שיחה:89-214 סמסטר א' תשעב/תרגילים

זה המקום לשאול שאלות על דברים שלא היו ברורים משיעורי הבית תנצלו אותו --Matan.Fatal

תרגיל 2

למתי התרגיל? לשבוע הקרוב (שמתחיל ב-13.11) או לזה שאחריו (מתחיל ב-20.11)? נעליים 13:33, 11 בנובמבר 2011 (IST)

מישהו? נעליים 19:43, 13 בנובמבר 2011 (IST)

לתרגיל מספר 2 קיבלתם שבועיים. --Matan.fatal 21:58, 16 בנובמבר 2011 (IST)

לתרגיל 2 או לתרגיל 3?

אלי, מדובר כאן על תרגיל 2 (אבל יש שבועיים גם לתרגיל 3). מתן, תודה על התשובה אבל עד שענית כבר התקיים התרגול שלי השבוע והגשתי את התרגיל. מסתבר גם שהמתרגל בקבוצה שלי (טל) חשב שהתרגיל לשבוע. הבעיה הייתה שבשאלה 16 צריך לדעת מה זה סדר של איבר, דבר שלמדנו רק בשיעור השבוע ולכן הייתי צריך לחפש באינטרנט את ההגדרה. כדי למנוע מצבים כאלה בעתיד אני מבקש לציין על גבי התרגיל את מועד ההגשה (כפי שלשמחתי נעשה בתרגיל 3). נעליים 10:47, 17 בנובמבר 2011 (IST)

שאלה...

אם איבר a הוא מסדר איינסופי, נכון להגיד כי a^n לכל n לא שווה לאפס? ולמה?

תודה

הכל תלוי למה אתה מחשיב את אפס. האם אתה מחשיב אותו לאיבר הנייטרלי? אם כן, אז התשובה לשאלה שלך היא כן. ההגדרה של סדר של איבר בחבורה הוא ה-n הטבעי המינימלי עבורו a^n=e (כאשר e מסמן איבר נייטרלי). עוד ההגדרה אומרת שהסדר הוא אינסופי אם אין כזה n. מכאן שהתשובה לשאלה שלך פשוט נובעת מההגדרה של סדר של איבר. מקווה שעזרתי, גל.

קודם כל תשובה מצויינת. שמתי לב ששאלת ועבר הרבה זמן שלא קיבלת תשובה, במידה ואתה שואל שאלה ולא ענו לך עליה תוך יום גג יומיים תשלח מייל לאחד המתרגלים להסתכל. מתן פטאל.

על הבוחן הוירטואלי

בשאלה הראשונה יש 19 סעיפים, שכל אחד מהם נותן מידע נוסף על הנתון הבסיסי (ש-A,B הן תת-חבורות). השאלה היא למצוא את כל הקשרים הלוגיים בין הטענות [math]\displaystyle{ \ \psi_1,\dots,\psi_{19} }[/math], כלומר, לכל [math]\displaystyle{ \ 1 \leq i \neq j \leq 19 }[/math], לקבוע האם הגרירה הלוגית [math]\displaystyle{ \ \psi_i \implies \psi_j }[/math] נכונה. אחרי שתזהו כמה טענות שקולות וכמה גרירות טריוויאליות, מספר הבעיות האמיתיות לא יהיה גדול מדי. לצד הוכחת הגרירות התקפות, כדאי שתציגו דוגמאות נגדיות לכל הגרירות שאינן תקפות, אבל חלק זה עשוי להיות קשה יותר.

אין צורך לחקור קבוצות של טענות (כלומר, גרירות מהסוג [math]\displaystyle{ \ \psi_{i} \wedge \psi_{i'} \implies \psi_j }[/math] או [math]\displaystyle{ \ \psi_{i} \wedge \psi_{i'} \wedge \psi_{i''} \implies \psi_j }[/math]). עוזי ו. 19:01, 17 בדצמבר 2011 (IST)

