הצגת המקור של הדף "88-101 חשיבה מתמטית קיץ תשעא/תרגילים"

=תרגיל 1 להגשה ליום רביעי ה20 ביולי=
==הצרנות==
*הצרן את הטענות הבאות (מותר לכם להשתמש בפרדיקטים סבירים, בתנאי שתגדירו אותם):
**לכל מספר ממשי יש מספר טבעי הגדול ממנו.
**אקסיומת האינדקוציה: אם פרידקט כלשהו אמיתי באחד (<math>P(1)\equiv T</math>) וכמו כן, העובדה שהוא אמיתי עבור n גוררת שהוא אמיתי עבור n+1 אזי הוא אמיתי תמיד.
**x הינו מספר ראשוני (מספר המתחלק רק בעצמו ובאחד).
**כל מספר ראשוני הינו סכום של מספרים זוגיים.
**קיימים אינסוף תאומים (תאומים הם זוג ראשוניים אשר ההפרש בינהם הינו שתים.)

==קבוצות==
הגדרה: איחוד של שתי קבוצות A וB הוא קבוצת האיברים שנמצאים לפחות באחת הקבוצות. החיתוך הוא קבוצת האיברים שנמצאים בשתי הקבוצות.
*הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לאיחוד של הקבוצות A וB
*הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לאיחוד של הקבוצות A וB
*הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לחיתוך של הקבוצות A וB
*הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לחיתוך של הקבוצות A וB

הגדרה: קבוצה A מוכלת בקבוצה B  אם בB נמצאים כל האיברים מA (למשל הטבעיים מוכלים בשלמים <math>\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}</math>, והשלמים מוכלים בממשיים  <math>\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{R}</math>).
*הצרן תנאי השקול לכך ש-C מוכלת בחיתוך של A וB
*הצרן תנאי השקול לכך ש-C אינה מוכלת באיחוד של A וB


(מותר לכם להשתמש בכמתים באופן הבא <math>\forall a\in A, \exists a\in A</math>)

==שקילות==
הגדרה: טענות <math>A_1,A_2,...,A_n</math> שקולות אם ((כולן אמיתיות יחד) או (כולן שקריות יחד)).
*הוכח שמספיק להוכיח את הטענות הבאות על מנת להוכיח ש<math>A_1,A_2,...,A_n</math> שקולות:

<math>A_1\rightarrow A_2</math>,

<math>A_2\rightarrow A_3</math>, 

:<math>\vdots</math>

<math>A_{n-1}\rightarrow A_n</math>,

<math>A_n\rightarrow A_1</math>

==דרכי הוכחה==
הוכח שהפסוקים הבאים הינם טאוטולוגיות:
*<math>(A\rightarrow B) \leftrightarrow (\neg B \rightarrow \neg A)</math>
*<math>A \leftrightarrow (\neg A \rightarrow F)</math>


(נהוג להחליף ביטויים מהצורה הזו בביטויים השקולים להם כי הם נוחים יותר להוכחה מידי פעם.)