הצגת המקור של הדף "משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים"

במשפטים הבאים, אלא אם צויין אחרת, נסמן:
* <math>c</math> הוא קבוע.
* <math>f,g</math> פונקציות.
* כל אחת מהקבוצות הבאות היא קבוצת כל הפונקציות המקיימות תכונה מסויימת בקבוצה <math>A</math>:
:* <math>C(A)</math> היא קבוצת כל הפונקציות הרציפות ב-<math>A</math>.
:* <math>\mbox{Mo}(A)</math> - מונוטוניות.
::* <math>\mbox{MO}(A)</math> - מונוטוניות במובן הצר.
:* <math>\mbox{Bo}(A)</math> - חסומות.
::* החסם העליון של פונקציה ב-<math>\mbox{Bo}(I)</math> הוא <math>M</math> והתחתון - <math>m</math>.
:* <math>\mbox{Po}(A)</math> - אי-שליליות.
::* <math>\mbox{PO}(A)</math> - חיוביות.
:* <math>\mbox{INT}(A)</math> - אינטגרביליות.
::* <math>\mbox{Int}(A)</math> - אינטגרביליות מקומית.
* אם קיימת לפונקציה פונקציה קדומה היא תסומן בעזרת האות הגדולה המתאימה (למשל, הפונקציה הקדומה של <math>f</math> היא <math>F</math>).
* <math>P</math> היא חלוקה <math>\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> של הקטע הנתון כך ש-<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>.
:* <math>Q</math> היא העדנה של <math>P</math>.
:* <math>P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\}</math> היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה <math>P</math> כך ש-<math>\forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k]</math>.

=אינטגרלים=
* אם <math>F</math> ו-<math>G</math> קדומות ל-<math>f</math> בנקודה כלשהי אז קיים <math>c</math> כך ש-<math>F(x)=G(x)+c</math>.
* <math>\forall f\in\mbox{Bo}([a,b]):\ m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>.
* אם <math>|Q|=|P|+r</math> {{הערה|(כלומר, <math>Q</math> מתקבלת מ-<math>P</math> ע"י הוספת <math>r</math> נקודות)}} ו-<math>f\in\mbox{Bo}([a,b])</math> אזי <math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math> וכן <math>0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega</math>.
* לכל חלוקה <math>Q</math> של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של <math>P</math>), אם <math>f\in\mbox{Bo}([a,b])</math> אזי <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math>.
* לכל <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math> מתקיים <math>\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f</math>.
* תהי <math>f\in\mbox{Bo}([a,b])</math>. אזי <math>\underline\int_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math> וגם <math>\overline{\int}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)</math>.
* נניח ש-<math>f\in\mbox{Bo}([a,b])</math>. <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math> אם"ם <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math>.
* נניח ש-<math>f\in\mbox{Bo}([a,b])</math>. <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math> אם"ם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה <math>P</math> של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>.
* אם <math>f\in C([a,b])</math> אז <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math>.
:* {{הערה|הכללה:}} אם <math>f\in C((a,b))\cap\mbox{Bo}((a,b))</math> אזי <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math>.
::* {{הערה|הכללה להכללה:}} אם <math>f\in C([a,b]\setminus A)\cap\mbox{Bo}([a,b])</math> כאשר <math>A</math> קבוצה סופית אזי <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math>.
* אם <math>f\in\mbox{Mo}([a,b])</math> אז <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math>. 
* נניח ש-<math>a<c<b</math>. אזי <math>f\in\mbox{INT}([a,b])\cap\Big(\mbox{INT}([a,c])\cup\mbox{INT}([c,b])\Big)</math> אם"ם <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math>, ואם כן אז <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math>.
:* {{הערה|הכללה:}} עבור <math>f</math> כנ"ל ו-<math>a=x_0,x_1,\dots,x_n=b</math> (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים <math>\int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f</math>.
* אם <math>f\in\mbox{Bo}([a,b])</math> אז <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. יתר על כן, <math>\underline S(f,P)=\inf_{P'}S(f,P,P')</math> ו-<math>\overline S(f,P)=\sup_{P'}S(f,P,P')</math>.
* הגדרות האינטגרל לפי דרבו ולפי רימן שקולות.
