8/8? (נאמר לנו שיהיו שינויים בגלל תשעה באב). תודה מראש, גל

ההרצאה תסתיים ב-13:00, והתרגול יתחיל ב13:30 ויסתיים לקראת 16:15.--לואי

תרגיל 2 שאלה 1ב'

הכוונה היא לחבורת כל המטריצות הריבועיות הרציונליות מגודל 5, ביחס לפעולת הסכימה רכיב רכיב? ובאופן דומה, חבורת כל הווקטורים הרציונליים מגודל 5, ביחס לפעולת הסכימה רכיב רכיב?

כן. דורון פרלמן 23:54, 8 באוגוסט 2011 (IDT)

תרגיל 2 - שאלת הבונוס

לגבי שאלת הבונוס, האם הטענה הבאה נכונה:
טענה: עבור [math]\displaystyle{ G_{1} \subseteq G_{2} \subseteq ... }[/math] חבורות פשוטות, נגדיר [math]\displaystyle{ G = \bigcup_{n}G_{n} }[/math]. תהי תת חבורה נורמלית [math]\displaystyle{ H \triangleleft G }[/math], השונה מתת החבורה המלאה (G עצמה כלומר) ושונה מתת החבורה הטריוויאלית. אזי קיים [math]\displaystyle{ n_{0} \in \mathbb{N} }[/math] כך ש - [math]\displaystyle{ H \subset \bigcup_{n=1}^{n_{0}}G_{n} }[/math].

אם הטענה נכונה, אזי קל להוכיח בעזרתה את שאלת הבונוס. מצד אחד היא נראית הגיונית, מצד שני זה לא טריוויאלי אם בכלל נכון. האם הטענה נכונה? אחרי מספר נסיונות להוכיח אותה זה לא טריוויאלי כלל, ואולי היא בכלל לא נכונה, וצריך לפנות אל השאלה בכיוון אחר לגמריי? דיברתי עם לואי לגבי זה בתרגול והיא ביקשה שאפרסם כאן את השאלה.

תודה מראש.

לאחר מחשבה בנושא: הטענה הזאת לא נכונה... נסו כיוון אחר :) לואי

תודה רבה על התשובה המהירה! ;)

הדרישה ש-H תהיה "שונה מ-G" היא מה שקוראים באנגלית red herring (ראו כאן להסבר מפורט מדי). השאלה העקרונית היא האם חבורה המוכלת באיחוד של (שרשרת של) חבורות פשוטות צריכה להיות מוכלת באיחוד של מספר סופי מהן (ולכן באחת מהן!), וברור שהתשובה שלילית - אם אפשר לבנות שרשרת עולה ממש של חבורות, אז האיחוד שלה אינו שווה לאף רכיב בשרשרת. בכל אופן, הנה דוגמא נגדית מפורשת: קחו את [math]\displaystyle{ \ G_n }[/math] להיות חבורת התמורות הזוגיות על n אברים (נניח שמתחילים את השרשרת ב-n=5), המשוכנות זו בזו באופן הטבעי (כלומר, m הוא נקודת שבת משותפת של [math]\displaystyle{ \ G_n }[/math] לכל n<m). האיחוד של כל החבורות האלה הוא החבורה של התמורות הזוגיות בעלות תומך סופי על המספרים הטבעיים - וזו חבורה פשוטה אינסופית לפי התרגיל, שאינה מוכלת באף איחוד סופי. G יכולה להיות חבורת כל התמורות בעלות תומך סופי על המספרים הטבעיים, או אפילו חבורת כל התמורות על המספרים הטבעיים (שזה משהו אחר לגמרי). עוזי ו. 16:17, 21 באוגוסט 2011 (IDT)

בקשה

אתם יכולים להעלות את הפתרונות של תרגיל 1? תודה מראש.

