הצגת המקור של הדף "אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב/פתרון הבוחן"

פתרון הבוחן:

שאלה 1:

נתון כי <math>A = \begin{bmatrix} 1 & a &b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} </math>.
ו <math>B = \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ d & 2 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix} </math>.

צריך למצוא מטריצות אלמנטריות <math>E_1 , E_2 ,\ldots , E_k</math>. כך ש <math>E_1 \cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A =B </math>.

מדרגים את מטריצה <math>A</math> למטריצה <math>B</math>.

<math>\begin{bmatrix} 1 & a &b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \overset{R_2 = R_2 - cR_3} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & a &b \\ 0 &            1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \overset{R_1 = R_1 - bR_3} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & a &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}   
\overset{R_1 = R_1 - aR_2} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\overset{R_3 = 3R_3} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}
\overset{R_3 = R_3 + eR_1} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ e & 0 & 3 \end{bmatrix}
</math>


<math>
\overset{R_3 = R_3 + fR_2} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix}
\overset{R_2 = 2R_2} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 2 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix}
\overset{R_2 = R_2 + dR_1} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ d & 2 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix}
</math>

לכן מטריצות אלמנטריות מתאימות הן
<math>
E_8=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

E_7=\begin{bmatrix} 1 & 0 &-b \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

E_6=\begin{bmatrix} 1 & -a &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

E_5=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}

E_4=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ e & 0 & 1 \end{bmatrix}

E_3=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & f & 1 \end{bmatrix}

E_2=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

E_1=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ d & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
</math>

ומתקיים <math>E_1 \cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_8 A=B</math>.

(זאת לא התשובה היחידה הנכונה, אבל זאת אחת הפשוטות)


שאלה 2:
נתונה מערכת המיוצגת על ידי המטריצה
<math>\begin{bmatrix} 1 & a_1 & a_2 & 0 & a_3 & | & 0 \\ a_4 & 0 & a_5 & 2 & a_6 & | & 0 \\ a_7 & 0 & a_8 & 0 & a_9 & | & 0
 \end{bmatrix}</math>

סעיף א) אם המטריצה מדורגת זה אומר ש <math>a_4 = a_7 = 0</math> כי שתיהם נמצאים מתחת לאיבר מוביל של השורה הראשונה.

בנוסף אפשר לראות ש <math>a_8=0</math>. הוכחה: נניח בשלילה ש <math>a_8 \neq 0</math>.

אם <math>a_5 \neq 0</math> הוא נמצא מתחת לאיבר מוביל של השורה השניה.

אם <math>a_5 = 0</math> הוא יהיה איבר מוביל משמאל לאיבר המוביל של השורה השניה.

לכן <math>a_8=0</math>.

לגבי שאר הפרמטרים, כל בחירה שהיא שלהם תשאיר את המטריצה מדורגת ולכן לא ניתן לדעת מהם.

סעיף ב) אם <math>A</math> מדורגת קנונית אז <math>2</math> לא יכול להיות איבר מוביל של השורה השניה.

לכן, <math>a_5 \neq 0</math> כלומר הוא איבר מוביל ולכן <math>a_5 = 1</math>.

בנוסף <math>a_2 = 0</math> כי הוא מעל האיבר המוביל של השורה השניה.

את הפרמטר <math>a_1</math> אי אפשר לקבוע.
גם את הפרמטרים <math>a_3,a_6,a_9</math> לא ניתן עדיין לקבוע בוודאות. כי יכול להיות ש <math>a_9=0</math> ואז <math>a_3,a_6</math> יכולים להיות כל מספר שהוא.

ויכול להיות ש <math>a_9=1</math> (ואז <math>a_3=a_6=0</math>).

סעיף ג) אם נתון שיש שני משתנים חופשיים, אז יש שלושה איברים מובילים ולכן

<math>a_9=1</math> ולכן <math>a_3=a_6=0</math> כי הם מעל איבר מוביל של השורה השלישית.

את <math>a_1</math> עדיין לא ניתן לקבוע.


לכן קיבלנו

<math>\begin{bmatrix} 1 & a_1 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0
 \end{bmatrix}</math>

סעיף ד) פתרון פשוט של המערכת מוביל ל

<math>x_5 = 0</math>
<math>\quad</math>
<math>x_4 = t</math>
<math>\quad</math>
<math>x_3=-2t</math>
<math>\quad</math>
<math>x_2 = s</math>
<math>\quad</math>
<math>x_1 = -a_1s</math>

כלומר

<math>(-a_1s,s,-2t,t,0)</math>.


שאלה 3:

א) <math>V = \mathbb{R}_3[x]</math> ו <math>U = \{p\in \mathbb{R}_3[x] \mid p(0)=p(1)\}</math>

נוכיח ש <math>U</math> תת מרחב לפי הקריטריון המקוצר.

ראשית <math>U \neq \emptyset</math>  כי פולינום האפס נמצא בו.

שנית, אם <math>p_1,p_2 \in U</math> אז

<math>(p_1+p_2)(0) = p_1(0)+p_2(0)=p_1(1)+p_2(1)=(p_1+p_2)(1)</math>

ואם <math>p\in U</math> ו <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> אז

<math>(\alpha p)(0) = \alpha p(0) = \alpha p(1) = (\alpha p)(1)</math>.

לכן <math>U</math> תת מרחב של <math>V</math>.

מציאת בסיס ומימד:

איבר כללי של <math>V</math> הוא מהצורה <math>a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3</math>

הדרישה <math>p(0)=p(1)</math> אומרת ש

<math>a_0+a_1+a_2+a_3=a_0</math>

כלומר

<math>a_1+a_2+a_3=0</math>

זאת מערכת של <math>4</math> נעלמים עם משוואה אחת. נמצא את מרחב הפתרונות.

לפי פתרון המטריצה

<math>\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & | & 0 \end{bmatrix}</math>

נקבל ש

<math>a_3 = t</math>

<math>a_2=s</math>

<math>a_1 = -s-t</math>

<math>a_0 = r</math>

לכן איבר כללי בפתרון הוא 

<math>(r,-t-s,s,t) = r(1,0,0,0) + s(0,-1,1,0) + t(0,-1,0,1)</math>

לכן בסיס יהיה הפולינומים שמיוצגים על ידי

<math>(1,0,0,0) , (0,-1,1,0) ,(0,-1,0,1)</math>

כלומר

<math>\{1, -x+x^2 , -x+x^3\}</math>

והמימד הוא <math>3</math>.