הצגת המקור של הדף "מדר קיץ תשעב/סיכומים/תקציר"

== משפטים חשובים ==
* '''משפט הקיום והיחידות למד״ר מסדר 1 בצורה נורמלית:''' תהי <math>\vec f(x,\vec y)</math> פוקנציה וקטורית המקיימת את תנאי ליפשיץ ב־<math>\vec y</math> בתיבה <math>B=[x_0-a,x_0+a]\times\prod_{k=1}^n[y_{0,k}-b_k,y_{0,k}+b_k]</math>, ונתונים תנאי ההתחלה <math>\vec y(x_0)=\vec y_0</math>. אזי למערכת יש פתרון אחד בדיוק בקטע <math>|x-x_0|<\min\!\left(\{a\}\cup\left\{\frac{b_k}{\displaystyle\max_{(x,\vec y)\in B}|f_k(x,\vec y)|}:k\in\{1,\dots,n\}\right\}\right)</math>.
* כל מד״ר מסדר <math>n</math> שקולה למערכת של <math>n</math> מד״ר מסדר 1: <math>F\!\left(x,y,y',\dots,y^{(n)}\right)=0\iff\begin{cases}y_1=y'\\y_2=y_1'\\\vdots\\y_{n-1}=y_{n-2}'\\F\!\left(x,y,y_1,y_2,\dots,y_{n-1},y_{n-1}'\right)=0\end{cases}</math>. כמו כן, המערכת נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית בהתאם למד״ר המקורית.

== שיטות לפתרון מד״ר ==
=== מד״ר מסדר 1 ===
* מד״ר בצורה דיפרנציאלית עם משתנים מופרדים היא מהצורה <math>M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm dy=0</math>. אם <math>\exists y_0:\ N_1(y_0)=0</math> אזי <math>y\equiv y_0</math> פתרון, ואם <math>\exists x_0:\ M_2(x_0)=0</math> אזי <math>x\equiv x_0</math> פתרון. אחרת <math>\int\frac{M_1(x)}{M_2(x)}\mathrm dx+\int\frac{N_2(y)}{N_1(y)}\mathrm dy=0</math>.
* נתונה מד״ר <math>y'=f(ax+by)</math>. אז נציב <math>z=ax+by</math> ו־<math>y'=\frac{z'-a}b</math>.
** {{הערה|הכללה:}} נתונה מד״ר <math>y'=f\!\left(\frac{Ax+By+C}{ax+by+c}\right)</math> . אם <math>\begin{vmatrix}A&B\\a&b\end{vmatrix}\ne0</math> נציב <math>\begin{cases}x=p+\alpha\\y=q+\beta\end{cases}</math> כאשר <math>\begin{pmatrix}A&B\\a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}C\\c\end{pmatrix}</math> ונקבל <math>q_p'=g\!\left(\frac qp\right)</math>. אחרת נבחר <math>\lambda=\frac Aa=\frac Bb</math> ונציב <math>z=ax+by</math>.
* '''מד״ר הומוגנית:''' נתונה מד״ר <math>y'=f\!\left(\frac yx\right)</math>. אזי נציב <math>z=\frac yx</math> ו־<math>y'=z'x+z</math>.
* '''מד״ר לינארית:''' נתונה מד״ר <math>y'+p(x)y=q(x)</math>. אם היא לינארית־הומוגנית אזי <math>y=\mathrm e^{-\int p(x)\mathrm dx}</math>, ובכל מקרה <math>y=\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\int q(x)\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx</math>.
* '''משוואת ברנולי:''' נתונה מד״ר <math>y'+p(x)y=q(x)y^n,\quad n\ne0,1</math>. נציב <math>z=y^{1-n}</math>, כאשר אם <math>n>1</math> אז <math>y\equiv0</math> פתרון רגולרי (כאשר הקבוע החופשי שואף ל־<math>\pm\infty</math>), אם <math>0<n<1</math> אז פתרון סינגולרי, ואם <math>n<0</math> אז לא פתרון. הפתרונות הרגולריים: <math>y=\sqrt[1-n]{\mathrm e^{-(1-n)\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\int(1-n)q(x)\mathrm e^{(1-n)\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx}</math>.
* מד״ר מהצורה <math>P(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy=0</math> היא מדויקת אם״ם יש <math>U</math> כך ש־<math>\mathrm dU</math> שווה לאגף ימין, מה שמתרחש אם״ם <math>\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}</math>.
** אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־<math>\mu</math> כך שתהפוך למדויקת. <math>\mu</math> תלויה רק ב־<math>x</math> אם״ם <math>a=\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}Q</math> תלויה רק ב־<math>x</math>, ואז <math>\mu(x)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int a\mathrm dx}</math>. היא תלויה רק ב־<math>y</math> אם״ם <math>b=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}P</math> תלויה רק ב־<math>y</math>, ואז <math>\mu(y)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int b\mathrm dy}</math>.
* '''משוואת ריקרטי:''' מד״ר מהצורה <math>y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0</math>. הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>y=\frac{ca(x)+b(x)}{cA(x)+B(x)}</math>. אם <math>y(x)\equiv y_p(x)</math> פתרון אזי <math>y(x)=y_p(x)+\left(\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\int\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\mathrm dx\right)^{-1}</math> הפתרון הכללי.
* נתונה מד״ר <math>\sum_{k=0}^{n-1}p_k(x,y)(y')^k+(y')^n=0</math> ממעלה <math>n</math>. אזי קיימות פונקציות <math>f_k</math> שעבורן <math>\prod_{k=1}^n\Big(y'-f_k(x,y)\Big)=0</math>.
* אם <math>F(y,y')=0</math> נציב <math>z=y'</math> ואז <math>x=\frac yz+\int\frac y{z^2}\mathrm dz</math>. בנוסף, אם <math>y=\varphi(t)</math> ו־<math>z=\psi(t)</math> אזי <math>x=\int\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt</math>.
* אם <math>F(x,y')=0</math> נציב <math>z=y'</math> ואז <math>y=zx-\int x\mathrm dz</math>. בנוסף, אם <math>x=\varphi(t)</math> ו־<math>z=\psi(t)</math> אזי <math>y=\int\varphi_t'(t)\psi(t)\mathrm dt</math>.
* '''שיטת פיקארד:''' נתונה בעיית ההתחלה <math>\begin{cases}y'=f(x,y)\\y(x_0)=y_0\end{cases}</math>. נבחר פונקציה <math>\varphi_0</math> שעבורה <math>\varphi_0(x)\equiv y_0</math>, וניצור ממנה את סדרת הפונקציות המקיימת <math>\varphi_n(x)=y_0+\int\limits_{x_0}^x f(t,\varphi_{n-1}(t))\mathrm dt</math>. במידה והסדרה הנ״ל מוגדרת היטב (כלומר, כל האינטגרלים קיימים) <math>\varphi=\lim_{n\to\infty}\varphi_n</math> היא פתרון של הבעיה.
* '''משוואת קלרו:''' נתונה המד״ר <math>y=xy'+\psi(y')</math>. אזי <math>y=cx+\psi(c),\quad c\in\mathbb R</math> או (כאשר <math>p:=y'</math>) <math>\begin{cases}x=-\psi_p'(p)\\y=-p\psi_p'(p)+\psi(p)\end{cases}</math>.
* '''משוואת לגראנז׳:''' נתונה המד״ר <math>y=x\varphi(y')+\psi(y')</math> עבור <math>\varphi(y')\not\equiv y'</math>. נציב <math>p:=y'</math> ואז <math>p=\varphi(p)+\Big(x\varphi_p'(p)+\psi_p'(p)\Big)\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx}</math>. לפיכך הפתרון הכללי הוא <math>\begin{cases}x=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int\frac{\varphi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm dp}\int\frac{\psi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int\frac{\varphi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm dp}\mathrm dp\\y=x\varphi(p)+\psi(p)\end{cases}</math> או <math>y=p_i x+\psi(p_i)</math> לכל <math>p_i</math> כך ש־<math>p_i=\varphi(p_i)</math>.

=== מד״ר מסדר 2 ===
* בהנתן מד״ר <math>y''=f(x,y')</math> או <math>y''=f(y,y')</math> נציב <math>z=y'</math> ונקבל <math>z'=f(x,z)</math> או <math>zz_y'=f(y,z)</math>, בהתאמה. מתקיים <math>x=\int\frac{\mathrm dy}z=\frac yz+\int\frac y{z^2}\mathrm dz</math> ו־<math>y=\int z\mathrm dx</math>.

=== מד״ר לינארית ===
בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, המד״ר היא <math>y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k(x) y^{(k)}=f(x)</math>.
* אם המד״ר לינארית־הומוגנית אז מרחב הפתרונות שלה הוא מרחב וקטורי.