"כל דבר בא בעתו... כל דבר בא בעתו למי שיודע לחכות" לב טולסטוי, "מלחמה ושלום"

ובנימה עניינית יותר: נעשה זאת בימים הקרובים =) -- לואי

2 שאלות :)

-בתרגיל 2 שאלה 4 א'- הכוונה ל Q/Z כחבורה? אם כן- מהי הפעולה? -לגבי הרכבת מחזורים, אם למשל מסתכלים על (1,2,3)(1,3,2) מה בא קודם- הימני או המשאלי- זאת אומרת למשל 1 עובר ל 3 ואז ל2 ולכן סך הכל 1 עובר ל-2 או ש 1 עובר ל-3 ו3 עובר ל-1 ולכן סך הכל 1 עובר לעצמו? תודה!

בנוגע לתרגיל 2 שאלה 4 א': נתון מה הפעולה של Q (חיבור רגיל), והפעולה של חבורת מנה מוגדרת על הקוסטים לפי נציגים. במילים אחרות, מרגע שנתונה לכם חבורה G (כלומר, קבוצה ופעולה) ובתוכה תת-חבורה נורמלית H, ושואלים שאלה על G/H, אין אפשרות לשאול "מה הפעולה על G/H": הפעולה נובעת מהפעולה של G. בנוגע לשאלה על הרכבת מחזורים: כופלים מימין לשמאל. קל לזכור זאת כי הרכבת תמורות זה סך הכל מקרה פרטי של הרכבת פונקציות, ובפונקציות בדרך כלל מרכיבים מימין לשמאל. דורון פרלמן 11:16, 12 באוגוסט 2011 (IDT)

תודה, והבנתי לגבי המחזורים, אבל לא הבנתי משהו לגבי שאלה 4 א' - אם הבנתי את התשובה שלך, הפעולה ב Q/Z היא חיבור בין הנציגים, אבל אז אם ניקח למשל את 2Z (שנמצא, אם אני לא טועה, בQ/Z) אז כל חזקה טבעית שלא ניקח לא תיתן לנו את האיבר הניטרלי Z:

[math]\displaystyle{ (2Z)^n=(2*n)Z!=1Z }[/math] - הפרכה. איפה אני טועה?

(לא מתרגל) התבלבלת קצת בהגדרה של הקוסט. שתי החבורות, Z ו-Q, מוגדרות מעל חיבור. למעשה הקוסט 2Z הוא לא 2Z כמשמעו כפל, אלא 2+Z, כי הפעולה שאנחנו נמצאים בה בחבורות Z ו-Q היא חיבור.

ולכן, מה שרשמת, זה לא 2nZ, אלא למעשה 2n + Z, שכידוע זה פשוט Z, אבל זה החלק הטריוויאלי של השאלה כי למעשה עבור כל מספר שלם הקוסט n+Z הוא פשוט Z, הקאץ' בא כאשר זה איבר רציונלי לא שלם...

מקווה שעזרתי.;)

נכון... מופשטת זה מבלבל X:

תודה!

עוד שאלה: בסעיף ב', מה זאת אומרת תת החבורה הנוצרת ע"י המחלקות רבע ושישית? איחוד של המחלקות? חיבור שלהם?

לא זה ולא זה. ראינו בתרגול מה ההגדרה של תת-חבורה הנוצרת ע"י מספר איברים (בפרט חבורה ציקלית נוצרת ע"י איבר 1). למשל יש תת-חבורות הנוצרות ע"י 2 איברים. על זה מדברת השאלה הזו. כאן החבורה היא חבורת המנה, לכן האיברים הם הקוסטים, ושואלים על תת-החבורה (של חבורת המנה) הנוצרת ע"י 2 האיברים (במקרה זה, הקוסטים) הנתונים. דורון פרלמן 18:39, 14 באוגוסט 2011 (IDT)

"כאן החבורה היא חבורת המנה, לכן האיברים הם הקוסטים, ושואלים על תת-החבורה (של חבורת המנה) הנוצרת ע"י 2 האיברים" - הבנתי את זה, ושאלתי- מהי חבורה הנוצרת ע"י 2 איברים (במקרה זה המחלקות / קוסטים) - איחוד של החבורה הנוצרת ע"י האיבר הראשון (המחלקה של רבע) והחבורה הנוצרת ע"י האיבר השני(שישית)? אם לא, מהי ההגדרה של חבורה הנוצרת ע"י יותר מאיבר אחד? כי אני לא זוכר שהגדרנו את זה בתרגול.

