הצגת המקור של הדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/3/פתרון 3"

==1==
* חשב את הסכום <math>1+\frac{sin(1)}{2} + \frac{sin(2)}{4}+\frac{sin(3)}{8}+...+\frac{sin(n)}{2^n}</math>

['''רמז''': סכום סדרה הנדסית <math>1+q+...+q^{n} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}</math>, ומשפט דה-מואבר]

נסמן <math>z=\frac{cis(1)}{2}</math>

לפי דה מואבר: <math>z^n = \frac{cis(n)}{2^n}</math>

לכן: <math>1+z+...+z^n = 1+\frac{cis(1)}{2} + ... + \frac{cis(n)}{2^n}= \Big(1+\frac{cos(1)}{2} + ... + \frac{cos(n)}{2^n} \Big)+i \cdot \Big(1+\frac{ sin(1)}{2} + ... + \frac{sin(n)}{2^n} \Big)</math>

לכן הסכום המבוקש שווה <math>Im(1+z+...+z^n)</math>. נחשב:

<math>Im(1+z+...+z^n)=Im(\frac{1-z^{n+1}}{1-z})=Im(\frac{1-\frac{cis(n+1)}{2^{n+1}}}{1-\frac{cis(1)}{2}})</math>


בשלב זה ניתן לכפול בצמוד של המכנה, לפשט את הביטוי ולקבל את החלק המדומה שהוא התשובה הסופית: <math>\frac{\frac{sin(n)}{2^n}-\frac{sin(n+1)}{2^{n-1}}+2sin(1)}{5-4cos(1)}</math>


* מצא את כל הפתרונות של המשוואה <math>z^5=1-i</math>

נמצא את ההצגה הפולארית של <math>1-i</math>:

<math>r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}</math>

<math>\varphi=arctan(-1/1)=-\frac{\pi}{4}</math>

לכן המשוואה היא: <math>z^5=\sqrt{2} \cdot cis(-\frac{\pi}{4}+2\pi k)</math>

לכן לפי דה מואבר נקבל: <math>z=\sqrt[10]{2} \cdot cis(-\frac{\pi}{20} + \frac{2\pi k}{5})</math>

הפתרונות מתקבלים כאשר נציב <math>k=0...4</math>


==2==
*מצא את ההיטל של הוקטור <math>(1,2)</math> על הישר הנפרש על ידי הוקטור <math>(2,2)</math>

נסמן את הוקטור הרצוי ב<math>t(2,2)</math>. השיפוע של הישר הוא 1 לכן השיפוע של הישר המאונך הוא <math>-1</math>.

<math>\frac{2t-2}{2t-1} = -1</math>. נפתור ונקבל <math>t=\frac{3}{4}</math>. נציב ונקבל: <math>(\frac{3}{2},\frac{3}{2})</math>


*מצא וקטור המתחיל בראשית בצירים ומאונך לישר שמשוואתו <math>3x-1=y</math>

נסדר את המשוואה לצורה <math>3x-y=1</math>. לפי המקדמים נקבל שהוקטור המאונך הוא <math>(3,-1)</math>.


*מצא וקטור מאונך למישור הנפרש על ידי שני הוקטורים <math>(1,2,3),(1,4,5)</math>


*מצא וקטור מאורך אחד, בכיוון הוקטור <math>(1,2,2)</math>


*מצא נוסחא כללית לוקטור מאורך אחד בכיוון הוקטור <math>u</math>


*מצא את משוואת המישור המאונך לוקטור <math>(1,-1,5)</math> ועובר בנקודה <math>(1,1,1)</math>


*מצא את כל הוקטורים מאורך אחד אשר הזוית בינם לבין הוקטור <math>(1,4)</math> הינה <math>\frac{\pi}{3}</math>. כמה כאלה יש?


*הוכח עבור וקטורים במישור כי מתקיים אי השיוויון <math>u\cdot v \leq |u||v|</math> (ישירות לפי ההגדרה של מכפלה סקלרית ואורך וקטור).

['''רמז''': השתמש בזהות הידועה <math>(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab</math>]