** אם בנוסף המד״ר מקיימת את משפט הקיום והיחידות אזי מרחב הפתרונות <math>n</math> מימדי.
* '''ורונסקיאן:''' עבור קבוצת פונקציות <math>y_1,\dots,y_n</math> מגדירים <math>W(y_1,\dots,y_n)(x)=W(x):=\begin{vmatrix}y_1(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}</math>.
** אם <math>y_1,\dots,y_n</math> ת״ל אזי <math>W(x)\equiv0</math>.
** אם <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות של מד״ר לינארית־הומוגנית המקיימת את תנאי משפט הקיום והיחידות בתחום <math>D</math> וכן <math>\exists x_0\in D:\ W(x_0)=0</math> אזי הם ת״ל.
* '''משפט ליוביל:''' אם <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות בת״ל של המד״ר והיא הומוגנית אזי <math>\forall x:\ W(x)=W(x_0)\mathrm e^{-\int\limits_{x_0}^x a_{n-1}(t)\mathrm dt}</math>.
* הפתרון הכללי של המד״ר הוא <math>y=y_h+y_p</math>, כאשר <math>y_h</math> הפתרון הכללי של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה ו־<math>y_p</math> פתרון פרטי כלשהו של המד״ר.
* '''וריאציית הפרמטרים:''' נתונים <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות בת״ל של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה. אזי הפתרון הכללי של המד״ר הוא <math>\sum_{k=1}^n y_k(x)\int c_k'(x)\mathrm dx</math> כאשר <math>\begin{pmatrix}y_1(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1'\\c_2'\\\vdots\\c_n'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\f(x)\end{pmatrix}</math>. באופן שקול: <math>c_k'(x)=\frac{W_k(x)}{W(x)}</math>, כאשר <math>W_k(x)=\begin{vmatrix}y_1(x)&\cdots&y_{k-1}(x)&0&y_{k+1}(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_{k-1}'(x)&0&y_{k+1}'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_{k-1}^{(n-1)}(x)&f(x)&y_{k+1}^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}</math>.
* נניח שהמד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. אזי נציב <math>y=\mathrm e^{rx}</math>, ולכן <math>y^{(k)}=r^k\mathrm e^{rx}</math> וגם <math>r^n+\sum_{k=0}^{n-1} a_k r^k</math> (זה הפולינום האופייני של המשוואה) שווה ל־0. אם השורשים השונים זה מזה הם <math>r_1,\dots,r_m</math> והריבויים שלהם <math>d_1,\dots,d_m</math> בהתאמה אזי הפתרון הכללי הוא <math>y=\sum_{k=1}^m\mathrm e^{r_kx}\sum_{i=0}^{d_k-1}c_{k,i}x^i</math>. אם <math>r_k</math> אינו ממשי ניתן לכתוב <math>r_k=\alpha+\beta\mathrm i</math> ואז, כיוון ש־<math>\overline{r_k}</math> שורש עם אותו ריבוי, נציב <math>C_1\mathrm e^{r_kx}+C_2\mathrm e^{\overline{r_k}x}=\mathrm e^{\alpha x}\Big(c_1\cos(\beta x)+c_2\sin(\beta x)\Big)</math>.
:* '''שיטת הניחוש/הבחירה/המקדמים הנעלמים:''' נניח שהמד״ר לינארית עם מקדמים קבועים וכן <math>f(x)=\mathrm e^{\lambda x}\sum_{k=0}^m b_k x^k</math>, כאשר <math>\lambda</math> קבועה, והריבוי של <math>\lambda</math> בפולינום האופייני הוא <math>d</math> (במידה ו־<math>\lambda</math> לא שורש נאמר <math>d=0</math>). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה <math>\mathrm e^{\lambda x}x^d\sum_{k=0}^m B_k x^k</math> כאשר <math>b_m,B_m\ne0</math>. ''הערה:'' אם <math>f(x)=g(x)+h(x)</math> נוכל לפתור עבור <math>g(x),h(x)</math> בנפרד ולסכום את הפתרונות הפרטיים.
