לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
תרומות המשתמש
יומנים
צפייה בהרשאות המשתמש
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/3.4.11
"
דף משתמש
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
=מבוא לאינטגרציה נומרית {{הערה|(המשך)}}= בהרצאה הקודמת הצגנו את כלל סימפסון לקירוב האינטגרל המסויים והראנו שהטעות בחישוב בקטע <math>[a,b]</math> חסומה ע"י <math>\max_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right|\frac{h^4(b-a)}{45}</math> כאשר h המרחק בין שתי נקודות סמוכות בחלוקה שבחרנו. ניתן גישה אחרת למציאת הטעות, שהיא יותר קצרה ונותנת ערך יותר קטן לחסם של הטעות, אבל היא פחות אינטואיטיבית: הראנו שמספיק לחשב בקירוב <math>\int\limits_{-h}^h f\approx\frac h3\Big(f(-h)+4f(0)+f(h)\Big)</math> כאשר f גזירה 4 פעמים בסביבת 0. נגדיר פונקציה חדשה <math>G(h):=\int\limits_{-h}^h f-\frac h3\Big(f(-h)+4f(0)+f(h)\Big)</math>. G מוגדרת ורציפה בסביבה של 0 וגם (לפי הצבה) <math>G(0)=0</math>. עבור F קדומה ל-f מתקיים (לפי המשפט היסודי){{left|<math>\begin{align}\frac\mathrm d{\mathrm dh}G(h)&=\frac\mathrm d{\mathrm dh}\left(F(h)-F(-h)-\frac h3\Big(f(-h)+4f(0)+f(h)\Big)\right)\\&=f(h)+f(-h)-\frac13\Big(f(-h)+4f(0)+f(h)\Big)-\frac h3\Big(-f'(-h)+f'(h)\Big)\end{align}</math>}} לכן <math>\lim_{h\to0}G'(h)=f(0)+f(0)-\frac13\Big(f(0)+4f(0)+f(0)\Big)-0=2f(0)-\frac63f(0)=0</math>. ע"פ הלמה השנייה בהרצאה הקודמת <math>G'(0)</math> קיים ושווה ל-0. נגזור שוב את G ונקבל <math>\lim_{h\to0}G''(h)=0=G''(0)</math>. נמשיך לגזור פעמיים נוספות ונקבל <math>G'''(0)=G^{(4)}(0)=0</math> וגם <math>G^{(4)}(h)=-\frac13\Big(-f'''(-h)+f'''(h)\Big)-\frac h3\Big(f^{(4)}(-h)+f^{(4)}(h)\Big)</math>. עתה: {| {{=|l=\frac{G(h)}{h^5} |r=\frac{G(h)-G(0)}{h^5-0^5} }} {{=|r=\frac{G'(h_1)}{5h_1^4} |c=לפי משפט קושי קיים <math>h_1\in(0,h)</math> עבורו: }} {{=|r=\frac{G'(h_1)-G'(0)}{5h_1^4-5\cdot0^4} }} {{=|r=\frac{G''(h_2)}{20h_2^3} |c=קיים <math>h_2\in(0,h_1)</math> עבורו: }} {{=|r=\frac{G'''(h_3)}{60h_3^2} |c=קיים <math>h_3\in(0,h_2)</math> עבורו: }} {{=|r=\frac{G^{(4)}(h_4)}{120h_4} |c=קיים <math>h_4\in(0,h_3)</math> עבורו: }} |} כעת נגדיר <math>M:=\max_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right|</math>. לפי משפט לגראנז' קיים <math>c\in(-h,h)</math> כך ש-<math>\frac{f^{(3)}(h)-f^{(3)}(-h)}{2h}=f^{(4)}(c)</math> ולכן <math>\left|f^{(3)}(h)-f^{(3)}(-h)\right|\le2hM</math>. מכל זה נובע {{left|<math>\begin{align}\left|G^{(4)}(h_4)\right|&\le\left|-\frac13\Big(f^{(3)}(-h_4)+f^{(3)}(h_4)\Big)\right|+\left|\frac{h_4}3\Big(f^{(4)}(-h_4)+f^{(4)}(h_4)\Big)\right|\\&\le\frac{2h_4}3M+\frac{h_4}32M\\&=\frac43Mh_4\end{align}</math>}} עתה <math>\left|\frac{G(h)}{h^5}\right|=\left|\frac{G^{(4)}(h_4)}{120h_4}\right|\le\frac1{120h_4}\frac43Mh_4=\frac M{90}</math> וקיבלנו ש-<math>|G(h)|\le\frac{Mh^5}{90}</math>, כלומר הטעות בכל קטע מהסוג <math>[x_{k-1},x_{k+1}]</math> חסומה ע"י <math>\frac{Mh^5}{90}</math>. ב-<math>[a,b]</math> יש <math>\frac n2=\frac{(b-a)}{2h}</math> ולפיכך הטעות חסומה ע"י <math>\frac{b-a}{2h}\cdot\frac{Mh^5}{90}=\frac{Mh^4}{180}(b-a)</math>. {{משל}} ===דוגמה=== נקרב <math>\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}x=\ln(2)\approx0.69314718</math>. נבחר <math>h=\frac14</math>. נציב: {{left|<math>\begin{array}{l|l}\underline x&\underline{1/x}\\1&1\\1.25&4/5\\1.5&2/3\\1.75&4/7\\2&1/2\end{array}</math>}} * הקירוב לפי סכום רימן הוא <math>\sum_{k=0}^4f(x_k)h=\frac14\left(1+\frac45+\frac23+\frac47+\frac12\right)\approx\underline{0.6}34523809</math>. * כעת נעשה קירוב בשיטת הטרפזים: {{left|<math>\frac{f(x_0)+f(x_4)}2h+h\sum_{k=1}^3f(x_k)=\frac18\left(1+\frac12\right)+\frac14\left(\frac45+\frac23+\frac47\right)\approx\underline{0.69}7023792</math>}} * ולפי סימפסון: {{left|<math>\begin{array}{l}\displaystyle\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{1}f(x_{2k})+f(x_4)\right)\\=\displaystyle\frac1{12}\left(1+4\tfrac45+2\tfrac23+4\tfrac47+\frac12\right)\\\approx\underline{0.693}253968\end{array}</math>}} נחשב את סדר הגודל של הטעות בקירוב סימפסון: {{left|<math>f'(x)=-x^{-2}\implies f''(x)=2x^{-3}\implies f^{(3)}(x)=-6x^{-4}\implies f^{(4)}(x)=24x^{-5}</math>}} ולכן <math>M=\max_{x\in[1,2]}\left|24x^{-5}\right|=24</math> והטעות R בקירוב מקיימת <math>|R|\le\frac{Mh^4}{180}(2-1)=\frac1{1920}<5.21\cdot10^{-4}</math> =אינטגרל לא אמיתי, סוג I= עד עתה הגדרנו אינטגרלים מסויימים רק עבור פונקציות חסומות בקטעים סופיים. אם הפונקציה לא חסומה ו/או הקטע לא חסום עדיין ניתן להגדיר "אינטגרל לא אמיתי" (improper integral). אינטגרלים של קטעים אינסופיים מהסוג <math>\int\limits_{-\infty}^b f,\ \int\limits_a^\infty f,\ \int\limits_{-\infty}^\infty f</math> הם אינטגרלים לא אמיתיים מסוג 1. '''הגדרה''': תהי f פונקציה מוגדרת בקטע מהסוג <math>[a,\infty)</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית (locally integrable) בקטע זה אם לכל <math>b>a</math> f אינטגרבילית בקטע <math>[a,b]</math>. למשל, אם f רציפה למקוטעין אז היא אינטגרבילית מקומית. '''הגדרה:''' תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. נגדיר <math>\int\limits_a^\infty f:=\lim_{R\to\infty}\int\limits_a^R f</math>. אם הגבול קיים נאמר שהאינטגרל מתכנס, אחרת הוא מתבדר. אינטגביליות מקומית מוגדרת באופן דומה עבור קטע מהצורה <math>(-\infty,b]</math> ואם f אינטגרבילית מקומית שם נגדיר <math>\int\limits_{-\infty}^b f:=\lim_{R\to-\infty}\int\limits_R^b f</math>. עבור f מוגדרת בכל <math>\mathbb R</math> נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי, ואם כן נגדיר <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> עבור <math>a\in\mathbb R</math> כרצוננו עבורו שני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים. ==דוגמאות== # <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}</math>. נחשב: {{left|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R\frac{\mathrm dx}{x^2}\\&=\lim_{R\to\infty}\left[-\frac1x\right]_{x=1}^R\\&=\lim_{R\to\infty}\left(-\frac1R+1\right)\\&=1\end{align}</math>}} ניתן גם לכתוב בקיצור: <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}=\left[-\frac1x\right]_{x=1}^\infty=0-(-1)=1</math>. # <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln|x|]_{x=1}^\infty=\ln(\infty)-0=\infty</math>, כלומר האינטגרל מתבדר (אך מתכנס במובן הרחב). # שאלה מארה"ב מלפני הרבה שנים: חצוצרה אינסופית תתקבל מסיבוב הגרף <math>y=\frac1x</math> סביב ציר ה-x ב-<math>[1,\infty)</math>. האם יש מספיק צבע בעולם כדי לצבוע אותה מבפנים?<br/>'''פתרון''': לכאורה התשובה היא לא, כי שטח הפנים של החצוצרה הוא <math>\pi\int\limits_1^\infty\frac2x\sqrt{1+\left(-\frac1{x^2}\right)^2}\mathrm dx>\pi\int\limits_1^\infty\frac2x\mathrm dx=\infty</math>, כלומר אין מספיק צבע. אך מכיוון שכמות הצבע נמדדת ביחידות נפח ולא שטח, ומכיוון שהנפח בתוך החצוצרה הוא <math>\pi\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}=\pi</math>, יספיקו לנו <math>\pi</math> יחידות מעוקבות של צבע ואפילו ישאר לנו עודף. ---- '''שאלה:''' האם התכנסות האינטגרל <math>\int\limits_1^\infty f</math> גוררת ש-<math>\lim_{x\to\infty} f(x)=0</math> (בדומה לטורים)? '''תשובה:''' לא. נגדיר פונקציה f שהגרף שלה הוא [[קובץ:גרף פונקצית משולשים.png|600px]] אזי {{left|<math>\int\limits_0^\infty f=</math> השטח שמתחת לגרף <math>=\lim_{n\to\infty}\frac12\left(1+\frac12+\frac14+\frac18+\dots+\frac1{2^n}\right)=\frac22=1</math>}} כלומר האינטגרל מתכנס, אבל <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> לא קיים.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)
תבניות המופיעות בדף זה:
תבנית:=
(
עריכה
)
תבנית:Left
(
עריכה
)
תבנית:הערה
(
עריכה
)
תבנית:משל
(
עריכה
)