לפי מיטב זכרוני הגדרנו, ואפילו התעכבנו להבין מה משמעות ההגדרה. בכל אופן, ההגדרה הכללית היא (עבור 2 איברים): ת"ח הנוצרת ע"י שני איברים x,y היא הת"ח הקטנה ביותר של G המכילה את x ואת y. במקרה האבלי אפשר לחשוב על זה יותר קונקרטית: זה כל האיברים מהצורה x^n*y^m באשר n,m שלמים ו-* זו הפעולה של החבורה (במקרה הלא אבלי זה יותר מסובך. אבל בשאלה הזו החבורה אבלית, אז אפשר להשתמש גם בהגדרה הקונקרטית). דורון פרלמן 21:45, 14 באוגוסט 2011 (IDT)

תודה

תרגיל 7

האם בשאלה 7 (תרגול 2) ניתן להסתמך על טבלת הכפל שפיתחנו בשאלה 9 (שמגיעה אחריה) או שמשום שהיא אחריה אז צריך לפתח מחדש את הדברים הנדרשים? תודה מראש, גל.

:ניתן בהחלט להיעזר בשאלה 9. - לואי

שאלה לגבי חישובים ב Zn

כשצריך לחשב למשל ספרות אחרונות של מספר או לפתור משוואות ב Zn לn כלשהו, מה איבר היחידה, 0 או 1? כי בתרגול, כשרצינו לחשב ספרות אחרונות של מספר, ובאמצע האלגוריתם היינו צריכים למצוא את ההופכי של 59, אז חיפשנו x כך ש[math]\displaystyle{ 59x=1mod100 }[/math] אבל אם אני מבין נכון, כשמדברים על Zn מדברים על חבורה חיבורית וב (Zn,+) איבר היחידה הוא 0 לא 1, לא?

(לא מתרגל/ת): צריך להבין על פי הקשר. אם מדברים על Zn כחבורה אז כן, מדובר על חיבור. אבל אם מופיעה משוואה כמו שנתת הרי שמופיע בה כפל, או בשאלה למצוא את הספרה הארונה של חזקה כלשהי - מדובר על כפל כמובן. עלייך להבין לפי ההקשר... גל.

נכון, ובתרגיל המדובר, השתמשנו במשפט אוילר ולשם כך עברנו לחבורה הכפלית [math]\displaystyle{ U_n }[/math] -לואי

שאלה 8

מה הפעולות בכל חבורה בשאלה 8 סעיפים א' עד ד'? תודה!

(לא מתרגל) בדר"כ אתה אמור להבין מה הפעולה בכך שנתונה לך החבורה G, להלן הפעולות:

1. +

2. + (ביחס לשני הרכיבים)

3. פעולה רכיב רכיב (הוכחנו בתרגול שזו חבורה)

4. כפל, כי U20 זו חבורת ההפיכים של Zn ביחס לכפל.

אני מציע לך לקרוא במחברת ולזכור אילו חבורות יש, גם על פעולת הכפל וגם על החיבור. אם למשל עבור הקבוצה Q היה רשום Q* ולא Q, אתה יכול להסיק שזו חבורה על כפל, ולא על חיבור.

מקווה שעזרתי;)

עזרת, תודה. למתרגלים, חבורה מורכבת הרי מקבוצה ומפעולה, נשמח אם אפשר תכתבו גם את הפעולות ולא רק את הקבוצות כדי שלא נצטרך לנחש.