* '''משוואת אוילר(–לגראנג׳)''' היא מד״ר לינארית מהצורה <math>(x-x_0)^ny^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k (x-x_0)^k y^{(k)}=f(x)</math> עם <math>\forall k:\ a_k=\text{const.}</math>. מציבים <math>x-x_0=\begin{cases}\mathrm e^t,&x>x_0\\-\mathrm e^t,&x<x_0\end{cases}</math> במד״ר ההומוגנית ואז <math>y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\frac1{x-x_0},\ y''=\mathrm e^{-2t}\left(\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dt^2}-\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\right),\ \dots</math>. נקבל משוואה לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים, וניתן להמשיך לפתור אותה באופן זה. לחלופין, אנו לומדים מכך שאפשר להציב <math>y=(x-x_0)^r</math> במד״ר ההומוגנית ולקבל <math>r^n+\sum_{k=0}^{n-1} b_k r^k=0</math> (משוואה אינדיציאלית). אם השורשים השונים זה מזה הם <math>r_1,\dots,r_m</math> והריבויים שלהם <math>d_1,\dots,d_m</math> בהתאמה אזי הפתרון ההומוגני הכללי הוא <math>y=\sum_{k=1}^m (x-x_0)^{r_k}\sum_{i=0}^{d_k-1}c_{k,i}\ln^i(x-x_0)</math>. אם <math>r_k</math> אינו ממשי ניתן לכתוב <math>r_k=\alpha+\beta\mathrm i</math> ואז, כיוון ש־<math>\overline{r_k}</math> שורש עם אותו ריבוי, נציב <math>C_1(x-x_0)^{r_k}+C_2(x-x_0)^{\overline{r_k}}=(x-x_0)^\alpha\Big(c_1\cos(\beta\ln(x-x_0))+c_2\sin(\beta\ln(x-x_0))\Big)</math>.
:* אם <math>f(x)=(x-x_0)^\lambda\sum_{k=0}^m b_k \ln^k(x-x_0)</math> כאשר <math>\lambda</math> קבועה, והריבוי של <math>\lambda</math> במשוואה האינדיציאלית הוא <math>d</math> (אם לא שורש <math>d=0</math>). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה <math>(x-x_0)^\lambda\ln^d(x-x_0)\sum_{k=0}^m B_k \ln^k(x-x_0)</math> כאשר <math>b_m,B_m\ne0</math>.

==== פתרון באמצעות טורי חזקות ====
* נתונה מד״ר מהצורה <math>y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1} a_k(x)y^{(k)}=f(x)</math> כאשר <math>\forall k:\ f(x),a_k(x)\in C(a,b)</math> ותהי <math>x_0\in(a,b)</math>. אם <math>f</math> וכל המקדמים <math>a_k</math> אנליטיים סביב <math>x_0</math> עם רדיוס התכנסות <math>R</math> או יותר אזי קיים פתרון אנליטי סביב <math>x_0</math> של המד״ר עם רדיוס התכנסות <math>R</math> או יותר.
* '''טור פרוביניוס''' הוא טור מהצורה <math>(x-x_0)^r\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k</math>.
* '''שיטת פרוביניוס:''' בהנתן <math>a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=0</math> נחלק ב־<math>a_2(x)</math>. תהי <math>x_0</math> נקודה סינגולרית של <math>\frac1{a_2(x)}</math>. אם קיימים הגבולות <math>L_1=\lim_{x\to x_0}(x-x_0)\frac{a_1(x)}{a_2(x)},L_2=\lim_{x\to x_0}(x-x_0)^2\frac{a_0(x)}{a_2(x)}</math> הנקודה נקראת סינגולרית־רגולרית. בקרבת <math>x_0</math> נקבל <math>(x-x_0)^2y''+(L_1+o(1))(x-x_0)y'+(L_2+o(1))y=0</math>. לפי משפט, אם <math>x_0</math> נקודה סינגולרית־רגולרית אזי קיים פתרון אנליטי למד״ר סביב <math>x_0</math> בצורת בצורת טור פרוביניוס. נחשב את הפולינום האופייני של המד״ר עם <math>o(1)=0</math> ע״י הצבת <math>y=(x-x_0)^r</math>, ואם פתרונות הפולינום הם <math>r_1,r_2</math> אזי יש שני פתרונות פרטיים בת״ל מהצורה <math>y_k=(x-x_0)^{r_k}\sum_{i=0}^\infty b_{k,i}(x-x_0)^i,\quad k\in\{1,2\}</math> כאשר <math>r_1-r_2\not\in\mathbb Z</math> ו־<math>y_1=(x-x_0)^{r_1}\sum_{i=0}^\infty b_{1,i}(x-x_0)^i,y_2=y_1\ln(x-x_0)+(x-x_0)^{r_2}\sum_{i=0}^\infty b_{2,i}(x-x_0)^i</math> כאשר <math>r_1-r_2\in\mathbb Z</math> ומתקיים בה״כ <math>r_1\ge r_2</math>. נציב אותם במד״ר המקורית ונקבל את מקדמי הטורים.<br>''הערה:'' נאמר ש־<math>f\in o(g)</math> אם <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0</math>. לעתים כותבים "<math>o(1)</math>" לציון איבר הנמצא בקבוצה זו, ולא הקבוצה עצמה.