* '''לינאריות:''' <math>\forall f,g\in\mbox{INT}([a,b]):\ \int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b  f+c\int\limits_a^b g</math>.
* '''מונוטוניות:''' אם <math>f,g\in\mbox{INT}([a,b])</math> וכן <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge g(x)</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>.
:* '''חיוביות:''' בפרט מתקיים שאם <math>f\in\mbox{INT}([a,b])\cap\mbox{Po}([a,b])</math> אזי <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>.
* '''הכללה לאי-שיוויון המשולש:''' אם <math>|f|\in\mbox{INT}([a,b])</math> אז <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math> ו-<math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math>.
* אם <math>f\in\mbox{INT}([a,b])\cap\mbox{Bo}([a,b])</math> אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math>.
:* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\forall x\in[a,b]:\ |f(x)|\le M</math> ו-<math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math> אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math>.
::* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f=M(b-a)</math>.
* '''המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי:''' תהי <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math> ותהי <math>F</math> כך ש-<math>\forall x\in[a,b]:\ F(x):=\int\limits_a^x f</math>. אזי <math>F\in C([a,b])</math> וכן לכל נקודה ב-<math>[a,b]</math> שבה <math>f</math> רציפה, <math>F</math> קדומה ל-<math>f</math> (כלומר, <math>F</math> גזירה ב-<math>[a,b]</math> ו-<math>F'=f</math>).
* '''נוסחת ניוטון-לייבניץ:''' תהי <math>f\in C([a,b])</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a)</math>.
* לכל <math>f\in C([a,b])</math> יש פונקציה קדומה.
* '''אינטגרציה בחלקים:''' נניח כי <math>f',g'</math> רציפות. אזי <math>\int f(x)g(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx</math>.
:* <math>\int\limits_a^b f\cdot g'=[f(x)g(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'\cdot g</math>
* '''שיטת ההצבה:''' <math>\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x)){\color{Gray}+c}</math>.
:* <math>\int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(g(x))\mathrm dg(x)</math>
* כל פונקציה רציונלית <math>\frac pq</math> כך ש-<math>\deg(p)<\deg(q)</math> ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים <math>\frac A{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k}</math> כאשר <math>A,B,C,x_0\in\mathbb R</math> ול-<math>x^2+bx+c</math> אין שורשים ממשיים.
* נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל-<math>f\in\mbox{Po}([a,b])</math> בין <math>a</math> ל-<math>b</math> סביב ציר ה-<math>x</math> הוא <math>\int\limits_a^b \pi f^2</math>.
* הממוצע של <math>f\in C([a,b])</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>.
* אורך הגרף של <math>f\in C([a,b])</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math>.
* שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של <math>f\in C([a,b])</math> סביב ציר ה-<math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math>.
<!--
* תהא <math>f\in C^n([a,b])</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n</math> כאשר <math>P_n</math> הוא פיתוח טיילור מסדר <math>n</math> של <math>f</math> והשארית חסומה ע"י <math>\int\limits_a^b R_n=\int\limits_a^b \frac{f^{(n+1)}(c)x^{n+1}}{(n+1)!}\mathrm dx</math>.
* 
-->
* תהינה <math>f,g\in\mbox{INT}([a,\infty))</math>. אזי <math>f+cg\in\mbox{INT}([a,\infty))</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math>.
* תהא <math>f\in\mbox{Int}([a,\infty))</math> ויהי <math>b>a</math>. אזי <math>f\in\mbox{INT}([a,\infty))</math> אם"ם <math>f\in\mbox{INT}([b,\infty))</math> ואם כן <math>\int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f</math>.
* <math>f\in\mbox{Mo}_\text{up}([a,\infty))</math>. אזי <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים אם"ם <math>\sup_x f(x)<\infty</math> ואם כן <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\sup_{x>a} f(x)</math>.
* <math>f\in\mbox{Int}([a,\infty))\cap\mbox{Po}([a,\infty))</math>. אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^R f</math> חסומים מלעיל, ואם לא אז <math>\int\limits_a^\infty f=\infty</math>.
* '''מבחן ההשוואה:''' נניח ש-<math>f,g\in\mbox{Int}([a,\infty))\cap\mbox{Po}([a,\infty))</math> וכן <math>\forall x\in[a,\infty):\ f(x)\le g(x)</math>. אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס.