שאלות לקראת הבחינה

1. (מתוך מועד ב' תשע"א) "תן דוגמא לתמורה ב-S7 שאין שום דרך להציג כמכפלה של מחזורים באורך 3": בפתרון ניתנה התמורה (2 1) כדוגמא, האם גם תמורת הזהות יכולה להתקבל כתשובה?
2. (מתוך מועד א' תש"ע) "הוכח שמספר האיברים במחלקת צמידות מחלק את סדר החבורה": הפתרון שלי מעט שונה מזה שתואר בפתרון הבחינה (ומההרצאה). רציתי להראות שכל קוסט של המרכז (centralizer) בחבורה של איבר למעשה מגדיר איבר במחלקת הצמידות, אסמן את המרכז של איבר g כ- (C(g: טענתי שאיבר w שייך לקוסט של (C(g: [math]\displaystyle{ y*C(g) }[/math] אם"ם w = yx כאשר x איבר ב- (C(g. מכאן ש- [math]\displaystyle{ w*g*(w^{-1}) = (yx)*g*(yx)^{-1} = yx*g*(x^{-1})*(y^{-1}) = y*g*(y^{-1}) }[/math] כלומר כל איבר בקוסט [math]\displaystyle{ y*C(g) }[/math] נותן איבר יחיד במחלקת הצמידות של g, ולכן מספר כל הקוסטים של (C(g הוא מספר האיברים במחלקת הצמידות. בכיוון השני טענתי שכל איבר במחלקת הצמידות ניתן לכתיבה כ- (כאשר x איבר ב- (C(g ), [math]\displaystyle{ y*g*(y^{-1}) =y*x*g*(x^{-1})*y^{-1} = yx*g*(yx)^{-1} = w*g*(w^{-1}) }[/math] כלומר כל איבר במחלקת הצמידות מגדיר קוסט של (C(g. לכן:[math]\displaystyle{ | [g] | = [G:C(g)] }[/math]. ומכאן שמספר האיברים במחלקת צמידות מחלק את סדר החבורה. האם הוכחה זו נכונה?
3. האם יש דרך מובנית למציאת האוטומורפיזמים של חבורה כלשהי (או למי חבורת האוטומורפיזמים שלה איזומורפית)? <מתוך אימייל של סטודנט>

1. לא -- תמורת הזהות היא מכפלה של אפס מחזורים באורך 3. אפשר גם להציג אותה כמכפלה של שני מחזורים, בצורה [math]\displaystyle{ \ 1=(123)(132) }[/math].

2. ההוכחה הזו דומה לזו שנתנו בכתה: הרעיון הוא לבנות התאמה בין קוסטים של המרכז לבין אברים במחלקת הצמידות.

3. אלגוריתמית, בהנתן לוח הכפל של החבורה - בוודאי: אפשר לעבור על כל התמורות האפשריות, ולבחון אלו מהן שומרות על הפעולה. בפועל השיטה הזו אינה מעשית, וכדי למצוא את *כל* האוטומורפיזמים צריך להכיר את מבנה החבורה, למשל דרך "צורה נורמלית" (כלומר צורה מוגדרת היטב שאליה אפשר להביא כל איבר בחבורה, באופן כזה ששני אברים עם צורה נורמלית שונה מוכרחים להיות שונים), ואז לפתור את המשוואות שהיחסים שלה מגדירים. התשובה הקצרה היא: לא. עוזי ו. 11:34, 8 בפברואר 2012 (IST)

הומומורפיזמים

שאלה. רציתי לדעת מה הכלים שלי בדיוק כאשר מבקשים ממני לבנות הומומורפיזם? לדוג' במועד ג בשנת תשסט ביקשת לבנות שיכון מZ3XZ3 לS9 איך בדיוק אמורים לעשות את זה? מה הדרך שלי לבנות המומרפיזם כזה?

תשובה. משפט קיילי נותן שיכון של חבורה מסדר n לחבורה הסימטרית S_n, על-ידי הפעולה של כפל משמאל. כלומר, אם אברי החבורה הם [math]\displaystyle{ \ G = \{g_1,\dots,g_n\} }[/math], אז האיבר [math]\displaystyle{ \ g_i }[/math] מתאים לתמורה [math]\displaystyle{ \ g_j \mapsto g_ig_j }[/math] (זוהי אכן פונקציה חד-חד-ערכית ועל, ולכן איבר של [math]\displaystyle{ \ S_G }[/math], שהיא - בהגדרה - חבורת התמורות על אברי G, ולכן איזומורפית ל-[math]\displaystyle{ \ S_{|G|} }[/math]).