לא צריך לנחש. הדגשנו הרבה פעמים בתרגולים (גם בקבוצה שלי וגם בקבוצה של לואי) שיש קבוצות מסוימות (למשל המספרים השלמים), שכאשר מדברים על "חבורת המספרים השלמים", הפעולה מובנת מאליה - חיבור. כנ"ל השלמים מודולו n. נכון שאפשר להגדיר אין-סוף פעולות אחרות על השלמים, אבל אלא אם מציינים אחרת, אתם אמורים להבין שזו הפעולה הסטנדרטית. כאשר אתם רואים Un אין טעם לשאול אם הפעולה היא חיבור או כפל, כי זו חבורה רק עבור כפל! וכאשר אתם רואים Zn, שוב, אין טעם לשאול את השאלה: זו חבורה רק עבור חיבור. אנחנו מודעים לעובדה שלחבורה יש גם קבוצה וגם פעולה, ואם בתרגילים מסוימים אנחנו לא מציינים את הפעולה, זה לא מעצלנות, אלא בגלל שאנחנו מצפים שתדעו להכיר את הדוגמאות הקלאסיות של חבורות שראיתם שוב ושוב בתרגולים. (נ"ב: בתרגילי בית באינפי, כאשר התבקשתם לגזור את x^3+2x, האם כל פעם היה צורך לשאול "האם גוזרים לפי x או לפי משתנה אחר?"). דורון פרלמן 01:52, 14 באוגוסט 2011 (IDT)

טוב תתלה אותי וזהו

לא היתה כוונה לפגוע.. התשובה גם לא היתה אישית כלפי שואל השאלה, אלא תשובה כללית לכל השואלים (כיוון שזו שאלה שחוזרת על עצמה), אז ניסיתי להבהיר נקודה מסוימת. אם העלבתי או פגעתי, אני מתנצל. דורון פרלמן 17:59, 16 באוגוסט 2011 (IDT)

שאלה

האם בחבורה, או חבורה אבלית, מתקיים a^n=b^n => a=b, והאם אפשר/צריך להוכיח את זה? תודה מראש

(לא מתרגל) הטענה אינה נכונה. הדוגמא הכי טובה לכך היא החבורה של המרוכבים ללא האפס, תחת הכפל (או אפילו אומגה n),

עבור שני שורשי יחידה שונים, חזקתם ב-n כאשר n הוא סדר שורש היחידה יהיה פשוט 1. כלומר, a^n = b^n = 1,

אך ממש לא a = b. שים לב שהחבורה שציינתי היא אף אבלית, אז זה באופן כללי סותר את הטענה.

מקווה שעזרתי ;)

תרגיל 2 שאלה 3 סעיף ג'

מספיק להוכיח ש N1 חיתוך N2 וN1N2 הן נורמליות (בלי להוכיח שהן ת"ח, כי זה ברור/ הוכחנו את זה בתרגול) ?

לגבי חיתוך: הראינו בכיתה שחיתוך של תתי חבורות הוא תת חבורה.
לגבי כפל: הכפל הוא לא תמיד תת חבורה, אלא במקרים מיוחדים (ראה את הסעיף הקודם, למשל), לכן כן יש שם משהו להוכיח. --לואי

תרגיל 2 שאלה 8

מה בכוונה ב"תארו את הקוסטים ...." מה זאת אומרת "לתאר" ?

(לא מתרגל) "קוסט בלונדיני, עם איבר הפיך" לדוגמא...

הכוונה לרשום מה הם. דורון פרלמן 02:12, 14 באוגוסט 2011 (IDT)

תרגיל 2 שאלה 5 א'

ההעתקה מעבירה בין איזה קבוצות ומה בדיוק זה אומר " לא מוגדרת היטב " ?

(לא מתרגל) בתרגול הראו לנו כי ההעתקה ההפיכה בין קבוצת הקוסטים השמאליים לימניים היא לא הטריוויאלית xH -> Hx אלא xH -> Hx^-1, מסיבה מסוימת, והסיבה היא שההעתקה הטריוואלית לא מוגדרת היטב.

