שיחה:89-214 תשעז סמסטר א

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלה 7ב בתרגיל בית 2

היי:)

לגבי שאלה מספר 7 בדף התרגילים 2. הבנתי כי בתת סעיף ב' של שאלה זו תת הקבוצה היא אכן חבורה, אך לא הצלחתי להוכיח כי לכל איבר בתת הקבוצה קיים איבר הופכי. איך ניתן להראות זאת?

תודה:)

נכון, כדי להוכיח שקבוצה עם פעולה מסוימת היא חבורה צריך להוכיח שלכל איבר קיים הופכי.

איבר כלשהו בתת הקבוצה הוא מן הצורה [math]\displaystyle{ km }[/math] עבור [math]\displaystyle{ m \in U_n }[/math]. מי יכול להיות ההופכי של [math]\displaystyle{ km }[/math], כאשר ידוע לנו ש-[math]\displaystyle{ k,m \in U_n }[/math]? למה בכלל [math]\displaystyle{ k \in U_n }[/math]? אני מקווה שזה רמז מספיק.

היי שוב:)

זה ברור ש - k שייך לUn מכיוון שהוא זר לn בגלל הנתון שה - gcd שלהם 1.

לכן גם ברור למה km שייך לUn(סגירות החבורה לפעולה בין 2 האיברים שלה)

ולכן גם ברור למה ההופכי של km נמצא בUn.

כל זה עדיין לא מוביל אותי לדרך בה אני מראה שאותו הופכי נמצא גם ב - KUn...לצערי.

תודה שוב!

לגבי עיצוב: אפשר להזיח שורות עם ":", ואפשר להוסיף מתמטיקה עם הכפתור [math]\displaystyle{ \sqrt{n} }[/math].

בנוגע לשאלה, בחבורה כללית מה הוא ההופכי של מכפלה של שני איברים? כלומר אם [math]\displaystyle{ a,b \in G }[/math], אז מה יהיה ההופכי של [math]\displaystyle{ ab }[/math]?

בחבורה בשאלה, אם יש איבר [math]\displaystyle{ x \in U_n }[/math], אז איך ניתן להציג אותו כ-[math]\displaystyle{ x=ky }[/math], עבור [math]\displaystyle{ y \in U_n }[/math], כאשר כפי שאמרת ידוע ש-[math]\displaystyle{ k^{-1} \in U_n }[/math]?

שאלה 7א בתרגיל בית 2

לגבי שאלה 7 סעיף א האם מספיק להוכיח על התת חבורה הספציפית שקיבלתי שמכילה רק 3 איברים? תודה רבה.

להוכיח מה? זה נכון שיש בתת הקבוצה שם 3 איברים, אבל למה היא מהווה תת חבורה? הרי לא כל תת קבוצה עם 3 איברים היא תת חבורה.

תרגיל 3 שאלה 4 ב

בסעיף קיבלנו את את התמורה בצורה של מחזורים זרים ולא ממש הבנתי איך אני אמור לדעת לאן כל מספר הולך כי לכל מספר יש כמה אופציות? איך אני באמת אוכל לוודא שבחרתי באופציה הנכונה??

בתודה מראש.

שלום,

בסעיף ב המחזורים אינם זרים.

נזכור שכפל בחבורת התמורות הוא בעצם הרכבה, ולכן, אם נרצה לדעת לאן התמורה הנתונה, שהיא הרכבה של פונקציות, שולחת את 1 לדוגמה, נצטרך קודם להפעיל על 1 את המחזור (15), ואז על התוצאה להפעיל את המחזור (314), ועל התוצאה להפעיל את (254) וכן הלאה...

תרגיל 4 שאלה 5

היי,

לא הבנתי מה הפעולה בחבורות בשאלה? תוכלו לתת גם דוגמה בבקשה?

תודה

מדובר במכפלה קרטזית של חבורות. הפעולה במכפלה קרטזית היא רכיב-רכיב לפי הפעולה של הגורמים במכפלה. למשל בסעיף 5א שני הגורמים במכפלה הם [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math], ולכן מדובר בחיבור מספרים שלמים בכל רכיב. בפרק 7 בחוברת מערכי התרגול מופיעה ההגדרה של מכפלה קרטזית של חבורות עם כמה דוגמאות.

