הצגת המקור של הדף "אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב/פתרון מועד א'"

=חלק א'=

==שאלה 1==

ב. הפרכה:

נניח כי <math>T</math> באמת חד חד ערכית.

זה אומר כי <math>Ker(T)=\{0\}</math>, ולכן <math>dimKer(T)=0</math>.

לפי משפט הדרגה <math>dimKer(T)+dimIm(T)=dimV=n</math>

היות ו  <math>dimKer(T)=0</math>.

נקבל כי <math>dimIm(T)=n</math>.

מצד שני, <math>Im(T) \subseteq W</math> ולכן <math>dimIm(T) \leq dim W =m</math>.

קיבלנו ש
<math>n=dimIm(T)\leq m</math>

כלומר <math>n \leq m</math> בסתירה לנתון ש <math>n > m</math>.

סתירה.

ולכן <math>T</math> לא יכולה להיות חד חד ערכית.

==שאלה 2==


ראשית נוכיח כי <math>B</math> בת"ל.

נייצג את איברי <math>B</math> בתור וקטורי קוארדינטות ב <math>\mathbb{R}^4</math> לפי הבסיס הסטנדרטי ונקבל

<math>(1,1,1,1),(3,4,0,5)</math>.

נשים וקטורים אלו בשורות מטריצה ונדרג אותה כדי לוודא שהם בלתי תלויים.


<math>\begin{bmatrix} 
1 & 1 & 1 & 1
\\ 3 & 4 & 0 & 5
\end{bmatrix}
\overset{R_2=R_2-3R_1}
{\rightarrow}
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1
\\ 0 & 1 & -3 & 2
\end{bmatrix}
</math>

הגענו לצורה מדורגת בלי שקיבלנו שורת אפסים ולכן רשימת הוקטורים שהתחלנו איתה בת"ל.

(הערה: מי שהראה שכל צירוף <math>\alpha (1+x+x^2+x^3) + \beta(3+4x+5x^3)=0</math> מחייב ש <math>\alpha=\beta=0</math>.
זאת גם תשובה טובה.
וגם מי שהראה שאין <math>\alpha</math> כך ש <math>\alpha(1+x+x^2+x^3)=3+4x+5x^3</math> זו גם תשובה נכונה).


השלמת <math>B</math> לבסיס:

הואיל ובמטריצה המדורגת שהגענו אליה יש איברים מובילים בעמודות <math>1,2</math> למדנו שאפשר להוסיף את <math>(0,0,1,0),(0,0,0,1)</math>  כלומר <math>e_i</math> עבור כל עמודה <math>i</math> של משתנה חופשי.

ולכן קיבלנו בסיס <math>1+x+x^2+x^3,3+4x+5x^2,x^2,x^3</math>.

שימו לב שצריך לנמק למה מוסיפים את <math>x^2,x^3</math> - מי שסתם כתב שמוסיפים אותם בלי הסבר איבד נקודות.

הסברים מקובלים:

יש איברים  מובילים בעמודות <math>1,2</math>.

יש משתנים חופשיים בעמודות <math>3,4</math>

אם מוסיפים את <math>e_3,e_4</math> המטריצה נשארת מדורגת.

אם מוסיפים את <math>e_3,e_4</math> שורות המטריצה עדיין בלתי תלויות לינארית.


או משהו בסגנון.


יש סטודנטים שהמציאו שני וקטורים כלשהם (לאו דווקא  <math>x^2,x^3</math>) והראו שהקבוצה הנוצרת היא בת"ל/ פורשת ולכן לפי השלישי חינם היא בסיס.
יש סטודנטים שהמציאו שני וקטורים והוכיחו שהקבוצה הנוצרת בת"ל+ פורשת (שזה מיותר כי אפשר להשתמש בשלישי חינם)
גם התשובות האלה התקבלו, אמנם זה מייגע, אבל זה נכון.

יש סטודנטים שהשתמשו בעוד כל מיני דרכים מקוריות, חלק מהן היו נכונות.

==שאלה 3==

=חלק ב'=

נציג תשובות לפי הסדר כפי שהופיעו בגרסא הזאת של המבחן: [[מדיה:12linear1FinalExamMoedA.pdf|מבחן מועד א']].


==שאלה 1==

קל להוכיח שלמערכת <math>Ax=b</math> יש פתרון <math>\Leftrightarrow</math>
<math>b \in C(A)</math>. ולכן א' וב' הם לא התשובה.


אם <math>N(A)=C(A)</math> מתקיים גם <math>dimN(A)=dimC(A)</math> והיות ו <math>dimN(A)+dimC(A)=n</math> נקבל כי <math>n</math> חייב להיות מספר זוגי ולכן <math>|-A|=(-1)^n|A|=|A|</math>. לכן גם ד' היא טענה נכונה.

ג' שגוי. כי <math>A0=0</math> ו <math>0\in R(A)</math>.

לכן התשובה היא ג'.

==שאלה 2==

המטריצה שמייצגת את מערכת המשוואות היא

<math>
\begin{bmatrix}1 & 1 & a & | & 2 \\ -a & -2 & 1 & | & 0 \\ 1 & 1 & 2 & | & a\end{bmatrix}
\overset{R_2=R_2+aR_1}{\rightarrow}
\begin{bmatrix}1 & 1 & a & | & 2 \\ 0 & -2+a & 1+a^2 & | & 2a \\ 1 & 1 & 2 & | & a\end{bmatrix}
\overset{R_3=R_3-R_1}{\rightarrow}
\begin{bmatrix}1 & 1 & a & | & 2 \\ 0 & -2+a & 1+a^2 & | & 2a \\ 0 & 0 & 2-a & | & a-2\end{bmatrix}
</math>

קל לראות שאם <math>a\neq 2</math> יש שלושה איברים מובילים ולכן יש פתרון יחיד

נותר לראות מה קורה במקרה <math>a=2</math>, נציב <math>a=2</math> ונזכור ש <math>5=0</math>. נקבל:


<math>
\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 & | & 2 \\ 0 & 0 & 0 & | & 4 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0\end{bmatrix}
</math>

השורה השנייה היא שורת סתירה ולכן אין פתרון

לכן התשובה היא ד. אין ערך <math>a</math> עבורו למערכת יש <math>5</math> פתרונות.


==שאלה 3==

חישוב פשוט מראה ש

<math>
A^2 =
 \begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & -3 & 2\end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & -3 & 2\end{bmatrix}
=
 \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{bmatrix}
</math>

ו

<math>
A^3 =
 \begin{bmatrix} 1 & -4 & 3 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & -3 & 2\end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{bmatrix}
=
 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}
</math>

ולכן התשובה הנכונה היא ב. <math>A^2 \neq 0</math> אבל <math>A^3 = 0</math>.


==שאלה 4==

התשובה היא כמובן ג', קבוצה פורשת היא מגודל של לפחות <math>dimV</math> וקבוצה בלתי תלויה לינארית היא מגודל לכל היותר <math>dimV</math>.

אם נוסיף איבר ל <math>A</math>, יתקיים ש <math>dimV<|A|</math> ולא ייתכן שהיא תהיה בת"ל.

קל גם למצוא דוגמאות נגדיות לאפשרויות האחרות.

א) ניקח <math>V=\mathbb{R}^2</math> ו <math>A=\{(1,0),(0,1)\}</math>.

ב) ניקח <math>V=\mathbb{R}^2</math> ו <math>A=\mathbb{R}^2</math>.

ד) כמו א'.


==שאלה 5==