מז"א לא מוגדרת היטב? שהיא לא חד-ערכית, כלומר:

x1 = x2 אבל

fx1 != fx2.

מקווה שעזרתי;)

נכון. ובימילים אחרות: העניין הוא שכאשר יש פונקציה בין מחלקות שקילות, ומגדירים אותה על נציגים, צריך לבדוק שהיא מוגדרת היטב (זכור משהו כזה מבדידה?) כלומר שלא משנה איזה נציג במחלקה נבחר, נגיע לאותה תוצאה. דורון פרלמן 02:12, 14 באוגוסט 2011 (IDT)

תרגיל 2, שאלה 4, סעיף 2

יש לחשב את [math]\displaystyle{ [G:H] }[/math]. אם אני צודק והתשובה היא [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math], האם מספיק להוכיח שזה ∞? תודה.

בהחלט! לואי

תרגול מחר 17/8

איפה התרגול מחר (יום ד 17/8)? בחדר 106 כמו שהיה אתמול או בחדרים 101,102 כמו תמיד? תודה מראש.

ב-101/102 כרגיל. דורון פרלמן 17:59, 16 באוגוסט 2011 (IDT)

תרגיל 3 שאלה 10 סעיף ב'

נראה לי שיש טעות בשאלה. מבקשים להוכיח ש-H תח"נ של המנרמל. ז"א, בין היתר, כל איברי H מוכלים במנרמל שלה. אבל זה לא אומר בעצם שכל איבר ב-H מתחלף עם כל איברי H? ואם כן, אז כל איבר ב-H מתחלף עם כל איברי H => כל איברי H נמצאים במרכז של H <= H אבלית ולא אמרו לנו את זה..

זה לא אומר שכל איבר ב-H מתחלף עם כל איברי H. איך הגעת למסקנה הזו? אם תפרט/י יותר את השלב בין "כל איברי H מוכלים במנרמל שלה" לבין "כל איבר ב-H מתחלף עם כל איברי H" נוכל לראות איפה הטעות. דורון פרלמן 12:48, 18 באוגוסט 2011 (IDT)

אם לכל h ב-H מתקיים h שייך למנרמל זה לא אומר שכל ה-h ב-H מקיימים hH=Hh? ואז לא מקבלים שלכל h1 ו-h ב-H מתקיים: h*h1=h1*h?

זה שלכל h ב-H מתקיים hH=Hh לא גורר שלכל h1 ב-H מתקיים h*h1=h1*h. מה שכן ניתן להסיק הוא רק שלכל h1 ב-H קיים h2 ב-H כך ש-h*h1=h2*h. דורון פרלמן 13:14, 18 באוגוסט 2011 (IDT)

שאלה 7

האם פעולת הכפל שמוגדרת, והמינוס שמוגדר על כל איבר בה, עובד באופן אינטואיטיבי בו עובד מינוס על ממשיים? למשל: [math]\displaystyle{ (-i)*j = -(i*j) }[/math]?

[math]\displaystyle{ (-1) * (-1) = 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ (-1) * (-i) = i }[/math]?

וכל מיני תנאים שקשורים במינוס במספרים ממשיים... מתקיים גם כאן?

תודה מראש;)

כן. למעשה היינו חייבים לציין זאת בשאלה אחרת אי אפשר לפתור אותה. תודה על התיקון. דורון פרלמן 01:59, 20 באוגוסט 2011 (IDT)

פירוק חבורות אבליות

בתחילת הקורס דיברנו על כך ש [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\ncong\mathbb{Z}_{4} }[/math] בגלל של [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{4} }[/math] יש איבר מסדר 4. אבל בשיעור האחרון בחלק של פירוק חבורות אבליות, אמרנו בדיוק ההיפך! מה אני מפספס??