כדאי גם לשים לב שכדי לבנות הומומורפיזם מחבורה G לחבורה כלשהי, מספיק להגדיר אותו על קבוצת יוצרים של G. במקרה שלנו מספיק להגדיר את הפונקציה על הוקטורים [math]\displaystyle{ \ (0,1),(1,0) }[/math], והתשובה היא, עבור מספור טבעי של אברי החבורה, [math]\displaystyle{ \ (0,1)\mapsto (123)(456)(789), (1,0) \mapsto (147)(258)(369) }[/math] (שימו לב שתמורות אלו מתחלפות - כפי שהן מוכרחות לעשות כדי שההומומורפיזם יהיה מוגדר היטב). עוזי ו. 19:21, 12 בפברואר 2012 (IST)

על חבורות אבליות

שאלה (מתוך מועד ב' תשע"א) "קבע האם החבורות הבאות איזומורפיות או שאינן איזומורפיות": [math]\displaystyle{ A = Z48 \times Z36 \times Z4 , B = Z72 \times Z16 \times Z6 }[/math]. בפתרון נכתבה ההצגה הקנונית של החבורות: [math]\displaystyle{ A = Z4 \times Z12 \times Z144 , B = Z2 \times Z24 \times Z144 }[/math]. ברור לי שמכיוון שהאקספוננט של שתי החבורות הוא 144, ההצגה הקנונית של כל אחת מהן תסתיים עם Z144, אך לא ברור לי מדוע בהצגה של A התחלנו עם Z4 ואילו בזו של B עם Z2. נימוק אחר שהוצג בפתרון להיותן לא איזומורפיות היה ש-[math]\displaystyle{ 36A = Z4 , 36B = Z2 \times Z4 }[/math]. האם זו דוגמא לשיטה אותה הצגת לקראת סיום ההרצאה ביום חמישי האחרון, בנוגע לקביעת איזומורפיות של חבורות אבליות סופיות, במקום להשתמש במשפט היחידות? האם יש תנאים מגבילים לשימוש בשיטה זו?

תשובה. את ההצגה הקנונית אפשר לחשב על-ידי פירוק פרימרי (פירוק למרכיבים שהם חבורות-p עבור ראשוניים שונים). אפשר "לנחש מראש" את הגורם העליון, הקובע את האקספוננט, אבל את שאר הגורמים צריך לחשב ישירות. ההסבר ל"הופעה" של גורמים אלו או אחרים הוא שזו תוצאת החישוב (באותה מידה קל לנחש ש-347 כפול 491 מתחיל ב-1, אבל אי-אפשר "להסביר" מדוע 7 היא הספרה השניה מימין בלי לבצע את החישוב). כדי להוכיח ישירות שהחבורות אינן איזומורפיות, אפשר להשוות תת-חבורות שלהן מהצורה [math]\displaystyle{ \ nA, nB }[/math]. מכיוון שכפל בקבוע (היינו חיבור חוזר מספר קבוע של פעמים) מתחלף עם איזומורפיזמים, אם שתי החבורות איזומורפיות, גם תת-החבורות מהסוג הזה חייבות להיות איזומורפיות (המגבלה היא אם כן שהחבורות המקוריות תהיינה אבליות, כדי שכפל בקבוע יהיה הומומורפיזם).

שאלה (מתוך מועד ב' תשע"א) "מיין את החבורות האבליות A מסדר (5^3)*(5^2) כך ש- 4^2 = |4^A/A| ו- 4^3 = |3^A/A|. כתוב את הצורה הקנונית של כל חבורה כזו. כמה חבורות כאלה יש, עד כדי איזומורפיזם?": בפתרון נכתב כי יש לפרק את A למכפלה ישרה פנימית A=BC כאשר 5^2 = |B| ו- 5^3 = |C|. כיצד אנו בטוחים כי ת"ח B,C המוגדרות כך עומדות בתנאים למכפלה ישרה פנימית? במהשך נכתב כי כך נקבל:[math]\displaystyle{ (*) A^4 = B^4 \times C , A^3 = B\times C^3 }[/math]. הבנתי את הדרישה לגבי הסדרים של 3^A ו- 4^A, אך לא הבנתי איך קיבלנו את שני הפירוקים שב- (*).

תשובה. אם A חבורה מסדר nm כאשר n,m זרים, ו- [math]\displaystyle{ \,B, C \leq A }[/math] תת-חבורות מסדרים n,m בהתאמה, אז הן מוכרחות להיות זרות (לכל איבר משותף יש סדר המחלק גם את n וגם את m), ולכן גם [math]\displaystyle{ \ A = BC }[/math] (משום שכאשר BC תת-חבורה של חבורה כלשהי, מתקיים [math]\displaystyle{ \ |BC|=|B|\cdot|C|/|B\cap C| }[/math]). כעת, אם [math]\displaystyle{ \ A \cong B \times C }[/math], אז [math]\displaystyle{ \ nA \cong nB \times nC }[/math], ומכאן הפירוקים שב-(*).

