שיחה:89-214 סמסטר א' תשעא

יש אפשרות לפרסם את דף השאלות שחולק בהתאמה לדף הפתרונות שפורסם?

שאלה 4 במבחן לדוגמא .

אנחנו כמה אנשים שלא הצלחנו לפתור את השאלה . נשמח לקבל עזרה!

ומה השאלה? עוזי ו. 21:11, 23 בפברואר 2011 (IST)

H,C,B ת"ח של חבורה G חבורות B,C נורמליות ב G , B מוכלת ב H

1. מצא העתקה חח"ע מ (H חיתוך C) מעל (B חיתוך C ) אל H מעל B

2. מצא העתקה על מ H/B אל HC/BC

3. האם התמונה של א זהה לגרעין של ב .

ממש תודה

הפתרון הוא לעשות רק מה שמוכרחים. בסעיף הראשון רוצים להגדיר העתקה מ-[math]\displaystyle{ \ (H\cap C)/(B\cap C) }[/math] אל [math]\displaystyle{ \ H/B }[/math]. כל איבר במקור הוא קוסט [math]\displaystyle{ \ x(B\cap C) }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \ x\in H \cap C }[/math]. יש לשלוח את הקוסט הזה אל קוסט של B, עם נציג מ-H. אבל רגע, [math]\displaystyle{ \ x\in H }[/math] לפי ההנחה, אז למה שלא נשלח [math]\displaystyle{ \ x(B \cap C) \mapsto xB }[/math]? זה מוגדר היטב כי הנציג שייך למקום הנכון, והגרעין של הקוסטים במקור ([math]\displaystyle{ \ B\cap C }[/math]) מוכל בגרעין של הקוסטים בתמונה ([math]\displaystyle{ \ B }[/math]); כלומר, החלפת הנציג לא תשנה את התוצאה. יותר מזה, הפונקציה היא חד-חד-ערכית כי אם [math]\displaystyle{ \ xB=B }[/math] אז [math]\displaystyle{ \ x\in H\cap B }[/math] ולכן הקוסט המקורי טריוויאלי.

הסעיף השני דומה. צריך להגדיר העתקה [math]\displaystyle{ \ H/B\rightarrow HC/BC }[/math]. שוב, נשלח [math]\displaystyle{ \ xB \mapsto xBC }[/math]. זה מוגדר היטב מאותן סיבות, ועל כי אפשר לכסות כל קוסט [math]\displaystyle{ \ hcBC=hBC }[/math] על-ידי [math]\displaystyle{ \ hB }[/math].

התמונה של ההעתקה הראשונה היא [math]\displaystyle{ \ \{xB : x\in H\cap C\} = ((H \cap C) B)/B }[/math], והגרעין של השניה הוא [math]\displaystyle{ \ \{xB : x\in H, xBC=BC\} = (H \cap CB)/B }[/math]. השניים שווים כי [math]\displaystyle{ \ H \cap B\cdot C = (H \cap B) \cdot C }[/math]; זו המודולריות של סריג תת-החבורות.

אפשר לראות את כל זה די בקלות אם מציירים את הסריג, ומפעילים את משפט האיזומורפיזם השני כדי להגיד ש-[math]\displaystyle{ \ (H\cap C)/(B\cap C) \cong (H\cap C)B /B \leq H/B }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \ HC/BC \cong H/(H\cap CB) \twoheadleftarrow H/B }[/math]. עוזי ו. 00:05, 24 בפברואר 2011 (IST)

תודה רבה !