(גרסה מתוקנת של דבריי:) תהי [math]\displaystyle{ G }[/math] חבורה אבלית כלשהי מסדר [math]\displaystyle{ 4=2^2 }[/math]. נבנה חלוקה של 2, יש לכך שתי אפשרויות: [math]\displaystyle{ 2=2 \or 2=1+1 }[/math]. כלומר שכל חבורה אבלית [math]\displaystyle{ G }[/math] כנ"ל תהיה איזומורפית לאחת בלבד מהבאות: [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\or\ \mathbb{Z}_{2^2}=\mathbb{Z}_{4} }[/math] וכך יש שתי אפשרויות. שים לב שהאיזומורפיזם הוא לאחת בלבד מהחבורות הללו, שכן הן לא איזומורפיות אחת לשנייה. מקווה שעזרתי, גל.

שים לב: החלוקה היא של המעריך, ולא של סדר החבורה. כלומר פה 4=2^2 לכן מסתכלים על חלוקות של 2 ויש 2 חלוקות כאלה: 2=2 ו-2=1+1. לכן יש שתי חבורות אבליות מסדר 4 עד כדי איזומורפיזם: [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}, \mathbb{Z}_{4} }[/math]. דורון פרלמן 14:13, 20 באוגוסט 2011 (IDT)

כמובן, טעות שלי. מה שרשמתי מעלה תוקן. גל.

תרגיל 11

אתם יכולים להזכיר לי מהי נקודת שבת ?

תהי G חבורה עם פעולה * על קבוצה X. נאמר כי x ב-X היא נקודת שבת אם לכל g ב-G מתקיים g*x=x. דורון פרלמן 17:46, 20 באוגוסט 2011 (IDT)

תרגיל 3 שאלה 9

בסעיף א' האם הכוונה שיש צורך לחשב את a בחזקת 1- ואז לחשב מכפלה של תמורות? אם כן מעל איזה חבורה זה? S9?

כן, וכן. דורון פרלמן 15:24, 21 באוגוסט 2011 (IDT)

תרגיל 3 שאלה 11

בסעיפים ב',ג' האם מותר גם לא לצבוע בכלל, זאת אומרת : נגיד בסעיף ג' האם מותר גם לא לצבוע את הצלעות ?

(לא מתרגל/ת): אני לא חושב, שכן גם בתרגול בשאלות שעשינו לא התייחסנו למקרה שבו הצלעות לא נצבעות. גל.

לגבי שאלה 7 סעיף ב'

יש משפט שאומר שאם הסדר של ת"ח מחלק את הסדר החבורה אז הת"ח נורמלית? (סליחה אם זאת שאלה טריויאלית)

סדר של ת"ח תמיד מחלק את סדר החבורה, בלי קשר להיות הת"ח נורמלית או לא (ראה משפט לגרנג'!!!). בכל מקרה, מה שכן אפשר לומר הוא: תהי [math]\displaystyle{ G }[/math] חבורה, [math]\displaystyle{ H }[/math] ת"ח מאינדקס 2, כלומר [math]\displaystyle{ [G:H]=2 }[/math] או [math]\displaystyle{ |H|=0.5|G| }[/math] (שוב ממשפט לגרנג'!!!) אזי [math]\displaystyle{ H }[/math] נורמלית ב-[math]\displaystyle{ G }[/math] (הוכחנו בתרגול). כמו כן אם האינדקס 1 אז הת"ח תהיה נורמלית - שכן במקרה זה נקבל שהיא שווה לחבורה עצמה. מקווה שעזרתי, גל.

הבנתי, תודה!

תרגיל 3 שאלה 9 א

כאשר כתוב [math]\displaystyle{ a=(1 3 5)(2 1) }[/math] הכוונה היא למכפלה בין שני המחזורים?

אכן. גל.

שיעור השלמה

מתי בסוף שיעור ההשלמה?

ביום ראשון או שני?

יום ראשון ב-09:00. דורון פרלמן 14:19, 26 באוגוסט 2011 (IDT)