שאלה "ראיתי באחד המבחנים שהכפלת חבורה בסקלר: אם A=Z48 X Z36 XZ4 אז 36A=Z4; אם B=Z72 X Z16 X Z6 אז 36B =Z2 X Z4. לא הבנתי בכלל איך זה מתבצע ,כלומר לפי מה שאני הסקתי אז אם מכפילים חבורה בסקלר אז מכפילים כל איבר בסקלר הזה אבל לא הבנתי איך הגעת למשוואות הללו".

תשובה. אם A חבורה אבלית, סימנו ב-nA (כאשר n מספר שלם) את אוסף המכפלות [math]\displaystyle{ \ nA = \{nx : x \in A\} }[/math], כאשר nx מסמן חיבור חוזר של האיבר x עם עצמו, n פעמים. לפעולה השימושית הזו יש שתי תכונות שימושיות אף הן: כשמכפילים מכפלה ישרה מתקיים [math]\displaystyle{ \ n(B\times C) = nB \times nC }[/math] (תרגיל: הוכח), ולכל m, המכפלה [math]\displaystyle{ \ n\mathbb{Z}_m }[/math] כוללת את כל הכפולות של המחלק המשותף המקסימלי בחבורה [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_m }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \ n \mathbb{Z}_m \cong \mathbb{Z}_{m/(n,m)} }[/math].

שאלה. "כאשר יש לי חבורה מסוימת ,איך מתבצעת פעולה העלאת בחזקה, כלומר נניח יש לי: A=Z8 x Z16 XZ44 x Z14, לפי איזה כלל מעלים בחזקה? כי אמרת בשיעור נדמה לי שאם שתי חבורות איזומורפית אז גם אם נעלה בחזקה הם ישארו איזומרפויות ,כי יש להם אותה הצגה קנונית."

תשובה. ב"העלאה בחזקה" ו"כפל בקבוע" מדובר על אותה פעולה: ביצוע חוזר של פעולת החבורה על כל האברים. בחבורה שבה הפעולה מסומנת ב"+" הגיוני לדבר על כפל בקבוע, וכשהפעולה היא כפל, מדובר על העלאה בחזקה. נכון שאם שתי חבורות הן איזומורפיות, אז כשמכפילים את שתיהן באותו מספר, התוצאות איזומורפיות. לעובדה הזו אין שום קשר עם הצורה הקנונית. נכון גם שאם מכפילים את הצורה הקנונית בקבוע, התוצאה נתונה גם היא, למרבה הנוחות, בצורה קנונית. עוזי ו. 22:18, 11 בפברואר 2012 (IST)

שאלות על שדות

שאלה. הוכח שקיים שדה מסדר 27.

פתרון. נתבונן בפולינום [math]\displaystyle{ \ x^{27} - x }[/math] מעל השדה [math]\displaystyle{ \ F=\mathbb{Z}_3 }[/math]. הוכחנו שיש שדה המפצל את הפולינום הזה, ובתוך אותו שדה, אוסף השורשים של הפולינום סגור לחיבור וכפל, ולכן הוא מהווה שדה מסדר 27.

שאלה. בנה שדה מסדר 27.

פתרון. הוכחנו שאם f הוא פולינום אי-פריק מעל F, אז חבורת המנה [math]\displaystyle{ \ K=F[x]/F[x]f(x) }[/math] היא שדה, שממדו המעלה של f. עלינו למצוא, אם כך, פולינום ממעלה 3 מעל השדה F. לפולינומים מהצורה [math]\displaystyle{ \ x^3 - a }[/math] יש שורשים (ולכן אינם פריקים); נבחר את הפולינום [math]\displaystyle{ \ f(x) = x^3-x+1 }[/math]. עבור הפולינום הזה, K כולל את השאריות של כל הפולינומים מהצורה [math]\displaystyle{ \ a+bx+cx^2 }[/math] (שמספרם כמובן 27), ופעולת הכפל מקיימת את החוק [math]\displaystyle{ \ x^3 = x-1 }[/math] (ב-K).