תרגיל 5, שאלות 3,7,4

היי,

יש לי מספר שאלות ואשמח לעזרתכם:

• לא הבנתי מה בדיוק צריך להוכיח בשאלה 3?
• בשאלה 7, האם צריך 4 איברים כך שכול אחד מהם הסדר שלו הוא 4 ושעבורם מתקיים שכולם שקולים לאותו מספר מוד 35? רשום שם למצוא תת חבורה שגודלה 4 (כלומר 4 איברים) אבל נראה לי שזו לא הכוונה אז אשמח להסבר
• שאלה שנוגעת לסעיף ב בשאלה 4: אם יש לי תמורה כזו:

(126)(34)(57) האם הסימן שלה הוא 1? כלומר האם אמורים לכפול את הסימנים של 3 התמורות? אם כן, אז התמורה הזו תיכלל בחיתוך?

תודה!

לפי הסדר (עדיף לפצל):

• בשאלה 3 מבקשים להוכיח שהחבורה [math]\displaystyle{ S_n }[/math] נוצרת על ידי הקבוצה של החילופים מן הצורה [math]\displaystyle{ (1j) }[/math]. כלומר חיזוק של סעיף 1א שמבקש להוכיח שהחבורה [math]\displaystyle{ S_n }[/math] נוצרת על ידי הקבוצה של כל החילופים. כדאי לודא שיודעים לפתור את סעיף 1א לפני שפותרים את שאלה 3.
• מבקשים בשאלה 7 למצוא שתי תת־חבורות של החבורה [math]\displaystyle{ U_{35} }[/math], ששתיהן מסדר 4 (כלומר בכל אחת מהן יהיו 4 איברים). לכתוב קבוצה של ארבעה איברים שמהווים תת־חבורה, זו דרך מוצלחת לדרישה "למצוא תת־חבורה". כמובן שצריך להוכיח אחרי זה שתת־החבורה הזו ציקלית, ובאופן דומה למצוא עוד תת־חבורה שאינה ציקלית.
• התמורה שרשמת היא אכן מסימן 1 (כלומר זוגית), והדרך הכי נוחה לחישוב היא מה שכתבת. החבורה [math]\displaystyle{ A_7 }[/math] היא חבורת התמורות הזוגיות על [math]\displaystyle{ \{1,\dots,7\} }[/math]. אם מצאת תמורה זוגית ב-[math]\displaystyle{ S_7 }[/math], ואם היא גם חזקה של התמורה הנתונה בשאלה, אז היא בחיתוך.

תרגיל 5, שאלה 7

שלום,

בנוגע לתשובה שלכם בשאלה הקודמת בקשר לתרגיל 7 - האם למדנו דרך יעילה לפתור זאת מלבד ניסוי וטעייה? לדוגמה, עבור החבורה הציקלית, האם יש דרך יעילה למצוא איבר p ב-U35 כך ש-o(p)=4? תודה.

לא הוכחנו את זה בכיתה, אבל [math]\displaystyle{ U_{35} \cong U_7 \times U_5 }[/math], וקל לבדוק ש-[math]\displaystyle{ U_7 \cong \mathbb{Z}_6 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ U_5 \cong \mathbb{Z}_4 }[/math]. לכן אם יודעים איזומורפיזם מפורש [math]\displaystyle{ U_{35} \cong \mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_4 }[/math], אז קל לתפוס את האיברים מסדר 4 או 2.

תכונות של איזומורפיזם

שלום,

האם נכון לומר שאיזומורפיזם f:G ->H שומר על כל התכונות של G? נאמר, אם יש ב-G בדיוק 3 איברים מסדר 4, ו-f איזומורפיזם, אז גם ב-H יש בדיוק 3 איברים מסדר 4?

תודה.

איזומורפיזם של חבורות אכן שומר על כל התכונות "הסבירות" שאפשר לעלות על הדעת, פרט לשמות של האיברים והסימון של הפעולה. לשאלתך, כן, אם ב-[math]\displaystyle{ G }[/math] יש בדיוק k איברים מסדר n, אז גם בכל חבורה שאיזומורפית ל-[math]\displaystyle{ G }[/math] יש בדיוק k איברים מסדר n.

תרגיל 10 שאלה 5 סעיף ב

בס"ד

לא בטוחה שהבנתי מה רוצים מאיתנו.. אני אמורה להביע את x,y בעזרת הפתרון שלי מסעיף א ואז לחשב x+y ולמצוא פולינום שזה הפתרון שלו?

תודה רבה

כן, להשתמש באיבר [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] שמצאת בסעיף א'. הכוונה היא להציג את [math]\displaystyle{ x+y }[/math] ואת [math]\displaystyle{ xy }[/math] כפולינומים ב-[math]\displaystyle{ \alpha }[/math], כלומר ש"המשתנה" בפולינום הוא [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] עם מקדמים מהשדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F}_5 }[/math]. כדוגמה, האיברים [math]\displaystyle{ x }[/math] ו-[math]\displaystyle{ y }[/math] מוצגים בשאלה כפולינומים ב-[math]\displaystyle{ \alpha }[/math].