:* '''פונציית גמא:''' <math>\forall x>0:\ \Gamma(x):=\int\limits_0^\infty t^{x-1}\mathrm e^{-t}\mathrm dt</math>. היא מקיימת <math>\Gamma(xּּ+1)=x\Gamma(x)</math> וגם <math>\forall n\in\mathbb N:\ \Gamma(n)=(n-1)!</math>. ניתן להרחיב את ההגדרה לכל <math>x\in\mathbb R</math> ע״י <math>\Gamma(x-1)=\frac{\Gamma(x)}{x-1}</math>. ערך חשוב: <math>\Gamma\!\left(\frac12\right)=\sqrt\pi</math>.
:* '''פונקציית בסל (מסוג ראשון):''' <math>J_m(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \Gamma(m+1)}{2^{2k}k!\Gamma(m+k+1)}x^{2k+m}</math> כאשר <math>m</math> היא ''דרגת הפונקציה''.
:* '''משוואת בסל:''' <math>x^2y''+xy'+(x^2-m^2)y=0</math>. מתקיים <math>y''+\frac1xy'+\left(1-\frac{m^2}{x^2}\right)=0</math> ולכן <math>\lim x\frac1x=1,\ \lim x^2\left(1-\frac{m^2}{x^2}\right)=-m^2</math>, כלומר 0 סיגולריות־רגולרית. השורשים של הפולינום האופייני הם <math>\pm m</math> ולכן אם <math>m\not\in\frac12\mathbb Z</math> אז הפתרון הכללי הוא <math>c_1 J_m(x)+c_2 J_{-m}(x)</math>. אחרת הפתרון הכללי הוא <math>c_1J_m(x)+c_2Y_m(x)</math> כאשר <math>Y_m(x)=\lim_{m'\to m}\frac{J_{m'}(x)\cos(\pi m')-J_{-m'}(x)}{\sin(\pi m')}</math> (זו ''פונקציית בסל מסוג שני'').

==== מערכות מד״ר ====

===== מערכות מד״ר לינאריות־הומוגניות מסדר 1 עם מקדמים קבועים =====
בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, מערכת המד״ר היא <math>\mathbf y'=\mathbf{Ay}</math> כאשר <math>\mathbf y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}</math> ו־<math>\mathbf A=\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,n}\\a_{2,1}&\ddots&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\a_{n,1}&\cdots&\cdots&a_{n,n}\end{pmatrix}</math> (<math>a_{i,j}</math> קבועים). כמו כן, נסמן ב־<math>\mathbf v_i</math> את הו״ע של <math>\mathbf A</math>, ב־<math>\lambda_i</math> את הע״ע המתאימים להם וב־<math>d_i</math> את הריבויים האלגבריים של <math>\lambda_i</math>.
* לכל <math>i</math>, <math>\mathbf y=\mathbf v_i\mathrm e^{\lambda_i x}</math> פתרון של המד״ר.
* אם <math>\mathbf A</math> לכסינה אז <math>\mathbf y=\sum_{i=1}^n c_i\mathbf v_i\mathrm e^{\lambda_i x}</math> הוא הפתרון הכללי.
* אם <math>\mathbf A</math> לא לכסינה אז הפתרון הכללי מהצורה <math>\mathbf y=\sum_{i=1}^n \mathrm e^{\lambda_i x}\sum_{j=0}^{d_i-1}\mathbf u_{i,j} x^j</math> כאשר <math>\mathbf u_{i,j}</math> וקטורים שניתן לחשב ע״י הצבה במד״ר.
* נניח ש־<math>n=2</math> ונסמן <math>\mathbf A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}</math>. אזי <math>\begin{cases}y_1'=a y_1+b y_2\\y_2'=c y_1+d y_2\end{cases}</math> ולכן <math>y_2=\frac{y_1'-a y_1}b</math>. לבסוף,{{left|<math>\begin{align}y_1''&=a y_1'+b y_2'\\&=a y_1'+b(c y_1+d y_2)\\&=a y_1'+b c y_1+d y_1-a d y_1\end{align}</math>}}ונותר לפתור מד״ר מסדר 2.