שאלה. בשדה מסדר 27 הנתון בשאלה הקודמת, מצא בו איבר שסדרו בחבורה הכפלית הוא 13. פתרון. החבורה הכפלית של K היא ציקלית מסדר 26 (החבורה הכפלית של כל שדה סופי היא ציקלית). לכן תת-החבורה מסדר 13 היא זו הכוללת את כל הריבועים של אברים ב-K, ובפרט היא נוצרת (כפלית) על-ידי [math]\displaystyle{ \ x^2 }[/math]. עוזי ו. 21:30, 9 בפברואר 2012 (IST)

מטא-שאלה. "מה בדיוק צריך לדעת בחומר על שדות חוץ מכיצד לבנות שדה"? "האם אנחנו צריכים לדעת למצא שדה מפצל"?

תשובה. לאחר שבונים את השדה, צריך להבין אותו. למשל, למצוא איבר מסדר 13 בשדה מסדר 27; או להוכיח שאין התאמה חד-חד-ערכית ועל השומרת על החיבור והכפל בין השדה מסדר 9 למספרים השלמים מודולו 9. דוגמאות נוספות אפשר יהיה למצוא בשאלה 6 של המבחנים במועד א' וב'. עליכם לדעת מהו שדה מפצל, וכיצד מוכיחים שהוא קיים. הבניה בפועל דורשת פירוק של פולינום הנתון מעל שדה קטן, לגורמים המוגדרים מעל שדה גדול יותר. זו אכן משימה לגיטימית (אם מעלת הפולינום אינה גדולה מדי), שאולי תופיע בבחינה בשנה הבאה. עוזי ו. 20:48, 11 בפברואר 2012 (IST)

מספר שאלות:. אתה יכול להסביר מהו שדה מפצל, ואיך מוכיחים שהוא קיים? כמו כן איך מפרקים פולינום מעל שדה מסויים? מה משפיע בחירת הפולינום האי פריק(במידה ויש כמה) שאני בוחר לבנות איתו את השדה? תודה!

תשובה. נניח שפולינום f מוגדר מעל שדה F (כלומר, המקדמים של הפולינום נמצאים בשדה. גם כשמדובר על פולינום שהמקדמים שלו נמצאים כביכול "בכל שדה", כמו למשל [math]\displaystyle{ \ x^3+2 }[/math], חשוב מאד לדעת מעל איזה שדה מדובר. הפולינום הזה פריק כשחושבים עליו כפולינום מעל [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_2 }[/math], אבל לא כפולינום מעל הרציונליים).

שדה K, המכיל את F, מפצל את f אם מעל השדה K אפשר לפרק את f לגורמים ליניאריים. במלים אחרות ופחות מדוייקות, "כל השורשים של f נמצאים ב-K". זה גם רומז איך אפשר לבנות שדה פיצול כשהפולינום מוגדר מעל הרציונליים: מוסיפים לשדה הנתון F את כל השורשים החיים בשדה המרוכבים. אבל אצלנו, מכיוון שהשדות הסופיים *אינם* מוכלים במרוכבים (זו לא אותה פעולה!), השיטה הזו אינה עוזרת.

הוכחה שתמיד קיים שדה מפצל: ראו סעיף 13 בשעור על שדות סופיים.

איך מפרקים פולינום מעל שדה: לא למדתם שיטות כלליות, ואינני מצפה מכם לדעת אותן. אבל תמיד אפשר לחפש שורשים, וכידוע כל שורש משרה גורם ליניארי.

הקשר בין הפולינום לשדה המתקבל: מכיוון שהשדה מסדר q=p^n הוא יחיד (עובדה שלא הוכחנו בשעור!), כל השדות [math]\displaystyle{ \ F[x]/F[x]f(x) }[/math], כאשר f פולינום אי-פריק ממעלה n מעל השדה הסופי F, הם איזומורפיים זה לזה. עוזי ו. 22:36, 11 בפברואר 2012 (IST)

תמורות

משפט:2 תמורות הם זהות אמ"מ יש להם את אותו מבנה מחזור.

במהלך ההוכחה יש חישוב שטאו סיגמא טאו מינוס אחד שווה לסיגמא תאג.
החישוב נסמך על העובדה שבעצם מפעילים רק את טאו על סיגמא ולא צריך להפעיל את טאו מינוס אחד.
מדוע אם יש טאו סיגמא טאו מינוס אחד אפשר לחשב את זה כאילו נפעיל רק את  טאו על סיגמא?