הצגת המקור של הדף "שדות - תכונות בסיסיות"


== הרחבות של שדות ==

'''הגדרה:''' יהיה <math>F</math> שדה. הרחבה של <math>F</math> היא כינוי לכל שדה <math>K</math> המכיל את <math>F</math>. לרוב כותבים גם <math>K/F</math>. באופן טבעי <math>K</math> הוא מרחב וקטורי מעל <math>F</math>. המימד של <math>K</math> מעל <math>F</math> יסומן ב-<math>[K:F]</math> (הוא אינו חייב להיות סופי).

'''דוגמא:''' <math>\mathbb{C}/\mathbb{R}</math> היא הרחבת שדות ממימד סופי. <math>\mathbb{R}/\mathbb{Q}</math> היא הרחבת שדות ממימד אינסופי.

'''טענה:''' יהיו <math>F\subseteq K\subseteq L</math> שדות. אזי <math>[L:F]=[L:K]\cdot[K:F]</math>.

'''הרעיון של ההוכחה:''' אם <math>A</math> הוא בסיס ל-<math>L</math> כמרחב וקטורי מעל <math>K</math> ו-<math>B</math> הוא בסיס ל-<math>K</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> אז הקבוצה <math>\{ab~|~a\in A, b\in B\}</math> היא בסיס ל-<math>L</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> והיא בעלת <math>[L:K][K:F]</math> איברים (זה לא טריוויאלי).

'''תכונה:''' אם <math>F</math> שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של <math>F</math> הוא גם שדה.

'''הגדרה:''' נניח ש-<math>L</math> שדה ו-<math>F,K</math> תת שדות של <math>L</math>. הקומפוזיטום של <math>F,K</math> הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את <math>F,K</math>. הוא יסומן ב-<math>FK</math>.

== איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים ==


'''הגדרה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. האיבר <math>a</math> נקרא אלגברי מעל <math>F</math> אם קיים פולינום <math>f(x)</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. אם לא קיים פולינום כזה, <math>a</math> נקרא טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>.

'''דוגמא:''' <math>\sqrt{2}</math> הוא אלגברי מעל <math>\mathbb{Q}</math> כי הוא מאפס את <math>x^2-2\in\mathbb{Q}</math>. לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים <math>e,\pi</math> הם טרנסצנדנטיים מעל <math>\mathbb{Q}</math>.

'''הערה:''' לא קשה להראות כי כמות המספרים המרוכבים האלגבריים מעל <math>\mathbb{Q}</math> היא בת מנייה. לכן, בהכרח קיימים ב-<math>\mathbb{C}</math> (וגם ב-<math>\mathbb{R}</math>) איברים טרנסצנדנטיים. (זו הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך שקיימים מספרים טרנצנדנטיים).

'''דוגמא:''' יהיה <math>F</math> שדה ויהי <math>F(t)</math> שדה השברים של <math>F[t]</math>. קל לבדוק כי <math>t</math> טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>. למעשה, כל איבר ב-<math>F(t)\setminus F</math> הוא טרנסצנדנטי.