* '''מבחן ההשוואה הגבולי:''' <math>f,g\in\mbox{Int}([a,\infty))\cap\mbox{Po}([a,\infty))</math> וכן <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbb R</math>. אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס.
:* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
* '''המבחן האינטגרלי לטורים:''' תהא <math>f\in\mbox{Po}([k,\infty))\cap\mbox{Mo}_\text{down}([k,\infty))\cap\mbox{Int}([k,\infty))</math> עבור <math>k\in\mathbb N</math> כלשהו. אזי <math>f\in\mbox{INT}([k,\infty))</math> אם"ם <math>\sum_{n=k}^\infty f(n)</math> מתכנס.
:* {{הערה|הכללה:}} בפרט מתקיים <math>\sum_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum_{n=k}^{N-1} f(n)</math>.
* תהא <math>f</math> מוגדרת ב-<math>[a,\infty)</math>. <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע.
* תהא <math>f\in\mbox{Int}([a,\infty))</math>. אזי <math>f\in\mbox{INT}([a,\infty))</math> אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon</math>.
* תהא <math>f\in\mbox{Int}([a,\infty))</math>. אם <math>|f|\in\mbox{INT}([a,\infty))</math> אז <math>f\in\mbox{INT}([a,\infty))</math>.
* '''מבחן דיריכלה:''' תהא <math>f\in C([a,\infty))</math> ונניח שהאינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^b f</math> חסומים כאשר <math>b\to\infty</math>. כמו כן תהא <math>g\in\mbox{Mo}([a,\infty))\cap C^1([a,\infty))</math> ו-<math>\lim_{x\to\infty}g(x)=0</math>. אזי <math>f\cdot g\in\mbox{INT}([a,\infty))</math>.
* '''סכימה בחלקים:''' <math>\sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N</math> כאשר <math>S_n=\sum_{k=1}^n a_k</math>.
* '''משפט דיריכלה לטורים:''' נניח שלטור <math>\sum_{n=1}^N a_n</math> יש סכומים חלקיים חסומים ונניח ש-<math>\{b_n\}</math> סדרה מונוטונית כך ש-<math>b_n\to0</math>. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty a_nb_n</math> מתכנס.
* אם <math>f,g\in\mbox{INT}((a,b])</math> אז לכל <math>c</math> מתקיים <math>\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>.
* עבור <math>a<c<b</math> ו-<math>f\in\mbox{Int}((a,b])</math>, <math>f\in\mbox{INT}((a,b])</math> אם"ם <math>f\in\mbox{INT}((a,c])</math>, ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c+\int\limits_b^c f</math>.
* תהי <math>f\in\mbox{Mo}((a,b])</math>. אזי <math>\lim_{x\to a^+}f(x)</math> קיים אם"ם <math>f\in\mbox{Bo}((a,b])</math>.
* אם <math>f\in\mbox{Po}((a,b])\cap\mbox{Int}((a,b])</math> אז <math>f\in\mbox{Int}((a,b])</math> אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חסומים כאשר <math>c\to a^+</math>.
* '''מבחן ההשוואה:''' <math>f,g\in\mbox{Po}((a,b])\cap\mbox{Int}((a,b])</math> וכן <math>\forall \in(a,b]:\ f(x)\le g(x)</math>. אם <math>g\in\mbox{INT}((a,b])</math> אז <math>f\in\mbox{INT}((a,b])</math>.
* '''מבחן ההשוואה הגבולי:''' <math>f,g\in\mbox{Po}((a,b])\cap\mbox{Int}((a,b])</math> וקיים <math>\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}</math>. אם <math>g\in\mbox{INT}((a,b])</math> אז <math>f\in\mbox{INT}((a,b])</math>.
:* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
* תהא <math>f\in\mbox{Int}((a,b])</math>. אזי <math>f\in\mbox{INT}((a,b])</math> אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|<\varepsilon</math>.
* תהא <math>f\in\mbox{Int}((a,b])</math>. אם <math>|f|\in\mbox{INT}((a,b])</math> אז <math>f\in\mbox{INT}((a,b])</math>.