הצגת המקור של הדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/8/פתרון 8"

==1==
קבעו אילו מן המשפטים הבאים שקולים לשלילה של המשפט "לכל קוף ולכל קרנף, יש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף"

*יש קוף כך שלכל הג'ירפות אין אבא שמן כמו אף קרנף או שאימן יפה מהקוף

*יש קוף, קרנף וג'ירפה עם אבא ששמן כמו הקרנף ואמא שיפה מהקוף

*לכל קוף אין קרנף כך שיש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף

*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאין להן אבא שמן כמו הקרנף, אין להם אמא מכוערת כמו הקוף

*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאביהן שמן כמו הקרנף, אימן יפה מן הקוף

*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות או שאימן יפה מן הקוף או שאבא שלהן רזה מן הקרנף


מצא דוגמא נגדית לכל אחד מן המשפטים שאינו שקול לשלילה.


==2==
'''הגדרה''':

קבוצת וקטורים <math>v_1,...,v_n</math> נקראת '''תלוייה לינארית''' אם קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{R}</math> כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>

אילו מן ההגדרות הבאות מתאימה לקבוצת וקטורים ש'''אינה''' תלוייה לינארית:


*וקטורים המקיימים <math>v_1+v_2+...+v_n \neq 0</math>
** לא, כי יתכן שקיים צירוף לינארי לא טריוויאלי אחר של הוקטורים שכן מתאפס


*וקטורים המקיימים <math>0\cdot v_1+0\cdot v_2+...+0\cdot v_n \neq 0</math>
** לא, אף קבוצת וקטורים לא מקיימת הגדרה זו (למרות שכן יש קבוצות וקטורים שאינן תלויות לינארית)


*וקטורים המקיימים את התנאי- אם <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math> אזי <math>a_1=a_2=...=a_n=0</math>
** כן, כי אם הקבוצה הייתה תלויה לינארית אז היו קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{R}</math> כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>, אבל אז כולם היו שווים לאפס לפי ההגדרה בסתירה.


*וקטורים שלעולם לא מקיימים את התנאי <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>
** לא, מכיוון שקבוצת וקטורים שאינה תלויה לינארית יכולה לקיים את התנאי עבור <math>a_1=a_2=...=a_n=0</math>

==3==
תהיינה A,B,C קבוצות. נניח נתון <math>C \subseteq A\cup B</math>. 

'''הוכח/הפרך''' כל אחת מן הטענות הבאות:


*<math>C\subseteq A</math> או <math>C \subseteq B</math>


*אם <math>C\cap A = \phi</math> אזי <math>C \subseteq B</math>


*<math>C\cap A = \phi</math> אם ורק אם <math>C \subseteq B</math>


*<math>C\backslash A \subseteq B</math>


*אם <math>C=A</math> אזי <math>A\subseteq B</math>


*<math>\Big((A\cup B)\backslash C\Big)\cup C = A \cup B</math>


*<math>\Big((A\backslash C)\cup (B\backslash C)\Big)\cup C = A \cup B</math>